Upload
-
View
2.148
Download
10
Embed Size (px)
DESCRIPTION
vector calculus; vector; vektorski račun; uvod u vektorsku algebru;
Citation preview
Rade Raoni}
VEKTORSKA ALGEBRA
2009
SADR@AJ
1. VEKTORSKA ALGEBRA ________________________________________________________ 1.1. UVOD ________________________________________________________________________ 1.1.1. VEKTORSKI RA^UN _______________________________________________________ 1.1.2. OSNOVNI POJMOVI ______________________________________________________ 1.1.3. VEKTORI ___________________________________________________________________ 1.1.4. VRSTE VEKTORA ___________________________________________________________ 1.1.5. PROJEKCIJA VEKTORA ___________________________________________________ 1.1.6. UGAO DVA VEKTORA ______________________________________________________ 1.1.7. ANALITI^KO ODRE\IVAWE VEKTORA _________________________________ 1.1.7.1. KOORDINATNI SISTEMI ______________________________________________ 1.1.7.2. ANALITI^KO PREDSTAVQAWE VEKTORA ____________________________ 1.1.7.3. OSNOVNI ORTOVI I VEKTOR POLO@AJA ________________________________
PREPORU^ENI MATEMATI^KI SIMBOLI ZA VEKTORSKI RA^UN
1 vektor a, A, bc
, BC
, d, D, m, M 2 apsolutna vrednost vektora
a, A
, bc
, BC
, *d*, *D*, *m*,
*M* 3 modul (intenzitet) vektora a, A, bc, bc , BC, BC , d, D, m, M 4 jedini~ni vektor u smeru
vektora a: a
/ a=a
ae
ili ae
5 jedini~ni vektori i, j, k; xe , ye , ze ; x1 , y1 , z1 ;
1e , 2e , 3e ; 1e, 2e
, 3e
; 6 skalarni proizvod vektora
a i b
a b
ili ab 7 vektorski proizvod vektora
a i b
a b
, ab ili avb 8 dijadski proizvod vektora
a i b
ab
ili ab 9 diferencijalni vektorski
operator, nabla / r ili
10 gradijent od grad ili 11
divergencija od A
div A , div A ili A
12 rotor, rotacija od A
curl A
, curl A , rot A
, rot A ili A
13 laplasijan, Laplace-ov operator od
, 2
14 dalamberijan, d’Alambert-ov operator od
15 tenzor drugog reda A 16 skalarni proizvod tenzora
S i T : ( ik , ikS , kiT ) ST
17 tenzorski proizvod tenzora
S i T : ( ik , ikS , kiT ) ST
18 proizvod tenzora S i vektora A
: ( ik , ikS , kA )
S A
19 spoqa{wi proizvod tenzora v 20 Koordinata tenzora tipa
(p,q) 11
, ... ,, ... ,
q
p
i ij jA
veli~ina simbol
1.1. UVOD
1.1.1. VEKTORSKI RA^UN
Postoji vi{e na~ina pristupawa i re{avawa problema u matematici, prirodnim naukama i tehnici. Jedan od ~esto primewivanih postupaka je vektorski ra~un. Vektorski ra~un omogu}ava: - primenu metoda algebre i analize na veli~ine koje nisu brojevi, - izbegavawe svo|ewa ra~unawa sa geometrijskim veli~inama na ra~unawe sa brojevima, - izbegavawe gubqewa geometrijske o~iglednosti, - vizuelizacija re{avawa problema itd. Stvarawe teorije vektorskog ra~una nije bilo jednostavno, bilo je u tesnoj vezi sa razvojem prirodnih nauka i proisteklo je iz odnosa algebre i geometrije. Na~ini posmatrawa i re{avawa problema u algebri i geometriji su razli~iti. U algebri je razra|en niz algoritama (postupaka) za re{avawe problema. Ovi postupci omogu}avaju i olak{avaju re{avawe velikog broja klasa problema. Za razliku od algebre u geometriji ve}ina zadataka zahteva individualno re{avawe i uvo|ewe pomo}-nih geometrijskih elemenata: ta~aka, linija i povr{ina. Tokom razvoja matematike (do XVII veka) postojala je te`wa da se algebarski postupci iskoriste u geometriji. Ta te`wa je ostvarena Dekartovim (Descartes 1638.) otkri}em analiti~ke geometrije i u vezi sa wom pojavom infinitezimalnog ra~una. Mehanika i matematika su ostvarile ogroman napredak u XVIII veku zahvaquju}i analiti~koj geometriji. Lagran` (Lagrange) je stvorio analiti~ku mehaniku u kojoj je neposredno ra~unawe sa geometrijskim veli~ina mehanike bilo zameweno ra~unawem sa brojevima. Osim velikih prednosti, analiti~ka geometrija iskazuje i odre|ene nedostatke. Kori{}ewem analiti~ke geometrije ~esto se zapostavqa geometrijski sadr`aj problema i mogu}nost geometrijske kontrole problema. Pri kori{}ewu analiti~ke geometrije moraju se uvoditi i odgovaraju}i koordinatni sistemi odnosno skupovi parametara (brojeva ili koordinata) ~ije vrednosti odre|uju npr. polo`aj ta~ke u prostoru (slika 1). Me|u prvima je ove nedostatke uo~io Lajbnic (Leibniz). On je istakao potrebu da se geometrijske veli~ine ra~unaju neposredno, a ne svo|ewem na ra~unawe sa brojevima u odgovaraju}im koordinatnim sistemima.
Slika 1. Odre|ivawe polo`aja ta~ke u prostoru
Po~etkom XIX veka javqa se projektivna geometrija. Ona se javqa kao odgovor na potrebu za neposrednim ra~unawem sa geometrijskim veli~inama. Projektivna geometrija se vezuje za radove vi{e nau~nika po~etkom XIX veka (Poncelet, Chasles, Möbius, Plücker,...) mada joj se koreni mogu na}i i u XVII veku (Pascal, Desargues). Pojavu projektivne geometrije uzrokovao je razvoj teorijske fizike, tehnike, nacrtne geometrije itd. Ona je samo delimi~no odgovorila postavqenim zahtevima jer je tesno vezana za analiti~ku geometriju. Sredinom XIX veka matemati~ar Grasman (Grassmann) i fizi~ar i astronom Hamilton (Hamilton) uvode direktno ra~unawe sa geometrijskim veli~inama. Mada im se metode razlikuju kod obojice se javqa pojam vektora (Hamilton je uveo naziv ˝vektor˝). Radovi Grasmana i Hamiltona predstavqaju osnovu za razvoj vektorskog ra~una. Vektorski ra~un u dana{wem smislu stvorili su uglavnom fizi~ari. Prvu zaokru`enu teoriju vektorskog ra~una dao je fizi~ar Gibs (Gibbs), a daqi razvoj poti~e od Maksvela (Maxwell), Lorenca (Lorentz), Abrahama (Abraham), Hevisajda (Haeviside), Fepla (Föppl) i drugih. U ranoj fazi razvoja matemati~ari su sa nepoverewem gledali na vektorski ra~un (izuzetak je bio Grasman). Tokom vremena vektorski ra~un je postao op{te prihva}eni metod za operisawe geometrijskim veli~inama i {iroko se koristi u mehanici, fizici, tehnici, geometriji itd. Zbog {irine primene nezaobilazan je deo tzv. in`ewerske matematike. Posredstvom vektorskog ra~una uvode se i komplikovanije veli~ine: dijade, afinore, tenzori itd.
1.1.2. OSNOVNI POJMOVI
Pri posmatrawu geometrijskih, mehani~kih i fizi~kih veli~ina mogu se uo~iti razlike koje uti~u i na na~in primene algebre i analize pri re{avawu problema. Posmatrane geometrijske, mehani~ke i fizi~ke veli~ine se mogu podeliti na : skalare, vektore, tenzore itd. Skalarne veli~ine su veli~ine koje su u potpunosti odre|ene jednim realnim brojem kao mernim brojem. Ove veli~ine se, pri izabranoj jedinici mere, mogu predstaviti na odgovaraju}oj skali, pa se zbog toga i nazivaju skalarne veli~ine odnosno skalari (latinski izraz scala = stube, lestve). U skalare spadaju: zapremina, vreme, masa, temperatura, rad, energija, elektri~ni kapacitet, otpor provodnika itd. Neki skalari su samo pozitivni brojevi (masa, gustina,...), a neki mogu biti i pozitivni i negativni brojevi (rad, temperatura,...). Realni brojevi se smatraju skalarima, pa se sa skalarima ra~una kao sa obi~nim brojevima. Veze izme|u skalara se mogu predstaviti u okviru "obi~ne analize" kao funkcionalne zavisnosti wihovih promenqivih mernih brojeva. Vektorske veli~ine su veli~ine koje su upotpunosti odre|ene: mernim brojem, pravcem i smerom. Mo`e se uo~iti niz geometrijskih, mehani~kih i fizi~kih veli~ina koje se ne mogu odrediti samo jednim brojem. Npr. pri odre|ivawu dejstva dve sile nije dovoqno definisati merni broj sila i tako u potpunosti odrediti sile (merni broj sila mo`e biti isti, a da im se dejstvo pri tome razlikuje zbog razli~itih pravaca i smerova dejstava sila). Ovo va`i i za mnoge druge veli~ine: brzina, ubrzawe, ugaona brzina, sila, moment sile, magnetna indukcija, elektri~na sila itd. Naziv "vektor" poti~e od latinskih izraza: vehere, vectum = nositi, pomerati. Na operacije sa vektorima ne mogu se direktno primeniti "obi~na algebra i analiza" odnosno moraju se utvrditi posebna pravila (vektorski ra~un) koja }e se razmatrati u narednim poglavqima.
Tenzorske veli~ine su veli~ine koje predstavqaju uop{ten pojam vektora odnosno to su veli~ine za ~iji je opis potrebno, osim mernog broja, pravca i smera, jo{ podataka. Npr. pri posmatrawu deformacije tela mora se posmatrati deformisawe u tri razli~ita pravca odre|enih smerova, koji nisu u jednoj ravni i moraju se odrediti merni brojevi svih tih pojedinih deformacija. Naziv "tenzor" poti~e od latinskih izraza: tensio, tendere = zategnuti, upraviti. Na operacije sa tenzorima primewuje se odgovaraju}i tenzorski ra~un.
1.1.3. VEKTORI
Vektor je orijentisana du` odnosno odse~ak prave na kojoj se razlikuju po~etna i krajwa ta~ka i strelica koja obele`ava smer. Prava l ~iji je odse~ak du` vektora zove se osnova ili nosa~ vektora. Od dve grani~ne ta~ke vektora jedna A se zove po-~etak vektora, a druga B, gde je strelica, kraj vektora (slika 2). Na osnovu definicije, za odre|ivawe vektora potrebni su slede}i elementi: a) intenzitet vektora (veli~ina, mo-dul, brojna vrednost, apsolutna vrednost) je wegova du`ina, merena odre|enom mer-nom jedinicom; b) pravac vektora (u fizici se ~esto koriste izrazi napadna linija, lini-ja dejstva) je odre|en pravom (nosa~em vek-tora, osnovom vektora) na kojoj se nalazi vektor; v) smer vektora se ozna~ava strelicom i pokazuje stranu u koju je vektor ori-jentisan; g) po~etak vektora (u fizici se ~esto koristi izraz napadna ta~ka kojim se ozna~ava ta~ka na posmatranom objektu u kojoj deluje vektor). Na pravoj (nosa~u) se mogu razlikovati dva smera kretawa: jedan od wih je pozi-
tivan a drugi je negativan smer. Tako orijentisana prava je osa npr. 'x x (slika 3) kod
koje je pozitivan smer od 'x ka x (pozitivan smer se ~esto obele`ava strelicom).
Slika 3. Algebarska vrednost vektora
Vektoru AB
se mo`e dodeliti broj AB koji se naziva algebarska vrednost
vektora i defini{e se na slede}i na~in:
1) wegova apsolutna vrednost (npr. vektora AB
) je du`ina odse~ka AB izra`ena pomo}u odre|ene jedinice du`ine i
Slika 2. Elementi vektora
2) daje mu se znak " " ili "" prema tome da li se wegov smer podudara sa
pozitivnim ili negativnim smerom nosa~a (na slici 3 je AB= 3 i CD=5). U literaturi se mogu susresti razli~ite oznake za vektor:
a, A
, bc
, BC
, d (bold), D (bold), m (goti~ko bold), M (goti~ko bold) itd. Odgovaraju}e oznake za intenzitet vektora su:
a, A, bc, bc , BC, BC , d, D, m ( goti~ko), M ( goti~ko), a
, A
, bc
, BC
, *d*, *D*(bold), *m*, *M*(goti~ko bold) itd. Pri kori{}ewu oznaka treba razlikovati slede}a zna~ewa:
1) BC
ozna~ava vektor sa po~etkom u ta~ki A i krajem u ta~ki B;
2) BC ozna~ava algebarsku vrednost vektora BC
pri ~emu se pretpostavqa da je wegov nosa~ orijentisan;
3) BC ozna~ava du`inu vektora BC
odnosno aritmeti~ki broj bez znaka. Za vektore se vezuju slede}i pojmovi: a) Ort (jedini~ni vektor ili koordinatni vektor) je vektor jedini~ne du`ine.
Oznake za ortove su: i, j, k; xe , ye , ze (bold) ili x1 , y1 , z1 (bold) odnosno u
op{tem slu~aju: 1e , 2e , 3e (bold); 1e
, 2e
, 3e
;
b) Nadovezani vektori su vektori koji imaju isti nosa~ i kod kojih je krajwa
ta~ka prvog vektora istovremeno i po~etak drugog vektora (npr. vektori AB
i BC
su nadovezani); v) Jednaki vektori (ekvipolentni vektori) su vektori koji imaju isti nosa~, istu du`inu i isti smer. Algebarske vrednosti jednakih vektora su tako|e jednake. Za jednake (ekvipolentne) vektore va`i: 1) refleksivnost : svaki vektor je jednak samom sebi;
2) simetri~nost : Ako je vektor 'E
jednak vektoru E
, tada je i vektor E
jednak vektoru 'E
;
Slika 4. Tranzitivnost jednakih vektora i odnos dva vektora na paralelnim nosa~ima
3) tranzitivnost : Ako je vektor 1D
jednak vektoru 2D
(slika 4a) i ako je
vektor 2D
jednak vektoru 3D
nosa~i vektora 1D
i 3D
su paralelni nosa~u vektora
2D
, pa su paralelni i me|usobno. Vektori 1D
i 3D
su istog smera i du`ine
(intenziteta), jer svaki od wih ima isti smer i du`inu (intenzitet) kao i vektor 2D
.
Na osnovu prethodnog sledi da su vektori 1D
i 3D
jednaki odnosno da va`i
tranzitivnost. Na osnovu prethodnog mo`e se zakqu~iti da je jednakost (ekvipolentnost) vek-tora relacija ekvivalencije. Jednakost deli mno{tvo vektora na klase, od kojih je sva-ka obrazovana od me|usobno jednakih vektora. Vektor koji pripada jednoj klasi nije jednak ni sa kojim vektorom bilo koje druge klase. Tako formirane klase vektora su disjunktna mno{tva. g) Suprotni vektori su vektori koji imaju isti nosa~, istu du`inu i suprotne smerove; d) Kolinearni vektori su vektori koji imaju isti pravac odnosno nosa~;
|) Apscisa ta~ke je algebarska vrednost vektora npr. ON
koji se nalazi na osi na kojoj je izabrani po~etak ta~ka O;
e) Odnos dva vektora (npr. AB
i CD
; slika 4b) na paralelnim nosa~ima je broj:
1) koji ima znak " " ili "" u zavisnosti od toga da li su ta dva vektora istog ili suprotnog smera i 2) ~ija je apsolutna vrednost odnos du`ina ta dva vektora.
Odnos vektora AB
i CD
naj~e{}e se ozna~ava sa: AB
CD
.
`) Nula vektor 0 je vektor kod kojeg se po~etak i kraj vektora poklapaju (ista
su ta~ka). Susre}u se i drugi pojmovi vezani za vektore koji }e se uvoditi u narednim poglavqima.
1.1.4. VRSTE VEKTORA
Posmatrawem vektorskih veli~ina mogu se uo~iti razlike odnosno razlikuje se vi{e vrsta vektora. Na primer neka ~vrsto telo (npr. telefon, slika 5) vr{i translaciju. Pod translacijom se podrazumeva kretawe pri kojem svaka prava ili ravan koja pripada posmatranom telu ostaje sama sebi paralelna tokom kretawa.
Slika 5. Translacija
Translacija se mo`e okarakterisati vektorima pomerawa ta~aka tela koji su iste du`ine, istog pravca i smera. Na osnovu definicije translacije, pomerawe celog
tela kao i wegovih ta~aka potpuno je odre|eno bilo kojim od vektora: 1AA
, 1BB
,
1CC
itd. bez obzira na polo`aje po~etaka vektora. U ovom primeru se po~etak vek-
tora pomerawa ta~ke posmatranog tela mo`e potpuno slobodno birati, a da je pri tome potpuno definisano translatorno pomerawe tela.
Ako se posmatra dejstvo sile F
na ~vrsto telo u ta~ki A (slika 6) mo`e se uo~iti da se dejstvo sile ne mewa ako se napadna ta~ka sile pomeri du` napadne linije sile (npr. iz polo`aja A u polo`aj B). U ovom primeru se po~etak vektora mo`e birati ili mewati ali uz odgovaraju}a ograni~ewa. Za razliku od prethodna dva primera, vektor elektri~ne sile je vezan za po~etnu ta~ku. Ako se promeni polo`aj napadne ta~ke elektri~ne sile, u op{tem slu~aju mewa se i vektor elektri~ne sile i po intenzitetu i po pravcu i po smeru . U ovom primeru se po~etak vektora ne mo`e slobodno birati ili mewati.
Slika 6. Pomerawe napadne ta~ke sile du` napadne linije sile
Za svaki vektor su zna~ajni: intenzitet, pravac (sve paralelne prave defini{u isti pravac) i smer. Zna~aj po~etka vektora zavisi od osobina vektorske veli~ine koja se posmatra, pa se razlikuju slede} tipovi vektora: 1) Slobodan vektor (naj~e{}e se naziva samo vektor) je vektor ~iji intenzitet, pravac i smer ne zavise od polo`aja po~etne ta~ke (npr. vektor translacije). Za slobodne vektore se ka`e da su jednaki ako imaju: iste intenzitete, iste smerove i iste ili paralelne pravce bez obzira na polo`aj po~etne ta~ke. Slobodni jednaki vektori se uvek mogu dovesti do poklapawa paralelnim pomerawem (slika 7).
Slika 7. Dovo|ewe slobodnih jednakih vektora do poklapawa paralelnim pomerawem
2) Vektor vezan za pravu je vektor ~iji intenzitet i smer zavise od polo`aja nosa~a vektora pri ~emu po~etna ta~ka vektora mo`e biti bilo koja ta~ka nosa~a vek-
tora (npr. vektor sile koja deluje na ~vrsto telo). Za dva vektora vezana za pravu A
i
B
ka`e se da su jednaki ako su im jednaki intenziteti i smerovi i ako su na istom nosa~u (slika 8). Po~etak vektora vezanog za pravu mo`e se pomerati du` nosa~a vektora, a da se dejstvo vektora pri tome ne mewa.
3) Vektor vezan za ta~ku je vektor ~iji intenzitet, pravac i smer zavise od polo`aja po~etne ta~ke (npr. vektor elektri~ne sile). Za dva vektora vezana za ta~ku
A
i B
ka`e se da su jednaki ako su im jednaki: intenziteti, pravci i smerovi i ako imaju istu po~etnu ta~ku. Iz prethodnog se mo`e zakqu~iti da su dva vektora vezana za ta~ku jednaka samo ako se poklapaju. Pojam vezanog i slobodnog vektora mo`e se uvoditi u vektorski ra~un i na sle-de}i na~in.
Slika 9. Uvo|ewe pojma vezanog i slobodnog vektora Neka su u prostoru date dve razli~ite ta~ke A i B koje odre|uju du` AB. Ako se odredi da je ta~ka A po~etna ta~ka a ta~ka B krajwa ta~ka, onda se uvodi ori-jentacija na du`i AB od ta~ke A ka ta~ki B. U ovom slu~aju mo`e se govoriti o ure-|enom paru (A,B) koji se naziva vezani vektor (slika 9a). U skupu ure|enih parova ta~aka prostora mo`e se definisati binarna relacija ekvivalencije na slede}i na~in (slika 9b):
1) Za A B ili C D sledi ( , ) ( , ) A B C D A B i C D ;
2) Ako je A B i C D , tada je ( , ) ( , ) A B C D du` AB paralelna, po-
dudarna i isto orijentisana kao du` CD, odnosno ta~ke B i D su sa iste strane prave AC.
Slika 8. Dva jednaka vektora vezana za pravu
Slobodani vektori (vektori) su klase ekvivalencije u odnosu na binarnu relaciju . Uobi~ajeno je da se pod vektorom podrazumeva slobodan vektor ako nije
druga~ije nagla{eno.
1.1.5. PROJEKCIJA VEKTORA
Razlikuju se: a) projekcija vektora na pravu (normalna i paralelna), b) projekcija vektora na osu i v) projekcija vektora na ravan.
Normalna projekcija vektora AB
na pravu p je vektor 1 1A B
koji spaja
podno`ja normala spu{tenih iz po~etne i krajwe ta~ke vektora AB
na pravu p (slika 10). Projekcija vektora na pravu je tako|e vektor koji je mawi ili je u krajwem slu-~aju jednak posmatranom vektoru. Projekcije vektora na paralelne prave su jednake odnosno projekcija vektora zavisi od pravca na koji se vektor projektuje.
Slika 10. Normalna projekcija vektora na pravu U op{tem slu~aju mo`e se definisati paralelna projekcija vektora na datu
pravu. Neka se kroz po~etnu i krajwu ta~ku vektora AB
provuku ravni 1R i 2R koje
su paralelne ravni R . Mogu se uo~iti preseci ravni 1R i 2R sa pravom p , ta~ke
2A i 2B . Vektor 2 2A B
(slika 11) koji ima po~etnu ta~ku 2A i krajwu ta~ku 2B
naziva se paralelna projekcija vektora AB
na pravu p .
Slika 11. Paralelna projekcija vektora na pravu
Naj~e{}e se pod projekcijom vektora podrazumeva normalna projekcija vektora na pravu ako druga~ije nije nagla{eno.
Projekcija vektora AB
na neku osu 0r je du`ina projekcije (skalar) tog vek-tora na pravu ose ili na bilo koju woj paralelnu pravu sa odre|enim znakom. Projekcija vektora je pozitivna ako je smer projekcije isti kao i smer ose, a projekcija vektora je negativna ako je smer projekcije suprotan u odnosu na
smer ose. U primeru na slici 12 je 1 1A B
pozitivna projekcija vektora na osu 0r , a
1 1C D je negativna projekcija vektora na
osu 0r . Ako se povu~e prava paralelna sa
datom osom kroz po~etak vektora AB
,
onda je 2 1 1AB A B , pa iz trougla
2ABB sledi:
1 1 cosA B AB (1.1.1)
U izrazu (1.1.1) je ugao koji vektor AB
obrazuje sa osom 0r .
Ako je ugao / 2 kao ugao u slu~aju vektora CD
(slika 12) onda, na
osnovu jednakosti 2 1 1CD C D , iz trougla 2CDD sledi :
1 1 cos( ) cosC D CD CD (1.1.2)
U op{tem slu~ju va`i: Projekcija vektora na ma koju osu je skalarna veli~ina koja je jednaka proiz-vodu intenziteta vektora i kosinusa ugla koji vektor zaklapa sa tom osom.
Projekcija vektora AB
na neku ravan R je vektor 1 1A B
koji ima po~etak u
projekciji po~etka A vektora AB
na ravan R , a kraj u projekciji kraja B vektora na ravan R (slika 13).
Slika 12. Projekcija vektora na osu
Slika 13. Projekcija vektora na ravan
Mo`e se zakqu~iti da su projekcije vektora na pravu i ravan vektorske veli~ine, a projekcija vektora na osu je skalarna veli~ina.
1.1.6. UGAO DVA VEKTORA
Ugao dva vektora A
i B
u ravni je ugao ( , )A B
(slika 14) za koji treba
zaokrenuti prvi vektor A
u direktnom (pozitivnom) smeru da bi pre{ao u polo`aj
drugog vektora B
. Pod direktnim smerom obrtawa podrazumeva se smer suprotan smeru kretawa
kazaqke na ~asovniku. Prelaz vektora A
u polo`aj vektora B
direktnim smerom
obrtawa odre|uju se, osim ugla , i svi uglovi 2 k gde je k ceo broj. Vekto-
ri A
i B
imaju isti polo`aj posle obrtawa za i nakon toga posle celog broja pu-
nih obrtaja. Ako se A
i B
zamene i obrtawe se vr{i u indirektnom smeru, onda ugao
mewa znak:
( , ) ( , )B A A B
; (1.1.3)
Ukoliko se mo`e odrediti samo kosinus ugla dva vektora, kao ugao dva vektora dovoqno je smatrati ugao koji odgovara prelazu jednog vektora u polo`aj drugog vektora najkra}im putem (bez obzira na smer), jer kosinus odre|uje samo apsolutnu vrednost ugla:
cos cos( ) ; (1.1.4)
Svaka osa (orijentisana prava) je po pravcu i smeru odre|ena ortom. Ugao koji neki vektor obrazuje sa datom osom je ugao izme|u orta te ose i vektora.
Ugao koji obrazuju dva vektora A
i B
u prostoru ( , )A B
je ugao koji
odgovara prelazu jednog vektora A
direktnim putem u polo`aj drugog vektora B
. Ako ravan u prostoru nije orijentisana ne mo`e se jednozna~no odrediti ugao koji obrazuju dva vektora u prostoru. Da bi se izbegao problem koji se javqa zbog toga {to ravan u prostoru ima dve strane (pa se postavqa pitawe u odnosu na koju stranu se posmatra vektor), vr{i se orijentacija ravni. Orijentisati ravan zna~i povu}i iz neke wene ta~ke ort normalan na ravan sa smerom na jednu stranu ravni. Kao pozitivna strana (lice) ravni smatra se strana koja odgovara delu prostora u koji je usmeren ort. Strana suprotna pozitivnoj strani naziva se negativna strana ravni (nali~je). Nakon orijentacije ravni ugao koji obrazuju dva vektora u prostoru mo`e se jednozna~no odrediti. Ako se gleda u lice ravni ugao je pozitivan ako se obrtawe vr{i u direktnom smeru, a ako se gleda u nali~je ravni ugao je pozitivan ako se obrtawe vr{i u indirektnom smeru (na ovaj na~in se odre|uje i znak ugla u prostoru). Ako se mo`e odrediti samo kosinus ugla koji ~ine dva vektora u prostoru, onda se kao ugao izme|u vektora u prostoru smatra ugao koji odgovara najkra}em prelazu iz polo`aja jednog vektora u polo`aj drugog vektora bez obzira na smer (uvek se u ovom
slu~aju ugao mo`e smatrati pozitivnim i birati tako da mu je veli~ina izme|u 0 i
/ 2 ).
Slika 14. Ugao dva vektora
Ugao izme|u dve ose (orijentisane prave) dobija se kada se posmatra ugao izme|u dva vektora od kojih je svaki od wih paralelan po jednoj osi i ima isti smer kao i ta osa.
Veli~ina ugla izme|u vektora A
i B
u ravni mo`e se odrediti i ra~unski pomo}u izraza:
2 2 2 2
cos A B A B
A A B B
X X Y Y
X Y X Y
; (1.1.5)
U izrazu (1.1.5) su ,A AX Y i ,B BX Y veli~ine normalnih projekcija vektora A
i B
(pogledati poglavqe 1.1.5.) na koordinatne ose x i y Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema. Izraz (1.1.5) se dobija posredstvom skalarnog proizvoda vektora
A
i B
koji }e se definisati u narednim poglavqima.
Veli~ina ugla izme|u vektora A
i B
u prostoru mo`e se odrediti ra~unski pomo}u izraza:
2 2 2 2 2 2
cos A B A B A B
A A A B B B
X X Y Y Z Z
X Y Z X Y Z
; (1.1.6)
U izrazu (1.1.6) su , ,A A AX Y Z i , ,B B BX Y Z veli~ine normalnih projekcija
vektora A
i B
(pogledati poglavqe 1.1.5.) na koordinatne ose x, y i z Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema. Izraz (1.1.6) se tako|e dobija posredstvom skalarnog
proizvoda vektora A
i B
.
1.1.7. ANALITI^KO ODRE\IVAWE VEKTORA
Svaki vektor je u potpunosti odre|en sa dve ta~ke: po~etkom vektora i krajem vektora. Kao po~etak vektora mo`e se izabrati bilo koja ta~ka prostora, jer se po~e-tak vektora mo`e preneti paralelnim pomerawem u bilo koju ta~ku prostora. Neka je po~etak vektora koordinatni po~etak nekog koordinatnog sistema. U ovom slu~aju vektor je u potpunosti odre|en polo`ajem svog kraja. Kraj vektora (kao i bilo koja druga ta~ka) je u prostoru odre|en sa tri broja koja se nazivaju koordinate. Koordinate zavise od izbora koordinatnog sistema.
Koordinate vektora su brojevi koji odre|uju vektor u odnosu na neki koor-dinatni sistem.
1.1.7.1. KOORDINATNI SISTEMI Koordinatni sistem je na~in na koji se uvode izvesni brojevi pomo}u kojih se metodom koordinata u potpunosti odre|uje polo`aj ta~ke u prostoru. Postoji vi{e razli~itih koordinatnih sistema. Pri definisawu vektora bira se onaj koordinatni sistem koji je u konkretnom problemu najpogodniji. Naj~e{}e se koriste slede}i koor-dinatni sistemi: a) Dekartov pravougli koordinatni sistem Ovaj koordinatni sistem ~ine tri me|usobno normalne orijentisane prave (ose) koje prolaze kroz istu nepomi~nu ta~ku O i ne le`e u istoj ravni. Ose Ox (apscisa),
Oy (ordinata) i Oz (aplikata ili kota) se nazivaju koordinatne ose, a ta~ka O se
naziva koordinatni po~etak. Prema orijentaciji koordinatnih osa razlikuju se: levi pravougli koordinatni sistem (sa levim triedrom kao osnovom; slika 15a) i desni pravougli koordinatni sistem (sa desnim triedrom kao osnovom; slika 15b). Naj~e{}e se koristi desni pravougli koordinatni sistem.
Slika 15. Levi i desni pravougli koordinatni sistem Dve koordinatne ose obrazuju koordinatnu ravan, pa se tako razlikuju ravni: xOy , xOz i yOz . Koordinatne ravni dele prostor na osam triedara.
Polo`aj neke ta~ke N u prostoru, u odnosu na dati koordinatni sistem Oxyz ,
odre|en je sa tri koordinate (tri realna broja): x , y i z odnosno:
Ta~ki N u prostoru odgovara jedan sistem od tri realna broja x , y i z i obrnuto svakoj trojki ( x , y , z ) formiranoj od tri elementa skupa realnih brojeva, u odre|enom poretku, odgovara samo jedna ta~ka u prostoru. Uvedena konvencija uspostavqa biunivoknu korespodenciju izme|u bilo koje ta~ke, npr. M, u prostoru i trojke realnih brojeva ( x , y , z ). Elementi trojki moraju
biti uzeti u odre|enom poretku. Prvo se uzima apscisa, zatim ordinata i na kraju aplikata odnosno kota. Polo`aj neke ta~ke M u ravni, u odnosu na dati koordinatni sistem npr. xOy ,
odre|en je sa dve koordinate (dva realna broja): x i y odnosno:
Ta~ki M u ravni odgovara jedan sistem od dva realna broja x i y i obrnuto svakoj dvojki ( x , y ) formiranoj od dva elementa skupa realnih brojeva, u odre|enom poretku, odgovara samo jedna ta~ka u ravni. U op{tem slu~aju za definisawe vektora u prostoru potrebne su: tri koor-dinate za odre|ivawe po~etka vektora (ako on nije u koordinatnom po~etku) i tri ko-ordinate za odre|ivawe kraja vektora. Ove koordinate se dobijaju normalnim pro-jektovawem ta~ke na koordinatne ose (poglavqe 1.1.5.).
b) Kosougli koordinatni sistem Ovaj koordinatni sistem (slika 16) ~ine tri orijentisane prave (ose) koje prolaze kroz istu nepomi~nu ta~ku (npr. ta~ku O ), ne le`e u istoj ravni i me|usobno ob-razuju izvesne uglove (koji ne moraju biti pravi). Ose O , O i
O se nazivaju koordinatne ose, a
ta~ka O se naziva koordinatni po-~etak. I u ovom koordinatnom sistemu je ta~ka odre|ena sa tri koordinate (tri realna broja): ,
i . Ove koordinate se dobijaju paralelnim projektovawem ta~ke na koordinatne ose. v) Polarno cilindri~ni koordinatni sistem U polarno cilindri~nom ko-ordinatnom sistemu (slika 17) po-lo`aj ta~ke je odre|en mernim brojevima: potega r , ugla i kote z . Veza izme|u Dekartovih pravo-uglih koordinata i polarno cilin-dri~nih koordinata data je izrazi-ma:
cossin
x r
y r
z z
(1.1.7)
g) Sferni koordinatni sistem Polo`aj ta~ke u prostoru u sfernom koordinatnom sistemu (slika 18) je odre|en: polarnim potegom i uglovima i (ili ). Veza izme|u Dekartovih pravo-uglih koordinata i sfernih koor-dinata data je izrazima:
cos cossin cossin
x
y
z
(1.1.8)
Veza izme|u polarno cilindri~nih koordinata i sfernih koordinata data je izrazima:
Slika 16. Kosougli koordinatni sistem
Slika 17. Polarno cilindri~ni koordinatni sistem
Slika 18. Sferni koordinatni sistem
cos
sin
r
z
(1.1.9)
1.1.7.2. ANALITI^KO PREDSTAVQAWE VEKTORA
Neka se posmatra vektor AB A
i Dekartov pravougli koordinatni sistem u
prostoru Oxyz i neka se po~etak vektora A
ne nalazi u koordinatnom po~etku O
(slika 19). U ovom slu~aju normalne projekcije vektora A
na koordinatne ose su:
x B Aa x x , y B Aa y y i z B Aa z z . (1.1.10)
U izrazima (1.1.10) su: Ax , Ay i Az koordinate ta~ke A , a Bx , By i Bz
koordinate ta~ke B . Brojevi xa , ya i za u potpunosti odre|uju vektor A
i jednaki
su koordinatama kraja vektora A
kada se vektor A
dovede u koordinatni po~etak.
Neka vektor A
~ini sa koor-dinatnim osama uglove:
( , )
( , )
( , )
x A
y A
z A
(1.1.11)
i neka se intenzitet vektora A
oz-na~i sa a . Na osnovu definicije projekcije vektora na osu (poglavqe 1.1.5.) dobijaju se slede}i izrazi:
coscos
cos
x
y
z
a a
a a
a a
(1.1.12)
Kvadrirawem i sabirawem izraza (1.1.12) dobija se intenzitet
vektora A
:
2 2 2x y za a a a . (1.1.13)
jer je: 2 2 2 2 2 2 2 2 2(cos cos cos ) 1x y za a a a a a . Pred kvadratnim ko-
renom se uzima samo pozitivan znak, jer je intenzitet vektora pozitivan. Na osnovu izraza (1.1.12) mogu se dobiti kosinusi uglova, a posredstvom wih mo-
gu se odrediti i pravac i smer vektora A
:
cos xa
a , cos ya
a i cos za
a . (1.1.14)
Slika 19. Analiti~ko predstavqawe vektora
Mo`e se zakqu~iti da je svaki vektor odre|en sa tri koordinate (tri realna broja) u odnosu na Dekartov pravougli triedar. Da bi se znalo kojoj osi odgovara koji realan broj (odnosno koordinata), brojevi se uvek pi{u po utvr|enom redosledu. Prvi broj odgovara x koordinatnoj osi, drugi broj odgovara y koordinatnoj osi, a tre}i
broj odgovara z koordinatnoj osi.
Vektor A
se mo`e definisati analiti~ki, pomo}u pravouglog koordinatnog sistema, kao skup od tri ure|ena broja (tri koordinate u odnosu na taj sistem). Ovako
analiti~ki definisan vektor A
se zapisuje na slede}i na~in:
, ,x y zA a a a
. (1.1.15)
Jedina prednost ovakvog definisawa vektora u odnosu na prethodno (poglavqe 1.1.3.) je {to se mo`e uop{titi i na prostor od n dimenzija. Analiti~ka definicija
vektora A
u prostoru od n dimenzija zapisuje se izrazom:
1 2 3, , ,..., nA a a a a
. (1.1.15)
Ako se vektor posmatra u nekoj ravni, onda je on u toj ravni odre|en sa dva broja, sa dve koordinate u odnosu na neki koordinatni sistem u ravni. Kada vektor le`i na nekoj osi, on je odre|en sa jednim pozitivnim ili negativnim brojem, prema tome, da li su vektor i osa istog ili suprotnog smera. Ovaj broj u prethodnom slu~aju naziva se i algebarska vrednost vektora (poglavqe 1.1.5.).
1.1.7.3. OSNOVNI ORTOVI I VEKTOR POLO@AJA
Sve ose su po pravcu i smeru odre|ene ortom (jedini~nim vekto-rom). Npr. na slici 20 osa u je od-
re|ena ortom 0u
.
Neka su projekcije orta 0u
na ose Dekartovog pravouglog koor-
dinatnog sistema: 1u , 2u i 3u . Ako
se primeni izraz 1.1.13, dobija se:
2 2 2 20 1 2 3 1u u u u ; (1.1.16)
U izrazu (1.1.16) je 20 1u ,
jer je 0u
jedini~ni vektor.
Projekcije 1u , 2u i 3u su jednake kosinusima uglova , i koje ort gradi
sa osama Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema:
11
0
cos uu
u , 2
20
cos uu
u i 3
30
cos uu
u ; (1.1.17)
Na osnovu izraza (1.1.16) i (1.1.17) mo`e se zakqu~iti da su samo dve projekcije orta nezavisne, odnosno da je pravac i smer svake ose odre|en sa dva broja.
Slika 20. Ort proizvoqne ose
Svaki koordinatni sistem je u potpunosti odre|en ako je dat koordinatni po-
~etak i tri orta 1e
, 2e
, 3e
koji odre|uju koordinatne ose. Ovi ortovi se nazivaju
osnovni ortovi odnosno:
Osnovni ortovi 1e
, 2e
, 3e
su ortovi koji odre|uju koordinatne ose posmatranog koordinatnog sis-tema. U slu~aju Dekartovog pravo-uglog koordinatnog sistema osnovni
ortovi se obele`avaju sa: i, j i k
(slika 21). Koordinate ortova i, j
i k u odnosu na triedar koji odre-
|uju date su izrazima:
1,0,0
0,1,0
0,0,1
i
j
k
(1.1.18)
Polo`aj ta~ke A u prostoru, u odnosu na neki koordinatni sistem, mo`e se od-
rediti i vektorom r (umesto sa tri broja) koji ima po~etak u koordinatnom po~etku
O a kraj u posmatranoj ta~ki A. Ovako definisan vektor naziva se vektor polo`aja
r u odnosu na koordinatni po~etak O (slika 22a).
U op{tem slu~aju polo`aj ta~ke A u prostoru, u odnosu na neki odre|eni pol,
npr. O, mo`e se odrediti vektorom r koji ima po~etak u posmatranom polu O a kraj u
posmatranoj ta~ki A.
Vektor polo`aja r u odnosu na odre|eni pol O je vektor koji ima po~etak u
posmatranom polu O a kraj u posmatranoj ta~ki A (slika 22b).
Slika 21. Osnovni ortovi Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema
Slika 22. Vektor polo`aja