VektoriVektoriVektoriVektori

Sadržaj:

−−−− Operacije s vektorima (ponavljanje srednjoškolskog gradiva)

−−−− Koordinatni sustavi i kanonska baza

−−−− Skalarni umnožak

−−−− Vektorski umnožak

−−−− Mješoviti umnožak

−−−− Dvostruki umnožak

U fizikalnom svijetu lako ćemo prepoznati mnoge veličine čija se vrijednost izrazava brojem. To su primjerice duljina, površina, volumen, temperatura, tlak, masa, kinetička energija, specifična gustoća... Njih nazivamo skalarnim veličinama. Meñutim, neke se veličine ne mogu opisati samo brojem. Tako vjetar opisujemo njegovom jačinom (brzinom gibanja zraka), ali i smjerom . Brzina je fizikalna veličina koja uz svoj iznos mora imati definiran i smjer . Isto će vrijediti i za ubrzanje, silu, moment sile, iznos električnog ili magnetskog polja itd.

Usmjerena dužinaUsmjerena dužinaUsmjerena dužinaUsmjerena dužina

Usmjerena duUsmjerena duUsmjerena duUsmjerena dužžžžinainainaina AB je dužina za koju se zna po četna to čka A i završna točka B.

Dvije usmjerene dužine AB i CD su jednakejednakejednakejednake (pišemo: AB = CD), ako i samo ako su im po četna i krajnja to čka iste, odnosno A=C i B=D.

Usmjerenu dužinu AB karakteriziraju tri podatka:

1. duljina od AB, u oznaci |AB|, definira se kao udaljenost t očaka A i B;

2. nosač od AB, u oznaci s AB, definira se kao pravac povu čen kroz to čke A i B;

3. orijentacija od AB, definiran kao relativan pojam na jednom prav cu (npr. AB i BA su suprotno orijentirane).

Dvije usmjerene dužine AB i CD su ekvivalentneekvivalentneekvivalentneekvivalentne (AB ≅≅≅≅CD), ako postoji translacija koja prevodi jednu u drugu, tj. ako je četverokut ABDC paralelogram.

A

B

sAB A B

Definicija vektoraDefinicija vektoraDefinicija vektoraDefinicija vektora

Sve meñusobno ekvivalentSve meñusobno ekvivalentSve meñusobno ekvivalentSve meñusobno ekvivalentne ne ne ne usmjerene usmjerene usmjerene usmjerene dužine nazivamo vektoromdužine nazivamo vektoromdužine nazivamo vektoromdužine nazivamo vektorom (od lat. vector – nositelj ), tj. vektor a

r čini skup svih usmjerenih dužina jednake

duljine, paralelnog smjera i iste orijentacije. Po jedinu dužinu iz tog skupa nazivamo reprezentantom (predstavnikom) vektora .

ZZZZapis vektoraapis vektoraapis vektoraapis vektora.... Vektor se naj češće označava slovom iznad kojeg je postavljena strjelica: a

r. U novije doba je, pogotovo u knjigama, uobi čajeno

vektore pisati masnim slovima, ovako: aaaa, bbbb, xxxx i sli čno, pa ćemo to i mi koristiti.

Po dogovoru, pisati ćemo i aaaa = AB , poistovje čujući vektor s nekim njegovim reprezentantom. Vektor ne ovisi o izboru reprezentanta , dvije ekvivalentne usmjerene dužine predstavljaju isti vektor.

Opis vektoraOpis vektoraOpis vektoraOpis vektora. . . . Vektor u ravnini ili prostoru opisan je ukoliko se z naju sljede ća tri podatka:

1. duljinaduljinaduljinaduljina vektora, u oznaci | aaaa|, je duljina njegovog reprezentanta |AB|;

2. nosačnosačnosačnosač vektora, je pravac na kojem se vektor nalazi;

3. orijentacijaorijentacijaorijentacijaorijentacija na tom pravcu.

Prema tome, usmjerene dužine koje leže na paralelnim (mogu će istovjetnom) pravcima, i imaju istu orijentaciju i jednaku duljinu definiraju isti vektordefiniraju isti vektordefiniraju isti vektordefiniraju isti vektor. Ponekad je pogodnije govoriti o smjeru vektorasmjeru vektorasmjeru vektorasmjeru vektora. Smjer Smjer Smjer Smjer objedinjuje pojmove nosača i orijentacije. Tako kažemo da je vektor odre ñen smjerom i iznosom .

NulNulNulNul----vektor.vektor.vektor.vektor. Nul vektor se definira kao vektor duljine 0. Ozna čavamo ga s 0000. Tako je 0000 = AA , za bilo koju to čku A. Jedino kod nul-vektora nema smisla govoriti niti o nosa ču, niti o smjeru.

Skup svih vektora označavat ćemo slovom Skup svih vektora označavat ćemo slovom Skup svih vektora označavat ćemo slovom Skup svih vektora označavat ćemo slovom VVVV. Ukoliko bude potrebno pojasniti, V2 će predstavljati sve vektore ravnine, a V3 vektore u prostoru.

RadijRadijRadijRadij----vektor.vektor.vektor.vektor. Istaknimo jednu to čku u prostoru i ozna čimo ju slovom O. Moguće je za svaki vektor izabrati njegova reprezentanta ta ko da mu po četna točka bude baš ta to čka O.

Vektor OT nazivat ćemo tad radij-vektor točke T u prostoru.

Kažemo da su vektori aaaa i bbbb su kolinearnikolinearnikolinearnikolinearni ako leže na istom ili paralelnim pravcima. Ako su vektori a i b kolinearni, možemo odb rati to čke O, A i B koje leže na istom pravcu takve da je aaaa = OA, b b b b = OB.

Kažemo da su vektori aaaa i bbbb imaju istu orijentacijuistu orijentacijuistu orijentacijuistu orijentaciju ako se to čke A i B nalaze s iste strane to čke O. Vektori aaaa i bbbb imaju suprotnu orijentacijusuprotnu orijentacijusuprotnu orijentacijusuprotnu orijentaciju ako se to čke A i B nalaze s razli čitih strana to čke O.

Operacije s vektorimaOperacije s vektorimaOperacije s vektorimaOperacije s vektorima

Zbrajanje vektora.Zbrajanje vektora.Zbrajanje vektora.Zbrajanje vektora. Neka su aaaa, bbbb bilo kakvi vektori, AB bilo koji predstavnik vektora aaaa te BC predstavnik vektora b b b b s početkom u to čki B. Tad je zbroj vektora a + ba + ba + ba + b odreden predstavnikom AC. Dakle,

AB + BC = AC.

VP4: Zbrajanje po

pravilu paralelograma

VP1: Zbrajanje je asocijativno

Zbrajanje po pravilu trokuta

Dakle, vektore zbrajamo tako da po četak drugog izaberemo u završnoj to čki prvoga vektora. Ova operacija ima sljede ća svojstva:

VP1 (aaaa + bbbb) + cccc = aaaa + (bbbb + cccc), zbrajanje je asocijativno VP2 aaaa + 0000 = 0000 + aaaa = aaaa, 0000 je neutralni element za zbajanje VP3 (∀∀∀∀aaaa ∈∈∈∈ V)( ∃∃∃∃ aaaa′′′′ ∈∈∈∈ V) a a a a + aaaa′′′′= aaaa′′′′ + aaaa = 0000, postoji suprotan vektor aaaa′′′′::::= ----aaaa VP4 aaaa + bbbb = bbbb + aaaa zbrajanje je komutativno

Svojstvo VP 1 kaze da je zbrajanje asocijativno: nebitno je koji m se redom zbrajaju tri vektora. Dakako da identi čan zaklju čak (koristeci princip indukcije) vrijedi i za zbroj više od tri vektora. VP 3 kaze da za svaki vektor iz V možemo prona ći njemu suprotan vektor aaaa′′′′, koji u zbroju s aaaa daje nul-vektor. Zaista, ako je aaaa prikazan usmjerenom duzinom AB , tad je njemu suprotan defin iran sa a' a' a' a' = BA , posto je po definiciji zbrajanja AB + BA = AA = 0000 . Svojstvo VP 4 pokazuje da je zbrajanje vektora komutativno: svejednoje zbrajamo li prvi ve ktar s drugim ili drugi s prvim. Na tom se svojstvu zasniva definicija zbrajanja pom oću pravila paralelograma.

Oduzimanje vektora.... Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja sa suprotnim vektorom:

aaaa −−−− bbbb = a = a = a = a ++++ ( ( ( (----b)b)b)b)

Grafički vektore najlakse oduzimamo tako da im izaberemo rep rezentante sa zajedni čkim hvatistem. Tada vrijedi:

AB −−−− AC = CB.

Dva se vektora oduzimaju tako da se dovedu u zajedni čko hvatište. Razlici odgovara vektor kome je hvatište u završetku drugog a završetak u završetku prvog vektora.

Množenje vektora skalarom.... To je operacija ••••: R ××××V →→→→ V definirana na sljede ći način: za realni broj λλλλ vektor λλλλ •••• aaaa ima

• duljinu ||||λλλλ aaaa |||| = ||||λλλλ |||| ||||a|a|a|a|, • nosač identi čan nosa ču od aaaa, • orijentacija istu kao aaaaako je λλλλ > 0, a suprotnu ako je λλλλ < 0.

U zapisu množenja vektora sa skalarom obi čno izostavljamo znak •, te pišemo

kratko λλλλa, 2AB i sli čno.

To množenje ima sljedeća svojstva:

VP5 λλλλ(aaaa + bbbb) = λλλλaaaa + λλλλbbbb, VP6 (λλλλ + µµµµ)aaaa = λλλλaaaa + µµµµaaaa, VP7 (λλλλ µµµµ)aaaa = λλλλ(µµµµaaaa).

Istaknimo (zbog potpunosti ovog popisa) i sljede će očito svojstvo: VP8 1 • aaaa = aaaa.

Primijetimo da je ( -1) a = -a (suprotan vektor). Pos ebno definiramo množenje s nul- vektorom: λλλλ • 0000 := 0000.

JediniJediniJediniJediniččččni vektor.ni vektor.ni vektor.ni vektor. Neka je aaaa ≠≠≠≠ 0000 zadani vektor. S ââââ označavamo jedini čni vektor vektora a a a a. To je vektor koji ima isti smjer kao i aaaa, a duljina mu je 1. Dobijemo ga tako da vektor podijelimo s njegovom dul jinom:

aa

a r

r

=ˆ .

Ova slika opravdava svojstvo VP 5 . Nacrtaj odgovaraju će skice za svojstva VP 6 i VP7.

VVVV3333 je vektorski prostor je vektorski prostor je vektorski prostor je vektorski prostor

Svaki skup na kojemu se definirane dvije operacije: z brajanje vektora i množenje vektora sa skalarom tako da su zadovoljena s vojstva VP1 - VP8 naziva se vektorski prostor. Ovim smo provjerili da V3 smijemo nazivati vektorski prostor . Jednako tako su vektorski prostori i skupovi V1 vektora na pravcu i V2 vektora u ravnini.

Linearna nezavisnost vektora.Linearna nezavisnost vektora.Linearna nezavisnost vektora.Linearna nezavisnost vektora. Vektori aaaa1111, aaaa2222,..., aaaan su linearno nezavisni ako iz jednakosti

λλλλ1aaaa1111+ λλλλ2aaaa2222 + ... + λλλλnaaaan = 0

nužno slijedi λλλλ1 = λλλλ2 = ... = λλλλn = 0.

Dimenzija i baza prostoraDimenzija i baza prostoraDimenzija i baza prostoraDimenzija i baza prostora.... Najveći broj linearno nezavisnih vektora u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostora .

Ako je n dimenzija prostora V tad svaki skup a a a a1111,,,, a a a a2222,...,,...,,...,,...,aaaan od n linearno nezavisnih vektora nazivamo bazom vektorskog prostora .

Prostor V3 trodimenzionalni je prostor. Njegovu bazu čine bilo koja tri

nekomplanarna vektora. Vrijedi sljede ća tvrdnja:

Neka su aaaa1111, a a a a2222, aaaa3333 linearno nezavisni vektori u V3. Tada je prikaz vektora aaaa ∈∈∈∈ V3

u obliku

aaaa = λ1 aaaa1111 + λ2 aaaa2222 + λ3 aaaa3333

jednozna čan, tj. skalari λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3 su jednozna čno odre ñeni.

Zato je V 3 = { a a a a = λ1 aaaa1111 + λ2 aaaa2222 + λ3 aaaa3333: λλλλ1, λλλλ2, λλλλ3 ∈∈∈∈ R}.

Slično vrijedi i za prostore V 1 i V2.

Koordinatni sustavi i kanonska bazaKoordinatni sustavi i kanonska bazaKoordinatni sustavi i kanonska bazaKoordinatni sustavi i kanonska baza

Koordinatni sustav u ravnini.Koordinatni sustav u ravnini.Koordinatni sustav u ravnini.Koordinatni sustav u ravnini. Neka su aaaa1111i aaaa2222 dva nekolinearna vektora u ravnini sa zajedni čkim hvatistem u to čki O. Točku O nazivat ćemo ishodistem koordinatnog sustava. Trojku ( O, aaaa1111, a a a a2222) nazivamo koordinatni sustav u ravnini. Vektori aaaa1111 i aaaa2222 odreduju dvije koordinatne osi. Svakoj to čki T u toj ravnini jednozna čno odgovara radij-vektor OT . Njega pak možemo rastaviti po bazi aaaa1111, aaaa2222 i vrijedi

OT = x1 a a a a1111 + x2 a a a a2222.

Time je polozaj to čke T opisan parom skalara ( x1, x2) . Njih nazivamo koordinate to čke T u sustavu (O, aaaa1111, a a a a2222).

Koordinatni sustav u prostoru.Koordinatni sustav u prostoru.Koordinatni sustav u prostoru.Koordinatni sustav u prostoru. Neka je O istaknuta to čka u prostoru. Ana-logno gornjem, svaka tri nekomplanarna (= linearno nez avisna!) vektora aaaa1111,aaaa2222, aaaa3 3 3 3 odreduju koordinatni sustav (O; aaaa1111,aaaa2222,aaaa3333).

Kanonska baza. Meñu svim mogu ćim bazama prostora V3 izdvojit ćemo jednu naročito podesnu za prikazivanje vektora.

Kartezijev pravokutni koordinatni sustav čine tri medusobno okomite osi:

• Ox — os apscisa,

• Oy — os ordinata,

• Oz — os aplikata.

(x,0,0)

(x,0,z)

(x,y,0)

(0,y,z)

(0,y,0)

(0,0,z)

T(x,y,z)

Zajedni čka točka O ovih osi je ishodište koordinatnog sustava. Izdvojim o točku na jedini čnoj udaljenosti od ishodista na svakoj od ove tri os i i pridružimo joj odgovaraju ći radij vektor:

Točki E1 = (1, 0, 0) odgovara radij-vektor iiii = OE1 .

Točki E2 = (0, 1, 0) odgovara radij-vektor jjjj = OE2 .

Točki E3 = (0, 0, 1) odgovara radij-vektor kkkk = OE3 .

KKKKarteziarteziarteziartezijev sustavjev sustavjev sustavjev sustav je zapravo sustav (O; ; ; ; i, j, ki, j, ki, j, ki, j, k) odreden to čkom O i trima vektorima i, j, ki, j, ki, j, ki, j, k. Trojku vektora ( i, j, ki, j, ki, j, ki, j, k) nazivamo kanonska baza prostora V3.

Kako izgleda rastav nekog vektora u toj bazi? Krenimo s radij-vektorom bilo koje to čke T(x, y, z) . Za njega o čevidno vrijedi

OT = xiiii + yjjjj+ zkkkk.

Neka je sada aaaa zadani vektor. Njega tako ñer možemo napisati kao linearnu kombinaciju vektora kanonske baze. Pri tom obi čno koristimo zapis:

aaaa = ax iiii + ay jjjj + az kkkk.

Kako se ra čunaju koeficijenti ax, ay, az? Neka su A(x 1,y 1,z1) i B(x 2,y2,z2) koor-dinate njegove po četne i završne to čke. Taj se vektor može napisati preko radij-vektora tih to čaka na način:

aaaa = OB - OA

= (x2 iiii + y2 jjjj + z2 kkkk) – (x1 iiii + y1 jjjj + z1 kkkk) = (x2 - x1) iiii + (y2 - y1) jjjj + (z2 - z1) kkkk

Prema tome, vrijedi

ax = x2 - x1, ay = y2 - y1, az = z2 - z1.

OOOOrijentacija ravnine i prostorarijentacija ravnine i prostorarijentacija ravnine i prostorarijentacija ravnine i prostora

Opisana konstrukcija kartezijeva sustava nije potpu no precizna. Krenuvši od tri medusobno okomite osi, u mogu ćnosti smo odabrati poredak jedini čnih vektora na njima na dva bitno razli čita načina.

Kako će izgledati orijentacija u prostoru? Prvi vektor i odaberimo na bilo kojoj od koordinatnih osiju, drugi vektor j tako ñer. Sustav ( O; iiii, jjjj) tako dobiven u prostoru nema nikakve orijentacije, nju će odrediti tek izbor tre ćeg vektora.

Za izbor tre ćeg vektora kkkk na trećoj osi ostaju dvije bitno razli čite mogu ćnosti, možemo odabrati jedan od dva me ñusobno suprotna smjera. Dvije razli čite mogu ćnosti izbora vode nas do dva meñusobno razli čito orijentirana sustava. Da bismo ih razlikovali, nazivamo ih imenima: desni i lijevi koordinatni sus tav. Desnim nazivamo onaj kod kojeg vektor iiii gleda u smjeru srednjaka, vektor jjjj u smjeru palca a vektor kkkk u smjeru kažiprsta desne ruke. Alternativno, desni sustav je onaj kod kojeg je ravnina ( O; iiii, jjjj) gledana iz vrha tre ćeg vektora kkkk pozitivno orijentirana.

Ij

k

I j

k

Ta su dva sustava (matemati čki) potpuno ravnopravna. Me ñutim, uobi čajeno je da se sve formule i razmatranja vrse samo u jednom sustav u. Pri tom se dogovorno odabire desni sustavdesni sustavdesni sustavdesni sustav.

Desni sustav Lijevi sustav

Skalarni (ili unutarnji) umnožakSkalarni (ili unutarnji) umnožakSkalarni (ili unutarnji) umnožakSkalarni (ili unutarnji) umnožak

Kut meñu vektorima. Kut meñu vektorima. Kut meñu vektorima. Kut meñu vektorima. Smatra se da jepojam kuta meñu vektorima jasan: to je manji (po apsolutnom iznosu) od dvaju kutova koj i zatvaraju zadana dva vektora (translatirana u zajedni čki po četak). Označavat ćemo ga sa ϕϕϕϕ = ∠∠∠∠(aaaa, bbbb). Prema tome, kut moze poprimiti vrijednost 0 ≤≤≤≤ ϕϕϕϕ ≤≤≤≤ ππππ.

Skalarni umnožakSkalarni umnožakSkalarni umnožakSkalarni umnožak dvaju vektora aaaa i bbbb, u oznaci aaaa• bbbb , je broj (skalar) definiranim na sljede ći način:

aaaa• b b b b = |a||a||a||a| |b||b||b||b| cos ∠∠∠∠(aaaa,bbbb). (1)

ϕϕϕϕ

bbbb

aaaa

Kut me ñu dvama vektorima

Ako je jedan od vektora nul-vektor , tada je njihov skalarni umnožak po definiciji jednak nuli. Ta činjenica, strogo govore ći, ne slijedi iz (1), posto u tom slu čaju ut ϕϕϕϕ medu vektorima nije definiran.

Definicija (1) ima za posljedicu i formulu: | aaaa|2 = aaaa• aaaa .

Takoñer, ukoliko su vektori aaaa i bbbb okomiti , njihov skalarni umnožak aaaa• bbbb = 0, jer je cos ππππ/2 = 0. Obratno, ako je aaaa• bbbb = 0, tada možemo zaklju čiti, da barem jedan od vektora a a a a

ili bbbb jednak nul-vektoru, ili pak kut medu njima iznosi ϕϕϕϕ = ππππ/2, tj. vektori su okomiti.

Projekcija vektProjekcija vektProjekcija vektProjekcija vektora na vektorora na vektorora na vektorora na vektor.... Neka su zadani vektori a a a a = OA i b b b b = OB. Projicirajmo ortogonalno to čku B na pravac OA i oznacimo projekciju s B'. Vektor OB' naziva se (vektorska) projekcija vektora bbbb na vektor aaaa i označava sa bbbbaaaa....

bbbbaaaa aaaa

bbbb

bbbbaaaa = |b||b||b||b| cos ∠∠∠∠(aaaa,bbbb) ââââ

Kako je aaaa • ââââ = |a||a||a||a|, to skalarni umnožak možemo napisati kako slijedi:

aaaa • bbbb = bbbbaaaa • aaaa i aaaa • bbbb = aaaabbbb • bbbb.

Skalarna projekcija vektora na vektor.Skalarna projekcija vektora na vektor.Skalarna projekcija vektora na vektor.Skalarna projekcija vektora na vektor. Skalarnu veli činu (tj. realan broj) |b||b||b||b| cos ∠∠∠∠(aaaa,bbbb) nazivamo skalarna projekcija vektora bbbb na vektor aaaa i označava-

mo sa ππππa(bbbb). Prema tome, skalarni umnožak možemo napisati i n a način:

aaaa • bbbb = |a||a||a||a| ππππa(bbbb)= ππππb(aaaa) |b|. |b|. |b|. |b|.

Na osnovu same definicije mogu će je dokazati sljede ća temeljna svojstva skalarnog umnoška: (S1) pozitivnost: aaaa • a a a a ≥≥≥≥ 0, aaaa • aaaa = 0 ⇔⇔⇔⇔ aaaa = 0,

(S2) homogenost: ( λλλλaaaa) • bbbb = = = = a a a a • (λλλλbbbb) = = = = λλλλ (aaaa • bbbb),

(S3) komutativnost: aaaa • bbbb = = = = bbbb • aaaa,

(S4) distributivnost: a a a a • (bbbb + cccc) = a = a = a = a • bbbb + aaaa • cccc.

Ova svojstva omogu ćavaju nam da izraze sa skalarnim umnoškom ‘sre ñujemo’

na ‘prirodan’ na čin: (2aaaa + bbbb) • (3aaaa - 2bbbb) = (2aaaa) • (3aaaa) + bbbb • (3aaaa) - (2aaaa) • (2bbbb) + bbbb • (-2bbbb)

= 6 aaaa • aaaa + 3 bbbb • aaaa - 4 aaaa • bbbb - 2 bbbb • bbbb

= 6 aaaa • aaaa - aaaa • bbbb - 2 bbbb • bbbb. (Neki su koraci ubrzani!)

Primjer: Dokaži da su dijagonale romba meñusobno okomite.

Rješenje: Označimo vektore stranica i dijagonala romba kao na slici desno. Vrijedi |a||a||a||a| = |bbbb| | | | i eeee = aaaa + bbbb, f f f f = bbbb — aaaa. Zato je eeee • f f f f = (aaaa + bbbb) • (bbbb - aaaa) = aaaa•bbbb – aaaa•aaaa + bbbb•bbbb - bbbb•aaaa

= -|a||a||a||a|2 + |b||b||b||b|2 = 0

i stoga je e e e e okomito na ffff.

SkalarnSkalarnSkalarnSkalarni umnožak u koordinatnom sustavui umnožak u koordinatnom sustavui umnožak u koordinatnom sustavui umnožak u koordinatnom sustavu

Na temelju definicije, u mogu ćnosti smo napraviti tablicu množenja za skalarni umnožak . Neka je i, j, ki, j, ki, j, ki, j, k kanonska baza prostora V3. Kako nju čine medusobno okomiti vektori jedinične duljine, to vrijedi

iiii• i i i i = 1 jjjj• j j j j = 1 kkkk• k k k k = 1

iiii• j j j j = 0 jjjj• k k k k = 0 kkkk• i i i i = 0

Zapišimo te vrijednosti u tablici množenja skalarnog umnoška : • iiii jjjj kkkk

iiii 1 0 0

jjjj 0 1 0

kkkk 0 0 1

Izračunajmo sada kako se ra čuna skalarni umnožak dvaju vektora zadanih svojim komponentama u kanonskoj bazi, koriste ći gornja svojstva.

Skalarni umnožak dvaju vektora

aaaa = axiiii + ayjjjj + azk, k, k, k, bbbb = b xiiii + b y jjjj + b zk,k,k,k, računa se formulom:

aaaa • bbbb = (axiiii + ayjjjj + azkkkk) • (bxiiii + byjjjj + bzkkkk)

= axbxiiii•iiii + axbyiiii•jjjj + axbziiii•kkkk + aybxjjjj•iiii + aybyjjjj•jjjj + aybzjjjj•kkkk

+ azbxkkkk•iiii + azbykkkk•jjjj + azbzkkkk•kkkk = axbx + ayby + azbz.

Duljina vektora.Duljina vektora.Duljina vektora.Duljina vektora. Skalarni produkt vektora sa samim sobom daje kvadrat duljine vektora. Zato je

222zyx aaaa ++=

r.

Kut izmedu vektora.Kut izmedu vektora.Kut izmedu vektora.Kut izmedu vektora. Ako su vektori zadani svojim komponentama, tad smo u mogućnosti izracunati skalarni produkt direktno i pomoću njega kut izmedu dvaju vektora:

.cos222222zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

++++

++== •

babarr

rr

ϕ

Vektorski (ili vanjski)Vektorski (ili vanjski)Vektorski (ili vanjski)Vektorski (ili vanjski) umnožak umnožak umnožak umnožak

Vektorski umnožak dvaju vektora aaaa i bbbb je jedan novi vektor, u oznaci aaaa×××× bbbb, s duljinom i smjerom definiranim na sljede ći način: (E1) duljina od aaaa××××bbbb definiramo kao ||||aaaa ×××× bbbb|||| = ||||aaaa|||| ||||bbbb|||| sin ∠∠∠∠(aaaa,bbbb), (E2) nosač od aaaa××××bbbb je pravac okomit na oba vektora aaaa i bbbb, (E3) orijentacija od aaaa××××bbbb se odre ñuje tako da trojka ( aaaa ,bbbb,aaaa×××× bbbb) čini desni sustav.

Ako je jedan od vektora nul-vektor , vektorski je umnožak po definiciji i sam jednak nul-vektoru. To je u skladu sa svojstvom (E 1).

aaaa bbbb

aaaa××××bbbb

aaaa bbbb

aaaa××××bbbb

Ukoliko su vektori aaaa i bbbb kolinearni , takoñer, po uvjetu (E 1) njihov vektorski umnožak jednak je 0000 (nul-vektoru). (Preostala dva uvjeta više nisu bitna .)

Obratno, ako je aaaa×××× bbbb = 0000, tada možemo zaklju čiti, ponovo po (E 1), da vektori aaaa i bbbb moraju biti kolinearni, ili je pak jedan od njih jed nak nul-vektoru.

Geometrijska interpretacija.Geometrijska interpretacija.Geometrijska interpretacija.Geometrijska interpretacija. Apsolutna vrijednost vektorskoga umnoška ||||aaaa×××× bbbb|||| jednaka je povrpovrpovrpovrššššini paralelogramaini paralelogramaini paralelogramaini paralelograma ΠΠΠΠab što ga zatvaraju ta dva vektora.

Na osnovu same definicije mogu će je dokazati sljede ća temeljna svojstva vektorskoga umnoška: 1) antikomutativnost: aaaa×××× bbbb = = = = ---- bbbb×××× aaaa ,

2) homogenost: ( λλλλaaaa)×××× bbbb = = = = λλλλ (aaaa×××× bbbb),

3) distributivnost: ( aaaa + b b b b) ×××× c = a c = a c = a c = a ×××× c c c c + b b b b ×××× cccc.

∠∠∠∠(aaaa,bbbb) hhhhaaaa

aaaa

bbbb ΠΠΠΠabababab

a

baba aab r

rrrr ×

=×=Π hP ,)(

Vektorski umnožak u koordinatnom sustavuVektorski umnožak u koordinatnom sustavuVektorski umnožak u koordinatnom sustavuVektorski umnožak u koordinatnom sustavu

Na temelju definicije, u mogu ćnosti smo napraviti tablicu množenja za vektorski umnožak . Vrijedi (uvjeriti se u to!)

iiii×××× i i i i = 0 0 0 0 jjjj×××× j j j j = 0 0 0 0 kkkk×××× k k k k = 0 0 0 0

iiii×××× j j j j = k k k k jjjj×××× k k k k = i i i i kkkk×××× i i i i = j j j j

jjjj×××× i i i i = ----kkkk kkkk×××× j j j j = ----iiii iiii×××× k k k k = ----jjjj

Zapišimo te vrijednosti u tablici množenja vektorskog umnoška : ×××× iiii jjjj kkkk

iiii 0000 kkkk ----jjjj

jjjj ----kkkk 0000 iiii

kkkk jjjj ----iiii 0000

Izračunajmo sada kako se ra čuna vektorski umnožak dvaju vektora zadanih svojim komponentama u kanonskoj bazi, koriste ći gornja svojstva.

Vektorski umnožak dvaju vektora

aaaa = axiiii + ayjjjj + azk, k, k, k, bbbb = b xiiii + b yjjjj + b zk,k,k,k,

računa se formulom:

zyx

zyx

bbb

aaa

kji

kjiba =+−=× bb

aa

bb

aabb

aa

yx

yx

zx

zx

zy

zy . (2)

Pri tome nas ne smije smetati što se u prvome retku o ve determinante nalaze vektori . S njima možemo postupati i determinantu ra čunati onako kako smo do sad nau čili, pošto su definirane sve operacije zbrajanja i mno ženja koje pri tom mogu nastupiti.

Dokaz:

aaaa x bbbb = (axiiii + ayjjjj + azkkkk) ×××× (b xiiii + b yjjjj + b zkkkk) = axbxiiii××××iiii + axb yiiii××××jjjj + axbziiii××××kkkk + ayb xjjjj××××iiii + ayb yjjjj××××jjjj + ayb zjjjj××××kkkk + azb xkkkk××××iiii + azb ykkkk××××jjjj + azb zkkkk××××kkkk = (ayb z - azb y)iiii + (azb x - axb z)jjjj + (axb y - ayb x)kkkk.

Mješoviti umnožakMješoviti umnožakMješoviti umnožakMješoviti umnožak ili vektorsko ili vektorsko ili vektorsko ili vektorsko----skalarni umnožakskalarni umnožakskalarni umnožakskalarni umnožak

Ako me ñu tri vektora aaaa, bbbb i cccc rasporedimo skalarno i vektorsko množenje dobivamo takozvani mješoviti umnožak . Taj je umnožak broj (tj. skalarna veličina). Označavamo ga s [ aaaa, bbbb, cccc], a definiran je s

[aaaa, bbbb, cccc] := ( aaaa ×××× bbbb) • cccc . (3)

Odredimo formulu za mješoviti umnožak vektora zadanih u kartezijevim komponentama. Neka je

aaaa = axiiii + ayjjjj + azkkkk, bbbb = bxiiii + byjjjj + bzkkkk, cccc = cxi i i i + cyjjjj + czkkkk.

Koristenjem formule za vektorski i skalarni umnožak do bivamo: [ ]

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaa

ccc =++=

++•++=•×

zxyyxyzxxzxyzzy

kyxxyyxzxxzyzzy

)ba - b(a)ba - b(a)ba - b(a

]c c [c )ba - b(a)ba - b(a)ba - b(a c )b a( kjikjirrr

.

Dakle, mješoviti umnožak jednak je determinanti kojo j su retci komponente pojedinih vektora. Medutim, za determinante vrijedi s ljedeće:

.

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

aaa

ccc

bbb

bbb

aaa

ccc

ccc

bbb

aaa

==

Koriste ći prikaz mješovitog umnoška preko determinante i gornj e svojstvo dobijamo da će za mješoviti umnožak vrijediti:

(aaaa ×××× bbbb) • cccc = (cccc ×××× aaaa) • bbbb = (bbbb ×××× cccc) • aaaa.

Dakle mješoviti umnožak ne mijenja vrijednost cikli čkom zamjenom vektora .

Nadalje, ako zamijenimo prva dva vektora, tad zbog an tikomutativnosti vektors-koga umnoška (ili zamjene dvaju redaka u determinant i!) slijedi

(aaaa ×××× bbbb) • cccc = ---- (bbbb ×××× aaaa) • cccc

i sli čno za preostale dvije cikli čke permutacije desne strane.

Ova svojstva upu ćuju da je opravdano za mješoviti umnožak koristiti oz naku [aaaa, bbbb, cccc], koja sugerira da je svejedno na koja ćemo mjesta staviti operacije

skalarnoga i vektorskoga množenja. Tako vrijedi

[aaaa, bbbb, cccc] = [bbbb, cccc, aaaa] = [cccc, aaaa, bbbb] = ----[bbbb, aaaa, cccc] = ----[aaaa, cccc, bbbb] = ----[cccc, bbbb, aaaa].

GeometrijskaGeometrijskaGeometrijskaGeometrijska interpretacija.interpretacija.interpretacija.interpretacija. Naka su aaaa, bbbb, cccc tri nekomplanarna vektora. Oni razapinju paralelopiped abcΠ kao na slici.

Apsolutna vrijednost mješovitog umnoška [ aaaa, bbbb, cccc] je jednaka

|[aaaa, bbbb, cccc]| = |(aaaa×××× bbbb) • cccc | = |aaaa ×××× bbbb| • |cccc| • cos ψψψψ

pri čemu je ψψψψ kut kojega zatvaraju vektori cccc i aaaa x bbbb (vidi sliku). Apsolutna

aaaa××××bbbb ( ) [ ] [ ]bacba

cbaΠ×

==,,

,,, hV abc

vrijednost vektorskoga umnoška | aaaa ×××× bbbb| jednaka je površini paralelograma kojeg razapinju ta dva vektora. Umnožak | cccc| cos ψψψψ odgovara projekciji vektora cccc na os okomitu na taj paralelogram: to je upravo visin a paralelepipeda abcΠ .

Zato je |( aaaa×××× bbbb) • cccc | jednaka volumenu paralelepipeda abcΠ .

Mjesoviti Mjesoviti Mjesoviti Mjesoviti umnožakumnožakumnožakumnožak, determinanta i ori, determinanta i ori, determinanta i ori, determinanta i orijentacija baze.jentacija baze.jentacija baze.jentacija baze. Primijetimo da je mješoviti umnožak pozitivan ukoliko vektor cccc zatvara šiljasti kut s vektorom aaaa×××× bbbb . No, to upravo zna či da trojka aaaa, bbbb, c c c c čini desni sustav. Ovaj kriterij nam može poslužiti i za strogu definiciju orijentacije ba ze u vektorskom prostoru V3: baza baza baza baza a, b, c a, b, c a, b, c a, b, c jejejeje pozitivno orijentiranapozitivno orijentiranapozitivno orijentiranapozitivno orijentirana (tj. trojka aaaa, bbbb, c c c c čini desni sustav ) ako je vrijednost

[ ] .0c ,b ,a >=

zyx

zyx

zyx

ccc

bbb

aaarrr

Ukoliko je ta determinanta negativna, odgovaraju ća baza je negativno orijenti-rana ili lijeva.

Rastav vektora po baziRastav vektora po baziRastav vektora po baziRastav vektora po bazi

Neka je aaaa, bbbb, cccc bilo koja baza u prostoru V . Da bismo odredili komponente bilo kojeg vektora dddd u toj bazi, možemo krenuti od jednakosti dddd = ααααaaaa + ββββbbbb + γγγγcccc, gdje su αααα, ββββ, γγγγ tražene komponente. Ako sve vektore prikažemo u kanon skoj bazi iiii, jjjj, kkkk, dobijamo:

dxiiii + dyjjjj + dzkkkk = αααα (axiiii + ayjjjj + azkkkk) + ββββ (bxiiii + byjjjj + bzkkkk) + γγγγ (cxiiii + cyjjjj + czkkkk).

Kada izjedna čimo odgovaraju će koordinate, dobivamo sljede ći sustav

axαααα + bxββββ + cxγγγγ = dx

ayαααα + byββββ + cyγγγγ = dy

azαααα + bzββββ + czγγγγ = dz .

Ovaj sustav uvijek ima jednozna čno rjesenje posto su retci matrice linearno nezavisni vektori aaaa, bbbb, cccc. Odavde dobivamo, Cramerovim pravilom

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ].,,

,,,

,,,,

,,,,,

cbadba

cbacda

cbacbd === γβα

Na taj način imamo sljede ću formulu za rastav nekog vektora dddd po vektorima baze (aaaa, bbbb, cccc):

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ][ ] .

,,,,

,,,,

,,,,

ccbadba

bcbacda

acbacbd

drrrr

++= (4)

Koordinate vektora u ortogonalnoj bazi

Kažemo da je baza aaaa, bbbb, cccc ortogonalna ako su svaka dva vektora u njoj me ñu-sobno okomita. Tada iz (4) dobijamo sljede ći rastav vektora u ortogonalnoj bazi:

Ako vektori ( aaaa, bbbb, cccc) čine ortogonalnu bazu u V3, onda se svaki vektor dddd prostora V3 može prikazati u obliku:

.222

cc

cdb

b

bda

a

add

r

r

rrr

r

rrr

r

rrr ⋅+⋅+⋅=

KoordinatKoordinatKoordinatKoordinate vektora u ortonormiranoj bazie vektora u ortonormiranoj bazie vektora u ortonormiranoj bazie vektora u ortonormiranoj bazi

Kažemo da je baza aaaa, bbbb, cccc ortonormirana ako je ortogonalna i ako su svi vektori u njoj jedini čne duljine. Primjer takve baze je kanonska baza iiii, jjjj, kkkk. Rastav vektora po ortonormiranoj bazi iznimno je jednostavan. Pogledajmo kako izgleda taj rastav u kanonskoj bazi, u svakoj drugoj izvod je analogan. Kada vektor aaaa = axiiii + ayjjjj + azkkkk pomnožimo skalarno s iiii dobivamo:

aaaa • iiii = ax iiii • iiii + ay jjjj • jjjj + azkkkk • k = k = k = k = ax , t . j . ax = aaaa • iiii.

Slično dobivamo i za druge komponente.

Dakle, koordinate vektora aaaa = axiiii + ayjjjj + azkkkk u ortonormiranoj bazi ( iiii, jjjj, kkkk) računaju se formulama

ax = aaaa • iiii, ay = aaaa • jjjj , az = aaaa • kkkk.

Prikaz vektora u takvoj bazi glasi:

aaaa = (aaaa • iiii) iiii + (aaaa • jjjj) jjjj + (aaaa • kkkk)kkkk .

Neka su αααα, , , , ββββ, , , , γγγγ kutovi koje zatvara vektor a s pozitivnim dijelovima koordinatnih osiju . Tada npr. vrijedi ax = aaaa • iiii = |aaaa| cos αααα, te je

aaaa = |aaaa|(cos αααα iiii + cos ββββ jjjj + cos γγγγ kkkk).

Specijalno, za jedini čni vektor ââââ imamo

ââââ = cos αααα iiii + cos ββββ jjjj + cos γγγγ kkkk.

Kutovi αααα, , , , ββββ, , , , γγγγ nisu nezavisni, znaju ći dva možemo odrediti tre ći. Naime, računajuci kvadrat norme gornjega vektora, dobivamo:

1 = cos 2αααα + cos 2ββββ + cos 2γγγγ .

Dvostruki vektorski umnožakDvostruki vektorski umnožakDvostruki vektorski umnožakDvostruki vektorski umnožak ili vili vili vili veeeektorskoktorskoktorskoktorsko----vektorski umnožakvektorski umnožakvektorski umnožakvektorski umnožak

Dvostruki vektorski umnožak je vektor

(aaaa x bbbb) x cccc.

Takav se izraz javlja u mnogim primjenama i korisno je napisati ga u jednostavnijoj formi. Može se pokazati da vrijedi

(aaaa x bbbb) x cccc= (aaaa • cccc)bbbb - (bbbb • cccc)aaaa.

Primijetimo da je vektor aaaaxbbbb okomit na ravninu razapetu vektorima aaaa, bbbb. Kako je (aaaa x bbbb) x cccc okomit na aaaa x bbbb (i na vektor cccc), on mora ležati u ravnini razapetoj s aaaa i bbbb. Zato je taj vektor oblika λλλλ aaaa + µµµµ bbbb. Preostaje odrediti te skalare.

Označimo traženi vektor s dddd, dddd = (a a a a x bbbb) x cccc. Vektor dddd možemo napisati u komponentama dddd = dx iiii + dy jjjj + dz kkkk. Pri tome za komponente vrijedi dx = dddd • iiii, dy = dddd • jjjj, dz = dddd • kkkk. Sada računamo

dx = [(aaaa x bbbb) x cccc] • iiii = (aaaa x bbbb) • (cccc x iiii)

001zyx

zyx

zyx ccc

bbb

aaa

kjikji

⋅= = (axcx + aycy + azcz)bx – (bxcx + bycy + bzcz)ax

= (aaaa • cccc)bx - (bbbb • cccc)ax.

Slično dobivamo da je d y= (aaaa • cccc)by - (bbbb • cccc)ay, dz= (aaaa • cccc)bz - (bbbb • cccc)az. Zato je dddd = (a • cccc)(bxi + byj + b zk) - (bbbb • cccc)(axi + ayj + a zk) = (aaaa • cccc) bbbb - (bbbb • cccc) aaaa. (5)

Vrijedi li (aaaa x bbbb) x cccc = aaaa x (bbbb x cccc) ? Odgovor je: ne! Prvi vektor leži u ravnini razapetoj s aaaa i bbbb, drugi pak u ravnini koj urazapinju bbbb i cccc. Ipak možemo iskoristiti dobivenu formulu (5) da odredimo i ovaj dv ostruki umnožak:

aaaa x (bbbb x cccc) = - (bbbb x cccc) x aaaa = (aaaa • cccc) bbbb - (aaaa • bbbb) cccc

(aaaa x bbbb) x cccc ≠≠≠≠ aaaa x (bbbb x cccc)

(aaaa x bbbb) x cccc

aaaa x (bbbb x cccc)