Rangel Grimaldo Manuel Eduardo

Reyes Mata Carlos

Salazar Cervantes Gabriela

Serrano Mora Luis Eduardo

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Postulado de la Mecánica Cuántica

Postulado VIII: La función de onda correspondiente a un sistema de fermiones idénticos (espín semientero) debe ser antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas de dos de ellos (Principio de Exclusión de Pauli). Para un sistema de bosones idénticos (espín entero), debe ser simétrica respecto de dicho intercambio.

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Regla de superposición La superposición de funciones ondas de distinta simetría está por lo tanto prohibida (regla de supe selección).

Es decir: Ψ1(q,t) y Ψ2(q,t) Ψ =c1Ψ1 + c2Ψ2 es la función de onda de un estado válido del

sistema

La justificación de este postulado está basada en al ecuación de Dirac de la mecánica cuántica relativista

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Antisimetría de funciones de Onda El principio de antisimetría, fija el tipo de funciones de onda válidas en sistemas polielectrónicos.

La aplicación de este principio a funciones de onda construidas según la aproximación de electrones independientes

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El cálculo de energía mediante métodos aproximados, permite deducir que las energías de los estados dependen de la repulsión entre electrones, así como del valor de los números cuánticos L y S.

La influencia de los números cuánticos L y S en la energía de los estados puede analizarse de forma conjunta a través del número cuántico J.

Esto de forma cualitativa a través de las denominadas interacciones Spin-Orbital, o interacciones L-S

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interacciones Spin-Orbital, o interacciones L-S

Interaccion del momento magnético de spin electrónico con el movimiento de un electrón en un átomo o de un núcleo en núcleo Esta dado por

𝐸𝑙,𝑠,𝑗 =1

2ℎ𝑐𝐴 𝑗 𝑗 + 1 − 𝑙 𝑙 − 1 − 𝑠(𝑠 − 1)

Como resultado de este acoplamiento se obtiene una mezcla de estados de orden cero de multiplicidad diferente.

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Función de Onda del átomo de Helio

La aproximación de electrones independientes tenemos: 𝜓𝛼𝛽 = 𝜙𝛼(𝑞1)𝜙𝛽(𝑞2)

Donde 𝛼 𝑦 𝛽 𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑜𝑔𝑒𝑛𝑜

𝑞1 𝑦 𝑞2 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 Suponemos que:

𝛼 ≠ 𝛽 𝑦 𝛼 = 1𝑠 𝛽 = 2𝑠 Tenemos

𝑃 1,2 = (𝜓𝛼𝛽)2𝑑𝜏 = 𝜓1𝑠,2𝑠

2𝑑𝜏 =

𝜙1𝑠2 𝑟1 𝑑𝜏*𝜙2𝑠

2 𝑟2 𝑑𝑟2 = 𝑃1𝑠(𝑟1) 𝑃2𝑠(𝑟2)

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Suponiendo que el electrón 1 está situado en el orbital 2s, mientras que el 2 lo está en el 1s. La asignación realizada ahora se indica mediante:

𝜓𝛽𝛼 = 𝜙𝛼(𝑞2)𝜙𝛽(𝑞1)

En este caso, la probabilidad será

𝑃 2,1 = (𝜓𝛽𝛼)2𝑑𝜏 = 𝜓2𝑠,1𝑠

2𝑑𝜏 =

𝜙1𝑠2 𝑟2 𝑑𝜏*𝜙2𝑠

2 𝑟1 𝑑𝑟2 = 𝑃1𝑠(𝑟2) 𝑃2𝑠(𝑟1)

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Las funciones:

𝜓𝛼𝛽 = 𝜓1𝑠,2𝑠 = 𝜑1𝑠 𝑟1 𝜑2𝑠 𝑟2

𝜓𝛽𝛼 = 𝜓2𝑠,1𝑠 = 𝜑1𝑠 𝑟2 𝜑2𝑠 𝑟1

Son degeneradas, ya que al ser un sistema formado por partículas independientes, la energía es la suma de las energías de los orbitales atómicos 1𝑠 𝑦 2𝑠.

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No se puede resolver de forma analítica la ecuación de Schrödinger de átomos polielectrónicos :

𝐻𝜓 = 𝐸𝜓

Por lo que se usan soluciones aproximadas, del tipo:

𝜓0 = Π𝜙𝛼 𝑞1

Aproximación de electrones independientes , de forma que cada electrón es introducido en un orbital atómico del hidrogeno, y al hacer esto, estamos distinguiendo a los electrones.

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“Las propiedades de todo sistema cuántico deben

permanecer invariantes ante el intercambio de dos

partículas idénticas”

𝛼 𝑦 𝛽 son orbitales atómicos: El electrón 1 se coloca en 𝛼 y el electrón 2 en 𝛽 Ψ𝛼𝛽 =Φ𝛼(q1)

Φ𝛽(q2)

El electrón 2 se coloca en 𝛼 y el electrón 1 en 𝛽 Ψ𝛽𝛼 =Φ𝛼(q2)

Φ𝛽(q1)

(Ψ𝛼𝛽 )2 ≠ (Ψ𝛽α )

2 (no es aceptable)

Se debe cumplir |𝜳 𝒒𝟏, 𝒒𝟐 |𝟐 =|𝜳 𝒒𝟐, 𝒒𝟏 |

𝟐

Lo que implica: Ψ 𝑞1, 𝑞2 = ± Ψ 𝑞2, 𝑞1

Si Ψ 𝑞1, 𝑞2 = + Ψ 𝑞2, 𝑞1 la ecuación es simétrica

Si Ψ 𝑞1, 𝑞2 = − Ψ 𝑞2, 𝑞1 la ecuación es antisimétrica

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Analizando las combinaciones lineales de las funciones Ψ𝛼𝛽 y Ψ𝛽𝛼

Ψ𝛼𝛽 + Ψ𝛽𝛼 =Ψs → Ψs (q1, q2) = Ψs (q2, q1)

Ψ𝛼𝛽 − Ψ𝛽𝛼 =Ψa → Ψa (q1, q2) = - Ψa (q2, q1)

Ψs y Ψa son funciones degeneradas de intercambio

“Los electrones pueden colocarse en cualquier orbital atómico”

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Función de onda total

Ψ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =(Ψ𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑙)(𝜎𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛)

Ψ𝑛.𝑙,𝑚,𝑠,𝑚𝑠=(Ψ𝑛.𝑙,𝑚)(𝜎𝑠,𝑚𝑠)

= (Ψ𝛼𝛽 ± Ψ𝛽𝛼)(𝜎𝑠,𝑚𝑠)

Ψ𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎𝑙 posee simetría : Ψs o Ψa

𝜎𝑒𝑠𝑝𝑖𝑛 pueden corresponderle 2 funciones 𝜎+ 𝑦 𝜎−

Función de onda total

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a) De la parte de espín. A partir de 2 funciones y 2 electrones se tiene: 1) 𝝈+(1) 𝝈−(2) + 𝝈−(1) 𝝈+(2) simétrica

2) 𝝈+(1) 𝝈−(2) − 𝝈−(1) 𝝈+(2) antisimétrica

3) 𝝈+(1) 𝝈+(2) simétrica 4) 𝝈−(1) 𝝈−(2) simétrica

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b) Agregando la función orbital Para un sistema de dos electrones 𝟏. [𝜳𝜶𝜷 + 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈−(2) + 𝝈−(1) 𝝈+(2)]

2. [𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈−(2) - 𝝈−(1) 𝝈+(2)]

𝟑. [𝜳𝜶𝜷 + 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈+(2)]

𝟒. [𝜳𝜶𝜷 + 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈−(1) 𝝈−(2) ]

𝟏𝒂. [𝜳𝜶𝜷 + 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈−(2) - 𝝈−(1) 𝝈+(2)]

𝟐𝒂. [𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈−(2) + 𝝈−(1) 𝝈+(2)]

𝟑𝒂. [𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈+(2)]

𝟒𝒂. [𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈−(1) 𝝈−(2)]

Donde cualquiera de estas ocho funciones cumple

|𝜳 𝒒𝟏, 𝒒𝟐 |𝟐 =|𝜳 𝒒𝟐, 𝒒𝟏 |

𝟐

Función de onda

Principio de Exclusión de Pauli El principio de exclusión de Pauli es un principio

cuántico enunciado por Wolfgang Ernst Pauli en 1925.

Establece que no puede haber dos fermiones con todos sus números cuánticos idénticos y que la función de onda de un sistema de electrones debe ser antisimétrica con respecto al intercambio de dos electrones cualesquiera.

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Suponiendo que tenemos un sistema de partículas idénticas.

En la mecánica clásica, la identidad de las partículas no tiene consecuencias especiales, ya que podemos distinguirlas especificando sus trayectoria según las leyes de Newton .

En la mecánica cuántica el principio de incertidumbre nos dice que no podemos conocer la trayectoria exacta de una partícula, por lo que el método usado en la mecánica clásica no es valido en la mecánica cuántica.

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El principio de exclusión de Pauli sólo es aplicable a fermiones, esto es, partículas que forman estados cuánticos antisimétricos y que tienen espín semientero.

Son fermiones, por ejemplo, los electrones, los quarks (estos últimos son los que forman los protones y los neutrones) y leptones.

En cambio, partículas como el fotón, gluon y el gravitón no obedecen a este principio, ya que son bosones, esto es, forman estados cuánticos simétricos y tienen espín entero.

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Considerando el valor de la función de onda ψ cuando los electrones 1 y 2 tienen las mismas coordenadas:

𝑥1 = 𝑥2 ; 𝑦1 = 𝑦2 ; 𝑧1 = 𝑧2 ; 𝑚𝑠1 = 𝑚𝑠2 → 𝑞1 = 𝑞2

Esto significa que:

𝜓 𝑞1,𝑞2, 𝑞3 , … , 𝑞𝑛 = −𝜓 𝑞1, 𝑞2 , 𝑞3 , … , 𝑞𝑛

2𝜓 = 0

𝜓 𝑞1,𝑞2, 𝑞3 , … , 𝑞𝑛 = 0

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Los fermiones de la misma especie forman sistemas con estados totalmente antisimétricos, lo que para el caso de dos partículas significa que:

Las 4 combinaciones antisimétricas de la función

son:

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En la primera de estas funciones [1],

la parte espacial es simétrica, y los electrones poseen valores de ms opuestos, se dice en este caso que los electrones son paralelos, o están apareados ( ↑↓ ).

El valor de ms total es Ms = ms(1) + ms(2) = 1/2 - 1/2 = 0

Como Ms varía entre ± S, el spin total será S = 0

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Además, para este caso no existe ninguna restricción para que α = β, es decir, los dos electrones pueden situarse en el mismo orbital atómico (parte espacial), y por lo tanto, pueden tener los mismos números cuánticos n, ℓ y m, ya que ms es diferente.

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Las funciones se analizan conjuntamente:

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[𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈−(2) + 𝝈−(1) 𝝈+(2)]

Ms= 0

[𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈+(2)]

Ms= 1

[𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈−(1) 𝝈−(2)]

Ms= -1

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Entonces

[𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈+(2)]

[𝜳𝜶𝜷 − 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈−(1) 𝝈−(2)]

ms(1) = ms(2)

Los 4 números cuánticos no pueden ser iguales

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Con las funciones de onda simétricas no funciona.

[𝜳𝜶𝜷 + 𝜳𝜷𝜶 ][𝝈+(1) 𝝈+(2)]

Ya que: • Mismo valor de ms • Las funciones de onda 𝜳𝜶𝜷 = 𝜳𝜷𝜶

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Fermiones Funciones de onda antisimétricas. (4 números cuánticos diferentes)

Bosones Funciones de onda simétricas. (4 números cuánticos iguales)

Para los bosones no se cumple el principio de exclusión de Pauli.

Bibliografía Levin, I. N., Quantum Chemistry, Pearson education,

Madrid, 2001, pp. 280-287

Lowe, J. P., Quantum Chemistry, 3° Edición, ,Elsevier Academic Press, 2005, pp. 132-139

Funciones de onda simétricas y antisimétricas. Principio de exclusión de Pauli., URL:http://www.uco.es/organiza/departamentos/quimica-fisica/quimica-fisica/QuiFis/L8_QF_10_11.pdf

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