Elements de calcul actuariel

Master Gestion de Portefeuille – ESA – Paris XIIJacques Printems

printems@univ-paris12.fr

30 novembre 2007

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Valeur-temps de l’argent

Deux types de decisions ”duales” l’une de l’autre : epargner pourune consommation future ou bien emprunter en vue d’uneconsommation courante.

Besoin de determiner, soit le montant de l’epargne, soit le cout del’emprunt.

Cas general : besoin d’evaluer des transactions concernant dessommes presentes ou futures.

La valeur-temps de l’argent est un concept qui permet d’etablir des

relations entre differents flux de tresorerie de dates differentes.

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Plan

1. Taux d’interet.

2. Valeur future d’un montant ou d’un flux de tresorerie – Pret.

3. Valeur aujourd’hui d’un montant future ou d’un flux detresorerie future – Emprunt.

4. Exercices.

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1 Les taux d’interet.

L’idee d’une equivalence entre sommes associees a des datesdifferentes est simple. Soit l’alternative :

– Payer 10 000 $ aujourd’hui et recevoir 9 500 $ aujourd’hui ?– Payer 10 000 $ dans un an et recevoir 9 500 $ aujourd’hui ?

Il est ”juste” d’amputer la valeur a payer dans un an d’un montantbase sur le temps passe avant que l’argent soit verse.

Taux d’interet r = (10 000 $ - 9 500 $)/9 500 $ = 0.0526 = 5,26%.

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Les taux d’interet peuvent etre vu de trois facons :

– taux minimum : c’est le montant minimum qu’un investisseurestime recevoir a terme pour pouvoir accepter l’investissement.

– taux de remise (”discount”) : du point de vue du preteur, recevoirune somme (ex : $10000) dans un an en versant une sommeaujourd’hui (ex : $9500) implique un taux de remise de500/9500 ≈ 0.0526, soit 5.26 %.

– cout d’opportunite : renoncer a epargner une somme pour uneconsommation courante revient a renoncer a x% de gaind’epargne. C’est le cout d’opportunite de la consommation.

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Determination par le marche.

r = taux reel d’interet ”risque-neutre”

+ prime d’inflation

+ prime de risque de defaut

+ prime de liquidite + prime de maturite

• Taux reel risque-neutre : reflete la sensibilite des gens al’alternative epargne/consommation (dans un monde sansinflation).

• La prime d’inflation : retribue l’investisseur du risqued’inflation attendue (sa moyenne) sur la periode consideree. Lasomme de la prime d’inflation et du taux reel risque-neutre est letaux nominal risque-neutre.

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En fait,

1+Rnominal = (1+Rrisque−neutre)(1+Rinflation) ≈ 1+Rrisque−neutre+Rinflation

Exemple : le livret A.

r = 0.25 +12(EURIBOR + inflation), arrondi a 0.25 par exces.

Exemple : Bons du tresor

– U.S. Treasury bills : taux d’interet a 90 jours des bons du tresor

americain represente le taux risque-neutre nominal sur cette

periode.

– Bons du Tresor a taux fixe et a interets precomptes

(gouvernement francais) : maturite 3, 6 et 12 mois.

– Finanzierungsschatze des Bundes (dim. Schatze) (gouvernement

allemand) : maturite jusqu’a 24 mois.

– Treasury bill du gouvernement brittanique : de 1 a 365 jours.

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• La prime de risque de defaut : retribue l’investisseur durisque de defaut de l’emprunteur.

Facteurs secondaires :

• La prime de liquidite• La prime de maturite

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2 Valeurs futures d’un flux de tresorerie.

P = valeur presente d’un investissement (Principal)

FN = valeur future de l’investissement initial apres N periodes

r = taux d’interet par periode

Exemple :

Principal $ 100.00

Interet de la 1ere annee ($100× 0.05) $ 5.00

Interet de la 2eme annee base sur le montant principal ($100× 0.05) $ 5.00

Interet de la 2eme annee base sur les interet gagne pdt la 1ere annee

(0.05× $5.00 d’interet sur les interets) $ 0.25

Total $ 110.25

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L’interet gagne sur chaque periode : interet simple,

P × (1 + rN).

L’interet gagne durant la periode est reinvesti dans la periodesuivante : interets composes (ou capitalisables)

(1) FN = P × (1 + r)N

Exemple : F2 = $100× (1.05)2 = 110.25$.

Remarque 1 Dans (1), te taux r et le nombre de periode N

doivent etre compatible. Ex : si N est en mois alors r doit etre letaux d’interet mensuel.

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Frequences des compositions

Les paiements d’interet peuvent avoir lieu plus d’une fois par an.Par exemple, beaucoup de banques propose des taux d’interetcomposes 12 fois par an.

rd = taux d’interet annuel declare

Ex : rd = 0.08% compose 12 fois par an ⇒ taux d’interet mensuel0.08/12 = 0.0067 ou 0.67%.

(1 + 0.0067)12 = 1.083 6= 1.08.

Ainsi le terme (1 + rd) ne represente plus une valeur future lorsquela frequence de composition des taux est plus d’une fois par an.

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Soit m la frequence de compositions par an, la valeur future pourN periodes est

(2) FN = P ×(1 +

rd

m

)mN

.

rd

m= taux annuel declare / nombre de periodes par an

mN = nombre de periodes par an× nombre d’annees

Remarque 2 Encore ici, le taux periodique et le nombre deperiodes de compositions doivent etre compatibles.

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Calcul de la duree

Les regles de calcul de la duree sont :

– une annee compte 360 jours, 24 quizaines, 12 mois.

– Si la duree est calculee en jours, le compte est exact (ex : sansindication contraire, le mois de fevrier compte 28 jours).

– Si la duree est calculee en quinzaines : on compte les quinzaines apartir du 1er ou du 16 qui suit le depot, a partir du 1er ou du 16qui precede le retrait.

– Si la duree est calculee en mois, on ne tient pas compte de laduree reelle des mois.

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Exemple : Valeur future avec capitalisation mensuelle

Une banque australienne vous offre 6% capitalisable tous les mois.Vous decidez d’investir A$ 1 000 000 sur un an.

Questions :

1. Quelle est la valeur future de votre investissement si les interetsdes paiements sont reinvestis a 6% ?

2. Comparez avec le meme taux compose une fois par an.

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Composition continue

Si le nombre de compositions par an devient infini, alors le taux estdit etre compose continuement. Pour generaliser la formule (2), ilfaut faire tendre m vers l’infini a N fixe. On obtient

(3) FN = P × erdN

On remarque dans le tableau 1 que plus la frequence descapitalisations augmente, plus le montant futur augmente, lacomposition en temps continue donnant le montant maximal.

De plus, $1 investi a 8.16% avec composition annuel donne la memevaleur que $1 investi a 8% avec composition semi-annuel : ondistingue le taux d’interet annuel declare et le taux annueleffectif ou effective annuel rate, soit EAR.

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Ici, 8% de taux declare annuel equivaut a 8.16% de taux EAR :

EAR =(1 +

rd

m

)m

− 1︸ ︷︷ ︸

ou EAR = erd − 1︸ ︷︷ ︸avec m compositions avec une infinite de compositions.

Tab. 1 – Effet de la frequence de compositions des taux sur unevaleur future.

Frequence rs/m mN Valeur future de $ 1

Annuel 8%/1 = 8% 1× 1 = 1 $1.00(1.08) = $1.08

Semi-annuel 8%/2 = 4% 2× 1 = 1 $1.00(1.04)2 = $1.081600

Trimestriel 8%/4 = 2% 4× 1 = 1 $1.00(1.02)4 = $1.082432

Mensuel 8%/12 = 0.6667% 12× 1 = 1 $1.00(1.00667)12 = $1.083000

Quotidien 8%/365 = 0.0219% 365× 1 = 1 $1.00(1.000219)365 = $1.083278

Continue $1.00e0.08(1) = $1.083287

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Valeur future d’un flux de tresorerie.

On considere un flux de tresorerie avec versements constants de$1 000 sur 5 ans avec un taux de 5%.

$1 000 (1.05)^1

0 1 2 3 4 5

$1 000

$1 000

$ 1 000

$1 000

$1 000 (1.05)^4

$1 000 (1.05)^3

$1 000(1.05)^2

$1 000 (1.05)^ 0

Fig. 1 – Valeur future apres 5 ans d’un flux constant.

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Formule generale : flux A, N periodes, taux d’interet r, on a

FN = A[(1 + r)N−1 + (1 + r)N−2 + · · ·+ (1 + r)1 + (1 + r)0

],

= A

[(1 + r)N − 1

r

].

Preuve : On a FN = AS avec S =N−1∑

k=1

qk ou q = 1 + r > 1.

On ecrit

S = 1 + q + q2 + · · ·+ qN−1

qS = q + q2 + q3 + · · ·+ qN .

En soustrayant et en divisant par 1− q, on obtient S =qN − 1q − 1

.

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3 Valeur de l’emprunt

Generalement, lorsque l’on emprunte (ou prete) c’est pour uneduree limitee et selon des modalites fixees a l’avance.

N

t1 t2 t3

F1 F2 F3

T

Fn

Fig. 2 – Flux de l’emprunteur. N = valeur de l’emprunt d’echeanceT = tn a t = 0, Fk = flux a la date tk

Le contrat stipule que l’emprunt est au taux r capitalisable achaque date tk.

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Valeur de N ?

Point de vue de l’emprunteur :

Soit Nk la somme due au lendemain du remboursement de flux Fk.On a le tableau suivant

N0 = N

N1 = N0(1 + r)t1 − F1

...

Nk+1 = Nk(1 + r)tk+1−tk − Fk+1

...

Nn = Nn−1(1 + r)tn−tn−1 − Fn = 0

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On divise la ligne de chaque Nk pour k ≥ 1 par (1 + r)tk . Onobtient le tableau

N0 = N

N1

(1 + r)t1= N0 − F1

(1 + r)t1

N2

(1 + r)t2=

N1

(1 + r)t1− F2

(1 + r)t2

...Nk+1

(1 + r)tk+1=

Nk

(1 + r)tk− Fk+1

(1 + r)tk+1

...Nn

(1 + r)tn=

Nn−1

(1 + r)tn−1− Fn

(1 + r)tn= 0

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On somme le tout :

N −n∑

k=1

Fk

(1 + r)tk= 0, soit N =

n∑

k=1

Fk

(1 + r)tk.

Point de vue du preteur :

Preter, c’est placer au taux r durant la periode [0, T ]. D’ou

N(1 + r)T

︸ ︷︷ ︸ = (1 + r)T−t1F1︸ ︷︷ ︸ + . . .+ (1 + r)T−tnFn︸ ︷︷ ︸valeur en T de la valeur en T de la = Fn recue a tn

somme recue en t = 0 somme recue a t = t1

En simplifiant par (1 + r)T , on obtient la meme formule :

(4) N = (1 + r)−t1F1 + · · ·+ (1 + r)−tkFk + · · ·+ Fn =n∑

k=1

Fk

(1 + r)tk.

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Pour une valeur de N donnee, combien de flux possibles ? Reponse :une infinite.

1. Annuites constantes : Fk = A, tk = k (annees)

N = An∑

k=1

1(1 + r)k

= A

11+r − 1

(1+r)n+1

1− 11+r

= A1− 1

(1+r)n

r.

On en tire la valeur de

(5) A = rN(1 + r)n

(1 + r)n − 1= rN

(1

1− 1(1+r)n

).

2. Remboursement du principal in fine :

Fk = A, 1 ≤ k ≤ n− 1

Fn = N + A

N = An−1∑

k=1

1(1 + r)k

+N + A

(1 + r)n=

A

r

(1− 1

(1 + r)n

)+

N

(1 + r)n,

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soit

A = rN ou encore r =A

N.

3. Prets ”etudiants”

Les remboursements n’ont lieu qu’a partir d’une date dans lefutur, disons t = k0. Tout se passe comme si la somme arembourser etait devenue N(1 + r)k0 . On applique l’equation(5) en remplacant N par N(1 + r)k0 , soit

A = rN(1 + r)k0+n

(1 + r)n − 1

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Tableau d’amortissements

Methode de suivi du remboursement d’un emprunt.

Capital prete $ 100 000, taux annuel 5% sur 5 ans.

Methode de remplissage :

On rappelle la formule :

Nk = Nk−1(1 + r)− Fk,

soit

Nk︸︷︷︸ = Nk−1︸ ︷︷ ︸ − (Fk − rNk−1)︸ ︷︷ ︸ .

capital du au debut capital du au debut capital ”amorti”

de l’annee k de l’annee k − 1 = annuite − interet paye

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1. Cas du remboursement in fine.

Annee Capital restant Capital ”amorti” Interet a payer Annuite Capital restant

i du au debut de i a la fin de i au debut de i a la fin de i

1 100 000 0 5 000 5 000 100 000

2 100 000 0 5 000 5 000 100 000

3 100 000 0 5 000 5 000 100 000

4 100 000 0 5 000 5 000 100 000

5 100 000 100 000 5 000 105 000 0

Capital amorti

������

������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

t2 3 4 51

Intéret

Annuités

Fig. 3 – hachure = interets, blanc = capital amorti

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2. Cas des fractions egales.

Annee Capital restant Capital ”amorti” Interet a payer Annuite Capital restant

i du au debut de i a la fin de i au debut de i a la fin de i

1 100 000 20 000 5 000 25 000 80 000

2 80 000 20 000 4 000 24 000 60 000

3 60 000 20 000 3 000 23 000 40 000

4 40 000 20 000 2 000 22 000 20 000

5 20 000 20 000 1 000 21 000 0

Annuités

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������

���������������

������������������

������������������

����������������

����������������

t2 3 4 51

Fig. 4 – Fractions constantes.

27

3. Cas des annuites constantes.

Annee Capital restant Capital ”amorti” Interet a payer Annuite Capital restant

i du au debut de i a la fin de i au debut de i a la fin de i

1 100 000 18 097 5 000 23 097 81 903

2 81 903 19 002 4 095 23 097 62 901

3 62 901 19 952 3 145 23 097 42 949

4 42 949 20 950 2 147 23 097 21 999

5 21 999 21 997 1 100 23 097 2 ! ! !

Annuités

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������

���������������������

���������������������

���������������������

���������������������

���������������������

t2 3 4 51

Fig. 5 – Annuites constantes.

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1. Remboursement a la fin.

Fk = rNk−1, 1 ≤ k ≤ 4, Fn = rNn−1 + N

2. Fractions egales.

Capital amorti/an = constant = C =⇒ Fk − rNk−1 = C =N

n.

De meme Nk = N − kN

n.

Soit C = 20 000 et Nk = 100 000− kC.

3. Annuites constantes.

A = rN(1 + r)n

(1 + r)n − 1= $23 097.

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4 Exercices.

Exercice 1 : Calcul d’un taux de croissance

En 1998, une entreprise a acquis un benefice net de $8 436 millions.En 2002, elle empoche $ 8 445 millions. Quel est le taux decroissance annuel des benefices nets de l’entreprise ?

Exercice 2 : Calcul d’un nombre de periodes

Combien de temps une somme de $10 000 000 placee a 7% aveccapitalisation annuelle met pour doubler de valeur (soit $20 000000) ? En general, cela depend-t-il du montant initial ?

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Exercice 3 : Calcul d’annuites (1)

On souhaite acquerir une maison de $120 000 en payant d’abord$20 000 et en empruntant le reste sur 30 ans 8 % avec paiementsmensuels. Quel sera le montant des mensualites (constantes) ? Quelest le taux annuel effectif ?

Exercice 4 : Calcul d’annuites (2)

M. Dupond a 22 ans et prevoit de prendre sa retraite a 63 ans. Ilprevoit d’economiser $2 000 par an sur les 15 prochaines annees. Ilveut pouvoir beneficier de $100 000 de revenu par an pendant 20ans durant sa retraite avec le premier paiement a la premiere annee.Combien devra-t-il economiser chaque annee a partir de la 16emeannee ? On suppose qu’il prevoit d’investir dans un fond a 8% paran en moyenne.

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Exercice 5 :

Vous allez recevoir F=$100 000 dans 10 ans. Votre fils projetted’acheter une maison dans 4 ans. Vous voulez savoir quelle sera lavaleur de F a ce moment. Avec un taux a 8%, quelle sera la valeurde F dans 4 ans ?

Exercice 6 :

Un manager de fonds de pension Canadien sait que le fonds doitrealiser une somme de C$5 million d’ici 10 ans. Il souhaite investirun montant aujourd’hui de facon a recuperer cette somme dans 10ans. Le placement envisage propose 6% composable mensuellement.Combien doit-il investir aujourd’hui ?

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Exercice 7 :

Vous prenez votre retraite aujourd’hui et vous devez choisir entreune somme globale ($2 000 000) et un versement annuel ($200 000)pendant 20 ans avec le premier cette annee. Le taux d’interet de labanque est 7% composable annuellement. Quelle option vousparaıt-elle la plus interessante (vue d’aujourd’hui) ?

Exercice 8 :

Un manager de fonds de pension allemand prevoit un versement deEUR 1 000 000 par an pour des retraites. Les premiers departs enretraite n’arriveront pas d’ici 10 ans (a partir de maintenant), soitt = 10. Les versements seront alors payes tous les ans jusqu’at = 39. Quelle est la valeur aujourd’hui de ce plan de retraite si letaux est de 5% composable annuellement ?

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