2011

AKDENİZ

ÜNİVERSİTESİİİİ

06.01.2011

RASYONEL SAYILAR

2

A.Tanım __________________________________________________________________ 3

B.Kesir ____________________________________________________________________ 3

C.Kesir çeşitleri ____________________________________________________________ 3

1.Basit kesirler __________________________________________________________________ 3

2.Birleşik kesirler ________________________________________________________________ 3

3. Tam sayılar ___________________________________________________________________ 3

D.Rasyonel sayıları sıralama __________________________________________________ 4

E.Rasyonel sayılarda işlemler _________________________________________________ 5

1.Rasyonel sayılar kümesinde toplama işlemi _________________________________________ 5

1.1Rasyonel sayılarda toplama işleminin özellikleri ___________________________________________ 5

1.1.1Kapalılık özelliği ________________________________________________________________ 5

1.1.2Değişme özelliği ________________________________________________________________ 6

1.1.3Birleşme özelliği ________________________________________________________________ 6

1.1.4 Etkisiz eleman _________________________________________________________________ 6

1.1.5Ters eleman ___________________________________________________________________ 6

2.Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma işlemi _________________________________________ 6

3.Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işlemi __________________________________________ 7

3.1Rasyonel sayılarda çarpma işleminin özellikleri ____________________________________________ 7

3.1.1Kapalılık özelliği ________________________________________________________________ 7

3.1.2Değişme özelliği ________________________________________________________________ 7

3.1.3Birleşme özelliği ________________________________________________________________ 7

3.1.4Etkisiz eleman __________________________________________________________________ 8

3.1.5Ters eleman ___________________________________________________________________ 8

3.1.6Yutan eleman __________________________________________________________________ 8

3.1.7Dağılma özelliği_________________________________________________________________ 8

4.Rasyonel sayılar kümesinde bölme işlemi ___________________________________________ 9

F.Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemler _________________________________________ 9

3

RASYONEL SAYILAR

A.Tanım

A ve b tamsayı, b≠0 olmak üzere 𝑎

𝑏 şeklinde ifade edilen sayılara

rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.

𝑎（𝑝𝑎𝑦）

𝑏（𝑝𝑎𝑦𝑑𝑎）→kesir

0

𝑏=0（b≠ 0）

𝑎

0=tanımsız

B.Kesir

a ve b birer tamsayı, b≠0 olmak üzere 𝑎

𝑏 şeklindeki ifadelere

kesir denir.

C.Kesir çeşitleri

1.Basit kesirler

Payı paydasından küçük olan sayılara basit kesir denir.

Örneğin ;2

5 ,

8

9 ,

11

20 , …

2.Birleşik kesirler

Payı paydasından eşit ve paydasından büyük olan sayılara

birleşik sayılar denir.

Örneğin;5

5 ,

8

7 ,

88

71 , …

3. Tam sayılar

a,b,c birer doğal sayı b<c ve a e sıfırdan farklı olmak üzere a𝑏

𝑐

şeklinde gösterilen kesirlerdir. Örneğin;15

6 ,2

6

12 , 3

79

84 , …

4

D.Rasyonel sayıları sıralama

*Paydaları eşit olan sayılardan payı en büyük olan kesir en

büyüktür.

ÖRNEK:5

11 ,

8

11 ,

6

11 ,

11

11 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru

sıralayınız.

5

11<

6

11<

8

11<

11

11

*Payı eşit olan sayılardan paydası en küçük olan sayı en

büyüktür.

ÖRNEK:11

5,

11

8,

11

6,

11

11 rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru

sıralayınız.

11

11<

11

8<

11

6<

11

5

∗Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise;

Şayet rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha

küçüktür.

ÖRNEK:12

17,

14

19,

21

26 rasyonel sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

21

26>

14

19>

12

17

-Şayet rasyonel sayılar birleşik kesir şeklinde iseler payı küçük

olan daha büyüktür.

ÖRNEK:104

102,

359

357,

15

13 rasyonel sayılarını büyükten küçüğe doğru

sıralayınız.

15

13>

104

102>

359

357

*Rasyonel sayılar, ondalık kesre çevrilerek de sıralanır.

5

ÖRNEK:10

11,

100

111 rasyonel sayılarını sıralayınız.

A=10

11 olsun. O zaman

1

𝑎=

11

10= 1,1

B=100

111 olsun. O zaman

1

𝑏=

111

100= 1,11 burdan a>b olur.

NOT: Bütün pozitif rasyonel sayılar, bütün negatif rasyonel sayılardan

büyüktür.

Negatif rasyonel sayılar 0 yaklaşırken büyür, pozitif rasyonel

sayılar 0 yaklaşırken küçülür.

E.Rasyonel sayılarda işlemler

1.Rasyonel sayılar kümesinde toplama işlemi

Rasyonel sayılarla toplama işlemi yapılırken;

Paydalar eşit değil ise paydalar eşitlenir.

Paylar toplanır.

Paydaya ortak payda yazılır.

1.1Rasyonel sayılarda toplama işleminin özellikleri

1.1.1Kapalılık özelliği

𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ 𝑄 İçin (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) olduğundan rasyonel sayılar kümesi toplama

işlemine göre kapalıdır.

ÖRNEK:2

3+

3

4 işleminin sonucunun rasyonel sayı olup olmadığını

bulunuz.

2

3+

3

4=

8

12+

9

12=

17

12∈ 𝑄 olur.

6

1.1.2Değişme özelliği

𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ 𝑄için (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑=

𝑐

𝑑+

𝑎

𝑏) olduğundan rasyonel sayılar

kümesinde, toplama işleminin değişme özelliği vardır.

ÖRNEK:4

3+

1

6 ,

1

6+

4

3 işlemlerini yapalım ve sonuçlarını karşılaştıralım.

4

3+

1

6=

8

6+

1

6=

9

6 ve

1

6+

4

3=

1

6+

8

6=

9

6⇒

4

3+

1

6=

1

6+

4

3

1.1.3Birleşme özelliği

𝑎

𝑏,𝑐

𝑑,𝑒

𝑓∈ 𝑄 İçin (

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑑) +

𝑒

𝑓=

𝑎

𝑏+ (

𝑐

𝑑+

𝑒

𝑓)olduğundan rasyonel

Sayıların toplama işlemine göre birleşme özelliği vardır.

ÖRNEK:(1

2+

3

4) +

1

4,

1

2

3

4+

1

4 işlemlerini yapalım ve sonuçlarını

karşılaştıralım.

(1

2+

3

4) +

1

4= (

2

4+

3

4) +

1

4=

6

4 (

1

2+

3

4) +

1

4=

1

2+ (

3

4+

1

4)

(3

4+

1

4) +

1

2=

4

4+

2

4=

6

4

1.1.4 Etkisiz eleman

0 tamsayısına rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin

etkisi elemanıdır.

1.1.5Ters eleman

𝑎

𝑏,−

𝑎

𝑏∈ 𝑄 İçin

𝑎

𝑏+ −

𝑎

𝑏 = 0 olduğundan

𝑎

𝑏 ve −

𝑎

𝑏 rasyonel

sayıları, toplama işlemine göre birbirlerinin tersidir.

2.Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma işlemi

İki rasyonel sayının farkı bulunurken eksilen rasyonel sayı, çıkan

rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.

ÖRNEK:9

4−

5

3=

27

12−

20

12=

7

12

7

3.Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işlemi

İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,

paydaların çarpımı paydaya yazılır1.

NOT: Tam sayılı kesir biçiminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken

önce tamsayılı kesirler birleşik kesre çevrilir. Sonra çarpma işlemi

yapılır.

3.1Rasyonel sayılarda çarpma işleminin özellikleri

3.1.1Kapalılık özelliği

𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ 𝑄için (

𝑎

𝑏×

𝑐

𝑑) ∈ 𝑄 olduğundan rasyonel sayılar kümesi,

çarpma işlemine göre kapalıdır.

ÖRNEK:2

3× (−

5

2)işleminin sonucu rasyonel sayı olup olmadığını

bulunuz.

2

3× (−

5

2) = −

5

3∈ 𝑄 Olur.

3.1.2Değişme özelliği

𝑎

𝑏,𝑐

𝑑∈ 𝑄 İçin

𝑎

𝑏×

𝑐

𝑑=

𝑐

𝑑×

𝑎

𝑏 olduğundan rasyonel sayılar

kümesinde, çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖRNEK:9

5×

10

3,

10

3×

9

5 sonuçlarını karşılaştıralım.

9

5×

10

3= 6 ve

10

3×

9

5= 6 ⇒

9

5×

10

3=

10

3×

9

5 tir tir.

3.1.3Birleşme özelliği

𝑎

𝑏,𝑐

𝑑,𝑒

𝑓∈ 𝑄 için (

𝑎

𝑏×

𝑐

𝑑) ×

𝑒

𝑓=

𝑎

𝑏× (

𝑐

𝑑×

𝑒

𝑓)olduğundan rasyonel

sayılar kümesinde, çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.

1 𝑎

𝑏×

𝑐

𝑑=

𝑎×𝑐

𝑏×𝑑

8

ÖRNEK:(4

3×

1

2) ×

5

7,

4

3×

1

2×

5

7 işlemlerini yapalım ve sonuçlarını

karşılaştıralım.

(4

3×

1

2) ×

5

7=

2

3×

5

7=

10

21 ∗ (

4

3×

1

2) ×

5

7=

4

3× (

1

2×

5

7)

4

3× (

1

2×

5

7) =

4

3×

5

14=

10

21

3.1.4Etkisiz eleman

1 rasyonel sayılarla çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.

𝑎

𝑏∈ 𝑄 Olmak üzere

𝑎

𝑏× 1 = 1 ×

𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏

3.1.5Ters eleman

Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayının pay ve

paydasının yer değiştirmiş haline eşittir.𝑎

𝑏∈ 𝑄 Olmak üzere

𝑎

𝑏 rasyonel

sayısının çarpma işlemine göre tersi 𝑏

𝑎 dır dır.

𝑎

𝑏×

𝑏

𝑎= 1

ÖRNEK:3

4×

4

3= 1 ,−

3

2× −

2

3= 1 ,

8

22×

22

8= 1

3.1.6Yutan eleman

0 ,rasyonel sayılarla çarpma işleminin yutan elemanıdır.

𝑎

𝑏∈ 𝑄Olmak üzere

𝑎

𝑏× 0 = 0 ×

𝑎

𝑏= 0

3.1.7Dağılma özelliği

Rasyonel sayılarla çarpma işleminin toplama işlemi ve çıkarma

işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.𝑎

𝑏,𝑐

𝑑,𝑒

𝑓∈ 𝑄 Olmak üzere

𝑎

𝑏× (

𝑐

𝑑+

𝑒

𝑓) =

𝑎

𝑏×

𝑐

𝑑+

𝑎

𝑏×

𝑒

𝑓

ÖRNEK:2

5× (

3

4−

1

2) =

2

5×

3

4−

2

5×

1

2=

3

10−

2

10=

1

10

9

4.Rasyonel sayılar kümesinde bölme işlemi

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken birinci kesir aynen

yazılır. İkinci kesrin çarpma işlemine göre tersi alınıp birinci kesirle

çarpılır.

ÖRNEK:2

3 rasyonel sayısının içinde

1

9 rasyonel sayısından kaç tane

bulunur ve modelleyiniz.

2

3

2

3÷

1

9= 6

0 in bir rasyonel sayıya bölümü 0 ,bir rasyonel sayının 0 a

bölümü tanımsızdır.

F.Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemler

Çok adımlı işlemler yapılırken aşağıdaki sıra takip edilmelidir.

Kesir çizgisinin altında ve üstünde bulunan işlemler yapılır.

Bu işlemleri yaparken pay ve paydaya en içteki parantezden

başlanır.

Parantez içindeki işlemler yapılırken önce çarpma ve bölme

işlemleri sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.

ÖRNEK:7 +3

1+2

2+1𝑥

= 8 denkleminde ki x değeri nedir?

3

1+2

2+1𝑥

= 1 ⇒ 1 +2

2+1

𝑥

= 3 ⇒2

2+1

𝑥

= 2 ⇒ 2 +1

𝑥= 1 ⇒

1

𝑥= −1

⇒x= −1

10

2

12−

8

3=

2

12−

32

12= −

30

12= −

5

2

a+1

𝑏+1

𝑐

=44

19= 2

6

19→ 𝑎 = 2 𝑏 +

1

𝑐=

19

6= 3

1

6→ 𝑏 = 3

1

𝑐=

1

6→ 𝑐 = 6 a×b-c=6-6=0

KESİR ÇEŞİTLERİ AÇIKLAMASI ÖRNEK

Basit Kesir a<b , 𝑎

𝑏 12

13,25

27,32

49

Birleşik Kesir a≥b , 𝑎

𝑏 48

17,132

101,19

15

Tam Sayılı Kesir C≠ 0, a<b; c𝑎

𝑏 3

1

4, 6

2

5