-
iDodatak - Primjeri krivulja u ravnini
1. Krivulje drugog reda
Krunica Parabola
Implicitna jednadba: 2 2 2x y a+ = 2 2y px= 2y ax=
Parametarske jednadbe:cosx a t= 2x t= x t=siny a t= 2y p t= 2y
at=
Elipsa Hiperbola
Implicitna jednadba: 2 2
2 2 1x ya b
+ =2 2
2 2 1x ya b
=
Parametarske jednadbe: cosx a t= chx a t=
siny b t= shy b t= (za desnu granu)
-
ii
2. Krivulje treeg redaKubna parabola Kubna parabola
Implicitna jednadba: 3y ax= 1/ 3y ax=
Parametarske jednadbe: x t= 3x t=
3y at= y at=
U ishoditu: toka infleksije toka infleksije
Semikubna parabola Neilova parabola
Implicitna jednadba: 3/ 2y ax= 2 / 3y ax=
Parametarske jednadbe: 2x t= 3x t=
3y at= 2y at=
U ishoditu: iljak (singularna toka) iljak (singularna toka)
-
iii
"Versiera" Marije Agnesi Descartesov list
Implicitna jednadba:3
2 2
aya x
=
+
3 3 3x y axy+ =
Parametarske jednadbe: 33
1atxt
=
+
Toke infleksije: 3,43
a a
2
3
31atyt
=
+
U ishoditu: dvostruka (singularna) toka
Dioklova cisoida Strofoida
Implicitna jednadba:3
2 xya x
=
( )22 x a xya x +
=
Parametarske jednadbe: 2
2 1atxt
=
+
( ) 22
11
a tx
t
=
+
3
2 1atyt
=
+
( ) 22
11
at ty
t
=
+
U ishoditu: iljak (singularna toka) dvostruka (singularna)
toka.
-
iv
2. Krivulje etvrtog redaNikomedova konhoida
Implicitna jednadba: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0x a x y l x +
=Parametarske jednadbe: cosx a l = + U ishoditu (singularne
toke):
tg siny a l = + izolirana toka ako je l a< ,
Polarna jednadba:cosa l
= vorna toka ako je l a> ,
iljak ako je l a= .Pascalov pu (konhoida krunice)
Implicitna jednadba: ( ) ( ) 22 2 2 2 2x y ax l x y+ = + .
Polarna jednadba: cosa l = +Parametarske jednadbe: 2cos cosx a l =
+ , cos sin siny a l = +
-
vKardioida (poseban sluaj Pascalovog pua za a l= )
Implicitna jednadba: ( ) ( ) 22 2 2 2 2 22x y ax x y a y+ +
=Parametarske jednadbe: ( ) cos 1 cosx a = +
( ) sin 1 cosy a = +Polarna jednadba: ( )1 cosa = +
Cassinijevi ovali
Implicitna jednadba: ( ) ( ) 22 2 2 2 2 4 42x y c x y a c+ =
Polarna jednadba: ( ) 2 2 4 2 4 4cos 2 cos 2c c a c = + .
-
vi
Lemniskata (poseban sluaj Cassinijevih ovala za a c= )
Implicitna jednadba: ( ) ( ) 22 2 2 2 22 0x y a x y+ = . Polarna
jednadba: 2cos 2a = . Navedimo jo neke krivulje:
Cikloida Astroida (hipocikloida)
Parametarske jednadbe: ( ) sinx a t t= 3cosx a t=( ) 1 cosy a t=
3siny a t=
Implicitna jednadba: 2 /3 2/3 2/3x y a+ =
Evolventa krunice
Parametarske jednadbe: ( ) cos sinx a t t t= + , ( ) sin cosy a
t t t=
-
vii
Arhimedova zavojnica (spirala) Hiperbolna zavojnica
Polarna jednadba: a = , ( 0 ). a
= , ( 0 > ).
Logaritamska zavojnica (spirala) Klotoida
Polarna jednadba: ae = .
Rua sa tri latice Rua sa etiri latice
Polarna jednadba: sin 3a = , ( 0 ). sin 2a =
