Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Seminar - 1. letnik, II. stopnja

Raziskave tankih plasti z opticnoelipsometrijo

Avtor: Ana Marin

Mentor: izr. prof. dr. Irena Drevensek Olenik

Ljubljana, maj 2012

Povzetek

V seminarju bomo spoznali osnove opticne metode za merjenje lomnega kolicnika indebeline tankih plasti, imenovano elipsometrija. Spoznali bomo, kaksne tipe elipsometrijpoznamo in njihove lastnosti ter kaj je potrebno predpostaviti, da lahko iz meritev izluscimozeljene lastnosti materiala.

Kazalo

1 Uvod 2

2 Nekaj osnov optike[1] 32.1 Opticna interferenca v tankih plasteh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Polarizirana svetloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Opis z Jonesovo matriko in Jonesovimi vektorji . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Predstavitev s Stokesovimi parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Opticne komponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Spektroskopska elipsometrija 83.1 Kaj merimo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Razlicni elipsometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Analiza podatkov 104.1 Model dielektricne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.1 Lorentzov model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.2 Sellmeierjev in Cauchyev model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.3 Drudejev model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Opticni modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Zakljucek 13

1 Uvod

Elipsometrija je ena izmed bolj preciznih tehnik za raziskavo tankih plasti in njihovih lastnosti,ki izkorisca dejstvo, da se vektor opticnega elektricnega polja, ki doloca polarizacijo svetlobepri prehodu svetlobe skozi dielektricni medij spremeni. Ime izvira iz najbolj splosne oblike po-larizacije, to je elipticne. Tehnika je neinvazivna in brezkontaktna, merimo pa lahko lastnosti,kot so lomni kolicnik, absorpcijski koeficient in debelina plasti. Tu je potrebno poudariti, daparametrov, ki jih dobimo iz meritev, ne moremo neposredno pretvoriti v zeljene snovne kon-stante (razen v par zelo poenostavljenih primerih), ampak moramo prej skonstruirati pricakovaniopticni model ter z iterativnim postopkom prilagoditi parametre modela parametrom meritev.

Zacetki tehnike segajo ze v leto 1888, vendar je tehnika razsirjeno uporabo dozivela sele zrazvojem racunalnikov. Zacetnik elipsometrije, ki takrat se ni bila znana pod tem imenom, jebil Paul Drude. Prvi je izpeljal enacbe in opravil meritve na trdninah, na idejo pa je prisel,ko je pri studiju odboja svetlobe na kristalu antimonovega sulfida opazil, da se polarizacija skristala odbite svetlobe s casom spreminja, kar je pripisal tvorbi tanke kontaminacijske plastina povrsini kristala [3].

Z razvojem racunalnikov je prisla tudi avtomatizacija in predvsem pohitritev meritev. Meritev,ki je prej trajala dobro uro, lahko sedaj izvajamo v realnem casu, tako da z belo svetlobo os-vetlimo vzorec in odbito svetlobo razlicnih valovnih dolzin istocasno zaznamo na vrsticnemdetektorju.

Merjeni vzorec je v najbolj idealnem primeru sestavljen iz majhnega stevila dobro definiranihplasti, ki so opticno homogene in izotropne. V primeru, da temu ni tako, je potrebna uporabakompleksnejsih in bolj specificnih metod.

2

2 Nekaj osnov optike[1]

Za razumevanje delovanja elipsometra je dobro poznati nekaj osnov optike, zato si bomo nanaslednjih straneh ogledali, s cim vsem bomo imeli opravka.

Slika 1: Vpad (a) p- in (b) s- polarizirane svetlobe, indeks i ponazarja vpadno, r odbito in tprepusceno svetlobo. Povzeto po [1].

Pri posevnem vpadu svetlobe ponavadi locimo dva primera; p- (oz. TM) in s- (oz. TE)polarizirano svetlobo (slika 1). Primera se razlikujeta v smereh elektricnega in magnetnegapolja, kar se izraza v povsem drugacnem obnasanju taksne svetlobe. Pri p-polarizirani svetlobivpadno in odbito elektricno polje oscilirata v isti ravnini, ki ji pravimo vpadna ravnina, medtemko pri s-polarizirani svetlobi to velja za magnetno polje. Iz robnih pogojev za elektromagnetnovalovanje na meji med dvema sredstvoma, ki pravijo, da sta komponenti elektricnega in mag-netnega polja (E in B) vzporedni z mejo enaki pred in po prehodu, sledijo Fresnelove enacbeza prepusceno in odbito svetlobo.

rp =ErpEip

=n cos θi − cos θtn cos θi + cos θt

=n2 cos θi −

√n2 − sin θi2

n2 cos θi +√n2 − sin θi2

, (1a)

tp =EtpEip

=2n cos θi

n2 cos θi +√n2 − sin θi2

, (1b)

rs =ErsEis

=cos θi −

√n2 − sin θi2

cos θi +√n2 − sin θi2

, (1c)

ts =EtsEis

=2 cos θi

cos θi +√n2 − sin θi2

. (1d)

Fresnelove enacbe veljajo tudi v primeru, ce lomni kolicnik n, ki predstavlja razmerje lom-nih kolicnikov nt/ni zamenjamo s kompleksnim lomnim kolicnikom N = n + ik, pri cemerk predstavlja absorpcijski koeficient. Ce uporabimo predstavitev s polarnimi koordinatami,lahko vsak koeficient izrazimo z amplitudo in fazo, tako da lahko prepusceno in odbito svetloboobravnavamo kot spremembe v amplitudi in fazi elektricnega in magnetnega polja.

Iz grafov na sliki 2 lahko razberemo, da pri p-polariziranem vpadu svetlobe pri tocnodolocenem kotu nimamo nic odbitega valovanja. Temu kotu pravimo Brewsterjev kot.

Odbojnost in prepustnost sta kolicini, ki ju lahko dejansko izmerimo, saj sta sorazmerni zrazmerjem med intenzitetami svetlobe. Tako je

Rp,s = |rp,s|2, Tp,s = ncos θtcos θi

|tp,s|2 (2)

3

Slika 2: Spreminjanje odbojnosti in prepustnosti z vpadnim kotom pri prehodu voda-zrak. Grafje narisan za primer, ko je lomni kolicnik zgornjega sredstva nizji od lomnega kolicnika spodnjegasredstva. V obratnem primeru bi dobili podoben graf, le da bi krivulji monotono narascali inkoncali pri kotu znanem kot kot popolnega odboja.

Pri elipsometriji ponavadi merimo razmerje rp/rs. Ker je razlika med rp in rs najvecjapri Brewsterjevem kotu θB = arctann, je tam najvecja tudi obcutljivost in je zato tudi vecinameritev opravljenih pri tem kotu. Zaradi odvisnosti lomnega kolicnika od valovne dolzine vpadnesvetlobe, se tudi Brewsterjev kot spreminja po istem nacelu[1].

2.1 Opticna interferenca v tankih plasteh

Vzemimo kot model ravno podlago, na kateri se je na meji z zrakom formirala tanka plastneke tretje snovi. Plasti predstavimo z razlicnimi kompleksnimi lomnimi kolicniki in njihovimidebelinami. Naj bodo N0, N1 in N2 kompleksni lomni kolicniki zraka, tanke plasti in podlage.Ce se v plasti svetloba ne bo povsem absorbirala, se je bo nekaj odbilo od podlage in izslo izplasti. Tam bo svetloba interferirala s svetlobo, ki se je odbila, se preden je prisla v plast. Cesta valovanji v fazi, se amplituda nihanja elektricnega polja poveca, ce pa sta iz faze (δ = 180◦)se amplituda zmanjsa. Fazno razliko med valovanjema α lahko izrazimo kot

α =4πdN1

λcos θ1, (3)

pri cemer je θ1 lomni kot v plasti (slika 3). Splosno raje vzamemo β = α/2, tako da je

β =2πdλ

√N 2

1 −N 20 sin2 θ0. (4)

Ne smemo pozabiti, da ponavadi ne pride le do enkratnega odboja, temvec do veckratnih.Kolicini r012 in t012 tako lahko izrazimo s pomocjo vsote vseh odbitih oz. prepuscenih valovanjkot

r012 =r01 + r12e

−i2β

1 + r01r12e−i2βin t012 =

t01t12e−iβ

1 + r01r12e−i2β. (5)

Pogosto se srecamo z vecjim stevilom razlicnih plasti, zato bi bilo dobro pogledati, kaj sezgodi tedaj. Pri izracunu sledimo razmisleku, da za tri sosednje plasti, ne glede na to, kjev vzorcu se nahajajo, lahko izracunam r in t svetlobe, ki izhaja iz teh plasti. Tako lahkonapredujemo po celotnem vzorcu in na koncu, po mnogih vstavljanjih, dobimo celoten izraz.Za tri plasti na ta nacin dobimo

r0123 =r01 + r12e

−i2β1 +[r01r12 + e−i2β1

]r23e

−i2β2

1 + r01r12e−i2β1 + [r12 + r01e−i2β1r23e−i2β2 ], βi=1,2 = 2πdiNi cos θi/λ. (6)

4

Slika 3: Kako se siri svetloba skozi tanko plast. Indeksi nam povedo iz katere plasti v kateroplast je sel zarek. Povzeto po [1].

2.2 Polarizirana svetloba

V spektroskopski elipsometriji je merjenje spremembe polarizacije svetlobe kljucnega pomena,zato je pametno pogledati, kaksen je njen matematicni opis. Ko je elektricno polje v svetlobnemvalovanju orientirano v neko doloceno smer, recemo, da je svetloba polarizirana, ce pa so smerioscilacije polja povsem nakljucne, je taksna svetloba naravna oziroma nepolarizirana. Primerpolarizirane svetlobe sta ze prej omenjeni p- in s-polarizaciji. Za primer vzemimo, da svetlobnovalovanje potuje v smeri osi z. Njegovo polarizacijo lahko izrazimo z vsoto dveh elektricnih poljv smereh x in y, Ex in Ey:

E(z, t) = Ex(z, t) + Ey(z, t) = Ex0 ei(ωt–Kz+δx)ex + Ey0 e

i(ωt–Kz+δy)ey, (7)

kjer sta ex in ey enotska vektorja v smeri osi x in y. V resnici ne potrebujemo vredosti δxin δy, temvec le njuno razliko ∆ = δy − δx (ali obratno). Kaksen tip polarizacije imamo, jeodvisno od te razlike in lahko locimo tri primere. Ce je ∆ = 0, π, je polarizacija linearna, za∆ = π/2, 3π/2 je polarizacija krozna, za vse ostale pa elipticna.

Slika 4: Tipi polarizacij. Povzeto po [1].

5

2.2.1 Opis z Jonesovo matriko in Jonesovimi vektorji

Polarizirano svetlobo lahko opisemo z Jonesovim vektorjem, kar je ucinkovit in hiter nacin zaizracun spreminjanja polarizacije svetlobe, ko potuje skozi razlicne opticne elemente. Njihovucinek opisemo z Jonesovo matriko. Jonesov vektor predstavlja vektor elektricnih polj v smerehx in y osi, in je ponavadi tudi normaliziran. Zapisemo ga kot

E(z, t) =[Ex0 e

iδx

Ey0 eiδy

]ei(ωt−Kz) =

[ExEy

](8)

Pri obicajnih meritvah so pomembne le relativne spremembe amplitude in faze. Tako lahkolinearno, elipticno in desno krozno polarizirano svetlobo predstavljeno na sliki 4 zapisemo kot:

Elinear,x =[10

], Eelli =

12

[1 + i√

2 i

], ER =

1√2

[1i

](9)

Opticne elemente kot so polarizator ali kompenzator ponavadi se dodatno zavrtimo gledena izbrani osi x in y, zato moramo med prehodi uporabiti se rotacijsko matriko. Jonesovematrike nam napovedo, kaj se zgodi s svetlobo, ko precka dolocen opticni element. Matriki zapolarizator in kompenzator sta enostavni, in sicer:

P =[1 00 0

]C =

[1 00 e−iδ

]. (10)

A vendar matrike za depolarizator, element, ki iz polarizirane svetlobe naredi nepolarizirano,ne moremo zapisati, kar predstavlja glavni problem zapisa z Jonesovimi matrikami. Tak zapisopise le vse mozne polarizacije, ne pa tudi primera delno polarizirane ali nepolarizirane svetlobe.

2.2.2 Predstavitev s Stokesovimi parametri

Ceprav eleganten, je zapis z Jonesovimi matrikami pomanjkljiv in zato potrebujemo drugacen,bolj popoln zapis, ki bo zmozen tudi opisa delno polarizirane svetlobe. V tem primeru vzamemoStokesove parametre S0−3, ki jih izrazimo preko intenzitete polarizirane svetlobe kot

S0 = Ix + Iy, S1 = Ix–Iy, S2 = I+45◦ − I−45◦ , S3 = IR − IL (11)

V takem prikazu S0 predstavlja vso svetlobno intenziteto, S1 razliko intenzitet svetlobe polar-izirane v x in y smereh, S2 razliko za smeri +45◦ ter -45◦ in S3 razliko intenzitet desno in levokrozno polarizirane svetlobe. Ce pa Stokesove parametre zapisemo z elektricnimi polji, dobimo

S0 = ExE∗x + EyE

∗y = E2

x0 + E2y0 (12a)

S1 = ExE∗x − EyE∗y = E2

x0 − E2y0 (12b)

S2 = ExE∗y + EyE

∗x = 2Ex0Ey0 cos ∆ (12c)

S3 = i(ExE∗y − EyE∗x) = −2Ex0Ey0 sin ∆ (12d)

Tip polarizacije lahko predstavimo s Poincarejevo sfero (slika 5), ce za osi izberemo parame-tre S1−3, velikost sfere pa ponazarja S0. Tocko na sferi lahko opisemo z (Ψ,∆) koordinatnimsistemom. Izraza se preko (Ex, Ey) koordinat, kjer je tan Ψ = Ex0/Ey0 in ∆ = δx− δy. Jonesovvektor tako lahko zapisemo kot [

ExEy

]= cos Ψ

[tan Ψ ei∆

1

]. (13)

6

Slika 5: Poincarejeva sfera. Linearne polarizacije lezijo na ekvatorju, krozni polarizaciji pa napolih. Povzeto po [1].

Stokesove parametre pa lahko zapisemo kot

S0 = 1 S1 = − cos 2Ψ S2 = sin 2Ψ cos ∆ S3 = − sin 2Ψ sin ∆ (14)

Zdaj lahko predstavimo tudi delno polarizirano svetlobo. V takem primeru svetlobo sestavljajopolarizirana in nepolarizirana valovanja, ki se lahko spreminjajo s casom. Za polarizirano svet-lobo so koordinate na Poincarejevi sferi porazdeljene okoli neke fiskne tocke P, v primeru povsemnepolarizirane svetlobe pa so raztresene po celotni sferi (slika 6). Stanje polarizacije opisemo sstatisticnim povprecjem cez vse tocke na sferi v dolocenem casu. Za delno polarizirano svetlobolahko zapisemo, da je S2

0 > S21 + S2

2 + S23 , stopnja polarizacije p pa p =

√S2

1 + S22 + S2

3/S0.Zdaj lahko sestavimo Stokesov vektor, ki bo predstavljal tudi delno polarizirano svetlobo

S =

S0

S1

S2

S3

=

1

−p cos 2Ψp sin 2Ψ cos ∆−p sin 2Ψ sin ∆

. (15)

Slika 6: Prikaz povsem, delno in cisto nic polarizirane svetlobe. Povzeto po [1].

Muellerjeva matrika 4x4 ima tu enak pomen kot Jonesova 2x2, le da z njo sedaj lahkozapisemo tudi depolarizator. Ta reprezentacija je kljucna za karakterizacijo opticno anizotropnihvzorcev.

7

2.3 Opticne komponente

V besedilu je ze bilo govora o dodatnih opticnih elementih, kot so polarizator, kompenzator,depolarizator in dobro bi bilo povedati se kaksno besedo, zakaj jih pravzaprav uporabljamo.

Polarizator je element, ki ponavadi takoj sledi svetilu, saj iz nepolarizirane svetlobe, ki joustvarja vir, naredi polarizirano svetlobo v zeleni smeri. Ce pa stoji tik pred detektorjem, muponavadi recemo kar analizator. Razlika v imenih za v principu isti element sledi iz njunihrazlicnih vlog v opticnem eksperimentu.

Kompenzator je element, ki pogosto stoji takoj za polarizatorjem, da iz linearno polariziranesvetlobe naredi krozno ali elipticno polarizirano, ali obratno.

Depolarizator je element s katerim, kot nakazuje ze ime, iz polarizirane svetlobe naredimonepolarizirano. Svetlobni viri pogosto ne oddajajo popolnoma nepolarizirane svetlobe, kar paza eksperiment vcasih potrebujemo in tako za njim postavimo ta opticni element. Dodatnose lahko obcutljivost detektorjev svetlobe spreminja s polarizacijo, zato tudi tu posezemo podepolarizatorju.

3 Spektroskopska elipsometrija

Osnovna shema eksperimenta je v principu zelo preprosta. Iz izvira posljemo svetlobo skozipolarizator, nato ta pade na vzorec ter izhaja iz njega proti analizatorju in detektorju svetlobe.Pred ali za vzorcem lahko postavimo se kompenzator ali pa fazni modulator, odvisno od nacinadetekcije.

Slika 7: Shema postavitve in fotografija elipsometra. Povzeto po [2] in [4].

Glede na uporabljen vir svetlobe delimo elipsometrije na lasersko in spektroskopsko elip-sometrijo. Pri prvi uporabimo monokromatski izvir svetlobe, ponavadi He-Ne laser, pri drugipa izvir bele svetlobe, da pokrijemo spekter od infrardecega do ultravijolicnega podrocja. Sslednjo metodo, ki nas bo najbolj zanimala, lahko raziskujemo fononske in plazmonske lastnostisnovi, obnasanje kompleksnega lomnega kolicnika v celotnem zaobjetem spektru in podobno.[2]

3.1 Kaj merimo?

Pri elipsometricni meritvi na vzorec posljemo linearno polarizirano svetlobo pod Brewsterje-vim vpadnim kotom, kompleksni lomni kolicnik in debelino plasti pa odberemo iz spremembepolarizacije v prepusceni ali odbiti svetlobi.

Kot smo izvedeli iz Fresnelovih enacb (1), prepuscena oz. odbita svetloba za p- in s- kompo-nento polarizacije dozivi dokaj drugacni spremembi amplitude in faze. Iz slike (8) je razvidno,

8

Slika 8: Vpad in odboj svetlobe na vzorcu. Povzeto po [1].

da merimo vrednosti Ψ in ∆, ki ponazarjata razmerje amplitud in razliko faz med tema dvemapolarizacijama. Torej je v elipsometriji sprememba odboja svetlobe pri obeh polarizacijah ’mer-jena’ kot sprememba v stanju polarizacije. V primeru enostavne strukture lomni kolicnik ndoloca Ψ, ∆ pa ponazarja absorpcijo svetlobe v vzorcu, ki jo opisemo s koeficientom k. Vred-nosti n in k lahko pridobimo iz izmerjenih Ψ in ∆ preko Fresnelovih enacb (1).

Parametra Ψ in ∆ dobimo iz razmerja rp/rs (ce pa merimo prepusceno svetlobo, to razmerjezamenjamo s tp/ts), in sicer velja zveza:

ρ = rp/rs = tan Ψ ei∆. (16)

Slika 9: Odvisnost Ψ, ∆, rp in rs od debeline vzorca za sestavo tanke plasti zrak/SiO2/c-Si, zavpadno svetlobo 633 nm in vpadni kot θ = 70◦.

9

3.2 Razlicni elipsometri

Do zacetka sedemdesetih let prejsnjega stoletja se je uporabljalo le elipsometricno napravo zanicelno elipsometrijo, ki se jo dandanes le se redko uporablja. Spektroskopske elipsometre, kise uporabljajo danes, lahko razdelimo v dve skupini, naprave z vrtecimi opticnimi elementi(vrtec analizator (RAE) in vrtec kompenzator (RCE)) in naprave s fotoelasticnim modulator-jem (PME) [1]. Vse naprave imajo osnovno shemo, predstavljeno ze na zacetku poglavja (slika7), ter dodatne komponente, ki prinasajo prednosti in slabosti posameznih konfiguracij.

Elipsometri z vrtecimi komponentami lahko zajemajo podatke na priblizno vsako stotinkosekunde, kar je seveda omejeno s hitrostjo vrtenja elementov (ponavadi 10-100 Hz). Po drugistrani pa je pri PME najkrajsi cas merjenja omejen z resonancno frekvenco piezo pretvornika(okoli 50 kHz), kar pomeni, da lahko zajemamo podatke z resolucijo 20 µs. Ta hitrost ze zadosca,da lahko opazujemo odziv tekocekristalnih molekul na elektricno polje.

Kljub tej ocitni prednosti pa ima PME dodatno slabost, saj je stevilo razlicnih valovnihdolzin, ki jih lahko uporabimo pri meritvi, za velikostni red manjse kot pri ostalih napravah (10namesto 200). Temu botruje dejstvo, da je pri fotoelasticnem modulatorju fazni zamik odvisenod valovne dolzine in je zato potrebno ustrezno spreminjati napetost na njem, da ohranimostalen fazni zamik. Pri RAE, je stevilo razlicnih valovnih dolzin odvisno le od stevila slikovnihelementov na fotodiodnem detektorju, ki pa ne sme biti preveliko, saj v tem primeru izgubimonatancnost meritve zaradi manjse intenzitete svetlobe, ki pade na posamezen slikovni element.RAE tudi nima elementov, katerih delovanje bi bilo odvisno od valovne dolzine, zato pravimo,da je akromaticen, kar pa za RCE ne velja, saj vsebuje opticno dvolomne materiale, ki izkazujejoodvisnost faznega zamika od valovne dolzine (barvna disperzija).

Nicelna elipsometrija, metoda omenjena na zacetku tega razdelka, se v principu dokaj raz-likuje od modernejsih metod. Postavitev elementov je enaka kot pri RCE elipsometriji, vendarsta polarizator in analizator zavrtena tako, da intenziteta zaznane svetlobe pade na nic, vred-nosti Ψ in ∆ pa izracunamo iz kotov potrebnih za tak efekt. Ce minimum intenzitete svetlobeocenimo kar na oko, lahko meritve izvajamo brez elektronske opreme, in prav zato je prvetake meritve lahko izvedel ze Drude vec kot sto let nazaj. Dandanes se ta princip vecinomauporablja, seveda avtomatiziran, se pri slikovni (laserski) elipsometriji, kjer imamo namesto de-tektorja CCD kamero, posnamemo pa lahko sliko precnega profila intenzitete odbite svetlobe.Metoda je dosti hitrejsa od razlicnih skeniranj in se zadnje case uporablja denimo za pregledDNK cipov.[1]

4 Analiza podatkov

Da bi pridobili opticne konstante in debelino vzorca, moramo narediti model dielektricne funkcije,skonstruirati opticni model in nazadnje prilagoditi teoreticni model izmerjenim vrednostim Ψ(λ)in ∆(λ).

4.1 Model dielektricne funkcije

Ce ne poznamo dielektricne funkcije vzorca, je potrebno predpostaviti hipoteticno funkcijo gledena opticne lastnosti vzorca. Za prozorne materiale se uporablja Sellmeierjev ali Cauchyev model,kadarr imamo opravka z absorpcijo na prostih nosilcih naboja (kovine) pa Drudejev model. Zaopis elektricne polarizacije v vidnem in UV delu spektra se uporablja Lorentzov model, priblizekharmonske oscilacije (HOA) in model dielektricne funkcije (MDF).

10

4.1.1 Lorentzov model

V tem klasicnem modelu privzamemo, da imamo negativno nabit elektron, ki je vezan napozitivno nabito jedro preko vzmeti (slika 10). Ce nanj posvetimo s svetlobo, bo njeno izmenicnoelektricno polje induciralo dielektricno polarizacijo (v smeri x). Model predpostavlja, da jeelektron kroglica, ki niha v viskozni tekocini, jedro pa je fiksirano, saj je njegova masa dostivecja od elektronove mase me. Nihanje elektrona opisemo z 2. Newtonovim zakonom, ki v temprimeru vodi do izraza

med2x

dt2= −meΓ

dxdt

– meω20x – eE0 e

iωt. (17)

Slika 10: Klasicni model dielektricne polarizacije. kF je konstanta vzmeti, ν frekvenca. Povzetopo [1].

Oblika enacbe je znana iz mnogih drugih sistemov, na primer LCR kroga ali dusenegamatematicnega nihala. Prvi clen na desni predstavlja viskozno silo (Γ je koeficient dusenja,sorazmeren z viskozno silo), drugi Hookov zakon (ω0 =

√kF /me je lastna frekvenca vzmeti),

zadnji pa elektrostatsko silo. Zaradi zadnjega clena, ki predstavlja vsiljeno nihanje, bomo iskaliresitve oblike x(t) = Aeiωt. Resitev enacbe je tako

x(t) = −eE0

me

1(ω2

0 − ω2) + iΓω. (18)

Na osnovi zvez za polarizacijo P = −eNex(t) = (ε− 1)ε0E, kjer je Ne stevilo elektronov naenoto volumna, lahko zapisemo dielektricno konstanto ε = ε1 + iε2 kot

ε = 1 +e2Ne

ε0me

1(ω2

0 − ω2) + iΓω(19)

4.1.2 Sellmeierjev in Cauchyev model

Selmeierjev model odgovarja obmocju Lorentzovega modela, kjer je ε2 ≈ 0 in Γ→ 0 pri ω � ω0.V tem primeru dobimo povsem empiricno zvezo

ε1 = n2 = A+∑j

Bjλ2

λ2 − λ20j

, (20)

kjer A in B ponazarjata iskane parametre pri analizi, λ0 pa odgovarja ω0. Cauchyev modelpa je samo priblizek Sellmeierjevega modela, ki ga dobimo z razvojem zgornje funkcije:

n = A+B/λ2 + C/λ4 + . . . (21)

11

4.1.3 Drudejev model

Prosti nosilci naboja v kovinah in polprevodnikih absorbirajo svetlobo in tako spremenijo dielek-tricno funkcijo, kar opisemo z Drudejevim modelom. 2. Newtonov zakon za proste nosilcenaboja lahko zapisemo kot

m∗d2x

dt2= −m

∗

〈τ〉dxdt

– eE0 eiωt, (22)

kjer je 〈τ〉 povprecen sipalni cas. Dielektricno funkcijo lahko zapisemo kot

ε = ε∞

(1−

ω2p

ω2 − iωΓ

), ωp =

√e2Nf

ε0ε∞m∗, (23)

kjer je Γ = 〈τ〉−1, ωp plazemska frekvenca, ε∞ dielektricna konstanta pri visokih frekvencah,Nf pa stevilo nosilcev naboja na enoto volumna.

Slika 11: Dielektricna funkcija za Lorentzov model za silicij in Drudejev model prevodnegaoksida. Povzeto po [1].

4.2 Opticni modeli

Ko izberemo ustrezen model dielektricne funkcije, moramo predpostaviti se, kako je sestavljenastruktura nasega vzorca, saj je od tega odvisna nadaljna obravnava. Slika (12) ponazarja opticnemodele, ki so v uporabi pri elipsometricni analizi podatkov, od najpreprostejsega, do najboljzapletenega.

Najenostavnejsi primer predstavlja le debela plast neynanega materiala, ki mora biti de-belejsa od petih vdornih globin svetlobe. Obravnava je nekoliko tezja, ce moramo zaradi majhnedebeline plasti upostevati se podlago in odboje od nje (podlaga mora biti seveda dovolj debela).Stvari se dodatno zapletejo, ce povrsina ni ravna (c), kar je lahko posledica slabo pripravl-jenega vzorca ali pa samo lastnost strukture in moramo tako upostevati hrapavost. Naslednjipo tezavnosti sledi vzorec, na katerega naletimo najpogosteje, to je vecplastni vzorec, kjer imavsaka nova plast svoje lastnosti (d). Slika (e) prikazuje primer jedkanega vzorca, kjer imamo lese ’otoke’ prvotnih plasti. Analizo si lahko poenostavimo, ce prej s CCD kamero posnamemosliko povrsine in si za nadaljno analizo izberemo le tiste dele z enako sestavo. V primeru, danasa podlaga ni bila ravna, pa dobimo strukturiran vzorec, katerega obravnava je najtezja (f),a si jo lahko poenostavimo na podoben naein kot za jedkan vzorec.

Problem nastane tudi, ce ima nas vzorec depolarizacijski efekt, saj vecina merilnih napravpredpostavi vpad popolnoma polarizirane svetlobe. Krivci za depolarizacijo so lahko:

12

Slika 12: Opticni modeli. dp predstavlja vdorno globino svetlobe. [1].

(a) sipanje svetlobe na zelo hrapavi povrsini

(b) spreminjanje vpadnega kota svetlobe zaradi sibke kolimacije

(c) spreminjanje valovne dolzine zaradi koncne pasovne sirine monokromatorja

(d) nehomogenost debeline plasti vzorca na podlagi

(e) odboj od spodnje plasti podlage, ce je absorpcija v njej premajhna

Pri takih vzorcih se posluzimo Muellerjevih matrik pri izracunu polarizacije.

5 Zakljucek

V seminarju smo spoznali fizikalne osnove, potrebne za razumevanje elipsometrije ter osnovnemetode delovanja taksnih naprav in postopek analize dobljenih meritev. Vprasali bi se lahko,zakaj ne bi izvajali le enostavne meritve intenzitete svetlobe odbite od vzorca, zakaj bi si daliopravka z bolj zapleteno konfiguracijo in analizo. Prednosti tehnike elipsometrije v primerjaviz enostavno meritvijo so stevilne. Pri elipsometriji merimo razmerje intenzitet, zato so nasemeritve manj odvisne od nestabilnosti svetila ali absorpcije svetlobe v zraku. Ne potrebujemoreferencne meritve, prav tako pa sta hkrati izmerjena realni in imaginarni del kompleksnegalomnega kolicnika, zato nam ni potrebno uporabiti Kramers-Kronigovih relacij, ki povezujejo tidve vrednosti. Najbolj pa se elipsometrija izkaze pri meritvah anizotropnih vzorcev.[2]

Zaradi razvoja podrocij kot so polprevodniska industrija in nanotehnologija, kjer potrebu-jemo natancno karakterizacijo tankoplastnih struktur, caka elipsometre se veliko dela.

Literatura

[1] H. Fujiwara, Spectroscopic Ellipsometry; Principles and Applications, John Willey & Sons,Ltd (2007)

13

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipsometry (20.5.2012)

[3] K. Vedam, Spectroscopic ellipsometry: a historical overview, Thin Solid Films 313-314 1-9(1998)

[4] http://www.gaertnerscientific.com/ellipsometers/l116sf.htm (20.5.2012)

14