Razli cite karakterizacije proizvoda projektora · 2019-08-29 · erator, idempotenti i ortogonalni projektori, direktna suma potprostora, teo-rema o ortogonalnoj dekompoziciji, Banahovi

Univerzitet u Nisu

Prirodno-matematicki fakultet

Departman za matematiku

Razlicite karakterizacijeproizvoda projektora

Master rad

Mentor: Student:

Prof. dr. Dragana Cvetkovic-Ilic Miljan Ilic

Nis, 2019.

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Osnovni pojmovi i teoreme 22.1 Metricki i vektorski prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Normirani, Banahovi i Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . 52.3 Kvocijent prostori i direktna suma prostora . . . . . . . . . . 72.4 Projektori, ortogonalni projektori i ortogonalnost . . . . . . . 102.5 Parcijalna izometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 Ograniceni linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7 Hilbert adjungovani operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Proizvod idempotentnih operatora 193.1 Skup QQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Skupovi (QQ)T i [QQ]T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Razlaganje operatora u QQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Proizvod ortogonalnih projektora i polarne dekompozicije 374.1 Uvodni rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Operatori oblika PQ,P,Q ∈ P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Operatori oblika PQP, P,Q ∈ P . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Polarna dekompozicija za PQ,P,Q ∈ P . . . . . . . . . . . . . 484.5 Moore-Penrose-ov inverz za PQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Literatura 57

Biografija 57

1 Uvod

Neka je H Hilbertov prostor. Sa L(H) oznacimo algebru svih ogranicenihlinearnih operatora na H, dok skup svih idempotenata na H oznacavamosa Q = {E ∈ L(H) : E2 = E}, a skup ortogonalnih projektora na H saP = {P ∈ Q : P = P ∗}.

Tema ovog rada bice karakterizacija skupova proizvoda ovih operatora.Izlozicemo rezultate rada [2] u kome je razmatran skup X := PP = {PQ :P,Q ∈ P}. To je dalo motivaciju za izucavanje njegovog daleko sireg nad-skupa QQ = {PQ : P,Q ∈ Q}, kao i skupa {PQP : P,Q ∈ P}. Razma-tracemo skup svih dekompozicija operatora T ∈ QQ, {(E,F ) ∈ Q×Q : T =EF} i pokazati da u slucaju T ∈ PP postoji najoptimalnija dekompozicijaoperatora, naime T = PR(T )PN(T )⊥ .

Rad je podeljen na tri dela. U prvom delu su dati uvodni rezultati kojisu nam potrebni u daljem radu. Tu su izlozeni osnovni pojmovi i teoremefunkcionalne analize (ograniceni linearni operatori, Hilbert adjungovani op-erator, idempotenti i ortogonalni projektori, direktna suma potprostora, teo-rema o ortogonalnoj dekompoziciji, Banahovi i Hilbertovi prostori).

U drugom delu se koncentrisemo na skup QQ i njegove karakterizacije.Pokazujemo da svako T ∈ L(H) takvo da je (R(T ), N(T )) ∈ X pripada skupuQQ, gde je X skup svih parova zatvorenih potprostora od H. Bavicemo sei skupovima (QQ)T = {(E,F ) ∈ Q × Q : T = EF} i [QQ]T = {(E,F ) ∈(QQ)T : R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T )} i nekim njihovim karakterizacijama,koje ce nam zajedno sa projektorom HF,E, za koji vazi R(HF,E) = R(F )i N(HF,E) = N(E), pomoci u davanju novog opisa skupa QQ. Glavuzavrsavamo davanjem dovoljnog uslova da operator T ∈ L(H) pripada uQQ, u slucaju da je dimenzija prostora konacna.

U trecoj glavi se bavimo nekim svojstvima operatora skupa X i dajemokarakteriazciju skupa XT = {(P,Q) : P,Q ∈ P , T = PQ}, za T ∈ X.Pokazujemo i da kanonska faktorizacija T = PR(T )PN(T ) ima neka optimalna

svojstva. Govoricemo o skupovima D = {PQP : P,Q ∈ P} i DS = {(P,Q) ∈P×P : S = PQP}, kao i o resavanju problema min{‖P−Q‖ : (P,Q) ∈ DS},za svaki S ∈ D. Takode cemo dati karakterizaciju skupa JX izometrijskihdelova operatora iz X i pokazati da je X = {V 2 : V ∈ JX}.

Zahvalio bih se svom mentoru, prof. dr. Dragani Cvetkovic-Ilic na podrscii pomoci prilikom izrade ovog rada.

1

2 Osnovni pojmovi i teoreme

2.1 Metricki i vektorski prostori

Definicija 2.1.1. Neka je X neprazan skup. Funkcija d : X × X → R jemetrika na skupu X ako zadovoljava sledece uslove:

1. d(x, y) ≥ 0, za svako x, y ∈ X

2. d(x, y) = 0 ako i samo ako je x = y

3. d(x, y) = d(y, x), za svako x, y ∈ X

4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), za svako x, y, z ∈ X .

Ureden par (X , d) je metricki prostor.

Neka je (X , d) metricki prostor, a ∈ X i r > 0. Skupovi

K(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r},

K[a, r] = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r},

nazivaju se, respektivno, otvorena i zatvorena kugla u X sa centrom a ipoluprecnikom r.Niz (xn)n u (X , d) konvergira ka x ∈ X ako d(xn, x)→ 0 kada n→∞.Funkcija f sa metrickog prostora X u metricki prostor Y je neprekidna utacki a ∈ X ako za svako ε > 0, postoji δ > 0, tako da iz d(x, a) < δ sledid(f(x), f(a)) < ε.Za podskup E metrickog prostora X kazemo da je ogranicen ako je sadrzanu nekoj kugli (otvorenoj ili zatvorenoj) prostora X . Tacka a ∈ E je unu-trasnja tacka skupa E ako postoji r > 0 tako da je K(a, r) ⊆ E. Skup svihunutrasnjih tacaka oznacava se sa intE. Skup E je otvoren ako je E = intE.Tacka a ∈ X je atherentna tacka skupa E ako i samo ako postoji niz (an)n uE koji konvergira ka a. Skup svih atherentnih tacaka skupa E oznacavamosa E i nazivamo zatvorenje skupa E. Podskup E metrickog prostora X jezatvoren ako i samo ako za svaki niz (xn)n iz E za koji je lim

n→∞xn = x, x ∈ X ,

sledi x ∈ E tj. ako i samo ako je E = E. Skup E je otvoren ako i samo akoje skup X \ E zatvoren.

Neka su X i Y metricki prostori i neka je funkcija f : X → Y . Inverznaslika skupa E ⊆ Y funkcijom f je skup f−1(E) = {x ∈ X : f(x) ∈ E}.

2

Inverzna slika zatvorenog (otvorenog) skupa u Y neprekidnom funkcijom fje zatvoren (otvoren) skup u X .

Skup E ⊆ X je gust u X ako je E = X . Prostor X je separabilan akopostoji najvise prebrojiv skup E ⊆ X koji je gust u X . Skup K ⊆ X jekompaktan ako svaki niz tacaka (xn)n u K sadrzi konvergentan podniz cijaje granicna vrednost u K. Skup K ⊆ X je relativno kompaktan ako je Kkompaktan skup.

Niz tacaka (xn)n metrickog prostora (X , d) je Kosijev niz ako za svakoε > 0, postoji n0 ∈ N, tako da iz m,n ≥ n0 sledi d(xm, xn) < ε. Svakikonvergentan niz je Kosijev. Obrnuto u opstem slucaju ne vazi. Metrickiprostor (X , d) je kompletan ako je u njemu svaki Kosijev niz konvergentan.

Neka je X neprazan skup i K polje realnih brojeva R ili polje kompleksnihbrojeva C. Neka je definisana operacija + na skupu X koja je asocijativna,komutativna i za koju postoji neutralni element 0 u odnosu na koju je svakielement invertibilan (x + 0 = 0 + x = x i postoji (−x) ∈ X tako da vazix + (−x) = (−x) + x = 0 za svako x ∈ X ). Neka je definisana operacija· : K×X → X (pisemo α · x = αx) tako da su zadovoljeni sledeci uslovi:

1. 1x = x, za svako x ∈ X

2. α(x+ y) = αx+ αy, za svako α ∈ K i za svako x, y ∈ X

3. (α + β)x = αx+ βx, za svako α, β ∈ K i za svako x ∈ X

4. α(βx) = (αβ)x, za svako α, β ∈ K i za svako x ∈ X

U tom slucaju za uredenu trojku (X ,+, ·) kazemo da je vektorski prostor nadK. Obicno kazemo X je vektorski prostor nad K.

Ako su x1, x2, ..., xn ∈ X i α1, α2, ..., αn ∈ K, vektor

α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn

se zove linearna kombinacija vektora x1, x2, ..., xn. Skup svih linearnih kombi-nacija vektora iz skupa A ⊆ X zove se lineal nad skupom A u oznaci

Lin(A) = {α1x1 + · · ·+ αnxn : x1, x2, ..., xn ∈ X , α1, α2, ..., αn ∈ K, n ∈ N}.

Vektori x1, x2, ..., xn ∈ X su linearno nezavisni ako iz α1x1 + · · ·+ αnxn = 0sledi α1 = α2 = · · · = αn = 0. Vektori x1, x2, ..., xn ∈ X su linearno

3

zavisni ako nisu linearno nezavisni. Familija {xi : i ∈ I} vektora prostoraX je linearno nezavisna ako je za svaki konacan podskup I0 ⊆ I, familija{xi : i ∈ I0} linearno nezavisna.Familija {ei : i ∈ I} je algebarska (Hamelova) baza vektorskog prostora Xako je ona linearno nezavisna i ako za skup E = {ei : i ∈ I} vazi Lin(E) = X .

Teorema 2.1.1. Vaze sledeca tvrdenja:

1. Svaki vektorski prostor ima bar jednu algebarsku bazu.

2. Svake dve algebarske baze imaju isti kardinalni broj.

Kardinalni broj bilo koje algebarske baze vektorskog prostora X naziva se(algebarska) dimenzija prostora X i oznacava se sa dimX . Ako je kardinalnibroj algebarske dimenzije beskonacan, pisemo dimX = ∞ i kazemo da jeprostor beskonacno-dimenzionalan. Ako je dimX <∞ kazemo da je prostorkonacno-dimenzionalan (dim{0} = 0).

Definicija 2.1.2. Za neprazan podskup P ⊆ X kazemo da je potprostorvektorskog prostora X ako zadovoljava:

1. x, y ∈ P ⇒ x+ y ∈ P

2. x ∈ P ∧ α ∈ K⇒ αx ∈ P .

Neka su X i Y vektorski prostori nad istim poljem skalara K. PreslikavanjeA : X → Y je linearno ako vazi

A(αx+ βy) = αA(x) + βA(y), za svako x, y ∈ X i svako α, β ∈ K.

Pisemo Ax umesto A(x). Skup svih linearnih preslikavanja sa X u Y ,oznacavamo sa L(X ,Y), i to je vektorski prostor sa uobicajnim algebarskimoperacijama. Za A,B ∈ L(X ,Y) i α ∈ K, x ∈ X vazi

(A+B)x = Ax+Bx, (αA)x = αAx.

Nula u prostoru L(X ,Y) je preslikavanje 0 definisano sa 0x = 0, za svakox ∈ X . Element prostora L(X ,Y) nazivamo (linearan) operator. Ako jeX = Y , umesto L(X ,Y) pisemo L(X ). Identican operator I ∈ L(X ) jedefinisan sa Ix = x, za svako x ∈ X . Kada je potrebno naglasiti na kom jeprostoru definisan identican operator cesto se umesto I pise IX .

4

Jezgro operatora A, u oznaci N (A), je skup

N (A) = {x ∈ X : Ax = 0}

Slika operatora A, u oznaci R(A), je skup

R(A) = {Ax : x ∈ X}.

Jezgro i slika operatora A su potprostori, respektivno, u X i Y . A je inje-ktivno preslikavanje ako i samo ako je N (A) = {0}. A je surjektivno pre-slikavanje ako i samo ako je R(A) = Y . Ako je A injektivno i surjektivnopreslikanje tada je A bijektivno preslikavanje, a kako se radi o linearnompreslikavanju, tada se za A kaze da je izomorfizam vektorskih prostora X iY . Ako je A izomorfizam, tada postoji inverzno preslikavanje A−1 ∈ L(Y ,X )preslikavanja A tako da je AA−1 = IY i A−1A = IX .

Lema 2.1.1. Neka su X i Y vektorski prostori i A ∈ L(X ,Y) injektivnopreslikavanje. Ako je familija {xi : i ∈ I} linearno nezavisna, tada je ifamilija {Axi : i ∈ I} linearno nezavisna.

Teorema 2.1.2. Dva vektorska prostora su izomorfna ako i samo ako imajujednake dimenzije.

2.2 Normirani, Banahovi i Hilbertovi prostori

Definicija 2.2.1. Neka je X vektorski prostor nad poljem K. Normom naX nazivamo funkciju ‖ · ‖ : X → R koja zadovoljava sedece uslove:

1. ‖x‖ ≥ 0, za svako x ∈ X

2. ‖x‖ = 0 ako i samo ako x = 0

3. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖, za svako λ ∈ K i svako x ∈ X

4. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, za svako x, y ∈ X .

Par (X , ‖ · ‖) naziva se normirani prostor (obicno kazemo X je normiranprostor).

Ako je X normiran prostor i dimenzija vektorskog prostora X konacna (besko-nacna), tada se kaze da je normiran prostor X konacno-dimenzionalan (besko-nacno-dimenzionalan).

5

Definicija 2.2.2. Neka je X normiran prostor i funkcija d : X × X → Rdefinisana sa

d(x, y) = ‖x− y‖, za svako x, y ∈ X .

Tada je (X , d) metricki prostor. Za funkciju d se kaze da je metrika definsananormom ili prirodna metrika na normiranom prostoru.

Kako je (X , ‖ · ‖) normirani prostor ujedno i metricki prostor (X , d), to sesvi pojmovi i stavovi za metricke prostore na prirodan nacin prenose i nanormirane prostore.

Definicija 2.2.3. Normirani prostor X je Banahov ako je (X , d) kompletanmetricki prostor, gde je d metrika definisana normom.

Teorema 2.2.1. Svaki konacno-dimenzionalni potprostor normiranog pros-tora je komletan (Banahov).

Teorema 2.2.2. Svaki konacno-dimenzionalni potprostor Y normiranog pro-stora X je zatvoren u X .

Teorema 2.2.3. Neka je Y potprostor Banahovog prostora X . Y je komple-tan ako i samo ako je Y zatvoren.

Definicija 2.2.4. Skalarni proizvod na kompleksnom vektorskom prostoru Xje funkcija s : X × X → C koja zadovoljava sledece uslove:

1. s(λ1x1 + λ2x2, y) = λ1s(x1, y) + λ2s(x2, y), za svako λ1, λ2 ∈ C i svakox1, x2, y ∈ X

2. s(x, λ1y1 + λ2y2) = λ1s(x, y1) + λ2s(x, y2), za svako λ1, λ2 ∈ C i svakox, y1, y2 ∈ X

3. s(x, y) = s(y, x), za svako x, y ∈ X

4. s(x, x) ≥ 0, za svako x ∈ X

5. s(x, x) = 0 ako i samo ako x = 0.

Uredeni par (X , s) naziva se unitaran prostor.

U unitarnom prostoru skalarni proizvod se obicno ozacava sa ( , ), tj.(x, y) = s(x, y) za svako x, y ∈ X . Kao i kod normiranog prostora, obicno sekaze X je unitaran prostor.

6

Definicija 2.2.5. Neka je X unitaran prostor. Za normu

‖x‖ = (x, x)12 , x ∈ X ,

kaze se da je norma definisana skalarnim proizvodom. Podrazumeva se daje unitaran prostor X normiran prostor sa ovom normom. Ako je unitaranprostor X Banahov, tada se za X kaze da je Hilbertov prostor.

Teorema 2.2.4 (Polarizaciona jednakost). Ako je X kompleksan uni-taran prostor, tada za svako x, y ∈ X imamo

(x, y) =1

4(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2) +

i

4(‖x+ iy‖2 − ‖x− iy‖2).

Ako je X realan unitaran prostor, tada za svako x, y ∈ X imamo

(x, y) =1

4(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2).

2.3 Kvocijent prostori i direktna suma prostora

Ako je Y potprostor vektorskog prostora X , tada je kvocijent prostor (faktorprostor, kolicnik prostor)

X/Y = {x+ Y : x ∈ X}

vektorski prostor, sa operacijama sabiranje vektora

(x+ Y ) + (y + Y ) = (x+ y) + Y , za svako x, y ∈ X ,

i mnozenja vektora skalarom

λ(x+ Y ) = λx+ Y , za svako λ ∈ K i svako x ∈ X .

Napomenimo da je Y nula u vektorskom prostoru X/Y .

Teorema 2.3.1. Neka je Y zatvoren potprostor normiranog prostora X i‖ · ‖Y : X/Y → R funkcija definisana sa

‖x+ Y ‖Y = inf{‖x+ y‖ : y ∈ Y }

Tada je ‖ · ‖Y norma na vektorskom prostoru X/Y .

Definicija 2.3.1. Neka je Y zatvoren potprostor normiranog prostora X .Norma ‖ · ‖Y naziva se kvocijent norma na vektorskom prostoru X/Y .

7

Neka su M i N potprostori vektorskog prostora X . Tada skup

Z = M +N = {x+ y : x ∈M, y ∈ N}

oznacava sumu potprostora M i N i on je takode potprostor prostora X .Ako je M ∩N = {0}, kazemo da je Z direktana suma potprostora M i N , iu tom slucaju koristi se oznaka

Z = M uN.

Ako je X = M u N , kaze se da je potprostor N algebarski komplementpotprostora M .

Teorema 2.3.2. U vektorskom prostoru X svaki potprostor ima algebarskikomplement.

Neka vazi X = M u N , gde su M i N potprostori vektorskog prostora X .Posmatrajmo preslikavanje QM : X → X/M definisano sa

QMx = x+M , za svako x ∈ X

i njegovu restrikciju na N , u oznaci Q : N → X/M .Preslikavanje QM je linearno preslikavanje, pa je takvo i preslikavanje Q.Neka je Qx = M za neko x ∈ N . Tada je x + M = M tj. x ∈ M . Kako jeN ∩M = {0} sledi x = 0. Dakle, Q je injektivno preslikavanje.Neka je Y ∈ X/M proizvoljno. Tada postoji x ∈ X tako da je Y = x + M .Kako je X = M u N sledi x = x1 + x2 za x1 ∈ M i x2 ∈ N . ImamoY = x + M = QM(x1 + x2) = x1 + M + x2 + M = x2 + M = Qx2. Sledi Qje surjektivno preslikavanje.Dokazali smo da je Q izomorfizam tj. vektorski prostori N i X/M suizomorfni, pa na osnovu Teoreme 2.1.2 sledi da je dimN = dimX/M .

Definicija 2.3.2. Kodimenzija prostora M , u oznaci codimM , je definisanasa

codimM = dimX/M.

Lema 2.3.1. Neka su M,N ⊆ X potprostori vektorskog prostora X tako daje M ∩N = {0}. Tada je dimN ≤ codimM .

Dokaz. Preslikavanja Q je linearno i injektivno. Na osnovu Leme 2.1.1 sledidimN ≤ dimX/M = codimM .

8

Lema 2.3.2. Neka su X i Y vektorski prostori i A ∈ L(X ,Y). Tada jecodimN (A) = dimR(A).

Dokaz. Neka je preslikavanje A1 : X/N (A)→ R(A) dato sa

A1(x+N (A)) = Ax.

Lako se pokazuje da je preslikavanje A1 izomorfizam, pa sledi

codimN (A) = dimX/N (A) = dimR(A).

Teorema 2.3.3. Bilo koja dva algebarska komplementa potprostora M imajujednaku dimenziju i ona je jednaka codimM .

Teorema 2.3.4 (Kato). Neka su X i Y Banahovi prostori i A ∈ B(X ,Y).Ako je Z zatvoren potprostor u Y takav da je R(A) u Z zatvoren potprostoru Y, tada je R(A) zatvoren potprostor u Y.

Posledica 2.3.1. Neka su X i Y Banahovi prostori i A ∈ B(X ,Y). Ako jeY/R(A) konacno-dimenzionalan prostor, tada je R(A) zatvoren potprostoru Y.

Lema 2.3.3. Neka su X i Y vektorski prostori nad poljem K, A ∈ L(X ,Y)i potprostor M ⊆ X tako da je X = M u N (A). Tada je preslikavanjeA|M : M → R(A), definisano sa A|Mx = Ax za svako x ∈M , izomorfizam.

Dokaz. Neka je A|Mx = 0 za neko x ∈ M . Tada je x ∈ N (A). Kako jeN (A) ∩M = {0} sledi x = 0. Dakle, A|M je injektivno preslikavanje.Neka je y ∈ Y proizvoljno. Tada postoji x ∈ X tako da je y = Ax. Kakoje X = M u N (A) sledi x = x1 + x2 za x1 ∈ M i x2 ∈ N (A). Imamoy = A(x1+x2) = Ax1+Ax2 = A|Mx1. Sledi preslikavanje A |M je surjektivno.A|M je linearno, pa sledi A|M je izomorfizam.

Definicija 2.3.3. Ako je X normiran prostor, M i N zatvoreni potprostoriu X i X = M u N , tada se kaze da je potprostor N topoloski komplementpotprostora M , i da je X topoloska direktna suma potprostora M i N .

Teorema 2.3.5. Svaki konacno-dimenzionalni potprostor M ⊆ X normira-nog prostora X ima topoloski komplement tj. postoji zatvoren potprostor Nu X takav da je

X = M uN.

9

Teorema 2.3.6. Ako je M zatvoren potprostor normiranog prostora X icodimM <∞ tada postoji zatvoren potprostor N u X tako da je

X = M uN.

Teorema 2.3.7. Neka je M zatvoren potprostor Banahovog prostora X .Tada postoji zatvoren potprostor N u X tako da je

X = M uN

ako i samo ako postoji projektor P ∈ B(X ) takav da je R(P ) = M .

2.4 Projektori, ortogonalni projektori i ortogonalnost

Neka je X unitaran prostor i x, y ∈ X . Ako je (x, y) = 0, kaze se da je xortogonalan na y, i oznacava sa x ⊥ y. Kako iz (x, y) = 0 sledi (y, x) = 0, toje ⊥ simetricna relacija. Ako su E i F podskupovi u X i ako je svaki vektoriz E ortogonalan na svaki vektor iz F , tada je skup E ortogonalan na skupF , i to se oznacava sa E ⊥ F . Ocigledno je tada i F ⊥ E.Ako E ⊆ X , tada E⊥ oznacava skup svih y ∈ X takvih da je y ⊥ x, za svakox ∈ E. Skup E⊥ naziva se ortogonalni komplement skupa E. Obicno se piseE⊥⊥ umesto (E⊥)⊥.

Teorema 2.4.1 (Teorema o ortogonalnoj dekompoziciji). Neka je Mzatvoren potprostor Hilbertovog prostora X . Za z ∈ X , postoje jednoznacnoodredeni vektori x ∈M i y ∈M⊥ tako da je z = x+ y. Prema tome

X = M ⊕M⊥

i ova direktna suma naziva se ortogonalna suma.

Definicija 2.4.1. Neka je M zatvoren potprostor Hilbertovog prostora X .Tada se svako x ∈ X moze na jedinstven nacin prikazati kao x = x1 + x2,gde je x1 ∈M i x2 ∈M⊥. Preslikavanje P : X → X defenisano sa Px = x1naziva se ortogonalni projektor i oznacava sa PM .

Teorema 2.4.2. Ako su E i F podskupovi unitarnog prostora X tada vazi:

1. E⊥ je zatvoren potprostor u X

2. E ∩ E⊥ ⊆ {0}

10

3. X⊥ = {0} , {0}⊥ = X

4. Ako je E ⊆ F tada je F⊥ ⊆ E⊥

5. E ⊆ E⊥⊥

6. E⊥ = E⊥⊥⊥.

Ako je M potprostor Hilbertovog prostora X tada:

7. M⊥ = M⊥

= Lin(M)⊥ = Lin(M)⊥

8. M ∩M⊥ = {0}

9. M⊥⊥ = M

10. M = X ⇔M⊥ = {0}.

Definicija 2.4.2. Podskup E unitarnog prostora X je ortogonalan ako izx, y ∈ E i x 6= y sledi x ⊥ y. Ortogonalan skup E je ortonormiran ako jenorma svakog elementa iz E jednaka 1. Ortonormiran skup E je kompletan(potpun, maksimalan) ako nije pravi podskup nijednog ortonormiranog skupau X .

Teorema 2.4.3. Ako je X 6= {0}, tada X sadrzi kompletan ortonormiranskup.

Teorema 2.4.4 (Pitagorina teorema). Neka je {x1, x2, ..., xn} ortogonalanpodskup unitarnog prostora X . Tada je

‖n∑

k=1

xk‖2 =n∑

k=1

‖xk‖2.

Teorema 2.4.5 (Beselova nejednakost). Neka je {en : n ∈ N} ortonormi-ran skup u unitarnom prostoru X . Tada je

∞∑i=1

| (x, ei) |2 ≤ ‖x‖2.

Teorema 2.4.6. Neka je {ei : i ∈ I} ortonormiran skup u unitarnom pros-toru X i x ∈ X . Tada je (x, ei) = 0 za najvise prebrojivo mnogo i ∈ I.

11

Definicija 2.4.3. Neka je {ei}i∈I ortonormiran skup u unitarnom prostoruX i x ∈ X . Skalari αi = (x, ei), i ∈ I, nazivaju se Furijeovi koeficijentielementa x u odnosu na ortonormirani skup {ei}i∈I .

Teorema 2.4.7. Neka je {ei}i∈I ortonormiran skup u Hilbertovom prostoruX . Sledeci uslovi su ekvivalentni:

1. Skup {ei}i∈I je kompletan

2. Ako je x ∈ X , i (x, ei) = 0 za svako i ∈ I, tada je x = 0

3. X je najmanji zatvoren potprostor koji sadrzi skup {ei}i∈I

4. Ako je x ∈ X , tada je x =∑i∈I

(x, ei)ei (Furijeov razvoj)

5. Ako x, y ∈ X , tada je (x, y) =∑i∈I

(x, ei)(ei, y) (Parsevalova jednakost)

6. Ako je x ∈ X , tada je ‖x‖2 =∑i∈I

| (x, ei) |2 (Parsevalova jednakost).

Definicija 2.4.4 (Hilbertova baza). Neka je {ei}i∈I ortonormiran skup uHilbertovom prostoru X . Ako je X najmanji zatvoren potprostor koji sadrziskup {ei}i∈I , tada je skup {ei}i∈I Hilbertova (ortonormirana) baza prostoraX .

Teorema 2.4.8. Svaki Hilbertov prostor ima ortonormiranu bazu.

Teorema 2.4.9. Sve ortonormirane baze u Hilbertovom prostoru imaju istikardinalni broj. Taj broj nazivamo Hilbertova (ortogonalna) dimenzija pros-tora.

Kako je svaki ortonormirani skup i linearno nezavisan, to ortogonalana di-menzija nije veca od algebarske dimenzije. Ako je bar jedna od ovih dimenzijakonacna, tada je konacna i druga i one su jednake.

Definicija 2.4.5. Unitarni prostori (X , (, )1) i (Y , (, )2) su izomorfni akopostoji izomorfizam A vektorskih prostora X i Y takav da je

(Ax,Ay)2 = (x, y)1, za svako x, y ∈ X .

12

Teorema 2.4.10. Hilbertovi prostori su izomorfni ako i samo ako imaju isteortogonalne dimenzije.

Teorema 2.4.11. U separabilnom unitarnom prostoru svaka ortonormiranafamilija je najvise prebrojiva.

Preslikavanje P : X → X je idempotent ako je P 2 = P . Linearni idem-potent naziva se projektor. Operatori 0 i I su trivijalni projektori. Za svakiprojektor vazi R(P ) = {x ∈ X : Px = x}. P je projektor ako i samo ako jeI − P projektor, i u tom slucaju je R(P ) = N (I − P ) i N (P ) = R(I − P ).Takode, za svaki projektor P , potprostori R(P ) i N (P ) su algebarski kom-plementarni tj. P odreduje razlaganje prostora X na direktnu sumu

X = R(P ) uN (P ).

Sa druge strane, svaka direktna suma prostora X odreduje projektor. Zaista,ako je X = M u N , tada se svako x ∈ X moze jednoznacno prikazati kaox = x1 + x2, gde je x1 ∈ M i x2 ∈ N . Preslikavanje P : X → X , definisanosa Px = x1 je projektor, i vazi R(P ) = M i N (P ) = N . Kaze se da je Pprojektor na M paralelno sa N i oznacava sa PM,N .

Kako je N (A) = A−1{0}, to je N (A) zatvoren potprostor za proizvoljniA ∈ B(X ,Y), gde su X i Y unitarni prostori. Sledi, ako je P ∈ B(X )projektor, tada su R(P ) = N (I − P ) i N (P ) zatvoreni potprostori.

Definicija 2.4.6. Ako je X normirani prostor, M i N zatvoreni potprostoriu X i X = M u N , onda se kaze da je potprostor N topoloski komplementpotprostora M , i da je X topoloska direktna suma potprostora M i N .

Poznato je da u Hilbertovom prostoru X svaki zatvoren potprostor M imatopoloski komplement, a na osnovu Teoreme 2.4.1 takav jedan komplementje M⊥.

Definicija 2.4.7. Neka je X Hilbertov prostor i M zatvoren potprostor uX . Kako je X = M uM⊥, tada se svako x ∈ X moze na jedinstven nacinprikazati kao x = x1+2 gde je x1 ∈ M i x2 ∈ M⊥. Preslikavanje P : X →X , definisano sa Px = x1 naziva se ortogonalan projektor, ili preciznijeortogonalan projektor na M i cesto se oznacava sa PM .

Iz ‖P‖ = ‖P 2‖ ≤ ‖P‖‖P‖, ako je 0 6= P , sledi da je 1 ≤ ‖P‖. UHilbertovom prostoru projektori sa normom 1 su opisani sledecom teoremom.

13

Teorema 2.4.12. Neka je X Hilbertov prostor i P ∈ B(X ). Ako je Pprojektor i P 6= 0, tada su sledeci uslovi ekvivalentni:

1. P je ortogonalan projektor

2. ‖P‖ = 1

3. P je hermitski operator

4. P je normalan operator

5. P je pozitivan operator

Teorema 2.4.13. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P1 i P2 ortogonalniprojektori iz B(X ). Tada je P1P2 orotgonalan projektor ako i samo ako jeP1P2 = P2P1. U tom slucaju je

P1P2 = PR(P1)∩R(P2).

Teorema 2.4.14. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P1 i P2 ortogonalniprojektori iz B(X ). Tada je P1 +P2 orotgonalan projektor ako i samo ako jeP1P2 = 0. U tom slucaju je R(P1) +R(P2) zatvoren potprostor u X i vazi

P1 + P2 = PR(P1)+R(P2).

Lema 2.4.1. Ako su M1 i M2 zatvoreni potprostori u Hilbertovom prostoruX , i PM1, PM2 odgovarajuci ortogonalni projektori, tada je

M1⊥M2 ⇐⇒ PM1PM2 = 0.

U vezi sa prethodnom lemom, sledeca definicija deluje prirodno.

Definicija 2.4.8. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P i Q ortogonalniprojektori iz B(X ). Kaze se da je projektor P ortogonalan na projektor Q,u oznaci P⊥Q, ako je PQ = 0.

Teorema 2.4.15. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P1 i P2 ortogonalniprojektori iz B(X ). Tada su sledeci uslovi ekvivalentni:

1. R(P1) ⊂ R(P2),

2. P2P1 = P1,

14

3. P1P2 = P1,

4. ‖P1x‖ ≤ ‖P2x‖ za svako x ∈ X ,

5. P1 ≤ P2,

6. N(P2) ⊆ N(P1),

7. P2 − P1 je ortogonalan projektor.

Ako vazi jedan od gore navedenih uslova (a prema tome i svi uslovi), tada je

P2 − P1 = PR(P2)∩[R(P1)]⊥ .

2.5 Parcijalna izometrija

Definicija 2.5.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori. Operator V ∈ B(X, Y )je parcijalna izometrija ako je

‖V x‖ = ‖x‖ za svako x ∈ N(V )⊥ .

Potprostori N(V )⊥ i R(V ) nazivaji se, respektivno, pocetni i krajnji prostorparcijalne izometrije V .

Ocigledno, ako je V parcijalna izometrija, tada je ‖V ‖ ≤ 1, i V jeizometrija ako i samo ako je N(V ) = {0}.

Lema 2.5.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori. Ako je V ∈ B(X, Y )parcijalna izometrija, tada je slika operatora V , R(V ) zatvoren potprostor uY .

Lema 2.5.2. Neka su X i Y Hilbertovi prostori. Ako je V ∈ B(X, Y )parcijalna izometrija, tada je V ∗ parcijalna izometrija i

V ∗V = PN(V )⊥

V V ∗ = PR(V ) .

Teorema 2.5.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i V ∈ B(X, Y ). Sledeciuslovi su ekvivalentni:

1. V je parcijalna izometrija,

15

2. V ∗ j eparcijalna izometrija,

3. V ∗V je ortogonalan projektor,

4. V V ∗ je ortogonalan projektor,

5. V V ∗V = V ,

6. V ∗V V ∗ = V ∗.

2.6 Ograniceni linearni operatori

Definicija 2.6.1. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalaraK. Operator A ∈ L(X ,Y) je ogranicen ako postoji realan broj M ≥ 0 takoda je

‖Ax‖ ≤M‖x‖, za svako x ∈ X .

Za x 6= 0, iz definicije sledi:

Operator A je ogranicen ako i samo ako je supx 6=0

‖Ax‖‖x‖

<∞.

Definicija 2.6.2. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ L(X ,Y) ogranicenoperator. Norma operatora A, u oznaci ‖A‖, definisana je sa:

‖A‖ = supx 6=0

‖Ax‖‖x‖

.

Direkto iz definicije sledi ‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖, za svako x ∈ X .Skup svih ogranicenih operatora iz X u Y oznacavamo sa B(X ,Y). Ukolikoje X = Y , umesto B(X ,X ) pisemo B(X ). Prostor B(X ,K) oznacava se saX ′ i naziva prostor linearnih ogranicenih funkcionela na X ili dualni prostorprostora X .Neka je Z normiran prostor nad poljem K, S ∈ B(X ,Y) i T ∈ B(Y ,Z).Tada je TS ∈ B(X ,Z) i ‖TS‖ ≤ ‖T‖‖S‖.

Teorema 2.6.1. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalaraK. Tada je B(X ,Y) vektorski potprostor u L(X ,Y) i norma operatora jestenorma na prostoru B(X ,Y).

Teorema 2.6.2. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ L(X ,Y). Sledeciuslovi su ekvivalentni:

16

1. A je ravnomerno neprekidno preslikavanje na X

2. A je neprekidno preslikavanje na X

3. A je neprekidno preslikavanje u tacki 0

4. A ∈ B(X ,Y).

Teorema 2.6.3. Neka je X normiran i Y Banahov prostor. Tada je B(X ,Y)Banahov prostor.

Teorema 2.6.4 (Teorema o ogranicenom inverzu). Neka su X i Y Ba-nahovi prostori i A ∈ B(X ,Y). Ako je operator A bijektivan tada postoji A−1

i A−1 ∈ B(Y ,X ).

Definicija 2.6.3. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ B(X ,Y). Mini-mum modul operatora A, oznacen sa j(A), definise se sa

j(A) = inf‖x‖=1

‖Ax‖ = infx 6=0

‖Ax‖‖x‖

Teorema 2.6.5. Neka su X i Y Banahovi prostori i A ∈ B(X ,Y). Tadavazi

j(A) > 0⇔ N (A) = {0} i R(A) = R(A).

2.7 Hilbert adjungovani operator

Teorema 2.7.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A ∈ B(X ,Y). Tadapostoji jedinstveno odreden operator T ∈ B(X ,Y) tako da je

(Ax, y) = (x, Ty), za svako x ∈ X i svako y ∈ Y.

Definicija 2.7.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A ∈ B(X ,Y). OperatorT ∈ B(X ,Y), definisan prethodnom teoremom, oznacava se sa A∗, i nazivaHilbert adjungovani operator operatora A.

Teorema 2.7.2. Neka su X , Y i Z Hilbertovi prostori, A,B ∈ B(X ,Y),C ∈ B(Y ,Z) i λ ∈ C. Tada je:

1. (A∗y, x) = (y, Ax), za svako x ∈ X i svako y ∈ Y

2. (A+B)∗ = A∗ +B∗

17

3. (λA)∗ = λA∗

4. (CA)∗ = A∗C∗

5. (A∗)∗ = A

6. ‖A‖ = ‖A∗‖

7. ‖A∗A‖ = ‖AA∗‖ = ‖A‖2

8. 0∗ = 0 i I∗ = I

9. A∗A = 0 ako i samo ako A = 0.

Teorema 2.7.3. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A ∈ B(X ,Y). Akopostoji A−1 ∈ B(Y ,X ), tada postoji (A∗)−1 ∈ B(X ,Y) i

(A∗)−1 = (A−1)∗.

Teorema 2.7.4. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A ∈ B(X ,Y). Tadavazi:

1. N (A) = R(A∗)⊥ , N (A∗) = R(A)⊥

2. R(A) = N (A∗)⊥ , R(A∗) = N (A)⊥

3. N (A∗A) = N (A) , N (AA∗) = N (A∗)

4. R(A) = R(AA∗) , R(A∗) = R(A∗A)

5. X = N (A)⊕R(A∗) , Y = N (A∗)⊕R(A).

Lema 2.7.1. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i A ∈ B(X ,Y). Tada jeR(A) zatvoren ako i samo ako je R(A∗) zatvoren.

18

3 Proizvod idempotentnih operatora

3.1 Skup QQU ovom poglavlju opisacemo skup QQ := {EF : E,F ∈ Q}, gde je Q :={E ∈ L(H) : E2 = E}. Primetimo da u QQ ne postoje injektivni operatori,ni operatori guste slike, izuzev identicnog operatora.

U [2] je pokazano da, ako je P := {E ∈ Q : E∗ = E} tada za T ∈ PPureden par

(PR(T ), PN(T )⊥

)ima optimalna svojstva u skupu {(P,Q) ∈ P×P :

T = PQ} ,to jest za sve P,Q ∈ P takve da je T = PQ vazi:

- R(PR(T )

)⊆ R(P ), N(PN(T )⊥) ⊆ N(Q).

- ||(PR(T ) − PN(T )⊥)x|| ≤ ||(P −Q)x||, za svaki x ∈ H.

Pokazacemo da je situacija totalno drugacija u skupu QQ, u smislu dane postoji takva specificna faktorizacija operatora T ∈ QQ i da nije evi-dentno na koji nacin definisati optimalnu faktorizaciju za T . Sledeci rezultatje glavni alat u daljem radu.

Lema 3.1.1. Neka je T ∈ QQ. Tada postoje E,F ∈ Q takvi da vazi T =EF , R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T ).

Dokaz. Neka je T = E ′F ′ za E ′, F ′ ∈ Q. Trivijalno, R(T ) ⊆ R(E ′) iN(F ′) ⊆ N(T ). Definisemo sledece operatore E = PR(T )E

′ i F = F ′PN(T )⊥ .Ocito je T = EF . Proverimo sada da E i F zadovoljavaju uslove leme. Prvo,E2 = PR(T )E

′PR(T )E′ = PR(T )E

′ = E zbog toga sto vazi R(T ) ⊆ R(E ′).

Stavise R(E) ⊆ R(T ), pa za x ∈ R(T ) vazi x = PR(T )E′x = Ex, to jest,

R(T ) ⊆ R(E), pa vazi R(E) = R(T ).S druge strane, F 2 = F ′PN(T )⊥F

′PN(T )⊥ = F ′PN(T )⊥ = F , zato stoN(F ′) ⊆ N(T ) = N(PN(T )⊥). Takode, N(T ) ⊆ N(F ) i za x ∈ N(F ) vaziPN(T )⊥x ∈ N(F ′) ⊆ N(T ). Kako je jos i PN(T )⊥x ∈ N(T )⊥, imamo da jePN(T )⊥x ∈ N(T )∩N(T )⊥ = {0}, tj. x ∈ N(T ) pa je N(F ) ⊆ N(T ), odnosnoN(F ) = N(T ), sto je i trebalo dokazati.

Treba primetiti da, za proizvoljno T ∈ QQ, faktorizacija T = EF gde suE,F ∈ Q i vazi R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T ) nije jedinstvena.

19

Primer 3.1.1. Neka je data matrica T =1

2

1 −1 00 0 20 0 2

i neka su:

E =

1 0 00 0 10 0 1

, F =

12

−12

0−12

12

00 0 1

, E ′ =

1 −2 20 0 10 0 1

, F ′ =

32−32

212−12

20 0 1

.

Jednostavna racunica pokazuje da je T = EF = E ′F ′; E,F,E ′, F ′ ∈ Q i davazi R(E) = R(E ′) = R(T ) , N(F ) = N(F ′) = N(T ).

Za T ∈ QQ, prethodna lema daje motivaciju za sledecu definiciju:

(QQ)T := {(E,F ) ∈ Q×Q : T = EF} i

[QQ]T := {(E,F ) ∈ (QQ)T : R(E) = R(T ) i N(F ) = N(T )}.Cesto ce se koristiti cinjenica da (E,F ) ∈ [QQ]T ako i samo ako (F ∗, E∗) ∈[QQ]T ∗ .

Iz dokaza Leme 3.1.1 imamo da (PR(T )E,FPN(T )⊥) ∈ [QQ]T ako je (E,F ) ∈(QQ)T .

Uocimo da je ovime definisano preslikavanje:

φ : (QQ)T → [QQ]T . (1)

Sa oubicajenim oznakama imamo da je, [PP ]T = {(PR(T ), PN(T )⊥)}.U cilju dokazivanja prve karakterizacije skupa QQ, u radu [1] se ko-

risti dobro poznata Daglasova teorema o faktorizaciji operatora [3]. Ovdecemo navesti jednu jednostavnu generalizaciju njegovog rezultata ciji je dokazslican Daglasovom originalnom dokazu, datom u radu [4]:

Teorema 3.1.1. Neka su A ∈ L(H,K) i B ∈ L(F ,K). Tada postoji C ∈L(F ,H) tako da je AC = B ako i samo ako R(B) ⊆ R(A). U tom slucaju,ako je M topoloski komplement od N(A) tada postoji jedinstveno resenjeXM ∈ L(F ,H) jednacine AX = B, takvo da R(XM) ⊆ M. Operator XMnazivamo redukovanim resenjem na M jednacine AX = B.

Teorema 3.1.2. Neka je T ∈ L(H). Sledeci uslovi su ekvivalentni:

1. T ∈ QQ;

2. R(T − T 2) ⊆ R(T (I − E)), za E ∈ Q takav da R(E) = R(T );

3. R((T − T 2)∗) ⊆ R(((I − F )T )∗), za F ∈ Q takav da N(F ) = N(T ).

20

Dokaz. (1 ⇐⇒ 2) Pretpostavimo da je T ∈ QQ i neka je (E,F ) ∈ [QQ]T .Tada je T−T 2 = T (I−T ) = EF (I−E)F = T (I−E)F . Stoga, R(T−T 2) =R(T (I − E)F ) ⊆ R(T (I − E)) gde je E ∈ Q i R(E) = R(T ).

Obratno, pretpostavimo da je R(T − T 2) ⊆ R(T (I − E)), za E ∈ Qtakav da R(E) = R(T ). Tada, po Teoremi 3.1.1, operatorska jednacinaT − T 2 = T (I − E)X ima resenje u L(H). Sada, kako je N(T (I − E)) =N(I−E)uR(I−E)∩N(T ) = R(T )uN(E)∩N(T ) i H = R(T )uN(E) sledida postoji zatvoreni potprostor S ⊆ N(E) takav da H = N(T (I − E)) u S,(na primer, S = N(E) N(E) ∩ N(T )). Neka je X0 redukovano resenjejednacine T − T 2 = T (I − E)X u S. Primetimo da je EX0 = 0, to jestT −T 2 = TX0. Stavise, iz poslednje dve jednakosti moze se pokazati da vaziT − T 2 = T (I − E)(X0T + X2

0 ), to jest da je X0T + X20 resenje jednacine

T − T 2 = T (I −E)X sa osobinom R(X0T +X20 ) ⊆ R(X0) ⊆ S. Dakle, zbog

jedinstvenosti redukovanog resenja sledi X0T + X20 = X0. Sada definisemo

F := T + X0. Dakle, F 2 = (T + X0)(T + X0) = T 2 + TX0 + X0T + X20 =

T 2 + T − T 2 +X0 = T +X0 = F , to jest F ∈ Q i T = EF . Stoga, T ∈ QQ.(1 ⇐⇒ 3) Uzumajuci u obzir da je T ∈ QQ ako i samo ako je T ∗ ∈ QQ,

ekvivalencija sledi direktnom primenom 1 ⇐⇒ 2 na T ∗.

Napomena 3.1.1. Ballantine [5] je izlozio interesantnu karakterizaciju skupaQQ na skupu matrica. Pokazao je da T ∈ Cn×n pripada skupu QQ akoi samo ako dimR(T − I) ≤ 2 dimN(T ). Primetimo da Teoremu 3.1.2mozemo protumaciti kao uopstenje ovog rezultata za T ∈ L(H). Zapravo,R(T − T 2) ⊆ R(T (I − E)) ako i samo ako R(T − I) ⊆ R(I − E) + N(T ).Stoga, za matrice, ova poslednja inkluzija implicira da je dimR(T − I) ≤dimR(I − E) + dimN(T ) = 2 dimN(T ), zbog toga sto je dimR(I − E) =dimN(T ) za sve E ∈ Q takve da je R(E) = R(T ). Vise reci o ovome bicepri kraju poglavlja.

Nadalje cemo izloziti karakterizaciju skupa QQ vezanu za potprostore.Sa Gr(H) oznacavamo skup svih zatvorenih potprostora od H, a simbolES//T oznacavace operator iz Q sa slikom S i jezrom T pod uslovom daS, T ∈ Gr(H) i S u T = H. Ako je T = S⊥, onda se jednostavno pise PSumesto ES//S⊥ .


1. T ∈ QQ

2. Postoje S,W ∈ Gr(H) takvi da vazi R(T ) u S = H, W uN(T ) = H iPS⊥TPW ∈ PP.

21

Dokaz. (1 =⇒ 2) Neka je T = EF za (E,F ) ∈ [QQ]T . Neka su S := N(E)i W := R(F ). Znamo da za svaki operator A ∈ Q vazi R(A) u N(A) = H,dakle, R(T ) u S = R(E) u N(E) = H i W u N(T ) = R(F ) u N(F ) = H.Stavise, PS⊥TPW = PN(E)⊥EFPR(F ) = PS⊥PW ∈ PP .

(2 =⇒ 1) Definisemo E := QR(T )//S i F := QW//N(T ) i neka su P1, P2 ∈ Ptakvi da PS⊥TPW = P1P2. Bez gubljenja opstosti moze se pretpostaviti daje R(P1) = R(PS⊥TPW) i N(P2) = N(PS⊥TPW). Dakle, R(P1) ⊆ S⊥ ili,ekvivalentno N(E) = S ⊆ N(P1) i W⊥ ⊆ N(P2), to jest R(P2) ⊆ W =R(F ). Stoga, P1 = P1E i FP2 = P2. Dakle, (EP1)

2 = EP1EP1 = EP 21 =

EP1 i (P2F )2 = P2FP2F = P 22F = P2F , to jest EP1, P2F ∈ Q. Konacno,

T = ETF = EPS⊥TPWF = EP1P2F ∈ QQ

i time je dokaz zavrsen.

Sledeci rezultat, iz rada Antezana [6, Propozicija 4,13], posluzice za do-bijanje jos jedne karakterizacije skupa QQ:

Teorema 3.1.4. Neka su A,B ∈ L(H,K). Sledeci iskazi su ekvivalentni:

1. R(A) uR(B − A) je zatvoren;

2. Postoji E ∈ Q takav da je A = EB.

Koristeci navedeni rezultat i uzimajuci u obzir da T ∈ QQ ako i samoako T ∗ ∈ QQ, dobijamo sledeci rezultat:


1. T ∈ QQ.

2. Postoji E ∈ Q takav da je R(T ) uR(E − T ) zatvoren.

3. Postoji E ∈ Q takvo da je H = N(T ) +N(E − T ).

Vodeci se istim razmisljanjem dolazimo do sledecih karakterizacija skupovaPQ i PP .


1. T ∈ PQ.

22

2. Postoji topoloski komplement M skupa N(T ) takav da je ||Tx||2 =〈Tx, x〉, za svaki x ∈M.

3. T ∗T = T ∗E, za neki E ∈ Q.

4. R(T ∗T ).

+R(T − T ∗T ) je zatvoren.

Dokaz. (1 =⇒ 2) Neka je T = PE gde je P ∈ P i E ∈ Q. Bez gubljenjaopstosti mozemo smatrati da je N(E) = N(T ). Neka je M = R(E). Tada,za x ∈M vazi sledece:

||Tx||2 = 〈Tx, Tx〉 = 〈x, T ∗Tx〉 = 〈x,E∗P ∗PEx〉 =⟨x,E∗P 2Ex

⟩= 〈x,E∗PEx〉 = 〈x,E∗Px〉 = 〈PEx, x〉 = 〈Tx, x〉 .

Takode imamo i da je MuN(T ) = R(E) uN(E) = H (jer je E ∈ Q), stoje i trebalo pokazati.

(2 =⇒ 3) Pretpostavimo da vazi ||Tx||2 = 〈Tx, x〉 za svaki x ∈ M, gdeje M

.+ N(T ) = H. Definisemo E := EM//N(T ) ∈ Q. Tada je ||TEx||2 =

〈TEx,Ex〉, za svaki x ∈ H. Sada, zbog N(E) = N(T ) bice TE = T , pa je

〈T ∗Tx, x〉 = ||Tx||2 = ||TEx||2 = 〈TEx,Ex〉 = 〈Tx,Ex〉 = 〈E∗Tx, x〉 ,

za svaki x ∈ H. Dakle, T ∗T = E∗T , to jest T ∗T = T ∗E.(3 =⇒ 1). Pretpostavimo da je T ∗T = T ∗E, za neki E ∈ Q. Tada je

T ∗T = T ∗PR(T )E, pa je T = PR(T )E ∈ PQ.

(3 ⇐⇒ 4) Ova ekvivalencija sledi na osnovu Teoreme 3.1.4.


1. T ∈ PP.

2. T ∗T = T ∗P za neki P ∈ P.

3. R(T ∗T )⊥R(T − T ∗T ).

Dokaz. (1 ⇐⇒ 2) Ako je T = PR(T )PN(T )⊥ tada je T ∗T = T ∗PN(T )⊥ . Obr-nuto, ako je T ∗T = T ∗P za neki P ∈ P tada T ∗T = T ∗PR(T )P pa su

T, PR(T )P redukovana resenja jednacine T ∗X = T ∗T na N(T ∗)⊥. Stoga,zbog jedinstvenosti redukovanog resenja imamo da vazi T = PR(T )P ∈ PP ,sto je i trebalo pokazati.

23

(1 ⇐⇒ 3) Ako je T = P1P2 za P1, P2 ∈ P onda je T ∗T = P2P1P2 iT−T ∗T = (I−P2)P1P2. Odavde zakljucujemo da je R(T−T ∗T ) ⊆ R(I−P2)i R(T ∗T ) ⊆ R(P2). Stoga je R(T ∗T )⊥R(T − T ∗T ).

Obrnuto, pretpostavimo da jeR(T ∗T )⊥R(T−T ∗T ). Tada jeR(T − T ∗T ) ⊆N(PR(T ∗T )) pa je PR(T ∗T )T = PR(T ∗T )(T −T ∗T +T ∗T ) = PR(T ∗T )(T −T ∗T )+PR(T ∗T )T

∗T = 0+PR(T ∗T )T∗T = T ∗T . Dakle, T ∗T = T ∗P ∗

R(T ∗T )= T ∗PR(T ∗T ),

a kako su uslovi 1 i 2 ekvivalentni, sledi da je T ∈ PP .

Primeri:Neka je saGr(H) oznacena Grassman-ova visestrukost odH, to jest skup svihzatvorenih potprostoraM od H. Lauzon i Treil [8] su predstavili razlaganjeskupa X svih parova zatvorenih potprostora Hilbertovog prostora H kojiimaju zajednicki direktan komplement,

X = {(M,N ) :M,N ∈ Gr(H), ∃S ∈ Gr(H) gde jeM.

+ S = N.

+ S = H}.

Videcemo i da svaki T ∈ L(H) takav da (R(T ), N(T )) ∈ X pripada skupuQQ. Ovde navodimo i karakterizaciju skupa X iz rada [1] gde je pokazanoda za M,N ∈ Gr(H) vazi da (M,N ) ∈ X ako i samo ako postoji T ∈ PQtakav da je R(T ) = N⊥ i N(T ) =M.

Teorema 3.1.8. Neka je T ∈ L(H). Ako R(T ) i N(T ) imaju zajednickitopoloski komplement onda je T ∈ QQ.

Dokaz. Neka je S ∈ Gr(H) takav da je H = R(T ).

+ S = N(T ).

+ S idefinisemo E = QR(T )//S . Dakle, R(T (I−E)) = T (S) = R(T ) gde poslednja

jednakost vazi zbog toga sto je N(T ).

+ S = H. Kako je R(T − T 2) ⊆ R(T ),imamo da vazi R(T−T 2) ⊆ R(T (I−E)). Stoga, prema Teoremi 3.1.2, vaziceda je T ∈ QQ.

Obrat prethodne posledice je u opste slucaju netacan. Na primer, akoposmatramo E ∈ Q tako da dim(R(E)) 6= dim(N(E)), trivijalno ce bitiE = EE ∈ QQ, a R(E) i N(E) mozda nece imati zajednicki komplement.

Teorema 3.1.9. Neka su S, T dva zatvorena potporostora od H. Tada S i Timaju zajednicki topoloski komplement u H ako i samo ako postoji T ∈ PQtakav da R(T ) = T ⊥ i N(T ) = S.

Dokaz. Pretpostavimo da postoji zatvoren potprostor W takav da H =S

.+W = T

.+W . Definisemo E = EW//S i T = PT ⊥E ∈ PQ. Tvrdimo da

24

vazi R(T ) = T ⊥ i N(T ) = S. Zaista, R(T ) = PT ⊥(W) = R(PT ⊥) = T ⊥ zatosto je H = T

.+W i N(T ) = N(E) +R(E)∩N(PT ⊥) = S +W ∩T = S, jer

W ∩ T = {0}.Obratno, neka je T ∈ PQ tako da vazi R(T ) = T ⊥ i N(T ) = S. Tada je

T = PT ⊥QW//S za neki komplement W od S. Dakle, kako je R(T ) = T ⊥,

imamo da je H =W + T . S druge strane, kako je S = N(T ) = S.

+W ∩ T ,imamo da je W ∩ T = {0}, to jest, H = W

.+ T . Dakle, W je zajednicki

komplement za S i T .

Primer 3.1.2. Koristeci Teoreme 3.1.2 i 3.1.8 dolazimo do sledecih primeraoperatora iz QQ:

1. Ako je dim(R(T ) ∩ R(T ∗)) = dim(N(T ) ∩ N(T ∗)) tada, prema [8,Primedba 0.4], R(T ) i N(T ) imaju zajednicki topoloski komplement. Otudaje, prema Teoremi 3.1.8, T ∈ QQ. Specijalno, ako je T normalan operator zakoji vazi dim(R(T )) = dimN(T ) onda je T ∈ QQ. S druge strane, primetimoda ako je T ∈ PP normalan operator onda je T ∈ P . Zaista, ako je T ∈ PPtada T = PR(T )PN(T )⊥ , ali posto je T normalan onda je R(T ) = N(T )⊥, paje T = PN(T )⊥ ∈ P .

2. Ako je T 2 = 0 onda je T ∈ QQ. Zaista, R(T −T 2) = R(T ) = R(T (I−PR(T ))), gde poslednja jednakost vazi zato sto je R(T ) ⊆ N(T ). Sada je, na

osnovu Teoreme 3.1.2 , T ∈ QQ (stavise T ∈ PQ). Takode pogledati [9,Teorema 6.1]. S druge strane, primetimo da ako vazi T 2 = 0 i T ∈ PP ondaje T = 0. Zaista, ako je T 2 = 0 onda je R(T ) ⊆ N(T ) ⇐⇒ N(T )⊥ ⊆ R(T )⊥

pa je T = PR(T )PN(T )⊥ = 0.

3.2 Skupovi (QQ)T i [QQ]T

Ovaj odeljak je posvecen izucavanju skupova (QQ)T i [QQ]T , za T ∈ QQ.S tim u vezi, prvo cemo navesti konekciju izmedu ova dva skupa, koja jeobradena u radu [1]. Naime, tamo je data karakterizacija skupa (QQ)Tpomocu [QQ]T :

Teorema 3.2.1. Neka je T ∈ QQ. Tada vazi,

(QQ)T = {(E,F ) ∈ Q×Q : E = E0 + E1, F = F0 + F1, za E1, F1 ∈ Q,(E0, F0) ∈ [QQ]T , i E0F1 = E1F0 = E1F1 = 0}.

25

Dokaz. Neka je (E,F ) ∈ (QQ)T i definisemo E0 := PR(T )E i F0 := FPN(T )⊥ .

Iz dokaza Leme 3.1.1, imamo da vazi (E0, F0) ∈ [QQ]T . Oznacimo sa E1 =E − E0 = (I − PR(T ))E i F1 = F − F0 = F (I − PN(T )⊥). Dakle,

E21 = (I − PR(T ))E(I − PR(T ))E = (I − PR(T ))(E − EPR(T ))E

= (I − PR(T ))(E − PR(T ))E = (I − PR(T ))(E2 − PR(T )E)

= (I − PR(T ))(E − PR(T )E) = (I − PR(T ))(I − PR(T ))E

= (I − PR(T ))E = E1,

gde treca jednakost vazi zato sto R(T ) ⊆ R(E) (T = EF ). Stoga, E1 ∈ Q.Analogno, iz cinjenice da N(F ) ⊆ N(T ) (T = EF ), imamo da vazi sledece

F 21 = F (I − PN(T )⊥)F (I − PN(T )⊥) = F (F − PN(T )⊥F )(I − PN(T )⊥)

= F (F − PN(T )⊥)(I − PN(T )⊥) = (F 2 − FPN(T )⊥)(I − PN(T )⊥)

= (F − FPN(T )⊥)(I − PN(T )⊥) = F (I − PN(T )⊥) = F1,

odnosno, F1 ∈ Q. Konacno,

E0F1 = PR(T )EF (I − PN(T )⊥) = PR(T )T (I − PN(T )⊥) = 0,

E1F1 = (I − PR(T ))EF (I − PN(T )⊥) = (I − PR(T ))T (I − PN(T )⊥) = 0

E1F0 = (I − PR(T ))EFPN(T )⊥ = (I − PR(T ))TPN(T )⊥ = 0,

sto je i trebalo pokazati.Sto se tice obrnute inkluzije, neka je (E,F ) ∈ Q × Q sa pomenutim

svojstvima. Pokazimo sada da je (E,F ) ∈ (QQ)T . Treba samo pokazati daje T = EF . Dakle,

EF = (E0 + E1)(F0 + F1) = E0F0 + E0F1 + E1F0 + E1F1 = E0F0

= PR(T )EFPN(T )⊥ = T

Time je dokaz zavrsen.

Teorema 3.2.2. Neka je T ∈ QQ. Tada vazi,

[QQ]T ={

(E,F ) ∈ Q×Q : R(E) = R(T ), R(T − T 2) ⊆ R(T (I − E))

i F = T + (I − E)XPN(T )⊥ gde je X resenje jednacine

T − T 2 = T (I − E)X}

26

[QQ]T ={

(E,F ) ∈ Q×Q : N(F ) = N(T ), R((T − T 2)∗) ⊆ R((T (I − F ))∗),

i E = T + PR(T )X(I − F ) gde je X resenje jednacine

T − T 2 = X(I − F )T}

Dokaz. Neka je (E,F ) ∈ [QQ]T . Tada je, ocigledno, R(E) = R(T ). Stavise,F = EF + (I − E)F = T + (I − E)FPN(T )⊥ jer N(F ) = N(T ) i jasno je daT − T 2 = T (I − E)F.

Obratno, neka je (E,F ) ∈ Q × Q gde je R(E) = R(T ) i F = T + (I −E)XPN(T )⊥ za nekiX ∈ L(H) takav da T−T 2 = T (I−E)X. Primetimo da jeegzistencija takvog X zagarantovana zbog toga sto R(T−T 2) ⊆ R(T (I−E)).Ocigledno, EF = ET = T i N(F ) = N(T ). Ostaje da pokazemo da jeF ∈ Q. Primetimo prvo da iz T−T 2 = T (I−E)X sledi (I−E)X = I−T+Z,za neki Z ∈ L(H) takav da R(Z) ⊆ N(T ).

F 2 = T 2 + T (I − E)XPN(T )⊥ + (I − E)XPN(T )⊥(T + (I − E)XPN(T )⊥)

= T 2 + (T − T 2) + (I − E)XPN(T )⊥(T + (I − E)XPN(T )⊥)

= T + (I − E)XPN(T )⊥(T + PN(T )⊥ − T + ZPN(T )⊥)

= T + (I − E)XPN(T )⊥ = F

Stoga, (E,F ) ∈ [QQ]T i time je prva jednakost dokazana. Analogno, aliradeci sa T ∗ ∈ QQ, dokazuje se i druga jednakost.

Za T ∈ QQ svaki par (E,F ) ∈ [QQ]T moze da se dovede u vezu sa parompotprostora (R(F ), N(E)). Sledeci rezultat daje potreban i dovoljan uslovza (E,F ) ∈ [QQ]T .

Lema 3.2.1. Neka je T ∈ QQ i (E,F ) ∈ (QQ)T . Tada (E,F ) ∈ [QQ]T

ako i samo ako R(F ).

+N(E) = H.

Dokaz. Neka je (E,F ) ∈ [QQ]T , to jest, T = EF , gde je R(E) = R(T )i N(F ) = N(T ). Tvrdimo da vazi R(F ) ∩ N(E) = {0}. Zaista, ako jey ∈ R(F ) ∩ N(E) onda je y = Fy i 0 = Ey = EFy = Ty, to jest, kakoje N(T ) = N(F ) imamo da vazi y = Fy = 0. Analogno, zbog toga sto je(F ∗, E∗) ∈ [QQ]T ∗ , imamo da je R(E∗)∩N(F ∗) = {0}, sto (nakon uzimanjaortogonalnih komplemenata obe strane) implicira da je R(F ) +N(E) = H.

Dakle, R(F ).

+N(E) = H, sto je i trebalo dokazati.

27

Obratno, neka je (E,F ) ∈ Q×Q tako da je T = EF i R(F ).

+N(E) = H.Dokazimo da vazi N(F ) = N(T ). Ocigledno, zbog toga sto je T = EF vaziN(F ) ⊆ N(T ). S druge strane, ako je x ∈ N(T ) onda 0 = Tx = EFx, stoznaci da je Fx ∈ R(F ) ∩ N(E) = {0}, to jest, x ∈ N(F ). Dakle, N(F ) =N(T ). Analogno, zbog toga sto je T ∗ = F ∗E∗ i R(E∗)∩N(F ∗) = {0} (jer jeR(F ) +N(E) = H) imamo da vazi N(E∗) = N(T ∗), sto je ekvivalentno saR(E) = R(T ). Dakle, (E,F ) ∈ [QQ]T .

Posledica 3.2.1. Neka je T ∈ QQ i (E,F ) ∈ [QQ]T . Tada T ima zatvorenusliku ako i samo ako N(E)

.+R(F ) = H.

Dokaz. Sledi iz Leme 3.2.1 i cinjenice da ako A,B ∈ L(H) imaju zatvoreneslike onda AB ima zatvorenu sliku ako i samo ako je N(A) +R(B) zatvoren([10, Teorema 22]).

Da bi dobili jos jednu karakterizaciju skupa QQ potreban nam je koncept(ne nuzno ogranicenog) zatvorenog projektora. Gusto definisan operator Hje projektor ako R(H) ⊆ D(H) i H(Hx) = Hx za svaki x ∈ D(H). U tomslucaju, vazi da D(H) = R(H)

.+N(H). Stavise, H je zatvoren operator ako

i samo ako su R(H) i N(H) zatvoreni potprostori od H; H je ogranicen akoi samo ako je zatvoren i D(H) = H. Takode, ako su S i T dva zatvorenapotprostora takva da je S ∩ T = {0} i S + T je gust, sa HS//T oznacavamo

zatvoreni projektor sa slikom S i jezgrom T (ovde je D(HS//T ) = S.

+ T ).Skup svih (ne nuzno ogranicenih) zatvorenih projektora u H oznacicemo

sa∼Q. U nastavku ce za dva operatora A,B izraz B ⊆ A znaciti da je A

ekstenzija od B.

Napomena 3.2.1. Neka je T ∈ QQ. Oznacimo sa E = QR(T )//S i F =QW//N(T ). Ocigledno, T = EF . Na osnovu Leme 3.2.1, HW//S je zatvoreniprojektor. Stavise, prema Posledici 3.2.1, HW//S je ogranicen ako i samo akoT ima zatvorenu sliku. U nastavku, za (E,F ) ∈ [QQ]T , uvodimo oznaku

HF,E = HR(F )//N(E).

Lema 3.2.2. Neka je T ∈ QQ i (E,F ) ∈ [QQ]T . Tada vaze sledeci uslovi:

1. R(T ) ⊆ D(HF,E).

2. N(HF,ET ) = N(T ).

28

Dokaz. 1. Neka je y = Tx ∈ R(T ). Tada je y = Tx = EFx = EFx−Fx+Fx = −(I − E)Fx+ Fx ∈ N(E) +R(F ) = D(HF,E).

2. Operator HF,ET je dobro definisan na osnovu prethodnog uslova ijasno je da vazi N(T ) ⊆ N(HF,ET ). Sa druge strane, ako je HF,ETx = 0onda je Tx ∈ R(T ) ∩N(E) ⊆ R(E) ∩N(E) = {0}, to jest, x ∈ N(T ) pa jedakle N(HF,ET ) = N(T ).

Za T ∈ L(H), Moore-Penrose-ov inverz operatora T , u oznaci T †, jejedinstvena linearna ekstenzija od (T |N(T )⊥)−1 na R(T )uR(T )⊥ takav da jeN(T †) = R(T )⊥.

Gusto definisan operator T † zadovoljava sledece jednacine, koje se moguiskoristiti i kao definicija za T † ako za domen uzmemo maksimalan domenza koji ove jednacine imaju resenje, naime D(T †) = R(T ) uR(T )⊥:

1. TXT = T ;

2. XTX = X;

3. TX ⊆ PR(T );

4. XT = PN(T )⊥ .

Primetimo da je T † ogranicen ako i samo ako je R(T ) zatvoren. Oznacimo saT{i, j, k, l} skup svih gusto definisanih operatora koji zadovoljavaju jednacinei, j, k, l za i, j, k, l ∈ {1, ..., 4}. Elementi skupa T{1} obicno se nazivaju un-utrasnji inverzi operatora T . Za detaljnije izucavanje generalisanih inverzapreporucuje se knjiga [12].

Penrose [13] i Greville [14] dokazali su da je Moore-Penrose-ov inverzproizvoda dva ortogonalna projektora u Cn×n idempotentna matrica, i obr-nuto. Vise o ogranicenim linearnim operatorima moze se naci u [2] i [15].Ovde analiziramo slucaj operatora iz QQ.


1. T ∈ QQ;

2. Postoji H ∈∼Q takav da je THT = T i T ∗H∗T ∗ = T ∗.

29

Dokaz. (1 =⇒ 2) Pretpostavimo da je T ∈ QQ i za (E,F ) ∈ [QQ]T posma-tramo zatvoreni projektor H = HF,E (videti Napomenu 3.2.1). Pokazacemoda vazi THT = T . Prvo primetimo da je, na osnovu Leme 3.2.2, THT dobrodefinisan. Dalje, imamo da

THT = EFHEF = EHEF = E|D(H)EF = EF = T.

Slicno, zbog toga sto je (F ∗, E∗) ∈ (QQ)T ∗ i HE∗,F ∗ = (HF,E)∗ = H∗, imamoda vazi T ∗H∗T ∗ = T ∗. Stoga, uslov 2 je ispunjen.

(2 =⇒ 1) Pretpostavimo da postoji zatvoren projektorH takav da THT =T i T ∗H∗T ∗ = T ∗. Tada, HTHT = HT , to jest, (HT )2 = HT , a posto jeT ∈ L(H) i H je zatvoren, onda je i HT takode zatvoren. Stavise, zbogD(HT ) = D(T ) = H vazi HT ∈ Q. Slicno, iz T ∗ = T ∗H∗T ∗ imamoda je H∗T ∗ ∈ Q. Otuda je, (H∗T ∗)∗ ∈ Q. Sada imamo da (H∗T ∗)∗ =((TH)∗)∗ = TH, gde nadvucena crta oznacava zatvorenje od TH. Dakle,T = THT = TH2T = (TH)(HT ) = (TH)(HT ) ∈ QQ.

U nastavku cemo sa Lcr oznacavati skup svih operatora zatvorene slikeiz L(H).

Posledica 3.2.2. Neka je T ∈ Lcr. Sledeci uslovi su ekvivalentni:

1. T ∈ QQ;

2. T{1} ∩ Q 6= ∅;

3. T † ∈ PQP.

Dokaz.(1⇐⇒ 2) Sledi na osnovu Teoreme 3.2.3.

(2 =⇒ 3) Ako je Q ∈ T{1} ∩ Q onda se lako proverava da vazi T † =PN(T )⊥QPR(T ), to jest da T † ∈ PQP .

(3 =⇒ 2) Ako je T † ∈ PQP tada je T † = PN(T )⊥QPR(T ), za neki Q ∈ Q.Dakle, T = TT †T = TPN(T )⊥QPR(T )T = TQT , to jest Q ∈ T{1}.

Primetimo da prethodna posledica tvrdi da Moore-Penrose-ov inverz bi-jektivno slika QQ∩ Lcr na PQP .

30

Posledica 3.2.3. Neka je T ∈ L(H).

1. Sledeci uslovi su ekvivalentni:(a) T ∈ QQ;

(b) Postoji H ∈∼Q takav da je THT = T , HTH = H i T ∗H∗T ∗ = T ∗.

2. Sledeci uslovi su ekvivalentni:(a) T ∈ PQ;

(b) Postoji H ∈∼Q takav da je THT = T i TH ⊆ PR(T );

(c) Postoji H ∈∼Q takav da je THT = T , HTH = H i TH ⊆ PR(T ).

Specijalno, T ∈ PQ ∩ Lcr ako i samo ako Q∩ T{1, 2, 3} 6= ∅.

3. Sledeci uslovi su ekvivalentni:(a) T ∈ PP;

(b) T † ∈∼Q.

Dokaz. 1. (a) ⇐⇒ (b): Pretpostavimo da je T ∈ QQ i za (E,F ) ∈[QQ]T posmatramo zatvoreni projektorH = HF,E. Ocigledno jeHTH =HEFH = HEH = H2 = H. Stavise, iz dokaza Teoreme 3.2.3 jeTHT = T i T ∗H∗T ∗ = T ∗, pa imamo da vazi uslov (b). Obrat sledi naosnovu Teoreme 3.2.3.

2. (a) =⇒ (c) Neka je T ∈ PQ. Tada, T = PR(T )F za neki F ∈ Q za koji

je N(F ) = N(T ), to jest (PR(T ),F ) ∈ [QQ]T . Neka je H := HF,PR(T )

.

Sada, prema Teoremi 3.2.3, THT = T i HTH = H. Takode vazi,TH = PR(T )FH = PR(T )H = PR(T )|D(H) ⊆ PR(T ). Dakle, uslov (3) jezadovoljen.(c) =⇒ (b): Trivijalno.

(b) =⇒ (a): Neka je H ∈∼Q takav da vazi THT = T i TH ⊆ PR(T ).

Iz dokaza Teoreme 3.2.3 imamo da je HT ∈ Q. Dakle, T = THT =THHT = PR(T )HT ∈ PQ.

3. Videti [2, Teorema 6.2.].

31

Prema prethodnoj posledici, ako je T ∈ PP∩Lcr onda vazi T † ∈ T{1}∩Q.Medutim, u opstem slucaju T † nije jedini element skupa T{1}∩Q za T ∈ PP .Na primer, lako se proverava da je T † + PR(T )⊥∩N(T ) takode element skupaT{1} ∩ Q. Primetimo da je R(T )⊥ ∩ N(T ) = {0} ako i samo ako T imajedinstvenu faktorizaciju u PP (videti [2, Posledica 3.8]).

Posledica 3.2.4. Neka je T ∈ L(H) operator zatvorene slike. Ako postojiT ′ ∈ T{1} takav da je (T ′)2 = I onda T 2 ∈ QQ.

Dokaz. Ako je T = TT ′T onda je E := TT ′ ∈ Q i F := T ′T ∈ Q. Dakle,kako je (T ′)2 = I vazi da je T 2 = EF ∈ QQ.

Posledica 3.2.5. Neka je T ∈ L(H) operator zatvorene slike. Ako je R(T ) =R(T ∗) i dimR(T ) ≤ dimN(T ) onda je T ∈ QQ.

Dokaz. Prema Posledici 3.2.2, dovoljno je dokazati da je T † = PR(T )EPR(T ),za neki E ∈ Q. Kako je dimR(T ) ≤ dimN(T ) = dimR(T )⊥ onda postojipreslikavanje J : R(T ) → R(T )⊥ takvo da je J∗J = PR(T ). Stoga, uzevsi uobzir matricnu reprezentaciju indukovanu Hilbertovom dekompozicijom pros-tora H = R(T )⊕R(T )⊥, definisemo

E :=

[T † (T † − (T †)2)J∗

J J(I − T †)J∗]

:

(R(T )R(T )⊥

)→(R(T )R(T )⊥

).

Lako se pokazuje da je E = E2, to jest da je E ∈ Q i ocigledno T † =PR(T )EPR(T ) ∈ PQP . Konacno je, prema Posledici 3.2.2, T ∈ QQ.

Na osnovu prethodne posledice, ako jeH separabilan onda svaki normalanoperator zatvorene slike T ∈ L(H) sa beskonacnom dimenzijom jezgra pri-pada skupu QQ.

Iz dokaza Posledice 3.2.3 sledi da za T ∈ QQ i (E,F ) ∈ [QQ]T vazi da je

HF,E ∈{H ∈

∼Q : H ∈ T{1, 2} i H∗ ∈ T ∗{1}

}. Sledeci rezultat pokazuje da

ovo svojstvo u potpunosti opisuje [QQ]T . U tom cilju za T ∈ QQ definisemopreslikavanje

φ : [QQ]T →∼Q, φ ((E,F )) = HF,E.

Teorema 3.2.4. Neka je T ∈ QQ, tada vazi

φ ([QQ]T ) ={H ∈

∼Q : H ∈ T{1, 2} i H∗ ∈ T ∗{1}

}.

32

Dokaz. Ako je (E,F ) ∈ [QQ]T onda, na osnovu dokaza Posledice 3.2.3,

imamo da je H := HF,E ∈∼Q∩ T{1, 2} i H∗ ∈ T ∗{1]}.

Obratno, neka je H := HW//S ∈∼Q tako da je H ∈ T{1, 2} i H∗ ∈ T ∗{1}.

Definisemo E := TH i F := HT . Iz dokaza implikacije (2 =⇒ 1) u Teoremi3.2.3, imamo da E,F ∈ Q i T = EF . Dokazimo sada da je (E,F ) ∈ [QQ]Ti HF,E = H, sto je ekvivalentno s tim da je E = QR(T )//S i F = QW//N(T ).

Kao prvo, iz THT = T imamo da je N(T ) ⊆ N(HT ) = N(F ) ⊆ N(T ),to jest N(F ) = N(T ). Sa druge strane, iz HTH = H imamo da vazi R(F ) =R(HT ) ⊆ R(H) = R(HTH) ⊆ R(HT ) = R(F ), to jest R(F ) = R(H) =W .Stoga, F = HT = HR(H)//N(T ) = QW//N(T ). Slicno, iz T ∗H∗T ∗ = T ∗ iH∗T ∗H∗ = H∗ sledi H∗T ∗ = HR(H∗)//N(T ∗). Primetimo da je H∗T ∗H∗ =H∗ jer je H = HTH i R(T ∗) ⊆ D(H∗) (T ∗ = T ∗H∗T ∗). Dakle, E =TH = (H∗T ∗)∗ = Q∗R(H∗)//N(T ∗) = QR(T )//N(H) = QR(T )//S, sto je i trebalopokazati.

Posledica 3.2.6. Neka je T ∈ QQ operator zatvorene slike. Tada vazi

φ ([QQ]T ) ={Q ∈ Q : Q ∈ T [1, 2]

}.

3.3 Razlaganje operatora u QQAko je T ∈ PP onda R(T ) uN(T ) = H, videti [2, Teorema 3.2]. Stavise,T ∈ PP je zatvorene slike ako i samo ako je R(T ) u N(T ) = H. Medutim,ova svojstva u opstem slucaju ne vaze za operatore iz QQ. Na primer,

T = 12

−1 1 2−1 1 20 0 0

= 12

1 1 01 1 00 0 0

12

−1 1 2−2 2 4−1 1 2

∈ QQ i R(T ) ∩ N(T ) =

R(T ) = gen{(1, 1, 0)T}. Dakle, R(T ) uN(T ) 6= H. S druge strane, uzmimopozitivan operator T koji nema zatvorenu sliku i vazi dimN(T ) = dimR(T ).Tada je, na osnovu Primera 3.1.2 [1], T ∈ QQ i R(T )uN(T ) = H, ali R(T )nije zatvoren. Cilj ovog poglavlja je izucavanje operatora T ∈ QQ takvih daje R(T ) uN(T ) = H.

Teorema 3.3.1. Neka je T ∈ QQ i (E,F ) ∈ [QQ]T . Tada je N(E+F−I) =

R(T ) ∩N(T ) i R(E + F − I) = R(T ) +N(T ).

Dokaz. Lako se pokazuje da je N(E − F ) = N(E) ∩N(F ) uR(E) ∩R(F )za sve E,F ∈ Q. Dakle, ako je (E,F ) ∈ [QQ]T , onda na osnovu Leme 3.2.1

33

vazi da je N(E) uR(F ) = H, pa je dakle N(E) ∩R(F ) = {0}. Stoga je

N(E + F − I) = N(E − (I − F )) = N(E) ∩N(I − F ) uR(E) ∩R(I − F )

= N(E) ∩R(F ) uR(E) ∩N(F ) = R(E) ∩N(F )

= R(T ) ∩N(T ).

Analogno, ako uzmemo u obzir da je (F ∗, E∗) ∈ [QQ]T ∗ , imamo N(E∗ +F ∗ − I) = R(T ∗) ∩ N(T ∗). Prelaskom na ortogonalne komplemente i zbogcinjenice da je N(T ∗) = R(T )⊥, N(T ) = R(T ∗)⊥ i (T⊥)⊥ = T dobijamo da

vazi R(E + F − I) = R(T ) +N(T ).

Posledica 3.3.1. Neka je T ∈ QQ i (E,F ) ∈ [QQ]T . Tada vazi,

1. R(T ) ∩N(T ) = {0} ako i samo ako je E + F − I injektivan operator.

2. R(T ) uN(T ) = H ako i samo ako je E + F − I injektivan operatorkoji ima gustu sliku.

3. R(T ) u N(T ) = H ako i samo ako je E + F − I injektivan i vaziR(E) +R(I − F ) = H.

4. R(T ) uN(T ) = H ako i samo ako je E + F − I invertibilan.

Dokaz. Tvrdenja 1, 2 i 3 vaze na osnovu Teoreme 3.3.1, tako da ostaje da sepokaze samo tvrdenje 4. Pretpostavimo da je R(T )uN(T ) = H. Primetimoda ovo implicira da je R(T ) zatvoren. Kako je R(T )∩N(T ) = {0}, onda naosnovu dela pod 1 imamo da je E + F − I injektivan. Ostaje da se pokazeda je R(E + F − I) = H. Kako je R(E) ∩R(F − I) = R(T ) ∩N(T ) = {0} iN(E) + N(F − I) = N(E) + R(F ) = H (prema Posledici 3.2.1), na osnovu[16, Teorema 2.10] vazi R(E+F−I) = R(E)+R(F−I) = R(T )+N(T ) = H.

Obratno, ako je E + F − I invertibilan onda, prema delu pod 1, R(E) ∩R(F − I) = R(T )∩N(T ) = {0}. Stavise, kako je R(E+F − I) = H onda jeR(E) +R(F − I) = H. Dakle, R(T )uN(T ) = H. Ostaje da se pokaze da jeR(T ) zatvoren. Sada, kako jeH = R(E+F−I) = R(E)+R(I−F ) (koristeciponovo [16, Teorema 2.10]), imamo da je N(E) + N(I − F ) = H. Dakle,prema Posledici 3.2.1, T ima zatvorenu sliku, sto je i trebalo dokazati.

Poznato je da postoji identitet koji karakterise skup PP , naime TT ∗T =T 2 (vise reci o tome u sledecem poglavlju). Pitamo se da li postoji odgo-varajuci identitet za skup QQ. Prvi korak u razotkrivanju ovoga je sledecirezultat:

34

Teorema 3.3.2. Za T ∈ QQ postoji X ∈ L(H) takav da je TXT = T 2 iXTX = X2.

Dokaz. Neka je T = EF ∈ QQ. Definisemo X := FE. Tada je

TXT = EFFEEF = EFEF = T 2 i XTX = FEEFFE = FEFE = X2.

Sledeci korak je da proverimo da li vazi obrat Teoreme 3.3.2. U sledecemtvrdenju iz rada [1] pokazano je da ovo vazi ako T zadovoljava uslov R(T )uN(T ) = H.

Teorema 3.3.3. Neka je T ∈ L(H) takav da vazi R(T ) uN(T ) = H. Tadaje T ∈ QQ ∩ Lcr ako i samo ako postoji X ∈ L(H) takav da je TXT = T 2,XTX = X2 i R(X) uN(X) = H.

Dokaz. Neka je T ∈ QQ ∩ Lcr i obelezimo T = EF , za (E,F ) ∈ [QQ]T .Definisemo X = FE. Iz dokaza Teoreme 3.3.2 imamo da je TXT = T 2 iXTX = X2. Tvrdimo da vazi R(X) = R(F ) i N(X) = N(E), pa ce naosnovu Posledice 3.2.1 biti R(X) uN(X) = H. Zaista,

R(X) = R(FE) = FR(E) = F (R(E) +N(F )) = F (R(T ) +N(T ))

= F (H) = R(F )

N(X) = N(FE) = N(E) + E−1(N(F )) = N(E) + E−1(N(F ) ∩R(E))

= N(E) + E−1({0}) = N(E).

Obratno, neka je X ∈ L(H) takav da je TXT = T 2, XTX = X2 iR(X) u N(X) = H. Prvo cemo pokazati da je T ∈ QQ. Primetimo daXTX = X2 implicira da vazi PN(X)⊥TPR(X) = PN(X)⊥PR(X) ∈ PP . Iz ovoga

i cinjenice da R(X)uN(X) = H imamo da vazi N(X)⊥ = R(PN(X)⊥PR(X)) =

R(PN(X)⊥TPR(X)) = PN(X)⊥R(TPR(X)). Dakle, H = R(TPR(X)) + N(X) pa

je H = R(T ) +N(X). Stavise, R(T )∩N(X) = {0}. Zaista, ako je y = Tx ∈R(T )∩N(X) onda 0 = TXTx = T 2x, to jest y = Tx ∈ R(T )∩N(T ) = {0}.Stoga, H = R(T )uN(X). Primetimo da ovo implicira da je T ∈ Lcr. Slicno,posto je TXT = T 2 i R(T )uN(T ) = H dobijamo da vazi H = R(X)uN(T )(dakle, X ∈ Lcr). Konacno,

PN(X)⊥TPR(X) = PN(X)⊥PR(X) ∈ PP ,H = R(T )uN(X) iH = R(X)uN(T ).

Dakle, na osnovu Teoreme 3.1.3, T ∈ QQ.

35

Na posletku, navodimo karakterizaciju skupa QQ za matrice iz rada [1],koristeci Ballantine-ov rezultat. Zapravo, on je dokazao sledeci rezultat:

Teorema 3.3.4. Neka je A ∈ Cn×n. Tada je A proizvod k idempotentnihmatrica ako i samo ako je dimR(A− I) ≤ k dimN(A).

U radu [1] pomocu ovog Ballantine-ovog rezultata dobijen je sledeci za-kljucak :

Teorema 3.3.5. Neka je T ∈ Cn×n. Ako postoji X ∈ Cn×n takav da jeTXT = T 2, XTX = X2, onda je T proizvod 4 idempotentne matrice.

Dokaz. Na osnovu Teoreme 3.3.4, dovoljno je pokazati da vazi dimR(T −I) ≤ 4 dimN(T ). Ako je XTX = X2 onda je T = I+Z1+Z2 za neke Z1, Z2 ∈Cn×n takve da je XZ1 = Z2X = 0. Stoga, R(T −I) = R(Z1 +Z2) ⊆ R(Z1)+R(Z2). Sada, R(Z1) ⊆ N(X), pa je dimR(Z1) ≤ dimN(X) i R(Z∗2) ⊆N(X∗). Dakle, dimR(Z2) = dimR(Z∗2) ≤ dimN(X∗) = dimN(X), te vazi

dimR(T − I) ≤ dimR(Z1) + dimR(Z2) ≤ 2 dimN(X). (4.1)

S druge strane, kako je TXT = T 2 imamo da X = I + W1 + W2 za nekeW1,W2 ∈ Cn×n takve da je TW1 = W2T = 0. Dakle, primecujemo da jeN(X) ⊆ R(W1 +W2). Stoga,

dimN(X) ≤ dimR(W1 +W2) ≤ dimR(W1) + dimR(W2) ≤ 2 dimN(T ),(4.2)

gde poslednja nejednakost sledi na osnovu toga sto je dimR(W1), dimR(W2) ≤dimN(T ) jer je TW1 = W2T = 0 (slicno kao u prvom delu dokaza). Konacno,iz (4.1) i (4.2) dobijamo da je dimR(T − I) ≤ 4 dimN(T ), sto je i trebalodokazati.

Posledica 3.3.2. Neka je T ∈ Cn×n. Ako postoji X ∈ Cn×n takav da jeXTX = X2 i dimN(X) ≤ dimN(T ) onda je T ∈ QQ.

Dokaz. Po uzoru na dokaz Teoreme 3.3.5 dobijamo nejednakost (4.1), tj.dimR(T − I) ≤ 2 dimN(X). Sada, posto je dimN(X) ≤ dimN(T ), imamoda vazi dimR(T − I) ≤ 2 dimN(T ), pa je, na osnovu Teoreme 3.3.4 za slucajk = 2, T proizvod dve idempotentne matrice, sto je ekvivalentno sa time daje T ∈ QQ.

36

4 Proizvod ortogonalnih projektora i polarne

dekompozicije

4.1 Uvodni rezultati

Prisetimo se da direktnu sumu dva zatvorena potprostoraM iN odH, takvada jeM∩N = {0}, oznacavamo saMuN , a ako suM iN ortogonalni ondapisemoM⊕N . Za A ∈ L(H), PA oznacava ortogonalan projektor na R(A).Friedrich-ov ugao izmedu M ∈ Gr(H) i N ∈ Gr(H) je α(M,N ) ∈ [0, π/2]ciji je kosinus

c(M,N ) = sup{| 〈m,n〉 | : m ∈MN , ||m|| ≤ 1, n ∈ N M, ||n|| ≤ 1},

gde je MN =M∩ (M∩N )⊥.Dixmier-ov ugao izmedu M ∈ Gr(H) i N ∈ Gr(H) je α0(M,N ) ∈ [0, π/2]ciji je kosinus

c0(M,N ) = sup{| 〈m,n〉 | : m ∈M, ||m|| ≤ 1, n ∈ N , ||n|| ≤ 1}.Lako je primetiti da je c0(M,N ) = ||PMPN ||. Sada navodimo nekoliko

dobro poznatih rezultata vezanih za c i c0, ciji se dokazi mogu naci u raduF. Deutsch-a [17].

Teorema 4.1.1. Neka su M,N ∈ Gr(H), tada vaze sledeca tvrdenja:

1. c(M,N ) < 1 ako i samo ako je M + N zatvoren ako i samo ako jeR(PM(I − PN )) zatvoren;

2. c0(M,N ) < 1 ⇐⇒ M∩N = {0} i M+N je zatvoren;

3. c(M,N ) = c(M⊥,N⊥); Specijalno, M + N je zatvoren ako i samoako je M⊥ +N⊥ zatvoren.

Navodimo jednakost Krein-Krasnoselskii-Milman, u zavisnosti od kojeimamo razlicite slucajeve kada je u pitanju norma ||P −Q||, videti teoremuiz rada [2] koja sledi:

||P −Q|| = max{||P (I −Q)||, ||Q(I − P )||}, (3.1.1)

koja vazi za sve P,Q ∈ P (videti [18, 19, 20]).

Teorema 4.1.2. Ako su P,Q ∈ P, tada vazi jedan od sledecih slucajeva:

37

1. ||P −Q|| < 1, pa je tada ||P (I −Q)|| = ||Q(I − P )|| < 1;

2. ||P −Q|| = ||P (I −Q)|| = 1 i ||Q(I − P )|| < 1;

3. ||P −Q|| = ||Q(I − P )|| = 1 i ||P (I −Q)|| < 1;

4. ||P −Q|| = ||Q(I − P )|| = ||P (I −Q)|| = 1.

Ako posmatrao slike i jezgra, navedene cetiri mogucnosti izgledaju ovako:

1. R(P ) u N(Q) = N(P ) u R(Q) = H i uglovi koji odgovaraju obemadekompozicijama se podudaraju;

2. R(P ) +N(Q) = H i N(P ) +R(Q) je pravi zatvoreni potprostor;

3. N(P ) +R(Q) = H i R(P ) +N(Q) je pravi zatvoreni potprostor;

4. N(P ) +R(Q) i R(P ) +N(Q) su pravi potprostori od H.

Prisetimo se definicije Moore-Penrose-ovog pseudoinverza T † za operatorT ∈ L(H). Ovo je operator sa domenom R(T ) ⊕ R(T )⊥ definisan tako daje T †(Tx) = x ako je x ∈ N(T )⊥ i T †|R(T )⊥ = 0. Pogledati originalanrezultat Penrose-a [13] ili knjigu Ben-Israeli-a i Greville-a [12], gde su datasvojstva i stavovi u vezi sa T †. Bez posebnog naglasavanja, koristimo da jeT † ogranicen ako i samo ako je R(T ) zatvoren. Primetimo da se operatoriT †T i TT † ponasaju na razlicite nacine; prvi je uvek ogranicen; zaista, on sepodudara sa PN(T )⊥ ; medutim, drugi je definisan i ponasa se kao projektorna domenu operatora T †.

4.2 Operatori oblika PQ,P,Q ∈ PU ovom poglavlju izucavamo skupove

X = {PQ : P,Q ∈ P} i Xcr = {T ∈ X : R(T ) je zatvoren}.

Pocinjemo teoremom koja nam daje dve alternativne karakterizacije ele-menata skupa X. Prva vazi na osnovu rezultata Crimmins-a (stavka 2), videtiRadjavi i Williams [21, Teorema 8]. Druga (stavka 3) je prepiska rezultataZ. Sebestyen o suboperatorima, videti [22, Teorema 1].

38

Teorema 4.2.1. Za T ∈ L(H), sledeca tvrdenja su ekvivalentna.

1. T ∈ X;

2. T 2 = TT ∗T ;

3. ||Tx||2 = 〈Tx, x〉 za svaki x ∈ N(T )⊥.

U tom slucaju je T = PR(T )PN(T )⊥ = PR(T )PR(T ∗) = PN(T ∗)⊥PN(T )⊥.

Karakterizaciju dobijenu ovom teoremom cemo u nastavku zvati kanonskafaktorizacija za T .

Dokaz. Dokazujemo sledece tri implikacije:

1 =⇒ 3: Ako je T ∈ X onda postoje P,Q ∈ P takvi da je T = PQ. Primetimoda je N(Q) ⊆ N(T ), pa je R(PN(T )⊥) = N(T )⊥ ⊆ N(Q)⊥ = R(Q∗) =R(Q) i zato QPN(T )⊥ = PN(T )⊥ , tj. Qx = x, za svaki x ∈ N(T )⊥.Dakle, ako je x ∈ N(T )⊥, onda je

||Tx||2 = 〈T ∗Tx, x〉 = 〈Q∗P ∗PQx, x〉 =⟨QP 2Qx, x

⟩= 〈PQx,Q∗x〉

= 〈PQx,Qx〉 = 〈Tx, x〉 ,

sto je i trebalo pokazati. Pritom, poslednja jednakost vazi jer je x ∈N(T )⊥ = R(T ∗) = R(Q∗P ∗) ⊆ R(Q∗).

3 =⇒ 2: Ako je ||Tx||2 = 〈Tx, x〉, za svaki x ∈ N(T )⊥, tada je 〈Ty, Ty〉 =⟨Ty, PN(T )⊥y

⟩, za svaki y ∈ H, zato sto je TPN(T )⊥ = T . Dakle,

〈T ∗Ty, y〉 =⟨PN(T )⊥Ty, y

⟩, za svaki y ∈ H, ili T ∗T = PN(T )⊥T = T †T 2.

Mnozeci sada obe strane ove jednakosti sa T dobijamo TT ∗T = TT †T 2.Primetimo da je TT † ortogonalni projektor na R(T ), restrikovan naR(T ) i da vazi R(T 2) ⊆ R(T ). Stoga je TT ∗T = T 2.

2 =⇒ 1: Ako je TT ∗T = T 2 onda, mnozeci obe strane ove jednakosti sa (mozdaneogranicenim operatorom) T †, dobijamo PN(T )⊥T

∗T = PN(T )⊥T , a za-tim uzimajuci adjungovane operatore imamo T ∗TPN(T )⊥ = T ∗PN(T )⊥ .Mnozeci sa T ∗†, dobijamo PN(T ∗)⊥TPN(T )⊥ = PN(T ∗)⊥PN(T )⊥ . Medutim,

koristeci da je N(T ∗)⊥ = R(T ) i da je T = PR(T )TPN(T )⊥ , sledi da vazijednakost T = PR(T )PN(T )⊥ , pa zapravo T ∈ X.

39

Ocigledno je da T ∗ ∈ X ako je T ∈ X. Prema formuli T = PR(T )PN(T )⊥ ,

imamo da je T odreden zatvorenim potprostorima R(T ) i N(T ).

Teorema 4.2.2. Svaki T ∈ X ima sledeca svojstva:

1. R(T ) ∩N(T ) = {0};

2. R(T ) uN(T ) je gust;

3. R(T ) uN(T ) = H ako i samo ako je R(T ) zatvoren.

Dokaz.

1. Neka je x ∈ R(T ) ∩ N(T ). Tada je PN(T )⊥x = 0 i x = PR(T )x. Dakle,

0 = PN(T )⊥x = PN(T )⊥PR(T )x = T ∗x, pa je x ∈ N(T ∗) = R(T )⊥. Stoga,

x ∈ R(T ) ∩R(T )⊥ = {0}.

2. Ako je T ∈ X onda je takode i T ∗ ∈ X. Kada primenimo 1 na T ∗ dobi-jamo da je N(T ∗)∩R(T ∗) = {0} ili R(T )⊥ ∩N(T )⊥ = {0}. Uzimajuci

ortogonalne komplemente imamo da je R(T ) uN(T ) = H, odnosno daje R(T ) uN(T ) gust.

3. Prema Teoremi 4.1.1 imamo da jeM+N⊥ zatvoren ako i samo ako jeR(PM, PN ) zatvoren. Ako ovo primenimo naM = R(T ), N = N(T )⊥,a kako je T = PMPN , imamo da na osnovu 2 sledi zeljeni rezultat.

Posledica 4.2.1. Neka su P,Q ∈ P. Tada vazi

1. R(PQ) je zatvoren i R(PQ) uN(PQ) = H

ili

2. R(PQ) nije zatvoren i R(PQ) uN(PQ) je pravi gusti podskup od H.

Sledeci rezultat je reformulacija svojstva kakonske faktorizacije.

Teorema 4.2.3. Neka je T ∈ X. Postoji faktorizacija T = PMPN tako daje M u N⊥ = H ako i samo ako je R(T ) zatvoren. U tom slucaju, pos-toji samo jedna takva faktorizacija, naime T = PR(T )PN(T )⊥, koja odgovaradekompoziciji H = R(T ) uN(T ).

40

Dokaz. Primetimo da prema Teoremi 4.2.2, ako je R(T ) zatvoren tada jeR(T ) uN(T ) = H i T = PR(T )PN(T )⊥ .

Obratno, ako je T = PMPN i MuN⊥ = H, tada je M+N⊥ zatvoren,pa je stoga i R(T ) = R(PMPN ) zatvoren (videti [23] ili [24]). Jedinstvenostsledi na osnovu sledece leme.

Lema 4.2.1. Ako je M u N = H, M1 u N1 = H, M1 ⊆ M i N1 ⊆ Nonda je M =M1 i N = N1.

Primedba 4.2.1. Ako su P,Q ∈ P i R(PQ) je zatvoren, Teorema 4.2.3 iPosledica 4.2.1 ne impliciraju da je R(P )uN(Q) = H. Medutim, implicirajuda operator T = PQ podleze faktorizaciji T = P ′Q′ takvoj da je R(P ′) uN(Q′) = H.

Sledeci rezultat opisuje sve faktorizacije T = PMPN za dati operator T ∈X i pokazuje da je kanonska faktorizacija najpogodnija u sledeca dva smisla:(1) ako je T = PMPN onda je R(T ) ⊆ M i N(T )⊥ ⊆ N ili ekvivalentnoPR(T ) ≤ PM i PN(T )⊥ ≤ PN ; (2) ako je T = PMPN tada je ||(PM−PN )x|| ≥||(PR(T ) − PN(T )⊥)x||, za svaki x ∈ H.

Teorema 4.2.4. Neka je T ∈ X i M,N ∈ Gr(H). Tada je T = PMPN akoi samo ako postoje M1,N1 ∈ Gr(H) takvi da je

1. M = R(T )⊕M1;

2. N = N(T )⊥ ⊕N1;

3. M1⊥N1;

4. M1 ⊕N1 ⊆ R(T )⊥ ∩N(T ).

Dokaz. Na osnovu teoreme Crimmins-a vazi T = PR(T )PN(T )⊥ . Ako je T =

PMPN onda je R(T ) ⊆ M, a kako je M zatvoren, R(T ) ⊆ M. Analogno,N⊥ = N(PN ) ⊆ N(T ) te je N(T )⊥ ⊆ N . Dakle, M1 := M R(T ) iN1 := N N(T )⊥ su dobro definisani i uslovi 1 i 2 su dokazani. Takode,M1 ⊆ R(T )⊥ i N1 ⊆ N(T ).

Sada, koristeci T = PMPN i dekompozicije 1 i 2 dobijamo

PR(T )PN(T )⊥ = T = PMPN = (PR(T )+PM1)(PN(T )⊥ + PN1)

= PR(T )PN(T )⊥ + PR(T )PN1 + PM1PN(T )⊥ + PM1PN1

41

a posle skracivanja imamo da vazi,

PR(T )PN1 + PM1PN(T )⊥ + PM1PN1 = 0.

Mnozeci sa leve strane prethodnu jednacinu sa PR(T ), imamo da je PR(T )PN1 =

0, zato sto je M1⊥R(T ). Iz ovoga zakljucujemo da je N1 ⊆ R(T )⊥. Kakovazi

PM1PN(T )⊥ + PM1PN1 = 0

mnozeci sa desne strane sa PN(T )⊥ dobijamo

PM1PN(T )⊥ = 0

zbog toga sto je N1⊥N(T )⊥. Dakle,

PM1PN1 = 0

to jest,M1⊥N1 i takode N(T )⊥ ⊆M⊥1 , sto je ekvivalentno saM1 ⊆ N(T ).

Ovim je prvi deo dokaza zavrsen.Obratno, ako M1 i N1 zadovoljavaju 1-4 tada vazi

PMPN = (PR(T ) + PM1)(PN(T )⊥ + PN1) = PR(T )PN(T )⊥ = T,

zato sto se svi ostali proizvodi anuliraju.

Posledica 4.2.2. Neka je T ∈ X. Tada T ima jedinstvenu fakrotizacijuT = PMPN ako i samo ako R(T )⊥ ∩N(T ) = {0}.

Posledica 4.2.3. Neka je T ∈ X. Ako je T = PMPN onda je ||(PM −PN )x|| ≥ ||(PR(T ) − PN(T )⊥)x||, za svaki x ∈ H, tj. (PM − PN )2 ≥ (PR(T ) −PN(T )⊥)2.

Dokaz. Kako je PM−PN = (PR(T )−PN(T )⊥)+(PM1−PN1) i slike oba sabirka

su ortogonalne, imamo da vazi ||PMx − PNx||2 = ||PR(T )x − PN(T )⊥x||2 +

||PM1x− PN1x||2.

U nastavku, za svaki T ∈ X koristimo sledecu oznaku XT := {(P,Q) :T = PQ}.

Teorema 4.2.5. Neka je T ∈ X. Ako R(T ) nije zatvoren, tada je ||P−Q|| =1, za sve (P,Q) ∈ XT . Ako je R(T ) zatvoren, tada je ||PR(T ) − PN(T )⊥|| < 1i ||P −Q|| = 1, za svaki drugi uredeni par (P,Q) ∈ XT .

42

Dokaz. Ako R(T ) nije zatvoren, onda prema Teoremi 4.2.2 sledi da jeR(T ) uN(T ) gust pravi potprostor od H i stoga, prema (3.1.1) iz Teoreme4.1.1 imamo da je ||PR(T ) − PN(T )⊥ || = 1; a prema prethodnoj posledici sledi

da je ||P −Q|| = 1, za sve (P,Q) ∈ XT .Ako je R(T ) zatvoren, onda je H = R(T ) u N(T ), pa prema Teoremi

4.1.1 vazi

c(R(T ), N(T )) = c0(R(T ), N(T )) = ||PR(T )PN(T )|| = ||PR(T )(I−PN(T )⊥)|| < 1.

Takode i T ∗ ima zatvorenu sliku, pa na isti nacin mozemo zakljuciti da je||PN(T )⊥PR(T )⊥ || < 1. Kako je ||PN(T )⊥PR(T )⊥|| = ||(I − PR(T ))PN(T )⊥||, ko-risteci (3.1.1) dobijamo ||PR(T ) − PN(T )⊥|| < 1.

Konacno, prema Teoremi 4.2.3 sledi da je (PR(T ), PN(T )⊥) jedini elementskupa XT sa tim svojstvom. Dakle, ako je (P,Q) neki drugi element iz XT

onda je R(P ) +N(Q) = H ali suma nije direktna. Dakle, ||P −Q|| = 1.

4.3 Operatori oblika PQP, P,Q ∈ PUvodimo skup D = {PQP : P,Q ∈ P} i za S ∈ D oznacimo DS = {(P,Q) ∈P × P : S = PQP}. Ovaj odeljak je posvecen izucavanju ovih skupova,koristeci se zakljuccima iz prethodnog poglavlja. Prvo navodimo opis skupaDS za dati S ∈ D.

Teorema 4.3.1. Skup DS je disjunktna unija skupova XT , gde je T ∈ X kojiima svojstvo TT ∗ = S.

Dokaz. Ako je (P,Q) ∈ DS, onda je S = PQP , T := PQ ∈ X i (P,Q) ∈ XT .Pritom vazi

TT ∗ = PQ(PQ)∗ = PQQ∗P ∗ = PQ2P = PQP = S.

Obratno, ako je (P,Q) ∈ XT , za neki T ∈ X takav da je S = TT ∗, ondaje S = PQ(PQ)∗ = PQQ∗P ∗ = PQQP = PQP , jer su P,Q ∈ P . Dakle,imamo da je (P,Q) ∈ DS.

Skup D je u potpunosti opisan od strane Ariasa i Guddera [25]. Onisu dokazali da pozitivan operator A ∈ L(H) pripada skupu D ako i samoako je A ≤ I i dimR(A− A2) ≤ dimN(A). (Stavise, pokazali su potpunijirezultat, koji vazi na von Neumann-ovim algebrama, a u slucaju cinilacanjihov rezultat ima pomenutu formu).

Za dati S ∈ D, razmatramo normu ||P −Q||, za svaki (P,Q) ∈ DS.

43

Teorema 4.3.2. Neka je S ∈ D. Tada:

1. Ako R(S) nije zatvoren, onda je ||P − Q|| = 1, za svaki uredeni par(P,Q) ∈ DS.

2. Ako je R(S) zatvoren, onda za svai uredeni par (P,Q) ∈ DS i T = PQvazi jedno od sledeca dva tvrdenja:

• T = PQ nije kanonska faktorizacija za T i tada vazi ||P−Q|| = 1,

ili

• P = PR(T ) i Q = PN(T )⊥ i u tom slucaju je ||PR(T ) − PN(T )⊥||konstanta manja od 1, a nezavisna je od faktorizacije S = TT ∗;preciznije, ||PR(T ) − PN(T )⊥ || = ||PR(S) − S||

12 .

Dokaz. Setimo se da za svaki operator B ∈ L(H) vazi da je R(B) zatvorenako i samo ako je R(BB∗) zatvoren, ako i samo ako je R(B∗B) zatvoren.Zapravo, prema polarnoj dekompoziciji (videti [26, 27]) sledi da je R(B) =

R((BB∗)12 ). Dakle, R(B) je zatvoren ako i samo ako je R((BB∗)

12 ) zatvoren,

ako i samo ako je R(BB∗) zatvoren. Za B∗B je dovoljno zameniti B sa B∗,zato sto je R(B) zatvoren ako i samo ako je R(B∗) zatvoren. PosmatrajmoS ∈ D.(1) Ako R(S) nije zatvoren, onda za svaki T ∈ X takav da je TT ∗ = S,vazi da R(T ) nije zatvoren; prema Teoremi 4.2.5 sledi da je ||P −Q|| = 1 zasvaki par (P,Q) ∈ XT , pa onda na osnovu Teoreme 4.3.1, isto vazi i za svaki(P,Q) ∈ DS.(2) Ako je R(S) zatvoren, uzmimo T ∈ X takav da je TT ∗ = S. PremaTeoremi 4.2.5 vazi ||P −Q|| = 1, za svaki par (P,Q) ∈ XT , osim za kanonskiuredeni par (PR(T ), PN(T )⊥), za koji je ||PR(T ) − PN(T )⊥|| < 1. RazmotrimoL ∈ X i L 6= T , takav da je LL∗ = S. Tvrdimo da je ||PR(T ) − PN(T )⊥|| =||PR(L) − PN(L)⊥ || < 1. Da bi dokazali ovu tvrdnju navescemo niz opazanja.

1. Primetimo da je R(S) = R(T ) = R(L); oznacimo P = PR(S).

2. Ako su E,F ∈ P tada, na osnovu 1 iz Teoreme 4.1.2, trivijalno sledida ako je ||E−F || < 1 onda je ||E−F || = ||E(I−F )|| = ||(I−E)F ||.

3. Kako je ||P − PN(T )⊥|| < 1, vazi ||P − PN(T )⊥|| = ||P (I − PN(T )⊥)|| =||PPN(T )||.

44

4. Primetimo da je S = TT ∗ = PPN(T )⊥P = P − PPN(T )P , pa jePPN(T )P = P − S.

Dakle, prema (3) i (4), sledi da je ||P − PN(T )⊥ ||2 = ||PPN(T )||2 =||PPN(T )P || = ||P − S||.

Napomena 4.3.1. Prethodni dokaz pokazuje da ako S ∈ D ima zatvorenusliku, onda skup DS predstavlja uniju dva disjunktna podskupa, recimo U ={(P,Q) ∈ DS : R(P ) u N(Q) = H} i Z = {(P,Q) ∈ DS : R(P ) + N(Q) =H i R(P )∩N(Q) 6= {0}}. Funkcionela (P,Q)→ ||P −Q|| uzima konstantne

vrednosti ||PR(S) − S||12 na U i 1 na Z.

Sledi tehnicki rezultat koji ce se koristiti kasnije:

Lema 4.3.1. Neka je P ∈ P i 0 ≤ A ≤ P . Tada vaze sledeci identiteti:

(a) R(P − A) = R(P − A2) = R(P − A 12 ) ;

(b) R(A− A2) = R(A(P − A)) = R(PA − A) .

Dokaz. Primetimo da su operatori A, P − A, P − A2 i P − A 12 pozitivni i

komutiraju zbog monotonosti pozitivnog kvadratnog korena; ista stvar vazii za PA umesto P .

Takode, iz (P −A2) = (P 2−A2) = (P +A)(P −A) i cinjenice da je P +Ainvertibilan na R(P ) dobijamo da je N(P − A2) = N(P − A). Uzimajuciortogonalne komplemente dobijamo da vazi R(P − A2) = R(P − A) i slicno

R(P − A) = R(P − A 12 ).

Primetimo da je PA = A = AP , pa vazi A − A2 = A(P − A). Dabi dokazali R(A(P − A)) = R(PA − A), primetimo da je N(A(P − A)) =N(A(PA − A)) = N(PA − A) i uzmimo ortogonalne komplemente.

Sledeca teorema, data u radu [2], daje formu ortogonalnog projektora Qpreko drugog ortogonalnog projektora P , kada je rec o 2×2 matricama in-dukovanim dekompozicijom R(P )⊕N(P ) = H; rezultat ovog tipa pojavljujese u ranije pominjanim radovima Afriata, Davisa, Halmosa, Ariasa i Gud-dera, Galantaia i Bottchera i Spitkovskog.

45

Teorema 4.3.3. Neka su P i Q ortogonalni projektori, tada je matricnareprezentacija za Q, u odnosu na dekompoziciju R(P )⊕N(P ) = H, data sa

Q =

[A A

12 (P − A)

12U∗

UA12 (P − A)

12 U(P − A)U∗ + Q

], (2)

gde je A = PQP , U je parcijalna izometrija sa domenom R(A(P − A)) i

kodomenom W ⊆ N(P ) i Q je ortogonalan projektor sa svojstvom R(Q) ⊂N(P )R(U).

Obratno, za P ∈ P, 0 ≤ A ≤ P za koje vazi dimR(A(P − A)) ≤dimN(P ), parcijalnu izometriju U sa domenom R(A(P − A)) i kodomenom

W ⊆ N(P ) i ortogonalan projektor Q takav da R(Q) ⊂ N(P )R(U) desnastrana jednacine (2) predstavlja ortogonalni projektor.

Dokaz. Za date P,Q ∈ P , razmotrimo matricnu reprezentaciju za Q prekoP :

Q =

[Q11 Q12

Q21 Q22

].

Pisacemo A := Q11 i B := Q22. Kako je Q ≥ 0, sledi da je 0 ≤ A ≤ P ,0 ≤ B ≤ I − P i Q12 = Q21.Kako je Q2 = Q, imamo i da je

Q12Q21 = A(P − A) i AQ12 +Q12B = Q12. (3)

Iz cinjenice da je Q∗12 = Q21, na osnovu prve jednakosti u (3) dobijamo

|Q21|2 = A(P − A) ili |Q21| = A12 (P − A)

12 ,

pa mozemo zakljuciti da postoji izometrija U koja slika R(A12 (P − A)

12 ) =

R(A(P − A)) na W ⊂ N(P ) takva da Q21 = UA12 (P −A)

12 i Q12 = A

12 (P −

A)12U∗. Medutim, koristeci Lemu 4.3.1, dobijamo da je R(A(P − A)) =

R(PA − A). Iz druge jednakosti u (3) sledi da je

AA12 (P − A)

12U∗ + A

12 (P − A)

12U∗B = A

12 (P − A)

12U∗.

Primetimo da je, na osnovu Leme 4.3.1 , A12 (P −A)

12 = A

12 (P −A)

12PA; tada

0 = A12 (P − A)

12 [U∗B − (PA − A)U∗] = A(P − A)[U∗B − (PA − A)U∗];

46

ovo implicira da je R(U∗B−(PA−A)U∗) ⊂ N(A(P − A)). Kako je R(U∗B−(PA−A)U∗) ⊂ R(A(P − A)), onda imamo da je U∗B = (PA−A)U∗ pa stogaUU∗B = U(PA − A)U∗ = BUU∗.Kako je UU∗ = PU ortogonalan projektor i PUB = BPU , dobijamo da

B = U(PA − A)U∗ + Q

gde je Q ortogonalan projektor takav da R(Q) ⊂ N(P ) R(U). Primetimoda UP = U(PA +PR(P )R(A)) = UPA, zbog toga sto R(P )R(A) ⊆ N(A) ⊆N(PA − A) = N(U). Tada je B = U(P − A)U∗ + Q. Dakle, vazi (2).

Lako je videti da za 0 ≤ A ≤ P koje zadovoljava uslov vezan za dimenziju,parcijalnu izometriju U sa domenom R(A(P − A)) i kodomenom W ⊂ N(P )

i za ortogonalni projektor Q za koji je R(Q) ⊆ N(P ) R(U), desna stranau (2) predstavlja ortogonalni projektor. Ovim je dokaz zavrsen.

Kao posledicu dobijamo sledeci rezultat (videti Teoremu 5 i Posledicu 6u [25]):

Posledica 4.3.1. Za pozitivnu kontrakciju A ∈ L(H), postoji Q ∈ P takavda A = PAQPA ako i samo ako je dimR(A− A2) ≤ dimN(A).

Sledeci rezultat ce biti koristan u karakterizaciji skupa D kada je rec opolarnoj dekompoziciji (videti sledece poglavlje).

Posledica 4.3.2. Za P,Q ∈ P, postoji H ∈ P koje je resenje jednacine

(PQP )12 = PXP. (4)

Stavise, svi ortogonalni projektori koji su resenja jednacine (4) imaju sledecuparametrizaciju

H =

(A A

12 (P − A)

12U∗

UA12 (P − A)

12 U(P − A)U∗ + H

),

gde je A = (PQP )12 , U je parcijalna izometrija sa domenom R(A(P − A))

i kodomenom W ⊂ N(P ), a H je ortogonalni projektor za koji je R(H) ⊆N(P )R(U).

47

Dokaz. Neka je A = PQP . Iz dokaza prethodne teoreme imamo da jedimR(PA − A) ≤ dimN(P ). Razmotrimo A

12 ; vazi sledece 0 ≤ A

12 ≤ P .

Dakle, koristeci Lemu 4.3.1, dobijamo dimR(PA

12− A 1

2 ) ≤ dimR(PA − A) ≤dimN(P ). Konacno, na osnovu Teoreme 4.3.3, dokaz je zavrsen.

Napomena 4.3.2. Primetimo da prethodna teorema sadrzi drugaciji dokazrezultata Ariasa i Guddera [25] koji je ranije pomenut, prilikom definisanjaHilbertovih prostora.U [28] Nelson i Neumann su dokazali da je skup {λ1, ..., λ2} spektar n × nmatrice B = PQ, gde su P,Q ∈ P , ako i samo ako je #{i : 0 < λi <1} ≤ #{i : λi = 0}. Kako se spektar operatora PQ podudara sa spektromod PQP , sledi da je rezultat Nelsona i Neumanna konacno-dimenzionalnaverzija teoreme Ariasa i Guddera.

4.4 Polarna dekompozicija za PQ,P,Q ∈ PPolarna dekompozicija operatora C ∈ L(H) je faktorizacija C = VC |C|,gde je VC parcijalna izometrija, |C| = (C∗C)

12 i N(VC) = N(C). Dobro je

poznato da ovakva faktorizacija postoji i da je jedinstvena [26, 27]. Stavise,R(VC) = R(C), VCV

∗C = PR(C), V

∗CVC = PN(C)⊥ i C = |C∗|VC . U nastavku

cemo za VC koristiti naziv izometrijski deo od C, a za |C| pozitivan deo odC.

Za podskup A skupa L(H) posmatracemo skup A+ (odnosno, JA), kojise sastoji od svih pozitivnih (odnosno, izometrijskih) delova elemenata skupaA.

U [29] su okarakterisani skupovi Q+ i JQ, gde je Q skup svih idem-potenata iz L(H) (primetimo da je u [29] koriscena glomaznija notacijaL(H)+Q). Sada navodimo karakterizacije skupova X+, X+

cr, JX i JXcr , do-bijenu koriscenjem ranijih rezultata, kao i onih iz [29].

U [29] postoji karakterizacija skupa JQ svih parcijalnih izometrija idem-potentnih operatora. Preciznije, dokazano je da za proizvoljni V ∈ J postojiE ∈ Q sa polarnom dekompozicijom E = V |E| ako i samo ako je V PR(V )

pozitivan operator sa slikom L(R(V )). Drugim recima, restrikcija opera-tora V PR(V ) na R(V ) je pozivitan invertibilan operator iz L(R(V )). Sledecirezultat pokazuje da kvadrati takvih izometrija iscrpljuju skup Xcr.

Teorema 4.4.1. Xcr = {V 2 : V ∈ JQ}.

48

Dokaz. Na osnovu [30], T ∈ Xcr ako i samo ako je T † ∈ Q, pa je dovoljnopokazati samo da ako E ∈ Q ima polarnu dekompoziciju E = V |E| ondaje E† = V ∗2, a zatim cemo iskoristiti cinjenicu da je V ∗ parcijalna dekom-pozicija za E∗ u njegovoj polarnoj dekompoziciji. Ako je E† = V ∗2, prime-timo da vazi N(E) = N(V ) i R(E) = R(V ) pa je E† = PN(E)⊥PR(E) =PN(V )⊥PR(V ) = (V ∗V )(V V ∗). Na osnovu karakterizacije za JQ, vazi daV PR(V ) = (V PR(V ))

∗ = PR(V )V∗, pa je V 2V ∗ = V V ∗2. Tada je E† =

V ∗V V ∗2. Medutim, kako je V ∗ Moore-Penrose-ov pseudoinverz od V , vazida je V ∗V V ∗ = V ∗. Dakle, E† = V ∗2. Time je teorema dokazana.

Neka je T ∈ X takav da je T = PQ kanonska faktorizacija za T . Tadaleva polarna dekompozicija od T ima sledecu formu

T = (PQP )12VT (5)

Sledi karakterizacija skupa JX = {V ∈ J : postoji T ∈ X takav da jeV = VT}, to jest skupa parcijalnih izometrija polarne dekompozicije eleme-nata iz X, obradena u radu [2], nakon koje se rezultat Teoreme 4.4.1 mozeuopstiti na citavo X.

Teorema 4.4.2. Za V ∈ J vazi da je V ∈ JX ako i samo ako je V 2V ∗ ≥ 0i R(V 2V ∗) = R(V ). U tom slucaju vazi R(V ) uN(V ) = H.

Dokaz. Neka je V ∈ JX. Tada postoji T ∈ X takvo da je V = VT . Neka jeT = PQ kanonska faktorizacija za T . Prisetimo se da je P = PR(V ) = PR(V )i

prema definiciji polarne dekompozicjie je R(V ) = R(T ). Dakle, V 2V ∗ =

V (V V ∗) = V P . Medutim iz (5) dobijamo da je (PQP )12

†T = PV = V , pa

je V = (PQP )12

†PQ i zato V P = (PQP )

12

†PQP = (PQP )

12 . Dakle,

V P = |T ∗| ∈ L(H)+.

Stavise, R(V 2V ∗) = R(V P ) = R(|T ∗|) = R(T ) pa je R(V 2V ∗) = R(V ).Obratno, pretpostavimo da V ∈ J zadovoljava uslov V 2V ∗ = V PR(V ) ≥ 0

i da je R(V PR(V )) = R(V ). Neka je A = V PR(V ) i T = PR(V )PN(V )⊥ ∈ X.

Kako je A pozitivan, imamo A = V 2V ∗ = V V ∗2. Tada je

T = (V V ∗)(V ∗V ) = V 2V ∗V = V PR(V )V (= V 2) = AV,

a ovo je polarna dekompozicija od T . Zaista, primetimo da vazi TT ∗ =AV V ∗A = APR(V )A = A2 pa je |T ∗| = A; takode, V je parcijalna izometrija

49

sa kodomenom R(V ) = R(V 2V ∗) = R(A) = R(T ) i jezgrom N(V ) = N(T );N(V ) ⊆ N(T ) i Tx = 0 zapravo znaci da je AV x = 0, pa stoga V x ∈N(A) ∩R(V ) = N(A) ∩R(A) = {0}.

Poslednje tvrdenje da je H = R(V ) +N(V ) ako je V ∈ JX, sledi direktnona osnovu Teoreme 4.2.2, uz napomenu da je R(V ) = R(T ) i N(V ) = N(T ).

Za T ∈ X sa polarnom dekompozicijom T = |T ∗|V imamo da je T =PR(V )PN(V )⊥ kanonska faktorizacija za T . Na osnovu ranijih rezultata, imamoda je R(T ) zatvoren ako i samo ako je R(V ) uN(V ) = H.

Dokazano je da ako je T = V 2 za dato V ∈ JX, onda je T ∈ X i V jeparcijalna izometrija od T . Dakle, vazi:

Posledica 4.4.1. Posmatrajmo preslikavanje α : JX → L(H) takvo da jeα(V ) = V 2. Tada je α bijekcija izmedu JX i X. Specijalno, X = {V 2 : V ∈JX}.

Dokaz. Ako je V ∈ JX onda je, prema Teoremi 4.4.2, V 2V ∗ ≥ 0; narocitoV 2V ∗ = V V ∗

2. Imamo da je T = (V V ∗)(V ∗V ) ∈ X; ali je i T = V V ∗

2V =

V 2V ∗V = V 2, pa je α(V ) = V 2 ∈ X. Neka je T ∈ X; ako je V izometrijskideo od T onda, ponovo prema Teoremi 4.4.2, imamo da je V 2V ∗ ≥ 0 i

T = PR(T )PN(T ) = (V V ∗)(V ∗V ) = V V ∗2

V = V 2V ∗V = V 2 = α(V ).

Dakle, izometrijski deo od T je V tako da je α surjekcija i α−1(T ) = V .

Ova posledica prosiruje prethodne rezultate Teoreme 4.4.1 i [29, Teorema5.2].

Teorema 4.4.3. Neka je V ∈ J . Tada je V ∈ JX ako i samo ako, u slucajudekompozicije H = R(V )⊕R(V )⊥, V ima sledecu matricnu reprezentaciju

V =

[A (P − A2)

12U

0 0

](6)

gde je P = PV , 0 ≤ A ≤ P , R(A) = R(V ), dimR(P − A2) ≤ dimR(V )⊥

a U je partijalna izometrija sa domenom sadrzanim u R(V )⊥ i kodomenomR(P − A2).

50

Dokaz. Ako je V ∈ JX onda postoji T ∈ X takav da je V = VT . Na istinacin kao i u Teoremi 4.4.2, ako je T = PQ kanonska faktorizacija za T , ondaV P = (PQP )

12 = A, gde je R(A) = R(V ) i, prema Teoremi 5 i Posledici 6

iz [25], A zadovoljava da je 0 ≤ A ≤ P i dimR(P − A) ≤ dimN(P ). Naosnovu Leme 4.3.1, dimR(P − A2) ≤ dimN(P ).

Dakle V =

[A V120 0

]je matrica za V . Kako je V V ∗ = A2 + V12V

∗12 = P ,

onda |V ∗12| = (P−A2)12 , pa je V12 = (P−A2)

12U , gde je U parcijalna izometrija

za domenom zadrzanim u R(V )⊥ = N(A) i kodomenom R(P − A2).Obratno, ako V ima matricnu reprezentaciju (6), gde A i U zadovoljavaju

pretpostavke teoreme, onda V V ∗ = A2 + P − A2 = P , pa je V ∈ J , V P =A ≥ 0, R(A) = R(V ) na osnovu pretpostavljenog. Stoga, primenjujuciTeoremu 4.4.2, dobijamo da je V ∈ JX.

Ovo poglavlje zavrsavamo karakterizacijom sledeceg skupa (iz rada [2])

X+ = {A ∈ L(H)+ : postoji T ∈ X takav da je A = |T ∗|}

to jest, skupa pozitivnih delova polarnih dekompozicija elemenata is X.

Teorema 4.4.4. X+ = D.

4.5 Moore-Penrose-ov inverz za PQ

Kao sto je pomenuto u uvodu, Penrose [13] i Greville [30] dokazali su daje Moore-Penrose-ov inverz idempotentne matrice proizvod dva ortogonalnaprojektora i obratno. Dokaz sledeceg rezultata , koji prosiruje njihovu teo-remu na operatore zatvorenog ranga iz X, moze se naci u [29].

Teorema 4.5.1. Neka je T ∈ L(H). T ∈ Xcr ako i samo ako postoji E ∈ Qtakav da je T = E†, tj. Xcr = Q†.

Uopstenje teoreme Penrose-Grevill-a na operatore T ∈ X sa ne nuznozatvorenim slikama zahteva razmatranje odredene klase neogranicenih oper-atora. Upucujemo na rad [11] za detaljnije informacije o osobinama takvihprojektora, koje cemo prirodno koristiti u daljem tekstu. U nastavku cemo

razmatrati skup∼Q svih zatvorenih neogranicenih projektora, to jest opera-

tora E sa gustim domenom D(E) takvim da je D(E) = N(E)uR(E), N(E)je zatvoren, R(E) je zatvoren u H i E(Ex) = Ex za svaki x ∈ D(E).

51

Teorema 4.5.2. Ako je T ∈ X onda postoji zatvoren neogranicen projektorE : D(E)→ H takav da je T = E†. Obratno, ako je E proizvoljan zatvorenneogranicen projektor, onda postoji element T ∈ X takav da je E† = T .

Stavise, preslikavanje T → T † iz X na∼Q je bijekcija.

Dokaz. Neka je T ∈ X. Tada je (videti, na primer [12]) E = T † neogranicenipseudoinverz od T sa gustim domenom D(E) = R(T ) ⊕ R(T )⊥, R(E) =N(T )⊥ i E zadovoljava TET = T , u H, i ETE = E u D(E). Kako jeR(E) = N(T )⊥ dobijamo

PN(T )⊥Ex = Ex, ∀x ∈ D(E). (7)

Takode vazi i da jeEPR(T )x = Ex, ∀x ∈ D(E). (8)

Zaista, ako je x ∈ D(E) onda je Ex = E(PR(T )x + PR(T )⊥x) = EPR(T )x

zato sto je PR(T )⊥x ∈ R(T )⊥ i R(T )⊥ = N(E). Primetimo i da je R(E) =N(T )⊥ ⊆ D(E); ako je x ∈ N(T )⊥ onda je

x = PR(T )x+ PR(T )⊥x = PR(T )PN(T )⊥x+ PR(T )⊥x = Tx+ PR(T )⊥x,

pa je x ∈ D(E). Dakle, E2 je dobro definisan u D(E).Konacno, za x ∈ D(E) imamo

E2x = EPN(T )⊥Ex = EPR(T )PN(T )⊥Ex = ETEx = Ex. (9)

Uocimo da prva jednakost sledi iz (7) a druga iz (8), zato sto je PN(T )⊥Ex ∈D(E). Dokazali smo da je E2 = E u D(E); da su R(E) = N(T )⊥ i N(E) =R(T )⊥ oba zatvoreni potprostori. Ovo povlaci da je E neograniceni zatvoreniprojektor, videti Lemu 3.5 u [11], naime E = PN(T )⊥//R(T )⊥ .

Obratno, neka su M i N zatvoreni potprostori takvi da je MuN gust pot-prostor od H. Neka je E : MuN →M (neogranicen) projektor sa domenomD(E) = M u N na M sa jezgrom N . Pokazacemo da je neograniceni op-erator E pseudoinverz elementa iz X, naime, E = (PN⊥PM)†: zapravo jePMEx = Ex, za svaki x ∈ D(E) i EPM = PM uH, jer je R(E) = M . Takodeje R(PN⊥PM) = R(PM−PNPM) ⊆MuN ⊆ D(E). Stoga je EPN⊥PM dobrodefinisan za svaki x ∈ H i vazi EPN⊥PM = E(I − PN)PM = PM ; tada je

EPN⊥PM = PM . (10)

52

Uzmimo x ∈ R(PN⊥PM)(⊆ D(E)); tada je x = PN⊥PMy, za neki y ∈ H.Koristeci jednacinu (9) dobijamo da je

PN⊥PMEx = PN⊥PME(PN⊥PMy) = PN⊥PMy = x,

pa je ondaPN⊥PMEx = x,

za svaki x ∈ R(PN⊥PM).Sa druge strane, ako je x ∈ R(PN⊥PM)⊥ = N(PMPN⊥) = (N⊥∩M)⊕N ⊆

D(E) onda je x = y + z, gde je y ∈ N⊥ ∩M i z ∈ N , pa je Ex = Ey = y.Dakle,

PN⊥PMEx = PN⊥Ex = PN⊥Ey = PN⊥y = 0.

Ovime je dokazao da vazi

PN⊥PME = PR(PN⊥PM ). (11)

Jednacine (10) i (11) dokazuju da je E† = PN⊥PM ∈ X.

Napomena 4.5.1.

(a) Primetimo da se domen D = R(T ) ⊕ R(T )⊥ operatora E = T † izprethodne teoreme moze zapisati kao (ne nuzno ortogonalna) direktnasuma dva zatvorena potprostora, preciznije D = N(T )⊥ u R(T )⊥ =R(E) u N(E). Vec smo pokazali da je N(T )⊥ ⊆ D, pa je N(T )⊥ uR(T )⊥ ⊆ D. Da bi se dokazala obrnuta inkluzija moramo proveritida li vazi R(T ) ⊆ N(T )⊥ u R(T )⊥. Neka je x ∈ R(T ), tada mozemodobiti da je T †x = Ex i Ex ∈ N(T )⊥. Dakle, Ex = Ex + (I − E)x ∈N(T )⊥ +R(T )⊥.

(b) Neka je T ∈ X sa polarnom dekompozicijom T = V |T |. Razmotrimooperator sa domenom D = R(T )⊕R(T )⊥, definisan na ovaj nacin

E = |T |†V ∗|D

Primetimo da je operator V : N(T )⊥ → R(T ) unitaran i, prema kon-strukciji operatora V , imamo V (R(|T |)) = R(T ). Tada je V ∗(R(T )) =R(|T |); a takode imamo i |T |†(R(|T |)) = N(T )⊥. Stoga je E dobrodefinisan i vazi E(D) = N(T )⊥.

53

Ako je x ∈ R(T )⊥ onda je Ex = |T |†V ∗x = 0 zato sto je R(T )⊥ =N(V ∗). Uocimo da je E identicno preslikavanje na N(T )⊥; treba ispi-tati da li je N(T )⊥ ⊆ D. Ako je x ∈ N(T )⊥ onda x = PR(T )x +PR(T )⊥x = PR(T )PN(T )⊥x+ PR(T )⊥x = Tx+ PR(T )⊥x ∈ D. Tada je

Ex = |T |†V ∗(Tx+ PR(T )⊥x) = |T |†V ∗Tx = |T |†V ∗V |T |x = |T |†|T |x= PN(T )⊥x = x.

Dakle, E = PN(T )⊥//R(T )⊥ , pa je njegova leva polarna dekompozicijaE = |T |†V ∗|D.

Mozemo uzeti i T = |T ∗|VT da bi dobili desnu polarnu dekompozicijuza E koja ce biti E = V ∗|T ∗|† u D.

(c) Konacno, primetimo da su Moore-Penrose-ovi pseudoinverzi pozitivnih

delova elemenata iz X zapravo pozitivni delovi elemenata iz∼Q, to jest

(X+)† =∼Q

+

.

54

Literatura

[1] G. Corach and A. Maestripieri, Products of idempotent operators, In-tegral Equations and Operator Theory, 88(2017), 269-286.

[2] G. Corach and A. Maestripieri, Products of orthogonal projections andpolar decompositions, Linear Algebra Appl. 434 (2011), 1594-1609.

[3] R. G. Douglas, On majorization, factorization and range inclusion ofoperators on Hilbert space, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 413-416.

[4] M.L. Arias, G. Corach, M.C. Gonzalez, Generalized inverses and Dou-glas equations, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), 3177-3183.

[5] C.S. Ballantine, Products of idempotent matrices, Linear AlgebraAppl. 19 (1978), 81-86.

[6] J. Antezana, G. Corach, D. Stojanoff, Bilateral shorted operators andparallel sums, Linear Algebra Appl. 414 (2006), 570-588.

[7] J. R. Holub, Wiener-Hopf operators and projections II, Math. Japonica25 (1980), 251-253.

[8] M. Lauzon, S. Treil, Common complements of two subspaces of aHilbert space, J. Funct. Anal. 212 (2004), 500-512.

[9] J. Antezana, M. L. Arias, G. Corach, On some factorizations of oper-ators, Linear Algebra Appl., in press.

[10] F. Deutsch, The angles between subspaces of a Hilbert space, inS.P. Singh (Ed.), Approximation Theory, Wavelets and Applications,Kluwer, Netherlands (1995), 107-130.

[11] S. Ota, Unbounded nilpotents and idempotents, J. Math. Anal. Appl.132 (1988), 300-308.

[12] A. Ben-Israel, T. N. E. Greville; Generalized inverses. Theory and ap-plications. Second edition. CMS Books in Mathematics/Ouvrages deMathematiques de la SMC, 15. Springer-Verlag, New York, 2003.

[13] R. Penrose, A generalized inverse for matrices, Proc. Cambridge Philos.Soc. 51 (1955), 406-413.

55

[14] T.N.E. Greville, Solutions of the matrix equation XAX = X, and rela-tions between oblique and orthogonal projectors, SIAM J. Appl. Math.26 (1974), 828-832.

[15] G. Corach, M. C. Gonzalez and A. Maestripieri, Unbounded sym-metrizable idempotents, Linear Algebra Appl. 437 (2012), 659-674.

[16] M. L. Arias, G. Corach, A. Maestripieri, Range additivity, shorted op-erator and the Sherman-Morrison-Woodbury formula, Linear AlgebraAppl. 467 (2015), 86-99.

[17] F. Deutsch, The angle between subspaces of a Hilbert space, in:Approximation Theory, Wavelets and Applications (Maratea, 1994),107–130, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., pp. 454.

[18] M.G. Krein, M.A. Krasnoselskii, D.P. Milman,Onthe defect numbersof linear operators in a Banach space and on some geometrical ques-tions, Sb. Tr. Inst. Mat. Akad. Nauk Ukr. SSR 11 (1948) 97–112., (inRussian).

[19] N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of Linear Operators in HilbertSpace, Translated from the Russian and with a preface by MerlyndNestell. Reprint of the 1961 and 1963 translations, Dover PublicationsInc., New York, 1993.

[20] Y. Kato, Some theorems on projections of von Neumann algebras,Math. Japon. 21 (4) (1976) 367–370.

[21] H. Radjavi, J.P. Williams, Products of self-adjoint operators, MichiganMath. J. 16 (1969) 177–185.

[22] Z. Sebestyen, Characterization of subprojection suboperators, ActaMath. Hungar. 56 (1990) 115–119.

[23] R. Bouldin, The product of operators with closed range, Tohoku Math.J. 25 (2) (1973) 359–363.

[24] S. Izumino, The product of operators with closed range and an exten-sion of the reverse order law, Tohoku Math. J. 34 (2) (1982) 43–52.

[25] A. Arias, S. Gudder, Almost sharp quantum effects, J. Math. Phys. 45(2004) 4196–4206.

56

[26] T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag,Berlin, 1995.

[27] M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Func-tional Analysis, second enlarged ed., Academic Press, New York, 1980.

[28] S. Nelson, M. Neumann, Generalizations of the projection method withapplications to SOR theory for Hermitian positive semidefinite linearsystems, Numer. Math. 51 (1987) 123–141.

[29] G. Corach, A. Maestripieri, Polar decompositions of oblique projec-tions, Linear Algebra Appl. 433 (2010) 511–519.

[30] T.N.E. Greville, Solutions of the matrix equation XAX = X, andrelations between oblique and orthogonal projectors, SIAM J. Appl.Math. 26 (1974) 828–832.

[31] A. Bottcher, I.M. Spitkovsky, A gentle guide to the basics of two pro-jections theory, Linear Algebra Appl. 432 (2010) 1412–1459.

[32] M.L. Arias, G. Corach, M. C. Gonzalez, Products of projections andpositive operators, Linear Algebra Appl. 439 (2013), 1730-1741.

[33] V. Rakocevic, Funkcionalna analiza, Naucna knjiga Beograd (1994).

Biografija

Miljan Ilic roden je 06.03.1994 godine u Leskovcu. Osnovnu skolu “VozdKaradorde” u Leskovcu zavrsio je 2009. godine sa odlicnim uspehom. Gim-naziju u Leskovcu, prirodno-matematicki smer, zavrsio je 2013. godine saodlicnim uspehom. Tokom pohadanja osnovne i srednje skole imao je in-teresovanja za matematiku. Osnovne akademske studije na departmanu zamatematiku prirodno-matematickog fakulteta u Nisu upisao je 2013. godine,a zavrsio 2016. godine. Iste godine upisuje master studije na istom fakul-tetu, smer opsta matematika. U januaru 2019. godine polozio je sve ispitena master studijama i time stekao pravo na odbranu master rada.

57

Documents

Razli cite karakterizacije proizvoda projektora · 2019-08-29 · erator, idempotenti i ortogonalni projektori, direktna suma potprostora, teo-rema o ortogonalnoj dekompoziciji, Banahovi