8/18/2019 razniteorijabrojeva

1/2

Razni zadaci   II

1.   Dokazati da je  n3 + 3n2 − n− 3  deljiv sa 48 za svaki neparan broj   n..

2.  Neka su  m, n prirodni brojevi takvi da je  n2 + 9mn+m2 deljiv sa 11. Dokazatida je   n2 + 10m2 deljiv sa 11.

3.  Nai celobrojna rexenja jednaqine   4x + y + 4√ xy − 28√ x− 14√ y + 48 = 0.

4.  Rexiti u skupu celih brojeva sledee jednaqine.a)   xy = 3x + 2y − 7   b)  x2y + 2x =  xy − x3 − y + 4   v)   xy2 + y4 = 2x + 20

5.  Rexiti u skupu celih brojeva sledee jednaqine.a)   x2 + 2015 =  y2 b)   (x− 1)(x + 5) =  y2 v)   4x2 − 2x + 72 = y2

g)   x2

− y2

= 2y − x   d)   x2

(y2

+ 1) = 4xy + 21   )   2x2

+ 3xy − 2y2

= 126.  Dokazati da sledee jednaqine nemaju celobrojno rexenje.

a)   x3+y3 = 4(x2y+xy2+1)   (b)   x2y2−xy = 2y5−4x3+1   (v)   (x−1)(y2−xy−1) = x3+x−1

7.  Rexiti u skupu prirodnih brojeva sledee jednaqine.a)   x2 + 6x + 2 =  y2 b)   y3 = x3 + 5x + 2   v)   y3 =  x3− x2 + 3x + 5   g)   y4 = x4 + 5x+ 10

8.  Neka je  S (n) zbir cifara prirodnog broja  n. Rexi u skupu prirodnih brojeva jednaqinu  n + S (n) + S (S (n)) = 1005.

9.   Neka je  n  prirodan broj takav da se   n2 + 6n  zavrxava cifrom   6.(a) Odrediti poslednju cifru broja   n.

(b) Dokazati da se   n2

+ 6n   zavrxava sa 16.10.   Pretpostavimo da su  a,b, c, d  prirodni brojevi takvi da svaka od jednaqinaabx + cdy  = 2014   i   acx +  bdy  = 2018   ima bar jedno celobrojno rexenje. Dokazatida i jednaqine   bx + cy  = 2  i  ax + dy  = 2  imaju celobrojno rexenje.

11.   Dokazati da od 5 uzastopnih neparnih brojeva bar jedan nije deljiv ni sa3, ni sa 5, ni sa 7.

12.   Koliko ima prirodnih brojeva koji su delioci broja   24100 a nisu deliocibroja   42100?

13.  Dokazati sledea tvrenja za prirodne brojeve  a, b ∈N.

a) Ako je   a2b  potpun kub, tada je i   ab2 potpun kub.b) Ako je  a8b4 potpun kub, tada je i   a7b5 potpun kub.v) Ako su  a2b4 potpun kub i  a4b potpuni kubovi, tada su i  a i  b potpuni kubovi.

14.   Dati su brojevi  n = 1 · 3 · 5   . . . · 2013  i  m = 2 · 4 · 6 · . . . · 2014. Dokazati da je brojn + m  deljiv sa   2015.

15.   Odrediti sve cele brojeve  n  za koje je

√ 2015 +

√ n√ 

2015 −√ nceo broj.

16.  Nai celobrojna rexenja jednaqine   2x + 1 = y2.

17.   Neka je  S  = 3 + 32 + 33 +· · ·

+ 31994 + 31995. Dokazati da je  S  deljivo sa 39.

1

8/18/2019 razniteorijabrojeva

2/2

2

18.  Dokazati da je broj   1 + 3 + 32 + . . . 359 deljiv sa 2015.

19.  Odrediti poslednje dve cifre brojeva   4181

+ 8141

i   42201

+ 2542

.

20.   Odrediti poslednje tri cifre broja   22015 + 22005 + 22001.

21.   Ako je   n = 111 . . . 11      1994

222 . . . 22   1994

. dokazati da je  n3 − 3n2 − 18n  deljivo sa 13200.

22.   Dokazati da je broj   N   = 44 . . . 44        2015

88 . . . 88   2014

9   potpun kvadrat i odredi dekadni

zapis broja√ N .

23.  Dokazati da je broj 

8, 00 . . . 0

      n1  iracionalan za svaki prirodan broj  n.

24.   Neka je   n  prirodan broj. Odrediti dva uzastopna prirodna broja od kojih je jedan deljiv sa   n2 − n + 1, a drugi sa   n2 − 2n.