RDF Predavanje 2010 2011

IVO DŽIJAN

RAČUNALNA DINAMIKA FLUIDA

2010.

SADRŽAJ

1. Uvod 1 1.1. Usporedba računalnih simulacija i eksperimenta....................................................... 4 1.2. Matematički model..................................................................................................... 6

2. Matematičke osnove........................................................................................................... 8 2.1. Razvoj funkcije u Taylorov red.................................................................................. 8 2.2. Metode rješavanja nelinearnih algebarskih jednadžbi ............................................... 9

2.2.1. Newton-Raphsonova metoda ............................................................................. 9 2.2.2. Metoda bisekcije (raspolavljanja intervala) ..................................................... 10

2.3. Newtonova metoda za rješavanje sustava nelinearnih algebarskih jednadžbi ......... 11 2.4. Metoda najmanjih kvadrata ...................................................................................... 12 2.5. Fourierov red ............................................................................................................ 15

2.5.1. Trigonometrijske funkcije ................................................................................ 15 2.5.2. Prostorna raspodjela harmonijskog vala i valni broj ........................................ 15 2.5.3. Vremenska promjena harmonijskog vala, frekvencija i kružna frekvencija .... 16 2.5.4. Prikaz signala fazorom, zbrajanje, deriviranje i integriranje signala ............... 16 2.5.5. Koeficijenti Fourierovog reda .......................................................................... 18 2.5.6. Prikaz Fourierovog reda kompleksnim koeficijentima .................................... 20 2.5.7. Diskretna Fourierova transformacija................................................................ 21 2.5.8. Potrebna frekvencija uzorkovanja.................................................................... 22 2.5.9. Primjena kriterija za frekvenciju uzorkovanja u RDF ..................................... 26

2.6. Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima....................................................................................................................... 28 2.7. Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda.................................... 30 2.8. Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi višeg reda .................................... 34

3. Osnovne jednadžbe dinamike fluida ................................................................................ 36 3.1. Opći oblik zakona očuvanja fizikalnog svojstva u materijalnom volumenu ........... 37 3.2. Integralni oblici zakona očuvanja za proizvoljni i kontrolni volumen..................... 38 3.3. Konvekcijski i difuzijski protoci kroz kontrolnu površinu ...................................... 40 3.4. Osnovni zakoni mehanike fluida (konzervativne forme) ......................................... 41

4. Matematička priroda parcijalnih diferencijalnih jednadžbi ............................................. 44 4.1. Klasifikacija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi .................................................. 46

4.1.1. Eliptične jednadžbe .......................................................................................... 47 4.1.2. Hiperboličke jednadžbe.................................................................................... 49 4.1.3. Parabolične jednadžbe...................................................................................... 51

4.2. Vremenska integracija.............................................................................................. 52 4.2.1. Eulerova eksplicitna metoda ............................................................................ 53 4.2.2. Implicitna metoda............................................................................................. 54 4.2.3. Implicitna metoda drugog reda točnosti........................................................... 55 4.2.4. Cranck-Nicholsonova metoda .......................................................................... 56 4.2.5. Prediktor-korektor metode ............................................................................... 57

5. Opći uvjeti na diskretizaciju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.................................. 63 5.1. Ispitivanje konzistentnosti diskretiziranih jednadžbi ............................................... 64 5.2. Ispitivanje stabilnosti diskretiziranih jednadžbi ....................................................... 66

5.2.1. Metoda ekvivalentne diferencijalne jednadžbe ................................................ 66 5.2.2. Neumannova metoda........................................................................................ 71

6. Metoda konačnih volumena ............................................................................................. 76 6.1. Četiri pravila o koeficijentima diskretizirane jednadžbe.......................................... 79 6.2. Numeričke sheme..................................................................................................... 82

6.2.1. Gradijent polja ϕ u centralnom čvoru ............................................................. 82 6.2.2. Jednodimenzijsko analitičko rješenje opće transportne jednadžbe .................. 83

6.3. Pregled osnovnih numeričkih shema........................................................................ 88 6.3.1. Eksponencijalna shema (Exponential Scheme - ES), Polinomna shema ......... 88 6.3.2. Uzvodna shema (Upwind Differencing Scheme - UDS) ................................. 89 6.3.3. Shema centralnih razlika (Central Differencing Scheme - CDS) .................... 90 6.3.4. QUICK (Quadratic upwind) shema.................................................................. 90 6.3.5. Linearno uzvodna shema (Second Order Upwind ili Linear Upwind Scheme - LUDS) .......................................................................................................................... 91 6.3.6. Hibridna shema. ............................................................................................... 92 6.3.7. Kombinirana shema.......................................................................................... 93 6.3.8. Skupina konvekcijski omeđenih shema ........................................................... 93 6.3.9. Skupina TVD shema s limiterima .................................................................... 96 6.3.10. ENO i WENO sheme ....................................................................................... 99

6.4. Rubni uvjeti ............................................................................................................ 100 6.4.1. Rubni uvjeti s matematičkog stajališta........................................................... 100 6.4.2. Rubni uvjeti s fizikalnog stajališta ................................................................. 102

6.5. Ostali aspekti metode konačnih volumena............................................................. 104 6.5.1. Primjena shema višeg reda na nestrukturiranoj mreži ................................... 104 6.5.2. Linearna interpolacija iz čvornih vrijednosti na stranicu konačnog volumena.... ........................................................................................................................ 105 6.5.3. Difuzijski transport na neortogonalnoj mreži................................................. 105 6.5.4. Interpolacija koeficijenta difuzije................................................................... 107 6.5.5. Kriterij završetka iterativnog postupka .......................................................... 107 6.5.6. Podrelaksacija................................................................................................. 113

6.6. Preporuke za diskretizaciju područja proračuna – formiranje geometrijske mreže114 6.7. Metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi .................................. 118

6.7.1. Direktne metode ............................................................................................. 118 6.7.2. Iterativne metode............................................................................................ 120 6.7.3. Multigrid metode............................................................................................ 123

7. Primjena metode konačnih volumena na rješavanje modela strujanja fluida ................ 127 7.1. Metoda konačnih volumena za rješavanje modela nestlačivog strujanja fluida .... 131 7.2. Izbor mreže............................................................................................................. 133 7.3. Algoritmi SIMPLE i SIMPLER na pomaknutoj mreži .......................................... 135

7.3.1. Izvod jednadžbe za tlak .................................................................................. 136 7.3.2. Izvod jednadžbe za korekciju tlaka ................................................................ 138

7.4. Algoritam SIMPLE na nepomaknutoj mreži ......................................................... 141 8. Turbulencija ................................................................................................................... 144

8.1. Statističko opisivanje turbulencije ......................................................................... 147 8.2. Opći oblik zakona očuvanja za slučaj nestlačivog turbulentnog strujanja............. 148 8.3. Vremenski osrednjene jednadžbe za slučaj nestlačivog strujanja .......................... 151

8.3.1. Model turbulencije ......................................................................................... 152 8.3.2. Modeliranje koeficijenta turbulentne viskoznosti .......................................... 153

8.4. Algebarski modeli turbulencije .............................................................................. 155 8.4.1. Cebeci-Smith model....................................................................................... 158 8.4.2. Baldwin-Lomaxov model............................................................................... 159

8.5. k ε− model turbulencije........................................................................................ 160 8.5.1. Izvod transportne jednadžbe za kinetičku energiju turbulencije .................... 160 8.5.2. Izvod transportne jednadžbe za disipaciju kinetičke energije turbulencije.... 162 8.5.3. Modeliranje jednadžbi za k i ε .................................................................... 164 8.5.4. Skup jednadžbi k ε− modela turbulencije za visoke vrijednosti tRe ........... 166

8.6. Strujanje u blizini čvrste stijenke (zidne funkcije)................................................. 166

1. Uvod 1 / 173

1. Uvod

Mehanika fluida je teorijsko eksperimentalna znanost. Teorijski pristup se temelji na analitičkom rješavanju matematičkih modela strujanja fluida. Analitičko rješenje daje kompletan uvid u fiziku nekog problema, a jednom određeno analitičko rješenje je pogodno za analizu utjecaja pojedinih parametara u matematičkom modelu. Pod analitičkim rješenjima podrazumijevamo i rješenja koja su prikazana razvojem u red specijalnih funkcija (poput Besselovih funkcija, Čebišljevih polinoma i sl.) ili s pomoću eliptičkih integrala, koja se računaju numerički, jer takva numerička rješenja možemo odrediti sa željenom točnošću. Na žalost većina problema vezana na strujanje fluida opisana je nelinearnim parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, koje nemaju opće analitičko rješenje. To posebno vrijedi za turbulentno strujanje, koje se zbog stohastičke prirode toga strujanja niti ne može opisati analitički. Npr. analitičko rješenje Navier-Stokesovih jednadžbi moguće je odrediti samo za slučaj laminarnog strujanja i to u vrlo ograničenom broju slučajeva. To su osnovni razlozi što su se problemi mehanike fluida u prošlosti uglavnom rješavali uz pomoć eksperimentalnog pristupa. Naravno da je eksperimentalni pristup usko vezan s teorijskim pristupom, jer se svaka metoda mjerenja temelji na teoriji (moglo bi se reći da svakom eksperimentu prethodi teorija). Eksperimentalnim pristupom dobiva se ograničeni broj informacija o nekoj pojavi (bilo integralnih veličina poput protoka, sile, momenta, snage i sl. ili podatke o brzini, tlaku, temperaturi i sl. u konačnom broju točaka područja strujanja). Iz jednog rezultata mjerenja ne može se zaključivati o utjecaju pojedinog parametra, kao što se to može u slučaju analitičkog rješenja. Naravno, ponavljanjem eksperimenta za različite kombinacije vrijednosti utjecajnih parametara moguće je stvoriti sliku o pojavi. Razvojem računala stvorili su se uvjeti za numeričko rješavanje matematičkih modela koji opisuju strujanje fluida, čime se počinje razvijati treća grana mehanike fluida: Računalna dinamika fluida. Iako se ova grana mehanike fluida temelji na teorijskom pristupu ima puno sličnosti i s eksperimentalnim pristupom, jer se iz jednog numeričkog rješenja nekog problema također ne može zaključivati o utjecaju pojedinih parametara. Danas ne postoje egzaktni matematički dokazi o jedinstvenosti i egzistenciji rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi, niti postoji teorija koja bi egzaktno govorila o točnosti rješenja nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Pri simulaciji složenijih problema može se dogoditi da numerički postupak (uz određene postavke parametara numeričke simulacije) ne konvergira, te inženjer koji vrši simulaciju mora imati određena iskustva, slično kao što se traži od eksperimentatora.

TEORIJSKI PRISTUP

RAČUNALNA (NUMERIČKA)

DINAMIKA FLUIDA

EKSPERIMENTALNI PRISTUP

• Parcijalne diferencijalne jednadžbe: o Nelinearne o Nema općeg

analitičkog rješenja • Turbulencija:

o Stohastička priroda

(CFD = = Computational Fluid

Dynamics)

1. Uvod 2 / 173

Svaka simulacija započinje definicijom problema i izborom odgovarajućeg matematičkog modela. Matematički model je najčešće prikazan sustavom parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Principijelno gledajući svaki takav sustav jednadžbi ima opće rješenje (kad bismo ga znali ono bi sadržavalo određeni broj konstanti (funkcija) integracije), a posebno rješenje je definirano početnim i rubnim uvjetima specifičnim za promatrani problem (početni i rubni uvjeti definiraju funkcije integracije čineći rješenje jedinstvenim). Naravno, kada se radi s komercijalnim programom (primjer FLUENT) tada je matematički model već ugrađen u računalni program, a korisnik putem sučelja može odabrati podvarijanatu modela koja odgovara njegovu problemu. Drugi korak u numeričkoj simulaciji je numerički riješiti postavljeni matematički model. Numeričko rješavanje sastoji se iz tri koraka. U prvom se diskretizira područje proračuna (područje proračuna se podijeli na određeni broj manjih volumena, a svakom volumenu se dodijeli jedan ili više čvorova u kojima će se računati vrijednosti polja fizikalnih veličina, koja se pojavljuju u jednadžbama matematičkog modela). Rezultat diskretizacije prostora nazivamo geometrijskom mrežom. U nastavku na definiranoj geometrijskoj mreži potrebno je diskretizirati parcijalne diferencijalne jednadžbe matematičkog modela, uvažavajući specifične rubne uvjete. Diskretizaciju jednadžbi provodi se nekom od metoda (metoda konačnih volumena, metoda konačnih elemenata, metoda konačnih razlika i sl.). Rezultat diskretizacije parcijalne diferencijalne jednadžbe na zadanoj geometrijskoj mreži je sustav algebarskih jednadžbi (ako je polazna diferencijalna jednadžba linearna dobije se sustav linearnih algebarskih jednadžbi, inače nelinearnih). Nelinearni sustav jednadžbi rješava se iterativnim postupkom koji u sebi sadrži rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

NUMERIČKA SIMULACIJA

ANALIZA RJEŠENJA NUMERIČKO RJEŠAVANJE

MATEMATIČKOG MODELA

DEFINICIJA PROBLEMA I

MATEMATIČKOG MODELA

DISKRETIZACIJA PROSTORA

(GEOMETRIJSKA MREŽA)

DISKRETIZACIJA JEDNADŽBI

(NUMERIČKA SHEMA)RJEŠAVANJE SUSTAVA

DISKRETIZIRANIH JEDNADŽBI

PREDPROCESOR PROCESOR POSTPROCESOR

1. Uvod 3 / 173

Nakon što je numeričko rješenje dobiveno, slijedi njegova analiza, koja podrazumijeva prikaz, skalarnih, vektorskih i tenzorskih polja, integraciju protoka, sile, momenata, toplinskih tokova i sl., te dijagramski prikaz željenih veličina. U organizacijskom smislu numerička simulacija se provodi kroz tri programa: predprocesor, procesor i postprocesor. Predprocesor je računalni program za generiranje geometrijske mreže. Postoji više komercijalnih programa za generiranje mreže, a oni u principu mogu poslužiti za pripremu geometrijske mreže različitim procesorima (FLUENT, OpenFoam, ABACUS i sl.). Jasno je da se pri generiranju mreže treba voditi računa i o rubnim uvjetima. Na primjer poznato je da u graničnom sloju koji nastaje pri opstrujavanju tijela, postoje veliki gradijenti fizikalnih veličina, što zahtijeva popunjavanje tog područja manjim volumenima, za razliku od područja daleko od tijela. Generiranje geometrijske mreže u geometrijski složenijim trodimenzijskim problemima uopće nije trivijalan posao, a samo generiranje mreže čini znatan dio ukupnog vremena za provedbu simulacije. Može se reći da je problematika generiranja mreže zasebni dio računalne dinamike fluida, i da se danas još uvijek intenzivno radi na razvoju automatskih generatora geometrijske mreže koji bi na temelju geometrije rubova područja proračuna i zadanih rubnih uvjeta izradio mrežu koja udovoljava svim zahtjevima numeričkog rješavanja matematičkog modela. Danas postoje i algoritmi koji rade s adaptivnim mrežama (mreže koje se u postupku rješavanja automatski progušćuju u području velikih gradijenata, odnosno prorjeđuju u područjima gdje se rješenje ne mijenja značajno). Jasno je da u toj koncepciji generiranje mreže treba biti obavljeno u istom programu koji rješava jednadžbe matematičkog modela. Procesor je program koji numerički rješava željeni matematički model sa zadanim početnim i rubnim uvjetima. Može biti koncipiran tako da ima fiksno ugrađeni matematički model (a korisnik putem sučelja bira hoće li koristiti puni model ili neki od njegovih dijelova) poput komercijalnog programa FLUENT, ili temeljen na objektnom programiranju gdje korisnik praktički slobodno zadaje matematički model koji će se rješavati poput programa OpenFoam. Ova druga koncepcija je puno bolja ako se uzme u obzir da će se razvojem računala naoko različita područja mehanike kontinuuma sve više integrirati u smislu istovremenog rješavanja problema strujanja višekomponentnog, višefaznog fluida, uz izmjenu topline, kemijsku reakciju i promjenu faza i to uz elastičnu granicu, gdje je potrebno računati i polje naprezanja i deformacija u čvrstoj fazi. Postprocesor je program koji je u principu opće namjene a služi za vizualizaciju rezultata proračuna, odnosno za izračunavanje pojedinih integralnih veličina. Može biti integriran s procesorom kao kod programa FLUENT, iako FLUENT predviđa i ispis rezultata proračuna u datoteku koja služi kao ulazna za neke druge postprocesore, npr. TECPLOT. Razvoj postprocesora je također područje za sebe koje nije predmet ovog kolegija.

1. Uvod 4 / 173

1.1. Usporedba računalnih simulacija i eksperimenta Prednosti računalnih simulacija nad eksperimentalnim pristupom

(I.) Skraćuje se vrijeme projektiranja (II.) CFD daje kompletnu sliku polja u strujanju (III.) CFD može simulirati uvjete koji se ne mogu ostvariti u eksperimentu (IV.) CFD je sve jeftiniji (V.) CFD troši manje energije

Nedostaci računalnih simulacija u odnosu na eksperimentalni pristup

(I.) Ograničena primjena na slučajeve za koje postoje dobri matematički modeli (npr. problem modeliranja turbulencije)

(II.) Kad se traži ograničeni broj rezultata može biti skuplji

Iako teorijski pristup rješavanju problema s pomoću metoda računalne dinamike fluida

(CFD) ne treba gledati u smislu natjecanja s eksperimentalnim pristupom (jer se ta dva pristupa nadopunjavaju), gornja tablica daje neke prednosti i nedostatke pristupa preko računalne dinamike fluida u odnosu na eksperimentalni pristup.

Od prednosti računalnog pristupa treba spomenuti da se ovim pristupom u pravilu dolazi brže do rezultata, te je moguće izvršiti širu analizu utjecaja pojedinih parametara, čime se skraćuje potrebno vrijeme za projektiranje ili razvoj novog proizvoda. U eksperimentalnom pristupu, većinu vremena se potroši na osmišljavanje eksperimenta i izradu modela ili prototipa. U računalnom pristupu, većinu vremena se potroši na generiranje geometrijske mreže (ako je područje strujanja geometrijski složeno) i kasniju analizu rezultata. Sljedeća prednost računalnog pristupa je u količini informacija koja se tim pristupom dobije. Eksperimentalnim pristupom dobije se ograničeni broj rezultata (koji zavisi od broja mjernih instrumenata), dok se u računalnom pristupu dobije kompletna slika strujanja (polje brzine, tlaka, temperature u velikom broju točaka područja strujanja), što omogućuje bolje razumijevanje pojave. U tom smislu računalni pristup može pomoći i u osmišljavanju eksperimentalnih mjerenja. Svakom eksperimentu trebala bi prethoditi računalna simulacija iz koje se dobije predodžba o pojavi, tako da se može definirati što mjeriti, u kojim točkama i kakvim instrumentima (u smislu mjernog raspona, točnosti mjerenja, brzine odziva instrumenta i sl.). Jasno je da se u računalnom pristupu mogu ostvariti idealizirani uvjeti (npr. konstantnost temperature po rubu, jednolikost profila brzine na ulaznom presjeku, adijabatsku granicu i sl.), da se može računati strujanje bilo kakvih fluida (otrovnih, eksplozivnih ili pri visokim temperaturama) bez ikakve opasnosti, da nema problema s dimenzijama područja proračuna i da nema problema sa zadovoljavanjem kriterija sličnosti, što u eksperimentalnom pristupu može biti problem (npr. pri modelskom ispitivanju broda potrebno je istovremeno zadovoljiti Froudeov i Reynoldsov broj što je nemoguće, pa je točnost eksperimentalnih rezultata umanjena). Jasno je da je računalni pristup jeftiniji, jer su računala sve jeftinija, a nije potrebna nabavka sve skuplje eksperimentalne opreme i izrada često skupog modela ili prototipa. Pri simulaciji se obično troši puno manje energije nego u eksperimentu.

Osnovni nedostatak računalnog pristupa je da je on ograničen na probleme za koje postoji pouzdani fizikalni/matematički model. U prvom redu je tu ograničenje u modeliranju turbulencije. Poznato je da RANS modeli turbulencije ne daju vjerne rezultate u geometrijski složenijim konfiguracijama, osobito ako je strujanje fluida popraćeno izmjenom topline, uz djelovanje dodatnih sila uzgona, centrifugalne sile, i sl. U takvim situacijama eksperimentalni rezultati mogu pomoći u razumijevanju nedostataka matematičkog modela, i njegovu

1. Uvod 5 / 173

poboljšanju. Tako da rezultati proračuna mogu pomoći razumijevanju fizike i unaprjeđenju eksperimenta, a eksperimentalni rezultati pomažu unaprjeđenju matematičkih modela.

Postoje i situacije u kojima se traži ograničeni broj rezultata, kada može biti jeftinije eksperimentalno ispitivanje nego proračun. Primjer za to je određivanje H-Q karakteristike pumpe, gdje je za zadani protok kroz pumpu potrebno izmjeriti samo prirast tlaka kroz pumpu. Ako se već raspolaže sa standardnom ispitnom linijom, to mjerenje može biti relativno jeftino u odnosu na generiranje geometrijske mreže (koja podrazumijeva diskretizaciju privodnog i odvodnog cjevovoda, statorskog i rotorskog prostora) i sam proračun i analizu rezultata za više radnih točaka pumpe. Naravno, ako bi se zahtjevalo mjerenje brzine i tlaka u prostoru između rotorski lopatica, mjerenje bi bilo vrlo složeno i zahtijevalo skupu eksperimentalnu opremu, pa bi se proračun pokazao jeftinijim.

Kao zaključak može se reći da su računalni i eksperimentalni pristup dva komplementarna

pristupa, koja se međusobno nadopunjuju i jedan drugom pomažu u razvoju. Za probleme gdje postoji pouzdan matematički model, računalni pristup zauzima značajnije mjesto, dok eksperimentalni pristup ima značajniju ulogu u potvrđivanju konačno izabrane varijante u procesu razvoja nekog proizvoda. Pri rješavanju složenih zadaća nužno je kombinirati računalni i eksperimentalni pristup.

1. Uvod 6 / 173

1.2. Matematički model

Svaka simulacija se temelji na matematičkom modelu, koji označuje matematički zapis fizikalnog modela. Fizikalni model obuhvaća niz pretpostavki (hipoteza) pri aproksimaciji stvarnog svijeta.

Najčešća pretpostavka koja se koristi u opisu strujanja fluida je da je fluid kontinuum. Kontinuum je zamišljena tvar koja bi u potpunosti ispunjavala prostor i zadržavala fizikalna svojstva i za slučaj infinitezimalno malog volumena. Naravno da je to idealizacija koja ne odgovara stvarnosti, jer je materija diskretne strukture (sastoji se od atoma ili molekula), te se smanjivanjem volumena na veličinu međumolekularnog prostora, dolazi do slučaja da se u tako malom volumenu ne mogu definirati makroskopska fizikalna svojstva (poput gustoće, viskoznosti i sl.) u smislu hipoteze kontinuuma, pa se više ne može koristiti hipoteza o fluidu kao kontinuumu, već se mora analizirati gibanje pojedinih molekula.

Naravno, za probleme strujanja u kojima je dimenzija područja strujanja dovoljno velika u odnosu na međumolekularni razmak (točnije put koji molekula prevali između dva sudara) hipoteza kontinuuma je dovoljno dobra za aproksimaciju stvarnog svijeta. No i pored hipoteze kontinuuma, potrebno je uvesti još niz pretpostavki poput homogenosti i izotropnosti fluida. Homogenost podrazumijeva da su fizikalna svojstva ista u svim točkama fluida. Tako ćemo npr. zrak smatrati homogenom smjesom plinova jer je udio pojedinih plinova koji čine zrak jedan te isti u svim točkama fluida. Izotropnost podrazumijeva da su fizikalna svojstva jednaka u svim smjerovima. Tako npr. pretpostavljamo da je toplinska provodnost fluida ista u svim smjerovima, iako npr. neka krutina sastavljena iz slojeva različitih materijala ne mora imati istu toplinsku provodnost u smjeru sloja i poprečno na sloj.

Zrak smatramo homogenom smjesom plinova i tretiramo ga kao jednokomponentni fluid, no za slučaj da je npr. koncentracija kisika i dušika različita u različitim točkama, morali bi ga promatrati kao višekomponentni fluid, i modelirati miješanje tih komponenti. Ako se u strujanju pojavljuje promjena faza (taljenje/skrućivanje ili isparivanje/ ukapljivanje) to također treba dodatno modelirati.

Onaj koji fizikalno modelira neki problem iz stvarnog svijeta vodit će računa da što vjernije opiše problem uz što jednostavniji matematički model. Često puta je moguće zanemariti promjene fizikalnih veličina u nekom od smjerova pa se problem od trodimenzijskog (3D) svodi na ravninski ili osnosimetrični (2D), ili pak za strujanje u

Stvarni svijet

Fizikalni model (Aproksimacija stvarnog svijeta)

Matematički model

• Kontinuum • Homogenost, izotropnost • Jednokomponentnan-Višekomponentan • Jednofazan-Višefazan • 1D-2D-3D • Stacionarno-Nestacionarno • Neviskozno-Laminarno-Turbulentno

1. Uvod 7 / 173

cjevovodima, gdje imamo uzdužnu koordinatu puno veću od poprečnih, čak na jednodimenzijsko (1D).

Nadalje, strujanje je u stvarnosti uvijek manje ili više nestacionarno (vremenski promjenjivo), a na onome koji modelira strujanje je da odluči je li moguće uvesti pretpostavku o stacionarnom strujanju, koje pojednostavljuje problem.

Strujanje fluida u prirodi je najčešće turbulentno (izrazito nestacionarno strujanje sa slučajnim pulsacijama fizikalnih veličina, pa se polja u turbulentnom strujanja ne mogu opisati analitički), a laminarno strujanje se u prirodi pojavljuje samo pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja. Pri problemu optjecanja tijela mogu se pojaviti oba vida strujanja (laminarno u blizini točke zastoja, a u ostatku područja turbulentno). Modeliranje turbulencije je jedno veliko područje samo za sebe, danas postoje različite razine pristupa (od direktnog rješavanja Navier-Stokesovih jednadžbi - DNS, preko modeliranja malih pulsacija i direktnog rješavanja velikih- LES (Large Eddy Simulation), do modeliranja svih turbulentnih pulsacija uz pomoć pristupa temeljenom na Reynoldsovom osrednjavanju jednadžbi – RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes)). U klasi RANS modela postoji više razina modela od modela u kojima se rješavaju jednadžbe za turbulentna naprezanja (RSM-Reynolds stress models) do najjednostavnijih modela temeljenih na Boussinesqovoj hipotezi i modeliranju turbulentne viskoznosti. Turbulentna viskoznost se modelira s pomoću dva parametra turbulencije, čija raspodjela može biti definirana s pomoću diferencijalne ili algebarske jednadžbe. Najpoznatiji modeli s dvije jednadžbe su k ε− i k ω− modeli, a s jednom jednadžbom Spalart-Almaras model. U nekim slučajevima kada su inercijske sile puno veće od viskoznih (npr. gibanje broda na valovima, gibanje fluida u zatvorenom spremniku) moguće je utjecaj viskoznosti zanemariti, čime se pojednostavljuje matematički model.

Dakle može se zaključiti da je svaki stvarni problem potrebno fizikalno modelirati, pri

čemu je potrebno uzeti u obzir sve značajne fenomene za promatrani problem. Rezultat fizikalnog modeliranja (uvođenjem određenih pretpostavki i zanemarivanjem nebitnih efekata) rezultira matematičkim modelom, koji je za probleme sa strujanjem fluida zapisan sustavom parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Pri modeliranju se balansira između jednostavnosti matematičkog modela (da bude što jednostavniji za riješiti), ali i što bolji fizikalni model (koji će što vjernije opisivati stvarnost, tj. modelirati sve relevantne fenomene u pojavi).

Kada se koristi komercijalni računalni paket poput paketa FLUENT korisnik može birati iz relativno velikog skupa već ugrađenih fizikalnih modela. Hipoteza kontinuuma je nepromjenjiva činjenica, a većinu od gore nabrojanih aproksimacija se može birati.

2. Matematičke osnove 8 / 173

2. Matematičke osnove

2.1. Razvoj funkcije u Taylorov red Funkciju ( )f x moguće je u okolišu točke 0x u kojoj je vrijednost funkcije ( )0 0f x f= , razviti u red potencija od 0x x xΔ = − , prema Taylorovoj formuli, u kojoj su koeficijenti uz potencije xΔ , prikazani derivacijama funkcije ( )f x u točki 0x , koja glasi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 30 0 0 0 0 0

1

1 1 12 6 !

nn

nf x f f x f x f x f f x

n

∞

=

′ ′′ ′′′= + Δ + Δ + Δ + = + Δ∑ (2.1)

Primjer Funkcija ( ) 1xf x e= − , se u okolišu točke 0 0x = može prema gornjoj formuli prikazati

redom potencija ( )2 3 4

1....

2 6 24 !

n

n

x x x xf x xn

∞

=

= + + + + =∑ . Donja slika prikazuje aproksimaciju

funkcije jednim članom, s prva dva i prva tri člana Taylorova reda. Očito je da se povećanjem broja članova širi područje u kojem je funkcija dobro aproksimirana ograničenim brojem članova Taylorova reda (naravno kad bi broj članova Taylorova reda težio k beskonačno, aproksimacija bi se poklapala s funkcijom u čitavom području definicije funkcije).

Taylorova formula za razvoj funkcije dviju varijabli ( ),f x y u okolišu točke T( 0x , 0y ), u

kojoj je vrijednost funkcije ( )0 0 T,f x y f= , kazuje da se funkcija može prikazati redom potencija od 0x x xΔ = − i 0y y yΔ = − u obliku

( )2 3

TT T TT T T

T1 T T

1 1,2 6

1 !

n

n

f f f f f ff x y f x y x y x yx y x y x y

f ff x yn x y

∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + Δ + Δ + Δ + Δ + Δ + Δ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂= + Δ + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑(2.2)


U gornjem izrazu su potencije derivacija simbolične, tako npr.

3 3 2 2 33 2 2 3

3 2 2 3T TT TT T T T

3 3f f f f f f f fx y x x y x y yx y x x y x y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Δ + Δ = Δ + Δ Δ + Δ Δ + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2.2. Metode rješavanja nelinearnih algebarskih jednadžbi

2.2.1. Newton-Raphsonova metoda Traži se rješenje jednadžbe ( ) 0f x = . Predočeno grafički, traži se x -koordinata točke u kojoj funkcija siječe os x .

Rješenje se traži iterativnim postupkom, koji započinjemo od proizvoljne točke 0x u kojoj je

( )0 0f x f= . Funkciju aproksimiramo s prva dva člana razvoja u Taylorov red (tangentom) i tražimo pomak xΔ takav da aproksimirana funkcija bude jednaka nuli 0 0 0f f f x′≈ + Δ = iz čega slijedi vrijednost pomaka xΔ

0

0

fxf

Δ = −′

(2.3)

Korigirana vrijednost x (označimo je s 1x ) je tada 1 0x x x= + Δ (2.4) Nakon toga 1x proglasimo za 0x i postupak ponavljamo sve dok nam apsolutna vrijednost 0f ne padne ispod unaprijed zadane tolerancije (male vrijednosti ε , npr. 610ε −= ). Naravno moguće je kontrolirati i korekcije xΔ , te iterativni postupak završiti kada i apsolutna vrijednost korekcije padne ispod zadane tolerancije. Grafički prikaz tijeka konvergencije je prikazan na gornjoj slici.


Ova metoda ne mora konvergirati k rješenju ako imamo lokalne ekstreme, kako je to kvalitativno prikazano na sljedećoj slici.

Ako iterativni postupak započnemo od točke 0x , u sljedećoj iteraciji ćemo doći do 1x , pa u sljedećoj u 2x . Nakon toga se u trećoj iteraciji vraćamo u točku 1x , iz koje u četvrtoj iteraciji ponovo dolazimo u 2x i postupak se ponavlja. Ako bi iterativni postupak započeli od točke px postupak bi konvergirao k rješenju. Ako je funkcija zadana složenim izrazom derivacija se ne mora odrediti analitički nego se može odrediti i približno numerički

( ) ( ) ( )0 00

f x x f xf x

xδδ

+ −′ = (2.5)

gdje xδ treba biti dovoljno malo, da derivacija bude dovoljno dobro aproksimirana.

2.2.2. Metoda bisekcije (raspolavljanja intervala)

Metoda bisekcije je jednostavna metoda koja radi i u slučaju postojanja lokalnih ekstrema funkcije kao što pokazuje gornja slika. Postupak započinje izborom intervala, zadanog točkama 1x i 2x tako da je ( ) ( )1 2 0f x f x⋅ ≤ (na jednom rubu intervala funkcija mora biti

pozitivna, a na drugom negativna, da smo sigurni da je rješenje ( ) 0f x = u odabranom

x x1

x2

1

x1

f(x) f(x1)

f(x2)

2

3 4

x1

x x0 x1 x2 x3 x4

xp

f(x)


intervalu). Raspolovimo interval 1 2

2x xx +

= i odbacimo rub koji ima isti predznak kao ( )f x .

Postupak ponavljamo dok ( )f x ne padne ispod zadane točnosti, odnosno dok širina intervala

ne postane dovoljno mala. Širina intervala nakon n iteracija je 0

2n

n

xx ΔΔ = , gdje je 0xΔ

početna širina intervala. Grafički prikaz metode je vidljiv iz slike. Nakon prvog raspolavljanja bi odbacili točku 1x , nakon drugog točku 1, nakon trećeg 2x , nakon četvrtog točku 2, i tako dalje, sve dok se ne bi dovoljno približili rješenju.

2.3. Newtonova metoda za rješavanje sustava nelinearnih algebarskih jednadžbi

Traži se rješenje sustava triju jednadžbi, koje su funkcije triju nepoznanica:

( )( )( )

, , 0

, , 0

, , 0

f x y z

g x y z

h x y z

=

=

=

(2.6)

Postupak započinjemo od točke 0 0 0, ,x y z u kojoj su vrijednosti funkcija 0 0 0, ,f g h i vrijednosti

parcijalnih derivacija , , , , . . . .f f f gx y z x∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

Tražimo priraste varijabli , ,x y zΔ Δ Δ tako da sve

tri funkcije poprime vrijednosti nula. Ako aproksimiramo funkcije razvojem u Taylorov red zadržavajući samo prvi član

0

0

0

0

0

0

f f ff f x y zx y zg g gg g x y zx y z

h h hh h x y zx y z

∂ ∂ ∂≈ + Δ + Δ + Δ =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

≈ + Δ + Δ + Δ =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

≈ + Δ + Δ + Δ =∂ ∂ ∂

(2.7)

Dobije se sustav linearnih algebarskih jednadžbi, koji se može zapisati matrično u obliku:

0

0

0

Vektor Vektor trenutnih pomaka vrijednosti

Jakobijeva matrica

f f fx y z x fg g g y gx y z

z hh h hx y z Δ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ Δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ 0X F

Α

(2.8)

⋅Δ = − 0Α X F (2.9) Gornji izraz je usporediv s jednadžbom koja predstavlja Newtonovu metodu za jednu jednadžbu 0 0f x f′Δ = − (2.10)


Metoda se može poopćiti na sustav N jednadžbi u funkciji N varijabli Traži se rješenje sustava ( ) 0 ; , 1,i jf x i j N= = . Razvojem u Taylorov red dobije se

0 0ii j

j

ff xx∂

+ Δ =∂

0F ΔXA

(2.11)

1 2

1 2

2 2

1 2

; , 1,iij

j

f fx x

f f fA i j Nx x x

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎢ ⎥= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.12)

Riješiti sustav 0

ij j iA x fΔ = −

Korigirati 0i i ix x x= + Δ Izračunati novi 0

if Napomene:

• Derivacije se mogu računati numerički • Metoda ne mora konvergirati k rješenju ako funkcija ima lokalne ekstreme

2.4. Metoda najmanjih kvadrata Često puta rezultate mjerenja (ili proračuna) koji su definirani diskretnim točkama, treba aproksimirati zadanom analitičkom funkcijom, u kojoj se pojavljuje određeni broj koeficijenta. Zadatak metode najmanjih kvadrata je odrediti te koeficijente u zadanoj funkciji, tako da krivulja koja prikazuje funkciju prolazi što bliže zadanim točkama (po kriteriju najmanje sume kvadrata odstupanja funkcije od zadanih točaka). Neka je zadano n točaka s koordinatama ( ),i ix y kao na donjoj slici, i neka je analitička funkcija općenito definirana u

obliku ( ), , , ,y f x a b c= , gdje su , , ,a b c nepoznati koeficijenti, tada tražimo da kriterij K

( ) 2

1

, , , , minn

i ii

K y f x a b c=

= − =⎡ ⎤⎣ ⎦∑ (2.13)

Jasno je da broj točaka mora biti veći od broja koeficijenata. Ako je n jednak broju koeficijenata funkcija će prolaziti svim točkama (npr. pravac sadrži dva koeficijenta i jednoznačno je određen s dvije točke, kvadratna parabola je određena s tri koeficijenta, odnosno s tri točke). Tražimo dakle koeficijente , , ,a b c tako da kriterij K bude minimalan. To će biti ako je

0

0

0

KaKbKc

∂=

∂∂

=∂∂

=∂

(2.14)


Broj jednadžbi je jednak broju nepoznatih koeficijenata.

1. Primjer ( ) 2f x a bx cx= + + (2.15)

22

1

min ; ;n

i i ii

K y a bx cxa b c=

∂ ∂∂⎡ ⎤= − − − =⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂∑ (2.16)

( )( )

( )( )

( )( )

2

1

2

1

2 2

1

: 2 1 0

: 2 0

: 2 0

n

i i iin

i i i ii

n

i i i ii

y a bx cxa

y a bx cx xb

y a bx cx xc

=

=

=

∂− − − − =

∂∂

− − − − =∂∂

− − − − =∂

∑

∑

∑

(2.17)

2

1 1 1

2 3

1 1 1 1

2 3 4 2

1 1 1 1

n n n

i i ii i i

n n n n

i i i i ii i i i

n n n n

i i i i ii i i i

n x x ya

x x x b x yc

x x x x y

= = =

= = = =

= = = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

(2.18)

Koeficijenti , ,a b c se dobiju rješavanjem gornjeg sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Ako se traži puni polinom, tada se može koristiti već gotova funkcija u MATLAB-u, EXCEL-u, TECPLOT-u i sličnim programima. Međutim, ako se iz fizikalnih razloga želi polinom samo s koeficijentima uz određene potencije (npr. ( ) 2 3f x a bx cx= + + ), tada će biti potrebno načiniti vlastitu proceduru. U slučaju polinomne funkcije koeficijenti su definirani linearnim sustavom jednadžbi koji se jednostavno rješava. Za slučaj nekih drugih funkcija koeficijenti mogu biti definirani nelinearnim sustavom jednadžbi.


2. Primjer ( ) bxf x ae−= (2.19)

( )2

1min ;i

nbx

ii

K y aea b

−

=

∂∂= − =

∂ ∂∑ (2.20)

( )( )

( )( )( )

1

1

: 2 0 : 2

: 2 0 : 2

i i

i i

nbx bx

iin

bx bxi i

i

y ae ea

y ae ae x ab

− −

=

− −

=

∂− − =

∂∂

− − − =∂

∑

∑ (2.21)

( ) ( )

( ) ( )

2

1 1

2

1 1

0

0

i i

i i

n nbx bx

ii in n

bx bxi i i

i i

y e a e

x y e a x e

− −

= =

− −

= =

− =

− =

∑ ∑

∑ ∑ (2.22)

Ovaj sustav je teže riješiti! Trik koji omogućava rješavanje je logaritmiranje funkcije ( )f x i definiranje novog kriterija

( )( ) ( ) ( )2 2

1 1

ln ln ln ln min ;ln

n n

i i ii i

K y f x y A BxA B= =

∂∂⎡ ⎤= − = − + =⎣ ⎦ ∂ ∂∑ ∑ (2.23)

Sada su ln A i B ponovo definirani linearnim sustavom jednadžbi.


2.5. Fourierov red

2.5.1. Trigonometrijske funkcije Slika prikazuje sinusnu funkciju oblika ( )0siny A nα α= + u kojem α označuje kut, A amplitudu, 0α translaciju po kutu (fazni pomak), a period P je određen izrazom 2 /P nπ= . Donja slika prikazuje dvije sinusoide s istim faznim pomakom 0α za slučajeve A =3, 1n = i A =2, 2n = .

y

-2 0 2 4 6 8

-3

-2

-1

0

1

2

3 2

n=1

n=2

0

Očito je da 2 /n Pπ= označuje broj perioda funkcije na odsječku duljine 2π .

2.5.2. Prostorna raspodjela harmonijskog vala i valni broj Donja slika prikazuje jedan harmonijski val raspodijeljen po prostoru u jednom vremenskom trenutku, pri čemu mu je valna duljina (period vala) označena s L .

x / m

y

L

x0

Ako je A amplituda vala, a 0x translacija vala po prostoru tada se val može opisati jednadžbom:

( ) ( )0 0 02sin siny A x x A k xLπ α⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.24)

Gdje su: 02kLπ

= valni broj, [ ] [ ]10 0 SI

1L ; m

k k−= = , 0k x α= kut i 0 0 0k x α= fazni kut (fazni

pomak).


2.5.3. Vremenska promjena harmonijskog vala, frekvencija i kružna frekvencija

Donja slika prikazuje vremensku promjenu nekog harmonijskog vala (signala) mjerenog u jednoj točki prostora, pri čemu mu je valna duljina (period vala ili trajanje jednog titraja) označena s T .

t / sy

T

t0

Ako je A amplituda vala, a 0t translacija vala po vremenu tada se val može opisati jednadžbom:

( ) ( )0 0 02sin siny A t t A tTπ ω α⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.25)

Gdje je: 02Tπω = kružna frekvencija, [ ] [ ]1

0 0 SI

radT ; s

ω ω−= = , 0tω α= kut i 0 0 0tω α=

fazni kut (fazni pomak). Frekvencija vala je definirana brojem titraja u jediničnom vremenu i izražava se u Hz, gdje jedan Hz odgovara jednom titraju u sekundi. Prema tome frekvencija f je izražena jednadžbom:

00

1 , odnosno 22

f fT

ω ω ππ

= = = (2.26)

Pri čemu su dimenzija i jedinica za frekvenciju [ ] [ ]1SI

T i Hzf f−= = .

2.5.4. Prikaz signala fazorom, zbrajanje, deriviranje i integriranje signala

Primjenom trigonometrijske jednakosti: ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = + harmonijski signal se može pisati i u obliku

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0sin cos sin sin cos sin cosS C

y A t A t A t S t C tω α α ω α ω ω ω= + = + = + (2.27)

Dakle, sinusoida amplitude A s faznim pomakom 0α se može prikazati zbrojem sinusoide amplitude S i kosinusoide amplitude C (obje bez faznog pomaka), gdje je 2 2 AmplitudaA S C= + (2.28)

0 arctg Fazni pomakCS

α = (2.29)

Signal y zadane frekvencije jednoznačno je određen amplitudom i faznim pomakom, odnosno amplitudama S i C , koje prikazane u kompleksnoj ravnini čine vektor fazor (ili


jednostavno fazor) 0( )Y ω . Na realnu os nanosi se amplituda 0cosS A α= , a na imaginarnu os

0sinC A α= , pa je fazor kompleksan broj 0( )Y S iCω = + , gdje je 1i = − . U početnom trenutku ( 0t = ) fazor je pod kutom 0α , kao što prikazuje donja slika. Rotacijom fazora kutnom brzinom 0ω u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (u smjeru povećanja kuta

0tα ω= ) njegov će vrh gledano u kompleksnoj ravnini opisati kružnicu polumjera A , a gledano u vremenskoj koordinati vrh će opisati sinusnu funkciju ( )0 0siny A tω α= + . Kada fazor opiše puni krug, opisat će jedan titraj gledano u vremenu.

t / s

y

TT

S

C 0

A

Znači vremenski signal ( )0 0siny A tω α= + jednoznačno je određen fazorom 0( )Y S iCω = + . Fazor zbroja 1 2y y y= + dvaju signala ( )1 1 0 1siny A tω α= + i ( )2 2 0 2siny A tω α= + iste frekvencije jednak je zbroju fazora 0 1 0 2 0( ) ( ) ( )Y Y Yω ω ω= + , jer je:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 0 1 0 2 0 2 0

1 2 0 1 2 0

sin cos sin cos

sin cos

y y y S t C t S t C t

S S t C C t

ω ω ω ω

ω ω

= + = + + + =

= + + +

Fazor deriviranog signala po vremenu je 0 0 0( ) ( )Y i Yω ω ω= jer je

( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0d sin cos cos sind

y S t C t S t C tt

ω ω ω ω ω ω= + = − , pa je

( )0 0 0 0 0 0( ) ( )Y C i S i S iC i Yω ω ω ω ω ω= − + = + =

Fazor integriranog signala po vremenu je 00

0

( )( ) YYiωωω∫ = jer je

( ) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 00 0

d sin cos d cos sinS Cy t S t C t t t tω ω ω ωω ω

= + = − +∫ ∫ , pa je

( ) 00

0 0 0 0

( )( )S iCC S YY i i

iωω

ω ω ω ω∫

+= − = − =

Primjer primjene fazora je u elektrotehnici u analizi krugova izmjenične struje.


2.5.5. Koeficijenti Fourierovog reda Svaka periodička funkcija ( )y x može se prikazati zbrojem sinusoida i kosinusoida. Donja slika prikazuje primjer jedne periodičke funkcije s periodom L . Periodičnost funkcije podrazumijeva da je ( ) ( )y x y x nL= + , za svaki cjelobrojni n . Osnovni valni broj definiran

je s 02kLπ

= , a Fourierov red se sastoji od zbroja harmonika s valnim brojevima koji su

višekratnici osnovnog valnog broja, u obliku:

( ) ( ) ( )0 0 01

sin cosn nn

f x C S nk x C nk x∞

=

= + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑ (2.30)

gdje su nS i nC koeficijenti Fourierovog reda.

x / m

y

L

Uočimo da svaki harmonik ( 1,2,...n = ) Fourierovog reda ima puni broj perioda na odsječku nula do L , pa zbog toga za cijele brojeve m i n vrijede sljedeće relacije:

0

2 2sin cos d 0L

n x m x xL Lπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (2.31)

0 0

za 2 2 2 2sin sin d cos cos d 20 za

L L L m nn x m x x n x m x x

L L L L m n

π π π π ⎧ =⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ≠⎩

∫ ∫ (2.32)

Koeficijenti Fourierovog reda određuju se primjenom metode najmanjih kvadrata. Tražimo da integral kvadrata razlike zadane funkcije i Fourierovog razvoja bude minimalan

( ) ( ) 2

0

1 d minL

K y x f x xL

= − =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ (2.33)

Uvrštavanjem izraza (2.30) u gornji izraz slijedi

( ) ( ) ( )2

0 0 01 00

1 sin cos d min ; ;L

n nn m m

K y x C S nk x C nk x xCL S C

∞

=

∂ ∂∂⎡ ⎤= − − + =⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦∑∫ (2.34)

Kriterij K će biti minimalan, ako su sve derivacije K po koeficijentima Fourierovog reda jednake nuli. Tako za koeficijent 0C vrijedi

( ) ( ) ( ) ( )0 0 010 0

1=0 2 sin cos -1 d 0L

n nn

K y x C S nk x C nk x xC L

∞

=

∂ ⎡ ⎤⇒ − − + =⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

∑∫ (2.35)


( )00 0

2 2d dL L

C x y x xL L

=∫ ∫ (2.36)

( )00

1 dL

C y x xL

= ∫ (2.37)

Očito da 0C predstavlja srednju vrijednost funkcije ( )y x na intervalu od 0 do L . Iz derivacije K po koeficijentu mS Fourierovog reda, uzimajući u obzir jednadžbe (2.31) i (2.32) dobije se

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 010

1=0 2 sin cos -sin d 0L

n nnm

K y x C S nk x C nk x mk x xS L

∞

=

∂ ⎡ ⎤⇒ − − + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

∑∫ (2.38)

( ) ( )00

2 2sin d 02

L

mLy x mk x x S

L L− + =∫ (2.39)

( ) ( )00

2 sin dL

mS y x mk x xL

= ∫ (2.40)

Analogno iz =0m

KC∂∂

slijedi

( ) ( )00

2 cos dL

mC y x mk x xL

= ∫ (2.41)

Ako se radi o vremenski promjenjivoj funkciji dobiju se slični izrazi uz zamjene

0 0, ,x t L T k ω→ → →

( ) ( ) ( )0 0 01

sin cosn nn

f t C S n t C n tω ω∞

=

= + +⎡ ⎤⎣ ⎦∑ (2.42)

dobije se

( )00

1 dtT

C y tT

= ∫ (2.43)

( ) ( )00

2 sin dtT

mS y t m tT

ω= ∫ (2.44)

( ) ( )00

2 cos dtT

mC y t m tT

ω= ∫ (2.45)

gdje je 0ω osnovna frekvencija, 0mω m-ti harmonik, a mS i mC čine spektar, pri čemu je

amplituda 2 2m m mA S C= + , a faza arctg m

mm

CS

α = .


2.5.6. Prikaz Fourierovog reda kompleksnim koeficijentima Primjenom Eulerove formule ( ) ( )0

0 0cos sinin te n t i n tω ω ω= + i ( ) ( )00 0cos sinin te n t i n tω ω ω− = −

gdje je 1i = − lako se pokaže da vrijedi:

( )

( )

0 0

0 0 0 0

0

0

cos2

sin2 2

in t in t

in t in t in t in t

e en t

e e e en t ii

ω ω

ω ω ω ω

ω

ω

−

− −

+=

− −= = −

(2.46)

Uvrštavanjem (2.46) u (2.42) dobije se

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 01

0 0 0 0 01

( ) sin cos

1 1cos sin cos sin2 2

in t in tn n

n nn

n n n nn

e eZ Z

f t C S n t C n t

C C iS n t i n t C iS n t i n tω ω

ω ω

ω ω ω ω−

∞

=

∞

=

= + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟

= + − + + + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

Gdje su kompleksne amplitude definirane kao

( )

( )

1212

n n n

n n n

Z C iS

Z C iS

= −

= + (2.47)

Uzimajući u obzir da možemo pisati 0 0

1

1

in t in tn n

n nZ e Z eω ω

∞ −−

= =−∞

=∑ ∑ (gdje je za 0n < : n nZ Z−= )

očito se Fourierov red može prikazati sumom

( ) ( ) ( ) 00 0 0

1

sin cos in tn n n

n n

f t C S n t C n t Z e ωω ω∞ ∞

= =−∞

= + + =⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑ (2.48)

gdje je 0 0Z C= realno, ( )12n n nZ C iS= − , a koeficijenti nZ , za 0n < ne nose nikakvu

informaciju jer vrijedi , za 0n nZ Z n−= < . Ako se iskoriste izrazi (2.44) i (2.45), slijedi izraz za direktno računanje kompleksnih koeficijenata Fourierovog spektra

( ) ( ) ( ) ( )0 00

1 1 2 cos sin d2 2

T

n n nZ C iS y t n t i n t tT

ω ω⎧ ⎫

= − = −⎡ ⎤⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭∫ (2.49)

( ) 0

0

1 d ; ,T

in tnZ y t e t n

Tω−= = −∞ ∞∫ (2.50)

Pri čemu izraz vrijedi i za 0n = , s tim da treba voditi računa da je 0C realni dio od 0Z , za razliku od ostalih harmonika gdje je nC jednak dvostrukoj vrijednosti realnog dijela od nZ . Jasno je da je za 0n < n nZ Z−= , pa je dovoljno izraz (2.50) računati samo za pozitivne vrijednosti n .


2.5.7. Diskretna Fourierova transformacija Gornji izrazi vrijede za funkciju ( )y t zadanu analitički. Češće će nam biti zanimljiv slučaj funkcije zadane diskretnim točkama. Npr. ako u točki prostora u turbulentnom strujanju mjerimo tlak, instrument nam daje kontinuirani (analogni) signal kojeg možemo zapisati putem pisača na papir (govorimo o analognom zapisu) čime smo dobili kontinuirani zapis tlaka. Ako želimo s tim podacima nešto računati, moramo ih zapisati u digitalnom obliku. Od svih mogućih vrijednosti tlaka uzet ćemo samo vrijednosti u određenim vremenskim trenutcima. Obično podatke uzimamo s konstantnim vremenskim korakom, te govorimo o vremenskom koraku uzorkovanja tΔ , ili o frekvenciji uzorkovanja u 1/f t= Δ (frekvencija uzorkovanja označuje broj uzetih podataka u jediničnom vremenu, tako npr. frekvencija uzorkovanja 100 Hz, kazuje da se u svakoj sekundi uzima 100 podataka, odnosno podaci se uzimaju svakih tΔ =0.01 s). Donja slika prikazuje primjer uzorkovanja kontinuirane funkcije ( )y t (zelena krivulja) vremenskim korakom uzorkovanja tΔ , tako da od svih mogućih

vrijednosti funkcije ( )y t uzimamo samo vrijednosti ky iz vremenskih trenutaka kt k t= Δ (crvene točkice), gdje se k mijenja od nule do K , a K je broj vremenskih intervala na koji je podijeljen period T .

t

y

T=K t

t

tk=k t

yk

Od tako uzetih podataka možemo sačiniti tablicu u kojoj bi prvi stupac sadržavao k (redni broj točke, kojoj odgovara vremenski trenutak kt k t= Δ ), a drugi stupac ky (vrijednost funkcije u danom trenutku). S obzirom da je funkcija periodična vrijednost 0y ne mora biti u tablici, jer je 0 Ky y= . Dakle, funkcija je zadana s 1K + točaka, a u tablici će biti K točaka, jer se vrijednost funkcije zadaje samo na kraju intervala, a uvjet periodičnosti se podrazumijeva. S obzirom da nam funkcija nije zadana analitički, nego tablicom, integraciju u izrazima za određivanje koeficijenata Fourierovog reda ćemo zamijeniti numeričkom integracijom uz primjenu trapeznog pravila. Tako iz izraza (2.43) slijedi

( ) 10

10

1 1d2

T Kk k

k

y yC y t t tT K t

−

=

+= = Δ

Δ ∑∫ (2.51)

Uzevši u obzir da je 0 Ky y= dobije se

01

1 K

kk

C yK =

= ∑ (2.52)

Iz izraza (2.44) za koeficijent nS numeričkom integracijom se dobije

( ) ( ) ( ) [ ]{ }0 1 0 010

2 2 1sin d sin 1 sin2

T K

n k kk

S y t n t t y n k t y n k t tT K t

ω ω ω−=

= = − Δ + Δ Δ⎡ ⎤⎣ ⎦Δ ∑∫ (2.53)


1

2 2sin ; 1,2

K

n kk

KS y n k nK K

π=

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (2.54)

Analogno iz izraza (2.45) slijedi

1

2 2cos ; 1,2

K

n kk

KC y n k nK K

π=

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (2.55)

Uočimo da je za parni K u izrazu (2.54) za koeficijent nS , za / 2n K= pod sumom imamo

( )sin kπ , što je jednako nuli za svaki k , pa je taj koeficijent jednak nuli, kao i za 0n = . Po istom principu se može numerički integrirati izraz (2.50) za kompleksne koeficijente Fourierovog reda (spektar)

( ) 0

2

10

1 1d , ,2 2

T K in kin t Kn k

k

K KZ y t e t y e nT K

πω −−

=

= = = −∑∫ (2.56)

Jasno je da je spektar periodičan jer vrijedi ( )2 2 2

2

1k

i K n k in k in ki kK K Ke e e eπ π π

π+= = , što znači da se

nakon svakih K harmonika spektar ponavlja (pa ćemo promatrati samo spektar od - / 2K do / 2K , imajući još na umu da je n nZ Z−= , za 0n < .

Kad imamo koeficijente nZ (spektar) možemo prema izrazu (2.48) izračunati vrijednost funkcije ( )f t u bilo kojem vremenskom trenutku, a za vrijednosti funkcije u točkama kt vrijedi

( )22

2

, 1,

K

in kK

k k nKn

f t f Z e k Kπ

=−

= = =∑ (2.57)

2.5.8. Potrebna frekvencija uzorkovanja Iz 1K + točaka možemo prema metodi najmanjih kvadrata odrediti najviše 1K + koeficijenata, a u tom slučaju će funkcija prolaziti svim zadanim točkama (bit će k kf y= ). Ako je broj koeficijenata manji od broja točaka, tada će funkcija po kriteriju metode najmanjih kvadrata prolaziti najbliže moguće zadanim točkama. S obzirom da u Fourierovom redu prema jednadžbi (2.42) imamo koeficijent 0C i po dva koeficijenta za svaki harmonik, ukupni broj koeficijenata 2 1N + , gdje je N broj harmonika. Maksimalni broj harmonika

maxN kojeg možemo odrediti iz 1K + točaka je max / 2N K= . Stoga je dobro za broj intervala K birati parni broj. Ako se rabi svih maxN harmonika funkcija ( )f t definirana Fourierovim redom će prolaziti kroz svaku zadanu točku (bit će k kf y= ), a za broj harmonika manji od

maxN funkcija će prolaziti najbliže moguće zadanim točkama, po kriteriju metode najmanjih kvadrata.

Kao primjer uzmimo funkciju 2sin20

y tπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

kojoj je period T = 10 s, koja je prikazana na

donjoj slici (lijevi gornji panel). Gornji desni panel prikazuje uzorkovanu funkciju na 20 vremenskih intervala (K=20, / 0.5 st T KΔ = = , pa govorimo o frekvenciji uzorkovanja


u1 2ft

= =Δ

Hz, tj. u svakoj sekundi uzimamo dva podatka). Primjenom diskretne Fourierove

transformacije iz zadanih točaka se može odrediti srednju vrijednost funkcije na periodu 10T = , što se u spektru prikazuje amplitudom na nultoj frekvenciji, i / 2 10K = harmonika s

korakom u frekventnom području 00

1 0.12

fT

ωπ

= = = Hz, kako je prikazano na donjem

lijevom panelu gornje slike. Kad imamo određene koeficijente Fourierova reda (spektar) onda možemo rekonstruirati funkciju ( )f t u bilo kojem vremenskom trenutku (dakle ( )f t je

kontinuirana funkcija). Ako pri rekonstrukciji koristimo sve harmonike krivulja ( )f t će prolaziti svim zadanim točkama ( , ), 0,1,...k kt y k K= (vidjeti zelenu krivulju na donjem desnom panelu gornje slike), a između tih točaka originalna funkcija ( )y t i rekonstruirana

funkcija ( )f t će se razlikovati. Jasno je da će ta razlika biti to manja što je vrijeme uzorkovanja manje. Na donjem desnom panelu je plavom krivuljom prikazana rekonstrukcija funkcije sa samo prva dva harmonika spektra. Rekonstrukcija je relativno dobra jer je iz slike spektra jasno ostali harmonici imaju znatno manje amplitude od prva dva, pa će i njihov doprinos biti manji.

Najviša frekvencija koja se vidi u Fourierovom redu je 0max max u

1 1 1 12 2 2 2

Kf N fT t

ωπ

= = = =Δ

jednaka je polovini frekvencije uzorkovanja. U ovom primjeru je frekvencija uzorkovanja bila 2 Hz, a u spektru se vide frekvencije do 1 Hz. Ovo je vrlo važno pravilo za određivanje frekvencije uzorkovanja, koje kaže da signal moramo uzorkovati frekvencijom većom od dvostruke maksimalne frekvencije u pojavi (ovo je sadržaj Shannon-Nyquistova teorema o uzorkovanju). Ako je frekvencija uzorkovanja veća od dvostruke maksimalne frekvencije maxf u pojavi (npr. u max4f f= ), spektar (koeficijenti harmonika) do frekvencije maxf će biti jednak onome određenom s frekvencijom uzorkovanja u max2f f= , a preostali dio spektra (na frekvencijama maxf do max2 f , koliko se vidi s frekvencijom uzorkovanja u max4f f= ) će biti jednak nuli. Nasuprot tome ako bi frekvencija uzorkovanja bila manja od max2 f tada se iz uzorkovanog spektra ne bi vidjeli svi harmonici u pojavi, te bi se sukladno metodi najmanjih kvadrata frekvencije koje se ne vide u spektru (a doprinose vrijednosti funkcije ( )y t vidjeli u spektru (amplitudama) na nižim frekvencijama, te govorimo o preklapanju spektra (aliasing).


t / s

Ana

logn

isigna

l

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t / s

Uzo

rkov

anis

ignal

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Rek

onstruira

nisign

al

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N=Nmax=10Originalni podaciN=2

f / Hz

Amplitu

dasp

ektra

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Za ilustraciju uzmimo jednu analitičku funkciju oblika 2 2( ) 2sin sin5 2

y t t tπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

za koju

možemo odrediti maksimalnu frekvenciju. Prva sinusoida ima period 1 5T = s, a druga 2 2T = s, što znači da će period funkcije biti 10T = s, a to odgovara osnovnoj frekvenciji

00

1 0.12

fT

ωπ

= = = Hz. Frekvencija prve sinusoide je 11

1

1 0.22

fT

ωπ

= = = Hz, a frekvencija

druge sinusoide je 22

2

1 0.52

fT

ωπ

= = = Hz. Maksimalna frekvencija u pojavi je dakle

max 0.5f = Hz, pa ako želimo točno rekonstruirati uzorkovanu funkciju frekvencija uzorkovanja mora biti veća od 1 Hz. Donja slika prikazuje spektar dobiven uzorkovanjem funkcije s 14 vremenskih intervala (frekvencija uzorkovanja 1.4 Hz). Maksimalna frekvencija u spektru je 0.7 Hz, a spektar, prema očekivanju ima amplitudu 2 na frekvenciji 0.2 Hz i amplitudu jedan na frekvenciji 0.5 Hz. Jasno je da će se tada rekonstruirana krivulja ( )f t iz Fourierovog spektra (zelena krivulja na dijagramu) poklapati s originalnom funkcijom ( )y t (crvena krivulja). Uočimo da smo spektar odredili samo iz diskretnih točaka (crvene točke na dijagramu).


f / Hz

Amplitud

asp

ektra

0 0.2 0.4 0.60

0.5

1

1.5

2

y(t), f(t)

Q

0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2

f(t)Uzorkovane tockey(t)

y(t), f(t)

Q

0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2


f / Hz

Amplitud

asp

ektra

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

0.5

1

1.5

2

Gornja slika prikazuje isti primjer, samo za frekvenciju uzorkovanja 3 Hz. Očito je da se povećanjem frekvencije uzorkovanja spektar nije promijenio, osim što se povećao vidljivi dio spektra s 0.7 na 1.5 Hz, a budući da su u tom području frekvencija u promatranom primjeru amplitude jednake nuli, što se tiče rekonstrukcije signala, ništa se nije promijenilo u odnosu na prethodnu frekvenciju uzorkovanja. Pogledajmo sada što bi se dobilo da je frekvencija uzorkovanja bila manja od 1 Hz. Donja slika prikazuje rezultate za frekvenciju uzorkovanja 0.8 Hz (uzorkovanje s 9 točaka, odnosno 8 vremenskih intervala). Posljedica premale frekvencije uzorkovanja je pojava amplitude na frekvenciji 0.3 Hz, koje u originalnom signalu nema. Možemo si zamisliti da smo spektar originalne pojave (koji ima amplitudu na frekvencijama 0.2 Hz i 0.5 Hz), preklopili oko frekvencije koja odgovara polovini frekvencije uzorkovanja (ovdje 0.4 Hz), tako da se amplituda na frekvenciji 0.5 Hz, našla na frekvenciji 0.3 Hz. Ova se pojava naziva aliasing. Gledano u vremenskoj domeni, jasno je da se rekonstruirana funkcija ( )f t više ne poklapa s originalnom funkcijom ( )y t iako funkcija ( )f t prolazi uzorkovanim točkama. Očito je originalna funkcija uzorkovana u premalom broju točaka, tako da se ne može rekonstruirati Fourierovim redom.


y(t), f(t)

Q

0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2


f / Hz

Amplitud

asp

ektra

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.5

1

1.5

2

2.5.9. Primjena kriterija za frekvenciju uzorkovanja u RDF U numeričkom rješavanju diferencijalnih jednadžbi kontinuirano rješenje diferencijalne jednadžbe zamjenjuje se diskretnim vrijednostima u određenim prostornim i vremenskim točkama, dakle možemo također govoriti o uzorkovanju. Postavlja se pitanje kolika treba biti frekvencija uzorkovanja (odnosno vremenski i prostorni koraci integracije) da bismo mogli točno rekonstruirati originalnu funkciju iz diskretnih vrijednosti te funkcije. Iz prethodnih primjera smo vidjeli da frekvencija uzorkovanja mora biti to veća (vremenski i prostorni korak integracije to manji) što je maksimalna frekvencija u pojavi veća. Glatke funkcije opisane su relativno niskim frekvencijama, i za njihov opis moguće je koristiti velike korake uzorkovanja (diskretizacije, ili integracije). Nasuprot tome funkcije u kojima se pojavljuju skokovite promjene redovito sadrže visoke frekvencije, te i frekvencija uzorkovanja mora biti visoka, odnosno korak uzorkovanja mora biti mali. Donje slike prikazuju jednu glatku funkciju (poluperioda sinusne funkcije) i njen spektar izračunat na temelju frekvencije uzorkovanja od 20 Hz. Očito je da nakon frekvencije od 2.5 Hz amplituda spektra iščezava, što znači da bi se uz frekvenciju uzorkovanja od 5 Hz uhvatio sav sadržaj signala. Frekvencija uzorkovanja od 5 Hz odgovara vremenu uzorkovanja od 0.2 s. Slika ispod prikazuje jednu funkciju s diskontinuitetom i njen spektar izračunat na temelju uzorkovane funkcije s frekvencijom 20 Hz. U ovom slučaju amplituda spektra nije iščezla niti do 10 Hz, što znači da je maksimalna frekvencija i veća od 10 Hz, pa je i potrebna frekvencija uzorkovanja puno veća, odnosno ako se radi o vremenskoj integraciji traži se mali vremenski korak integracije. Ovo je jedan od problema rješavanja jednadžbi gibanja fluida, jer one dopuštaju pojavu diskontinuiteta u rješenju (npr. udarni valovi u nadzvučnom strujanju), a u takvim slučajevima će se tražiti vrlo sitni prostorni korak integracije. Općenito kad god imamo posla s funkcijom koja se naglo mijenja (nagla promjena odgovara visokim frekvencijama) tražit će se sitniji korak integracije. Npr. znamo da se u graničnom sloju brzina fluida mijenja od nule do vrijednosti neporemećene brzine unutar relativno tankog sloja, unutar kojeg će se tražiti sitni prostorni korak, za razliku od vanjskog strujanja, u kojem su promjene brzine relativno glatke, pa će se u tom području moći uzimati veći prostorni korak integracije.


t / s

y(t)

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f / Hz

Amlitud

asp

ektra

0 2 4 6 8 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t / s

y(t)

0 2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

f / Hz

Amlitud

asp

ektra

0 2 4 6 8 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Drugi veliki problem računalne dinamike fluida je turbulencija. U razvijenom turbulentnom strujanju se pojavljuju pulsacije visokih frekvencija (npr. reda veličine 20 kHz), što znači da pri direktnom rješavanju Navier-Stokesovih jednadžbi moramo provoditi vremensku integraciju vrlo malim vremenskim korakom (frekvencije uzorkovanja 40 kHz, odnosno vremenski korak integracije 42.5 10−⋅ s). Isto vrijedi i za pulsacije u prostoru. S povećanjem Reynoldsova broja se pojavljuju pulsacije s vrlo visokim valnim brojem k (vrlo malim valnim duljinama) što zahtijeva vrlo fini prostorni korak integracije (npr. red veličine 410− od dimenzije domene proračuna). Uzimajući u obzir da je turbulentno strujanje uvijek trodimenzijsko (prostorna mreža bi imala 1210 točaka) i nestacionarno (za 1000 s integracije bi trebalo reda veličine 710 vremenskih koraka), što postavlja previsoke zahtjeve sa stajališta vremena računanja, tako da s današnjim računalima direktno rješavanje turbulentnog strujanja u tehničkoj praksi još uvijek ne dolazi u obzir.


2.6. Rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima

Promotrimo diferencijalnu jednadžbu drugog reda u kojoj je nepoznanica funkcija ( )y t , koeficijenti a , b i c su konstante, a funkcija ( )f t se smatra poznatom. Točkice nad y označuju vremenske derivacije. ( )ay by cy f t+ + = (2.58) Rješenje gornje jednadžbe se prikazuje zbrojem h py y y= + (2.59)

gdje je hy rješenje homogene diferencijalne jednadžbe (za ( ) 0f t = ), a py partikularno

rješenje (dolazi od ( )f t ). Homogeni dio rješenja se definira na temelju karakteristične jednadžbe, koja se dobije zamjenama: 2y r→ , y r→ i 1y → , nakon čega slijedi karakteristična kvadratna jednadžba

2 0ar br c+ + = , s korijenima

2

1,24

2b b acr

a− ± −

= (2.60)

Ovisno o korijenima karakteristične jednadžbe razlikujemo sljedeće slučajeve: 1) Korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti 1 1 2 2 i r R r R= = 1 2

1 2R t R t

hy C e C e= + (2.61) 2) Korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki 1 2r r R= = ( )1 2 1 2

Rt Rt Rthy C e C te C C t e= + = + (2.62)

3) Korijeni karakteristične jednadžbe konjugirano kompleksni 1,2r R iω= ±

( )1 2cos sinRthy e C t C tω ω= + (2.63)

Konstante 1C i 2C se određuju iz početnih uvjeta (za jednadžbu drugog reda treba zadati dva uvjeta). Jasno je da će homogeno rješenje za slučaj negativnog realnog dijela 0R < trnuti u vremenu, tj. homogeno rješenje nakon određenog vremena iščezava. S obzirom da su u homogenom rješenju sadržani početni uvjeti, u tom slučaju se gubi i njihov utjecaj. To će biti slučaj kada diferencijalna jednadžba opisuje ponašanje fizikalnog sustava s koncentriranim parametrima (npr. u elektrotehnici krug izmjenične struje sa zavojnicom, otpornikom i kondenzatorom ili sustav masa-prigušivač-opruga) gdje će koeficijenti u jednadžbi uvijek biti pozitivni, te realni dio rješenja karakteristične jednadžbe ne može biti pozitivan. Za slučaj

0b = (npr. električni krug bez otpornika ili mehanički sustav bez prigušivača) realni dio rješenja karakteristične jednadžbe će biti jednak nuli te ćemo imati neprigušene oscilacije. Ako je 0R > homogeni dio rješenja bi neprestano rastao u vremenu što označuje fizikalno neodrživo nestabilno rješenje. Partikularni dio rješenje se za određene oblike funkcije ( )f t određuje metodom neodređenih koeficijenata. Posebno je važno da partikularno rješenje možemo odrediti za slučaj sinusne i kosinusne funkcije. S obzirom da svaku periodičku funkciju možemo


prikazati Fourierovim redom, primjenjivost analitičkih rješenja iz sljedeće tablice dobiva na značaju. ( )f t Pretpostaviti partikularno rješenje py oblika:

nt ( )m nt At Bt C+ + + , m - red najniže derivacije u diferencijalnoj jednadžbi

i/ili sincos

a tb t

ωω

sin cosA t B tω ω+

i/ili sincos

kt

kt

ae tbe t

ω

ω ( )sin coskte A t B tω ω+

Primjer Potrebno je riješiti jednadžbu

d4 5 ; gdje je dyy y yx

′′ ′ ′+ = = (2.64)

uz početne uvjete za 0x = : (0) 1y = i ( )0 5y′ = . Rješenje homogenog dijela: ( )24 0 4 1 0r r r r+ = → + = (2.65)

1

41 2

2

0 1

4

x

h

ry C C e

r−

= ⎫⎪ = +⎬

= − ⎪⎭

(2.66)

Partikularno rješenje: Red najniže derivacije je 1m = 0p p py Ax y A y′ ′′= → = → = (2.67) 4 0 5 5A A⋅ + = → = (2.68) Konačno opće rješenje gornje jednadžbe je

4

1 2 5x

y C C e x−

= + + (2.69)

Konstante 1C i 2C se određuju iz početnih uvjeta. Za

2 4 54

xCy e−

′ = − + iz početnih uvjeta

slijedi 1 2 1C C+ = (2.70)

2 5 54

C− + = (2.71)

Iz gornjeg sustava jednadžbi slijedi 1C =1 i 2C =0, pa je konačno posebno rješenje gornje jednadžbe definirano zadanim početnim uvjetima 1 5y x= + (2.72)


2.7. Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda Želimo numerički riješiti diferencijalnu jednadžbu

( )d ,dyy f t yt

= = (2.73)

u vremenskom intervalu ( )0,T , uz početni uvjet 0(0)y y= . Pri numeričkom rješavanju problema ćemo vremenski interval podijeliti na N diskretnih

intervala veličine ThN

= , pri čemu treba voditi računa da veličina intervala bude dovoljno

mala, u odnosu na brzinu promjene funkcije ( )y t . Rješenje funkcije ( )y t će se definirati u diskretnim vremenskim trenutcima nt nh= , za 1,n N= , a vrijednosti funkcije u tim vremenskim trenutcima ćemo označavati ( )n ny t y= , a derivacije ( )n ny t y= . Pri numeričkom integriranju jednadžbe (2.73) potrebno je derivaciju y aproksimirati vrijednostima funkcije

ny i 1ny + , te uvrstiti u (2.73). S obzirom da je ny poznato, iz jednadžbe se može izračunati

1ny + . Postupak se ponavlja, počevši od 0y , dok se ne dođe do kraja intervala integracije. Postoji više načina aproksimacije derivacije y koje se temelje na razvoju funkcije u Taylorov red, a ovdje ćemo analizirati 3 načina. 1. Eulerova (eksplicitna) metoda. U ovoj metodi se funkcija razvija u Taylorov red u odnosu na točku nt u kojoj je poznata vrijednost funkcije ( )n ny t y= , a formula za Taylorov red glasi

1n n ny y y h+ = + 2 31 12 6n ny h y h+ + + (2.74)

Ako se uzmu samo prva dva člana ovog razvoja funkcije u Taylorov red, pri čemu je član s najvišom potencijom intervala h linearni član, dobije se eksplicitna aproksimacija funkcije prvog reda točnosti

1n nn

y yyh

+ −= 21 1

2 6n ny h y h− − − (2.75)

a zanemareni ostatak je

( ) 21 12 6n nO h y h y h= − − + (2.76)

u kojem je član najvišeg reda linearno razmjeran s h . Uvrštavanjem uokvirenog dijela izraza (2.75) u jednadžbu (2.73) dobije se ( )1 ,n n n ny y hf t y+ = + (2.77)

U gornjem izrazu funkcija ( ),n nf t y se može eksplicitno izračunati budući je ny poznato. S obzirom da je izraz (2.77) izveden uz pomoć formule za derivaciju koja je prvog reda točnosti (zanemareni ostatak, tj. pogreška aproksimacije je razmjerna s h ) očekuje se da će pogreška numeričke integracije biti dvostruko manja, ako se integracija provede s dvostruko manjim korakom integracije.


2. Implicitna metoda. Ako se funkcija ( )y t razvije u Taylorov red u okolini točke 1nt + na

kraju intervala onda je vrijednost funkcije ( )y t na početku intervala u točki nt t= jednaka

( )1 1n n ny y y h+ += + − ( ) ( )2 31 1

1 12 6n ny h y h+ ++ − + − + (2.78)

odakle slijedi formula

11

n nn

y yyh

++

−= 2

1 11 12 6n ny h y h+ ++ − + (2.79)

Zanemarivanjem ostatka

( ) 21 1

1 12 6n nO h y h y h+ += − + (2.80)

u formuli (2.79) i njeno uvrštavanje u (2.73) daje implicitnu formulu koja je također prvog reda točnosti ( )1 1 1,n n n ny y hf t y+ + += + (2.81)

Formula je implicitna, jer se u funkciji ( )1 1,n nf t y+ + pojavljuje nepoznata vrijednost 1ny + , što zavisno od oblika funkcije f može stvarati određene numeričke poteškoće. Što se tiče točnosti, implicitna metoda je, kao i jednostavnija eksplicitna, prvog reda točnosti. 3. Cranck-Nicholsonova metoda. Ako se funkcija ( )y t razvije u Taylorov red u okolini

točke sredine intervala 1 22n nt t h t += + = gdje je vrijednost funkcije ( )1 2 1 2n ny t y+ += , njene

derivacije ( )1 2 1 2n ny t y+ += i sl., onda je vrijednost funkcije ( )y t na kraju intervala u točki

1nt t += jednaka

2 3

1 1 2 1 2 1 2 1 21 1

2 2 2 6 2n n n n nh h hy y y y y+ + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.82)

a na početku intervala u točki nt t=

2 3

1 2 1 2 1 2 1 21 1

2 2 2 6 2n n n n nh h hy y y y y+ + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.83)

Oduzimanjem jednadžbe (2.83) od jednadžbe (2.82) slijedi formula oblika

11/ 2

n nn

y yyh

++

−= 2

1 2124 ny h+− + (2.84)

Zanemarivanjem ostatka s vodećim članom koji je razmjeran trećoj derivaciji i kvadratu koraka integracije

( )2 21 2

124 nO h y h+= − + (2.85)

dobije se Cranck-Nicholsonova aproksimacija koja je drugog reda točnosti ( )1 1/ 2 1/ 2,n n n ny y hf t y+ + += + (2.86) Naravno da je i ova formulacija implicitna, jer na desnoj strani jednadžbe treba izračunati derivaciju funkcije na sredini intervala, koju se može aproksimirati s ( ) ( ) ( )1/ 2 1/ 2 1 1, , , / 2n n n n n nf t y f t y f t y+ + + += +⎡ ⎤⎣ ⎦ , pa će se ovisno o obliku funkcije f jednadžba

(2.86) možda trebati rješavati iterativnim postupkom. S obzirom da je ostatak u jednadžbi (2.84) razmjeran kvadratu koraka integracije, dvostrukim smanjivanjem koraka integracije pogreška integracije će se smanjiti četiri puta.


Uočimo da su desne strane formule (2.75) za Eulerovu eksplicitnu metodu, formule (2.79) za implicitnu metodu i formule (2.84) za Cranck-Nicholsonovu metodu potpuno jednake, a da su prve dvije prvog reda točnosti, dok je zadnja drugog reda točnosti. Zapamtimo da će formula biti drugog reda točnosti ako se točka nalazi na sredini intervala, a za red točnosti niža ako je točka na rubu intervala. Točnost formule za prvu derivaciju u točki na rubu intervala se može povećati uzimanjem više točaka u obzir. Na primjer formula drugog reda točnosti za derivaciju ny definirana vrijednostima 1 2, i n n ny y y+ + se lako izvede iz razvoja funkcije u Taylorov red oko točke nt u točkama 1nt + i 2nt +

1n n ny y y h+ = + 2 31 12 6n ny h y h+ + + (2.87)

2 2n n ny y y h+ = + 2 31 14 82 6n ny h y h+ + + (2.88)

Množenjem jednadžbe (2.87) s četiri i oduzimanjem od jednadžbe (2.88), te dijeljenjem dobivene jednadžbe s 2 h slijedi

1 24 32

n n nn

y y yyh

+ +− −= 22

3 ny h− − (2.89)

Odakle se vidi da je ostatak razmjeran s kvadratom h , te govorimo o drugom redu točnosti. Iz izraza (2.87) i (2.88) se može izvesti i formula za aproksimaciju druge derivacije. Množenjem jednadžbe (2.87) s dva i oduzimanjem od jednadžbe (2.88), te dijeljenjem dobivene jednadžbe s 2h slijedi

1 22

2 n n nn

y y yyh

+ +− + += ny h− − (2.90)

Ostatak je razmjeran s h , te govorimo o formuli prvog reda točnosti. Da smo umjesto točaka 1 2, i n n ny y y+ + , koristili 1 1, i n n ny y y+ − , točka nt bi bila u sredini intervala, a formula za drugu

derivaciju bi glasila

1 22

2n n nn

y y yyh

+ +− += 21

12 ny h− − (2.91)

Što odgovara formuli drugog reda točnosti.

Primjer Kao primjer analizirat će se diferencijalna jednadžba prvog reda sljedećeg oblika

( )d 2 , 0 0dy y t yt= = = (2.92)

čije se opće rješenje može izračunati analitički i jednako je 2y t C= + (2.93) Uz zadani početni uvjet dobije se 0C = što daje egzaktno partikularno rješenje e 2y t= (2.94) Izrazi za numeričko rješavanje dane diferencijalne jednadžbe u ovom primjeru dobiju se uvrštavanjem derivacije u odgovarajućoj točki intervala u prije izvedene formule koje za Eulerovu eksplicitnu metodu (nadindeks „exp“), implicitnu metodu (nadindeks „imp“) i Cranck-Nicholsonovu metodu (nadindeks „CN“) imaju sljedeće oblike exp exp

1 2n n ny y t h+ = + (2.95) ( )imp imp

1 2n n ny y t h h+ = + + (2.96)

( )CN CN1 2 2n n ny y t h h+ = + + (2.97)


Ako se uzme npr. 1h = i 5N = dobije se t

e

2

yt

= exp

1exp 2n

n n

y

y t+ =

+

( )exp

e exp

y

y y

Δ =

−

( )

imp1

imp 2 1n

n n

y

y t+ =

+ + ( )imp

e imp

y

y y

Δ =

−

( )

CN1

CN 2 1 2n

n n

y

y t+ =

+ + ( )CN

e CN

y

y y

Δ =

−

0 0 0 - 0 - 0 - 1 1 0 1 2 1 1 0 2 4 2 2 6 2 4 0 3 9 6 3 12 3 9 0 4 16 12 4 20 4 16 0 5 25 20 5 30 5 25 0

Srednja pogreška 15/5=3 15/5=3 0/5=0 Vidljivo je da numerička rješenja dobivena Eulerovom eksplicitnom i implicitnom metodom sadrže pogrešku u odnosu na egzaktno rješenje, dok Cranck-Nicholsonova metoda daje točno rješenje. Naravno to je zato što je rješenje opisano kvadratnom funkcijom pa su treća i više derivacije, koje se nalaze u formuli za ostatak, vidjeti formulu (2.84), jednake nuli zbog čega je ostatak (pa onda i pogreška) jednak nuli. Da je rješenje bilo opisano polinomom višeg reda i Cranck-Nicholsonova metoda (shema) bi davala rezultat s određenom pogreškom, koja bi u svakom slučaju bila manja od pogreške metoda prvog reda točnosti. Metoda četvrtog reda točnosti bi dala točno rješenje opisano polinomom do četvrtog reda. Sljedeća tablica pokazuje rezultate dobivene Eulerovom eksplicitnom metodom, uz primjenu dvostruko manjeg koraka integracije ( 1/ 2h = i 10N = ).

t e

2

yt

= exp

1expn

n n

y

y t+ =

+ ( )exp

e exp

y

y y

Δ =

−

0 0 0 - 0,5 0,25 0 0.25 1 1 0,5 0.50

1,5 2,25 1,5 0.75 2 4 3 1.00

2,5 6,25 5 1.25 3 9 7,5 1.50

3,5 12,25 10,5 1.75 4 16 14 2.00

4,5 20,25 18 2.25 5 25 22,5 2.50

Srednja pogreška 13,75/10=1,375Očito je da se maksimalna pogreška smanjila dva puta, a prosječna pogreška i više. Zaključak:

1. Red točnosti formule za aproksimaciju funkcije definiran je najvišom potencijom h (koraka integracije) u ostatku dobivenom razvojem u Taylorov red.

2. Formule višeg reda točnosti daju na zadanom koraku integracije točnije rezultate. 3. Točnost rezultata može se povećati smanjenjem koraka integracije.


Za integriranje diferencijalnih jednadžbi se najčešće koristi Runge-Kutta metoda četvrtog reda točnosti (RK4), koja spada u porodicu prediktor-korektor metoda. Za problem definiran u općem obliku

( ) ( )0 0d , , dy y f t y y t yt= = = (2.98)

metoda se realizira po sljedećoj eksplicitnoj formuli

( )1 1 2 3 42 26n nhy y k k k k+ = + + + + (2.99)

gdje su ( )1 ,n nk f t y= (2.100)

2 1,2 2n nh hk f t y k⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.101)

3 2,2 2n nh hk f t y k⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.102)

( )4 3,n nk f t h y hk= + + (2.103) Ova metoda (i još neke druge) se već standardno nalazi u biblioteci rutina u većini matematičkih programa (Mathematica, MATLAB, MATCAD, a u programskom jeziku FORTRAN postoji matematička biblioteka s rutinama) za rješavanje sustava diferencijalnih jednadžbi prvog reda. U problemima kod kojih se derivacija naglo mijenja ("stiff" problemi) nužno je koristiti promjenjivi korak integracije, što je također već predviđeno u nekim gotovim rutinama.

2.8. Numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi višeg reda Diferencijalne jednadžbe višeg reda svode se na sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda uvođenjem novih varijabli. Na primjer, jednadžba ( )2 , y y f t y+ = (2.104)

S početnim uvjetima ( ) ( ) ( )0 C CC0 , 0 , 0y y y y y y= = = , se uvođenjem novih varijabli: , , y u y u v y u v= = = = = (2.105) Prevodi u sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda, s odgovarajućim početnim uvjetima

( ) ( )

( )( )

CC

C

0

, 2 , 0

, 0

, 0

v f t y u v y

u v u y

y u y y

= − =

= =

= =

(2.106)

Umjesto jedne diferencijalne jednadžbe trećeg reda dobije se sustav od tri diferencijalne jednadžbe prvog reda koji se rješava nekom od metoda (npr. RK4). Problem se nešto komplicira ako su zadani uvjeti na kraju intervala integracije (T ) ili mješovito, neki na početku, a neki na kraju.


Na primjer:

( )( )2

2 , 50

, 0 0

y t y T

u y t u

= =

= − = (2.107)

Ovaj problem se može rješavati kao problem početnih vrijednosti

( )( )

( ) ( )

0

2

int0

2 , 0

, 0 0

50 0

y t y y

u y t u

f y y T

= =

= − =

= − =

(2.108)

gdje je 0y nepoznata vrijednost koja se određuje iz dodatne jednadžbe iterativnim postupkom. Krene se od pretpostavljenog 0y , prve dvije jednadžbe se integriraju i ako treća jednadžba nije zadovoljena korigira se 0y i postupak ponavlja. Treća jednadžba se može riješiti Newton-Raphsonovom metodom u kojoj je potrebno još jednom integrirati prve dvije jednadžbe za 0 0δy y+ , te izračunati korekciju

( )( )

( )( ) ( )

0 00

0 0 00

0

δδ

f y f yy

f y y f yf yy

Δ = − = −+ −′

gdje je 0δy proizvoljno odabrana mala vrijednost koja služi za aproksimaciju derivacije u gornjem izrazu. Postupak se ponavlja dok pretpostavljena vrijednost 0 0y y+ Δ ne dade traženu vrijednost funkcije ( ) 50y T = , tj. dok razlika ( ) ( )int

0 50 0f y y T= − = , ne padne na vrijednost dovoljno blizu nule.

3. Osnovne jednadžbe dinamike fluida 36 / 173

3. Osnovne jednadžbe dinamike fluida Strujanje fluida opisano je osnovnim zakonima fizike: (I) zakonom očuvanja mase, (II) zakonom očuvanja količine gibanja i (III) zakonom očuvanja energije, kojima se pridružuje i II. zakon termodinamike, a koji govori o tome može li se neki proces ostvariti u prirodi. Svi se ti zakoni izvorno definiraju za materijalni volumen (koji se sastoji stalno od jednih te istih čestica fluida i ima ulogu tijela u mehanici, i zatvorenog termodinamičkog sustava u termodinamici), a primjenjuju za kontrolni volumen (volumen nepromjenjivog položaja oblika i veličine) ili proizvoljni volumen (volumen koji se može tijekom vremena mijenjati, poput unutrašnjosti prostora u cilindru motora s unutarnjim izgaranjem). Stoga će se prvo dati formulacija nabrojanih zakona za ova tri volumena, za koju je potrebno definirati izraze koji definiraju brzinu promjene veličine volumena.

a) Opći slučaj proizvoljnog volumena V čija se granica S giba brzinom iu Brzina promjene volumena je po definiciji

( ) ( )ddd d

V t t V tVt t

+ −= , a element površine dS

opisuje element volumena d(d ) d di iV u n t S= , što integrirano po površini S daje razliku volumena ( ) ( )dV t t V t+ − , te je konačno:

d d dd

ii i

iS V

V uu n S Vt x

∂= =

∂∫ ∫ (3.1)

Za granični prijelaz dV V→ vrijedi

( )d dd

di

i

V u Vt x

∂=∂

(3.2)

b) Slučaj proizvoljnog volumena je materijalni volumen MV čija se granica MS pomiče brzinom iv gibanja čestica ( i iu v= ), pa vremenska derivacija postaje materijalnom

derivacijom Md Dd DV Vt t→ , te se može pisati

M M

MM

D d dD

ii i

iS V

V vv n S Vt x

∂= =

∂∫ ∫ (3.3)

Pri graničnom prijelazu kada se materijalni volumen sažima u točku ( M MdV V→ ) odnosno česticu fluida, vrijedi ( )M

M

D dd

Di

i

V v Vt x

∂=∂

ili ( )M

M

D d1d D

i

i

Vvx V t∂

=∂

, gdje ( )MD dD

Vt

označuje brzinu promjene obujma

čestice fluida. c) Slučaj kontrolnog volumena (volumena s nepomičnom granicom 0iu = ) čiji je obujam

konstantan, pa vrijedi KVd 0dV

t= , što se dobije i iz općeg izraza uz 0iu = .


3.1. Opći oblik zakona očuvanja fizikalnog svojstva u materijalnom volumenu

Ekstenzivna fizikalna veličina F (koja može biti, masa, energija, količina gibanja, entropija i sl.) se može definirati po jediničnoj masi (specifično fizikalno svojstvo) d / dmϕ = F ili po jediničnom volumenu (volumenskom gustoćom) d / dVΦ = F . S obzirom da je masa definirana gustoćom d dm Vρ= vrijedi d d d = dm V Vϕ ρϕ Φ= =F , odakle je Φ ρϕ= . Općenito zakon očuvanja fizikalnog svojstva F se može formulirati riječima: Brzina promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena jednaka je izvoru ili ponoru tog fizikalnog svojstva. Izvor može biti raspodijeljen po prostoru (razmjeran volumenu) ili po površini materijalnog volumena (u tom slučaju izvor se prikazuje fluksom vektora kroz površinu, a taj se površinski integral primjenom Gaussove formule uvijek može svesti na volumenski integral). Ako se sa ϕ označi specifično fizikalno svojstvo (izraženo po jedinici mase), tada se može pisati

( )

( )

( ) ( )M M M

M

Volumenski dio Površinski dio

Brzina promjene Izvor ili ponorfizikalnog svojstva fizikalnog svojstvaunutar

D d d dD

t t t

V Sj j

V V S

V t

V S V S n St

ρϕ = +∫ ∫ ∫ (3.4)

Površinski dio izvorskog člana najčešće je povezan s difuzijskim procesima koji su posljedica postojanja gradijenta fizikalnog svojstva (npr. provođenje topline kroz granicu materijalnog volumena zbog postojanja gradijenta temperature). Ako se s Γ označi koeficijent difuzije, tada se može pisati

( ) ( ) MM M ( )

d d dt t

Sj j j

j j jS S V t

S n S n S Vx x xϕ ϕΓ Γ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ (3.5)

Brzinu promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena, tj. lijevu stranu jednadžbe (3.4), može se prikazati i u obliku

( ) ( )

( ) ( )( )M M M

D Dd d dD D

t t t

j

jV V V

vV V V

t t t xρ ϕρϕϕρϕ ρ

⎡ ⎤∂∂= = +⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ (3.6)

Uvrštavanjem izraza (3.5) i (3.6) u izraz (3.4) slijedi integralni oblik zakona očuvanja za materijalni volumen uz VS Sϕ=

( )

( )

( )

( )

( )

M

M M

MLokalna promjena Izvorski član

konvekcijski + difuzijski transport

d

d d

d

t

t t

t

jj jV

V Vj j

jS

v Vx x

V S Vt

v n Sx

ϕ

ϕρ ϕ Γρϕ

ϕρ ϕ Γ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞∂ ∂⎪ ⎪−⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠∂ ⎪ ⎪+ =⎨ ⎬∂ ⎛ ⎞∂⎪ ⎪−⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫∫ ∫

∫ (3.7)

Ako u gornjoj jednadžbi sažmemo materijalni volumen u česticu fluida i podijelimo cijelu jednadžbu s diferencijalnim volumenom, dolazimo do diferencijalnog oblika zakona očuvanja

( )

Izvorski članLokalna promjena

Konvekcija + difuzija

jj j

v St x x ϕ

ρϕ ϕρ ϕ Γ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.8)


3.2. Integralni oblici zakona očuvanja za proizvoljni i kontrolni volumen Polaznu osnovu za metodu konačnih volumena čine integralni oblici osnovnih zakona, za volumen koji ne mora biti materijalni. Najčešće se radi o kontrolnom volumenu (koji je nepromjenjive veličine, položaja i oblika), a može se raditi i o volumenu koji je promjenjiv u vremenu (npr. promjenjivi volumen unutrašnjosti cilindra motora pri analizi jednog takta), kada govorimo o proizvoljnom volumenu. Razlika između proizvoljnog i materijalnog volumena je u tome što kroz granicu proizvoljnog volumena postoji protok mase. Ako uočimo u nekom trenutku jedan materijalni volumen u polju strujanja, tada možemo zamisliti i jedan proizvoljni volumen koji se u tom trenutku poklapa s materijalnim volumenom. U trenutku poklapanja svi volumenski i površinski integrali po ta dva volumena su isti (dakle i sadržaji fizikalnog svojstva u ta dva volumena su isti). S obzirom da se granica materijalnog volumena giba brzinom jv gibanja čestica fluida, a proizvoljni volumen proizvoljnom brzinom ju , već u idućem trenutku će se volumeni razlikovati, pa će i sadržaji fizikalnog svojstva u ta dva volumena biti različiti. Iz toga zaključujemo da će i brzine promjene sadržaja fizikalnih svojstava u dva volumena biti različite. Brzina promjene sadržaja fizikalnog svojstva u proizvoljnom volumenu definirana je izrazom

( )

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

d

d d dd d d d dd d d

jj

j j

j

jV t V t V t V tu

u Vt x x

uVV V V V

t t t t xρϕ ρϕ

ρ ϕρϕ ρϕρϕ ρϕ

∂∂ ∂+

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞⎜ ⎟

∂⎜ ⎟ ∂= + = +⎜ ⎟ ∂ ∂⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

Dok je prema izrazu (3.6)

( )

( )( )

( )( )M M M

D d d dD

t t t

j

jV V V

vV V V

t t xρ ϕρϕ

ρϕ∂∂

= +∂ ∂∫ ∫ ∫

S obzirom da se u trenutku poklapanja dvaju volumena površinski i volumenski integrali ne razlikuju, oduzimanjem gornjih izraza dobije se

( ) ( )

( )( )

( )( )

M

dD dd dD d

dt

j j

jV t

V V tj j j

S t

v uV

xV Vt t

v u n S

ρ ϕ

ρϕ ρϕρ ϕ

⎧ ⎡ ⎤∂ −⎣ ⎦⎪⎪ ∂= + ⎨⎪ −⎪⎩

∫∫ ∫

∫ (3.9)

Primjenom izraza (3.9) na opći oblik zakona održanja (3.4), uz (3.5) dolazi se do integralnog oblika zakona očuvanja za proizvoljni (gibajući) volumen

( )

( )( ) ( )

d d d dd j j j

jV t S t V t

V v u n S S Vt x ϕ

ϕρϕ ρ ϕ− Γ⎡ ⎤∂

+ − =⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ (3.10)

Volumenski integral na lijevoj strani jednadžbe označuje brzinu promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar proizvoljnog volumena, površinski integral označuje konvekcijski i difuzijski protok fizikalnog svojstva kroz granicu proizvoljnog volumena (konvekcijski protok se odvija relativnom brzinom protjecanja j jv u− ), a integral na desnoj strani jednadžbe doprinos izvora odnosno ponora fizikalnog svojstva. U gornjoj jednadžbi se brzina ju pomicanja površine proizvoljnog volumena, smatra poznatom, te je moguće izračunati brzinu promjene obujma proizvoljnog volumena iz izraza (3.1)


( )

d dd j j

S t

V u n St= ∫ (3.11)

Numerički postupak se češće primjenjuje na kontrolni volumen (KV), koji je nepomičan ( ju =0), pa iz izraza (3.11) slijedi da je obujam kontrolnog volumena konstantan KV konst.V = , što znači da se operator vremenskog deriviranja ispred integrala po kontrolnom volumenu slobodno može uvesti pod integral i primijeniti samo na podintegralnu funkciju. U tom slučaju jednadžba (3.10) prelazi u sljedeći oblik integralnog oblika općeg zakona očuvanja za kontrolni volumen

( )

KV KV

Vektor protoka konv.+difuzija

Brzina promjene Netto protok fizikalnog svojstva kroz sadržaja fizikalnog svojstva unutarkontrolnog volumena

d dj jjV S

V v n St xρϕ ϕρ ϕ− Γ

⎛ ⎞∂ ∂+ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫KV

Brzina nastajanja(izvor) ili nestavanjakontronu površinu(ponor) fizikalnogsvojstva unutar kontronog volumena

dV

S Vϕ= ∫ (3.12)

Primijetimo da su integralni oblici općeg zakona očuvanja (3.7) za materijalni volumen i gornji izraz za kontrolni volumen, slični jer se izrazi razlikuju samo za područje integracije. Ako se u nekom trenutku kontrolni i materijalni volumen poklapaju, vrijednosti integrala će biti potpuno jednake. Razlika je samo u fizikalnom tumačenju pojedinih članova. Prvi član u gornjoj jednadžbi označuje ukupnu brzinu promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar kontrolnog volumena, dok istovjetni član za materijalni volumen označuje samo dio ukupne promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena nastao uslijed vremenske promjene polja ϕ . Isto tako član

KV

dj jS

v n Sρ ϕ∫ označuje promjenu sadržaja fizikalnog

svojstva unutar kontrolnog volumena nastao uslijed protjecanja fluida kroz kontrolnu površinu (naime fluid napuštajući kontrolni volumen iznosi sa sobom fizikalno svojstvo i obrnuto pri utjecanju ga unosi). Kroz materijalnu površinu nema protoka fluida, a istovjetni član u jednadžbi za materijalni volumen označuje dio ukupne promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena nastao zbog gibanja materijalnog volumena. Pomicanjem volumena, on napušta određeni prostor, a određeni osvaja. Budući je gustoća fizikalnog svojstva u tim prostorima različita, dolazi i do promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena.


3.3. Konvekcijski i difuzijski protoci kroz kontrolnu površinu Promotrimo sada pobliže karakter konvekcijskog i difuzijskog protoka fizikalnog svojstva kroz elementarnu površinu dS , kontrolnog volumena KVV prikazanom na donjoj slici. Konvekcijski protok kroz elementarnu površinu je definiran izrazom

S S S

dd

d d dj jmQ

v n S Q mρ ϕ ρ ϕ ϕ= =

U kojem j jv n označuje projekciju brzine na smjer normale, odnosno dj jv n t označuje visinu volumena fluida koji proteče kroz površinu dS u vremenu dt (osjenčani volumen na slici). Unutar toga volumena sadržana je određena količina fizikalnog svojstva, te je prolaskom osjenčanog volumena kroz površinu dS pronesena i ta količina fizikalnog svojstva od kontrolnog volumena prema njegovoj okolini. Protok je po definiciji jednak pronesenoj količini u jediničnom vremenu, a omjer volumena i vremena čini volumenski protok, a volumenski protok pomnožen s gustoćom čini maseni protok. Očito je konvekcijski protok fizikalnog svojstva razmjeran masenom protoku fluida kroz površinu dS (jačini konvekcije) i vrijednosti fizikalnog svojstva Sϕ na površini KVS i pozitivan je kada vektor brzine gleda u smjeru vektora vanjske normale, odnosno kada fluid napušta kontrolni volumen. Pozitivni protok fizikalnog svojstva, dakle, označuje iznošenje fizikalnog svojstva iz kontrolnog volumena. Ovaj protok je jednosmjeran i uvijek se odvija u smjeru vektora brzine.

Difuzijski protok kroz elementarnu površinu je definiran izrazom

ok KVKV okd dd d d

δ δ δjj

S Sn S S Sx n n n nϕ ϕ ϕ ϕ−Γ −Γ Γ Γ ϕ Γ ϕ∂ ∂ −

= ≈ − = −∂ ∂

iz kojeg je jasno da difuzijski protok zavisi od derivacije ϕ u smjeru normale. Ako se na normali uoče dvije simetrično smještene točke udaljene za δn , od kojih je jedna unutar kontrolnog volumena u kojoj je KVϕ ϕ= , a duga izvan (u okolini) u kojoj je okϕ ϕ= , aproksimacijom usmjerene derivacije dobije se da se difuzijski protok sastoji iz dva dijela: jednog pozitivnog koji govori o pronosu fizikalnog svojstva iz kontrolnog volumena u okolinu i drugi negativni koji govori o dotoku fizikalnog svojstva u kontrolni volumen iz okoline. Naravno da se oba protoka događaju istovremeno, a neto protok jednak je njihovoj razlici. Ako je KVϕ veće od okϕ kontrolni volumen će predavati fizikalno svojstvo okolini, i obrnuto. Ako je KVϕ jednako okϕ neće biti difuzijskog protoka. Dakle, za razliku od

VKV

SKV

δn jn

jv KVϕ

okϕ

Sϕ

dS


konvekcijskog protoka koji je jednosmjeran, možemo uočiti simetrični karakter difuzije po kojem se pronos istovremeno događa u oba smjera. Odnos veličina d / δS nΓ se naziva jačina difuzije i očito je da se izborom po volji malog δn uvijek može dobiti po volji velika jačina difuzije. Dakle, za slučaj pozitive jačine konvekcije (fluid izlazi iz kontrolnog volumena) definirane kao dnv Sρ (gdje je nv normalna komponenta brzine na kontrolnoj površini) kontrolni volumen će predavati okolini fizikalno svojstvo konvekcijskim protokom dn Sv Sρ ϕ i difuzijskim protokom ( ) KVd / δS nΓ ϕ , te primati iz okoline fizikalno svojstvo difuzijskim

protokom ( ) okd / δS nΓ ϕ . Odnosom jačine konvekcije i jačine difuzije je definiran Pecletov broj

d δdδ

n nv S v nPe Sn

ρ ρΓΓ

= = (3.13)

Naravno, ako želimo Pecletov broj koristiti kao kriterij važnosti konvekcijskog i difuzijskog prijenosa, onda ne možemo veličinu δn birati proizvoljno. Uzimajući u obzir da se jačina konvekcije množi s Sϕ , a jačina difuzije s razlikom KV okϕ ϕ− , veličinu δn u definiciji Pecletova broja ćemo tada definirati kao udaljenost na kojoj je razlika KV okϕ ϕ− istog reda veličine kao i Sϕ . U tom slučaju male vrijednosti Pecletova broja označuju dominantnost difuzijskog transporta, a velike vrijednosti dominantnost konvekcijskog transporta.

3.4. Osnovni zakoni mehanike fluida (konzervativne forme) Osnovni zakoni dinamike fluida su: zakon očuvanja mase, zakon očuvanja količine gibanja, zakon očuvanja momenta količine gibanja, zakon očuvanja energije te drugi zakon termodinamike (zakon stvaranja entropije). Za slučaj da nema momenata raspodijeljenih po masi i površini materijalnog volumena zakon momenta količine gibanja se svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja, pa ako se ta simetričnost pretpostavi, to znači da je jednadžba momenta količine gibanja već zadovoljena, pa ju nećemo uključivati u skup osnovnih jednadžbi. Isto tako entropija se pojavljuje samo u Gibbsovoj jednadžbi, pa tu jednadžbu možemo rješavati neovisno od preostalih, te ju nećemo uključivati u osnovni skup jednadžbi. Za slučaj homogenog savršenog plina imamo sljedeći sustav jednadžbi (vidjeti predavanja iz Mehanike fluida II) u kojem smo energijsku jednadžbu zamijenili jednadžbom unutarnje energije (prikazanom u obliku temperaturne jednadžbe): 1) Zakon održanja mase ili jednadžba kontinuiteta

( )

0j

j

vt x

ρρ ∂∂+ =

∂ ∂ (3.14)

2) Jednadžba količine gibanja

( ) ( ) ( )j iiji ji i

j j

v vvp f

t x xρρ

δ ρ∂∂ ∂

+ = − +Σ +∂ ∂ ∂

(3.15)

gdje je za stlačivo strujanje uz zanemarenje volumenske viskoznosti fluida, prema Newtonovom zakonu viskoznosti

23

j i kji ji

i j k

v v vx x x

μ μ δ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

Σ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (3.16)


3) Energijska jednadžba (jednadžba unutarnje energije za savršeni plin – jednadžba je uz primjenu kaloričke jednadžbe stanja i Fourierovog zakona toplinske provodnosti prikazana u obliku temperaturne jednadžbe)

( ) ( )H

v j jv iji

j j j j j

c v T vc T v Tp qt x x x x x

ρρλ

∂ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂+ = − +Σ + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(3.17)

gdje je Hq volumenska gustoća toplinskih izvora. 4) Toplinska jednadžba stanja za savršeni plin p RTρ= (3.18) U gornjim jednadžbama se viskoznost fluida μ , toplinska provodnost fluida λ , specifični toplinski kapacitet vc , plinska konstanta R , specifična masena sila if i toplinski izvori Hq smatraju poznatim veličinama, a nepoznanice su gustoća ρ , brzina iv , tlak p i temperatura T . Ako se radi o nestlačivom strujanju jednadžba (3.18) se zamjenjuje s ρ =konst., a jednadžba kontinuiteta poprima oblik / 0j jv x∂ ∂ = . Ponekad se navedeni sustav jednadžbi rješava u nešto modificiranim oblicima, o čemu će biti riječi kod analize pojedinih problema. Važno je uočiti da svi osnovni zakoni zadovoljavaju opći oblik zakona očuvanja, a jednadžbe se mogu zapisati kompaktno i u sljedećem obliku

j

j

FU Qt x

∂∂+ =

∂ ∂ (3.19)

gdje je U vektor nepoznanica, jF vektor vektora protoka i Q vektor izvorskih članova, kako slijedi

H

0 , ,

j

i j j i ji ji i

v j ij v ji

j j j

vU v F v v p Q f

c T T v vv c T p qx x x

ρ ρρ ρ δ ρρ ρ λ

= = + −Σ =∂ ∂ ∂− − + Σ +∂ ∂ ∂

(3.20)

Integralni oblik jednadžbe (3.20) za kontrolni volumen je

KV KV KV

d d dj jV S V

U V F n S Q Vt

∂+ =

∂∫ ∫ ∫ (3.21)

Integralni oblik jednadžbe (3.20) za proizvoljni volumen je

rel

( ) ( ) ( )

d d d dd j j

V t S t V t

U V F n S Q Vt

+ =∫ ∫ ∫ (3.22)

gdje reljF označuje izraze za vektore protoka fizikalnog svojstva u kojima se u konvekcijskom

protoku umjesto apsolutne brzine gibanja čestica fluida uzima relativna brzina, kao što je dano u sljedećoj tablici


( )( )( )

rel

j j

j j j i ji ji

j j vj

v u

F v u v p

Tv u c Tx

ρ

ρ δ

ρ λ

−

= − + −Σ

∂− −

∂

(3.23)

Uz to se mora uzeti i jednadžbu (3.11), koja govori o brzini promjene veličine samog proizvoljnog volumena.

4. Matematička priroda parcijalnih diferencijalnih jednadžbi 44 / 173

4. Matematička priroda parcijalnih diferencijalnih jednadžbi Ovdje će nas zanimati prvenstveno opća konvekcijsko- difuzijska jednadžba, koja u nekonzervativnom obliku, uz konstΓ = glasi

2

jj j j

v St x x x ϕϕ ϕ ϕρ ρ Γ∂ ∂ ∂+ − =

∂ ∂ ∂ ∂ (4.1)

što znači da je ona u općem slučaju kvazilinearna parcijalna diferencijalna jednadžba drugog reda. Ako su koeficijenti u jednadžbi konstantni, govorimo o linearnoj jednadžbi, a ako su koeficijenti funkcije prostornih i vremenske koordinate, te same veličine ϕ , govorimo o kvazilinearnoj jednadžbi. Ako su koeficijenti funkcija derivacije jednadžba je nelinearna. U razvijenom obliku ta jednadžba za dvodimenzijsko strujanje uz korištenje notacije 1x x≡ ,

2x y≡ , 1v u≡ , 2v v≡ ima oblik

2 2

2 2

IzvorskiLokalna članKonvekcija Difuzijapromjena

u v St x y x y ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕρ ρ ρ Γ Γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.2)

Za slučaj običnih diferencijalnih jednadžbi integracija se vrši u unaprijed zadanom smjeru, a kao rezultat integracije pojavljuju se konstante, koje određujemo iz početnih uvjeta. Za slučaj parcijalnih diferencijalnih jednadžbi integracijom bi se u općem rješenju pojavljivale funkcije integracije. Oblik tih funkcija bi se odredio iz rubnih uvjeta za svaki konkretan slučaj. Na primjer bezcirkulacijsko potencijalno optjecanje tijela je opisano Laplaceovom jednadžbom, a opće rješenje tog problema je zadano funkcijom površinske gustoće izvora/ponora po površini tijela u kombinaciji s paralelnim strujanjem. Do posebnog rješenja za bilo koje tijelo se dolazi određivanjem te funkcije gustoće izvora/ponora koja će zadovoljavati uvjet nepromočivosti površine tijela u svakoj točki površine. Dakle, problem je jednoznačno određen sustavom parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (kojih mora biti toliko koliko je nepoznanica) i rubnim uvjetima (koji su najčešće zadani po rubu područja proračuna, iako mogu biti zadani i u unutrašnjosti domene – sjetimo se rješenja strujanja u cijevi, gdje smo rekli da je brzina strujanja maksimalna u simetrali cijevi). U konvekcijsko-difuzijskoj jednadžbi razlikujemo lokalnu promjenu, koja je u funkciji konvekcijskog i difuzijskog prijenosa, te izvorskog člana. Difuzijski prijenos je posljedica događanja u mikro svijetu (na razini molekula), a taj smo prijenos u kontinuumu modelirali koeficijentom difuzije i gradijentom fizikalnog svojstva kojeg promatramo. Jasno je da će se ovaj transport odvijati sve dok postoji gradijent i da će difuzijski transport težiti ujednačavanju fizikalnog svojstva unutar domene proračuna, pa će polje fizikalnog svojstva pod djelovanjem procesa difuzije biti opisano glatkim funkcijama. Glatka rješenje su povoljna sa stajališta diskretnog opisa polja i dakako numeričkog rješavanja problema (u smislu točnosti). Za razliku od difuzijskog prijenosa koji je simetričnog karaktera, jer se odvija na sve strane, konvekcijski transport je jednosmjeran i uvijek se odvija i smjeru vektora brzine. Na primjer, ako u konvekcijsko-difuzijskoj jednadžbi (4.2) pretpostavimo stacionarni problem uz

konst.ρ = , konst.u = , konst.v = i konst.Sϕ = , te zanemarimo difuzijski transport, dobit ćemo jednadžbu koja opisuje samo konvekcijski prijenos

S

u vx y

ϕϕ ϕρ

∂ ∂+ =

∂ ∂ (4.3)


Ako je polje brzine v ui vj= + i gradijent fizikalnog svojstva grad i jx yϕ ϕϕ ∂ ∂

= +∂ ∂

, onda je

jasno da lijeva strana jednadžbe označuje skalarni umnožak gradv ϕ⋅ , odnosno projekciju vektora gradijenta na smjer brzine. Ako vektor brzine prikažemo njegovom apsolutnom vrijednošću 2 2V u v= + i jediničnim vektorom 0v , 0v Vv= , onda jednadžbu (4.3) možemo prikazati i preko usmjerene derivacije (u smjeru vektora brzine v )

S

Vv

ϕϕρ

∂=

∂ (4.4)

Iz jednadžbe (4.4) je jasno da ona definira samo promjenu polja ϕ u smjeru vektora brzine (posebno, za 0Sϕ = neće biti promjene polja ϕ u smjeru brzine) dok promjena polja ϕ u smjeru okomito na smjer brzine v može biti proizvoljna (uključujući i mogućnost postojanja diskontinuiteta). Donja slika shematski prikazuje rješenje za polje ϕ u polju konstantne brzine uz 0Sϕ = .

Slika 4.1 Rješenje konvekcijske jednadžbe pri konstantnom polju brzine za 0Sϕ =

Očito da jednadžba (4.4) propisuje promjenu ϕ duž karakteristike (ovdje je to strujnica) i za

0Sϕ = ϕ ostaje konstantno duž strujnice. Na svakoj karakteristici je potrebno zadati samo jedan podatak, a vrijednost ϕ na dvije strujnice, koliko god one bile blizu jedna drugoj, su potpuno nezavisne. U prikazanoj situaciji rubne uvjete je potrebno zadati na granicama OA i OB iz kojih karakteristika "izvire", a nije potrebno zadavati na granicama AC i BC, kroz koje strujnice napuštaju domenu. Ako postoji diskontinuitet u rubnim uvjetima, on će postojati i u rješenju. Kad bi rubni uvjeti bili vremenski promjenjivi (moguća je diskontinuirana promjena od 0ϕ = na 1ϕ = ) tada bi diskontinuitet putovao duž karakteristike. Mogućnost pojave diskontinuiteta u rješenju jednadžbe predstavlja osnovni problem za sve numeričke metode, jer da bi se diskontinuitet opisao točno diskretnim vrijednostima, korak diskretizacije bi morao težiti k nuli. To se pokazuje i kroz Fourierov red. Za opis glatke funkcije dovoljni su harmonici niskih frekvencija (velikih valnih duljina) za koje korak diskretizacije može biti velik, za razliku od diskontinuirane funkcije, koja se opisuje harmonicima visokih frekvencija (malih valnih duljina) za koje se traži vrlo mali korak diskretizacije. Parcijalne diferencijalne jednadžbe prema kojima je u području proračuna moguće definirati karakteristike se

u v

x

y

O A

B

v 1ϕ =

0ϕ =

0ϕ =

Strujnice su karakteristike

1ϕ =


klasificiraju kao jednadžbe hiperbolnog tipa, za razliku od slučaja u kojem realne karakteristike ne postoje, kada su one eliptičnog tipa. Iz prikazanog primjera je očito da je jednadžbe hiperbolnog tipa najbolje integrirati duž karakteristike, što je u osnovi ideja numeričke metode karakteristika. Međutim, ova metoda nije univerzalna jer je ograničena samo na rješavanje jednadžbi hiperbolnog tipa (što neće biti slučaj kad god se pojavi difuzija), pa se ne rabe u komercijalnim CFD paketima programa. Kombinacijom lokalne promjene i konvekcijskog prijenosa (npr. jednodimenzijsko nestacionarno strujanje) također se dolazi do hiperboličke jednadžbe, koja za konst.u = i

konst.Sϕ = glasi

DD

Su

t x tϕϕ ϕ ϕρ

∂ ∂+ = =

∂ ∂ (4.5)

koja kaže da je brzina promjene veličine ϕ čestice fluida jednaka izvorskom članu. Za slučaj 0Sϕ = ϕ čestice fluida ostaje konstantno. S obzirom da se čestice gibaju konstantnom

brzinom u u smjeru osi x , očito će karakteristike biti pravci u x t− ravnini, čiji je nagib definiran izrazom d / dx t u= . Donja slika ilustrira rješenje jednadžbe (4.5), za slučaj konstantne brzine u , 0Sϕ = i definirane početne i rubne uvjete. Rubni uvjet se definira samo na granici iz koje izvire karakteristika.

Slika 4.2 Ilustracija rješenja nestacionarne konvekcijske jednadžbe u 1D situaciji, pri

konstantnoj brzini i 0Sϕ =

4.1. Klasifikacija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi Bez ulaženja u izvod ovdje ćemo koristiti rezultat klasičnog prikaza iz teorije karakteristika za parcijalnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda oblika

2 2 2

2 2

02a b c

d e fx x y yx y

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

⎧∂ ∂ ∂ ⎪+ + = ∂ ∂⎨ + +∂ ∂ ∂ ∂ ⎪ ∂ ∂⎩

(4.6)

x

ϕ t

O

t1

( ),0xϕ = početni uvjet

( )1,x tϕ ( )0, 0tϕ = rubni uvjet:

karakteristike: d / dx t u=


U jednadžbi se mogu pojavljivati i derivacije prvog reda, ali se one ne promatraju jer se smanjivanjem karakterističnih dimenzija dx i dy uvijek može postići da su derivacije višeg reda dominantnije (sjetimo se da je odnos konvekcije (modelirane prvom derivacijom) i difuzije (modelirane drugom derivacijom) definiran Pecletovim brojem δ /Pe v nρ Γ= , kojeg uvijek možemo učiniti po volji malim izborom malog δn , tj. gledano lokalno u skali malog δn , druga derivacija je uvijek dominantnija od prve derivacije). Od derivacija u pojedinom smjeru uzima se dakle uvijek najviša derivacija, što čini principijelni dio parcijalne diferencijalne jednadžbe. Jednadžbe se klasificiraju prema predznaku diskriminante koja se dobije rješavanjem kvadratne jednadžbe

2

21,22 0 ; b b acak bk c k

a a−

+ + = = − ± (4.7)

a) 2 0b ac− < nema realnih karakteristika, sustav jednadžbi je eliptičan b) 2 0b ac− > postoje dvije realne i različite karakteristike, sustav jednadžbi je hiperboličan c) 2 0b ac− = postoje samo jedna realna karakteristika, sustav jednadžbi je paraboličan

4.1.1. Eliptične jednadžbe Tipičan primjer eliptične jednadžbe je Laplaceova jednadžba oblika

2 2

2 2 0x yϕ ϕ∂ ∂+ =

∂ ∂ (4.8)

za koju je 1a = , 0b = i 1c = , pa je diskriminanta negativna, što znači da nema realnih karakteristika. Znamo da Laplaceova jednadžba opisuje stacionarno polje temperature u krutini bez izvora topline. Npr. ako promatramo jednu pravokutnu ploču kojoj znamo temperaturu po njenom rubu, rješavanjem Laplaceove jednadžbe

2 2

2 2 0T Tx y

∂ ∂+ =

∂ ∂ (4.9)

možemo izračunati temperaturu u bilo kojoj unutrašnjoj točki ploče.

Slika 4.3 Primjer eliptičke zadaće – provođenje topline u ploči. Promjena temperature na bilo kojem rubu izazvat će promjenu temperature u točki P i obrnuto promjena temperature u točki

P izazvat će promjene temperatura na svim rubovima ploče Ako u području ploče uočimo jednu točku P, onda je jasno da će promjena temperature na bilo kojem rubu ploče izazvati i promjenu temperature u točki P. Vrijedi i obrnuto, ako u

P

T1

T2

T3

T4


točku P stavimo toplinski izvor koji će promijeniti temperaturu u točki P, tada će se uslijed difuzije promijeniti temperatura u svim točkama ploče. Možemo govoriti o zoni utjecaja i zoni zavisnosti za točku P. Očito će zona utjecaja biti čitavo područje ploče (jer promjena temperature u točki P mijenja temperaturu u čitavom području) i zona zavisnosti će biti čitavo područje ploče (jer promjena temperature u bilo kojoj točki ploče izaziva promjenu temperature u točki P). Ovo svojstvo se odražava i na numerički postupak. Ako ploču diskretiziramo na konačan broj volumena i u svakom centru volumena definiramo čvor u kojem računamo temperaturu, onda bi principijelno u diskretiziranim jednadžbama svaki čvor "komunicirao" sa svakim čvorom.

Slika 4.4 Minimalna računska molekula za slučaj rješavanja eliptičnih jednadžbi u 2D

situaciji Naravno da nije potrebno eksplicitno povezati svaki čvor sa svakim, već je dovoljno uzeti čvorove sa svih strana čvora P, a "komunikacija" će se vršiti posredno preko susjednih čvorova, u kojima stanje ovisi o stanju u njima susjednim čvorovima i tako redom. Stanje u čvoru P mora zavisiti minimalno od stanja u čvorovima W, S, E i N, pa minimalna računska molekula za dvodimenzijski eliptički problem mora uključivati čvorove P, W, S, E i N, prema slici. Diskretizacijom Laplaceove jednadžbe za svaku računsku molekulu (svaki volumen) dobije se jedna algebarska jednadžba, te spajanjem jednadžbi za sve volumene slijedi sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Jasno je da se za slučaj eliptičkog sustava jednadžbi treba zadati temperatura po svim rubovima ploče (rubni uvjeti). Poissonova jednadžba (nehomogena Laplaceova jednadžba) i opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba za stacionarno strujanje (bilo dvodimenzijsko ili trodimenzijsko) su također eliptičke jednadžbe.

P

N

E

S

W


4.1.2. Hiperboličke jednadžbe Tipični predstavnik hiperboličkih jednadžbi je valna jednadžba (vidjeti jednadžbu širenja slabih tlačnih poremećaja u predavanjima iz kolegija Dinamika plinova) koja u jednodimenzijskoj situaciji ima oblik

2 2

202 2 0c

t xϕ ϕ∂ ∂− =

∂ ∂ (4.10)

Usporedbom koeficijenata u jednadžbi (4.10) s koeficijentima u jednadžbi (4.6) slijedi da je 1a = , 0b = i 2

0c c= − , tj. 2 20 0b ac c− = > , što znači da je jednadžba hiperboličnog tipa. To je

poznata činjenica, jer znamo da titrajuća membrana postavljena u dugoj cijevi, kojoj se os

poklapa s osi x, izaziva poremećaje koji se šire u pozitivnom smjeru osi x brzinom 0ddx ct= i

u negativnom smjeru osi x brzinom 0ddx ct= − . Donja slika shematski prikazuje sliku

karakteristika za valnu jednadžbu.

Slika 4.5 Karakteristike, područja zavisnosti i utjecaja za hiperbolične jednadžbe u 2D

situaciji Točke A, B i C na osi x se odnose na trenutak 0t = (početni uvjeti) u kojima treba poznavati vrijednost varijable ϕ . Iz svake točke moguće je povući dvije karakteristike C+ definiranu s

0ddx ct= i C− definiranu s 0

ddx ct= − (vidi točku B). Stanje u nekoj točki P unutar područja

proračuna definirano je presjekom dviju karakteristika C+ (povučene iz točke A) i C− povučene iz točke B (vidi sliku). Područje zavisnosti točke P je trokut ABP, tj. promjenom stanja u bilo kojoj točki toga trokuta promijenit će se stanje u točki P. Promjena stanja u bilo kojoj točki izvan toga trokuta neće izazvati promjenu stanja u točki P. Isto tako, poremećaj koji nastane u točki P širit će se duž karakteristika C+ i C− koje izlaze iz točke P, pa taj poremećaj ima utjecaja u području između karakteristika C+ i C− (zona utjecaja točke P).

C+ C−

C+

C+

C−

C− P

x A B C

D

E

x=0 x=L

t=0

t

područje zavisnosti

područje utjecaja


Iz prethodne slike je jasno da u početnom trenutku ( 0t = , tj. os x na segmentu AC) u svakoj točki treba zadati dva podatka: vrijednost varijabli na karakteristikama C+ i C− , dok u rubnim točkama 0x = i x L= treba u svakom vremenskom trenutku znati po jedan podatak (vrijednost varijabli na karakteristikama C+ ili C− ovisno koja od karakteristika izvire na kojem rubu). Za slučaj hiperboličkih jednadžbi moguće je definirati numeričku metodu karakteristika, koja je puno jednostavnija nego za slučaj eliptičkog tipa jednadžbi. Sljedeća slika prikazuje područje proračuna u kojem su definirane točke u kojima tražimo rješenje jednadžbi. Točke 0T do TN se odnose na početni vremenski trenutak, u njima su poznate vrijednosti nepoznanica, a pretpostavimo da se nalaze na konstantnom razmaku xΔ . Točke 0P do PN se odnose na novi vremenski trenutak tΔ i u njima se traže vrijednosti nepoznatih veličina. Iz svake točke Pi moguće je povući dvije karakteristike C+ i C− prema starom vremenskom trenutku, koji sijeku os x u točkama R i S. Vrijednosti veličina u točkama R i S moguće je odrediti npr. linearnom interpolacijom iz točaka 1Ti− i Ti , odnosno Ti i 1Ti+ . Integracijom jednadžbi duž karakteristika C+ i C− dolazi se do vrijednosti nepoznanica u točki Pi . Postupak je isti za sve točke 1P do 1PN− , a izuzetak su točke 0P i PN iz kojih izlazi samo jedna karakteristika, te je potreban po jedan rubni uvjet da bi se odredilo stanje u točkama 0P i PN . U opisanoj metodi karakteristika postoji ograničenje u veličini vremenskog koraka integracije. Karakteristike iz točke Pi moraju presijecati os x u točkama R i S koje se nalaze između točaka Ti i 1Ti− , odnosno Ti i 1Ti+ .

Slika 4.6 Ilustracija primjene metode karakteristika pri rješavanju nestacionarne hiperbolične

jednadžbe u 1D situaciji

Poznato je da se tlačni poremećaji u fluidu šire brzinom zvuka u odnosu na česticu fluida. Ako je gibanje čestice podzvučno, tlačni poremećaj će se moći širiti na sve strane (i dolaziti sa svih strana), što odgovara eliptičkoj situaciji. U nadzvučnom strujanju poremećaj se širi samo unutar Machova konusa, što odgovara hiperboličkoj situaciji. Pri nadzvučnom optjecanju oblih tijela pojavljuje se udarni val koji se nalazi ispred tijela, a između udarnog vala i tijela postoji zona podzvučnog strujanja. U toj zoni jednadžbe koje opisuju to strujanje imaju eliptički karakter, a u zoni nadzvučnog strujanja hiperbolički. U takvom slučaju (mješovitog tipa jednadžbi) metodu karakteristika nije moguće koristiti. Primjeri uspješne primjene metode karakteristika su jednodimenzijsko stacionarno strujanje fluida u cjevovodu i dvodimenzijsko nadzvučno optjecanje tankih tijela, kod kojih se pojavljuju slabi kosi udarni

tΔ

tΔ

T0 T1 Ti-1 Ti Ti+1 TN-1 TN

P0 P1 Pi-1 Pi Pi+1 PN-1 PN

R SC+ C− C− C+

x

t

xΔ xΔ


valovi, pa je strujanje u čitavom području nadzvučno, tj. opisano hiperboličkim tipom jednadžbi.

4.1.3. Parabolične jednadžbe Tipičan primjer parcijalne diferencijalne jednadžbe paraboličnog tipa je jednadžba nestacionarnog provođenja topline, koja za slučaj jednodimenzijskog provođenja ima oblik

2

2 0T Tt c x

λρ

∂ ∂− =

∂ ∂ (4.11)

S obzirom da je izostala druga derivacija po vremenu, diskriminanta je 2 0b ac− = . Vremenska koordinata je tipična parabolička koordinata, što znači da se informacija o polju T može širiti samo iz sadašnjosti u budućnost, a nikad obrnuto. Drugim riječima na događaj iz sadašnjosti imaju utjecaja samo događaji iz prošlosti, a budući događaji ne mogu imati utjecaja na događanja u sadašnjosti. S obzirom da se u općoj konvekcijsko-difuzijskoj jednadžbi pojavljuje samo prva derivacija po vremenu (dok po prostornim koordinatama imamo druge derivacije) jasno je da nestacionarni problem spada u klasu paraboličkih problema, što znači da će numerički postupak imati marširajući karakter po vremenskoj koordinati. Kod paraboličkog tipa jednadžbi možemo reći da su se karakteristike koje prolaze točkom P, prema slici 4.5 za jednadžbe hiperboličkog tipa, sklopile u jednu, tako da zona zavisnosti točke P postaje cijela prošlost, a zona utjecaja cijela budućnost, kao što prikazuje slika 4.7. Ako spoj budućnosti i prošlosti označimo kao sadašnjost, onda je jasno da sadašnjost pripada i području utjecaja i području zavisnosti, što znači da će promjena stanja u bilo kojoj točki iz sadašnjosti imati utjecaja na stanje u točki P, i obrnuto promjena stanja u točki P, imat će utjecaja na stanja u svim točkama iz sadašnjosti. Iz slike 4.7 je jasno da kod paraboličnog problema trebamo zadati početne uvjete ( 0t = , 0 x L< < ) i rubne uvjete na 0x = i x L= tijekom vremena integracije int0 t t< < . Kao i u slučaju hiperboličkih jednadžbi numerički postupak će imati marširajući karakter po vremenskoj (paraboličkoj) koordinati.

Slika 4.7 Područja zavisnosti i utjecaja za paraboličnu jednadžbu u 2D situaciji

P

x A C x=0 x=L

t=tint t

područje zavisnosti

područje utjecaja

sadašnjost

budućnost

prošlost


4.2. Vremenska integracija S obzirom da se kod paraboličkih jednadžbi integracija vrši u unaprijed poznatom smjeru (ovdje u smjeru vremenske koordinate), kao i kod običnih diferencijalnih jednadžbi, za njihovu integraciju će se moći koristiti iste metode kao i kod običnih diferencijalnih jednadžbi. Naime, u svakoj točki prostora u zadanom vremenskom trenutku je prema polaznoj

jednadžbi (4.11) moguće definirati vremensku derivaciju Tt

∂∂

, pa npr. za trenutak sadašnjosti

možemo to shvatiti kao sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje možemo riješiti metodom Runge-Kutta ili nekom drugom metodom. Vrijeme je tipična parabolička koordinata, te će se ovdje postupak integriranja objasniti na vremenskom integriranju, iako i prostorna koordinata može biti parabolička (npr. koordinata u smjeru strujanja u graničnom sloju, kao što će kasnije biti pokazano), te se i u tom slučaju može primijeniti analogni postupak.


4.2.1. Eulerova eksplicitna metoda Jedna od takvih metoda je Eulerova eksplicitna metoda u kojoj se derivacija T t∂ ∂ zamjenjuje formulom za diferenciranje unaprijed. Slika 4.8 prikazuje vremensko-prostornu mrežu za rješavanje jednadžbe jednodimenzijskog nestacionarnog provođenja topline. Svaki čvor označen je parom indeksa (indeks n za vrijeme i indeks i za prostornu koordinatu), pri čemu indeks n označuje sadašnjost, a sve niže vrijednosti tog indeksa prošlost. Temperature u čvorovima iz prošlosti su poznate, a treba odrediti temperature u čvorovima iz sadašnjeg trenutka. U eksplicitnoj Eulerovoj metodi se u čvoru ( ), 1i n − prema polaznoj jednadžbi (s obzirom da su u trenutku 1n − sve temperature poznate) može izračunati derivacija

11

nni

i

T Lt

−−∂

=∂

, gdje 1niL − označuje prostornu diskretizaciju izraza

2

2

Tc xλρ

∂∂

definiranu

temperaturama iz prošlog vremenskog trenutka, npr. primjenom sheme centralnih razlika:

( )

1 12 1 1 11 1 1

22

2n n n n n

n i i ii

ii

T T T TLc x c xλ λρ ρ

− − − − −− − +∂ − += =

∂ Δ.

Gornja formula je drugog reda točnosti, a ako bi se uključilo više čvorova moglo bi se dobiti i formulu višeg reda točnosti. Ako vremensku derivaciju zamijenimo formulom za diferenciranje unaprijed (koja je kao što smo prije pokazali prvog reda točnosti) slijedi

( )1 1

1 1 1 11 1, , ,...

n n nn n n ni ii i i i

i

T T T L T T Tt t

− −− − − −

+ −

∂ −= =

∂ Δ (4.12)

tada je jasno da je u prethodnoj jednadžbi nepoznanica samo vrijednost niT , koja se može

izračunati neovisno od ostalih nepoznatih temperatura iz sadašnjeg vremenskog trenutka. Na donjoj slici je žutom bojom označen čvor u kojem su uz pomoć razvoja u Taylorov polinom definirane vremenska i prostorna derivacija, a crtkanom linijom su označeni čvorovi koji ulaze u diskretiziranu jednadžbu pri primjeni Eulerove metode za vremensku derivaciju i formule centralne diferencije za prostornu derivaciju. Prema tome, ova metoda ne zahtijeva rješavanje sustava jednadžbi, kao što je to slučaj kod eliptičkih jednadžbi. Problem s ovom metodom je da je ona prvog reda točnosti i što ima ograničenje na veličinu vremenskog koraka integracije (postoji uvjet stabilnosti metode, koji ćemo kasnije obrazložiti).

Slika 4.8 Računalna molekula pri primjeni Eulerove eksplicitne metode pri rješavanju

parabolične diferencijalne jednadžbe

1 2 i i+1 i-1 N

n

n-1

n-2

1

2

sadašnjost

prošlost tΔ


4.2.2. Implicitna metoda Problem ograničenja vremenskog koraka integracije (uvjet stabilnosti) vremenske integracije ne postoji u implicitnoj Eulerovoj metodi, u kojoj se operator L definira u sadašnjem vremenskom trenutku, pa dobijemo

( )1

1 1, , ,...n n n

n n n ni ii i i

i

T TT L T T Tt t

−

+ −

−∂= =

∂ Δ (4.13)

Donja slika prikazuje žutom bojom točku u kojoj se razvojem polja T u Taylorov polinom izvode izrazi za vremensku i prostornu derivaciju, a točkastom linijom su okruženi čvorovi koji ulaze u formulu (4.13), za slučaj prostorne derivacije aproksimirane formulom centralne diferencije. Iz gornjeg izraza je jasno da se u njemu pojavljuje više temperatura iz sadašnjeg vremenskog trenutka (nepoznanica), pa ova metoda (kad se postave analogni izrazi za sve čvorove) rezultira sustavom algebarskih jednadžbi koje treba rješavati. Ako usporedimo veličinu sustava algebarskih jednadžbi u dvodimenzijskom eliptičkom problemu (koji sadrži nepoznanice svih čvorova iz dvodimenzijskog područja) i u slučaju paraboličkog problema (gdje se u svakom trenutku rješava sustav s nepoznanicama u čvorovima) onda je jasno da se u slučaju paraboličkih jednadžbi rješava manji sustav jednadžbi (ali više puta), što je uglavnom povoljnije.

Slika 4.9 Računalna molekula pri primjeni implicitne metode pri rješavanju parabolične diferencijalne jednadžbe

1 2 i i+1 i-1 N

n

n-1

n-2

1

2

sadašnjost

prošlost tΔ


4.2.3. Implicitna metoda drugog reda točnosti Implicitna metoda, dakle, nema ograničenja na vremenski korak integracije, ali je kao i eksplicitna metoda samo prvog reda točnosti. Točnost vremenske integracije može se povisiti na drugi red točnosti uvođenjem dva koraka iz prošlosti, kao što prikazuje sljedeća slika. Razvojem polja T u Taylorov red oko točke (i,n) može se pisati

2 31 2 3

2 3

2 32 2 3

2 3

1 1 ...2 6

82 2 ...6

n nnn n

i ii i i

n nnn n

i ii i i

T T TT T t t tt t t

T T TT T t t tt t t

−

−

∂ ∂ ∂= − Δ + Δ − Δ +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − Δ + Δ − Δ +

∂ ∂ ∂

(4.14)

Eliminacijom druge derivacije po vremenu iz gornja dva izraza slijedi formula drugog reda točnosti za vremensku derivaciju

( )1 2

23 42

n n n ni i i

i

T T TT tt t

− −− +∂= +Ο Δ

∂ Δ (4.15)

Slika 4.10 Računalna molekula pri primjeni implicitne metode drugog reda točnosti pri

rješavanju parabolične diferencijalne jednadžbe Tako bi implicitna metoda drugog reda točnosti bila

( )1 2

1 13 4 , , ,...

2

n n nn n n ni i i

i i iT T T L T T T

t

− −

+ −

− +=

Δ (4.16)

Jasno je da će ova metoda zahtijevati memoriranje dva posljednja koraka iz prošlosti (povećani zahtjevi za memorijom), a u prvom koraku integracije (kada započinjemo integraciju od početnih uvjeta) nemamo 2n

iT − .

1 2 i i+1 i-1 N

n

n-1

n-2

1

2

sadašnjost

prošlost tΔ


4.2.4. Cranck-Nicholsonova metoda Kao što je poznato, približni izraz za vremensku derivaciju

1n n n

i i

i

T TTt t

−−∂=

∂ Δ (4.17)

je drugog reda točnosti ako se odnosi na točku u sredini integrala, što znači da bi prostorne

derivacije u operatoru L trebali računati u sredini intervala, tj. u vremenu 2tt Δ

− . S obzirom

da u tom vremenskom trenutku nemamo vrijednosti varijable T , odredit ćemo ih s pomoću linearne interpolacije (koja će također biti drugog reda točnosti, pa neće narušiti točnost aproksimacije vremenske derivacije), tj.

( )1

12 12

n n ni i iT T T− −= + (4.18)

pa će metoda glasiti

( )11

1 1 121 1 1 1, , ,..., , ,

n n n n n n n n ni ii i i i i i i

T T L T T T T T Tt

− − − − −+ − + −

−=

Δ (4.19)

Ova metoda je poznata pod imenom Cranck-Nicholsonova metoda. Ona je, također, implicitna (zahtijeva rješavanje sustava algebarskih jednadžbi), nema ograničenja na vremenski korak integracije i drugog je reda točnosti.

Slika 4.11 Računalna molekula pri primjeni Cranck-Nicholsonove metode drugog reda

točnosti pri rješavanju parabolične diferencijalne jednadžbe

1 2 i i+1 i-1 N

n

n-1

n-2

1

2

sadašnjost

prošlost tΔ


4.2.5. Prediktor-korektor metode Eksplicitne metode su prvenstveno zanimljive jer ne zahtijevaju rješavanje sustava algebarskih jednadžbi (na što otpada dobar dio računalnog vremena pri integriranju jednadžbi implicitnim metodama). Red točnosti eksplicitne Eulerove metode se može povećati kroz primjenu prediktor-korektor metode (u koje spadaju i Runge-Kutta metode). Prediktor- korektor metoda drugog reda točnosti bi sadržavala dva koraka. Prediktor korak odgovara Eulerovoj eksplicitnoj metodi

( )1

1 1 1 11 1, , ,...

n nn n n ni ii i i i

T T L T T Tt

−− − − −

+ −

−=

Δ (4.20)

gdje T označuje rješenje prediktorskog koraka, a koje je jednako rješenju Eulerove eksplicitne metode. S tim rješenjem možemo izračunati vremensku derivaciju u sadašnjem vremenskom trenutku i temeljem toga korigirati rješenje T . U korektorskom koraku je

( )1

11 1, , ,...

n nn n n ni ii i i i

T T L T T Tt

−−

+ −

−=

Δ (4.21)

a konačno rješenje je

( )12

n n ni i iT T T= + (4.22)

Ovu metodu dakle možemo shvatiti kao približnu Cranck-Nicholsonovu metodu, u kojoj su vrijednosti n

iT u sadašnjem trenutku (koje se traže) zamijenjene s približnim vrijednostima dobivenim Eulerovom eksplicitnom metodom. Očito će se u ovoj metodi zahtijevati računanje operatora L dva puta što je skuplje, ali je zato metoda drugog reda točnosti, što je naročito važno kod nelinearnih problema (kod kojih se i koeficijenti u jednadžbama mijenjaju s promjenom varijable koju rješavamo). U Runge-Kutta metodi četvrtog reda točnosti bi operator L morali računati četiri puta.


Kao što je rečeno, vrijeme je tipična parabolična koordinata i numerički postupak će uvijek imati marširajući karakter po toj koordinati. Paraboličnost vremenske koordinate u općoj konvekcijsko-difuzijskoj jednadžbi se očituje kroz izostanak druge derivacije po vremenu, dok druga derivacija po prostornim koordinatama (difuzija) postoji. Međutim, i prostorna koordinata može postati parabolična koordinata. Tipičan primjer su jednadžbe graničnog sloja u dvodimenzijskoj situaciji. Ako s x označimo koordinatu u smjeru strujanja, a s y koordinatu okomito na stijenku (po debljini graničnog sloja) tada iz procjene reda veličine pojedinih članova slijedi da se difuzija u smjeru strujanja može zanemariti, što znači da x -komponenta jednadžbe količine gibanja glasi

2

2

u u u pu vx y y x

ρ ρ μ∂ ∂ ∂ ∂+ − = −

∂ ∂ ∂ ∂ (4.23)

što znači da je x -koordinata postala parabolična koordinata (jer je izostala druga derivacija po x -koordinati). U tom smislu numerički postupak može imati marširajući karakter po toj koordinati.

Slika 4.12 Shematski prikaz područja integracije i marširajućeg numeričkog postupka za

slučaj rješavanja 2D problema graničnog sloja

granični sloj

Rubni uvjeti na stijenci

Rubni uvjeti po vanjskom rubu

Početni uvjeti

x

y

Nisu potrebni rubni uvjeti po izlaznoj granici

smjer marširanja se poklapa sa smjerom strujanja


Drugi primjer paraboličnog sustava jednadžbi je onaj koji opisuje strujanje fluida u dugim cijevima. Dovoljno daleko od ulaza u cijev strujanje se ustalilo, te nema promjene profila brzine u smjeru strujanja, tj. druga derivacija brzine u smjeru strujanja se može zanemariti, što znači da je koordinata koja gleda u smjeru strujanja parabolična koordinata, te rubne uvjete na izlazu iz cijevi nije potrebno zadavati. Za slučaj stacionarnog strujanja fluida opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba je eliptička jednadžba za čije je rješenje potrebno znati rubne uvjete po svim rubovima. Često to neće biti jednostavno, kao u sljedećem primjeru strujanja fluida u cijevi s naglim proširenjem u kojem se pojavljuje odvajanje strujanja.

Slika 4.13 Primjer nepravilnog i pravilnog izbora izlazne granice, pri strujanju u naglom

proširenju Ulaznu granicu biramo dovoljno ispred naglog proširenja, a na ulaznoj granici propisujemo profil brzine iz razvijenog strujanja u cijevi. Na stijenci su rubni uvjeti dobro definirani. U izlaznom presjeku nemamo točne informacije o rubnim uvjetima. Izlaznu granicu stoga treba izabrati dovoljno daleko od vrtloga gdje vrijede uvjeti paraboličnosti, tako da rubni uvjet ne

treba zadavati, odnosno da vrijedi 2

2 0xϕ∂=

∂.

U slučaju vanjske zadaće (optjecanje tijela) rubove treba postaviti dovoljno ispred i daleko od tijela tako da vrijede uvjeti neporemećenog strujanja, a iza tijela da vrijede uvjeti paraboličnosti. Pri tome treba voditi računa da će se uz stijenku tijela formirati granični sloj u kojem treba formirati gušću geometrijsku mrežu. Granični sloj je to tanji što je Reynoldsov broj veći (jer je relativni utjecaj viskoznosti manji). Pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja (npr reda veličine jedan), što označuje veliki utjecaj viskoznih sila, prestaje vrijediti teorija graničnog sloja, što znači da se utjecaj viskoznosti ne ograničuje uz samu stijenku, nego se širi daleko od stijenke. U tom smislu geometrijska mreža neće trebati biti tako gusta uz stijenku, kao pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja, ali će vanjski rub područja proračuna morati biti daleko od samog tijela. To znači da će geometrijske mreže za proračunu opstrujavanja jednog te istog tijela pri niskim i visokim vrijednostima Reynoldsova broja (npr. reda veličine 108) izgledati potpuno različito.

loš izbor izlazne granice

dobar izbor izlazne granice

ulazna granica


Zapamtimo: 1. U eliptičkim jednadžbama drugog reda koeficijenti uz drugu derivaciju su istog

predznaka. Eliptičke jednadžbe zahtijevaju numerički postupak u kojem su nepoznanice u svim čvorovima mreže simultano povezane, a rubne uvjete je potrebno zadavati po svim rubovima područja proračuna.

2. Hiperbolička jednadžba drugog reda ima jedan koeficijent uz drugu derivaciju različitog predznaka od preostalih. U području proračuna postoje realne karakteristike duž kojih se mogu definirati obične diferencijalne jednadžbe. Numerički postupak je eksplicitan (integracija duž karakteristike). Na svakoj granici je potrebno zadavati onoliko rubnih uvjeta koliko karakteristika izvire iz ruba.

3. U paraboličkim jednadžbama izostaje druga derivacija po nekoj od koordinata (ta se koordinata naziva paraboličkom koordinatom). Numerički postupak ima marširajući karakter po paraboličkoj koordinati. Rubni uvjet na kraju područja integracije nije potrebno zadavati. Numerički postupak može biti eksplicitan (nema rješavanja sustava jednadžbi) ili implicitan (rješava se sustav algebarskih jednadžbi u svakom koraku marširajućeg postupka).

Opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba formulirana za slučaj nestacionarnog problema se može zapisati u obliku

( ) ( ), ,iL S x tt ϕϕ ϕ ϕ∂+ =

∂ (4.24)

gdje ( )L ϕ označuje diferencijalni operator drugog reda, koji opisuje konvekcijski i difuzijski fluks fizikalnog svojstva ϕ , a Sϕ izvorski član. Vrijeme t je parabolična koordinata, po kojoj numerički postupak ima marširajući karakter. Jednoznačno rješenje gornje jednadžbe definirano je početnim i rubnim uvjetima. Početni uvjeti definiraju raspodjelu ϕ u početnom trenutku integracije 0t t= , a rubni uvjeti stanje na rubu područja proračuna tijekom vremena. Razlikujemo tri vrste rubnih uvjeta: 1. Dirichletov rubni uvjet: po rubu je zadana vrijednost ϕ , tj. ( )zadano ,ix tϕ ϕ= 2. Von Neumanov rubni uvjet: po rubu je zadana derivacija ϕ u smjeru vanjske normale,

tj. ( ),if x tnϕ∂=

∂

3. Mješoviti rubni uvjet: po rubu je zadana kombinacija vrijednosti ϕ i derivacije u

smjeru normale: ( ),if x tnϕαϕ β ∂

+ =∂

.

Primjer za Dirichletov rubni uvjet, kada se radi o rješavanju temperaturne jednadžbe, je izotermna granica ( zadanoT T= ), primjer za Von Neumanov rubni uvjet je adijabatska granica ( / 0T n∂ ∂ = ), a za mješoviti rubni uvjet zadavanje prijelaza topline sa stijenke na fluid uz pomoć koeficijenta prijelaza topline. Ako se temperatura fluida podalje od stijenke označi s T∞ , a temperaturu same stijenke s T , tada se vrijednost vektora toplinskog toka od fluida na površinu može izraziti kao ( )T Tα ∞ − . Toplina se od površine odvodi provođenjem prema unutrašnjosti tijela, toplinskim tokom koji je definiran Fourierovim zakonom toplinske

provodnosti Tn

λ ∂∂

. S obzirom da površina tijela nema volumen, ona ne može akumulirati

energiju, pa možemo tvrditi da će ovi toplinski tokovi biti jednaki, tj. vrijedi

( )T T Tn

λ α ∞

∂= −

∂, što odgovara mješovitom rubnom uvjetu.


Naravno ako su rubni uvjeti konstantni u vremenu, rješenje će s vremenom, pod djelovanjem difuzije, težiti stacionarnom stanju. Često će nas samo i zanimati stacionarno stanje, pa je vremensku integraciju moguće provoditi s velikim korakom integracije, ne vodeći računa o točnosti vremenske integracije, jer nas ionako ne zanima vremenska promjena rješenja, već samo konačno stacionarno stanje, koje ne zavisi od točnosti vremenske integracije. U tom smislu bi mogli usvojiti beskonačno veliki korak integracije, što bi vodilo iščezavanju nestacionarnog člana, pa bi jednadžba (4.24) prešla u oblik ( ) ( ), ,iL S x tϕϕ ϕ= (4.25) i u općem slučaju bi bila eliptičnog tipa, za čije bi numeričko rješavanje (s obzirom na svojstvo eliptičnosti) svakako trebalo rješavati sustav diskteriziranih jednadžbi. Ako bi polazna jednadžba (ili sustav jednadžbi) bila linearna, do rješenja bi se došlo jednim rješavanjem diskretiziranog sustava. Za slučaj nelinearne polazne jednadžbe, diskretizirane jednadžbe bi također bile nelinearne, pa bi postupak njihova rješavanja imao iterativni karakter, što znači da bi se sustav trebalo rješavati više puta. Iterativni postupak rješavanja ekvivalentan je vremenskoj integraciji. Iterativni postupak započinje od pretpostavljenog polja fizikalne veličine koje se traži, što je ekvivalent početnim uvjetima pri vremenskoj integraciji. Svakom iteracijom u iterativnom postupku se približava traženom stacionarnom rješenju (naravno ukoliko numerički postupak ne divergira), što je ekvivalentno koraku vremenske integracije, gdje se s vremenom integracije približava stacionarnom rješenju. Dakle svako stacionarno rješenje, načelno možemo postići vremenskom integracijom jednadžbi. Taj pristup ima prednost zbog toga što je jednadžba parabolična, pa se primjenom eksplicitnog postupka može doći do rješenja bez da se rješava sustav diskretiziranih jednadžbi. Međutim to ne znači da se na taj način dolazi do rješenja uz manje računalnog vremena, jer eksplicitne metode, kao što ćemo pokazati imaju ograničenje na maksimalni vremenski korak integracije, pa će uz mali korak integracije trebati veliki broj koraka za postizanje stacionarnog stanja, što znači da računalno vrijeme može biti veliko. Ako se za vremensku integraciju koriste implicitne metode, koje nemaju ograničenje na vremenski korak integracije (ali u kojima se također rješava sustav diskretiziranih jednadžbi), tada se uzimanjem velikog vremenskog koraka može u relativno malom broju koraka doći do stacionarnog rješenja. Ako se u implicitnoj metodi odabere jako veliki korak integracije (npr. 1020 s, što je ekvivalentno rješavanju stacionarnog problema) praktički se u jednom koraku dolazi do stacionarnog rješenja, ali će se tada unutar tog jednog vremenskog koraka, zbog nelinearnosti jednadžbi, diskretizirani sustav rješavati iterativno. Dakle ako nas zanima nestacionarno rješenje pri brzoj promjeni rubnih uvjeta (čija je brzina promjene istog reda veličine kao brzina širenja poremećaja po području proračuna), tada trebamo jednadžbe integrirati malim vremenskim korakom i tada je razumno koristiti eksplicitnu metodu integracije, koja ne zahtijeva rješavanje sustava diskretiziranih jednadžbi (metoda je jednostavna i brza). Ako nas zanima nestacionarno rješenje s relativno sporom promjenom rubnih uvjeta (čija je brzina promjene višestruko sporija od brzine širenja poremećaja po području proračuna) razumno je koristiti implicitnu metodu u kojoj će se koristiti višestruko veći korak integracije nego što je maksimalni korak u eksplicitnoj metodi, čime se štedi na vremenu računanja. No treba naglasiti da će zbog nelinearnosti polaznih jednadžbi trebati iterativni postupak rješavanja sustava diskretiziranih jednadžbi unutar jednog velikog koraka integracije. Valja također istaći da bez obzira što implicitna metoda nema ograničenje na vremenski korak integracije za slučaj da imamo brzu promjenu rubnih uvjeta integriranje velikim korakom integracije neće osigurati točnost (fizikalnost) numeričkog rješenja (sjetimo se da numerički postupak možemo shvatiti kao uzorkovanje rješenja, pa ako je frekvencija uzorkovanja premala, nećemo moći opisati svu fiziku). To znači da će se pri brzoj promjeni rubnih uvjeta i pri primjeni implicitne metode trebati koristiti mali vremenski korak kao i kod eksplicitne


metode, pa je u tom slučaju bolje koristiti eksplicitnu metodu u kojoj se ne mora rješavati sustav diskretiziranih jednadžbi.

5. Opći uvjeti na diskretizaciju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi 63 / 173

5. Opći uvjeti na diskretizaciju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Bilo kojom metodom diskretizacije (metodom konačnih razlika, metodom konačnih volumena ili metodom konačnih elemenata) parcijalnu diferencijalnu jednadžbu se prevodi u algebarsku jednadžbu (sustav algebarskih jednadžbi) koju ćemo zvati diskretiziranom jednadžbom. Označimo simbolički diferencijalnu jednadžbu s ( ) 0L ϕ = , (5.1) gdje L označuje diferencijalne operatore (lokalnu promjenu, konvektivni i difuzijski prijenos, te izvorski član opće konvekcijsko difuzijske jednadžbe), a ϕ neka označuje egzaktno rješenje te jednadžbe. Diskretiziranu jednadžbu (5.1) označimo simbolički s ( ) 0n

iL ϕ = , (5.2) gdje L označuje diskretizirani oblik diferencijalnih operatora (dobiven nekom od metoda diskretizacije), a n

iϕ označuje čvorne vrijednosti (neka indeks i označuje prostorni položaj čvora, a n vremenski) točnog rješenja diskretizirane jednadžbe (koje egzaktno zadovoljava tu jednadžbu). Treba naglasiti da je jednadžba (5.2) (preciznije govoreći sustav jednadžbi) u općem slučaju nelinearna i da se rješava iterativnim putem, a pri iterativnom rješavanju desna strana jednadžbe neće biti egzaktno jednaka nuli (iterativni postupak završava kada se desna strana dovoljno približi k nuli), pa će se numeričko rješenje te jednadžbe, označimo ga s n

iϕ razlikovati od točnog rješenja n

iϕ . Naravno, već i zbog konačne točnosti računala (npr. ako se u Fortranskom jeziku koristi obična preciznost računalo će prikazati realni broj s otprilike 7 mjesta, a u dvostrukoj oko 15) nećemo moći doći do točnog rješenja diskretizirane jednadžbe. To znači da će se numeričko rješenje razlikovati i od točnog rješenja diskretizirane jednadžbe i od egzaktnog rješenja diferencijalne jednadžbe. Razlika n n

i iϕ ϕ− označuje pogrešku diskretizacije, a n n

i iϕ ϕ− pogrešku numeričkog rješavanja diskretizirane jednadžbe. Prema tome ukupna pogreška je n n

i iϕ ϕ− , gdje niϕ označuje egzaktno rješenje uzeto u točkama

definiranim indeksima i i n , u kojima se računa numeričko rješenje. Konvergentnost Očekujemo da će se smanjivanjem prostornog koraka integracije xΔ , (odnosno , , x y zΔ Δ Δ ) i vremenskog koraka integracije tΔ numeričko rješenje približavati egzaktnom rješenju problema, što se može matematički zapisati

0, 00 za sve ,lim n n

i ix t

i nϕ ϕΔ → Δ →

− = (5.3)

Ovo svojstvo se naziva konvergentnost numeričkog postupka. U vezi s ovim svojstvom vrijedi Lax-ov teorem koji kaže: Za dobro postavljeni problem početnih vrijednosti i konzistentnu diskretizaciju nužan i dovoljan uvjet za konvergenciju je stabilnost numeričke metode. Konzistentnost diskretiziranih jednadžbi s polaznim diferencijalnim jednadžbama podrazumijeva da u graničnom prijelazu: 0tΔ → ; 0xΔ → (gdje 0xΔ → podrazumijeva u trodimenzijskoj situaciji da i 0 i 0y zΔ Δ→ → ), diskretizirane jednadžbe prelaze u originalne diferencijalne jednadžbe, ili simbolički ( ) ( )

0, 0lim n

ix t

L Lϕ ϕΔ → Δ →

= (5.4)


Stabilnost numeričke metode se definira činjenicom da razlika početno perturbiranog numeričkog rješenja n

iϕ u odnosu na točno stacionarno rješenje niϕ , za zadani vremenski

korak tΔ ostaje ograničena pri bilo kojem broju vremenskih koraka. Pogreška mora ostati konačna i kada broj koraka teži k beskonačno, ili simbolički: lim n n

i in

Kϕ ϕ→∞

− ≤ (5.5)

gdje je K granica (mali broj) koji ne zavisi od n. Konvergentnost je posebno važno svojstvo koje koristimo u ocjeni točnosti numeričkog rješenja. Prema Lax-ovu teoremu, ako imamo konzistentnu diskretizaciju i stabilni numerički postupak, usitnjavanjem geometrijske mreže i vremena integracije, numeričko rješenje će biti sve točnije. Ako vršimo proračun na sve gušćim mrežama (npr. svaki put na dvostruko gušćoj mreži), kada nam se rješenje prestane značajno mijenjati na dvije sukcesivne mreže, onda govorimo o mrežno neovisnom rješenju, kojeg prihvaćamo za točno rješenje. Osim navedena tri svojstva (konzistentnosti, stabilnosti i posljedično konvergentnosti), od numeričkog postupka ćemo zahtijevati točnost i efikasnost. Točnost numeričkog postupka je definirana odstupanjem numeričkog rješenja od egzaktnog na zadanoj geometrijskoj mreži. Od dva numerička postupka točniji je onaj koji na zadanoj mreži daje manju pogrešku izraženu kroz normu (npr. suma kvadrata odstupanja ili suma apsolutnih vrijednosti odstupanja numeričkog od egzaktnog rješenja (odnosno referentnog rješenja na vrlo gustoj mreži). Efikasnost numeričkog postupka mjeri se brojem računskih operacija (utrošenim vremenom računanja) da se postigne određena točnost rješenja. Sheme visoke točnosti zahtijevaju više vremena računanja, ali zato mogu dati točnije rezultate i na grubljim mrežama, i obrnuto, sheme nižeg reda zahtijevaju manji broj računskih operacija izraženo po čvoru geometrijske mreže, ali zato traže više čvorova.

5.1. Ispitivanje konzistentnosti diskretiziranih jednadžbi

Rezultat diskretizacije jednadžbi je algebarska jednadžba u kojoj se pojavljuju čvorne vrijednosti nepoznatih polja, te prostorni i vremenski koraci diskretizacije. Ako je diskretizacija konzistentna, kao što je prije rečeno u graničnom prijelazu kada koraci diskretizacije teže k nuli, diskretizirana jednadžba mora prijeći u polaznu diferencijalnu jednadžbu. Koraci u postupku ispitivanja konzistentnosti diskretizacije su sljedeći:

1. Raspisati sve čvorne vrijednosti , 1, 2 , 1, 2n N

i I N Iϕ ++ = ± ± = ± ± koje se pojavljuju u

diskretiziranoj jednadžbi u Taylorov red oko centralnog čvora (u kojem je polazna diferencijalna jednadžba diskretizirana).

2. Uvrstiti te raspise u diskretiziranu jednadžbu, iz čega se mora pojaviti originalna diferencijalna jednadžba i pogreška diskretizacije (truncation error).

3. Ako pogreška zaokruživanja prijelazom 0; 0t xΔ Δ→ → teži k nuli diskretizirana jednadžba je konzistentna s diferencijalnom jednadžbom


Primjer Istražimo konzistenciju diskretizacije jednodimenzijske konvekcijske jednadžbe, koju sukladno prethodno uvedenim oznakama možemo pisati:

( ) 0L ut xϕ ϕϕ ∂ ∂

≡ + =∂ ∂

, (5.6)

Jednadžbu ćemo diskretizirati metodom konačnih razlika i to vremensku derivaciju primjenom Eulerove eksplicitne metode (prvog reda točnosti), a prostornu derivaciju (konvekcijski član) shemom centralnih razlika (drugog reda točnosti). Nakon diskretizacije slijedi ( ) 0n

iL ϕ = , koja glasi:

( )1

1 1 02

n n n nn i i i i

iL ut x

ϕ ϕ ϕ ϕϕ+

+ −− −≡ + =

Δ Δ (5.7)

1. korak: Prikazat ćemo vrijednosti u okolnim čvorovima čvoru s vrijednošću n

iϕ s pomoću Taylerova reda

2 3

1 2 32 3

1 12 6

n nnn n

i ii i i

t t tt t tϕ ϕ ϕϕ ϕ+ ∂ ∂ ∂

= + Δ + Δ + Δ +∂ ∂ ∂

(5.8)

2 3

2 31 2 3

1 12 6

n nnn n

i ii i i

x x xx x xϕ ϕ ϕϕ ϕ+∂ ∂ ∂

= + Δ + Δ + Δ +∂ ∂ ∂

(5.9)

2 3

2 31 2 3

1 12 6

n nnn n

i ii i i

x x xx x xϕ ϕ ϕϕ ϕ−

∂ ∂ ∂= − Δ + Δ − Δ +

∂ ∂ ∂ (5.10)

2. korak: Uvrstit ćemo izraze (5.8) do (5.10) u jednadžbu (5.7) čime se (ako ispustimo oznaku točke u kojoj se odnose derivacije) dobije ekvivalentna jednadžba

( ) ( ) ( )T

1 2 321 1

2 3

1 .... 02 2 6

ni

n n n ni i i i

LL

uu u t xt x t x t x

ε ϕϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ++ −− − ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + + Δ + Δ + =Δ Δ ∂ ∂ ∂ ∂

(5.11)

ili ( ) ( ) ( )T 0n

iL Lϕ ϕ ε ϕ= + = (5.12)

Očito je da se diskretizirani operator L razlikuje od diferencijalnog operatora L za pogrešku diskretizacije Tε u kojoj je vodeći član s vremenskom derivacijom razmjeran s tΔ , a vodeći član s prostornom derivacijom s 2xΔ , što znači da je diskretizacija prvog reda točnosti po vremenu i drugog reda točnosti po prostoru. 3. korak: Iz jednadžbe (5.11) je jasno da u graničnom prijelazu 0tΔ → i 0xΔ → pogreška diskretizacija teži k nuli što znači da diskretizirani operator teži k diferencijalnom operatoru, što prema definiciji konzistentnosti (5.4) znači da je diskretizirana jednadžba (5.7) konzistentna s polaznom diferencijalnom jednadžbom (5.6). Iz samog postupka ispitivanja konzistentnosti, jasno je da će diskretizacija metodom konačnih razlika u kojoj se za izvod formula koristi razvoj u Taylorov red uvijek biti konzistentna. Slično će vrijediti i za ostale metode diskretizacije, tako da ovaj uvjet gotovo uvijek biti ispunjen.


5.2. Ispitivanje stabilnosti diskretiziranih jednadžbi Puno značajniji uvjet na diskretizaciju je stabilnost. Već smo najavili da će eksplicitne metode integracije hiperboličkih i paraboličnih diferencijalnih jednadžbi imati ograničenje na veličinu vremenskog koraka integracije, a maksimalna veličina koraka integracije se definira uvjetom stabilnosti. U nastavku ćemo opisati dvije metode za određivanje kriterija stabilnosti: Metodu ekvivalentne diferencijalne jednadžbe i Neumanovu metodu.

5.2.1. Metoda ekvivalentne diferencijalne jednadžbe Iz jednadžbe (5.12) koja glasi ( ) ( ) ( )T

niL Lϕ ϕ ε ϕ= + je jasno da ako točno numeričko

rješenje zadovoljava diskretiziranu jednadžbu ( ) 0niL ϕ = , onda neće zadovoljiti polaznu

diferencijalnu jednadžbu ( ) 0niL ϕ = , jer će ostati ( ) ( )T0 L ϕ ε ϕ= + , što znači da točno

numeričko rješenje zadovoljava ekvivalentnu diferencijalnu jednadžbu ( ) ( )TL ϕ ε ϕ= − , prema tome točno rješenje diskretiziranih jednadžbi će se razlikovati od egzaktnog rješenja polazne diferencijalne jednadžbe. Do istog bi zaključka došli da u jednadžbu (5.12) uvrstimo egzaktno rješenje ϕ , koja bi tada glasila: ( ) ( ) ( )T

niL Lϕ ϕ ε ϕ= + (5.13)

S obzirom da za egzaktno rješenje vrijedi ( ) 0L ϕ = , očito je da egzaktno rješenje neće

zadovoljavati diskretiziranu jednadžbu ( ) 0niL ϕ = , jer od jednadžbe (5.13) ostaje

( ) ( )TniL ϕ ε ϕ= .

Kao što je rečeno konvekcijski transport se opisuje prvom prostornom derivacijom, a difuzijski transport drugom derivacijom. Koeficijent difuzije mora biti pozitivan, jer će tada difuzijski proces ujednačavati polje fizikalne veličine, odnosno pojavit će se prijenos fizikalne veličine od mjesta s višom prema mjestu s nižom vrijednošću fizikalnog svojstva, a difuzijski prijenos prestaje kada gradijent fizikalne veličine padne na nulu (polje poprimi konstantnu vrijednost). Jasno je da negativni koeficijent difuzije nema fizikalnog smisla, jer bi se tada pojavljivao prijenos s mjesta niže na mjesto više vrijednosti fizikalne veličine, čime bi na mjestu više vrijednosti, vrijednost još više rasla, a na mjestu niže vrijednosti fizikalne veličine vrijednost još više opadala. Prema tome takav difuzijski proces ne bi nikad završio, nego bi se samo pojačavao, što ne odgovara fizici. Ova spoznaja se koristi za analizu stabilnosti u metodi ekvivalentne diferencijalne jednadžbe. Ako je u ekvivalentnoj diferencijalnoj jednadžbi koeficijent difuzije negativan (koeficijent uz drugu prostornu derivaciju) metoda će biti nestabilna.


1. Primjer Kao primjer analizirajmo stabilnost diskretizacije prethodnog primjera za koji je ekvivalentna diferencijalna jednadžba (vidjeti desnu stranu izraza (5.11)), glasi

( ) ( )T

2 32

2 3

1 .... 02 6

L

uu t xt x t x

ε ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂+ + Δ + Δ + =

∂ ∂ ∂ ∂ (5.14)

U pogrešci diskretizacije Tε pojavljuje se druga vremenska derivacija, koju uz pomoć polazne

diferencijalne jednadžbe ut xϕ ϕ∂ ∂= −

∂ ∂, možemo prikazati prostorom derivacijom:

2 2

22 2u u u u u

t t x x t x x xϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.15)

Ako se dobiveni rezultat uvrsti u jednadžbu (5.14) dobije se jednadžba

2 3

2 22 3

1 12 6

u u t u xt x x xϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂+ = − Δ − Δ +

∂ ∂ ∂ ∂ (5.16)

u kojoj je koeficijent difuzije 212

u t− Δ negativan, pa je diskretizirana jednadžba apsolutno

nestabilna, što se možemo uvjeriti na numeričkom primjeru. Uzmimo da rješavamo

bezdimenzijsku jednadžbu 0Dut x Dtϕ ϕ ϕ∂ ∂+ = =

∂ ∂, u kojoj je 1u = . Pretpostavimo nadalje da je

1xΔ = i 1tΔ = . Analitičko rješenje problema je definirano činjenicom da ϕ ostaje konstantno

duž karakteristike ddx ut= , tj. na zadanoj mreži izrazom 1

1n ni iϕ ϕ+

−= . Slika 5.1 prikazuje

egzaktno rješenje problema za zadani početni uvjet (crveno označene vrijednosti u t=0) i rubni uvjet (plavo označene vrijednosti na x=0).

Slika 5.1 Čvorne vrijednosti egzaktnog rješenja za problem 1D nestacionarne konvekcije

0 0 100 100 100 0 0

0 0 0 100 100 100 0

0 0 0 0 100 100 100

0 0 0 0 0 100 100

x

t Δx

Δt


Slika 5.2 Čvorne vrijednosti numeričkog rješenja za problem 1D nestacionarne konvekcije

(konvekcijski član diskretiziran shemom centralne diferencije) Primjenom diskretizacije prema jednadžbi (5.7) uz 1u = , 1xΔ = i 1tΔ = , slijedi formula:

1 1 1

2

n nn n i i

i iϕ ϕϕ ϕ+ − +−

= + (5.17)

S pomoću koje se lako izračunaju čvorne vrijednosti, koje su prikazane na slici 5.2. Iz numeričkog rješenja prikazanog na slici 5.2 se vidi da se u rješenju pojavljuju negativne vrijednosti i vrijednosti veće od 100, što je nefizikalno. Sa svakim vremenskim korakom negativne vrijednosti sve više opadaju, a pozitivne sve više rastu, što je karakteristično za negativni koeficijent difuzije, pa je očito da je ova diskretizacija nestabilna. Iz formule (5.17) je vidljiva još jedna mana ove diskretizacije, naime kad se nalazimo na desnom rubu područja u formuli se pojavljuje vrijednost 1

niϕ + koja je izvan područja proračuna

i nju treba zamijeniti nekim rubnim uvjetom (rješenja na slici 5.2 su računata uz pretpostavku 1

n ni iϕ ϕ+ = ), što također nije fizikalno, jer na desnom rubu ne treba zadavati rubni uvjet

(jednadžba je hiperboličkog tipa). Drugim riječima diskretizacija bi trebala biti takva da se sačuva fizikalnost definiranu tipom diferencijalne jednadžbe. U slučaju konvekcije, je jasno da je ona nesimetričnog karaktera (prijenos se odvija u smjeru strujanja, a nikako obrnuto) pa je jasno da će uzimanjem nizvodne vrijednosti 1

niϕ + unositi nefizikalnost u diskretiziranu

jednadžbu (unosi se svojstvo eliptičnosti).

2. Primjer S obzirom da konvekcijski prijenos ne može zavisiti od vrijednosti fizikalne veličine nizvodno od promatranog čvora, nameće se sama po sebi ideja uzvodne diferencije, u kojoj će se koristiti vrijednost u promatranom čvoru i u uzvodnim čvorovima. Najjednostavnija formula je ona koja uzima samo jedan uzvodni čvor, i takva diskretizacija je prvog reda točnosti. Na primjeru diskretizacije prethodnog problema opisanog jednadžbom (5.6) uz primjenu Eulerove eksplicitne formule za vremensku derivaciju i uzvodne sheme diferencije za prostornu derivaciju, dobije se:

( )1

1 0n n n n

n i i i iiL u

t xϕ ϕ ϕ ϕϕ

+−− −

≡ + =Δ Δ

(5.18)

0 0 100 100 100 0 0

0 -50 50 100 150 50 0

0 -75 -25 50 175 125 25

0 -62 -87 -50 137 225 87

x

t Δx

Δt


Uvrštavanjem raspisa (5.8) i (5.10) u jednadžbu (5.18) dobije se

( ) ( ) ( )T

1 2 21

2 2

1 .... 02 2

ni

n n n ni i i i

LL

uu u t xt x t x t x

ε ϕϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+−− − ∂ ∂ ∂ ∂

+ = + + Δ − Δ + =Δ Δ ∂ ∂ ∂ ∂

(5.19)

Iz čega se vidi da je diskretizacija konzistentna i da je metoda prvog reda točnosti jer je pogreška diskretizacije linearno razmjerna s tΔ i s xΔ . Ako se ponovo u desnoj strani jednadžbe (5.19) druga derivacija po vremenu zamijeni prostornom derivacijom prema jednadžbi (5.15), dobije se ekvivalentna diferencijalna jednadžba oblika

( ) ( )num

22 2

2 ostatak ,2uu x u t x t

t x xΓ

ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂+ = Δ − Δ + Δ Δ

∂ ∂ ∂ (5.20)

u kojoj je predznak koeficijenta uz drugu derivaciju (koeficijent numeričke difuzije) zavisi od odnosa prostornog i vremenskog koraka integracije. Ako je x u tΔ ≥ Δ diskretizacija će biti stabilna, a u suprotnom nestabilna, jer će koeficijent difuzije postati negativan. Kriterij stabilnosti je uobičajeno definirati s pomoću CFL (Courant-Fridrich-Lewy) broja kojeg se kraće označuje s C i definira kao

u tCxΔ

=Δ

(5.21)

Kriterij stabilnosti rečene metode se izražava činjenicom da CFL broj mora biti manji ili jednak jedinici. Ako u jednadžbu (5.18) uvedemo CFL broj, ona se može pisati u obliku 1

1(1 )n n ni i iC Cϕ ϕ ϕ+

−= − + (5.22) Slika 5.3 daje fizikalnu interpretaciju jednadžbe (5.22). Prema toj jednadžbi vrijednost

fizikalnog svojstva ostaje konstantno duž karakteristike ddx ut= , kao što poznato iz egzaktnog

rješenja ove jednadžbe, što znači da diskretizacija konvekcijskog člana uzvodnom shemom oslikava hiperbolični karakter polazne diferencijalne jednadžbe. Za C=1 jednadžba (5.22) daje egzaktno rješenje problema (vrijednost iz čvora O0 iz n-tog vremenskog trenutka se seli u čvor P0 u vremenskom trenutku n+1). Za C<1, jednadžba označuje linearnu interpolaciju u čvor O1 prema slici 5.3, a ta vrijednost ostaje konstantna duž karakteristike O1P1. U tom slučaju (C<1)numerički postupak je stabilan. Za slučaj C>1, jednadžba (5.22) vrijedi za karakteristiku O2P2, pri čemu se vrijednost u točki O2 dobiva ekstraploacijom iz čvorova i i

1i − , što daje nestabilni numerički postupak.

Slika 5.3 Fizikalna interpretacija jednadžbe (5.22)

i i-1 i-2

Δx

Δt=uΔx C=1

Δt>uΔx C>1

Δt<uΔx C<1

O2

P1

P0

P2

O0 O1


Slika 5.4 Čvorne vrijednosti numeričkog rješenja za problem 1D nestacionarne konvekcije

(konvekcijski član diskretiziran shemom uzvodne diferencije – slučaj C=0,5) Iz primjera diskretizacije konvekcijskog člana vidjeli smo da diskretizacija primjenom sheme centralne diferencije (koja je drugog reda točnosti) daje nestabilni numerički postupak, koji ne vodi do fizikalno realnog rješenja, za razliku od sheme uzvodne diferencije koja je prvog reda točnosti. Shema centralne diferencije daje diskretiziranoj jednadžbi eliptički karakter (zahtjeva se zadavanje rubnog uvjeta na granici na kojoj to fizikalno gledajući nije potrebno). Primjenom uzvodne sheme dobije se egzaktno rješenje problema ako je C=1 (to vrijedi na ravnomjernoj geometrijskoj mreži pri konstantnoj brzini u), i tada je kao što se vidi iz jednadžbe (5.20) diskretizacija drugog reda točnosti, jer je koeficijent uz drugu prostornu derivaciju (koeficijent numeričke difuzije) jednak nuli. Za vrijednosti CFL broja nižim od jedan, shema je formalno prvog reda točnosti, a točnost će biti to veća što je C bliže jedinici. Slika 5.4 prikazuje rezultate dobivene uz pomoć jednadžbe (5.22) za C=0,5. Očito da je da u rješenju ne postoje negativne vrijednosti niti vrijednosti veće od 100, ali je ono „razliveno“ zahvaljujući numeričkoj difuziji. Naime, jasno je da u polaznoj diferencijalnoj jednadžbi nema difuzijskog člana (da ga ima to bi bila fizikalna difuzija) pa je ova difuzija koja se pojavila u ekvivalentnoj diferencijalnoj jednadžbi (jednadžbi koju stvarno rješavamo nakon primjene diskretizacije) lažna ili numerička difuzija. Za C=0,5 koeficijent numeričke difuzije prema jednadžbi (5.20) iznosi (1 ) / 2 / 4u x C u xΓ = Δ − = Δ . Da bi se izbjegla pojava numeričke difuzije u rješenju potrebno je koristiti shemu diferencije barem drugog reda točnosti (i po vremenu i po prostoru), jer u tom slučaju u ekvivalentnoj diferencijalnoj jednadžbi u pogrešci diskretizacije neće biti druge prostorne derivacije, koja ima smisao difuzije.

0 0 100 100 100 0 0

0 0 25 75 100 75 25

0 0 6 31 68 87 68

0 0 1 10 34 63 77

x

t Δx

Δt=u Δx

0 0 50 100 100 50 0

0 0 3 18 50 77 77

Δt=u Δx/2

0 ..0 12 50 87 87 50


5.2.2. Neumannova metoda Druga metoda kojom se može ispitati stabilnost diskretizacije je Neumannova metoda, koja se temelji na razvoju rješenja i pogreške u Fourierov red, pa je primjenjiva na linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima i periodičke rubne uvjete. Linearnost osigurava primjenu principa superpozicije (zbroj dvaju rješenja jednadžbe je također rješenje jednadžbe), a periodičnost primjenu razvoja u Fourierov red. Prema tome rješenje jednadžbe za svaki vremenski trenutak (n) se može prikazati razvojem u Fourierov red oblika (vidjeti izraz (2.58) za prikaz Fourierova reda kompleksnim spektrom u poglavlju „Matematičke osnove“). Ako se shvati da krećemo od rješenja n n n

i i iϕ ϕ ε= + , gdje je niε pogreška

numeričkog rješenja u odnosu na točno rješenje niϕ diskretiziranih jednadžbi, pri čemu

možemo bez da izgubimo na općenitosti pretpostaviti da je niϕ =0, pa je pogreška upravo

jednaka samom rješenju. U tom slučaju i za rješenje i za pogrešku vrijedi

2/ 2 / 21 1

/ 2 / 2

k

K Kk i in n nKi k k

k K k K

e eπ

αϕ− −

=− =−

= Φ = Φ∑ ∑ (5.23)

gdje su: nkΦ - amplituda k -tog harmonika u n -tom vremenskom trenutku ( t n t= Δ )

K – broj prostornih podjela područja proračuna. Ako je područje proračuna duljine l, tada je /x l KΔ =

2k k

Kπα = - fazni kut k-tog harmonika. Jasno je da će se za promjenu indeksa k u granicama

/ 2K− do / 2K kut kα kretati u granicama π− do π . Ako je numerički postupak stabilan amplituda niti jednog harmonika neće rasti u vremenu, tj. vrijedit će

1

1 za svaki u svakom vremenskom trenutku nk

nk

G k n+Φ

= ≤Φ

(5.24)

Koraci u primjeni von Neumannove metode su sljedeći: 1. Zamijeniti u diskretiziranoj jednadžbi čvorne vrijednosti n N

i Iϕ ±± s k-tim harmonikom razvoja

u Fourierov red: ( )1 k i In N n N

i I k e αϕ − ±± ±± = Φ (5.25)

S obzirom da vrijedi princip superpozicije, sve što vrijedi za ukupno rješenje, vrijedi i za jedan harmonik. 2. S obzirom da će svi članovi u tako dobivenom izrazu sadržavati faktor 1 kie α− , jednadžbu se može podijeliti s tim faktorom 3. Iz dobivene jednadžbe se eksplicitno izrazi faktor G i traže uvjeti pod kojima dobiveni rezultat zadovoljava kriterij stabilnosti (5.24). Ispitivanje za svaku diskretnu vrijednost k može poopćiti uvjetom da kriterij mora biti zadovoljen kontinuirano za svaki kut α u intervalu π− do π . Ako se to učini onda se može brisati indeks k. U nastavku ćemo izostaviti oznaku "~" za egzaktno rješenje diferencijalne jednadžbe i oznaku "-" za točno rješenje diskretiziranih jednadžbi.

1. Primjer


Za početak analizirajmo stabilnost diskretizacije jednadžbe 0ut xϕ ϕ∂ ∂+ =

∂ ∂, pri čemu je

vremenski član diskretiziran eksplicitnom Eulerovom metodom, a konvekcijski član uzvodnom shemom. Analizom stabilnosti ove diskretizacije izvršene u Primjeru 2. je dobiveno da je diskretizacija stabilna za 1C ≤ . Diskretizirani oblik jednadžbe je prema izrazu (5.22) jednak 1

1(1 )n n ni i iC Cϕ ϕ ϕ+

−= − + , gdje je /C u t x= Δ Δ . Ako se u tu jednadžbu uvrste raspisi 1 kin n

i keαϕ −= Φ

11 1 kin ni k e αϕ −+ += Φ (5.26)

( )1 11

k in ni ke

αϕ − −− = Φ

dobije se ( )1 11 11 (1 ) kk k ii in n n

k k ke C e C e αα α − −− −+Φ = − Φ + Φ

Dijeljenjem gornjeg izraza s 1 kie α− slijedi 11 (1 ) (1 ) cos 1 sinkn n n n

k k k k k kC C e C C Cα α α− −+ ⎡ ⎤Φ = − Φ + Φ = Φ − + − −⎣ ⎦

Ispuštanjem indeksa k, tražit ćemo da kut kα α→ poprima vrijednosti u intervalu od π− do π , pa možemo pisati

( )1

1 cos 1 sinn

nG C C Cα α+Φ

= = − + − −Φ

(5.27)

G je kompleksni broj kojem je realni dio 1 cosC C α− + , a imaginarni sinC α− , što prikazano u kompleksnoj ravnini označuje kružnicu polumjera C s ishodištem na realnoj osi u točku 1 C− , kao što prikazuje slika 5.5. Iz slike je jasno da će 1G ≤ biti za 0 1C≤ ≤ , kao što je zaključeno u Primjeru 2.

Slika 5.5 Prikaz faktora G u kompleksnoj ravnini, za slučaj diskretizacije 1D konvekcijske jednadžbe (primjenom Eulerove eksplicitne sheme za nestacionarni član i uzvodne sheme za konvekcijski član)

2. Primjer U Primjeru 1, smo vidjeli da kombinacija Eulerove eksplicitne metode s metodom središnjih

razlika pri diskretizaciji jednadžbe 0ut xϕ ϕ∂ ∂+ =

∂ ∂ rezultira apsolutno nestabilnim numeričkim

postupkom. U ovom primjeru ćemo eksplicitnu metodu zamijeniti implicitnom, pa nakon diskretizacije slijedi:

1 1 1

1 1 02

n n n ni i i iu

t xϕ ϕ ϕ ϕ+ + +

+ −− −+ =

Δ Δ (5.28)

1G ≤

1 C−

C Realni dio

Imaginarni dio


Zadržavajući definiciju CFL broja /C u t x= Δ Δ , gornja jednadžba se može pisati u obliku

( )1 1 11 12

n n n ni i i i

Cϕ ϕ ϕ ϕ+ + ++ −= − − (5.29)

Zamjenom čvornih vrijednosti k-tim harmonicima, sukladno izrazima (5.26) dobije se

( ) ( )( )1 1 1 11 11 1 1

2k kk k i ii in n n n

k k k kCe e e eα αα α − + − −− −+ + +Φ = Φ − Φ −Φ (5.30)

Dijeljenjem gornjeg izraza s 1 kie α− slijedi

( )1 11 1 1

2k kn n n n

k k k kC e eα α− − −+ + +Φ = Φ − Φ −Φ (5.31)


1 1

1 1 sin

n

nGC α

+Φ= =

Φ + − ili

2

11 ( sin )

GC α

=+

(5.32)

Iz izraza (5.32) se može zaključiti da će implicitna shema biti bezuvjetno stabilna, jer će 1G ≤ bez obzira na C i α .

3. Primjer

Analizirajmo diskretizaciju jednadžbe 0ut xϕ ϕ∂ ∂+ =

∂ ∂ primjenom Cranck-Nicholsonove

metode za vremenski član i uzvodne sheme za konvekcijski član. Rečena diskretizacija, za u>0, rezultira sljedećom jednadžbom:

1 1 1

1 1 02

n n n n n ni i i i i iu

t x xϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + +

− −⎛ ⎞− − −+ + =⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

(5.33)

Zadržavajući definiciju CFL broja /C u t x= Δ Δ , gornja jednadžba se može pisati u obliku

( )1 1 11 12

n n n n n ni i i i i i

Cϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + +− −= − − + − (5.34)

Zamjenom čvornih vrijednosti k-tim harmonicima, sukladno izrazima (5.26) dobije se

( ) ( )( )1 1 1 11 1 1 11 1 1

2k kk k k ki ii i i in n n n n n

k k k k k kCe e e e e eα αα α α α− − − −− − − −+ + +Φ = Φ − Φ −Φ +Φ −Φ (5.35)

Dijeljenjem gornjeg izraza s 1 kie α− slijedi

( )1 11 1 1

2k kn n n n n n

k k k k k kC e eα α− − − −+ + +Φ = Φ − Φ −Φ +Φ −Φ (5.36)


( )

( )

1 1 1 cos 1 sin2 2

1 1 cos 1 sin2 2

n

n

C C

G C C

α α

α α

+ − − − −Φ= =

Φ + − + − (5.37)

S obzirom da je 1 cos 0α− ≥ za bilo koji α , očito je da će 1G ≤ za bilo koji C>0, čime je pokazano da je Cranck-Nicholsonova metoda kombinirana s uzvodnom shemom bezuvjetno stabilna.


Kao zaključak analize diskretizacije nestacionarne konvekcijske jednadžbe u jednodimenzijskoj situaciji, može se reći da shema centralne diferencije u kombinaciji s eksplicitnom metodom diskretizacije rezultira apsolutno nestabilnom metodom. Diskretizacija konvekcijskog člana shemom centralne diferencije, daje diskretiziranoj jednadžbi eliptički karakter (potrebno je zadavati rubni uvjet gdje to fizikalno gledajući nije potrebno). Shema uzvodne diferencije u kombinaciji s eksplicitnom metodom rezultira uvjetno stabilnom diskretizacijom, a kriterij stabilnosti je / 1C u t x= Δ Δ ≤ . Implicitne sheme su bezuvjetno stabilne što omogućuje izbor proizvoljnog vremenskog koraka integracije. Međutim, ako se želi zadržati točnost vremenske integracije i kod implicitnih metoda treba imati vremenski korak koji je veličine maksimalnog vremenskog koraka u eksplicitnoj metodi, jer taj korak slijedi iz fizikalnog uvjeta, da u jednom vremenskom koraku integracije rješenje hiperbolične jednadžbe smije propagirati duž karakteristike za najviše jedan prostorni korak integracije.

4. Primjer Ispitajmo sada stabilnost diskretizacije jednodimenzijske difuzijske jednadžbe:

2

2 0t xϕ ϕΓ∂ ∂− =

∂ ∂ (5.38)

primjenom Eulerove eksplicitne metode za vremenski član i sheme centralne diferencije za difuzijski član (dakle diskretizacija je prvog reda točnosti po vremenu, a drugog po prostoru).

1

1 12

2 0n n n n ni i i i i

t xϕ ϕ ϕ ϕ ϕΓ

++ −− − +

− =Δ Δ

(5.39)

Uvođenjem oznake 2

tdx

ΓΔ=Δ

gornja jednadžba se može pisati u obliku

( ) ( )11 11 2n n n n

i i i id dϕ ϕ ϕ ϕ++ −= − + + , (5.40)

pa je očito da se jedina nepoznanica 1niϕ+ može izračunati eksplicitno, a redoslijed

posjećivanja čvorova (gledano po indeksu i) je proizvoljan. Za potrebe ispitivanja stabilnosti diskretizacije u provom koraku ćemo čvorne vrijednosti zamijeniti k-tim harmonikom razvoja numeričkog rješenja u Fourierov red, pa se dobije ( ) ( ) ( )( )1 1 1 11 11 1 2 k kk k i ii in n n n

k k k ke d e d e eα αα α − + − −− −+Φ = − Φ + Φ +Φ (5.41)

Dijeljenjem gornjeg izraza s 1 kie α− slijedi ( ) ( )1 11 1 2 k kn n n n

k k k kd d e eα α− − −+Φ = − Φ + Φ +Φ (5.42)

Ispuštanjem indeksa k, tražit ćemo da kut kα α→ poprima vrijednosti u intervalu od π− do

π , pa uzimajući da vrijedi 1 1 2cose eα α α− − −+ = , možemo pisati

( )1

1 2 cos 1n

nG d α+Φ

= = + −Φ

(5.43)

S obzirom da se cos 1α − kreće u intervalu [ ]0, 2− , očito je da će G biti manje ili jednako jedinici ako je 2 1d ≤ , pa je uvjet stabilnosti:

2

2

1 odnosno 2 2

t xd tx

ΓΓ

Δ Δ= ≤ Δ ≤Δ

(5.44)

Očito je da će se pri eksplicitnoj Γ diskretizaciji difuzijske jednadžbe maksimalni vremenski korak smanjivati s kvadratom prostornog koraka (kod konvekcije je to bilo linearno), što konkretno znači da ako mrežu profinimo dva puta vremenski korak integracije će se smanjiti četiri puta, što znači da će se na dva puta finijoj mreži vrijeme integracije povećati osam puta.


Dobiveni kriterij stabilnosti izveden je za ravnomjernu geometrijsku mrežu, a ako je mreža neravnomjerna on se primjenjuje za najmanji xΔ , odnosno ako je i koeficijent difuzije promjenjiv, onda bi trebalo izračunati kriterij za sve elemente mreže i za vrijeme integracije usvojiti najmanji tΔ . Jednako tako, ako imamo konvekcijsko difuzijsku jednadžbu

2

2 0ut x xϕ ϕ ϕΓ∂ ∂ ∂+ − =

∂ ∂ ∂ (5.45)

analizom stabilnosti bismo dobili da maksimalni korak integracije zavisi i od CFL broja (kao predstavnika konvekcije) i od d (kao predstavnika difuzije), pa bi analiza stabilnosti bila složenija. Nećemo pogriješiti ako za vrijednost koraka integracije izaberemo manju vrijednost između vrijednosti koraka dobivenih za slučaj samo konvekcije i samo difuzije. Kriterij stabilnosti definiran jednadžbom (5.44) mogli smo definirati i na temelju jednostavnog fizikalnog razmišljanja. Naime poznato je da je proces difuzije eliptičkog karaktera (događanje u bilo kojem čvoru osjeti se u svakom čvoru) i da difuzijski proces teži ujednačavanju polja ϕ . Zbog toga se može zaključiti da će porast ϕ u bilo kojem čvoru izazvati i porast ϕ u svim okolnim čvorovima, tj. koeficijent koji povezuje vrijednosti ϕ u dva čvora mora biti pozitivan. U protivnom bi povećanje ϕ u jednom čvoru izazivalo smanjenje ϕ u drugom, a to vodi k nestabilnosti rješenja. Na temelju rečenoga zaključujemo da svi koeficijenti desne strane izraza (5.40) moraju biti pozitivni. S obzirom da je d po definiciji pozitivan, kao kriterij stabilnosti ostaje samo da koeficijent 1 2d− uz čvornu vrijednost n

iϕ ne smije biti negativan, iz čega se odmah dobije kriterij (5.44). Analogno razmišljanje se može primijeniti i na difuzijsku jednadžbu u dvodimenzijskoj situaciji

2 2

2 2t x yϕ ϕ ϕΓ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(5.46)

Primjenom Eulerove eksplicitne metode za vremensku derivaciju i metode središnjih razlika za prostorne derivacije, dobije se

1

, , 1, , 1, , 1 , , 12 2

2 2n n n n n n n ni j i j i j i j i j i j i j i j

t x yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

Γ+

+ − + −⎛ ⎞− − + − += +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

(5.47)

ili nakon sređivanja

( ) ( )1, , 1, 1, , 1 , 12 2 2 21n n n n n n

i j i j i j i j i j i jt t t t

x y x yΓ Γ Γ Γϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+

+ − + −

⎛ ⎞Δ Δ Δ Δ= − − + + + +⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠

(5.48)

odakle je jasno da koeficijent uz ,ni jϕ neće biti negativan ako je

( )2 2

2 2

2 2

11 1 22

x yta x ya

x y

Δ ΔΔ ≤ =

⎛ ⎞ Δ + Δ+⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠

(5.49)

Očito je da će pri korištenju ravnomjerne mreže ( x yΔ = Δ ),maksimalno dopušteni vremenski korak integracije biti dvostruko manji nego u jednodimenzijskoj situaciji. Analogno bi u trodimenzijskoj situaciji kriterij stabilnosti bio

2 2 2

11 1 12

ta

x y z

Δ ≤⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠

(5.50)

6. Metoda konačnih volumena 76 / 173

6. Metoda konačnih volumena Do sada smo koristili metodu konačnih razlika, u kojoj se diferencijali zamjenjuju konačnim razlikama. Metoda je jednostavna u geometrijski jednostavnim područjima u kojima se linije geometrijske mreže poklapaju sa smjerovima koordinatnih osi (pravokutno područje u kartezijskim koordinatama, kružno područje u cilindričnim koordinatama i sl.). U slučaju opće transportne jednadžbe metoda bi se primjenjivala na nekonzervativnom obliku jednadžbe, koja uz konst.Γ = glasi:

2

Izvorski članČlan lokalne

Konvekcijski član Difuzijski član promjene

jj j j

v St x x x ϕϕ ϕ ϕρ ρ Γ∂ ∂ ∂

+ − =∂ ∂ ∂ ∂

(6.1)

Primijetimo da pri primjeni ove metode na gornju jednadžbu treba aproksimirati drugu derivaciju. Iako postoje varijante ove metode i u krivocrtnim koordinatama, ipak je primjenjivost metode ograničena na relativno geometrijski jednostavna područja, a u složenim područjima prednost ima metoda konačnih volumena. Metoda konačnih volumena je poput metode konačnih elemenata integralna metoda koja se temelji na integriranju konzervativnog oblika transportnih jednadžbi

2

Izvorski članČlan lokalne

Konvekcijski član Difuzijski član = vektor fluksa promjene j

jj

j j j j j

J

vv S

t x x x t x x ϕ

ρ ϕρϕ ϕ ρϕ ϕΓ ρ ϕ Γ

⎛ ⎞⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟+ − = + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.2)

po konačnim volumenima na koje se podijeljeno područje proračuna. Integral jednadžbe (6.2) po konačnom volumenu prema slici 6.1 je

Σ

Brzina promjene Izvor Konvekcijski i difuzijski protok kroz granicesadržaja u

d d ( ) d dd j j

jV S V

V

V v n S S Vt x ϕ

ϕϕϕ

ϕρϕ ρ ϕ ΓΔ Δ Δ

Δ

∂= − − +

∂∫ ∫ ∫ (6.3)

Slika 6.1 Dio diskretiziranog područja proračuna

NnC

ΔVN ΔS

jn

čvor na graniciglavni čvor

CN n= Δ

ΔVC


Iz jednadžbe (6.3) je jasno da je brzina promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar konačnog volumena razmjerna brzini protoka tog fizikalnog svojstva kroz granice konačnog volumena i brzini nastajanja (izvor) ili nestajanja (ponor) tog fizikalnog svojstva unutar konačnog volumena. Protok fizikalnog svojstva je definiran kao pozitivan kad se odvija od konačnog volumena prema okolini, a minus ispred integrala kazuje da će se uslijed takvog protoka sadržaj fizikalnog svojstva unutar konačnog volumena smanjivati. U izrazu (6.3) se pojavljuju volumenski i površinski integrali, koji se mogu aproksimirati sukladno integralnom teoremu o srednjoj vrijednosti. Tako bi npr. uz konst.ρ = integral u članu koji označuje lokalnu promjenu mogli pisati (uz CV VΔ = Δ )

dV

V Vϕ ϕΔ

= Δ∫ (6.4)

gdje je ϕ srednja vrijednost fizikalne veličine ϕ unutar konačnog volumena. Ako se pretpostavi da je konačni volumen dovoljno mali, tada se promjena veličine ϕ unutar konačnog volumena može aproksimirati linearnom raspodjelom, tj. prvom potencijom razvoja u Taylorov red oko vrijednosti u čvoru C, u obliku

( ) ( )CC

C

j j jj

x x xxϕϕ ϕ ∂

= + −∂

, (6.5)

gdje je jx vektor položaja bilo koje točke unutar konačnog volumena. Uvrštavanjem (6.5) u (6.4) slijedi

( )T

C T CC C

C C

d d

jx V

j j j jj jV V

V V V x V x V x x Vx xϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ

Δ

Δ Δ

⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥Δ = = Δ + − Δ = + − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ (6.6)

Integral u drugom članu desne strane jednadžbe (6.6) je po definiciji umnožak vektora položaja težišta volumena T

jx i volumena VΔ . Ako je točka C težište volumena VΔ drugi član desne strane izraza (6.6) otpada, pa se zaključuje da će za slučaj linearne raspodjele ϕ unutar VΔ biti Cϕ ϕ= . Slično vrijedi i za integral izvorskog člana koji se može aproksimirati

CdV

S V S VϕΔ

= Δ∫ , (6.7)

gdje je CS srednja vrijednost izvorskog člana unutar volumena VΔ . Površinski integrali u izrazu (6.3) označuju protok fizikalnog svojstva uslijed konvekcije i difuzije kroz površinu konačnog volumena. Vektor konvekcijskog toka je definiran izrazom

jvρ ϕ , a vektor difuzijskog toka je jxϕ−Γ ∂

∂. Ova dva vektora u općem slučaju nisu kolinearna,

a njihov zbroj čini ukupni vektor toka jJ . Protoku fizikalnog svojstva doprinosi samo normalna komponenta vektora toka j jJ n .

( )n nn

( ) d ( )dj j n njS S

v n S v S v Sx n nϕ ϕ ϕρ ϕ Γ ρ ϕ Γ ρ ϕ Γ

Δ Δ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂Δ = − = − = − Δ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫J , (6.8)

gdje je ( )nnv ϕ srednja vrijednost umnoška na površini SΔ , a

nnϕ∂∂

srednja vrijednost

normalne derivacije polja ϕ na površini SΔ . U izrazu za normalnu derivaciju je uobičajeno uvesti bezdimenzijsku koordinatu /n n n= Δ , gdje je nΔ udaljenost čvorova C i N prema slici


6.1, a srednju vrijednost umnoška ( )nnv ϕ aproksimirati umnoškom srednjih vrijednosti, pa se

može pisati:

( )n

n

n n n n nnnn

n

F D

Sv S F Dn n n

Γ ϕ ϕρ ϕ ϕΔ ∂ ∂Δ = Δ − = −

Δ ∂ ∂J , (6.9)

gdje je ( )n nnF v Sρ= Δ jačina konvekcije, tj. maseni protok fluida kroz površinu SΔ , a

nSD

nΓΔ

=Δ

jačina difuzije. Omjer n

n

nF v nPeD

ρΔ

Δ= =

Γ se naziva lokalnim Pecletovim brojem,

za razliku od Pecletova broja koji bi se dobio svođenjem polazne diferencijalne jednadžbe (6.1) na bezdimenzijski oblik, u kojem bi karakteristična duljina bila definirana kao udaljenost na kojoj je promjena ϕ istog reda veličine kao i karakteristična vrijednost ϕ za konvekcijski transport, te bi tako definirani Pecletov broj služio za ocjenu važnosti pojedinog transporta. Očito da je lokalni Pecletov broj to manji što su volumeni sitniji (manji nΔ ), čime lokalni utjecaj difuzijskog transporta postaje utjecajniji. Teorijski gledano u graničnom prijelazu kada

nΔ teži k nuli konvekcija postaje zanemariva, što znači da ostaju utjecajni samo članovi s drugom (najvišom) derivacijom, što zovemo principijelnim dijelom parcijalne diferencijalne jednadžbe, a kod ispitivanja karaktera diferencijalne jednadžbe se samo taj dio analizira. S obzirom da je u jednadžbi (6.1) sve poznato osim polja ϕ , jačine konvekcije i difuzije u izrazu (6.9) se mogu izračunati, a jedino su nepoznanice srednje vrijednosti nϕ i normalne

derivacije n

/ nϕ∂ ∂ na površini SΔ . S obzirom da se u numeričkom postupku pamte i

računaju samo čvorne vrijednosti polja ϕ i to u glavnim čvorovima, bit će potrebno definirati (aproksimirati) tražene vrijednosti na stranicama konačnih volumena s pomoću vrijednosti u glavnim čvorovima, a to se naziva shemom diferencije ili numeričkom shemom. Aproksimacija će biti najtočnija ako se te vrijednosti definiraju u težištu površine SΔ . Ako se izrazi (6.4), (6.7) i (6.9) uvrste u jednadžbu (6.3) slijedi:

CC n n n C C

1 n

dd

nbnb

N

nbV F D S V

t nϕ ϕρ ϕ

=

⎛ ⎞∂Δ = − − + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∑ , (6.10)

gdje suma po nb označuje zbrajanje po svih nbN stranica konačnog volumena. Primjenom neke od shema diferencije, koje koriste samo čvorne vrijednosti Cϕ i Nϕ za aproksimaciju nϕ

i n

/ nϕ∂ ∂ , izraz (6.9) se može prikazati u obliku

( )n n n n n C N C N

n

F D F anϕϕ ϕ ϕ ϕ∂

Δ = − = + −∂

J , (6.11)

gdje koeficijent Na zavisi od primijenjene sheme diferencije, kao što će poslije biti pokazano. Uvrštavanjem (6.11) u (6.10) dobije se

( )CC C n N C N C C

1 1

0 prema jedn.kontinuiteta

dd

nb nbN Nnbnb

nb nbV F a S V

tϕρ ϕ ϕ ϕ

= =

=

Δ = − − − + Δ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑ ili

[ ]CC C C N N C C

1

dd

nbNnb

nbV a a S V

tϕρ ϕ ϕ

=

Δ = − + + Δ∑ (6.12)

gdje je centralni koeficijent


[ ]C N1

nbNnb

nba a

=

= ∑ (6.13)

U općem slučaju izvorski član može biti nelinearna funkcija od ϕ . Ako se jednadžba (6.12) integrira nekom eksplicitnom metodom (Eulerovom ili prediktor korektor metodom) tada izvorski član ostaje originalno zadan kakav je, a ako se primjenjuje implicitna metoda, uobičajeno je izvorski član linearizirati u obliku C C CS V a bϕΔ = + , kako bi se dobila linearna algebarska jednadžba, npr. za slučaj potpuno implicitne metode i navedenu linearizaciju izvorskog člana, jednadžba (6.12) bi glasila

[ ]old

C CC C N N N C

1 1

nb nbN Nnbnb

nb nb

V a a a bt

ϕ ϕρ ϕ ϕ ϕ= =

−Δ = − + + +

Δ ∑ ∑ ili

[ ]

C

oldC CN C N N C

1 1

nb nbN Nnbnb

nb nb

a

V Va b a at t

ρ ρϕ ϕ ϕ= =

⎛ ⎞Δ Δ+ − = + +⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠∑ ∑ (6.14)

[ ] oldCC C N N C

1

nbNnb

nb

Va a at

ρϕ ϕ ϕ=

Δ= + +

Δ∑ (6.15)

Jednadžba (6.14) je linearna algebarska jednadžba dobivena diskretizacijom integrala po konačnom volumenu s centralnim čvorom C. Ako se postupak ponovi za sve konačne volumene unutar područja proračuna dobit će se sustav linearnih algebarskih jednadžbi u kojem su nepoznanice čvorne vrijednosti polja ϕ . Broj jednadžbi je jednak broju konačnih volumena, odnosno broju nepoznatih čvornih vrijednosti polja ϕ . Sustav jednadžbi se može simbolički zapisati u matričnom obliku [ ]ji i jA bϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (6.16)

gdje je jiA⎡ ⎤⎣ ⎦ matrica sustava u kojoj retke čine koeficijenti Ca i Nnba iz jednadžbi oblika

(6.14), pri čemu su koeficijenti Ca na glavnoj dijagonali, [ ]iϕ označuje vektor nepoznanica

(čvornih vrijednosti polja ϕ ), a jb⎡ ⎤⎣ ⎦ vektor desne strane u kojeg ulaze sve poznate veličine (zadnja dva člana desne strane jednadžbe (6.14)). Polje ϕ mora zadovoljavati rubne uvjete, koje će trebati ugraditi u diskretizirane jednadžbe prije njihova rješavanja. Informacije o rubnim uvjetima se pretežno ugrađuju kroz desnu stranu sustava jednadžbi. Naravno ako je izvorski član bio nelinearna funkcija od ϕ , tada će numerički postupak nužno imati iterativni karakter, pa će sustav linearnih jednadžbi trebati riješiti više puta unutar jednog vremenskog koraka. Naravno, umjesto linearizacije izvorskog člana je moguće koristiti i druge metode za rješavanje nelinearnih jednadžbi, poput Newtonove metode.

6.1. Četiri pravila o koeficijentima diskretizirane jednadžbe Prije nego što se upustimo u analizu numeričkih shema o kojima ovise koeficijenti matrice sustava, možemo općenito definirati neka svojstva tih koeficijenata. 1. Konzervativnost. Iz definicije metode konačnih volumena je jasno da je integralni oblik zakona očuvanja (konzervativnosti) zadovoljen za svaki konačni volumen, pa onda i za ukupno područje proračuna. Ovo svojstvo je bitno pri računanju integralnih veličina, poput masenog protoka, količine gibanja odnosno sile, i energije odnosno snage, jer se ne može dogoditi da npr. masa nastaje ili nestaje u pojedinim volumenima s obzirom da je zakon očuvanja mase striktno zadovoljen na svakom konačnom volumenu. Zbog ovog svojstva se može očekivati da će metoda davati fizikalna rješenja i na grubljim mrežama. Svojstvo


konzervativnosti podrazumijeva da je protok fizikalnog svojstva kroz stranicu konačnog volumena jednako definiran u oba volumena koja dijele stranicu, tj. protok fizikalnog svojstva koje napušta jedan konačni volumen treba biti jednak protoku koji dolazi u drugi volumen, jer stranica ne može akumulirati fizikalno svojstvo. Slika 6.2 prikazuje dva susjedna konačna volumena, koja dijele stranicu ΔS . Ta stranica ima dvije normale, pri čemu je vanjska normala sa stajališta volumena CΔV označena sa C

jn , a vanjska normala sa stajališta

volumena NΔV sa Njn , pri čemu vrijedi N C

j jn n= − . Jasno je da će zbog suprotno usmjerenih normala, maseni protoci (jačine konvekcije) sa stajališta volumena CΔV i NΔV imati različit

predznak jer je C Cn j jF v n Sρ= Δ , a ( )N N C C

n nj j j jF v n S v n S Fρ ρ= Δ = − Δ = − . To je fizikalno jasno

jer pozitivni CnF označuje da fluid napušta volumen CΔV , a negativni N

nF da fluid ulazi u volumen NΔV . Isto tako će i normalne derivacije imati suprotan predznak, pa će i protoci fizikalnog svojstva imati suprotne predznake, jer vrijedi

( )N C

N N C Cn n n n n n n n

n n

F D F Dn nϕ ϕϕ ϕ

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥Δ = − = − − − = −Δ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

J J , (6.17)

Slika 6.2 Konačni volumeni koji dijele zajedničku stranicu

Sukladno izrazu (6.11) protok kroz stranicu ΔS sa stajališta volumena CΔV je ( )C C C

n n C N C NF aϕ ϕ ϕΔ = + −J , (6.18) a sa stajališta volumena NΔV protok je ( )N N N

n n N N N CF aϕ ϕ ϕΔ = + −J , (6.19)

pri čemu koeficijent CNa govori o utjecaju Nϕ na Cϕ u jednadžbi izvedenoj za CΔV , a N

Na o utjecaju Cϕ na Nϕ u jednadžbi za izvedenoj za NΔV . Ako je čvor C u globalnoj matrici označen indeksom i, a čvor N indeksom j, tada će koeficijent C

Na u matrici koeficijenata biti na poziciji ,Ai j (i-ti redak označuje jednadžbu – ovdje od čvora C, j-ti stupac označuje

utjecajni koeficijent – ovdje od čvora N). Po analogiji bi koeficijent NNa u matrici bio na

poziciji ,A j i . Uvrštavanjem (6.18) i (6.19) u jednadžbu (6.17) koja kaže da je N Cn nΔ = −ΔJ J

slijedi veza među koeficijentima N C C

N N na a F= + (6.20) Izraz (6.20) omogućuje računanje koeficijenata, vezano na stranice, jer čim se definira koeficijent C

Na u jednadžbi izvedenoj za volumen CΔV , moguće je uz pomoć izraza (6.20)

NnC

ΔVN

ΔS

Cjn

ΔVC

Njn


jednostavno izračunati i koeficijent NNa . Uočimo da će za slučaj čisto difuzijskog transporta

( Cn 0F = ) koeficijenti C

Na i NNa biti jednaki, što znači da će matrica sustava biti simetrična.

Jasno je samo po sebi da će uvjet N Cn nΔ = −ΔJ J biti ispunjen samo ako u definicijama tih

protoka sudjeluju isti čvorovi. Ako su to samo čvorovi C i N, onda je to samo po sebi ispunjeno, no ako se koriste sheme višeg reda točnosti, koje zahtijevaju više čvorova, onda to ne mora biti slučaj. Kao primjer uzmimo primjer kartezijske mreže na slici 6.3.

Slika 6.3 Dio kartezijske mreže

Ako se za definiranje protoka kroz stranicu ΔS u jednadžbi za volumen CΔV , koriste čvorovi W, C i E, a za definiranje protoka kroz istu stranicu u jednadžbi za volumen EΔV čvorovi C, E i EE, onda numerička shema neće biti konzervativna. Prema tome metoda konačnih razlika u općem slučaju neće rezultirati konzervativnom numeričkom shemom. 2. Predznaci koeficijenta. Diskretizirana jednadžba (6.14) za volumen CΔV na slici 6.1, sadrži koeficijente N

nba koji označuju utjecaj okolnih vrijednosti polja ϕ na vrijednost polja u čvoru C. Logično je pretpostaviti da ako u bilo kojem okolnom čvoru vrijednost polja ϕ iz nekog razloga poraste, da će taj porast izazvati i porast vrijednosti u čvoru C. Da bi to bilo tako svi koeficijenti u jednadžbi (6.14) moraju biti istog predznaka, recimo pozitivni. Dobra numerička shema će rezultirati pozitivnim koeficijentima. Ako je koeficijent Ca pozitivan, a

Na negativan, to bi značilo da smanjenje Nϕ izaziva povećanje Cϕ , što vodi ka nestabilnosti. Naravno neke od shema koje se koriste rezultiraju različitim predznacima koeficijenata, a ako su pozitivni koeficijenti dominantni nad negativnim, postupak će ostati stabilan, ali će se povećati vjerojatnost pojave nefizikalnih oscilacija u rješenju za polje ϕ . Jasno je da ako je koeficijent Na jednak nuli, to znači da čvor N nema utjecaj na čvor C, što je tipično za paraboličke jednadžbe. Iz jednadžbe (6.20) je jasno da će koeficijent N

Na koji govori o utjecaju čvora C na čvor N biti različit od nule. Dobra numerička shema treba prepoznati lokalni matematički karakter diferencijalne jednadžbe. 3. Linearizacija izvorskog člana. Linearizacijom izvorskog člana u obliku C C CS V a bϕΔ = + uspostavljena je veza brzine nastajanja ili nestajanja fizikalnog svojstva unutar konačnog volumena s vrijednošću polja u centralnom čvoru. Ako je koeficijent b pozitivan tada će za pozitivni Cϕ izvorski član doprinositi da Cϕ postane još veći, a za negativni još manji, što vodi k nestabilnosti. Negativni koeficijent b linearizacije izvorskog člana vodit će stabilizaciji numeričkog postupka, te ga treba prakticirati. Iz jednadžbe (6.14) je vidljivo da negativni koeficijent b vodi k povećanju koeficijenta Ca , tj. povećava dijagonalnu dominantnost matrice sustava diskretiziranih jednadžbi, što je dobro i sa stajališta iterativnog rješavanja sustava algebarskih jednadžbi. 4. Suma koeficijenata. Za slučaj stacionarnog problema i bez izvorskog člana opća transportna jednadžba (6.1) glasi

C E EE WW W n

ΔS CΔV EΔV


2

0jj j j

vx x xϕ ϕρ Γ∂ ∂− =

∂ ∂ ∂ (6.21)

S obzirom da jednadžba (6.21) sadrži samo derivacije polja njeno opće rješenje će biti neodređeno do na konstantu (rješenju se može dodati proizvoljna konstanta a da ono još uvijek zadovoljava diferencijalnu jednadžbu). Diskretizirana oblik jednadžbe (6.21), prema jednadžbi (6.12), u kojoj se briše lokalni i izvorski član glasi:

[ ]C C N N1

nbNnb

nba aϕ ϕ

=

= ∑ (6.22)

Od jednadžbe (6.22) također zahtijevamo da ostane zadovoljena ako se svim čvornim vrijednostima polja ϕ doda ista vrijednost. To će biti ispunjeno samo ako je

[ ]C N1

nbNnb

nb

a a=

= ∑ (6.23)

Ovaj uvjet mora zadovoljavati i numerička shema. Uz pretpostavku diskretizacije koja se može svesti na oblik jednadžbe (6.11), to je očito zadovoljeno, kako je pokazano jednadžbom (6.13). U općem slučaju, kada se koristi više čvorova u numeričkoj shemi, također treba voditi računa o ovom svojstvu.

6.2. Numeričke sheme

6.2.1. Gradijent polja ϕ u centralnom čvoru Kao što je rečeno u integralnom obliku opće transportne jednadžbe (6.10) Cϕ ima značenje srednje vrijednosti polja ϕ po konačnom volumenu (ako je raspodjela ϕ linearna, a točka C

težište volumena), a nϕ i n

/ nϕ∂ ∂ označuju srednje vrijednosti po stranici koje se definiraju

numeričkom shemom na temelju čvornih vrijednosti polja ϕ . Ako čvor C nije u težištu volumena, srednja vrijednost ϕ unutar konačnog volumena se definira jednadžbom (6.6) u kojoj se pojavljuje gradijent polja ϕ u čvoru C. Taj se gradijent može izračunati, polazeći od definicije srednje vrijednosti gradijenta unutar konačnog volumena, primjenom Gaussove formule, kako slijedi:

n1

d dnb

nbN

j jnbj jV S

V V n S n Sx xϕ ϕ ϕ ϕ

=Δ ΣΔ

∂ ∂ ⎡ ⎤Δ = = = Δ⎣ ⎦∂ ∂ ∑∫ ∫ , (6.24)

gdje nϕ označuje srednju vrijednost polja ϕ po stranici konačnog volumena, kao i u izrazu (6.11) za protok fizikalnog svojstva kroz stranicu. Naravno ako je raspodjela ϕ unutar konačnog volumena linearna, tada će gradijent ϕ biti konstantan, pa se na temelju (6.24) može tvrditi da je

n1CC

1 nbnbN

jnbj

n Sx Vϕ ϕ

=

∂ ⎡ ⎤= Δ⎣ ⎦∂ Δ ∑ (6.25)

Alternativno, do gradijenta ϕ u čvoru C se može doći i primjenom metode najmanjih kvadrata. Polazeći od vrijednosti polja u čvoru C, primjenom Taylorove formule u kojoj se uzima samo linearni član, može se aproksimirati vrijednost ϕ u susjednom čvoru N, u obliku


( )aproks. N CN C

Cj

j jj

d

x xxϕϕ ϕ ∂

= + −∂

(6.26)

gdje je jd vektor od čvora C do čvora N. Traži se takav gradijent ϕ da suma kvadrata

odstupanja aproksimiranih vrijednosti aproks.Nϕ od stvarnih vrijednosti Nϕ po svim okolnim

čvorovima bude minimalna. S obzirom da se kod udaljenijeg čvora može tolerirati veća pogreška, obično se pogreška dijeli s udaljenošću čvorova C i N, pa je kriterij

2

2N C

N CC

1 1 C

minnb nb

jN Nj

jnb nb jj j

dx

xd d

ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ξ

= =

⎡ ⎤∂− −⎢ ⎥ ⎡ ⎤∂ − ∂⎢ ⎥ = − =⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ , (6.27)

gdje je jξ jedinični vektor u smjeru spojnice čvorova C i N. Iz uvjeta da derivacije izraza (6.27) po komponentama gradijenta ϕ u čvoru C moraju biti jednake nuli, slijedi izraz

N C

1 1C

nb nb

jk k

N N

j k knb nbj j

A b

x dϕ ϕ ϕξ ξ ξ

= =

⎡ ⎤ ∂ −=⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦

∑ ∑ , (6.28)

U trodimenzijskoj situaciji izraz (6.28) označuje sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice, pri čemu matrica sustava jkA sadrži samo geometrijske veličine pa se njeni koeficijenti računaju nakon generiranja mreže i pamte koeficijenti inverzne matrice, tako da se gradijent ϕ , dobije množenjem

1

C

jk kj

A bxϕ −∂ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂

, (6.29)

Formula (6.29) je drugog reda točnosti.

6.2.2. Jednodimenzijsko analitičko rješenje opće transportne jednadžbe

Postavlja se pitanje koji je najbolji način za definiranje numeričke sheme. Kad bi postojalo opće analitičko rješenje transportne jednadžbe, onda bi ono sadržavalo nepoznate koeficijente (ili funkcije) integracije koje bi se odredilo iz rubnih uvjeta. Na žalost takvo rješenje ne poznajemo, pa bi bilo dobro kad bismo imali barem lokalno važeće rješenje (izvedeno uz pretpostavku lokalno konstantnog polja brzine i koeficijenta difuzije) u trodimenzijskoj situacije, ali na žalost ni to nemamo. Ono što možemo odrediti je analitičko rješenje opće transportne jednadžbe u jednodimenzijskoj situaciji uz pretpostavku konstantne brzine i konstantnog koeficijenta difuzije. Slika 6.4 prikazuje stranicu između dva konačna volumena u jednodimenzijskoj situaciji, u kojoj se ϕ mijenja samo uzduž koordinate n, okomite na stranicu, koja se poklapa sa pravcem spojnice čvorova C i N.

Slika 6.4 Koordinatni sustav u jednodimenzijskoj situaciji

C N n ΔS

n /n n n= Δ

0n = 1n = n f= Cnfn

=Δ

CN n= Δ


Neka je vrijednost bezdimenzijske koordinate n u čvoru C jednaka nuli, u čvoru N jednaka jedinici, tada je u čvoru n vrijednost bezdimenzijske koordinate jednaka faktoru f linearne interpolacije, kao što je dano na slici 6.4. Pretpostavimo da je brzina strujanja nv u smjeru osi n konstantna, kao i koeficijent difuzije Γ . Izvorski član može biti funkcija prostornih koordinata i vremena, a pretpostavimo da je prosječna vrijednost izvorskog člana na odsječku Cn jednaka CS , a na odsječku nN jednaka NS . Pretpostavit ćemo konstantne vrijednosti izvorskog člana po tim odsječcima puta. U stacionarnom jednodimenzijskom strujanju je

( )nϕ ϕ= , pa opća transportna jednadžba poprima oblik

2

C2

N

na dijelu Cnd dd d na dijelu nN

n

Sv

n n Sϕ ϕρ Γ

⎧⎪− = ⎨⎪⎩

(6.30)

Uvođenjem bezdimenzijske koordinate za koju vrijedi n n n= ⋅Δ , te množenjem gornje jednadžbe s V S nΔ = Δ ⋅Δ , ona poprima oblik

2

C2

N

na dijelu Cnd dd d na dijelu nN

n

S VSv Sn n n S Vϕ Γ ϕρ

⎧ ΔΔ ⎪Δ − = ⎨Δ Δ⎪⎩ (6.31)

Uvođenjem oznaka za jačinu konvekcije nF v Sρ= Δ i jačinu difuzije (difuzijsku provodnost)

D= Sn

ΓΔΔ

, te C CS S V= Δ i N NS S V= Δ , gornja jednadžba se može kraće zapisati

2

C2

N

ˆ na dijelu Cnd dˆd d na dijelu nN

SF D

n n Sϕ ϕ ⎧⎪− = ⎨

⎪⎩ (6.32)

Kao što je prije rečeno omjer /Pe F D PΔ = = je lokalni Pecletov broj, kojeg ćemo ovdje označiti jednostavno s P. Jednadžba (6.32) je obična diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima, koju ćemo zbog toga što su konstante na desnoj strani jednadžbe definirane po odsječcima, također riješiti po odsječcima. Rješenja su istog oblika i glase

(C) C1 2

ˆ na dijelu CnPn SC C e n

Fϕ = + + (6.33)

(N) N3 4

ˆ na dijelu nNPn SC C e n

Fϕ = + + (6.34)

Četiri nepoznate konstante se određuju iz četiri rubna uvjeta: po jedan uvjet u točkama C i N

(C)C 1 2

(N) NN 3 4

za točku C: 0 vrijedi ˆ

za točku N: 1 vrijedi P

n C C

Sn C C eF

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= = = +

= = = + + (6.35)

i dva uvjeta neprekidnosti rješenja u točki n:

(C) (N) C N1 2 3 4

(C) (N)C N

2 4

ˆ ˆza točku n: vrijedi

ˆ ˆd dza točku n: vrijedi d d

Pf Pf

Pf Pf

S Sn f C C e f C C e fF FS Sn f C Pe C Pe

n n F F

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= = ⇒ + + = + +

= = ⇒ + = +

(6.36)


Nakon određivanja konstanti dobiju se izrazi za nϕ i n

ddnϕ koji se uvrste u izraz (6.11) za

protok ϕ kroz površinu SΔ , koji u ovom slučaju glasi

n nn

dd

F DnϕϕΔ = −J (6.37)

pa se dobije

( )( ) ( )

( )N

C C N N

1 1C N

n C C N

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1 11 1 1

P f P fPP

P P P

ag S g S

F S e e S eF fe fe e P e P

ϕ ϕ ϕ− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −

Δ = + − + + + + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦J (6.38)

Možemo sada analizirati ovaj analitički izraz za tri karakteristična slučaja: 1) Čisto konvektivni transport u smjeru koordinate n, F>0, D=0, P teži k beskonačno, Na =0, gC=f, gN=0, pa se dobije

C

n C C C Cˆ Cn

S V

F f S F S Sϕ ϕΔ

Δ = + = + Δ ⋅J (6.39)

Za čisto konvektivni transport s lijeva u desno, protok kroz površinu SΔ zavisi samo o uvjetima s lijeve (uzvodne) strane. Fizikalno je jasno da je protok fizikalnog svojstva za slučaj čiste konvekcije jednak n nFϕΔ =J , pa ako se to usporedi s izrazom (6.39) slijedi da je

n C C Cn /S S Fϕ ϕ= + Δ ⋅ , što znači da je vrijednost ϕ od vrijednosti Cϕ u čvoru C narasla do

čvora n za utjecaj izvorskog člana na putu Cn (preciznije u volumenu CnSΔ ⋅ ). 2) Čisto konvektivni transport u negativnom smjeru koordinate n, F<0, D=0, P teži k minus beskonačno, Na =-F, gC=0, ( )N 1g f= − − , pa se dobije

( )N

n N N N Nˆ1 nN

S V

F f S F S Sϕ ϕΔ

Δ = − − = − Δ ⋅J (6.40)

Ponovo protok zavisi samo o stanju s uzvodne strane površine, a vrijednost nϕ u čvoru n

naraste u odnosu na vrijednost Nϕ u čvoru N za utjecaj izvorskog člana na putu nN :

n N N nN /S S Fϕ ϕ= + Δ ⋅ . 3) Čisto difuzijski transport, F=0, D>0, P=0, Na =D, 2

C / 2g f= , ( )2N 1 / 2g f= − − , pa se

dobije

( ) ( )22n C N C N

1 1ˆ ˆ 12 2

D S f S fϕ ϕΔ = − + − −J (6.41)

Prema očekivanju za slučaj čisto difuzijskog transporta protok fizikalnog veličine ϕ ovisi o stanju s obje strane površine SΔ . Utjecaj izvorskih članova s lijeve i desne strane površine ovisi o faktoru linearne interpolacije (položaju čvora n u odnosu na čvorove C i N). Naravno, ova tri analizirana slučaja su ekstremne situacije. U stvarnosti će lokalni Pecletov broj varirati, ovisno o finoći mreže, do recimo vrijednosti reda veličine 1000. Ako je Pecletov broj pozitivan na protok će veći utjecaj imati stanje sa strane čvora C, a za negativne vrijednosti, sa smanjivanjem Pecletova broja rast će utjecaj sa strane čvora N. Za numeričke sheme koje imaju ovo svojstvo da utjecaj pojedinog čvora ovisi o Pecletovu broju, kaže se da imaju svojstvo transportivnosti. Iz slika 6.5 i 6.6 se vidi utjecaj Pecletova broja na koeficijente gC, Ng i aN. Očito da kad lokalni Pecletov broj poprimi vrijednost 8, da


koeficijenti Ng i aN poprimaju vrijednosti nula kao i za beskonačni Pecletov broj, što znači da na protok veličine ϕ utječe samo uzvodna strana. Slično vrijedi i za P<-8, kada je aN=–F, (što je jasno i iz jednadžbe (6.20)), a gC postaje nula, pa na protok utječe samo stanje na strani čvora N. Iz jednadžbe (6.20) je jasno da ako je koeficijent aN sa stajališta volumena C (označen sa C

Na ) jednak nuli da će koeficijent aN sa stajališta volumena N (označen sa NNa ) biti

jednak F. Prema tome kad se radi analiza koeficijenata dovoljno je gledati samo pozitivne vrijednosti lokalnog Pecletovog broja, jer se protok kroz stranicu uvijek može promatrati sa stajališta volumena iz kojeg fluid izlazi.

P

g C,g

N

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1

00.10.20.30.40.5

gCgN

Slika 6.5 Zavisnost koeficijenata gC i gN u jednadžbi (6.38) od lokalnog Pecletova broja za f=0,5

P

a N/D

-2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

Slika 6.6 Zavisnost koeficijenata aN u jednadžbi (6.38) od lokalnog Pecletova broja

Od dobre numeričke sheme se očekuje svojstvo transportivnosti, jer je to važno na granici gdje fluid napušta domenu proračuna (izlazna granica) na kojoj obično ne poznamo vrijednosti veličine ϕ . Ako je Pecletov broj na izlaznoj granici dovoljno velik, onda je jasno da stanje na izlaznoj granici (čak da ga pretpostavimo potpuno krivo) neće imati utjecaja na polje ϕ unutar područja proračuna, pod uvjetom da numerička shema ima svojstvo transportivnosti. Uočimo da smo u jednadžbi (6.30) definirali izvorski član konstantan po odsječcima i time dopustili njegovu diskontinuiranu promjenu. Da smo propisali kontinuiranu promjenu, npr.

( )C N CS S n S S= + − , u analitičkom rješenju bi dobili varijaciju ϕ s kvadratom n , što bi


formalno gledajući bilo točnije nego linearna promjena, koja je dobivena s konstantnim izvorskim članom. Međutim, pri tako definiranom izvorskom članu za slučaj čiste konvekcije (npr. od čvora C prema N), bi u rješenju ostao utjecaj izvorskog člana NS , što je nefizikalno. Izvedena numerička shema, tj. formula (6.38) za protok ϕ , primijenjena u jednodimenzijskoj situaciji daje egzaktno rješenje problema za slučaj konstantnog izvorskog člana, i vrlo točna rješenja u općem slučaju, te je bolja od svih danas korištenih shema. Bilo bi dobro kad bi u višedimenzijskoj situaciji, također imali analitičko rješenje opće transportne jednadžbe, ali to na žalost nije slučaj. Stoga se uz određene aproksimacije može iskoristiti i jednodimenzijsko rješenje. Opća konvekcijsko-difuzijska jednadžba u 2D ima oblik

2 2

2 2x yv v Sx y x y ϕϕ ϕ ϕ ϕρ ρ Γ Γ∂ ∂ ∂ ∂+ − − =

∂ ∂ ∂ ∂ (6.42)

Ona se može prikazati i u n m− koordinatnom sustavu, pri čemu je os n usmjerena okomito na površinu SΔ , prema slici 6.7, a os m okomito na nju, pri čemu je jednadžba u tom koordinatnom sustavu

2 2

2 2n mv v Sn m n m ϕϕ ϕ ϕ ϕρ ρ Γ Γ∂ ∂ ∂ ∂+ − − =

∂ ∂ ∂ ∂ (6.43)

prebacivanjem članova koji sadrže derivacije po m, dobije se jednadžba

2

2nv Sn nϕ ϕρ Γ∂ ∂− =

∂ ∂, (6.44)

gdje je S

2

2mS S vm mϕϕ ϕρ Γ∂ ∂

= − +∂ ∂

(6.45)

Uz pretpostavku ( )nϕ ϕ= jednadžba (6.44) će formalno biti istog oblika kao i u jednodimenzijskoj situaciji, jednadžba (6.30), pri čemu će izvorski član biti modificiran za poprečni konvekcijski i difuzijski transport veličine ϕ , koji bi se dobio integriranjem jednadžbe (6.45) po zamišljenom osjenčanom volumenu prikazanom na slici 6.7.

Slika 6.7 Lokalni koordinatni sustav

Nn

C ΔVN ΔS

jn

ΔVC

n

m

x

y


6.3. Pregled osnovnih numeričkih shema

6.3.1. Eksponencijalna shema (Exponential Scheme - ES), Polinomna shema

Eksponencijalna shema je definirana kao posebni slučaj analitičkog rješenja (6.38) u kojem se uzima C N

ˆ ˆ 0S S= = , pa izraz za protok ϕ kroz granicu SΔ glasi

( ) ( )N

n C C N C N C N1P

a

FF F ae

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕΔ = + − = + −−

J (6.46)

Zavisnost koeficijenta aN od Pecletova broja je dana na slici 6.6. Jasno je da je ova shema konzervativna, uvijek daje pozitivne koeficijente i ima svojstvo transportivnosti, što su dobre strane ove sheme, a nedostaci su da je shema prvog reda točnosti za visoke vrijednosti P, a drugog reda točnosti samo za P=0. Drugi je nedostatak sheme što se u izrazu za aN pojavljuje eksponencijalna funkcija, koja za visoke vrijednosti P poprima vrijednosti koje se ne mogu prikazati u računalu („overflow“) pa računanje koeficijenta zahtijeva ispitivanje područja P što postaje skupo. Stoga se ova shema češće koristi u oblicima gdje se izraz za aN aproksimira jednostavnijim izrazom. Jedan od primjera je polinomna shema u kojoj se koeficijent aN računa prema izrazu

( )5N max 0 ; 1 0,1a P D= − ⋅ (6.47)

gdje max ; a b označuje veću vrijednost od a i b. Izraz (6.47) vrlo dobro aproksimira originalni izraz za koeficijent aN. Promjena ϕ između čvorova C i N je prema ovoj shemi zavisna od P, prema sljedećem izrazu

( )C N C11

Pn

P

ee

ϕ ϕ ϕ ϕ−= + −

− (6.48)

Grafički prikaz promjene ( ) ( )C N C/φ ϕ ϕ ϕ ϕ= − − u funkciji bezdimenzijske koordinate n je dan na slici 6.8. Vrijednost n =0 odgovara poziciji čvora C, a n =1 poziciji čvora N. Vrijednost φ =0 odgovara Cϕ ϕ= , dok φ =1 odgovara Nϕ ϕ= . Za P=0 dobije se linearna promjena ϕ , za P<0 vrijednost nϕ na npr. n =0,5 je bliža vrijednosti Nϕ , dok za P →−∞ ,

n Nϕ ϕ→ . Za pozitivne vrijednosti P, dominira uzvodna vrijednost Cϕ .

n

φ

0 0.25 0.5 0.75 10

0.25

0.5

0.75

1

P < 0P = 0P > 0

P tezi k minus beskonacno

P tezi k beskonacno

C N

Slika 6.8 Promjena ( ) ( )C N C/φ ϕ ϕ ϕ ϕ= − − između čvorova C i N


6.3.2. Uzvodna shema (Upwind Differencing Scheme - UDS) Iako analitičko rješenje (6.38) ukazuje na činjenicu da bi pri modeliranju protoka ϕ kroz granicu, koji je definiran zbrojem konvekcije i difuzije

n nn

dd

F DnϕϕΔ = −J (6.49)

trebalo voditi računa o međudjelovanju ova dva transporta, u gotovo svim shemama se to ne čini, nego se difuzijski transport modelira kao da nema konvekcijskog, a konvekcijski kao da nema difuzijskog. Kao što je već prije rečeno, difuzijski transport je simetričan, pa će za diskretizaciju tog dijela transporta shema centralnih razlika biti najbolje rješenje, a formula drugog reda točnosti (na ravnomjernoj mreži) glasi

( )N Cn

dd

D Dnϕ ϕ ϕ− = − − (6.50)

Sheme će se razlikovati po modeliranju konvekcijskog transporta, odnosno vrijednosti nϕ u izrazu (6.49). Ako se zanemari difuzijski transport, lokalni Pecletov broj može poprimiti vrijednosti P = ±∞ , za koje je prema izrazu (6.48) za eksponencijalnu shemu diferencije

Cn

N

za 0 za 0

FF

ϕϕ

ϕ>⎧

= ⎨ <⎩ (6.51)

Za pozitivne vrijednosti F (odnosno P) izraz za protok prema uzvodnoj shemi diferencije je

( )N

n n C C Nn

dd a

F D F Dnϕϕ ϕ ϕ ϕΔ = − = + −J (6.52)

Ako se izraz (6.52) usporedi s općim izrazom (6.11), očito je da vrijedi Na D= . Slika 6.9 uspoređuje koeficijente u eksponencijalnoj i uzvodnoj shemi diferencije. Očito je koeficijent aN u UDS shemi precijenjen pri višim vrijednostima lokalnog Pecletovog broja zbog činjenice da je difuzijski transport modeliran pri čistoj difuziji (ne vodeći računa o utjecaju konvekcije na normalnu derivaciju ϕ ).

P

a N/D

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Uzvodna shemaEksponencijalna shema

Slika 6.9 Usporedba koeficijenata Uzvodne i Eksponencijalne sheme diferencije Osnovni nedostatak ove sheme je da je prvog reda točnosti, te unosi lažnu difuziju u numeričko rješenje. Dobre strane su izuzetno jednostavno računanje koeficijenta, a s obzirom da su koeficijenti uvijek pozitivni, neće nikad davati nefizikalna oscilatorna rješenja, niti će praviti probleme vezano na konvergenciju numeričkog postupka (robusna shema). Zbog toga je ova shema omiljena i ugrađena u gotovo sve komercijalne CFD pakete.


6.3.3. Shema centralnih razlika (Central Differencing Scheme - CDS) U ovoj shemi se pretpostavlja linearna promjena ϕ između čvorova C i N, što je prema analitičkom rješenju slučaj ako je P=0. Difuzijski transport je definiran izrazom (6.50), a za slučaj ravnomjerne mreže konvekcijski transport je definiran s ( )n C N / 2ϕ ϕ ϕ= + , pa je izraz za protok ϕ jednak

( ) ( )

N

C Nn n C N C C N

n

dd 2 2

a

FF D F D F Dn

ϕ ϕϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ ⎛ ⎞Δ = − = + − = + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

J (6.53)

Ova shema je formalno drugog reda točnosti, ali to ne znači da će za visoke vrijednosti lokalnog Pecletova broja davati bolje rezultate nego uzvodna shema diferencije. Slika 6.10 daje usporedbu koeficijenata triju shema. Očito će Shema centralnih razlika davati negativne vrijednosti koeficijenta za P>2, što će rezultirati pojavom nefizikalnog oscilirajućeg rješenja u blizini diskontinuiteta. Treba naglasiti da ova shema nema svojstvo transportivnosti, te uvodi eliptičnost i u situacijama kada su jednadžbe paraboličke ili hiperboličke, što ima za posljedicu potrebu zadavanja rubnih uvjeta i na granicama na kojima to, fizikalno gledajući, nije potrebno.

P

a N/D

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Uzvodna shemaEksponencijalna shemaShema centralnih razlika

Slika 6.10 Usporedba koeficijenata Uzvodne, Eksponencijalne i Centralne sheme diferencije Očito su pri vrijednostima lokalnog Pecletova broja blizu nule Eksponencijalna shema i Shema centralnih razlika vrlo slične (za P=0 su identične), pa se zaključuje da je i Eksponencijalna shema drugog reda točnosti za čisto difuzijske probleme. Neki autori preferiraju primjenu Sheme centralnih razlika zbog jednostavnosti računanja koeficijenta i zbog drugog reda točnosti, ali treba imati na umu da je shema primjenjiva za niske vrijednosti lokalnog Pecletova broja, što se može postići usitnjavanjem geometrijske mreže.

6.3.4. QUICK (Quadratic upwind) shema. Ako želimo postići više redova točnosti sheme diferencije, u definiciji sheme treba koristiti više čvorova, čime će se povećati i računalna molekula odnosno povećati popunjenost matrice sustava linearnih algebarskih jednadžbi. QUICK shema se temelji na provlačenju kvadratne funkcije kroz tri čvora, prema slici 6.11. Ako je strujanje u smjeru od čvora C prema čvoru E, tada se za definiranje protoka kroz stranicu SΔ koriste čvorovi W, C i E, a u suprotnom čvorovi C, E i EE. Naravno, da bi se zadržala konzervativnost sheme, potrebno je koristiti ista tri čvora i za protok kroz tu stranicu, kad se protok promatra sa stajališta volumena s


centralnim čvorom E. U svakoj jednadžbi će se za svaki smjer pojaviti jedan čvor više i to s uzvodne strane. Treba naglasiti da ovo nije potpuna uzvodna shema, jer se koriste čvorovi s obje strane granice, pa će ova shema hiperboličkim jednadžbama davati eliptički karakter poput Sheme centralnih razlika.

Slika 6.11 Uz definiciju QUICK sheme

Difuzijski transport se modelira shemom centralnih razlika, izrazom (6.50) kao i u prethodne dvije sheme, a veličina nϕ za konvekcijski transport se za slučaj ravnomjerne mreže definira izrazima

( )

( )

W C E

n

C E EE

1 6 3 za 081 3 6 za 08

F

F

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ

⎧ − + + >⎪⎪= ⎨⎪ + − <⎪⎩

(6.54)

S obzirom na različite predznake koeficijenata shema će za slučaj diskontinuiteta generirati nefizikalno oscilirajuće rješenje.

6.3.5. Linearno uzvodna shema (Second Order Upwind ili Linear Upwind Scheme - LUDS)

Prava potpuno uzvodna shema, koja je drugog reda točnosti je linearno uzvodna shema. U uzvodnoj shemi prvog reda vrijednost ϕ na stranici je definirano kao rješenje eksponencijalne sheme za D=0. Eksponencijalna shema je izvedena kao poseban slučaj jednodimenzijskog rješenja u kojem je zanemaren utjecaj izvorskog člana. Za slučaj kada se izvorski član uzme u obzir, pri D=0, dobiju se izrazi (6.39) za F>0 i (6.40) za F<0, prema kojima se vrijednost nϕ razlikuje od čvornih vrijednosti ϕ zbog utjecaja izvorskog člana. U jednodimenzijskoj situaciji je to fizikalni izvorski član, a u višedimenzijskoj situaciji u izvorski član ulaze i utjecaji konvekcijskog i difuzijskog transporta u poprečnom smjeru, pa će se nϕ razlikovati od Cϕ i Nϕ i pri nultom fizikalnom izvorskom članu. Izraz (6.39) pokazuje da će za pozitivni izvorski član na putu od čvora C do čvora n, ϕ rasti, pa će unutar volumena CVΔ postojati gradijent ϕ , koji posredno govori o izvorskom članu u jednadžbi (6.39). Drugim riječima vrijednost nϕ može se odrediti linearnom ekstrapolacijom iz uzvodnih čvorova, kako je to prikazano na slici 6.12, za slučaj F>0.

C E EE WW W n ΔS CΔV EΔV

Wϕ Cϕ Nϕ

nϕ


Slika 6.12 Uz definiciju LUDS sheme

Difuzijski transport se definira kao u prethodne tri sheme, izrazom (6.50), a izraz za vrijednost nϕ u konvekcijskom transportu je za ravnomjernu mrežu na slici 6.12

( )

( )

uzvodno

C C C WC

n uzvodno

E E E EEE

1 1 za 02 2

1 1 za 02 2

Fn

Fn

ϕϕ ϕ ϕ ϕϕ

ϕϕ ϕ ϕ ϕ

⎧ ∂+ = + − >⎪

∂⎪= ⎨∂⎪ + = + − <⎪ ∂⎩

(6.55)

Ova shema također generira negativne koeficijente, te će davati oscilatorno rješenje u blizini diskontinuiteta, kao i prethodne sheme višeg reda točnosti. Za sve sheme koje daju nefizikalno oscilatorno rješenje problema (generiraju nove maksimume i minimume pri nultom izvorskom članu), kaže se da su neomeđene (engl. Unbounded). Svojstvo omeđenosti numeričke sheme je vrlo važno, a od dobre numeričke sheme se to svojstvo bezuvjetno zahtijeva. Ono što se iz opisanih shema može zaključiti je

1) Sheme prvog reda (Eksponencijalna, Uzvodna) su omeđene, ali zbog toga što su prvog reda točnosti u pogrešci diskretizacije imaju druge prostorne derivacije, što znači da u rješenje unose lažnu difuziju, te će u blizini diskontinuiteta davati razliveno rješenje.

2) Sheme drugog i višeg reda (CDS, Linearno uzvodna i QUICK) ne unose u rješenje numeričku difuziju, ali su neomeđene, što znači da će u blizini diskontinuiteta generirati nefizikalno oscilirajuće rješenje.

6.3.6. Hibridna shema. U nastavku se daje kratki prikaz osnovnih ideja kako omeđiti sheme višeg reda točnosti. Vidjeli smo da shema koja rezultira samo pozitivnim koeficijentima daje bezuvjetno omeđeno rješenje. Ako se spriječi pojavu negativnih koeficijenta dobit će se omeđena shema. To je iskorišteno u definiranju Hibridne sheme, koja je izvorno CDS shema u kojoj se negativni koeficijenti postavljaju na nulu. Definicija koeficijenata Hibridne sheme je

N max 0,2Fa D= − (6.56)

što je prikazano na slici 6.13. Ova shema se može shvatiti kao aproksimacija Eksponencijalne sheme (sastoji se od tangente u P=0 i asimptote za P →∞ ), a drugog je reda točnosti do P=2, te prvog reda točnosti za P>2. Zbog pozitivnih koeficijenata, shema je omeđena.

C E EE WW W n ΔS CΔV EΔV

Wϕ Cϕ nϕ


Pa N

/D0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Eksponencijalna shemaHibridna shema

Slika 6.13 Koeficijenti Hibridne sheme

6.3.7. Kombinirana shema. U nekim računalnim programima se koristi linearna kombinacija uzvodne sheme i sheme centralne diferencije (engl. Blending scheme), u kojoj je koeficijent aN definiran kao ( )CDS UDS

N N N1a a aγ γ= + − , (6.57) gdje je γ faktor miješanja. Za γ =1 dobije se shema centralnih razlika, a za γ =0, uzvodna shema. Slika 6.14 prikazuje promjenu koeficijenta aN kombinirane sheme ovisno o koeficijentu γ . Očito se područje pozitivnog koeficijenta povećava sa smanjivanjem faktora γ , čime je shema stabilnija ali i manjeg reda točnosti.

P

a N/D

0 2 4 6 8 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Uzvodna shema (γ = 0)(γ = 0,25)(γ = 0,50)Shema centralnih razlika (γ = 1)

Slika 6.14 Mješavina CDS i UDS za različite faktore miješanja

6.3.8. Skupina konvekcijski omeđenih shema Nužan uvjet da se u numeričkom rješenju pojave nefizikalne oscilacije (generiranje novih ekstrema) je da numerička shema daje negativne koeficijente. Međutim ako je rješenje monotono rastuće ili monotono padajuće neće se pojaviti novi ekstremi u rješenju bez obzira na negativne koeficijente. Ako promatramo linearno uzvodnu LUDS ili QUICK shemu, možemo općenito pisati da je na ravnomjernoj mreži, prema slici 6.12, vrijednost nϕ na granici za pozitivni Pecletov broj je općenito funkcija ( )n n W C E, ,ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= (6.58)

Uvođenjem bezdimenzijske vrijednosti W

E W

ϕ ϕφϕ ϕ−

=−

, funkcija (6.58) prelazi u oblik


( )n n W C E, ,φ φ φ φ φ= . S obzirom da je po definiciji Wφ =0 i Eφ =1, ostaje da je ( )n n Cφ φ φ= , što se može prikazati krivuljom u dijagramu (dijagram se naziva NVD – Normalized Variable Diagram). Za monotono rastuću ili monotono padajuću funkciju ϕ bezdimenzijska vrijednost

Cφ će biti u intervalu nula do jedan, za funkciju ϕ s maksimumom u Cϕ , kao na slici 6.15 će

Cφ biti veći od jedan, a za funkciju ϕ s minimumom u Cϕ kao na slici 6.15 će Cφ biti manji od nula. Ako se traži da numerička shema ne generira nove maksimume i minimume onda interpolirana vrijednost nϕ treba biti u intervalu između vrijednosti Cϕ i Eϕ , odnosno gledano u bezdimenzijskim varijablama nφ treba biti između Cφ i jedan. Za vrijednosti Cφ >1 i Cφ <0, da bi se izbjeglo formiranje novih ekstrema treba biti nφ = Cφ , što odgovara uzvodnoj shemi diferencije. Slika 6.16 prikazuje područje kroz koje smije prolaziti funkcija ( )n n Cφ φ φ= . Funkcija treba biti kontinuirana i prolaziti točkama A i B, te područjem crvenog trokuta. Analiza pokazuje da će funkcija ( )n n Cφ φ φ= za sheme drugog reda točnosti prolaziti točkom ( Cφ , nφ )=(0.5,0.75), a funkcija za shemu trećeg reda točnosti će prolaziti istom tom točkom i imati nagib 0.75.

Slika 6.15 Neki slučajevi profila ϕ

Slika 6.16 Dopušteno područje za funkciju ( )n n Cφ φ φ= za konvekcijski omeđenu numeričku

shemu u NVD dijagramu

C E W n

Wϕ Cϕ nϕ Eϕ

C0 1φ< <

C E W n

Wϕ Cϕ

nϕ Eϕ

C0 1φ< <

C E W n

Wϕ

Cϕ nϕ

Eϕ

C 1φ >

C E W n

Wϕ

Cϕ

nϕ

Eϕ

C 0φ <

nφ

Cφ A

B 1

1


Kao primjer analizirajmo sljedeće sheme u NVD dijagramu: I) shema centralnih razlika: ( )n C E / 2ϕ ϕ ϕ= + ili ( )n C 1 / 2φ φ= +

II) QUICK shema: ( )n W C E1 6 38

ϕ ϕ ϕ ϕ= − + + ili ( )n C1 6 38

φ φ= +

III) LUDS shema: ( )n C W1 32

ϕ ϕ ϕ= − ili n C32

φ φ=

Slika 6.17 prikazuje funkcije ( )n n Cφ φ φ= za ove tri sheme. Očito je da će sve tri sheme biti neomeđene. S obzirom da sve sheme prolaze točkom T(0,5 ; 0,75) zaključuje se da su barem drugog reda točnosti, a pravac koji označuje QUICK shemu ima nagib 0.75, što znači da je trećeg reda točnosti. Temeljem NVD dijagrama moguće je definirati konvekcijski omeđene numeričke sheme. Jedna mogućnost bi bila npr. kombinacija UDS sheme za 1P ≥ , LUDS sheme za 0 0,5P< < i CDS sheme za 0,5 1P≤ < . Takva bi shema bila drugog reda točnosti za vrijednosti Pecletova broja manji od jedan, i prvog reda točnosti za ostale vrijednosti Pecletova broja. Ako se uzme u obzir da će rješenje u glavnini biti monotono, za shemu se može reći da je drugog reda točnosti, a na uzvodnu shemu se prelazi samo u blizini lokalnog ekstrema.

Slika 6.17 Analiza CDS, QUICK i LUDS shema u NVD dijagramu

Postoji više numeričkih shema koje su definirane na temelju NVD dijagrama. Neke od njih su prikazane na slici 6.18.

Slika 6.18 Prikaz nekih od konvekcijski omeđenih shema u NVD dijagramu

nφ

Cφ

1

1

OSHER nφ

Cφ

1

1

SMART nφ

Cφ

1

1

GAMMA

n C3φ φ= n C3φ φ=

CDS QUICK LUDS

nφ

Cφ

1

1

CDS LUDS

QUICK


6.3.9. Skupina TVD shema s limiterima Kao što je prije rečeno, najjednostavnija konvekcijska jednadžba je jednodimenzijska nestacionarna jednadžba s konstantnom brzinom u i bez izvorskog člana, koja glasi

0ut xϕ ϕ∂ ∂+ =

∂ ∂ (6.59)

Jednadžba je hiperboličkog tipa i znamo joj analitičko rješenje. Bez obzira na njenu jednostavnost, pri njenom numeričkom rješenju pojavljuju se problemi točnosti kada u rješenju postoji diskontinuirana promjena ϕ . Numeričke sheme prvog reda točnosti unose u rješenje lažnu difuziju, a sheme višeg reda točnosti daju rješenja s nefizikalnim oscilacijama u blizini diskontinuiteta, kako je to ilustrirano na slici 6.19.

Slika 6.19 Shematski prikaz numeričkih rješenja konvekcijske jednadžbe

Dobro svojstvo shema višeg reda je da ne unose numeričku difuziju u rješenje, tj. bolje opisuju diskontinuitet, ali generiraju nove ekstreme u rješenju, što je često neprihvatljivo s fizikalnog stajališta (npr. koncentracija ne može biti veća od 1, kinetička energija ne može biti negativna i sl.). Stoga se sheme višeg reda trebaju kodificirati da se izbjegne pojava oscilirajućeg rješenja. Od numeričke sheme će se tražiti da zadrži monotonost rješenja, tj. ako je početni profil ϕ uzlazni s koordinatom x, onda on u numeričkom rješenju mora ostati uzlazni, i obrnuto silazni profil mora ostati silazni. Numerička shema će imati svojstvo monotonost ako i samo ako su svi koeficijenti u diskretiziranoj jednadžbi pozitivni. Kao što je prije pokazano uzvodna shema uvijek daje pozitivne koeficijente, te ona ima svojstvo monotonosti. Svojstvo monotonosti se može izraziti i na način da se traži da numerička shema ne generira nove maksimume i minimume, što se može kvantificirati s totalnom varijacijom (TV – engleski total variation), koja se definira na numeričkom rješenju čije su diskretne vrijednosti označene s n

iϕ (indeks i označuje položaj čvora u prostoru, a indeks n vremenski trenutak). Totalna varijacija u trenutku n se definira izrazom

12

TV( )N

n n ni i

i

dxxϕϕ ϕ ϕ −

=

∂= = −

∂ ∑∫ , (6.60)

gdje je N broj čvorova po prostornoj koordinati. Za egzaktno rješenje prema slici 6.19 TV je jednako max2ϕ i ostaje konstantno tijekom vremena. Za rješenje označeno zelenom bojom TV je također max2ϕ , dok je za plavo rješenje TV veći od max2ϕ . Shema koja ima svojstvo monotonosti, odnosno koja ne generira nove ekstreme se kaže da je TVD (engl. total variation diminishing) ako je 1TV( ) TV( )n nϕ ϕ+ ≤ , za svaki n. Da bi se od sheme višeg reda točnosti koja nije TVD shema načinila TVD shema potrebno je u shemu uvesti limitere protoka. Ukupni protok se može prikazati zbrojem protoka definiranog uzvodnom shemom (koja je TVD) i razlike do ukupnog protoka definiranog shemom višeg reda (koja nije TVD). Limiteri protoka se primjenjuju na razliku protoka, te se traže uvjeti da limitirani protoci rezultiraju TVD shemom.

Egzaktno rješenje Numeričko rješenje (uzvodna shema) Numeričko rješenje (shema višeg reda)

x

φ φmax

0


Ilustrirat ćemo ideju limitera na primjeru linearno uzvodne sheme, koja je drugog reda točnosti i nije TVD shema. Slika 6.20 prikazuje dio diskretiziranog područja proračuna, gdje je zbog jednodimenzionalnosti odabrano 1SΔ = .

Slika 6.20 Diskretizacija jednodimenzijskog područja

Integriranjem jednadžbe (6.59) po osjenčanom volumenu CV S xΔ = Δ ⋅Δ na slici 6.20, dobije se

( )C e w 0V u Stϕ ϕ ϕ∂

Δ + Δ − =∂

(6.61)

Uz pretpostavku 0u > i primjenu linearno uzvodne sheme na ravnomjernoj mreži vrijedi:

( )e C C W

uzvodnashema dodatak za 2. red tocnosti

12

ϕ ϕ ϕ ϕ= + − i ( )w W W WW

uzvodnashema dodatak za 2. red tocnosti

12

ϕ ϕ ϕ ϕ= + − , (6.62)

što uvršteno u gornju jednadžbu pomnoženu s gustoćom ρ daje

( ) ( ) ( )C C W C W W WW

uzvodna shemadodatak za 2. red tocnosti

1 12 2

V F Ftϕρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∂ ⎡ ⎤Δ = − − − − − −⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

, (6.63)

gdje je F u Sρ= Δ jačina konvekcije. Uzvodna shema daje bezuvjetno pozitivne, a na dodatke protoku uvedene linearno uzvodnom shemom se stavljaju limiteri ψ , tako da vrijedi

( ) ( ) ( )C C W w C W ww W WW

uzvodna shemadodatak za 2. red tocnosti

1 12 2

V F Ftϕρ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ∂ ⎡ ⎤Δ = − − − − − −⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

, (6.64)

Ako se iz desne strane izluči protok definiran uzvodnom shemom, slijedi

( ) wwC C W w

ww

1 112 2

V Ft rϕ ψρ ϕ ϕ ψ

⎡ ⎤∂Δ = − − + −⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

, (6.65)

gdje je C W www

W WW ww

r ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

− Δ= =

− Δ, odnos dvaju uzastopnih gradijenata ϕ i to nizvodni kroz

uzvodni. Da bi limitirana shema bila TVD koeficijenti moraju biti pozitivni, tj. izraz u uglatoj zagradi izraza (6.65) mora biti pozitivan, tj.

www

ww

1 11 02 2 r

ψψ+ − ≥ , odnosno www

ww

2rψ ψ− ≤ (6.66)

Godunov je pokazao da linearni limiteri mogu dati samo shemu prvog reda točnosti, pa se pretpostavlja da su limiteri funkcije ( )w w wrψ ψ= i ( )ww ww wwrψ ψ= , što u problem uvodi nelinearnost, jer limiteri zavise od samog rješenja, koje tek treba naći. Postoji puno funkcija

( )rψ ψ= , koje zadovoljavaju uvjet (6.66), a logično je pretpostaviti da su limiteri pozitivni

( ) 0rψ ≥ za 0r ≥ , a s obzirom da se u (6.66) pojavljuje omjer ww ww/ rψ , logično je

zahtijevati da je ( )0 0ψ = . Negativne vrijednosti r označuju da se u rješenju pojavljuje

C E WW W e

ΔS=1

Wϕ Cϕ eϕ

w x

ΔxΔx

ww


lokalni maksimum, pa da bi se očuvala monotonost sheme logično je prijeći na uzvodnu shemu, tj. postaviti limiter na nulu; ( ) 0rψ = , za 0r < . Za linearnu raspodjelu ϕ će biti

w ww 1r r= = , i u tom slučaju ne treba uvoditi limitere, što znači da je ( )1 1ψ = . Kad bi strujanje bilo iz suprotnog smjera ( 0u < ) uzvodne i nizvodne strane bi se zamijenile, pa bi u toj situaciji r poprimio recipročne vrijednosti u odnosu na r za pozitivni u , a također bi wψ i wwψ zamijenili mjesta, pa se može zaključiti da vrijedi uvjet simetrije

( )1 rr r

ψψ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.67)

Temeljem navedenih uvjeta Sweby je definirao područje limitera u kojem će limitirana linearno uzvodna shema rezultirati monotonim rješenjima, odnosno biti TVD shema. To je područje osjenčano na slici 6.21.

Slika 6.21 Područje limitera koji daju TVD shemu

Isto se područje može prikazati i u NVD dijagramu, što je prikazano na desnoj slici. Temeljem dijagrama na slici 6.21 su mnogi autori definirali varijante TVD shema, a pregled shema je dan na slici 6.22.

r

( )rψ 2

0

1

1 2

rψ = 2rψ = nφ

Cφ

1

1

rψ =2rψ =

1ψ = 2ψ =

0ψ =


Slika 6.22 Pregled limitera (ovdje označen s )rφ( umjesto )rψ ( )

6.3.10. ENO i WENO sheme Na kraju treba spomenuti i ENO (engl. Essential Non-oscillatory Scheme) i WENO (engl. Weighted Essential Non-oscillatory Scheme) koje u idejnom smislu označuju proširenje TVD koncepta u smislu zadržavanja visoke točnosti i u okolišu lokalnog ekstrema. Naime kao što je pokazano TVD sheme se, kao i konvekcijski omeđene sheme, u blizini lokalnog ekstrema svode na uzvodnu shemu, koja je prvog reda točnosti. ENO i WENO sheme su definirane na strukturiranim mrežama i u numeričkoj shemi koriste veći broj čvorova tako da su teže primjenjive na nestrukturiranim mrežama, a i skuplje su sa stajališta vremena računanja.


6.4. Rubni uvjeti U sustav diskretiziranih jednadžbi nužno je ugraditi i rubne uvjete. Slika 6.23 prikazuje konačni volumen uz granicu, pri čemu je s „b“ označen čvor na stranici koja čini rub područja proračuna. Rubnim uvjetom se definira protok kroz stranicu bSΔ , kojoj je vanjska normala

jn . Izraz za protok kroz tu stranicu je sukladno izrazu (6.9) je

b b b bb

dd

F DnϕϕΔ = −J , (6.68)

gdje su jačina konvekcije b b bF v Sρ= Δ (maseni protok kroz stranicu bSΔ ) i difuzijska vodljivost b b /D S nΓ= Δ Δ poznate veličine, a treba definirati srednju vrijednost bϕ i srednju

vrijednost normalne derivacije b

ddnϕ na stranici bSΔ .

Slika 6.23 Konačni volumen uz granicu

Ako se uzme u obzir da se u čvoru C može odrediti gradijent ϕ prema izrazu (6.25), tada za polovište spojnice Cb , prema slici 6.23, vrijedi

C

C

b

bd

dd

1 d2 j

j

nx nn

ϕ ϕϕ ϕ⎛ ⎞ −⎜ ⎟+ =Δ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ili

C

b

b

C1 d d2 d dj

j nnn

xϕ ϕϕ ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟Δ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.69)

Formula (6.69) je dugog reda točnosti, a formula prvog reda točnosti (za točku b) bi glasila

Cb

b

ddn nϕ ϕ ϕ−

=Δ

ili bb

Cddn

ϕϕ ϕ= − (6.70)

U formulama (6.69) i (6.70) su tražene vrijednosti bϕ i b

ddnϕ , a za njihovo jednoznačno

određivanje je potreban podatak o rubnom uvjetu.

6.4.1. Rubni uvjeti s matematičkog stajališta S matematičkog stajališta razlikujemo tri vrste rubnih uvjeta:

I) Dirichletov rubni uvjet kojim je zadano ( )b D ,if x tϕ = , a b

ddnϕ se može izračunati iz

formule (6.69) ili (6.70).

C

b jn

nΔ

bSΔ


II) Von Neumannov rubni uvjet kojim je zadano ( )Nb

d ,d if x t

nϕ

= , a bϕ se može izračunati iz

formule (6.69) ili (6.70).

III) Robinov (mješoviti) rubni uvjet kojim je zadana funkcija oblika ( )b

Rb ,inf x tϕα βϕ ∂

=∂

+ ,

koja u kombinaciji s formulom (6.69) ili (6.70) čini sustav dvije jednadžbe iz kojih se mogu

izračunati tražene vrijednosti bϕ i b

ddnϕ .

Kada se vrijednosti bϕ i b

ddnϕ uvrste u izraz (6.68), protok kroz stranicu se može prikazati u

obliku

eksplicitnob b b b b C N C

b

dd

F D F a anϕϕ ϕ ϕΔ = − = + +J (6.71)

gdje eksplicitnoa sadrži eksplicitni dio protoka bΔJ koji ide u desnu stranu (slobodni član) diskretizirane jednadžbe. U općem slučaju Robinovog rubnog uvjeta za formulu (6.70) prvog reda točnosti

Rb

b C

b

b

n

n

fα ϕϕ

ϕ

β

ϕ ϕ

∂∂

∂−∂

+ =

= (6.72)

slijedi

C Rb

C R

b

f

fn

βϕϕα β α β

ϕ αϕα β α β

= ++ +

∂= − +

∂ + +

(6.73)

što uvršteno u izraz (6.71) daje formulu za računanje protoka kroz rubnu stranicu za slučaj Robinovog rubnog uvjeta

( ) ( )eksplicitnoN

R Rb b b b b C b b C b b

b

dd

a a

fF D F D F F Dnϕ αϕ ϕ ϕ

α β α βΔ = − = + − + −

+ +J (6.74)

Dirichletovi i von Neumannovi rubni uvjeti se mogu shvatiti kao poseban slučaj Robinovih uvjeta. Tako za Dirichletove uvjete vrijedi 1α = , 0β = i zadano

R bf ϕ= , pa se iz formule (6.74) dobije ( ) ( ) ( )

eksplicitno zadanoN N b

D zadano zadanob b C b b C b b b b C N C b

a a a

F D F F D F aϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ=−

Δ = + − + − = + −J (6.75)

Za von Neumannove rubne uvjete vrijedi 0α = , 1β = i zadano

Rb

fnϕ∂

=∂

, pa se iz (6.74) dobije

( )eksplicitno

zadanoN

b b C b bb

dd

a

F F DnϕϕΔ = + −J (6.76)

Izrazi (6.74) do (6.76) su izvedeni uz primjenu formule prvog reda točnosti, a analogni izrazi se mogu dobiti i s formulom drugog reda točnosti. Rubni uvjeti se ugrađuju kroz centralni


koeficijent Ca (koeficijent Na iz jednadžbe rubnog uvjeta ulazi u zbroj koeficijenata u izrazu (6.14) i slobodni član (u kojeg ulazi eksplicitnoa iz jednadžbe rubnog uvjeta) u diskretiziranoj jednadžbi za volumen uz granicu. Pri tome treba uočiti sljedeće:

a) Koeficijent Na se uzima u definiciji koeficijenta Ca (6.14), a na poziciji izvandijagonalnog koeficijenta je Na =0, jer se umnožak N ba ϕ tretira eksplicitno.

b) Kod von Neumannovog rubnog uvjeta doprinos koeficijent Na je jednak nuli i u centralnom koeficijentu, te postoji samo modifikacija slobodnog člana u diskteriziranoj jednadžbi.

c) Obično se za potrebe prikaza polja ϕ , te računanje gradijenta ϕ u centralnim čvorovima volumena uz rub proračuna, treba znati i vrijednosti bϕ po rubu područja proračuna. U slučaju Dirichletovih rubnih uvjeta je ta vrijednost zadana, a u slučaju Robinovih i Neumannovih rubnih uvjeta se računa iz izraza (6.73).

d) Iz izraza (6.75) je očito da za b bF D> koeficijent Na postaje negativan, što znači da smanjuje koeficijent Ca , čime se gubi dijagonalna dominantnost matrice sustava. Fizikalno gledajući to je slučaj ruba kroz koji fluid napušta područje proračuna (izlazna granica na kojoj obično ne znamo ni vrijednost ϕ niti vrijednost normalne derivacije). Tu granicu treba birati tako da na njoj vrijede lokalni uvjeti paraboličnosti što znači da vrijednost na granici neće imati utjecaja na polje ϕ u unutrašnjosti područja proračuna (primjer razvijenog strujanja u dugom kanalu, kada se veličine u

strujanju prestaju mijenjati u smjeru strujanja, pa vrijedi ddnϕ =0). Ako se pozovemo na

analitičko rješenje jednodimenzijskog problema danog izrazom (6.38) onda za visoke vrijednosti lokalnog Pecletova broja protok kroz granicu ovisi samo o stanju na uzvodnoj strani, kao u izrazu (6.39). Drugim riječima u uvjetima dominantnog konvekcijskog transporta difuzijski transport se može zanemariti, te jednadžbe postaju

hiperboličke i u stacionarnom strujanju vrijedi v Ss ϕϕρ ∂=

∂, gdje je s koordinata u

smjeru strujnice, a Sϕ izvorski član (vidjeti izraz 4.4 u četvrtom poglavlju). Ako se

izvorski član u blizini izlazne granice može zanemariti, tada vrijedi 0sϕ∂=

∂, a ako se

izlazna granica postavi okomito na strujnice, tada je i 0nϕ∂=

∂, što odgovara von

Neumannovom uvjetu za kojeg prema izrazu (6.76) tada vrijedi Nb b CFϕΔ =J , što znači

da je ukupni protok ϕ kroz izlaznu granicu jednak konvekcijskom protoku računatom primjenom uzvodne numeričke sheme. U tom slučaju na izlaznoj granici ne treba korigirati niti koeficijent Ca niti slobodni član diskretizirane jednadžbe.

6.4.2. Rubni uvjeti s fizikalnog stajališta S fizikalnog stajališta rubni uvjeti su: 1) Ulazna granica: granica kroz koju fluid ulazi u područje proračuna i na kojoj je poznata vrijednost ϕ , što odgovara Dirichletovim rubnim uvjetima, prema izrazu (6.75). S obzirom da je na ulaznoj granici 0F < , koeficijent Na je bezuvjetno pozitivan i povećava centralni koeficijent Ca .


2) Izlazna granica: komentirana gore pod d) 3) Nepropusna stijenka: kroz koju nema protoka ( 0F = ), a u slučaju temperaturne jednadžbe na njoj može biti zadana temperatura (Dirichletov rubni uvjet), toplinski tok (koji odgovara protoku bΔJ , pa se ta vrijednost stavlja u slobodni član diskretizirane jednadžbe, a

koeficijent Ca ostavi nepromijenjen) ili adijabatski rubni uvjet 0nϕ∂=

∂ (von Neumannov

rubni uvjet), a toplinski tok je moguće zadati koeficijentom prijelaza topline, što odgovara Robinovom rubnom uvjetu. Rubni uvjeti u jednadžbi količine gibanja za slučaj turbulentnog strujanja će biti dani naknadno. 4) Ravnina simetrije: kroz ravninu simetrije nema protoka fluida ( 0F = ), a zbog simetrije je

0nϕ∂=

∂, pa je ukupni protok jednak nuli. Dakle nema korekcije niti koeficijenta Ca niti

slobodnog člana u diskretiziranoj jednadžbi. 5) Periodička granica: koristi se za smanjivanje područja proračuna u slučajevima kad se može uočiti ponavljanje slike strujanja. Na slici je dan primjer strujanja preko snopa kotlovskih cijevi. U takvom strujanju se nakon nekog reda cijevi slika strujanja počinje ponavljati, pa je dovoljno analizirati strujanje u osjenčanom području na slici 6.24. Kod periodičke granice se može zamisliti da je crveni čvor uz ulaznu granicu, vanjski čvor zelenom čvoru uz izlaznu granicu. Na periodičkoj granici se normalno primjenjuje numerička shema kao i za sve unutarnje stranice konačnih volumena.

Slika 6.24 Primjer periodičke granice

simetrija

simetrija


6.5. Ostali aspekti metode konačnih volumena

6.5.1. Primjena shema višeg reda na nestrukturiranoj mreži Pokazano je da je za definiranje uzvodnih numeričkih shema drugog reda točnosti potrebno koristiti barem dva čvora s jedne strane stranice. Kod strukturiranih mreža to nije problem, a postavlja se pitanje kako to riješiti na nestrukturiranoj mreži gdje ne postoji mrežna linija duž koje su nanizani čvorovi. Iz izraza (6.55) za linearno uzvodnu shemu je očito da se potreba za čvornom vrijednošću Wϕ može zamijeniti poznavanjem derivacije u smjeru spojnice čvorova C i E u točki C. S obzirom da se na nestrukturiranoj mreži u točki C može izračunati gradijent ϕ , odnosno derivacija u bilo kojem smjeru, to znači da nema problema s primjenom numeričkih shema višeg reda točnosti. Formalno gledajući iz poznatog gradijenta ϕ u točki C, moguće je izračunati vrijednost u zamišljenom čvoru W, kako prikazuje slika 6.25, prema izrazu

( )C NW C

C

j jj

x xxϕϕ ϕ ∂

= + −∂

(6.77)

Udaljenost fiktivnog čvora W od čvora C jednaka je udaljenosti čvora C od čvora N. Kad imamo čvor W, prije definirani izrazi formalno ostaju nepromijenjeni.

Slika 6.25 Fiktivni čvor W za primjenu numeričke sheme višeg reda točnosti

Primjera radi pretpostavimo da je čvor n leži u polovištu spojnice čvorova C i N, pa bi izraz za QUICK shemu bio jednak izrazu (6.54), u kojeg se može uvrstiti vrijednost Wϕ prema izrazu (6.77), te za n 0F > vrijedi

( ) ( )C Nn W C N C N

C

1 5 3 16 38 8 8 8 j j

j

x xxϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂

= − + + = + − −∂

(6.78)

Gradijent ϕ u izrazu (6.78) je funkcija vrijednosti Cϕ i vrijednosti u svim okolnim čvorovima s kojim čvor C dijeli stranice. Kada bi se izraz za računanje gradijenta uvrstio u izraz (6.78), i tako razvijeni izraz koristio za izračunavanje protoka kroz stranicu nSΔ , tada bi se u diskretiziranoj jednadžbi za čvor N pojavile čvorne vrijednosti u svim okolnim čvorovima čvoru C. Isto bi vrijedilo za okolne čvorove svih uzvodnih volumena (čiji gradijent ulazi u definiciju srednje vrijednosti veličine ϕ na stranici konačnog volumena). U tom bi se slučaju popunjenost matrice sustava znatno povećala, ali bi se utjecaj svakog čvora jasno vidio. S obzirom da su jednadžbe koje rješavamo uglavnom nelinearne, što znači da će postupak imati

C

N

W

nΔ

nΔ n

nSΔ


iterativni karakter, obično se za vrijednost gradijenta uzima vrijednost izračunata s postojećim vrijednostima polja ϕ (odnosno iz prethodne iteracije), pa se u matrici sustava za svaki čvor pojavljuju koeficijenti samo uz okolne čvorove, a dodatak protoka s gradijentom ϕ se obračunava kroz slobodni član diskretizirane jednadžbe (desnu stranu sustava linearnih algebarskih jednadžbi). Jasno je da ovakvim pristupom u slučaju rješavanja linearne parcijalne diferencijalne jednadžbe, koja rezultira linearnim diskretiziranim jednadžbama i čije se rješenje principijelno dobiva jednim rješavanjem diskretiziranih jednadžbi, neće biti moguće dobiti jednim rješavanjem sustava diskretiziranih jednadžbi iz istih razloga kao i pri primjeni numeričkih shema s limiterima, jer i limiteri i u ovom slučaju gradijent ϕ zavise od rješenja kojeg tražimo. Jasno je da numerička shema koja u ovakvom tretiranju gradijenata daje pozitivne koeficijente ne mora imati svojstvo monotonosti, jer negativni koeficijenti mogu biti skriveni u izrazu za gradijent ϕ .

6.5.2. Linearna interpolacija iz čvornih vrijednosti na stranicu konačnog volumena

U numeričkoj proceduri će biti potrebe za linearnom interpolacijom nekih veličina iz vrijednosti u glavnim čvorovima na stranicu. Slika 6.26 prikazuje opći slučaj u kojem spojnica čvorova C i N nije okomita na stranicu i spojnica probada stranicu u točki m, koja se razlikuje od njena težišta n. Uvijek možemo zamisliti da kroz čvorove C, n i N prolazi krivocrtna koordinata ξ duž koje vršimo linearnu interpolaciju iz čvorova C i N u težište stranice n. Izraz za linearnu interpolaciju bi tada glasio: n C N(1 )f fϕ ϕ ϕ= + − , (6.79) gdje potez na nϕ označuje linearnu interpolaciju, a faktor f linearne interpolacije je definiran kao

nN mNCn nN CN

f = ≈+

(6.80)

Jasno će da će pri maloj distorziji mreže (mala udaljenost točaka m i n) vrijediti aproksimacija dana u formuli (6.80).

Slika 6.26 Uz linearnu interpolaciju iz glavnih čvorova na stranicu

6.5.3. Difuzijski transport na neortogonalnoj mreži Za izračunavanje difuzijskog protoka kroz stranicu konačnog volumena treba poznavati

normalnu derivaciju jj

nn xϕ ϕ∂ ∂=

∂ ∂, koja je projekcija gradijenta ϕ na smjer normale, što znači

da u točki n treba poznavati gradijent ϕ . S obzirom da je gradijent ϕ definiran za volumene, dakle u glavnim čvorovima, gradijent na stranici se može definirati linearnom interpolacijom, prema izrazu (6.79), tj. vrijedi

C N

n m ξ


n C N

(1 )j j j

f fx x xϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂

= + −∂ ∂ ∂

, (6.81)

S druge strane iz čvornih vrijednosti Cϕ i Nϕ možemo izračunati derivaciju u smjeru spojnice čvorova C i N, koju možemo shvatiti kao aproksimaciju krivocrtne koordinate ξ , pa vrijedi

N C

n CNϕ ϕϕ

ξ−∂

=∂

, (6.82)

pa će se zahtijevati da projekcija gradijenta ϕ na smjer spojnice čvorova C i N odgovara derivaciji definiranoj izrazom (6.82). Interpolirani gradijent u općem slučaju neće zadovoljavati taj uvjet, pa će se za gradijent ϕ na stranici konačnog volumena uzeti korigirana vrijednost interpoliranog gradijenta, tako da projekcija korigiranog gradijenta zadovolji izraz (6.82). Slika 6.27 definira način korekcije. Ako se sa jξ označi jedinični vektor normale u smjeru koordinate ξ (spojnice čvorova C i N), tada je prema interpoliranom gradijentu ϕ , derivacija u smjeru ξ jednaka skalarnom umnošku gradijenta ϕ i jediničnog vektora jξ , kako je prikazano na slici 6.27.

Slika 6.27 Korekcija interpoliranog gradijenta ϕ na stranici konačnog volumena

Derivaciju u smjeru okomitom na ξ se dobije kao razliku jjxϕ ϕξ

ξ∂ ∂

−∂ ∂

. Korigirani gradijent u

čvoru n jednak je zbroju derivacije u okomitom smjeru na spojnicu CN (koja se odredi iz interpoliranog gradijenta ϕ kao rečena razlika) i stvarne derivacije u smjeru spojnice CN (izračunate iz čvornih vrijednosti), pa je konačni izraz za gradijent ϕ na stranici konačnog volumena definiran izrazom:

N C

CN k jj j kx x x

ϕ ϕϕ ϕ ϕξ ξ⎛ ⎞−∂ ∂ ∂

= + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (6.83)

Za potrebe definiranja difuzijskog protoka veličine ϕ kroz stranicu SΔ potrebno je poznavati derivaciju u smjeru normale, koja glasi

N C

cos cosCNj j j j k j j

j j k

n n n nn x x x

α α

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕξ ξ ξ∂ ∂ − ∂ ∂= = + −

∂ ∂ ∂ ∂, (6.84)

gdje je cosj jnξ α= , kosinus kuta između jediničnih vektora jn i jξ . Difuzijski transport je tada definiran izrazom

jξ

jn

kkx

ϕ ϕξξ∂ ∂

=∂ ∂

N C

CNϕ ϕ−

jjxϕ ϕξ

ξ∂ ∂

−∂ ∂

jxϕ∂

∂

N C

CN jjj

kkx x x

ϕ ϕξ ξϕ ϕϕ ⎛ ⎞∂ ∂

= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

−∂−

∂

C N n

SΔ

α


( )N C cosCN / cos

D

SD S Sn n nϕ ϕ Γ ϕ ϕΓ ϕ ϕ Γ α

ξα⎛ ⎞∂ ∂ Δ ∂ ∂

− = − Δ = − − + Δ −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠, (6.85)

Ponovo će se drugi dio izraza koji sadrži razliku ( )N Cϕ ϕ− obračunati kroz koeficijente u matrici sustava, a član koji sadrži normalnu derivaciju računatu s interpoliranim gradijentom kroz slobodni član diskretizirane jednadžbe kao i izvorski član. Jasno je da će obračunavanje dijela difuzijskog transporta kroz izvorski član imati za posljedicu da se rješenje linearnog problema neće moći dobiti jednim rješavanjem diskretiziranih jednadžbi. Iz je jasno je da za slučaj ortogonalne mreže ( 0α = , j jnξ = ) izraza (6.85) prelazi u poznati oblik

( )N CCND

SD Sn nϕ ϕ ΓΓ ϕ ϕ∂ ∂ Δ

− = − Δ = − −∂ ∂

, (6.86)

u kojem nije potrebno koristiti interpolirane gradijente ϕ . S obzirom da svaka interpolacija unosi određenu pogrešku u numerički postupak sigurno je bolje ne koristiti interpolirane veličine.

6.5.4. Interpolacija koeficijenta difuzije U izrazu za difuzijsku vodljivost se pojavljuje koeficijent difuzije, koji je fizikalno svojstvo fluida i funkcija je termodinamičkih veličina koje su definirane u glavnim čvorovima, pa je i Γ definiran u glavnim čvorovima, a za difuzijsku vodljivost ga je potrebno definirati na stranici konačnog volumena, što znači da je potrebna interpolacija. Recipročna vrijednost difuzijske vodljivosti je otpor difuziji. Gledajući sliku 6.26 ukupni otpor difuziji od čvor C do N se sastoji od zbroja otpora od čvora C do točke m uz koeficijent difuzije CΓ te otpora od točke m do čvora N, uz koeficijent difuzije NΓ , ili matematički

n C N

CN Cm mNS S SΓ Γ Γ= +

Δ Δ Δ ili

n C N

1 1 f fΓ Γ Γ

−= + (6.87)

Jasno je da za slučaj CΓ =0 iz izraza (6.87) slijedi i nΓ =0, što je fizikalno, jer u tom slučaju ne može biti difuzije između čvorova C i N. Linearna interpolacija bi uz 0,5f = davala

n N0,5Γ Γ= , te bi difuzija postojala, što je nefizikalno.

6.5.5. Kriterij završetka iterativnog postupka Kao što je prije rečeno opća transportna jednadžba može biti nelinearna, bilo zbog nelinearnosti izvorskog člana ili zbog zavisnosti koeficijenata jednadžbe od samog rješenja. Jasno je da će pri rješavanju jednadžbe količine gibanja ( ivϕ = ) jednadžbe biti nelinearne zbog toga što je jačina konvekcije, koja definira koeficijente jednadžbe, funkcija brzine koju tek trebamo naći. Slično i koeficijent difuzije može biti funkcija ( )Γ Γ ϕ= (npr. toplinska provodnost u energijskoj jednadžbi je funkcija temperature), pa će koeficijenti diskretizirane jednadžbe također biti funkcija rješenja. Diskretizirani oblik opće transportne jednadžbe je

[ ]CC C C N N C C

1

dd

nbNnb

nb

V a a S Vtϕρ ϕ ϕ

=

Δ = − + + Δ∑ , (6.88)

gdje su za slučaj nelinearne jednadžbe koeficijenti Na i Ca te izvorski član CS funkcije od traženog rješenja ϕ . Za svaki konačni volumen unutar područja proračuna postavlja se jedna


jednadžba oblika (6.88). U eksplicitnim metodama prostorna povezanost među čvornim vrijednostima ϕ uzima se u trenutku u kojem su te vrijednosti poznate, tako da se može izračunati vremenska derivacija, odnosno integrirati jednadžbu duž vremena. Jasno je da će za slučaj nelinearnih jednadžbi višekoračne prediktor-korektor metode biti puno primjerenije, jer će se i nelinearne zavisnosti koeficijenata kroz ponavljanje računanja koeficijenata puno bolje uzeti u obzir. Tako se npr. u Eulerovoj metodi derivacija računa samo jednom (metoda je prvog reda točnosti), u prediktor-korektor metodi drugog reda točnosti, dva puta, a u Runge-Kutta metodi četvrtog reda točnosti, četiri puta. Osnovni nedostatak eksplicitnih metoda je da zbog uvjeta stabilnosti imaju ograničenje na veličinu vremenskog koraka integracije, što može biti presudno za odluku o korištenju implicitnih metoda. U implicitnim metodama se vremenska derivacija diskretizira korištenjem čvornih vrijednosti ϕ u trenutku kada te vrijednosti nisu poznate, pa se dobije simultani sustav nelinearnih jednadžbi. Ako se izvorski član linearizira, za svaki konačni volumen se dobije jedna kvazilinearna jednadžba oblika

[ ] oldC C N N C

1

nbNnb

nb

V Va a bt t

ρ ρϕ ϕ ϕ=

Δ Δ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠∑ , (6.89)

gdje slobodni član b sadrži sve poznate veličine. Jednadžbe za sve konačne volumene se mogu zapisati u obliku ( ) [ ] ( ) 0j ji i jr A bϕ ϕ ϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤≡ − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (6.90)

gdje su koeficijenti u matrici jiA i slobodni član jb funkcije traženog rješenja. Indeks j se odnosi na redni broj konačnog volumena (odnosno redni broj jednadžbe u sustavu jednadžbi). Primjenom Newtonove metode na sustav jednadžbi (6.90), traži se korekcija čvornih vrijednosti iϕΔ ( 1k k

i i iϕ ϕ ϕ+ = + Δ , gdje je k broj iteracije), iz izraza

1 0jk kj j i

i

rr r ϕ

ϕ+ ∂= + Δ =

∂, (6.91)

odakle je

[ ]

Jacobijeva matrica

jm jk km ji i j

i i

A bA rϕ ϕ

ϕ ϕ∂ ∂⎡ ⎤

+ − Δ = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦, (6.92)

Nedostatak Newtonove metode je u potrebi računanja Jacobijeve matrice, jer je analitička

derivacija koeficijenata komplicirana jm

i

Aϕ

∂∂

(koeficijenti ovise o numeričkoj shemi, pa svaka

numerička shema zahtijeva druge analitičke izraze), a numerička derivacija skupa. S druge strane brzina konvergencije ove metode zavisi od početne pretpostavke za rješenje. Ako je pretpostavka daleko od stvarnog rješenja, metoda može divergirati. Druga, češće korištena metoda za rješavanje nelinearnih jednadžbi se temelji na linearizaciji, pa se sustav (6.90) može zapisati u obliku linearnog sustava jednadžbi ( ) ( )1 1 0k k k k

j ji i jr A bϕ ϕ ϕ+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤≡ − =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (6.93)

Iterativni postupak započinje pretpostavkom rješenja kiϕ (k=0), temeljem kojeg se izračunaju

koeficijenti matrice jiA i slobodni član jb , a rješavanjem sustava (6.93) se dobije novo

rješenje 1kiϕ+ . Temeljem novog rješenja računaju se novi koeficijenti sustava, te se ponovnim

rješavanjem sustava dobiju korigirana rješenja. Ovaj postupak se ponavlja, sve dok se rješenje ne prestane mijenjati, tj. dok se ne zadovolji kriterij točnosti rješavanja sustava. Iz izraza (6.93) je jasno da će rješenje 1k

iϕ+ biti jednako rješenju k

iϕ , ako rješenje kiϕ zadovoljava

jednadžbu (6.93), tj. da vrijedi


( ) ( ) 0k k k kj ji i jr A bϕ ϕ ϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤≡ − =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (6.94)

Jasno je da pri numeričkom rješavanju reziduali 1kjr + nikad neće za sve jednadžbe biti

identički jednaki nuli, pa će se kriterij (6.94) modificirati u zahtjev ( ) ( )max maxmax maxk k k k

j ji i jK r A bϕ ϕ ϕ ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = − ≤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , (6.95)

gdje "max" označuje najveću vrijednost među rezidualima, a maxε je propisana točnost (dovoljno mali broj), ili nešto manje strogo ( ) ( )sum sum

k k k kj ji i j

j j

K r A bϕ ϕ ϕ ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = − ≤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ , (6.96)

gdje se suma odnosi po svim konačnim volumenima. Alternativno bi se moglo zahtijevati da promjena rješenja u dvije sukcesivne iteracije bude mala 1k k

j jj

K ϕ ϕ ε+Δ Δ= − ≤∑ . (6.97)

Najčešće se koristi kriterij (6.96) s tim da se suma apsolutnih vrijednosti reziduala normira s nekom vrijednošću. Naime veličina reziduala zavisi od veličine volumena, tj. jačine konvekcije i difuzije, te o samoj prosječnoj vrijednosti polja ϕ , pa bi i kriterij sumε ovisio o problemu kojeg se rješava. Jedan od načina da se kriterij učini općenitijim je da se reziduali normiraju s ukupnim konvekcijskim protokom veličine ϕ . Ako je m ukupni maseni protok fluida kroz područje proračuna, a kϕ karakteristična vrijednost ϕ za problem (bilo maksimalna ili prosječna vrijednost) tada se kriterij sumε može prikazati u obliku sum kmε ε ϕ= , gdje je ε bezdimenzijski (univerzalni) kriterij sličnosti, npr. 410ε −= . Naravno ovaj pristup ne vrijedi u slučajevima strujanja unutar zatvorenog spremnika ( m =0), pa se tada mora drukčije definirati karakteristična vrijednost protoka, npr. sumu difuzijskih vodljivosti po granicama područja proračuna. Za karakterističnu vrijednost je moguće izabrati i sumu apsolutnih vrijednosti slobodnih članova, sum j

jbε ε= ∑ , ili maksimalnu vrijednost reziduala

u prvih nekoliko iteracija. U svakom slučaju tražit će se da se normirani reziduali tijekom iterativnog postupka smanje za barem tri reda veličine ( 310ε −= ). Naravno, ako se reziduali normiraju s maksimalnom vrijednošću reziduala u prvih, recimo 5 iteracija, tada će za dobro pretpostavljeno rješenje rezidual s kojim se normira biti mali, pa se može dogoditi da se prije dosegne ograničenje točnosti računala (reziduali se ne mogu više smanjivati) nego što normalizirani reziduali padnu ispod propisane vrijednosti. Zbog toga se obično tijekom iterativnog postupka prati promjena normaliziranih reziduala, pa kad se reziduali ustale (prestanu opadati) to ukazuje da se je vjerojatno dostigla točnost rezultata koja odgovara točnosti računala, pa se iterativni postupak može prekinuti. Kao dopunski kriterij može se pratiti promjena neke integralne veličine (npr. protoka veličine ϕ kroz neku od granica) ili vrijednost ϕ u nekoj točki (u kojoj očekujemo da će se vrijednost ϕ najteže ustaliti), pa kad se te kontrolne veličine ustale, također možemo prekinuti postupak iteriranja. Ukoliko se radi o proračunu stacionarnog strujanja, a reziduali i kontrolne veličine se ne ustaljuju nego se periodički smanjuju i povećavaju to može biti znak da stacionarno rješenje problema ne postoji (tipičan primjer je optjecanje kružnog cilindra u određenom području Reynoldsova broja, kada se pojavljuje periodičko otkidanje vrtloga). U praktičnim primjenama metode konačnih volumena za rješavanje modela strujanja fluida, jednadžbe su sigurno nelinearne, a matrica sustava je velika, ali rijetko popunjena. Za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi se uglavnom koriste iterativni rješavači, koji zahtijevaju manje memorije, a pri rješavanju nelinearnih problema su i efikasniji. Naime


u sustavu jednadžbi (6.93) koeficijenti jiA u matrici sustava i koeficijenti jb su funkcija rješenja, pa nije potrebno u svakoj iteraciji riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi do kraja, jer dobiveno rješenje 1k

iϕ+ neće biti rješenje problema, sve dok koeficijenti sustava ne

budu izračunati s točnim rješenjem. Pri tome je važno imati iterativni rješavač sustava linearnih algebarskih jednadžbi koji se svakom iteracijom približava točnom rješenju sustava. Dakle možemo govoriti o dvije vrste iteracija, vanjskim iteracijama zbog nelinearnosti jednadžbi, i unutarnjim iteracijama rješavača sustava linearnih algebarskih jednadžbi, kako je to prikazano na blok dijagramu na slici 6.28. Važno je uočiti da kriterij (6.95) obuhvaća i točnost rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi i točnost rješavanja nelinearnosti u jednadžbama. Pri rješavanju nelinearnih algebarskih jednadžbi se zadaje točnost rješavanja s

linε . Kod jako nelinearnih jednadžbi, gdje se očekuje više iteracija linε se postavlja na vrijednost 0.2 do 0,1, a kod linearnih jednadžbi linε treba staviti na željenu točnost, npr.

4lin 10ε −= , da se jednadžbe odmah riješe točno i izbjegnu nepotrebne vanjske iteracije unutar

kojih se računaju koeficijenti. Jasno je da se u svakoj vanjskoj iteraciji ulazi u rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi s manjom sumom apsolutnih reziduala, pa se može dogoditi da se reziduali više ne mogu (zbog ograničene točnosti računala) smanjiti linε puta. Zbog toga se obično propisuje i maksimalni broj unutarnjih iteracija za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Ista je situacija i s vanjskim iteracijama. Kad se postigne stacionarno rješenje (koje se više ne mijenja s vremenom), ako se kao kriterij za normiranje koristi početni rezidual, tada se dolazi u situaciju da se taj početni rezidual više ne može smanjiti željeni broj puta, pa treba ograničenje na broj vanjskih iteracija, što na slici 6.28 nije prikazano.


Slika 6.28 Dijagram tijeka za vremensku integraciju implicitnom metodom

Na kraju valja spomenuti da kod loše uvjetovane (engl. ill-conditioned) matrice sustava, kriterij (6.96) ne mora jamčiti da smo blizu točnog rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Bez da se ulazi u matematičku definiciju loše uvjetovanosti, može ju se ilustrirati na primjeru sustava dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice (x i y). Promatrajmo sustav

( )( )1

1

x y

x y

ε ε

ε ε

+ − =

− − = − (6.98)

t t t= + Δ

izračunaj koeficijente u jednadžbi (6.93) i

početni rezidual KΔt

pamti početni rezidual Kpoc

načini iteraciju u rješavanju sustava

linearnih alg. jednadžbi

K < εlinKpoc?

maksimalno iteracija?

NENE

DA

DA

unut

arnj

e ite

raci

je

K < ε KΔt ?

izračunaj koeficijente u jednadžbi (6.93) i rezidual Kpoc

vanj

ske

itera

cije

t < tmax ?

NE

DA

vrem

ensk

a in

tegr

acija

DA

kraj integracijeNE


gdje je ε parametar. Rješenje ovog sustava je točka presjeka dvaju pravaca u Oxy ravnini, i jednako je 1x = i 1y = , za bilo koju vrijednost ε . Za vrijednost 0ε = jednadžbe u sustavu (6.98) postaju jednake (grafički imamo dva identična pravca) pa rješenju sustava odgovara svaka točka na pravcu 0x y− = . Slika 6.29 prikazuje jednadžbe pravaca sustava (6.98) u Oxy ravnini za vrijednosti parametra 0,5ε = i 0,02ε = .

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1

0

1

2

3

4(1+ε)x-y=ε(1-ε)x-y=-ε

ε=0,5

x

y

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1

0

1

2

3

4(1+ε)x-y=ε(1-ε)x-y=-ε

ε=0,02

Slika 6.29 grafički prikaz jednadžbi sustava (6.98) za dvije vrijednosti ε

Očito će se za vrijednosti ε oba pravca težiti k pravcu y x= , pa se za sustav kaže da je loše uvjetovan. Geometrijski gledano rezidual nije ništa drugo nego udaljenost točke od pravca. Za loše uvjetovan sustav prema desnom dijagramu na slici 6.29, za sve točke koje su na pravcu y x= , udaljenosti od dvaju pravaca će biti male, a pogreška u rješenju može biti velika. Reziduali za sustav jednadžbi (6.98) su

( )( )

1

2

1

1

r x y

r x y

ε ε

ε ε

= + − −

= − − + (6.99)

i za točku 0x y= = iznose 1r ε= − i 2r ε= , pa bi za 710ε −= , reziduali bili mali te bi se moglo shvatiti da je točka 0x y= = rješenje sustava što nije točno. Drugi problem vezan uz loše uvjetovani sustav za vrijednosti 710ε −< je u tome da se u računalu (koje je uvijek konačne točnosti) koeficijenti sustava (6.98) neće moći točno prikazati za niske vrijednosti ε . Naime, ako se za prikaz realnog broja u računalu koriste 32 bita (obična preciznost), od čega 8 za eksponent i 24 za mantisu, a kad se uzme u obzir da predznak mantise nosi 1 bit, ostaju 23 bita, pa najmanji broj koji se može dodati broju jedan, a da rezultat još uvijek bude različit od jedan, jednak je 23 72 1,192 10− −= ⋅ . Prema tome za sve vrijednosti ε manje od točnosti računala koeficijent 1 ε+ se neće ni moći prikazati u računalu. Prelaskom na dvostruku preciznost broj bitova za mantisu se povećava, pa tako i broj točnih znamenki u prikazu broja, a za 55-bitnu mantisu je to 55 172 2,776 10− −= ⋅ . Ponovo se točne vrijednosti koeficijenata za npr. 2010ε −= ne bi mogle prikazati u računalu. Problem je i to što iterativne metode obično sporije konvergiraju na loše uvjetovanom sustavu. Kao primjer uzmimo Gauss-Siedelovu metodu, koja bi za sustav jednadžbi (6.98) glasila

( )

1

1 1

11

kk

k k

yx

y x

εεε ε

+

+ +

+=

+= − +

(6.100)

Sljedeća tablica daje rezultate iterativnog postupka za dvije vrijednosti parametra 0,9ε = i

0,02ε = . U oba slučaja iterativni postupak započinje od x=0 i y=0.


0,9ε = 0,02ε = iteracija x y

1 2r r+ iteracija x y 1 2r r+

1 0,47368 0,94737 0,94737 1 0,01961 0,03922 0,03922 2 0,97230 0,99723 0,04986 2 0,05805 0,07689 0,03768 3 0,99854 0,99985 0,00262 3 0,09499 0,11309 0,03620 4 0,99992 0,99999 0,00014 4 0,13048 0,14787 0,03478 5 1,00000 1,00000 0,00001 5 0,16458 0,18129 0,03342 10 0,31604 0,32972 0,02736 20 0,54155 0,55072 0,01834 40 0,79403 0,79815 0,00824 80 0,95842 0,95926 0,00166

Iz tablice se vidi da se broj iteracija Gauss-Siedelove metode značajno povećao sa smanjenjem parametra ε na 0,02ε = , pri čemu je u 80-toj iteraciji relativno odstupanje od točnog rješenja još uvijek oko 4,2%.

6.5.6. Podrelaksacija S obzirom da pri rješavanja nelinearnih jednadžbi iterativni postupak može i divergirati, da se smanji mogućnost divergencije primjenjuje se postupak podrelaksacije. Ako se u jednom koraku iterativnog postupka rješenje promjeni od k

jϕ na 1kjϕ + , tada se od ukupne promjene

uzima samo dio, tako da za vrijednost ϕ u čvoru C (kao i u svakom drugom čvoru) vrijedi ( )podr 1

C C C Ck k kϕ ϕ α ϕ ϕ+= + − , (6.101)

gdje je α faktor podrelaksacije, koji je manji od jedan. Za 1α = nema podrelaksacije, a za 1α > bi se govorilo o nadrelaksaciji. Prema izrazu (6.89) je

1 1C C N N

1

nbN nbk k k k k

nb

a a bϕ ϕ+ +

=

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∑ , (6.102)

što uvršteno u (6.101) daje

1N N

podr 1C C C

C

nbN nbk k k

k knbk

a b

a

ϕϕ ϕ α ϕ

+

=

⎛ ⎞⎡ ⎤ +⎜ ⎟⎣ ⎦

⎜ ⎟= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ili

C

podr 1CC N N C C

1

1nbk N nbk k k k k

nba b

a a b aαϕ ϕ ϕα α

+

=

−⎡ ⎤= + +⎣ ⎦∑ , (6.103)

Prema tome podrelaksacija povećava centralni koeficijent i mijenja slobodni član, slično kao i vremenska integracija, vidjeti izraz (6.89), u kojem je dodatak od nestacionarnog člana

/V tρΔ Δ , a ovdje je dodatak uslijed podrelaksacije ( ) C1 /kaα α− . To znači da se postupak podrelaksacije pri rješavanju stacionarnog problema ( tΔ = ∞ ) može shvatiti kao pseudo vremenska integracija, jer je uvođenje podrelaksacije ekvivalentno vremenskoj integraciji. Naravno, podrelaksacija se koristi samo kod rješavanja stacionarnih problema, a kod nestacionarnih problema efekt podrelaksacije se dobije smanjivanjem vremenskog koraka integracije. Jasno je da postupak podrelaksacije nema utjecaja na konačno rješenje, jer kad su nelinearne jednadžbe zadovoljene mora vrijediti k

jϕ = 1kjϕ + .


6.6. Preporuke za diskretizaciju područja proračuna – formiranje geometrijske mreže

U pravilu se diskretizacijom područja proračuna formiraju konačni volumeni koji se međusobno dodiruju (ne preklapaju se) i u potpunosti ispunjavaju područje proračuna. Skup konačnih volumena se još naziva i geometrijskom mrežom. Geometrijska mreža može biti strukturirana, ili nestrukturirana. U slučaju strukturiranih mreža se npr. u dvodimenzijskoj situaciji konačni volumeni mogu svrstati u stupce i retke, pri čemu u svakom retku i svakom stupcu ima jednaki broj volumena (broj volumena u stupcima može biti različit od broja volumena u redcima). Položaj svakog volumena u području proračuna je opisan parom indeksa (u trodimenzijskoj situaciji su potrebna tri indeksa). U nestrukturiranim mrežama ne postoji pravilo za numeriranje čvorova, pa treba voditi administraciju koji čvor je kojemu susjed, što komplicira programiranje metode. Matrica sustava diskretiziranih jednadžbi na strukturiranim mrežama ima pravilnu dijagonalnu strukturu, dok su koeficijenti u matrici dobivenoj na nestrukturiranim mrežama nepravilno razmješteni po čitavoj matrici. Pravilnost matrice može imati prednost pri definiranju iterativnih metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Metoda konačnih volumena je točnija na strukturiranim mrežama nego na nestrukturiranim (za isti broj volumena) te kad god je moguće treba koristiti strukturirane mreže. Osnovni nedostatak strukturiranih mreža je da ne dopuštaju lokalno usitnjavanje mreže, a ne postoji automatski generator mreže za složene geometrije, kao što je slučaj s nestrukturiranim mrežama. Pristup A: razmjesti čvorove pa formiraj

volumene Pristup B: formiraj volumene pa postavi

čvorove u težišta

Stru

ktur

irana

mre

ža

Nes

trukt

urira

na m

reža

Slika 6.30 Pristupi formiranju i vrste geometrijskih mreža u 2D situaciji

j

j+1

j-1

i i+1

i-1

j

j+1

j-1

i-1 i i+1


Diskretizacija područja proračuna se može napraviti na dva načina. Prvi način je da se prvo postave čvorovi, pa se oko njih formiraju konačni volumeni (pristup A), a drugi način je da se prvo formiraju konačni volumeni, pa se zatim u njihova težišta postavljaju čvorovi (pristup B). Kao što se vidi iz slike 6.30 u pristupu A se dobiju polovični volumeni uz rub područja proračuna, što zahtijeva proceduru diskretizacije nešto različitu od procedure za volumene u unutrašnjosti područja proračuna. To je određeni nedostatak, ali ne preveliki ako se uzme u obzir da su ti volumeni i tako specifični zbog potrebe ugradnje rubnih uvjeta. Temeljem opisa metode konačnih volumena, može se reći da bi idealna geometrijska mreža trebala imati sljedeća svojstva:

1) Čvorovi bi trebali biti u težištu konačnih volumena za potrebe što točnije aproksimacije volumenskih integrala.

2) Spojnica čvorova treba probadati stranicu konačnog volumena u njenom težištu, za potrebe što točnije aproksimacije površinskih integrala.

3) Težište stranice bi trebalo biti na polovištu spojnice susjednih čvorova, za potrebe što točnije interpolacije.

4) Spojnica čvorova bi trebala biti okomita na stranicu konačnog volumena, jer se tada difuzijski protok može modelirati bez potrebe za interpolacijom gradijenata iz centralnih čvorova na stranicu konačnog volumena.

5) Posebno, prvi čvor do granice područja proračuna treba ležati na okomici na granicu povučenoj iz težišta rubne stranice, zbog točnije ugradnje rubnih uvjeta.

Naravno da sve ove uvjete zadovoljavaju samo mreže sastavljene iz elemenata pravilnog oblika (npr. kvadrati u 2D ili kocke u 3D), a u mrežama koje opisuju složeniju geometriju, nikad nisu zadovoljeni svi nabrojani uvjeti. Niti jedan od pristupa generiranja mreže ne garantira zadovoljavanje traženih uvjeta, s tim da pristup A ne garantira niti uvjet da se čvor nalazi u težištu volumena, pa se češće koristi pristup B u kojemu je to garantirano, a osim toga se u tom pristupu dobiju puni volumeni uz rub područja proračuna. Osim nabrojanih svojstava za numerički postupak je bolje kada su karakteristične dimenzije volumena u svim smjerovima približno jednake. Ako su volumeni vrlo izduženim u jednom smjeru matrica sustava je lošije uvjetovana što je kao što je prije ilustrirano uzrok lošijoj konvergenciji Gauss-Siedelove metode za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. To se može ilustrirati na primjeru rješavanja difuzijske jednadžbe u području kao na slici 6.31.

Slika 6.31 Područje proračuna za stacionarni problem difuzije

x

y 6ϕ =

0ϕ =

0nϕ∂=

∂

0nϕ∂=

∂

L

Δx

H

Δy

1

2

3

4

5

6


Neka je na lijevom rubu ( 0x = ) zadano 0ϕ = , na desnom ( x L= ) 6ϕ = , a neka je na gornjem ( y H= ) i donjem ( 0y = ) rubu normalna derivacija jednaka nuli. Za te će uvjete analitičko rješenje biti linearno 6 /x Lϕ = . Za stacionarni problem jednadžba difuzije uz nulti izvorski član glasi

0j jx x

ϕΓ⎛ ⎞∂ ∂

− =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠, (6.104)

Uz Γ =konst. u Oxy koordinatnom sustavu, ona prelazi u

2

0j jx xϕ∂

=∂ ∂

ili 2 2

2 2 0x yϕ ϕ∂ ∂+ =

∂ ∂ (6.105)

Diskretizacijom jednadžbe (6.105) za 6 konačnih volumena prema slici 6.31 slijedi sustav šest jednadžbu u kojima su nepoznanice vrijednosti ϕ u šest unutarnjih čvorova. Koeficijenti za

stranicu između čvorova 1 i 2 (uz =1Γ ) jednak je difuzijskoj vodljivosti S xD an y

ΓΔ Δ= = =

Δ Δ.

Koeficijent za stranicu između čvorova 1 i 3 je također jednak difuzijskoj vodljivosti i iznosi 1S yD

n x aΓΔ Δ

= = =Δ Δ

. Za gornje i donje rubne stranice, na kojima je zadan von Neumannov

rubni uvjet, nema korekcije centralnog koeficijenta niti slobodnog člana, a za stranice na lijevom i desnom rubu na kojima je Dirichletov rubni uvjet koeficijent iznosi

2/ 2

S yDn x a

ΓΔ Δ= = =

Δ Δ, što se dodaje centralnom koeficijentu za volumene uz granicu. Ako se

raspiše matrica koeficijenata u sustavu [ ]ji i jA bϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦ i vektor desne strane, oni će biti

3 1 0 0 0

3 10 0 0

1 2 10 0

1 2 10 0

1 30 0 0

1 30 0 0

ji

a aa a

a aa a

a aa a aA

a aa a a

a aa a

a aa a

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− + − −⎢ ⎥⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − + −⎢ ⎥⎢ ⎥

− + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎣ ⎦

;

0

0

0

0

12

12

jb

a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.106)

ili ako se svaku jednadžbu podijeli s a koeficijenti će biti 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 3 1 0 0 01 1 3 0 0 0

0 1 2 1 00 1 1 2 00 0 0 1 3 10 0 0 1 1 3

ji

a aa a

a a aA

a a aa a

a a

− −

− −

− − −

− − −

− −

− −

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + − −

⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥− + −⎢ ⎥

− − +⎢ ⎥⎣ ⎦

;

2

2

0000

1212

jb

aa

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.107)

Očito će za slučaj / 1000a x y= Δ Δ = biti 2 610a− −= , pa da bi se centralni koeficijenti mogli točno izračunati trebati koristiti dvostruku preciznost. U graničnom prijelazu a →∞ po dvije


jednadžbe sustava će postati jednake (matrica će biti singularna), a za konačno visoke vrijednosti a sustav jednadžbi će biti loše uvjetovan. Pri rješavanju takvih sustava pomoći će višemrežne metode (engl. multigrid methods), koje će biti opisane u kasnije. Pri optjecanju tijela nužno je zadati rubne uvjete u beskonačnosti, tj. na udaljenosti od tijela gdje je utjecaj tijela zanemariv. Pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja utjecaj viskoznosti se širi u područje daleko od tijela, pa će i granica u beskonačnosti trebati biti daleko od tijela. Pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja uz tijelo se formira granični sloj unutar kojeg postoje veliki gradijenti, i gdje će mreža morati biti gusta, a izvan graničnog sloja imamo neviskozno strujanje s malim gradijentima veličina u strujanju. Što je Reynoldsov broj veći granični sloj će biti tanji, pa će geometrijska mreža ovisiti o Reynoldsovu broju. Pri analizi strujanja tipa graničnog sloja, neće se moći izbjeći upotreba izduženih elemenata, jer je granični sloj tanak a dugačak, pa bi diskretizacija volumenima s a reda veličine jedinice zahtijevalo enormno puno volumena. Pri tome valja naglasiti da će u slučaju čisto konvekcijske jednadžbe odnos koeficijenata biti 1a− , a ne 2a− kao kod čiste difuzije, što je povoljnije. Jasno je da maksimalna duljina volumena zavisi i od zakrivljenosti stijenke. Što je stijenka zakrivljenija, to će volumeni trebati biti kraći, kao što je ilustrirano na slici 6.32, gdje je prikazan kvalitativni kriterij "vidljivosti" čvorova.

Slika 6.32 Loša i dobra diskretizacija unutar graničnog sloja

Po debljini graničnog sloja treba smjestiti dovoljan broj volumena, da se dobro opišu gradijenti veličina, a za područje izvan graničnog sloja, gdje su gradijenti mali, mogu se koristiti veći volumeni. Međutim prijelaz s malih na velike volumene treba biti kontinuiran, da bi faktor linearne interpolacije uvijek bio blizu vrijednosti 0,5, kao što prikazuje slika 6.33.

Slika 6.32 Loša i dobra diskretizacija po debljini graničnog sloja

Loše: skokovita promjena dimenzija volumena

Dobro: kontinuirana promjena dimenzija volumena

Loše: spojnica čvorova ne probada stranicu ("čvorovi se ne vide")

Dobro: spojnica čvorova probada stranicu blizu njena težišta.


6.7. Metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi Diskretizacija parcijalne diferencijalne jednadžbe metodom konačnih volumena završava formiranjem sustava linearnih algebarskih jednadžbi koje treba riješiti. Matrica sustava je rijetko popunjena, a struktura matrice zavisi od geometrijske mreže. Za slučaj primjene strukturiranih mreža matrica ima pravilnu dijagonalnu strukturu, a kod nestrukturiranih nenulti članovi su razbacani po čitavoj matrici. Takve matrice se zovu i pojasne matrice, pri čemu je širina pojasa najveća razlika indeksa nenultog vandijagonalnog koeficijenta i indeksa dijagonalnog koeficijenta. Kod strukturiranih mreža širina pojasa je definirana dimenzijom mreže (npr. za dvodimenzijsku mrežu 30 puta 50, širina pojasa može biti 30 ili 50, ovisno o načinu slaganja nepoznanica), dok kod nestrukturiranih mreža širina pojasa ovisi o numeriranju čvorova. Kod primjene direktnih metoda rješavanja, koje uzimaju u obzir pojasnost matrice temeljni je interes da širina pojasa bude što manja, pa su razvijeni algoritmi za prenumeriranje čvorova kako bi se širinu pojasa što više smanjilo, jer o njoj ovisi potrebna memorija za rješavanje sustava jednadžbi. Kod primjene uzvodne numeričke sheme (garantirano pozitivni koeficijenti) matrica sustava je dijagonalno dominantna (koeficijent na dijagonali je veći ili jednak sumi apsolutnih vrijednosti vandijagonalnih koeficijenata, pri čemu u barem jednoj jednadžbi mora biti veći). Dijagonalni koeficijenti su pozitivni, a vandijagonalni negativni (na desnoj strani diskretizirane jednadžbe su pozitivni). Matricu s tim svojstvima se naziva M-matricom. Treba imati na umu da su u računalnoj dinamici fluida matrice uglavnom vrlo velike, a da su jednadžbe nelinearne (koeficijenti u matrici funkcija su rješenja koje se traži), što znači da će se zbog potrebe za iterativnim postupkom sustav jednadžbi morati rješavati više puta. Potrebna veličina matrice (finoća geometrijske mreže) ovisi o problemu kojeg se rješava, a često je limitirana samim računalom. Naime, razvoj računala (porast memorije i brzine računanja) omogućuje rješavanje sve složenijih fizikalnih problema (matematičkih modela s više jednadžbi) i to u geometrijski sve složenijim područjima (za čiju se diskretizaciju zahtijeva sve više volumena). Kao primjer uzmimo računanje strujanja zraka za potrebe vremenske prognoze, za što se danas koriste najjača dostupna računala (mreža višeprocesorskih računala), a prognoza još nije dovoljno pouzdana. Nepouzdanost prognoze je uvjetovana nedovoljnim kapacitetom računala tj. potrebom korištenja grubih geometrijskih mreža i približnih modela turbulencije. S obzirom da su matrice sustava linearnih algebarskih jednadžbi velike i da sustav treba rješavati više puta, svakako je potrebno koristiti optimalne metode. Metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi, oblika ij j iA x b= ili simbolički

=Ax b mogu se podijeliti u sljedeće skupine 1) Direktne metode 2) Iterativne metode 3) Višemrežne (multigrid) metode

6.7.1. Direktne metode Direktne metode se temelje na algoritmima koji u konačnom broju računskih operacija daju točno rješenje (do na točnost računala) sustava jednadžbi. Računalno vrijeme ovih metoda razmjerno je kvadratu broja jednadžbi ( 2t N∼ ). Primjeri direktnih metoda su Gaussova eliminacija i metode temeljene na LU dekompoziciji matrice sustava. U Gaussovoj metodi se eliminacijom koeficijenata od matrice A dolazi do gornje trokutaste matrice U, nakon čega se sustav =Ux b , gdje je b vektor desne strane nakon Gaussove eliminacije, jednostavno


rješava. Na Gaussovoj eliminaciji se temelji Thomasov algoritam za rješavanje tridijagonalnog sustava linearnih algebarskih jednadžbi, kakav se dobije pri diskretizaciji jednodimenzijskog nestacionarnog problema ili dvodimenzijskog paraboličkog problema. U takvom se sustavu od N jednadžbi i-ta jednadžba sustava može zapisati u obliku 1 1i i i i i i ia x c x d x b− +− + − = , 1,i N= (6.108) pri čemu je 1 0a = i 0Nd = . Nakon Gaussove eliminacije u matrici sustavu će ostati dijagonalni član i član iznad glavne dijagonale, što se može zapisati kao 1i i i ix e x f+− = , 1,i N= (6.109) pri čemu treba biti 0Ne = . Ako se vrijednost 1ix − u jednadžbi (6.108) zamijene koeficijentima prema jednadžbi (6.109) u obliku 1 1 1i i i ix e x f− − −= + , dobije se ( )1 1 1i i i i i i i i ia f e x c x d x b− − +− + + − = , 1,i N= (6.110) što nakon sređivanja u oblik jednadžbe (6.109) daje

11

1 1

i i

i i i ii i

i i i i i i

e f

d b a fx xc a e c a e

−+

− −

+− =

− −, 1,i N= (6.111)

Usporedbom jednadžbe (6.111) s jednadžbom (6.109) slijede izrazi za koeficijente ie i if

1

ii

i i i

dec a e −

=−

i 1

1

i i ii

i i i

b a ffc a e

−

−

+=

− 1,i N= (6.112)

Nakon što se izračunaju ovi koeficijenti lako se izračuna rješenje jednadžbi, prema (6.109) 1i i i ix f e x += + , ,1i N= (6.113) Primijetimo da se u prvom koraku računaju koeficijenti počevši od prve prema zadnjoj jednadžbi, a da se u drugom koraku računaju rješenja od zadnje prema prvoj jednadžbi. Očito da u prvom koraku kad se računaju koeficijenti, vrijednosti 0e i 0f mogu biti zadane proizvoljno jer je 1 0a = . Isto tako je jasno da je 0Ne = zbog 0Nd = . Slično se mogu izvesti i formule za petdijagonalni sustav (koji bi se dobio primjenom numeričkih shema višeg reda točnosti u jednodimenzijskom nestacionarnom problemu), ali je važno da su svih pet dijagonala uz glavnu dijagonalu (širina pojasa je dva). Za petdijagonalni sustav koji se dobije diskretizacijom opće transportne jednadžbe u dvodimenzijskoj situaciji na mreži i jN N× matrica sustava ima širinu pojasa iN ili jN (ovisno o slaganju nepoznanica), pa bi se primjenom Gaussove eliminacije u matrici U svi koeficijenti unutar pojasa bili u pravilu različiti od nule, pa bi metoda zahtijevala više memorije i računalnog vremena za računanje tih koeficijenata. Često korištena direktna metoda za rješavanje sustava se temelji na prikazu matrice sustava

=Ax b u obliku umnoška donje trokutaste matrice (L) i gornje trokutaste matrice (U), pa vrijedi = =A L U

v

x x b (6.114)

Ovakav se sustav jednostavno rješava u dva koraka, prvo se riješi sustav =Lv b , gdje je v pomoćni vektor, a zatim =Ux v . Naravno, određivanje koeficijenata matrica L i U je sa stajališta računalnog vremena skupo.


6.7.2. Iterativne metode Iterativne metode rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi se temelje na inkrementalnom poboljšavanju rješenja sustava u obliku 1k k k+ = +x x δ , (6.115) gdje k označuje broj iteracije, a kδ vektor korekcije rješenja u k-toj iteraciji. Ako se izraz (6.115) uvrsti u izraz =Ax b , slijedi ( )+ =A k kx bδ ili = =A Ak k kb - x rδ (6.116)

gdje je kr vektor reziduala. Kada je 0=kr , korekcija kδ će biti jednaka nuli, što znači da rješenje kx zadovoljava sustav jednadžbi. Sustav jednadžbi =A k krδ , je ekvivalentan sustavu =Ax b i njegovim rješavanjem bi došli u jednoj iteraciji do točne korekcije kδ , odnosno točnog rješenja sustava. Ideja iterativnih metoda je matricu A u sustavu =A k krδ zamijeniti matricom M, koja je što sličnija matrici A, a koju znamo invertirati, odnosno jednostavno riješiti sustav =M k krδ . Naravno da će brzina konvergencije metode (broj iteracija u kojem se dolazi do rješenja) ovisiti o dobroti aproksimacije matrice A matricom M. Iterativne metode u svakoj iteraciji daju približno rješenje sustava =Ax b , a ako smo u svakoj iteraciji bliže rješenju (npr. izraženo kroz sumu kvadrata odstupanja) kažemo da metoda monotono konvergira. S obzirom da imamo iterativni postupak potrebno je postaviti kriterij završetka tog postupka. 1) Jacobijeva metoda. Matrica A se može prikazati zbrojem * *= + +A L D U , gdje su *L i *U striktno donja i gornja trokutasta matrica (bez glavne dijagonale), a D dijagonalna matrica. Ako se matrica A aproksimira svojom dijagonalom (M=D) govorimo o Jacobijevoj metodi, za koju je =D k krδ ili = -1Dk krδ , odnosno ( )1 * *k k+ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦

-1D L Ux b - x , (6.117)

gdje -1D označuje inverznu matricu, dijagonalnoj matrici D , koja je također dijagonalna i kojoj su koeficijenti recipročne vrijednosti koeficijenata matrice D . 2. Gauss-Siedelova metoda. Bolja aproksimacija matrice A, koja se koristi u Gauss-Siedelovoj metodi je *= +M L D ili *= +M U D , jer su tako definirane matrice trokutaste, pa je rezultirajuće sustave ( )* + =L D k krδ , odnosno ( )* 1 *k k++ =L UD x b - x , (6.118) ili ( )* + =U D k krδ , odnosno ( )* 1 *k k++ =U LD x b - x , (6.119) jednostavno riješiti. Ako se u jednoj iteraciji rješavaju obje jednadžbe: i (6.118) i (6.119) onda se govori o simetričnoj Gauss-Siedelovoj metodi. 3) Metoda nepotpune faktorizacije. Matrica A se može aproksimirati umnoškom ( )( )* * * * * *= + = + + +-1 -1

A

M L D I + D U L D U L D U , (6.120)

gdje je I jedinična matrica. S obzirom da umnožak trokutastih matrica ( )* +L D i ( )*-1I + D U , ne daje matricu A govorimo o nekompletnoj LU faktorizaciji. Jasno je da što je matrica A dijagonalno dominantnija da će razlika * *-1L D U biti manje značajna. Iterativna metoda u kojoj se koristi aproksimacija (6.120) glasi ( )( )* *+ =-1L D I + D U k k

v

rδ (6.121)


a realizira se u dva koraka: u prvom se riješi sustav ( )* + =L D kv r , (gdje je v pomoćni

vektor), a u drugom ( )* =-1I + D U k vδ . Lako se pokaže da je ona identična simetričnoj Gauss-Siedelovoj metodi. 4) Linijska Gauss-Siedelova metoda. Za slučaj metode konačnih volumena na strukturiranoj mreži matrica A će u dvodimenzijskoj situaciji biti petdijagonalne strukture, pri čemu će dvije dijagonale uvijek biti uz glavnu dijagonalu matrice. U tom se slučaju matrica A može prikazati zbrojem = +3A D O , gdje je 3D tridijagonalna matrica, a O sadrži preostale dijagonale. Linijska Gauss-Siedelova metoda je definirana kao =3D k krδ , odnosno 1k k+ =3 OD x b - x (6.122) Slika 6.33 ilustrira razliku Gauss-Siedelove i Linijske Gauss-Siedelove metode kod primjene na strukturiranoj mreži. Ako se u vektor nepoznanica slože čvorne vrijednosti po stupcima (i=konst.) tada će donju trokutastu matricu činiti koeficijenti Wa i Sa (pri čemu će koeficijenti

Sa ležati na dijagonali uz glavnu dijagonalu), a gornju trokutastu matricu koeficijenti Ea i Na (pri čemu će koeficijenti Na ležati na dijagonali uz glavnu dijagonalu). U slučaju da se nepoznanice slažu po redcima (j=konst.) uz glavnu dijagonalu bi ležali koeficijenti Wa (u donjoj trokutastoj matrici) i Ea (u gornjoj trokutastoj matrici).

Slika 6.33 Ilustracija razlike Gauss-Siedelove i Line Gauss-Siedelove metode

Ako su nepoznanice složene po stupcima, tada je rješavanje jednadžbe (6.118) ekvivalentno obilaženju čvorova u smjeru stupca (počevši od i=1, povećavajući j, pa zatim za i=2 i tako redom do kraja). Kada se rješava jednadžba za centralni čvor C definiran indeksima i=2 i j=2, kao na lijevoj slici, tada su vrijednosti u čvorovima W (i=1, j=2) i S (i=2, j=1) već korigirane u iteraciji k+1, jer su ti čvorovi u toj iteraciji već bili posjećeni, za razliku od čvorova E i N koje tek treba posjetiti, pa je u njima još uvijek vrijednost iz k-te iteracije. Rješavanje jednadžbe (6.119) analogno je posjećivanju čvorova u suprotnom redoslijedu, počevši od čvora zadanog indeksima i=Nx i j=Ny prema čvoru definiranog indeksima i=1 i j=1. Naravno, ako bi nepoznanice bile složene po redcima, tada bi i redoslijed posjećivanja čvorova bio po redcima, a ovisno o izboru jednadžbe: (6.118) ili (6.119), smjer može biti od lijevog donjeg čvora prema desnom gornjem ili obrnuto. Moguće je izabrati i drukčiji redoslijed posjećivanja čvorova. Ako se npr. volumeni u strukturiranoj mreži zamisle kao bijeli ili crni poput polja na šahovskoj ploči, moguće je prvo obići sve bijele volumene, a zatim sve crne. Važno je uočiti

C N

E W

S

k+1

k+1 k+1

k+1

k+1

k+1

k+1

k

k

k

k

i=1 i=2 . . .

j=1

j=2

j=Ny

i=Nx

k+1

k+1

k+1

k+1

k+1

k+1

k

k

k

k

i=1 i=2 . . . i=Nx

k

k

. . .


da se u svakom slučaju obilazi jedan po jedan volumen (čvor po čvor), pa se takva metoda još naziva točkastom metodom. U Linijskoj Gauss-Siedelovoj metodi istovremeno se posjećuju svi čvorovi na liniji, kao to pokazuje slika 6.33 desno, za slučaj slaganja nepoznanica po stupcima. Sustav jednadžbi (6.122) se može podijeliti na podsustave s tridijagonalnom matricom u kojima vektori nepoznanica sadrže vrijednosti nepoznanica za čvorove na linijama i=konst. Ovi podsustavi se mogu rješavati od i=1 do i=Nx, ili obrnuto. Za slaganje nepoznanica po redcima bi se dobili podsustavi koji bi se rješavali po linijama j=konst. Iz slike je jasno da kad se rješava podsustav za i=2, da je podsustav na liniji i=1 već riješen (vrijednosti su već iz iteracije k+1), a vrijednosti na liniji i=3 se uzimaju iz k-te iteracije. Ako se ima posla s paraboličnim jednadžbama (npr. dominantna konvekcija u smjeru osi x), tada će koeficijenti Ea biti jednaki nula, pa će se jednim prolazom po linijama i=konst., dobiti točno rješenje jednadžbi. Jasno je da bi za slučaj dominantne konvekcije u smjeru –x, koeficijenti Wa bili jednaki nula, te bi sustav bilo bolje rješavati počevši od linije i=Nx, prema liniji i=1. Naravno, ako je konvekcija dominantna u smjeru osi y, tada bi bilo bolje sustav rješavati po redcima j=konst. S obzirom da općenito dominantni smjer strujanja varira od slučaja do slučaja u jednom iterativnom koraku Linijske Gauss-Siedelove metode se kombiniraju prolazi po linijama i=konst. i linijama j=konst. Temeljeno na Linijskoj Gauss-Siedelovoj metodi, na strukturiranim mrežama se može definirati posebnu metodu za rješavanje nestacionarnih problema, poznatu pod nazivom ADI (Alternate DIrection) metoda. Uzmimo za primjer nestacionarnu difuzijsku jednadžbu u dvodimenzijskoj situaciji, koja uz Γ =konst. i 0Sϕ = , glasi:

2 2

2 2 0t x yρϕ ϕ ϕΓ Γ∂ ∂ ∂

− − =∂ ∂ ∂

(6.123)

Diskretizacijom jednadžbe (6.123) na ravnomjernoj mreži ( x yΔ = Δ ) uz ρ =konst. i oznake za proračunsku molekulu kao na slici 6.33 lijevo, dobije se (i metodom konačnih razlika i metodom konačnih volumena):

( ) ( )

C E C W N C S2 2

d 2 2dt x yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕρ Γ Γ− + − +

= +Δ Δ

(6.124)

Kao što je prije rečeno, jednadžba (6.124) se može integrirati po vremenu eksplicitno (uz vremensko ograničenje koraka integracije), pa bi uz primjenu Eulerove eksplicitne metode, izraz (6.124) glasio

( ) ( )

1C C E C W N C S

2 22 2n n n n n n n n

t x yϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕρ Γ Γ

+ − − + − += +

Δ Δ Δ (6.125)

U jednadžbi (6.125) je jedina nepoznanica 1Cnϕ + , pa je očito da bi se sustav linearnih

algebarskih jednadžbi imao dijagonalnu matricu sustava, što se jednostavno rješava. Za slučaj primjene implicitne metode (koja nema ograničenja na veličinu vremenskog koraka integracije) izraz (6.124) bi glasio

( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1C C E C W N C S

2 22 2n n n n n n n n


+ + + + + + +− − + − += +

Δ Δ Δ (6.126)

pa bi matrica sustava jednadžbi (složena od diskretiziranih jednadžbi za sve volumene) bila rijetko popunjena matrica s pet dijagonala. Ideja ADI metode je razlomiti korak integracije na dva jednaka dijela, te u prvoj polovici koraka operator druge derivacije po koordinati x diskretizirati implicitno, a po koordinati y eksplicitno. U drugoj polovici vremenskog koraka operator koji je u prvoj polovici vremena bio implicitno diskretiziran se sada diskretizira


eksplicitno, a eksplicitna diskretizacija se zamjenjuje implicitnom, tj. za prvu polovicu vremenskog koraka tΔ vrijedi

( ) ( )

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2C C E C W N C S

2 22 2

/ 2

n n n n n n n n


+ + + +− − + − += +

Δ Δ Δ, (6.127)

a za drugu

( ) ( )

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 1C C E C W N C S

2 22 2

/ 2

n n n n n n n n


+ + + + + + +− − + − += +

Δ Δ Δ, (6.128)

gdje 1/ 2n + označuje vrijednosti na polovici vremenskog intervala, u trenutku / 2t t+ Δ . U jednadžbi (6.127) su nepoznanice 1/ 2 1/ 2 1/ 2

E C W, i n n nϕ ϕ ϕ+ + + , pa diskretizirane jednadžbe za sve konačne volumene na strukturiranoj mreži čine tridijagonalni sustav jednadžbi koji se jednostavno rješava Thomasovim postupkom. Nakon rješavanja sustava jednadžbi za prvu polovicu vremenskog koraka, raspolaže se vrijednostima 1/ 2nϕ + u svim čvorovima, pa se prelazi na rješavanje sustava jednadžbi koji daju jednadžbe oblika (6.128), u kojima su nepoznanice čvorne vrijednosti na kraju vremenskog intervala integracije. Ovaj sustav je ponovo tridijagonalan i rješava se Thomasovim algoritmom. 5) Naprednije iterativne metode. Osim opisanih iterativnih metoda postoji niz naprednijih metoda u kojima se rješenje sustava traži u obliku 1k k

i i ix x sα+ = + , gdje je is vektor smjera u kojem se traži poboljšanje rješenja, a α parametar čijim se izborom postiže minimizacija nekog od normi koje pokazuju koliko smo blizu točnom rješenju, npr. suma kvadrata reziduala j jr r , gdje je j j ji ir b A x= − . U ovu skupinu metoda spadaju npr. CG (Conjugate Gradijent), GMRES (Generalized Minimal Residual) metode i druge. Većina ovih metoda je profesionalno programirana u okviru matematičkih biblioteka (poput LAPAC biblioteke), i ne preporučuje se vlastito programiranje tih metoda (iako su algoritmi dostupni i po udžbenicima iz linearne algebre) jer će vlastita implementacija biti manje efikasna od onih iz matematičkih biblioteka. Uz ove metode je vezan pojam preduvjetovanja (engl. Preconditioning). Naime umjesto da se rješava originalni sustav ji i jA x b= , rješava se sustav 1 1

kj ji i kj jM A x M b− −= , gdje

matrica 1kjM − treba biti dobra aproksimacija matrice 1

kjA− . Osnovni zahtjev za izbor matrice

kjM , je da se sustav ji i jM x b= lako rješava. Tipičan izbor za matricu M je nepotpuna LU dekompozicija definirana izrazom (6.120). Računalno vrijeme iterativnih metoda pri rješavanju velikih rijetkih matrica je razmjerno s logN N , što je bolje nego kod direktnih metoda.

6.7.3. Multigrid metode Osnovni problem iterativnih metoda, poput Gauss-Siedelove metode, je da one slabo reduciraju pogreške niskih frekvencija, odnosno sporo prenose informacije o rubnim uvjetima prema unutrašnjosti područja proračuna. Što god je mreža sitnija to će trebati više iteracija da se dođe do konačnog rješenja (da se informacije o rubnim uvjetima prošire po čitavom području). Za brzinu širenja informacija odgovorni su vandijagonalni koeficijenti (koji sadrže informacije o jačini konvekcije i difuzijskoj vodljivosti). Što je koeficijent relativno veći to će se informacija širiti brže. Tako bi za problem dan na slici 6.31, za koji su diskretizirane jednadžbe prikazane matricama (6.107), trebalo proširiti informaciju u smjeru osi x (jer su na lijevom i desnom rubu zadani Dirichletovi uvjeti). Problem je što su koeficijenti na površinama s normalom u smjeru osi x u odnosu na koeficijente na površinama s normalom u


smjeru osi y mali, pa će propagacija informacije u smjeru osi x biti spora, tj. trebat će puno iteracija Gauss-Siedelove metode da se postigne konačno rješenje. Sljedeće tablice daju rješenje Gauss-Siedelove metode ovisno o rednom broju iteracije, za vrijednosti parametra

100a = i 1a = , pri čemu je u oba slučaja početno pretpostavljeno 0, 1,6i iϕ = = .

Rezultati rješavanja sustava (6.107) Gauss-Siedelovom metodom za / 100a x y= Δ Δ = Iteracija 1ϕ 2ϕ 3ϕ 4ϕ 5ϕ 6ϕ

100 0.000 0.000 0.002 0.002 0.232 0.233 500 0.002 0.002 0.051 0.051 1.037 1.038

1000 0.011 0.011 0.174 0.174 1.815 1.815 5000 0.345 0.345 1.546 1.546 4.146 4.146

10000 0.734 0.734 2.459 2.459 4.724 4.724 30000 0.995 0.995 2.990 2.990 4.995 4.995

Pri vrijednosti parametra 100a = , Gauss-Siedelova metoda će zahtijeva više od 30000 iteracija za postizanje točnog rješenja. Naravno da bi naprednije iterativne metode riješile taj sustav u manjem broju iteracija.

Rezultati rješavanja sustava (6.107) Gauss-Siedelovom metodom za / 1a x y= Δ Δ = Iteracija 1ϕ 2ϕ 3ϕ 4ϕ 5ϕ 6ϕ

1 0,000 0,000 0,000 0,000 3,000 3,750 2 0,000 0,000 1,000 1,583 4,188 4,443 3 0,250 0,458 2,007 2,303 4,612 4,729 4 0,616 0,730 2,510 2,656 4,810 4,867 5 0,810 0,867 2,759 2,831 4,906 4,934 6 0,906 0,934 2,881 2,917 4,954 4,968 7 0,954 0,968 2,941 2,959 4,977 4,984 8 0,977 0,984 2,971 2,980 4,989 4,992 9 0,989 0,992 2,986 2,990 4,994 4,996 10 0,994 0,996 2,993 2,995 4,997 4,998 11 0,997 0,998 2,997 2,998 4,999 4,999 12 0,999 0,999 2,998 2,999 4,999 5,000 13 0,999 1,000 2,999 2,999 5,000 5,000 14 1,000 1,000 3,000 3,000 5,000 5,000

Za vrijednost 1a = Gauss-Siedelova metoda je došla do rješenja koje je točno u četiri signifikantne znamenke u 14 iteracija, te je očito da je bolje imati mrežu s odnosom dimenzija volumena bliže jedinici. Ideju multigrida se može ilustrirati na rješavanju sustava jednadžbi (6.107) za slučaj visokih vrijednosti parametra a . Pretpostavimo da ćemo od volumena s čvorovima 1 i 2 načiniti jedan veći volumen unutar kojeg ćemo definirati korekciju rješenja 1δ , od volumena s čvorovima 3 i 4, volumen s korekcijom 2δ , te od volumena 5 i 6, jedan volumen s korekcijom 3δ . Svim čvorovima unutar velikog volumena dodajemo korekciju toga volumena, kako je to naznačeno na slici 6.34.


Slika 6.34 Volumeni grublje mreže dobiveni zbrajanjem volumena finije mreže

Ako se kreće od 1 2 3 4 5 6 0ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = = = , tada sustav (6.107) glasi:

2 21

2 21

2 2 22

2 2 22

22 23

22 23

01 3 1 0 0 001 1 3 0 0 000 1 2 1 000 1 1 2 0

120 0 0 1 3 1120 0 0 1 1 3

a aa a

a a aa a a

aa aaa a

δδδδδδ

− −

− −

− − −

− − −

−− −

−− −

⎡ ⎤+ − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − −

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − + ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

(6.129)

Zbrajanjem odgovarajućih jednadžbi u sustavu (6.129) slijedi sustav jednadžbi koji definira korekcije na gruboj mreži, koji glasi

2 21

2 2 22

2 2 23

6 2 0 02 4 2 00 2 6 24

a aa a a

a a a

δδδ

− −

− − −

− − −

⎡ ⎤− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(6.130)

Sustav jednadžbi (6.130) nije loše uvjetovan, a sljedeća tablica pokazuje promjenu rješenja za korekcije s brojem iteracije.

Rezultati rješavanja sustava (6.130) Gauss-Siedelovom metodom za / 100a x y= Δ Δ = Iteracija 1δ 2δ 3δ

1 0.000 0.000 4.000 2 0.000 2.000 4.667 3 0.667 2.667 4.889 4 0.889 2.889 4.963 5 0.963 2.963 4.988 6 0.988 2.988 4.996 7 0.996 2.996 4.999 8 0.999 2.999 5.000 9 1.000 3.000 5.000

x

y

1

2

3

4

5

6 1δ 2δ 3δ

1 1 1ϕ ϕ δ= +

2 2 1ϕ ϕ δ= + 3 3 2ϕ ϕ δ= +

4 4 2ϕ ϕ δ= +5 5 3ϕ ϕ δ= +

6 6 3ϕ ϕ δ= +


Očito će se u ovom slučaju jednim rješavanjem na gruboj mreži dobiti točno rješenje problema. U općem slučaju u primjeni višemrežnih metoda se koristi više razina mreže. Metoda može biti kao u ovom primjeru izvedena manipulacijom s jednadžbama (engl. AMG = Algebraic Multigrid) ili se jednadžbe na svakoj mreži mogu izvesti diskretizacijom. U tom smislu i korekcija rješenja za sitnije volumene unutar većeg volumena može biti ista (engl. additive correction), ili korekcija može biti prostorno raspoređena. U svakom slučaju treba definirati operator za prijenos reziduala s fine na grublju mrežu (engl. restriction of residuals) te prijenos korekcije rješenja s grube na finu mrežu (engl. prolongation of correction). Uobičajeni ciklusi u višemrežnoj metodi su V i W ciklusi, koji su shematski prikazani na slici 6.35. Rješavanje sustava jednadžbi na mreži se naziva glađenjem rješenja (engl. smoothing), pri čemu se rješavanje u fazi restrikcije (prelazak s finije na grublju mrežu naziva "pre-smoothing", a rješavanje sustava u fazi prolongacije (prelazak s grublje na finiju) naziva "post-smoothing". Jasno da će se od rješavača zahtijevati da nakon svake iteracije daje rješenje koje je bliže točnom rješenju. Iz prikazanog primjera je očito da kod čiste difuzije i loše uvjetovanog sustava, glavni doprinos brzoj konvergenciji rješenja dolazi od procesa prolongacije, što znači da je značajno točno rješavanje sustava u fazi prolongacije, pa bi dopušteni broj iteracija pri rješavanju sustava linearnih algebarskih jednadžbi (obično definira korisnik) na svakoj razini mreže trebao biti veći za "post-smoothing" nego za "pre-smoothing".

Slika 6.35 Shematski prikaz ciklusa u multigrid metodi

razina mreže

1 fina mreža

2

4

3

V ciklus W ciklus 5 gruba mreža

7. Primjena metode konačnih volumena na rješavanje modela strujanja fluida 127 / 173

7. Primjena metode konačnih volumena na rješavanje modela strujanja fluida

Strujanje fluida opisano je osnovnim zakonima klasične fizike, zakonima očuvanja: mase, količine gibanja, momenta količine gibanja i energije. Za slučaj da na fluid ne djeluju maseni i površinski momenti, zakon momenta količine gibanja se svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja, pa za homogeni kemijski inertni fluid vrijedi:

jednadžba kontinuiteta: ( )

0j

j

vt x

ρρ ∂∂+ =

∂ ∂ (7.1)

jednadžba količine gibanja: ( ) ( )j i jiii

j j

v vvf

t x xρ σρ

ρ∂ ∂∂

+ = +∂ ∂ ∂

(7.2)

energijska jednadžba: ( ) ( ) ( )j ji i ji i

j j j

v e v qef v

t x x xρ σρ

ρ∂ ∂ ∂∂

+ = − + −∂ ∂ ∂ ∂

(7.3)

ili nakon oduzimanja kinetičke energije energijska jednadžba (7.3) prelazi u

alternativni oblik energijske jednadžbe: ( ) ( )j ji ji

j j j

v u quv

t x x xρ σρ ∂ ∂ ∂∂

+ = −∂ ∂ ∂ ∂

(7.4)

U gornjim jednadžbama su: if specifična masena sila, jiσ simetrični tenzor naprezanja, 2 / 2e u v= + zbroj unutarnje i kinetičke energije, jq vektor toplinskog toka. Ove dvije

skalarne jednadžbe i jedna vektorska sadrže 14 nepoznatih veličina te je za potrebe usklađivanja broja jednadžbi i broja nepoznanica potrebno uvesti dopunske relacije koje su svojstvene pojedinom fluidu. Uvođenjem dopunskih relacija u sustav jednadžbi (7.1) do (7.3), dobije se sustav s usklađenim brojem jednadžbi i nepoznanica, te je uz zadane početne i rubne uvjete principijelno rješiv. Tablica 7.1 daje pregled dopunskih relacija za model savršenog plina i za model nestlačivog fluida, te Newtonov zakon viskoznosti i Fourierov zakon toplinske provodnosti, pri čemu vrijedi ji ji jipσ δ Σ= − + , (7.5) gdje je p termodinamički tlak, R plinska konstanta, T termodinamička temperatura, λ toplinska provodnost fluida, vc specifični toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu, a

jiΣ tenzor viskoznih naprezanja modeliran Newtonovim zakonom viskoznosti u kojem je μ viskoznost, a Vμ volumenska viskoznost. Tablica 7.1 Dopunske relacije za model savršenog plina i nestlačivog fluida Savršeni plin Nestlačivi fluid

p RTρ= konst.ρ =

Jednadžbe stanja vu c T= vu c T=

Newtonov zakon viskoznosti

23

j i kij V ij

i j k

v v vx x x

Σ μ μ μ δ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

j iij

i j

v vx x

Σ μ⎛ ⎞∂ ∂

= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Fourierov zakon toplinske provodnosti j

j

Tqx

λ ∂= −

∂


Tablica 7.2 daje pregled osnovnih jednadžbi u ova dva modela strujanja fluida. U stlačivom strujanju su nepoznanice ρ , iv , p i T (ili u ili e ), dok su u nestlačivom strujanju nepoznanice iv , p i T . Ako u nestlačivom strujanju viskoznost fluida nije funkcija temperature, jednadžba kontinuiteta i jednadžba količine gibanja se mogu rješavati odvojeno od energijske jednadžbe. Tablica 7.2 Osnovne jednadžbe dinamike stlačivog i nestlačivog strujanja

Stlačivo strujanje Nestlačivo strujanje ( )

0j

j

vt x

ρρ ∂∂+ =

∂ ∂ 0j

j

vx∂

=∂

( ) ( )j i jiii

j i j

v vv pft x x x

ρ Σρρ

∂ ∂∂ ∂+ = − +

∂ ∂ ∂ ∂

23

j i kij V ij

i j k

v v vx x x

Σ μ μ μ δ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )

j ii

j

j ii

i j i j

v vvt x

v vpfx x x x

ρρ

ρ μ

∂∂+ =

∂ ∂

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂− + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )

( ) ( )

j

j

j ji ii i

j j j j

v eet x

pv v Tf vx x x x

ρρ

Σρ λ

∂∂+ =

∂ ∂

∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂− − + + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( ) ( )j vv iji

j j j j

v c Tc T v Tt x x x x

ρρΣ λ

∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

p RTρ= (savršeni plin)

d dKp ρρ

= ili 0 0

0 0

p pK

ρ ρρ

− −= (kapljevina)

konst.ρ =

Nepoznanice: ρ , iv , p i T (ili u ili e ) Nepoznanice: iv , p i T Fizikalno gledajući, o stlačivom strujanju fluida govorimo ako se u strujanju gustoća fluida značajno mijenja, u protivnom je strujanje nestlačivo. Naime, i plinovi i kapljevine se daju stlačiti (povećanjem tlaka im se volumen smanjuje, a gustoća raste), pri čemu se plinovi lakše stlačuju u odnosu na kapljevine. No, i strujanje plinova (koji se lako stlačuju) može biti nestlačivo, ako plin struji malom brzinom, a strujanje kapljevina može biti stlačivo ako se u strujanju pojavljuju ogromne razlike tlaka. Kriterij stlačivosti strujanja je Machov broj koji je omjer brzine strujanja fluida i brzine širenja zvuka u fluidu. Brzina c širenja zvuka u fluidu je po definiciji

2

s konst

dpcdρ =

= (7.6)

i za savršeni plin je c RTκ= , a za kapljevine je /c K ρ= , gdje je K volumenski modul elastičnosti fluida u empiričkom izrazu za stlačivost kapljevina. Ako je Machov broj manji od približno 0,3 strujanje se smatra nestlačivim. Formalno gledajući i strujanje plinova i strujanje kapljevina bi se moglo opisati modelom stlačivog strujanja. Jednadžba stanja kapljevine bi se na temelju izraza (7.6) mogla pisati kao


d dKp ρρ

= . U općem slučaju modul volumenske elastičnosti kapljevine je funkcija tlaka i

temperature (lokalnog termodinamičkog stanja kapljevine), a ako se u radnom intervalu tlaka za promatrani problem odnos /K ρ može smatrati konstantnim i jednakim 0 0/K ρ , gdje se indeks nula odnosi na vrijednosti u sredini intervala tada bi se jednadžba stanja za kapljevinu mogla integrirati, te slijedi izraz

0 0

0 0

p pK

ρ ρρ

− −= (7.7)

Drugi primjer slabostlačivog strujanja je slučaj prirodne konvekcije. Naime, u zatvorenom prostoru ispunjenom fluidom konstantne temperature, fluid će mirovati, a pod djelovanjem gravitacije ( 3i if gδ= − ) unutar njega će vladati hidrostatski tlak 0 0 3p p gxρ= − . Ako se međutim prostor s jedne strane grije, a s druge hladi, pojavit će se gradijent temperature, pa će toplije čestice ići prema gore, a hladnije prema dolje, tj. fluid će unutar zatvorenog prostora strujati. Uslijed strujanja fluida će se promijeniti i tlak, tako da vrijedi 0 0 3p p gx pρ ′= − + , (7.8) gdje je p′ dio polja tlaka uslijed nastalog strujanja. Promjena gustoće koja uzrokuje gibanje je definirana koeficijentom prostornog termičkog rastezanja

1

pTρβ

ρ∂

= −∂

(7.9)

Ako su odstupanja gustoće zbog promjene temperature mala u odnosu na referentnu gustoću 0ρ (pri referentnoj temperaturi 0T ), tada se izraz (7.9) može aproksimirati s

0

0 0

1T Tρ ρβ

ρ−

= −−

ili ( )0 0 0T Tρ ρ βρ− = − − (7.10)

Ako je ( )0T Tβ − puno manje od jedan tada vrijedi Boussinesqova aproksimacija, po kojoj se gustoća u svim članovima jednadžbe smatra konstantnom 0ρ ρ= , osim u članu koji opisuje masene sile. Deriviranjem izraza (7.8) po koordinati ix , te uvrštavanjem u jednadžbu količine gibanja za nestlačivo strujanje prema tablici 7.2, u kojoj zbroj masenih sila i sila tlaka postaje

( ) ( )3 0 3 0 3 0 0 3i i i i ii i i i

p p p pf g g g T T gx x x x

ρ ρ δ ρ δ ρ ρ δ βρ δ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂

− = − + − = − − = − −∂ ∂ ∂ ∂

(7.11)

U izrazu (7.11) je već iskorišten izraz (7.10). S obzirom da su brzine strujanja uslijed prirodne konvekcije male, to će i brzina pretvorbe kinetičke energije u unutarnju energiju, uslijed viskoznih sila biti mala u odnosu na toplinski tok uslijed gradijenta temperature, pa se

zanemaruje ( iji

j

vx

Σ ∂∂

). Tablica 7.3 prikazuje jednadžbe Boussinesqova modela.

Očito je da su u Boussinesqovom modelu jednadžba količine gibanja i energijska jednadžba čvrsto spregnute, jer je član s temperaturom u jednadžbi količine gibanja odgovoran za strujanje (odnosno polje brzine), a polje brzine u energijskoj jednadžbi je odgovorno za polje temperature. Specifičnost ovog modela je u tome da su tlačne sile male (polje tlaka se računa, ali se obično ne prikazuje), a značajne su masene sile, za razliku od problema s prisilnom konvekcijom (gdje je polje brzine propisano rubnim uvjetima) u kojem su zanemarive masene sile (ako nema slobodne površine), a značajne sile tlaka. Zbog toga svojstva će algoritmi u kojima se polje brzine korigira na temelju korekcije tlaka, koji će biti opisani u nastavku, sporo konvergirati u slučaju Boussinesqova modela, jer u tom modelu polje brzine zavisi od masenih sila.


Tablica 7.3 Osnovne jednadžbe Boussinesqova modela za prirodnu konvekciju

0j

j

vx∂

=∂

( ) ( ) ( )000 0 3

j i ji ii

j i j i j

v v vv vpT T gt x x x x x

ρρβρ δ μ

⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞∂∂ ′ ∂∂ ∂+ = − − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( ) ( )00 j vv

j j j

v c Tc T Tt x x x

ρρλ

∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Nepoznanice: iv , p′ i T Dakle, model stlačivog strujanja (za plinove) i slabo-stlačivog strujanja (za kapljevine) se sastoji od tri parcijalne diferencijalne jednadžbe i jedne algebarske jednadžbe. Jednadžba kontinuiteta je oblika opće transportne jednadžbe (uz 1ϕ = , 0Γ = i 0Sϕ = ) i prirodna je jednadžba za određivanje polja gustoće, jednadžba količine gibanja ( ivϕ = ) je opća transportna jednadžba za polje brzine, a energijska jednadžba ( eϕ = ) za ukupnu energiju, odnosno za unutarnju energiju ili za temperaturu. Prema tome algebarska jednadžba stanja ostaje za određivanje polja tlaka. Takva metoda rješavanja modela stlačivog strujanja se u literaturi naziva "density based method". Jasno je da ova metoda neće biti primjenjiva za rješavanje modela nestlačivog strujanja fluida u kojem je gustoća fluida fiksno zadana (jednadžba stanja se svodi na činjenicu konst.ρ = ), pa se o promjeni tlaka ne može zaključivati iz promjene gustoće (jer promjene gustoće nema). U slučaju nestlačivog strujanja će trebati definirati metodu u kojoj se tlak određuje, ne iz algebarske jednadžbe stanja, nego iz diferencijalnih jednadžbi pa će se takva metoda nazivati "pressure based method". "Density based method" će pokazivati slabosti pri rješavanju slabo-stlačivog strujanja i stlačivog strujanja pri niskim Machovim brojevima. Ako za primjer analiziramo strujanje zraka ( 287 J/(kg K)R = ⋅ , 1, 4κ = ) brzinom 0 1 m/sv = , pri atmosferskom tlaku 0 100000 Pap = i temperaturi 0 300 KT = (gustoće ( ) 3

0 0 0/ 1,16 kg/mp RTρ = = ) oko nekog tijela, tada znamo da će red veličine promjene tlaka od područja neporemećenog strujanja do točke zastoja biti jednaka dinamičkom tlaku 2

0 0 / 2 0,58 Pap vρΔ = = . Takva promjena tlaka će izazvati promjenu gustoće ( ) 6 3

0/ 6,745 10 kg/mp RTρ −Δ = Δ = ⋅ . Očito je da je promjena gustoće za šest redova veličine manja od same gustoće, a promjena tlaka pet redova veličine od samog tlaka. U takvom slučaju govorimo o krutom sustavu (engl. "stiff system"), pri čijem rješavanju postoje numerički problemi karakteristični za loše uvjetovane matrice. Da bi se poboljšala numerička svojstva metode, matrica sustava diskretiziranih jednadžbi se obično preduvjetuje ("pre-conditioning"). Pri rješavanju problema slabo-stlačivog strujanja ova metoda bi imala još lošija svojstva jer je faktor s kojim se množi promjena gustoće da se dobije promjena tlaka obično još veći, pa se za probleme slabo-stlačivog strujanja (tipičan primjer je jednodimenzijski model koji se koristi u analizi hidrauličkog udara u cjevovodima) obično koristi "pressure based" metoda. S obzirom da se "pressure based" metode mogu koristiti za rješavanje i nestlačivog i stlačivog strujanja u nastavku će se dati algoritam za rješavanje modela nestlačivog strujanja jednom takvom metodom.


7.1. Metoda konačnih volumena za rješavanje modela nestlačivog strujanja fluida

Poremećaji tlaka, brzine i gustoće se u stlačivom i slabo-stlačivom strujanju fluida šire brzinom zvuka u odnosu na fluid, pa se pri analizi nestacionarnih pojava, jednadžbe treba integrirati tako malim vremenskim korakom da se "uhvati" to širenje vala. To znači da će u definiciju Courantova broja, kao kriterija stabilnosti za eksplicitne metode ulaziti i brzina zvuka. Naravno, ako se koristi implicitna metoda, a želi se imati točnu vremensku integraciju pojave širenja vala, vremenski korak integracije također mora biti takav da Courantov broj bude blizu jedinici. Tipičan primjer slabo-stlačivog strujanja, u kojem nas zanima širenje vala je hidraulički udar u cijevi nakon ispada pumpe iz rada ili nakon brzog zatvaranja ventila. U hidrauličkom udaru se tipično rubni uvjeti naglo promijene (iz jednog konstantnog stanja u drugo), te se promatraju prijelazne pojave (istitravanje brzine i tlaka), dok se ne ustali novo stacionarno stanje. Drugi primjer nestacionarnog strujanja je kada imamo vremenski promjenjive rubne uvjete, pri čemu je brzina promjene rubnih uvjeta puno sporija od brzine širenja valova, tako da se problem integrira puno većim vremenskim korakom integracije (Courantov broj može biti puno veći od jedan, što zahtijeva primjenu implicitnih metoda). Kao primjer se može uzeti primjer cjevovodnog sustava kroz koji se voda iz akumulacijskog jezera pumpa u spremnik. Kako se visina vode u spremniku podiže, tako se povećava visina dobave pumpe, te, sukladno tipičnoj karakteristici pumpe, smanjuje protok u sustavu. Ovakve promjene protoka se događaju u velikim vremenskim razmacima u odnosu na vrijeme putovanja tlačnog poremećaja duž cjevovoda, pa možemo pretpostaviti da su unutar vremenskog koraka integracije poremećaji tlaka istitrali. U takvom slučaju, s obzirom na vrlo male promjene gustoće strujanje se modelira nestlačivim. Uvjet nestlačivosti je konst.ρ = , što podrazumijeva da gustoća fluida ostaje konstantna ( d 0ρ = ) bez obzira na promjenu tlaka ( d 0p ≠ ), pa je brzina zvuka u nestlačivom strujanju, prema definicijskoj jednadžbi (7.6), beskonačna. To bi značilo da se svaki poremećaj u rubnim uvjetima trenutno proširi po čitavom području proračuna, te smo se pretpostavkom o nestlačivosti strujanja odrekli analize širenja poremećaja tlaka i brzine. Za ilustraciju promatrajmo mirovanje vode u horizontalnoj cijevi. Pretpostavimo da smo u jednom trenutku povisili tlak na jednom kraju cijevi. U modelu slabo-stlačivog strujanja će se prvo početi gibati čestice fluida uz kraj na kojem je tlak povišen, a zatim, kako se poremećaj tlaka širi kroz cijev, i druge čestice preko kojih je poremećaj prošao, pri čemu se poremećaj širi brzinom zvuka. Prema modelu nestlačivog strujanja povišenje tlaka na jednom kraju cijevi bi se trenutno proširilo po čitavoj cijevi, tako da bi se sve čestice fluida unutar cijevi počele istovremeno gibati (fluid bi se gibao poput krutog stupca). Neprimjerenost računanja tlaka iz gustoće, kao u "densisty based" metodi, u slučaju slabo-stlačivog strujanja se može vidjeti i iz jednadžbe kontinuiteta, u kojoj se gustoća može uz

pomoć jednadžbe (7.6) ( 2

1d dpc

ρ = ) zamijeniti s pomoću tlaka, pri čemu vrijedi

2

1 pt c tρ∂ ∂=

∂ ∂ i 2

1

j j

px c xρ∂ ∂=

∂ ∂, (7.12)

što uvršteno u jednadžbu kontinuiteta (7.1) daje

2 jj

j j

vp pv ct x x

ρ∂∂ ∂

+ = −∂ ∂ ∂

(7.13)

S obzirom da se divergencija brzine množi s faktorom 2cρ , koji je za kapljevine velik, čak i mala pogreška u divergenciji polja brzine može izazvati velike pogreške u polju tlaka. Jasno


je da za slučaj nestlačivog strujanja, gdje je brzina zvuka beskonačna, divergencija polja brzine mora biti jednaka nuli. Drugim riječima polje tlaka mora biti takvo da u svakoj točki prostora i u svakom vremenskom trenutku osigura zadovoljavanje jednadžbe kontinuiteta

/ 0j jv x∂ ∂ = . U nastavku ćemo se ograničiti na analizu dvodimenzijskog nestlačivog strujanja, pri čemu ćemo zanemariti masene sile, jer one ne prave nikakve numeričke probleme, te ćemo pretpostaviti konstantnu viskoznost, tako da u model nećemo uključiti niti energijsku jednadžbu.

0j

j

vx∂

=∂

ili ( )

0j

j

vxρ∂

=∂

(7.14)

( ) ( ) 2

lokalna promjena izvorski clankonvekcija difuzija

j ii i

j j j i

v vv v pt x x x x

ρρμ

∂∂ ∂ ∂+ = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.15)

što u dvodimenzijskoj situaciji predstavlja sustav tri jednadžbe s tri nepoznata skalarna polja: 1v , 2v i p . U jednadžbi količine gibanja prepoznajemo članove opće transportne jednadžbe

(uz ivϕ = ) poput lokalne promjene, konvekcijskog i difuzijskog transporta, te izvorski član (u ovom slučaju ga čine sile tlaka). Primjenom operatora rotora na jednadžbu (7.15), iz nje bi nestao tlak, a dobila bi se opća transportna jednadžba u kojoj je fizikalno svojstvo ϕ vektor vrtložnosti. Prema tome, do polja brzine bi se moglo doći i numeričkim postupkom u kojem se ne računa polje tlaka. U tom bi se slučaju polje tlaka računalo, na kraju, nakon što se odredi polje brzine. Takva formulacija jednadžbi strujanja preko strujne funkcije i vektora vrtložnosti se neće razmatrati u ovom kolegiju. Jednadžba (7.15) je očito jednadžba koja definira polje brzine (opća transportna jednadžba za

ivϕ = ), dok jednadžba kontinuiteta (7.14) ostaje za određivanje polja tlaka. Osnovni je problem da se u jednadžbi kontinuiteta, koja treba služiti za određivanje tlaka, tlak uopće ne pojavljuje eksplicitno. Fizikalno gledajući, u nestlačivom strujanju se nastali poremećaji tlaka trenutno prošire po čitavom području strujanja, pri čemu divergencija polja brzine ostaje jednaka nuli u svakom trenutku i u svakoj točki prostora. Taj uvjet treba forsirati i u numeričkom postupku i to tako da jednadžba kontinuiteta bude zadovoljena u svakom iterativnom koraku numeričkog postupka (bilo da se radi o iteracijama u proračunu stacionarnog strujanja ili iteracijama unutar vremenskog koraka integracije nestacionarnog problema). Zbog nelinearnog konvekcijskog člana u jednadžbi količine gibanja, numerički postupak će nužno imati iterativni karakter. Ako se konvekcijski član linearizira u obliku *

j i j iv v v vρ ρ= ,

gdje je *jv trenutno raspoloživo polje brzine (iz prethodne iteracije, odnosno u početku

iterativnog postupka to je pretpostavljeno polje) dobije se linearizirana jednadžba koja se diskretizira po prije danim pravilima. S obzirom da se tlak u jednadžbama pojavljuje samo s gradijentom, a da njegova vrijednost ne utječe na gustoću, tlak će biti neodređen do na konstantu. Drugim riječima može se računati s apsolutnim tlakom, pretlakom ili tlakom mjerenim u odnosu na bilo koji (proizvoljno definirani) referentni tlak. S numeričkog stajališta referentni tlak je najbolje birati tako da sredina područja tlaka bude oko nule, tako da broj signifikantnih znamenki bude najveći (npr. loš izbor je da se tlak mijenja u granicama 100000 do 100010, jer prve četiri znamenke ne nose nikakvu informaciju, a dobar izbor je da tlak varira u području -5 do 5).


7.2. Izbor mreže Prvi korak u razvoju numeričke metode je izbor geometrijske mreže. Ako sve jednadžbe matematičkog modela zadovoljavaju opći oblik transportne jednadžbe, čija je diskretizacija opisana u prethodnom poglavlju, onda se može činiti prirodno koristiti nepomaknutu mrežu, koja je za slučaj pravokutne mreže, prikazana na slici 7.1, desno. U toj su mreži čvorovi u kojima se računaju sve nepoznanice (tlak, komponente brzine, temperatura, te za slučaj turbulentnog strujanja i primjene k ε− modela turbulencije, kinetička energija turbulencije i disipacija kinetičke energije turbulencije) smješteni u težišta volumena. Ako se prisjetimo diskretizacije opće transportne jednadžbe iz prethodnog poglavlja, uočit ćemo da je ona provedena uz pretpostavku poznatog polja brzine, a temeljem kojeg su definirane jačine konvekcije (maseni protoci kroz granice konačnih volumena). S tog stajališta je bolje, čvorove u kojima se računaju brzine smjestiti na stranice konačnih volumena (na kojima se diskretizira opća transportna jednadžba), pa govorimo o pomaknutoj mreži koja je, za slučaj pravokutne mreže, prikazana na slici 7.1 lijevo.

Slika 7.1 Pomaknuta i nepomaknuta geometrijska mreža

U pomaknutoj mreži čvorovi u kojima se računa tlak (i sve druge skalarne veličine) su smješteni u težištima volumena (centralni čvorovi), a čvorovi za pojedine komponente brzine pomaknuti su na granice konačnog volumena u smjeru pripadajuće osi. Jednadžba kontinuiteta se diskretizira za osnovne konačne volumene (u čijim centralnim čvorovima se računa tlak, označeni žutom bojom na slici 7.1), dok se komponente jednadžbe količine gibanja diskretiziraju na pomaknutim volumenima (na slici 7.1 je plavom i ružičastom bojom su označeni pomaknuti volumeni za pripadajuće komponente brzine). Prednost pomaknute mreže je u tome da se pri izračunu jačine konvekcije ne koristi interpolacija (osim na nekim stranicama pri rješavanju same jednadžbe količine gibanja), odnosno da je jednadžba kontinuiteta zadovoljena s originalnim poljem brzine, a ne s interpoliranim poljem, kao u slučaju nepomaknute mreže. Druga prednost pomaknute mreže je u usklađenom broju jednadžbi i nepoznanica, što kod nepomaknute mreže nije slučaj. Naime, ako pretpostavimo slučaj Dirichletovih rubnih uvjeta, prema kojima su sve brzine po rubu područja proračuna zadane, onda je broj nepoznatih

čvor za tlak čvor za u-komponentu brzine

čvor za v-komponentu brzine

rubni čvor

C

N

W E

S

e

n

w

s

N

W E

S

e

n

w

s

C

Nepomaknuta mreža Pomaknuta mreža


vrijednosti brzine jednak broju stranica u unutrašnjosti područja proračuna, a taj je broj jednak broju pomaknutih volumena (označenih plavom i ružičastom bojom na slici 7.1) na kojima se postavljaju diskretizirane komponente jednadžbe količine gibanja. Broj čvorova s nepoznatim tlakom jednak je zbroju unutarnjih čvorova i čvorova na rubu, umanjenih za jedan (tlak u jednom čvoru mora biti zadan, jer je polje tlaka neodređeno do na konstantu). Vrijednosti tlaka u unutarnjim čvorovima se određuju iz jednadžbe kontinuiteta, a tih jednadžbi ima koliko i unutarnjih čvorova. Tlakovi na rubu područja proračuna se određuju iz jednadžbi količine gibanja za polovične volumene uz granicu (npr. ružičasto osjenčani volumen na slici 7.1). Prema tome, može se zaključiti da je kod primjene pomaknute mreže broj nepoznanica i broj raspoloživih jednadžbi usklađen, pri čemu vrijednosti tlaka na rubu područja proračuna ne sudjeluju u definiranju polja brzine u unutrašnjosti područja proračuna (poslije će se to pokazati na temelju diskretiziranih jednadžbi količine gibanja), pa te tlakove možemo a i ne moramo računati. Točnu raspodjelu tlaka po površini stijenke tijela je potrebno poznavati za potrebe određivanja sile fluida na tijelo, a po ostalim rubovima se tlak niti ne mora točno izračunati (obično se uzme vrijednost iz prvog čvora do ruba). Uz zadane brzine po rubu područja proračuna, u slučaju nepomaknute mreže, broj nepoznatih vrijednosti brzine je jednak broju konačnih volumena pomnoženih s brojem komponenti polja brzine, što odgovara broju raspoloživih diskretiziranih jednadžbi količine gibanja. Vrijednosti tlaka u čvorovima unutar područja proračuna se računaju iz jednadžbe kontinuiteta diskretizirane po tim volumenima, dok za vrijednosti tlaka po rubu područja proračuna ne postoje fizikalne dopunske jednadžbe, što znači da postoji više nepoznanica nego raspoloživih jednadžbi za njihovo određivanje. Problem je što se vrijednosti tlaka po rubu područja proračuna za slučaj nepomaknute mreže pojavljuju u diskretiziranim oblicima jednadžbe količine gibanja (dakle utječu na polje brzine), pa ih je potrebno na neki način definirati. Obično se koristi neka ekstrapolacija tlaka (prvog ili drugog reda točnosti) korištenjem čvornih vrijednosti iz unutrašnjosti područja proračuna. Jasno je da primjena ekstrapolacije unosi određenu proizvoljnost u numerički postupak, odnosno u rješenje za polje brzine. Fizikalno gledano, za neke rubne uvjete možemo definirati fizikalni princip za ekstrapolaciju tlaka na rub područja

proračuna. Na primjer poznato je da na ravnini simetrije vrijedi 0pn∂

=∂

(gdje je n smjer

okomito na rub), pa ekstrapolacija koja uvažava ovaj uvjet neće unijeti značajnu pogrešku u polje brzine. Slično je i s dobro odabranom izlaznom granicom (parabolično strujanje), na

kojoj će biti konst.pn∂

=∂

, pa će ekstrapolacija prvog reda točnosti biti prihvatljiva. Također u

graničnom sloju uz blago zakrivljenu stijenku vrijedi da je 0pn∂

≈∂

(prisjetimo se Prandtlovih

jednadžbi), pa ni uz tu granicu neće biti problema. Problemi mogu nastupiti za slučaj jako zakrivljene, valovite granice, gdje polje tlaka može biti značajno promjenjivo u blizini ruba, ili na ulaznoj granici kada je zadani profil brzine jednolik po presjeku, a neposredno uz granicu dolazi do razvoja profila brzine odnosno do značajnih promjena tlaka. U tim slučajevima metode na nepomaknutim mrežama, ovisno o primijenjenoj ekstrapolaciji tlaka, mogu dati nefizikalno polje brzine. No, bez obzira na to danas se češće koriste nepomaknute mreže, jer je njihova primjena u slučaju nestrukturiranih mreža puno jednostavnija (kod pomaknutih mreža bi trebalo voditi administriranje o tri mreže u dvodimenzijskoj situaciji, odnosno četiri u trodimenzijskoj). U nastavku će biti opisani najčešće korišteni algoritmi i to prvo na pomaknutoj, a zatim na nepomaknutoj mreži.


7.3. Algoritmi SIMPLE i SIMPLER na pomaknutoj mreži U nastavku se uvode oznake: 1x x≡ , 2x y≡ , 1v u≡ i 2v v≡ . Diskretizacijom jednadžbe kontinuiteta (7.14) za nestlačivo strujanje po konačnom volumenu kojemu je čvor C težište dobije se

( ) ( ) ( ) ( )e n w s1

0nb

k

k

uA vA uA vA Fρ ρ ρ ρ=

+ − − = =∑ , (7.16)

gdje je kF maseni protok kroz k-tu granicu konačnog volumena. Diskretizacijom komponenti jednadžbe količine gibanja po pripadajućim pomaknutim konačnim volumenima, dobije se

( )e e E C e eu

nb nbnb

a u a u p p A b= − − +∑ (7.17)

( )n n N C n nv

nb nbnb

a v a v p p A b= − − +∑ , (7.18)

gdje A označuje površinu stranice, ea , na i nba koeficijente (koji zavise od primijenjene sheme diskretizacije i funkcija su polja brzine koje se traži, pa se pri računanju koeficijenata koristi trenutno raspoloživo polje), a suma po nb označuje sumiranje koje se odnosi na sve okolne čvorove (stranice konačnog volumena). Slobodni članovi e

ub i nvb sadrže informacije o

rubnim uvjetima. Uočimo da je gradijent tlaka na pomaknutoj mreži diskretiziran razlikom u susjednim čvorovima, te da za volumene uz rub područja proračuna nikad ne treba vrijednost tlaka na rubu. Tlak na rubu bi se pojavio u disketiziranoj jednadžbi količine gibanja za polovični volumen, koji ovdje nećemo razmatrati. Kada se za sve volumene postave diskterizirane jednadžbe oblika (7.16) do (7.18) dobije se sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Izgled matrice sustava zavisi od načina slaganja nepoznanica. Uobičajeno je nepoznanice složiti u vektor u kojemu su prvo sve nepoznate vrijednosti komponente brzine u , zatim sve nepoznanice v i na kraju čvorne vrijednosti tlaka p . U tom slučaju struktura matrice sustava će biti kao na slici 7.2. Prvi redak blokova u matrici sustava čine diskretizirane jednadžbe količine gibanja u smjeru osi x , drugi u smjeru osi y , a treći redak blokova dolazi od jednadžbe kontinuiteta.

Slika 7.2 Shematski prikaz strukture matrice sustava diskretiziranih jednadžbi

=v

u

p

eub

nvb

0

JKGu

JKGv

JK


Koeficijenti različiti od nule se nalaze na dijagonalama, koje su shematski prikazane na slici 7.2, pri čemu glavnu dijagonalu čine koeficijenti uz vrijednost u centralnom čvoru konačnog volumena. Matrica je izrazito rijetka i za njeno rješavanje su najpogodnije iterativne metode. Treba uočiti da blok jednadžbi koji slijedi iz jednadžbe kontinuiteta ima nulte koeficijente na glavnoj dijagonali (što je posljedica činjenice da se tlak ne pojavljuje u toj jednadžbi), a to je problem za iterativne rješavače ovog sustava. Jednadžba kontinuiteta se može u kombinaciji s komponentama jednadžbe količine gibanja preurediti u oblik jednadžbe za tlak, u kojoj će se pojaviti tlak, odnosno koeficijenti na glavnoj dijagonali.

7.3.1. Izvod jednadžbe za tlak Dijeljenjem diskretiziranih oblika komponenti jednadžbe količine gibanja (7.17) i (7.18) s centralnim koeficijentom može se pisati

( ) ( )

e

ee e

e E C e E Ce e e

ˆ

ˆ

unb nb

nb

u

a u bA Au p p u p p

a a a

+= − − = − −∑

(7.19)

( ) ( )

n

nn n

n N C n N Cn n n

ˆ

ˆ

vnb nb

nb

v

a v bA Av p p v p p

a a a

+= − − = − −∑

, (7.20)

gdje su eu i nv pseudobrzine, odnosno dijelovi polja brzine koji ne zavise od tlaka. Uvrštavanjem izraza (7.19) i (7.20), te njima analognih u jednadžbu kontinuiteta (7.16), slijedi

( ) ( )

( ) ( )

e ne E C e n N C n

e n

w sw C W w s C S s

w s

ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

A Au p p A v p p Aa a

A Au p p A v p p Aa a

ρ ρ

ρ ρ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− − − − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(7.21)

odnosno konačni oblik jednadžbe za tlak je

C C E E N N W W S S Cp p

nb nbnb

a p a p a p a p a p b a p b= + + + + = +∑ , (7.22)

gdje su 2e

Ee

Aaa

ρ= , 2n

Nn

Aaa

ρ= , 2w

Ww

Aaa

ρ= , 2s

Ss

Aaa

ρ= i C E N W S nbnb

a a a a a a= + + + =∑ (7.23)

( )C e e n n w w s sˆ ˆ ˆ ˆpb u A v A u A v Aρ ρ ρ ρ= − + − − (7.24) Iz jednadžbe za tlak se može zaključiti sljedeće:

1) S obzirom da je C nbnb

a a=∑ tlak je neodređen do na konstantu. Matrica sustava koja bi

se dobila slaganjem jednadžbi za tlak bi bila singularna. Da bi se dobilo jednoznačno rješenje za polje tlaka potrebno je zadati tlak u barem jednom čvoru.

2) Oblik jednadžbe (7.22) ukazuje da je polje tlaka opisano Poissonovom jednadžbom. Jednadžba (7.22) je izvedena uvrštavanjem diskretiziranih komponenti jednadžbe količine gibanja u diskretiziranu jednadžbu kontinuiteta. Formalno se to moglo učiniti i s diferencijalnim jednadžbama, pri čemu bi se dobila diferencijalna Poissonova jednadžba za tlak, koju bi se trebalo diskretizirati. Provedeni postupak izvoda jednadžbe za tlak je konzistentniji.


3) Koeficijenti u jednadžbi za tlak su razmjerni kvadratu površine stranice konačnog volumena, pa će pri jako izduženim volumenima matrica sustava biti loše uvjetovana, kao što je prije ilustrirano na primjeru difuzijske jednadžbe. Rješavanje sustava s takvom matricom zahtijevat će primjenu višemrežnih metoda.

Ako se u sustavu jednadžbi (7.16) do (7.18), jednadžba kontinuiteta zamijeni jednadžbom (7.22) za tlak, matrica sustava će imati strukturu, kako je shematski prikazano na slici 7.3.

Slika 7.3 Shematski prikaz strukture matrice sustava diskretiziranih jednadžbi s jednadžbom

kontinuiteta u obliku jednadžbe za tlak Naravno da su jednadžbe za čvorne vrijednosti komponenti brzine i tlaka međusobno spregnute. Ono što se vidi iz strukture matrice je da se tlak nalazi u jednadžbama količine gibanja (točkasto označene dijagonale), a ono što se ne vidi iz strukture matrice sustava je da su koeficijenti u svim jednadžbama funkcije brzine u i v , te da je desna strana jednadžbe za tlak također funkcija brzina u i v . Zbog toga će numerički postupak nužno imati iterativni postupak. Jasno je da se navedeni sustav treba riješiti simultano, tako da su istovremeno zadovoljena sva tri bloka jednadžbi. U svakoj iteraciji bi se rješavao kompletni sustav, na temelju tako dobivenog rješenja bi se ponovo računali koeficijenti matrice sustava i vektor desne strane te ponovo rješavao cjelokupni sustav, i taj bi se postupak ponavljao sve dok se koeficijenti sustava ne prestanu mijenjati. Takav algoritam bi se zvao spregnutim (engl. "coupled algorithm"). S obzirom da je većina informacija o spregnutosti sustava spremljena u koeficijentima i desnoj strani globalnog sustava, sama po sebi se nameće ideja o odijeljenom rješavanju jednadžbi (engl. "segregate algorithm"). Naime, ako se utjecaj tlaka u jednadžbi količine gibanja tretira kroz desnu stranu sustava (crtkane dijagonale na slici 7.3), tada ostaju tri nezavisna sustava jednadžbi (prikazana punim linijama na slici 7.3). Prvo bi se rješavao podsustav jednadžbi količine gibanja za u komponentu brzine, zatim za v komponentu brzine i na kraju jednadžba za tlak. Jasno je da bi ovakav odijeljeni način rješavanja ukupnog sustava zahtijevao iterativni postupak i za slučaj linearnog problema za koji bi sa spregnutim algoritmom dobili rješenje problema jednim rješavanjem ukupnog sustava. S obzirom da su jednadžbe (7.16) do (7.18) nelinearne, iterativni postupak će se i tako zahtijevati, pa odijeljeni način rješavanja neće nužno imati značajni nedostatak, a štedi se na memoriji računala, jer nije potrebno pamtiti koeficijente ukupnog sustava. U svakom trenutku je potrebno pamtiti koeficijente samo jedne dijagonalne blok matrice ukupnog sustava. U odijeljenom algoritmu se prvo rješava podsustav jednadžbi količine gibanja za u komponentu, pa za v komponentu, pri čemu su koeficijenti izračunati s vrijednostima brzine iz prethodne iteracije, a desne strane sustava s tlakom iz prethodne iteracije, nakon čega se rješava jednadžba kontinuiteta. Postupak se ponavlja s novoizračunatim vrijednostima polja brzine i tlaka sve dok sve

=v

u

p

eub

nvb

JKGu

JKGv

JK Cpb


jednadžbe ne budu istovremeno zadovoljene. Jasno je da kad se riješe diskretizirane jednadžbe količine gibanja (s koeficijentima izračunatim s vrijednostima brzine iz prethodne iteracije), da to dobiveno polje brzine ne mora zadovoljavati jednadžbu kontinuiteta. S obzirom da jednadžba kontinuiteta mora biti zadovoljena u svakom trenutku i za svaki konačni volumen, nema smisla računati polje tlaka iz polja brzine koje ne zadovoljava jednadžbu kontinuiteta. Zbog toga se obično nakon rješavanja jednadžbi količine gibanja za u i v komponente brzine vrši korekcija brzina s ciljem zadovoljavanja jednadžbe kontinuiteta, pri čemu korekciju vršimo tako da po mogućnosti jednadžbe količine gibanja ostanu zadovoljene. Korekcije polja brzine su povezane s korekcijom tlaka, pa će se korekcije brzine izraziti kao funkcije korekcije tlaka, pa time dolazimo do izvoda jednadžbe za korekciju tlaka.

7.3.2. Izvod jednadžbe za korekciju tlaka Označimo sa *u i *v polje brzine koje smo dobili rješavanjem jednadžbi količine gibanja na temelju trenutno raspoloživog tlaka *p . To znači da polje brzine zadovoljava jednadžbe (7.17) i (7.18), tj. vrijedi

( )* * * *e e E C e e

unb nb

nb

a u a u p p A b= − − +∑ (7.25)

( )* * * *n n N C n n

vnb nb

nb

a v a v p p A b= − − +∑ , (7.26)

S obzirom da polje brzine definirano komponentama *u i *v ne mora zadovoljavati jednadžbu kontinuiteta, tražimo korigirano polje *u u u′= + i *v v v′= + , kojemu će odgovarati korigirano polje tlaka *p p p′= + , pri čemu ćemo tražiti da korigirana polja simultano zadovoljavaju sve jednadžbe matematičkog modela, tj. treba vrijediti ( ) ( ) ( ) ( )* * * *

e e e n n n w w w s s s 0u u A v v A u u A v v Aρ ρ ρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′+ + + − + − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (7.27)

( ) ( ) ( )* * * *e e e E E C C e e

unb nb nb

nb

a u u a u u p p p p A b′ ′ ′ ′+ = + − + − − +∑ (7.28)

( ) ( ) ( )* * * *n n e N N C C n n

vnb nb nb

nba v v a v v p p p p A b′ ′ ′ ′+ = + − + − − +∑ (7.29)

Oduzimanjem jednadžbe (7.25) od jednadžbe (7.28) i jednadžbe (7.26) od (7.29), dobije se

( )e e E C enb nbnb

a u a u p p A′ ′ ′ ′= − −∑ (7.30)

( )n n N C nnb nbnb

a v a v p p A′ ′ ′ ′= − −∑ (7.31)

Jednadžbe (7.30) i (7.31) označuju sustave linearnih algebarskih jednadžbi koje daju vezu među korekcijom polja brzine i tlaka, koje bi zadovoljile sve jednadžbe sustava, a praktički su jednake originalnim jednadžbama. Jasno je da će kako se numeričko rješenje približava točnom rješenju korekcije brzine i tlaka bivati sve manje, a na kraju će biti jednake nuli. Ako se pretpostavi da su neke korekcije pozitivne, a neke negativne i zanemare članovi nb nb

nb

a u′∑ i

nb nbnb

a v′∑ , iz gornjih jednadžbi se dobiju jednostavne relacije za vezu između korekcije brzine

i tlaka

( )ee E C

e

Au p pa

′ ′ ′= − − i ( )nn N C

n

Av p pa

′ ′ ′= − − (7.32)


Jasno je da ovo zanemarenje nema utjecaja na konačni rezultat jer su za konačni rezultat sve korekcije jednake nuli, ali će imati utjecaja na brzinu konvergencije numeričkog postupka. Uvrštavanjem izraza (7.32) u jednadžbu kontinuiteta (7.27) slijedi jednadžba za korekciju tlaka

C C E E N N W W S S C Cp p

nb nbnb

a p a p a p a p a p b a p b′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + + = +∑ , (7.33)

gdje su koeficijenti jednadžbe jednaki onima u jednadžbi (7.22) za tlak, a izraz za slobodni član C

pb ′ je

( )* * * *C e e n n w w s spb u A v A u A v Aρ ρ ρ ρ′ = − + − − (7.34)

Izraz u zagradi označuje odstupanje od jednadžbe kontinuiteta. Kada bi to odstupanje u svim konačnim volumenima bilo jednako nuli, sustav jednadžbi za korekciju tlaka bi bio homogeni sustav, čije je rješenje trivijalno, pa ne bi bilo niti korekcije tlaka ni korekcije brzine, što znači da su jednadžba količine gibanja i jednadžba kontinuiteta simultano zadovoljene. Jasno je da će matrica sustava jednadžbi korekcije tlaka biti singularna, te će se u jednom čvoru definirati korekciju tlaka (obično se uzima da je u jednom čvoru korekcija tlaka jednaka nuli). Iz izraza (7.32) je jasno da to ne utječe na konačni rezultat, jer su korekcije brzine definirane s razlikama (dakle gradijentom) korekcije tlaka. Na temelju izvedenih jednadžbi za tlak i korekciju tlaka definiraju se algoritmi za rješavanje modela nestlačivog strujanja, kako je dano u tablici 7.4. Tablica 7.4 Prikaz algoritama SIMPLE i SIMPLER Algoritam SIMPLE Algoritam SIMPLER

Pretpostaviti polje brzine u i v , te polje tlaka p

Pretpostaviti polje brzine u i v .

1. Izračunati koeficijente u jednadžbi (7.22)za tlak i riješiti ju, čime je određeno polje tlaka koje odgovara trenutnom polju brzine.

1. Izračunati koeficijente u jednadžbama (7.17) i (7.18) i riješiti ih, čime se dobiju komponente brzine *u i *v . Da se izbjegne divergencija numeričkog postupka, jednadžbe (7.17) i (7.18) se prije rješavanja podrelaksiraju.

2. Izračunati koeficijente u jednadžbama (7.17) i (7.18) i riješiti ih, čime se dobiju komponente brzine *u i *v . Da se izbjegne divergencija numeričkog postupka, jednadžbe (7.17) i (7.18) se prije rješavanja podrelaksiraju.

2. Riješiti jednadžbu (7.33) za korekciju tlaka, izračunati korekcije brzine prema (7.32), te korigirati brzine: *u u u′= + i

*v v v′= + te tlak *pp p pα ′= + , gdje je

pα faktor podrelaksacije za tlak.

3. Riješiti jednadžbu (7.33) za korekciju tlaka, izračunati korekcije brzine prema (7.32), te korigirati brzine: *u u u′= + i

*v v v′= + . Tlak ne korigirati!

Koraci 1. i 2. se ponavljaju dok se reziduali jednadžbe količine gibanja i jednadžbe kontinuiteta (desna strana jednadžbe za korekciju tlaka) ne smanje unutar propisanih granica točnosti.

Koraci 1., 2. i 3. se ponavljaju dok se reziduali jednadžbe količine gibanja i jednadžbe kontinuiteta (desna strana jednadžbe za korekciju tlaka) ne smanje unutar propisanih granica točnosti.


Napomene uz algoritme: 1) U algoritmu SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) se

korekcija tlaka podrelaksira, da se spriječi divergencija numeričkog postupka. Naime, jednadžba za korekciju tlaka je izvedena uz pomoć pojednostavljene relacije među korekcijama brzine i tlaka, pa će korekcija tlaka biti precijenjena. Okvirna preporuka za izbor faktora podrelaksacije tlaka je prema formuli 1p uα α+ = , gdje je uα faktor podrelaksacije za brzine (obično isti za obje komponente). Na primjer u računalnom programu FLUENT standardno se nude vrijednosti 0,7uα = i 0,3pα = . Jasno je da će brzina konvergencije numeričkog postupka zavisiti od izbora tih faktora. Preniske vrijednosti usporit će konvergenciju (za rješenje zadane točnosti će trebati veći broj iteracija), a previsoke vrijednosti mogu imati za posljedicu divergenciju numeričkog postupka (reziduali se ne smanjuju, nego rastu iz iteracije u iteraciju). U slučaju divergencije numeričkog postupka faktore podrelaksacije treba smanjivati.

2) Algoritam SIMPLER (SIMPLE - Revised) ima jedan korak više i to rješavanje jednadžbe za tlak, čije rješavanje zahtijeva više računalnog vremena nego rješavanje jednadžbi količine gibanja. To znači da će jedna iteracija algoritma SIMPLER biti "skuplja" od jedne iteracije algoritma SIMPLE, međutim potrebni broj iteracija algoritma SIMPLER je manji od broja iteracija algoritma SIMPLE, pa je u konačnici algoritam SIMPLER efikasniji. S druge strane u algoritmu SIMPLER se polje tlaka ne korigira s izračunatom korekcijom tlaka, pa je potrebno zadavati jedan faktor podrelaksacije manje, pa je i algoritam robusniji (manja mogućnost divergencije).

3) Na žalost, primjena algoritma SIMPLER je ograničena na ortogonalne mreže. Na općim neortogonalnim nestrukturiranim mrežama u jednadžbi za tlak bi se pojavljivao veliki broj čvornih vrijednosti tlaka (jer se smjer normale na stranicu konačnog volumena ne poklapa sa spojnicom čvorova pa bi trebalo koristiti puno čvornih vrijednosti tlaka da se opiše derivacija tlaka u željenom smjeru), pa bi tako dobiveni sustav bio nepraktičan za rješavati (i sa stajališta memorijskog zauzeća i sa stajališta vremena rješavanja). U jednadžbi za korekciju tlaka se na neortogonalnim mrežama također pojavljuje veći broj čvornih vrijednosti, ali se obično zadržavaju uz svaku stranicu po dvije čvorne vrijednosti, što je dopušteno jer se radi o korekciji tlaka, koja i tako mora težiti k nuli, pa korištenje pojednostavljene formule neće imati utjecaja na konačni rezultat, što u jednadžbi za tlak ne bi bio slučaj.

4) Principijelno gledajući za kriterij završetka iterativnog postupka bilo bi dovoljno kontrolirati odstupanje od jednadžbe za korekciju tlaka (masene reziduale). Obično se kontroliraju i reziduali jednadžbe količine gibanja, jer se zbog nelinearnosti jednadžbi, te jednadžbe ne rješavaju do kraja u svakom iterativnom koraku, pa je nužno zadovoljiti i kriterij reziduala jednadžbe količine gibanja, koji će garantirati da su te jednadžbe dovoljno točno riješene.

Osim ova dva algoritma postoje i drugi algoritmi poput PISO, SIMPLEC, SIMPLEN i sl., a koji su svi određene modifikacije ova dva. Na nepomaknutim mrežama se najčešće koristi algoritam SIMPLE.


7.4. Algoritam SIMPLE na nepomaknutoj mreži Osnovni nedostatak primjene pomaknute mreže, leži u činjenici da se barata s tri različite mreže (u dvodimenzijskoj situaciji), što nije problem na kartezijskim mrežama, ali može biti problem kada se radi o neortogonalnoj strukturiranoj mreži, a pogotovo ako se radi o nestrukturiranim mrežama. Zbog toga se teži definirati algoritam za rješavanje modela strujanja fluida na nepomaknutoj mreži u kojoj se sve nepoznanice računaju u istim čvorovima, odnosno sve jednadžbe diskretiziraju na istim konačnim volumenima, iako takav pristup ima određenih, prije spomenutih, nedostataka. Diskretizacija jednadžbe kontinuiteta za slučaj nepomaknute mreže ostaje ista kao i za slučaj pomaknute mreže, s razlikom da brzine na stranicama konačnih volumena trebaju biti interpolirane iz vrijednosti brzine u centralnim čvorovima, pa vrijedi: ( ) ( ) ( ) ( )e n w s

0uA vA uA vAρ ρ ρ ρ+ − − = , (7.35) gdje potez označuje interpolaciju. Ako se primijeni linearna interpolacija, za slučaj ravnomjerne mreže i oznaka kao na slici 7.1, vrijedi: ( )e E C / 2u u u= + , ( )n N C / 2v v v= + , i tako redom, pa jednadžba kontinuiteta za konačni volumen s centralnim čvorom C, izražena čvornim vrijednostima brzine glasi: ( ) ( ) ( ) ( )E e N n W w S s 0u A v A u A v Aρ ρ ρ ρ+ − − = (7.36) Očito je da se za ravnomjernu mrežu i linearnu interpolaciju brzine Cu i Cv ne pojavljuju u jednadžbi kontinuiteta za konačni volumen oko čvora C. Diskretizirani oblici komponenti jednadžbe količine gibanja, uz primjenu sheme centralnih razlika za derivacije tlaka, za slučaj ravnomjerne mreže, prema slici 7.1, su:

( )C C E W C C/ 2u unb nb

nb

a u a u p p A b= − − +∑ (7.37)

( )C C N S C C/ 2v vnb nb

nba v a v p p A b= − − +∑ , (7.38)

gdje površine CuA y= Δ i C

vA x= Δ prolaze čvorom C i imaju normale u smjeru pripadajućih komponenti brzine, a slobodni članovi C

ub i Cvb sadrže informacije o rubnim uvjetima. Dobra

strana diskretizacije na nepomaknutoj mreži je da su koeficijenti Ca i nba isti u obje jednadžbe, za razliku od koeficijenata u jednadžbama (7.17) i (7.18) za pomaknutu mrežu. Međutim, na nepomaknutim mrežama je problem pojave "cik-cak" raspodjele tlaka, koja se može objasniti jednadžbama (7.37) i (7.38). Naime očito je da za određivanje vrijednosti brzina Cu i Cv u čvoru C, uopće nije važna vrijednost tlaka u čvoru C, već samo vrijednosti tlaka u okolnim čvorovima. Uzmimo na primjer strujanje s nultim gradijentom tlaka. S obzirom da se gradijent tlaka računa preko dva volumena, moguća je cik-cak raspodjela tlaka, koja bi se u diskretiziranim jednadžbama vidjela kao glatka raspodjela, kao što je ilustrirano na slici 7.4.


Slika 7.1 Primjer cik-cak raspodjele tlaka koja pri diskretizaciji na nepomaknutoj mreži daje

nulti gradijent tlaka u svim volumenima Jasno je da bi na pomaknutoj mreži raspodjela tlaka sa slike 7.1 rezultirala tlačnim silama u diskretiziranim jednadžbama količine gibanja (7.17) i (7.18). Da bi se izbjegla pojava cik-cak raspodjele tlaka, očito je potrebno derivaciju tlaka diskretizirati vrijednostima u susjednim čvorovima, kako je to načinjeno u pomaknutoj mreži. Temeljem te činjenice Rhie-Chow su predložili interpolaciju brzine na stranicu konačnog volumena u kojoj se koristi gradijent tlaka prikazan razmjerno razlici tlakova u dva susjedna čvora. Jednadžbu (7.37) se nakon dijeljenja s koeficijentom Ca može pisati, analogno izrazu (7.19), u obliku:

( )C

C C E WC E W C

C C C

1 ˆ2 2

uu unb nb

nb

a u bA A p pu p p u

a a a

+−

= − − = −∑

(7.39)

gdje je Cu dio brzine Cu koji ne zavisi od tlaka. Jednako tako se može prikazati i brzina u

čvoru E: C EE CE E

C

ˆ2

uA p pu ua

−= − . Linearnom interpolacijom brzina iz čvorova C i E u čvor e

na stranici konačnog volumena, podrazumijeva interpolaciju brzina Cu i Eu , te interpolaciju članova s derivacijom tlaka, a ideja Rhie-Chow interpolacije je u tome da se interpolirane derivacije tlaka zamijene sa stvarno diskretiziranom derivacijom tlaka, tako da vrijedi:

( )ee e E C

e

ˆ Au u p pa

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.40)

gdje se eu i e

e

Aa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

određuju linearnom interpolacijom iz vrijednosti definiranim u čvorovima

C i E, prema slici 7.1. Temeljem izraza (7.40) definira se i veza između korekcije brzine i korekcije tlaka, analogno izrazu (7.32)

( )ee E C

e

Au p pa

⎛ ⎞′ ′ ′= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ i ( )n

n N Cn

Av p pa

⎛ ⎞′ ′ ′= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (7.41)

pa se izvede jednadžba za korekciju tlaka potpuno identično kao i u slučaju pomaknute mreže. Jednom kad je definirana jednadžba za korekciju tlaka definira se algoritam SIMPLE, kao i na pomaknutoj mreži, što znači da se prvo rješavaju jednadžbe količine gibanja, a zatim jednadžba za korekciju tlaka, na temelju koje se korigiraju brzine na stranicama konačnog volumena i u glavnim čvorovima, a korekcija tlaka se podrelaksira u obliku *

pp p pα ′= + .

N

W E

S

C

100 100

100

100

100 100

0

0

0

0

100

0

0 0 100

0


Iako se danas Rhie-Chow interpolacija široko koristi u komercijalnim računalnim paketima, jer omogućuje primjenu nepomaknutih mreža, što je značajno pri primjeni nestrukturiranih ili strukturiranih neortogonalnih mreža, ona ima određene nedostatke:

1) U izrazu (7.40) veličine eu i e

e

Aa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

se određuju linearnom interpolacijom iz vrijednosti

u centralnim čvorovima (centralnim konačnim volumenima na kojima se vrši diskretizacija komponenti jednadžbe količine gibanja). U izrazu (7.40) brzina eu i tlakovi Ep i Cp su intenzivne veličine, što znači da one ne ovise o veličini i obliku

konačnog volumena, dok veličine eu i e

e

Aa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

to nisu. Interpolacija ekstenzivnih

veličina (koje su definirane oblikom i veličinom centralnog volumena) u čvor na stranici konačnog volumena (oko kojeg nije jednoznačno definiran volumen) je donekle upitna. Interpolirane vrijednosti će se razlikovati od vrijednosti koje bi se dobile postupkom diskretizacije na točno definiranom volumenu oko točke e kao kod pomaknute mreže.

2) Pri primjeni SIMPLE algoritma na pomaknutoj mreži isto polje brzine zadovoljava i jednadžbu kontinuiteta i jednadžbu količine gibanja. U tom slučaju se obično za potrebe crtanja vrši interpolacija polja brzine u centralne čvorove, npr.

C e w( ) / 2u u u= + , a interpolirana brzina Cu je uvijek u intervalu e w( , )u u . Pri primjeni nepomaknute mreže, jednadžba količine gibanja je zadovoljena poljem brzine definiranim u centralnim čvorovima, dok je jednadžba kontinuiteta zadovoljena poljem brzine interpoliranim na stranice konačnih volumena. Rhie-Chow interpolacija može dati interpoliranu brzinu eu koja je izvan intervala ( )C E,u u , što znači da takva interpolacija može generirati nove maksimume brzine. Drugim riječima problem cik-cak raspodjele tlaka se može preseliti na cik-cak polje brzine. Naravno, ovaj problem nije eksplicitno vidljiv, jer kad se jednom odredi rješenje, interpolirano polje brzine koje zadovoljava jednadžbu kontinuiteta se više ne gleda.

Turbulencija 144 / 173

8. Turbulencija

Turbulentno strujanje fluida je najčešći oblik strujanja u prirodi, a pojavljuje se uvijek u strujanjima pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja. Laminarno strujanje fluida koje također zauzima značajno mjesto u rješavanju tehničkih problema, održava se samo za slučaj malih vrijednosti Reynoldsova broja, npr. pri strujanju ulja u zračnosti ležaja, pri lijevanju plastike u kalupe, pri optjecanju tijela malih dimenzija, malim brzinama i sl.

Nestlačivo strujanje fluida kod kojeg se koeficijent viskoznosti može smatrati konstantnim, se može opisati jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja (Navier-Stokesovim jednadžbama). Za stacionarno strujanje fluida, uz zanemarenje masenih sila, navedene jednadžbe, zapisane u indeksnoj notaciji glase:

0j

j

vx∂

=∂

(8.1)

( ) ji ij i

j i j j i

vv p vv vt x x x x xρ ρ μ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.2)

Sustav jednadžbi (8.1) i (8.2) sadrži četiri skalarne jednadžbe s četiri nepoznata polja. Jedini relevantni kriterij sličnosti za nestlačivo strujanje opisano gornjim jednadžbama je Reynoldsov broj, koji predstavlja odnos inercijskih i viskoznih sila. Za dane stacionarne granične uvjete, principijelno, uvijek postoji stacionarno rješenje sustava jednadžbi (8.1) i (8.2), koje zbog nelinearnosti lijeve strane jednadžbe (8.2), uglavnom ne možemo odrediti analitičkim putem. Analitičko rješenje moguće je naći za one situacije strujanja u kojima nelinearni član iščezava, a jedna takva situacija je nestlačivo strujanje ustaljenim profilom brzine, u horizontalnoj cijevi kružnog poprečnog presjeka, koje smo pokazali u MFII. Navedeno rješenje vrijedi za bilo koju vrijednost Reynoldsovog broja, međutim, iskustvo pokazuje da se ono može ostvariti u prirodi samo kod niskih vrijednosti Reynoldsovog broja, (Re < 2000), kod kojih je strujanje stabilno u odnosu na male poremećaje, a takvo strujanje nazivamo laminarnim. Kod viših vrijednosti Reynoldsovog broja strujanje postaje nestabilno u odnosu na male perturbacije, a povećavanjem Reynoldsova broja strujanje prelazi u režim razvijenog turbulentnog strujanja. Matematičko ispitivanje stabilnosti rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi vrši se dodavanjem male vremensko-prostorne perturbacije polja brzine i tlaka na osnovno stacionarno rješenje. Tako dobivene jednadžbe za perturbacijsko strujanje mogu se linearizirati, te se njihovim rješavanjem ustanovljava, da li perturbacije slabe u vremenu. Ako slabe, strujanje je stabilno i ostaje stacionarno i laminarno. Ako se perturbacije pojačavaju u vremenu strujanje postaje kvaziperiodično jer se osnovnom stacionarnom rješenju nadodaje vremenski promjenljivo perturbacijsko strujanje. Vrijednost Reynoldsova broja kod kojeg se pojavi prva perturbacija koja ne slabi u vremenu naziva se kritičnom vrijednošću kod koje počinje proces tranzicije laminarnog strujanja u turbulentno strujanje. Kod kritične vrijednosti Reynoldsova broja pojavljuje se, dakle, jedna frekvencija na kojoj amplituda perturbacijskog strujanja ne slabi u vremenu. Daljnjim povećanjem Reynoldsova broja pojavljuju se nove i nove frekvencije na kojima amplituda perturbacijskog strujanja ne slabi u vremenu, a intervali Reynoldsova broja u kojima se pojavljuju te nove frekvencije brzo se smanjuju. Novonastala strujanja imaju sve više frekvencije, a amplitude nestacionarnih pulsacija polja brzine i tlaka također postaju sve veće. Na taj način povećanjem Reynoldsova broja strujanje vrlo brzo poprima složen i kaotičan karakter i takvo strujanje nazivamo turbulentnim. Ovaj prijelaz ili tranzicija laminarnog strujanja vodi u razvijeno turbulentno


strujanje koje je karakterizirano širokim spektrom turbulentnih pulsacija, različitih amplituda i frekvencija. Takvo turbulentno strujanje može se definirati kao kaotično strujanje u kojem polja fizikalnih veličina (brzine, tlaka, itd.) pokazuju slučajne promjene u vremenskoj i prostornim koordinatama, pri čemu je moguće razlučiti njihove statistički srednje vrijednosti. Treba primijetiti da turbulentno strujanje ima unutrašnje stupnjeve slobode jer je nestacionarno i za stacionarne rubne uvjete, te analitičko opisivanje takvog strujanja nije moguće.

Treba naglasiti da kritični Reynoldsov broj nije univerzalna veličina. Njegova vrijednost mijenja se od situacije do situacije, pa čak i za jednu situaciju to nije čvrsto određena vrijednost. Tako npr. kod strujanja u cijevima kružnog poprečnog presjeka možemo govoriti o dva kritična Reynoldsova broja, donjem i gornjem. Donji kritični Reynoldsov broj definira se kao najniža vrijednost Reynoldsova broja ispod kojeg se ne može pojaviti turbulentno strujanje i gornja vrijednost iznad koje se ne može održati laminarno strujanje. Uz posebno pažljivo provođenje eksperimenta (laboratorijski uvjeti) uspjelo se održati laminarno strujanje i kod Reynoldsova broja oko Re=50000 što se može smatrati gornjom kritičnom vrijednošću. U takvom strujanju potrebna je i najmanja pobuda pa da ono naglo prijeđe u režim turbulentnog strujanja. Za tehnički hrapave cijevi s oštrim ulaznim rubom za donju vrijednost kritičnog Reynoldsova broja općeprihvaćena je vrijednost Re=2320. Prema tome, proces prelaska laminarnog strujanja u turbulentno je nepredvidiv i može početi na bilo kojoj vrijednosti između gornje i donje vrijednosti kritičnog Reynoldsova broja, a danas nema valjane teorije za tranziciju laminarnog u turbulentno strujanje.

Donja slika shematski prikazuje granični sloj uz ravnu ploču. Na samom početku razvija se laminarni granični sloj, koji pri određenoj (kritičnoj) vrijednosti Reynoldsova broja

5 6krkr 3 10 do 3 10v xRe

ν∞ ⋅= ≈ ⋅ ⋅ postaje nestabilan. U presjeku krx x= periodički se i relativno

rijetko u prostoru pojavljuju nestabilnosti strujanja (pulsacije brzine i tlaka). Daljnjim udaljavanjem od tog presjeka u smjeru strujanja pulsacije postaju sve češće, i sve gušće u prostoru, tako da nakon nekog presjeka govorimo o potpuno razvijenom turbulentnom strujanju.

Slika 8.1 Shematski prikaz graničnog sloja uz ravnu ploču

x

A B C

Dδ(x)

Laminarno Tranzijentno Razvijeno turbulentno

krx

v∞


Sljedeća slika shematski prikazuje rezultate mjerenja tlaka u točkama A i B, od kojih je točka A u laminarnom dijelu graničnog sloja, a točka B u prijelaznom (tranzijentnom) području. U točki B je tlak u nekim vremenskim periodima približno stalan (za vrijeme dok se u točki ne nalazi poremećaj), a u nekim periodima nestacionaran (za vrijeme dok nestabilnost prolazi točkom).

p p

t t"A" - laminarno strujanje

"B" - tranzijentno strujanje

Slika 8.2 Shematski prikaz signala tlaka u laminarnom i tranzijentnom strujanju

Shematski prikaz rezultata mjerenja tlaka u točki C, koja se nalazi u području razvijene turbulencije i točki D koja se nalazi također u području razvijene turbulencije, ali pri rubu graničnog sloja, dan je na sljedećoj slici. U razvijenom turbulentnom strujanju tlak u točki C će stalno pokazivati slučajne pulsacije, dok će u točki D postojati vremenski periodi s bitno smanjenim pulsacijama tlaka, što svjedoči o nestalnosti ruba graničnog sloja (ako se o rubu graničnog sloja uopće može govoriti u smislu ruba definiranog u laminarnom strujanju). Naime rub graničnog sloja poput ostalih veličina također će pokazivati slučajne promjene i u svakom trenutku će izgledati drukčije. U tom smislu točka D će se u jednom trenutku nalaziti unutar graničnog sloja, a u nekom drugom izvan. Tada ugovorimo da se u točki D pojavljuje intermitirajuća turbulencija.

pp

tt"C" - razvijeno turbulentno strujanje

"D" - intermitentno strujanje

Slika 8.3 Shematski prikaz signala tlaka u razvijenom i intermitentnom turbulentnom strujanju

U prikazanim dijagramima može se uočiti vremenski srednja vrijednost tlaka, koja bi bila konstantna u vremenu, pa bi se takvo strujanje nazivalo kvazistacionarnim. Gledajući u frekventnom području, izmjereni signal tlaka će sadržavati široki raspon frekvencija različitih amplituda. Naravno, kad bi mjerili tlak u dvije vrlo bliske točke, signal tlaka bi se značajno razlikovao, što svjedoči o prostornim promjenama tlaka, tj. gledano u prostoru pojavljivat će se široki spektar valnih duljina. Pri direktnom numeričkom rješavanju (DNS – Direct Numerical Simulation) turbulentnog strujanja trebalo bi koristiti tako finu geometrijsku mrežu da se obuhvate najmanje valne duljine i tako sitni vremenski korak integracije da se obuhvate najviše frekvencije, pri čemu bi točnost numeričkog rješavanja trebala biti vrlo visoka, tako da se numeričkim pogreškama ne „zamagli“ fizikalnost koeficijenata korelacije pulsirajućih komponenti brzine i tlaka. Za realne inženjerske probleme je to još uvijek previše zahtjevno sa stajališta kapaciteta i brzine računanja računala, tako da takav pristup ne dolazi u obzir.


8.1. Statističko opisivanje turbulencije Rezultat direktnog rješavanja Navier-Stokesovih jednadžbi bio bi skup numeričkih vrijednosti traženih polja fizikalnih veličina (u nestlačivom strujanju bi to bila polja brzine i tlaka) u velikom broju prostornih točaka za veliki broj vremenskih trenutaka. Ono što zanima inženjera su obično neke integralne veličine poput protoka, ukupne sile tlaka, ukupne viskozne sile na neku površinu i sl. Te integralne veličine također pokazuju slučajne promjene u vremenu, a inženjera neće zanimati pojedine trenutne vrijednosti, nego prosječne vrijednost i eventualno amplitude odstupanja od prosječnih vrijednosti. Dakle, ako bi inženjeru dali rezultate direktne numeričke simulacije, on bi te rezultate uprosječio po vremenu, pa se nameće sama po sebi ideja da se prije rješavanja Navier-Stokesovih jednadžbi, sve veličine u tim jednadžbama uprosječe, te da se rješavaju jednadžbe za uprosječene veličine, koje inženjera i zanimaju. Time se značajno olakšava zadaća numeričkog rješavanja tih jednadžbi, jer koraci prostorne i vremenske diskretizacije više ne moraju biti onako mali. Danas se najčešće koristi vremensko (Reynoldsovo) uprosječenje. Ako je f neka veličina u turbulentnom strujanju, ona se može prikazati zbrojem vremenski prosječne vrijednosti f i pulsirajućeg dijela f ′ ( 'f f f= + ). Prosječna (srednja) vrijednost f u razdoblju 0T je po definiciji

0

0

2

02

1( , ) ( , )

T

i iT

f x t f x t dT

τ τ−

= ⋅ − ⋅∫

gdje 0T mora biti odabrano tako da vrijedi f f= . Jasno je da kada se radi o kvazistacionarnom turbulentnom strujanju ( f nije funkcija vremena), razdoblje osrednjavanja može težiti u beskonačno. Dakle potez nad veličinom označuje vremensko osrednjavanje koje je definirano integralom, a za integriranje vrijedi da je integral zbroja jednak zbroju integrala. Dvostruki potez, npr. f označuje uprosječenje prosječne veličine. Za dobro odabrano razdoblje uprosječavanja, dakle vrijedi

' 0f f f f f f f= − = − = − = Ili riječima: Vremenski prosječna vrijednost pulsirajućeg dijela bilo koje fizikalne veličine jednaka je nuli. Srednja vrijednost prostorne derivacije (gradijenta) veličine f je

0 0

0 0

2 2

0 02 2

1 ( , ) 1 ( , )

T T

ii

T Ti i i i

df f x t fd f x t ddx T x x T x

τ τ τ τ− −

⎛ ⎞∂ − ∂ ∂⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ (8.3)

Za srednju vrijednost vremenske derivacije, vrijedi analogno

0 0

0 0

2 2

0 02 2

1 ( , ) 1 ( , )

T T

ii

T T

df f x t fd f x t ddt T t t T t

τ τ τ τ− −

⎛ ⎞∂ − ∂ ∂⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ (8.4)

Ili riječima: Srednja vrijednost derivacije jednaka je derivaciji srednje vrijednosti.

Ako su f i g dvije veličine u kvazistacionarnom turbulentnom strujanju, pri čemu je 'f f f= + i 'g g g= + , vrijede sljedeće relacije


' ' 0f g f g⋅ = ⋅ =

( )' 'f g f g g f g f g f g⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅ (8.5)

( ) ( )' ' ' 'f g f f g g f g f g⋅ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅

Valja primijetiti da prosječna vrijednost umnoška dvaju pulsirajućih dijelova fizikalnih veličina nije jednaka nuli1.

Kao ilustraciju pogledajmo fizikalni primjer specifične kinetičke energije fluida koja je definirana izrazom 2

K / 2 / 2i ie v v v= = . Ako polje brzine rastavimo na zbroj vremenski osrednjenog (glavnog) strujanja i pulsirajućeg strujanja i i iv v v′= + , tada je jasno da će se ukupna kinetička energija sastojati od kinetičke energije glavnog strujanja i kinetičke energije pulsirajućeg strujanja, što se dobije osrednjavanjem kinetičke energije za ukupno strujanje, a prema pravilu (8.5) slijedi:

1 1 12 2 2i i i i i iv v v v v v′ ′= + (8.6)

Član na lijevoj strani jednadžbe označuje vremenski srednju vrijednost specifične kinetičke energije ukupnog strujanja, prvi član na desnoj strani specifičnu kinetičku energiju glavnog (osrednjenog) strujanja, a drugi član na desnoj strani jednadžbe (8.6) srednju vrijednost kinetičke energije pulsirajućeg strujanja ili kinetičku energiju turbulencije (označava se s

/ 2i ik v v′ ′= ).

8.2. Opći oblik zakona očuvanja za slučaj nestlačivog turbulentnog strujanja

Primjenom pravila Reynoldsova uprosječavanja (8.3) do (8.5) na opći oblik zakona očuvanja u nestlačivom strujanju,

( ) ( ) j

j j j

vS

t x x x ϕ

ρ ϕρϕ ϕΓ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (8.7)

pri čemu su gustoća i koeficijent difuzije konstantne veličine, a polje brzine i specifično fizikalno svojstvo se prikazuju zbrojevima j j jv v v′= + i ϕ ϕ ϕ′= + , slijedi

( ) j jj j j

v v St x x x ϕρϕ ϕρ ϕ Γ ρ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′+ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (8.8)

1 Na temelju toga umnoška se može govoriti o korelaciji dviju veličina, koja se izražava koeficijentom korelacije

f gRf f g g

′ ′⋅=

′ ′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅

Apsolutna vrijednost gore definiranog koeficijenta je u granicama od nula do jedan. Vrijednost koeficijenta korelacije jednaka nuli kazuje da su pulsacije veličina potpuno nezavisne, a vrijednost koeficijenta korelacije jednaka jedan da među njima postoji jednoznačna veza.


Iz čega je jasno da se u dobivenoj uprosječenoj jednadžbi osim uprosječenih vrijednosti pojavljuje predstavnik pulsirajućeg strujanja. Član jv ϕ′ ′ označuje novu nepoznanicu, što znači da bi za nju trebalo definirati jednadžbu ili je modelirati. Teorijski bi se mogla izvesti jednadžba koja bi opisivala prijenos korelacije jv ϕ′ ′ , ali bi se u njoj pojavile neke nove korelacije pulsirajućih veličina, tako da bi nam broj nepoznanica još više porastao. Izvođenjem jednadžbi za te nove korelacije, pojavljivao bi se sve veći i veći broj nepoznanica, što znači da se sustav jednadžbi ne bi nikada zatvorio. Fizikalno to znači sljedeće: u statističkom pristupu opisa turbulencije jednadžbe se uprosječuju, čime se gubi dio informacija koje te jednadžbe nose. Da bi povratili te informacije potrebno je poznavati beskonačno puno korelacija pulsirajućih vrijednosti fizikalnih veličina. S obzirom da je nemoguće rješavati sustav od beskonačno jednadžbi morat ćemo se zaustaviti na određenom redu korelacije, koji ulazi u skup varijabli, a sve ostale ćemo morati modelirati. Prema tome statistički pristup turbulenciji nikad neće biti egzaktan, a za inženjere je samo važno da rezultati za uprosječene veličine budu što vjerniji. Modeliranje korelacija pulsirajućih veličina je na neki način nužno zlo i bit će samo u funkciji dobivanja što boljih rezultata za uprosječene veličine.

Prijenos fizikalne veličine u strujanju fluida odvija se putem konvekcije (uslijed strujanja fluida - tj. čestica fluida kao nositelj fizikalnog svojstva svojim premještanjem prenosi i fizikalno svojstvo) i putem difuzije. Difuzija je posljedica kaotičnog gibanja atoma, odnosno molekula, putem kojeg se fizikalno svojstvo širi po prostoru. Makroskopski gledano difuzija će se manifestirati za slučaj postojanja gradijenta fizikalnih veličina. Difuzijske procese nazivamo i spontanim procesima, jer se odvijaju sami od sebe, sve dok postoji gradijent fizikalne veličine. Primjer difuzijskog procesa je provođenje topline, iz područja s višom prema području s nižom temperaturom. Sljedeća slika daje primjer dvaju paralelnih strujanja istom brzinom u , različitih temperatura 1T i 2T . Ako je strujanje laminarno (dakle svaka čestica se giba u svom sloju) čestice će se gibati pravocrtno, a dvije čestice fluida iz dvije struje različite temperature koje su istovremeno izašle iza pregrade ostat će sve vrijeme susjede. Konvekcijom se toplina može prenijeti samo u smjeru gibanja, a ako nema toplinske provodnosti, neće biti izmjene (difuzije) topline među česticama i one će zadržati svaka svoju temperaturu, a profil temperature će ostati nepromijenjen (na slici je to slučaj označen s

0λ = , lam.). S obzirom da uvijek postoji toplinska provodnost doći će do prijelaza topline s toplije na hladniju česticu, i što god su čestice dulje u kontaktu to će više topline biti izmijenjeno. Kao posljedica toga profil temperature će težiti izjednačavanju, kao što prikazuje slika (slučaj označen s 0λ ≠ , lam.).

Slika 8.4 Shematski prikaz laminarne i turbulentne difuzije

Da bismo ilustrirali turbulentnu difuziju ponovo ćemo promatrati toplinski nevodljiv fluid. U turbulentnom strujanju čestice fluida se gibaju kaotično u svim smjerovima (pri čemu je globalno strujanje u desno statistički srednjom brzinom, npr. brzinom u ). Prema tome u

u

u

T1

T2

l = 0lam.

l = 0lam.

l = 0turb.

0λ = 0λ ≠ 0λ =


turbulentnom strujanju će čestice toplijeg fluida ulaziti među čestice hladnijeg fluida, i obrnuto, doći će do prodora hladnijih čestica među toplije čestice. Ovo miješanje imat će za posljedicu profil temperature sličan onome iz laminarnog strujanja s toplinskom provodnošću, pa govorimo o turbulentnoj difuziji. Iz rečenog je jasno da turbulentna difuzija ima porijeklo u konvektivnom prijenosu fizikalnog svojstva uslijed gibanja čestica u poprečnom smjeru u odnosu na smjer glavnog strujanja. U realnim strujanjima imamo i molekularnu difuziju (u makrosvijetu je to opisano toplinskom provodnošću) i turbulentnu difuziju (uslijed turbulentnog miješanja čestica fluida – možemo govoriti i o turbulentnoj provodnosti). U razvijenom turbulentnom strujanju (pri intenzivnom miješanju čestica fluida) turbulentna difuzija može biti puno jača od molekularne.

Ako je toplinska provodnost fluida koeficijent difuzije (u Fourierovom zakonu toplinske provodnosti) za difuziju topline, onda je viskoznost koeficijent difuzije za količinu gibanja. Naime u laminarnom strujanju, u kojem se čestice gibaju pravocrtno, količina gibanja se putem konvekcije prenosi samo u smjeru strujanja. Uslijed viskoznosti među slojevima fluida se pojavljuje smično (viskozno) naprezanje, putem kojeg se količina gibanja prenosi s bržeg na sporiji sloj (brži slojevi povlače za sobom sporije). Naravno, ako se radi o turbulentnom strujanju brže čestice će "uskakati" među sporije čestice i time im povećavati količinu gibanja, a "uskakanje" sporijih čestica među brže čestice će im smanjivati količinu gibanja. Taj proces prijenosa količine gibanja putem turbulentnog miješanja čestica fluida se naziva turbulentna difuzija. Molekularna viskoznost, definira viskozna naprezanja, odnosno molekularnu difuziju količine gibanja. Možemo govoriti da je za turbulentnu difuziju količine gibanja odgovorna turbulentna viskoznost, koja uzrokuje turbulentna naprezanja. Jasno je da je molekularna viskoznost fizikalno svojstvo fluida, a turbulentna viskoznost ne. Turbulentna viskoznost je posljedica režima strujanja, a u laminarnom strujanju je jednaka nuli.

Prema tome, u turbulentnom strujanju pojavljuje se intenzivno miješanje čestica fluida, pri čemu nastaje prijenos fizikalnog svojstva kojeg smo označili kao turbulentnu difuziju. Turbulentna difuzija, jednako kao i molekularna difuzija, postoji samo ako postoji gradijent polja fizikalne veličine ϕ , jer miješanje čestica u konstantnom polju nema efekta u smislu prijenosa fizikalnog svojstva. Na temelju rečenoga, turbulentna difuzija se modelira sljedećom relacijom:

j tj

vxϕρ ϕ Γ ∂′ ′− =∂

(8.9)

Ako se izraz (8.9) uvrsti u vremenski osrednjenu jednadžbu (8.8) dobije se

( ) ( )t+ jj j j

v St x x x ϕρϕ ϕρ ϕ Γ Γ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(8.10)

Zbroj koeficijenata molekularne i turbulentne difuzije se naziva koeficijent efektivne difuzije. Još jednom valja naglasiti da je koeficijent (molekularne) difuzije fizikalno svojstvo fluida s pomoću kojeg modeliramo efekte kaotičnog gibanja molekula na promjenu polja ϕ (dakle definiranog u makrosvijetu – u smislu hipoteze kontinuuma). S obzirom da i u fluidu u mirovanju postoji kaotično gibanje njegovih molekula, koeficijent Γ će biti različit od nule i u mirujućem fluidu. Za razliku od toga, koeficijent turbulentne difuzije tΓ modelira efekte kaotičnog gibanja (miješanja) čestica fluida (u smislu hipoteze kontinuuma čestica fluida je infinitezimalni volumen koji još uvijek sadrži veliki broj molekula) i postoji samo u slučaju turbulentnog strujanja fluida (u laminarnom strujanju je tΓ jednako nuli).


8.3. Vremenski osrednjene jednadžbe za slučaj nestlačivog strujanja Promatrat ćemo nestlačivo turbulentno strujanje ( ρ =konst.), u kojem ćemo zanemariti utjecaj masenih sila ( 0if ≡ ). Takvo je strujanje opisano jednadžbom kontinuiteta (8.1) i jednadžbom količine gibanja (8.2) u kojima su nepoznanice komponente polja brzine iv i polje tlaka p . Ove ćemo veličine prikazati zbrojem osrednjene vrijednosti i pulsirajućeg dijela i i iv v v′= + i p p p′= + (8.11) Uvrštavanjem (8.11) u jednadžbu kontinuiteta (8.1) za nestlačivo strujanje dobije se

( )

0j j

j

v vx

′∂ +=

∂

Gledano u svjetlu prikaza strujanja zbrojem osrednjenog i pulsirajućeg strujanja, gornja jednadžba kontinuiteta vrijedi za ukupno strujanje, a čijim se osrednjavanjem dobije jednadžba kontinuiteta za osrednjeno strujanje

0j

j

vx∂

=∂

(8.12)

Ako se od jednadžbe kontinuiteta (8.11) za ukupno strujanje oduzme jednadžba kontinuiteta (8.12) za osrednjeno strujanje, dobit će se jednadžba kontinuiteta za pulsirajuće strujanje

0j

j

vx′∂=

∂ (8.13)

Očito da u slučaju linearne jednadžbe kontinuiteta vrijedi princip superpozicije (zbroj dvaju rješenja jednadžbe je također rješenje jednadžbe), pa su jednadžbe kontinuiteta za osrednjeno i pulsirajuće strujanje istovjetne jednadžbi za ukupno strujanje. S obzirom da nas zanima samo vremenski osrednjeno strujanje, jednadžbu kontinuiteta za pulsirajuće strujanje nećemo promatrati. Uvrštavanjem (8.11) u jednadžbu količine gibanja (8.2) za nestlačivo strujanje dobije se

( )( ) ( )( ) j j i i j ji i i i

j i j j i j i

v v v v v vp pv v v vt x x x x x x x

ρρ μ μ⎡ ⎤′ ′∂ + + ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ∂ ∂∂ +′ ′∂ + ∂ ∂ ∂⎣ ⎦+ = − + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.14)

Vremenskim osrednjavanjem gornje jednadžbe količine gibanja za ukupno strujanje (uvažavajući prije definirana pravila) dobije se jednadžba količine gibanja za osrednjeno strujanje, koja glasi

( ) ji ij i i j

j i j j i

vv p vv v v vt x x x x xρ ρ μ ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′+ = − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (8.15)

Skup vremenski osrednjenih jednadžbi kontinuiteta (8.12) i količine gibanja (8.15) se naziva Reynoldsovim jednadžbama. Jednadžba količine gibanja za pulsirajuće strujanje bi se dobila oduzimanjem jednadžbe količine gibanja za osrednjeno strujanje od jednadžbe količine gibanja za ukupno strujanje, no ta nam jednadžba ne treba jer nam je ideja gledati samo osrednjeno strujanje. Iz jednadžbe (8.15) je jasno da nećemo moći gledati samo osrednjeno strujanje, ne vodeći računa o pulsirajućem strujanju, jer se u jednadžbi količine gibanja (zbog nelinearnog konvektivnog člana, u kojem se pojavljuje umnožak j iv v ) pojavljuje predstavnik

pulsirajućeg strujanja, član i jv vρ ′ ′− . Taj član označuje turbulentnu difuziju količine gibanja, a

budući da molekularna difuzija odgovara viskoznim naprezanjima, to će se član i jv vρ ′ ′− nazivati turbulentnim ili Reynoldsovim naprezanjima. Tenzor Reynoldsovih naprezanja je


simetričan tenzor u kojemu je šest nepoznanica

1 1 1 2 1 3

2 2 2 3

3 3

simetričnoi j

v v v v v v

v v v v v v

v v

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

′ ′ ′ ′ ′ ′− − −

′ ′ ′ ′ ′ ′− = − −

′ ′−

(8.16)

Jasno je da Reynoldsove jednadžbe sadrže više nepoznanica, nego što ima jednadžbi, pa takav sustav nema jednoznačno rješenje. Mogli bismo izvesti i jednadžbu za Reynoldsova naprezanja (dvojnu korelaciju brzina). U jednadžbi za dvojnu korelaciju pojavile bi se trojna korelacija i j kv v v′ ′ ′ i još neke nove nepoznate korelacije. Za sve ove korelacije, polazeći od N-S jednadžbi, također se mogu izvesti pripadne jednadžbe u kojima bi se zbog nelinearnosti N-S jednadžbi pojavljivale nove i nove nepoznate korelacije, tako da bi broj nepoznanica brže rastao od broja jednadžbi. Kao što je već rečeno, Reynoldsovim osrednjavanjem pokušavamo stohastičku prirodu turbulentnog strujanja prikazati vremenski osrednjenim poljima brzine i tlaka, a to je moguće jedino ako znamo beskonačno mnogo korelacija brzina i tlaka. S druge strane, iskustvo pokazuje da je dovoljno poznavati konačan broj korelacija da bi se proračunale karakteristike polja interesantne sa stajališta inženjerske prakse, i na toj se činjenici temelje modeli turbulencije. Zadatak modela turbulencije je usklađivanje broja jednadžbi i broja nepoznatih polja, zaustavljajući se na određenoj korelaciji. Sve više korelacije modeliraju se pomoću nižih koje su obuhvaćene modelom turbulencije. Opći zahtjevi koji se postavljaju pred model turbulencije su: univerzalnost, točnost, mogućnost ekonomičnog rješavanja i jednostavnost.

8.3.1. Model turbulencije Modeli turbulencije dijele se s obzirom na red korelacije brzina za koju se rješava transportna jednadžba (jednadžba prijenosa) na: modele prvog, drugog i trećeg reda. U modelima prvog reda, koji su najjednostavniji, modelira se već dvojna korelacija brzina, odnosno tenzor Reynoldsovih naprezanja i to uglavnom prema hipotezi Boussinesqa u obliku:

t23

jii j ij

j i

vvv v kx x

ρ μ ρ δ⎛ ⎞∂∂′ ′− = + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(8.17)

gdje je tμ koeficijent turbulentne viskoznosti koji nije fizikalno svojstvo fluida već funkcija uvjeta strujanja, a u laminarnom strujanju jednak je nuli. Treba naglasiti da je jednadžba (8.17) analogna jednadžbi (8.9), s tim da je lijeva strana jednadžbe (8.17) simetrični tenzor, pa je na desnoj strani uzet simetrični dio tenzora gradijenta brzine, a član s kinetičkom energijom turbulencije / 2i ik v v′ ′= dodan je u cilju zadovoljavanja gornje jednadžbe za slučaj kontrakcije indeksa. S obzirom na analogiju gornjeg izraza s Newtonovim zakonom viskoznosti, modeli koji se temelje na toj pretpostavci nazivaju se newtonovskim modelima turbulencije. Hipotezom Boussinesqa šest komponenti tenzora Reynolsovih naprezanja modelirano je jednim nepoznatim poljem koeficijenta turbulentne viskoznosti. Uvrštavanjem hipoteze Boussinesqa u Reynoldsove jednadžbe one prelaze u oblik

0j

j

vx∂

=∂

(8.18)


( ) ( )

efektivnitlak

fektivnaviskoznost

t

23

e

ji ij i

j i j j i

p k vv vv vt x x x x x

ρρ ρ μ μ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎢ ⎥∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+ = − + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.19)

Očito je da Reynoldsove jednadžbe koje opisuju vremenski osrednjeno turbulentno strujanje fluida imaju isti oblik kao i polazne Navier-Stokesove jednadžbe, koje opisuju ukupno strujanje, s razlikom da se u Reynoldsovim jednadžbama pojavljuju vremenski osrednjene veličine, umjesto tlaka se pojavljuje efektivni tlak, a umjesto viskoznosti fluida efektivna viskoznost. Prijelazom s Navier-Stokesovih na Reynoldsove jednadžbe izgubile su se informacije o pulsirajućem strujanju, pa vremenski i prostorni koraci integracije ne moraju biti mali kao pri direktnom rješavanju Navier-Stokesovih jednadžbi, ali zato postoji problem modeliranja koeficijenta turbulentne viskoznosti.

8.3.2. Modeliranje koeficijenta turbulentne viskoznosti Postoji više načina modeliranja koeficijenata turbulentne viskoznosti, a u osnovi se koristi analogija s kinetičkom teorijom plinova. Boussinesqova ideja da turbulentna naprezanja (koja su posljedica kaotičnog turbulentnog miješanja čestica fluida) modelira slično viskoznim naprezanjima (koja su posljedica kaotičnog gibanja atoma i molekula unutar čestica fluida), direktno vodi k Prandtlovom modelu turbulentne viskoznosti koji se temelji na analogiji s molekularnom viskoznošću, koja je definirana kinetičkom teorijom plinova. Prema kinetičkoj teoriji plinova viskoznost fluida je razmjerna gustoći fluida, slobodnoj putanji molekula i karakterističnoj brzini gibanja molekula. Analogno tome se definira turbulentnu viskoznost u obliku t t tl vμ ρ= (8.20) gdje su:

tl - duljina puta miješanja čestica fluida u turbulentnom strujanju (karakteristična duljina turbulencije)

tv - karakteristična brzina turbulentnih pulsacija Prema tome turbulentna viskoznost je definirana s dvije karakteristične veličine (skale ili razmjera) u turbulentnom strujanju, a gornja relacija čini osnovu za veći broj modela turbulencije (koji se još nazivaju i dvorazmjernim modelima), a koji se razlikuju po definiciji te dvije karakteristične veličine u turbulenciji. Razine modela turbulencije su sljedeće: A) Modeli 1. reda (Newtonski modeli koji se temelje na Boussinesqovoj hipotezi)

A1) Algebarski modeli turbulencije: tl i tv se propisuju algebarski

Primjer: Prandtlova hipoteza puta miješanja: t ml l= , t muv ly∂

=∂

, gdje je put miješanja

za turbulentno strujanje uz stijenku ml yκ= A2) Diferencijalni modeli s jednom jednadžbom

Za karakterističnu brzinu turbulentnih pulsacije, logično je izabrati amplitudu tih pulsacija. Naravno turbulentne pulsacije se odvijaju u širokom spektru frekvencija, a


amplituda pulsacija je različita na različitim frekvencijama. Tako mjerenja pokazuju da su amplitude pulsacija brzine više na nižim frekvencijama, pa bi za karakterističnu brzinu turbulentnih pulsacija mogli definirati više karakterističnih razmjera ovisno o frekvenciji. U dvorazmjernim modelima za karakterističnu brzinu imamo na raspolaganju samo jednu vrijednost, pa je logičan izbor za tu veličinu kvadratni korijen iz srednje vrijednosti kinetičke energije turbulencije t 0,5 i iv k v v′ ′= = . Fizikalno to možemo shvatiti kao da smo turbulentne pulsacije, koje se odvijaju različitim amplitudama u širokom spektru frekvencija zamijenili pulsacijama ekvivalentne amplitude tv , koje rezultiraju istom kinetičkom energijom turbulencije, kao i realne pulsacije. U ovim modelima karakterističnu duljinu turbulencije još uvijek treba propisati nekom algebarskom relacijom, što je moguće samo u situacijama gdje postoji veliki broj eksperimenata, pa se univerzalnost modela nije značajno povećala u odnosu na algebarske modele.

A3) Diferencijalni modeli s dvije jednadžbe

Svi dvorazmjerni diferencijalni modeli turbulencije, za karakterističnu brzinu turbulencije koriste tv k= , a razlikuju se po izboru druge karakteristične veličine. Naime druga karakteristična veličina može biti ili tl kao što stoji u izrazu (8.20) ili bilo koja druga veličina s pomoću čije se dimenzije i dimenzije tv može dobiti dimenziju duljine (dimenziju tl ). Iz te skupine najpopularniji su k ε− i k ω− modeli, pri čemu je ε vremenski srednja vrijednost brzine disipacije kinetičke energije u unutarnju energiju, a ω vremenski osrednjena kutna brzina rotacije čestica fluida. Dimenzija k je 2 -2L T , a dimenzija ε 2 -3L T , što znači da će se dimenzija duljine iz ove dvije veličine dobiti kombinacijom 3/ 2 /k ε , odnosno može se tvrditi da će tl biti razmjeno s 3/ 2 /k ε

( 3/ 2t /l k ε∼ ). Ako se ta činjenica iskoristi u izrazu (8.20), uz tv k= dobije se

2 2

t t ili k kCμμ ρ μ ρε ε

=∼ (8.21)

Da bi se mogao pisati znak jednakosti u izrazu (8.21) bilo je potrebno uvesti bezdimenzijski koeficijent Cμ , koji može biti ili konstanta (razvijeno turbulentno strujanje pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja) ili neka funkcija Reynoldsova broja (turbulentno strujanje pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja). Analogno se u k ω− modelu dimenziju tl može izraziti s t /l k ω∼ (jer je dimenzija ω jednaka 1/T), pa će koeficijent turbulentne viskoznosti u k ω− modelu biti razmjeran s

/kρ ω . U ova dva modela rješavaju se dvije dopunske diferencijalne jednadžbe kojima se definira prostorna raspodjela k i ε , odnosno k i ω . U nastavku će se definirati jednadžbe za k i ε .

B) Modeli 2. reda: Rješava se jednadžba za i jv v′ ′ u kojoj se pojavljuju i j kv v v′ ′ ′ i kombinacije

korelacija iv′ i p′ koje treba modelirati.

C) Modeli višeg reda u kojima se rješava jednadžba za trojnu korelaciju i j kv v v′ ′ ′ , u kojima je problem modelirati veliki broj korelacija pulsirajuće brzine i tlaka.

Za očekivati je da uključivanjem viših korelacija u model turbulencije on postaje općenitiji, ali zbog povećanog broja članova kojeg treba modelirati (što je veliki problem) to ne znači da


će modeli višeg reda biti točniji. Svaki model turbulencije nužno sadrži modelske koeficijente, čijom se promjenom može postići bolje ili lošije slaganje s eksperimentalnim rezultatima. Povećavanjem broja koeficijenata širi se područje primjene modela, ali za njihovo određivanje treba više eksperimentalnih rezultata.

8.4. Algebarski modeli turbulencije Algebarski modeli turbulencije su primjenjivi na jednostavna turbulentna strujanja fluida, a u njima su koeficijenti modela ugođeni prema određenom tipu strujanja, te mogu davati bolje rezultate nego modeli s jednom ili dvije jednadžbe, ili modeli višeg reda. Naravno, ovo vrijedi za jednostavnije situacije turbulentnog strujanja, koje možemo svrstati u dvije kategorije: slobodnu i zidnu turbulenciju. U strujanje tipa slobodne turbulencije spadaju strujanja u dalekom vrtložnom tragu, u miješajućem sloju, odnosno mlazu, a u zidnu turbulenciju spadaju strujanja uz čvrstu stijenku, kako shematski prikazuje donja slika.

Slika 8.5 Shematski prikaz slobodne i zidne turbulencije

Ako se koristi model turbulencije temeljen na Prandtlovoj hipotezi puta miješanja, tada će u svakoj situaciji značenje puta miješanja i koeficijenti modela biti drugačiji i određeni na temelju eksperimentalnih istraživanja, tako da će takav model moći dobro pretkazati željene veličine u odgovarajućim sličnim strujanjima.

Jasno je da kad se pojavi odvajanje strujanja, propisivanje tl i tv (koje se obično temelji na automodelnosti strujanja – profil brzine sam sebi sličan u svim presjecima) postaje problem jer strujnice više nisu paralelne, a postoji zona natražnog strujanja, pa bi za dobro opisivanje eksperimentalnih rezultata trebalo više slobodnih koeficijenata u modelu. Danas se za proračun stacionarnog strujanja u graničnom sloju bez odvajanja strujanja preferira primjena algebarskih modela turbulencije jer su jeftiniji sa stajališta primjene, a daju rezultate sa stajališta raspodjele tlaka i smičnih naprezanja koji su vrlo točni u usporedbi s eksperimentom. U nastavku se opisuju dva najčešće korištena algebarska modela, koja se koriste u proračunima optjecanja tijela, a temelje se na Prandtlovoj hipotezi puta miješanja, pri čemu se put miješanja modificira u blizini stijenke i vanjskom dijelu graničnog sloja. Slika 8.6 shematski prikazuje područje graničnog sloja.

slobodna turbulencija

daleki vrtložni trag miješajući sloj mlaz

zidna turbulencija (uz stijenku)

bez odvajanja strujanja s odvajanjem strujanja


Slika 8.6 Shematski prikaz strukture graničnog sloja

Unutarnji dio graničnog sloja, koji uključuje viskozni podsloj, prijelazni podsloj i inercijski

podsloj, zauzima 10 do 15 % debljine graničnog sloja. U viskoznom podsloju se može

zanemariti turbulentna viskoznost, a profil brzine je linearan, dok se u inercijskom podsloju

može zanemariti molekularna viskoznost, a profil brzine slijedi logaritmički zakon.

Logaritmički zakon brzine je izveden uz pomoć Prandtlove hipoteze puta miješanja uz

pretpostavku ml yκ= i 2mt

uly

μ ρ ∂=

∂, odnosno 2

mi j tu u uv v ly y y

ρ μ ρ∂ ∂ ∂′ ′− = =∂ ∂ ∂

. S obzirom da

brojni eksperimenti potvrđuju valjanost logaritmičkog zakona, oni indirektno potvrđuju i

valjanost Prandtlove hipoteze puta miješanja, pa se ona uz određene modifikacije koristi u

algebarskim modelima turbulencije. Modifikacije se odnose na područje viskoznog i

prijelaznog podsloja, te područje vanjskog dijela graničnog sloja.

Modifikacije puta miješanja 1) Van Driestova modifikacija u blizini stijenke

Razvojem pulsirajućih komponenti brzine u Taylorov red, uz 2x y= slijedi

21 0 1 2 ... n

nv a a y a y a y′ = + + + + , (8.22) 2

2 0 1 2 ... nnv b b y b y b y′ = + + + + . (8.23)

S obzirom da su na stijenci ( 0y = ) 1 0 v′ = i 2 0 v′ = , zaključuje se da su koeficijenti 0a i 0b

jednaki nuli. Iz jednadžbe kontinuiteta za pulsirajuće strujanje 1 2

1 2

0v vx x′ ′∂ ∂+ =

∂ ∂, slijedi da je i 1b

jednak nuli, pa se može zaključiti da je turbulentno naprezanje i jv vρ ′ ′− u blizini stijenke

razmjerno s 3y , a mjerenja pokazuju da je i jv vρ ′ ′− razmjerno s 4y , što znači da je i koeficijent 1a vrlo mali. Primjenom Prandtlove hipoteze puta miješanja uz ml yκ= slijedi

viskozni podsloj u y+ +=

inercijalni podsloj 1 lnu y Bκ

+ += + unutarnji dio graničnog sloja

vanjski dio graničnog sloja

područje intermitentne turbulencije

trenutni rub graničnog sloja

vremenski srednji rub graničnog sloja


2 2i j t

u u uv v yy y y

ρ μ ρκ∂ ∂ ∂′ ′− = =∂ ∂ ∂

što znači da je turbulentno naprezanje razmjerno s 2y , pa je

Van Driest predložio modifikaciju izraza ml yκ= u blizini stijenke u obliku

1yA

ml y eκ+

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, (8.24)

gdje je A bezdimenzijska konstanta A =26. Uz ovu modifikaciju će se za 0y → član yAe+

−

moći aproksimirati izrazom 1 1 v yyA A

τ

υ

+

− = − , pa će biti 2

mv yl

Aτκυ

= , odnosno turbulentna

naprezanja će za male vrijednosti y biti razmjerna s 4y , u skladu s eksperimentom. Za visoke vrijednosti y + ova korekcija iščezava.

2) Put miješanja ne može rasti u nedogled, jer bi unedogled rastao i koeficijent turbulentne viskoznosti. Razmjernost puta miješanja s udaljenošću od stijenke vrijedi unutar unutrašnjeg dijela graničnog sloja, na čijem rubu koeficijent turbulentne viskoznosti dostiže svoj maksimum. Escudier je ograničio maksimalnu duljinu puta miješanja na 0,09ml δ= , gdje je δ debljina graničnog sloja.

S obzirom da vanjski dio graničnog sloja ima karakteristike slobodne turbulencije (utjecaj zida slabi s udaljenošću), Clauser je predložio formulu za koeficijent turbulentne viskoznosti u vanjskom dijelu graničnog sloja u analogiji s definicijom za slobodnu turbulenciju

1t vδμ αρ δ= , (8.25)

gdje je α koeficijent u modelu, vδ brzina na rubu graničnog sloja, 10

1 du yv

δ

δ

δ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ debljina

istisnuća.

3) Treća modifikacija uvodi se zbog intermitentnog strujanja na vanjskom rubu graničnog sloja. Klebanoff je na temelju eksperimentalnih rezultata predložio faktor korekcije koeficijenta turbulentne viskoznosti u vanjskom dijelu graničnog sloja (kojim se množi Clauseova turbulentna viskoznost) u obliku

( )Kleb 61,

1 5,5F y

yδ

δ

=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, (8.26)

Tako je npr. na rubu graničnog sloja y δ= vrijednost faktor korekcije KlebF =0.154, a na rubu unutarnjeg dijela graničnog sloja 0,1y δ≈ , faktor korekcije KlebF približno jednak jedinici.


8.4.1. Cebeci-Smith model Koeficijent turbulentne viskoznosti definira se zasebnim formulama za unutarnji i vanjski dio graničnog sloja. Ako se s my označi udaljenost od stijenke gdje formule za unutarnji i vanjski dio graničnog sloja daju jednaku vrijednost koeficijenta viskoznosti, tada vrijedi

unutarnje

t mt vanjsko

t m

za za

y yy y

μμ

μ⎧ <

= ⎨≥⎩

Za unutarnji dio graničnog sloja vrijedi

2 2

unutarnje 2 1 2t m

2 1

v vlx x

μ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠, i 1

yA

ml y eκ+

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (8.27)

a za vanjski dio

vanjsko 1t 6

1 5,5

vy

δαρ δμ

δ

=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.28)

koeficijenti modela su: 0,4κ = ; 0,0168α = , a Van Driestova konstanta se modificira za

utjecaj uzdužnog gradijenta tlaka d26 1d

y pAv xτρ

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Tipični dijagram za tμ je prikazan na slici 8.7.

μt

y

ym

vanjski dio

unutarnji dio

Slika 8.7 Tipična promjena turbulentne viskoznosti po debljini graničnog sloja

Udaljenost my je definirana jednakošću koeficijenata unutarnje vanjsko

t tμ μ= , iz koje slijedi

2 2m

m

2 22 11 2m 6

2 1

1

1

1 5,5yvy

vv vlx x y

τ

δ

κ

κ

αρ δρκμ

δ≈

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ m 1m

v y vy Reτ δδ

ρ ρ δα αμ κ μ κ

= = =

Za tipičnu vrijednost 41 10Reδ = ⋅ , +my =420, što je unutar inercijskog podsloja.


8.4.2. Baldwin-Lomaxov model Nedostatak Cebeci-Smith modela je u tome što treba određivati debljinu graničnog sloja δ što s obzirom na njenu definiciju može biti neprecizno. Ideja Baldwin-Lomaxovog modela je na drugačiji način definirati dužinsku razmjeru za vanjski dio graničnog sloja. Kada se modeli

primjenjuju u trodimenzijskoj situaciji član uy

∂∂

se može zamijeniti tenzorom brzine

deformacije (kao u Cebeci-Smith) modelu ili tenzorom vrtložnosti, odnosno apsolutnom vrijednošću vektora vrtložnosti, kao u Baldwin-Lomaxovom modelu. Apsolutna vrijednost vektora vrtložnosti je

2 22

3 31 2 2 1

2 1 3 2 1 3

v vv v v vx x x x x x

ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (8.29)

Naravno, u ravninskom graničnom sloju u kojem je 1 2( ) ( )v x u y= , 2 0v ≈ i 3 0v = , ω se

prema formuli (8.29) svodi na uy

ω ∂=∂

. Jasno je da vektor vrtložnosti opada s udaljavanjem

od stijenke, a duljina puta miješanja raste, pa će funkcija ml ωχ

κ= , koja se koristi u Baldwin-

Lomaxom modelu imati maksimum unutar graničnog sloja, kao na slici 8.8.

Slika 8.8 Kvalitativni prikaz raspodjele funkcije χ unutar graničnog sloja

Debljina graničnog sloja se u formulama za vanjski dio graničnog sloja zamjenjuje s max / ky c , gdje je kc konstanta modela. Jednadžbe Baldwin-Lomaxova modela su: - za unutarnji dio graničnog sloja

unutarnje 2t mlμ ρ ω= , i 1

yA

ml y eκ+

−⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (8.30)

- za vanjski vanjski dio graničnog sloja

wakevanjskot 6

max

1 5,5

cp

k

c F

c yy

αρμ =

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

i maxwake max max

max

min ; wkc y vF y δχχ

= (8.31)

Konstante modela su: 0,4κ = ; 0,0168α = , 26A = , 1,6cpc = , 0,3kc = i 1wkc = . Model je primjenjiv i na zidnu i na slobodnu turbulenciju. Za slučaj graničnog sloja vδ označuje maksimalnu brzinu unutar graničnog sloja, a za slučaj slobodne turbulencije razliku maksimalne brzine i brzine na maxy y= .

χmaxχ

maxy

y


8.5. k ε− model turbulencije Kao što je rečeno polje brzine i polje tlaka u turbulentnom strujanju se može razdvojiti na vremenski osrednjeni dio (glavno strujanje) i pulsirajući dio. Pulsacije možemo promatrati u točki prostora tijekom vremena ili u određenom vremenskom trenutku po prostoru. Pulsirajući dio se sastoji od pulsacija različitih frekvencija, gledano u vremenu, i valnih duljina, gledano po prostoru, pri čemu pulsacije viših frekvencija odgovaraju pulsacijama manjih valnih duljina. Ukupna kinetička energija turbulentnog strujanja sastoji se od kinetičke energije glavnog strujanja i kinetičke energije pulsacijskog dijela strujanja koja se naziva kinetičkom energijom turbulencije. Mjerenja pokazuju da pulsacije velikih valnih duljina (velikih razmjera) imaju velike amplitude pulsacije brzine, a pulsacije malih valnih duljina (malih razmjera) imaju male amplitude. Iz toga se može zaključiti da je glavnina kinetičke energije turbulencije sadržana u pulsacijama velikih razmjera. S druge strane, pretvorba kinetičke energije u unutrašnju energiju vrši se putem viskoznih sila, čiji se utjecaj može ocijeniti kroz Reynoldsov broj definiran kao

vRe λλ

ρ λμ

= (8.32)

gdje se Reλ odnosi na Reynoldsov broj za pulsaciju valne duljine λ , za koju je amplituda pulsacije brzine vλ . Pulsacije velikih valnih duljina imaju velike amplitude pulsacija brzine što daje velike vrijednosti Reynoldsova broja, a to znači mali utjecaj viskoznih sila. Nasuprot tome pulsacije malih valnih duljina imaju i male amplitude što daje male vrijednosti Reynoldsovog broja koje znače veliki utjecaj viskoznosti. Na osnovu rečenoga možemo steći slijedeću predodžbu o transportu energije u turbulentnom strujanju. Kinetička energija turbulentnog strujanja uglavnom je sadržana u pulsacijama velikih razmjera, a disipira se najvećim dijelom na nivou najmanjih pulsacija malih geometrijskih razmjera. Pri tome postoji neprekidni tok energije u kojem se kinetička energija oduzima od glavnog toka i predaje pulsacijama najvećih razmjera. Kinetička energija pulsacija velikih valnih duljina, predaje se pulsacijama sve manjih valnih duljina, da bi se u pulsacijama najmanjih valnih duljina disipirala u toplinu. Turbulentno strujanje u kojem je brzina nastajanja kinetičke energije turbulencije (brzina oduzimanja energije od glavnog strujanja) jednaka brzini disipacije kinetičke energije turbulencije u toplinu se naziva ravnotežnim.

8.5.1. Izvod transportne jednadžbe za kinetičku energiju turbulencije Kao što je definirano jednadžbom (8.6) ukupna kinetička energija strujanja 2 / 2v se sastoji od kinetičke energije glavnog strujanja 2 / 2v i kinetičke energije turbulencije 2 / 2k v′= . Jednadžbu kinetičke energije dobijemo skalarnim množenjem jednadžbe količine gibanja s brzinom strujanja fluida. Tako bi srednju vrijednost ukupne kinetičke energije dobili vremenskim osrednjavanjem skalarnog umnoška jednadžbe količine gibanja (8.2) za ukupno strujanje s ukupnom brzinom strujanja, tj.

2 2

B1A1 C1

( )2 2

jij i i

j i j j i

vv v p vv v vt x x x x xρ ρ μ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.33)


Jednadžbu kinetičke energije glavnog (vremenski osrednjenog) strujanja dobijemo skalarnim množenjem jednadžbe količine gibanja (8.15) za glavno strujanje s vremenski osrednjenom brzinom, tj.

2 2

B2A2 D2C2

2 2ji

j i i i i jj i j j i j

vv v p vv v v v v vt x x x x x xρ ρ μ ρ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤′ ′+ = − + + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (8.34)

Oduzimanjem jednadžbe (8.34) od (8.33) dobije se jednadžba za kinetičku energiju turbulencije. Uzimajući u obzir da vrijedi 2 2i i i i i i i iv v v v v v v v v′ ′ ′= = + + , član A1 u jednadžbi (8.33) je

2 2

A12 2 2

i ij j j i i j

j

v vv vk v v k v v v vt xρ ρ ρ ρ ρ ρ

⎡ ⎤′ ′⎛ ⎞∂ ∂ ′ ′ ′= + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (8.35)

Pa je razlika članova A1 i A2:

( )A1-A2 ( ) ( )j j i i jj j

k v k v k v v vt x xρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ′ ′ ′ ′= + + +

∂ ∂ ∂ (8.36)

gdje k′ označuje pulsirajući dio kinetičke energije turbulencije. Razlika članova B1-B2 je:

B1-B2= jii

i i j

p vp vpvx x x

′ ′∂′ ′′ ∂∂′− = − = −∂ ∂ ∂

(8.37)

U gornjem izrazu je iskorištena jednadžba kontinuiteta za pulsirajuće strujanje, koja kaže da je / 0i iv x′∂ ∂ = . Razlika članova C1-C2 je za slučaj konst.μ =

C1 C2 ji ii i

j j i j j

i i i i ii

j j j j j j j j

vv vv vx x x x x

v v v v v kvx x x x x x x x

μ μ

μ μ μ μ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′∂′ ′∂ ∂∂ ∂′ ′− = + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂′= − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8.38)

Prema tome, oduzimanjem jednadžbe (8.34) od (8.33), uzimajući u obzir izraze (8.36) do (8.38) slijedi jednadžba za kinetičku energiju turbulencije, koja glasi

( )TURBULENTNA

LOKALNA DIFUZIJADIFUZIJAKONVEKCIJA DISIPACIJA GENERACIJA PROMJENA

( ) ( ) i i ij j j i j

j j j j j j

G

v v vkk v k v k p v v vt x x x x x x

ρε

ρ ρ μ ρ μ ρ′ ′∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ = − − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (8.39)

U jednadžbi (8.39) prepoznajemo tipične članove općeg zakona očuvanja fizikalnog svojstva: lokalnu promjenu, konvekcijsku promjenu, molekularnu i turbulentnu difuziju, te izvorski član. Turbulentna difuzija se sastoji od dva člana, od kojih prvi označuje difuziju uslijed kaotičnog miješanja čestica fluida, sukladno jednadžbi (8.8), a drugi član označuje turbulentnu difuziju uslijed pulsirajućeg tlaka. Disipacija kinetičke energije turbulencije definirana je izrazom

i i

j j

v vx x

ε υ′ ′∂ ∂

=∂ ∂

(8.40)

i uvijek je pozitivna veličina (jer je kinematička viskoznost υ pozitivna veličina), a s obzirom da se u jednadžbi (8.39) nalazi s negativnim predznakom označuje ponor odnosno brzinu smanjenja kinetičke energije turbulencije, tj. brzinu njene pretvorbe u unutarnju energiju. Kao što je rečeno prije ova se pretvorba odvija na razini pulsacija najmanjih valnih duljina. Generacija kinetičke energije turbulencije je definirana izrazom


ii j

j

vG v vx

ρ ∂′ ′= −∂

(8.41)

i također je pozitivna veličina, što se lako dokaže ako se tenzor turbulentnih naprezanja

i jv vρ ′ ′− zamijeni izrazom (8.17), nakon čega slijedi

2

t t2 13 2

j ji i i ii j ij

j j i j j i

v vv v v vG v v kx x x x x x

ρ μ ρ δ μ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂′ ′= − = + − = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.42)

U gornjem izrazu je iskorištena jednadžba kontinuiteta (8.12), te činjenica da se gradijent brzine /i jv x∂ ∂ , može prikazati zbrojem simetričnog tenzora brzine deformacije i antisimetričnog tenzora vrtložnosti, koji u dvostrukom skalarnom produktu sa simetričnim tenzorom brzine deformacije daje nulu. S obzirom da je koeficijent turbulentne viskoznosti pozitivna veličina, jasno je da će G također biti pozitivna veličina, što znači da taj član modelira izvor ili nastajanje kinetičke energije turbulencije. Kao što je rečeno pri kvalitativnom opisu turbulencije, kinetička energija turbulencije nastaje oduzimanjem energije od glavnog strujanja, što znači da bi se G morao pojaviti i u jednadžbi kinetičke energije za glavno strujanje. Ako se pogleda jednadžba (8.34), onda je jasno da je član označen s D2 predstavnik pulsirajućeg strujanja, a on se da preurediti u oblik

D2 ii i j i j i i j

j j j

G

vv v v v v v v vx x x

ρ ρ ρ

−

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′= − = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂ (8.43)

iz čega je jasno da se stvarno u izvorskom članu jednadžbe kinetičke energije za glavno strujanje, nalazi generacija kinetičke energije turbulencije sa suprotnim predznakom nego u jednadžbi za k , što znači da je G u toj jednadžbi ponor. Kao što je rečeno, kinetička energija turbulencije se koristi u svim modelima turbulencije kao veličina kojom se modelira karakteristična brzina turbulentnih pulsacija. Jasno je da se turbulentne pulsacije pojavljuju na različitim frekvencijama, odnosno valnim duljinama i amplitudama, a ako se to pulsirajuće strujanje opisuje samo jednim parametrom, onda je korijen iz kinetičke energije turbulencije logičan izbor, pogotovo što je jednadžba za k jednostavna i fizikalno jasna. S obzirom da je za dvorazmjerni model turbulencije potrebno definirati još jednu veličinu, logično se nameće za tu drugu veličinu izabrati disipaciju kinetičke energije turbulenciju, koju i tako treba definirati jer se pojavljuje u jednadžbi za k , pa se u nastavku daje izvod jednadžbe za ε .

8.5.2. Izvod transportne jednadžbe za disipaciju kinetičke energije turbulencije

Jednadžba za disipaciju kinetičke energije turbulencije će imati također oblik općeg zakona očuvanja, što znači da će na lijevoj strani jednadžbe imati član D / Dtε , a primjenom operatora materijalne derivacije na ε , slijedi

D D D D 2 2 D D D D

i i i i i i

k k k k k k

v v v v v vt t x x x t x x x tε υ υ υ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (8.44)

S obzirom da je član D / Div t′ definiran jednadžbom količine gibanja za pulsirajuće strujanje (razlika Navier-Stokesove i Reynoldsove jednadžbe), iz izraza (8.44) je jasno da se jednadžba


za ε dobije vremenskim osrednjavanjem derivirane jednadžbe količine gibanja za pulsirajuće

strujanje DD

i

k

vx t

′∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

pomnožene sa 2 i

k

vx

υ′∂

∂.

Oduzimanjem Reynoldsove jednadžbe (8.15) od Navier-Stokesove jednadžbe (8.14) i dijeljenjem s ρ , uz /υ μ ρ= =konst., dobije se:

1 i j j i j ij ii i

j i j j j

v v v v v vv vv vpt x x x x x

υρ

⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′∂ + −⎛ ⎞′∂′ ′′∂ ∂∂ ∂ ⎣ ⎦+ = − + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (8.45)

Deriviranjem izraza (8.45) u smjeru kx i množenjem sa 2 i

k

vx

υ′∂

∂ dobije se:

( ) 222 3212 2 i j j i j ij ii i i i

k k k j k k i k j j k j

v v v v v vv vv v v vpx x t x x x x x x x x x x

υ υ υρ

⎡ ⎤⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′⎡ ⎤ ∂ + −′∂′ ′ ′ ′′∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎣ ⎦⎢ ⎥+ = − + −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.46)

Uzimajući da je redoslijed deriviranja proizvoljan, te da je /j jv x∂ ∂ =0, lijeva strana gornje jednadžbe je

( )22

2 2

2

j i ji i i i ij i

k k k j k k j k k

ji i i i ij

k k j k k k k

v v vv v v v vv vx x t x x x t x x x x

vv v v v vvt x x x x x x x

υ υ

υ υ υ

⎡ ⎤′∂ ⎡ ⎤∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ′+ = + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∂⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) 2

i

j

j j i i

j k k j

vx

v v v vt x x x x

εε υ

=∂

∂ ∂ ′ ′∂ ∂∂= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(8.47)

Uzimajući da je / 0i iv x′∂ ∂ = , derivacija /i kv x′∂ ∂ se u članu s pulsirajućim tlakom smije unijeti pod derivaciju /i ix∂ ∂ , pa on prelazi u

2

2 2 2 ji i

k k i i k k j k k

vv vp p px x x x x x x x x

υ υ υρ ρ ρ

⎡ ⎤′∂⎡ ⎤′ ′′ ′ ′∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂− = − = − ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8.48)

Iz derivacije izraza za difuziju ε 2

2

2 2 32 2

= = 2

=2 2

i i i i

j j j j k k j k j k

i i i i

j k j k k j j k

v v v vx x x x x x x x x x

v v v vx x x x x x x x

ευ υ υ υ

υ υ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂=⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂+

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

slijedi da se drugi član desne strane jednadžbe (8.47) može pisati u obliku 3 2 2

2 22 2i i i i

k j j k j j j k j k

v v v vx x x x x x x x x x

ευ υ υ⎛ ⎞′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (8.49)

Slijedeći član u jednadžbi (8.46) se, uz / 0j jv x′∂ ∂ = može preurediti kako slijedi 2 2

2 2 2 2i j ji i i i i i ij j

k k j k k j j k k k j k

v v vv v v v v v vv vx x x x x x x x x x x x

υ υ υ υ⎛ ⎞′ ′∂ ∂′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ′ ′= = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(8.50)

Predzadnji član desne strane jednadžbe (8.46) se može preurediti u


( )2

2 2 2 2

2 2 2

j i ji i i i i i ij j

k k j k k j k k j k k j

j ji i i i i ij j

k k j k j k k k j j

v v vv v v v v v vv vx x x x x x x x x x x x

v vv v v v v vv vx x x x x x x x x x

υ υ υ υ

υ υ υ

′ ′∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′∂′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ ′= = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

′ ′∂ ∂⎛ ⎞′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ ′= + = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

i i

k k

j ji i

k k j j

v vx x

v vv vx x x x

υ

ευ

′ ′∂ ∂=

∂ ∂

′ ′ ′∂ ∂′ ′∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

(8.51)

Posljednji član u jednadžbi (8.46) nakon vremenskog osrednjavanja iščezava. Uvrštavanjem izraza (8.47) do (8.51) u jednadžbu (8.46) i množenjem cijele jednadžbe s gustoćom fluida, slijedi konačni oblik jednadžbe za disipaciju kinetičke energije turbulencije, koja glasi:

( ) ( )LOKALNA MOLEK. DESTRUKCIJA (PONOR )KONVEKCIJA TURBUL. DIFUZIJAPROMJENA DIFUZIJA

2 222 2

2

j j i ij

j j j k k j k j k

i

j

v v v vpvt x x x x x x x x x

vx

ρ ερε εμ ρ ε υ ρυ

μ

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ′∂∂ ′ ′′ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥′ ′+ = − − −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

′∂ ∂−

∂

2

GENERACIJA

2 2j ji k k i i i ij

k k j i k j k k k j

v vv v v v v v vvx x x x x x x x x x

μ μ⎡ ⎤′ ′∂ ∂′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂′+ − −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

(8.52)

Fizikalno tumačenje pojedinih članova analogno je jednadžbi za k . Članovi koji se mogu zapisati u obliku divergencije (fluksa fizikalnog svojstva) označuju difuziju, a razlikujemo molekularnu difuziju i turbulentnu difuziju. Turbulentna difuzija je posljedica pulsirajuće brzine (miješanja čestica fluida) i pulsirajućeg tlaka. Ponor ili destruktivni član uvijek smanjuje ε (očito je uvijek negativan), a generacija ili izvor povećava ε . Očito je da se u jednadžbi (8.52) pojavljuje šest članova u kojima se pojavljuju komponente pulsirajuće brzine i tlaka, a koje je potrebno modelirati, što se daje u nastavku.

8.5.3. Modeliranje jednadžbi za k i ε Turbulentnu difuziju se modelira temeljem analogije s molekularnom difuzijom, kako je dano jednadžbom (8.9), u obliku

tkj j k

j j

k kv k p vx x

μρ Γσ

∂ ∂′ ′ ′ ′− − = =∂ ∂

(8.53)

Pri čemu je koeficijent kΓ turbulentne difuzije kinetičke energije turbulencije modeliran odnosom koeficijenta turbulentne viskoznosti i Prandtl-Schmitova broja kσ (koji je po definiciji odnos koeficijenta viskoznosti (koeficijent difuzije količine gibanja) i koeficijenta difuzije kinetičke energije turbulencije. Analogno se modelira i turbulentna difuzija ε :

t2 jj

k k j j

v pvx x x x

εε

με ερ ε μ Γσ

′∂ ′∂ ∂ ∂′ ′− − = =∂ ∂ ∂ ∂

(8.54)

U jednadžbi za k generaciju kinetičke energije turbulencije se računa prema izrazu (8.42), a vrijednost disipacije se dobije rješavanjem pripadajuće jednadžbe, tako da više nema članova za modeliranje. Ono što preostaje je modelirati izvorski član (izvor i ponor) u jednadžbi za disipaciju kinetičke energije turbulencije. Iz kvalitativne analize turbulentnog strujanja može se zaključiti da postoji stalan tok energije, pri čemu se od glavnog strujanja oduzima energija i predaje pulsacijama velikih razmjera (član –G u jednadžbi kinetičke energije za glavno


strujanje i član +G u jednadžbi za kinetičku energiju turbulencije). Gledano u spektru turbulentnih pulsacija, postoji stalan tok energije od pulsacija velikih razmjera (velikih valnih duljina i niskih frekvencija) prema pulsacijama malih razmjera (malih valnih duljina i visokih frekvencija), pri čemu se kinetička energija turbulencije pretvara u toplinu uglavnom na razini pulsacija malih razmjera. Fizikalno gledajući, čim se pojavi nestabilnost u strujanju, tj. nastane pulsacija brzine, dogodi se oduzimanje kinetičke energije od glavnog strujanja, jer se kinetička energija pulsirajućeg strujanja obračunava, ne više kroz kinetičku energiju glavnog strujanja, nego kroz kinetičku energiju turbulencije. S druge strane inicijalno nastala pulsacija je nestabilna i tijekom vremena se raspada na pulsacije sve manjih valnih duljina i viših frekvencija, te na taj način kinetička energija prelazi s pulsacija viših na pulsacije nižih razmjera, a na razini pulsacija najnižih razmjera ta se energija disipira u toplinu. Vrijeme trajanja određene pulsacije sigurno ovisi o njenoj amplitudi, valnoj duljini i frekvenciji. Kao što smo amplitude čitavog spektra pulsacija brzine zamijenili sa samo jednom karakterističnom brzinom tv turbulentnih pulsacija, i čitav spektar valnih duljina sa samo jednom karakterističnom duljinom tl , tako možemo definirati karakteristično vrijeme raspada turbulentnih pulsacija tτ . Iz dimenzijske analize, jasno je da će tτ biti razmjerno s odnosom

t t/l v . U k ε− modelu turbulencije je tv k= , a tl je razmjeno sa 3/ 2 /k ε , pa će tτ biti razmjerno s /k ε . Fizikalno je jasno da brzina disipacije kinetičke energije turbulencije mora biti razmjerna brzini oduzimanja kinetičke energije od glavnog strujanja (u ravnotežnom turbulentnom strujanju je Gρε = ), pa je logično za pretpostaviti da će generacija ε (možemo je shvatiti kao prispjelu kinetičku energiju do razine najmanjih pulsacija, gdje će se disipirati u toplinu) biti razmjerna s G i obrnuto razmjerna s tτ , tj. zapisano u obliku jednakosti

1Generacija C Gkερε = (8.55)

Gdje je 1C u općem slučaju neka funkcija Reynoldsova broja tRe definiranog na bazi karakterističnih veličina turbulencije, u obliku

t t tt

v lRe ρ μμ μ

= = (8.56)

Očito da visoke vrijednosti tRe označuju dominaciju turbulentne nad molekularnom viskoznošću, a tada govorimo o razvijenom turbulentnom strujanju. U razvijenom turbulentnom strujanju (tj. u strujanju pri visokim vrijednostima tRe ) funkcija 1C prelazi u konstantu. Fizikalno je jasno da je ε pozitivna veličina (jer bi negativna vrijednost ε označavala brzinu pretvorbe unutarnje energije u kinetičku energiju turbulencije). Ako si zamislimo strujanje bez generacije kinetičke energije turbulencije (npr. protresemo posudu ispunjenu fluidom tako da se pojavi kaotično gibanje čestica fluida, i zatim je pustimo mirovati, tako da nakon nekog vremena turbulentno strujanje odumre), jasno je da će na kraju zbog 0G = i generacija ε biti jednaka nuli, a ε će težiti k nuli, uslijed ponora (destrukcije) ε . To znači da za ε =0 i destrukcija mora biti jednaka nuli, jer će u protivnom ε postati negativno, pa se zaključuje da je destrukcija ε razmjerna s 2

t/ / kε τ ε= , ili u obliku jednakosti

2

2Destrukcija Ckερε ρ= − (8.57)

gdje je 2C za turbulentno strujanje pri visokom tRe konstanta, a pri niskim vrijednostima tRe funkcija od tRe .


8.5.4. Skup jednadžbi k ε− modela turbulencije za visoke vrijednosti tRe

Skup jednadžbi k ε− modela turbulencije za nestlačivo strujanje čine jednadžba kontinuiteta

0j

j

vx∂

=∂

(8.58)

Jednadžba količine gibanja

( ) ( )t

j i ji i

j i j j i

v v vv p vt x x x x x

ρρ μ μ⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂

+ = − + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (8.59)

gdje p označuje efektivni tlak, a koeficijent turbulentne viskoznosti je definiran izrazom:

2

tkCμμ ρε

= (8.60)

Konačni oblik modelirane jednadžbe za kinetičku energiju turbulencije je:

( ) t( )j kj j j

kk v k Gt x x x

μρ ρ μ ρεσ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = + + −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (8.61)

gdje je G generacija kinetičke energije turbulencije definirana izrazom (8.42), i glasi

2t t t

1 22

j j ji i i iij

j i j j i j i

v v vv v v vG Dx x x x x x x

μ μ μ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (8.62)

Konačni oblik modelirane jednadžbe za disipaciju kinetičku energiju turbulencije je:

( )2

t1 2( )j

j j j

v C G Ct x x x k kε

μ ε ε ερε ρ ε μ ρσ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = + + −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (8.63)

U prikazanom modelu za slučaj visokih vrijednosti tRe koeficijenti u modelu turbulencije su konstante, a standardne vrijednosti konstanti su dane u sljedećoj tablici

Cμ kσ εσ 1C 2C 0,09 1,0 1,3 1,44 1,92

8.6. Strujanje u blizini čvrste stijenke (zidne funkcije) Pri rješavanju prikazanog k ε− modela turbulencije trebamo poznavati rubne uvjete (trebamo poznavati ili vrijednosti varijabli na granici ili imati informaciju o protoku varijabli kroz granicu područja proračuna) za komponente brzine, kinetičku energiju turbulencije i disipaciju kinetičke energije turbulencije, a ovdje ćemo posebnu pažnju posvetiti rubnim uvjetima na nepropusnoj stijenci. Naime, navedeni model turbulencije vrijedi za visoke vrijednosti tRe definiranog jednadžbom (8.56), tj. u području u kojem je koeficijent turbulentne viskoznosti puno veći od koeficijenta molekularne viskoznosti. Ako promatramo opstrujavanje ravne ploče, prema slici 1., tada model neće biti primjenjiv u blizini točke zastoja, tj. u laminarnom graničnom sloju, kao i u tranzijentnom području u kojem turbulentna viskoznost još uvijek ne dominira. Kao što je rečeno, definirani k ε− model vrijedi samo za razvijeno turbulentno područje. Ako se zna da se tranzicija iz laminarnog u turbulentno strujanje događa pri 5 6/ 3 10 3 10xRe v xρ μ∞= = ⋅ − ⋅ , a Reynoldsov broj na bazi duljine ploče


/LRe v Lρ μ∞= iznosi oko 810 ili više, onda je jasno da će područje laminarnog graničnog sloja zauzimati reda veličine 1 % područja ploče ili manje, tako da će se model turbulencije moći s dovoljnom točnošću primijeniti na čitavu duljinu ploče. S druge strane, ako je LRe reda veličine 610 do 710 jasno je da će područje laminarnog strujanja zauzimati dobar dio ploče, pa pretpostavka o razvijenom turbulentnom strujanju po čitavoj duljini ploče sigurno neće biti dobra. Drugi je problem što pretpostavka o razvijenom turbulentnom strujanju nije ispunjena niti u blizini nepropusne stijenke. Naime poznato je da se viskozni fluid lijepi uz stijenku, tako da je brzina fluida (dakle i pulsirajuća brzina) na stijenci jednaka nuli. Udaljavanjem od stijenke turbulentne pulsacije jačaju, ali uz samu stijenku su one male, što znači da je mala i turbulentna viskoznost odnosno tRe , pa u tom području neće vrijediti niti definirani k ε− model turbulencije, o čemu treba voditi računa pri njegovoj primjeni. Postoje dvije mogućnosti za rješenje ovog problema: (a) U neposrednoj blizini stijenke formulirati „specijalni“ model turbulencije koji vrijedi za

niske vrijednosti tRe . (b) Premostiti područje u kojem ne vrijedi k ε− model turbulencije za visoke vrijednosti tRe

definiranjem rubnih uvjeta na rubu do kojeg još uvijek vrijedi model (definiranjem "unutarnjih" rubnih uvjeta).

Prvi način nema širu primjenu zbog poteškoća definiranja univerzalnog modela turbulencije i zbog neekonomičnosti proračuna. Naime u tom pristupu se zahtijeva u relativno malom području uz stijenku, u kojem se primjenjuje specijalni model turbulencije, vrlo fina geometrijska mreža, čime se značajno povećava ukupni broj nepoznanica i poskupljuje proračun. Za realizaciju drugog načina ostaje problem određivanja raspodjele varijabli u neposrednoj blizini zida, na temelju koje bi se definirali unutarnji rubni uvjeti. Danas se najčešće koriste teorijska rješenja primjenjiva na područje uz zid, takozvane zidne funkcije (engl. „wall function“). U neposrednoj blizini stijenke, strujanje je paralelno sa stijenkom, a komponenta brzine okomito na stijenku je zanemarivo mala. Ako komponentu brzine glavnog strujanja paralelno sa stijenkom označimo sa u , a koordinatu okomito na stijenku sa y , onda zanemarivanjem malih članova u jednadžbi količine gibanja (za smjer strujanja) slijedi

( ) 0tu

y y yτμ μ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

(8.64)

iz čega je jasno da je ukupno tangencijalno naprezanje konstantno, gledajući u smjeru okomito na stijenku i jednako naprezanju na stijenci wτ τ= =konst. U neposrednoj blizini stijenke gdje su turbulentne pulsacije prigušene (i posljedično turbulentna viskoznost mala), molekularna viskoznost dominira (područje viskoznog podsloja), pa se turbulentna viskoznost može zanemariti, te se iz jednadžbe (8.64) dobije da je u tom području profil brzine linearan

ili bezdimenzijski u y u yτμ

+ += = (8.65)

gdje je /u u uτ+ = , /y u yτρ μ+ = , a wuτ τ ρ= . U tom području tRe poprima niske

vrijednosti i u njemu ne vrijedi definirani model turbulencije, te ga treba premostiti. Nakon viskoznog podsloja slijedi prijelazni podsloj unutar kojega je utjecaj molekularne i turbulentne viskoznosti ravnopravan (istog reda veličine), u kojem tRe također ima niske vrijednosti, a nakon prijelaznog podsloja dolazi inercijski podsloj u kojem dominira turbulentna viskoznost i u kojem vrijedi k ε− model turbulencije za visoke vrijednosti tRe .


Zanemarivanjem molekularne viskoznosti i modeliranjem turbulentne viskoznosti uz pomoć

Prandtlove hipoteze puta miješanja po kojoj je 2 2t

dduyy

μ ρκ= iz izraza (8.64) slijedi

( )w1 1 1ln ili bezdimenzijski ln lnu y C u y B Eyτκ ρ κ κ

+ + += + = + = (8.66)

gdje je κ von Kármánova konstanta, a B odnosno E konstanta integracije. Vrijednosti tih konstanti dobivenih mjerenjem u graničnom sloju uz ravnu ploču i mjerenjem u cijevima se neznatno razlikuju, a uz navedeni model turbulencije najčešće se koriste vrijednosti κ =0,4187 i E =9,739. Treba naglasiti da je izraz (8.66) dobiven uz pretpostavku zanemarivog uzdužnog gradijenta tlaka. Pri optjecanju jako zakrivljenih površina može se pojaviti značajni gradijent tlaka i tada bi izraz (8.66) trebalo modificirati zbog činjenice postojanja gradijenta tlaka. Slika 5. prikazuje rezultate mjerenja u obliku bezdimenzijske brzine u funkciji bezdimenzijske udaljenosti od stijenke za izobraženo strujanje u cijevima pri različitim vrijednostima Reynoldsova broja. Područje inercijalnog podsloja u kojem se mjerenja dobro poklapaju s logaritmičkim profilom brzine (izvedenim pod pretpostavkom

tμ μ ) proteže se za sve Reynoldsove brojeve od y+ približno 30 do tisuću i više, zavisno od Reynoldsova broja. Slika 6. između ostalog prikazuje mjerenja u graničnom sloju uz ravnu ploču, iz kojih se ponovo vidi da logaritmički profil brzine vrijedi u području y+ između 30 do 1000. Stoga će se pri numeričkom proračunu turbulentnog strujanja u kojem će se za zadavanje rubnih uvjeta koristiti zidne funkcije tražiti da prvi čvor do stijenke bude u tom području y+ . Što se tiče same brzine, za nju je poznato da je na samoj stijenci brzina jednaka nuli, što je dovoljno za zadavanje rubnog uvjeta u jednadžbi količine gibanja, međutim postavlja se pitanje kako izračunati smično naprezanje na stijenci. Ako bi se primijenila formula po definiciji

w0y

uy

τ μ=

∂=

∂

u kojoj bi se derivacija brzine izračunala primjenom numeričke diskretizacije, dobilo bi se pogrešno rješenje, jer se brzina uz stijenku mijenja vrlo naglo. Takva je praksa moguća samo za slučaj laminarnog strujanja.

Slika 5. Profil osrednjene brzine u potpuno razvijenom turbulentnom strujanju kroz cijev. Kružići predstavljaju eksperimentalne rezultate, Zagarola i Smits (1997) za šest različitih vrijednosti Raynoldsova broja (Re ≈ 32·103, 99·103, 409·103, 1,79·106, 7,71·106, 29,9·106,). Puna crta predstavlja logaritamski zakon uz κ =0,436 i B=6,13.

Isprekidana linija predstavlja logaritamski zakon uz κ =0,41 i B=5,2.


Slika 6. Profil osrednjene brzine u graničnom sloju uz ravnu ploču. Kružići predstavljaju rezultate eksperimenta,

Klebanoff (1954), Re = 8000; Isprekidana crta predstavlja rezultate direktne numeričke simulacije (DNS) graničnog sloja, Spalart (1988), Re = 1410; Crta-točka linija predstavlja DNS strujanja u kanalu, Kim i ostali

(1987), Re = 13750; Puna crta predstavlja van Driestov zakon zida. Kad se govori o kinetičkoj energiji turbulencije, također se zna da je na stijenci 0k = , jer su na stijenci pulsacije brzine jednake nuli, što je dovoljno za zadavanje rubnih uvjeta, međutim ponovo se postavlja pitanje točnosti računanja derivacije brzine u izrazu za generaciju kinetičke energije turbulencije. Te će derivacije ponovo trebati računati uz pomoć izraza (8.66) umjesto iz formule koja bi slijedila iz diskretizacije. Kad se govori o disipaciji kinetičke energije turbulencije, nemamo podatke niti o ε niti o normalnoj derivaciji, koje bi trebalo znati pri zadavanju rubnih uvjeta. U inercijskom podsloju je logično pretpostaviti da je doprinos konvekcije i difuzije kinetičke energije turbulencije zanemariv u odnosu na generaciju i disipaciju k , što vodi ka pretpostavci o ravnotežnom graničnom sloju: Gρε = . Iz izraza za (8.62) za G ostaje

2

t tdd

ji i

j i j

vv v uGx x x y

μ μ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞∂ ∂

= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (8.67)

Ako se iz definicijske jednadžbe (8.60) izrazi 2 2t/C kμρε ρ μ= , tada iz Gρε = slijedi

w

2

2 2 2t wdduC kyμ

τ τ

ρ μ τ

=

⎛ ⎞⎜ ⎟

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(8.68)

odakle je

1

w 4u C kτ μτρ

= = (8.69)

Smično naprezanje na stijenci se računa iz izraza

( )

14

2 2w ln

C ku uu u u uu u Ey

μττ τ

ρκρτ ρ ρ+

+ + += = = = (8.70)

u kojem se veličine u , k i y+ odnose na prvi čvor do stijenke. Izraz za y+ postaje

14C k y

y μρμ

+ = (8.71)


Deriviranjem logaritmičkog profila po koordinati y slijedi ( )d / d /u y u yτ κ= , što uvršteno u izraz (8.67) uz Gρε = , daje

3 33 4 2C kuy y

μτεκ κ

= = (8.72)

čime je definirana vrijednost ε u čvoru geometrijske mreže prvom do granice („unutarnji“ rubni uvjet za ε ). Izrazi (8.69) do (8.72) čine skup jednadžbi kojima su opisane takozvane standardne zidne funkcije, koje se primjenjuju i za zadavanje rubnih uvjeta pri opstrujavanju umjereno zakrivljenih površina.

Documents

RDF Predavanje 2010 2011