Regime Transiente EGQ

1

Objetivos:• Determinação da Transferência de calor com função do tempo• Regime não estacionário• Determinar o perfil de temperatura• Exemplos:

•Aquecimento ou resfriamento de peças•Tratamento térmico

Modelos de solução:• Análise concentrada• Efeitos espaciais• Sólido semi-infinito

2

Análise concentrada

3

Análise Concentrada

acumuladas EE••

=−Balanço de Energia

Substituindo os termos acima

( )dtdTVcTThA erfície ρ=−− ∞sup

Diferença de Temperatura

dtdT

dtdTT =−≡ ∞

θθ logo

Separando as variáveis e integrando desde t = 0 e T(0) = Ti, obtemos

Efetuando as integrações:

(1)

(2)

(3) (4)

(5)

(6)

θθρ −=dtd

hAVc

sup

Obtemos

∞−=−= ∫∫ TTdtdhA

Vci

t

i i0sup

onde θθθρ θ

θ

thA

Vc i =θθρ ln

sup

Ou ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−=

∞

∞ tVc

hATTTT

ii ρθθ supexp (7)

4

Transientes de temperatura de sólidos para diferentes constantes de tempo térmica

Constante Térmica

(8)

Calor total transferido (9)

( )

sólido do global térmicaiacapacitânc térmicaaresístênci

1

sup

==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

t

t

tt

CR

CRVchA

ρτ

∫∫ ==tt

dthAqdtQ0sup0θ

( )Substituindo a equação 7 na equação 9 (10)⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

τθρ tVcQ i exp1

Lembrar queacEQ Δ=− (11)

5

Validade do método da Capacitância GlobalBalanço de energia na superfície

Rearranjando, definimos o número de Biot

(12)

(13)

( ) ( )∞−=− TThATTLkA

2sup,2sup,1sup,

( )( )

( )( ) Bi

khL

RR

hAkAL

TTTT

conv

cond ≡===−

−

∞ 12sup,

2sup,1sup,

Biot fornece uma medida da relação entre a queda de temperatura ao longo do sólido e a diferença das temperaturas de sua superfície e do fluido.

6

Validade do Método da Capacitância

1,0<=k

hLBi c

Comprimento Característico

supAVLc ≡ (15)(14)

Substituindo a equação 15 na 7

FoBiVc

thALt

khL

Lt

ck

khL

cLht

VcthA

c

c

c

c

c

×====ρ

αρρρ

sup2

sup ou (16)

Sendo Fourrier de número 2 == FoL

tFoC

α (17)

[ ]FoBiTTTT

ii

∗−=−−=

∞

∞ expθθLogo (18)

Destaque

esfera daou cilindro do raio r :esfera e cilindro Para

:placa Para

020

2

==

=

rtFo

LtFo

α

α

7

Análise Geral Via Capacitância Global

Conservação de Energia (18)( )dtdTVcAqqEAq hcradconvgh ρ=+−+

•

),sup(""

sup,"sup

Ou (19)( ) ( )( )dtdTVcATTTThEAq hcvizgh ρεσ =−+−−+ ∞

•

),sup(44

sup,"sup

Equação diferencial não linear não homogênea

8

Regime transiente: Efeitos espaciais

9

Hipóteses:-Condução Unidimensional-Condutividade constante-Sem geração de energia

E equação da difusão de calor para coordenadas cartesianas

(1)

A partir das hipóteses apresentadas a equação da difusão se reduz a

(2)

Condição inicial (3)

Condições de contorno(4)

Dependência da Temperatura (T): (5)

( ) iTxT =0,tT

xT

∂∂=

∂∂

α1

2

2

( )( )∞==

−=∂∂

⇒==∂∂

⇒= TtLThxT

xT

Lxx

, L x para 0 0 x para0

( )hkLTTtxTT i ,,,,,,, α∞=

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ •

ρ

10

Admensionalização

Temperatura admensional∞

∞∗

−−

==TTTT

iiθθθ (6)

Coordenada espacial admensionalLxx =∗

(7)

Tempo admensional )(2 FourierdenúmeroFoL

tt ≡=∗ α(8)

Levando as definições (6) a (8) nas equações (2) a (5), a equação de condução fica

Fox ∂∂=

∂

∂∗

∗ *

2

2 θθ

1)0,( ** =xθ

(9)

(10)

Condições de contorno (11)

Condição Inicial para resolução da equação (2)

00

=∂∂

=∗

∗

∗xxθ

(12)( )∗∗

=∗

∗

−=∂∂

∗

tBix Lx

,1θθ

Dependência funcional (13)( )BiFoxf ,,∗∗ =θ

11

A PAREDE PLANA COM CONVECÇÃOSolução Exata

( ) )cos(exp *

1

2* xFoCn

nnn∑∞

=

−= ζζθ (14)

(15)

Os valores discretos (autovalores) de ζn são raízes positivas da equação transcendental

(16)

onde)2sen(2

sen4

nn

nnC

ζζζ

+=

Bi

cotgou n

nnn Bitgζζζζ ==

Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2)

)cos()cos()exp( *1

*0

*1

211

* xxFoC ζθζζθ =−= (17)

(18)

Para a temperatura no plano intermediário (x* = 0)(19)( )

( )∞

∞

−−

=TTTT

i

0*0θ)exp( 2

11*0 FoC ζθ −=

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )∞−=−=⇒−−=−−= ∫ TTcVQsenQQdVTtrTcEtEQ ii ρθ

ςςρ 0

*0

1

1

0

onde 1,0

Transferência Total de Energia

12

Na tabela ao lado são apresentadas as quatro primeiras Raízes da equação transcedental, para condução térmica em regime transiente em uma parede plana

Ln λζ = onde

Solução gráfica da equação transcedental

13

Na tabela ao lado são apresentados o Coeficiente C1 e a raíz ξ1 para parede plana, cilindro infinito e esfera

14

Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2) Temperatura no plano intermediário de uma parede plana de espessura 2L em função do tempo

15

Distribuição de Temperaturas em uma parede plana com espessura 2L

Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2)

16

Variação de energia interna, em função do tempo para uma parede plana com espessura 2L

Cartas de Heisler parede Plana (para Fo > 0,2)

17

CILINDRO INFINITO COM CONVECÇÃOSolução Exata

)()exp( *

10

2* rJFoCn

nnn∑∞

=

−= ζζθ (21)

(22)


(23)

onde( )

( ) ( )nn

n

nn JJ

JC

ζζζ

ζ 21

20

12+

=

( )( ) Bi

JJ

n

nn =

ζζζ

0

1 As funções J1 e JO são funções de Bessel de primeira ordem.

Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2))()()exp( *

10*0

*10

211

* rJrJFoC ζθζζθ =−=Temperatura no plano intermediário (r* = 0)

)exp( 211

*0 FoC ζθ −=


(24)

(25)

( ) ( )∞−=−= TTcVQsenQQ

iρςςθ

011

*0

0

sendo 21 (26)

18

As funções J1 e JO são funções de Bessel de primeira ordem e seu valores estão listados no apêndice B.4 do livro do Transferência de calor e massa - 4ªed Incropera

19

Temperatura no eixo central de um cilindro infinito com raio r0 em função do tempoCartas de Heisler – Cilindro Infinito (para Fo > 0,2)

20

Distribuição de Temperaturas em um cilindro infinito com raio r0

Cartas de Heisler parede Cilindro infinito (Fo > 0,2)

21

Variação de energia interna, em função do tempo, em um cilindro infinito com raio r0


22

Solução Exata

)sen(1)exp( *

1*2

2* rr

FoCn

nn

nn∑∞

=

−= ζζ

ζθ (27)

( ) ( )[ ]( ) (28)


(29)

ondenn

nnnnC

ζζζζζ

2sen2cossen4

−−

=

Binn =− ζζ cot1

ESFERA COM CONVECÇÃO

Solução Aproximada (válida para Fo > 0,2)

)(1)(1)exp( *1*

1

*0

*1*

1

211

* rsenr

rsenr

FoC ζζ

θζζ

ζθ =−=

Temperatura no plano intermediário (r* = 0))exp( 2

11*0 FoC ζθ −=


(30)

(31)

( ) ( )[ ] ( )∞−=−−= TTcVQsenQQ

iρςςςςθ

011131

*0

0

sendo cos31 (32)

23

Temperatura no eixo central de uma esfera com raio r0 em função do tempoCartas de Heisler – Esfera (para Fo > 0,2)

24

Distribuição de Temperaturas em uma esfera com raio r0


25

Variação de energia interna, em função do tempo, em uma esfera com raio r0


26

Sólido Semi-infinitoDefinição:

•Sólido semi-infinito: é aquele que se estende em todas as direções menos em uma delas•Devido a uma súbita mudança das condições na superfície desse sólido, condução unidirecional em regime transiente ocorrerá no interior do sólido•Exemplos:

•Transferência de calor no solo•Transferência de calor em uma placa muito espessa

27

Hipóteses:-Condução Unidimensional-Condutividade constante-Sem geração de energia

E equação da difusão de calor para coordenadas cartesianas

tTcq

zTk

zyTk

yxTk

x p ∂∂=+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ •

ρ)()()( (1)

A partir das hipóteses apresentadas a equação da difusão se reduz a

tT

xT

∂∂=

∂∂

α1

2

2

iTtxT =∞→ ),(

(2)

Condição inicial (3)

Serão apresentadas 3 formas de condição inicial para resolver um problema de sólido semi-infinito:

a) Temperatura superficial constante Tsup ≠ Tib) Fluxo térmico constante na superfície, q”0

c) Exposição da superfície a um fluido caracterizado por Te ≠ Ti e um coeficiente de transferência de calor h

28

SÓLIDO SEMI-INFINITO

( ) ( ) is TxTTtT =≠= 0,,0

• Caso 1 - Temperatura Superficial Constante.

( )( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

txerf

TTTtxT

si

s

α2,

( )tTTk

q iss πα

−="

Destaque: Mudança de Temperatura em forma de degrau e o fluxo térmico diminuíproporcionalmente com t 1/2

29


"0

"sup qq =

• Caso 2 - Fluxo Térmico constante na superfície.

( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−t

xerfckxq

tx

ktq

TtxT i ααπα

24exp

2,

"0

2"0

Destaque: T(0,t) = Tsup aumenta monotonicamente com t 1/2

30


( )[ ]tTThxTk

x,0

0−=

∂∂

∞=

( )( )( )

• Caso 3 - Convecção na superfície.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

∞ kth

tx

kth

khx

txerfc

TTTtxT

i

i αα

αα 2

expexp2

,2

2

Destaque: Tsup e Tint tendem a temperatura externa T∞

31

Tabela da Função erro de Gauss (Apêndice B - Tabela B2)

32

Efeitos Multi-dimensionais

33

Efeitos multidimensionaisSeja um cilindro curto, com Temperatura inicial, Ti, como o apresentado na figura abaixo

tT

xT

rTr

rr ∂∂=

∂∂+

∂∂

∂∂

α1)(1

2

2

Considerando: Condutividade constante e Sem geração de energia, a equação da difusão de calor fica

•Este cilindro é imerso em um fluido, T∞≠ Ti.•Sendo r e L comparáveis, a transferência por condução será significativa em r e L•T=T(r,x,t)

34

A equação anterior pode ser expressa da seguinte forma:

( ) ( ) ( )infinitocilindro

planaparede

,,,,

∞∞∞ −×

−=

− TTtrT

TTtxT

TTtxrT

iii

•NOTE: Solução bidimensional = produto de soluções unidimensionais

( ) ( )planaparede

,,∞

∞

−−=TT

TtxTtxPi

( ) ( )infinito-semi

sólido

,,∞

∞

−−=TT

TtxTtxSi

( ) ( )infinitocilindro

,,∞

∞

−−=TT

TtrTtrCi

Efeitos multidimensionais (solução de sistemas unidimensionais)

Solução para o caso (h)

( ) ( ) ( ) ( )txPtxPtxPTT

txxxT

i

,,,,,,321

321 ⋅⋅=− ∞

( )Solução para o caso (i)

( ) ( )txPtrCTT

txrT

i

,,,, ⋅=− ∞

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Regime Transiente EGQ