Probabilidad de transición por unidad de tiempo (segunda regla de oro de Fermi)1

El comportamiento de un sistema mecánico-cuántico se describe mediante su función de onda

que es la solución de la ecuación de Schrödinger.

ψψ Ht

i =∂∂

h

donde H es el Hamiltoniano del sistema.

Si H es dependiente del tiempo se lo puede separar en una parte dependiente y en otra que no sea

dependiente

)(10 tHHH +=

Conociendo las soluciones para H0 buscamos las de H, utilizando la teoría de perturbaciones.

Esta teoría considera que H1 << H0 (a H1 lo llamamos el Hamiltoniano de perturbación o de

interacción).

La función de onda del sistema no perturbado (solución de la ecuación con H0) tiene la forma h/)(),( iEtequtq −=ψ

Si se asume que en t = 0 el sistema se encuentra en un estado inicial i no perturbado, se tiene que:

iii uEuH =0

Donde ui y Ei son las funciones propias y valores propios de la energía del Hamiltoniano H0 y

cumplen:

ifif dquu δ=∫ *

tan pronto como la perturbación comienza (la cual induce la transición). La función de onda se

puede expresar como la superposición de las funciones de onda del sistema no perturbado,

∑ −⋅=i

tiEii

ieuta h/)(ψ

donde la ui son independientes del tiempo, más no las ai, como se muestra explícitamente.

Además la condición inicial señala que para toda f

iffa δ=)0(

Cuando la perturbación ha actuado por un tiempo t, la probabilidad de que el sistema ha

efectuado una transición al estado f no es cero, el índice f caracteriza cualquier estado final de un 1 Esta deducción puede ser omitida en el estudio, sin embargo la expresión de la segunda regla de Fermi debe ser muy bien explicada.

espectro discreto o continuo. Para evaluar la probabilidad de transición se tiene que encontrar los

coeficientes af(t). Reemplazando la forma general de ψ en la ecuación de Schrödinger para el

Hamiltoniano total, se tiene:

ψψ )( 01 HHt

i +=∂∂

h

∑∑ −− =∂∂

i

tiEii

tiEi

i

i ii euaHeut

ai hhh /

1/

multiplicando por la conjugada de la función de onda propias e integrando en todo el volumen, la

relación de orto-normalidad conduce a

∑=∂

∂ tifii

f fieHait

a ω11h

donde se ha definido

∫= dquHuH iffi 1*1

y representan los elementos de la matriz de transición dadas por el Hamiltoniano de perturbación

H1., y

h

iffi

EE −=ω

La aproximación de perturbación se usa para realizar la integración de la derivada de los

coeficientes, y consiste en reemplazar H1 por εH1 y expresar las ai en serie de potencias de ε.

...)2(2)1()0( +++= ssss aaaa εε

hay que notar que:

1)0()0( == ii aa

reemplazando en la correspondiente ecuación se tiene:

[ ]∑ ++=+∂

∂+

∂

∂ tifiii

ff fieHaait

at

a ωεεε 1)1(2)0()1()0(

....1....h

a) orden cero

0)0(

=∂

∂

ta f

ctea fif == δ)0(

b) orden uno (primera aproximación)

tifi

ti

ifii

f fifi eHi

eHait

a ωω 11)0()1( 11

hh==

∂

∂∑

la cual se puede integrar para obtener:

( )∫ −==t

tifi

fi

tifii

fifi eHdteHi

a0

1´1)1( 11´1 ωω

ωhh

Si se desprecian las aproximaciones de mayor orden. Obtenemos que la probabilidad de

transición del estado inicial al final es:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= − tsenHa fififif ωω

214 22212)1( h

Si se tiene un grupo de estados finales cuya energía es casi la misma, los podemos tratar como un

continuo y expresar el número de estados por intervalo de energía alrededor de la energía final en

forma de una densidad de niveles ρ(Ef). Si se asume que los elementos de matriz del

Hamiltoniano de interacción varía suavemente con f dentro del grupo de estados finales en la

región alrededor de Ef al cuadrado de estos elementos de matriz se lo puede considerar

independiente de Ef y tratarlo como un valor constante. La probabilidad de transición por unidad

de tiempo (en primer orden de perturbación) desde el estado inicial a todos los estados accesibles

finales está dada por:

fff

fffi dEEat

at

W )(112

2ρ∑ ∫

∞

∞−

==

note que fif ddE ωh=

Si se consideran los estados finales dentro de una banda de energía de ancho ΔE<<Ef

Podemos escribir,

( )∫∞

∞−

= fifi

fiffifi d

tsent

EHW ω

ωωρ

2

221 2/)(4

h

obteniéndose,

( ) 212fiffi HEW ρπ

h=

que se le conoce con el nombre de la segunda regla de oro de Fermi.

Como se ha mencionado anteriormente existe una relación directa entre la probabilidad de

transición y la sección eficaz. Para encontrar dicha relación se considera una colisión elástica. En

tiempos muy antes y muy después de la colisión la partícula incidente y dispersada pueden ser

consideradas libres.

Si se considera las funciones propias del operador cantidad de movimiento, normalizadas con las

condiciones de borde periódicas,

)()( qpuqui pp =∇− h

qkip e

Lqu

rr⋅= 2/3

1)(

Al considerar la colisión elástica, habrá una transición en el estado (de cantidad de movimiento)

del proyectil. La probabilidad de tal hecho, evaluado por la aproximación de perturbación, esta

dado por Wfi y no es otra que la razón entre el volumen de interacción efectivo, barrido por la

partícula, y el volumen total L3.

Una partícula moviéndose a velocidad υi en el sistema centro de masa, barre un volumen de

interacción efectivo, por unidad de tiempo συ di

De manera que:

συ

dL

W ifi 3=

en colisiones elásticas no hay transferencia de energía en el CM sino solo de cantidad de

movimiento. Esto sugiere que se utilice las funciones propias del operador cantidad de

movimiento en lugar de las energéticas para determinar la probabilidad de transición.

Si se introduce el vector de onda inicial como

hrr

/ii pk =

y un análogo para el vector de onda final.

Si además,

kkk fi

rrr=−

con

kkk fi ==rr

(colisión elástica)

asumiendo que la perturbación se produce por una fuerza de dispersión esférica-mente simétrica,

∫∫ ⋅== dqeHL

dquHuH qkiiffi

rr

131*1 1

en coordenadas polares,

∫∫∫ ⋅= φθθθ ddrdsenrerHL

H ikrfi

2cos13

1 )(1

∫∞

=0

213

1 )(4 drkr

senkrrrHL

H fiπ

Por otro lado, la densidad de estados finales esta dada como:

ff

ff dEh

kdkddEdN

E 3

2 )()()( hhΩ==ρ

( ) Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= dkmLE ff 2

3

2 hπρ

de la relación anterior,

Ω=

Ω dW

vL

dd fi

i

3σ

de manera que, 2

0

212 )(2

∫∞

=Ω

drkr

senkrrrHmdd

h

σ

relación que se le conoce con el nombre de fórmula de colisión de Born.