REGLA DEL TRAPECIO 

Diego LópezMonitor

Carlos ÁlvarezDocente UdeA

Es la primera de las fórmulas de integración cerrada de Newton–Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio en la ecuación de integración es de primer orden:

Geométricamente, es equivalente a aproximar el área del trapezoide bajo la línea recta que conecta f(a) y f(b).

La integral se representa como:

I ≈ ancho x altura promedio

Error de la regla trapezoidal:

Una estimación para el error de truncamiento local de una sola aplicación de la regla trapezoidal es:

donde ξ está en algún lugar en el intervalo de a a b.

Aplicación múltiple de la regla trapezoidal:

Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir el intervalo de integración de a a b en un número n de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos. Las ecuaciones resultantes son llamadas fórmulas de integración de múltiple aplicación o compuestas.

Hay n+1 puntos base igualmente espaciados (x0,x1,x2,...,xn). En consecuencia hay n segmentos de igual anchura: h = ( b – a )/ n.

Si a y b son designados como x0 y xn respectivamente, la integral total se representará como:

Al sustituir la regla trapezoidal para cada integral:

Y mediante agrupación de términos:

Usando h = (b – a)/n y expresándola en la forma general:

Un error para la regla trapezoidal de múltiple aplicación se puede obtener al sumar los errores individuales de cada segmento, para dar:

Donde f’’(ξi) es la segunda derivada en un punto ξi localizado en el segmento i. Este resultado se puede simplificar al estimar la media o valor promedio de la segunda derivada para todo el intervalo:

Por tanto Σf’’(ξi) ≈ nf’’. Entonces la ecuación del error trapezoidal puede escribirse como:

Así, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuirá a un cuarto.

Referencias:

Este módulo fue desarrollado por Diego López, usando notas de los libros:HEATH, Michael; Scientific Computing: An introductory survey. McGraw Hill.

1997. Capítulo 8. Página 247.HUERTA, Sarrate-Ramos, Rodríguez-Ferrán. Metodos Numericos, Introduccion

Aplicaciones y Propagacion. Edicions UPC. Primera Edición. 1998. Capítulo 8. Páginas 183 a 185.

Se puede usar un polinomio de primer orden para realizar una integración numérica, este método se conoce como método de trapecio; los

puntos para trazar la linea recta serían los límites de la integral.

Este proceso puede generalizarse usando n trapecios que sumados dan una solución más exacta de la integral.