La Regla Del Trapecio

7/23/2019 La Regla Del Trapecio

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MTODOS NUMRICOS

CAPTULO 6: INTEGRACINNUMRICA.

LA REGLA DEL TRAPECIO.

Ing. Willians Medina.

Maturn, Junio de 2015.


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Captulo 6. Integracin Numrica. La regla del trapecio.

Mtodos Numricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIN.

La presente es una Gua de Ejercicios de Mtodos Numricos para estudiantes de

Ingeniera, Ciencia y Tecnologa dictada en las carreras de Ingeniera Ambiental, Civil, de

Computacin, Elctrica, Electrnica, Industrial, Mecnica, de Petrleo, de Sistemas y

Qumica de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusin de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilacin en atencin al contenido

programtico de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha gua ha sido elaborada tomando como fuente las guas de ejercicios y

exmenes publicados en su oportunidad por Profesores de Mtodos Numricos para

Ingenieros en los ncleos de Monagas y Anzotegui de la Universidad de Oriente, adems

de la bibliografa especializada en la materia y citada al final de cada captulo, por lo que el

crdito y responsabilidad del autor slo consiste en la organizacin y presentacin en forma

integrada de informacin existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente acadmicos y su uso y difusin por medios impresos y electrnicos es

libre, no representando ningn tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atencin a esta modesta

contribucin en la enseanza y aprendizaje de los Mtodos Numricos, as como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a travs de los telfonos: +58-424-9744352 +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 7A264BE3, correo electrnico: [email protected]

[email protected], twitter: @medinawj personalmente en la seccin de Matemticas,

Universidad de Oriente, Ncleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.


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ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Qumico, egresado de la Universidad de Oriente,

Ncleo de Anzotegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempe como preparador docente en el rea de Laboratorio de Qumica I y

Termodinmica Aplicada de la carrera de Ingeniera Qumica de la referida Universidad.

En el ao 1996 ingres a la Industria Petrolera Venezolana, Petrleos de Venezuela

(PDVSA), desempeando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Produccin de

Orimulsin, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el ao 1998, momento en el cual

comenz su desempeo en la misma corporacin como Ingeniero de Manejo de Gas en elComplejo Operativo Jusepn, al norte del Estado Monagas hasta finales del ao 2000.

Durante el ao 2001 form parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tom,

Estado Anzotegui, donde recibi cursos de preparacin integral en las reas de produccin

y manejo de petrleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

qumico anticorrosivo de gasoductos de la zona de produccin de petrleo y gas hasta

finales del ao 2002. Desde el ao 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Bsicos del Ncleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemticas I (Clculo Diferencial), Matemticas II (Clculo Integral),

Matemticas III (Clculo Vectorial), Matemticas IV (Ecuaciones diferenciales), Mtodos

Numricos, Termodinmica y Fenmenos de Transporte para estudiantes de Ingeniera. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el rea de Matemticas,

Fsica, Qumica, Mecnica Vectorial, Mtodos Numricos, Termodinmica, Estadstica,

Diseo de Experimentos, Fenmenos de Transporte, Mecnica de los Fluidos e Ingeniera

Econmica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.


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6.1.- GENERALIDADES.

Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral definida de una funcin que

no tiene una antiderivada explcita o cuya antiderivada tiene valores que no son fcilmente

obtenibles. El mtodo bsico involucrado para aproximar b

axdxf )( se conoce como

cuadratura numricay usa una suma del tipo

n

i

ii xfa0

)( para aproximar b

axdxf )( .

Los mtodos de cuadratura que discutiremos en esta seccin se basan en los

polinomios interpolantes dados en el captulo 3. Para comenzar, primero seleccionamos un

conjunto de nodos distintos },,,{ 110 nn xxxx de un intervalo a ],[ ba . Si nP es el

polinomio interpolante de Lagrange

n

i

iin xfxLxP0

)()()( (3.14)

Entonces:

!)1(

))(()()()()(

)1(

00

n

xfxxxfxLxf

nn

i

i

n

i

ii

(3.18)

Integramos nP y su trmino de error de truncamiento sobre ],[ ba para obtener la frmula

de cuadratura

b

a

nn

i

i

b

a n

b

axd

n

xfxxxdxPxdxf

!)1(

))(()()()(

)1(

0

b

a

nn

i

i

b

a

n

i

ii xdn

xfxxxdxfxL

!)1(

))(()()()(

)1(

00

b

a

nn

i

i

n

i

ii xdxfxxn

xfa ))(()(!)1(

1)( )1(

00

donde )(x est en ],[ ba para cadaxy b

a ii xdxLa )( , para ni ,,1,0

6.2.- FRMULAS DE INTEGRACIN DE NEWTON COTES.


5/36



Las frmulas de Newton Cotes son los tipos de integracin numrica ms

comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una funcin complicada o datos tabulados

por un polinomio de aproximacin que es fcil de integrar:

b

a n

b

axdxPxdxfI )()( (6.1)

donde )(xPn = un polinomio de la forma

n

n

n

nn xaxaxaxaaxP

1

1

2

210)(

donde nes el grado del polinomio. Por ejemplo, en la figura 6.1a se utiliza un polinomio de

primer grado (una lnea recta) como aproximacin. En la figura 6.1b, se emplea una

parbola con el mismo propsito.

(a) (b)Figura 6.1. La aproximacin de una integral mediante el rea bajo a) una sola lnea recta y b) una parbola.

La integral tambin se puede aproximar usando un conjunto de polinomios

aplicados por pedazos a la funcin o datos, sobre segmentos de longitud constante. Por

ejemplo, en la figura 6.2, se usan segmentos de lnea recta para aproximar la integral.

Aunque pueden utilizarse polinomios de grado superior con los mismos propsitos.


6/36



Figura 6.2. La aproximacin de una integral mediante el rea bajo tres segmentos de lnea recta.Existen formas cerradas y abiertas de las frmulas de Newton Cotes. Lasformas

cerradas son aquellas donde se reconocen datos al inicio y al final de los lmites de

integracin (figura 6.3a). Lasformas abiertastienen lmites de integracin que se extienden

ms all del intervalo de los datos (figura 6.3b).

(a) (b)Figura 6.3. La diferencia entre las frmulas de integracin a) cerradas y b) abiertas.

Por lo general, las formas abiertas de NewtonCotes no se usan para integracin definida.

Sin embargo, se utilizan para evaluar integrales impropias y para obtener la solucin de

ecuaciones diferenciales ordinarias. Este captulo se enfatiza las formas cerradas. No


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obstante, se presenta brevemente una introduccin a las formulas abiertas de Newton

Cotes.

Frmulas cerradas de NewtonCotes de grado superior.

Algunas de las frmulas se resumen en la tabla siguiente, junto con el error de

truncamiento.

Segmentos Puntos Nombre FrmulaError truncamiento

1 2Mtododeltrapecio 2

)()()( 10

xfxfab

)(312

1 fh

2 3RegladeSimpson1/3 6

)()(4)()( 210

xfxfxfab

)()4(590

1 fh

3 4RegladeSimpson3/8 8

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfab )()4(5803 fh

4 5RegladeBoole 90

)(7)(32)(12)(32)(7)( 43210

xfxfxfxfxfab

()6(7945

8 fh

5 6288

)(19)(75)(50)(50)(75)(19)( 543210

xfxfxfxfxfxfab

()6(7

12096275 fh

Frmulas abiertas de NewtonCotes de grado superior.

Segmentos Puntos Nombre FrmulaError truncamiento

2 1Mtodo

delpuntomedio

)()( 1xfab )(3

31 fh

3 22

)()()( 21

xfxfab

)(34

3 fh

4 33

)(2)()(2)( 321

xfxfxfab

)()4(545

14 fh

5 424

)(11)()()(11)( 4321

xfxfxfxfab

()4(5144

95 fh

6 520

)(11)(14)(26)(14)(11)( 54321

xfxfxfxfxfab

()6(7

14041 fh

As, no slo permite la evaluacin de datos con segmentos desiguales. De esta manera,

representa un algoritmo bsico, para todo propsito en la determinacin de la integral de

datos tabulados.

6.3.- LA REGLA DEL TRAPECIO.


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La regla del trapecio es la primera de las frmulas cerradas de integracin de

NewtonCotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuacin (6.1) es de primer

grado.

b

a

b

axdxPxdxfI )()( 1

Para derivar la regla del trapecio para aproximar b

axdxf )( , sean ax 0 , bx 1 ,

abh . Usando el polinomio de interpolacin de Lagrange de primer grado:

)()()( 101

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxP

(3.16)

Por lo tanto,

1

0

)()()( 101

00

10

1x

x

b

axdxf

xx

xxxf

xx

xxxdxf

Al efectuar la integracin:

1

0

)()(2

)()(

)(2

)()( 1

01

2

0

0

10

2

1

x

x

b

axf

xx

xxxf

xx

xxxdxf

Al aplicar el teorema fundamental del clculo:

)()(2

)()()(2

)()( 0

10

2

101

01

2

01 xfxx

xxxfxx

xxxdxf

b

a

)(2

)(2

0

10

1

01 xfxx

xfxx

)(2

)(2

0

01

1

01 xfxx

xfxx

)]()([2

01

01 xfxfxx

)]()([2

)( 10 xfxfhxdxfb

a (6.2)


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La razn por la cual esta frmula se llama la regla del trapecio es que, cuando f es una

funcin con valores positivos, b

axdxf )( se puede aproximar calculando el rea del

trapecio mostrado en la figura 6.4.

Figura 6.4. Representacin grfica de la regla del trapecio.

Error de la regla del trapecio.

Cuando empleamos la integral bajo un segmento de lnea recta para aproximar la integral

bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante (Figura 6.5).

Figura 6.5. Ilustracin de la importancia del error en una sola aplicacin de la regla del trapecio.


10/36



Una estimacin al error de truncamiento local para una sola aplicacin de la regla del

trapecio se deduce a continuacin.

Aplicando el trmino del error para un polinomio interpolante de Lagrange (Ecuacin

3.19):

n

i

i

n

a xxn

xf

0

)1(

)(!)1(

))(( (3.19)

Para un polinomio interpolante de Lagrange de grado 1 ( 1n ).

)()(2

))((10 xxxx

xfa

1

0

x

x

at xdE

1

0

)()(2

))((10

x

xxdxxxx

xf

1

0

)()(2

))((10

x

xxdxxxx

xf

1

0

])([2

))((1010

2x

xxdxxxxxx

xf

1

0

10

2103

2

)(

32

))((x

x

xxxxxxxxf

)()(

2

)(

32

))((0110

2

0

2

1

10

3

0

3

1 xxxxxxxxxxxf

1

2

0

2

101

2

0

3

1

3

0

2

10

3

0

3

1

2222332

))((xxxx

xxxxxxxxxf

22662

))(( 12

0

2

10

3

0

3

1 xxxxxxxf

6

33

2

))(( 12

0

2

10

3

0

3

1 xxxxxxxf

)33(12

))(( 30

2

101

2

0

3

1 xxxxxxxf


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3

01 )(12

))((xx

xfEt

))((12

)( 3xf

abEt

(6.3)

donde est en algn lugar en el intervalo de a a b. La ecuacin (6.3) indica que si la

funcin sujeta a integracin es lineal, la regla del trapecio ser exacta. Ntese que la regla

del trapecio dar el resultado exacto cuando se aplique a cualquier funcin cuya segunda

derivada sea idnticamente cero, o sea, cualquier polinomio de grado uno o menor. De otra

manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con

curvatura), puede ocurrir algn error.Ejemplo 6.1.

[WM] Use la regla del trapecio para aproximar

3

1

2 )( xdex x . Compare la aproximacin

con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es posible.

Solucin.

3

1

2 )( xdex x

1a 3b

xexxf 2)(

Aplicando la ecuacin 6.2.

)]()([2

)( 10 xfxfh

xdxfb

a (6.2)

10 ax

31 bx

213 abh

6321206.01)1()1()( 1)1(20 eefxf

9502129.89)3()3()( 3)3(21

eefxf


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La grfica de estos puntos se ilustra en la figura 6.6.

Figura 6.6. Representacin grfica del empleo de una sola aplicacin de la regla del trapecio para aproximar

la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .

Valor aproximado de la integral (rea rayada en la figura 6.6).

)9502129.86321206.0(2

2)(

3

1

2 xdex x

5823335.9

Valor exacto de la integral (rea sombreada en la figura 6.6).

3

1

3

31

3

1

2 )( xx exxdex

])1([])3([ )1(331)3(3

31 ee

1

3139 ee

13

326 ee

3485742.8

Error absoluto de aproximacin.

aproximadoValorexactoValor t

5823335.93485742.8

2337593.1


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Cota de error.

))((12

)( 3xf

abEt

(6.3)

La segunda derivada de la funcin xexxf 2)( es xexf 2)( . Al evaluar en 1x

y en 3x tenemos:

6321206.12)1( 1 ef

9502129.12)3( 3 ef

9502129.112

)13( 3

tE

3001420.1

Observamos que la estimacin se encuentra entre los lmites del error.

Clculo de integrales definidas mediante la calculadora.

Algunas calculadoras cientficas modernas disponen de la opcin para calcular

numricamente integrales definidas, tales como la CASIO fx-570ES PLUS. En este sentido

conviene conocer la secuencia de teclas que se deben presionar para obtener el valor

numrico de la integral.

El procedimiento es el siguiente:

Encender la calculadora presionando la tecla ON.

Presionar la tecla . El display muestra:

xd R Math

Ingresar la funcin teniendo en cuenta que la x se ingresa presionando las teclas ALPHA

). Para ingresar la funcin xexxf 2)( , la secuencia de teclas es:

ALPHA , ) , 2x ,, SHIFT , ln , () , ALPHA , ). El display muestra:

xdex x2 R Math

Ingresar el lmite inferior de integracin. Presionar la tecla e introducir el valor 1.


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1

2 xdex x R Math

Ingresar el lmite superior de integracin. Presionar la tecla

e introducir el valor 3.

3

1

2 xdex x R Math

Presionar la tecla =. Al cabo de unos segundos, la calculadora muestra en el display:

3

1

2 xdex x R Math

8.348574294

De esta manera hemos determinado el valor numrico exacto de la integral.

Ejemplo 6.2.

[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximacin a 5.1

1.1xdex .

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817

Compare la aproximacin con el valor real y encuentre una cota para el error, si esto es

posible.

Solucin.

5.1

1.1xdex

1.1a

5.1b

xexf )(


)]()([2

)( 10 xfxfh

xdxfb

a (6.2)

1.10 ax

5.11 bx

4.01.15.1 abh

0042.3)1.1()( 0 fxf


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4817.4)5.1()( 1 fxf


Figura 6.7. Representacin grfica del empleo de una sola aplicacin de la regla del trapecio para aproximar

la integral de xexf )( de 1.1x a 5.1x .

Valor aproximado de la integral.

)4817.40042.3(2

4.05.1

1.1 xde

x

4971800.1

Valor exacto de la integral.

5.1

1.1

5.1

1.1

xx exde

1.15.1 ee

4775230.1



4971800.14775230.1

0196570.0

Cota de error.


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))((12

)( 3xf

abEt

(6.3)

La segunda derivada de la funcin xexf )( es xexf )( . Al evaluar en 1.1x y en

5.1x tenemos:

0042.3)1.1( 1.1 ef

4817.4)5.1( 5.1 ef

4817.412

)1.15.1( 3

tE

0239024.0

Observamos que la estimacin se encuentra entre los lmites del error.

Ejemplo 6.3.

[BF, WM] Dada la funcinfen los valores tabulados abajo:

x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675

Aproxime 6.2

8.1)( xdxf usando la regla del trapecio.

Solucin.

6.2

8.1 )( xdxf

8.1a

6.2b


)]()([2

)( 10 xfxfh

xdxfb

a (6.2)

8.10 ax

6.21 bx 8.08.16.2 abh

12014.3)8.1()( 0 fxf

46675.10)6.2()( 1 fxf


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)46675.1012014.3(2

8.0)(

6.2

8.1 xdxf

4347560.5

Ejercicios propuestos.

1. [BF, CC] Use la regla del trapecio para aproximar las integrales siguientes. Compare la

aproximacin con el valor real y encuentre una cota del error en cada caso, si esto es

posible.

a) 2

1ln xdx b)

1.0

0

3

1

xdx c) 3/

0

2)sen(

xdx

d)

4.0

2.0

3

2cos xdxe x

e)

4/

0 tan

xdx f)

4/3

2/ cot

xdx

g)

5.1

0

1)1( xdx h)

3

0)1( xde x i)

4

2

52 )41( xdxxx

j) 2/

0)sen48(

xdx k) 1

0

215 xdx l)

0)sen35( xdx

2. [CC] Evale la integral 5.0

0)( xdxf de los siguientes datos tabulados usando la regla del

trapecio:

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5)(xf 1 7 4 3 5 2

3. [CC] Evale la integral 11

3)( xdxf de los siguientes datos tabulados usando la regla del

trapecio:

x 3 1 1 3 5 7 9 11)(xf 1 4 9 2 4 2 6 3

La regla del trapecio de aplicacin mltiple.

Una forma de mejorar la precisin de la regla del trapecio consiste en dividir el

intervalo de integracin de aaben varios segmentos, y aplicar el mtodo a cada uno de

ellos (Figura 6.8). Las reas de los segmentos se suman despus para obtener la integral en

todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes se llaman frmulas de integracin, de

aplicacin mltipleo compuestas.


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Figura 6.8. Ilustracin de la regla del trapecio de aplicacin mltiple. a) Dos segmentos, b) tres segmentos, c)

cuatro segmentos y d) cinco segmentos.

La figura 6.9 muestra el formato general y la nomenclatura que usaremos para

obtener integrales de aplicacin mltiple.

Hay 1n puntos igualmente espaciados },,,{ 110 nn xxxx . En consecuencia, existen n

segmentos del mismo ancho:

n

abh

(6.4)


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Figura 6.9. Formato general y nomenclatura para integrales de aplicacin mltiple.

Si aybse designan como 0x y nx , respectivamente, la integral completa se representar

como

n

n

x

x

x

x

x

x

b

axdxfxdxfxdxfxdxf

1

2

1

1

0

)()()()(

Sustituyendo la regla del trapecio en cada integral se obtiene

2

)()(

2

)()(

2

)()()( 12110 nn

b

a

xfxfh

xfxfh

xfxfhxdxf

(6.5)

o, agrupando trminos,

)]()(2)([2

)(1

1

0 n

n

i

i

b

axfxfxf

hxdxf

(6.6)

o, usando la ecuacin 6.4

)]()(2)([2

)(1

1

0 n

n

i

i

b

axfxfxf

n

abxdxf

promedioAltura

1

1

0

Ancho2

)()(2)(

)()(n

xfxfxf

abxdxf

n

n

i

ib

a

(6.7)

Como la sumatoria de los coeficientes de )(xf en el numerador dividido entre n2 es igual

a 1, la altura promedio representa el promedio ponderado de los valores de la funcin. De


20/36



acuerdo con la ecuacin (6.7), a los puntos interiores se les da el doble de peso que a los

dos puntos extremos )( 0xf y )( nxf .

Algoritmo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple.Para aproximar

b

axdxfI )( :

ENTRADA: puntos extremos a, b; entero positivo n.

SALIDA: aproximacinXIdeI.

Paso 1 Tomarn

abh

Paso 2 Tomar )()(0 bfafXI

).)(deSuma(;01 ixfXI Paso 3 Para 1,,1 ni seguir los pasos 4 y 5.

Paso 4 Tomar hiax

Paso 5 )(11 XfXIXI

Paso 6 Tomar 2/)120( XIXIhXI

Paso 7 SALIDA (XI )

PARAR.

Error de la regla del trapecio de aplicacin mltiple.

Se tiene un error con la regla del trapecio de aplicacin mltiple al sumar los errores

individuales de cada segmento, as

n

i

t xfn

abE

13

3

))((12

)( (6.8)

donde ))(( xf es la segunda derivada en un punto i , localizado en el segmento i. Este

resultado se simplifica al estimar la medida o valor promedio de la segunda derivada en

todo el intervalo comon

xf

f

n

i

1))((

.

Por lo tanto, la ecuacin 6.8 se escribe como


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fn

abEa

2

3

12

)( (6.9)

El valor promedio de la segunda derivada en todo el intervalo se puede escribir como

ab

xdxff

b

a

)(

Ejemplo 6.4.

[WM] Use la regla del trapecio compuesta con 8n para aproximar

3

1

2 )( xdex x .

Compare la aproximacin con el resultado exacto.

Solucin.

3

1

2 )( xdex x

1a

3b

xexxf 2)(


n

xfxfxf

abxdxf

n

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

10 ax

3bxn

25.08

13

n

abh

Se debe evaluar la funcin desde 1x hasta 3x con un paso de 25.0h . Los resultados

se muestran en la tabla siguiente:

i x xexxf 2)( 0 1.00 0.63212061 1.25 1.27599522 1.50 2.02686983 1.75 2.8887261


22/36



4 2.00 3.86466475 2.25 4.95710086 2.50 6.16791507 2.75 7.49857218 3.00 8.9502129


Figura 6.10. Representacin grfica del empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple con n = 8 para

aproximar la integral de xexxf 2)( de 1x a 3x .

La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la

funcin en los puntos intermedios:

i x xexxf 2)( )(2 xf

0 1.00 0.63212061 1.25 1.2759952 2.55199042 1.50 2.0268698 4.05373973 1.75 2.8887261 5.77745214 2.00 3.8646647 7.72932945 2.25 4.9571008 9.91420166 2.50 6.1679150 12.3358300

7 2.75 7.4985721 14.99714438 3.00 8.9502129Total 57.3596875



23/36



)8(2

9502129.83596875.576321206.0)13()(

3

1

2 xdex x

16

66.9420210

2

3677526.8



3677526.83485742.8

0191784.0

El error de aproximacin es menor que cuando se utiliza la regla del trapecio en un solo

intervalo.

Ejemplo 6.5.

[WM] Use la tabla de abajo para encontrar una aproximacin a 5.1

1.1xdex .

x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5xe 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817

Use la regla del trapecio con 2n y 4n . Compare la aproximacin con el resultado

exacto.

Solucin.

5.1

1.1xdex

1.1a

5.1b

xexf )(


n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

1.10 ax


24/36



5.11 bx

Aplicacin de la regla del trapecio con 2n .

2.02

1.15.1

nabh

Se debe evaluar la funcin desde 1.1x hasta 5.1x con un paso de 2.0h . Los

resultados estn mostrados en la tabla siguiente.

x 1.1 1.3 1.5xe 3.0042 3.6693 4.4817

Obsrvese que se han tomado de la tabla dada en el planteamiento del problema slo los

valores de x espaciados en 0.2 que delimitan 2 intervalos dentro de los lmites de

integracin (1.1 1.5). En caso de no disponerse de la tabla, procederamos como en elejemplo 6.5 puesto que es conocida la funcin que genera los datos de la tabla, xexf )( .



aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .


Utilizando los datos seleccionados:

)2(2

4817.4)6693.3(20042.3)1.15.1(

5.1

1.1

xde

x


25/36



4

14.82454.0

4824500.1



4824500.14775230.1

0049270.0

Aplicacin de la regla del trapecio con 4n .

1.04

1.15.1

n

abh


resultados estn mostrados en la tabla proporcionada.



aproximar la integral de xexf )( de 1.1x a 4.1x .


Utilizando los datos de la tabla proporcionada:

)4(2

4817.4)0552.46693.33201.3(20042.3)1.15.1(

5.1

1.1

xde

x


26/36



8

4.4817(11.0446)23.00424.0

8

29.5751

4.0

4787550.1



4787550.14775230.1

0012320.0

Obsrvese que al aumentar el nmero de segmentos, disminuye el error absoluto de

aproximacin.

Existen infinitas posibilidades en cuanto al nmero de segmentos para determinar el valor

de la integral 5.1

1.1xdex , puesto que se conoce la funcin y no estamos limitados a los datos

proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema. En caso de especificarse

por ejemplo, 5n procederamos como en el ejemplo 6.5 con la funcin xexf )( ,

1.1a , 5.1b y 5n .

Ejemplo 6.6.[BF, WM] Dada la funcinfen los valores tabulados abajo:

x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6)(xf 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675

Aproxime 6.2

8.1)( xdxf usando la regla del trapecio compuesta.

Solucin.

6.2

8.1)( xdxf

8.1a

6.2b

Puesto que los extremos (1.8 2.6) incluyen entre ellos tres puntos, tenemos un total de

cinco puntos. La subdivisin es entonces de cuatro intervalos, por lo cual 4n .


27/36



Adicionalmente observamos que el paso en este caso es 2.0h , pues es la diferencia

constante entre dosxconsecutivos.


n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

8.10 ax

6.2bxn


resultados estn mostrados en la tabla proporcionada.


Utilizando los datos:

)4(2

46675.10)03014.804241.642569.4(212014.3)8.16.2()(

6.2

8.1

xdxf

8

10.46675(18.49824)23.120148.0

8

50.583378.0

058337.5

Para resolver este ejemplo 6.6, se pudieron tomar tambin 2 intervalos con 4.0h y los

puntos que se indican a continuacin:

x 1.8 2.2 2.6)(xf 3.12014 6.04241 10.46675

En cuyo caso el valor de la integral, de acuerdo con la ecuacin 6.7 es:

)2(2

46675.10)04241.6(212014.3)8.16.2()(

6.2

8.1

xdxf

4

25.671718.0

134342.5


28/36



No existe otra posibilidad en cuanto al nmero de segmentos para determinar el valor de la

integral 6.2

8.1)( xdxf , puesto que no se conoce la funcin y estamos limitados a los datos

proporcionados en la tabla dada en el planteamiento del problema.

Como regla general, si se debe utilizar la regla del trapecio de aplicacin mltiple, cuando

se da una tabla de valores sin especificar la funcin a integrar (integrando), el nmero de

segmentos indicados para aproximar b

axdxf )( debera ser un mltiplo del nmero de

segmentos que dividen los datos de la tabla dada en el intervalo ],[ ba , a menos que se

deseen aplicar mtodos de interpolacin como los indicados en el captulo 5, lo cual

representa un trabajo laborioso, ajeno a los objetivos de este manual. Como ejemplo, si

tenemos 11 datos incluyendo los lmites de integracin, stos proporcionan 10 segmentos.

Podramos aplicar el mtodo de los trapecios en 1, 2, 5 y 10 segmentos. Evidentemente, los

lmites de integracin son los mismos, pero el espaciamiento (h) es diferente en cada caso.

Ejemplo 6.7.

Considere 4/

0tan

xdx .

a) Use la regla del trapecio extendida con 4n y 8n para aproximar la integral.

b) Encuentre una cota al error en cada caso de a) y compare las aproximaciones con el valorreal.

c) Determine los valores de n y h necesarios para que la aproximacin tenga 108 de

precisin.

Solucin.

4/

0tan

xdx

0a

4b

xxf tan)(

a) Regla del trapecio extendida con 4n .



29/36



n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

00 ax

7853981634.04 bxn

1963495408.04

04

n

abh

Se debe evaluar la funcin desde 0x hasta 7853981634.0x con un paso de

1963495408.0h . Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

i x xxf tan)(

0 0.0000000000 0.00000000001 0.1963495408 0.19891236742 0.3926990817 0.41421356243 0.5890486225 0.66817863794 0.7853981634 1.0000000000


Figura 6.13. Representacin grfica del empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple con n = 4 paraaproximar la integral de xxf tan)( de 0x a 4/x .


Utilizando los datos de la tabla obtenida:


30/36



)4(2

1)6681786379.04142135624.01989123674.0(20)07853981634.0(tan

4/

0

xdx

8

1)281304568.1(207853981634.0

8

562609136.37853981634.0

3497583340.0

Regla del trapecio extendida con 8n .


n

xfxfxf

abxdxfn

n

i

ib

a 2

)()(2)(

)()(

1

1

0

(6.7)

00 xa

7853981634.04 nxb

20981747704.08

04

n

abh

Se debe evaluar la funcin desde 0x hasta 7853981634.0x con un paso de

20981747704.0h . Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

i x xxf tan)( 0 0.0000000000 0.00000000001 0.0981747704 0.09849140342 0.1963495408 0.19891236743 0.2945243113 0.30334668364 0.3926990817 0.41421356245 0.4908738521 0.5345111360

6 0.5890486225 0.66817863797 0.6872233930 0.82067879088 0.7853981634 1.0000000000



31/36



Figura 6.14. Representacin grfica del empleo de la regla del trapecio de aplicacin mltiple con n = 8 paraaproximar la integral de xxf tan)( de 0x a 4/x .

La tabla anterior se completa con una columna que incorpore el doble del valor de la

funcin en los puntos intermedios:

i x xxf tan)( )(2 xf 0 0.0000000000 0.00000000001 0.0981747704 0.0984914034 0.19698280672 0.1963495408 0.1989123674 0.39782473483 0.2945243113 0.3033466836 0.6066933672

4 0.3926990817 0.4142135624 0.82842712475 0.4908738521 0.5345111360 1.06902227196 0.5890486225 0.6681786379 1.33635727587 0.6872233930 0.8206787908 1.64135758178 0.7853981634 1.0000000000

Total 6.0766651628


Utilizando los datos de la tabla obtenida:

)8(2

1286.076665160)07853981634.0(tan

4/

0

xdx

16

0766651628.77853981634.0

3473749889.0


32/36



Valor exacto de la integral.

4/

0

4/

0)(seclntan

xxdx

)]0[sec(ln)]4/([secln

1ln2ln

3465735903.0



4n 8n

3497583340.03465735903.0 t 3473749889.03465735903.0 t

3101847.3 4100140.8

b) Cota de error.

fn

abEa

2

3

12

)( (6.9).

Siendo xxf tan)( , entonces xxf 2sec)( y xxxf tansec2)( 2

Valor promedio de la segunda derivada.

ab

xdxff

b

a

)(

0

tansec2

4

4/

0

2

xdxx

7853981634.0

1

273239545.1

4n 8n

)273239545.1()4(12

)0(2

3

4

aE )273239545.1()8(12

)0(2

3

4

aE

3102128.3 4100319.8


33/36



c) fn

abEa

2

3

12

)( (6.9)

Al despejar nde la ecuacin anterior.

fE

abn

a

12

)( 3

)273239545.1(1012

)0(8

3

4

25.2267

Se requieren 2268 segmentos como mnimo.

000346295.02268

04

n

abh

000346295.0h

Ejercicios propuestos.

4. [CC] Aproxime las integrales h), i) e j) del problema 1 con la regla del trapecio de

aplicacin mltiple, usando 2n , 4n y 6n .

5. [BF] Use la regla del trapecio extendida con el valor indicado de npara aproximar las

siguientes integrales definidas. Compare las aproximaciones con el resultado exacto.

a) 3

1 x

xd ; 4n b) 2

0

3xdx ; 4n c)

3

0

21 xdxx ; 6n

d) 1

0sen xdx ; 6n e)

2

0sen xdxx ; 8n f)

1

0

2 xdex x ; 8n

g) 2

0

2 2

xdex x ; 8n h)

5.1

0

1)1( xdx ; 10n

6. [CC] Integre la siguiente funcin de manera analtica 3

0

2 xdex x . Despus emplee la

regla del trapecio para integrar numricamente la funcin. Use la versin de aplicacin

mltiple con 4n . Calcule el error relativo porcentual del resultado numrico.

7. [CC] Integre la siguiente funcin

2

1

21

xdx

x mediante la regla del trapecio, con

1n , 2n , 3n y 4n . Calcule los errores relativos porcentuales con respecto al


34/36



valor verdadero 4.8333 para evaluar la exactitud de las aproximaciones de la regla del

trapecio.

8. Use la regla del trapecio extendida con el valor indicado de h para aproximar las

siguientes integrales definidas. Compare las aproximaciones con el resultado exacto.

a) 3

0

21 xdxx ; 5.0h b) 1

0

2 xdex x ; 125.0h

c)

1

0 1xd

x

e x; 05.0h

9. [CC] Evale la integral 5.0

0)( xdxf de los datos tabulados en el problema 2 usando la

regla del trapecio de aplicacin mltiple. Compare resultados.

10. [CC] Evale la integral 11

3)( xdxf de los datos tabulados en el problema 3 usando la

regla del trapecio de aplicacin mltiple. Compare resultados.

11. [BF] Repetir el ejemplo 6.7 para la integral 4/3

2/cot

xdx .

12. [WM] Determine los valores de ny hnecesarios para aproximar

3

1

2 )( xdex x con

106de precisin usando la regla del trapecio compuesta.

13. [BF] Determine los valores de ny hnecesarios para aproximar 3

1sen xdxex con 104

de precisin usando la regla del trapecio compuesta.

14. [BF] Determine los valores de ny hnecesarios para aproximar 10

1ln xdx con 104de

precisin usando la regla del trapecio compuesta.

15. [CC] Integre la siguiente funcin

1

0

)1(201.0 ]1[)2.1( xdexx x . Observe que el valor

verdadero es 0.602297. Evale esta integral con la regla del trapecio de segmento mltiple.

Use una n lo suficientemente grande para que tenga usted 4 cifras significativas de

exactitud. Analice sus resultados.


35/36



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

6.3.- LA REGLA DEL TRAPECIO.La regla del trapecio de aplicacin simple.

Integral Valor aproximado Valor exacto Error Cota del error.a) 0.3465736 0.3862944 0.0397208 0.0833333b) 0.0232079 0.0348119 0.0116040 0.0008596c) 0.3926991 0.3070924 0.0856067 0.1913968d) 0.3991430 0.4037596 0.0046166 0.0113432e) 0.3926991 0.3465736 0.0461255 0.1614910f) 0.3926991 0.3465736 0.0461255 0.1614910g) 1.0500000 0.9162907 0.1337093 0.5625000h) 1.4253194 2.0497871 0.6244677 2.2500000i) 2736.000000 576.000000 2160.000000 22896.000000j) 15.7079632 16.5663706 0.8584073 1.2919283

k) 113.0000000 41.3581698 71.6418302 550.0151918l) 15.7079632 21.7079632 6.0000000 7.7515692

2. 0.7500000.3.14.0000000La regla del trapecio de aplicacin mltiple.4.

Integral 2n 4n 6n h) 1.8779645 2.0056580 2.0300730i) 1359.0000000 786.9375000 671.0000000j) 16.3586084 16.5148339 16.5434982

5.Integral Valor aproximado Valor exacto

a) 1.1166667 1.0986123b) 4.2500000 4.0000000c) 10.3122012 10.2075922d) 0.6220085 0.6366198e) 5.95683320 6.2831854f) 0.7288902 0.7182818g) 0.4215820 0.4227251h) 0.9178617 0.9162907

6. Valor exacto: 5359919.50441645 e , Valor aproximado: 630.8784809. Error relativo:25.0413%7. Valor exacto: 8333333.4

629

1n : Valor aproximado: 5.1250000; Error: 6.0345%2n : Valor aproximado: 4.9097222; Error: 1.5804%3n : Valor aproximado: 4.8676852; Error: 0.7107%


36/36


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4n : Valor aproximado: 4.8527438; Error: 0.4016%8.

Integral n Valor aproximado Valor exactoa) 6 10.3122012 10.207593

b) 8 0.7288902 0.7182818c) 20 0.5388953 0.5386506

9. 2.050000010. 0.0000000.11. Valor exacto:0.3465736a) 4n : 0.3497583, 8n : 0.3473750; b) 3102128.3 tE ,

4100319.8 tE ; c)

2268n .12. 1108n , 001805054.0h .13. 264n , 001805054.0h .14. 247n , 60364372469.0h .

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La Regla Del Trapecio