ReglesdederivacióApartirdelesfuncionsqueanomenemelementalspodemconstruir‐ned’altrespelssegüentsprocediments:

• suma(incloularestacomasumadelafuncióoposada)• producte(inclouelproducteperunafuncióconstant)• reciproca• quocient• composició• atrossos• inversa

Per derivar una funció ens caldrà aplicar les regles per a cadascuna d’aquestesoperacions:

1. suma: f '(x) + g'(x)

2. producte: f '(x) ⋅g(x) + f(x) ⋅g'(x)

3. reciproca: −

f '(x)f 2(x)

(recordeuque:f2(x)=[f(x)]2)

4. quocient:

f '(x) ⋅g(x) − f(x) ⋅g'(x)g2(x)

5. composició: f '(g(h(x))) ⋅g'(h(x)) ⋅h'(x) (en el cas de tres funcionscomposades)

6. atrossos:calderivarcadaunadelesfuncionsdeladefinició7. inversa: cal canviar la x per la y i la y per la x, derivar l’expressió

resultantiaïllarlay.Avegadeshauremd’aplicarvàriesreglesperaunamateixafunció.Veuremcomespotferambdiferentsexemples.

f(x) = sin4 ln x2 + 5( )⎡

⎣⎤⎦

Hemassignatun colorpera cadaunade les funcionsquehemcomposat. Faremuna taula amb aquestes funcions, segons l’ordre en que apareixen, i les sevesderivades:

x4 4x3

sin(x) cos(x)

ln(x) 1x

x2+5 2x

Observeu quina és la primera funció! Una potència també és una funció. Perderivarhofaremfuncióafunció,“despullant”acadapaslafuncióoriginal:

4sin3 ln(x2 + 5)⎡⎣ ⎤⎦

ensqueda: sin ln x2 + 5( )⎡

⎣⎤⎦

cos ln(x2 + 5)⎡⎣ ⎤⎦

ensqueda:

ln x2 + 5( )⎡⎣

⎤⎦

1

x2 + 5

ensqueda: x2 + 5( ) 2x

iladerivadaéselproducted’aquestesexpressionssegonslaregladelacadena:

4sin3 ln(x2 + 5)⎡⎣ ⎤⎦ · cos ln(x2 + 5)⎡⎣ ⎤⎦ ·

1x2 + 5

· 2x

Proveud’introduiralaWirislessegüentsexpressions:f(x)=x4

g(x)=sin(x)h(x)=ln(x)

i(x)=x2+5

F(x)=f(g(h(i(x))))F’(x)

i premeu el signe =. La única sorpresa és que el exponent 4 apareix al final del’expressiódelafuncióFinoasobredelsinuscomesfahabitualment.

Veiemunsegonexemple:

f(x) = sin x −1

x

En aquest cas tenim la composició de dos funcions amb un quocient. Aquí escombinendiferentsoperacionsicaltenir‐hoencompte.Lataulaamblesfuncionsilessevesderivadesés:

sin(x) cos(x)

x = x12

12

x12−1=

12

x−

12 =

12 x

x −1

x

1⋅ x − (x −1) ⋅1

x2 =1x2

Arajapodemaplicarlaregladelacadena:

cos x −1

x

1

2 x +1x

1x2

iladerivadaés:

cos x −1

x·

1

2 x +1x

· 1x2

Aquestaexpressióespotsimplificarperòdemomentladeixaremaixí.Proveudefer‐hoamblaWiris.

Unúltimexemple:

f(x) = sin2 x

(x + 2)3

Ara no podem aplicar directament la regla de la cadena perquè abans tenim elquocientdeduesfuncions:

g(x)=sin2x

h(x)=(x+2)3Hemd’aplicarprimer la fórmulade laderivadad’unquocient iquanderivemlesfuncionsaplicarlaregladelacadena.Tenimque:

f '(x) = g'(x) ⋅h(x) − g(x) ⋅h'(x)

h2(x)

Pertanthemdecalcularlesderivadesdelesfuncionsgih:

lafunciógéslacomposiciódelafunciópotència(“elevaralquadrat”)ilafunciósinus: g(x) = sin2(x) .Lasevaderivadaésdoncs: g '(x) = 2 ⋅sin(x) ⋅cos(x) .

lafuncióhéslacomposiciódelafunciópotència(“elevaralcub”)iunpolinomi(sumadefuncions): h(x) = (x + 2)3 Lasevaderivadaésdoncs: h '(x) = 3 ⋅ (x + 2) ⋅1= 3(x + 2)

Arajanomésensquedasubstituiraquestesexpressionsaladerivadadelquocient:

f '(x) = 2sin(x)cos(x) ⋅ (x + 2)3 − sin2(x) ⋅3(x + 2)(x + 2)6

= sin(2x) ⋅ (x + 2)2 − 3 ⋅sin2(x)(x + 2)5