Regresja segmentami i wygładzające funkcje sklejane

qqqq

nn

xxf

xxf

xxf

xf

xfy

xfy

xfy

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

21222

1111

22

11

p

p

p

αp

αp

αp

αp

Na ogół nie znamy nie tylko parametrów p ale i sposobu podziału zakresu zmiennej objaśniającej na przedziały o granicach 1, 2, …, q.

Zależność między czasem od siewu a logarytmem liczby liścieni Lerman, Appl. Math. Stat., 29, 77-84 (1980)

Zależność między odwrotnością metabolizowanej energii a pobieraniem pokarmu u zwierząt kopytnych (Lerman, Appl.

Math. Stat., 29, 77-84 (1980)

Dane symulowane Lerman, Appl. Math. Stat., 29, 77-84 (1980)

Prowadzenie linii regresji

q

iiKi

K

Kjiijj i

i

i

xxfy1

12

1

,, αp

Dla wszystkich możliwych podziałów zakresu x na przedziały liczymy . Wybieramy taki podział, przy którym jest najmniejsze.

Przypadek regresji liniowej dwufazowej

pnp

xxx

nixxbxa

ixxbxay

TT

TT

iii

iiii

iiiii

22

1

222

11

1

111

2222

1111

21

222212122

121211111

ˆ

ˆ

1,

,,2,1

,,2,1

yXXXβ

yXXXβ

εβXy

εβXy

Odchylenia standardowe parametrów równań prostych obliczamy (a co za tym idzie określamy przedziały ufności tych parametrów) jak dla regresji liniowej. Natomiast żeby określić przeprowadzamy test F porównując sumę kwadratów odchyleń otrzymanych z regresji pojedynczej z sumami otrzymanymi z poszczególnych segmentów.

2222221

22221122

1111111

22121111

1

22211

max

2121

21

0

max

21

2

:

βXyβXy

βXyβXy

XβyXβy

εXβy

T

iiii

T

iiii

Tn

iiii

pnp

xxyS

xxyS

xxyS

FF

p

pn

SS

S

pnSS

pSSSF

H

F określa poziom istotności hipotezy H0 dla n-2p i p stopni swobody.

n

rij

rijij

ijij

jjij

jjiji

xn

i

nzzE

nipr

ix

iz

zxy

1

222

111

11

1

0

εδβXy

εβXy Ocena istotności regresji segmentowej jest teraz równoważna określeniu poziomu istotności hipotezy H0: =0 pod warunkiem, że znamy . W teście Farleya przyjmujemy, że =n/2.

Jeżeli nie chcemy nic zakładać o to uśredniamy z-y po wszystkich możliwych wartościach (test Farleya-Hinnicha).

W obu wypadkach używamy testu F porównując model z =0 i które wyszło z minimalizacji sumy kwadratów odchyleń.

Lerman, Appl. Math. Stat., 29, 77-84 (1980)

Lerman, Appl. Math. Stat., 29, 77-84 (1980)

Lerman, Appl. Math. Stat., 29, 77-84 (1980)

„Uciąglanie” problemu

zz

zz

ee

eezz

xxxy

xxx

xxy

xx

xxy

tanhtrn

trn

sgn

210

210

210

2021

1011

Warunki dla funkcji trn:

00sgn0trn)(

sgn/trn)(

0trn)(

lim

lim

iii

zzii

zzziz

Sformułowanie min-max problemu regresji dwufazowej

xxy 21201110 ,max

Tishler & Zang, Appl. Stat. 30, 116-124 (1981)

Dopasowywanie funkcjami sklejanymi (fitting splines)

Wecker & Ansley,J. Am. Stat. Assoc., 78, 81-89 (1983)

nixSxS

nixSxS

nixSxS

niyxS

iiii

iiii

iiii

iii

,...,1,0),()(

,...,1,0),()(

,...,1,0),()(

,...,1,0,)(

''1

''

'1

'

1

Ogólna postać funkcji sklejanych stopnia trzeciego

1,...,1,0],,[

)()()()()(

1

32

nixxx

xxdxxcxxbaxSxS

ii

iiiiiiii