Regulator i

8. OCJENA KVALITETA PONAANJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA I KRITERIJI ZA SINTEZU

[15, 31, 54, 66, 69, 70, 71, 77, 83, 84]

Pri projektovanju sistema automatskog upravljanja moraju se analizirati odreeni uslovi rada, te pokuati zadovoljiti prema sljedeem redosljedu: stabilan rad sistema se mora obezbijediti; dobro ponaanje odziva-stanja sistema u stacionarnom reimu, koji nastupa dovoljno dugo vremena nakon poetnog trenutka dejstva ulaznog signala ili poremeaja; kvalitetan prelazni reim sistema; i brz odziv.

Ovim redosljedom se vri analiza i sinteza sistema, jer nema smisla govoriti o odzivu sistema u stacionarnom reimu ako posmatrani sistem nije stabilan (kod nestabilnih sistema stacionarni reim po prirodi je razliit od eljenog). Takoe se ne moe govoriti o kvalitetu prelaznog reima ako nisu ispunjeni uslovi za rad sistema u stacionarnom reimu rada.

Tehnika projektovanja sistema automatskog upravljanja se svodi na zadovoljavanje jednog ili vie kriterija, koji u praksi mogu biti zasnovani na:

- ocjeni tanosti i odstupanju objekta upravljanja od zadanog i/ili poeljnog stanja, na ta ukazuje regulaciona greka. Poznato je, da je greka neminovna u toku prelaznog reima, ali se esto pojavljuje i poslije prelaska objekta upravljanja u novo stacionarno stanje, kada se govori o statikoj greki.Takoe se moe govoriti i o komponentama dinamike greke, od kojih svoju fizikalnost imaju greke koje su posljedica promjena brzine i ubrzanja zadane vrijednosti;

- procjeni priguenja objekta upravljanja, to u biti predstavlja procjenu odstojanja objekta upravljanja od granice stabilnosti; i

- istovremenom ocjenjivanju vie pokazatelja o ponaanju objekta upravljanja, to omoguavaju kompleksni ili integralni kriteriji.

Svi navedeni kriteriji se baziraju na predpostavci o poznavanju dinamike objekta upravljanja, kao i potrebnom zadovoljenju zadanog i definisanog pokazatelja kvaliteta upravljanja. To znai da se moraju imati odreene informacije o objektu upravljanja na osnovu kojih e se izvesti projektovanje sistema automatskog upravljanja. U zavisnosti od toga koje se informacije o objektu poznaju, projektovanje se moe izvesti na osnovu:

- poznate prenosne funkcije )s(Q/)s(P)s(G nm= , odnosno same karakteristine jednaine 0)s(Qn = ;

- poznate amplitudno fazne karakteristike ili poznatih Bodeovih dijagrama; i - analize dijagrama vremenskog odziva na poznati pobudni signal, kao to su

odskoni, impulsni i/ili prostoperiodini odziv.

Prije svega, zgodno je razmotriti osnovnu i najee susretanu strukturnu emu rada sistema upravljanja. U direktnoj grani se ima serijska veza bloka regulatora i bloka objekta

8. Ocjena kvaliteta ponaanja SAU i kriteriji za sintezu

268

upravljanja u irem smislu, a zatvoreni su jedininom negativnom povratnom spregom, slika 8.1.

Na slici 8.1 je: )s(U kompleksni lik zadane vrijednosti signala na ulazu )t(u ; )s(Gr prenosna funkcija regulatora; )s(Go prenosna funkcija objekta u irem smislu, to u praksi predstavlja serijsku vezu prenosnih funkcija izvrnog organa, samog objekta upravljanja i transmitera; )s(X kompleksni lik upravljanog signala koji je mjerni ekvivalenat upravljane veliine )t(x ; )s(E kompleksni lik signala greke )t(e ili regulacionog odstupanja koje treba uiniti to manjim. Sa slike je oigledno:

)t(x)t(u)t(e = (8.1)

Slika 8.1. Strukturna ema rada sistema upravljanja

Idealno bi bilo da se uspije zadovoljiti uslov da je 0)t(e , t , to je teko ispuniti jer svaki elemenat u strukturi upravljanja ima inerciju. Zadani signal )t(u se jo naziva referentnim signalom. Sistemi automatskog upravljanja (SAU) se mogu, prema namjeni, podijeliti na odreene skupine.

1. Sisteme stabilizacije. Ovi sistemi imaju .konst)t(u = , a osnovni zadatak im je da izlaznu veliinu odravaju konstantnom. Tako je za analizu, bez umanjenja optosti, mogue traeni konstantni nivo smatrati nultim i usvojiti da je 0)t(u . Zato se moe predpostaviti da se ima struktura sistema kao na slici 8.2.

Slika 8.2. Pojednostavljena struktura upravljanja

G (s)U(s) +

_

X(s)G (s)or

E(s)Zadanisignal Regulator Objekat u

irem smislu

Spoljni ili unutranjiizvor smetnji (uticaja)

G(s)U(s) +

_

X(s)E(s)

Linearni sistemi automatskog upravljanja

269

Na slici 8.2 prenosnu funkciju otvorenog sistema )s(G ini serijska veza regulatora i objekta upravljanja u irem smislu, pa je odreena proizvodom ovih prenosnih funkcija, tj.

)s(G)s(G)s(G or= . Sa slike 8.2 se vidi da je:

)s(U)s(G1)s(G)s(X

+= (8.2)

Dalje je:

)s(U)s(G11)s(U)s(G1

)s(G)s(U)s(X)s(U)s(E+

=

+== (8.3)

Za svaki sistem upravljanja u praksi se mora obezbijediti uslov stabilnosti, tj. da sistem nakon poetne perturbacije pree u novo stacionarno stanje. Zato se na relaciju (8.3) mora moi primjeniti osobina Laplaceove transformacije o izraunavanju krajnje vrijednosti, ijom se primjenom dobija da je:

[ ]0s0stt )s(G1

)s(sU)s(sElim)t(x)t(ulim)t(elim)(e

+==== (8.4)

gdje je )(e greka u novom stacionarnom stanju ili statika greka, koja zavisi od prenosne funkcije sistema u otvorenom, a koja se moe predstaviti u obliku razlomljene racionalne funkcije:

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0

n

m

asasasa

bsbsbsb)s(Q)s(P)s(G

++++

++++==

L

L (8.5)

a poto je u praksi mn > , to je:

pn

m

0s0sK

a

b)s(Glim)s(G ===

(8.6)

gdje je pK koeficijent pojaanja ili konstanta poloaja. U sluaju da se u povratnoj grani na slici 8.2 ima blok )s(H , blok struktura bi izgledala kao na slici 8.3. U ovom sluaju relacija (8.3) bi imala oblik:

)s(U)s(H)s(G11)s(E

+= (8.7)

dok bi relacija (8.4) imala oblik:


270

[ ]0s0stt )s(H)s(G1

)s(sU)s(sElim)t(x)t(ulim)t(elim)(e

+==== (8.8)

odakle se zakljuuje da bi se na isti nain odreivala tanost ponaanja sistema u novom stacionarnom stanju.

Slika 8.3. Blok struktura sistema upravljanja kada se u direktnoj grani nalazi blok G(s) a u grani povratne sprege blok H(s)

2. Sistemi pozicionog upravljanja. Kod ovih sistema pobuda )t(u je konstantna u pojedinim intervalima vremena, tj. )t(u se mijenja prema zakonu odskone funkcije i ima konstantnu amplitudu u pojedinim intervalima vremena t , to se moe prikazati kao na slici 8.4.

Slika 8.4. Izgled pobudnog signala kod sistema pozicionog upravljanja

Izlaz sistema treba da prati ulaz, ali zbog inercije sistemu je potrebno neko vrijeme da bi se zauzelo novo stanje. Tipini primjeri ovih sistema su servomotori kao npr. promjena poloaja osovine. Ovi sistemi imaju svoju konstantu poloaja. Neka je, po predpostavci, ulazna funkcija u obliku odskone funkcije amplitude 0r . Ako se jedinina odskona funkcija oznai kao )t(h , tada se u pojedinim vremenskim intervalima moe pisati da je:

s

r)s(U)t(hr)t(u 00 == (8.9)

U(s) E(s)

Y(s)

G(s)

H(s)

X(s)_

0

t

u(t)


271

pa se na osnovu (8.4) dobija da je greka u novom stacionarnom stanju:

( )p

0

0s

0

K1r

)s(G1s/rs)(e

+=

+=

(8.10)

gdje je )s(GlimK0sp

= konstanta poloaja. Ako sistem nema astatizma tada je 0r = , pa je 0)(e ali konano, razmatrani sistem je statiki, odnosno javlja se konana statika

greka. Grafik pobudnog signala i odziva sistema s jasno naznaenim prelaznim reimom i stacionarnim stanjem, je prikazan na slici 8.5. Statika greka je oznaena kao )(e i predstavlja razliku izmeu pobude i odziva sistema u novom stacionarnom stanju. Sa slike 8.5 se vidi da je ovo primjer kod kojeg statika greka nije eliminisana, tj. 0)(e .

Slika 8.5. Prikaz prelaznog reima i stacionarnog stanja

3. Sistemi upravljanja po brzini (brzinski servosistemi). Ovi sistemi imaju zadatak da upravljaju npr. brzinom vrtnje motora. Upravljajui brzinom, oni zadravaju poziciju koja se mijenja u segmentima vremena po nekom linearnom zakonu. Ako se predpostavi da je ulazna funkcija u obliku nagibne funkcije ili "rampe", pri emu je

)t(h jedinina odskona funkcija:

)t(htv)t(u 0 = , .constv0 = (8.11)

tada je kompleksni lik ulaza:

20 s/v)s(U = (8.12)

pa je stacionarna greka:

( )v

0

0s

20

Kv

)s(G1s/vs)(e =

+=

(8.13)

u(t)x(t)

PRELAZNIREIM

u(t)

x(t)u(t)= r h(t)0

t

STACIONARNOSTANJE

e( )


272

gdje je:

)s(sGlimK0sv

= (8.14)

i naziva se konstanta pojaanja po brzini ili brzinska konstanta sistema. Ako je ulazna funkcija rampa, tada (8.13) daje konanu vrijednost samo za sisteme )s(G koji imaju astatizam prvog reda, odnosno kada je 1r = , tj.:

)s(sQ)s(P

K)s(G1n

m

= (8.15)

Za sluaj da sistem )s(G nema astatizma, tj. kada je 0r = , greka bi bila beskonano velika, dok u sluaju da je 1r > greka bi bila 0)(e = , ali u oba ova sluaja nije mogue postii eljeni kvalitet upravljanja. Sluaj kada je 1r = prikazan je na slici 8.6.

Slika 8.6. Grafik ulaza i izlaza brzinskog servomehanizma kada u direktnoj grani imamo astatizam prvog reda

Neka sada, prema predpostavci, na ulazu sistema koji je prikazan na slici 8.2 djeluje funkcija koja se mijenja po zakonu:

)t(hta21)t(u 20 = (8.16)

pri emu je h(t) jedinina odskona funkcija. U ovom sluaju se moe definisati konstanta pojaanja po ubrzanju, ako je .consta0 = . Sada je kompleksni lik ulaza:

30 s/a)s(U = (8.17)

pa se statika greka )(e moe odrediti kao:

tSTACIONARNIREIM

u(t)x(t)

x(t)u(t)

=

v th(t)

e( ) = vvKo

o


273

( )a

0

0s

30

Ka

)s(G1s/as)(e =

+=

(8.18)

gdje je:

)s(GslimK 20sa

= (8.19)

i naziva se konstanta pojaanja po ubrzanju sistema. Ona e imati konstantnu vrijednost samo u sluaju kada sistem u direktnoj grani ima astatizam drugog reda, tj. za 2r = . Ako je red astatizma 2r < ova komponenta greke bi bila beskonano velika, dok u sluaju da je red astatizma 2r > ova komponenta greke bi bila ravna nuli.

4. Sistemi programskog upravljanja. Kod ovih sistema )t(u je unaprijed zadana programirana funkcija.

8.1. Komponente greke koje su posljedica promjene ulaza i dejstva smetnje

U prvu grupu greaka koje karakteriu )t(e spadaju greke u stacionarnom stanju, a nastaju kao promjena )t(u ili kao posljedica djelovanja jednokratne smetnje. Ako u sistemu automatskog upravljanja dejstvuje neka smetnja )s(Fk , to se vidi na slici 8.7a, tada je istu poeljno preslikati na izlaz, slika 8.7b, ili na ulaz, slika 8.7c.

Tako je na osnovu slike 8.7 mogue dobiti dvije ekvivalentne eme, na kojima su smetnje koje djeluju na objekat u irem smislu preslikane na izlaz, slika 8.8a, ili na ulaz, slika 8.8b. U obadvije eme na slici 8.8 je:

)s(G)s(G)s(G or= (8.20)

Za emu sa slike 8.8a se moe odrediti E(s) i na nju primjeniti osobina Laplaceove transformacije za izraunavanje konane vrijednosti. Poto se radi o klasi linearnih sistema, tada e vrijediti princip superpozicije. Tako je prvo mogue predpostaviti da na sistem ne djeluju smetnje, tj. da je:

0)t(f i ; i=1,2,,n (8.21)

i odrediti prvu komponentu greke )s(E1 koju je prouzrokovala promjena )s(U . Sada je:

)s(E)s(G)s(X 1=


274

)s(E)s(G)s(U)s(X)s(U)s(E 11 == (8.22)

a)

b) c)

Slika 8.7. Dejstvo smetnje na sistem (a) i njeno preslikavanje na izlaz (b) i/ili na ulaz (c)

Iz (8.22) se dobija da je promjena )s(E , usljed promjene )s(U pri 0)t(f i , ravna:

)s(U)s(G11)s(E1 += (8.23)

a)

G (s)

F (s)k+

++G (s)k-1 k

PRESLIKAVANJE NA IZLAZ

G (s)

+++

G (s)k-1

k

k

F (s)k

G (s)+

++

G (s)k-11

PRESLIKAVANJE NA ULAZ

F (s)k

G (s)k-1 kG (s)

F (s)1

+++

F (s)2

+++

F (s)n

+++

....

X(s)U(s)G(s)

G (s) F1 G (s) F G (s) F2 n....

_


275

b)

Slika 8.8. Preslikavanje smetnji koje djeluju na objekat upravljanja u irem smislu na izlaz (a) i/ili na ulaz (b)

U drugom sluaju se predpostavlja da je 0)s(U = , a potom odredi komponenta greke )s(E2 koja je posljedica dejstva smetnji na sistem. Sada je:

+== =

)s(F)s(G)s(E)s(G)s(X)s(E in

iFi

122

[ ] =

=+n

iiF )s(F)s(G)s(G)s(E i

12 1 (8.24)

pa je komponenta greke )s(E2 , koja je posljedica dejstva smetnji na sistem, ravna:

)s(G

)s(F)s(G)s(E

i

n

iFi

+=

=

11

2 (8.25)

Po principu superpozicije, ukupna greka E(s) je ravna:

)s(E)s(E)s(E 21 += (8.26)

Neka se, prema predpostavci, ima specijalan sluaj kada nema dejstva smetnji na sistem. Neka je do trenutka 0t = , kada se poinje posmatrati sistem, bilo i 0)t(e = i neka je u tom trenutku dolo do promjene zadane-referentne vrijednosti )t(u . Sada se posmatra ta se deava nakon vremena potrebnog da se uspostavi stacionarno stanje, tj. nakon prelaznog procesa. Neka je dejstvo na sistem u obliku odskone funkcije:

+++

+++

+++

.... G(s)

F (s)1 F (s)2 F (s)n

G (s) F1 G (s) F G (s) F2 n

U(s) X(s)

....

_


276

{ }s

r)t(hrL)s(U)t(hr)t(u 000 === (8.27)

gdje je )t(h jedinina odskona funkcija:

=

+=

00000

0 r,

r,

)s(KP)s(Qs)s(Qsr

limmrn

r

rnr

s (8.32)

Ako se uvede oznaka:

)s(Qs)s(KPlim)s(GlimK

rnr

m

0s0sp

== (8.33)

tada je:


277

p

0

0s

000s1t K1

r

)s(Glim1r

)s(G1r

lim)t(elim+

=

+=

+=

(8.34)

Vidi se da u sluaju kada analizirani sistem posjeduje astatizam, 0r , i npr. ako se ima astatizam bar prvog reda tada je =pK , pa je greka poslije zavretka prelaznog procesa ravna nuli:

0)t(elim 1t

=

(8.35)

i nema greke u stacionarnom stanju, tj. statika greka je nulta. Za sluaj kada je 0r = , koeficijent pK ima neku konanu vrijednost i naziva se koeficijent pojaanja sistema. Poto je ( )p01

tK1/r)t(elim +=

, to slijedi da se statika greka moe smanjiti poveanjem

pojaanja regulatora. Meutim, ovo pojaanje se ne moe poveevati u beskonanost, kada bi se u potpunosti eliminisala greka u novom stacionarnom stanju, ali se moda moe svesti u tehnologijom dozvoljene granice odstupanja oko zadane vrijednosti. Druga mogunost uticaja, pa i potpunog eliminisanja statike greke, je preko astatizma sistema. Kako objekti obino ne posjeduju astatizam, to je neophodno u regulator koji je opisan prenosnom funkcijom )s(Gr , uvesti astatizam bar prvog reda, tj. potrebno je koristiti npr. PI regulator.

Jo je potrebno posmatrati uticaj promjena smetnje, npr. po zakonu odskone funkcije, tj.:

s

1f)s(F 0kk = (8.36)

gdje je 0kf amplituda tih promjena.

U ovom sluaju prenosna funkcija u odnosu na greku mora imati astatizam bar prvog reda da se nebi unosila trajna statika greka. Ako se pogleda sliku 8.9, tada smetnja )s(F2 nee reprodukovati trajnu statiku greku, dok e smetnja )s(F1 proizvoditi trajnu statiku greku ako sistem, koji je opisan prenosnom funkcijom )s(G , ne posjeduje astatizam.

Slika 8.9. Dejstvo smetnji na sistem u obliku odskone funkcije i njihov uticaj na statiku greku

G (s)1sU(s) +

_

F (s)1 F (s)2

X(s)++ ++


278

Neka se sada ima brzinski servomehanizam za koji je:

)t(htv)t(u 0= (8.37)

Ako je .constv0 = , t tekue vrijeme, a )t(h jedinina odskona funkcija, tada je 2

0 s/v)s(U = , to bi komponenta greke koja je posljedica eventualnih promjena brzine bila:

( ))s(G1sv)s(E 2

01

+= (8.38)

pa bi statika greka, razlika izmeu zadane i stvarne vrijednosti poslije zavretka prelaznog procesa, bila:

=

+==

)s(G1v

s

1lim)s(sElim)t(elim 00s10s1t

v

000s

00s K

v

)s(sGvlim)s(sGs

vlim ==+

=

(8.39)

Da bi ova granina vrijednost bila ravna nuli potrebno je da )s(G ima astatizam bar drugog reda. U posljednjoj relaciji je:

)s(sGlimK0sv

= (8.40)

i naziva se konstanta pojaanja po brzini. Za konane vrijednosti vK stvarna vrijednost e biti razliita od zadane. Za sluaj da je 0K v = , G(s) nema astatizma, tj. 0=r , greka e teiti u beskonanost. Za prenosne funkcije koje imaju astatizam prvog reda )t(elim 1

t e

imati konanu vrijednost, koja je razliita od nule, odnosno, )t(x e pratiti )t(u sa konanim odstupanjem. Tada se javlja konstantna brzinska greka. Ova greka se moe smanjiti poveavanjem koeficijenta pojaanja, ali samo do odreene rezerve stabilnosti (koeficijent pojaanja pripada klasi realnih i fiziki ostvarivih sistema i ne moe se poveavati u beskonanost). Dejstvo, odziv i pojava greke kod brzinskog servomehanizma je prikazana na slici 8.10.

Takoe je mogue posmatrati i greku koja nastaje usljed promjene ubrzanja referentnog signala. Neka je, prema predpostavci, dat referentni signal:

)t(hta21)t(u 20= (8.41)

gdje je .konsta0 = , t je tekue vrijeme, a )t(h jedinina odskona funkcija. Sada je:


279

30

s

a)s(U = (8.42)

Slika 8.10. Dejstvo, odziv i greka kod brzinskog servomehanizma

Tako se dobija da je:

)s(Gssa)s(sE 22

01

+= (8.43)

Iz relacije (8.43) slijedi da je:

a

02

00s22

00s10s1t K

a

)s(Gsalim

)s(Gssalim)s(sElim)t(elim ==

+==

(8.44)

pri emu je:

)s(GslimK 20sa

= (8.45)

Kada je =aK komponenta greke tei nuli, ali u ovome sluaju )s(G mora imati astatizam bar treeg reda r=3. Za sluaj kada je RK a \ { }0 statika greka nije ravna nuli ali ima konanu vrijednost. U ovom sluaju )s(G mora imati astatizam drugog reda. Za sluaj da je 0K a = greka divergira. Ove mogunosti su prikazane na slici 8.11.

Neka se sada posmatra opti sluaj kada je )t(u proizvoljna funkcija koja pripada klasi funkcija tipa poetnih uslova i iji je kompleksni lik )s(U . Ve je odreena greka koja potie od promjena ulaznog signala:

u(t)x(t)

t

u(t)

x(t)

e(t)


280

)s(U)s(G11)s(E

+= (8.46)

Slika 8.11. Dejstvo, odziv i greka koja je posljedica promjene ubrzanja referentnog signala

Statika greka moe biti odreena primjenom osobine Laplaceove transformacije o konanoj vrijednosti:

)t(elim)s(sElim)(et0s

== (8.47)

Poznato je da stacionarna greka zavisi od spoljanjeg dejstva, strukture samog sistema i parametara sistema. U sluaju da je ulazna funkcija )t(u diferencijabilna u intervalu


281

0s0 )s(G1

1C=

+= ;

0s1 )s(G1

1s

C=

+

= ;

0s2

2

2 )s(G11

sC

=

+

= ;...; 0s

m

m

m )s(G11

sC

=

+

= ;... (8.51)

Generalisani koeficijent 0C se naziva koeficijent statike greke, generalisani koeficijent 1C se naziva koeficijent greke po brzini, a generalisani koeficijent 2C se naziva

koeficijent greke po ubrzanju. Reciprone vrijednosti generalisanih koeficijenata 1C i 2C se zovu koeficijenti dobrote po brzini i po ubrzanju, respektivno. Sada se mogu odrediti komponente greke:

)t(uCe 00 = ; dt)t(duCe 1v = ; 2

2

2a dt)t(udCe = ;...;

m

m

mm dt)t(udCe = ;... (8.52)

pri emu je 0e statika greka, ve greka po brzini, a ae greka po ubrzanju.

8.2. Procjena kvaliteta upravljanja na osnovu vremenskog toka upravljane veliine

U praksi se esto puta pojavljuju problemi zbog nepoznavanja prenosne funkcije u otvorenom )s(G , ili prenosne funkcije zatvorenog sistema ))s(G1/()s(G)s(W += , ili karakteristine jednaine 0)s(Qn = , ili amplitudno fazne karakteristike )j(G ili Bodeovih dijagrama. U ovakvim sluajevima je najjednostavnije snimiti odziv sistema )t(x na odskonu funkciju )t(u . Tipini odziv sistema je prikazan na slici 8.12.

Slika 8.12. Odziv sistema na odskonu funkciju

u(t)x(t)

t

u(t)

x(t)

t1ts

x( )

x1max

2


282

Analizom dijagrama sa slike 8.12 se dobija itavi niz korisnih pokazatelja o kvalitetu upravljanja procesom. Dijagrami odziva sistema mogu biti i drugaiji, pa su navedeni neki karakteristini primjeri prelaznih procesa koji se esto pojavljuju u praksi. Neka se ima struktura upravljanja kao na slici 8.13, tada su tipini odzivi na jedininu odskonu funkciju

)t(h prikazani na slici 8.14.

Slika 8.13. Blok struktura sistema upravljanja u praksi

a) b)

c) d)

Slika 8.14. Tipini odzivi sistema upravljanja na jedininu odskonu funkciju: jedinina odskona funkcija (a), odziv aperiodskog bloka prvog reda (b),

lo kvazioscilatorni odziv (c) i dobar odziv sa malim prvim preskokom (d)

Detaljan prikaz kvazioscilatornog odziva prikazan je na slici 8.15, gdje su kotirani neki od interesantnih parametara i dat grafiki nain njihovog odreivanja. Na slici 8.15 je: ut vrijeme uspona, kt vrijeme kanjenja, st vrijeme smirivanja prelaznog procesa, pT kvazi

u(t) = h(t) +_

G (s)x(t)

u(t)

t

x(t) APERIODSKIODZIV

u(t) = h(t)

h(t)

t

ULAZ

1

x(t)

x(t)DOBAR ODZIV

t

x(t)

x(t)LO ODZIV

t


283

period, dT dominantno vrijeme ili vremenska konstanta eksponencijalne ovojnice signala na izlazu, )(x novo stacionarno stanje, )(xx max1 vrijednost prvog preskoka preko novog stacionarnog stanja i )(xx min2 vrijednost prvog preskoka ispod novog stacionarnog stanja.

Dijagram sa slike 8.15 je za praksu od posebne vanosti. Da bi se ovakav dijagram mogao snimiti u praksi to sistem upravljanja mora, prije svega, biti stabilan i mora imati odreenu rezervu stabilnosti. Za praksu je bitno da odziv, a time i tipina vremena odziva budu unutar nekih propisanih ili tehnologijom zahtijevanih granica. Prije svega, da se oko novog stacionarnog stanja javljaju oscilacije ije su amplitude priguene po envelopi koja je definisana dominantnim vremenom dT i konstantnim kvaziperiodom oscilovanja pT . Broj tih oscilacija je najee jedna do dvije, a jako rijetko smiju biti tri ili etiri. Brzina reagovanja sistema se priblino procjenjuje na osnovu vremena smirenja st , a to je vrijeme koje protekne od trenutka kada je poremeaj djelovao na sistem do trenutka kada su se kvazioscilacije smirile unutar zone 2 , tj. do trenutka kada je zadovoljena relacija:

)(x)(x)t(x (8.53)

pri emu je unaprijed zadana mala vrijednost i obino iznosi 05,001,0 = .

Slika 8.15. Kvazioscilatorni odziv sistema i interesantni parametri

Sam sistem, iji je odziv na odskonu funkciju prikazan na slici 8.15, je sklon ka oscilovanju, pa je potrebno povesti rauna o rezervama stabilnosti i prvom preskoku iznad novog stacionarnog stanja. Tako se definie eksponencijalni preskok kao:

[ ] %100)(x)(xx

% max1

= (8.54)

x(t)

t

100%90%

50%

10%

t tk ut s

x( )Tp

x x( )2min_x x( )1max _Td

2


284

Doputene vrijednosti za [ ]% se dobiju u odgovarajuim prirunicima i tablicama. Najee se nalaze u granicama od 10% do 30%, a vrlo rijetko se mogu kretati i do 70%. Kod aperiodinih odziva je [ ] %0% = .

Stepen oscilatornosti ili sklonost sistema ka oscilovanju se moe definisati kao:

[ ] %100)(xx)(xx

%max1

min2

= (8.55)

i poeljno je da ovaj faktor bude to manji. Manji stepen oscilatornosti kae da je sistem manje sklon oscilovanju, da je prelazni reim krai i da je vea brzina reagovanja.

Vrijeme kanjenja kt je mogue definisati i na nain kako je to prikazano na slici 8.16. Sada je kt odreeno kao vrijeme koje protekne od trenutka dejstva poremeaja, u ovom sluaju odskone funkcije, pa do trenutka kada pravac povuen u prevojnoj taki presjeca vremensku osu.

Slika 8.16. Drugi nain odreivanja vremena kanjenja

Primjer 8.1. Veina sistema se u praksi kvalitativno ponaa kao zatvoreni sistem drugog reda, ija prenosna funkcija u s domenu ima oblik:

1Ts2sT1)s(W 22 ++

= (8.56)

ili u j domenu:

2nn

2

2n

s2s)j(W

++

= , T/1n = (8.57)

x(t)

t

tk


285

gdje je n prirodna uestanost, a koeficijent priguenja inercionog sistema drugog reda. Sada se mogu nacrtati logaritamske amplitudno frekventne (AF) i fazno frekventne (FF) karakteristike sistema (8.56), slika 8.17.

Sa slike 8.17 se vidi da se javlja karakteristini rezonantni vrh na AF karakteristici, a koji direktno utie na propusni opseg. Ukoliko je propusni opseg vei, tj. ukoliko je n vee, utoliko je odziv bri a vrijeme uspona i kanjenja manje. Ukoliko je na AF karakteristici rezonantni vrh vei, utoliko je vei i prvi preskok, a time je vee i vrijeme smirivanja. Maksimum na AF karakteristici odreuje i karakterie rezonantna uestanost rez i ona nije identiki jednaka n . Dalje je oigledno da kvalitativno povezuje parametre u frekventnom i vremenskom domenu. Ako na ulaz sistema djeluje odskona funkcija:

{ } s/1)t(hL)s(U0t,00t,1)t(h)t(u ==

(8.93)

pa se prelazni proces moe smatrati zavrenim kada vrijednost odziva )t(x opadne na neku unaprijed zadanu vrijednost 0X . Iz relacije:

0s X)t(x = (8.94)

gdje je unaprijed odreen mali pozitivni broj, obino iznosi do 5%, se odreuje vrijeme smirenja st u zavisnosti od i . Ta zavisnost je:

1ln1t s = (8.95)

to za granicu smirenja od 1%, koja se esto koristi u praksi, da je 01,0= , odnosno:

6,4100ln1t s == (8.96)

Ako se unaprijed zada vrijeme za koje treba da se zavri prelazni proces st , tada se uvijek moe formirati karakteristina jednaina iji e najblii korjen imaginarnoj osi j zadovoljavati relaciju:

01,0smax t

6,4

=

=

(8.97)

Pojam oscilabilnosti predstavlja sklonost sistema ka oscilovanju, te ga je potrebno unaprijed poznavati ili odrediti na osnovu tehnologije procesa. Zbog relativno velikih varijacija upravljane veliine moe doi do havarije na objektu upravljanja, ak i kada se radi o stabilnom sistemu upravljanja. Ovo oscilovanje je posljedica postojanja jednog dominantnog konjugovano kompleksnog korjena 000 js = . Zato se kao mjera sklonosti sistema ka oscilovanju uvodi pojam oscilabilnosti , koja predstavlja kolinik imaginarnog i realnog dijela tog dominantnog konjugovano kompleksnog korjena:

0

0

= (8.98)

Neka je 0= , sistem nema dominantni konjugovano kompleksni par korjena, pa se radi o aperiodskom odzivu. Ako je 0 , sistem ima dominantni konjugovano kompleksni korjen, pa se iz odziva priguenih oscilacija moe odrediti opadanje amplitude za vrijeme od jednog kvazi perioda pT , pri emu je 0p /2T pi= . Mogui kvazi oscilatorni odziv je prikazan na slici 8.26.


296

Slika 8.26. Kvazi oscilatorni odziv sistema

U trenutku 1tt = je prva maksimalna vrijednost odziva:

10t011 eX)t(xx == (8.99)

Nakon jednog kvazi perioda pT je trenutak 2tt = :

012

2tt

pi+= (8.100)

u kome je vrijednost odziva neto manja i iznosi:

)/2t(022

010eX)t(xx pi +== (8.101)

Priguenje u toku jednog kvazi perioda se moe definisati kao relativni pad amplitude:

pi /21

21 e1x

xx

=

= (8.102)

pa se oscilabilnost procesa moe izraziti kao:

)1ln(2

pi

= (8.103)

U praksi se najee zahtijevaju visoke vrijednosti za , pa se za unaprijed zadanu i/ili dobijenu iz tehnolokih uslova vrijednost odreuje oscilabilnost 00 / = .

x(t)

tt1 t2

Tp

x =

x(t

)

11 x = x(t )2 2


297

Odreena ili zadana vrijednost oscilabilnosti sistema se moe grafiki predstaviti u kompleksnoj ravni { }s , u kojoj se lociraju korjeni karakteristine jednaine 0)s(Qn = , slika 8.27a. Sa slike 8.27a se vidi da zahtjev na zadanu vrijednost oscilabilnosti zad dovodi do znaajnog smanjenja lijeve poluravni kompleksne ravni { }s , u kojoj mogu biti locirana rjeenja karakteristine jednaine. Ugao na slici 8.27a se odreuje pomou relacije:

zadarctg = (8.104)

Zahtjevu na zadanu oscilabilnost se dodaje zahtjev zadanog stepena stabilnosti 0 . To dovodi do novog smanjenja lijeve poluravni komleksne ravni { }s , u kojoj mogu biti locirana rjeenja karakteristine jednaine, slika 8.27b.

a) b)

Slika 8.27. Zahtjevi koji se nameu na oscilabilnost (a) i stepen stabilnosti (b)

Na ovaj nain se dobija poeljna i nepoeljna oblast u kojoj mogu biti locirana rjeenja karakteristine jednaine sistema 0)s(Qn = , slika 8.28. Na ovoj slici pravac AB predstavlja zahtjev za potrebnim stepenom stabilnosti, dok pravci kroz koordinatni poetak i C i D predstavljaju zahtjev za potrebnom oscilabilnou sistema.

Primjer 8.2. Neka se posmatra sistem ija je prenosna funkcija:

2nn

2

2n

s2sK)s(G

++= (8.105)

ija karakteristina jednaina ima oblik:

0s2s)s(Q 2nn22 =++= (8.106)

s

j


298

a koja ima rjeenja:

2nn2,1 1jjs == (8.107)

Slika 8.28. Poeljna i nepoeljna oblast lociranja rjeenja karakteristine jednaine

Oigledno je n2,1s = , za sve vrijednosti iz segmenta 10 , to se moe prikazati kao na slici 8.29. Na sve SAU se namee uslov stabilnosti, tj. rjeenja karakteristine jednaine moraju imati negativan realni dio 0


299

Slika 8.29. Raspored korjena karakteristine jednaine inercionog sistema drugog reda

a) b)

Slika 8.30. Nametanje uslova da vrijeme smirivanja bude u dozvoljenim granicama (a) i da odziv ne bude previe lo (b)

gdje je K promjenljivi parametar. Prenosna funkcija sistema zatvorenog jedininom negativnom povratnom spregom, koji u direktnoj grani ima blok )s(G , je:

j

= -arc cos( )j

= const

.

C A

D B

0n

n

s

s

1

2jn

s

n

1- 2

1- 2

j

A

B

sC

D

s

j

0


300

K)as(sK

)s(G1)s(G)s(W

++=

+= (8.109)

Karakteristina jednaina sada glasi:

0K)as(s =++ (8.110)

a njeni korjeni su:

22

2,1 2aKj

2aK

2a

2a

s

=

= (8.111)

Dijagram promjene vrijednosti parametra K je dat na slici 8.31.

Slika 8.31. Dijagram promjene parametra K i poeljna oblast poloaja korjena karakteristine jednaine

Vidi se da za sve vrijednosti parametra K trajektorija ostaje u lijevoj poluravni kompleksne ravni { }s , pa je dati sistem stabilan bez obzira na promjene parametra K . Meutim, prevelike vrijednosti parametra K loe utiu na kvalitet prelaznog procesa, to se zakljuuje na osnovu poeljne oblasti.

Prednost ove metode je u mogunosti odreivanja granica poeljnih vrijednosti parametra K . Ove trajektorije se nazivaju korjenskim hodografom, a pravila za njegovo crtanje su uraena u poglavlju 7.

K

s = aK=0

s = 0K=0

2

4K=a

e

2a( ,0)

R s

smIs


301

8.6. Indeks stabilnosti sistema

Nekada nije zgodno odreivati rezerve stabilnosti po modulu i po fazi, nego se koristi indeks stabilnosti koji predstavlja integralnu rezervu stabilnosti, koja se odreuje iz amplitudno fazne karakteristike sistema upravljanja u otvorenom. Amplitudno fazna karakteristika

)j(W sistema upravljanja zatvorenog jedininom negativnom povranom spregom, kod koga je amplitudno fazna karakteristika direktna grane )j(G - sistema u otvorenom, je:

)j(G1)j(G)j(W

+= (8.112)

odakle se dobija da je amplitudno frekventna karakteristika ravna:

)j(G1)j(G)j(W

+= (8.113)

Amplitudno frekventna karakteristika linearnih stabilnih sistema ima karakteristian tok sa ili bez izrazitog maksimuma maxM , kao to je prikazano na slici 8.32.

Slika 8.32. Karakteristini izgled amplitudno frekventne karakteristike linearnih sistema

Maksimum funkcije na slici 8.32 odreuje indeks stabilnosti sistema. to je maxM vee, sistem je loije priguen i pokazuje veu sklonost ka oscilovanju. Doputena vrijednost za

maxM zavisi od uslova eksploatacije sistema i u praksi kod dobro priguenih sistema treba da se nalazi imeu 1,1 i 1,5. U specifinim sluajevima, kada to dozvoljava tehnologija objekta upravljanja, prihvatljive su vrijednosti i do 2 ili 2,5.

Analiza priguenja procesa pomou indeksa stabilnosti je pogodna iz razloga to za njegovo odreivanje nije potrebno crtati i raunati funkciju )j(W , nego se cijeli postupak izvodi

rez. p

Mm

ax

A

M

= M A =

W( )W(0)

1


302

analizom amplitudno fazne karakteristike sistema u otvorenom. Naime, ordinata take A na slici 8.32 zavisi od modula funkcije )j(W , tj. )j(W :

)j(G1)j(G)j(W)(MM

+===

pri emu je )(jv)(u)j(G += i predstavlja amplitudno faznu karakteristiku sistema u otvorenom.

Prenosna funkcija sistema, koji u direktnoj grani ima funkciju )j(G i koji je zatvoren jedininom negativnom povratnom spregom, se moe predstaviti u polarnim koordinatama:

)(jv)(u1)(jv)(u

)j(G1)j(G

e)(M)j(W )(j

++

+=

+== (8.114)

Iz relacije (8.114) moe se odrediti:

( ) )(v)(u1)(v)(u

)(jv)(u1)(jv)(u)(M

22

22

++

+=

++

+= (8.115)

Sreivanjem relacije (8.115) se dobija jednaina familije krunica:

2

22

2

2

2

1)(M)(M)(v

1)(M)(M)(u

=+

+

(8.116)

Relacija (8.116) predstavlja jednaine krunica iji centri lee na realnoj osi, a koordinate tih centara su ( )122 = )(M/)(M)(u i 0)(v = . Poluprenik ovih krunica je

( )1)(M/)(Mr 2 = . Varirajui vrijednosti za M, u intervalu od 0 do , moe se nacrtati univerzalna familija M krugova koja ne zavisi od sistema koji se ispituje. Familija ovih krunica je predstavljena na slici 8.33. Za 1M = krug se deformie u pravu 2/1u = ili u krug beskonano velikog poluprenika, dok za 0M = krug se transformie u taku koja se nalazi u koordinatnom poetku. Za M krug se ponovo transformie ali u taku

)0j,1( .

Prilikom projektovanja sistema automatskog upravljanja potrebno je poznavati ili usvojiti maksimalno dozvojenu vrijednost za M, pa tada amplitudno fazna karakteristika sistema u otvorenom ne smije sjei krug koji ima tu ili veu vrijednost M. Ovaj uslov treba biti ispunjen da bi sistem imao bolji indeks stabilnosti od tog unaprijed zadanog.


303

Slika 8.33. Familija M krugova

Identina razmatranja su mogua i preko fazno frekventne karakteristike sistema, koja se moe odrediti kao:

)j(WRe)j(WIm)j(Wargtg)(tg)(N

=== (8.117)

U cilju odreivanja vrijednosti (8.117) ponovo se polazi od:

=

++

+= )(jv)(u1

)(jv)(u)j(W

( ) ( ) )(v)(u1)(vj

)(v)(u1)(v)(u)(u

2222

22

++

++

++= (8.118)

Iz jednaine (8.118) se dobija:

)(v)(u)(u)(v)(N

22 ++

= (8.119)

Sreivanjem relacije (8.119) se dobija jednaina familije krunica:

)(N41)(N

)(N21)(v

21)(u

2

222

+=

+

+ (8.120)

jv

u

M>1 M


304

Relacija (8.120) predstavlja jednaine krunica iji centri lee u takama 2/1)(u = i )(N2/1)(v = , a iji su poluprenici 2/)(N/11r 2 += . Familija ovih krunica

moe se predstaviti kao na slici 8.34. Na ovaj dijagram se moe ucrtati amplitudno fazna karakteristika otvorenog sistema sa potrebnim ili nametnutim uslovima za fazno frekventnu karakteristiku.

Slika 8.34. Familija N krugova

8.7. Uraeni primjeri

Primjer 10. Analizirati regulacioni krug na slici u smislu praenja odskone promjene zadane vrijednosti u(t), odnosno eliminisanja utjecaja smetnji f1(t), f2(t) i f3(t) koje su takoe odskonog karaktera.

Slika p-1. Regulaciona kontura: regulator, objekat upravljanja, signali zadane vrijednosti i karakteristinih smetnji

jv

u

G (j )

AF karakteristika sistema

( 1, j0)


305

Primjenom algebre blokova, ili koristei princip superpozicije, lahko moemo dobiti slijedeu relaciju:

)s(F)s(G)s(G)s(F)s(G)s(G)s(G

)s(F)s(G)s(G)s(G)s(G)s(U)s(G)s(G

)s(G)s(G)s(X

RR

R

R

R

R

32

1

11

1

11

++

++

++

++

=

(p-1)

Regulaciona greka se dobije kao:

)s(F)s(G)s(G)s(F)s(G)s(G)s(G

)s(F)s(G)s(G)s(G)s(G)s(U)s(G)s(G)s(X)s(U)s(E

RR

R

R

R

32

1

11

1

111

+

+

+

+==

(p-2)

Primjenom inverzne Laplace-ove transformacije, teoreme o konanoj vrijednosti, i stavljajui:

s

d)s(F,s

c)s(F,s

b)s(F,s

a)s(U ==== 321 , gdje su a, b, c i d proizvoljne realne konstante, dobijemo:

++++

++++

+++

++++

+++

++++

=

==

s

d

)ss)(s(s,

slims

c

)ss)(s(s,

)ss)(s(s

lim

s

b

)ss)(s(s,

)ss)(s(s,

s

lims

a

)ss)(s(s,

slim

)s(sElim)t(elim

ss

ss

st

221101

221101

2211

221101

22110

221101

20

2

2

0

2

2

02

0

0

(p-3)

Rjeavajui dobijene limese, imamo: 000 =

b)t(elim

t (p-4)

Iz posljednje jednaine se lahko vidi da data regulaciona kontura omoguuje praenje skokovite promjene zadane vrijednosti u(t) bez statike greke, te eliminisanje smetnji f2(t) i f3(t), dok smetnju f1(t) nije mogue otkloniti. Ovo je i oekivano, s obzirom da se smetnja f1(t) moe protumaiti kao "obmanjivanje" regulatora jer isti ne prima tanu informaciju o regulacionom odstupanju e(t).

Rezultate provedene analize moemo potkrijepiti adekvatnom simulacijom datog sistema. Na slici p-2 je prikazano ponaanje sistema, za konkretne profile zadane vrijednosti i smetnji.


306

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.5

00.5

11.5

u(t)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.2

0

0.2

0.4

f1(t)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.4-0.2

00.2

f2(t)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-0.4-0.2

00.2

f3(t)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.5

1

t

x(t)

Slika p-2. Profili ulaza i smetnji na sistem i odziv sistema

Primjer 2. Za sistem automatskog upravljanja, dat na slici, pronai vrijednost parametra T,

koja minimizira kriterijalni funkcional

=

0

22 dt)t(eI , gdje je e(t)= u(t)-x(t), a u(t)=1(t).


307

Slika p-3. Regulaciona kontura sa PD lanom u povratnoj grani

Prenosna funkcija cjelokupnog sistema je:

( ) ( )( )

Ks)KT(sK

ss

)Ts(Kss

K

sGz+++

=

+

++

+=

1111

12 (p-5)

Uvedemo li smjene nn KT,K 212 =+= (p-6) dobijamo tipini prikaz sistema drugog reda ije je pojaanje jednako 1. Oito je da, za fiksno K (osobina objekta), promjenom parametra T (parametar kompenzatora) utiemo samo na koeficijent priguenja , te se problem svodi na nalaenje optimalne vrijednosti , za fiksno n.

( ) 222

2 nnn

zss

sG

++= (p-7)

Ukoliko je ( )10, , tada je odziv na jedininu odskonu funkciju sistema ija je prenosna funkcija data sa (p-7) dat sa (kasnije e biti pokazano da optimalna vrijednost stvarno lei u intervalu (0, 1)):

( )

arccos),t(tsine)t(x n

tn=

+

=

122

11

1 (p-8)

Koristei injenicu da za 0t vrijedi e(t) = 1-x(t), dobije se:

2

212

11

1

2

2

22

22

2

+

=

+

=

tcos

etsine)t(e

nt

n

t nn (p-9)

Ukoliko komplexna funkcija F(s) predstavlja Laplace-ovu transformaciju veliine date sa (p-9), lahko se moe dobiti:


308

( )242

0

22 1

4314

10

+===

n

dt)t(e)(FI (p-10)

Posmatrajui desnu stranu (p-10) kao funkciju od , upotrebom diferencijalnog rauna moemo utvrditi da je = 0,5 vrijednost koja minimizira I2.

U cilju verifikacije analize uz pomo simulacionih rezultata, posmatrajmo funkciju gornje granice za razne vrijednosti parametra :

( ) =t

d)(etI0

22 (p-11)

Za potrebe simulacije je, bez umanjenja optosti (vidi (p-10)) uzeto da je n = 1. Na slici p-4 je prikazano ponaanje funkcije ( )tI2 za nekoliko vrijednosti .


309

Slika p-4. Ponaanje kriterijalnog funkcionala, kao funkcije gronje granice, za razne vrijednosti koeficijenta priguenja


310

Documents

Regulator i