Reiman Istvn

MATEMATIKA

M szaki Knyvkiad, Budapest, 1992

Lektorltk;

Laczk Lszl Plmay Lrnt Urbn Jnos

Reiman Istvn, 1992

ETO: 51ISBN 963 10 8578 3

Kiadja a Mszaki Knyvkiad Felels kiad: Szcs Pter igazgat

Felels szerkeszt: Patkn Helvei Judit

91/0154 Franklin Nyomda, Budapest Felels vezet: Mtys Mikls igazgat

Mb. mszaki vezet: Dornizs Lszl Mszaki szerkeszt: Marcsek Ildik

A ktst tervezte: Szkely Edith A knyv brit rajzolta: Folk Gyrgyn

A knyv formtuma: A5 vteijedelme: 38 (A5)

Azonossgi szm: 61 554 M : 452Q- i -9 2 9 4

Tartalom

Elsz 11

1. Halmazok; a matematikai logika elemei 13

1.1. A halmaz fogalma; je l lsek 131.2. Rszhalmazok; komplementer halm az 141.3. Halmazmveletek 151.4. A halmazok ekvivalencija 181.5. A matematikai logika elemei; az tletkalkulus 191.6. Logikai m veletek 21

2. Vals szmok 23

2.1. Termszetes szmok; egsz sz m o k 232.2. Racionlis szmok; trtm veletek 262.3. Egsz kitevs hatvnyok 292.4. Tizedestrtek; a racionlis szmok vgtelen tizedestrt a la k ja 322.5. Irracionlis szmok; a vals szmok halm aza 352.6. Szmok kzelt rtke, kerekts; a szmok norm lalakja 372.7. A vals szmok abszolt rtk e 39

3, Algebrai egsz s trtkifejezsek 40

3.1. Algebrai egsz kifejezsek s m veleteik 403.2. Fontosabb azonossgok a tbbtag algebrai egsz kifejezsek krben 433.3. Algebrai trtkifejezsek s m veleteik 453.4. Feladatok a racionlis algebrai kifejezsek krben vgzett mveletekre s alkal

mazsaikra 483.5. Arnyok, arnyprok; arnyossg 49

4. A szmelmlet elemei 53

4.1. A prmszmok; a szmelmlet alapttele; oszthatsgi ismertetjegyek 534.2. Legnagyobb kzs oszt; legkisebb kzs tbbszrs 554.3. Az egsz rsz; maradkos oszts; maradkosztlyok 574.4. Szmrendszerek 594.5. Egy bizonytsi mdszer: a teljes ind ukci 60

5

5. Ngyzetgykig kifejezsek 645.1. Szmok ngyzetgyke ........................................................................................................... 645.2. Mveletek ngyzetgyks kifejezsekkel.......................................................................... 665.3. Pldk a ngyzetgyks kifejezsek krben vgzett m veletekre............................ 69

6. Racionlis s vals kitevj hatvnyok; logaritmus 72

6.1. Az w-edik gyk fo g a lm a ........................................................................................................ 726.2. Racionlis kitevj hatvnyok........................................................................................... 736.3. Vals kitevj h atvn yok .................................................................................................... 746.4. A logaritmus fogalm a............................................................................................................. 756.5. A logaritmus azonossgai.................................................................................................... 776 .6 . Kapcsolat klnbz alap logaritmusok kztt; logaritmusrendszerek............... 786.7. A logaritmus mint szmtstechnikai segdeszkz........................................................ 80

7. Egyenletek 81

7.1. Az egyenlet fogalma; egyenletek ekvivalencija............................................................. 817.2. Elsfok egyismeretlenes egyenletek................................................................................ 837.3. Elsfok egyenletrendszerek................................................................................................ 877.4. Egyismeretlenes msodfok egyenlet .............................................................................. 937.5. Msodfokra visszavezethet egyenletek ........................................................................ 987.6. Ngyzetgyks egyenletek.................................................................................................... 1007.7. Msodfok egyenletrendszerek........................................................................................... 1027.8. Egyenletekre vezet fe ladatok .............................................................................................. 1037.9. Diofantikus egyenletek.......................................................................................................... 106

8. Egyenltlensgek 109

8.1. Az egyenltlensgek alaptulajdonsgai.............................................................................. 1098.2. Azonos egyenltlensgek...................................................................................................... 1108.3. Elsfok egyismeretlenes egyenltlensgek s egyenltlensg-rendszerek............... 114

9. Szzalkszmts 116

9.1. A szzalk fogalma; a szzalkszm ts............. ............................................................ 1169.2. Szzalkos nvekeds; szzalkos cskkens................................................................. 1179.3. Feladatok a szzalkszmts alkalmazsra................................................................. 118

10. Kt segdeszkz: a determinns s a mtrix 119

10.1. A msodrend determinns fogalma; ltalnosthat tulajdonsgai........................ 11910.2. Az n-edrend determinns fogalma ................................................................................... 12010.3. Tbbismeretlenes, elsfok egyenletrendszerek; Cramer-szably............................ 12310.4. A determinnsok ltalnos tulajdonsgai........................................................................ 12510.5. A mtrix fogalma; specilis m trixok .............................................................................. 12610.6. Mveletek a mtrixok krben..................................................................................... 12710.7. Az inverzmtrix; kapcsolat az elsfok egyenletrendszerrel....................................... 130

11. Komplex szmok 13211.1. A komplex szm fogalma; mveletek komplex szm okkal....................................... 13211.2. A komplex szmsk ............................................................................................................... 13311.3. A komplex szmok trigonometriai a la k ja ........................................................................ 13611.4. A komplex szmok exponencilis a lak ja .......................................................................... 142

6

12.1. Az egyhatrozatlan polinom fogalma; a Horner-m dszer.............. ...................... 14412.2. A polinomok osztsi algoritm usa...................................................................... ............... 14512.3. A polinomok gyktnyezs a la k ja ..................................................................................... 14612.4. Egsz egytthats polinomok racionlis g y k e i............................................................. 148

13. Kombinatorika 151

13.1. Sorba rendezsi problmk; permutcik, varicik..................................................... 15113.2. Rszhalmaz-kivlasztsi problmk; kom bincik....................................................... 15513.3. A binomilis ttel; binomilis egytthatk...................................................................... 15713.4. A skatulyaelv s a logikaiszita-formula............................................................................. 16013.5. Grfok; a grfokkal kapcsolatos alapfogalm ak.............................................................. 16313.6. Nhny egyszerbb grfelmleti sszefggs; a grfok Euler-vonala...................... 16513.7. Skbeli grfok; fk, erdk; pros g r fo k .......................................................................... 167

14. Elemi skgeometria 171

14.1. Skgeometriai alapfogalmak. Konvex a lakzatok ........................................................... 17114.2. Szgek; szgprok .................................................................................................................. 17214.3. Sokszgek; szgsszeg........................................................................................................... 17614.4. Az egybevgsg; hromszgek egybevgsga............................................................. 17914.5. Tengelyes tkrzs; tengelyesen szimmetrikus a lakzatok .......................................... 18214.6. Kzppontos szimmetria; paralelogrammk.................................................................. 18814.7. A kr. Kerleti s kzpponti szgek; Thalsz t te le ..................................................... 19014.8. Hasonlsgi transzformcik; kzppontos hasonlsg ............................................ 19414.9. Mrtanikzp-ttelek; Pitagorasz ttele ........................................................................... 20314.10. A sokszgek terlete ............................................................................................................. 20914.11. A kr kerlete s terlete; vmrtk ................................................................................... 21314.12. A hromszg geom etrijbl.............................................................................................. 21814.13. Specilis ngyszgek; sokszgek ....................................................................................... 225

15. A tr elemi geometrija 231

15.1. Egyenesek s skok klcsns helyzete; prhuzamossg.............................................. 23115.2. Hajlsszgek s tvolsgok .................................................................................................. 23315.3. Egybevgsg s hasonlsg a trb en ............................................................................... 23615.4. Poliderek: hasbok, glk; felszn s trfogat............................................................. 23815.5. Euler-fle poliderttel; szablyos te stek .......................................................................... 24615.6. Hengerek s k p o k .................................................................................................................. 24915.7. A gmb s rsze i...................................................................................................................... 25615.8. A gm bhrom szg.................................................................................................................. 261

16. Vektorok s alkalmazsaik 265

16.1. A vektorok fogalma ............................................................................................................. 26516.2. Vektorok sszeadsa s k ivonsa........................................................................................ 26616.3. Vektorok szorzsa szmmal................................................................................................... 27016.4. Vektorok s pontok koordinti .......................................................................................... 27416.5. Osztpont, slypont s alkalm azsok............................................................................... 27816.6. Trigonometrikus fggvnyek................................................................................................ 28416.7. Skalris szo rza t........................................................................................................................ 29116.8. Trigonometriai sszefggsek a hrom szgben............................................................. 300

12. Egyhatrozatlan (egyvltozs) polinomok 144

7

16.9. Vektorilis szorzat ................................................................................................................. 31116.10. Vegyesszorzat; kifejtsi t te l ................................................................................................ 31816.11. A gmbhromszgek trigonom etrija.............................................................................. 321

17. Koordintageometria 326

17.1. A pont eltolsa s elforgatsa; koordintatranszformci......................................... .32617.2. Az egyenes egyenletei skbeli koordinta-rendszerben.................................................. .32817.3. A kr egyen lete .........................................................................................................................34417.4. A parabola s egyen letei...................................................................................................... .34917.5. Az ellipszis s egyen letei...................................................................................................... .35617.6. A hiperbola s egyen letei...................................................................................................... .36217.7. Kpszeletek s msodrend grb k ....................................................................................36817.8. Polrkoordintk ................................................................................................................... .37117.9. Egyenes s sk a trbeli koordinta-rendszerben........................................................... .374

18. Szerkesztsek 382

18.1. Az euklideszi alapszerkesztsek s alkalm azsaik........................................................... 38218.2. Gyakorlati szerkesztsek...................................................................................................... 394

19. Sorozatok 398

19.1. A sorozat fogalma, megadsa ............................................................................................ 39819.2. Szmtani sorozatok ................................................................................................................. 40019.3. Mrtani sorozatok ................................................................................................................... 40319.4. A mrtani sorozat alkalmazsai; kamatoskamat-szmts......................................... 40619.5. Konvergens so ro za to k ........................................................................................................... 41019.6. Rekurzis sorozatok ............................................................................................................... 41619.7. Vgtelen so r o k .......................................................................................................................... 420

20. Fggvnyek 424

20.1. A fggvnyek fogalma, brzolsa................................... ................................................. 42420.2. A fggvnyekkel kapcsolatos alapfogalm ak................................................................... 42820.3. A fggvny hatrrtke........................................................................................................... 43320.4. Folytonos fggvnyek............................................................................................................. 43620.5. Racionlis egsz- s trtfggvny....................................................................................... 43920.6. Hatvnyfggvny ...................................................................................................... ............ 44720.7. Exponencilis s logaritmusfggvny; exponencilis s logaritmikus egyenletek 44820.8. Trigonometrikus fggvnyek s inverzeik ........................................................................ 45120.9. Trigonometrikus azonossgok s egyen letek ................................................................. 45820.10. Hiperbolikus fggvnyek s inverzeik .............................................................................. 46620.11. Nhny nevezetesebb fggvny ......................................................................................... 470

21. Differencil- s integrlszmts 472

21.1. A differencilhnyados s a derivlt fggvny............................................................... 47221.2. Derivlsi szablyok ............................................................................ ................................ 47521.3. Az elemi fggvnyek derivlsa......................................................................................... 47821.4. Kzprtkttelek s kvetkezmnyeik............................................................................ 48721.5. Magasabb rend derivltak; konvexits, konkvits.................................................. 49121.6. Fggvnyvizsglat s alkalmazsai ................................................................................... 49421.7. A derivlt alkalmazsa hatrrtk szmtsra; a lHospital-szably........................ 505

21.8. A Taylor-form ula......................................................................................................................50821.9. Egyenletek kzelt m egoldsa..............................................................................................51121.10. A primitv f ggvn y ............................................................................................................... ..51721.11. Az integrl fogalm a....................................................................................................................52621.12. A N ew tonLeibniz-ttel.........................................................................................................53321.13. Az integrlszmts alkalm azsai....................................................................................... ..53521.14. Kzelt mdszerek az integrlszmtsban......................................................................55321.15. Nhny differencilegyenlet m egoldsa............................................................................ ..557

22. Valsznsg-szmts 565

22.1. A valsznsg-szmts trgykre; elemi esemnyek .................................................. ..56522.2. A valsznsg alaptulajdonsgai, a valsznsg klasszikus kiszmtsi mdja 56722.3. A valsznsg geometriai kiszmtsi m d ja ....................................................................57322.4. Feltteles valsznsg s fggetlensg.................................................................................57622.5. Valsznsgi vltozk s eloszlsaik...................................................................................57922.6. A matematikai statisztika nhny alapfogalm a..................................................................584

23. Tblzatok 588

I. tblzat: Prmszmok 2-tl 11 6 57-ig ..................................................................................... ..590II. tblzat: A 2-vel, 3-mal, 5-tel, 11-gyei nem oszthat sszetett szmok prmtnyezs

felbontsa 2500-ig ........................................................................................................................ ..595III. tblzat: Faktorilisok: 1! 5 0 ! ................................................................................................597IV. tblzat: Binomilis egytthatk..............................................................................................598

Trgymutat 599

9

Elsz

Knyvnk a m atem atiknak azokat a fejezeteit tartalmazza, amelyeket ltalban a kzpfok jelzvel szoktak megjellni, kibvtve a felsfok oktats nhny bevezet anyagrszletvel. Elssorban a kzpiskolai tananyagban kvn segtsget nyjtani, de mindjrt hozzkapcsolja a m atem atiknak azokat a trgykreit, amelyek tvezetnek a m agasabb matematikba.

Az anyag sszelltsval s trgyalsmdjnak a megvlasztsval az volt a clunk, hogy az olvas egysgesen sszefoglalva lsson egy-egy m atem atikai trgykrt az alkalmazsokkal egytt. E clbl arra trekedtnk, hogy az adott szinten lehetleg pontosan definiljuk a felhasznlt fogalmakat, szabatosan fogalmazzuk meg a tteleket, sszefggseket, s ezek alkalmazsait egyszerbb, ill. fokozatosan nehezed pldkon, feladatokon mutassuk be.

A knyv terjedelme nem teszi lehetv, hogy minden ttelnknek a bizonytst is kzljk, ezek egy rsznek csak a gondolatmenett adhattuk meg; a hinyz bizonytsok megtallhatk a tanknyvekben, kziknyvekben. A pldkat s a feladatokat gy lltottuk ssze, hogy azok lehetleg ne hasznljanak fel a m atem atikn kvli, kevsb ismert fogalmakat, am ik a megolds megrtst lnyegesen megneheztenk.

Az egyes fejezetek felptse ppen sszefoglal jellegk m iatt gyakran eltr az iskolban megszokott felptsektl; itt tbbszr egyms mell kerlnek olyan szakaszok, amelyek az iskolai anyagban tvol vannak egymstl, viszont esetleg klnbz fejezetben tallhatk meg egymshoz szorosan kapcsold anyagrszek. Az olvass megknnytsre ezrt gyakran hivatkozunk a kapcsold fejezet, ill. szakasz szmra, pl. 20.5. a 20. fejezet 5. szakaszt jelenti ; a tbbszr felhasznlt kpleteket soruk jobb szln hrom szmmal jelltk meg, pl. (16.5.8) a 16. fejezet 5. szakasznak a 8. kplete. A knyv vgn tallhat trgym utatban megkereshetjk, hogy egy-egy fogalom vagy ttel hol fordul el, teht hol tallhatjuk meg ezek definciit, ill. megfogalmazsait. A knnyebb kezelhetsg rdekben nhny ttelt, meghatrozst tbbszr is szerepeltetnk.

Szlnunk kell a knyvben hasznlt matematikai jellsekrl. A jellsrendszer napjainkban talakulban van. Igyekeztnk azokat a jellseket hasznlni, amelyek ma haznkban a legelterjedtebbek, de megadtuk a hasznlatban lev

11

ms jellseket is. ltalban arra trekedtnk, hogy csak a legszksgesebb jellseket hasznljuk, mert ezen a szinten a tl sok matematikai jells feleslegesen megneheztheti a knyv olvasst.

A kzirat elksztsben nyjtott nagy segtsgkrt ksznett mondok a knyv szakmai lektorainak: Laczk Lszl vezet tanrnak, Plmay Lrnt vezet szaktancsadnak s Urbn Jnosnak, az OPI osztlyvezetjnek; ksznettel tartozom P. Helvei Juditnak gondos s lelkiismeretes szerkeszt m unkjrt s Vadas Istvnnnak a kzirat gpelsrt s gondozsrt.

Budapest, 1989. szeptember 1. Reiman Istvn

12

1. Halmazok; a matematikai logika elemei

1.1. A halmaz fogalma; jellsek

A m atem atikban alapfogalmaknak tekintjk azokat a fogalmakat, amelyeket nem hatrozunk meg, nem definilunk ms fogalmak segtsgvel rendszerint azrt, mert m eghatrozsukhoz a szban forg fogalomnl bonyolultabb fogalm akat kellene felhasznlnunk. Az egyik leggyakrabban hasznlt alapfogalom a halmaz fogalma.

A halmaz bizonyos dolgok, fogalmak, trgyak, szemlyek stb. egyttese, sz- szessge; ezek a dolgok, fogalmak stb. a halmaz elemei. Nhny plda halm azokra :

A ; a 9-nl kisebb pozitv egsz szmok halm aza;B: egy adott sk hromszgeinek a halmaza;C : az 1997-nl nagyobb egsz szmok halm aza;D : azoknak a pozitv egsz szmoknak a halmaza, amelyek 3-mal osztva

2-t adnak m aradkul;E : az egy osztlyban tanul dikok halmaza.

Ezek kzl az A-val s E-vel jellt halmaznak vges sok eleme van; ezek szmt egy termszetes szmmal lehet megadni, az ilyen halm azt vgesnek mondjuk. Ezzel szemben a B, C, D halmazoknl ez nem lehetsges, ezek vgtelen halmazok. A halmazokat rendszerint nagybetvel szoktuk jellni, az elemeit pedig kisbetkkel. A hozztartozs jele: , pl. 7 A (olv .: 7 eleme az A-nak), a nem eleme jellse ennek a jelnek thzott vltozata ; pl. 9 ( A.

Egy halmazt az elemei egyrtelmen meghatrozzk. K t halmaz akkor s csakis akkor egyenl, ha elemeik azonosak. Egy halmazban egy valam i csak egyszer szerepelhet elemknt, mg akkor is, ha az elemek felsorolsakor ezt esetleg tbbszr is emltennk.

A halmazokat sokfle m don adhatjuk meg; a vges halm azoknak pl. felsorolhatjuk az elemeit, az elemeket ilyenkor kapcsos zrjelbe tesszk:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

M egadhatjuk a halm azokat olyan utastssal is, amelynek alapjn brmely elemrl eldnthet, hogy hozztartozik-e a halmazhoz vagy sem. Ilyen esetben tetszleges szmhalmaz esetben is hasznljuk a kapcsos zrjelet, mghozz

13

rendszerint a kvetkez form ban: elszr lerjuk a halmaz egy ltalnos (azaz tetszleges) elemnek a jelt, pl. x-et, majd egy fggleges elvlaszt vonal kvetkezik, ezutn megadjuk azt az ismertnek felttelezett nagyobb halmazt, amelynek x eleme, majd azt a specilis tulajdonsgot, amelynek alapjn az x elemeket ebbl a nagyobb halmazbl kivlasztjuk. Pl. az egsz szmok halmazt Z-vel jellve, az elbbi C halm azt a kvetkez mdon adhatjuk m eg:

C = {x | x 1997}.

Ugyanezzel a mdszerrel a D halmaz megadsa:D = { x |x = 3/c+2, k = 0 ,1 ,2 , . . .} .

A fggleges vonal helyett gyakran kettspontot vagy pontosvesszt hasznlnak.

M r itt felhvjuk a figyelmet arra, hogy egy bizonyos halmazt tbbfle m don is megadhatunk.

Clszersgbl bevezetjk az elem nlkli halmaz fogalmt, ennek neve: res halmaz, je le : 0 .

Pldk res halmazokra: azon szmok halmaza, amelyek kisebbek 10-nl, de nagyobbak 12-nl,

vagy az x2 = 1 egyenletet kielgt vals szmok halmaza.

1.2. Rszhalmazok; komplementer halmaz

Az A halmazt a B halmaz rszhalmaznak nevezzk, ha A minden eleme B-nek is eleme; jellssel:

A c B.

Eszerint minden halmaz rszhalmaza sajt magnak.Az res halmazt minden halmaz valdi rszhalmaznak tekintjk; ez a tny

szmos ttel megfogalmazst lnyegesen egyszersti. H a viszont A rszhalmaza B-nek, de nem egyenl B-vel, akkor A-t a B valdi rszhalmaznak nevezzk, ennek a kapcsolatnak a jele A ^ B . (Azt, hogy A rszhalmaza B-nek, rgebben az A B szimblummal jelltk, ebben az esetben a valdi rszhalmaz jele c . )

Pldk a rszhalmazokra: az egsz szmok halmaznak rszhalmaza a pros szmok halmaza, a pros szmok halmaznak rszhalmaza a 10-zel oszthat szmok hal

maza, a hromszgek halmaznak rszhalmaza a szablyos hromszgek hal

maza, az E = {1, 2, 3} halmaz rszhalm azai: Ex = 0, E2 = {1}, E3 = {2},

E 4 = {3}, E 5 = {1, 2}, E6 = {1, 3}, E 7 = {2, 3}, Es = {1, 2, 3}.

14

Ezek kzl teht E8 nem valdi rszhalmaz, a tbbi valdi rszhalmaz.H a A c B s B c A, akkor szksgkppen A = B,

hiszen ez azt jelenti, hogy A minden elemt B is tartalmazza, s B minden eleme A-nak is eleme, teht A s B elemei azonosak. ppen ezrt

kt halmaz azonossgt ( egyenlsgt) gy bizonythatjuk, hogy megmutatju k : brmelyikk minden eleme hozztartozik a msik halmazhoz is.

Legyen pl. az A halmaz egy skon a P s Q pontoktl egyenl tvolsgra lev pontok halmaza, a B halmazt pedig a PQ szakasz felez merlegesnek a pontja i alkotjk. E kt halmaz egyenl voltnak az igazolshoz azt kell megm utatnunk, hogy A c B , vagyis hogy a P-tl s (M l egyenl tvolsgra lev pontok rajta vannak a felez merlegesen; majd pedig azt, hogy B ez A, vagyis, hogy PQ felez merlegesnek a pontjai egyenl tvol vannak P-tl s Q -t l

H a A rszhalmaza B-nek, akkor a B halmaz A-hoz nem tartoz elemei azA komplementer halmazt (kiegszt halmazt, komplementert) alkotjkB-ben. A komplementernek jele A.

Jellje Z az egsz szmok halmazt, A pedig a pros egszek halmazt. A komplementere Z-ben a pratlan szmok halmaza.

A komplementer kpzse teht mindig bizonyos alaphalmazra vonatkoztatva trtnik; egy halmaz komplementer halmazrl csak akkor van rtelme beszlni, ha az alaphalm azt is megadjuk. Fogalom alkotsunkbl egybknt kzvetlenl kvetkezik, hogy rgztett alaphalmaz esetn az A halm az komplementernek komplementere A-val egyenl:

A = A.

1.3. Halmazmveletek

A szmok krben bizonyos szmokbl a mveletek sorn m eghatrozott szablyok szerint jabb szmokat lltunk el. Ennek a m intjra azokat az eljrsokat, amelyek sorn bizonyos halmazokbl jabbakat lltunk el, halmaz- mveleteknek nevezzk. Ezek kzl most nhny gyakrabban elfordulval foglalkozunk.

Az A s B halm azok unija azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az A sB halmazok kzl legalbb az egyiknek elemei. A s B unijnak jele A U B (olv.: A uni B). A U B ms elnevezsei: A s B egyestse vagy A s B sszege.

Pldk k t halmaz unijra: a pros szmok halm aznak s a pratlan szmok halm aznak unija az

egsz szmok halmaza, a 15-nl nagyobb szmok halmaznak s a 0-nl nagyobb szmok hal

m aznak unija a pozitv szmok halmaza,

15

a 15-nl nagyobb vals szmok halmaznak s a 15-nl kisebb vals szm ok halm aznak unija a vals szmok halmaza a 15 kivtelvel.

Az A s B halmazok metszett A s B kzs elemei alkotjk. A s B metszetnek jele A fi B (olv.: A metszet B), a metszetet gyakran kzs rsznek is m ondjk (nha A s B szorzatnak).

Pldk kt halmaz metszetre: a pros szmok halm aznak s a pratlan szmok halmaznak metszete

az res halmaz, a 15-nl nagyobb szmok halm aznak s a 0-nl nagyobb szmok halm a

znak a metszete a 15-nl nagyobb szmok halmaza, a 15-nl nagyobb szmok halmaznak s a 30-nl kisebb szmok halma

znak metszete a 15 s 30 kz es szmok halmaza.

A halmazmveleteket s a velk kapcsolatos sszefggseket jl szemlltetik az n. Venn-diagramok (ezeket J. Venn angol matematikusrl neveztk el); a halm azokat krlapokkal brzoljuk. Kvetkez brinkon az eredmnyl kapott halmaz hatrt vastag vonallal jelltk (1.3.1. s 1.3.2. bra).

A U B

1.3.1. bra. Halmazok unija 1.3.2. bra. Halmazok metszete

Az unimvelet s a metszetkpzs defincija alapjn (de a Venn-diagramok segtsgvel is) knnyen igazolhatk a kvetkez azonossgok:

U ni: M etszet:A U B = B U A , A flB = BO A ,A U A - A, A flA = A,A U 0 = A, A D 0 = 0 ,

A U (B U C) = (A U B )U C . A f l ( B n C ) = (A flB )n C .

Megjegyezzk, hogy a halmazmveleteket ugyangy, mint a szmok krben rtelmezett mveleteket tetszleges szm halmazra is kiterjeszthetjk az utols n. asszociatv tulajdonsg alapjn.

Az A s B kzs elem nlkli halm azokra jellemz, hogy metszetk res, azaz A fi B = 0, az ilyen halmazokat diszjimkt halmazoknak (nha: idegen halmazoknak) mondjuk.

16

1.3.3. bra.a n c e u O = (A n b ) u (a n o

1.3.4. bra. A\J{BC \C) = ( A u B ) n ( . A \ j C )

A most bevezetett kt mvelet sszekapcsolsval jnnek ltre az n. disztributv szablyok (1.3.3. s 1.3.4. bra)

A fi (B U C) - (A flB )U (A n C ),A U (B Pl C) = (A U B )n (A U C ).

Az A halmaz s a B halmaz differencijt (ebben a sorrendben!) az A halmaznak azok az elemei alkotjk, amelyek nem elemei B-nek; A s B differencijnak je le : A \ B (olv .: A mnusz B). Az A \ B s B \ A halm azok nem azonosak (1.3.5. bra).

Ha pl. R a vals szmok halmaza, R \ { 1, 0, 1} jelenti azt a halmazt, amely a vals szmok halmazbl a 1, 0, 1 szmok elhagysval keletkezett.

Nyilvn teljeslnek a kvetkez azonossgok:A \ 0 = A, 0 \ A = 0, A \ A = 0.

Kvetkez mveletnk tartalm t tekintve eltr az eddigiektl, az eddig t rgyalt esetekben ugyanis a mvelettel nyert halmaz elemei a kiindulsul vett halmazok elemeibl llnak ssze, meghatrozott szablyok szerint. j mveletnknl azonban az eredmnyknt kapott halmaz elemei m r jellegkben eltrnek az eredeti halmazok elemeitl.

Az A s B halmazok direkt szorzatn az sszes olyan (a; b) rendezett proknak a halm azt rtjk, amelynl a A s b B; a rendezettsg azt jelenti, hogy a pron bell az A-hoz tartozt tekintjk elsnek s a B-hez tartozt m sodik

1.3.5. bra. A \ B s B \ A

17

nak. A s B direkt szorzatnak je le : A x B (olv.: A kereszt B). A X B teht ltalban nem azonos BxA -val. A x B ms elnevezse: A s B Descartes-fle (olv.: dkart-fle) szorzata (R. Descartes francia matematikus-filozfusrl).

Legyen pl. A = {I, 2, 3}, B = {4, 5}, akkorA X B = {(1,4), (1 ,5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)},B X B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}.

A X B Descarts-fle szorzat elnevezse onnan szrmazik, hogy ha A a vals szmok halmaza, AX A a sk pontjainak Descartes-fle koordintibl ll.

1.4. A halmazok ekvivalencija

Tegyk fel, hogy az A s B halmazok olyanok, hogy A minden elemhez hozzrendelhet' B-nek egy s csakis egy eleme gy, hogy minden B-beli elem A-nak pontosan egy elemhez van hozzrendelve. Ezt a hozzrendelst, kapcsolatteremtst, az A s B kztti klcsnsen egyrtelm (ms elnevezssel: egy-egy rtelm) hozzrendelsnek nevezzk.

A klcsnsen egyrtelm hozzrendels azt is jelenti, hogy a kt halmaz elemeibl elem prokat kpeznk gy, hogy minden elemprban szerepel egy- egy elem mindkt halmazbl, s mindkt halmaz valamennyi eleme pontosan egy elemprban fordul el.

Legyen pl. A a pozitv egszek, B pedig a pozitv pros egszek, C pedig a pratlan pozitv egszek halmaza.

A : 'l , 2, 3, 4, . . . , n, n+ 1, . . .B: 2, 4, 6, 8, . . . , 2n, 2n + 2, . . .C: 1, 3, 5, 7, . . . , 2 -1 , 2 n + l , . . .

Klcsnsen egyrtelm hozzrendels ltesthet A s B elemei kztt gy, hogy A minden elemhez a B-beli ktszerest (az egyms alatt ll szmokat) rendeljk hozz, ily mdon minden B-beli elemhez pontosan egy A-beli tarto zik, ti. ppen a fele.

Az A s C halmaz elemei kztt is ltesthet klcsnsen egyrtelm megfeleltets ; itt is minden A-beli elemhez az alatta levt rendeljk hozz, azaz az n pozitv egszhez az zz-edik pratlan szmot, 2n 1-et.

Viszont a B s C halmazok elemei kztt is van klcsnsen egyrtelm megfeleltets, B minden elemhez rendeljk hozz az eltte llt, azaz a nla eggyel kisebb szmot, ltalban a 2n alak szmhoz 2n 1-et.

H a kt halmaz elemei kztt klcsnsen egyrtelm megfeleltets ltesthet, akkor a kt halmazt ekvivalensnek ( egyenrtknek) mondjuk.

Elbbi megllaptsunk szerint teht a pozitv egsz szmok halmaza ekvivalens a pros s a pratlan pozitv egszek halmazval is; ugyanakkor a pros s pratlan egszek halmaza egymssal is ekvivalens.

18

Ha kt vges halmaz ekvivalens, akkor azonos az elemszmk, ez kzvetlenl kvetkezik az ekvivalencia fogalmbl.

A halmazok ekvivalencija teht annak a fogalomnak a kiterjesztse a halmazok krben, amit a vges halmazok esetn gy fejeznk ki, hogy azonos az elemszmk. A mi fogalomalkotsunknak kvetkezmnye a vgtelen halmazok krben, hogy egy vgtelen halmaz ekvivalens lehet valdi rszhalmazval; pl. mint lttuk, a pozitv egszek halmaza ekvivalens a pozitv pros szmok vagy a pozitv pratlan szmok halmazval.

A pozitv egszek halmazval ekvivalens halmazokat megszmllhat halmazoknak nevezzk.

Bebizonythat, hogy megszmllhat az egsz szmok halmaza is, st a racionlis szmok is. Nem igaz azonban, hogy brmely vgtelen halmaz megszmllhat; a vals szmok halmaza vagy egy egyenes pontjainak a halmaza nem megszmllhat.

Az A, B, C halmazok vizsglatakor a megszmllhat halmazokrl szemlletes kpet is nyerhetnk; az, hogy a megszmllhat halmaz elemei a pozitv egszek elemei al rhatk, azt jelenti, hogy sorozatba rendezhetk, bizonyos egymsutnisg, sorrend llapthat meg kzttk. A megszmllhatsg s a ( vgtelen) sorozatba val rendezhetsg egy halmaznl teht ugyanazt jelenti.

1.5. A matematikai logika elemei; az tletkalkulus

A m atem atiknak jellegzetessge, hogy tteleit, eredmnyeit ms ttelekbl levezeti, azaz bizonyos megszabott mdon mr meglv ttelekbl, lltsokbl jabb ttelekre kvetkeztet. A. helyes matematikai kvetkeztetsek szerkezeti trvnyeivel a matematikai logika foglalkozik.

A legltalnosabb kvetkeztetsi mdok (kvetkeztetsi smk) alapjt a logikai tletek alkotjk.

Logikai tletnek neveznk egy kijelent mondatot, ha egyrtelmen eldnthet, hogy a benne foglalt llts igaz vagy hamis.

A logikai tletet az egyszersg kedvrt csak tletnek fogjuk nevezni; az tlet fogalmt szoks mg az llts, kijelents szavakkal is jellni.

A m atematikai logika az tleteknl eltekint azok tartalm tl, jelentstl, csupn igaz vagy nem igaz (azaz hamis) voltukkal foglalkozik; az tlet igaz vagy ham is voltt az tlet logikai rtknek nevezzk. Nzznk m ost nhny egyszer tletet.

A : A hromszg skidom.B : A hromszg szgeinek sszege 180.C : 1990 egsz szm.D : 1990 pratlan szm.E : 1990 pros szm.

Az A, B, C, E tletek logikai rtke igaz, a D tlet hamis.

19

A fenti egyszer tletbl j tletet alkothatunk pl. gy, hogy tagadjuk valamelyik tletet, vagy pedig kt tletet valamilyen formban sszekapcsolunk. Ezt az eljrst szoks az tletek krben vgzett mveletnek nevezni, feltve, hogy az j tlet logikai rtkt az eredeti tlet (vagy tletek) logikai rtke egyrtelmen meghatrozza.

A matematikai logika tletmveletekkel foglalkoz rsze az tletkalkulus, ms elnevezssel: kijelentskalkulus vagy lltskalkulus.

A legegyszerbb tletmvelet a negci ( tagads); a P tlet negcijn a Nem igaz, hogy P tletet rtjk. Jele: ~|P, olvassa: nem P. Ez azt jelenti, hogy ha P igaz, akkor ~\ P hamis, ha P hamis, akkor 1 P igaz.

Elz pldinkban pl. ~]C\ nem igaz, hogy 1990 egsz szm, vagy egyszeren : 1990 nem egsz szm hamis llts, mivel C igaz volt. Viszont ~]D: 1990 nem pratlan szm" tlet igaz, mivel D hamis volt.

A negci az egyetlen olyan tletmvelet, amelynl csak egy tletbl alkotunk j tletet; a tbbi mveletnl m r legalbb kt tletbl indulunk ki.

A P s Q tlet konjunkcijn a P s Q" tletet (vagy ennek valamilyen tfogalmazott alakjt) rtjk. P s g konjunkcijnak je le : PA Q, olvassa: P s Q. Definci szerint PA Q akkor s csakis akkor igaz, ha P is s Q is igaz.

Elz pldinkban A A B : A hromszg skidom s szgeinek sszege 180 igaz llts, mert A is s B is igaz; viszont a C A D tlet: 1990 egsz szm s pratlan hamis llts, mert D hamis volt.

Hasonlan kapjuk, hogy pl. A A C , B A C igaz; A AD, B A D hamis tletek.A P s, Q tletek diszjunkcijn a megenged vagy-gyal sszekapcsolt

P vagy Q tletet rtjk. P s Q diszjunkcijnak jele: PVQ, o lv .: P vagy Q. PV Q akkor s csakis akkor hamis, ha P is s Q is hamis. A PV Q tlet nyelvtanilag pontos megfogalmazsa nem mindig egyszer, mert lnyegben azt jelenti, hogy PV Q akkor igaz, ha P s Q kzl legalbb az egyik igaz (de lehet, hogy mind a kett is).

PL : D V E igaz, mert E igaz, de D nem; CVD is nyilvn igaz.

A P s Q tletek implikcijn a ha P, akkor Q alak tletet nevezzk, am i akkor s csakis akkor hamis, amikor P igaz, de Q hamis. Jele P Q, o lv .: ha P, akkor Q (vagy P impliklja Q-t).

Pl. A B igaz, C D hamis, D -* C igaz (Ezt az utbbit megllapods szerint igaznak tekintjk, br htkznapi rtelemben nem hasznljuk.)

szrevehetjk, hogy a konjunkcival s a diszjunkcival ellenttben az implikcinl mr nem cserlhet fel az tletek sorrendje.

A matematikai levezetsek egyik leggyakoribb tletmvelete az ekvivalencia (egyenrtksg). A P s Q tletek ekvivalencijn a P akkor s csakis akkor, ha Q tletet nevezzk; jele P

segtsgvel; ez egybknt nemcsak a konjunkcira, hanem valamennyi logikai mveletre igaz. Az implikci ilyen jelleg kifejezse p l.:

p - q = ~\pVq.

Az tletkalkulus mveleteinek s gy a logikai mveletek szemlltetsre jl hasznlhatk a Venn-diagramok (1.3. szakasz) ezek segtsgvel kapcsolatot tallhatunk a halmazmveletek s a logikai mveletek kztt. Legyen a H alaphalmaz kpe egy tglalap, H valdi rszhalmazai pedig a krlemezekkel brzolt p s q halmazok. Feleltessk most meg a p s q logikai vltozknak a p s q rszhalmazokat, a p-vel s q-val vgzett logikai mveleteknek pedig halmazmveleteket, mghozz:

"1/j-nek, ill. ~]q-nak p, ill. q H-beli komplementert,/?V q-nak p s q unijt,p h q-nak p s q metszett.

Knnyen belthatjuk, hogy ennl a megfeleltetsnl minden halmazmveleti azonossgnak egy, a logikai vltozk s mveleteik krben rvnyes azonossg felel meg. Szemlltessk pl. az (1.6.4), (1.6.5) azonossgokat, amiket egybknt De Morgan-azonossgnak szoks nevezni (1.6.1. bra):

A matematikai logika trgykrbe tartozik kt szvegrvidtsi szimblum: A Minden x-re" szveg szimbolikus jellse: \jx. A Van olyan x. hogy szveg szimbolikus jellse: 3 x.

P l.: Jelljn A s B halmazokat. Az A a B rszhalmaza, ha \/* A-ra x B is igaz (vagy \jx (x A x 6 B)). Ha 3 * A, amelyre x 6 B is igaz, akkor A f |B ^ 0.

22

2. Vals szmok

2.1. Termszetes szmok; egsz szmok

Szmkrnkben elszr a termszetes szmok fogalma alakult ki, ezek: 0, 1,2,3, . . . . (Megjegyezzk, hogy a 0-t csak az utbbi kt vtized iskolai gyakorlata tekinti termszetes szmnak; vgeredmnyben megegyezs krdse, hogy a termszetes szmok kr soroljuk-e vagy sem.) A termszetes szmok halmaznak jele N vagy IN.

A termszetes szmok krben kt alapmvelet v an : az sszeads s a szorzs, ezek ebben a szmkrben korltlanul elvgezhetk. Az sszeads s szorzs legfontosabb azonossgai:

a + b = b + a az sszeads kommutatv szablya (2.1.1)(a + b) + c = a + (b + c) az sszeads asszociatv szablya (2. 1.2)

ab = ba a szorzs kommutatv szablya (2.1.3)(ab)c = a(bc) a szorzs asszociatv szablya. (2.1.4)

A z a + b sszegben a s b sszeg tagjai, az ab szorzatban a s b a szorzat tnyezi.

Ezek a szablyok tbb tagra, ill. szorztnyezre is kiterjeszthetk s azt jelentik, hogy az sszeadst tetszleges csoportostsban s sorrendben vgezhetjk el, s ugyangy a szmok szorzst is. Az

(a + b)c = ac + bc dsztributv szably (2.1.5)

azt jelli, hogy egy sszeget (akrhny tagt) gy szorozhatunk meg egy szmmal, hogy az sszeg minden tagjt megszorozzuk a szmmal, majd a szorzatokat sszeadjuk. A szorzst egyszeren csak a tnyezk egyms mell rsval jelljk, vagy pedig szorzponttal ab = a-b. Kt szm szorzatnl mindig kitesszk a szorzpontot: 9-1627.

Az sszeads szempontjbl a 0-nak, a szorzs szempontjbl az 1-nek kitntetett szerepe van az

+ 0 = a, b- \ = b

tulajdonsgok m iatt; egy szmhoz 0-t adva a szm nem vltozik meg, egy sz

23

m ot 1-gyel szorozva szintn vltozatlan marad a szm, s az sszeadsnl, szorzsnl csak a 0-nak, ill. az 1-nek van ilyen tulajdonsga.

A termszetes szmoknak van egy termszetes sorrendje, a sorrendben u tbb llt az elbb llnl nagyobbnak mondjuk (vagy fordtva kisebbnek). Pl. 29 > 2 (olv.: 29 nagyobb 2), 0 < 17 (olv.: 0 kisebb 17). Hasznljuk mg aS jelet (olv.: kisebb vagy egyenl, ill. nem nagyobb) s a s jelet (olv.: nagyobb vagy egyenl, ill. nem kisebb).

A termszetes szmok krben aza + x = 0

egyenletnek csak akkor van megoldsa, ha a = 0. Ha a ^ 0, nevezzk el a el- lentettjnek azt a szmot, amelyet a-hoz adva 0-t kapunk, s jelljk ezt a-val (mnusz a ), akkor a + ( a) = 0, az gy kapott 1, 2, 3, . . . szmokat a termszetes szmokhoz csatolva az egsz szmok halmazt kapjuk, ennek a halmaznak jele Z vagy Z. Az egsz szmok nagysgi sorrendje:

. . . -< 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < . . .

Az egsz szmokon bell a 0-nl nagyobb szmok a pozitv egszek, a 0-nl kisebbek a negatv egszek; elvben a pozitv egszeket is jellhetnnk gy: + 1, + 2, + 3 stb. A + , ill. jeleket itt a szmok eljelnek szoks mondani. A c szm pozitv voltt ezrt ltalban c >- 0, negatv voltt c < 0 formban szoktuk megadni. H a c nemnegatv: c S 0, ha c nem pozitv: c ^ 0.

Megjegyezzk, hogy a ellentetjnek a-1 tekintjk.Kibvtett szmkrnkben fontos fogalom a szmok abszolt rtke. M in

den szmhoz tartozik egy szm, amely az illet szmnak az abszolt rtke.A c szm abszolt rtknek jele | c | (olv.: c abszolt rtke). Megllapodsszerint

! c, ha c S 0, c, ha c < 0,szavakkal: 0 abszolt rtke 0, pozitv szm abszolt rtke magval a szmmal, negatv szm abszolt rtke pedig ellentettjvel egyenl.PL: 114J = 14, |0 | = 0, | 721 = 72.

Azt a mveletet, amelynek segtsgvel az a-hoz meghatrozzuk azt a szmot, amelyet a-hoz adva egy adott b szmot kapunk, kivonsnak nevezzk; pontosabban: az a + x = b fegyenlet megoldst b a-val jelljk, b a teht az a szm, amelyre

a + (b a) = b

teljesl. A termszetes szmok halmazban a kivons csak akkor vgezhet el, ha b s a. b a-1 egybknt b s a klnbsgnek mondjuk.

Az egsz szmok krben a mveleti szablyok megllaptsakor azt tartjuk szem eltt, hogy az sszeads s szorzs kommutatv, asszociatv s disztri-

24

butv trvnyei rvnyben maradjanak. (Ez az n. permanencia elv.) Bebizonythat, hogy ebben az esetben a kvetkez szablyokhoz ju tu n k : ha a s b pozitv

0 + ( a) = - a ,( - a ) + ( - b ) = - ( a + b)

a b, ha a > b,a + ( b) ( b) + a = |o , ha a = b,

I (ba), ha a < b.

Ezt az eredmnynket gy is fogalm azhatjuk:kt negatv szmot gy adunk ssze, hogy abszolt rtkket sszeadjuk s az eredmnyt mnusz eljellel ltjuk el.PL: - 7 - 1 2 = - 1 9 ;

egy pozitv s egy negatv szmot gy adunk ssze, hogy vesszk a kt szm abszolt rtkt, ezek kzl a nagyobbikbl kivonjuk a kisebbiket s az eredmnyt elltjuk a nagyobbik abszolt rtk szm eljelvel.PL: 6 + ( - 3 ) = 6 - 3 = 3; 6 - 1 7 = - ( 1 7 - 6 ) = - 1 1 , 2 - 9 = - 9 + 2 =

= (9 2) = 7.

Mivel pl. 6 + ( 3) = 6 3, ezrt 6 + ( 3) helyett ltalban mindjrt 6 3-at szoktunk rni.

Alapazonossgainkbl kvetkezik, hogy ha sszegeket adunk ssze, ezek tagjait tetszleges sorrendben adhatjuk ssze gy, hogy az sszeget egybefoglal zrjeleket egyszeren elhagyjuk:

( 6 - 9 + 2 + 8 ) + ( - 12 + 7 + 1 - 3 ) = 6 - 9 + 2 + 8 - 1 2 + 7 + 1 - 3 = 0.

Egy sszeg ellentettjt gy kapjuk meg, hogy az sszegben tagjainak az el- lentettjeit adjuk ssze; pl.

- ( 6 - 8 - 9 + 12+1) = - 6 + 8 + 9 - 1 2 - 1 .

Ebbl kvetkezik, hogy sszeget gy vonunk ki, hogy a kisebbtendhz az sszeg ellentettjt adjuk hozz, p l.:

86( 9 13 + 2 20) = 86 + 9 + 1 3 -2 + 2 0 .

Kivonsnl teht az sszeget egybefoglal zrjel elhagysa a benne lev tagok eljelnek a megvltoztatsval jr.

Hasonl okokbl igazak a szorzs kvetkez azonossgai :0a = a0 = 0,

a( b) = ( a) b ab,( a)( b) = ab.

Ezek kvetkezmnye, hogyegy szorzat akkor s csakis akkor nulla, ha legalbb egyik tnyezje 0 ; egyez eljel szmok szorzata pozitv, klnbz eljelek negatv.

25

Pl.: 9 - (16) = -1 4 4 ; ( - 7 ) . ( - 4 ) = 28; ( 4 - 6 + 2 ) - ( - 9 + 6) == 4-( 9) + ( 6)-( 9)+ 2-( 9 )+ 4 -6 + ( 6)-6 + 2-6 == - 3 6 + 5 4 -1 8 + 2 4 -3 6 + 1 2 = 0.Tovbb:

pratlan szm negatv szm szorzata negatv, pros szm negatv szm szorzata pedig pozitv.

2.2. Racionlis szmok; trtmveletek

Ha az egsz szmok krben adottak az a s b egszek (a ^ 0), nem mindig tallunk olyan x egszet, amelyre az

ax = b (2.2. 1)

egyenlsg teljeslne, pl. nincs olyan x egsz, amely kielgti a 3x 5 felttelt, viszont van olyan y, amelyre 3y = 12 teljesl, ti. a zy 4. Ezt a tnyt gy szoktuk kifejezni, hogy 12 oszthat 3-mal s az oszts eredmnye 4; viszont 5 nem oszthat 3-mal.

ltalban: azt a mveletet, amely adott a s b szmokhoz (a 0) olyan x szmot hatroz meg, amelyre ax = b teljesl, osztsnak nevezzk. Pldnk azt mutatja, hogy az egszek krben az oszts nem mindig vgezhet' el.

Kibvthetjk azonban az egsz szmok halmazt gy, hogy az oszts elvgezhet legyen. j szmokat vezetnk be, a trtszmokat vagy trteket.

M egllapodunk abban, hogy ~ (a ^ 0) olyan szmot jelentsen, amely kielgti

a (2.2.1) egyenlsget, azaz a trt azt a szmot jelenti, amelynek -szorosaa Ib

b-vel egyenl; b a trt szmllja, a a nevezje. I olvassa: b per a vagy b trveb \ \ a

a-val; -t b s a hnyadosnak is mondjuk, j

Mivel az x = 1 -x = b egyenlsget az x = b s az x = is kielgti, ~ = = b, azaz

ha a trt nevezje 1, akkor a trt a szmlljval egyenl; s megfordtva:c

minden c egsz szm tekinthet alak trtnek.

A trtek rtelmezsvel mris kiterjesztettk a szorzs fogalmt az a s b a

szmokra. Szeretnnk most mr az sszeadst s szorzst valamennyi alaka

szmra (teht kztk az egszekre is) kiterjeszteni gy, hogy rvnyben maradjon mindkt mvelet esetn a kommutatv s asszociatv szably, valamint a disztributv szably is. Ezekbl a trtekre s mveleteikre az albbiak kvetkeznek (a tovbbiakban feltesszk, hogy a nevezben szerepl szm nem nulla).

26

1. Egy trt rtke nem vltozik, ha a szmllt s a nevezt is ugyanazzal a szmmal megszorozzuk vagy elosztjuk, azaz:

= , ahol k tetszleges egsz szm (k ^ 0). a ka

4 _ 8 _ 40 _ 2 _ 1 _ 6 _ 12 _ 54T I ~ 24 ~ l2 ~ J ~ J _ t - -y ~ y .

Ha a szmllt s a nevezt ugyanazzal a szmmal megszorozzuk, azt mondjuk, hogy bvtjk a trtet, ha ugyanazzal a szmmal osztjuk, akkor egyszerstjk. Els pldnkban rendre 2-vel, majd 5-tel bvtettnk, utna 20-szal, majd 2-vel egyszerstettnk.

M egfordtva: ha kt trt egyenl, akkor brmelyikk a msikbl egyszerstssel vagy bvtssel szrmaztathat.

2. A trt pozitv, ha a szmll s nevez egyenl eljel, s negatv, ha a szmll s nevez klnbz eljel.

+ 6 6 6 6 6 6 6Pl. + 7 7 7 - 7 7 - 7 7

Kln a szmllba s a nevezbe nem szoktunk eljelet kirni, csupn a trt el.

3. Azonos nevezj ( kzs nevezj) trtek sszeadsakor az sszeg szm -' llja a szmllk sszege, a nevezje pedig a kzs nevezvel egyenl.

b c b + c a~^ a a

Pl l _ l + 9 = 3 - 7 9 " 5 5 5 5

Az 1. tulajdonsg alapjn bvtssel (vagy egyszerstssel) a trteket kzs nevezre hozhatjuk s gy m r sszeadhatjuk; kzs neveznek olyan szmot vlasztunk, amely valamennyi neveznek tbbszrse.

3 2 17 _ 3-15 2-10 17-12 2-60_ -l------------- 1-2 = --------1---------------------- 1--------=4 6 5 60 60 60 60

45 20 204 120 19 ~ 6 + 6 6~ + 6 ~ 60 '

A kzs nevezre hozs technikjval mg foglalkozunk a 4.2. szakaszban.

4. Kt trt szorzatnak szmllja a szmllk szorzata, nevezje a nevezk szorzata.

a c ac b d bd

27

H a az egyik t rt rtke egsz, akkor pl.a a a c ac

C"b = T>'C== V T = T 'a trt s egsz szm szorzsakor a trt szmlljt szorozzuk az egsz szmmal, a nevez vltozatlan marad.

2 / 3 \ 2 -3 6PL: ------- 7 8 ~ 56 '

K t trtet (ltalnosabban: kt szmot) egyms reciprokjnak neveznk,

ha szorzatuk 1. ~ reciprokja nyilvn , hiszen = = 1. Az a egsz b a b a ab

szm reciprokja viszont , mivel . = = 1.a a a

d c5. - - n e k -.-ve i val osztsakor arra a krdsre keresnk vlaszt, hogy

b amekkora x, ha

c a l c AS X = T ( n * 0}

. a d ad , . c ad a{cd) aAz x = T = ertek itt megfelel, hiszen -z = y-.K = -7- . Az oszts

b c be d be b(cd) b

mveletben ~ -t osztandnak, - j - t osztnak, az eredmnyt pedig, -t, hnya

dosnak nevezzk. Az osztsnak mint mveletnek a mveleti jele kettspont,b a c ad

pl. b : a = , - : = .a b d be

A trttel val oszts az osztandnak s az oszt reciprokjnak a szorzst jelenti.H a az oszt egsz, pl. c-vel egyenl, akkor

a _ a c a 1 _ a b C b 1 b e be

teht:trt egsz szmmal val osztsakor a trt nevezjt kell az osztval megszorozni.

V \ ~ - a - A _ * 9 _ _ 5 4 . _ n . 7 _ 1 1 1 _ Z" 9 : 5 _ '9 ~4 = 36 9 J ~ T T : 3 ' 7 ~~ 21"'

T rt trttel val osztst nha a szorzs kzvetlen m egfordtsaknt is elvgezhetjk:

trt trttel val osztsakor az osztand szmlljt az oszt szmlljval, az osztand nevezjt pedig az oszt nevezjvel osztjuk.

28

12 4 _ 12 :4 _ 3 14 14:7 _ 2 35 : T ~ 35 : 5 ~~ T 9 : ~ ~ 9 9 '

Az oszts mveletnl kiktttk, hogy az oszt nem lehet 0. Az a szm0-val val osztsa azt jelenten az oszts defincija szerint, hogy olyan x rtket kell m eghatroznunk, amelyre

0 x = a

teljesl. Nem teljeslhet azonban 0 -x = a, ha a ^ 0, teht az oszts nem vgezhet el. H a viszont a = 0, a 0 -x = 0 egyenlsget minden x szm kielgti, s gy az osztsnak mint egyrtelm mveletnek nincs rtelme. Ezrt

nullval nem lehet osztani, s trt nevezje nem lehet 0.

Ha viszont a 9C- 0, az ax = 0 egyenlsget csak a 0 elgti ki, ezrt = 0,a

b bs megfordtva: a trt defincija szerint, ha = 0, akkor a ^ 0 s a 0,

a aez pedig csak akkor lehetsges, ha b = 0; ez azt jelenti, hogy

egy trt rtke akkor s csakis akkor 0, ha a szmllja 0.

A trtszm okkal kibvtett szm krnk a racionlis szmok halmaza, amelynek szoksos jellse Q.

Racionlis szmoknak nevezzk a alak szmokat, ahol p s q tetszlegesI

egsz szmok s q ^ 0.

M int lttuk, a racionlis szmok krben az sszeads, szorzs, kivons s oszts korltlanul elvgezhet (feltve, hogy az oszt nem nulla). A racionlis szmok halmaza valdi rszhalmazknt tartalm azza az egsz szmok halmazt.

M a mr ritkn tallkozunk a kvetkez, trtekkel kapcsolatos kifejezsekkel :

valdi trt az 1-nl kisebb, ltrt az 1-nl nagyobb trt. Vegyesszmnak szoks nevezni az egsz szm s az 1-nl kisebb t rt sszegt, ha az ssze-

1 1ads jele nlkl rjuk a tagokat egyms mell, pl. 8 + = 8 ; ez az alak m ate

matikai formulkban nem hasznlatos, mivel alkalmazsa flrertsekre vezethet.

2.3. Egsz kitevs hatvnyok

Az ab szorzatban a-t s b-1 a szorzat tnyezinek mondjuk. H a egy n tnyezs szorzat minden tnyezje a-val egyenl, akkor ennek tm r rsmdja an:

a -a -a - . . . -a an. (2.3.1)

29

Az an (olv.: a az n-ediken) kifejezst az a szm n-edik hatvnynak nevezzk, azt a mveletet pedig, amely az a szmhoz az an hatvnyt rendeli, hatvnyozsnak, vagy n-edik hatvnyra val emelsnek mondjuk. an-ben az a hatvnyalap, n pedig a hatvnykitev. A msodik, ill. harmadik hatvnyt ngyzetnek, ill. kbnek is nevezzk. Megllapodunk abban, hogy a1 = a legyen. A hatvny fogalmbl kzvetlenl kvetkezik, hogy minden pozitv egsz n-re

0" = 0, 1" = 1,

s megfordtva: ha n pozitv egsz s

aP = 0, akkor a = 0, ill. ha an = 1, akkor a = 1.

A szorzs eljelszablybl kvetkezik, hogy a pozitv szmok minden hatvnya,pozitv, a negatv szmok pros kitevj hatvnya pozitv, pratlan kitevs hat

vnya negatv (ha a hatvnykitev pozitv egsz).Specilisan: a szmok ngyzete nemnegatv szm.Pl.: 210 = 1024, 34 = 81, 105 = 100 000, 452 = 2025, ( - 2)10 = 1024,

( 2)9 = 512, ( 7)3 -3 4 3 .A hatvnymennyisgek (2.3.1) alatti meghatrozsbl kvetkezik a hat

vnyozs nhny lnyeges azonossga.

Elszr kt azonossg az egyenl kitevj hatvnyok krbl:

1. (ab)n = (ab) (a b ) .. .(ab) = (a -a - . . . -a) (b -b - .. .b) = anb",

azaz szorzat n-edik hatvnya (n pozitv egsz) a tnyezk n-edik hatvnynaka szorzatval egyenl, vagyis: szorzatot tnyezknt hatvnyozhatunk.Pl.: (2-5)3 = 23-53 = 8-125 = 1000.

/ a \ n a a a a" , . , , .2- ( * ) = T T - S = ~F'

azaz trt n-edik hatvnya a szmll s a nevez n-edik hatvnynak a hnyadosa.

p i , i4 i 5 21 32(f 35 243 Kt lnyeges azonossg az egyenl alap hatvnyok krbl:

3. an-ak = an+k, n, k pozitv egszek, mivel mind a bal, mind a jobb oldalon egy olyan szorzat ll, amelyben az a szm n + k -szr szerepel tnyezknt, teht

egyenl alap hatvnyok szorzatban a kzs alap kitevje a tnyezk k itevinek az sszegvel egyenl.

30

4. Ha n > k pozitv egszek, legyen n k = , azaz n = k + s,an ak+s ak -as as

an:ak = r = j - = . , = = as = an~k, ak ak ak - 1 1egyenl alap hatvnyok hnyadosban a kzs alap kitevje az osztand az oszt kitevjnek a klnbsge.

5. Hatvnyok hatvnyozsakor az alap j kitevje a hatvnykitevk szorzata lesz, mert

(an)k = a"-an- . . .an = ar+n+.. , +n = ank.Pl.: (23)2 = 2", (125)7 = (127)5 = 1235.

Szmrendszernkben 10 bizonyos hatvnyainak kln neve van:102 szz, 109 millird,103 ezer, 1012 billi,104 tzezer, 1018 trilli,105 szzezer, 1024 kvadrilli,106 milli, 1030 kvintilli stb.

A hatvnyfogalmat minden egsz kitevre kiterjesztjk. A kiterjesztst azonban gy akarjuk rtelmezni, hogy a hatvnyozs pozitv egsz kitevre megismert azonossgai rvnyben maradjanak, ezrt a 0, ill. a negatv egsz kitevs hatvnyokat a racionlis szmok krben a kvetkez mdon rtelmezzk:

a) Nulla, ill. negatv kitevs hatvny alapja nem lehet 0.b) Minden szm nulla kitevs hatvnya 1 -gyei egyenl.c) Minden szm negatv egsz kitevs hatvnya az alap reciprokjnak ellentett kitevs hatvnyval egyenl.

ltalnossgban teht:

a = l , a - = / l r = l ( a ^ 0 ) .

0Pl.: (27) = = ( - 1) = 1 = 1.

ar-- (ir-ir--^i i10 4 = ---------- , 1 - 7 = 1 7 = 1 .

104 10 000

Bebizonythat, hogy az egsz kitevs hatvnyok krben is rvnyben m aradnak a pozitv egsz kitevs hatvnyokra megismert azonossgok, de mr nem kell kiktnnk, hogy az osztand kitevje nagyobb legyen az oszt kitevjnl; gyelnnk kell azonban arra, hogy a nulla alapra nem terjesztettk ki a nulla, ill. negatv kitevs hatvnyok fogalmt.

31

Pl ; 95. 9-5 = 9 = 1, 38-3 -? = 38- 7 = 3, 74:712 = 74- 12 = 7 8 = ,

5B:56 = 5 = 1, (3 -2 )-9 = 3 - 9-2- = 27-2 7 = 2 = 1.

/ 2 \ 4 / 5 \ 3 24 73 / 4 \ 7 . / 5 \ - 6 47 / 4 \ 6 47 46 4 \ T j \ T j 34 53 \ 5 / : \ 4j ~~ 5^ : ( l / *57 : 5 T

10 nhny nevezetesebb negatv egsz kitevs hatvnya:10 1 tized 10~5 szzezred10-2 szzad 10'"6 milliomodIO- 3 ezred 10 7 tzmilliomod stb.10 4 tzezred

2.4. Tizedestrtek; a racionlis szmok vgtelen tizedestrt alakja

A tizedestrt olyan trt, amelynek szmllja egsz szm, nevezje pedig 10 nemnegatv egsz kitevj hatvnya.

A tizedestrteknek a tzes szmrendszerben specilis rsmdja van, amely szervesen beleillik a szmok tzes szmrendszerbeli felrsi mdjba, ezrt elszr az egsz szmok tzes szmrendszerbeli brzolst tekintjk t.

Az 5413 szmban minden szmjegy 10 valamilyen hatvnynak a tbbszrst jelzi, mghozz 3 a 10 nulladik hatvnyt, 1 a 10 els, 4 a 10 m sodik, 5 pedig a 10 harm adik hatvnyi, azaz 5413 = 5* 103+ 4 -1 0 2 + 1 10 + + 3-10, az utols tag termszetesen 3-1 = 3 alakban is rhat. Ez azt jelenti, hogy egy lert egsz szmban jobbrl balra haladva az els szmjegy 1-eseket, a msodik 10-eseket, a harm adik 102-eseket (azaz szzasokat), a negyedik 1 tsket (azaz ezreseket) jelent, ezl gy is szoktuk mondani, hogy ezeknek a szmoknak a helyi rtke ebben a sorrendben

10, 101, 102, 103, 104, !05, . . . stb.

H a egy szm 10 negatv egsz kitevj hatvnyainak a tbbszrseibl addik ssze, azaz felrhat tizedestrtek sszegeknt, p l.:

6 8 7 1T + l o r + 103 + ~ W

akkor ezt a 0,6871 alakban brzoljuk, ahol 6 helyi rtke 10-1, 8 helyi rtke 10~2, 7 helyi rtke 10~3 s 1 helyi rtke 10"4.

1997,846 egy egsz szm (1997) s egy tizedestrt sszegt jelenti, a kt

32

rszt az n. tizedesvessz vlasztja el (jabban tizedesvessz helyett gyakran tizedespontot hasznlnak):

8461997,846 = 1997 + --.

l-*

Megjegyezzk, hogy ezt egyetlen trt alakjban is m egadhatjuk:1997-103 + 846 1 997 846

13 1000 '

Elvben a tizedesjegyek utn mg tetszleges sok 0 rhat, ezeket a 0-kat azonban csak akkor szoktuk kirni, ha ezzel jelezni akarjuk bizonyos kzelt rtkek pontossgt. Ezekrl bvebbet a 2.6. szakaszban.

A tizedestrtekkel val szmols azrt fontos, mert lnyegben ugyangy alkalm azhatk rjuk az rsbeli mveleti eljrsok a m atem atikban ezeket algoritmusoknak mondjuk mint az egsz szmokra.

sszeads s kivons sorn arra kell gyelnnk, hogy a szmok felrsval az egyenl helyi rtk szmok kerljenek egyms al:

84,5136 219,864 0,712-2,13 + 3,071 - 76,2199 7424

87,5846 143,6441 7122136

1,51656Szorzskor a rszletszorzatokban figyelmen kvl hagyjuk a tizedesvesszt, az eredmny a tizedesvessz utn annyi jegyet tartalmaz, m int amennyi sszesen a tnyezkben van.

10"-nel (n pozitv egsz) val szorzsnl egyszeren n hellyel jobbra visz- szk a tizedesvesszt, p l.:

17,3149-103 = 17314,9,ugyanis

173 149 173149-103 1 73 14917,3149-103 = 1Q4 -103 = ^ 1U = - ](j = 17314,9.

H a az eredmny egsz szm, a tizedesvesszt mr nem tesszk ki:7,4142-10 000 = 7,4142-104 = 74142; 42,014-105 = 4 201 400.

Az osztsi eljrs egyszerbb ttele miatt gyelnk arra, hogy az oszt mindig egsz szm legyen; ez elrhet, mivel a hnyados (azaz az oszts eredmnye) nem vltozik, ha mind az osztandt, m ind az osztt megszorozzuk 10 olyan hatvnyval, hogy az osztbl egsz szm legyen. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy mind az osztandban, mind az osztban annyi jeggyel visz- szk jobbra a tizedesvesszt, ahny tizedesjegy az osztban van. P l .:

1,51656:2,13 = 151,656:213,1,51656:0,712 = 1516,56: 712,123,54: 0,0142 = 1235400: 142.

33

Az osztskor a hnyadosban akkor jelenik meg a tizedesvessz, am ikor az osztandnl is eljutunk az els tizedesjegyhez:

1516,56 : 712 = 2,13 0,01024: 16 = 0,00064 925 642136 00000

Az osztsi eljrs (osztsi algoritmus) mdot ad arra, hogy a racionlis szmokat tizedestrt alakjban rjuk fel. Az egsz szm is tekinthet tizedes trtnek, itt a tizedesvessz utn (tetszlegesen sok) 0 ll: 7 = 7,0000.

10"-nel val oszts esetn (n =* 0, egsz) a tizedesvesszt n hellyel balra visszk: Pl. 4428,342:105 = 0,04428342.

Lehetsges, hogy az oszts nhny (esetleg sok) lps utn vget r, azaz az oszts folyamn 0 maradkhoz ju tu n k ; az eredmny n. vges tizedestrt.

= 861 : 525 = 1,64 525 3360

21000000

Ez az eset azonban nagyon ritkn kvetkezik be. Az osztsok tbbsge vgtelensgig folytathat, mint pl. a kvetkez racionlis szmok esetben:

4 = 1 :3 = 0 ,3 3 3 ... - J == 7 : 6 = 1,166...3 10 6 10

10 401. 40.

12 1043= 12: 7 = 1,7142857... = 1043:3996 = 0,26101.7 50 3996 10430

10 2438030 4040

20 440060 404.

4050.

Minden pldnknak kzs tulajdonsga, hogy a tizedestrtben bizonyos szmcsoportok n. szakaszok ismtldnek. Ez szksgkppen gy van, hiszen az osztsi m aradkok mindig kisebbek, mint az oszt, s gy szmuk legfeljebb az osztnl 1-gyel kisebb lehet, ezrt oszts kzben jra fel kell lpnie olyan m aradknak, amely mr szerepelt, s ettl kezdve a m aradkok is

34

s a hnyados szmjegyei is ismtldnek. Az ismtld szakaszok kezddhetnek mindjrt a tizedesvessz utn, vagy esetleg ksbb; llhatnak egy vagy tbb jegybl. Az eredmnyl kapott vgtelen szakaszos tizedestrtben a szakaszt szoksos az els s utols jegye fl rt ponttal jellni, gy a tbbi jegy kirsa feleslegess vlik. Ezzel a jellssel:

1 7 12 1043 3 = 0,3 ; 1, 16; ^ = 1,714285; 3^ = 0 ,26101.

Ha mg azt is figyelembe vesszk, hogy az egsz szmok s a vges tizedestrtek is tekinthetk vgtelen szakaszos tizedestrtnek, hiszen a szm utn tetszlegesen sok nulla rhat, kimondhatjuk, hogy

minden racionlis szm vgtelen szakaszos tizedestrt alakjban adhat meg.

Bebizonythat, hogy ezekkel a vgtelen tizedestrtekkel ugyangy vgezhetjk az rsbeli sszeadst, kivonst, vagy a 10 hatvnyaival val szorzst, mint a vges tizedestrtekkel. Ennek ismeretben azonban megmutathatjuk,

hogy minden vgtelen szakaszos tizedest rt (p s q egsz) alakban is el

llthat. Ennek mdszert hrom pldn vilgtjuk meg. (A pldinkban szerepl szmokat jellje rendre x, y, z .)

x = 0 ,4 4 4 4 ... 6 ,191919... z = 1,312312...10x = 4 ,4 4 4 4 ... 100y = 619,191919... 1000z = 1312,312312.. .~9x = 4 99y = 613 999z = 1311

4 613 1311 437X = - y =

9 7 99 999 333

A racionlis szmok halmaza teht azonos a vgtelen szakaszos tizedestrtek halmazval.

Itt jegyezzk meg, hogy csakis akkor egyenl egy vges tizedestrttel,

ha q a prmszmok kzl csak 2-vel vagy 5-tel oszthat, feltve, hogy a trt mr nem egyszersthet. A vgtelen szakaszos tizedestrtek kzl ki szoks zrni azt, amely egy jegytl kezdve mr csak csupa 9-esbl ll, mert ilyen nem jhet ltre az osztsi eljrssal.

2.5. Irracionlis szmok; a vals szmok halmaza

Elmleti meggondolsaink olyan eredmnyre vezetnek, hogy nem tudjuk minden szakasz hosszt racionlis szmmal kifejezni. Ha pl. egy ngyzet oldalainak hossza 1, akkor az tljnak hossza nem lehet racionlis szm, azaz nem lehet vgtelen szakaszos tizedestrttel kifejezni.

35

Az ilyen tpus problmk megoldsra vezetjk be az irracionlis szm fogalmt.

Irracionlis szmoknak a vgtelen nem szakaszos tizedestrteket nevezzk.

Irracionlis szm pl. a 0,101001000100001... szm, meri jegyei nem ismtldnek szakaszosan. (Irracionlis szmok lpnek fel nagyon gyakran a gykvonssal kapcsolatban, errl bvebbet az 5.1. szakaszban.)

A racionlis s irracionlis szmok halmaznak az egyestse a vals szmok halmaza.

A vals szmok teht vgtelen tizedestrtek formjban adhatk meg. Bebizonythat, hogy a vals szmokra rvnyesek mindazok a mveleti azonossgok, amiket a racionlis szmok krben felsoroltunk, teh t:

a + b = b + a ab = ba (kommutativits);a+ (b + c) = (a + b )+ c a (be) (ab)c (asszociativits);

a(b + c) = ab + ac (disztributivits).

T ovbb: a kivons s a (nem 0-val val) oszts egyrtelmen elvgezhet, azaz kt vals szmnak a klnbsge s a hnyadosa is vals szm.

A fenti tulajdonsgokkal rendelkez szmhalmazokat szmtesteknek (vagy egyszeren: testeknek) nevezzk, beszlnk teht a racionlis szmtestrl s a vals szmtestrl. A vals szmtest je le : R vagy IR.

A vals szmok halmaza is rendezett, azaz brmely kt a s b elem kztt fennll az a < b, a = b, a > b kapcsolat egyike. rvnyesek az egsz kitevs hatvnyok 2.3. szakaszban felsorolt azonossgai.

A z a s b vals szmok kztti szmok halmazt, teht azokat, amelyekre a < x < b teljesl, az a. b ltal meghatrozott nylt intervallumnak ( szmkznek) nevezzk; jele: ]a, b[, o lv .: a, b nylt intervallum. Ha a nylt intervallumhoz a-1 s b-t is hozzvesszk, zrt intervallumot kapunk, jele: [a, b], ezek azokat az x szmokat tartalmazzk, amelyekre a ~ x b teljesl.

Ha a-l hozzszmtjuk az intervallumhoz, de b-t nem, alulrl zrt, fellrl nylt intervallumot (jele: [a, b[), fordtott esetben alulrl nylt, fellrl zrt intervallumot kapunk (jeJe: ]a, b]).

A vals szmhalmaz alapvet tulajdonsgt fejezi ki a kvetkez ttel (az n. Cantor-fle axima):

ha az [i, fej], [a2, b2], ., [a, b],. . .zrt intervallumok vgtelen halmaza olyan, hogy minden intervallum tartalmazza az utna kvetkezket (egymsba skatulyzott intervallumok), akkor van olyan vals szm , amely minden intervallumban benne van.

Ennek kvetkezmnye, hogy egy egyenes pontjai s a vals szmok kztt klcsnsen egyrtelm megfeleltets ltesthet, teht az egyenes minden pontjt megjellhetjk egy vals szmmal s minden vals szmhoz tartozik egyetlen pont az egyenesen, mghozz gy, hogy az egyenesen van olyan irny, hogy abban az irnyban haladva a pontokhoz rendelt szmok nvekednek.

36

Az gy megjellt egyenest szmegyenesnek mondjuk. A szmegyenes kt pontja kztti pontok halm azt is intervallumnak nevezzk, s ezeket rendszerint a vgpontokhoz tartoz vals szmokkal adjuk meg.

2.6. Szmok kzelt rtke, kerekts; a szmok normlatok ja

A vgtelen tizedes trtek alakjban megadott vals szmok a szmolsra alkalmatlanok, ill. rendkvl nehzkess teszik a szmolst. A gyakorlatban azonban nincs is szksg vgtelen sok tizedesjegyre, hiszen pl. nincs rtelme annak, hogy kt vros tvolsgt mteres vagy centimteres pontossggal adjuk meg; ugyangy rtelmetlen lenne egy fldrsz lakinak a szmt embernyi pontossggal megadnunk, hiszen senki sem hinn el, hogy Eurpa lakosainak a szmt egy adott pillanatban egsz pontosan meg lehetne hatrozni.

Mrsi s statisztikai adataink teht (egy-kt kivteltl eltekintve) kzeltsek s a vals szmoknak is ltalban a kzelt rtkvel szmolunk. A pontos rtk s a kzelt rtk eltrst klnbsgk abszolt rtkvel mrjk s a kzelt rtk hibjnak nevezzk. T eh t:

|pontos rtk kzelt rtk\ = a kzelt rtk hibja.

A hiba pontos rtkre nincs mindig szksgnk, de nem is ismerjk ltalban a pontos rtkt, ezrt a hibnl fontosabb fogalom a hibakorlt: ez olyan pozitv szm, amelynl a hiba nem lehet nagyobb. Ha teht a hibakorltot /i-val jelljk,

\pontos rtk kzelt rtk\ =5 h,vagy

kzelt rtk h + pontos rtk =s kzelt rtk+ h.

A kzelt rtk megadsnak leggyakoribb formja a kerekts; ez azt jelenti, hogy egy szm jegyeibl csak bizonyos szmt tartunk meg, az utols m egtartott jegyet kerektjk; ha az elhagyott jegyek a tizedesvessz eltt vannak, helykbe nullkat runk.

A kerekts szablya a kvetkez:a) ha az els elhagyott szmjegy 5-nl kisebb, akkor az utols megtartott jegy vltozatlan;b) ha az els elhagyott szmjegy 5 vagy 5-nl nagyobb, az utols megtartott jegyet 1-,gyei nveljk (ez termszetesen hatssal lehet az elz jegyekre is, ha az utols m egtartott jegy 9-es).

A kerektskor meg szoktuk mondani az utols m egtartott jegy helyi rtkt, vagy pedig ha az a tizedesvessz utn van megmondjuk, hny tizedesjegyet akarunk megtartani. P l.: kerektsk a 8649917, 1739543... szmot

szzasokra: 8 649 900;ezresekre: 8 650 000;

37

m illira: 9 000 000;kttizedesre: 8 649917,17; ngy tizedesre: 8 649 917,1740.

Utols pldnk utols jegye n. rtkes nulla, jelezve azt, hogy ez a jegy pontos, ill. kerektett, mg els hrom pldnkban a nullk n. helyptl nullk.

Ebb'l a kerektsi szablybl kvetkezik, hogy a kerektssel kapott kzelt rtk hibja legfeljebb az utols szmjegy helyi rtknek a fe le lehet. A kerekts mrtkt (teht a megkapott jegyek szmt) az szokta megszabni, hogy a kerektett jegy lehetleg mg megbzhat legyen.

A kerektett azaz kzelt rtkkel val szmols eredmnye is ltalban kzelt rtk. A kerekts szablyait figyelembe vve a mveleti eredmny megbzhat jegyeirl a kvetkezket m ondhatjuk:

sszeadskor (kivonskor) megkeressk azt a tagot, amelyben az utols (kerektett vagy megbzhat) jegy a legnagyobb helyi rtk; az eredmnyt gy kerektjk, hogy utols rtkes jegye ilyen helyi rtk legyen;

kerektett szmok szorzatban annyi rtkes jegyet hagyunk meg, amennyi a kevsb pontos tnyezben van (teht abban a tnyezben, amelynek utols jegye a nagyobb helyi rtk); ennek folyamnya, hogy a hatvnyban annyi rtkes jegyet hagyunk, amennyi az alapban van;

osztskor az eredmnyben (hnyadosban) annyi rtkes jegyet hagyunk meg, amennyi az osztand s oszt kzl a kevsb pontosban van.

PL: 542,619 6,17-0,4296 = 2,65063241,16 kerektve: 2,65

+ 9,1477 592,9267 kerektve: 592,93

Ha egy a szmrl hangslyozni akarjuk, hogy kzelt rtk, a % (olv.: kzeltleg egyenl) jel hasznlata a szoks; pl. a % 6,2832.

Sokjegy szm ttekinthet felrsra s az ilyen szmok nagysgrendjnek sszehasonltsra clszer bevezetnnk a vals szmok normlalakjt.

Egy pozitv szmot normlalakban egy 1 s 10 kz es N szmnak (1 s N < 10) s 10 egy egsz kitevs hatvnynak a szorzataknt adunk meg. P l.:

1024 = 1,024-103, 0,0723 = 7,23-10 ",31,42 = 3,142-10, 0,125 = 1,25-10-1,

1614718 = 1,614718-108. 3,42 = 3,42- 10".

A szm normlalakjt hasznljuk igen kis szmok s igen nagy szmok esetn is; pl. 1 elektronvolt = 3,826-10 23 kcal; a Nap tmege 1,983- 103U kg; az elektron nyugalmi tmege 9,1096-10-31 kg stb. Az N szm ltalban kerektett szm. Zsebszmolgpen is normlalakban jelennek meg a nagy szmok; a kijelzben elszr az N, majd tle valami mdon elklntve a 10 hatvnykitevjt jelent kt szmjegy.

A szm normlalakjban 10 kitevjt karakterisztiknak nevezzk. A po-

38

zitv szm karakterisztikjt egyszeren a kvetkez szably szerint llapthatjuk meg: ha a szm 1-nl nagyobb, a karakterisztika a tizedesvessz eltti jegyek szmnl 1-gyel kisebb; ha 1-nl kisebb, a karakterisztika a szm elejn ll nullk szmnak 1-szerese.

2.7. A vals szmok abszolt rtke

A 2.1. szakaszban m r definiltuk az egsz szmok abszolt rtkt, ez a definci rvnyes a vals szmok krben is, teht (|a| = a abszolt rtke):

| a, ha a nemnegatv,\a \ =

( a, ha a negatv.

Az abszolt rtk kt fontos tulajdonsgt kell megjegyeznnk:a) A szorzat abszolt rtke tnyezi abszolt rtknek a szorzatval egyenl:

\ab\ = \a \ \b \, s ez tetszleges szm tnyezre ltalnosthat.

b) A trt abszolt rtke szmllja s nevezje abszolt rtknek a hnyadosa :

Ebbl kvetkezik, hogy\a"\ = \ a f ,

minden egsz kitevre.Jegyezzk meg, hogy hasonl jelleg sszefggs sszegre s klnbsgre

ltalban mr nem rvnyes, pl. az \a + b\ = |a |+ |fe | egyenlsg csak abban az esetben igaz, ha a s b kzl legalbb egy 0, vagy pedig a s b azonos eljelek. Klnbz eljelekre ez az sszefggs nem igaz; p l .:

|5 + ( 3)| = 12 1 = 2, s |5 | + |_ 3 | = 5 + 3 = 8.

Az sszeg s az sszeadandk abszolt rtkei kztt rvnyes sszefggsrl a 8.2. szakaszban van sz.

39

3. Algebrai egsz s trtkifejezsek

3.1. Algebrai egsz kifejezsek s mveleteik

ltalnos rvny ttelek, sszefggsek megfogalmazsakor, lersakor konkrt vals szmok helyett betket szoktunk szerepeltetni; pl. az a, b, e, d, . . .,

y , u, v . . . , betket, ezekkel ugyangy vgezhetnk mveleteket, mint a vals szmokkal, teht rvnyesek rjuk a 2.5. szakaszban sszefoglalt mveleti szablyok.

Az a, b ,c ,d , . . . , x, y, u, v, . . . betk ltalnosan hasznlt elnevezse: hatrozatlanok (vagy vltozk). A hatrozatlanok pozitv egsz kitevj hatvnyainak a szorzatt esetleg mg egy adott vals szmmal is megszorozva egytag algebrai egsz kifejezsnek nevezzk, ezek kz soroljuk az egyetlen vals szmbl ll kifejezst is.

Ilyen egytag algebrai egsz kifejezsek p l.:

a2; 5a3bcl ; ~ a 7y sc7e; 108; 2x; 1992.

Az egytag algebrai egsz kifejezs teht ltalban hatvnyok szorzata, az egyes hatrozatlanokat jelent' betk kz kitehetjk a szorzponto, de ltalban felesleges: 3 a2b-c = 3a2bc\ a tnyezk sorrendje tetszleges. A kifejezsben lev vals szm tnyezt egytthatnak nevezzk, az 1-es egytthatt ltalban nem rjuk ki, az egytthat eljelt szoktuk a kifejezs eljelnek is mondani. A tovbbiakban kifejezseink megjellsben az algebrai egsz jelzt ltalban elhagyjuk.

Az egytag algebrai egsz kifejezsek sszegt tbbtag algebrai egsz k ifejezsnek vagy polinomnak nevezzk. Ilyenek:

3a2 + 5a3bcl 3,8 ax4c + a1y hce (ngytag);

y 5+ 6y2 + lx+ % + 4y2 l x (hattag);9x26a2+ 2a2 x + b + c (ttag).

Az egy- vagy tbbtag kifejezsek krben a mveletek ugyanolyan szablyok szerint vgezhetk el, m int ahogyan a vals szmok esetn azt m r megszoktuk.

40

sszeads s kivons. Ha kt egytag algebrai kifejezs csak egytthatjban klnbzik, sszegk egytthatja a kt egytthat sszege lesz, s csak ilyenek sszege rhat egyszerbb a lakba :

51a 10a = 41a; 3x2 + 5x2 8x2;9y2- 6 y + l + 2y2 + 9 = 1 ly2 6y+ 16;

4,3ab+2a2~ c ~ a2 + 7ab = 11,3ab + 1,5a2 c.

Tbbtagak sszeadsakor, ill. kivonsakor a tbbtagt zrjelbe tesszk. H a a zrjel eltt + eljel van (ezt a sor elejn nem rjuk ki), a zrjel egyszeren elhagyhat; ha eljel van a zrjel eltt, a zrjelet elhagyva a benne lev tagok (egytagak) eljelt ellentettjre kell vltoztatnunk: .

(3a2 2a + 5) + (9a 142 + a3 + 7) = 3a2 2a + 5 + 9a 14a2 + a3 + 7 == a3-lla2 + 7a+12;

(3a2 2a+ 5) (9a 14a2 4-a3+ 7) 3a2 2a + 5 9a + 14a2 a3 7 == a3 + 17a2 11a 2;

4xy + x2 ( 3x2 4- 2xy 8) = 4 x y + x 2 + 3x22xy + 8 = 4x2 + 2xy +

Szorzs. Kt egytag szorzata ismt egytag lesz; az egytthatkat s az egyenl alap hatvnyokat sszeszorozzuk :

3 -4a2 = 12a2; 5a-( 12a4) = 60a5; 12 b2c-bc2 12 3c3;

~ a 7b c-~ a c5x 2 ~ a 8bc6x 2.

Tbbtag s egytag kifejezs szorzsakor a tbbtag minden tagjt megszorozzuk az egytagval. Az eredmny az gy kapott egytagak sszege lesz:

(5x4+3x2 x l)-4x2 = 20x6 + 12X4 4X3 4x2;(a2- a b + b2)-2ac 2a3 c 2a2bc + 2ab2c.

Kt tbbtag kifejezs szorzsakor a szorzand minden tagjt megszorozzuk a szorz minden tagjval, majd a szorzatokat sszeadjuk:

(a2 ab + b2) (a+ b ) = a3a2b + ab2 + a2b ab2 + b3 = a3 + b3;(x2 3x+2) (x2 1) = x4 3x3 + 2x2 x2 + 3x 2 == x4 3x3+ x 2 + 3x 2.Ha a szorzat kettnl tbb tnyezbl ll, elszr valamelyik kt tnyezt

szorozzuk ssze:(3b2- 2 ) (4b2+ ) (b+ 2) = (12Z>4-862+362-2) (b + 2 ) =

= (12b* 5b2 2) (b + 2) = 12b= - 5 & - 2 b + 24b* - 10b2 - 4 .

Oszts. Egy egytag kifejezs egytagval val osztsakor a hnyados olyan egytag, amelynek az osztval val szorzata az osztandt adja. Az oszts az egsz kifejezsek krben csak akkor vgezhet e! gy, hogy a hnyados is egsz kifejezs legyen, ha az osztand tartalmazza azokat a hatvnyalapokat,

41

amelyek az osztban elfordulnak, mghozz legalbb akkora hatvnyon, mint az oszt.

39cPb*c3 : 3a2bl 13a5ca, mert 3a2bi -3a5c3 = 39a7bi c3, 25x-yz1 : 5xyz = 5xz6, mert 5xyz-5xz6 25x 2y z7,

4 44x7a5b : 3x 7ab = - j a 1, mert 3x7a b - ~ a i = 4x 7asb.

Ugyanilyen okbl tbbtag egytagval val osztsakor a tbbtag minden tagjt osztjuk az egytagval:

(a4 +4a3 2a2) : 2a2 = ~ + 2a \ ;

(3x2y l + x 3y 5 l x 5y 7 6x2y ) : x 2y = 3v3 + xy4 7x3y 8 6.

Tnyezkre bonts. Gyakran van szksg a szorzsban szerepl talaktsok (mveletek) fordtott irny elvgzsre, azaz az sszeg szorzatt alaktsra, tnyezkre bontsra.

A tnyezkre bonts teht lnyegben oszts eredmnye. Egy sszeget ltalban nem tudunk algebrai egsz kifejezsek szorzatra bontani, s sokszor nem is tudjuk eldnteni, hogy ez egyltaln lehetsges-e. Egyszer a dolgunk akkor, ha az sszeget gy akarjuk szorzatt alaktani, hogy az egyik tnyez egytag kifejezs legyen; ilyenkor azt kell megvizsglnunk, milyen egytagval tudjuk elosztani az sszeg minden tagjt. (Az ilyen szorzatt alaktst az egytag kiemelsnek is szoktk nevezni.) P l.:

(6a'l +2a3 10a2 8 a ): 2a = 3a3 + a2 5a4,ezrt

6ai +2cfi lOtf2 8a = 2a(3a3 + a2 5a4);

a szorzatt alakts helyes voltt clszer a szorzs elvgzsvel ellenrizni.9x4y3 3 x 2y 2+ 6x5y = 3x2y(3x2y 2y + 2x3).

Ha egy egytag kiemelse nem sikerl az sszegbl, megksrelhetjk tbbtagak szorzatra bontani; erre azonban nem ltezik minden esetben alkalm azhat eljrs. Az

x 2y + x y + y + x 2 + x + 1

sszegben ltszik, hogy egy tagot nem tudunk kiemelni, az els hrom tag azonban szorzatt bonthat gy, hogy az egyik tnyez ppen a msik hrom tagot tartalm azza:

x 2y + x y + y + x 2 + x + 1 = y (x2 + x + ] ) + (x2 + x + ) = (x2+ x + l ) ( j+ 1 ) .

Egytagak hatvnya. Mivel az egytag kifejezs lnyegben szorzat, egytag kifejezs hatvnya a tnyezk hatvnyainak a szorzatval egyenl.

(3 x 2y f = 3\ x 2f f = 27x6/ ; (4a2bc5)2 = 1 c&c10.

42

Tbbtagak hatvnyozst tbbtnyezs szorzatok kifejtsre vezethetjk vissza; nhny esetre, pl. a kttagak hatvnyozsra a kvetkezkben mg visszatrnk a 3.2. s a 13.3. szakaszban.

Ha egy kifejezsben a hatrozatlanok (vltozk) helybe adott szmrtkeket helyettestnk, a kapott szmrtket az adott szmokhoz tartoz helyettestsi rtknek nevezzk. Az adott szmokhoz tartoz kifejezs helyett szoks az adott helyhez tartoz vagy adott helyen vett helyettestsi rtkrl is beszlni.

Pl.: az x 2 6x y + y 2 kifejezs x = 2, v = 3 helyen vett helyettestsi rtke: 4 - 6 . 2 - ( - 3 ) + 9 = 49.

Kt algebrai egsz kifejezst azonosnak ( azonosan egyenlnek) mondunk, ha brmely helyen vett helyettestsi rtkk egyenl.

Ha kt azonos kifejezst az egyenlsg jelvel sszekapcsolunk, azonossgot kapunk. Bebizonythat egybknt, hogy kt azonosan egyenl egsz kifejezs ugyanazokbl az egytagakbl ll, legfeljebb az egytagak sszeadsi sorrendjben klnbznek.

Ha egy kifejezst gy alaktunk t, hogy vele azonos kifejezst kapunk, az talaktst (v. mveletet) azonos talaktsnak mondjuk. A fejezetnkben felsorolt mveleti eljrsok, szablyok mind azonos talaktst eredmnyeznek (feltve, hogy az osztsnl az oszt nem 0).

Kt kifejezs azonossgt nha szoktk = (olv.: azonosan egyenl) jellel jellni.

A helyettests elve. Egy azonossgban a benne szerepl vltozk (betk, paramterek) helyett m indentt ugyanazt a kifejezst helyettestve ismt azonossgot kapunk; pl. a (3x2yz2)2 9x 4y 2z4 azonossgban z helybe 5x 3y-t helyettestve:

(3x2>'(5x-3>)2) 2 = 9xiy 2(5x 3y)i .

A ptls elve. Ha egy azonossgban a benne szerepl rszkifejezst (esetleg csak egyetlen vltozt) egy vele azonos kifejezssel ptoljuk, ismt azonossgot kapunk; pl. elz kifejezsnkben, ha y = a + b,

(3x2y(5x 3y)2) 2 = 9xi(a + b)2 (5 x3y)*.

3.2. Fontosabb azonossgok a tbbtag algebrai egsz kifejezsek krben

Nhny gyakran alkalmazott azonossgot mutatunk most be.(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 a2 + 2ab + b2,

teht(a + b)2 = a2+2ab + b2.

43

(a b)2 = a2 2ab + b2.

Kttag kifejezs ngyzeti megkapjuk, ha a tagok ngyzeteinek az sszeghez hozzadjuk a kt tag szorzatnak a ktszerest.

Ezt a gondolatunkat folytathatjuk hromtag kifejezsre;(a + b + c)2 ((a + 6) + c)2 = (a + b)2+2(a + b) c + c2 =

d2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Ebbl az eredmnybl mr kvetkeztethetnk az ltalnos szablyra:egy n tag kifejezs ngyzett megkapjuk, ha a tagok ngyzeteinek sszeghez hozzadjuk a tagokbl kpezhet kttnyezs szorzatok ktszerest.

PL:(a+ b + c+ d )2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac+ 2ad+ 2bc + 2bd -f 2cd.

Hasonlan kapjuk meg a + b kbnek a polinom alakjt:(a + b)3 = (a + b ) \a + b) (a2-+ 2ab + b2) (a -tb ) =

= a3 + 2a2b + ab2+ a2b + 2ab2 + b3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3,vagy ms a lakban :

(a + b)3 = a3 + bz + 3ab(a + b).Ugyangy:

(a b)1 a3 3a2b + 3ab2 P .Nevezetes azonossgot nyernk, ha kt tag sszegt s klnbsgt ssze

szorozzuk :(a + b) (a b) a2 + ab ab b2 = a2 b2.

Kt tag sszegnek s klnbsgnek szorzata ngyzetk klnbsgvel egyenl, vagy:kt tag ngyzetnek a klnbsge a kt tag sszegnek s klnbsgnek a szorzatval egyenl.

Ilyen tpus azonossgok mg (bizonytsuk az elzkhz hasonlan): a3 b3 = (a2 + ab + b2) (a b), c^ b* = (a3 + a2b + ab2+ tfi)(a b),

ltalban, ha n tetszleges pozitv egsz:an bn = (an~1 + an~-b + an~ab~ + . . . + 1bn~3 + abn~- + bn~1) (a b),

vagy:a3 + b3 = (a2ab + b2) ( a Jrb),a? + b = (a* a3b + a2b2 ab3 + bi)(a + b),

ltalban, ha n pratlan pozitv egsz:an + bn = (a"-1 an~2b -f a"~3b? . . . + a 2bn~3 abn~- + bn~1)(a + b).

Hasonlan kapjuk, hogy

44

a4 >4 = (a3a2b + ab2 b3)(a + b),a* b6 = (a5 aib + a3b2 a2b3 + ab* b5) (a + b),

s ltalban, ha n pros pozitv egsz:

an bn = (a~1cf~ 1b + a"~3b: . . . dzb~3 + ab"~2 bn~1) (a + b).

Ezek az azonossgok jl hasznlhatk tbbtag kifejezsek szorzatt bontsra.

tovbb:

3.3. Algebrai trtkifejezsek s mveleteik

Kt algebrai egsz kifejezs hnyadost algebrai trtkifejezsnek vagy algebrai trtnek nevezzk; gyakran azonban egyszeren csak a trtkifejezs elnevezst hasznljuk.

Az algebrai trtkifejezs teht olyan trt, amelynek szmllja s nevezje is algebrai egsz kifejezs. ltalnosabban azokat a kifejezseket is szoks trtkifejezsnek nevezni, amelyeknek szmllja s nevezje ugyan nem egsz kifejezs, de azonos talaktsokkal a trt szmllja s nevezje egyttesen egsz kifejezss alakthat t (pl. az emeletes trtek).

Az algebrai trtekkel vgzett mveletek sorn lnyegben a 2.2. szakaszban lert mveleti szablyok rvnyesek; a helyettestseket alkalmazva egy-egy hatrozatlan helybe algebrai egsz kifejezseket helyettesthetnk.

Az algebrai trtek krben is rvnyes a trteket rtelmez alapvet szably: ha a trtet megszorozzuk a nevezjvel, a szmlljt kapjuk. Minden egsz kifejezs tekinthet olvan trtkifejezsnek is, amelynek a nevezjben 1 ll.

A trtek felrsakor eleve felttelezzk, hogy a nevez nem nulla. A trt megadsakor nhol annak a felttelt is megadjk, hogy a trt ne legyen 0; p l :

3 / rw a + 1 /2" ( * t ) ; vagy -j - j , (a # 1);

ennek a kvetkezetes vghezvitele azonban az esetek tbbsgben nagy nehzsgekbe tkzik, st gyakran lehetetlen is, pl. nem tudjuk megmondani, milyen x rtkre lesz a

3 x 2 x 7 + x + l

trt nevezje nulla. Ezrt azt az ltalnosan elfogadott elvet kvetjk, hogy egy trtnl eleve csak olyan helyettestsi rtkeket engednk meg, amely mellett a nevez nem nulla, s ezeket mind megengedjk, hacsak kln kikts msknt nem rendelkezik.

45

Egyszersts s bvts. A trtkifejezs bvtse, ill. egyszerstse azt jelenti, hogy a szmllt is s a nevezt is megszorozzuk, ill. elosztjuk egy kifejezssel; bvtskor termszetszerleg kiktjk, hogy a szorz nem veheti fel a 0 rtket. Az

x 3 + x 2 2x x 2 + x 2egyszersthet x-szel:

12x2 ------ \2x 4a5b2c7 , . , ,, . 2a2c1

57TT egyszersthet 2ab2-te i: = ;6xa3bz 3xa2 b2 (a )(a + ) a b

egyszersthet a + o-vel:a2 + 2ab + b2 " ' (a + b)2 a + b '

Bvtsre rendszerint a trtek sszeadsakor van szksg.

sszeads s kivons. Ez a kt mvelet kzs nevezj trtek esetben egyszeren elvgezhet:

a b 2 a2 2a2 + a b 3x 3 x + 3x 3x

Klnbz nevezj trtek esetn bvtssel elrhet, hogy kzs nevezjk legyen. Kzs neveznek olyan kifejezst kell vlasztanunk, amellyel minden nevezt el lehet osztani. P l .:

2.x 4 3x-5-------- 1 sszeadsakor a kzs nevez lehet 10y2,5 y 2 y 2y

a trteket rendre gy bvtjk, hogy ez lljon a nevezjkben:

2x-2 4-10y ^ 3x-5y 4x 4 0 y + \5 x y 5y2-2 y - l 0 y ^ 2 y - 5 y 10j2

Kzs neveznek mindig megfelel a nevezk szorzata, de ltalban igyeksznk ennl egyszerbb kifejezst tallni, utols pldnkban 10y 4 helyett 10y2-et.

Az egsz kifejezst 1 nevezj trtknt fogjuk fel:3 1 a3+ 3 + a

a-\ s"-l = 2 a2 a a2Felhvjuk a figyelmet arra, hogy tbbtag szmll esetn a trtvonal

helyettesti a zrjelet, teht ezt kell tekintetbe venni a trtvonal elhagysakor.4 y x y 4y-2x x y 8 x y - ( x - y ) 8 xy x + y 2x 4 x2 2x-2x 4 x2 4x2 4x2

Szorzs. Trtek szorzsakor a szmllt a szmllval, a nevezt a nevezvel szorozzuk m eg:

46

2x 6y2 12 xy2 12 xyly 5 35y 35

3a2b (" ^ (3a2b)(a+ 1) _ 3a3 ab + 3a2b(fl+ *) = lfc = g~c

a + b (ab)2 (a + b) (ab)2 (a + b) (a b) a2-a b 2 a 2 a(ab) 2 a 2 a

Oszts. A trttel val oszts az oszt reciprok rtkvel val szorzst jelent.8z _ 2a 8z 3yz 24yz2 4yz2 9a ' 3yz 9a 2a 18a2 3a2

a2 . a2 a2: 4c =2b3 ' 2b3- 4c 8b3c

3y 4z 20xz5* : 47 = 5 x ' 3 y = ~ 3 T -

Az oszts elvgezhet gy is, hogy szmllt szmllval, nevezt nevezvel osztunk:

15a2 3a 5a a2 b2 a b a + b 16 ' 4 4 a3+fc3 ' a + b a2a b + b 2

Hatvnyozs. Egy trt n-edik hatvnyt szmlljnak s nevezjnek az -edik hatvnyra val emelsvel kapjuk.

3 a2b \ 4 81 a8b4 / 2 a + l \ 2 ( 2 a + \ f 4a2 + 4 a + l/3 a - b y 81 a8bl / 2 a + l \ \ 2x y ) 16xiy4 \ c )

Algebrai trtkifejezsek kz szmtjuk az olyan formailag egytag- akat is, amelyekben valamelyik hatrozatlan negatv egsz kitevs hatvnyon szerepel. Pl.:

1 x , . , x5v x ~ 3z zy2 xy 2 = x 7 T , 3 1xyz 3 = yr

1

3z3 2y ~ 2 2x3

(x + y f = x 2 + 2xy + y2.

Emeletes trtek. A trtek szmlljban s nevezjben is elfordulhat t rtkifejezs, az ilyen trteket emeletes trteknek nevezzk. Mivel a velk val szmols igen nehzkes, azonos talaktsokkal ezeket egyszer trtalakra hozzuk. Erre m utatunk most kt mdszert.

A trtet felfoghatjuk egy osztsi utastsnak is, a szmllt kell elosztanunk a nevezvel; ez az egyik mdja az emeletek lebontsnak .

47

_ 1a a / 1 \ /1 , \ a2 1 1 + a (a + l ) ( a 1) 1 + a .- 1 ------ : --------- = -------------------- : ---------= a 1.1 [_af-HMH

8 x 22 x - 3 / 8x 2 \ 6x 8x + 2 1 2 2x

= 2 x ------- ^ : 3x =3x y 3 J 3 3x 9x

Kzvetlenl is m egkaphatjuk ezt az eredmnyt, ha a trtet gy bvtjk, hogy a szorzsok kvetkeztben a szmll, ill. a nevez egsz kifejezsbe menjen t. Ez elrhet, ha els pldnkban a trtet a-val, a msodikban 3-mal bvtjk :

1 / 1a ----- a ----- laa \ a ) a2_ i ( + 1) (a 1)

1 , /1 1+ a 1 + a- + 1 - + 1 W

= a 1;

2X - ^ \ . 6 x (8x2) 6 x 8 x + 2 2 2x

3x 3x - 3 9x 9x 9x

Bvtsre ltalban a szmllban s nevezben fellp nevezk kzs tbbszrst hasznljuk, p l.:

1 1 / I 1- + T T 7 (1 - a ) ( l + a )1 - a 1 + a \ l - a 1+ a j i + a + i _ a

1 a 1 + a \ 1 a 1 + a2 2. 1

1 1 ' ( l - a X l + o) + O - 0 - " )

1 + a 1 + a 2a a

3.4. Feladatok a racionlis algebrai kifejezsek krben vgzett mveletekre s alkalmazsaikra

Az algebrai egsz s trtkifejezsekbl sszeads, kivons, szorzs s oszts segtsgvel ellltott kifejezseket racionlis algebrai kifejezseknek nevezzk. (Ebbe belertjk az egsz kitevs hatvnyozst is, mivel az lnyegben a szorzs, ill. oszts tm r kifejezse.) Elz mveleti sszefoglalsunk azt m utatja, hogy minden racionlis algebrai kifejezs vagy egsz kifejezs (polinom) vagy pedig algebrai trtkifejezs.

48

1. Bizonytsuk be a kvetkez azonossgot:(ab+cd)2 (a2 + c2) (bP+d2) (ad be)2.

A bal o ldal:(ab + cd)2 a W + labcd + c2d2,

a jobb o ldal:a2b2 + b2c2 + a2d 2 + c2d2 (ald2 labcd + b2c2)

= d2Uz + bic2 + a2d2 + c2d2 a2d2 + 2abcdb2c2 a2b2 + la b cd + c2cP, a kt oldal valban azonos.

2. Bontsuk ngy kttag szorzatra az x 8y 8 kifejezst:x8j 8 = (x3)2 - ( v 4)2 = (x4+ y i ) ( x i y 4) (x4+ y 4) (x2y 2) (x2+ j 2) =

= (x4 + y4) (x2+ j 2) (x+ y) ( x y).

3. Vgezzk el a kvetkez osztst; az eredmnyt trtkifejezsknt adjuk m eg:

A ~~ ( ( ^ + j ) 2 ' ( * - j 0 2) ' ( x + y ' x - y ) '

^ = ( - - + - ! - ) ( - 1_______ U : l - ^ + - A =\ x + y x - y J \ x + y x - y J \ x + y x y J 1 1 1 - ( x - y ) !(* + }>)

x + y x - y (x + y ) ( x - y ) (x + y) ( x - y ) x - y - x - y ly

x 2- f ~ x 2- f '

4. Adjuk ssze a kvetkez hrom t r te t:1 1 1 J3 ------- ---------- -+ -------- ------- -[ -

(a b)(b c) (b c) (c a) (ca)(a b) A kzs nevez: ( a - b) (b c) (c a).

p = c - a + a - b + b - c ( a - b ) ( b - c ) ( c - a )

3.5. Arnyok, arnyprok; arnyossg

A z -**- trtet a s b arnynak is szoktuk m ondani; s ezt a kifejezst hasznlva b

a : b-vel (o lv .: a arnya a 6-hez) is szoktuk jellni. H a a s b valamint c s d arnya egyenl, az azt jelenti, hogy

49

H a most ennek az egyenlsgnek mindkt oldalt megszorozzuk bd-vel, akkor egyszersts utn a kvetkezket kapjuk:

abd cbd = -j ; ad be. (3.5.2)

b d

H a az a, b, c, d szm kztt nincs 0, a (3.5.1) s a (3.5.2) egyenlsgek a ngy szm kztt ugyanazt az sszefggst fejezik ki. H a most az utbbi egyenlsg m indkt oldalt elosztjuk rendre d-ve 1, c-vel, fc-vel, ill. a-val, megkapjuk a ngy szm kzl egynek-egynek a kifejezst a msik hrom segtsgvel :

be ad ad bea = r , b = , c = --r , d = . (3.5.3) d e b a

Az ilyen jelleg talaktsok igen gyakoriak, ezrt rdemes ezeket kln megjegyeznnk. A (3.5.1) egyenlsget

a : b c : d

alakban rva arnyprnak nevezzk; a-1 s d-1 szoks az arny pr kltagjainak, b-t s c-1 pedig a beltagjainak nevezni; ezek az elnevezsek a (3.5.3) alatti sszefggsek knnyebb megjegyezhetsgt szolgljk, mert ezek azt fejezik ki, hogy

az arnypr egyik kltagja egyenl a beltagok szorzatnak s a msik k ltagnak a hnyadosval; ill. az arnypr egyik beltagja egyenl a kltagok szorzatnak s a msik beltagnak a hnyadosval.

(3.5.2) pedig azt m utatja ki, hogyaz arnyprban a kltagok szorzata egyenl a beltagok szorzatval.

x 8 5*8Pl. a z - = arnyprt x :5 8 :4 alakban rva, ezek szerint x = = 10.5 4 4

aEgy mennyisg ^ arnyban (vagy a : b arnyban) val felosztsa azt jelenti,

hogy a mennyisget a + b egyenl rszre osztjuk, majd ebbl a, ill. b rszt vlasztunk el, teht egy mennyisg a : b arny felosztsa annak

a ba + b a + b

arny rszekre val szlvgst jelenti. Pl. egy szakaszt 5 : 7 arnyban fel-5 7

osztva az egyik rsz a szakasz - - e d rszt, a msik pedig - - e d rszt ta r

talmazza.A gyakorlatban gyakran tallkozunk olyan egymshoz kapcsolt mennyi