student: Miloš Savićprofesor: Zoran

Ognjanović

Prilikom definisanja aritmetičkih funkcija često se javlja induktivni postupak kojim se uvodi, recimo, funkcija faktorijel pomoću funkcije množenja:

U opštem slučaju, postupak definisanja funkcije f na osnovu funkcije g je oblika:

)1()!()!1(

1!0

nnndef

def

)),(()1(

)0(

nnfgnf

mf

)),1),...,0),((...(()),(()1(

)1),0,(()1),1(()2(

)0,()0),0(()1(

)0(

nnmgggnnfgnf

mggfgf

mgfgf

mf

Klasa primitivno rekurzivnih funkcija sadrži: nula funkciju, za svako funkciju naslednika prirodnog broja

u nizu prirodnih brojeva i funkcije projekcije kompoziciju prethodnih funkcija, tako da ako

su definisane i onda je definisana i

0)( nZ Nn)(nS n

kixxxP ikik 1,),...,( 1

NNg m : NNhh km :,...,1

NNf k :

)),...,(),...,,...,((),...,( 1111 kmkk xxhxxhgxxf

primitivnu rekurziju, tako da ako su definisane

i onda je definisana i i važi:

Pri tome je funkcija f definisana primitivnom rekurzijom nad h sa bazom g.

U slučaju kada je funkcija f unarna, operacija primitivne rekurzije svodi se na induktivnu definiciju i funkcija g je konstanta:

Primitivno rekurzivne funkcije su totalne.

NNg m : NNh m 2:NNf m 1:

),...,(),...,,0( 11 mm xxgxxf ),...,,),,...,,((),...,,1( 111 mmm xxnxxnfhxxnf

)),(()1(

)0(

nnfhnf

df

Da bi se za neku funkciju pokazalo da je primitivno rekurzivna (PR), potrebno je naći njen opis u smislu prethodne definicije, tj. pokazati da se iz inicijalnih funkcija može dobiti konačnim nizom primena operacija kompozicije i primitivne rekurzije.

Primer 1: Konstantne funkcije za koje je

za sve su PR.

definišemo funkciju primitivnom rekurzijom nad projekcijom sa bazom

NNK kjk :

jxxK kjk ),...,( 1

kk Nxx ),...,( 1

NjjNKk j ,::1 1 ))(()(1 xZSxK jj :1k j

kK 112kP

jkK

),...,,),,...,,((),...,,1(

),...,(),...,,0(

1111211

111

kkjkkk

jk

kjkk

jk

xxnxxnKPxxnK

xxKxxK

Primer 2: Funkcija sabiranja je PR.

Funkcija f je definisana primitivnom rekurzijom nad sa bazom .

Primer 3: Funkcija prethodnik je PR.

xnxnf ),(

)),),,(((1),1(

)(),0(13

11

xnxnfPSxnxnf

xPxxf

())( 13PS ()11P

0,_____

0,0)(

xNnizuuxodprethodnik

xxpreth

)),(()1(

0)0(22 nnprethPnpreth

preth

Neku operaciju nazvaćemo primitivno rekurzivnom ako primenjena na primitivno rekurzivne funkcije daje primitivno rekurzivnu funkciju, tj. ako se može simulirati korišćenjem kompozicije, primitivne rekurzije i osnovnih primitivno rekurzivnih funkcija. Primitivno rekurzivne operacije omogućiće nešto jednostavnije definisanje primitivno rekurzivnih funkcija.

EKSPLICITNA TRANSFORMACIJA Neka je k-arna funkcija i neka su l-arne funkcije od kojih je svaka ili

projekcija ili konstantna funkcija. Funkcija f definisana sa:

je dobijena iz g eksplicitnom transformacijom, odnosno dupliranjem i/ili permutovanjem argumenata i zamenom argumenata konstantama.

NNg k :NNhh l

k :,...,1

)),...,(),...,,...,((),...,( 1111 lkll xxhxxhgxxf

Eksplicitna transformacija predstavlja jednu vrstu kompozicije, pa važi:

Teorema:

Ako je funkcija g primitivno rekurzivna, primitivno rekurzivne su i sve funkcije dobijene iz nje eksplicitnom transformacijom.

Primer 1:

Neka je funkcija primitivno rekurzivna. Tada je i funkcija primitivno rekurzivna jer je dobijena eksplicitnom transformacijom iz primitivno rekurzivne funkcije g.

Primer 2:

Funkcija monus (ograničeno oduzimanje)

je PR jer se dobija operacijom primitivne rekurzije:

NNg 2:),(),,( xzgzyxf

nxnx

nxxn

,

,0),(

),),,((),1(

)(),0( 11

xnxnhxn

xPx

gde je f-ja h definisana sa

tj. kao prethodnik prve projekcije, pa je PR jer je dobijena eksplicitnom transformacijom iz primitivno rekurzivne funkcije preth.

)),,((),,( 13 zyxPprethzyxh

Ograničena suma je funkcija oblika za koju se uvodi oznaka .

Teorema: Neka su funkcije primitivno rekurzivne.

Tada je i ograničena suma primitivno rekurzivna. Dokaz:

je trivijalno PR funkcija.

Pretpostavimo da je za sve tvrđenje dokazano. Tada je

primitivno rekurzivna funkcija kao kompozicija primitivno rekurzivnih funkcija.

)(...)(0 xfxf n

n

i i xf0 )(

nff ,...,0

)()(,0 0

0

0xfxfn

i i mk

))(),(()(1

00

m

i mi

m

i i xfxfxf

Ograničeni proizvod je funkcija oblika za koju se uvodi oznaka .

Teorema: Neka su funkcije primitivno rekurzivne. Tada

je i ograničeni proizvod primitivno rekurzivan. Dokaz:

je trivijalno PR funkcija.

Pretpostavimo da je za sve tvrđenje dokazano. Tada je

primitivno rekurzivna funkcija kao kompozicija primitivno rekurzivnih funkcija.

)(...)(0 xfxf n

n

i i xf0 )(

nff ,...,0

)()(,0 0

0

0xfxfn

i i mk

))(,)(()(1

00xfxfxf m

m

i i

m

i i

Predikat je relacija, odnosno neki podskup skupa za neki prirodan broj . Unarni predikat R je PR ako je primitivno rekurzivna njegova karakteristična f-ja

ako važi R(n)

ako ne važi R(n) Primer 1:

Predikat =, tj. relacija jednakosti, je primitivno rekurzivan jer je primitivno rekurzivna njegova karakteristična f-ja:

Primer 2:

Predikat <, tj. relacija biti manji, je primitivno rekurzivan jer je primitivno rekurzivna njegova karakteristična funkcija .

kN0k

,0

,1)(nCR

)1)),,(),(((),( xyyxsignyxC

)),((),( yxsignyxC

Neka su P i Q dva unarna predikata. Konjunkcija predikata P i Q je unarni predikat sa karakterističnom funkcijom:

ako važi P(n) i Q(n)

ako ne važi P(n) i Q(n). Disjunkcija predikata P i Q je unarni predikat sa

karakterističnom funkcijom:

ako važi P(n) ili Q(n)

ako ne važi P(n) ili Q(n) Negacija predikata P je unarni predikat sa

karakterističnom funkcijom:

ako ne važi P(n)

ako važi P(n)

,0

,1)(nC QP

,0

,1)(nC QP

,0

,1)(nC P

Teorema: Ako su P i Q dva primitivno rekurzivna predikata, tada

su primitivno rekurzivni i predikati . Dokaz: Neka su predikati P i Q unarni. Predikati

su primitivno rekurzivni jer su im takve karakteristične funkcije:

PQPQP ,,

PQPQP ,,

)()()( nCnCnC QPQP

))()(()( nCnCsignnC QPQP

)1),(()( nCnC PP