13 Relatividad

IDEAS FUNDAMENTALES■ Los estudios que realizó Einstein en el ámbito del electromagnetismo revelaron la presencia de

inconsistencias entre las teorías de Maxwell y la mecánica de Newton. Él reconoció que ambas teorías no pudieran coexistir y decidió apostar por la teoría del electromagnetismo de Maxwell, aun sabiendo que si era la correcta, habría que cambiar de una forma espectacular ideas extensamente aceptadas sobre el espacio y el tiempo en la mecánica.

■ Dos observadores que se mueven con un movimiento uniforme relativo discrepan en cuanto a los valores numéricos de las coordenadas espacio–temporales de un suceso, pero están de acuerdo en cuanto al valor numérico de la velocidad de la luz en el vacío. Las ecuaciones de transformación de Lorentz relacionan los valores de estas coordenadas en dos sistemas de referencia y reemplazan las ecuaciones de transformación de Galileo, que fallan para velocidades cercanas a la de la luz.

■ Los diagramas espacio-tiempo son una manera muy clara e ilustrativa de representar gráficamente por qué dos observadores que se mueven relativamente uno respecto al otro obtienen medidas distintas.

■ La energía se debe conservar en cualquier circunstancia y lo mismo le ocurre al momento. La relatividad del espacio y del tiempo requiere una nueva definición para la energía y el momento con el objetivo de preservar la naturaleza conservativa de estas leyes bajo transformaciones relativistas.

■ La relatividad general es un marco de ideas que aglutina los conceptos fundamentales de masa, espacio y tiempo para describir el destino del universo.

13.1 (A1: Núcleo) Los inicios de la relatividadLos estudios que realizó Einstein en el ámbito del electromagnetismo revelaron la presencia de inconsistencias entre las teorías de Maxwell y la mecánica de Newton. Él reconoció que ambas teorías no pudieran coexistir y decidió apostar por la teoría del electromagnetismo de Maxwell, aun sabiendo que si era la correcta, habría que cambiar de forma espectacular ideas extensamente aceptadas sobre el espacio y el tiempo en la mecánica

Para comprender los novedosos pasos que dio Einstein a principios del siglo XX es importante tener en cuenta el contexto científico en el que se realizaron esos pasos. La mecánica newtoniana había reinado hasta el momento de manera absoluta gracias al éxito de la teoría de Newton a la hora de describir con exactitud el movimiento del universo. Para valorar el verdadero vuelco al paradigma newtoniano que introdujo Einstein, primero necesitamos tener bien claros algunos de los principios del modelo newtoniano del universo.

■■ Sistemas de referenciaEs probable que hayas resuelto muchos problemas del Capítulo 2 en los que tuviste en cuenta

un sistema de referencia estacionario y mediste o calculaste el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de diferentes objetos con respecto a un punto estacionario (es decir, fijo o inmóvil).

Un sistema de referencia es simplemente un sistema de coordenadas que permite asignar un valor específico de tiempo y posición a un suceso.

Un suceso es un acontecimiento instantáneo que ocurre en un punto específico del espacio.

Podemos poner muchos ejemplos de sucesos: un centelleo de luz, el momento en el que dos objetos colisionan y el punto más alto al que llega un objeto que describe una trayectoria parabólica.

Los sistemas de referencia se representan a menu-do mediante un conjunto de ejes al que se le suele asignar el símbolo «S», tal como se muestra en la Fi-gura 13.1.

■■ Figura 13.1 Representación gráfica del sistema de referencia de la Tierra para un cohete en vuelo

y

0x

Suceso 2

Suceso 3Suceso 1

Sistema de referenciaestacionario, S

Opción A

2 13 Relatividad

Para definir un sistema de referencia debemos especificar el origen, las direcciones de los ejes x e y, y el suceso que marca el inicio del tiempo. El sistema de referencia obvio de la Figura 13.1 es la Tierra. No obstante, también podríamos considerar el sistema de referencia del cohete, en el que este último está estacionario y es la Tierra la que se mueve.

El éxito de la mecánica newtoniana es que permite calcular de forma exacta propiedades como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo utilizando las ecuaciones del movimiento.

Ejemplo resuelto

1 Calcula las coordenadas x, y y t de un cohete en caída libre con una velocidad inicial de 400 m s–1 y una velocidad horizontal de 100 m s–1 para los tres sucesos representados en la Figura 13.1.

Suceso 1: Este es el suceso que define el origen de coordenadas y también el valor inicial del tiempo, por tanto: x = 0 m, y = 0 m y t = 0 s; es decir, las coordenadas son (0,0 m, 0,0 m, 0,0 s).

Suceso 2: Este es el suceso que se define porque el cohete alcanza su altura máxima. Utilizamos las ecuaciones del movimiento para calcular x, y y t de la manera siguiente:

v2 = u2 + 2as

como v = 0 en la altura máxima:

s = −u2

2a

s = −(4002)2 × (−9,81)

s = 8,2 × 103 m

Esta expresión nos proporciona la altura, por tanto y = 8,2 × 103 m. Tomamos este valor para simplificar, aunque lleva asociado un pequeño error de redondeo. A continuación calculamos el tiempo que tarda el cohete en alcanzar este punto:

s = u + v

2 t

t = 2su

= 2 × 8,2 × 103

400 = 41 s

Como no hay aceleración horizontal, el cálculo de la posición horizontal, x, es directo:

s = ut

= 100 × 41

= 4 100 m

Por tanto, las coordenadas (x, y, t) del Suceso 2 son (4 100m, 8 200 m, 41 s).

Suceso 3: Este suceso ocurre cuando el centro de masas del cohete está a la misma altura que estaba en un principio. La simetría del movimiento parabólico permite afirmar que el suceso 3 ocurre en las coordenadas (8 200 m, 0 m, 82 s).

1 Una cámara de control de la velocidad intercepta un coche que viaja a 35,0 m s−1. Si la fotografía se toma en el punto (0,00 m; 0,00 s), ¿cuáles son las coordenadas del coche al cabo de 23,0 s?

2 Un niño travieso lanza un tomate desde un coche a un peatón inmóvil por delante del cual acaba de pasar el coche. El vehículo viaja a 16 m s−1 y el niño lanza el tomate hacia el peatón de manera que el tomate abandona el coche a una velocidad de 4 m s−1. Explica por qué el tomate no impacta contra el peatón.

■■ Distintos sistemas de referencia

Un observador es un individuo teórico que realiza medidas desde un único sistema de referen-cia específico. Un observador siempre está estacionario (fijo, inmóvil) con respecto a su propio sistema de referencia y por ello se le denomina algunas veces observador en reposo.

¿Has caminado alguna vez por el interior de un tren en movimiento? ¿Te has preguntado cuál es en ese caso tu velocidad? Si mientras caminas te golpeas dos veces la cabeza con maletas que sobresalen del portaequipajes, ¿cuáles son las coordenadas de esos dos sucesos «golpeadores»? La respuesta a estas preguntas depende del sistema de referencia desde el que el observador

13.1 (A1: Núcleo) Los inicios de la relatividad 3

realiza las medidas. En este caso existen tres sistemas de referencia evidentes proporcionados por tres observadores distintos:

1 Un observador que realiza medidas sentado en el andén cuando pasa el tren.

2 Un observador que realiza medidas sentado en un asiento del tren.

3 Un observador que camina por el tren a la misma velocidad que tú.

Según Newton, cada uno de estos tres observadores discreparía sobre cuál es tu velocidad y también sobre cuál es tu posición cuando te golpeas la cabeza. Sin embargo, sí estarían de acuerdo sobre el tiempo transcurrido entre ambos sucesos (ambos golpes) y en la distancia que has recorri-do por el vagón entre ambos sucesos.

■■ Postulados de Newton sobre el tiempo y el espacio

La descripción newtoniana del universo contenía muchos supuestos. Para comprender la relati-vidad es fundamental saber que para Newton hay dos postulados que deben cumplirse:

1 La universalidad del tiempo: todos los observadores están de acuerdo en el intervalo de tiem-po que transcurre entre dos sucesos. En particular, todos deben estar de acuerdo sobre si dos sucesos son simultáneos o no.

2 La universalidad de la distancia: todos los observadores están de acuerdo en la distancia entre dos sucesos simultáneos.

El término simultáneos significa que los sucesos ocurren a la vez, es decir, que el inter-valo de tiempo entre ambos sucesos es cero.

¿Cuál es el significado de estos postula-dos? Para comprenderlo mejor, imagina un universo con un diminuto reloj colocado en el centro de cada metro cúbico, tal como se representa en la Figura 13.2. El primer postu-lado implica que todos los relojes marcan exactamente la misma hora y todos hacen tictac exactamente con la misma velocidad. Cualquier observador que se desplazara por este universo llevando un reloj vería que este último también marcaría la misma hora que los relojes del entorno, y debería hacer tictac con la misma velocidad. Si el observador también transportara una regla de un metro de longitud en su paseo, encontraría que la regla siempre correspondería a la distancia entre dos relojes adyacentes.

■■ Transformaciones galileanas

Siempre que pasamos de un sistema de referencia o de un sistema de coordenadas a otro, necesitamos hacer lo que se denomina una transformación mediante la aplicación de ecuaciones estándar. Este proceso cobrará una gran importancia cuando profundicemos en la relatividad, de modo que merece la pena que nos aseguremos de que lo comprendes bien para la versión más simple del universo que proporciona el modelo de Newton.

Las ecuaciones de transformación galileanas relacionan el desplazamiento de un objeto, x, en un instante de tiempo t y con velocidad u medidos por un observador, con los medidos por un segundo observador que viaja a velocidad constante, v, respecto del primer observador. El segundo observa-dor medirá el desplazamiento del objeto como x′ y la velocidad como u′ en el instante t:

x′ = x – vt

u′ = u − v

Estas ecuaciones figuran en el Apéndice de datos de Física.

Utilizamos las ecuaciones de transformación galileanas para poder trasladar nuestras medidas desde un sistema de referencia a otro, siempre dentro del modelo newtoniano del universo.

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■■ Figura 13.2 Una matriz cúbica de relojes que se extiende de forma regular por el espacio y en la que todos los relojes marcan la misma hora

4 13 Relatividad

Observemos ahora dos sistemas de referencia, S y S′, que se mueven relativamente (uno respecto al otro) a velocidad cons-tante, v. En el instante de tiempo t = 0 s los orígenes de ambos sistemas de referencia coinciden, de manera que los observado-res situados en cada uno de ellos están de acuerdo sobre la po-sición y el tiempo de un suceso con coordenadas (0 m, 0 m, 0 s). En la Figura 13.3 se representa esta situación mediante el diagra-ma superior, en el que se dibujan los dos sistemas de referencia uno sobre el otro.

En el diagrama inferior de la Figura 13.3 la posición del cohe-te es la misma, pero la posición de los ejes y, por tanto, de los sistemas de referencia, es distinta. Desde el sistema de referen-cia S (líneas continuas de color negro) se ve el cohete moviéndo-se hacia delante y el observador S′ moviéndose hacia delante aun más rápido. Desde el sistema de referencia S′ (líneas discon-tinuas de color azul) se ve el cohete moviéndose hacia atrás y el observador S moviéndose hacia atrás aun más rápido. Si encuen-tras que esta descripción es confusa, puedes intentar dibujar los dos sistemas de referencia por separado de manera que no es-tén uno sobre el otro.

■■ Figura 13.3 Sistemas de referencia S y S′ en el instante t = 0 y en el instante t; según un observador situado en S, el cohete se mueve hacia delante, mientras que un observador situado en S′ (el sistema de referencia de color azul) ve que se mueve hacia atrás

Ejemplo resuelto

2 En el espacio profundo, el cohete A abandona la estación espacial a una velocidad constante de 300 m s−1. Al mismo tiempo, el cohete B viaja en la misma dirección y sentido a una velocidad constante de 200 m s−1.a ¿Qué distancia hay entre el cohete A y la estación espacial al cabo de una hora?b ¿Qué distancia hay al cohete A al cabo de una hora para un observador situado en el cohete B?c ¿Cuál sería la velocidad del cohete A medida por un observador situado en el sistema de referencia del cohete B?

a x = ut, donde t = 1 × 60 × 60 = 3 600 s

= 300 × 3 600

= 1,08 × 106 m

b x′ = x – vt

= 1,08 × 106 m – (200 × 3 600)

= 3,6 × 105 m

c u′ = u – v

= 300 – 200

= 100 m s−1

Supón que el modelo newtoniano del universo es correcto y utiliza las transformaciones galileanas para responder a las preguntas siguientes. (Fíjate en que las respuestas a algunas de estas preguntas contradicen las reglas de la relatividad que se introducirán en la sección siguiente.)

3 Los cohetes del Ejemplo resuelto 2 viajan en la misma dirección y sentido. Utiliza las ecuaciones de transformación galileanas para responder a los apartados (b) y (c) si los cohetes vuelan en sentidos contrarios.

4 Un cohete que se aleja de la Tierra a una décima parte de la velocidad de la luz emite un haz de luz láser hacia el espacio.a ¿Cuál sería la velocidad de los fotones del haz de luz que mediría un observador situado en el interior del cohete?b ¿Cuál sería la velocidad de los fotones del haz de luz que mediría un observador flotando inmóvil (respecto a la

Tierra) en el espacio?

5 Un observador situado en la Tierra ve dos cohetes que se mueven uno hacia el otro con una velocidad de 0,6c. ¿Qué velocidad piensa un observador situado en uno de los cohetes que lleva el otro cohete?

6 Si viajaras en una nave espacial increíblemente rápida que abandonara la estación espacial a una velocidad de 0,35c y aceleraras un protón en el interior de la nave de manera que viajara hacia delante a una velocidad de 0,95c, ¿cuál sería la velocidad del protón medida por un observador situado en la estación espacial?

u

ν

ν

ν

u

0

0

u’

ν’

ν’

ν’

x’

x’

u’

S’

S’

0’

0’

x

x

En el instante t = 0 s

En el instante t

S

S

ν

13.1 (A1: Núcleo) Los inicios de la relatividad 5

■■ Ecuaciones de Maxwell

James Clerck Maxwell fue un físico escocés al que muchos consideran, junto con Newton y Einstein, como uno de los tres físicos más importantes de todos los tiempos. Sin embargo, su no-table obra es menos conocida, posiblemente a causa de su complejidad matemática. El principal logro de Maxwell fue enlazar los conceptos de electricidad, magnetismo y óptica.

Maxwell reunió cuatro ecuaciones que describen la dependencia de los campos eléctricos y mag-néticos de una región del espacio respecto a la densidad de carga eléctrica y a una propiedad deno-minada densidad de corriente. Estas ecuaciones especifican cómo se propagan los campos y cómo se entrelazan. No es necesario que tengas un conocimiento completo de las ecuaciones de Maxwell ni que las describas, pero puede ser útil hacer un breve resumen de lo que dice cada una de ellas.

■ Ecuación 1: La primera ecuación de Maxwell describe cómo varía el campo eléctrico alrededor de una única carga. Describe la repulsión y la atracción entre cargas del mismo signo y cargas de signos contrarios, respectivamente, y también afirma que las líneas del campo eléctrico co-mienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas. Esto es así porque las cargas eléc-tricas son monopolos, en el sentido de que o son positivas o son negativas.

■ Ecuación 2: Afirma que las líneas del campo magnético tienden a envolver las cosas para formar bucles cerrados. Esto es así porque los polos magnéticos siempre se encuentran en forma de pares norte–sur y, por tanto, a diferencia de las cargas eléctricas, nunca son monopolos.

■ Ecuación 3: Afirma que un campo magnético variable origina un campo eléctrico envolvente. Se trata de un gran paso hacia delante, porque significa que existen dos maneras de originar los campos eléctricos: a partir de una carga eléctrica o de un campo magnético variable.

■ Ecuación 4: Afirma que un campo eléctrico variable origina un campo magnético envolvente. Esto significa que un campo magnético no solo se puede originar a partir de una corriente, sino también a partir de un campo eléctrico variable.

Las ecuaciones de Maxwell, por tanto, describen una situación en la que un campo magnético va-riable induce un campo eléctrico envolvente. Este campo eléctrico también es variable y, en conse-cuencia, induce un campo magnético envolvente. Este nuevo campo magnético también es variable y por tanto la inducción va hacia delante y hacia atrás entre los campos eléctrico y magnético en forma de oscilación. La intensidad con la que se produce esta oscilación depende de dos propiedades de la materia denominadas permitividad eléctrica, ε, y permeabilidad magnética, m, que describen la cantidad de carga o de corriente necesarias para producir un campo eléctrico o magnético dados.

■■ Maxwell y la paradoja de la constancia de la velocidad de la luz

A partir de las ecuaciones de Maxwell se puede derivar la velocidad con la que se propaga una oscilación electromagnética en el vacío, usando las constantes ε0, la permitividad del espacio vacío, y m0, la permeabilidad del espacio vacío. Las ecuaciones de Maxwell proporcionan el valor de la velocidad de propagación de la oscilación electromagnética en el vacío como:

v = 1

ε0 m0

v = 18,85 × 10−12 × 4π × 10−7

v = 3,00 × 108 m s−1

Como puedes ver, este valor coincide con el valor experimental para la velocidad de la luz en el vacío. El problema es que las ecuaciones de Maxwell no proporcionan un valor que dependa de la fuente de ondas electromagnéticas o de la velocidad del observador; según las ecuaciones de Maxwell, la velocidad de la luz tiene que ser una constante. Esta idea va contra la intuición que desarrollamos a partir de nuestra experiencia de mover objetos, por tanto, antes de los trabajos de Einstein, la solución a esta paradoja había sido normalmente asumir que las ondas electromagné-ticas viajaban a través de un medio denominado éter y que había que añadir algún término a las ecuaciones de Maxwell para tener en cuenta la velocidad de la fuente y del observador.

Esto significaba que el éter era, por definición, un aspecto estacionario del universo desde el que todos los observadores podrían calcular su velocidad midiendo la velocidad de la luz. Esta idea es comparable a la matriz de relojes que se sugirió en la Figura 13.2.

6 13 Relatividad

Einstein, por el contrario, decidió que la elegante simplicidad de las ecuaciones de Maxwell era fundamentalmente correcta y que la velocidad de la luz en el vacío era invariante (no podía cam-biar). En otras palabras, la velocidad de la luz en el vacío medida por cualquier observador debe ser la misma, un valor constante, c, con independencia del movimiento de cada observador.

Naturaleza de la ciencia Cambio de paradigmaLa solución de Einstein supuso un cambio fundamental de paradigma en nuestra forma de pen-

sar el universo. Surgió de la decisión, aparentemente simple, de dudar sobre lo que parecía ser de sentido común y creer en las predicciones absolutas realizadas por el modelo matemático. Esta decisión condujo después a la teoría de la relatividad.

Pero había todavía otra prueba clara de que no todo iba bien en el modelo newtoniano. Un ejemplo de ello fue el intento de medir la velocidad de la Tierra a través del éter mediante un ex-perimento conocido como experimento de Michelson-Morley. Su nulo resultado –es decir, que la Tierra no se movía a través del éter– causó una notable consternación tanto entre los físicos teóri-cos como entre los experimentales.

Ha habido muchos cambios de paradigma en el desarrollo de la física moderna: las leyes de Newton, el uso de la teoría estadística en termodinámica, la idea de que la Tierra describe órbitas alrededor del Sol. El desarrollo de nuestro conocimiento de los átomos ha atravesado muchos de estos cambios de paradigma; ¿podrías describir al menos tres de ellos?

■■ Comprender las fuerzas sobre una carga o una corriente

Hendrik Lorentz fue un Premio Nobel holandés que proporcionó las herramientas que luego utilizó Einstein para construir la teoría de la relatividad especial. En concreto, Lorentz estudió como se percibirían los campos eléctricos y magnéticos en distintos sistemas de referencia. Vamos a ver a continuación distintas situaciones y a considerar las fuerzas que tienen lugar y cómo se generan. Necesitaremos haber entendido bien los apartados del capítulo 5 que describen las fuerzas que actúan sobre las cargas que se mueven a través de campos magnéticos, y comprender que las fuerzas magnéticas y las fuerzas eléctricas no interactúan entre sí.

Una carga positiva que se mueve en un campo magnético uniformeImaginemos dos observadores: uno situado en el sistema de referencia del laboratorio y el otro

en el sistema de referencia del electrón. Cada observador puede medir tanto la intensidad del campo magnético como la intensidad del campo eléctrico.

En primer lugar analizaremos la física según el observador del laboratorio. Antes de que llegue el electrón, el observador situado en el sistema de referencia del laboratorio mide el campo mag-nético estático producido en el laboratorio (pero no el campo eléctrico, porque el laboratorio es neutro desde el punto de vista eléctrico, ya que posee un número igual de cargas positivas que de cargas negativas). Cuando el electrón penetra en el campo magnético, este observador detecta un campo eléctrico variable generado por el electrón y un campo magnético variable generado por el campo eléctrico variable (tal como explican las ecuaciones de Maxwell). Dado que el campo eléc-trico generado por el electrón no interactúa con ningún otro campo eléctrico, el observador situa-do en el laboratorio debe asumir que no está relacionado con la desviación del electrón y debe

deducir que la fuerza sobre el electrón se debe únicamente a la interacción entre los dos campos magnéticos.

Sin embargo, en el sistema de referencia del electrón, el observador en reposo está estacionario (inmóvil) respecto al electrón. Esto significa que antes de que lleguen el laborato-rio y el campo magnético, este observador solo detectará un campo eléctrico y será incapaz de detectar un campo mag-nético, tal como se muestra en la Figura 13.4. Cuando llega el laboratorio (recordemos que ahora estamos en el sistema de referencia del electrón) el electrón experimenta justo la misma fuerza pero, según este observador, la fuerza debe ser puramente eléctrica y debida a un campo eléctrico generado por el campo magnético en movimiento. De forma similar, la sonda magnética del observador también detecta la llegada

■■ Figura 13.4 Un electrón medido por un observador que es estacionario con respecto a él solo tiene un campo eléctrico a su alrededor; no hay campo magnético

13.1 (A1: Núcleo) Los inicios de la relatividad 7

Enlace con la teoría del conocimientoCuando los científicos proclaman que una nueva dirección de pensamiento requiere un cambio de paradigma en nuestra observación del universo, ¿cómo nos podemos asegurar de que su demanda es válida?Cuando se propone una nueva teoría científica, normalmente se presenta a la comunidad científica mediante su publi-cación en una revista en la que se realiza una evaluación por parte de colegas, lo que supone el primer examen previo para toda nueva afirmación científica. Una vez publicada la nueva teoría, otros científicos se pueden hacer famosos de diversas maneras: desacreditando la nueva teoría mediante resultados experimentales que la contradicen, desautorizán-dola o apoyándola mediante pruebas experimentales y desarrollando el argumento teórico y las predicciones realizadas por esta nueva idea.

Afirmar que la nueva teoría requiere un «cambio de paradigma» significa que hay algo profundamente incompleto o equivocado en la teoría actual. Por tanto, deben existir datos experimentales u observacionales significativos no explicados por la antigua teoría. Sin duda, en el caso de la relatividad general, los datos que apoyaban la teoría eran mínimos al principio pero la teoría era convincente en cuanto a la claridad de sus predicciones.

del campo magnético pero el observador se verá obligado a asumir que, como solo hay un campo magnético, la fuerza sobre el electrón no es una interacción magnética.

En todos los demás sistemas de referencia, la fuerza sobre el electrón se debe a la combinación de campos eléctricos y magnéticos. En cada caso la magnitud de la fuerza total es la misma, lo que nos demuestra que las fuerzas eléctricas y magnéticas son en realidad solo distintos aspectos de una misma cosa.

Dos electrones moviéndose con velocidades paralelas idénticas con respecto a (relativas a) un laboratorio

Un observador situado en el sistema de referencia de los electrones deter-minaría que ambos electrones son estacionarios, porque la única interacción que tiene lugar entre ellos es debida a la fuerza eléctrica FC. Se trata de una fuerza puramente repulsiva y se puede calcular a partir de la ley de Coulomb. Se representa en la parte superior del diagrama de la Figura 13.5.

Sin embargo, desde el laboratorio, ambos electrones se mueven y, por tanto, cada uno de ellos genera un campo magnético. Si observamos las fuer-zas que actúan sobre uno de los electrones como consecuencia del campo magnético que rodea al otro electrón, vemos que el campo magnético atrae a los dos electrones conjuntamente.

Esto significa que un observador situado en el laboratorio registrará la mis-ma intensidad de fuerza eléctrica que antes, pero también registrará una fuer-za magnética atractiva entre los dos electrones, de manera que la fuerza total será ahora menor que la del sistema de referencia del electrón.

Por tanto, la fuerza total experimentada por los electrones depende de la velocidad relativa del sistema de referencia que está siendo medido. Lorentz calculó la transformación que permite calcular fácilmente la variación de esta fuerza entre un sistema de referencia y el otro mediante el factor de Lorentz, γ. Basándose en el trabajo de Lorentz, Einstein publicó en 1905 su artículo sobre lo que actualmente conocemos como «relatividad especial».

7 ¿Cuáles son los valores y las unidades de las constantes ε0, la permitividad del espacio vacío, y m0, la permeabilidad del espacio vacío?

8 Explica por qué dos hilos conductores largos de cobre separados 1 m en el vacío con una intensidad de corriente de 1 A circulando por cada uno de ellos, experimentarán una fuerza atractiva de 4π × 10−7 N sobre cada metro de hilo, tanto en el sistema de referencia de los electrones de conducción como en el sistema de referencia de los iones de la red cristalina.

■■ Figura 13.5 Dos electrones que se mueven en paralelo vistos desde dos sistemas de referencia. En el sistema de referencia S los electrones solo experimentan la fuerza eléctrica repulsiva, FC. Mientras que para un observador situado en el sistema de referencia S′, los electrones experimentan tanto una fuerza eléctrica repulsiva, FC, como una fuerza magnética atractiva más débil, FB

ν

FB FB

ν

ν

FC

S

S’

FC

FC FC

8 13 Relatividad

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de LorentzDos observadores que se mueven con un movimiento uniforme relativo discrepan en cuanto a los valores numéricos de las coordenadas espaciotemporales de un suceso, pero están de acuerdo en cuanto al valor numérico de la velocidad de la luz en el vacío. Las ecuaciones de transformación de Lorentz relacionan los valores de estas coordenadas en dos sistemas de referencia y reemplazan a las ecuaciones de transformación de Galileo, que fallan para velocidades cercanas a la de la luz

A Einstein no le satisfacía la idea de la necesidad de crear un único sistema de referencia fundamen-tal desde el que la velocidad de la luz en el vacío medida por un observador tuviera el valor c en todas las direcciones. Este sistema de referencia cumpliría la definición de sistema absolutamente estacionario y a todos los demás sistemas de referencia se les podrían asignar velocidades absolutas que se podrían medir desde dicho sistema. Einstein, guiado por las ecuaciones de Maxwell, hizo justo lo contrario: en lugar de intentar atrapar una velocidad cero absoluta, atrapó la velocidad máxima del universo.

Desafortunadamente, Einstein solo consiguió que su física relativista funcionara en algunos ca-sos especiales, de aquí el nombre de relatividad especial. El factor limitante era que la relatividad especial solo funcionaba en sistemas de referencia inerciales.

Un sistema de referencia inercial es un sistema que ni se acelera ni experimenta un campo gravitatorio. En otras palabras, un sistema de referencia en el que se cumple la primera ley del movimiento de Newton, de manera que cualquier objeto no sometido a una fuerza neta viaja en línea recta y a velocidad constante.

Para comprobar si un sistema de referencia es inercial, lleva a cabo un experimento e imagínate a ti mismo viajando dentro de una caja cerrada sin poder mirar hacia fuera. Si el sistema es inercial, tú deberías ser ingrávido; una manzana que está estacionaria debería seguir estándolo y una pelota lanzada en el interior de la caja debería viajar en línea recta a velocidad constante a través de la caja.

Para determinar si un sistema de referencia es inercial, necesitas comprobar si está experimen-tando fuerzas externas que no están en equilibrio o si está sometido a un campo gravitatorio.

Gran colisionador de hadrones del CERNEl CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, en español Consejo europeo para la

investigación nuclear) es el fruto más importante de la colaboración internacional entre físicos. Se hizo famoso como el lugar donde se encontró el bosón de Higgs en julio de 2012, pero también es célebre por ser el lugar donde nació Internet.

El acelerador de partículas LHC (Gran colisionador de hadrones, por sus siglas en inglés) del CERN acelera paquetes de protones en sentidos contrarios alrededor del anillo principal de 27 km

de longitud. Los protones viajan a velocidades muy cerca-nas a la de la luz y en consecuencia poseen enormes ener-gías cinéticas y momentos.

Existen varios tipos distintos de imanes alrededor del anillo, pero el 60% de la energía magnética total la em-plean los dipolos principales superconductores –secciones de tubos de 14,3 m de longitud que utilizan una corriente de 11 850 A para producir un campo magnético vertical de 8,33 T que curvan el haz de protones para hacer que des-criba un círculo. Los imanes de prueba del CERN alcanza-ron intensidades de 13,5 T en noviembre de 2013.

1 En la Figura 13.6 se representa el campo a través de cada uno de los tubos de muy alto vacío por donde circulan los haces de protones. Describe las fuerzas que actúan sobre un protón de una agrupación de protones que pasan por uno de los tubos de haces según:

a un observador situado en un sistema de referencia en reposo respecto al paquete de protones

b el sistema de referencia de la Tierra

Aplicaciones

■■ Figura 13.6 Diagrama del campo magnético de uno de los dos dipolos principales del CERN en uso

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de Lorentz 9

Naturaleza de la ciencia La ciencia pura o abstractaLa ciencia pura o abstracta es el estudio de los hechos y reglas que describen el funcionamiento del

universo. La ciencia pura o abstracta contrasta con la ciencia aplicada, cuyo objetivo es buscar el modo de aplicar las leyes de la ciencia a la resolución de problemas del mundo real y crear aplicaciones reales.

Los trabajos de Einstein sobre relatividad constituyen una notable aportación a la ciencia pura teórica y se ha demostrado que describen correctamente el universo a velocidades y energías eleva-das, aunque también a escalas cosmológicas, ya que predicen la existencia de los agujeros negros y de las ondas gravitatorias. No obstante, para los no científicos y los políticos responsables de decidir la distribución de los fondos de investigación, ¿qué aplicación tiene un tema de ciencia pura como la relatividad? La respuesta acostumbra a ser que las secuelas de la investigación en ciencia pura son difícilmente predecibles. La relatividad ha dado lugar a descubrimientos en otros ámbitos como:

■ el modelo de expansión del universo y el Big Bang■ la energía atómica y nuclear■ algunos aspectos de la física cuántica■ las correcciones aplicadas a los satélites GPS

Pero es difícil tranquilizar a todos. Algunos políticos están más impresionados por la patente de EE. UU. 5280864, que describe una máquina para reducir la masa de un objeto usando la relatividad.

■■ Los dos postulados de la relatividad especial

Primer postulado: las leyes de la física son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales.

El primer postulado no parece excesivamente profundo. Pero se puede reformular como:

■ los observadores estacionarios situados en distintos sistemas de referencia inerciales tienen igual validez, de modo que ningún sistema de referencia es más único o especial que otro

■ en consecuencia, el universo puede tener más de un sistema de referencia estacionario■ no existe ningún experimento que pueda demostrar que un observador viaja a una velocidad

absoluta a través del universo.

Segundo postulado: la velocidad de la luz en el vacío es una constante, c = 3,00 x 108 m s–1, en todos los sistemas de referencia.

El segundo postulado apoya la evidencia de las ecuaciones de Maxwell pero no parece concor-dar con nuestra experiencia cotidiana de velocidades. Este postulado implica que si un cohete si-tuado en el espacio profundo pasa junto a una estación espacial a una velocidad que es una déci-ma parte de la velocidad de la luz y dispara un láser en su mismo sentido de movimiento, tanto el observador situado en el cohete como el observador situado en la estación espacial deberán medir un valor c para la velocidad de la luz, aunque se estén moviendo relativamente uno respecto al otro. Para que esto sea así, el espacio y el tiempo se deben comportar de maneras profundamente distintas a las que hemos aprendido a esperar a partir de nuestras experiencias del mundo real. El espacio y el tiempo no son, de hecho, como ingenuamente esperábamos que fueran.

■■ Implicaciones de los dos postuladosLa primera implicación es que en un sistema relativista el tiempo no puede ser invariante. Nues-

tro primer modelo de la matriz de relojes es incorrecto (Figura 13.2). Y es que no solo los relojes marcan diferentes horas y hacen tictac a diferentes velocidades, sino que, para cualquier par de eventos, los diferentes relojes pueden registrar distintos intervalos de tiempo. En otras palabras, el

9 Cuáles de los sistemas siguientes se pueden considerar claramente sistemas de referencia inerciales, sistemas de refe-rencia casi inerciales (los objetos medidos sobre una distancia pequeña parecen estar viajando a velocidad constante) o claramente sistemas de referencia no inerciales (fuerzas que no están en equilibrio o gravedad claramente presente):

a Un cohete estacionario (inmóvil) en el espacio vacío alejado de cualquier campo gravitatorio.b Un cohete viajando por el espacio vacío en línea recta y a velocidad constante.c Un satélite de comunicación GPS en órbita alrededor de la Tierra.d Una sonda espacial sobrevolando la superficie de plasma solar.e Un protón viajando a una velocidad cercana a la de la luz a través de una sección recta de un tubo en el acelerador

de partículas del CERN en Ginebra.

10 13 Relatividad

intervalo de tiempo entre dos sucesos no tiene por qué ser el mismo para observadores diferentes que toman medidas desde distintos sistemas de referencia inerciales.

Existen dos razones para ello:

■ La primera es que la información sobre un suceso solo puede viajar a través del universo a la velocidad de la luz; el momento en que creemos que ocurre un suceso depende de dónde es-tamos nosotros con respecto al suceso.

■ La segunda es que el propio tiempo es distorsionado por el movimiento: en efecto, cuanto más rápido se mueve un observador, más lentamente transcurre el tiempo.

La segunda implicación es que el espacio tampoco es invariante: las distancias entre cualquier matriz de puntos no son las mismas para todos los sistemas inerciales de referencia y dependen del movimiento relativo. La percepción de simetría de la relatividad puede hacer que este punto resul-te difícil de comprender, por tanto volveremos a tratarlo con más detalle después. Ahora vamos a ocuparnos de cómo medimos el tiempo.

■■ Sincronización de relojes

Imagina que tus amigos y tú decidís gastarle una broma a vuestro profesor de física justo antes de que empiece la clase diciéndole que el jefe de estudios necesita verle urgentemente. Para dar-le más emoción, habéis hecho una porra para adivinar cuánto tiempo sin clase habrá transcurrido cuando vuestro profesor vuelva hecho una furia. Vais a hacer las cosas bien, de modo que cada uno de vosotros dispone de un cronómetro para medir el tiempo. Evidentemente, todos tenéis que sincronizarlos pero, ¿cómo lo vais a hacer?

La respuesta es muy simple. Necesitáis un único suceso, como un disparo al inicio de la carrera, para que todos pongáis en marcha el cronómetro tan pronto como finalice el disparo. El problema es que la señal tarda en viajar; por tanto, ¿qué podemos hacer si queremos ser increíblemente exactos o si intentamos sincronizar relojes que están muy separados entre sí? La solución está re-presentada en la Figura 13.7.

■■ Figura 13.8 Un observador que ve que los cronómetros se mueven lateralmente verá que uno se mueve hacia el fogonazo de luz y el otro de aleja de este porque la luz también viaja a velocidad c según este observador. La luz tarda tiempo en alejarse del fogonazo y, durante este tiempo, uno de los cronómetros está más lejos de la fuente del fogonazo que el otro y, por tanto, los relojes no se pueden sincronizar

Para un observador que está estacionario (inmóvil) respecto a los cronómetros, ambos deben marcar el mismo tiempo y, por tanto, deben estar sincronizados. Sin embargo, esto no es cierto para un observador que se mueve respecto a los cronómetros, a lo largo de la línea recta que los une, tal como se puede ver en la Figura 13.8. Este observador, que se mueve hacia la izquierda con velocidad v relativa a los relojes, puede demostrar que, en su sistema de referencia, la luz no puede alcanzar los cronómetros simultáneamente, que los dos cronómetros no se pueden sincronizar físi-camente y que el cronómetro de la izquierda siempre marcará más tiempo que el de la derecha.

■■ Figura 13.7 Dos cronómetros que están separados una cierta distancia se pueden sincronizar mediante un fogonazo de luz que se dispara en el punto medio entre ambos, de manera que la luz tarda el mismo tiempo en alcanzar cada cronómetro y este empieza a contar justo cuando detecta la señal de luz

60

3035 2520

10555

50

401545

L LS

60

3035 2520

10555

50

401545

νν

L – νt1 L – νt2

L LS’

60

3035 2520

10555

50

401545

60

3035 2520

10555

50

401545

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de Lorentz 11

■■ Sucesos simultáneos

¿Cómo es posible que un reloj marque diferentes tiempos para distintos observadores? No se trata de un simple truco matemático, sino que es un aspecto fundamental de la física relativista y significa que dos sucesos que tienen lugar separados por una cierta distancia aparecen simultánea-mente para algunos observadores pero no así para otros.

Imagina un vagón de tren muy largo que tiene un espejo en cada extremo. Un observador está situado exactamente en el punto medio del vagón y produce un único destello de luz (Suceso 0 de la Figura 13.9) que envía simultáneamente luz en ambos sentidos. Estos pulsos de luz se reflejan en los espejos de los extremos del vagón (Sucesos 1 y 2) y vuelven al observador situado en el centro del vagón (Suceso 3). Un segundo observador es testigo del experimento desde el andén mientras ve pasar el tren, muy rápido pero a velocidad constante.

Corrección de los satélites GPSUna de las aplicaciones de la relatividad es la corrección de los satélites GPS. Estos satélites

requieren el uso de relojes atómicos para enviar señales temporales muy precisas que permiten medir la posición del receptor de GPS. La velocidad orbital de los relojes de los satélites GPS es lo suficientemente elevada como para que exista la necesidad de corrección. También existe un factor de corrección debido al campo gravitatorio, por lo que esta aplicación se tratará con mucho mayor detalle en la Sección 13.5.

Aplicaciones

■■ Figura 13.9 Comparación entre los registros de tiempo correspondientes a diferentes eventos medidos por dos observadores situados en distintos sistemas de referencia inerciales. Cada uno de los sucesos 0 y 3 corresponde a un par de sucesos simultáneos que ocurren en el mismo lugar, por tanto, todos los observadores deben coincidir en que son simultáneos. Los sucesos 1 y 2 ocurren en distintos lugares, por tanto, son intrínsecamente simultáneos para uno de los observadores pero no pueden serlo para el otro observador

El observador situado en S ve que:

■ Los pulsos son enviados simultáneamente (Suceso 0).

■ Los pulsos llegan al extremo del vagón simultáneamente (Sucesos 1 y 2).

■ Los pulsos vuelven al observador situado en S simultáneamente (Suceso 3).

El observador situado en S′ ve que:

■ Los pulsos son enviados simultáneamente (Suceso 0).

■ El pulso que viaja hacia el extremo del vagón en sentido contrario al movimiento de este debe llegar al extremo del vagón (Suceso 1) antes que el pulso que viaja en el sentido del movimien-to del vagón (Suceso 2) porque debe recorrer una distancia menor.

■ Sin embargo, S′ sigue viendo que los pulsos vuelven al observador S simultáneamente porque para los rayos reflejados se cumple el efecto inverso (Suceso 3).

Suceso 3

Suceso 3

Suceso 2

Suceso 1

Suceso 0

ν

ν

ν

ν

Sucesos 1y 2

Suceso 0

S S’

12 13 Relatividad

Para comparar las observaciones efectuadas por observadores situados en dos sistemas de referencia inerciales se utiliza en ocasiones un reloj de luz. Se trata de un dispositivo simple que refleja un haz de luz entre dos espejos paralelos separados una distancia fija, d. La velocidad de la luz en el vacío es constante para todos los observadores, pero la longitud de la trayectoria recorrida por la luz varía. Véase la Figura 13.10.

10 Uno de los diagramas de la Figura 13.11 mues-tra la trayectoria del haz de luz vista por el físico situado en el cohete (Rachel) y el otro diagrama muestra la trayectoria vista por el físico escondi-do en la nube de gas (Gavin), que ve el cohete moviéndose hacia la derecha con velocidad v. Asocia cada diagrama a uno de los físicos.

11 Según Gavin, el pulso de luz tarda un tiempo Δt en viajar desde M1 a M2. Por tanto, ¿cuál es la distancia lateral recorrida por el cohete en este tiempo?

12 Utiliza una transformación galileana para calcular la velocidad del haz de luz según Gavin.

13 Utilizando la física newtoniana, ¿cuánto espacio debe recorrer el haz de luz cuando se refleja entre M1 y M2 según Gavin?

14 Gavin ve que el cohete se mueve lateralmente con velocidad v. Calcula la distancia que ha recorrido el haz de luz entre M1 y M2 según Gavin (exprésala en términos de c y Δt).

15 Según Rachel (que está en el cohete), el tiempo que tarda el haz de luz en viajar entre M1 y M2 es Δt′. Utiliza el teorema de Pitágoras y tu conocimiento de los postulados de la física newtoniana para derivar una expresión para Δt′, v y c.

16 Explica (en términos de la constancia de la velocidad de la luz) por qué deben discrepar los dos observadores sobre el tiempo que tarda el haz de luz en viajar entre M1 y M2.

Todos los observadores inerciales deben estar de acuerdo en que los sucesos simultáneos que ocurren en el mismo punto del espacio son absolutamente simultáneos. Sin embargo, si los obser-vadores se mueven a velocidades variables a lo largo de la línea entre los dos eventos, deben dis-crepar sobre el orden en el que ocurren los sucesos en diferentes lugares.

Por tanto, los dos observadores discrepan básicamente sobre el orden en el que deben ocurrir los sucesos y esto significa que nuestra comprensión de lo que es el tiempo ha sido errónea. El tiempo no es algo que está intrínsecamente ahí en el universo, sino que es algo que forman los propios sucesos y que debe variar dependiendo tanto de la posición del observador como del movimiento relativo a los sucesos. Esta es la razón por la que en relatividad se habla del espa-cio-tiempo, el tejido del universo. Podemos seguir midiendo lo que llamamos «tiempo», pero lo que estamos haciendo en realidad es medir el espacio-tiempo, y eso significa básicamente que estamos midiendo algo que combina elementos tanto del espacio como del tiempo.

Entonces, si en un universo relativista el tiempo no es una cantidad fija e invariable, ¿en qué cantidades podemos apoyarnos?

■■ Cantidades invariantes

Einstein se dio cuenta enseguida de que algunas cantidades seguían siendo invariantes, es decir, que no cambiaban como consecuencia del movimiento y la posición relativos. Estas cantida-des cobran una gran importancia cuando calculamos los cambios que tienen lugar y necesitamos estar completamente seguros de que podemos identificarlas antes de resolver problemas más complejos de relatividad especial. La primera cantidad invariante que ya hemos introducido es la

d d

ν

ν

M2

M1

M2

M1

■■ Figura 13.11

νdM2

M1

■■ Figura 13.10

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de Lorentz 13

velocidad de la luz en el vacío. Ahora introduciremos cuatro cantidades invariantes más y algunas otras las introduciremos posteriormente.

Intervalo de espacio-tiempo, Δs2

En el universo newtoniano tanto el espacio como el tiempo son invariantes: existen intervalos fijos (segundos, metros, etc.) que no varían ni a través del espacio ni del tiempo. Esto significa que podemos medir el espacio y el tiempo de forma independiente. En relatividad, el espacio y el tiempo están intrínsecamente ligados en un único concepto denominado espacio-tiempo. El inter-valo entre dos sucesos en el espacio-tiempo es invariante: distintos observadores situados en sis-temas de referencia inerciales pueden medir diferentes tiempos y diferentes distancias entre suce-sos pero todos deben medir el mismo intervalo a través del espacio-tiempo. A este intervalo le denominamos intervalo de espacio-tiempo, Δs2, y viene dado por la fórmula:

(Δs)2 = c2(Δt)2 – (Δx)2

Esta ecuación no figura en el Apéndice de datos de Física.

Fijémonos en que Δs2 puede ser positivo, cero o negativo. Desafortunadamente existen dos convenios y por tanto se escribe en ocasiones como: (Δs)2 = (Δx)2 – c2(Δt)2.

Masa en reposo, m0

La masa en reposo es la masa de un objeto medida por un observador que se encuentra esta-cionario con respecto al objeto.

Intervalo de tiempo propio, Δt0

Un intervalo de tiempo propio se define como el intervalo de tiempo transcurrido entre dos sucesos medido por un observador en un sistema de referencia inercial que ve que ambos sucesos ocurren en el mismo lugar con respecto a él. La razón para ello es que el reloj se puede situar en la posición exacta de ambos sucesos sin necesidad de moverlo, de modo que la medida del espa-cio-tiempo no implica elemento espacial.

(Δs)2 = c2(Δt0)2 – 02

(Δs)2 = c2(Δt0)2

Esta ecuación no figura en el Apéndice de datos de Física.

Intenta imaginarte a ti mismo en el sistema de referencia de cada observador; ¿tienen los dos sucesos las mismas coordenadas x, y y z? Si las tienen, decimos que este observador mide el tiempo propio entre los dos sucesos.

17 Un electrón es acelerado en un laboratorio mediante una diferencia de potencial de 100 kV. Su velocidad se calcula midiendo el tiempo que tarda en pasar entre dos puntos cuya distancia de separación se ha medido en el labora-torio y ha resultado ser 5,00 m. ¿Quién está registrando el tiempo propio, el observador situado en el sistema de referencia del electrón o el situado en el sistema de referencia del laboratorio?

18 Una varilla cuya longitud medida en su sistema de referencia en reposo es de 1 m es acelerada hasta alcanzar una velocidad de 0,33c. Cuando pasa por delante de un punto fijo, un observador empieza a registrar el tiempo. ¿Quién está registrando el tiempo propio, el observador situado en el punto fijo o el observador que viaja con la varilla?

19 La misma varilla viaja entre dos puntos fijos en un laboratorio y dos observadores registran el tiempo que tarda en ir de uno a otro punto. Si los observadores registran el momento en que la parte anterior de la varilla pasa por cada uno de los puntos fijos, ¿está registrando alguno de los observadores el tiempo propio?

20 En un tercer experimento, los dos observadores comienzan el registro del tiempo cuando la parte anterior de la varilla pasa por el primer punto fijo y detienen el registro cuando el extremo de la varilla atraviesa el segundo punto. ¿Está registrando alguno de los observadores el tiempo propio?

Longitud propia, L0

La longitud propia se define como la distancia entre dos puntos del espacio medida por un observador situado en un sistema de referencia inercial estacionario con respecto a los dos puntos. De forma similar, esto significa que el observador está midiendo simplemente el aspecto espacial (la distancia) del espacio-tiempo, porque el objeto que está siendo medido está siempre en esa posición para ese observador; no hay medida del elemento tiempo del espacio-tiempo.

14 13 Relatividad

(Δs)2 = c202 – (Δx)2

(Δs)2 = –(Δx)2

Esta ecuación no figura en el Apéndice de datos de Física.

El hecho de que Δs2 sea negativo tiene que ver con su propia definición.

Al principio, muchos estudiantes luchan por entender este concepto. Imagina que unes los dos puntos donde ocurren los sucesos con un trozo de cuerda. Ahora imagina el trozo de cuerda desde el punto de vista de cada observador. Si la cuerda es estacionaria para uno de los observadores entonces están midiendo la longitud propia. En segundo lugar, la longitud propia medida por un observador será cero solo si los dos sucesos son simultáneos y además ocurren en el mismo lugar.

21 Un protón es acelerado en un laboratorio mediante una diferencia de potencial de 100 kV. Su velocidad se calcula midiendo el tiempo que tarda en pasar entre dos puntos cuya distancia de separación se ha medido en el laboratorio y ha resultado ser 5,00 m. ¿Quién está registrando la longitud propia entre los dos puntos, el observador situado en el sistema de referencia del protón o el situado en el sistema de referencia del laboratorio?

22 Una varilla cuya longitud medida en su sistema de referencia en reposo es de 1 m es acelerada hasta alcanzar una velocidad de 0,33c. Cuando pasa por delante de un punto fijo, un observador empieza a registrar el tiempo. ¿Quién está registrando la longitud propia entre el suceso inicial y el suceso final, el observador situado en el punto fijo o el observador que viaja con la varilla?

23 La misma varilla viaja entre dos puntos fijos en un laboratorio y dos observadores registran el tiempo que tarda en ir de uno a otro punto. Si los observadores registran el momento en que la parte anterior de la varilla pasa por cada uno de los puntos fijos, ¿está registrando alguno de los observadores la longitud de acción para la distancia entre los sucesos inicial y final?

24 En un tercer experimento, los dos observadores comienzan el registro del tiempo cuando la parte anterior de la varilla pasa por el primer punto fijo y detienen el registro cuando el extremo de la varilla atraviesa el segundo punto. ¿Está registrando alguno de los observadores la longitud de acción para la distancia entre los sucesos inicial y final?

Ejemplos resueltos

3 Se utiliza un pulso simple de luz láser para desencadenar dos sucesos de explosión cuando viaja a través de un tubo de vacío largo. La distancia entre los dos sucesos es de 99 m y la luz tarda 3,3 × 10−7 s en recorrer esta distancia. ¿Cuál es el intervalo de espacio-tiempo entre estos dos sucesos?

(Δs)2 = c2(Δt)2 – (Δx)2

= (3,0 × 108)2 × (3,3 × 10−7)2 − 992

= 0,0 m2

El intervalo de espacio-tiempo para dos sucesos cualesquiera ligados por el viaje de un fotón en el vacío es siempre cero. A dos sucesos ligados por un objeto que viaja a una velocidad inferior a c les corresponde un intervalo de espacio-tiempo positivo, mientras que a dos sucesos que están demasiado alejados para que un fotón viaje entre ellos en el intervalo de tiempo entre ambos les corresponde un intervalo de espacio-tiempo negativo.

4 ¿Cuál es el intervalo de espacio-tiempo para un electrón que se lanza con una energía cinética de 10,0 keV a través de un orificio de 5,0 m?

Vamos a dividir este problema en tres etapas para resolverlo más fácilmente. En primer lugar usaremos la ley de conservación de la energía (energía cinética = energía potencial eléctrica) para calcular la velocidad del electrón. La carga del electrón, e, y su masa, me, figuran en el Apéndice de datos de Física.

EC = 12

mv2 = qV

v2 = 2qVm

v = 2qVm

= 2 × (1,60 × 10−19) × (10,0 × 103)

9,11 × 10−31 = 5,93 × 107 m s−1

A continuación es fácil calcular el intervalo de tiempo:

Δt = Δxv

= 5,005,93 × 107 = 8,44 × 10−8 s

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de Lorentz 15

Las ecuaciones de transformación proporcionan un método alternativo de realizar estos cálcu-los. La invariancia del intervalo de espacio-tiempo significa que se puede escribir como:

(Δs′)2 = (Δs)2

c2(Δt′)2 – (Δx′)2 = c2(Δt)2 – (Δx)2

Estas ecuaciones no figuran en el Apéndice de datos de Física.

Si ambos observadores están de acuerdo en utilizar el mismo evento como origen de sus siste-mas de referencia, entonces Δx = x, y Δt = t, Δx′ = x′ y Δt′ = t′, por tanto la ecuación anterior se puede reescribir también como:

(ct′)2 – (x′)2 = (ct)2 – (x)2

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.

■■ Factor de Lorentz, γEinstein utilizó las matemáticas de Lorentz para describir cómo debe variar el espacio-tiempo

con diferentes movimientos relativos. En primer lugar vamos a introducir el factor de Lorentz, γ, que nos permite simplificar muchas de las ecuaciones que se utilizan en relatividad especial:

γ = 1

1 – v2

c2

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.Si dispones de una calculadora programable vale la pena que introduzcas esta ecuación porque

ahorrarás tiempo más adelante y te permitirá calcular γ rápidamente para distintos valores de v. En muchos de los problemas que tendrás que resolver encontrarás que la velocidad relativa, v, viene dada como una fracción de c y el factor de Lorentz simplifica los cálculos.

El factor de Lorentz, γ, es un factor de escala: tanto una expresión matemática de la teoría como una manera cómoda de calcular la magnitud de los cambios que se deben realizar en los valores o intervalos nominales del espacio y del tiempo cuando observamos sucesos desde distintos siste-mas de referencia (es decir, diferentes velocidades de un «observador»).

En consecuencia, la magnitud del factor de Lorentz depende obviamente de la magnitud de la diferencia entre la velocidad del sistema de referencia elegido y la velocidad de la luz, c, pero re-cordemos que la velocidad más rápida absoluta posible es c, por tanto el factor de Lorentz aumen-ta asintóticamente a medida que las velocidades se aproximan a c, un hecho que comporta conse-cuencias fascinantes.

Finalmente, podemos utilizar la ecuación que hemos dado antes para calcular el intervalo de espacio-tiempo. Esta ecuación nos proporciona una posible respuesta (y fíjate en que las unidades son m2):

(Δs)2 = c2(Δt)2 – (Δx)2

= (3,00 × 108)2 × (8,44 × 10−8)2 – 5,002

= 6,16 × 102 m2

El hecho de que el intervalo de espacio-tiempo entre dos sucesos cualesquiera sea constante para todos los observado-res nos permite calcular cuál será el tiempo que registrará entre ambos sucesos un observador que viaje en el sistema de referencia del electrón. En este sistema de referencia el electrón es estacionario y las líneas de inicio y de final se mueven hacia él con los sucesos de inicio y final ocurriendo en el electrón. Esto significa que este observador registra tiempo propio y que Δx′ = 0:

(Δs)2 = c2(Δt′)2 – (Δx′)2

(Δt′)2 = (Δs)2

c2

Δt′ = 6,2 × 102

(3,00 × 108)2

= 8,27 × 10−8 s

Para el electrón, por tanto, el tiempo entre estos dos sucesos transcurre algo más lentamente que para el observador que mide desde el laboratorio.

16 13 Relatividad

Ejemplos resueltos

5 Calcula el valor de γ para una partícula que viaja:a al 50% de la velocidad de la luz en el vacíob al 99% de la velocidad de la luz en el vacío.

a γ = 1

1 – v2

c2

= 1

1 – (0,5c)2

c2

= 1√1 – 0,25

= 1,2

b γ = 1

1 – v2

c2

= 1

1 – (0,99c)2

c2

= 1√1 – 0,992

= 7,1

A partir de estos ejemplos es de esperar que veas que el valor de γ debe ser siempre mayor que 1 y que no tiene unidades.

6 Calcula el valor de v cuando γ = 1,75.

Lo habitual es dar la respuesta en términos de c.

γ = 1

1 – v2

c2

γ 2 = 1

1 – v2

c2

1 – v2

c2 = 1

γ 2

v c

= 1 – 1γ 2

= 1 – 1

1,752

= 0,821

v = 0,821c

25 Determina el valor de γ para las velocidades relativas:a v = 0,1000 cb v = 0,75 cc v = 0,90 cd v = 0,95 c

26 Esboza una gráfica de γ en función de v para velocidades desde 0 a 0,999 c.

27 ¿A qué valores de v corresponden los siguientes valores de γ :a γ = 1,00b γ = 1,15c γ = 2,00d γ = 4,00

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de Lorentz 17

■■ Transformaciones de Lorentz

En el modelo newtoniano del universo hemos utilizado las ecuaciones de transformación gali-leanas para movernos desde un sistema de referencia a otro, lo que nos ha permitido cambiar las coordenadas entre un sistema y otro. En el universo relativista de Einstein, en cambio, debemos utilizar las ecuaciones de transformación de Lorentz.

x′ = γ(x – vt)

t′ = γ (t – vxc2 )

Estas dos ecuaciones figuran en el Apéndice de datos de Física y se utilizan para transformar las coordenadas x y t donde coinciden los orígenes de los dos sistemas de referencia en t = 0 s. La dimensión x es la única afectada por las transformaciones, de modo que incluso a los problemas más complejos se les puede aplicar una rotación para simplificarlos.

Las ecuaciones también se pueden formular en términos de intervalos de longitud medida, Δx, y tiempo medido, Δt, entre dos sucesos.

Δx′ = γ(Δx – vΔt)

Δt′ = γ (Δt – vΔxc2 )

Estas dos ecuaciones figuran en el Apéndice de datos de Física.

Ejemplos resueltos

7 Volvamos a considerar nuevamente el ejemplo de la Figura 13.3. En el instante t = 0 s los dos sistemas de referencia, S y S′, coinciden, y solo vamos a tener en cuenta el movimiento relativo en la dimensión espacial x. Por simplicidad, solo vamos a considerar el diagrama en el instante t.

El año luz (al) es una unidad de distancia que equivale a la distancia recorrida por la luz en el vacío durante 1 año. Es decir:

1 al = c × 1 a

Vamos a suponer que, según un observador en reposo situado en un sistema de referencia S, el cohete llega a un punto situado a 20 años luz de distancia al cabo de 30 años. Por tanto, las coordenadas (x, t) del cohete vienen dadas por (20 al, 30 al). Si nos desplazamos a un sistema de referencia S′ que se mueve a 0,5c con respecto a S, ¿cuáles son las coordenadas del cohete en el sistema S′?

Antes ya hemos calculado que γ =1,2 para v = 0,5 c.

x′ = γ(x – vt)

= 1,2 (20 al – 0,5c × 30 a)

= 1,2 (20 al – 15 al)

= 6,0 al

u

ν

ν

ν

u

0

0

u’

ν’

ν’

ν’

x’

x’

u’

S’

S’

0’

0’

x

x

En el instante t = 0 s

En el instante t

S

S

νu

ν

ν

ν

u

0

0

u’

ν’

ν’

ν’

x’

x’

u’

S’

S’

0’

0’

x

x

En el instante t = 0 s

En el instante t

S

S

ν

18 13 Relatividad

t′ = γ t – vxc2

= 1,2 30 y – 0,5c × 20 alc2

= 1,2 (30 y – 10 y)

= 24 a

Por tanto, según un observador situado en el sistema de referencia S′, el cohete solo ha recorrido 6 al en 24 años, lo que significa que viaja solo a 0,25c. Este ejemplo es muy directo porque las unidades utilizadas permiten sim-plificar c fácilmente.

8 Según un observador, la distancia entre dos sucesos (uno a la izquierda y el otro a la derecha) es 250 m y ocurren con una diferencia de 1,7 × 10−6 s, siendo el suceso de la izquierda el que ocurre antes. ¿Qué distancia y qué intervalo de tiempo entre los dos sucesos medirá un segundo observador que viaja a 0,75c hacia la derecha según el primer observador?

γ = 1

1 – v2

c2

= 1√1 – 0,752

= 1,51

x′ = γ(x – vt)

= 1,51 × (250 m – 0,75 × (3,0 × 108 m s−1) × 1,7 × 10−6 s)

= −200 m

t′ = γ t – vxc2

= 1,51 × 1,7 × 10−6 s – 0,75 × (3,0 × 108 m s−1) × 250 m(3,0 × 108 m s−1)2

= 1,6 × 10−6 s

En otras palabras, el orden en el que se producen los sucesos es el mismo para el segundo observador pero, desde su punto de referencia, sus posiciones espaciales están casi invertidas.

Para todos estos problemas debes suponer que el movimiento es unidimensional y que, en cada caso, los observadores inician el cuenteo del tiempo cuando los orígenes de los dos sistemas de referencia coinciden.

28 Imagina una situación en la que un cohete pasa junto a la Tierra a una velocidad de 0,5c. Hay dos observadores: uno en el sistema de referencia de la Tierra y el otro en el sistema de referencia del cohete.a ¿Cuál es el valor de γ?b Se produce una explosión estelar en un punto situado a 20 años luz de la Tierra. El cohete pasa junto a la Tierra en

dirección a la estrella. Según el observador con base terrestre, el cohete pasa junto a la Tierra 20 años antes de que llegue la luz. ¿Cuáles son las coordenadas x′ y t′ del suceso «explosión» para el observador situado en el sistema de referencia del cohete?

29 El diámetro de la galaxia Vía Láctea medido desde la Tierra es de 100 000 años luz, de modo que el tiempo que tarda la luz en viajar de un extremo al otro de la Vía Láctea es 100 000 años. ¿Cuál es el diámetro de la Vía Láctea según un observador situado en una galaxia lejana que se aleja de la Tierra a una velocidad de 0,2c? Supón que viajan en el mismo plano sobre el que se mide el diámetro de la Vía Láctea.

30 Según los astrónomos con base terrestre, una estrella cercana al centro de la Vía Láctea explotó 800 años antes que otra estrella situada a 2000 al de la primera. ¿Cuánto tiempo después se produjo la segunda explosión según un cohete que viaja hacia las explosiones a una velocidad de 0,2c?

31 La velocidad de un electrón medida en un laboratorio es 0,9c. Según un observador situado en el laboratorio, el electrón se encuentra en el instante t = 9,6 × 10−9 s en una posición x = 2,6 m hacia el interior de la longitud de un tubo de vacío. Calcula el valor del factor de Lorentz y utilízalo para calcular el tiempo y la posición del electrón según un observador situado en el sistema de referencia del electrón.

32 Dos observadores situados en sendos sistemas de referencia inerciales viajan con una velocidad relativa de 0,8c y ambos observan la ocurrencia de dos sucesos. Según uno de los observadores, los sucesos están separados 4,2 m y se producen con un intervalo de tiempo entre ellos de 2,4 × 10−8 s. Según el otro observador, ¿cuáles son los intervalos espacial (Δx′) y temporal (Δt′) entre los dos sucesos?

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de Lorentz 19

■■ Demostración de que dos sucesos pueden ser simultáneos para un observador pero no para otro

Recordemos que:

Si dos sucesos son simultáneos y se producen en el mismo lugar, deben ser simultáneos para todos los observadores.

Esto es así porque el intervalo espacio-tiempo es cero para todos los observadores y, por ello, todos deben estar de acuerdo en que los dos sucesos se producen en el mismo lugar y, por tanto, ocurren simultáneamente.

Sin embargo,

Dos sucesos que se producen en diferentes lugares pueden ser simultáneos para un observador pero no para otro.

Para demostrar esto último vamos a echar un vistazo a las ecuaciones de transformación de Lorentz. Supongamos que para el observador situado en S los dos sucesos son simultáneos, Δt = 0, pero ocurren separados por una distancia Δx = L. Para un observador situado en un sistema de referencia inercial S′ que se mueve a velocidad constante, v, paralelo a la longitud, L, los dos suce-sos se producen separados por un intervalo de tiempo:

Δt′ = γ (Δt – vΔxc2 )

= –γ ( vLc2 )

Esta ecuación no figura en el Apéndice de datos de Física.

Como tanto γ como c son distintos de cero, cualquier observador en S′ debe registrar un inter-valo de tiempo entre los dos sucesos para cualesquiera valores no nulos de v y L y, por tanto, los dos sucesos no pueden ser simultáneos para el observador.

■■ Transformaciones de la suma de velocidades

Uno de los aspectos de la relatividad especial que se explica con mayor profundidad en el Nivel superior es que ninguna partícula conocida puede viajar más rápido que la velocidad de

la luz en el vacío. En el universo newto-niano, cuando dos partículas viajan una hacia la otra con velocidad 0,6 c, cada una de ellas percibe a la otra partícula como si se estuviera aproximando a ve-locidad 1,2c (porque u′ = u – v). Véase la Figura 13.12.

Esto último no es posible en el espa-cio-tiempo de Einstein; en lugar de ello, debemos utilizar una ecuación de trans-formación mucho más compleja:

u′ = u – v

1 – uv c2

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física. Visto desde una fuente de referencia externa, u es la velocidad del objeto 1, v es la velocidad del objeto 2 y u′ es la velocidad del obje-to 1 visto por un observador que se encuentra en reposo respecto al objeto 2. Recuerda que u′ siempre debe ser menor que c.

■■ Figura 13.12

1,2c

20 13 Relatividad

Ejemplos resueltos

9 Desde un sistema de referencia externo se ven dos partículas viajando una hacia la otra cada una a una velocidad de 0,6c (Figura 13.13). Un observador situado sobre una de las partículas mide la velocidad de la otra partícula. ¿Qué velocidad mide?

u′ = u – v

1 – uv

c2

= 0,60c – (–0,6c)

1 – (0,60c × (–0,6c))c2

= 1,2c

1 – – 0,36c2

c2

= 1,21,36

c

= 0,88c

Es muy fácil olvidarse de los signos negativos cuando se realiza este cálculo. Recuerda que tanto u como v son vectores y por tanto pueden ser negativos o positivos según su sentido.

10 Desde un sistema de referencia externo se observan dos cohetes que viajan en la misma dirección: el primero viaja hacia el espacio vacío a una velocidad medida de 0,75 c, y se lanza un segundo cohete que viaja a 0,95c, según la medida de su velocidad (Figu-ra 13.14). ¿A qué velocidad se aproxima el segundo cohete para un observador inercial que viaja con el primer cohete?

u′ = u – v

1 – uv

c2

= 0,95 c – 0,75 c

1 – (0,95 c × 0,75 c)c2

= 0,2 c

1 – 0,71 c2

c2

= 0,20,29

c

= 0,70 c

0,75c0,75c

0,95c

■ Figura 13.14

0,60c

–0,60c

■ Figura 13.13

33 Un cohete que se aleja de la Tierra a una velocidad equivalente a una décima parte de la velocidad de la luz emite un haz de luz láser hacia el espacio.a Un observador situado en el interior del cohete mide con precisión la velocidad de los fotones del haz de luz. ¿Qué

valor crees que obtendrá?b Un observador que flota estacionario, con respecto a la Tierra, también mide con precisión los fotones del haz de

luz. ¿Qué valor obtendrá?

34 Dos cohetes vuelan uno hacia el otro y desde la Tierra se observa que cada uno lleva una velocidad de 0,7c. Un ob-servador situado en uno de los cohetes, ¿a qué velocidad cree que va el otro cohete?

35 Si estuvieras en una nave espacial increíblemente rápida que pasara junto a una estación espacial a una velocidad de 0,35c y aceleraras un protón en el interior de la nave para que viajara en su mismo sentido de movimiento a velocidad 0,95c (con respecto a la nave), ¿cuál sería la velocidad del protón medida por un observador situado en la estación espacial?

36 En un experimento de desintegración alfa se puede considerar que el núcleo progenitor es estacionario en el labo-ratorio. Cuando se produce la desintegración, la partícula alfa viaja en una dirección y sentido determinado a una velocidad de 0,7c, mientras que el núcleo descendiente viaja en sentido contrario a 0,2c. Calcula la velocidad que lleva la partícula alfa según un observador que viaja con el núcleo descendiente.

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de Lorentz 21

■■ Dilatación del tiempo

Puede parecer sorprendente que en el Ejemplo resuelto 10 los observadores situados en los dos sistemas de referencia que viajan con los cohetes perciban que se están moviendo uno hacia el otro aparentemente tan rápido (0,70c) cuando la mecánica newtoniana sugiere que solo debe-rían moverse con una velocidad relativa de 0,20c. El motivo tiene que ver con la ralentización del tiempo debida a su velocidad relativamente elevada.

El tiempo más breve posible entre dos sucesos es el medido por el observador inercial que mide el intervalo de tiempo propio, Δt0, entre estos dos sucesos. Cualquier otro observador inercial medirá un intervalo de tiempo más largo, Δt′, entre los sucesos. Esta ralentización, o extensión, del tiempo debida al movimiento relativo se denomina dilatación del tiempo.

Δt′ = γΔt0

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.

La obtención de esta ecuación es directa y depende de la transformación de Lorentz para el tiem-po. Recuerda que para un observador que mide el tiempo propio, la ocurrencia de los dos sucesos debe verse en las mismas coordenadas espaciales con respecto a ellos y, por tanto, Δx = 0.

Δt ′ = γ Δt – vΔxc2

Sabemos que para Δt0, Δx = 0, por tanto:

Δt ′ = γΔt0

37 Un electrón y un antineutrino generados en un experimento de desintegración beta viajan exactamente en la misma dirección y sentido. En el sistema de referencia del laboratorio el antineutrino lleva una velocidad de 0,95c y el elec-trón lleva una velocidad de 0,75c. ¿Qué velocidad lleva el antineutrino según un observador que viaja en el sistema de referencia del electrón?

38 Los protones del LHC del CERN viajan en sentidos opuestos por el anillo a una velocidad de aproximadamente 0,9990000c. Según un observador que viaja con uno de los paquetes de protones, ¿a qué velocidad viajan los proto-nes que se aproximan en sentido contrario?

39 Dos haces de luz viajan en sentidos opuestos y su velocidad relativa es 2c según un observador situado en el sistema de referencia del laboratorio. Según un observador situado en el sistema de referencia de uno de los haces de fotones, ¿a qué velocidad viajan los fotones del haz de luz que se aproxima en sentido contrario?

40 Dos naves espaciales que participan en una carrera espacial pasan una de las marcas viajando en la misma dirección y sentido a una velocidad de 0,6c y 0,7c respectivamente, medida por los árbitros de la carrera. Según la nave espacial que viaja más rápido, ¿a qué velocidad viaja la otra nave espacial?

Experimento de Ives–StilwellUna de las primeras comprobaciones de la dilatación del tiempo fue un experimento llevado a

cabo por Herbert Ives y su ayudante G. R. Stilwell cuando intentaban refutar la relatividad especial. Utilizaron un tubo de descarga de hidrógeno que aceleraba los iones H2

+ y H3+ hasta velocidades

elevadas. El haz de iones brilla cuando los electrones libres son absorbidos por los iones, producien-do un espectro de emisión. Ives y Stilwell utilizaron un espejo cóncavo para producir la reflexión del haz y observaron tanto el haz original como el haz reflejado a través de un espectroscopio.

Los iones viajan a una velocidad elevada y en consecuencia el espectro observado experimen-ta un desplazamiento Doppler clásico o longitudinal. El efecto de este desplazamiento es simétri-co sobre el haz reflejado de modo que el desplazamiento hacia el azul del haz original es de la misma magnitud que el desplazamiento hacia el rojo del haz reflejado. Estas dos líneas espectrales se comparan con la lí-nea espectral original no desplazada. La teoría clásica, por tanto, predice que se observarán tres líneas con un espaciado equivalente (Figura 13.15).

Sin embargo, existe también un efecto de desplazamiento Doppler transversal

Perspectivas adicionales

Desplazamientohacia el rojo

–ν/c +ν/c

OriginalDesplazamiento

hacia el azul

■■ Figura 13.15

22 13 Relatividad

■■ Contracción de la longitud

También hemos visto que cuando un observador se mueve con respecto a una longitud, esta pa-rece más corta. A la máxima longitud posible la hemos denominado longitud propia, L0, y todos los demás observadores inerciales medirán una longitud, L, entre dos sucesos inferior a la longitud propia.

L = L0γ

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.

ObtenciónLa obtención de esta ecuación es menos evidente porque requiere un conocimiento de cómo

se mide y se define la longitud. En el espacio-tiempo, la longitud es la distancia entre las posiciones de dos sucesos. Para poder medir esta longitud correctamente en cualquier sistema de referencia inercial dado, un observador debe medir simultáneamente la posición de los dos sucesos que de-finen la longitud.

Fíjate en que esto no significa que la longitud que se va a medir tenga que ser necesariamente una longitud propia, sino que es como si se tuviera que congelar la imagen (o tomar una fotografía) de la longitud que se va a medir y después se realizaran las medidas a partir de esta imagen conge-lada desde una posición situada en el centro y utilizando los reflejos de destellos de luz simultáneos para calcular su longitud. Esto significa que las medidas de la longitud requieren que Δt = 0.

Imaginemos que estamos intentando calcular la longitud propia, L0, de un objeto estacionario respecto al sistema S′ pero en movimiento respecto al sistema S. El objeto tiene una longitud, L, conocida en el sistema de referencia inercial S.

Δx′ = γ(Δx − vΔt)

L0 = γ(L – 0)

L = L0γ

mucho más pequeño que fue predicho por Einstein en su artículo de 1905. Según este efecto transversal, las líneas espectrales se desplazan en diferente cantidad, de manera que la línea original ya no sigue estando en el centro (Figura 13.16).

Para desgracia de Ives, que era uno de los críticos más furibundos de los EEUU contra la teoría de la relatividad, las líneas no aparecían desplazadas de forma equitativa y, en consecuen-cia, el resultado predicho por la física clásica era incorrecto y su experimento se utiliza en la actua-lidad como una de las pruebas experimentales que corroboran la relatividad especial.

41 Se mide la longitud propia de una varilla y resulta ser exactamente de 1,00 m. ¿Qué longitud mediríamos si pasara volando a nuestro lado a una velocidad de 0,8c?

42 La varilla del ejercicio anterior tarda 2,5 × 10−9 s en pasar junto a un punto fijo en el laboratorio. ¿Qué intervalo de tiempo entre los dos sucesos mediría un observador que viajara con la varilla?

43 Rosie vuela por el espacio y, según ella, su estatura es de 1,60 m. Adelanta a una nave espacial extraterrestre y, según sus ocupantes, viaja a una velocidad de 0,8c.a Según los extraterrestres de la nave espacial, ¿qué estatura tiene Rosie?b Jeanina tarda 6,1 × 10−9 s en adelantar a los mismos extraterrestres a una velocidad de 0,90c. ¿Qué intervalo de

tiempo tarda Jeanina en adelantar a los extraterrestres según ellos?

44 En una carrera espacial, una nave que mide 150 m de longitud cuando está estacionaria viaja a velocidades relativistas cuando cruza la línea de meta.a Según la nave, tarda 7,7 × 10−7 s en cruzar la línea de meta. ¿A qué velocidad viaja en términos de c?b ¿Qué intervalo de tiempo tarda la nave en cruzar la línea de meta según un observador situado en la propia línea

de meta?c ¿Qué longitud tiene la nave según un observador situado en la línea de meta? d ¿A qué velocidad viaja la nave según un observador situado en la línea de meta?

Desplazamientohacia el rojo Original

Desplazamientohacia el azul

■■ Figura 13.16

13.2 (A2: Núcleo) Transformaciones de Lorentz 23

■■ Comprobaciones de la relatividad especial: el experimento de desintegración del muon

Un muon es una partícula exótica que se comporta como un electrón pero tiene una masa 200 veces superior a la de este. Su masa relativamente elevada significa que son inestables y decaen rápidamente. Se generan con relativa facilidad en los laboratorios de física de alta energía y por tanto se pueden estudiar también con relativa facilidad. El método estándar para medir su periodo de vida consiste en el uso de un bloque de material centelleante para detenerlos. La detención de un muon produce un diminuto centelleo, o destello de luz, cuando la energía cinética del muon se convierte en un fotón. Cuando el muon se desintegra genera un electrón de alta energía y un par de neutrinos. El electrón provoca un segundo destello y el intervalo de tiempo entre esos dos su-cesos permite determinar la vida del muon. La vida media de un muon estacionario en el laborato-rio es de 2,2 × 10–6 s.

Una desintegración radiactiva es un proceso aleatorio y, por tanto, cuando medimos la desinte-gración de un gran número de partículas, es más normal hablar de semivida (o periodo de semi-desintegración). Matemáticamente hablando, una vida media de 2,2 × 10–6 s equivale a una semi-vida de 1,5 × 10–6 s. El muon, por tanto, nos ofrece un diminuto reloj que se puede acelerar hasta velocidades relativistas.

Los muones se generan de forma natural en la atmósfera terrestre como resultado de las coli-siones entre las partículas atmosféricas y la radiación cósmica de alta energía que nos bombardea continuamente. Este fenómeno se produce a unos 10 km por encima de la superficie terrestre y la velocidad media de los muones generados es de aproximadamente 0,995c.

Consideremos ahora tres opciones distintas para ver si concuerdan con lo que observamos ex-perimentalmente.

Opción newtonianaEl tiempo que tardan los muones en alcanzar la superficie terrestre desde una altitud de 10 km

a una velocidad de 0,995c es:

t = xv =

10 0000,995 × 3,00 × 108 = 3,35 × 10−5 s

número de semividas = tiempo total

t½ =

3,35 × 10−5

1,5 × 10−6 = 22

fracción que alcanza la superficie terrestre = 12

22 = 2,4 × 10−7

Fíjate en que se trata de una pequeñísima frac-ción, casi despreciable, del número original de muones a 10 km por encima de la superficie terres-tre. Si el marco newtoniano es correcto, apenas ningún muon alcanza la superficie terrestre porque casi todos se habrán desintegrado para cuando llegue ese momento (Figura 13.7).

Opción relativista-sistema de referencia terrestre

En el sistema de referencia terrestre, la longitud propia medida es de 10,0 km y la velocidad de los muones es 0,995c. Un observador situado en este sistema de referencia también mediría el intervalo de tiempo como 3,35 × 10–5 s. Sin embargo, un

45 En la misma carrera del ejercicio anterior un imponente crucero espacial tarda solo 2,0 × 10−6 s en cruzar la línea de meta según los árbitros de la carrera, que miden la longitud del crucero y resulta ser 450 m. ¿Qué longitud tiene el crucero según su folleto de venta?

v = 0,995c

Recuento simultáneo con un monitor contador situado a nivel de la superficie terrestre

Recuento experimental de muones a 10 km de altitud

¿Cuántas partículas alcanzarán la Tierra del millón de partículas situadas a 10 km de altitud?

µ 1000000

µ 0,24

L0 = 10km

■■ Figura 13.17

24 13 Relatividad

observador situado en el sistema de referencia del muon mediría el tiempo propio, que es una magnitud invariante, y podría calcular:

γ = 1

1 – v2

c2

= 1

1 – (0,995c)2

c2

= 1√1 – 0,9952

= 10,0

Δt0 = Δtγ = 3,35 × 10−5

10 = 3,35 × 10−6 s

número de semividas = tiempo total

t½ =

3,35 × 10−6

1,5 × 10−6 = 2,2

fracción restante = 12

22 = 0,22

Este valor representa cerca de una quinta parte, por tanto, en realidad, el número de muones que alcanzan la superficie terrestre es muy elevado en comparación con el número de muones a 10 km de la superficie terrestre. La confirmación de este re-sultado proporcionaría una prueba a favor del con-cepto de dilatación del tiempo: los muones alcan-zan la Tierra porque el tiempo ha pasado más lentamente para ellos y por tanto se han desinte-grado menos de los que lo habrían hecho según la física newtoniana (Figura 13.18).

Opción relativista-sistema de referencia del muon

En el sistema de referencia del muon, el espe-sor de 10 km de la capa más baja de la atmósfera se contrae.

L = L0γ =

10 000 m10 = 1 000 m

t = xv =

1 0000,995 × 3 × 108 = 3,35 × 10−6 s

En consecuencia, la fracción restante que alcan-za la superficie terrestre vuelve a ser 0,22. La razón es que, desde el sistema de referencia del muon, el observador en reposo percibe lo que nosotros me-dimos como 10 km como únicamente 1 km.

Una confirmación de este resultado comporta-ría una prueba en favor del concepto de contrac-ción de la longitud (Figura 13.19).

■■ Figura 13.18

v = 0,995cγ = 10

Recuento simultáneo con un monitor contador situado a nivel de la superficie terrestre

Recuento experimental de muones a 10 km de altitud

¿Cuántas partículas alcanzarán la Tierra del millón de partículas situadas a 10 km de altitud?

µ 1000000

µ 22000

L0 = 10km

■■ Figura 13.19

v = 0,98cγ = 10

Recuento simultáneo con un monitor contador situado a nivel de la superficie terrestre

Recuento experimental de muones a 10 km de altitud

¿Cuántas partículas alcanzarán la Tierra del millón de partículas situadas a 10 km de altitud?

µ 1000000

µ 22000

L0 = 1km

13.3 (A3: Núcleo) Diagramas espacio-tiempo 25

Resultados experimentales¿Corroboran los datos experimentales la relatividad? En términos generales, por cada centíme-

tro cuadrado de la superficie terrestre pasa un muon cada segundo, mientras que a 10 km de alti-tud la tasa es aproximadamente cinco veces mayor. Se trata de una prueba convincente para am-bos aspectos de la relatividad especial, tanto la dilatación del espacio como la contracción de la longitud. Sin embargo, en la realidad los datos son complejos: los muones se generan en la atmós-fera en un amplio intervalo de altitudes y con un amplio espectro de energías diferentes.

46 Algunos muones se generan en la atmósfera terrestre a 8,00 km por encima de la superficie terrestre como resultado de las colisiones entre las moléculas atmosféricas y los rayos cósmicos. Los muones así generados tienen una veloci-dad media de 0,99c.a Calcula el tiempo que tardarían los muones en atravesar los 8,00 km de atmósfera terrestre hasta los detectores

situados en la superficie según la física newtoniana.b Calcula el tiempo que tardarían los muones en atravesar la atmósfera según un observador relativista que viajara

con los muones.c Los muones tienen una semivida muy corta. Explica cómo pueden corroborar la teoría de la relatividad especial

los recuentos de muones a una altitud de 8,00 km y en la superficie terrestre.

13.3 (A3: Núcleo) Diagramas espacio-tiempoLos diagramas espacio-tiempo son una manera muy clara e ilustrativa de representar gráficamente por qué dos observadores que se mueven relativamente uno respecto al otro obtienen medidas distintas

El concepto de espacio-tiempo fue introducido por primera vez por Minkowski, el antiguo profesor de matemáticas de Einstein, en 1908. En un principio Einstein rechazó la idea de espacio-tiempo pero después se dio cuenta de su importancia y la utilizó como pieza fundamental en el descu-brimiento de la relatividad general. Los diagramas espacio-tiempo, tam-bién llamados en ocasiones diagramas de Minkowski, pueden ser un método muy potente para explicar la física relativista. Contienen mucha información, por tanto vamos a intentar descomponerlos en piezas antes de juntarlas todas para componer un diagrama completo.

■ EjesLos diagramas espacio-tiempo se representan normalmente con la di-

mensión espacial, x, sobre el eje horizontal y la dimensión temporal (es decir, el tiempo), t, sobre el eje vertical. Aunque en el eje vertical se podría representar simplemente el tiempo, normalmente se representa la veloci-dad de la luz multiplicada por el tiempo (c veces el tiempo), ct, porque así se simplifica el diagrama.

Los ejes representan el sistema de referencia, o sistema de coordena-das, de un observador inercial específico.

■ SucesosLos sucesos se representan en el espacio-tiempo como un punto. Como

en un gráfico corriente, las coordenadas del suceso se leen una a continua-ción de otra a partir de los ejes. En la Figura 13.20 queda claro que, para un observador inercial situado en el sistema de referencia S, el suceso 0 ocurre antes que el suceso 1.

■ Líneas de mundoPodemos imaginar un objeto que viaja por el espacio-tiempo como una

cadena de sucesos. Si unimos esta línea de sucesos podemos dibujar la trayectoria del objeto a través del espacio-tiempo y a esta trayectoria la denominamos línea de mundo. En la Figura 13.21 hemos dibujado una lí-

nea del mundo recta, lo que indica que el objeto se mueve a través del espacio con velocidad constante respecto al observador.

La línea de mundo representada no pasa por el origen porque el objeto se observa un breve periodo de tiempo después de que el observador haya puesto en marcha su reloj.

■■ Figura 13.20 Diagrama de espacio-tiempo para un sistema de referencia inercial, S, en el que se representan dos sucesos y sus coordenadas

Suceso 1

Suceso 0(0,0) x1 x

ct

ct1 (x1, ct1)

■■ Figura 13.21 Diagrama de espacio-tiempo en el que se representa la producción de la línea de mundo de un objeto mediante la unión de los sucesos de una cadena

Línea de mundo

ct

x

26 13 Relatividad

■■ Ángulo entre líneas de mundo

El ángulo que forma una línea recta de mundo cualquiera y el eje ct viene dado por:

θ = tg−1 ( vc )

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física y se puede obtener a partir del Ejemplo resuelto 11.

■■ Adición de un sistema de referencia S′La representación de un segundo sistema de referencia inercial sobre el mismo diagrama es

directa, ya que el espacio-tiempo de fondo no cambia y no es necesario desplazar los sucesos, lo que permite comparar cómo son percibidos los mismos sucesos por distintos observadores.

Los ejes del segundo sistema de referencia, en cambio, ya no son perpendiculares, sino obli-cuos. Supongamos que miramos el objeto cuya línea de mundo es la 2 en la Figura 13.22. En la Figura 13.23, el objeto está en reposo en su propio sistema de referencia (S′) y, por tanto, el eje ct′ coincide con la línea de mundo del objeto, mientras que el eje x′ es el simétrico del eje ct′ respec-

to a la línea de luz.Para un observador en reposo en S′, las coor-

denadas del suceso son ahora (x′1, ct′1). Para en-tender esto necesitamos repasar los conceptos «simultáneo» y «estacionario».

En el sistema de referencia S′, los sucesos si-multáneos ocurren a lo largo de una línea parale-la al eje x′, mientras que los que ocurren en el mismo lugar lo hacen a lo largo de una línea pa-ralela al eje ct′.

Es poco probable que te hayas encontrado con ejes de este tipo anteriormente, porque cuesta un cierto tiempo entender cómo funcio-nan. En las Figuras 13.24 y 13.25 se explica un poco más su funcionamiento.

■■ Gradiente

El gradiente de una línea de mundo viene dado por c/v, de modo que cuanto más escarpado es este gradiente, más lentamente viaja el objeto. A un objeto que un observador situado en este sistema de referencia ve como estacionario le corresponde una línea vertical porque su coordena-da x no cambia. Las unidades sobre cada eje son las mismas, por tanto un gradiente de valor 1 (es decir, dibujado como una recta inclinada 45 respecto a la horizontal) representa la línea de mundo (o línea de luz) de un fotón a través del espacio-tiempo porque v = c. Todos los observadores iner-ciales están de acuerdo en el valor de c, de manera que todos deben estar también de acuerdo en la línea de mundo para la luz, representada en la Figura 13.22.

■■ Figura 13.22 Diagrama espacio-tiempo donde se representa (para un observador S inercial): 1) la línea de mundo para un objeto estacionario, es decir, la línea de mundo para el observador en S; 2) la línea de mundo para un objeto en movimiento; 3) la línea de mundo para un objeto en movimiento que viaja más rápido; 4) la línea de mundo para un objeto que viaja en sentido contrario a los demás objetos entre dos sucesos; 5) la línea de mundo para un fotón, que se encuentra a lo largo de la línea donde ct = x y, por tanto, tiene gradiente igual a 1

Suceso 0

ct1 2 3

5

4θ

x

ct = x

■■ Figura 13.23 Diagrama espacio-tiempo en el que se representan los ejes adicionales para el sistema de referencia S′ en color azul

ct’ = x’

θ

(0,0)

Suceso 0’

ct

ct1

x1

x’1

x

x’

ct’

ct’1

13.3 (A3: Núcleo) Diagramas espacio-tiempo 27

■■ Figura 13.24 Diagrama espacio-tiempo en el que se representan líneas azules discontinuas que indican las distintas líneas de mundo para puntos que son estacionarios en el sistema de referencia S′. La gráfica funciona exactamente igual que las gráficas a las que estamos acostumbrados, excepto por el hecho de que la cuadrícula está inclinada en lugar de ser horizontal y vertical. Los sucesos 1 y 2 ocurren en la misma posición del espacio respecto a un observador en S′

Suceso 1

Suceso 2

ct

ct’ 1x’1

1x’1

2x’13x’1

3x’1

4x’1

4x’1

5x’1

5x’1

6x’1S’

6x’1

0x’1

0x’1 x

x’

2x’1

■■ Figura 13.25 Diagrama espacio-tiempo en el cual se marcan seis líneas paralelas al eje x′. Estas líneas unen puntos que son simultáneos entre sí, es decir, para un observador en S′ todos los sucesos a lo largo de la línea 1ct′ ocurren simultáneamente. Cuando el tiempo se duplica, todos los sucesos a lo largo de la línea discontinua 2ct′ ocurren simultáneamente y así sucesivamente. Los sucesos 3 y 4 son, por tanto, simultáneos para un observador en S′

Suceso 3

Suceso 4

ct’

5ct’1

6ct’1

6ct’1ct1 4ct’1

3ct’1

2ct’1

2ct’1

1ct’1

1ct’10ct’1

0ct’1

S’

(0,0)

x’

ct

x

5ct’14ct’1

3ct’1

■■ Unidades en los diagramas espacio-tiempo

Curiosamente, las unidades de los ejes x y x′ no tienen el mismo tamaño y este hecho complica la utilización de la geometría del espacio-tiempo para la resolución de problemas. Recordemos que el intervalo de espacio-tiempo, Δs2, es una cantidad invariante, de manera que todos los observa-dores medirán el mismo intervalo de espacio-tiempo entre dos sucesos con independencia de la velocidad a la que estén viajando.

Ejemplo resuelto

11 Utiliza las ecuaciones de transformación de Lorentz para demostrar que el gradiente de la recta x′ viene dado por vc y, por tanto, confirma que el ángulo que forman los ejes x y x′ viene dado por θ = tg−1 v

c, tal como se muestra

en la Figura 13.26.

Podemos obtener la ecuación para el eje x′ en términos de x y t tomando el valor t ′ = 0 y utilizando la transformación de Lorentz para t ′:

t ′ = γ t – vxc2 = 0

por tanto, el término en el interior del paréntesis = 0.

t = vxc2

ct = vc

x

que tiene la forma y = mx.

gradiente = vc

= cΔtΔx

= cateto opuestocateto contiguo

tg θ = cateto opuestocateto contiguo

= vc

θ = tg−1 vc tal como se quería demostrar.

■ Figura 13.26 Diagrama espacio-tiempo en el que se representa el cálculo de la fórmula del ángulo

ct’

(0,0)

cateto contiguo = ∆x

cateto opuesto = c∆t

x’

ct

xθ

28 13 Relatividad

Consideremos ahora cuatro observadores inerciales que viajan todos ellos a distintas velocidades, tal como se representa en la Figura 13.27. A cada uno se le pide que registre una unidad de longitud que sea estacionaria respecto a él. Para cada uno de los observadores esta longitud es una lon-gitud propia, de 1 unidad, de modo que le corresponde un intervalo de espacio-tiempo Δs2 = –1.

47 Utiliza las ecuaciones de transformación de Lorentz para demostrar que el gradiente de la recta ct ′ viene dado por c/v y, por tanto, confirma que el ángulo que forman los ejes ct y ct ′ también viene dado por:

θ = tg−1 vc

48 a Completa la tabla siguiente mediante el uso de una regla, una calculadora y el diagrama espacio-tiempo de la Figura 13.28:

SucesoCoordenadas

en S (x,ct)Coordenadas en S′ (x′,ct ′)

A (0,0) (0,0)

B (0,4;0,4)

C (1,6;1,1) (1,0)

D

E (0,1)

F

G

b Haz una lista del orden de ocurrencia de los su-cesos para un observador situado en S y para un observador situado en S′.

(0,0) (1,0)A

(0,1)

ct

x

B

E

F

G

C D

(0,1)

(1,0)

∆s2 = 1

∆s2 = –1

ct’

x’

■■ Figura 13.28 Diagrama espacio-tiempo en el que se representan siete sucesos, etiquetados con las letras A a G, desde dos sistemas de referencia distintos

■■ Figura 13.27 Diagrama espacio-tiempo que muestra la variación de las unidades para cuatro sistemas de referencia distintos, representados con los colores negro, azul, violeta y verde

(0,0) (1,0)

(1,0)

(0,1)

(0,1)

∆s2 = 1

∆s2 = –1

(1,0)

(0,1)

(1,0)

(0,1)

ct

x

ct’ ct’’ ct’’’

x’’’

x’’

x’

Las líneas discontinuas de color negro unen todos los puntos con intervalo de espacio-tiempo = 1 y –1 medido desde el origen y forman una curva denominada hipérbola. A partir de aquí podemos ver que la escala de 1 unidad es distinta para cada uno de los diferentes ejes x. Se pueden calcular las coordenadas exactas de la hipérbola, pero el nivel matemático que se necesita está por encima del programa del IB, de modo que las daremos por buenas.

De forma similar, las unidades sobre el eje del tiempo se comportan de manera simétrica.

13.3 (A3: Núcleo) Diagramas espacio-tiempo 29

■■ Figura 13.29 Diagrama espacio-tiempo en el que se compara la simultaneidad en distintos sistemas de referencia

Suceso 0

Suceso 1

Suceso 2

Suceso 3

ct’

x’

ct

x

■■ Simultaneidad en los diagramas espacio-tiempo

Recuerda que todos los observadores inerciales coincidirán en que dos sucesos son simultáneos si ocurren en el mismo lugar, pero pueden discrepar en cuanto al orden de ocurrencia de dos suce-sos que tienen lugar en dos puntos distintos del espacio. En la Figura 13.29 se muestra un diagra-ma espacio-tiempo con cuatro sucesos distintos. Según uno de los observadores, el Suceso 0 ocurre primero, seguido por los Sucesos 1 y 2, que ocurren simultáneamente, y el Suceso 3, que ocurre el último. Sin embargo, para el otro observador, los Sucesos 0 y 1 ocurren ambos simultá-neamente, seguidos de los Sucesos 2 y 3, que ocurren también simultáneamente.

Ejemplo resuelto

12 Recuerda cómo podía demostrar un observador que dos sucesos eran simultáneos (véase la Figura 13.9). Dibuja un diagrama espacio-tiempo con un sistema de referencia S que representa al observador situado en el tren y un sistema S′ que representa el sistema de referencia situado en el andén.

Los rayos de luz se emiten en sentidos contrarios, de modo que necesitamos dibujar un eje x positivo y negativo para representar la posición de ambos sucesos (Figura 13.30).

Suceso 0

(0,0)

Suceso 1Suceso 2

Suceso 3

Suceso 3

ct’

ct’3ct3

ct’1

ct1 = ct2ct’2

x2x1

x’

ct

xx2

SS’

■ Figura 13.30 Diagrama espacio-tiempo para el experimento mental llevado a cabo en la Figura 13.9 con el objeto de definir la simultaneidad. Las líneas de color rojo representan las líneas de mundo de los dos rayos reflejados. Los ejes de color gris representan el sistema de referencia inercial del vagón de tren, S, mientras que los ejes de color azul representan el sistema de referencia inercial del andén, S′, con el tren moviéndose hacia la izquierda. Las intersecciones discontinuas con la línea de tiempo de cada observador proporcionan la versión del orden de los sucesos para cada uno de los dos observadores.

El observador S ve:

■ los pulsos son enviados simultáneamente (Suceso 0)

■ los pulsos alcanzan cada uno de los extremos del vagón simultáneamente (Sucesos 1 y 2)

■ los pulsos vuelven al observador S simultáneamente (Suceso 3).

30 13 Relatividad

Naturaleza de la ciencia Visualización de modelosLa visualización de la descripción de sucesos en términos de diagramas de espacio-tiempo re-

presenta un enorme avance en la comprensión del concepto de espacio-tiempo.Las transformaciones de Lorentz que utilizamos para describir cómo nos trasladamos de un

sistema de referencia a otro tienen un alto contenido matemático y hacen que este tema sea difícil de interpretar de una forma no matemática. En un principio, la geometría de los diagramas espa-cio-tiempo parece bastante confusa, pero con la práctica nos proporciona una manera completa-mente distinta de abordar la relatividad. Esta nueva dimensión significa que algunos aspectos de la relatividad pasan a ser significativamente más accesibles, en particular, los diagramas espa-cio-tiempo explican fácilmente si dos sucesos son simultáneos o no en distintos sistemas de refe-rencia y explican también el orden de los sucesos visto por distintos observadores.

Con algo más de práctica, los diagramas espacio-tiempo también explican conceptos como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud, pero también se pueden utilizar para entender las sumas de velocidades relativistas y para visualizar por qué es imposible superar la velocidad de la luz en el vacío.

■■ Dilatación del tiempo en los diagramas espacio-tiempo

Consideremos ahora un diagrama espacio-tiempo para el experimento del muon (Figura 13.31). La fórmula del ángulo nos da en realidad un valor de 44,9º para v = 0,995c, pero hemos dibujado ct‘ con un ángulo más pequeño para mayor claridad.

Uno de los problemas que presentan los diagramas espacio-tiempo es que las escalas sobre los ejes no son iguales. Podríamos utilizar las transformacio-nes de Lorentz para marcar cuidadosamente las escalas en cada eje, pero exis-te un pequeño truco que nos permite evitarlo.

En el sistema de referencia del muon, el Suceso 0 ocurre un intervalo de tiempo Δt′ después del Suceso 1 y ambos sucesos ocurren en x′ = 0. Esto es así porque en el sistema de referencia del muon el observador en reposo verá el muon estacio-nario formado en la atmósfera (Suceso 0) y a continuación la superficie de la Tierra colisionando con el muon estacionario (Suceso 1), es decir, el muon es estacionario de principio a fin. Así, el observador mide una separación espacial entre los dos eventos igual a cero, de manera que el tiempo, Δt′, es el tiempo propio entre los dos sucesos, que está representado correctamente a escala sobre el eje ct.

Esto ocurre en un intervalo de espacio-tiempo específico, en el que Δs2 = c2Δt′2, y podemos seguir la línea discontinua que une todos los puntos con el mismo intervalo de espacio-tiempo. En los puntos donde interseca el eje verti-cal ct marca el intervalo equivalente tal como se mide en la escala del eje ct. Sobre el diagrama espacio-tiempo se etiqueta como cΔt′.

En el sistema de referencia terrestre, S, el intervalo de tiempo entre los Sucesos 0 y 1 es significativamente mayor y se puede determinar a partir de la coordenada vertical del Suceso 1, marcada como cΔt sobre el eje ct. Como ambas medidas se han corregido por su factor de escala sobre el eje ct, sus longitudes se pueden comparar directamente y resulta evidente que el intervalo de tiempo propio Δt′ es considerablemente más breve que el intervalo de tiempo Δt estirado (o dilatado), lo que demuestra que, en efecto, este tiempo se ha estirado o dilatado. Una me-dida cuidadosa realizada a partir del eje ct mostraría que cΔt = γcΔt′. Fíjate en que esta ecuación parece estar del revés, porque S′ mide el tiempo propio.

■■ Figura 13.31 Diagrama de espacio-tiempo correspondiente al experimento de la desintegración del muon. El Suceso 0 es la formación de un muon por la radiación cósmica entrante, mientras que el Suceso 1 es la llegada del muon a la superficie terrestre. El sistema de referencia representado en color negro, S, corresponde al sistema de referencia terrestre y el representado en azul, S′, corresponde al del muon. Un observador que viaja con el muon mide el tiempo propio entre los Sucesos 0 y 1. Para medirlo sobre la escala del eje vertical ct seguimos la línea discontinua de intervalo de espacio-tiempo constante desde el Suceso 1 hasta el punto donde interseca con el eje ct, donde se puede calcular fácilmente midiendo el intervalo etiquetado como cΔt′. El intervalo para un observador situado en el sistema de referencia S se puede calcular midiendo cΔt

Suceso 1

Suceso 0

∆s2 = c2∆t’2

c∆t’

S’c∆t

Sct

x

ct’

x’

El observador S′ ve que:

■ los pulsos son enviados simultáneamente (Suceso 0)

■ el pulso disparado en sentido contrario al del movimiento del vagón debe llegar al extremo de este antes (Suceso 1) que el pulso disparado en el sentido del movimiento del vagón (Suceso 2)

■ sin embargo, S′ sigue viendo que los pulsos vuelven al observador S simultáneamente (Suceso 3).

La geometría de los diagramas espacio-tiempo nos ofrece exactamente el mismo resultado, lo que demuestra que los sucesos sin intervalo de espacio-tiempo son simultáneos para todos los observadores, mientras que los sucesos que ocurren en dos lugares distintos pueden ser simultáneos para algunos observadores pero no así para otros.

13.3 (A3: Núcleo) Diagramas espacio-tiempo 31

■■ ■Contracción de la longitud en los diagramas de espacio-tiempo

Consideremos una vez más el experi-mento del muon tal como se representa en la Figura 13.33. La longitud que esta-mos midiendo es la distancia entre la for-mación de los muones en la atmósfera terrestre y en la superficie terrestre.

En la sección anterior, la obtención de la ecuación de la contracción de la longi-tud fue más difícil que la obtención de la

ecuación de la dilatación del tiempo, porque la primera requería una pieza clave más de informa-ción: para medir una longitud correctamente debemos medir la posición de cada extremo de la longitud al mismo tiempo. En otras palabras, los dos sucesos espacio–temporales utilizados para determinar los dos extremos de la longitud en un sistema de referencia dado deben ocurrir simul-táneamente en ese sistema de referencia.

Esta longitud es fácil de medir en el sistema de referencia terrestre porque es simplemente la separación horizontal entre la línea de mundo vertical de la atmósfera terrestre y la línea de mundo de la superficie terrestre. Ambas líneas se representan en el diagrama espacio-tiempo como los dos ejes verticales de color negro. Como cada uno de ellos es estacionario en el sistema de referencia terrestre, la separación entre ambos es una longitud propia y está etiquetada como L0 sobre el diagrama, donde se podría medir fácilmente sobre el eje x.

En el sistema de referencia del muon, S′, la distancia entre la atmósfera terrestre y la superficie terrestre se puede medir utilizando los sucesos simultáneos 0 y 0′, donde la línea de mundo de la atmósfera y la línea de mundo de la superficie terrestre intersecan respectivamente con el eje x′. En el sistema de referencia del muon ambos sucesos ocurren cuando t′ = 0, de modo que los pode-mos utilizar para medir correctamente la separación, L′ (se podría medir fuera de escala sobre el eje x′ pero necesitaríamos calcular la escala para hacerlo).

En lugar de ello, podemos hacer un esbozo sobre la curva que une todos los puntos con inter-valo de espacio-tiempo Δs2 = −L′2. Si la extendemos hacia el eje x nos proporciona la separación entre los Sucesos 0 y 0′ sobre la escala del eje x, donde se puede medir fácilmente. Podemos ver sin dificultad que la longitud propia es mucho mayor que la longitud contraída, L′, lo cual confirma la existencia de la contracción de la longitud. Una medida cuidadosa también demostraría que L′ = L0/γ. Una vez más, la geometría de los diagramas de espacio-tiempo ha permitido representar la dinámica de la relatividad.

49 Utiliza el diagrama de espacio-tiempo de la Figura 13.32 y las ecuaciones de transformación de Lorentz para calcular:a La velocidad de un objeto cuya línea de mundo está a 30º.b El valor de γ para esta velocidad.c El instante de tiempo, t, en el que un observador situado en

el sistema de referencia S registrará que el objeto ha recorri-do 10 años luz (Suceso 1) a esa velocidad.

d El valor de cΔt entre el Suceso 0 y el Suceso 1.e La gráfica está dibujada correctamente a escala. Mide la

longitud de cΔt y cΔt′ sobre el eje ct y demuestra que el cociente entre las longitudes medidas es cΔt/cΔt′ ≈ γ.

f ¿Cuál de los dos sistemas de referencia mide tiempo pro-pio?

g Utiliza la dilatación del tiempo para calcular el valor de cΔt′.h Marca la posición correspondiente a 14 años luz tanto so-

bre los ejes de color negro (sistema de referencia S) como sobre los ejes de color azul (sistema de referencia S′) para demostrar que las escalas sobre los ejes son distintas. ■■ Figura 13.32

Suceso 1

Suceso 0

c∆t’

c∆t’ S’

c∆t

x = 10 años luz

30º

30º

S

ct

x

ct’

x’

■■ Figura 13.33 Diagrama de espacio-tiempo para el experimento de la desintegración del muon utilizado para demostrar la contracción de la longitud. La separación instantánea entre la atmósfera y la superficie terrestre en el sistema de referencia del muon se debe medir en cada sistema de referencia

Suceso 0

Suceso 0’

Línea de mundo para la superficie terrestre

Línea de mundo para la atmósfera

S’

∆s2 = L’2

L0

42º

S

L’

ct’

x’

ct

x

32 13 Relatividad

■■ La paradoja de los gemelos

Una de las primeras controversias que levantó la relatividad especial fue su aparente simetría. Si dos observadores inerciales (cada uno con su propia varilla de un metro de longitud) se cruzan, cada uno vería la varilla del otro contraída y, por tanto, más corta que la suya. De manera similar, cada uno leería el reloj del otro como si fuera más lentamente que el propio. Las reglas de la rela-tividad especial no se rompen aquí porque estas situaciones son simétricas. En la Figura 13,35 se representa esta simetría.

Suceso 1

Suceso 0

c∆t’1

S’

c∆t2

Sct

x

ct’

x’

Suceso 1’

Suceso 0’

c∆t’2

x’

S’

c∆t1

S

ct ct’

x

■■ Figura 13.35 La simetría de la relatividad significa que si dos observadores llevan a cabo un mismo experimento uno sobre el otro, los resultados deberían ser simétricos. Imagina que dos observadores viajan en sentidos contrarios. Cada uno lleva una varilla de un metro de longitud sostenida paralelamente a su línea de movimiento y dos cronómetros. Cada uno de los observadores mide dos intervalos distintos. En primer lugar, comienzan a cronometrar el tiempo cuando se cruzan con la parte delantera de la varilla del otro observador y paran el cronómetro cuando se cruzan con la parte trasera de la varilla del otro observador, Δt1 y Δt′1, respectivamente; en segundo lugar, registran el intervalo de tiempo que tarda el otro observador en cruzarse con la parte delantera y trasera de su propia varilla, Δt2 y Δt′2. Según la relatividad, los resultados deben ser simétricos y los diagramas espacio-tiempo así lo confirman. Cada observador mide correctamente el tiempo propio (Δt1 o Δt′1) cuando se cruza con los extremos de la varilla del otro observador, pero mide un tiempo dilatado (estirado) cuando registra al otro observador cruzándose con su propia varilla (Δt2 o Δt′2). Esto solo funciona porque los Sucesos 0 y 0′, y 1 y 1′ son cuatro sucesos diferentes y significa que los dos diagramas espacio-tiempo son imágenes especulares el uno del otro

50 El ángulo entre los ejes x y x′ de la Figura 13.33 es también 42º. Calcula:a La velocidad relativa de los dos sistemas de referencia.b El valor de γ.c La longitud de L′ sabiendo que L0 = 1,0 m.d Mide el cociente L0/L′ (utiliza una regla) para confirmar que

dicho cociente proporciona el valor de γ.

51 El primer postulado de Einstein afirma que las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. Esto significa que deberíamos poder representar en un diagrama espa-cio-tiempo que un observador situado en un sistema S también mediría la longitud de un objeto que es estacionario en un siste-ma de referencia S′ como una longitud contraída. Utiliza la Figu-ra 13.34 para demostrar que este es el caso marcando la longitud medida por S′ sobre el eje x′ y utilizando la curva del intervalo espacio-tiempo para marcar la longitud equivalente medida por S sobre el eje x′. A partir de ahí, utiliza las longitudes medidas a lo largo del eje x′ para estimar el valor de γ. ■■ Figura 13.34

Suceso 0Suceso 0’

S’

∆s2 = L’2

30º

ct’

x’

S

ct

x

Los postulados de la relatividad especial afirman claramente que estos sistemas de referencia inerciales tienen igual validez y que, por tanto, ambas versiones deben ser correctas.

La paradoja de los gemelos pregunta qué ocurriría si tuviéramos dos gemelos, Andrew y Alice, con los siguientes gustos: a Andrew le gusta quedarse en casa, por tanto, se queda en la Tierra; a Alice, en cambio, le gusta viajar, y por eso la envían a nuestra estrella más cercana en una nave espacial que viaja a una velocidad cercana a la de la luz. Cuando Alice llega a Proxima Centauri decide que no le gusta la doble salida del sol del sistema binario y vuelve a casa en una nave dife-rente que viaja en sentido contrario y a la misma velocidad. Según la relatividad, Andrew debe

13.3 (A3: Núcleo) Diagramas espacio-tiempo 33

pensar que Alice no habrá envejecido tanto como él porque ella ha viajado. Sin embargo, en el sistema de referencia de Alice, ella es estacionaria y ve que la Tierra sale disparada alejándose de su nave espacial; a continuación, Alice salta a una segunda nave espacial y la Tierra se abalanza a toda prisa hacia ella, de manera que Alice podría argumentar que es Andrew quien ha viajado, y no ella, de modo que él debe haber envejecido menos que ella. La paradoja es que ninguno de los dos puede ser más joven que el otro y, con todo, la situación parece simétrica.

■■ Solución a la paradoja de los gemelos

La solución es que la paradoja de los gemelos no es simétrica. Alice no puede argumentar que no ha viajado porque ha experimentado una espectacular aceleración cuando ha dado la vuelta para regresar (violando los requisitos de la relatividad especial). Esto significa que ella no ha estado en un único sistema de referencia inercial, sino en dos sistemas de referencia distintos. En la Figu-ra 13.36 se muestra la falta de simetría cuando se comparan los diagramas espacio-tiempo. El sis-tema de referencia A es desde la perspectiva de Andrew, mientras que el A′ es el de la nave espa-cial que tomó primero Alice para dirigirse a Proxima Centauri. La línea de mundo ct″ es la correspondiente a la segunda nave espacial que tomó Alice para regresar a la Tierra.

Líneas demundode Alice

Línea de mundode Andrew

A’

A’

A

22

1

ct

x

ctct’ ct’’ct’’

ct’

x’

Suceso 0 Suceso 0

1

A

■■ Figura 13.36 Resolución de la paradoja de los gemelos. Los diagramas de espacio-tiempo desde la perspectiva de Andrew y desde la perspectiva de la primera mitad del viaje de Alice muestran claramente que las situaciones de Alice y de Andrew no son simétricas, tal como requiere la paradoja, de modo que está resuelta. Los ejes de color negro ct y x corresponden a Andrew, los ejes de color azul ct′ y x′ corresponden a la primera mitad del viaje de Alice, y el eje de color violeta ct″ corresponde a la segunda mitad de su viaje. La línea de mundo de Andrew entre los Sucesos 0 y 2 viene marcada por las líneas discontinuas de color negro; la línea de mundo de Alice entre 0 y 1 viene marcada por la línea azul discontinua y entre 1 y 2 por la línea violeta discontinua

El experimento de Hafele–KeatingEn 1971 Joseph Hafele y Richard Keating llevaron a cabo una versión del experimento de la

paradoja de los gemelos (Figura 13.37). En esta versión, Andrew y Alice no eran personas, sino que Hafele y Keating utilizaron cuatro relojes atómicos muy precisos. Andrew (representado por relojes atómicos que permanecían en el Observatorio naval de los EEUU) se quedaba en la Tierra mientras que Alice viajaba en dos vuelos comerciales, representados por relojes que volaban al-rededor de la Tierra. Uno de los relojes volaba hacia el este, con la rotación de la Tierra, y el otro volaba hacia el oeste, contra la rotación de la Tierra. Cuando los relojes atómicos volvieron se compararon con los relojes situados en la Tierra.

Los resultados se publicaron en la revista Science y confirmaron las predicciones de la relati-vidad. El reloj que viajaba hacia el este se había atrasado −59 ± 10 ns mientras que el reloj que viajaba hacia el oeste se había adelantado 273 ± 7 ns, de forma que estos valores encajaban con las expectativas de la relatividad (dentro de las incertidumbres previstas). Ambos valores no sumaban cero porque existe también un efecto causado por el vuelo de los aviones en un campo gravitatorio más débil, que provoca que ambos relojes vayan más rápido. Este efecto se explicará en la sección sobre relatividad general.

Aplicaciones

34 13 Relatividad

13.4 (A4: Material adicional para Nivel superior) Mecánica relativista La energía se debe conservar en cualquier circunstancia y lo mismo le ocurre al momento. La relatividad del espacio y del tiempo requiere una nueva definición para la energía y el momento con el objetivo de preservar la naturaleza conservativa de estas leyes bajo transformaciones relativistas

■■ La masa en reposo y la carga eléctrica como cantidades invariantes

En las Secciones 13.1 a 13.3 hemos hablado de varias cantidades que no varían, con indepen-dencia de lo rápido que se perciba el movimiento de un objeto. Estas cantidades eran: el intervalo de espacio-tiempo, Δs2, el tiempo propio, t0, y la longitud propia, L0. Además, todos los observa-dores coinciden en la masa en reposo, m0, y la carga eléctrica, q.

Podemos pensar en la masa en reposo como si se tratara de la «masa propia» de un objeto y se define como la masa que mediría un observador que es estacionario con respecto al objeto. La relación entre la masa en reposo y la masa medida, m, viene dada por:

m = γ m0

Esta ecuación no figura en el Apéndice de datos de Física.

52 Considera los dos diagramas de espacio-tiempo de la Figura 13.37. Las líneas de mundo azules representan cada uno de los extremos de una varilla. Un observador situado en un sistema de referencia S ve pasar la varilla a velocidad constante, mientras que el observador situado en el sistema de referencia S′ está en reposo respecto a la varilla. Ambos observadores miden la longitud de la varilla utilizando dos sucesos, uno en cada extremo de la varilla.

Suceso 2

S

L

L0

S’

Suceso 1(x1,ct1)

Suceso 1(x’1,ct’1)

(x2,ct1)Suceso 2(x’2,ct’1)

x1 x2

ct

x x’1 x’2

ct’

x’

a Explica por qué el observador situado en el sistema de referencia S solo puede medir correctamente la longitud de la varilla si los dos sucesos ocurren simultáneamente.

b Describe cómo se podría conseguir experimentalmente esta simultaneidad.c Explica por qué el observador situado en el sistema de referencia S′ no necesita que los sucesos sean simultáneos

para medir correctamente la longitud de la varilla.d Los dos observadores miden distintos valores para la longitud de la varilla. ¿Cuál de los dos mide la longitud propia?

Razona tu respuesta.e ¿Qué aspecto de la relatividad especial demuestran los dos diagramas espacio-tiempo? Razona tu respuesta.

53 El experimento realizado en 1971 en el que se comparan cuatro relojes atómicos después de que dos de ellos hayan realizado un viaje a gran velocidad no encaja exactamente con la paradoja de los gemelos que se ha descrito. Describe y explica en qué consisten las diferencias.

■■ ■Figura 13.37

Enlace con la teoría del conocimiento¿Se pueden resolver las paradojas empleando únicamente la razón o requieren el uso de otros tipos de conocimiento?La paradoja de los gemelos es un ejemplo de paradoja que se produce porque hay una mala interpretación de lo que se conoce. Esto depende de la definición exacta de paradoja que se esté empleando, de manera que o bien no se trata de una verdadera paradoja, o bien algunas paradojas se pueden resolver a través de un razonamiento más minucioso.

13.4 (A4: Material adicional para Nivel superior) Mecánica relativista 35

■■ Energía total y energía en reposo

Si la velocidad es una cantidad relativa, ya no con un cero absoluto sino con un máximo abso-luto, la energía de un objeto debe depender también del sistema de referencia desde el cual lo observamos. Recuerda que:

energía total = energía potencial + energía cinética

Un objeto estacionario dentro de un sistema de referencia no tiene energía cinética y, por tanto, su energía es la menor posible. A esta energía la denominamos energía en reposo, E0. Cuando un objeto se mueve más rápido gana energía cinética pero, fundamentalmente, nunca puede alcanzar la velocidad de la luz en el vacío. La razón para ello, desde el punto de vista relativista, es que un observador que viaja en el sistema de referencia del objeto debe seguir midiendo la velocidad de la luz en el vacío como una constante invariable, c, y no sería así si el objeto alcanzara o superara la velocidad de la luz por sí mismo.

En consecuencia, ¿cuál es la explicación que proporciona la física? La respuesta se encuentra en la ecuación:

E = mc2

La energía en reposo viene dada por:

E0 = m0c2

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.Es una situación distinta a la de la física newtoniana, en la que la masa es una cantidad invarian-

te, de manera que a velocidades que se aproximan a la velocidad de la luz en el vacío, la ecuación de la energía cinética clásica ( 1

2 m0v2) ya no funciona y debemos utilizar la ecuación de la energía

cinética relativista. Esta ecuación nos dice que la masa y la energía son equivalentes. Tal como se explicó en el Capítulo 7, si un objeto tiene energía, tiene masa; si un objeto gana energía, gana masa. Cuando un objeto se acelera gana más energía y, por tanto, gana más masa, de manera que cada vez cuesta más acelerarlo.

La energía total de un objeto se puede calcular fácilmente multiplicando la energía en reposo por el factor de Lorentz:

E = γ m0c2

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.A partir de la ecuación anterior y de la ecuación para la energía en reposo podemos calcular la

energía cinética relativista:

energía cinética relativista = energía total – energía en reposo

Ec = γ m0c2 − m0c

2

= (γ – 1)m0c2

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.

Ejemplo resuelto

13 Se mide la velocidad a la que viaja una partícula y resulta ser exactamente 0,85c y su masa inercial es 1,9149 u. ¿Qué tipo de partícula crees que puede ser?

γ =

1

1 – v2

c2

γ = 1

1 – 0,852

= 1,8983

m = γ m0

m0 = m

γ

= 1,9149 u1,8983

= 1,0087 u

Si consultamos el Apéndice de datos de Física vemos que la partícula podría ser un neutrón.

36 13 Relatividad

En la Figura 13.38 tenemos un ejemplo de gráfica de la energía total de una partícula.

Ejemplos resueltos

14 Se mide la velocidad a la que viaja un protón respecto al sistema de referencia del laboratorio y su valor resulta ser 0,500c. ¿Cuál es la energía total del protón según los observadores del laboratorio?

γ =

1

1 – v2

c2

=1

1 – 0,5002 = 1,15

E = γ m0c2

= 1,15 × 938 MeV c−2 × c2

= 1,08 GeV

15 Se mide la velocidad a la que viaja un electrón respecto al sistema de referencia del laboratorio y su valor resulta ser 0,75c. ¿Cuál es la energía cinética del electrón según los observadores del laboratorio?

γ = 1

1 – v2

c2

=

1

1 – 0,752

= 1,51

E = (γ – 1)m0c2

= (1,51 – 1) × 0,511 MeV c −2 × c2

= 0,26 MeV

10 000

Velocidad del protón/c

Energía en reposo

5 000

E0 = 938

00 1

Energía cinética

Ener

gía

tota

l/MeV

■■ Figura 13.38 Gráfica de la energía total de un protón. Los puntos clave que debemos reconocer en la gráfica son: i) la energía en reposo es el valor constante de E0; ii) la energía cinética relativista es la diferencia entre la curva de la energía total y la energía en reposo; y iii) la velocidad del protón nunca alcanza el valor c. Como la masa y la energía son equivalentes, se puede representar una gráfica similar para la masa en la que la masa en reposo sustituye a la energía en reposo y las unidades pasan de MeV a MeV c−2

13.4 (A4: Material adicional para Nivel superior) Mecánica relativista 37

Naturaleza de la ciencia Cambio de paradigmaEinstein comprendió que la ley de conservación del momento ya no se podía mantener como

una ley de la física. Dedujo, por tanto, que para que el momento se pudiera conservar bajo todas las condiciones posibles, la definición de momento tenía que cambiar y con ella las definiciones de otras cantidades mecánicas, como la energía cinética y la energía total de una partícula. Se trataba de un importante cambio de paradigma.

Cuando se realizan cambios espectaculares en las leyes de la ciencia es importante que seamos capaces de diferenciar entre los aspectos de la teoría anterior que son válidos y los que deben ser modificados. En este caso, Einstein se dio cuenta de que las reglas fundamentales de la conserva-ción de la energía y de la conservación del momento se debían mantener en la relatividad especial y que, en consecuencia, las ecuaciones clásicas, que para los estudiantes de física pueden parecer erróneamente definiciones fundamentales, necesitan una revisión.

Einstein consideró en 1911 una teoría de la velocidad de la luz variable en la que la velocidad de la luz en el vacío sigue siendo un límite infranqueable, tal como describe la relatividad especial, pero este límite de velocidad varía dentro de un campo gravitatorio variable. Einstein acabó aban-donando esta línea de investigación, pero otros científicos posteriores han propuesto esta teoría como solución a varios problemas que surgen en el ámbito de la cosmología. Recientemente, An-dreas Albrecht y João Magueijo han sugerido que si la velocidad de la luz en el universo primigenio fuera 60 veces más rápida, ello permitiría resolver un tema de cosmología denominado problema del horizonte y ofrecería una alternativa a la teoría dominante, que es la teoría de la inflación. ¿Cuá-les son las implicaciones potenciales del cambio del valor de c?

■■ Momento relativista

Como la energía, y por tanto la masa de una partícula, aumentan con la velocidad, este hecho debe tener también implicaciones para el cálculo del momento de las partículas que viajan a velo-cidades que se aproximan al valor c. Y como la masa está directamente vinculada a la masa en re-poso por el factor de Lorentz, se debe cumplir lo mismo para el momento relativista:

p = γ m0v

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.A partir de la ecuación anterior, el físico inglés Paul Dirac derivó la ecuación relativista para la

energía total de una partícula:

E2 = p2c2 + m02c4

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.El uso de esta ecuación parece considerablemente más complejo, por tanto merece la pena

que practiquemos un poco.

Ejemplo resuelto

16 Un observador inercial mide la velocidad de un protón y resulta tener un valor de 0,75c. Calcula tanto el momento como la energía total del protón con respecto al observador inercial.

γ =

1

1 – v2

c2

= 1

1 – 0,752 = 1,51

p = γ m0v

= 1,51 × 938 MeV c−2 × 0,75 c

= 1,06 × 103 MeV c−1

E2 = p2c2 + m02c4

E = p2c2 + m02c4

= (1,06 × 103 MeV c −1)2c2 + (938 MeV c −2)2c 4

= (1,06 × 103)2 + 9382 porque se simplifican todas las c

= 1,420 × 103 MeV

38 13 Relatividad

■■ Unidades para la energía, la masa y el momento

Seguro que ya te resulta familiar el electronvoltio como unidad de energía, aunque las unidades que se utilizan habitualmente para las partículas son los kiloelectronvoltios (keV), los megaelectron-voltios (MeV) y los gigaelectronvoltios (GeV). La definición de electronvoltio tiene su origen en la ecuación para la energía potencial, E = qV.

A partir de la ecuación de Einstein (E = m c2) sabemos que:

m = Ec2

Las unidades para la masa son eV c–2, pero habitualmente se expresan como MeV c–2 o GeV c–2.

Si consideras el Ejemplo resuelto 16, con un poco de suerte podrás ver que también tiene sen-tido introducir una nueva unidad para el momento, lo que simplifica de manera importante las ecuaciones cuando las velocidades vienen dadas como fracciones de c y, aunque cuesta un poco acostumbrarse a su uso, igual que ocurre con la unidad eV para la energía, con la práctica las ven-tajas se pueden apreciar rápidamente.

p = mv

Las unidades para el momento son eV c–1, pero lo más habitual es utilizar MeV c–1 o GeV c–1.

54 La ventaja del uso de las unidades relativistas para la energía, la masa y el momento consiste en que simplifican mu-cho las ecuaciones en las que aparece c. Afortunadamente, no suele ser necesario convertirlas a unidades del SI, pero es conveniente que sepas hacerlo.a Convierte 1,00 eV en julios.b Convierte 1,00 J en eV.c ¿Cuánta energía posee una masa de 1,00 kg?d Convierte 1,0 kg en eV c−2.e Convierte 1,0 kg m s–1 en eV c−1.

Energía nuclear, aceleradores de partículas y detectores de partículasPara comprender los cambios que tienen lugar en la energía y el momento en las centrales

nucleares, los aceleradores de partículas y los detectores de partículas es necesario comprender las leyes de la mecánica relativista.

Centrales nuclearesLas centrales nucleares utilizan una reacción de fisión para liberar parte de la energía almace-

nada en núcleos inestables de gran tamaño, como el uranio-235 y el plutonio-239. La fisión es-pontánea del uranio-235 libera de forma característica una energía de 200 MeV, mayoritariamen-te en forma de energía cinética de los núcleos producidos debida a la repulsión culombiana. Se liberan un promedio de 2,5 neutrones con energías cinéticas características de 2 MeV además de rayos gamma con una energía total de unos 7 MeV. A continuación, las colisiones con un material moderador, como el agua pesada, permiten ralentizar estos neutrones hasta alcanzar energías cinéticas de unos 10 eV, una energía a la que pueden ser absorbidos por otros núcleos de ura-nio-235. La utilización práctica de la energía nuclear no sería posible sin la comprensión de las implicaciones de la relatividad.

Aceleradores de partículasLos aceleradores de partículas son cada vez más potentes y nos han permitido explorar las

densidades extremadamente elevadas del universo primigenio y generar una amplia variedad de nuevas partículas. No obstante, los aceleradores tienen otros muchos usos, ya sean industriales e incluso domésticos: por ejemplo, la producción de haces de electrones para la irradiación, que actúan como generadores de neutrones, y el uso de los haces de protones para producir iones enriquecidos con protones (en vez de los iones enriquecidos con neutrones producidos en los reactores de fisión). Incluso los antiguos aparatos de televisión de rayos catódicos son una forma básica de aceleradores de partículas.

Los modernos aceleradores de partículas que se utilizan en investigación suelen ser de dos tipos: aceleradores lineales con un blanco fijo y aceleradores circulares que hacen girar dos haces en sen-

Aplicaciones

13.4 (A4: Material adicional para Nivel superior) Mecánica relativista 39

■■ Aceleradores de partículas

El funcionamiento de un acelerador de partículas consiste en la utilización de un campo eléctri-co para proporcionar energía cinética a las partículas (Capítulo 10). Indudablemente, los acelerado-res de partículas deben obedecer la ley de conservación de la energía pero, a velocidades cercanas a la velocidad de la luz en el vacío, necesitamos aplicar las ecuaciones relativistas para la energía. Toda la energía suministrada por el campo se debe convertir en energía cinética relativista:

pérdida de energía potencial eléctrica = ganancia en energía cinética

qV = ΔEc

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.

55 Una masa de 1,00 kg de uranio-235 contiene aproximadamente 2,56 × 1021 átomos de uranio. Un reactor nuclear mo-derno reemplaza aproximadamente 25 toneladas de uranio-235 cada 2 años. Si en cada fisión de uranio-235 se liberan 200 MeV de energía, ¿cuál es la potencia de salida máxima teórica de la central nuclear? (2 años = 6,31 × 107 s)

56 Utiliza la conservación del momento para explicar por qué en un sincrotrón (donde se produce la colisión de dos haces de partículas que viajan en sentidos contrarios) hay más energía disponible para generar nuevas partículas que en un acelerador lineal (en el que las partículas aceleradas colisionan en un blanco fijo) aunque la energía de colisión total de los dos aceleradores sea la misma.

tidos contrarios. La ventaja de los aceleradores lineales es que su construcción es mucho más bara-ta, aunque existe una limitación en cuanto a los valores de las energías que se pueden alcanzar debido a la longitud del acelerador. Los aceleradores circulares, como los sincrotrones, evitan este problema mediante el envío repetido de las partículas alrededor de un anillo. El haz de partículas atraviesa dipolos magnéticos que curvan el haz hacia el interior del anillo y cuadrupolos magnéticos que lo enfocan para que la concentración de partículas por unidad de volumen sea máxima (y así maximizar el número de colisiones en cada ciclo). La energía máxima de un sincrotrón viene deter-minada, en consecuencia, tanto por el radio del anillo acelerador como por la intensidad de los di-polos magnéticos que curvan la trayectoria de las partículas para que sigan el anillo. Sin embargo, tanto en los aceleradores lineales como en los circulares, el haz atraviesa placas eléctricas conecta-das por campos eléctricos de alta energía que hacen que las partículas viajen más rápido.

Detectores de partículasEl cometido de un detector de partículas consiste en seguir la trayectoria y medir la energía,

el momento y la carga de las partículas generadas en las colisiones de partículas de alta energía. La aplicación de campos magnéticos de gran intensidad tiene como consecuencia la curvatura de la trayectoria de las partículas cargadas. El seguimiento de estas trayectorias se realiza mediante diversos métodos. Los primeros detectores utilizaban película fotográfica y cámaras de burbujas o de niebla. Los destellos de luz eran registrados en películas fotográficas en cámaras de chispas y cámaras de centelleo. Los detectores modernos utilizan semiconductores de estado sólido para seguir la trayectoria de las partículas con mucha precisión y son capaces de lidiar con el gigantes-co número de rastros que se producen en los aceleradores de partículas actuales.

Ejemplos resueltos

17 Un electrón en reposo es acelerado por una diferencia de potencial de 10 kV. Calcula la velocidad del electrón des-pués de esta aceleración.

qV = ΔEc = Ec, porque no hay energía cinética inicial

qV = (γ – 1)m0c2

γ = qV

m0c2 + 1

= 10 × 103 eV

0,511 × 106 eV + 1

= 1,02

40 13 Relatividad

γ =

1

1 – v2

c2

vc = 1 –

1γ2

= 1 –

11,022

= 0,20

v = 0,20c

18 Según la física newtoniana, ¿qué voltaje se necesita para acelerar un electrón desde un estado estacionario hasta la velocidad de la luz y cuál es la verdadera velocidad del electrón después de tener en cuenta los efectos relativísticos? (Masa en reposo del electrón, m0 = 0,511 MeV c−2)

qV = ΔEc = Ec, porque no hay energía cinética inicial

qV = 12

c0v2

V = m0v2

2q

= 0,511 × 106 eV

2e, porque las c−2 y c2 se simplifican

= 256 kV

qV = (γ – 1)m0c2

γ = qV

m0c2 + 1

= 256 × 103 eV

0,511 × 106 eV + 1

= 1,50

vc = 1 –

1γ2

= 1 – 1

1,502

= 0,75

v = 0,75c

57 Un electrón es cronometrado en el laboratorio cuando atraviesa un agujero de 5,00 m después de ser acelerado desde el reposo a través de un voltaje de 500 kV.a ¿Cuál es la velocidad relativista del electrón?b ¿Qué intervalo de tiempo debería tardar en cruzar el agujero según un observador situado en el sistema de refe-

rencia del laboratorio?c ¿Qué intervalo de tiempo debería tardar en cruzar el agujero según un observador situado en el sistema de refe-

rencia del electrón en reposo?

58 Tras su actualización de 2015, los protones del gran colisionador de hadrones del CERN deberían alcanzar energías de 7 TeV (7 × 1012 eV). ¿A qué velocidad viaja un protón con una energía cinética de 7 TeV exactamente?

59 Los muones utilizados como diminutos relojes en los experimentos de desintegración atmosférica de muones tienen en realidad diversas velocidades. ¿Cuál es la energía cinética de un muon que viaja a 0,995c? La masa en reposo de un muon es 207 veces mayor que la masa en reposo de un electrón.

60 El segundo acelerador de partículas más potente del mundo fue el Tevatron, en el Fermilab, que funcionó desde 1983 a 2011, y que podía acelerar protones y antiprotones alrededor de un anillo en sentidos opuestos hasta velocidades de 0,999954c. ¿Cuál es la masa total, la energía cinética y el momento de un protón que viaja a esa velocidad?

61 La energía cinética media de los neutrones producidos en los reactores nucleares de fisión es de 2,0 MeV. Para poder iniciar otra reacción de fisión deben ser ralentizados mediante múltiples colisiones hasta tener solo 10 eV. ¿Cuál es la disminución del momento de los neutrones?

13.4 (A4: Material adicional para Nivel superior) Mecánica relativista 41

■■ Fotones

Las únicas partículas que pueden viajar a la velocidad de la luz en el vacío son los fotones, los paquetes de energía y momento que viajan en forma de oscilaciones de los campos electromag-néticos. Los fotones con las energías más elevadas se pueden formar cuando se desintegran las partículas de alta energía inestables y toda su energía o parte de ella se convierte en radiación electromagnética.

En el Capítulo 7 estudiamos la relación entre la energía de los fotones y su frecuencia o bien su longitud de onda, en el caso en que viajen a través del vacío. Esta relación viene dada por:

E = hf = hcλ

Donde h es la constante de Planck = 6,63 × 10−34 J s.

Los fotones también poseen momento, lo cual puede ser confuso porque no poseen ninguna masa en reposo. En consecuencia, la ecuación relativista para el momento (E2 = p2c2 + m0

2c4) se convierte en:

E2 = p2c2 + 0

p = Ec

La ecuación para la energía del fotón permite relacionar el momento del fotón con la frecuencia y la longitud de onda. Esta relación viene dada por la ecuación:

p = Ec =

hfc =

hλ

Esta ecuación que relaciona la energía del fotón con su momento no figura en el Apéndice de datos de Física.

62 Las partículas alfa tienen una energía cinética característica de 5,000 MeV y una masa en reposo de 3,727 GeV c–2. Calcula la velocidad y el momento relativistas de una partícula alfa típica.

63 El límite superior teórico para la energía de los rayos cósmicos que han recorrido una distancia significativa cualquiera a través del espacio se denomina límite de Greisen–Zatsepin–Kuzmin, y limita las energías de los rayos cósmicos a 5 × 1019 eV. ¿Cuál es el momento de un protón que viaja con esa energía total?

Ejemplos resueltos

19 Un pion, o mesón pi, es un tipo de partícula formada por un quark up o un quark down en combinación con un antiquark up o down. Los piones pueden ser positivos, neutros o negativos según la combinación exacta y se les asignan respectivamente los símbolos π+, π0 y π−. El pion neutro tiene una masa en reposo de 135,0 MeV c−2 pero es inestable y se desintegra en dos fotones gamma. Dado que tanto la energía como el momento se deben conservar, en el sistema de referencia del pion en reposo los dos fotones deben tener energías iguales y viajar en sentidos opuestos. ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos gamma producidos?

Para resolver este problema necesitamos convertir la masa en reposo a su energía equivalente en julios (multipli-cando la masa en reposo por 106 y dividiendo entre (3,00 × 108)2 para convertir los MeVc −2 en eV y multiplicando después por 1,50 × 10−19 C para convertir los eV en J).

E = hcλ

λ = hcE

= 6,63 × 10−34 × 3,00 × 108

135,0 × 106 × 1,60 × 10−19

= 9,21 × 10−15 m

20 En otro experimento se mide la energía total con la que viaja un pion inmediatamente antes de su desintegración y resulta ser de 500,0 MeV. Los dos fotones producidos en la desintegración deben conservar tanto la energía como el momento y, en este ejemplo, uno viaja en el sentido de la trayectoria del pion y el otro viaja en sentido contrario. ¿Cuál es la longitud de onda de cada fotón?

42 13 Relatividad

En primer lugar calculamos el momento del muon:

E2 = p2c2 + m02c4

p = E2

c2 − m0

2c2

= 500,02 – 135,02

= 481,4 MeV c−1

Los subíndices 1 y 2 sirven para diferenciar ambos fotones. Ahora utilizamos tanto la conservación de la energía como la conservación del momento para derivar dos ecuaciones:

p1 − p2 = 481,4 MeV c−1

E1 + E2 = 500,0 MeV

Sin embargo, para un fotón E = pc, por tanto si multiplicamos los dos miembros de la ecuación superior por c obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver mediante reducción:

E1 − E2 = 481,4 MeV

E1 + E2 = 500,0 MeV

E1 = 490,7 MeV

E2 = 9,3 MeV

A partir de estos valores de la energía es fácil calcular la longitud de onda de cada fotón, sin olvidar que debemos convertir la energía de MeV a J:

E = hcλ

λ1 = hcE1

= 6,63 × 10−34 × 3,00 × 108

490,7 × 106 × 1,60 × 10−19

= 2,53 × 10−15 m

y

λ2 = hcE2

= 6,63 × 10−34 × 3,00 × 108

9,3 × 106 × 1,60 × 10−19

= 1,3 × 10−13 m

64 La luz verde tiene una longitud de onda de 550 nm. ¿A qué longitud de onda tienen los fotones cinco veces ese momento?

65 ¿Qué momento tienen los rayos gamma con una energía de 100 keV?

66 Cuando un electrón y un positrón se aniquilan, el resultado más frecuente es la producción de dos rayos gamma. Si el par electrón–positrón estaba inicialmente estacionario (inmóvil), ¿cuál es el momento de cada uno de los rayos gamma producidos?

67 Se mide la energía total de un pion inmedia-tamente antes de su desintegración en dos rayos gamma y resulta ser de 550,0 MeV.a ¿Cuáles son las energías de los dos fotones

gamma producidos?b ¿Cuáles son las longitudes de onda de los

dos fotones producidos?

■■ Figura 13.39 Una vela solar es un reflector enorme que utiliza el viento solar como mecanismo de propulsión. Aunque la fuerza total ejercida por la radiación solar es pequeña, a lo largo de un periodo de tiempo elevado es suficiente para propulsar sondas espaciales a altas velocidades

13.5 (A5: Material adicional para Nivel superior) Relatividad general 43

13.5 (A5: Material adicional para Nivel superior) Relatividad general La relatividad general es un marco de ideas que aglutina los conceptos fundamentales de masa, espacio y tiempo para describir el destino del universo

Aunque la relatividad especial constituyó un notable éxito, Einstein se sentía profundamente frustrado por el hecho de que solo se podía aplicar a la situación especial de observadores inercia-les. Tras publicar su trabajo sobre la relatividad especial, pasó gran parte de los 11 años siguientes intentando generalizar la teoría de la relatividad y finalmente publicó su teoría de la relatividad general en 1916. Esta teoría se basa en algunas ideas notablemente simples, aunque las matemá-ticas asociadas a ella son muy complejas.

■■ Principio de equivalencia

Einstein estaba intrigado por el hecho de que la masa inercial de un objeto (m = F/a) y la masa gravitatoria de un objeto (m = P/g) eran siempre idénticas. Esto significa que si un observador se sitúa en el interior de una caja cerrada, no tiene modo de distinguir si se encuentra en un cohete que se está acelerando en mitad del espacio vacío o bien está experimentando un campo gravita-torio. Einstein decidió que se trataba de una propiedad fundamental del universo: físicamente, no hay absolutamente ninguna diferencia medible entre una intensidad de un campo gravitatorio y una aceleración. A este principio lo conocemos como principio de equivalencia relativista.

Principio de equivalencia: no se puede llevar a cabo ningún experimento que determine si un observador se encuentra en un sistema de referencia acelerado o bien en un campo gravitatorio.

Este principio se ilustra en la Figura 13.40 y la razón de su importancia estriba en que la física que ocurre en una de las situaciones debe ser la misma que ocurre en la otra.

68 Uno de los sistemas de propulsión que se han propuesto para los viajes espaciales es el uso de una vela solar (Figura 13.39). A la distancia orbital de la Tierra, los fotones que llegan procedentes del Sol tienen una intensidad total de 1,40 × 103 W m−2. Calcula el momento de la radiación solar que atraviesa un área de 1,00 m2 cada segundo a esta distancia del Sol.

69 Calcula la aceleración de una sonda espacial propulsada por un sistema de vela solar que refleja los fotones cuya área es de 15,2 km2 y cuya masa total es 2,00 × 104 kg.

70 Explica por qué una vela solar eficaz debe ser altamente reflectora y a la vez debe poseer una densidad muy baja.

Enlace con la teoría del conocimiento¿En qué aspectos difieren las leyes de las ciencias naturales respecto a las leyes de la economía?Las leyes de la ciencia que se han presentado en este capítulo se han desarrollado como consecuencia del fracaso de los modelos anteriores a la hora de explicar los resultados experimentales. Las leyes de la relatividad pudieron explicar los motivos del fracaso de los modelos anteriores pero, lo que es más importante, también realizaron predicciones pre-cisas que se pudieron verificar experimentalmente. La fama de Einstein se debe al gran éxito que tuvieron esas predic-ciones a la hora de encajar con los resultados experimentales posteriores. La física teórica actual continúa ampliando las predicciones de las leyes de la relatividad, mientras que los físicos experimentales continúan comprobándolas. Las leyes de la relatividad tienen, por tanto, una exactitud que no se da en las leyes de la economía.

■■ Figura 13.40 El principio de equivalencia significa que, intrínsecamente, una persona situada en el interior de una caja cerrada no tiene modo de distinguir si se encuentra en una habitación terrestre sometida a un campo gravitatorio de 10 N kg−1 (tal como se representa en la ilustración de la derecha) o bien se encuentra en el espacio profundo acelerando a 10 m s−2 o en una combinación equivalente de las dos posibilidades anteriores

10 N kg−2

10 m s−2

600 N 600 N

44 13 Relatividad

■■ Curvatura de la luz

Consideremos ahora lo que le sucede a un haz de luz emitido por un láser montado en el inte-rior de la pared de la caja cerrada. En todos los casos la emisión del haz de luz es horizontal según un observador situado fuera de la caja. En las Figuras siguientes (13.41 a 13.46) se representa la caja tras tres intervalos de tiempo iguales y la posición del fotón cuando atraviesa la caja se dibuja como un punto rojo que desempeña el papel de un suceso en el espacio-tiempo. Estos puntos se unen para representar la trayectoria del fotón:

1 Situación 1: caja estacionaria (inmóvil); el observador interno situado en el sistema de referencia de la caja y el observador externo están de acuerdo sobre la posición de la caja y la trayectoria que sigue el haz de luz (Figura 13.41):

■■ Figura 13.41

2 Situación 2: la caja se mueve hacia arriba con velocidad constante, v, tal como la ve un obser-vador externo que vería el haz de luz viajando horizontalmente y la caja viajando a velocidad constante a través de su trayectoria (Figura 13.42):

■■ Figura 13.42

Sin embargo, un observador situado en el sistema de referencia de la caja vería el haz de luz curvado hacia abajo (Figura 13.43):

■■ Figura 13.43

13.5 (A5: Material adicional para Nivel superior) Relatividad general 45

3 Situación 3: la caja experimenta una aceleración importante hacia arriba. El observador externo seguiría viendo el haz de luz viajando horizontalmente y la caja acelerándose a través del haz de luz (Figura 13.44)

■■ Figura 13.44

4 Situación 4: la caja experimenta una aceleración importante hacia abajo. El dibujo corresponde al punto de vista del observador situado en el sistema de referencia de la caja. En este caso el observador ve el haz de luz curvándose hacia abajo (Figura 13.45):

■■ Figura 13.45

5 Situación 5: la caja está estacionaria pero sometida a un intenso campo gravitatorio. En este caso se puede aplicar el principio de equivalencia porque la posición de los sucesos que com-ponen la trayectoria de la luz debe ser la misma que en las situaciones 3 y 4 con respecto a la caja (Figura 13.46):

■■ Figura 13.46

La importante conclusión que podemos extraer es que los campos gravitatorios deben curvar la trayectoria de un haz de luz.

■■ Comprobación experimental de la curvatura de la luz por la acción de un campo gravitatorio

Una de las primeras conclusiones a las que llegó Einstein con su teoría de la relatividad general fue que la luz debía curvarse alrededor de los objetos con mucha masa. La comprobación de esta conclusión es sorprendentemente difícil de llevar a cabo por dos motivos: en primer lugar, el ángulo de curvatura de la luz es extremadamente pequeño; en segundo lugar, el Sol es tan brillante que solo podemos mirar hacia su corona durante un eclipse solar, cuando la Luna se encuentra exactamente entre la Tierra y el Sol. Los primeros en lograr la realización del experimento fueron los miembros de

46 13 Relatividad

■■ Efecto de lente gravitatoria

Se forma una lente gravitatoria cuando la luz procedente de una fuente brillante y muy distante se «curva» alrededor de un objeto con mucha masa (como una asociación de galaxias o un agujero negro) situado entre la propia fuente y el observador. El proceso se conoce como efecto de lente gravitatoria y es una de las consecuencias de la curvatura de la trayectoria de los rayos de luz de-bida a la gravedad. Einstein describió este efecto en su artículo de 1938 pero no se observó expe-rimentalmente hasta 1979. En la Figura 13.48 se representa un ejemplo del aspecto que tiene realmente este efecto.

a Superficie espacio-temporal distorsionada por la masa del Sol

Posición percibidade la estrella

Posición real de la estrella

Estrellas fijas

Movimiento aparente de las estrellas hacia la izquierda

Sol

Luna

Tierra

c La constelación tal como se ve normalmente

d La constelación vista con efecto de lente gravitatoria

b Diagrama esquemático en el que se exagera el efecto de lente gravitatoria

Sol

Luna

Cuadrícula que representa el espacio-tiempo

Tierra

■■ Figura 13.47 Diagrama en el que se representa cómo se produce el efecto de lente gravitatoria debido al Sol: a) muestra una superficie espacio–temporal en la que la línea amarilla indica la trayectoria más corta a través del espacio-tiempo. Se estudiará con más detalle posteriormente; b) muestra un simple diagrama esquemático del efecto de lente gravitatoria como el que se te puede pedir que dibujes en una pregunta de examen; c) y d) muestran cómo aparecería una constelación normalmente y cómo aparecería si estuviera muy cerca del Sol. La posición observada de la estrella desplazada está tan cerca de la corona solar que el efecto solo es observable desde la Tierra durante un eclipse solar, cuando la Luna enmascara el disco solar. La estrella marcada con la flecha es la que presenta un desplazamiento de su posición

un equipo dirigido por Arthur Eddington, que aprovecharon el eclipse solar de 1919 para medir la posición de estrellas cercanas al borde del eclipse, tal como se representa en la Figura 13.47.

■■ Figura 13.48 Una galaxia muy grande (situada en la parte central derecha) curva las trayectorias de la luz procedente de una fuente que se encuentra detrás de la galaxia desde nuestro punto de vista. La luz aparece en forma de anillo, conocido como anillo de Einstein

13.5 (A5: Material adicional para Nivel superior) Relatividad general 47

Se habla de efecto de lente gravitatoria porque este efecto tiene una apariencia similar al de la refracción de la luz a través de una lente convexa, tal como se muestra en la Figura 13.49.

Ejemplo resuelto

21 ¿Cuál es la variación que experimenta la frecuencia de un fotón de luz roja, λ = 650 nm, cuando viaja desde la base hasta el vértice de la Torre Eiffel, recorriendo una distancia de 324 m?

f = cλ

= 3 × 108

650 × 10−9 = 4,62 × 1014 Hz

Δff

= gΔhc2

Δf = 9,81 × 324 × 4,62 × 1014

(3,00 × 108)2 = 16,2 Hz

Como podemos ver, la variación en la frecuencia es minúscula en comparación con la frecuencia original, lo que constituye una predicción de la relatividad general particularmente interesante y difícil de comprobar.

■■ Figura 13.49 Efecto de lente gravitatoria: la luz procedente de una galaxia lejana y brillante o de una estrella simple súper brillante, como un púlsar, se curva hacia dentro a causa del intenso campo gravitatorio de una galaxia supermasiva que se encuentra entre la galaxia lejana y la Tierra. Las trayectorias de los rayos son similares a las producidas por una lente convexa. En realidad, la distorsión producida por este efecto se traduce a menudo o bien en imágenes múltiples o bien en un anillo de Einstein difuminado de la galaxia más lejana

Galaxia lejanaGalaxia supermasiva

Tierra

■■ Desplazamiento hacia el rojo por efecto gravitatorio y experimento de Pound-Rebka-Snider

La curvatura de la luz debida a la gravedad podría sugerir que el campo gravitatorio provoca una variación en la velocidad del rayo de luz, pero esto entraría en conflicto con el primer postulado de la relatividad especial (la velocidad de la luz en el vacío es siempre c). Einstein se dio cuenta de que no era la velocidad, sino el tiempo el que se distorsionaba. En un sistema de referencia acelerado sabemos que cuanto más rápido viaja la caja más lentamente transcurre el tiempo para ella, porque el tiempo transcurre más lentamente para los observadores que se mueven más rápido que para los que se mue-ven más despacio. El principio de equivalencia nos dice que lo mismo se debe cumplir para un campo gravitatorio: cuanto más intenso es el campo gravitatorio, más lentamente debe transcurrir el tiempo. Por tanto, los campos gravitatorios también provocan dilatación del tiempo: los relojes sometidos a un

campo gravitatorio intenso hacen tictac más lentamente que los relojes sometidos a un campo gravitatorio más débil.

Este resultado también afecta a los rayos de luz que atraviesan un campo gravitatorio cada vez más intenso, causando un despla-zamiento de la luz hacia el azul. Y a la inversa, un fotón que sale de un campo gravitatorio experimentará un desplazamiento hacia el rojo, como se muestra en la Figura 13.50 (el efecto Doppler y los desplazamientos hacia el rojo se trataron en el Capítulo 9).

La variación de la frecuencia del fotón, Δf, se puede calcular a partir de esta ecuación:

Δff =

gΔhc2

En esta ecuación, f es la frecuencia original, g es la intensidad del campo gravitatorio, h es la variación en la altura y c es la velocidad de la luz en el vacío. En esta ecuación se asume que la in-tensidad del campo gravitatorio es uniforme y, por tanto, constante.

Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.

■■ Figura 13.50 La frecuencia de la luz se desplaza hacia el azul cuando el fotón entra en un campo gravitatorio, como el que rodea al Sol, y, a la inversa, el fotón se desplaza hacia el rojo cuando sale del campo gravitatorio; es como si el fotón ganara o perdiera energía potencial gravitatoria, lo que provoca la variación de su frecuencia

48 13 Relatividad

Experimento de Pound–Rebka–SniderLa comprobación experimental decisiva del desplazamiento hacia el rojo tuvo lugar gracias un

experimento realizado en la Universidad de Harvard en 1959, y cuyo nombre rinde homenaje a los tres físicos que diseñaron y perfeccionaron el experimento original.

Según la física cuántica, las energías emitidas y absorbidas por los electrones cuando saltan entre niveles energéticos permitidos solo pueden tomar valores muy determinados. Lo mismo es cierto para las energías mucho más elevadas de los estados energéticos de los núcleos inestables asociados a la emisión y absorción de rayos gamma (cuando un núcleo pasa de un estado de alta energía a uno de energía más baja emite rayos gamma de una energía (y frecuencia) determinadas. Y a la inversa, cuando un rayo gamma que tiene exactamente la energía adecuada interactúa con un núcleo, puede ser absorbido por este y como resultado el núcleo pasa de un estado energético más bajo a uno más alto. Los rayos gamma que no tienen exactamente la energía adecuada atra-viesan la muestra sin ser absorbidos. Este experimento proporcionó la comprobación experimental de los niveles energéticos nucleares, que se estudió en el Capítulo 12.

Pound y Rebka colocaron una muestra de hierro-57 en el sótano de un laboratorio y una segun-da muestra de hierro-57 en una habitación situada en el último piso del edificio. Era necesario que las dos muestras estuvieran lo más alejadas posible en el campo gravitatorio terrestre con el obje-tivo de maximizar el efecto de desplazamiento hacia el rojo de forma conveniente para su medición experimental. Enfocaron los rayos gamma emitidos por la muestra del sótano en un haz estrecho y demostraron que la muestra de hierro-57 del último piso ya no podía absorber los rayos de luz in-cidentes. El desplazamiento hacia el rojo de los rayos gamma debido al efecto gravitatorio era su-ficiente para que los rayos emitidos por una de las muestras ya no pudieran ser absorbidos por la otra. Sin embargo, para comprobar las predicciones de la relatividad general necesitaban también comprobar la magnitud del desplazamiento hacia el rojo. Para ello, colocaron inicialmente la mues-tra del sótano sobre un altavoz, con lo que los rayos oscilaban hacia arriba y hacia abajo. El resulta-do era un desplazamiento Doppler hacia el azul cuando la muestra se movía hacia arriba y un desplazamiento Doppler hacia el rojo cuando el altavoz se movía hacia abajo.

En un punto específico de la fase de la oscilación del altavoz, la muestra del último piso absor-bió los rayos gamma procedentes de la muestra del sótano. Esto ocurre cuando el desplazamiento hacia el rojo por efecto gravitatorio se compensa exactamente con el desplazamiento hacia el azul por efecto Doppler. El resultado se mide como un descenso en la intensidad de la radiación gam-ma que atraviesa la muestra del piso superior, lo que indica que la radiación ha sido absorbida. El cálculo de la posición exacta de la oscilación del altavoz que hace posible la absorción permitió a Pound y Rebka calcular la velocidad del altavoz y, a partir de esta, el desplazamiento hacia el azul por efecto Doppler. Repitieron el experimento a la inversa para comprobar que los fotones gamma que viajaban desde el último piso al sótano también experimentaban un desplazamiento hacia el azul por efecto gravitatorio cuando viajaban hacia abajo. Sus resultados confirmaron que los des-plazamientos hacia el rojo y hacia el azul por efecto gravitatorio encajaban con los previstos por la relatividad general. Pound y Snider continuaron repitiendo el experimento con mayor precisión, de aquí que el experimento reciba el nombre de los tres científicos. En las Figuras 13.51 y 13.52 po-demos ver una representación del experimento.

■■ Figura 13.51 Experimento de Pond–Rebka–Snider

Fotones gamma disparados hacia arriba

Fuente de 57Fe

Detector de 57Fe

22,5m

■■ Figura 13.52 Rebka trabajando en el sótano del laboratorio Jefferson, en Harvard; el tubo de politeno contiene helio, que sirve para enfocar los fotones gamma en un haz estrecho

13.5 (A5: Material adicional para Nivel superior) Relatividad general 49

71 Las imágenes procedentes del telescopio espacial Hubble muestran lo que parecen ser tres estrellas idénticas brillantes y muy calientes alrededor de una región oscura del espacio. Las tres estrellas parecen estar a la misma distancia del telescopio mientras que la región oscura parece estar ocupada por una nube de polvo mucho más cercana que emite luz en la región infrarroja del espectro. Explica por qué parece haber tres imágenes de la misma estrella.

72 El laboratorio Jefferson, en el que se realizó el experimento de Pound-Rebka-Snider, proporcionaba una distancia en-tre las dos muestras de 22,6 m (la altura del edificio). Los rayos gamma de la fuente de hierro-57 tenían una energía de 14,0 keV.a Calcula el desplazamiento hacia el rojo de los fotones por efecto gravitatorio cuando pierden energía a medida que

ascienden por el campo gravitatorio entre las muestras de la fuente y del detector.b Para que los fotones sean absorbidos por la muestra de hierro-57 del piso superior deben haber tenido exactamen-

te la energía adecuada y por tanto deben haber experimentado un desplazamiento hacia el azul producido por el altavoz oscilante del sótano. Calcula la velocidad del altavoz utilizando la ecuación del desplazamiento Doppler para la luz.

73 Las líneas más oscuras de los espectros de absorción solares no se corresponden exactamente con los espectros de emisión de los gases terrestres, sino que aparecen ligeramente desplazadas. Explica el origen de este efecto.

Corrección de tiempo en los satélites GPSEn 1956 se propuso una comprobación de la teoría de la relatividad que consistía en colocar

relojes muy exactos en el interior de satélites en órbita para medir el aumento de la velocidad de los relojes debido a la combinación de los efectos de la relatividad especial y de la relatividad general. Cuarenta años después, el Sistema de Posicionamiento Global (GPS, por sus siglas en inglés), lanzado por el gobierno estadounidense, tuvo que tener en cuenta este efecto (Figu-ras 13.53 y 13.54). Cada uno de los satélites GPS transporta un reloj atómico que funciona con una precisión de ±1 nanosegundo. A la velocidad de la luz, c, la consecuencia es una precisión en la posición de ±0,3 m.

■■ Figura 13.53 En la actualidad hay más de 24 satélites GPS orbitando alrededor de la Tierra

Tres satélites pueden localizar un punto en un espacio tridimensional

■■ Figura 13.54 Las posiciones de cada uno de los tres satélites son suficientes para proporcionar la localización de un punto terrestre, pero se necesita un cuarto satélite para tener en cuenta las inexactitudes del reloj del receptor GPS y para asegurar que los dispositivos electrónicos habituales, como los teléfonos móviles y las cámaras, pueden ofrecer un posicionamiento exacto

A medida que cada satélite GPS describe una órbita, emite continuamente una señal que ofrece información sobre la posición y la trayectoria orbital, con una señal de tiempo que indica cuándo ha sido enviada la información de la localización. La señal sale a través de una esfera que rodea el satélite y que está centrada en su posición. El receptor puede calcular el radio de la es-fera mediante la determinación del tiempo que ha estado viajando la señal a la velocidad de la luz. Si se comparan los tres satélites GPS, las esferas deberían intersecar en la ubicación del recep-tor GPS, lo que le permite calcular una posición exacta, tal como se muestra en la Figura 13.55. Sin embargo, los receptores GPS no necesitan relojes atómicos para calcular el tiempo correcta-mente, sino que, en lugar de ello, emplean un cuarto satélite para medir la discrepancia temporal y, a partir de esta, calcular la medida exacta del tiempo transcurrido entre las señales enviadas y recibidas.

Aplicaciones

50 13 Relatividad

■■ Curvatura del espacio-tiempo

Cuando Einstein describió la relatividad especial se dio cuenta de que la velocidad relativa de un observador provocaba un cambio en el comportamiento del espacio y del tiempo. Solo hay que dar un paso más para comprender que la distorsión del espacio-tiempo aumenta a medida que el observador se acelera, lo que provoca la curvatura del espacio-tiempo. El principio de equivalen-cia nos dice que los campos gravitatorios también curvan el espacio-tiempo. En otras palabras, las densidades elevadas de masa (y por tanto de energía) deben estirar y distorsionar el espacio-tiem-po. Einstein también pensó que la luz debe seguir la trayectoria más corta (y por tanto una línea recta) disponible a través del espacio-tiempo. En la Figura 13.56 podemos ver una representación de este efecto.

La elevada velocidad de los satélites GPS cuando orbitan alrededor de la Tierra (aproximadamente 14 000 km h–1) sig-nifica que el tiempo se dilata por efecto de la relatividad es-pecial, de modo que los relojes atómicos funcionan más len-tamente, retrasándose 7 000 nanosegundos cada día. No obstante, los satélites también están sometidos a un campo gravitatorio más débil debido a su altitud por encima de la superficie terrestre. La relatividad general implica que sus re-lojes deben, por tanto, funcionar más rápido: a la altura orbi-tal de un satélite GPS esta teoría predice que los relojes se deben adelantar 45 000 nanosegundos cada día. El efecto combinado es que los relojes de los satélites se deberían adelantar 38 microsegundos diarios, lo que, a la velocidad de la luz, crearía una inexactitud diaria de 11,4 km en el posi-cionamiento por GPS.

Con objeto de solventar este problema, los relojes de los satélites GPS, increíblemente precisos, están programados para retrasarse cada día 38 microsegundos. Así, los satélites GPS no solo ofrecen más pruebas experimentales que corro-boran la relatividad sino que, sin estas correcciones relativis-tas, ninguno de los sistemas de navegación por satélite que muchos de nosotros utilizamos de forma habitual funcionaría.

74 Si los relojes de los satélites GPS se adelantan solo 1 ns diario, ¿cuál será el error acumulado en la distancia medida por el satélite al cabo de:a 1 día?b 1 semana?c 5 años?

75 La medida de la posición depende del supuesto de que los relojes están corregidos y que las posiciones de los satélites se emiten correctamente. Indica otras posibles fuentes de error en las medidas con GPS.

76 ¿Quién llevó a cabo el experimento de 1971 que demostró que los relojes se adelantarían a altitudes mayores?

■■ Figura 13.55 Si suponemos que el receptor puede medir el tiempo de forma exacta, las medidas de la posición y del tiempo obtenidas por tres satélites GPS ofrecen suficiente información para calcular la posición del receptor entre dos ubicaciones posibles, representadas mediante puntos rojos donde intersecan las superficies esféricas. En la práctica se puede descartar una de las dos ubicaciones porque está demasiado lejos de la superficie terrestre. La comparación con un cuarto satélite proporciona una corrección temporal, de manera que el receptor no necesita estar vinculado a un reloj atómico

Una tercera medida permite limitar el númerode ubicaciones posibles a solo dos

Radio de 11 000 millas (17 700 km)

Radio de11 500 millas (18 500 km)

Radio de 12 000 millas (19 300 km)

■■ Figura 13.56 El espacio-tiempo se distorsiona, produciéndose su curvatura y estiramiento. Aunque el rayo de luz parece seguir una trayectoria curva a través de las tres dimensiones del espacio, sigue describiendo una línea recta a través del espacio-tiempo. Es el propio espacio-tiempo el que se estira y se curva y provoca la rotación y la distorsión aparentes de la caja

13.5 (A5: Material adicional para Nivel superior) Relatividad general 51

La primera ley de la física newtoniana afirma que un objeto describe una trayectoria curva solo como resultado de una fuerza externa que no está en equilibrio. La materia viajará en línea recta hasta que una fuerza que no está en equilibrio actúe sobre ella. Sin embargo, cuando el espacio-tiempo se curva, la materia describe esta curva y experimenta como resultado una fuerza que no está en equilibrio.

Einstein estableció la hipótesis de que lo que nosotros experimentamos como fuerza de la gra-vedad equivale al efecto del espacio-tiempo sobre un objeto, que consiste en que este describa una trayectoria curvilínea. Una posible manera de imaginarlo es suponiendo que la energía y la masa tienen el efecto de definir cómo se debe curvar el espacio-tiempo, mientras que la curvatura del espacio-tiempo tiene el efecto de determinar cómo se desplazan la masa y la energía.

Esta hipótesis resolvía uno de los principales problemas a los que se enfrentaba Einstein con la teoría de la relatividad especial, porque se dio cuenta de que parece que la gravedad ejerza de forma instantánea una fuerza variable sobre un objeto que describe una órbita a una distancia, transmitiendo, aparentemente, información sobre la dirección y el sentido de la fuerza sobre el objeto en movimiento orbital a una velocidad más rápida que la de la luz. En lugar de ello, la cur-vatura del espacio-tiempo alrededor de un cuerpo gravitatorio de gran tamaño provoca que los objetos en órbita sigan una trayectoria orbital. En la Figura 13.57 se representa en forma de diagra-mas esta curvatura del espacio-tiempo.

1 2

3 4

Tierra Sol

Espacio-tiempo concurvatura extrema

El horizonte de sucesos marca los límites dentrode los que ninguna materia, luz o información

puede escapar; el radio de esta superficiese denomina radio de Schwarzschild

■■ Figura 13.57 Una analogía que se utiliza habitualmente consiste en pensar en una representación bidimensional del espacio-tiempo como una lámina de goma que se deforma en todas direcciones en un plano horizontal. Los objetos con más masa (más masivos) se representan mediante bolas pesadas sobre la goma, y las masas y densidades más elevadas se representan mediante bolas más masivas y más densas respectivamente. Sin embargo, si la densidad alcanza un límite crítico, la lámina de goma se puede romper, de modo que el espacio-tiempo está tan deformado que la luz es incapaz de escapar; al objeto resultante se le denomina agujero negro

■■ Horizontes de sucesos

Si la masa (o la energía) se concentra en un objeto superdenso, la intensidad del campo gravi-tatorio cercana a la superficie del objeto también aumenta y esto significa que la velocidad de es-cape también aumenta a su vez. No obstante, la relatividad espacial determina un límite superior para la velocidad. El límite de la velocidad de escape que se discute en la Figura 13.57 tiene lugar cuando la velocidad de escape (véase el Capítulo 10) iguala exactamente a la velocidad de la luz en el vacío y esto significa que la luz es incapaz de escapar del interior de esta región.

A la superficie que une todos los puntos en los que la velocidad de escape = c la denominamos horizonte de sucesos. Se trata de una superficie teórica que separa un objeto superdenso, como un agujero negro, del resto del universo. El horizonte de sucesos delimita la superficie dentro de la cual la luz, y, por tanto, todas las formas de materia y también de información, es incapaz de esca-par hacia el resto del universo.

52 13 Relatividad

■■ Agujeros negros de Schwarzschild

Los agujeros negros de Schwarzschild constituyen la forma más simple de agujero negro, en la que no hay ni rotación ni carga eléctrica. El límite crítico del que se habla en la Figura 13.57 ocurre cuando la velocidad de escape (Capítulo 10) iguala exactamente a la velocidad de la luz en el vacío. Esto significa que la luz es incapaz de escapar de esta región. El radio al que esto ocurre para un agujero negro simple sin rotación y sin carga eléctrica se denomina radio de Swarzschild, RS, y vie-ne dado por:

RS = 2GMc2

Donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa del agujero negro y c es la ve-locidad de la luz en el vacío. Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.

El radio de Swarzschild define una superficie esférica en el espacio; la energía y la información situadas dentro de esta frontera no pueden escapar hacia el resto del universo, mientras que las situadas fuera de la frontera sí lo pueden hacer. La superficie esférica es, por tanto, el horizonte de sucesos del agujero negro.

Ejemplo resuelto

22 ¿Cuál sería el radio del horizonte de sucesos de un objeto con la masa del Sol si fuera lo suficientemente denso como para producir un agujero negro? La masa del Sol es de 1,99 × 1030 kg.

RS = 2GM

c2

= 2 × 6,67 × 10−11 × 1,99 × 1030

(3 × 108)2 = 2,95 × 103 m

En realidad, la única fuerza conocida capaz de producir la suficiente densidad de masa para crear un agujero negro estelar es la gravedad. La fuerza no equilibrada hacia dentro es suficiente para que la estrella se condense formando un agujero negro solo hacia el final de su vida y los agujeros negros solo se forman en el caso de estrellas extremadamente grandes (supergigantes rojas) con una masa final mínima de entre 1,5 y 3,0 masas solares y unas masas iniciales entre 15 y 20 masas solares.

Naturaleza de la ciencia Pensamiento creativo y críticoEl gran logro de Einstein (la teoría general de la relatividad) al conectar la geometría del es-

pacio-tiempo (a través de su curvatura) al contenido de masa y de energía del espacio-tiempo se basa en la intuición, el pensamiento creativo y la imaginación.

Durante años se creyó que nada podía escapar de un agujero negro y eso es cierto, aunque solo para los agujeros negros clásicos. Si consideramos la teoría cuántica, un agujero negro irradia igual que un cuerpo negro. Este resultado inesperado reveló otras conexiones igualmente inesperadas entre los agujeros negros y la termodinámica.

En 1974, Stephen Hawking, actualmente director de investigación del Centro de cosmología teórica de la Universidad de Cambridge, intentaba relacionar la física cuántica con la teoría de la relatividad general. Como parte de su trabajo, investigaba los efectos de los campos cuánticos cercanos al horizonte de sucesos. Desde el punto de vista matemático se trata de algo muy com-plejo, pero, en resumen, podemos decir que la física cuántica predice la existencia de partículas virtuales generadas por las fluctuaciones cuánticas en la energía del vacío. El campo gravitatorio extremadamente intenso puede convertir estas partículas virtuales en partículas reales. En teoría es posible que una de estas partículas se quede atrapada en el horizonte de sucesos y que otra con-siga escapar y, como la energía para producir la partícula proviene del campo gravitatorio, la partí-cula que escapa se lleva consigo parte de la energía (o la masa) del agujero negro.

El resultado es que los agujeros negros pueden resplandecer como si fueran cuerpos negros calientes. Sin embargo, resplandecen con una temperatura inversamente proporcional a su masa. Los agujeros negros pequeños, por tanto, parecen más calientes que los agujeros negros más grandes. De hecho, un agujero negro con la masa de nuestra Luna (1027 kg) resplandecería a unos 2,7 K, la temperatura de la radiación de fondo de microondas, y así lo harían los objetos con más masa, que seguirían absorbiendo más radiación de la que emiten.

13.5 (A5: Material adicional para Nivel superior) Relatividad general 53

Curiosamente, como la temperatura del agujero negro aumenta a medida que este se encoge, la tasa de evaporación aumenta exponencialmente a medida que el agujero disminuye de tama-ño. Este resultado significa que pueden aparecer agujeros negros en miniatura y que se pueden evaporar rápidamente a través de la radiación de Hawking. De hecho, la teoría sugiere que el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) del CERN podría tener bastante energía para crear uno de estos agujeros negros en miniatura y la capacidad de verlo evaporarse.

■■ Dilatación del tiempo cerca de un agujero negroTanto el espacio como el tiempo se deforman (se estiran) a causa de la masa del agujero negro,

por tanto, para un observador externo situado lejos del agujero negro, el tiempo parece dilatarse cada vez más a medida que un objeto se aproxima al horizonte de sucesos. Podemos calcular la distorsión que experimenta el tiempo entre dos sucesos según un observador cercano al agujero negro y un observador lejano a este. Esta distorsión viene dada por la ecuación:

Δt = Δt0

1 – RSr

Donde Δt0 es el tiempo transcurrido entre dos sucesos según un observador cercano al agujero negro, t es el tiempo transcurrido entre dos sucesos según un observador lejano al agujero negro, RS es el radio de Schwarzschild del agujero negro y r es la distancia que separa al observador cer-cano del agujero negro. Esta ecuación figura en el Apéndice de datos de Física.

Ejemplo resuelto

23 Se envía una sonda espacial a investigar un agujero negro con un radio de Schwarzschild de 5,0 km y la sonda de-vuelve una señal a la Tierra con un pulso de periodo 0,01 s. ¿Cuál es el periodo de la señal cuando la sonda espacial se encuentra a 10 km del centro del agujero negro?

Δt =

Δt0

1 – RSr

= 0,01

1 – 5 00010 000

= 0,014 s

77 En diciembre de 2011 los astrónomos descubrieron un agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea con una masa estimada de 21 000 millones de masas solares (4,2 × 1040 kg). Estima el radio de Schwarzschild de este agujero negro.

78 Un púlsar, que es un tipo de estrella de neutrones giratoria y magnetizada, emite un haz de radiación intensa que parece lanzar destellos con un periodo regular, como un faro. Los púlsares giran muy rápidamente y pueden tener un periodo de milisegundos. Si se descubre un púlsar con un periodo de 33 milisegundos orbitando alrededor de un agujero negro con una masa de 3,0 × 1035 kg de modo que está lo suficientemente cerca como para que su periodo aumente hasta 34 milisegundos (a causa de los efectos relativistas), ¿cuál es la distancia entre la estrella de neutrones y el centro del agujero negro?

■■ Aplicaciones de la relatividad general al universo como un todoEinstein comprendió que si el espacio-tiempo se podía curvar y distorsionar, el Universo como

un todo también podía tener curvatura. El modelo clásico del universo es un modelo denominado euclidiano. Las tres dimensiones del espacio son ortogonales (forman entre sí ángulos rectos) y completamente rectas con escalas uniformes en todas direcciones. Es un ejemplo de «universo abierto» porque es infinito al menos en una dimensión. La relatividad general permite la curvatura de las dimensiones del espacio y del tiempo, de manera que sentidos opuestos en el espacio, o en el tiempo, pueden acabar curvándose sobre sí mismos y encontrándose.

La superficie de la Tierra es un buen ejemplo de superficie cerrada: es tan extensa que a escala humana cabe pensar que la Tierra es plana (y, por tanto, que o bien es infinita o bien tienen un borde que actúa como un precipicio). En lugar de ello, la superficie de la Tierra es curva, de manera que no tiene ni un inicio ni un final. La curvatura del espacio y del tiempo significa que el universo también puede cerrarse, de modo que el problema de qué hay más allá de sus límites desaparece.

54 13 Relatividad

Implicaciones de un universo relativista: expansión y contracciónEinstein aplicó las leyes de la relatividad al universo como un todo, tratando a las galaxias

como si fueran moléculas en un gas cosmológico y aplicó las reglas estadísticas de la termodiná-mica para establecer un modelo del comportamiento del universo.

Einstein comprendió que su universo relativista era intrínsecamente inestable. Las galaxias se deben atraer entre sí provocando el colapso tanto del espacio como del tiempo. Su solución con-sistió en introducir una fuerza hacia fuera, a la que denominó constante cosmológica, y que repre-sentaba una fuerza repulsiva en el universo. La constante cosmológica otorga al vacío (o a cada unidad de espacio-tiempo) una minúscula cantidad de energía. Demasiada energía y el universo se expande; demasiado poca y la gravedad supera a la repulsión y el universo se colapsa.

En 1929 Edwin Hubble anunció que el universo estaba en expansión. La invención de telesco-pios de mayor tamaño equipados con cámaras ha permitido a los astrónomos observar cada vez a mayores profundidades del universo y Hubble había descubierto que la mayoría de las galaxias que podía detectar parecían desplazadas hacia el rojo, lo que implicaba que se alejaban de noso-tros. Y lo más importante, la magnitud del desplazamiento hacia el rojo aumenta con la distancia. Su conclusión fue que el universo debe estar aumentando de tamaño.

La consecuencia fue que el universo comenzó siendo un punto a una densidad y temperatura increíblemente elevadas y que se ha expandido hacia afuera desde ese momento. A este suceso lo denominamos Big Bang (gran explosión) y actualmente constituye un aspecto fundamental de la cosmología moderna. Después del Big Bang nuestros modelos del universo sugieren un cosmos

en rápida expansión que se enfría a medida que se expande. Se suponía que la gravedad ralentizaría la velocidad de expansión del universo y, si hubiera en este la suficiente masa, incluso provocaría finalmente el colapso del uni-verso o, de otro modo, continuaría expandiéndose a una velocidad cada vez menor de forma indefinida. Nuestro universo no es estable, sino que está en constante evolución, y hasta hace muy poco se consideraba que las posibili-dades eran las que se representan en la gráfica de la Figura 13.58.

Einstein retiró rápidamente la constante cosmológica de sus ecuaciones de campo originales y dijo la conocida frase de que su introducción fue una de sus mayores meteduras de pata. Ironías del destino, podría haber estado comple-tamente equivocado, ya que en 1998 dos equipos de investigadores llegaron de forma independiente a la misma conclusión de que la velocidad de expan-sión del universo no solo no estaba decelerando sino que en realidad estaba aumentando (no se muestra en la Figura 13.58). Saul Perlmutter, Brian Schmidt y Adam Riess recibieron conjuntamente el Premio Nobel de Física en 2011 por su trabajo sobre la medida de sucesos de las supernovas. La supernova más distante era más tenue de lo esperado, lo que sugería que estaba más alejada de lo que debería estar según el modelo de expansión decelerada. La explica-ción sugerida afirma que el espacio debe estar lleno de una energía oscura que, de algún modo, es similar a la constante cosmológica de Einstein.

1 Explica por qué es tan difícil medir si el espacio-tiempo es curvo o plano a escalas cosmológicas.2 Los universos abiertos, planos y cerrados tienen diferentes finales. ¿Cuáles son los finales pro-

bables para cada tipo de universo?3 Explica por qué la edad de un universo también depende de si es abierto, plano o cerrado.4 En cosmología, la teoría de la inflación también utiliza un concepto similar a la constante

cosmológica para explicar la estructura a gran escala del universo a partir de las fluctuaciones cuánticas del universo primigenio. ¿En qué consiste la teoría de la inflación?

AplicacionesTa

mañ

o de

l uni

vers

o

Tiempo

Universo abierto

Universo plano (abierto)

Universo cerrado

■■ Figura 13.58 Las tres soluciones más simples a las ecuaciones de campo de la relatividad general para la evolución del universo con distintas masas/energías

Enlace con la teoría del conocimiento¿Qué otros ejemplos existen de afirmaciones inicialmente dudosas que se han demostrado correctas posteriormente en la historia?Aunque el propio Einstein calificó a la constante cosmológica como su «mayor metedura de pata», el Premio Nobel de 2011 fue otorgado a científicos que habían demostrado la validez de esta teoría a través de sus estudios sobre la energía oscura.

No cabe duda de que los estudiantes se estarán preguntando qué es lo que se requiere para demostrar que una idea es válida. El conocimiento huma-no ha consistido en una sucesión de nuevos modelos que en un principio fueron puestos en tela de juicio y que, posteriormente, cuando los datos

experimentales los han verificado, han sido aclamados. Ideas como la evolu-ción, la tectónica de placas, la naturaleza esférica de la Tierra, la teoría de la termodinámica e incluso el cambio climático, han desafiado en primera ins-tancia los puntos de vista establecidos y han tenido que vencer considerables dudas hasta convertirse en ideas aceptadas por la mayoría de la sociedad. En cambio, existen afirmaciones que apelan al sentido común o que parecen de sentido común y que, por tanto, se suponen válidas sin pruebas que las corroboren. Algunos de los ámbitos que merecen un debate son los estilos de aprendizaje educativo, la homeopatía y el diseño inteligente.

Resumen de conocimientos 55

Resumen de conocimientos

■■ 13.1 Los inicios de la relatividad

■ Los sistemas de referencia son sistemas de coordenadas para distintos observadores en movi-miento.

■ Los postulados de Newton afirman que el tiempo hace tictac a velocidad constante en todo el universo, de manera que todos los observadores están de acuerdo sobre el intervalo de tiempo transcurrido entre dos sucesos.

■ Sucesos «simultáneos» significa que los sucesos tienen lugar sin que transcurra un intervalo de tiempo entre ellos.

■ Las ecuaciones de transformación galileanas (x′ = x – vt y u′ = u – v) ofrecen una manera de transformar las coordenadas de un sistema de referencia a otro.

■ Las ecuaciones de Maxwell describen la interacción de las cargas eléctricas, los imanes, los campos eléctricos y los campos magnéticos.

■ Las ecuaciones de Maxwell derivan un valor constante para la velocidad de la luz en el vacío, lo que contradice la física newtoniana.

■ La existencia de fuerzas eléctricas y magnéticas sobre las cargas y las corrientes que se mueven a través de los campos eléctricos y magnéticos dependen del sistema de referencia del obser-vador, lo cual contradice la física newtoniana.

■■ 13.2 Transformaciones de Lorentz

■ La definición de un sistema de referencia inercial: un sistema de coordenadas que ni se acelera ni experimenta un campo gravitatorio.

■ Los dos postulados de la relatividad especial: todos los sistemas de referencia son igualmente válidos; la velocidad de la luz en el vacío es constante para todos los observadores inerciales.

■ Un observador estacionario (inmóvil) que se encuentra a mitad de camino entre dos relojes esta-cionarios los puede sincronizar utilizando un destello de luz para enviar un rayo de luz a cada reloj.

■ Los sucesos que son estacionarios para un observador no tienen por qué ser estacionarios para otro observador.

■ El espacio-tiempo es el entrecruzamiento intrínseco del espacio y del tiempo, de manera que el movimiento relativo afecta a las medidas que realiza un observador y a cómo experimenta tan-to el espacio como el tiempo.

■ Las cantidades invariantes, es decir, las cantidades que son constantes para todos los observa-dores: la velocidad de la luz en el vacío, el intervalo de espacio-tiempo, el intervalo de tiempo propio, la longitud propia y la masa en reposo.

■ El intervalo de espacio-tiempo es la separación entre sucesos en el espacio-tiempo.

■ El intervalo de espacio-tiempo es una cantidad invariante, de manera que debe ser el mismo para todos los observadores:

(Δs)2 = c2 (Δt)2 – (Δx)2

■ La masa en reposo, m0, es la masa de un objeto medida por un observador que es estacionario con respecto al objeto.

■ El intervalo de tiempo propio, Δt0, es el tiempo medido entre dos sucesos por un observador que experimenta ambos sucesos en el mismo lugar en su sistema de coordenadas (sistema de referencia).

■ La longitud propia, L0, es la longitud medida entre dos sucesos por un observador que no se mueve con respecto a estos dos sucesos.

■ El factor de Lorentz describe el cambio de escala que tiene lugar cuando se produce una trans-formación entre dos sistemas de referencia:

γ = 1

√1– v2

c2

56 13 Relatividad

■ Las transformaciones de Lorentz describen matemáticamente el cambio de coordenadas cuan-do nos desplazamos de un sistema de referencia inercial a otro:

x′ = γ (x – vt)

t ′ = γ (t – vxc2 )

■ Las transformaciones de Lorentz también se pueden utilizar para describir la variación de la longitud entre dos sucesos o el intervalo de tiempo entre dos sucesos en función del movimien-to relativo del observador:

Δx′ = γ (Δx – vΔt)

Δt ′ = γ (Δt – vΔxc2

)

■ El año luz, al, es una unidad de distancia equivalente a la distancia recorrida por la luz en el vacío en un año.

■ Cuando se pasa de un sistema de referencia a otro, las velocidades relativas no se suman simple-mente; en lugar de ello se debe usar la ecuación de transformación de la velocidad de Lorentz:

u′ = u – v1– uv

c2

■ La dilatación del tiempo es el estiramiento del tiempo como resultado del movimiento relativo. El intervalo de tiempo propio es el intervalo de tiempo más corto posible entre dos sucesos y todos los demás observadores miden un intervalo de tiempo más largo calculado a partir de la ecuación:

Δt ′ = γ Δt0

■ La contracción de la longitud es el acortamiento de la distancia entre dos sucesos debido al movimiento relativo. La longitud propia es la longitud en línea recta más larga posible entre dos sucesos y todos los demás observadores miden una longitud contraída a partir de la ecuación:

L = L0γ

■ El experimento de la desintegración del muon proporcionó una de las verificaciones de la rela-tividad especial. Los muones se forman en la atmósfera como resultado de las colisiones con los rayos cósmicos. Tienen una semivida muy corta, por tanto, según la física newtoniana, son muy pocos los muones que deberían alcanzar la superficie terrestre. El número (más elevado) de muones que consiguen llegar corresponde a los efectos de la dilatación del tiempo y la contrac-ción de la longitud debidos a la elevada velocidad de estas partículas.

■■ 13.3 Diagramas espacio-tiempo

■ Los diagramas espacio-tiempo representan la dimensión del espacio, x, a lo largo del eje hori-zontal mientras que en el eje vertical se representa o bien el tiempo o, con mayor frecuencia, la velocidad de la luz en el vacío multiplicada por el tiempo, ct.

■ Los sucesos se representan como puntos en un diagrama espacio-tiempo.

■ Una línea de sucesos representa la trayectoria que sigue un objeto a través del espacio-tiempo (lo que se denomina línea de mundo del objeto).

■ En el caso de los fotones, la línea de mundo se suele dibujar a 45° y a veces se denomina línea de luz.

■ El gradiente de una línea de mundo viene dado por c/v.

■ El ángulo entre una línea de mundo y el eje vertical viene dado por:

θ = tg–1 vc

■ Se puede representar un segundo sistema de referencia en el mismo diagrama espacio-tiempo, pero el nuevo eje ct‘ está situado a lo largo de la línea de mundo de la partícula que está en reposo en este sistema de referencia.

■ El nuevo eje x′ es la imagen especular del nuevo eje ct‘ a lo largo de la línea de luz (la línea de mundo de un fotón).

Resumen de conocimientos 57

■ Se produce así un par de ejes inclinados. Las coordenadas en este sistema de referencia se pueden leer a partir de una cuadrícula inclinada que se dibuja paralela a los ejes x′ y ct‘.

■ Aunque el espacio-tiempo de fondo es el mismo para ambos sistemas de referencia, las escalas sobre los ejes originales y los ejes inclinados son distintas.

■ Los sucesos que son simultáneos para un observador no tienen que serlo para otros observado-res situados en sistemas de referencia distintos. Los sucesos son simultáneos si ocurren a lo largo de la misma línea de la cuadrícula paralela al eje x o el eje x′.

■ La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud se pueden demostrar con diagramas espacio-tiempo.

■ La paradoja de los gemelos se propuso como un argumento en contra de la relatividad especial. Sugiere que cuando dos gemelos se alejan rápidamente cada uno de ellos piensa que es esta-cionario y que el otro gemelo se está moviendo, por ese motivo los efectos de la dilatación del tiempo parecen ser idénticos para cada gemelo. El gemelo viajero vuelve y la situación una vez más parece simétrica.

■ La paradoja se puede resolver porque la situación no es simétrica. El gemelo viajero no está en un único sistema de referencia inercial, sino que cambia de un sistema de referencia inercial a otro.

■■ 13.4 Mecánica relativista

■ La masa en reposo y la carga eléctrica son cantidades invariantes. La masa total se puede calcu-lar a partir de la masa en reposo mediante la ecuación:

m = γ m0

■ La energía y la masa son diferentes aspectos de una misma cosa. Cuando un objeto gana ener-gía también gana masa. La cantidad de energía que posee un objeto estacionario se denomina masa en reposo y se puede calcular mediante la ecuación:

E0 = m0c2

■ La masa en reposo es una cantidad invariante.

■ La energía total de un objeto es una combinación de su energía en reposo y su energía cinética. Se calcula mediante la ecuación:

E = γ m0c2

■ La energía total de una partícula tiende a infinito a medida que la partícula se aproxima a la velocidad de la luz. En consecuencia, es imposible que una partícula alcance o supere la veloci-dad de la luz.

■ En una gráfica en la que se representa la energía total en función de la velocidad, el corte con el eje y es la energía en reposo de la partícula. Se puede representar una gráfica similar compa-rando la masa frente a la velocidad.

■ La energía cinética ya no se puede calcular mediante la ecuación Ec = 12 mv2; en lugar de ello, las energías cinéticas relativistas se calculan restando la energía total menos la energía en reposo:

Ec = (γ – 1)m0c2

■ A velocidades relativistas la ecuación p = mv ya no es válida; en su lugar hay que emplear la versión relativista de la ecuación:

p = γ m0v■ La energía total de una partícula también se puede calcular mediante la ecuación:

E2 = p2c2 + m02c4

■ Cuando se efectúan cálculos relativistas, es mucho más simple utilizar unidades escritas en térmi-nos de c. Para la energía se siguen utilizando eV, keV, MeV y GeV. Para la masa se usan: eV c–2, keV c−2, MeV c−2 y GeV c−2. Las unidades para el momento son: eV c−1, keV c−1, MeV c−1 y GeV c−1.

■ Cuando las partículas se aceleran toda la energía que ganan se considera energía cinética. Por tanto:

qV = ΔEc

58 13 Relatividad

■ Los fotones no tienen masa en reposo pero sí tienen momento y energía. Las relaciones entre el momento, la energía y la frecuencia vienen dadas por la ecuación:

p = Ec =

hfc =

hλ

■■ 13.5 Relatividad general

■ El principio de equivalencia afirma que la física para un observador situado en un sistema de referencia acelerado es idéntica a la física para uno situado en un campo gravitatorio. Este prin-cipio es útil porque significa que lo que se puede deducir sobre una de las situaciones se debe cumplir también en la otra.

■ Un observador situado en un sistema de referencia acelerado verá que un rayo de luz se curva. En consecuencia, el principio de equivalencia significa que la luz también se deberá curvar en un campo gravitatorio.

■ La comprobación experimental de la curvatura de la luz y de la distorsión del espacio-tiempo por efecto de la gravedad viene dada por el efecto de lente gravitatoria de las estrellas lejanas debido a la intervención de galaxias de masa elevada y por el pequeño desplazamiento en la posición de las estrellas que se puede observar cuando están cerca del Sol durante un eclipse solar.

■ Cuando los fotones escapan de un campo gravitatorio experimentan un desplazamiento hacia el rojo por efecto gravitatorio. Cuando los fotones se adentran en un campo gravitatorio expe-rimentan un desplazamiento hacia el azul por efecto gravitatorio.

■ La magnitud del desplazamiento hacia el rojo se puede calcular a partir de la siguiente ecuación (g se sigue utilizando como si el campo fuera uniforme):

Δff

= gΔhc2

■ En el experimento de Pound–Rebka–Snider se utilizaron los rayos gamma producidos por nú-cleos de hierro para medir el desplazamiento hacia el rojo por efecto gravitatorio. Los rayos gamma solo podían ser absorbidos por una fuente situada en un punto más elevado (en altura) cuando el desplazamiento hacia el rojo por efecto gravitatorio se compensaba con el desplaza-miento hacia el azul por efecto Doppler provocado por la oscilación de la superficie.

■ El horizonte de sucesos es la superficie que une los puntos donde la velocidad de escape igua-la a la velocidad de la luz en el vacío y marca, por tanto, el límite del agujero negro. En el interior de este, ni la luz ni la información ni la materia pueden escapar hacia el resto del universo.

■ La masa y la energía deforman (estiran) el espacio-tiempo. Cuando el espacio-tiempo se estira más allá de un cierto punto, la luz ya no puede escapar y el resultado es un agujero negro. El radio del horizonte de sucesos de los agujeros negros simples (los que no están cargados eléc-tricamente y no giran) se denomina radio de Schwarzschild y viene dado por la ecuación:

RS = 2GM

c2

■ Los campos gravitatorios también provocan un efecto de dilatación del tiempo. La magnitud de esta dilatación cerca de un agujero negro se puede calcular mediante la ecuación:

Δt = Δt0

√1 – RS/r

■ La teoría de la relatividad general también predice que la totalidad del tejido del universo se puede distorsionar, de manera que una o más dimensiones son cerradas o circulares.

■ El universo es inestable y no puede permanecer en un estado estático. El modelo fundamental del cosmos sugiere que la gravedad debería provocar la ralentización de la expansión del uni-verso y que si este tuviera la masa suficiente podría colapsarse sobre sí mismo.

■ Sin embargo, los datos recientes obtenidos a partir de las supernovas apuntan a que la veloci-dad de expansión es cada vez mayor.

Selección de preguntas de examen 59

■ Selección de preguntas de examen

Hoja 3 Preguntas del IB y preguntas tipo IB

1 Esta pregunta trata sobre las fuerzas que actúan sobre las cargas en movimiento. Dos protones son prácticamente estacionarios en un laboratorio y están situados a una distancia de 10–10 m.

a Representa los dos protones en un diagrama y etiqueta las principales fuerzas que actúan sobre cada protón. (2)b Ahora los protones son acelerados perpendicularmente a la línea que los separa, de manera que viajan a través

del vacío con velocidades inicialmente paralelas. Dibuja un segundo diagrama donde se representen las fuerzas que actúan sobre los protones según un observador situado en el sistema de referencia del laboratorio. (3)

c Las ecuaciones de Maxwell predicen que la velocidad de la luz a través del vacío debe ser constante. Explica por qué contradicen las leyes de la física newtoniana. (3)

2 Esta pregunta trata sobre cinemática relativista. Speedy se encuentra en el interior de una nave espacial que está siendo perseguida por el oficial de policía Sylvester.

1

Nave espacial del oficialde policía Sylvester

Nave espacialde Speedy

En el sistema de referencia del oficial Sylvester, Speedy se mueve hacia el oficial Sylvester a una velocidad de 0,25c.a Describe qué se entiende por sistema de referencia. (2)b El oficial Sylvester enciende las lámparas parpadeantes azules (delantera y trasera) de su nave espacial.

i Suponiendo que en esta situación se aplica una transformación galileana, calcula el valor de la velocidad de la luz que mediría Speedy utilizando las lámparas parpadeantes. (1)

ii Speedy mide la velocidad de la luz parpadeante emitida por las lámparas. Deduce, utilizando la suma relativista de velocidades, que Speedy obtendrá un valor para la velocidad de la luz igual a c. (3)

c Más tarde, la nave espacial del policía está al lado de la nave espacial de Speedy y la adelanta a velocidad constante. El oficial Sylvester se encuentra en el punto medio entre las lámparas parpadeantes delantera y trasera (y puede

ver las dos). En el momento en el que el oficial Sylvester y Speedy se encuentran uno frente al otro, Speedy observa que las lámparas de luz azul parpadean simultáneamente.

¿Cuál de las dos lámparas ve parpadear primero el oficial Sylvester? ¿Por qué? (4)

Speedy

Lámparatrasera

Lámparadelantera

Oficial de policía Sylvester

60 13 Relatividad

d La nave espacial del policía viaja a una velocidad constante de 0,5c con respecto al sistema de referencia de Speedy. La luz procedente del flash de una de las lámparas viaja a través de la nave espacial del policía y se refleja hacia la fuente de luz. El oficial Sylvester mide el tiempo que tarda la luz en volver a la fuente y es 1,2 × 10−8 s.

i Explica en pocas palabras por qué el tiempo medido por el oficial Sylvester es un intervalo de tiempo propio. (1) ii Determina (desde el sistema de referencia de Speedy) cuánto tiempo tarda la luz en recorrer la nave espacial

del policía y volver a su fuente (3)

3 Esta pregunta trata sobre relatividad especial, simultaneidad y contracción de la longitud.

a Uno de los dos postulados de la relatividad especial se puede formular como: «Las leyes de la física son las mismas para todos los observadores situados en sistemas de referencia inerciales». Enuncia:

i qué se entiende por sistema de referencia inercial (1) ii el otro postulado de la relatividad especial. (1)

b En un experimento teórico para ilustrar el concepto de simultaneidad, Vladimir está de pie sobre el suelo cerca de una vía de ferrocarril recta y plana. Natasha se encuentra en el interior de un vagón de tren que viaja por la vía con velocidad constante, v, en la dirección y el sentido indicados en la imagen.

Natasha está sentada en una silla que es equidistante de los dos extremos del vagón. En cada uno de los extremos hay un reloj, C1 y C2. Cerca de Natasha hay un interruptor que, cuando se pulsa, envía una señal a cada uno de los relojes y estos registran el momento en el que llegan las señales. En el instante en el que Natasha y Vladimir se encuentran uno frente al otro, Natasha pulsa el interruptor. Según ella, C1 y C2 registran el mismo instante de llegada de cada señal.

Explica, desde el punto de vista de Vladimir, si C1 y C2 registran efectivamente el mismo instante de llegada de cada señal o no. (4)

C1 C2Natasha

Vladimir

v

c La velocidad, v, del vagón es 0,70c. Vladimir mide la longitud de la mesa junto a la que se sienta Natasha y es de 1,0 m.

i Calcula la longitud de la mesa medida por Natasha (3) ii Explica qué observador mide la longitud propia de la mesa. (1)

d Según Vladimir, un reloj en reposo en el interior del vagón parecerá que funciona más lentamente que un reloj en reposo junto a él. Sin embargo, según Natasha, el reloj de Vladimir funcionará más lentamente que un reloj en reposo junto a ella.

i Explica en pocas palabras de qué forma conduce este fenómeno de dilatación del tiempo a la «paradoja de los gemelos», en la que uno de los gemelos emprende un viaje de ida y vuelta a una estrella lejana a una velocidad cercana a la de la luz mientras que el otro gemelo se queda en la Tierra. (3)

ii Enuncia cuál es la razón en la que se basa la resolución de la paradoja. (1)e La comprobación experimental de la dilatación del tiempo proviene de la desintegración de los muones. Un pulso

de muones producido por la radiación cósmica en las capas superiores de la atmósfera terrestre viaja a la Tierra con una velocidad de 0,96c (medida por un observador en reposo sobre la superficie terrestre). La semivida de los muones, medida en el sistema de referencia en el que los muones están en reposo, es 3,1 × 10−6 s.

i Determina, para los muones, la distancia que habrá recorrido la Tierra hacia ellos una vez se hayan desintegrado la mitad de los muones del pulso. (1)

ii Calcula, para el observador terrestre, la distancia que habrá recorrido el pulso de muones hacia la Tierra una vez se hayan desintegrado la mitad de los muones del pulso. (2)

f Sugiere de qué forma tus respuestas a los apartados e i y e ii proporcionan pruebas que corroboran la teoría de la relatividad especial. (3)

Selección de preguntas de examen 61

4 Esta pregunta trata sobre diagramas de espacio-tiempo. Observa los dos diagramas de espacio-tiempo de la imagen inferior. Las líneas continuas azules representan las líneas de mundo de un muon que se forma en el Suceso 1 y que se desintegra en dos fotones en el Suceso 2. Los dos diagramas de espacio-tiempo se han dibujado de modo que tienen escalas idénticas aunque comienzan en instantes de tiempo distintos.

Suceso 2(x2, ct2)

S S’

Suceso 1(x1, ct1)

ct

x

ct1

ct2

c∆t

75º

Suceso 2(x’2, ct’2)

Suceso 1(x’1, ct’1)

ct’

x’

ct1

ct2

c∆t’

a ¿Qué sistema de referencia corresponde al sistema de referencia en reposo del muon? (1)b ¿Qué observador mide el tiempo propio entre los dos sucesos? Explica tu respuesta. (2)c Explica por qué el intervalo de tiempo Δt es distinto del intervalo de tiempo Δt ′. (3)d El ángulo que forma la línea de mundo del muon con el eje x es 75°. Demuestra que la velocidad del muon

según un observador en reposo en el sistema de referencia S es 0,27 c. (2)e Según el observador situado en el sistema de referencia S el muon existe durante 2,2 μs. ¿Durante qué intervalo

de tiempo existe el muon según un observador situado en el sistema de referencia S′? (3)f El muon se desintegra formando un electrón, un neutrino y un antineutrino. En este experimento el electrón

es prácticamente estacionario. Dibuja las líneas de mundo del neutrino y del antineutrino si viajan en sentidos contrarios a lo largo de la dimensión x′ a una velocidad que es prácticamente la de la luz. (3)

5 Esta pregunta trata sobre diagramas de espacio-tiempo y transformaciones de velocidad relativistas. Debes considerar el diagrama de espacio-tiempo que se muestra abajo, en el que se representan los sistemas de referencia A y B sobre el mismo diagrama.

(0,0)

Suceso 0

Suceso 1

ct

A

B

x

x’

ct’

a ¿Qué se entiende por espacio-tiempo? (1)b ¿Son simultáneos los sucesos 0 y 1? Razona tu respuesta. (3)c Estima la velocidad de B con respecto a A mediante las medidas tomadas sobre el propio diagrama. (3)d En el suceso 0 hay un tercer observador, C. Según el observador B, C se mueve tras A con una velocidad de

0,300 c. Calcula la velocidad de C según el observador A utilizando tu respuesta al apartado b. (3)e Dibuja la línea de mundo para C sobre el diagrama de espacio-tiempo. (3)

62 13 Relatividad

Solo para Nivel superior

6 Esta pregunta trata sobre protones que viajan a través de un acelerador de partículas circular. Los protones son acelera-dos desde el reposo a través de un voltaje de 300 000 kV antes de ser inyectados hacia el anillo del acelerador de partículas.

a Calcula la velocidad de los protones cuando son inyectados en el anillo (3)b Demuestra que el momento de los protones es aproximadamente 0,8 GeV c −1. (3)c A continuación los protones se aceleran en dos haces que viajan en sentidos contrarios alrededor del anillo y son

acelerados hasta una velocidad de 0,97 c antes de colisionar. Dibuja esquemáticamente sobre los ejes de la gráfica inferior la línea de mundo de uno de los protones cuando describe una órbita alrededor del anillo a una velocidad de 0,97 c dibujada desde el sistema de referencia del laboratorio. (3)

d Calcula la energía total disponible cuando colisionan dos protones que viajan en sentidos contrarios. (3)e Según un observador situado en el sistema de referencia de uno de los protones, ¿a qué velocidad se aproxima

el otro protón? (3)

7 Esta pregunta trata sobre energía y momento relativistas.

a La partícula A está en reposo respecto a un observador. Otra partícula idéntica, B, se mueve respecto al observador. Distingue entre la energía total de la partícula A y la energía total de la partícula B medidas por el observador. (2)

b Dos protones viajan uno hacia el otro a lo largo de la misma línea recta en el vacío. La velocidad de cada protón (medida en el sistema de referencia del laboratorio) es 0,960 c.

0,960 c 0,960 c

p+p+

i Calcula la velocidad relativa de uno de los protones respecto al otro protón (2) ii Demuestra que la energía total de uno de los protones, según un observador en reposo en el laboratorio, es

3,35 GeV. (2)c La colisión de los dos protones da lugar a la siguiente reacción:

p+ + p+ = p+ + n0 + π+

donde π+es una partícula denominada pion y tiene una masa en reposo de 140 MeV c −2. La energía total del pion es 502 MeV. Determina, según un observador en reposo en el laboratorio:

i la energía total del protón formado más la energía total del neutrón formado en la colisión (2) ii el momento del pion. (2)

Selección de preguntas de examen 63

d En este diagrama se representan las trayectorias seguidas por el neutrón y el pion del apartado c. La línea discontinua representa la trayectoria de la colisión original de los protones del apartado b. Dibuja sobre

el diagrama la dirección del protón formado en la colisión. (1)

n0

π+

8 Esta pregunta trata sobre la dilatación del tiempo en los satélites GPS. Un satélite GPS viaja en una órbita circular alre-dedor de la Tierra con un radio orbital de 20,4 × 103 km, de modo que viaja a 4,42 km s−1. (MTierra= 5,98 × 1024 kg, rTierra = 6,37 × 106 m.)

a Los relojes de los satélites GPS experimentan una dilatación del tiempo respecto a los relojes de la superficie terrestre. Describe el significado del término dilatación del tiempo. (2)

b Calcula: i la fracción de la velocidad de la luz a la que viaja el satélite (1) ii el factor de Lorentz a esta velocidad. (2)

c Demuestra mediante las transformaciones de Lorentz que el tiempo registrado por el satélite debido a su movi-miento relativo se retrasará aproximadamente 7 × 10−6 s cada 24,0 horas. (2)

d Explica con la ayuda de un diagrama el significado del término «desplazamiento hacia el azul por efecto gravita-torio». (3)

e Según la teoría de la relatividad general, los relojes de los satélites GPS funcionan más rápido que los relojes sobre la superficie terrestre.

i Supón que g = 9,81 ms−1. Utiliza la ecuación para el desplazamiento hacia el rojo por efecto gravitatorio para estimar la diferencia en el tiempo medido por los satélites GPS cuando transcurre 1 segundo medido en la Tierra. (3)

ii En un periodo de 24 horas, ¿cuánto se adelantan los relojes de los satélites GPS con respecto a los de la Tierra como consecuencia de los efectos de la relatividad general? (1)

9 El diagrama inferior ilustra la distorsión del espacio debida al campo gravitatorio de un agujero negro.

a i Describe lo que se entiende por centro y superficie de un agujero negro. (3) ii Define el radio de Schwarzschild haciendo referencia a tu respuesta al apartado a i. (1) iii Calcula el radio de Schwarzschild para un objeto con una masa de 2,0 × 1031 kg (diez masas solares). (2) iv La ciencia ficción suele representar los agujeros negros como objetos que «se tragan» todo lo que hay en el

universo. Una nave espacial viaja hacia el objeto del apartado a iii de manera que, si continuara en línea recta, su distancia de máxima aproximación sería de unos 107 m. Basándote en el diagrama y en tu respuesta al apartado a iii, di si el destino de la nave espacial es consistente con el destino que le espera según la ciencia ficción. (2)

b En 1979, Walsh, Carswell y Weymann descubrieron «dos» cuásares muy lejanos separados por un pequeño ángulo. El examen espectroscópico de las imágenes demostró que eran idénticos. Explica resumidamente cómo pueden corroborar la teoría de la relatividad general estas imágenes. (2)