Reluis_Convegno Roma 29-30 Maggio 2008

8/11/2019 Reluis_Convegno Roma 29-30 Maggio 2008

http://slidepdf.com/reader/full/reluisconvegno-roma-29-30-maggio-2008 1/331

Atti del Convegno

Valutazione e riduzionedella vulnerabilità sismica

di edifici esistenti in cemento armato

Roma 29-30 Maggio 2008

PATROCINI SPONSOR ORGANIZZAZIONE

http://www.polimetrica.com/



Patrocini

Ordine degli Ingegneri della Provincia di Roma

Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR)

Associazione Italiana Calcestruzzo Armato e Precompresso

Associazione italiana compositi & affini

Valutazione e riduzione della vulnerabilità sismica di edifici esistenti in c.a.

Roma, 29-30 maggio 2008

http://www.ording.roma.it/



http://www.cnr.it/sitocnr/home.html

http://www.associazioneaicap.it/









http://www.assocompositi.it/



http://www.cnr.it/sitocnr/home.html




Sponsor



http://www.tis.it/

http://www.interbau-srl.it/

http://www.stsweb.it/

http://www.sika.it/

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http://www.condotte.com/

http://www.essebiweb.it/

http://www.edilcamsistemi.com/

http://www.mapei.it/

http://www.boviar.com/

http://www.basf-cc.it/




Organizzazione

Coordinatori

Edoardo CosenzaGaetano Manfredi

Giorgio Monti

Consiglio scientificoFranco Braga

Gian Michele Calvi

Luis D. Decanini

Mauro Dolce

Renato Giannini

Marco Menegotto

Camillo Nuti

Paolo E. Pinto

Comitato scientificoAndrea Benedetti

Mario De Stefano

Giacomo Di Pasquale

Giovanni Fabbrocino

Ciro Faella

Paolo Foraboschi

Aurelio Ghersi

Agostino GorettiAngelo Masi

Mauro Mezzina

Renato S. Olivito

Maurizio Papia

Rui Pinho

Roberto Ramasco

Gaetano Russo

Enrico Spacone

Giuseppe Spadea

Giandomenico Toniolo

Comitato organizzatore locale

Silvia AlessandriVincenzo Bianco

Marc'Antonio Liotta

Andrea Lucchini

Giorgio Monti

Nicola Nisticò

Silvia Santini

Marco Vailati









PREMESSA

L’Italia è un paese caratterizzato da una pericolosità sismica (ovvero la frequenza e l'intensità

dei fenomeni che si susseguono) medio-alta, rispetto a Grecia o Turchia, con riferimento al

solo Bacino del Mediterraneo; ma possiede una vulnerabilità molto elevata. Il nostro

patrimonio edilizio è, infatti, caratterizzato da una notevole fragilità dovuta soprattutto all'età

e alle caratteristiche tipologiche e strutturali.

La problematica della sicurezza strutturale delle strutture esistenti va affrontata, innanzi tutto,

individuando le motivazioni tecniche e sociali che rendono un gran numero di edifici potenzialmente a rischio. In Italia la qualità delle costruzioni, specie quelle realizzate negli

ultimi cinquant’anni, è di basso livello rispetto a quelle coeve di altre Nazioni europee. Questa

situazione è dovuta, in primo luogo, all’abusivismo edilizio, che ha prodotto costruzioni

realizzate con criteri progettuali insufficienti e materiali scadenti. Al problema dell’edilizia

spontanea e della speculazione edilizia, si aggiunge anche la scarsa diffusione della cultura

della qualità che pervade il mondo italiano delle costruzioni.

In questo discorso generale sulla situazione del patrimonio edilizio nazionale, non si deve

dimenticare che larga parte del territorio è a rischio sismico, ma solo una minoranza degli

edifici in tali aree è stato progettato utilizzando criteri antisismici.

Infatti, la nuova classificazione sismica fa si che il numero di comuni classificati come sismici

sale da 2965 (pari al 37% dei comuni italiani) del 2001 a 4671 (pari al 58% dei comuni

italiani), ampliando particolarmente le zone a sismicità più bassa; inoltre l’introduzione di una

zona a bassissima sismicità estende a quasi tutto il territorio nazionale la necessità di applicare

principi generali di design antisismico. Ad oggi, con riferimento al Censimento della

popolazione e delle abitazioni effettuato dall’ISTAT nel 1991, solo il 14 % del patrimonio

edilizio nazionale risulta essere realizzato utilizzando criteri di progettazione antisismici.

Inoltre le costruzioni più vecchie in zona sismica sono state costruite con norme di vecchia

generazione, non in grado di garantire la sicurezza che si ottiene applicando le attuali Norme

Tecniche, e comunque hanno subito estesi processi di deterioramento dovuto al degrado dei

materiali.

Il censimento ISTAT 2001 non è ancora disponibile nel dettaglio necessario per valutare lamodifica prodotta dagli oltre 10 anni trascorsi; tuttavia le percentuali non dovrebbero variare

di molto, visto che il trend di nuove costruzioni negli ultimi anni è decrescente.

In particolare, il patrimonio edilizio in cemento armato, realizzato in gran parte negli anni 60

e 70, già nel 1991 rappresentava oltre il 50% del patrimonio edilizio ad uso abitativo. Circa la

metà di tale patrimonio era stato costruito prima del 1971, anno in cui le Norme Tecniche

specifiche per le zone sismiche previste dalla Legge 64/74 non erano ancora state emesse e si

utilizzava la Legge 1684 del 1962, che, quando veniva applicata, non dava sostanzialmente

indicazioni specifiche sui dettagli costruttivi o requisiti di regolarità atti a garantire un buon

comportamento antisismico.

Tutte queste considerazioni rendono strategiche per la riduzione del rischio sismico in Italia le

ricerche sviluppate nella Linea 2 del Progetto DPC-Reluis 2005–2008: Valutazione eriduzione della vulnerabilità di edifici esistenti in c.a. In tale settore vi sono aspetti che



necessitano di approfondimento nell’ambito della fase di conoscenza (affidabilità dei metodi

non distruttivi), di modellazione (valutazione del periodo, influenza delle tamponature,

comportamento di pilastri, di nodi, di fondazioni, delle scale) e di verifica (modelli di capacità

per elementi underdesigned e rinforzati con metodi tradizionali). I lavori raccolti in questi atti

rappresentano una utile sintesi dello stato di avanzamento delle ricerche in corso.

Edoardo Cosenza

Gaetano Manfredi

Giorgio Monti



Argomenti

MND

Metodologie non distruttive per la

conoscenza delle

strutture esistenti

TAMP

Influenza dellatamponatura sulla

risposta strutturale

NODI

Comportamento erinforzo di nodi

trave/pilastro

FCCalibrazione dei

fattori di confidenza

MIXValutazione e rinforzo di

edifici misti cemento

armato/muratura

BIAX

Comportamento e

rinforzo di pilastri

soggetti a presso-

flessione e taglio

biassiale

IRREGValutazione del

comportamento

non lineare degli edifici

con particolare riferimento

a edifici irregolari

SCALE Comportamento e

rinforzo di scale in c.a.

PREFAB Comportamento e

rinforzo di strutture

industriali prefabbricate





MND

G.C. Marano, E. Morrone, M. Mezzina Approccio ibrido fuzzy per l’integrazione e l’interpretazione

delle prove non distruttive

R.S. Olivito, G. Spadea, A. Carrozzini,A.R. Spadafora

Strutture esistenti in cemento armato: controlli e verifichemediante tecniche non distruttive

A. Masi, M. Vona, D. Nigro, M. Ferrini Indagini sperimentali per la stima della resistenza delcalcestruzzo in-situ basata su metodi distruttivi e nondistruttivi

A. Masi Analisi di dati sperimentali per la stima degli effettidell’estrazione sulla resistenza di carote prelevate da

strutture in c.a.G. Campione, M. Fossetti,M.L. Mangiavillano, S. Priolo

Influenza del carotaggio sullo stato tensionale edeformativo di elementi compressi

D. Foti, M. Mongelli, V. Paparella Resistenza a taglio di strutture esistenti in c.a.





MND

G. Chellini, V. Daprile, M. Ferrini,

V. Marangolo, L. Nardini,M.C. Ntibarikure, W. Salvatore

Valutazione del contributo di elementi non strutturali sul

comportamento dinamico di edifici esistenti in c.a.: il caso del palazzo comunale di Vagli Sotto (LU)

R. Giannini, L. Sguerri Valutazione della resistenza del calcestruzzocombinando i risultati di prove dirette e non distruttive

A. D’Ambrisi, M.T. Cristofaro,M. De Stefano

Modelli previsionali della resistenza a compressione delcalcestruzzo in strutture esistenti

G. Monti, G. Quaranta, G.C. Marano Robust Sensor Placement for Buildings Monitoring inSeismic Areas

M. Ferrini, N. Signorini, P. Pelliccia,F. Pistola, V. Prestifilippo, G. Sabia

La metodologia della Regione Toscana per lavalutazione della resistenza del calcestruzzo di edificiesistenti in cemento armato

M. Ferrini, N. Signorini, P. Pelliccia,F. Pistola, V. Prestifilippo, G. Sabia

Risultati delle campagne d’indagine svolte dalla RegioneToscana per la valutazione della resistenza delcalcestruzzo di edifici esistenti in cemento armato





FC

G.C. Marano, G. Quaranta, M. Mezzina Hybrid Technique for Partial Safety Factors Calibration

F. Jalayer, I. Iervolino, G. Manfredi Aggiornamento bayesiano dei parametri di modellazionestrutturale e dell’affidabilità sismica di edifici esistenti in c.a.

A. Masi, M. Vona, V. Manfredi Analisi parametriche su strutture esistenti in c.a.finalizzate alla valutazione della coerenza dei risultatiottenuti con diversi metodi di analisi

R. Pucinotti Resistenza caratteristica del calcestruzzo in opera

P. Franchin, P.E. Pinto, P. Rajeev Assessing the Adequacy of a Single Confidence Factorin Accounting for Epistemic Uncertainty

G. Monti, S. Alessandri Confidence Factors for Concrete and Steel Strength

V. Mpampatsikos, R. Nascimbene,L. Petrini

RC Frame Existing Building Assessment: Considerationsand Suggestions about EC8 and OPCM 3431 Procedures

G. Monti, S. Santini, S. Alessandri Definizione di una procedura per la determinazionestatistica di un modello di capacità





IRREG

A. Aprile, A. Benedetti, E. Mangoni Vulnerabilità sismica di edifici monumentali: il caso della

stazione centrale di Milano

L. Petti, I. Marino, L. Cuoco L’analisi della risposta sismica di strutture irregolarimediante procedure statiche non lineari

R. Pinho Analisi statica non-lineare adattiva di strutture irregolari

M. Bosco, A. Ghersi, E.M. Marino Eccentricità correttive per la valutazione della risposta sismica di edifici asimmetrici mediante analisi staticanon lineare

A. Formisano, G. De Matteis,F.M. Mazzolani

Seismic Retrofitting of Existing RC Buildings by Meansof Steel Shear Panels: the Koletti Building in Athens

A. Acciai, R. Nudo Analisi di vulnerabilità sismica del Palazzo degli UfficiStatali di Forlì

P. Colajanni, B. Potenzone Due proposte per i profili di carico nell’analisi pushover

S. Silvestri, T. Trombetti, G. Gasparini On the Non-Linear Rotational Response of One-storey Asymmetric Structures





IRREG

A. Lucchini, G. Monti, S. Kunnath Studio del comportamento sismico di edifici mono-piano a

telaio asimmetrici in piantaG. Magliulo, G. Maddaloni, E. Cosenza Estensione del metodo N2 agli edifici irregolari in pianta

considerando l'eccentricità accidentale

G. Magliulo, G. Maddaloni, E.

Cosenza Analisi statiche e dinamiche non lineari di edifici esistentiin cemento armato irregolari in pianta

G. Magliulo, R. Ramasco Prestazioni sismiche di telai regolari ed irregolari inelevazione in termini di resistenza

G. Maddaloni, G. Magliulo, E. Cosenza Variazione della risposta sismica sotto differenti set di terremoti

A. D’Ambrisi, M. De Stefano,M. Tanganelli

Analisi della risposta sismica di edifici esistenti irregolari: un caso di studio

B. Ferracuti, R. Pinho, M. Savoia Statistical Validation of Nonlinear Pushover Methods by Incremental Dynamic Analyses

B. Ferracuti, M. Savoia, R. Pinho,M. Serpieri

Seismic Analysis of Irregular RC Structures by 3DForce/Torque Pushover Method





IRREG

G. Frunzio, M. Monaco, G. Visconte Vulnerabilità sismica di edifici non standard in c.a.

M. Faggella, A.R. Barbosa,J.P. Conte, E. Spacone, J.I. Restrepo

Probabilistic Seismic Response Sensitivity Analysis of3D Nonlinear Model of R/C Building Structure

G. Canducci, G.Camata, E. Spacone Problematiche connesse alla descrizione del motosismico

C. Faella, C. Lima, E. Martinelli,E. Nigro

Applicazione comparata di metodologie di analisinon-lineare di strutture esistenti in c.a.

I. Iervolino, C. Galasso, E. Cosenza Selezione assistita dell’input sismico e nuove normetecniche per le costruzioni

M.Bosco, G. Camata, M. De Stefano,

A.Ghersi, A. Lucchini, G. Maddaloni,

G. Magliulo, I. Marino, E. Martinelli,G. Monti, L. Petti, A. Saetta,E. Spacone, T. Trombetti

Linee guida per le analisi non-lineari di edifici esistentiin cemento armato





TAMP

G. Della Corte, L. Fiorino,

F.M. Mazzolani

Experimental Results from Lateral-Loading Tests of a

Real Masonry-Infilled RC BuildingI. Lanese, R. Nascimbene, A. Pavese,R. Pinho

Simulazioni numeriche di un telaio 3D tamponato insupporto di prove dinamiche su tavola vibrante

G. Amato, L. Cavaleri, M. Papia Caratterizzazione meccanica di pannelli di tamponamentoper la identificazione di puntoni equivalenti nell’analisi distrutture intelaiate

P. Colajanni, N. Impollonia, M. Papia Effetti delle incertezze nella modellazione deitamponamenti sull’efficacia dei criteri di progettazionedi telai in c.a.

L.D. Decanini, L. Liberatore Il ruolo delle tamponature nella risposta sismica dellestrutture intelaiate

T. Albanesi, A.V. Bergami, C. Nuti Indagine sperimentale e numerica sul comportamentociclico di telai in c.a. tamponati

L. Vincenzi, M. Savoia Il ruolo delle tamponature nel comportamento dinamicoe sismico delle strutture intelaiate in c.a.







MIX

F. Nardone, G.M. Verderame, A. Prota,

G. Manfredi

Analisi comparativa su edifici misti c.a.-muratura

V. Alecci, S. Briccoli Bati,G. Ranocchiai

Concrete and Masonry Compressed Columns Reinforcedwith FRP

S. Briccoli Bati, M. Fagone Lunghezza ottimale di ancoraggio per rinforzi in FRP suelementi in laterizio





SCALE

B. Calderoni, E.A. Cordasco, P. Lenza Vulnerabilità sismica degli edifici esistenti in c.a. valutati

con metodi non lineari avanzati

E. Cosenza, G.M. Verderame,A. Zambrano

Capacità sismica degli edifici esistenti in c.a.: l’influenzadelle scale







BIAX

F. Marmo, L. Rosati Incorporation of the Karsan-Jirsa Model within the

Fiber-Free Approach

L. Cominoli, A. Marini, A. Meda Rinforzo di pareti di taglio mediante incamiciatura ad alteprestazioni

G. Monti, S. Alessandri Design Equations for Strength and Deformation Capacitiesof Rectangular Columns under Combined Biaxial Bendingand Axial Load

G.M. Verderame, P.Ricci, G. Manfredi,E. Cosenza

La capacità deformativa di elementi in c.a. con barrelisce: modellazione monotona e ciclica

M. Di Ludovico, G.M. Verderame,I. Iovinella, E. Cosenza

Domini di curvatura in pressoflessione deviata di sezioniin c.a. – parte I: analisi a fibre

M. Di Ludovico, G.M. Verderame,I. Iovinella, E. Cosenza

Domini di curvatura in pressoflessione deviata di sezioniin c.a. – parte II: valutazione semplificata





BIAX

G.M. Verderame, G. De Carlo,

G. Manfredi, G. Fabbrocino

L’aderenza ciclica in campo elastico delle barre

lisce – parte I: la sperimentazione

G.M. Verderame, G. De Carlo, P. Ricci,G. Manfredi, G. Fabbrocino

L’aderenza ciclica in campo elastico delle barrelisce – parte II: il modello





PREFAB

M. Ferrini, G. Bortone, E. Lucarelli,

F. Scarselli, M. Mazzone

Analisi tipologica di capannoni prefabbricati ubicati

in aree ad elevato rischio sismico della ToscanaR. Felicetti, G. Toniolo, C. Zenti Comportamento sismico delle connessioni delle

strutture prefabbricate: analisi sperimentaledell’unione solaio-trave

C. Bonfanti, A. Carabellese,G. Toniolo

Industrial Precast Structures: Construction Typologiesand Seismic Vulnerability

A. Aprile, A. Benedetti, F. Marani Ruolo delle connessioni nel comportamento sismicodelle strutture prefabbricate monopiano in c.a.

C. Ceccoli, T. Trombetti, S. Silvestri,

G. Gasparini

L’inserimento di smorzatori in strutture prefabbricate in

c.a. per la mitigazione degli effetti dell’azione sismica:un esempio applicativo

G. Magliulo, V. Capozzi,G. Fabbrocino, G. Manfredi

Determinazione sperimentale del coefficiente di attritoneoprene-calcestruzzo per la valutazione dellavulnerabilità sismica delle strutture prefabbricateesistenti





PREFAB

V. Capozzi, G. Magliulo,

G. Fabbrocino, G. Manfredi

Prove sperimentali sulle connessioni trave-pilastro

delle strutture prefabbricateF. Biondini, A. Palermo, G. Toniolo Influenza del degrado nel tempo sulla risposta sismica

di edifici prefabbricati





Valutazione e riduzione della vulnerabilità sismica di edifici esistenti in c.a. Roma, 29-30 maggio 2008

APPROCCIO IBRIDO FUZZY PER L’INTEGRAZIONE E

L’INTERPRETAZIONE DELLE PROVE NON DISTRUTTIVE

Giuseppe C. Marano a, E. Morrone a, Mauro Mezzina b

a Dipartimento dell’Ingegneria Ambientale e dello Sviluppo Sostenibile, Politecnico di Bari,

Taranto, [email protected], [email protected] Dipartimento di Scienze dell’Ingegneria Civile e dell’Architettura,Politecnico di Bari, Bari,

[email protected]

ABSTRACTLa gestione e la successiva interpretazione dei dati derivanti da prove non distruttive su edificiesistenti rappresenta a tutt’oggi una questione aperta, soprattutto in considerazione della lororelativa dispersione confrontata con altre metodiche di indagine. Esistono differentiformulazioni per l’interpretazione dei risultati ottenute con singole prove non distruttive;comunque esse sono ritenute meno significative e precise rispetto alle metodiche distruttive,tuttavia affette da incertezze anche significative. Inoltre esiste una terza fonte di informazionirelativamente alle caratteristiche meccaniche delle strutture esistenti, associata ai cosiddetti (e

presunti) giudizi esperti. Si presentano sotto forma linguistica e non direttamente

commutabile in altre forme di grandezze incerte. Nel presente lavoro, facendo riferimento allateoria dell’incertezza recentemente sviluppata da B. Liu si propone un criterio perl’integrazione di diffrenti stime di variabili incerte ottenute con metodi non distruttivi egiudizi esperti. Assumendo che anche i dati relativi a differenti prove non distruttive relativead uno stesso parametro meccanico sono tali da avere caratterizzazione differente, sulla basedell’equivalenza entropica vengono trasformati tutti in forma fuzzy. Una volta effettuata laconversione si può quindi procedere, tramite metodi standard di defuzzificazione, a derivare inecessari valori di progetto e verifica delle singole grandezze investigate. La qualità dei daticosi ottenuti dovrebbe avere un livello qualitativamente più qualificante rispetto ad approcciclassici in cui non si sviluppa una integrazione tra le varie fonti di informazione.

PAROLE CHIAVEProve sui materiali, teoria della credibilità, -cut.

1 INTRODUZIONE

La valutazione dei parametri e delle caratteristiche caratterizzanti i materiali delle struttureesistenti riveste un ruolo fondamentale per la valutazione della loro sicurezza strutturale e piùin generale per il processo decisionale inerente la loro manutenzione. Esistono innumerevolimetodiche, sia dirette che indirette per ottenere questi dati, ognuna in generale associata ad

uno specifico costo e grado di accuratezza. E’ prassi peraltro doversi riferire a differentisorgenti di informazioni, come ad esempio alcune prove non distruttive ed anche ai cosiddetti

Topic: MND FC IRREG MIX TAMP SCALE NODI BIAX PREFAB

- 1 -

mailto:[email protected]




“giudizi esperti”, che tendono a offrire, sulla base della esperienza pregressa di tecniciqualificati, una stima sovente solo lessicale delle grandezze indagate. Spesso problemioperativi ed economici conducono alla reale disponibilità di un numero di prove, per ognisingola indagine, insufficiente per una reale quantificazione su base statistica; non è irrituale oraro addirittura riferirsi ad un numero di prove limitato a poche unità. E’ innegabile quindi

affermare che tutte queste grandezze sono affette da presenza di incertezza, in special modo dinatura epistemica. E’noto infatti che l’incertezza può essere classificata come aleatoria oepistemica. La prima si riferisce alle incertezze intrinseche, innate, che non possono essereridotte, mentre la seconda a quelle incertezze che possono ridursi mediante dati oinformazioni aggiuntive, migliore modellazione e migliore stima dei parametri.

Koduru [6] propone le possibili tipologie di incertezza epistemica:

• Incertezza idealistica: tale definizione parte dal presupposto che l’obiettivo principe per poter ottenere un’analisi strutturale affidabile è l’idealizzazione delle realtà in un problema matematicamente basato. Tale approccio prevede assunzioni meccanicheche forniscono equazioni matematiche per il comportamento cinematico e costitutivo

oltre alle condizioni al contorno. Si parla quindi di incertezza epistemica perché essaviene introdotta a partire dalla forma ovviamente imperfetta e/o da parametrimancanti.

• Incertezza complessa: I parametri di un problema idealizzato sono comunementedefiniti da test di laboratorio di piccoli campioni. Quindi la presenza di tali stime datest di laboratorio produce incertezza

• Incertezza statistica: parametri come la rigidezza o resistenza dei materiali si basanosulla quantità e qualità dei dati disponibili. L’incertezza sorge quando il numero diosservazioni è limitato,come largamente accade nella pratica ingegneristica Ciò portainevitabilmente a presenza di incertezza nei parametri di distribuzione delle variabili

random ed è chiamata incertezza statistica. In più le osservazioni di una variabileraramente la rappresentano compiutamente, generando bias nella registrazione deidati.

In base a tale classificazione, con riferimento alla tematica di interesse in questo documento,una modellazione non probabilistica delle incertezze risulta essere più ragionevole rispetto aquella probabilistica classica. In queste condizioni,infatti, è evidente che, pur disponendo didifferenti fonti di informazioni inerenti ogni singolo parametro indagato, non è immediatotrattarli contemporaneamente in maniera analitica, al fine di massimizzare il rendimento diogni singola informazione disponibile. A tal proposito le prospettive di ricerca nei confrontidelle metodiche di analisi e progettazione di ingegneria civile, in particolare con rinnovata

enfasi su nuovi approcci di analisi di sensitività sistematiche e più estese di quelle tradizionalisono notevoli, ma ancora non completamente sviluppate. E’ importante comunqueevidenziare che:

• i modelli non tradizionali di trattamento delle incertezze non devono essere consideraticome antagonisti o sostitutivi dei metodi più consolidati, quali quelli probabilistici, madevono essere intesi come elementi suppletivi e coadiuvanti nell’ottica di una piùcompleta ed esaustiva rappresentazione delle incertezze

• non esiste un metodo universalmente adatto per descrivere le incertezze, ma laselezione di un ben determinata teoria rappresentativa delle stesse dipende: 1) dallospecifico problema e 2) dalla qualità e quantità delle informazioni che l’operatore

possiede.

- 2 -



Tra i metodi non probabilistici più comunemente utilizzati, in questa applicazione verràutilizzato l’approccio fuzzy, che rientra nella più generale teoria della credibilità così comesviluppata da B. Liu [12].A tal fine nel presente lavoro si procede ad una proposta per un criterio di integrazione diinformazioni derivanti da più fonti, tra loro formalmente non omogenee, per ottenere una

rappresentazione complessiva e quantitativa della variabile indagata con una rappresentazionefuzzy.In particolare si assume che le informazioni in ingresso siano di tre tipi, ossia probabilistiche,fuzzy, e linguistiche pure. Si procede quindi prima a rappresentare in maniera fuzzy leinformazioni linguistiche, dato che queste rappresentano la fonte primaria di incertezza di tipolessicale, essendo quest’utima un tipico aspetto proprio dell’incertezza epistemica.Successivamente si procede, all’ omogeneizzazione delle variabili incerte sulla base di unaequivalenza entropica della qualità dell’informazione disponibile: le variabili non

probabilistiche si assumono essere variabili fuzzy mentre quelle probabilistiche sonoconvertite in variabili fuzzy mediante il concetto di equivalenza entropica, partendo daiconcetti fondamentali di entropia di Shannon, giungendo all’approccio di De Luca e Termini

[2] ed infine a quello di Liu [8]Quindi, partendo dal grado di affidabilità assegnato ad ogni rappresentazione fuzzy cosìottenuta si procede a pesare le stesse per derivare una unica Membership Function (MF), a

partire dalle singole MFs discretizzate per ogni singolo alpha-cut

2 TRATTAMENTO MATEMATICO DELL’INCERTEZZA NEI RISULTATIDELLE PROVE

Da un punto di vista prettamente matematico, differenti approcci possono essere utilizzati pertrattare le incertezze. Come innanzi affermato, l’approccio random è il cosiddetto approccio di

tipo base ed è supportato dalle ben note teorie della probabilità. Tali teorie furono introdotte per la prima volta da Pascal e Fermat nei primi del 600’, a partire da concetti di tipofrequentista. Più tardi, nel 1933, una teoria assiomatica fu fornita da Kolmogoroff. Taleapproccio è stato applicato in molti campi ed è diventato una metodologia ben consolidata sia

per scienziati che per ingegneri, tanto che per molti anni si è pensato che questo fosse l’unicoapproccio utile per trattare l’incertezza presente nelle variabili e per effettuare analisi diaffidabilità di strutture.La statistica è utilizzata per ottenere dal set disponibile di dati misurati, parametri chedefiniscono le proprietà delle variabili che si supponga abbiano una natura stocastica; la teoriadella probabilità, quindi, altro non fa che convertire tali informazioni in funzioni diaccadimento (funzioni di densità di probabilità) e definisce il contesto generale per le analisi

di affidabilità il cui obbiettivo principale e quello di ottenere le probabilità di collasso disistemi strutturali che sono comparati con dei valori limite pre-fissati per valutarnel’affidabilità.Date le numerose fonti di indeterminazione nelle moderne metodiche di analisi strutturale,

principalmente a causa delle notevoli complessità introdotte dai nuovi codici normativi, si ènotato che gli approcci probabilistici sono ben lontani dal modellare realisticamentel’incertezza di una problematica ingegneristica soprattutto quando i progettisti devonofronteggiare la scarsezza di dati a disposizione, o i parametri del problema sono forniti daopinioni di esperti che non sono descrivibili con modalità puramente probabilistiche.Queste considerazioni possono essere efficacemente sintetizzate nello schema di Figura 1.

- 3 -



Figura 1. Significatività del trattamento statistico

Per tutte queste ragioni, nuovi approcci di metodi non probabilistici sono stati sviluppati intempi recenti. Lo scopo originario era quello di fornire algoritmi meno dispendiosi dal puntodi vista computazionale che non richiedevano una stima a priori delle PDFS delle variabili diinput come veniva effettuato nei metodi Bayesiani.Le categorie principali dei metodi non probabilistici sono l’analisi degli intervalli, il convex

modeling , e la teoria dei fuzzy set. Langley [7], ha genericamente indicato che i primi dueapprocci possono essere genericamente indicati come sotto-classi della teoria dei fuzzy-sets.La fuzziness è una tipologia di incertezza soggettiva introdotta in maniera assiomatica daZadeh (1965). Successivamente, da tali concetti è stata sviluppata la Teoria della Credibilità che è un ramo della matematica che studia il comportamento dei fenomeni fuzzy. Ifondamenti di tale teoria sono stati introdotti da Liu e Liu [9], ma essa è stata recentementeformalizzata da Liu [12] nella sua opera: “Uncertainty Theory”.In dettaglio, la teoria sui fuzzy sets sembra aver guadagnato un posizione predominante pertrattare l’incertezza di tipo non probabilistico; in particolare l’ambiguità (ovvero la capacitàlimitata del linguaggio formale nella descrizione delle incertezze per risolvere problemi

ingegneristici), la vaghezza, (definizioni scorrette o mal poste di quantità che convertono uncontenuto informativo) e l’imprecisione (mancanza di conoscenza), sono strettamente legateal concetto di fuzziness che in questo senso culmina in una sovrapposizione con i concettioggettivi propri dell’approccio stocastico.

3 VARIABILI FUZZY

Sia un insieme non vuoto che rappresenta lo spazio di campionamento, e sia () l’insieme

di potenza di ; denotando con A un evento, Pos{ A} è un numero definito che indica la possibilità che questo evento accada. La misura di necessità di un insieme A (indicata come

Nec{ A}) è definita come l’impossibilità dell’insieme complementare Ac (pertanto lo spazio dicampionamento può essere definito come = A ∩ Ac). La credibilità di un evento fuzzy(indicata come Cr{ A}) è definita come la media tra il suo valore possibile ed il suo valorenecessario:

{ } { } Nec 1 Pos c A= − (1)

{ } { } { }(1

Cr Pos Nec2

) A= + A (2)

In più, ( , (), Pos) rappresenta lo spazio di credibilità. Una variabile fuzzy X può essere

quindi definita come una funzione definita partendo da uno spazio di possibilità ( , (),

Pos) a valori reali. In più è possibile definire dalla misura di possibilità la membershipfunction (MF) ( x) di una generica fuzzy-variabile X come segue [10]:

- 4 -



( ) ( ){ }Pos x X xμ θ θ = ∈Θ = ∈ x ℜ (3)

Da un punto di vista operativo, metodologie differenti possono essere adottate per ottenere leMF di un a variabile fuzzy. In particolare una variabile fuzzy X è discreta se e solo se ( x)assume valori non nulli in un insieme misurabile di punti, ed è detta continua se e solo se ( x)è una funzione continua. L’acquisizione di una MF è uno dei problemi dell’analisi strutturale(definita in letteratura come “knowledge acquisition”) nell’ambito della teoria dei fuzzy set.In generale è possibile affermare che non esiste un approccio unitario per la così definitafuzzificazione, ma procedure differenti possono essere adottate per una situazione specifica.Tali metodi possono essere diretti od indiretti partendo da metodi a “ single expert ” o“multiple experts” [5]. In questo documento si assume che la MF di una generica variabilefuzzy è nota: in altre parole si suppone che la procedura di acquisizione di conoscenza siastata effettuata in via preliminare. Pertanto, sia X una variabile fuzzy, allora l’insieme:

( ) { }{ },Pos X X α θ θ θ = ∈Θ ≥ α (4)

E’ l’-level set di X . In più da un punto di vista operativo, l’operazione di ottenere diversi -level set da una MF continua è chiamato -cut of ( x) o discretizzazione di una variabilefuzzy.

4 VALORE ATTESO DI UNA VARIABILE FUZZY

Sia X una variabile fuzzy con un’assegnata MF indicata con ( x). Allora valgono le seguentirelazioni:

{ } ( ) ( ){ }1

Cr 1 sup2 y x

X x x y xμ μ ≠

⎛ = = + − ∀ ∈ℜ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (5)

{ } ( ){ } ( ){ }1

Cr sup 1 sup

2 y x y x

X x y y xμ μ ≤ >

⎛ ≤ = + − ∀ ∈ℜ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (6)

{ } ( ){ } ( ){ }1

Cr sup 1 sup2 y x y x

X x y y xμ μ ≥ <

⎛ ≥ = + − ∀ ∈ℜ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (7)

Il valore atteso (se esiste) di una variabile fuzzy [9] è definito per mezzo della misura dicredibilità:

[ ] { } { }0

0

E Cr Cr X X s ds X s ds+∞

−∞

= ≥ − ≤∫ ∫ (8)

La definizione dell’operatore di “attesa fuzzy” è anche applicabile al caso di una variabilefuzzy di tipo discreto: considerando infatti la seguente MF:

( ) ( )

1 1

2 2

1 2

... 1...

m

m m

if x x

if x x x

if x x

μ

μ μ μ μ

μ

=⎧

⎪ =⎪= ∨ ∨⎨

⎪⎪ =⎩

μ ∨ = (9)

allora:

[ ]1

Em

i ii

X w x=

= ∑ (10)

In particolare, se x1,…, xm sono numeri distinti:

{ } { } { } {( })1 1 1 1

1max max max max

2i j j i j j i j j i j j i j m j m j m j m

w x x x x x x xμ μ μ μ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

= ≤ − < + ≥ − > x (11)

- 5 -





( ) ( ) ( )ln 1 ln 1C t t t t t = − − − − (17)

Se X è una variabile fuzzy discreta che assume valori in { x1, x2,…}:

[ ] {(1

H Cr i

i

X C X x∞

=

= ∑ })= (18)

ove C (t ) assume la stessa espressione in (17). In questo documento, l’equazione (16) o (18) sono adottate come misure convenzionali di fuzziness.La procedura di equivalenza entropica può essere effettuata partendo da una variabile fuzzy,dalla quale può essere ricavata una variabile normale equivalente garantendo appuntol’equivalenza dell’entropia. Frequentemente, si assume che la variabile normale equivalenteabbia valore della media pari a quello della variabile fuzzy con grado di appartenenza unitario[1]. L’entropia della variabile normale equivalente è data da:

(ln 2eq H )eπ σ = (19)

in cui σ è la deviazione standard della variabile normale equivalente. Per una variabile fuzzycon MF triangolare definita come segue:

, ,l c u z z z z =%

(20)l’espressione (14) fornisce:

2' 0.50 ln

u l

G z z

⎛ ⎞= − ⎜ −⎝ ⎠

⎟ (21)

La trasformazione quindi si basa sulla seguente uguaglianza:'eq H G= (22)

Per mezzo della (22) è possibile operare la procedura di trasformazione. Nel presentedocumento, secondo una direzione diversa dai riferimenti prima citati, l’espressione (22) èutilizzata per eseguire la trasformazione da variabile random a variabile fuzzy.

7 DEFINIZIONE DI UN’UNICA MF RAPPRESENTATIVA DI VARIE TIPOLOGIEDI INCERTEZZA

Come precedentemente esplicitato, lo scopo del presente lavoro è quello di ottenere un’unicaMF che rappresenti complessivamente l’incertezza presente in una tipica problematica diingegneria civile, quale quella della determinazione della resistenza a compressione delcalcestruzzo con metodiche di indagine di tipo non distruttivo, in cui siano presenti varietipologie di incertezza sia random che lessicale. Si riscontra la prima, perché le prove sonoripetute un numero di volte che raramente è rappresentativo e capace di caratterizzarecompiutamente la quantità in esame; pertanto una determinazione ben definita della resistenza

a compressione è di rado ottenibile. Per questo motivo si ricorre alla determinazione di mediae varianza della variabile in oggetto supponendo un’assegnata distribuzione di probabilitàdelle misurazioni. Spesso si ipotizza che tale distribuzione segua una legge normale la quale il

più delle volte è anche simmetrica: questa evenienza verrà considerata anche in questo lavoro.L’altra tipologia di incertezza è quella di tipo lessicale che si riferisce a giudizi di esperti iquali, sulla base della propria esperienza, possono individuare il valore presunto dellaresistenza a compressione. E’ chiaro che, come innanzi esplicitato, tali giudizi lessicali (che

possono essere: “un buon calcestruzzo”, “un calcestruzzo abbastanza resistente” ) vanno resimatematicamente trattabili con l’ausilio della teoria fuzzy. Pertanto, una volta individuatetutte le MF afferenti alla medesima problematica, le stesse debbono essere convertite inun’unica MF che inglobi e sia rappresentativa delle varie tipologie di incertezza. Un possibile

approccio che qui viene presentato, si basa sul metodo dei pesi in cui per ogni alpha-cut sivalutano i valori degli estremi dell’intervallo della MF risultante mediante una media pesata

- 7 -



in cui si assegna un peso più o meno maggiore a seconda che il grado della rappresentazionefuzzy sia più o meno attendibile. Precisamente, indicata con ( ) X μ la richiesta MF di unagenerica variabile fuzzy X i generici estremi dell’intervallo sono dati da:

,

j

k

N

j

l j

j

, k l x xα α ψ = ∑ (23)

,

j

k

N

j

u j

j

, k u x xα α ψ = ∑ (24)

Ove N j è il numero di valutazioni effettuate (ovvero di MFs che si intende combinare) perstimare la variabile in oggetto, mentre

k α indica il valore pertinente al generico -

cut; jψ rappresenta il generico peso attribuito alla singola MF, che dipende dalla affidabilità

che viene attribuita ad ogni singola prova; infine con , k

j

l x α e , k

j

u x α si indicano gli estremi

dell’intervallo di ogni MF da processare.

8 ESEMPIO NUMERICO

Come applicazione numerica si fa riferimento alle risultanze di 20 misurazioni non distruttivedella resistenza a compressione del calcestruzzo di un edificio a civile abitazione, ottenutetramite sclerometro. Per caratterizzare l’incertezza presente sulla sua determinazione siutilizza dapprima un approccio di tipo probabilistico puro; analizzando un totale di 20 battutesclerometri che si deducono media e varianza. Si assume quindi, come comunemente operatoin queste condizioni, che la loro distribuzione è di tipo normale. Per convertire tale variabilerandom in una variabile fuzzy è lecito utilizzare il principio dell’equivalenza entropica sopracitato, in cui si suppone che la media della distribuzione random coincida con il core della MF

da ottenersi e che, data la simmetria della distribuzione di probabilità, la MF sarà triangolare esimmetrica con asse di simmetria passante per il core. Dai dati in tabella 1 si ottiene che ivalor medi e di varianza sono rispettivamente [ ] 27.97

c E f = N/mm2 e

c f σ = 4.75 N/mm2

Utilizzando quindi la (22) si consegue la seguente MF :1

16.05 27.97 39.88c

f =% N/mm2.

A questo primo dato affianchiamo quindi il giudizio di un esperto che ha identifichi ilcalcestruzzo in esame con la definizione lessicale “abbastanza buono”; tale giudizio può

essere convertito in una variabile fuzzy avente la seguente MF triangolare:2

20 30 40c

f =%

N/mm2 , come da Figura 2.f c

10 3020 40 50

1

f c

Abbastanza buono

Molto buono

0.5

Figura 2. Membership functions della resistenza a compressione del clssecondo il giudizio lessicale di esperti.

- 8 -



È da precisare che tali MF assegnate ad ogni classe di calcestruzzo secondo una variabilelinguistica possono essere definite anche in relazione alla confidenza che l’esperto valuta, intermini non solo di core ma anche di ampiezza di supporto della MF. Allo stesso valore dicore possono essere associate differenti ampiezze del supporto, quindi differenti entropie (equalità) della MF in termini di precisione nella rappresentazione.

Infine una determinazione singola determinazione di tipo pull out porta ad un valore di 32 N/mm2. Tale valore non può essere preso tal quale, ma è lecito rappresentarlo come puramente fuzzy utilizzando una MF triangolare simmetrica con core pari al valore della prova e supporto pari alla massima oscillazione che essa può subire secondo l’esperienzadegli operatori e delle indicazioni del produttore dell’apparecchiatura. Quindi la variabile in

esame può essere data dalla seguente MF anch’essa triangolare: N/mm2 3

22 32 42c

f =%

Supponendo di assegnare alla MF ottenuta a partire da dati sperimentali un peso 1 0.6ψ = ,

ipotizzando quindi un grado di attendibilità abbastanza fondato, ed alle altre due un peso

2 3 0.2ψ ψ = = , mediante la (23) e la (24) potremo ottenere la MF complessiva che, pertanto,

sarà la seguente 23.23 33.78 44.33 final

c f = N/mm2. Tutte le MFs ottenute sono mostrate in

figura 3.

9 CONCLUSIONI

La gestione contemporanea di dati affetti da differente livello di affidabilità è un problemaaperto nelle questioni inerenti la valutazione delle caratteristiche dei materiali anche con

prove non distruttive. Peraltro il principale limite in queste situazioni è rappresentato dallanon omogenea rappresentazione matematica di tali dati, che quindi difficilmente possonoessere utilizzati efficacemente per la determinazione delle caratteristiche indagate. Nella

presente memoria si presuppone di utilizzare un metodo ibrido per convertire, su baseentropica, tutte le informazione in forma fuzzy, e poi pesarle secondo la credibilità che ognisingola prova ha rispetto all’operatore. Infine si ottiene una membership function che è ingrado di rappresentare tutte le informazioni resosi disponibili, e quindi dal punto di vistainformatico capace di massimizzare la qualità della sua rappresentazione.

15 20 25 30 35 40 450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f c [N/mm

2 ]

µ ( f

c )

Figura 3. Membership functions della resistenza a compressione del cls: (rossa – sperimentale, blu -derivante da giudizio di un esperto, magenta - fuzzy pura, verde - risultante).

- 9 -



10 RINGRAZIAMENTI

Il presente lavoro è stato sviluppato all’interno del Progetto di ricerca triennale 2005-2008 –DPC/RELUIS Linea 2 – MND.

11 BIBLIOGRAFIA

[1] Chakraborty, S., Sam, P (2007). “Probabilistic safety analysis of structures under hybriduncertainty”, Int. J. Numer. Meth. Engng ; Vol. 70, John Wiley and Sons

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[3] Dubois, D. Prade, H. (1980). “Fuzzy sets and systems: theory and applications”, Mathematics in

science and engineering, Academic Press, San Diego

[4] Haldar, A., Reddy, RK., (1992). “A random-fuzzy analysis of existing structures”, Fuzzy Sets

and Systems 48, 201-210.[5] Klir GJ. (2001). “Uncertainty and information: foundations of generalized information theory”.

Hoboken: Wiley-Interscience;

[6] Koduru, S.D., Haukaas, T. (2006). “Uncertain reliability index in finite element reliabilityanalysis”, International Journal of Reliability and Safety, Vol. 1, Nos. ½

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[8] Liu B. (2002) “Theory and practice of uncertainty programming“. Physica- Verlag

[9] Liu B, and Liu YK, (2002). “Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected valuemodels”, Transactions on Fuzzy Systems ,Vol.10, No.4, IEEE

[10] Liu, B., (2004). “Uncertainty theory - An Introduction to its Axiomatic Foundations”, Springer-Verlag.

[11] Liu, B., (2007a). “A survey of entropy of fuzzy variables”, Journal of Uncertain Systems, Voln.1, 4-13.

[12] Liu B. (2008) : “Uncertainty theory”, 3rd edition, available on http://osc.edu.cn/liu/ut.pdf

- 10 -

http://osc.edu.cn/liu/ut.pdf






STRUTTURE ESISTENTI IN CEMENTO ARMATO:

CONTROLLI E VERIFICHE MEDIANTE TECNICHE NON DISTRUTTIVE

Renato S. Olivito a, Giuseppe Spadea a,A. Carrozzini b, Alessandro R. Spadafora c

a UNICAL – Dip. di Strutture, Rende (CS)

[email protected], [email protected] Collaboratore esterno, Scalea (CS), [email protected]

c Collaboratore esterno, Cosenza (CS), [email protected]

ABSTRACTPer una corretta valutazione della vulnerabilità sismica di strutture esistenti è necessarioconoscere la caratteristiche meccaniche dei materiali con cui esse sono state realizzate. Nel

presente lavoro, oltre a essere sinteticamente descritte ed esaminate le principali e più diffuse prove di tipo non distruttivo (sclerometro, ultrasuoni, metodo combinato SONREB), siesaminano i risultati ottenuti da un’estesa campagna di prove sperimentali condotte sustrutture esistenti in c.a. di recente e meno recente data di costruzione, al fine di valutare

l’affidabilità dei metodi semplici di controllo della resistenza effettiva del calcestruzzo.Vengono riportati, per esigenze di sintesi, i risultati di prove, semi distruttive e non distruttive,eseguite su due strutture esistenti e della loro successiva elaborazione al fine delladeterminazione del valore della resistenza del calcestruzzo in situ. I valori ottenuti sonoriportati in forma grafica e tabellare al fine di poterne effettuare un confronto e un’opportunaanalisi critica.

PAROLE CHIAVECalcestruzzo – metodi non distruttivi – vulnerabilità sismica.

1 INTRODUZIONE

Nell’ambito dell’Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n° 3274 del 20 marzo2003 e ss.mm.ii. viene introdotto per la prima volta un capitolo specifico che affronta la

problematica dell’analisi sismica delle strutture esistenti e del progetto del loro adeguamento.In questo ambito, particolare importanza ricopre la fase di conoscenza della struttura esistentesia in termini di caratteristiche geometriche che di proprietà meccaniche dei materiali. Unruolo fondamentale è quindi svolto dalle indagini sui materiali e, in particolare per gli edificiin cemento armato, risulta tanto importane quanto complesso stimare in modo affidabile manon eccessivamente oneroso la resistenza a compressione del calcestruzzo in situ. La stima

più o meno accurata della resistenza del calcestruzzo concorre a ottenere un opportuno livellodi conoscenza della struttura da cui dipende il fattore di conoscenza della struttura da cui


- 11 -



dipende il fattore di confidenza da adottare nelle verifiche di sicurezza. Per ciò che riguarda lascelta delle metodologie di indagine da adottare sono diverse quelle che permettono diacquisire informazioni identiche dal punto di vista qualitativo. I motivi che spingonoall’utilizzo di una metodologia rispetto a un’altra dipendono da valutazioni su alcuni aspettiquali i costi delle prove, i danni che la loro esecuzione provoca sulla struttura, i tempi di

esecuzione, la precisione connessa a ciascun tipo di prova in confronto con quella richiestadall’indagine in corso. A tal riguardo il carotaggio, prova di tipo semidistruttiva, consentesicuramente la migliore stima della resistenza della struttura in situ ma, per contro, causa idanni maggiori, è lento e maggiormente costoso. Esso va comunque ritenuto, in molti casi,essenziale per poter effettuare la calibrazione delle misure ottenute con metodologie di tiponon distruttivo da utilizzare in modo più esteso nelle indagini, operazione che perquest’ultime è sicuramente molto più complessa e, nello stesso tempo, indispensabile. In tuttele prove non distruttive, quelle cioè per cui la misura della resistenza è indiretta, è infattinecessario procedere a operazione di calibrazione, ossia a collegare il risultato della misuraalla caratteristica oggetto dell’indagine. Le prove sclerometriche e ultrasoniche, ad esempio,non producono alcun tipo di danno, sono economici e rapidi, ideali per stime di omogeneità e

comparative, ma la loro calibrazione in termini della resistenza assoluta pone diversi problemi. In quest’ottica, il presente lavoro pone l’attenzione su alcuni aspetti riguardantil’interpretazione delle prove sui calcestruzzi e la loro significatività, con maggioreapprofondimento sulle prove di tipo non distruttivo.

2 I METODI NON DISTRUTTIVI

L’Ordinanza n° 3274 e ss.mm.ii. ammette l’utilizzo di metodi di indagine non distruttivi didocumentata affidabilità, che non possono essere impiegati in completa sostituzione di quellisemi distruttivi, ma sono consigliati a loro integrazione, purché i risultati siano tarati su quelli

ottenuti con prove distruttive; più precisamente, essa consente la sostituzione di non più del50% di prove distruttive, con un più ampio numero, almeno il triplo, di prove non distruttive,singole o combinate, fermo restando la necessaria taratura su quelle distruttive.Tra i metodi di prova non distruttivi più diffusi per la stima della resistenza a compressionedel calcestruzzo ricordiamo il metodo sclerometrico, il metodo ultrasonico e il metodocombinato SONREB.

2.1 Prove sclerometriche

La norma che regolamenta il loro utilizzo è la UNI EN 12504-2 (“ Prove sul calcestruzzo nelle

strutture – Prove non distruttive – Determinazione dell’indice sclerometrico”). Lo strumentocon cui vengono eseguite è lo sclerometro, costituito da un maglio di acciaio caricato a mollache, quando viene rilasciato, colpisce un pistone di acciaio a contatto con la superficie delcalcestruzzo (Figura 1). La distanza di rimbalzo del martello di acciaio dal pistone forniscel’indice di rimbalzo S che può correlarsi alla resistenza del calcestruzzo in esame mediantecurve caratteristiche dello strumento (Figura 2). La norma prescrive di utilizzare un minimo dinove misure per ottenere una stima affidabile dell’indice sclerometrico assicurandosi che ladistanza tra due punti di impatto sia non meno di 25 mm e che nessuno sia a meno di 25 mmda un bordo. L’indice di rimbalzo S per ciascun punto di prova è pari alla media dei singolivalori misurati inclusi nell’intervallo 0,8 Im – 1,2 Im , dove Im è la media di tutte le misurerelative alla zona indagata. La prova sclerometrica è utile a fornire un indice relativo diconfronto piuttosto che esprimere una grandezza assoluta del calcestruzzo come la sua

resistenza. Per tale motivo, al fine di stimare in situ la resistenza del calcestruzzo si preferisce

- 12 -



correlare i risultati di tale prova con quelli relativi ad altre prove non distruttive e in particolare le ultrasoniche.

Figura 1. Esecuzione delle battute. Figura 2. Curve caratteristiche dello strumento.

2.2 Prove ultrasoniche

La loro esecuzione è normata dalla UNI EN 12504-4 “Prove sul calcestruzzo nelle strutture -

Parte 4: Determinazione della velocità di propagazione degli impulsi ultrasonici”

L'apparecchiatura di prova consiste in un generatore di impulsi elettrici, una coppia ditrasduttori, un amplificatore e un dispositivo elettronico per la misurazione dell'intervallo ditempo che intercorre tra la partenza di un impulso generato dal trasduttore emittente e il suoarrivo al trasduttore ricevente (Figura 3a). La prova consiste nel misurare il tempo impiegatoda onde soniche di adeguata frequenza (40-120 KHz) ad attraversare un mezzo compreso tradue trasduttori collocati ad una data distanza, ricavandone la velocità di propagazione. Ilsistema di misura è corredato da un pc per l’elaborazione dei dati sperimentali nella forma piùidonea e desiderata in tempo reale, e da un dispositivo di stampa per la restituzione in formagrafica. Le letture possono essere effettuate in diversi modi legati alla posizione relativa deidue trasduttori, privilegiando quelle in trasparenza, cioè con i due trasduttori disposti incontrapposizione e perfettamente allineati su due superfici tra loro parallele (Figure 3b-3c).

1

trasmittente ricevente

F

segnale

trigger

2

3

5 6 4

1- Generatore di impulsi elettrici;2- Trasduttori;3- Amplificato e dispositivo per

misura intervallo di tempo;4- Personal Computer;5- Elemento sottoposto a prova;6- Dispositivo di stampa.

a)

c)b)

Figura 3. a) Apparato di misura; b) Esecuzione delle prove; c) Tecniche ultrasoniche.

2.3 Metodi combinati

Impiegano i risultati forniti da due o al massimo tre prove non distruttive distinte erappresentano un utile strumento per la valutazione in situ della resistenza del calcestruzzo insostituzione delle indagini semi distruttive. Il loro diffuso utilizzo è dovuto principalmente alfatto che limitano l’effetto “negativo” di alcuni fattori esterni sulla stima della resistenza delcalcestruzzo, poiché le grandezze impiegate nelle correlazioni sono da essi influenzate inmodo opposto e quindi tendono a compensarsi. Altri motivi che inducono al loro utilizzo sonol’economicità e la poca invasività sulla struttura, con limitata compromissione della resistenza

- 13 -



degli elementi strutturali. In particolare, il metodo SONREB (SONic + REBound, cioèultrasuoni + sclerometro) utilizza l’indice sclerometrico S e la velocità ultrasonica V. Laresistenza stimata con il metodo SONREB è, in forma generale, fornita dalla relazione:

cb

SONREBc V S a R ⋅⋅=, (1)

in cui le costanti a, b e c possono ricavarsi nel caso in esame mediante il metodo dei minimiquadrati correlando la resistenza a compressione delle carote prelevate in situ, con l’indice dirimbalzo medio S e la velocità ultrasonica media V, entrambi relativi alla zona di estrazionedella carota. In letteratura sono presenti numerose espressioni ricavate da studi e ricerche. Trale più utilizzate risultano le seguenti:

(Giacchetti – Laquaniti, 1980) (2)6 ,24 ,111

c V S 10695 ,7 R ⋅⋅⋅= −

(Di Leo – Pascale, 1994) (3)446 ,2058 ,19

c V S 102 ,1 R ⋅⋅⋅= −

(Gasparirik, 1992) (4)85 ,1246 ,1c V S 0286 ,0 R ⋅⋅=

in cui: Rc è la resistenza a compressione del cls stimata con il metodo Sonreb;S è l’indice sclerometrico;V è la velocità ultrasonica.

2.4 Prove di compressione su carote

Il carotaggio consiste nel prelievo di campioni cilindrici attraverso l’utilizzo di una carotatricea corona diamantata (Figura 4). La norma di riferimento UNI EN 12504-1 “Prove sul

calcestruzzo nelle strutture - Carote - Prelievo, esame e prova di Compressione” . Per ogni

carota estratta devono essere noti, il diametro, la lunghezza, l’eventuale presenza di armaturae ul peso della carota asciutta per la determinazione del relativo peso specifico. La resistenzamisurata sulle carote può spesso risultare differente a quella accertata attraverso un provino \’standard, ciò a causa del fatto che tale resistenza è influenzata dalle dimensione della carota(altezza e diametro), dalla differente stagionatura tra provino standard e carota, dall’eventuale

presenza di armatura, dalle diverse modalità di preparazione e stagionatura, dal distrurbo presente in fase di prelievo del campione. Dai valori di resistenza a compressione Rcar ricavatidalle prove (Figura 5), si può stimare la resistenza cubica Rcub del calcestruzzo in-situattraverso l’utilizzo di diverse formulazioni presenti in letteratura, tra le quali si ricordano:

car cub RC R ⋅⋅=ϕ (Cestelli Guidi, 1981) (5)

car cub R BS R ⋅⋅=ϕ (British Standard, 1983) (6)

λ

ϕ 1

1,5

R K R car

cub

+⋅⋅= (Concrete Society, 1987) (7)

car d adia D / hcub R )C C C C ( R ⋅⋅⋅=

C dia è un coefficiente correttivo relative al diametro;

(Masi, 2005) (8)

dove: Rcub è la stima della resistenza cubica del calcestruzzo; è un coefficiente per passare dalla resistenza cilindrica a quella cubica;

BS , , C e C h/D sono dei fattori che tengono conto della snellezza della carota; K è un fattore che tiene conto dell’inclinazione della perforazione;

- 14 -



C a è un coefficiente che tiene conto della presenza di armature;carota.

Figura 4. Estrazione carota Figura 5. Stima della resistenza secondo le diverse

2.5 Programma sperimentale

sultati delle prove sui calcestruzzi e della loro significatività

2.5.1

Struttura n°1: ponte nel Comune di Montalto (CS) ituita da un impalcato realizzato

2.5.1.1 Risultati e confronto dei valori ottenuti delle prove

le resistenze cubiche a partire da

abella 1. Resistenze cubiche ottenute dalle prove SEMI-DISTRUTTIVE

Punto

Resistenza carota f car (N/mm2) Resistenza cubica Rc (N/mm

2)

C d è un coefficiente correttivo che tiene conto del disturbo sulla

19,00

19,50

20,00

20,50

21,00

21,50

22,00

16,00 16,40 16,80 17,20 17,60 18,00

Resistenza Carota (N/mm2)

R e s i s t e n z a c u b i c a ( N / m m 2 )

British Standard (BS)

Concrete Society

Cestelli Guidi

A. Masi

e rottura per compressione formulazioni.

Ai fini dell’interpretazione dei risono stati esaminati nel presente lavoro, per esigenze di sintesi, i risultati di una serie dicampagne di prove compiute su due strutture presenti nel territorio cosentino: 1) un edificio inc.a. per civile abitazione; 2) le spalle di un ponte. Nelle pagine seguenti sono riportati irisultati delle prove eseguite, il confronto degli stessi e la loro elaborazione statistica.

La struttura presenta un’unica campata di mt 22.00 ed è costsu travi in precompresso poggiante alle estremità su spalle in c.a. Le prove eseguite hannointeressato queste ultime e sono state del tipo semi-distruttive (n° 6 carotaggi) e nondistruttive (n° 6 sclerometriche e n° 6 ultrasoniche su carote).

I valori sperimentali ricavati sono stati elaborati valutandoquelle ottenute dallo schiacciamento in laboratorio delle carote estratte, con l’utilizzo delleformule teoriche sopra indicate (5, 6, 7 e 8), e quelle cubiche ottenute applicando il metodoSONREB (2, 3 e 4) e stabilendo una correlazione, con applicazione del metodo dei minimi

quadrati, tra le resistenze delle carote e i parametri (indice di rimbalzo medio e velocitàultrasonica) ottenuti dalle prove non distruttive (1).

T

Schiacciamento in laboratorio

Formule teoriche

British Standard Concrete Society Cestelli Guidi Masi

S1 19,80 24,73 24,75 23,86 23,70S2 21,30 26,60 26,55 25,59 25,49

S3 20,20 25,22 25,25 26,55 24,14

- 15 -



S4 18,60 23,20 23,09 22,26 22,17

S5 21,70 26,75 27,13 29,88 24,74

S6 20,80 25,97 25,90 24,96 24,86

Tabella 2. Resistenze cu ute dalle prove N STRUTTIV

Punto

Resistenza cubica (N/mm2)

biche otten ON-DI E

Battute Sclerometriche

Metodo SONREB

Giacchetti -Laquaniti Di Leo - Pascale Gasparirik Correlazione

S1 25,80 19,02 25,95 24,11 24,89

S2 24,00 19,89 27,51 24,51 25,00

S3 26,00 20,35 27,55 25,41 25,13

S4 20,00 15,02 21,55 19,69 24,11

S5 23,00 13,37 19,00 18,41 23,86

S6 20,10 16,29 23,22 20,91 24,31

stenz

2.5.1.2 Elaborazione

Distribuzione normale d Gauss

le, o distribuzione nor uss, è definita dalla

Figur onfronto tra le resi

a 6. C

statistica

i

e ottenute co ogie. n le due metodol

male o di GaLa densità di probabilità normafunzione:

2

2

11

)( ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

⋅= σ

μ x

e x f 2 ⋅⋅ π σ

+∞<<∞− (9)

veod e σ sono rispettivamente il valore medio e lo edio della variabilescarto quadratico maleatoria x d

nfidenza.

ampioni ( <30), nell’ipotesi che la popolazione da cui si estrae il campione

istribuita secondo la distribuzione normale.

Co

Per piccoli c n

abbia distribuzione normale, calcolati i valori della media x e dello scarto quadratico medio s del campione, si ottiene la stima per intervallo per la media , con probabilità 1-α , o con

rado di fiducia ( ) %1001 ⋅−g α . Si può in questo modo determi are l’intervallo di co finenza

per la media

n n

μ , per piccoli campioni, con grado di fiducia ( ) %1001 ⋅−α :

n

s st x

nt x ⋅+<<⋅−

22

α α μ (10)

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

Identificativo punto di prova

R e s i s t e n z a c u b i c a R c ( N / m m

2 )

Resistenza cubica media

Media SonRebSperimentale

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6

Identificativo punto di pro va

R e s i s t e n z a c u b i c a R c ( N / m m 2 )

British Standard (BS) 1881 Part. 120

Concrete SocietyCestelli Guidi

Masi

- 16 -



Dove con2

α t indica il valore critico della distribuzione corrispondente al grado di fiducia

considerato.

Per un confronto dei risultati sperimentali si sono rappresentate, attraverso le distribuzioni

normali, le seguenti quantità:1- gli scarti Δ = R c-R sonreb tra le resistenze ottenute dalle prove semi-distruttive (con

applicazione delle (5), (6), (7) e (8)) e quelle ricavate dalle prove non distruttive (conutilizzo delle (2), (3) e (4)) (figura 7);

2- i valori di resistenza ricavati dalle prove semi-distruttive e non distruttive (figura 8).Si è inoltre stimato il valore della resistenza in situ del calcestruzzo come valore medio dellestime ricavate con le diverse formulazioni SONREB determinando valore medio R m e scartoquadratico medio s. Ipotizzando una distribuzione normale del campione di dati è stato

possibile rappresentare l’intervallo di confidenza per la media R m adottando un grado difiducia del 95% (livello di significatività del 5%) in relazione ad un campione di ampiezza n(Figure 12a – 12b).

0,00

0,10

0,20

0,30

-10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

Scostamento Δ (N/mm

2

)

Formula di R. Giacchetti, L. Laquaniti

Formula di A. Di Leo, G. Pascale

Formula di J. Gasparirik

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

10 15 20 25 30 35

Resistenza (N/mm2)

Stima Rc

Stima Sonreb

Sonreb Sperimentale

Figura 7. Distribuzioni normali degli scostamentitra i valori di resistenza ottenuti secondo le duetipologie di prove (semi e non distruttive).

Figura 8. Distribuzioni normali dei valori diresistenza ottenuti secondo le due tipologiedi prove (semi e non distruttive).

2.5.2 Struttura n°2: struttura intelaiata in c.a. nel Comune di Zumpano (CS)

La struttura è a un solo livello con copertura a terrazza e pianta a forma. Le prove eseguitesono state del tipo non distruttive (sclerometriche e ultrasoniche sugli elementi strutturali) ehanno interessato n° 3 pilastri, n° 1 trave di copertura e n° 2 travi portanti la scala.

2.5.2.1 Risultati e confronto dei valori ottenuti dalle prove

Lo studio eseguito è consistito nel confrontare le resistenze in situ stimate utilizzando ilmetodo SONREB con le resistenze ottenute dallo schiacciamento in laboratorio dei provini(cubetti 15x15x15) confezionati durante l’esecuzione dei lavori

Tabella 3. Resistenze cubiche ottenute dalle prove a compressione sui cubetti

Elementi Pilastri Travi+Solai Scala

R A 42,9 42,7 36,9 N/mm2 resistenza del provino A

RB 41,1 44,3 37,4 N/mm2 resistenza del provino B

Rm 42,0 43,5 37,2 N/mm2 resistenza media del prelievo

- 17 -



Tabella 4. Resistenze cubiche ottenute dalle prove NON-DISTRUTTIVE

Punto

Resistenza cubica (N/mm2)

Battute Sclerometriche

Metodo SONREB

Giacchetti -Laquaniti Di Leo - Pascale Gasparirik

P1/a 37,50 37,30 46,21 41,14

P1/b 37,30 35,97 44,72 40,04

P2 35,70 32,90 41,59 37,17

P3/a 39,20 38,61 47,19 42,64

P3/b 37,20 36,39 45,24 40,34

T1 38,00 43,49 53,20 46,04

T2 43,10 42,80 50,74 46,98

T3 36,60 41,95 51,94 46,44

Figura 9. Confronto tra le resistenze ottenute con le due metodologie.

2.5.2.2 Elaborazione statistica

Figura 10. Distribuzioni normali degli scostamentitra i valori di resistenza ottenuti secondo le duetipologie di prove (semi e non distruttive).

Figura 11. Distribuzioni normali dei valori diresistenza ottenuti secondo le due tipologie diprove (semi e non distruttive).

0,00

0,10

0,20

0,30

-15,0 -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0

Scostamento Δ (N/mm2)

Formula di R. Giacchetti, L. Laquaniti

Formula di A. Di Leo, G. Pascale

Formula di J. Gasparirik

0,00

0,10

0,20

30 35 40 45 50 55

Resistenza (N/mm2)

Stima Rc

Stima Sonreb

Sonreb Sperimentale

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6 7 8

Identificativo punto di prova

R e s i s t e n z a c u b i c a R c ( N / m m

2 )

Resistenza cubica media

Media SonReb

Sperimentale

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8Identificativo punto di prova

R e

s i s t e n z a c u b i c a R c ( N / m m

2 )

Formula di Giacchetti, Laquaniti

Formula di Di Leo, Pascale

Formula di Gasparirik

Sperimentale

- 18 -



10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20

N° Campioni

R e s i s t e n z a

( N / m m

2 )

Confidenza

Resistenza media

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20

N° Campioni

R e s i s t e n z a ( N

/ m m

2 )

Confidenza

Resistenza media

Figura 12.

a) b)

a) Stima resistenza media del calcestruzzo della struttura n°1;b) Stima resistenza media del calcestruzzo della struttura n°2.

3 CONCLUSIONI

Per le strutture in c.a. esistenti risulta di fondamentale importanza stimare in modo attendibilela resistenza del calcestruzzo. Questa può utilmente e in modo affidabile essere stimataattraverso indagini distruttive e semi distruttive. Ciò non permette però di esimersi dallostabilire per ogni struttura analizzata dei criteri di modalità di indagine ed interpretazione deirisultati. I casi proposti in questo lavoro presentano dei risultati diversi tra loro. Nel primocaso la resistenza del calcestruzzo in situ risulta sottostimata dal metodo SONREB mentre nelsecondo caso si ha una sovrastima di tale resistenza. Ciò conferma l’importanza di un livello

di conoscenza della struttura elevato al fine di minimizzare le incertezze sulla stima dellaresistenza in situ. Inoltre, dall’elaborazione dei dati relativi alle formulazioni SONREB presenti in letteratura si ha conferma della necessità di determinare una correlazioneSONREB propria della struttura indagata, realizzando in tal modo una stima che possa portaread un opportuno livello di conoscenza della struttura da cui dipende il valore del fattore diconfidenza da adottare nelle verifiche di sicurezza.

4 RINGRAZIAMENTI

Questo lavoro è stato finanziato nell’ambito del Progetto ReLUIS 2005-08, Linea 2, Obiettivo2.1 “Metodologie non distruttive per la conoscenza delle strutture esistenti”, CoordinatoriProff. R.S. Olivito e G. Spadea – Dipartimento di Strutture – Università della Calabria.

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- 19 -



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distruttive”, Il Giornale delle Prove non Distruttive Monitoraggio Diagnostica 1/2005.CEN –European Committee for Standardization (2005). “Prove sul calcestruzzo nelle strutture – Prove

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- 20 -




INDAGINI SPERIMENTALI

PER LA STIMA DELLA RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO IN-SITU

BASATA SU METODI DISTRUTTIVI E NON DISTRUTTIVI

Angelo Masi a, Marco Vona a, Domenico Nigro a, Maurizio Ferrini b

a DiSGG, Università degli studi della Basilicata, [email protected], [email protected], [email protected]

b Servizio Sismico, Regione Toscana, Firenze, [email protected]

ABSTRACTLa resistenza a compressione del calcestruzzo, la cui stima è tecnicamente difficile edeconomicamente dispendiosa, ha un ruolo cruciale sulle prestazioni delle strutture in c.a.. Perstimare tale resistenza possono essere molto utili metodi di indagine non distruttivi (PND). Il

punto critico è la definizione della relazione esistente tra i risultati forniti da tali metodi e laresistenza in situ, basata su prove distruttive (PD) ossia ottenuta da carote estratte dall’edificioin esame. Ancora, va rilevato che pur se le metodologie esistenti cercano di portare in conto inmodo semplice i fattori che influenzano la stima della resistenza in situ mediante carotaggio,anche queste prove sono affette da numerose incertezze. In tal senso, negli ultimi anni

un’ampia attività di ricerca è stata effettuata presso l’Università della Basilicata al fine di perfezionare le procedure per la stima della resistenza del calcestruzzo in situ. I risultatisperimentali ottenuti su un consistente numero di elementi strutturali, estratti da edificiesistenti, sono stati utilizzati per definire idonee correlazioni tra i valori di resistenza ottenuticon le PD e quelli delle PND e per valutare l’effettiva dispersione e variabilità della resistenzadel calcestruzzo nell’edificio e nei singoli elementi strutturali.

PAROLE CHIAVEEdifici esistenti, cemento armato, valutazione, carotaggi, prove non distruttive.

1 INTRODUZIONE

L’importanza delle indagini in situ è stata sottolineata dalle normative tecniche nazionali edinternazionali degli ultimi anni (es. OPCM3274 2003, CEN 2004) e confermata dalla recentenormativa (NTC 2008), che hanno introdotto forti elementi di novità nella valutazione dellavulnerabilità sismica degli edifici esistenti. Infatti, in tali codici si è affermato un principionuovo per il mondo professionale italiano che, in netta rottura con il passato, prevede come

principio fondamentale per la valutazione di sicurezza e per la successiva sceltadell’intervento sugli edifici esistenti, l’obbligo di condurre indagini finalizzate a caratterizzarela struttura dal punto di vista delle caratteristiche dei materiali e dei dettagli costruttivi. In tale

ambito notevole importanza ha l’individuazione delle proprietà meccaniche del calcestruzzoin situ ed, in particolar modo, della sua resistenza a compressione. Tali proprietà influenzano


- 21 -



in modo determinante sia la resistenza dei singoli elementi strutturali sia il comportamentodella struttura nel suo insieme, nonché le caratteristiche di durabilità della stessa. Lemetodologie di indagine per la determinazione delle caratteristiche di resistenza delcalcestruzzo possono essere di tipo distruttivo e non distruttivo. Molti studi e sperimentazionihanno evidenziato la variabilità dei risultati ottenuti sia dalle prove di tipo distruttivo (PD) che

non distruttivo (PND). Va ricordato che le PND, stimando in modo indiretto le proprietàmeccaniche del calcestruzzo, sono condizionate da numerosi fattori ed il loro utilizzoesclusivo determina risultati poco affidabili (Masi 2005). Per correlare correttamente i risultatidelle PND alla resistenza in situ sono necessarie anche PD (carotaggi). D’altra parte varilevato che anche la stima basata sui carotaggi è affetta da numerose incertezze legate allemodalità ed al punto di prelievo nell’ambito degli elementi strutturali ed alle caratteristichedel calcestruzzo stesso. In tale ambito, negli ultimi anni molti sforzi sono stati compiuti dairicercatori del DiSGG dell’Università della Basilicata al fine di perfezionare le procedure perla stima della resistenza del calcestruzzo in situ, con particolare riferimento a quello di scarsaqualità. In altri lavori (es. Masi et al. 2007a), sono già state individuate le migliori correlazionitra PND e PD indagando sulle proprietà del calcestruzzo costituente alcuni elementi strutturali

di edifici esistenti progettati per soli carichi verticali. L’ampia disponibilità di datisperimentali ha permesso di valutare l’effettiva variabilità della resistenza del calcestruzzo inun intero edificio e nei singoli elementi strutturali.In continuità con gli studi già effettuati, nel presente lavoro vengono illustrati i risultati delleindagini condotte su alcuni pilastri provenienti da un edificio esistente. Lo studio di talielementi strutturali non solo ha fornito ulteriori elementi utili ad una corretta pianificazionedelle indagini, consentendo di ottimizzare l’impiego delle risorse necessarie, ma è

propedeutico ad una successiva sperimentazione finalizzata a valutare l’influenza deicarotaggi sulla resistenza degli elementi indagati.L’attività sperimentale illustrata in questo lavoro si inserisce in un più ampio programma diricerca nell’ambito della Linea 2 del progetto DPC/Reluis 2005–2008 ovvero il task Metodi

Non Distruttivi (MND) finalizzato a mettere a punto criteri e metodi per una stima affidabiledella resistenza del calcestruzzo, da adottare nella valutazione, che tengano conto delle cause

principali di variabilità delle proprietà meccaniche nella struttura in-situ. Il task MND operain stretta sinergia con altri task della Linea 2 ed in particolare con il task FC il cui obiettivo

principale è quello di mettere a punto una metodologia Bayesiana per la calibrazione deiFattori di Confidenza basata sui risultati di indagini distruttive e non distruttive.

2 LA SPERIMENTAZIONE

Già in campagne sperimentali descritte in precedenti lavori (Masi et al. 2005, 2007a, Masi e

Vona 2007) si è evidenziata una consistente variabilità dei valori misurati all’interno deisingoli elementi e tra un elemento e l’altro di uno stesso edificio. In particolare, su 4 elementitrave estratti dalla Scuola Media “Fantoni” di Fivizzano, la cui struttura fu progettata per solicarichi verticali, è stata eseguita un’ampia campagna di indagini, non distruttive e distruttive,che consentisse di individuare l’andamento della resistenza a compressione del calcestruzzolungo gli elementi con l’obiettivo anche di valutare se, ed in quale misura, le condizioni difunzionamento dell’elemento strutturale potessero aver influito sulle resistenze stimatelocalmente. Gli studi effettuati, oltre che confermare la spiccata variabilità nei valori divelocità ultrasonica misurata con il metodo per superficie (valori non riportati nel presentelavoro per esigenze di sintesi) causata dalla microfessurazione e dallo stato di degradosuperficiale del calcestruzzo, hanno evidenziato una notevole variabilità anche nelle resistenzevalutate sulle carote estratte, risultato che pone rilevanti problemi nella definizione dellaresistenza di calcolo da adottare nella valutazione delle strutture esistenti. Inoltre, si è

- 22 -



evidenziato che adottando la procedura proposta in (Masi 2005) per correlare i risultati dellePND con le resistenze fornite dai carotaggi si perviene ad una stima della resistenza in-situdecisamente migliore rispetto ad altri metodi forniti in letteratura. Fondamentale appare, inogni caso, il programma di campionamento ossia la scelta del numero e della localizzazionedei punti di misura ed estrazione.

Nel presente studio, in continuità con gli studi effettuati, sono illustrati i risultati dellesperimentazioni condotte sui 10 pilastri estratti dal citato edificio scolastico di Fivizzano. Perquanto riguarda le caratteristiche dimensionali e di armatura si rimanda a (Masi et al. 2007a).In funzione delle loro dimensioni gli elementi sono stati suddivisi in due gruppi. Per i pilastridel primo gruppo (figura 1) le indagini sui materiali sono propedeutici ad una sperimentazionesuccessiva finalizzata a valutare l’effetto dei carotaggi sulla resistenza a compressione dei

pilastri, pertanto, su tali elementi, è stata prelevata una sola carota. Sul secondo gruppo (figura2) è stato invece realizzato il prelievo di un più ampio numero di carote per ciascun elementoal fine di valutare la variabilità della resistenza del calcestruzzo lungo l’altezza.

Pilastro

n 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

7

8

9

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11

3

4

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6

1

2

1

2

3

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5

6

7

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9

10

Carotaesistente

1

2

3

4

5

6

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1

2

3

4

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2

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10

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12

1

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4

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6

7

8

9

10

Carotacorretta

Carota

Carota

Carota

Pilastro

n 2

Pilastro

n 4

Pilastro

n 5

Pilastro

n 9

Carota

Figura 1. Predisposizione dei reticoli di prova e localizzazione dei carotaggi sui pilastri del I gruppo.

1

2

3

4

5

6

7

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10

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1

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7

1

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6

7

8

9

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

C1

C2

C3

Pilastro

n 3

Pilastro

n 6

Pilastro

n 7

Pilastro

n 8

Pilastro

n 10

Figura 2. Predisposizione dei reticoli di prova e localizzazione dei carotaggi sui pilastri del II gruppo.

Per entrambi i gruppi sono state eseguite numerose PND misurando la velocità ultrasonica pertrasparenza V e l’indice sclerometrico S, quando le condizioni di degrado superficiale delcalcestruzzo lo hanno permesso. Preliminarmente, su tutti gli elementi, è stata eseguitaun’ampia indagine pacometrica volta a determinare la posizione delle barre di armatura lungotutto l’elemento strutturale che consentisse la predisposizione di un reticolo per l’esecuzionedelle misure compatibile con la posizione delle armature longitudinali e trasversali. I risultatidelle PD e PND condotte su entrambi i gruppi sono riportati nelle tabelle 1 e 2. I valori di Ved S riportati sono relativi al punto del pilastro dal quale è stato poi estratta la corrispondente

carota.

- 23 -



Tabella 1. Risultati delle prove distruttive e non distruttive sui pilastri del I gruppo.

N°Pil

Pos.Carota

D H PS V S f car

[mm] [mm] [kg/m3] [m/s] [MPa]

1 Testa 100 202 2080 2989 - 18.50

2 Testa 100 200 2139 3551 28 28.75

4 Testa 100 200 2069 3017 - 13.185 Testa 100 200 2043 2871 - 12.35

9 Mezz 100 199 1932 2620 - 7.56

Tabella 2. Risultati delle prove distruttive e non distruttive sui pilastri del II gruppo.

N°Pil

Pos.Carota

D H PS V S f car f med

[mm] [mm] [kg/m3] [m/s] [MPa] [MPa]

3

Base 100 200 2037 2772 - 9.63

8.91Mezz 100 202 1854 2415 - 7.09

Testa 100 200 2011 2136 - 10.01

6Base 100 200 2132 3515 27 29.51

31.46Mezz 100 200 2152 3753 30 33.50

Testa 100 201 2109 3481 31 31.36

7

Base 100 202 2237 4440 36 42.28

35.77Mezz 100 200 2209 4324 35 38.01

Testa 100 200 2183 4128 28 27.01

8

Base 100 200 2164 4212 34 29.83

26.73Mezz 100 200 2139 4150 35 23.68

Testa 100 202 2187 4144 33 26.69

10

Base 100 200 2152 3741 35 30.21

25.03Mezz 100 200 2132 3686 35 26.01

Testa 100 202 2124 3797 32 18.86

L’esame dei dati contenuti nelle tabelle evidenzia alcuni elementi sulla variabilità dellaresistenza del calcestruzzo in-situ e sui fattori che possono condizionarla. Vanno rilevateanzitutto le elevate differenze di resistenza ottenute tra un elemento e l’altro, con un range cheva da valori minimi inferiori a 10 MPa a valori massimi superiori ai 30 MPa, anche quando lastima è basata sulla media di tre valori estratti dallo stesso pilastro. Si conferma un’elevatacorrelazione tra resistenza e peso specifico del materiale, come mostrato anche in (Masi2008). I valori di PS misurati sulle carote estratte risultano generalmente molto bassi con unvalore medio pari a 2097 kg/m3 e punte inferiori intorno a 1900 kg/m3. In particolare sievidenzia una significativa riduzione di f car per valori di PS inferiori a circa 2100 kg/m3.

All’interno dei pilastri del II gruppo, laddove sono state estratte più carote, non sembra essereindividuabile una chiara tendenza alla riduzione della resistenza del calcestruzzo lungol’altezza dovuta alle modalità di posa in opera. Riduzioni di f car dal basso verso l’altro sirilevano per i pilastri 7 e 10 ma, nel caso del pilastro 7 tale riduzione sembra più conseguenzadella naturale variabilità delle proprietà del materiale in quanto, come si evince dalla figura 2,i punti di estrazione delle carote di mezzeria e di testa sono molto vicini tra loro, e peraltrodistanti dalla testa del pilastro nella condizione in situ, tanto da escludere che la differenza siaattribuibile alle operazioni di posa in opera. Nei restanti elementi si presentano addirittura casiin cui la resistenza aumenta lungo l’altezza. In Tabella 3 sono riportati valore medio,deviazione standard DS e coefficiente di variazione CV dei risultati delle prove distruttive enon distruttive eseguite sui pilastri descritti nel presente lavoro. Tali risultati sono confrontati

con quelli relativi alle travi dello stesso piano dell’edificio in esame riportati dettagliatamentein (Masi et al. 2007a). Emerge una significativa differenza tra i rispettivi valori medi sia per le

- 24 -



velocità V che per le resistenze f car a vantaggio del calcestruzzo delle travi che, peraltro, presenta anche una minore dispersione testimoniato dal valore di CV=20.77% contro il valoreCV=45.05% ottenuto sui pilastri. Risultati analoghi emergono considerando la velocità Vossia con valori maggiori e meno dispersi per il calcestruzzo delle travi così come per accade

per l’indice sclerometrico S che, nel caso dei pilastri, si mostra uno stimatore poco affidabile

della variabilità della caratteristiche del materiale anche per la scarsa affidabilità delle misureeffettuate dovuta al già citato stato di degrado superficiale del materiale, condizione peraltro piuttosto frequente negli edifici esistenti in c.a.. Tale risultato avrà ripercussioni sull’utilizzodel metodo combinato Sonreb per la stima della resistenza basata su prove sclerometriche edultrasoniche come verrà mostrato nel seguito. Considerando l’intero campione di travi e

pilastri si ottengono naturalmente risultati intermedi (riportati nelle ultime tre colonne dellatabella 3) sia per il valore medio che per la dispersione. Va infine notato come i valori dellevelocità V misurate per trasparenza risultino molto meno disperse delle resistenze f car comegià emerso e spiegato in (Masi et al. 2005). Le distribuzioni cumulative delle resistenze edelle velocità per i tre gruppi di elementi presenti in tabella 3 sono mostrate, rispettivamente,nelle Figure 3 e 4.

Tabella 3. Statistiche elementari dei risultati su pilastri e travi dell’edificio in esame.

PILASTRI TRAVI (vedi Masi et al. 2007a) PILASTRI + TRAVI

S V f car S V f car S V f car

[m/s] [MPa] [m/s] [MPa] [m/s] [MPa]

media 32.2 3487 23.2 33.6 3924 35.3 32.8 3623 26.97

DS 3.1 680 10.5 1.6 163 7.34 2.7 603 11.06

CV [%] 9.7 19.5 45.05 4.7 4.2 20.77 8.1 16.6 40.99

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 10 20 30 40 50 60

distr ibuzionecumulativa

f car [MPa]

1.0

Pilastri + TraviPilastri

Travi

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

distr ibuzionecumulativa

V [m/s]

Pilastri + TraviPilastri

Travi

Figura 3. Distribuzioni cumulative per la f car

. Figura 4. Distribuzioni cumulative per la velocità V.

I risultati delle PD e PND eseguite negli stessi punti consentono di applicare il metodocombinato Sonreb per la stima della resistenza ricavando un’espressione

valida specificamente per il calcestruzzo in esame e non facendo ricorso ad espressioni diletteratura di dubbia validità per singole strutture. Tale procedura, descritta in (Masi 2005), èstata applicata considerando un numero diverso di terne di valori (S, V, f car ) sostanzialmentericonducibili a due livelli di conoscenza, LC1 ed LC3, previsti dalle norme (l’edificio inesame ha una superficie di poco superiore a 300m2). È stato considerato un punto perciascuno dei pilastri 6, 7 e 8 ed uno lungo ciascuna delle travi T2, T3 e T4, collocato ad unadistanza dal filo del pilastro compresa tra 1/4 ed 1/5 della luce della trave (Masi et al. 2007a).

Nella tabella 4 sono riportati i risultati delle PD e PND nei punti selezionati, nel set di datidisponibili, per l’applicazione della procedura nei due casi ai due differenti livelli di

cbc V S a f ⋅⋅=

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conoscenza considerati. Applicando la procedura descritta sono stati ricavati i coefficienti a, b e c per l’espressione Sonreb valida specificamente per il calcestruzzo in

esame, da cui poter stimare le resistenze f car in alcuni dei punti in cui sono state effettuate lePND (sono stati esclusi i pilastri 1, 2, 3, 4, 5, 9 ed i punti utilizzati per la regressione) e

poterle confrontare con le resistenze fornite dalle carote, in questo caso particolare disponibili

negli stessi punti (Tabella 5).

cbc V S a f ⋅⋅=

Tabella 4. Risultati delle PD e PND adottati nella procedura e valori dei coefficienti a, b e c ottenuti.

Liv.Conos.

Travi SV

[m/s]f car

[MPa]Pilastri S

V[m/s]

f car [MPa]

a b c

LC1T4 32 3783 23.46 Pil 7 35 4324 38.01

2.2E-10 2.780 1.91Pil 10 34 3686 26.01

LC3

T2 35 3807 30.59 Pil 6 31 3481 31.36

1.9E-04 0.026 1.43T3 33 3707 23.46 Pil 7 35 4324 38.01

T4 32 3783 23.11 Pil 10 35 3686 26.01

Tabella 5. Confronto tra i valori f c stimati con le espressioni calibrate e quelli forniti dalle carote.

Elemento S V f car f c (stimato con LC1) f c (stimato con LC3)

[m/s] [MPa] [MPa] [MPa]

Pil 6 Base 27 3515 29.51 12.53 25.27

Pil 6 Mezz 30 3753 33.50 19.03 25.90

Pil 7 Base 36 4440 42.28 42.40 35.57

Pil 7 Testa 28 4128 27.01 17.93 31.83

Pil 8 Base 34 4212 29.83 32.22 32.93

Pil 8 Mezz 35 4150 23.68 34.81 32.27

Pil 8 Testa 33 4144 26.69 30.17 32.17

Pil 10 Base 35 3741 30.21 27.87 27.80

Pil 10 Testa 32 3797 18.86 22.87 28.35

Trave T2 (1) 33 4190 44.92 30.60 32.67

Trave T2 (2) 34 4138 48.93 32.45 32.12

Trave T2 (3) 32 3783 31.59 23.11 28.20

Trave T3 (1) 36 3937 36.67 34.58 29.95

Trave T3 (2) 34 3839 36.71 28.12 28.85

Trave T3 (3) 36 4032 31.93 36.19 30.99

Trave T4 (1) 33 3774 27.84 25.05 28.13

Trave T4 (2) 32 3745 31.59 22.67 27.80

Trave T4 (3) 32 3876 27.92 24.21 29.20media 32.8 3955 32.20 27.60 30.00

CV [%] 7.81 5.90 23.19 26.85 9.07

I risultati in tabella 5 mostrano che le resistenze ottenute con la procedura stimano in modosoddisfacente la resistenza fornita dalle prove sulle carote, in particolar modo operando allivello LC3. Peraltro, i singoli valori ed il valor medio finale, ovvero quello da utilizzare nellavalutazione, si pongono sempre al di sotto dei valori delle prove sulle carote (è da notare ilvalore modesto dell’errore commesso, circa il 7%) e, pur se la considerazione non ègeneralizzabile, la stima è in questo caso a favore di sicurezza. Per LC1 la stima non risultasoddisfacente in virtù degli errori significativi commessi sui singoli casi nonostante l’errore

commesso sul valor medio sia limitato, ossia circa il 15%. Va notato, infine, che il set di casiconsiderati, con l’esclusione degli elementi sopracitati, manifesta una limitata variabilità dei

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valori di f car (CV = 23.19%), di V (CV = 5.90%) e di S (CV = 7.81%), mostrando che la procedura è stata correttamente applicata ad un calcestruzzo sostanzialmente omogeneo.

3 CONSIDERAZIONI SULLA PIANIFICAZIONE DELLE INDAGINI IN SITU

L’obiettivo di una campagna di indagini in situ é la definizione del quadro informativogenerale dell’edificio in esame, delle caratteristiche meccaniche e condizioni dei materiali edegli elementi strutturali, l’individuazione e le cause di eventuali comportamenti nonsoddisfacenti. Ovviamente il numero di prove da eseguire deve essere coerente con il grado diconoscenza che si intende raggiungere (livello di conoscenza LC previsto nelle normetecniche) tenendo comunque conto che nella pratica applicazione anche le indagini cosiddettenon distruttive risultano invasive sulle parti non strutturali (es. asportazione intonaco,demolizione di parti di tamponatura per l’accesso ai punti di misura, ecc.). Per tali ragioni lePND possono determinare costi complessivamente paragonabili a quelli delle PD se nonaddirittura, in alcuni casi, superiori tenuto conto che, per la loro minore affidabilità e per

esigenze di rappresentatività, le PND vanno eseguite in modo ampio. Nel corso degli ultimi anni presso l’Università della Basilicata sono stati condotti un grannumero di studi e sperimentazioni relativi alla determinazione delle caratteristiche delcalcestruzzo di strutture esistenti evidenziandone la spiccata variabilità (si veda ad esempioMasi et al. 2007b). In particolare, sono stati individuati tre differenti livelli a cui operare e dicui tenere opportunamente conto nella pianificazione delle indagini e nell’interpretazione edutilizzo dei risultati delle stesse, relativi alla variabilità globale del calcestruzzo in unastruttura, distinta in:- variabilità nel passaggio da un piano all’altro nell’ambito dell’edificio;- variabilità tra un elemento e l’altro nell’ambito di uno stesso piano;- variabilità nell’ambito di uno stesso elemento.

La possibile variabilità delle caratteristiche del calcestruzzo nel passaggio da un pianoall’altro sono ben note come conseguenza delle modalità di realizzazione degli edifici in c.a..Di tale aspetto le normative tengono conto prevedendo espressamente la realizzazione di unnumero minimo di prove a ciascun piano. Va però ricordato che, in alcune situazioni limite, lavariazione è talmente elevata da richiedere particolari accortezze nella pianificazione,esecuzione ed interpretazione delle indagini. Ad esempio, in presenza di piani dell’edificioche dovessero mostrare caratteristiche particolarmente degradate, tanto da poter essereconsiderati dei veri e propri “piani deboli meccanici”, è chiaro che a tali piani dovrà esserededicata una specifica attenzione eventualmente estendendo ulteriormente le indagini.Variazioni rilevanti della qualità del calcestruzzo all’interno di una stessa struttura hannocarattere “patologico” ma non sono certo infrequenti soprattutto negli edifici più datati in cuile modalità di confezionamento e posa in opera del calcestruzzo all’epoca della costruzioneerano basate su procedure piuttosto artigianali, ossia non standardizzate e/o industrializzate. Intali casi lo scarso e non continuo controllo sulla qualità del calcestruzzo è sicuramente la più

probabile causa delle differenze tra i diversi piani degli edifici. A tale riguardo, una procedura, basata sull’impiego di tecniche speditive per la caratterizzazione dinamica degliedifici, che consenta di individuare a priori eventuali piani critici a supporto della

programmazione delle indagini è attualmente in corso di definizione e validazione presso ilDiSGG (Masi et al. 2007b). Il metodo richiede ulteriori indagini ed approfondimenti su altricasi studio ma le potenzialità appaiono al momento abbastanza promettenti. Di particolarerilievo è anche la variabilità delle caratteristiche di resistenza nell’ambito di uno stesso piano

(o impalcato). Le ragioni di tale fenomeno, in particolare per gli edifici più vecchi, possonoessere ricercate ancora nelle procedure di realizzazione dell’edificio e nelle condizioni d’uso

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quali, ad esempio, condizioni di carico non previste o differenti da quelle di progetto (permodalità di applicazione e/o intensità degli stessi), nonché l’esposizione prolungata ad agentidegradanti. Infine, nel corso delle sperimentazioni condotte, sono state evidenziate anchesignificative differenze di resistenza nell’ambito di singoli elementi strutturali, più elevate diquanto ci si potesse attendere. Le ragioni di tale variabilità nelle travi sono state chiaramente

descritte e spiegate in (Masi et al. 2005), e sono da attribuire alle condizioni di lavoro con isoli carichi verticali degli elementi strutturali stessi. Per i pilastri, invece, differenze diresistenza possono essere rilevate lungo l’altezza dell’elemento a causa prevalentemente dellemodalità di posa in opera del calcestruzzo e della poca cura dedicata alla realizzazione di taleoperazione. Inoltre vanno considerate, nel caso dei carotaggi, le differenze nella resistenzamisurata causate dalle modalità ed alla cura del prelievo. Nella pianificazione ed esecuzionedelle indagini è importante tener conto di tali fattori con un’idonea scelta della localizzazionedei punti di misura e, ancor più, con un’adeguata cura nell’estrazione dei campioni edesecuzione delle prove.In conclusione, i risultati ottenuti confermano come la diffusione delle indagini in-situ, basatesia su PD che PND, debba essere ampia, mirando al livello di conoscenza più elevato

possibile ed andando, in particolari situazioni come i citati piani critici, anche oltre i requisiti previsti dalle normative. La scelta della loro localizzazione per poter ottemperare alleesigenze di rappresentatività delle stesse, pur arrecando il minor disturbo possibile, deve tenerconto dell’eterogeneità della struttura anche in termini di procedure costruttive.

4 RINGRAZIAMENTI

Il presente lavoro è stato svolto nell’ambito del progetto DPC-ReLUIS 2005-2008, Linea diricerca n. 2 “Valutazione e riduzione della vulnerabilità di edifici esistenti in c.a. (Task MND,Metodi Non Distruttivi).

5 BIBLIOGRAFIA

CEN, 2004. Eurocode 8 - Design of structures for earthquake resistance - Part 3: Assessment andretrofitting of buildings (draft n. 6), prEN 1998-3, Brussels.

Masi A., 2005. La stima della resistenza del calcestruzzo in situ mediante prove distruttive e nondistruttive, Il Giornale delle Prove non Distruttive Monitoraggio Diagnostica, n. 1, 2005.

Masi A., Dolce M., Chiauzzi L., Nigro D., Ferrini M., 2005, Indagini sperimentali sulla variabilitàdella resistenza del calcestruzzo negli elementi strutturali di edifici esistenti in c.a., Atti del 11°Convegno Nazionale dell’AIPnD, Milano, 13-15 ottobre 2005.

Masi A., Dolce M., Vona M., Nigro D., Pace G., Ferrini M., 2007a. Indagini sperimentali su elementi strutturali estratti da una scuola esistente in c.a., Atti del XII Convegno Nazionale L’IngegneriaSismica in Italia, giugno 2007, Pisa.

Masi A., Mucciarelli M. Gallipoli M.R., Vona M., 2007b, Influenza delle caratteristiche delcalcestruzzo sulla valutazione delle caratteristiche dinamiche di edifici in c.a., Atti del 12°Convegno Nazionale dell’AIPnD, Milano, 11-13 ottobre 2007.

Masi A. & Vona M., 2007, Prove distruttive e non distruttive su materiali ed elementi strutturali diedifici esistenti in cemento armato, Atti del 12° Convegno Nazionale dell’AIPnD, Milano, 11-13ottobre 2007.

Masi A., 2008, Analisi di dati sperimentali per la stima degli effetti dell’estrazione sulla resistenza dicarote prelevate da strutture in c.a, Atti del Convegno Reluis Valutazione e riduzione dellavulnerabilità sismica di edifici esistenti in c.a, Roma, 29-30 maggio 2008.

Ordinanza Presidente Consiglio dei Ministri N. 3274 del 20 marzo 2003. Allegato 2 - Norme tecniche per il progetto, la valutazione e l’adeguamento degli edifici.

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ANALISI DI DATI SPERIMENTALI

PER LA STIMA DEGLI EFFETTI DELL’ESTRAZIONE

SULLA RESISTENZA DI CAROTE PRELEVATE DA STRUTTURE IN C.A.

Angelo Masi

DiSGG, Università della Basilicata, Potenza, [email protected]

ABSTRACTLa resistenza misurata sulle carote risente di numerosi fattori che la differenziano da quellache si misurerebbe su un equivalente provino standard tra i quali il disturbo subito durante lafase di estrazione che, generalmente, porta a sottostimare la reale resistenza del calcestruzzodella struttura. Per poter valutare tale effetto nel presente studio sono stati esaminati duegruppi di provini: il primo campione formato da oltre 500 carote estratte da strutture esistenti,il secondo formato da circa 600 cubetti confezionati durante la costruzione di nuove strutture.Le caratteristiche dei due campioni sono state confrontate sulla base della resistenza acompressione e del peso specifico dei provini, portando in conto il contributo degli altri fattoriche maggiormente condizionano le proprietà del calcestruzzo (tipo e quantità di cemento,granulometria, natura e dimensioni massime degli inerti, età, ecc.). I risultati hanno mostrato

che la perdita di resistenza subita dalle carote a seguito dell’estrazione è significativamenteinfluenzata dalla resistenza originaria del calcestruzzo in-situ, per cui l’adozione di un unicovalore del coefficiente per portare in conto il rimaneggiamento, come viene suggerito inletteratura, può fornire risultati non corretti. Al contrario, appare opportuno assumere valori ditale coefficiente, forniti nello studio, che siano inversamente proporzionali alla resistenzadella carota prelevata.

PAROLE CHIAVECemento armato, valutazione, prove in situ, calcestruzzo, resistenza, carotaggi.

1 INTRODUZIONE

La valutazione degli edifici in c.a. richiede che vengano acquisiti dati su una serie di aspettirelativi alla geometria, ai dettagli costruttivi ed ai materiali della struttura necessari per lacostruzione di un modello di calcolo sufficientemente accurato.In questo lavoro viene approfondito il tema della stima delle proprietà meccaniche delcalcestruzzo in situ mediante carotaggio. A tale riguardo nell’Ordinanza del Presidente delConsiglio dei Ministri n. 3431 (OPCM 2005) è previsto che “la misura delle caratteristichemeccaniche del calcestruzzo si ottenga mediante estrazione di campioni ed esecuzione di

prove di compressione fino a rottura”; inoltre si prevede che “ sono ammessi metodi di

indagine non distruttiva di documentata affidabilità, che non possono essere impiegati incompleta sostituzione di quelli distruttivi, ma sono consigliati a loro integrazione, purché i


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risultati siano tarati su quelli ottenuti con prove distruttive”. Infatti, la scarsa affidabilità deimetodi non distruttivi (MND) utilizzati singolarmente per giungere ad una definizione direttadella resistenza del conglomerato, rende sempre necessario effettuare prove di tipo distruttivoi cui risultati possono essere utilizzati da soli o per calibrare quelli ottenuti con i MND.D’altra parte, va però riconosciuto che la resistenza misurata sulle carote risente di numerosi

fattori che la differenziano da quella di un equivalente provino standard o da quella delcalcestruzzo in-situ, tra i quali (Masi, 1991):• diverse modalità di preparazione e stagionatura;• differente età di stagionatura tra carota e provino standard;• posizione del prelievo nell'ambito dell'elemento strutturale;• disturbo che consegue alle operazioni di prelievo;• dimensioni delle carote;• presenza di armature incluse.

Nella letteratura tecnica vengono fornite diverse espressioni (es. Bartlett e MacGregor, 1994,FEMA 1997, Masi 1991, 2005) per convertire la resistenza ottenuta sulla carota f car nellecorrispondente resistenza in-situ f

cis. In (Masi 2005) viene proposta la seguente relazione:

f cis = (C h/D * C dia * C a * C d ) f car dove:• C h/d è il coefficiente correttivo per rapporti altezza/diametro (h/D) diversi da 2, pari a C h/d

= 2/(1.5 + D/h);• C dia è il coefficiente correttivo relativo al diametro, da assumere pari a 1.06, 1.00 e 0.98

per D pari, rispettivamente, a 50, 100 e 150 mm;• C a è il coefficiente correttivo relativo alla presenza di armature incluse, variabile tra 1.03

per barre di piccolo diametro (φ 10) a 1.13 per barre di diametro elevato (φ 20). • C d è il coefficiente correttivo per tener conto del disturbo arrecato alla carota nelle

operazioni di estrazione.

Un fattore significativo è rappresentato dal disturbo subito durante la fase di estrazione chegeneralmente porta a sottostimare la reale resistenza del calcestruzzo della struttura. Per ilcoefficiente C d le norme FEMA 274 (1997) suggeriscono di assumere un valore costante paria 1.06, mentre in letteratura (Cestelli Guidi e Morelli 1981) si propone di assumere il valore1.10, in entrambi i casi per operazioni di prelievo condotte con estrema accuratezza. In (Masi2005), tenendo conto che è ragionevole ritenere il rimaneggiamento tanto maggiore quantominore è la qualità del calcestruzzo e facendo riferimento a quanto riportato in (Collepardi2002), si suggerisce di assumere C d = 1.20 per f car < 20 MPa, e C d = 1.10 per f car > 20 MPa.Per poter meglio valutare tale effetto, nel presente studio sono stati esaminati due campioni: il

primo formato da oltre 500 carote estratte da strutture esistenti, ed il secondo formato da circa600 cubetti confezionati durante la costruzione di nuove strutture. Le caratteristiche dei due

campioni sono state confrontate essenzialmente in funzione della resistenza a compressione edel peso specifico dei provini, e portando in conto il contributo degli altri fattori che possonoinfluire in modo significativo sulla resistenza del calcestruzzo. I fattori presi in conto sonostati il tipo e la quantità di cemento, la granulometria, la natura e le dimensioni massime degliinerti, il rapporto acqua/cemento, le modalità di posa in opera e di stagionatura, l’età.

2 I DATI SPERIMENTALI

Il data base su cui è basato il lavoro è costituito dai risultati di test su provini di calcestruzzo(cubetti, carote) disponibili nell’archivio del Laboratorio Prove Materiali e Strutture

dell’Università della Basilicata.

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I provini cubici sono relativi a prelievi effettuati durante la fase di realizzazione di nuovestrutture per il controllo di accettazione del calcestruzzo. Da tutti i dati a disposizione si èscelto di analizzare, in modo del tutto casuale, il campione dei cubetti testati durante il 1990.Volendo esaminare calcestruzzi usati nelle comuni opere civili, sono state escluse le proveriguardanti calcestruzzi confezionati con cementi ad alta resistenza come quelli adottati nella

costruzioni di elementi precompressi. Dopo un’attenta selezione si è ottenuto un campionecostituito dai risultati delle prove di 594 cubetti. Le carote, estratte da strutture esistenti edunque di età generalmente più avanzata dei cubetti, sono riferite a prove effettuate in un arcodi tempo che va dal 1989 al 2003. Complessivamente il campione è costituto da 515 carote.Le elaborazioni sono basate su due parametri fondamentali disponibili per tutti i provini:• la resistenza cilindrica a compressione f c;• il peso specifico PS.Le resistenze delle carote ottenute dalla prova di compressione sono state trasformate inresistenze cilindriche standard f c, cioè riferite ad un cilindro con rapporto H/D = 2. Per quantoriguarda i cubetti i risultati delle prove standard sono espressi in termini di resistenza cubicaR c, per cui, per poter effettuare dei confronti con le resistenze delle carote, tali resistenze sono

state trasformate in resistenze cilindriche, adoperando l’espressione: f c = 0.83 R c. L’età distagionatura dei cubetti è stata valutata per differenza tra la data della prova e quella del getto.

Tabella 1. Statistiche elementari delle resistenze e dei pesi specifici di carote e cubetti.

CAROTE CUBETTI

f c

(N/mmq)

PS

(kN/mc)

f c

(N/mmq)

PS

(kN/mc)

Media 21.96 22.98 25.04 23.53

Dev standard 13.85 1.15 9.61 0.82

CV (%) 63.07 % 5.00 % 38.38 % 3.48 %

Minimo 2.55 19.26 4.76 20.53

Massimo 100.40 27.23 64.91 26.00

In Tabella 1 sono riportate i valori statistici elementari delle resistenze e dei pesi specifici deidue campioni di carote e cubetti, mentre nelle Figure 1 e 2 sono mostrate le relazioni tra il

peso specifico PS e la resistenza f c rispettivamente per il campione completo delle carote e deicubetti (sono stati eliminati soltanto i casi con f c > 50 MPa).

fc = 4E-12 PS9.2656

R = 0.86

0

10

20

30

40

20 21 22 23 24 25 26

PS (kN/mc)

f c ( N / m m q

50

)

fc = 4E-05 PS4,1949

R = 0,51

0

10

20

30

40

50

20 21 22 23 24 25 26

PS (kN/mc)

f c ( N / m m q )

Figura 1. Relazione PS - f c per il campione completo

di carote.

Figura 2. Relazione PS - f c per il campione completo

di cubetti.

- 31 -



Nelle Figure 1 e 2 sono riportate anche le migliori correlazioni PS-f c con il relativocoefficiente R. Si evidenzia una significativa dispersione, in particolare per il campione deicubetti (R = 0.51), da attribuire sia al fatto che i provini provengono da una popolazione

piuttosto dispersa in termini di tipo e quantitativo di cemento, natura e granulometria degliinerti, rapporto acqua/cemento, ma principalmente al fatto che in alcuni casi, data la limitata

età di stagionatura, il calcestruzzo era ancora in fase di crescita della propria resistenza.Per ottenere relazioni PS-f c meno disperse si è effettuata un’operazione di filtraggio dei dati,scartando quei punti PS-f c che si discostavano molto dalla media del campione. L’operazionedi filtraggio è avvenuta nel modo seguente:1) a partire dalla linea di tendenza f c(PS) si è individuata una fascia avente come asse

centrale la linea di tendenza stessa, e limitato inferiormente da una curva pari a (1-k)f c(PS) e superiormente da una curva pari a (1+k) f c(PS);

2) tutti i valori esterni alla fascia, considerati troppo distanti rispetto alla media del campionein esame, sono stati scartati;

3) sul nuovo campione, depurato dai dati esterni alla fascia, è stata rivalutata la correlazioneverificando che essa fosse più elevata (operazione ripetuta per diversi valori di k ≤ 0.5).

fc = 0,075 e0,2464 PS

R = 0,61

0

10

20

30

40

50

20 21 22 23 24 25 26

PS (kN/mc)

f c ( N / m m q )

0

10

20

30

40

50

20 21 22 23 24 25

PS (kN/mc)

f c ( N / m m q )

CAROTE

CUBETTI

Figura 3. Relazione PS - f c per il campione parziale di

cubetti con età < 90 gg.Figura 4. Confronto tra le relazioni PS - f c per carote

e cubetti (campione parziale con età < 90gg).

Eseguendo le operazioni suddette, i cui risultati intermedi non sono riportati per esigenze disintesi, è emerso che:• per le carote, la migliore correlazione PS-f c si ottiene considerando l’intero campione,

dunque si è ritenuto di non eliminare alcun provino;• per i cubetti, la correlazione migliora lievemente eliminando gli outlier (si passa da

R=0.51 a R=0.52), mentre un significativo miglioramento (R=0.61) si ottieneconsiderando i provini che avevano età di stagionatura superiore a 90 giorni (Figura 3),

avendo rilevato che, per tale età, la resistenza media dei cubetti rimane pressoché costante.In Figura 4 sono riportate e confrontate le linee di tendenza PS - f c per i due campioni dicarote e cubetti che hanno fornito le migliori correlazioni, le cui espressioni sono le seguenti:• CAROTE: f c = 4 E-12 PS 9.266 R = 0.86• CUBETTI: f c = 0.075 e0.246 PS R = 0.61

3 STIMA DEL COEFFICIENTE DI RIMANEGGIAMENTO

L’esame delle curve riportate in Figura 4 mostra che la resistenza dei cubetti è sempremaggiore di quella delle carote, ma che tale differenza tende ad annullarsi per elevati valori

del peso specifico. Le cause di tale differenza sono sicuramente numerose e tra esse è da

- 32 -



ritenere vi sia anche la riduzione di resistenza stimata sulle carote conseguente alrimaneggiamento dovuto all’estrazione.Tra i fattori che condizionano la resistenza del calcestruzzo, alcuni influiscono anche sul pesospecifico PS, mentre altri sono scarsamente capaci di modificarne il valore. In Tabella 2vengono riportati i fattori principali che influiscono sulla resistenza finale del calcestruzzo

(Bocca e Cianfrone) e, per ciascuno di essi, in colonna 3, si indica la possibilità che possanodeterminare o meno anche una variazione di PS.Il ruolo dei fattori che influiscono su PS, ossia granulometria e natura degli inerti, rapportoA/C e modalità di posa in opera (compattezza), è da ritenere sia già tenuto in conto nelledifferenze tra le due curve riportate in Figura 4.

Tabella 2. Fattori che influiscono sulla resistenza e sul peso specifico PS del calcestruzzo ((§) si è assuntoα9=1 in quanto il contributo dell’età è stato tenuto in conto selezionando il campione dei cubetti).

Fattori Influenza su PS Cubetti Carote i

1 Granulometria inerti Si 1

2 Natura inerti Si 1

3 Rapporto A/C Si 1

4 Modalità posa in opera Si 1

5 Tipo cemento No 325-425 325 1-1.06

6 Quantità cemento No 250-350 kg 200-250 kg 1-1.15

7 Dmax inerte No 1

8 Modalità stagionatura No Cubettiere In sito 1-1.10

9 Età No 1(§)

La stessa cosa non accade per i fattori che non condizionano i valori di PS, il cui ruolo neldeterminare una differente resistenza tra carote e cubetti va valutato quantitativamente inmodo da poter stimare, dalla differenza che dovesse permanere, gli effetti delrimaneggiamento. In tal senso bisogna considerare che il calcestruzzo delle carote è statoconfezionato molti anni prima (anche decenni) di quello dei cubetti, per cui vi sono delledifferenze che riguardano sia la composizione stessa del calcestruzzo che il tempo distagionatura. I fattori principali che possono determinare differenze tra il calcestruzzo dellecarote e quello dei cubetti, senza influire sul peso specifico, sono:• Tipo di cemento: il cemento usato per le carote è in genere al più di classe 325, mentre nei

cubetti sono diffuse le classi 325 e 425. Passando dal cemento 325 al 425 la variazione di

resistenza che ne deriva è di circa il 6% (Bocca e Cianfrone 1983).• Quantità di cemento: tenuto conto delle diverse epoche di realizzazione è da ritenere che,

in generale, la quantità di cemento usato nelle carote sia inferiore a quella usata neicubetti. Sulla base delle informazioni tratte dalle consuetudini costruttive, si è stimato chela quantità media di cemento presente nelle carote sia pari a 200-250 kg/m3, mentre neicubetti si va dai 250 ai 350 kg/m3, differenza che può determinare variazioni di resistenzadell’ordine del 15% (Bocca e Cianfrone 1983).

• Diametro massimo dell’inerte: il suo effetto può essere inglobato nella perdita diresistenza che si ha per effetto del rimaneggiamento, in quanto all’aumentare del diametromassimo dell’inerte tende ad aumentare il disturbo del campione (Cestelli Guidi e Morelli

1981).

- 33 -



• Modalità di stagionatura: la stagionatura del calcestruzzo delle carote avviene in sito,mentre i cubetti vengono fatti stagionare all’interno e in apposite cubettiere. Secondoalcuni autori (Cestelli Guidi e Morelli 1981) la differenza di resistenza finale che ne puòderivare è dell’ordine del 10%.

• Età di stagionatura: il campione delle carote risulta costituito da provini con età molto

elevata, mentre il campione dei cubetti è costituito in parte da provini con età dell’ordinedi alcuni mesi, ma considerando che, avendo eliminato i cubetti con età < 90gg, lastagionatura dei provini considerati supera quasi sempre i 200-300gg con valori diresistenza sostanzialmente stabili, si è ritenuto opportuno assumere un coefficiente α9 = 1.

Nell’ultima colonna in Tabella 2 vengono riportati i coefficienti correttivi αi = (f cub/f car )relativi ai diversi fattori che influiscono sulla resistenza del calcestruzzo in modo diversificato

per carote e cubetti. Adottando tali coefficienti è possibile scrivere la seguente relazione tra laresistenza delle carote e dei cubetti:

f cub = αtot f car (αtot = α1⋅α2⋅…..⋅α9)

I limiti dell’intervallo di variazione di α sono: αmin

= 1, αmax

=1.34.Per poter esplicitare l’effetto del rimaneggiamento è necessario correggere la resistenza deicubetti per omogeneizzarla a quella delle carote, calcolando una resistenza modificataf cub,mod=(f cub/α), in cui si è considerato che la variazione massima si abbia per valori del pesospecifico pari a 20 kN/m3, mentre risulti minima per valori del peso specifico pari a 25 kN/m3 ed, infine, che la variazione tra αmin e αmax sia lineare.

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

20,0 21,0 22,0 23,0 24,0 25,0

PS (kN/mc)

f c ( N / m m

q )

CAROTE

CUBETTI MOD.

Figura 5. Confronto tra le relazioni PS - fc per carote e cubetti (resistenze modificate).

Tabella 3. Intervalli di variazione e valori consigliati per il coefficiente di rimaneggiamento.

f car (N/mmq) Rimaneggiamento ( ) consigliato

f car < 10 1.3 < α< 1.7 1.4

10 < f car < 20 1.15 < α < 1.3 1.2

20 < f car < 30 1.05 < α < 1.15 1.1

f car > 30 1.0 < α < 1.05 1.0

Nel grafico di Figura 5 sono riportate la curva delle resistenze modificate dei cubetti e quelladelle carote: la curva dei cubetti si è abbassata rispetto a quella riportata in Figura 4, ma

rimane ancora al di sopra di quella delle carote. Avendo tenuto conto di tutti i fattori principaliche possono rendere diverso il calcestruzzo dei cubetti da quello delle carote, è da ritenere che

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la differenza tra le due curve riportate in Figura 5 rappresenti la perdita di resistenza dovuta alrimaneggiamento. Come ci si potrebbe aspettare, l’effetto del rimaneggiamento risultasignificativo nella parte iniziale, ma poi decresce rapidamente all’aumentare di PS. Tenendoconto delle curve riportate in figura 5, nella Tabella 3 vengono riportati gli intervalli dei valoridel coefficiente di rimaneggiamento α per le diverse fasce di resistenza dei provini ed i

relativi valori consigliati per la rivalutazione della resistenza del calcestruzzo in-situ a partiredai valori forniti dalle carote estratte.Come possiamo osservare dalla tabella per resistenze minori di 10 N/mm2 otteniamo unvalore di α che va da 1.3 a 1.7. Questo valore è molto elevato soprattutto se confrontato conquello suggerito dalle FEMA 274 (FEMA 1997) che prescrive di adottare sempre α = 1.06. Ivalori di α così alti fanno pensare che le carote appartenenti a questo intervallo di pesospecifico abbiano subito un rimaneggiamento molto elevato provocato da una qualitàmeccanica molto scarsa, eventualmente aggravato da un’estrazione condotta in modo nonappropriato. In questo secondo caso è necessario prelevare altre carote, mentre nel primo casosi consiglia cautelativamente di assumere α = 1.4.I provini con resistenze comprese tra 10 e 20 N/mm2 presentano un coefficiente dirimaneggiamento che va da 1.15 a 1.3. Anche in questo caso il valore del coefficiente dirimaneggiamento risulta molto alto rispetto a quanto previsto nelle FEMA 274, mentre risultaabbastanza vicino a quanto previsto in (Collepardi 2002) in cui si propone di utilizzare unvalore di α pari a 1.2 per valori della resistenza del calcestruzzo inferiori a 20 MPa. Nel casoin esame il valore di α consigliato è pari ad 1.2.I provini con resistenze comprese tra 20 e 30 N/mm2 presentano un coefficiente dirimaneggiamento che va da 1.05 a 1.15. In questo intervallo il valore di α non differisce dimolto da quanto prescritto dalle FEMA 274 e coincide sostanzialmente con quello proposto in(Donaggio 1994) che fornisce un valore del coefficiente di rimaneggiamento pari a 1.1 percalcestruzzi con resistenza meccanica superiore a 20 MPa, pertanto si consiglia α = 1.1.

Per i provini con resistenza superiore a 30 N/mm2

il coefficiente di rimaneggiamento varia tra1 e 1.05. Questo valore risulta più cautelativo di quello generalmente consigliato in bibliografia. Per questi provini è da ritenere che, nel caso di operazioni di estrazione condottecorrettamente, il disturbo arrecato alla carota sia trascurabile, pertanto si consiglia di applicareun coefficiente di rimaneggiamento α = 1.

4 CONCLUSIONI

Il carotaggio è ritenuto il metodo più affidabile per stimare la resistenza del calcestruzzo distrutture esistenti, utilizzato in modo esclusivo o a supporto di prove non distruttive. La

resistenza ottenuta dalle carote può però risultare diversa da quella del calcestruzzo dellastruttura in-situ, in particolare perché, durante la fase di estrazione, il provino subisce undisturbo che può determinare una sottostima rispetto alla reale resistenza del calcestruzzodella struttura. La letteratura tecnica fornisce indicazioni sul come stimare gli effetti delrimaneggiamento dovuto all’estrazione che appaiono poco convincenti e scarsamentesupportate da dati sperimentali. Per tale ragione, nel presente lavoro viene costruito edanalizzato un ampio database di dati sperimentali costituito da un campione di oltre 500carote estratte da strutture esistenti e da un campione di circa 600 cubetti confezionati durantela fase di getto del conglomerato per la costruzione di nuove strutture.Le caratteristiche dei due campioni sono state analizzate essenzialmente in funzione dellaresistenza a compressione e del peso specifico dei provini, e portando in conto il contributo

degli altri fattori che possono influire in modo significativo sulla resistenza del calcestruzzo. Ifattori presi in conto sono stati il tipo e la quantità di cemento, la granulometria, la natura e le

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dimensioni massime degli inerti, il rapporto acqua/cemento, le modalità di posa in opera e distagionatura, l’età.Dopo aver ricavato le migliori correlazioni resistenza-peso specifico per i due campioni, ilconfronto tra le due curve ha mostrato che la resistenza dei cubetti è sempre maggiore diquella delle carote, ma che tale differenza tende ad annullarsi per elevati valori del peso

specifico. Sono state pertanto individuate le principali cause di tale differenza, tra le quali vi èanche l’effetto dell’estrazione, e, dopo aver valutato quantitativamente il ruolo di ciascuna diesse si è esplicitato il contributo legato al rimaneggiamento dovuto all’estrazione.I risultati mostrano che la resistenza stimata sulle carote estratte, dunque la riduzione dovutaall’estrazione, è molto influenzata dalla resistenza del calcestruzzo in-situ, per cui l’adozionedi un unico valore del coefficiente di rimaneggiamento, come solitamente viene suggeritonella letteratura tecnica, risulta una scelta non corretta ma, al contrario, va assunto uncoefficiente di valore inversamente proporzionale alla resistenza della carota prelevata.

Nel lavoro vengono forniti i valori consigliati del coefficiente di rimaneggiamento in funzionedella resistenza ottenuta dalle carote, valori che risultano più elevati rispetto a quelli dettati in

bibliografia per bassi valori della resistenza (e quindi del peso specifico), mentre risultano

sostanzialmente coincidenti nel caso di calcestruzzi con resistenza elevata.L’attività sperimentale ancora in corso consentirà di valutare con ancora maggioreaccuratezza l’effetto dell’estrazione in modo da giungere ad una espressione continua delcoefficiente di rimaneggiamento.

5 RINGRAZIAMENTI

Il presente lavoro è stato svolto nell’ambito del progetto DPC-ReLUIS 2005-2008, Linea diricerca n. 2 “Valutazione e riduzione della vulnerabilità di edifici esistenti in c.a. (Task MND,Metodi Non Distruttivi). Si ringraziano il tecnico del Laboratorio di Strutture dell’Università

della Basilicata, p.i. Domenico Nigro, e lo studente Andrea Digrisolo per la collaborazionefornita nella raccolta ed analisi dei dati sperimentali.

6 BIBLIOGRAFIA

Bartlett, F. M., and MacGregor, J. G., (1994). “Effect of Core Diameter on Concrete Core Strengths”,ACI Materials Journal, V. 91, No. 5, September-October 1994.

Bocca P., Cianfrone F. (1983). “Le prove non distruttive sulle costruzioni: una metodologiacombinata”, L’industria italiana del cemento, n. 6/1983.

Cestelli Guidi G., Morelli G. (1981). “Valutazione della resistenza dei calcestruzzi sulle strutture

finite”, L’industria italiana del cemento, n. 3/1981.Collepardi M. (2202) “Il nuovo calcestruzzo”, II edizione, Edizioni Tintoretto.Donaggio E. (1994). “Manuale del calcestruzzo armato”, Zanichelli Editore.FEMA (1997). “NEHRP Commentary on the Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings,

FEMA 274”, Federal Emergency Management Agency, Washington D.C.Masi A., (1991). “Analisi della tecnica costruttiva e dei materiali”, Manuale per la valutazione della

sicurezza nei confronti del sisma e per l’adeguamento antisismico (coord. F. Braga), OrdineIngegneri Potenza.

Masi A. (2005). “La stima della resistenza del calcestruzzo in situ mediante prove distruttive e nondistruttive”, Il Giornale delle prove non distruttive, n. 1, 2005.

OPCM (2005). “Ulteriori modifiche ed integrazioni all’ordinanza del Presidente del Consiglio deiMinistri n. 3274 del 20 marzo 2003 – Allegato 2: Norme tecniche per il progetto, la valutazione el’adeguamento sismico degli edifici”, G.U. n. 107 del 10/5/2005.

- 36 -




INFLUENZA DEL CAROTAGGIO

SULLO STATO TENSIONALE E DEFORMATIVO DI ELEMENTI COMPRESSI

Giuseppe Campione, Marinella Fossetti,Maria Letizia Mangiavillano e Salvatore Priolo

Dipartimento di Ingegneria Strutturale e GeotecnicaUniversità di Palermo,[email protected]

ABSTRACTIn the present paper an experimental research regarding the effect of the drilling technique onthe response of compressed reinforced concrete members is presented and discussed. Tencolumns having rectangular cross-section of sides 46x16 cm were tested in compression in adisplacement controlled mode. Some of these specimens were preliminarily drilled withcircular hole of 10 cm diameter and placed in a symmetric and asymmetric position. Thestudy on the hole influence on the stress and strain distribution of the compressed membersstressed its influences on the reduction of the bearing capacity and on the strain increases.

PAROLE CHIAVECalcestruzzo, pilastri, carotaggio, disturbo, prove di compressione.

1 INTRODUZIONE

La diagnostica delle strutture prevede una serie di indagini che si prefiggono l’obiettivo difornire ai diversi livelli decisionali, le informazioni tecnico-economiche necessarie peroperare le scelte più opportune in termini di manutenzione, riuso e recupero del patrimonioesistente.

Un completo “check-up” della struttura, consente di poter istruire la sua “cartella” e seguire, omeglio prevenire, le variazioni legate a fenomeni di degrado, di invecchiamento o diaffaticamento. Il prelievo di calcestruzzo indurito da elementi strutturali mediante tecnica dicarotaggio costituisce da lungo tempo (ACI 228, 1988; ASTM C/42, 1988; UNI 10766, 1999)uno dei metodi più diffusi per valutare la resistenza del calcestruzzo posto in opera ed è uno diquelli che più si avvicina, nella determinazione della resistenza del conglomerato, a quellaricavata mediante i campioni standard. Tale tecnica produce durante il prelievo, un disturbodell’elemento strutturale, ovvero un danneggiamento locale. A tal proposito per l’esecuzionedella tecnica di carotaggio e relativamente alla fase di prelievo occorre seguire specifiche

procedure per ridurre, al minimo, il danneggiamento dovuto al prelievo in genere costituito dacarote di diametro 100 o 150 mm.

Nel presente lavoro si danno alcune indicazioni di carattere sperimentale sul disturbo dellostato tensionale e deformativo di un elemento compresso forato per il carotaggio. In


- 37 -



particolare l’obiettivo del lavoro è stato quello di valutare gli effetti che la tecnica delcarotaggio ha sulla risposta meccanica di elementi compressi in assenza ed in presenza diarmature e con foro centrato o eccentrico.

2 RICERCA SPERIMENTALEAl fine di potere dedurre gli stati deformativi indotti sotto carico dalla presenza di un foro inun pilastro e per valutare il danno provocato dallo stesso, sono state confezionate diecicolonne in calcestruzzo armato e non, di forma prismatica a sezione trasversale rettangolare.Le colonne sono state distinte in cinque tipologie, in funzione della presenza e della posizionedel foro e della presenza di armatura. Dopo il confezionamento e la stagionatura dei proviniad alcuni di essi sono stati praticati dei fori centrali o eccentrici mediante tecnica dicarotaggio. Quindi sono stati sottoposti a prova di compressione centrata con macchinaoperante in controllo di spostamento registrandone la risposta carico-accorciamento ecogliendo la risposta sia nella fase pre che post-picco. Inoltre, si sono rilevate le deformazioni

di sezioni caratteristiche e si sono tracciati i quadri fessurativi.

2.1. Provini confezionati

Le colonne prese in esame hanno geometria e dettaglio di armatura mostrati in Fig. 1a, b e cnei casi di colonna in assenza di foro (Fig. 1a) ed in presenza di foro centrato (Fig. 1b) edeccentrico (Fig. 1c).

a) non forato b) foro centrato c) foro eccentrico

Fig. 1. Geometria dei provini esaminati e posizione dei fori.

Tutte le colonne hanno altezza 81 cm e sezione trasversale rettangolare di dimensioni 46x16cm. Le armature sono costituite da 8 barre da 8 mm e staffe da 6 mm disposte con passo 26

- 38 -



cm. Le parti terminali dei provini sono state ulteriormente rinforzate con 2 staffe disposte con passo 10 cm. Il copriferro effettivo è stato assunto pari a 3 cm.Il tipo di acciaio impiegato in barre ad aderenza migliorata ha raggiunto, quando sottoposto a

prova di trazione, tensione di snervamento di 523 MPa per le barre di diametro 8 mm e di 473MPa per quelle da 6 mm. Il rapporto di armatura longitudinale adottato è risultato di 0.55 % e

quello delle staffe trascurabile ai fini del confinamento.La scelta delle armature e del tipo di calcestruzzo di bassa resistenza cilindrica (10 MPa) èlegata al voler riprodurre le condizioni, purtroppo molto frequenti, di elementi strutturaliaventi scadenti caratteristiche meccaniche.Il ridotto diametro delle armature longitudinali è stato invece opportunamente scelto persimulare le possibili situazione in cui si trovano barre di maggiore diametro ridottesi neltempo per effetto della corrosione. Il passo scelto per le staffe infine riproduce i valori elevatiriscontrabili in molte costruzione dell’ultimo trentennio.Il prelievo del calcestruzzo indurito dal pilastro (che a rigore doveva essere effettuato quandoil pilastro era sotto carico ma, che in questa ricerca per semplicità, è stato effettuato incondizioni di elemento scarico) è stato effettuato con carotatrice a corona diamantata con

prelievo di carota passante per lo spessore del pilastro di diametro 10 cm.La posizione del foro è stata scelta baricentrica ed eccentrica rispetto all’asse dell’elemento. Ilforo eccentrico (anche se come è noto è da evitare) vuole riprodurre la condizione di unelemento in cui a causa della presenza delle armature non consente di eseguire il foro in

posizione centrale.Il calcestruzzo è stato confezionato con cemento Portland 32.5 MPa, con elevato rapportoacqua-cemento (pari a 0.55) e con l’uso di elevato dosaggio di inerte fino (sabbia) e di unaminore percentuale di inerte grosso (pietrisco) al fine di riprodurre una composizione tipica diimpasti con bassa resistenza a compressione.

2.2. Apparecchiatura di prova

Tutte le indagini sperimentali eseguite (caratterizzazione dei materiali costituenti e indaginisulle colonne) sono state condotte mediante l’uso di una pressa Zwick/Roell & Toni Technik(vedi Fig. 2a) da 4000 kN operante a controllo servo-idraulico di spostamento. La macchina ègestita da una centralina elettronica interfacciata con l’utente tramite un PC dotato delsoftware fornito dal produttore.I provini inseriti nella pressa e caricati mediante interposizione di piastre di ripartizione rigidein acciaio sono stati strumentati con comparatori millesimali per la lettura degliaccorciamenti. La base di misura scelta è stata assunta pari alla distanza tra i piatti per iltrasduttore di spostamento di cui è dotata la stessa macchina di prova e pari a 10 cm per i

comparatori millesimali. In particolare per i provini non forati si sono disposti, come mostratoin Fig. 2c) dieci compratori di cui 5 su una faccia del lato lungo del pilastro e 5 sulla facciaopposta e tutti posti nella zona centrale del provino.Per i pilastri con il foro si sono inseriti i comparatori centrali in un apposito strumento (vediFig. 2b e 2d) che consente di valutare la deformazione del calcestruzzo nella zona del foro.Tale strumento è costituito da un elemento di alluminio e ottone che viene inserito all’internodel foro, e grazie alla presenza di due molle, poste in appositi pistoncini, consente il contattocon l’area di appoggio delle punte in ottone, e permette così ai comparatori di leggere gliabbassamenti dovuti al carico nella zona forata.L’acquisizione degli spostamenti (misurati dai comparatori millesimali della Mitutoyo) è stataeffettuata automaticamente con una frequenza di 0.125 Hz (una acquisizione ogni secondo)attraverso una centralina denominata DMX-16C (sempre della Mitutoyo) che consente lalettura simultanea di 16 comparatori ed è interfacciata con l’utente tramite un software

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denominato Sisifo che utilizza il linguaggio di programmazione LabView della NationalInstruments.

a) b)

c) d)

Fig. 2. Macchina di prova e strumentazione per la lettura degli spostamenti.

3. PROVE DI COMPRESSIONE SUI PILASTRI

Si riportano nel seguito i risultati delle prove di compressione eseguite sui pilastri integri eforati ed assenza di armatura. Quindi si riportano gli analoghi risultati relativi ai pilastri in

presenza di armature. Per tutte le prove eseguite si è adottata una velocità di prova di0.1 mm/min.In Fig. 3 si riportano le curve carico-accorciamento dei provini non armati sia in assenza (vediFig. 3a) che in presenza di foro centrale (vedi Fig. 3b). Il carico è quello registrato dalla celladi carico e gli spostamenti quelli relativi alla lettura dei dieci comparatori.Dall’andamento delle curve si evince che il comportamento degli elementi è caratterizzato da

una fase iniziale a comportamento elastico seguito dal progressivo danneggiamentodell’elemento che dopo il raggiungimento del carico massimo porta alla rottura progressivadel provino (fase di softening).

- 40 -



a)

0

200

400

600

800

1000

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

P ( k N )

Comp 1

Comp 2

Comp 3

Comp 4

Comp 5

Comp 6

Comp 7

Comp 8

Comp 9

Comp 10

0

200

400

600

800

1000

0 0.4 0.8 1.2 1.6

(mm)

2

b)

0

200

400

600

800

1000

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

P ( k N )

0

200

400

600

800

1000

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

Fig. 3. Elemento compresso non armato: a) senza foro; b) con foro.

In assenza di foro le letture dei comparatori sono prossime fra loro e la deformazione di piccorisulta di circa 0.2%, mentre la tensione corrispondente (rapporto tra il carico di rottura el’area della sezione trasversale del provino) risulta di circa 9.5 MPa, valore prossimo a quello

rilevato sui campioni cilindrici provati a schiacciamento per la caratterizzazione del materiale(10 MPa). Nel caso di pilastro forato si osserva una significativa riduzione del carico dirottura di circa il 32%. E’ interessante osservare che tale valore è maggiore del rapporto tral’area della sezione forata rispetto a quella integra (rapporto che è invece di circa il 22%)mettendo in luce il fenomeno di intensificazione degli sforzi in prossimità del foro. In Fig. 4 siriportano le curve carico-accorciamento dei provini armati sia in assenza (vedi Fig. 4a) che in

presenza di foro centrale (vedi Fig. 4b). L’andamento delle curve è sostanzialmente simile aquello già riscontrato nel caso di colonne senza armature con la differenza che il carico e ladeformazione di picco sono più elevati poiché influenzati dalla presenza delle armaturelongitudinali. Infatti il carico di rottura è praticamente pari alla somma di quello delle colonnein assenza di armatura e del contributo delle barre longitudinale snervate. La deformazione di

picco è prossima allo 0.3%, valore quest’ultimo coerente con quelli riscontrabili in letterature per elementi strutturali con debole confinamento.

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a)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

P ( k N )

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

b)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

P ( k N )

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

Fig. 4. Elemento compresso con armature: a) senza foro; b) con foro.

Nel caso di pilastro forato si osserva una significativa riduzione del carico di rottura di circa il40%. Anche in questo caso tale valore è maggiore del rapporto tra l’area della sezione foratarispetto a quella integra. Dall’andamento delle curve si evince che le letture dei comparatori

posti al di la del foro mostrano valori tra loro prossimi e più piccoli di quelli dei comparatori

posti sul foro ove l’effetto di disturbo anche in termini deformativi è più marcato.Come ultimo caso esaminato si riportano in Fig. 5 le curve carico-accorciamento dei proviniarmati in presenza (vedi Fig. 5a) di foro centrato ed eccentrico (vedi Fig. 5b).In questo caso si osserva che a causa del foro eccentrico si ha modesta ulteriore riduzione diresistenza rispetto a quello di foro centrato. Le deformazioni di picco in prossimità della zonanon forata rientrano sempre nei valori attesi per il calcestruzzo non confinato di 0.2%.Dal punto di vista deformativo risulta interessante il confronto di Fig. 6 in cui si riportal’andamento degli spostamenti letti dai comparatori posti sulla base di misura 100 mm alvariare della loro posizione e per tre livelli di carico rispettivamente pari a 1/3, 2/3 ed 1 delcarico massimo. Gli spostamenti letti dai comparatori nelle diverse posizioni sono poi staticollegati nei grafici mediante una curva interpolante.

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a)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

P ( k N )

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

b)

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

P ( k N )

0

200

400

600

800

1000

1200

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

(mm)

Fig. 5. Elemento compresso con armature: a) con foro centrato; b) con foro eccentrico.

In particolare in Fig. 6a si riporta il caso di pilastro forato senza armature da cui si osserva chel’andamento degli spostamenti in corrispondenza di comparatori laterali e di quello centralesono sostanzialmente diversi al variare del livello di carico esaminato. Si evince che durante il

processo di carico la sezione in prossimità del foro non si mantiene piana mostrando unsignificativo incremento della deformazione. Nell’ipotesi di comportamento elastico linearedel materiale il rapporto tra lo spostamento in prossimità del foro e quello sul bordorisulterebbe di 2.66, prossimo al valore di intensificazione degli sforzi in prossimità di unalastra caricata in compressione e con foro circolare. Inoltre il valore dello spostamento mediodi 0.2 mm (che sulla base di misura di 100 mm corrisponde ad una deformazione di 0.002)risulta ampiamente superato nella zona limitrofa al foro. In Fig. 6c si mostrano le analoghecurve relative ai provini forati con armature e per confronto anche quelle relative ai provinisenza armatura. In questo caso a causa della presenza delle armature le deformazioni incorrispondenza del foro sono più contenute rispetto al caso di elemento senza armature. Sirileva infine che nel caso di foro eccentrico (Vedi Fig. 6d) si produce pressoflessione sullacolonna con conseguenze sul profilo delle deformazione. In Fig. 6b si riporta infine una foto

relativa ai provini forati durante l’esecuzione della prova.

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a) b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300 400

distanza (mm)

( m m )

Pmax

2/3 Pmax

1/3 Pmax

c) d)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 100 200 300 400distanza (mm)

( m m )

Pmax

2/3 Pmax

1/3 Pmax

armato

non armato

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 100 200 300 400distanza (mm)

( m m )

Pmax

2/3 Pmax

1/3 Pmax

Fig. 6. Andamento degli spostamenti nella sezione con il foro.

4. CONCLUSIONI

I risultati conseguiti dalle prove di compressione centrata su pilastri a sezione rettangolare esoggetti a carotaggio hanno permesso di evidenziare che la tecnica di carotaggio produce sianel caso di foro centrato che eccentrico disturbo dello stato di tensione e di deformazione,accompagnato da significativa riduzione della capacità portante rispetto al pilastro integro e

con notevole concentrazione di sforzi sull’apice del foro con elevati gradienti dideformazione.

BIBLIOGRAFIA

ACI Committee 228: (1988) “In-Place Methods for Determination of Strength of Concrete”, ACI Materials Journal , V. 1 september-October 1988, pp.446-471.

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R ESISTENZA A TAGLIO DI STRUTTURE ESISTENTI IN C.A.

Dora Foti a, Michele Mongelli a, Vito Paparella b

a Politecnico di Bari, Dipartimento di Ingegneria Civile e [email protected], [email protected]

b Ingegnere strutturista, libero professionista, Bari, [email protected]

ABSTRACT

L’edilizia moderna è stata caratterizzata dalla rapida diffusione del calcestruzzo armato qualenuovo e versatile materiale da costruzione. Nell’ambito della valutazione degli edificiesistenti, molto sensibili appaiono le strutture progettate nella prima metà del secolo scorso,quando la teoria del cemento armato e le regole di dettaglio non erano ancora ben consolidate.Il presente studio considera gli aspetti connessi alla progressiva comprensione delcomportamento a taglio, con particolare riferimento agli edifici realizzati a Bari nel periodocompreso tra il 1920 e il 1960. Successivamente, viene affrontato il tema della verifica ataglio, secondo le nuove NTC 2008, degli elementi strutturali di un telaio-tipo dello stadiodella Vittoria e si confrontano i risultati ottenuti con quelli riportati nella originaria relazionedi calcolo (redatta secondo il metodo delle tensioni ammissibili).

PAROLE CHIAVEDettagli costruttivi, armatura trasversale, resistenza a taglio.

1 INTRODUZIONE

Il cemento armato, a differenza dei materiali tradizionali dell’edilizia, si è imposto cometecnica costruttiva protetta da brevetti (il brevetto Hennebique, il brevetto Monier , etc.), lamaggior parte dei quali riguardava la disposizione delle armature da flessione, l’aderenzadella superficie e la sezione dei tondini, l’introduzione delle staffe per le sollecitazioni di

taglio. Questa circostanza denota come, negli anni a cavallo tra il diciannovesimo e ilventesimo secolo, si era ancora lontani da una piena comprensione del comportamento delmateriale e regnava una certa arbitrarietà nel calcolo degli elementi strutturali.In Italia, le prime indicazioni normative sulla sicurezza delle costruzioni in c.a. sonocontenute nel Regio Decreto del 10 gennaio 1907. Con riferimento alla verifica di resistenza ataglio, in esso si prescrive quanto segue: “non si fa assegnamento sulla resistenza delconglomerato a trazione ed a taglio, in quanto si ritiene che tali sollecitazioni vengano

sopportate interamente dall’armatura”; inoltre, “il ferro non dovrà essere sottoposto ad uno sforzo di trazione o di compressione semplice superiore a 1000 kg/cm2 ed a 800 kg/cm2 per la sollecitazione di taglio”. La sicurezza globale delle costruzioni viene garantitadall’applicazione di un coefficiente di sicurezza sulla resistenza dei materiali pari a 5.Con l’evolversi degli studi sul comportamento dei materiali si è assistito ad un progressivoconsolidamento dei metodi di calcolo. Echi di questa accresciuta sensibilità statica si ritrovano


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nei due più importanti decreti successivi al RDL 10/1/1097. Con il Decreto Presidenziale del15 maggio 1925 si diminuisce il coefficiente di sicurezza sulla resistenza dei materiali,

portandolo da 5 a 4; inoltre, sempre con riferimento alle verifiche di resistenza taglio, si leggequanto segue: “ si potrà fare assegnamento su di una resistenza del conglomerato a taglio nonmaggiore di 2 kg/cm2”. Con il Regio Decreto Legge del 18 luglio 1930 si introduce, invece, il

concetto di limite superiore alle tensioni nel calcestruzzo per elementi con armatura a taglio,indicando per esso il valore di 14 kg/cm2.Le successive indicazioni normative si caratterizzano per una impostazione sempre più

prestazionale, venendo meno il carattere prescrittivo tipico dei primi decreti. Da menzionare,in questo senso, il Regio Decreto Legge del 16 novembre 1939 n.2229. In esso, il coefficientedi sicurezza sulla resistenza dei conglomerati viene ridotto da 4 a 3; vengono fornite precisemodalità di confezionamento del calcestruzzo; la resistenza del conglomerato a taglio vieneinnalzata a 4 kg/cm2; nel caso di necessità di apposita armatura a taglio, si prescrive che “le

staffe, da sole, dovranno assorbire almeno la metà dello sforzo e la restante aliquota saràassorbita dai ferri piegati”.Per rispondere all’evoluzione scientifica e tecnologica ed alle sempre nuove aspettative del

mondo delle costruzioni venne in seguito promulgata la Legge1086/1971, che obbligava ilMinistero dei LL.PP. ad emanare ogni due anni un decreto di attuazione. Il primo di talidecreti è stato il D.M. 30/5/1972; in esso, vennero innalzate le resistenze previste per ilcalcestruzzo, espresse in termini di valori caratteristici (non più medi) della resistenza cubicaR ck (da 150 a 500 kg/cm2); le tensioni ammissibili nel calcestruzzo per elementi soggetti ataglio vennero aumentate in ragione della resistenza caratteristica (non più univocamente paria 4 e 14 kg/cm2); il metodo di calcolo esplicitamente previsto per le verifiche di sicurezza eraquello delle tensioni ammissibili.

Nei decreti successivi, le modifiche più sostanziali hanno riguardato l’introduzione delmetodo agli stati limite, l’unico esplicitamente trattato dal D.M. 9/1/1996. I motivi della sua

progressiva affermazione rispetto al metodo delle tensioni ammissibili sono da attribuire siaall’adozione di leggi costitutive più aderenti al comportamento reale degli elementi strutturalisia all’adozione di coefficienti di sicurezza separati per i carichi e per i materiali.Il D.M.’96 consentì esplicitamente, per la prima volta, la progettazione delle strutture in c.a. eacciaio con gli Eurocodici, allora pubblicati dal CEN ancora in veste sperimentale. Dal puntodi vista delle formule di verifica a taglio nelle strutture in c.a., tra D.M.’96 ed EC2 si riscontrauna sostanziale coincidenza, di significati e di risultati, a meno di qualche differenza nellasimbologia o nei coefficienti moltiplicativi.Con la pubblicazione, poi, del D.M.14/1/2008, si conclude il percorso di aggiornamento dellenorme tecniche italiane: dal punto di vista della resistenza a taglio è da sottolineare l’adozione

– a differenza del D.M.’96 – del modello del traliccio ad inclinazione variabile, con il limite

inferiore imposto all’inclinazione delle bielle complesse di cot = 2,5.

2 EDIFICI ESAMINATI

In tema di valutazione della sicurezza degli edifici in c.a., un opportuno argomento diriflessione è rappresentato dalla produzione edilizia della città di Bari nel corso della primametà del ventesimo secolo. Volendo citare gli edifici più noti tra quelli esaminati, è possibilemenzionare l’ex Istituto Superiore di Scienze Economiche e Commerciali, progettato nel 1934dall’arch. Petrucci (Figura 1a); il palazzo delle Poste e Telegrafi, realizzato nel 1931dall’arch. Narducci (Figura 1b); il complesso edilizio San Ferdinando, realizzato nel 1926 da

Saverio Dioguardi (Figura 1c); lo stadio della Vittoria, progettato nel 1932 dall’ing.Guazzaroni e dall’arch. Fasolo (Figura 1d).

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Figura 1. Edifici storici della città di Bari oggetto del campo di studio.

Sotto il profilo tecnico-costruttivo tali edifici denotano il passaggio dalla tradizionale operamuraria all’impianto tecnologico basato sul telaio in calcestruzzo armato (Morabito e Latini,1999). Anche nel capoluogo pugliese, infatti, data la sostanziale assenza di una tradizionedelle costruzioni in legno e ferro, la “nuova” tecnologia del cemento armato viene consideratacome una naturale evoluzione delle tecniche costruttive basate sull’impiego del tufo e sullarealizzazione di paramenti murari continui e portanti.Si è potuto constatare come la struttura statica di questi edifici sia quasi sempre di tipo misto,

prevedendo una disposizione di murature portanti perimetrali e pilastri in calcestruzzo armatoall’interno dell’edificio. I solai sono o in struttura mista (diffusi i solai del tipo “Stimip”) o incemento armato. Si è rilevato inoltre, un diffuso impiego del vetrocemento, adottato, per

esempio, per la realizzazione della cupola e delle pensiline del palazzo delle Poste.Il campo di studio non ha però privilegiato esclusivamente casi esemplari ma ha estesol’analisi anche ad alcune significative realizzazioni del secondo dopoguerra, prive di riscontri

bibliografici ma comunque rappresentative per le soluzioni formali o costruttive adottate. E’ ilcaso delle chiese “San Francesco da Paola” (1955, Figura 2a), “Santa Cecilia” e “San CarloBorromeo” (entrambe del 1966, Figura 2b e Figura 2c).

Figura 2. Edifici rappresentativi della produzione edilizia della città di Bari negli anni ’50-’60.

Esaminando le tavole di armatura, trova conferma la consuetudine –tipica dell’epoca- didisposizione delle armature senza specifici riferimenti ad aspetti connessi all’azione dieventuali forze sismiche (Manfredi et al., 2007). Ad esempio, la sollecitazione tagliante vienefatta assorbire sia da ferri piegati, disposti secondo le esigenze dettate dal diagramma delmomento flettente, sia da staffe, per la parte residua dello sforzo di scorrimento; le staffehanno diametro pari a 8 mm e sono disposte con passo non inferiore a 20 cm.

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Nelle travi sono comunque previste almeno quattro barre longitudinali ai vertici della sezione,tipicamente con diametro pari a 10 mm; talvolta si nota che queste armature sono le sole

presenti al lembo inferiore della trave nelle sezioni di estremità (Figura 3a). L’impiego di barre tonde lisce, attese le modeste prestazioni in termini di aderenza, rende necessarial’adozione di specifiche sagomature terminali (ganci ad uncino) per l’innalzamento della

soglia di sfilamento. Ciò nonostante, alla luce delle attuali regole di dettaglio, le lunghezze diancoraggio delle armature longitudinali tese si rivelano non adeguate.

Figura 3. Chiesa “San Carlo Borromeo”, tavole d’armatura.

Particolare cautela veniva adoperata nell’armatura dei pilastri (Figura 3b), per far fronte alleinevitabili sollecitazioni flessionali, dovute sia alla monoliticità dei nodi trave-pilastro cheall’azione del vento, fenomeni in genere non considerati esplicitamente nei calcoli (i pilastrierano spesso progettati per solo sforzo normale centrato). Le staffe, con diametro in media di

6 mm, venivano generalmente disposte con passo costante (lungo tutta l’altezza dei pilastri) enon superiore a dieci volte il diametro delle barre longitudinali. La loro conformazione

prevedeva correttamente ancoraggi all’interno della sezione.

3 CASO DI STUDIO: ARENA DELLA VITTORIA

La ricerca, di cui in questa sede si propongono sinteticamente i primi risultati, trae origine dauna serie di studi e recenti esperienze in tema di valutazione degli edifici esistenti che hanno

ben evidenziato l’inadeguatezza del quadro conoscitivo di gran parte delle testimonianzeedilizie storiche della città di Bari (Morabito e Latini, 1999).

Dall’esame delle piante e delle carpenterie allegate al progetto si rileva la tradizionaleconcezione dello stadio quale “catino chiuso”: l’ossatura portante (Figura 4) è costituita datelai in c.a. disposti radialmente ad interasse di 5,4 m; le gradinate, anch’esse in c.a. gettato inopera, sono solidali ai telai e disposte lungo tutto il perimetro interno (con opportuni giunti diespansione, ogni cinque campate); nello spazio sottostante le gradinate sono stati ricavati dueambienti differenti -a quota 4,2 m e 8,2 m rispettivamente- che si sviluppano con continuità indirezione anulare.L’impiego diffuso del telaio radiale nella costruzione degli stadi dell’epoca è dovuto allacaratteristica monoliticità nei riguardi delle azioni verticali: il carico agente su una trave siripartisce fra tutti gli elementi, sollecitando l’intera struttura. Tipica, a tal fine, èl’introduzione della campata corta fra i due settori di gradinata, a motivo del rilevante

contributo irrigidente da essa offerto nella canalizzazione delle azioni in fondazione.

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Figura 4. Stadio della Vittoria: carpenteria (a); tribuna coperta (b) ; vomitoio (c) ; tribuna scoperta (d).

Anche i due solai in direzione anulare assolvono ad un preciso scopo, che è quello di attivarela mutua solidarietà fra i pilastri nei confronti delle azioni orizzontali. La presenza di travi di

bordo perimetrali fa sì che restino individuati dei telai anulari continui per tutto il lorosviluppo: i più rigidi risultano essere quelli più interni, in quanto dotati di colonne di minorealtezza rispetto a quelli disposti lungo gli allineamenti più esterni.

Il comportamento dell’intero organismo strutturale è migliorato dalla notevole rigidezzacomplessiva dell’ossatura delle tribune, dovuta sia al graticcio di travi radiali ed anulari sia alcontributo dei blocchi monolitici costituiti dalle soprastanti gradinate. Con riferimento ai telai

principali, tali caratteristiche consentono di ritenere il traverso estensionalmente molto rigidorispetto alla traslazione orizzontale dei ritti, in modo tale da favorire la ripartizione delleazioni orizzontali in aliquote proporzionali alle rigidezze delle colonne. Dalle carpenterie sievince, inoltre, che le estremità superiori dei ritti sono vincolate al traverso mediante nodiincastro, in modo tale da attivare la solidarietà flessionale tra le colonne.

Nel seguito (Figura 5) si riporta la tavola d’armatura del telaio relativo alla tribuna scoperta elo schema statico assunto dal progettista per il dimensionamento del traverso. Quest’ultimo èuno schema di trave continua, su quattro appoggi (in corrispondenza dei ritti del telaio) e condue sbalzi (le parti terminali delle gradinate).

Figura 5. Stadio della Vittoria: tavola d’armatura (a) e schema statico (b) del telaio della tribuna scoperta.

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La determinazione delle sollecitazioni viene svolta applicando il metodo dei punti fissi econsiderando quale modello di trave continua la proiezione sul piano orizzontale della linead’asse della travatura (Figura 6).

Figura 6. Stadio della Vittoria: diagramma inviluppo del taglio agente sul traverso.

Il criterio di modellazione seguito dal progettista comporta inevitabilmente delleapprossimazioni. Infatti, se da un lato la presenza di gradinate solidali al traverso fa sì chequest’ultimo abbia un comportamento monodimensionale (le coppie agenti da ambo i lati deltraverso non sono indispensabili per l’equilibrio e tendono a compensarsi, essendo di versoopposto), dall’altro l’avere reso orizzontale la linea d’asse del traverso non consente dicogliere l’effetto dello sforzo normale dovuto ai carichi agenti (e quindi la sua influenza sullaresistenza a taglio del traverso).Dal punto di vista della verifica di resistenza al taglio, dall’esame della relazione di calcolo sievince che la sezione più sollecitata è quella a destra dell’appoggio A (Figura 5b), ove agisceun taglio pari a 12,8 ton (nel Sistema Tecnico). Ciò trova riflesso nelle dimensioni assuntedalle sezioni trasversali -sempre rettangolari- lungo la linea d’asse: 25x100 cm incorrispondenza dell’appoggio A; 25x80 cm in corrispondenza degli altri appoggi; 25x56 cmin campata. La tensione tangenziale massima, valutata con il criterio semplificato di

Jourawski, è pari a 6,1 kg/cm2

. Dalla documentazione consultata presso l’Archivio di Stato diBari non è possibile risalire al calcolo delle staffe. L’esame della tavola d’armatura per iltelaio in questione (Figura 5a) consente però di valutare il passo e il diametro delle staffedisposte: tipicamente, 18/20 cm sugli appoggi e 18/25 cm in campata.Al fine di istituire un confronto tra la resistenza a taglio calcolata con il metodo delle tensioniammissibili e quella calcolata con il metodo agli stati limite (secondo le NTC 2008) e volendovalutare la bontà delle assunzioni fatte in sede di progetto, si è proceduto alla modellazioneagli elementi finiti dell’intero telaio considerato nella relazione di calcolo. Il modelloanalizzato e lo schema di carico principale allo SLU sono riportati in Figura 7 e Figura 8.

Figura 7. Stadio della Vittoria: modello unifilare del telaio principale.

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Figura 8. Stadio della Vittoria: combinazione di carico allo SLU per il telaio principale.

Le caratteristiche dei materiali impiegati, in assenza di dati progettuali (con eccezione delcarico ammissibile per il conglomerato) e di indagini in situ, sono state desunte applicando ilD.P. 15 maggio 1925, quale normativa all’epoca vigente. Pertanto, il carico di rottura acompressione del conglomerato è assunto pari a 16 MPa, il peso specifico del conglomerato èassunto pari a 24 kN/m3 ed il carico di snervamento dell’acciaio è posto pari a 250 MPa.Volendo avere dati omogenei per il confronto, si sono applicati gli stessi carichi (verticali)considerati dal progettista nella risoluzione dello schema di trave continua. I valori deisovraccarichi considerati, nelle unità di misura del Sistema Tecnico, sono i seguenti:

• Gradinate 10-13: gk = 0,34 t/m2; qk = 0, 4 t/m2;• Gradinate 13-15: gk = 0,3 t/m2; qk = 0, 4 t/m2;• Solaio a quota + 8,2m: gk = 0,1 t/m2; qk = 0, 05 t/m2;• Solaio a quota + 4,2m: gk = 0,42 t/m2; qk = 0, 3 t/m2;• Parapetto a coronamento del perimetro esterno : Gk =1,95 t;

L’inviluppo di tutte le possibili combinazioni di carico allo SLU, con riferimento agli aspettiche qui si intende focalizzare (taglio e sforzo normale), è riportato in Figura 9.

Figura 9. Inviluppo combinazioni allo SLU: diagramma del taglio (a) e dello sforzo normale (b).

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La sezione più sollecitata a taglio risulta essere quella a sinistra del nodo 14 (Figura 7), oveagisce un taglio Vad =171 kN; inoltre, in tale sezione si registra uno sforzo normale dicompressione pari a 107 kN, favorevole per l’innalzamento del valore limite a taglio-compressione. In accordo con il punto 4.1.2.1.3.2 delle NTC 2008, assumendo cotg =2,5,risulta: VRcd =247 kN; VRsd =187 kN. Pertanto la resistenza a taglio della sezione è VRd=VRsd

> Vad, con una percentuale di impiego della sezione del 91%.Rispetto alla relazione di calcolo originale, quindi, varia la sezione maggiormente sollecitata(non più la 11 ma la 14, Figura 7 e Figura 10) e la resistenza a taglio del traverso è limitatadall’armatura impiegata piuttosto che dalla resistenza del calcestruzzo (sebbene all’epoca nonera stato ancora introdotto il concetto di limite superiore alla tensione tangenziale nelcalcestruzzo).

Figura 10. Particolare d’armatura del traverso nella regione maggiormente sollecitata a taglio.

4 CONCLUSIONI

La valutazione della capacità portante degli edifici esistenti è un tema di ricerca molto sentitoin Italia. Particolare rilievo assumono le verifiche a taglio negli edifici in c.a., per gli aspetticonnessi alla parziale comprensione del comportamento degli elementi strutturali all’epocadella loro realizzazione. L’analisi dei particolari costruttivi delle strutture di alcuni edificidella città di Bari realizzati nel secolo scorso conferma la necessità di un’estesa campagna diverifica. Con riferimento allo stadio della Vittoria, si è mostrato come la verifica a taglio deitelai principali, eseguita secondo le recenti Norme Tecniche, dipenda fortemente dalla qualitàe dalla disposizione dell’armatura, piuttosto che dalla sezione di calcestruzzo.

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VALUTAZIONE DEL CONTRIBUTO DI ELEMENTI NON STRUTTURALI

SUL COMPORTAMENTO DINAMICO DI EDIFICI ESISTENTI IN C.A.:

IL CASO DEL PALAZZO COMUNALE DI VAGLI SOTTO (LU)

G. Chellini a, V. Daprile b, M. Ferrini b, V. Marangolo b,L. Nardini a, M.C. Ntibarikure b, W. Salvatore a

a Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Università di Pisa, Pisa [email protected] , [email protected] , [email protected]

b Regione Toscana, Servizio Sismico, [email protected], [email protected],

[email protected], [email protected]

ABSTRACT Nella memoria sono illustrati i risultati preliminari di un più vasto studio sull’influenza deglielementi non strutturali, in particolare dei tamponamenti, sulla risposta dinamica di edifici atelaio in calcestruzzo armato. Ciò consentirà la realizzazione di modelli opportuni capaci didescrivere la reale risposta dell’edificio all’azione sismica ai fini di una corretta analisi dellavulnerabilità e una appropriata scelta delle strategie e tecniche di intervento. I primi risultati

dell’analisi dinamica sperimentale effettuata su un edificio a telaio in calcestruzzo armatodestinato alla demolizione a seguito delle verifiche sismiche hanno confermato l’elevatainfluenza dei tamponamenti sia sul valore delle frequenze proprie dell’edificio che sullanatura delle forme modali rilevanti.

PAROLE CHIAVEEdifici esistenti, calcestruzzo armato, Analisi Modale Operativa, elementi non strutturali,tamponamenti.

1 INTRODUZIONE1.1 Problematiche nella valutazione della risposta sismica di edifici esistenti in C.A.

Un numero considerevole fra gli edifici in calcestruzzo armato ad oggi esistenti sul territorioitaliano è stato realizzato facendo riferimento a norme tecniche oggi obsolete spesso non ingrado di garantire i livelli di sicurezza richiesti dalle mutate esigenze sociali, talvoltautilizzando materiali di scarsa qualità e senza alcun controllo sulle loro effettive proprietàmeccaniche.A seguito della mutata attenzione nei confronti della riduzione del rischio sismico, le

pubbliche amministrazioni spesso si trovano di fronte a manufatti edilizi le cui prestazioninon sono adeguate alle odierne normative sulle costruzioni e devono quindi provvedere alla

valutazione del loro grado di vulnerabilità ed al progetto degli eventuali interventi di recuperonecessari. In questo contesto una approfondita conoscenza del manufatto e dei materiali


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costituenti ed una accurata modellazione della risposta alle sollecitazioni dinamiche risultanoevidentemente necessarie per una corretta analisi delle carenze dell’edificio ed una sceltaottimale della filosofia d’intervento.La risposta dinamica di un edificio esistente a scheletro in c.a., d’altro canto, è in realtà affettada numerose fonti di incertezza quali l’effettivo comportamento degli elementi strutturali e

delle struttura o l’effettivo contributo, spesso non trascurabile ma trascurato, degli elementinon strutturali, quali ad esempio gli elementi di tamponamento. Tali incertezze si traduconoinevitabilmente in altrettante possibili fonti di errore nella costruzione del modello strutturalee possono quindi condurre ad una non corretta valutazione degli effetti dell’azione sismica.La presente memoria riporta i risultati preliminari di uno studio sul contributo di elementi nonstrutturali alla risposta dinamica di edifici esistenti in c.a. basato sui risultati di una accurataanalisi dinamica sperimentale effettuata su un edificio esistente destinato alla demolizione,realizzando, mediante successive demolizioni parziali, diverse distribuzioni degli elementinon strutturali nell’ambito della costruzione. L’identificazione modale, effettuata con letecniche dell’Analisi Modale Operativa, ha permesso di riconoscere le principalicaratteristiche dinamiche dell’edificio ad ogni fase di prova e, tramite comparazione delle

proprietà modali, ha consentito di evidenziare il contributo in termini di rigidezza deitamponamenti esterni alla risposta dinamica della struttura.

2 IL CASO STUDIO

L’edificio della Sede Comunale di Vagli Sotto era (essendo stata demolita subito dopo le prove descritte nella memoria) una costruzione a telaio in calcestruzzo armato costituita dadue piani fuori terra più un piano seminterrato di minore estensione.Le altezze interpiano erano pari a 2.05 m per il piano seminterrato, a 3.2 m per il piano terraed a 3.5 m per il primo piano. L’edificio aveva una forma approssimativamente rettangolare

in pianta di dimensioni massime pari a 27.25 m e 13.60 m e presentava un aggetto nella partefrontale in corrispondenza della sala consiliare.

Nella Figura 1 sono mostrate delle viste prospettiche dell’edificio mentre in Figura 2 sonoriportate le piante del piano seminterrato, del piano terra e del primo piano dell’edificio, oltread una sezione estratta dal progetto originale.In Figura 3 sono mostrati infine alcuni prospetti contenuti nel progetto originale.

a) Prospetto SUD b) Prospetto EST

Figura 1. Prospetti del Palazzo Comunale di Vagli di Sotto.

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PIANTA PIANO PRIMO

1 5 . 2

0

1 3 . 6

0

4 . 4

0

4 . 4

0

4 . 4

0

27.253.70 3.70 3.70 3.70 3.70 4.25 4.25

0.30

PIANTA PIANO TERRA

SCANTINATOH = 2.20

PIANTA PIANO SEMINTERRATO

Figura 2. Piante del piano seminterrato, terra e primo. Sezione generica dell’edificio ( progetto originale).

a) b)

Figura 3. Estratti delle tavole del progetto originale: a) prospetto EST, b) prospetto NORD.

I telai principali in calcestruzzo armato erano disposti secondo la direzione trasversaledell’edificio ed uniti tra loro da travi di collegamento in corrispondenza dei solai interpiano.Le colonne erano caratterizzate da una sezione trasversale costante lungo l’altezza didimensioni pari a 25 x 40 cm. L’armatura delle colonne era costituita da 4 barre longitudinalidi 16 mm di diametro e da staffe φ = 6 mm disposte ad una passo variabile tra 15 e 20 cm.Le travi principali erano caratterizzate da sezione trasversale di dimensioni 25 x 50 cm ed

armate con barre longitudinali di diametro φ = 16 mm o φ = 12 mm e con staffe di diametroφ = 6 mm disposte ad un passo pari 20 cm.Gli elementi perimetrali al piano terra erano a sezione trasversale di dimensioni variabili,

passando da 25 x 50 cm in corrispondenza degli appoggi a 25 x 35 cm nel punto di mezzeria.Altre travi di lunghezza inferiore erano caratterizzate da sezione trasversale di dimensioniuguali a 16 x 40 cm con armatura costituita da barre longitudinali di diametro φ = 16 mm estaffe φ = 6 mm disposte ad un passo pari a 20 cm.A livello di fondazione era presente, in corrispondenza del seminterrato localizzato nella sola

parte centrale dell’edificio, una platea da cui sorgevano muri continui e da questi, a loro volta, parte dei pilastri del piano terra; nella restante parte erano disposti plinti di fondazione unititra loro da travi di collegamento.I solai erano costituiti da travetti unidirezionali in latero-cemento con un getto di com-

pletamento di 40 mm.

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La copertura era realizzata con solai inclinati di altezza 16 cm in latero-cemento con gettointegrativo, sorretti da travi di dimensioni 16 x 25 cm armature con barre longitudinali didiametro φ = 12 mm e pilastri con sezione trasversale di dimensioni pari a 16 x 25 c ed armaticon 4 barre longitudinali di diametro φ = 12 mm.La qualità dei calcestruzzi impiegati è stata verificata dal Servizio Sismico della Regione

Toscana mediante approfondite indagini basate su tecniche distruttive e non distruttive. Taliindagini hanno restituito una popolazione di valori molti dispersi i cui limiti sono 4.00 MPa e12.61 MPa. (Regione Toscana – progetto V.E.L., 2003, 2004a, 2004b)Le indagini sperimentali sulle barre d’armatura e sugli acciai costituenti le staffe sono tuttora

in corso presso il Laboratorio Ufficiale di Prove sui Materiali dell’Università di Pisa.

3 LA CAMPAGNA DI INDAGINI SPERIMENTALI

3.1 L’Analisi Modale Operativa

L’Analisi Modale Operativa (o Output-Only), utilizzata nell’indagine descritta, trova ormai

applicazione non solo nei casi in cui risulti impegnativo ed economicamente oneroso eccitaredinamicamente strutture massive, quali ponti o edifici, con i mezzi tradizionali dell’analisidinamica sperimentale, ma praticamente in tutti i casi tipici dell’ingegneria civile (Maia,Silva, 1997) (Ewins, 2000) (Zhang et al., 2005).Essa si basa sulla misura della sola risposta strutturale eccitata da sorgenti ambientali quali iltraffico veicolare od il vento, assumendo che l’ente generatore delle vibrazioni sia un

processo stocastico (rumore bianco).I principali vantaggi dell’analisi modale operativa sono in estrema sintesi: velocità edeconomia nell’esecuzione dei test sperimentali, caratterizzazione dinamica della struttura o disue parti nelle condizioni maggiormente simili a quelle di reale funzionamento, possibilità diidentificare forme modali ravvicinate tra loro o ripetute, possibilità d’utilizzo per ilmonitoraggio strutturale e per la localizzazione del danno.

3.2 Descrizione generale e finalità, programma delle prove.

L’analisi sperimentale dinamica è stata eseguita in quattro fasi successive ipotizzando quattro possibili scenari corrispondenti a diversi schemi di tamponamento dell’edificio. Oltre allasituazione reale dell’edificio (Fase I) sono state analizzate le seguenti configurazioni:tamponamenti solo I piano (Fase II) disposti su due lati dell’edificio; tamponamenti solo al I

piano e disposti su un’unica campata (Fase III); nessun tamponamento presente (Fase IV). Lasuccessione delle Fasi è riportata nella Tabella 1 mentre nella Figura 4 è rappresentato il pianodelle demolizioni. Le masse demolite, al fine di non variare significativamente la massa

complessiva durante le prove dinamiche, è stata rimossa solo al termine dell’intera campagnasperimentale.

Taella 1. Schema di esecuzione delle fasi di sperimentazione e di demolizione dei tamponamenti.

Fase Descrizione I Analisi sperimentale dinamica dell’edificio in presenza di tutti i tamponamenti

DEM1 Demolizione dei pannelli 1, 2, 3, 4 e 5 II Analisi sperimentale dinamica dell’edificio in presenza di parte dei tamponamenti

DEM2 Demolizione dei pannelli 6,7,8 III Analisi sperimentale dinamica dell’edificio in presenza di parte dei tamponamenti

DEM3 Demolizione dei pannelli 9 IV Analisi sperimentale dinamica dell’edificio in assenza dei tamponamenti esterni

- 56 -



2

22

2 2

3 3 3 4 1

1

1

1443 43 3

3

7 7 7 7 7

9

5

58 6 6

6 6 6

5 5

5

5

5

DEMOLITO TRA LA PRIMA E LA SECONDACAMPAGNA SPERIMENTALE DINAMICA

N ORDINE DI DEMOLIZIONEDEMOLITO TRA LA SECONDA E LA TERZACAMPAGNA SPERIMENTALE DINAMICA

PIANTA PIANO PRIMOPIANTA PIANO TERRENO

Figura 4. Sequenza di demolizione dei panneli esterni di tamponamento.

3.3 Il sistema di acquisizione, posizionamento dei sensori e descrizione delle misure.

Il posizionamento della strumentazione (costituita da accelerometri mod. PCB 3701 e PCB393C) è stato progettato in modo tale da consentire la caratterizzazione del comportamentoglobale dell’edificio, con particolare attenzione ai modi di vibrare che influenzano la rispostastrutturale in fase di sisma. Nella Figura 5 è riportato uno schema con riportate le posizioniscelte per gli accelerometri mentre in Figura 6 sono riportati alcuni esempi di posizionamentodei sensori.L’elaborazione dei dati registrati per l’estrazione delle caratteristiche modali è stata effettuatamediante la tecnica di Identificazione Strutturale ad Input Incognito Stochastic SubspaceIdentification (SSI) (Peeters & De Roeck, 2001).

1 5 . 2

0

1 3 . 6

0

4 . 4

0

4 . 4

0

4 . 4

0

27.25

3.70 3.70 3.70 3.70 3.70 4.25 4.25

PIANTA PIANO TERRA PIANTA PIANO PRIMO

A12A03

A02

A01A04

A09

A10

A11

A16

A06

A05

A08

A13

A14

A15

A07

Accelerometro Sistema di acquisizioneLEGENDA

Figura 5. Posizionamento dei sensori e del sistema di acquisizione durante le campagne di misura.

Figura 6. Esempi di posizionamento dei sensori nelle diverse campagne di sperimentazione.

- 57 -



3.4 Risultati dell’identificazione e analisi preliminare

Nella Tabelle 2 e 3 sono riportati i risultati dell’identificazione strutturale effettuata con latecnica SSI: in particolare in Tabella 2 è riportata l’analisi dei picchi delle funzioni di densitàspettrale mentre in Tabella 3 sono rappresentate le forme modali più significati tra quelleidentificate.

Risulta evidente l’influenza dei tamponamenti che di fatto irrigidiscono fortemente la strutturainnalzandone significativamente i valori delle frequenze proprie ma anche influenzando lanatura dei modi stessi. E’ facile infatti notare come le forme modali dell’edificio completo ditamponamenti presentino tutte sia contributi flessionali che torsionali mentre man mano che itamponamenti venivano demoliti la struttura presentava una sempre più netta separazione deicontributi flessionali e torsionali nelle diverse forme modali.In ogni caso, come risulta evidente dalle Tabelle 2 e 3, il contributo torsionale risulta

preponderante confermando comunque la forte irregolarità della struttura.

4 CONCLUSIONI

Nella memoria sono presentati i primi risultati di una studio tuttora in corso sull’influenza deitamponamenti sul comportamento dinamico di strutture a telaio in cemento armato.Dai primi risultati dell’analisi dinamica sperimentale eseguite su un edificio di carattere“strategico” destinato alla demolizione a seguito delle verifiche sismiche è evidente come la

presenza delle strutture secondarie di rigidezza e resistenza non trascurabili possa influenzarefortemente la risposta dinamica di una struttura variandone sia il valore delle frequenze

proprie che la natura delle forme modali.Ulteriori studi saranno necessari per la realizzazione di modelli atti a descrivere in modoaccurato la reale risposta dinamica dell’edificio e per verificare l’influenza della presenza deitamponamenti sugli effetti dell’azione sismica.

RINGRAZIAMENTI

Si ringrazia il geom. Luciano Pagni del Laboratorio di Prova per i Materiali e le Strutturedell’Università di Pisa per la preziosa collaborazione nell’effettuazione delle provedinamiche.

BIBLIOGRAFIA

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Regione Toscana – progetto V.E.L. (2004a) “Valutazione vulnerabilità edifici scolastici – Comune diVagli Sotto – Prospezioni sismiche in foro tipo downhole – relazione tecnica”, 2004

Regione Toscana – progetto V.E.L. (2004b)“Valutazione vulnerabilità edifici scolastici – Comune diVagli Sotto – Relazione geologica sui sondaggi S1, S2, S3 località Bivio di Vagli Sotto e S4 localitàVagli Sopra”, 2004

Maia, N.M.M., Silva, J.M.M. (1997) Theoretical and Experimental Modal Analysis. Research StudiesPress LTD, Baldock, Hertfoordshire, England.

Ewins, D.J. (2000) Modal Testing: Theory, Practice and Application. Research Studies Press Ltd.Zhang L., Brincker R., Andersen P. (2005) An Overview of Operational Modal Analysis: Major

Development and Issues; Proceeding of 1st IOMAC International Operational Modal AnalysisConference, 4-6 May 2005, Copenhagen, Denmark.

- 58 -



Peeters B., De Roeck G. (2001) Stochastic System Identification for Operational Modal Analysis: AReview; ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, vol. 123, 659-667.

Tabella 2. Modi di vibrare ottenuti mediante la tecnica “Stochastic Subspace Identification”. Confrontocon i valori osservabili mediante l’analisi dei picchi delle funzioni di densità spettrale.

T e s t PSD

Modi di vibrare

n. Freq.

HzSmorz.

% Descrizione

I

10.0e-12

10.0e-9

L o g

( m / s 2 ) 2

CrossPower A11:-Y/A05:+X

CrossPower A11:-Y/A05:+Y

CrossPower A10:+X/A07:+X

CrossPower A16:+Y/A07:+X

6.67 7 .85 12.58

2.00 18.00Hz

I-1 6.68 2.52 Flesso-

Torsionale

I-2 7.82 2.23 Flesso-

Torsionale

I-3 12.59 1.59 Distorcente

I-4 21.79 0.89 Flesso-

Torsionale

II

2.00 18.00Hz

10.0e-12

100e-9

L o g

( m / s 2 ) 2

4 .6 6 5 .7 8

Auto Powe r A 05:+X

Auto Powe r A 05:+Y

Auto Powe r A 07:+X

Auto Powe r A 08:-Y

6.33

14.00

II-1 4.66 0.97 Flesso-

Torsionale

II-2 5.79 3.58 Distorcente

II-3 6.33 1.40 Flesso-

Torsionale

II-4 14.03 2.47 Flesso-

Torsionale

III

100e-12

1.00e-6

L o g

( m / s 2 ) 2

AutoPow er A05:+X

AutoPow er A05:+Y AutoPow er A07:+X

AutoPow er A08:- Y

3.98 5.78 9.84 17.34

2.00 18.00Hz

III-1 3.98 1.09 Torsionale

III-2 5.77 2.21 Flesso-

Torsionale



IV

700e-12

100e-6

L o g

( m / s 2 ) 2

AutoPow er A 05:+X

AutoPow er A 05:+Y

AutoPow er A 07:+X

AutoPow er A 08:-Y

3.81 5.47 9.77 14.11

2.00 18.00Hz

IV-1 3.82 2.78 Torsionale

IV-2 5.46 3.33 Flessionale



- 59 -



Tabella 3. Modi di vibrare ottenuti mediante la tecnica “Stochastic Subspace Identification”.Rappresentazione delle prime deformate modali ottenute dalle diverse campagne sperimentali.

I

Modo I-1 (6.68 Hz, 2.52%) Modo I-2 (7.82 Hz, 2.23%) Modo I-3 (12.59 Hz, 1.59%)

II

Modo II-1 (4.66 Hz, 0.97%) Modo II-2 (5.79 Hz, 3.58%) Modo II-3 (6.33 Hz, 1.40%)

III

Modo III-1 (3.98 Hz, 1.09%) Modo III-2 (5.77 Hz, 2.21%) Modo III-3 (9.86 Hz, 2.12%)

IV

Modo IV-1 (3.82 Hz, 2.78%) Modo IV-2 (5.46 Hz, 3.33%) Modo IV-3 (9.67 Hz, 9.09%)

- 60 -




VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO

COMBINANDO I RISULTATI DI PROVE DIRETTE E NON DISTRUTTIVE

Renato Giannini, Lorena Sguerri

Università degli Studi di Roma Tre - Dipartimento di Strutture

SOMMARIOLe prove distruttive su carote estratte dalla struttura forniscono i dati più attendibili per la sti-ma delle caratteristiche meccaniche del calcestruzzo esistente, ma, essendo costose ed invasi-ve, andrebbero limitate in numero ed eseguite secondo un piano razionalmente progettato.I risultati delle prove distruttive possono essere affiancati ed arricchiti da misure indirette del-la resistenza, usando uno o più metodi non distruttivi. Queste prove possono essere utilizzate,oltre che per una indagine preventiva, per ampliare la base dei dati con cui si stima la resi-stenza del materiale in esame. A questo fine è necessario disporre di una legge di correlazionetra la grandezza misurata e la resistenza del materiale.L’utilizzo di tecniche di sperimentazione diverse (distruttive e non distruttive) porta quindi adisporre di informazioni della stessa grandezza dotate di disuguale attendibilità. In questo la-voro viene presentata una tecnica, basata sull’inferenza bayesiana, che consente di mescolare

razionalmente questi due tipi di dati; come risultato si ottiene la curva di distribuzione dellaresistenza del calcestruzzo, mediante la quale si possono determinare alcuni valori significati-vi, normalmente usati nei calcoli, come il valore mediano e il valore caratteristico della resi-stenza.La metodologia è stata sviluppata con riferimento alle misure di velocità degli ultrasuoni, unodei più popolari metodi non distruttivi impiegati per il calcestruzzo, ma può essere usata an-che per altri tipi di test. A titolo di esempio, i risultati sono stati applicati ad alcuni edifici esi-stenti, di cui erano disponibili i dati sperimentali.

PAROLE CHIAVE

Teorema di Bayes, Metodi non distruttivi, Resistenza del calcestruzzo, Prove in situ.

1 INTRODUZIONE

La valutazione della resistenza di una struttura esistente richiede la conoscenza delle caratteri-stiche meccaniche dei materiali. Per il calcestruzzo questo aspetto è particolarmente delicato erilevante, a causa della elevata variabilità della sua resistenza, che è sensibile alla composi-zione, alle condizioni ambientali, all'azione di sostanze aggressive, ecc.Un altro problema che si incontra nel processo di valutazione, è quello di stabilire quali partidella struttura si possano ritenere, dal punto di vista del materiale, omogenee. Quando si ese-

guono misure in punti diversi, e si usano i risultati per costruire una statistica della grandezzamisurata, implicitamente si ammette che il campo stocastico che la descrive sia omogeneo.


- 61 -



Tale ipotesi può ritenersi ragionevole se durante la costruzione non sono avvenuti eventi chehanno portato ad un cambiamento sistematico della qualità del calcestruzzo. È dunque impor-tante saper riconoscere le zone della costruzione all'interno delle quali è lecito assumere che ilmateriale abbia caratteristiche omogenee.Lo strumento preferenziale per la misura della resistenza (e di altre proprietà meccaniche,

come il modulo elastico) del calcestruzzo è la prova distruttiva, che, nel caso delle costruzioniesistenti, si esegue su carote prelevate dalla struttura. Anche se questa misura può essere alte-rata da diversi fattori, il valore rilevato in questo modo è sicuramente il più attendibile che si

possa ottenere, e nel seguito sarà ritenuto il valore reale della resistenza del materiale in quel punto.Le misure dirette sono invasive, oltre che costose, e vanno quindi limitate in numero, spe-cialmente quando le indagini riguardano costruzioni in esercizio. Esse possono essere integra-te da prove indirette, non distruttive, che disturbano meno la struttura e, generalmente, sonomeno costose delle precedenti, perciò possono essere eseguite in maggior numero ed interes-sare una più vasta estensione della struttura; per contro, per utilizzarne i risultati, occorre di-sporre di un modello matematico che ponga in relazione la grandezza misurata con quella che

si desidera stimare. La stima è però sempre affetta da un errore casuale, più o meno grandesecondo il metodo di misura utilizzato. È opinione condivisa che queste misure non possanosostituire, ma soltanto affiancare, quelle dirette, che servono anche per tarare la legge di corre-lazione tra le due grandezze.Il progettista dispone quindi di dati con diversa attendibilità, alcuni forniti dalle prove dirette,altri, presumibilmente più numerosi, ottenuti dalle prove indirette. Si pone il problema di me-scolare queste informazioni per giungere in modo razionale ad una valutazione globale dellaresistenza. L’inferenza bayesiana appare come lo strumento più idoneo a questo scopo [si ve-da (Bartlett e Sexsmith, 1991), (Geyskens ed al., 1998), (Kriviak e Scanlon, 1987)].

2 DESCRIZIONE SINTETICA DELLA PROCEDURA

In questo paragrafo viene delineato il procedimento proposto per giungere ad una stima razio-nale della resistenza del calcestruzzo di una costruzione esistente, utilizzando i risultati di mi-sure dirette ed indirette. Nel seguito, per le prove non distruttive, si farà riferimento al metododelle velocità degli ultrasuoni; tuttavia la procedura proposta può applicarsi, senza rilevantimodifiche, a qualunque altro metodo di misura indiretta.La procedura si articola nei seguenti passi:1. Determinazione delle zone omogenee. Lo scopo di questa fase è determinare quali parti di

una costruzione (eventualmente l'intera), si possano ritenere realizzate con un materialeavente caratteristiche omogenee. Come operazione preliminare occorre suddividere la co-struzione in zone che si possano ritenere a priori internamente omogenee. Ad esempio, inun edificio di non grandi dimensioni, ciascun piano potrebbe ritenersi omogeneo, in quan-to il getto sarà avvenuto in un tempo limitato, durante il quale si presume che non si sianoverificati cambiamenti rilevanti. Si vuole quindi verificare se zone diverse possano rite-nersi tra loro omogenee.Questa procedura prevede che la determinazione dell'omogeneità sia basata sui risultatidelle misure non distruttive, l’omogeneità pertanto è effettivamente stabilita per la gran-dezza misurata (p.es. la velocità degli ultrasuoni) e non per quella di interesse (la resisten-za del materiale). Si deve quindi presumere che l’omogeneità rispetto ad una grandezzaimplichi anche quella dell’altra.

Dopo aver suddiviso la costruzione in n0 zone, ritenute omogenee a priori, in ciascuna siesegue un numero adeguato (15-20) di misure non distruttive. Mediante il criterio che sarà

- 62 -



illustrato nel seguito, è possibile decidere se due zone si debbano ritenere o no tra loroomogenee. A conclusione di questa fase la costruzione risulterà suddivisa in un certo nu-mero di parti (al limite una sola) che si ritiene siano state costruite con un calcestruzzo a-vente caratteristiche omogenee.

2. Determinazione della distribuzione a priori della resistenza sulla base delle misure indi-

rette . Per ciascuna parte ritenuta omogenea si determina la distribuzione della resistenzadel calcestruzzo, basandosi sui risultati delle prove non distruttive. A questo scopo è ne-cessario disporre di una legge di correlazione tra la grandezza misurata (p.es. la velocitàdegli ultrasuoni) e la resistenza. Come è noto queste leggi non sono generalizzabili; peravere una legge attendibile e non affetta da errore sistematico è quindi necessario tararlacaso per caso.In ciascuna zona classificata omogenea si prelevano un certo numero di carote (almeno 5)delle quali si misura la resistenza. I prelievi vanno eseguiti in corrispondenza di alcuni trai punti dove in precedenza sono state eseguite le misure non distruttive. Sulla base dellecoppie dei valori misurati si costruisce quindi la legge di regressione e con questa, utiliz-zando le restanti misure non distruttive, si determina una funzione di distribuzione della

media e della varianza della resistenza del calcestruzzo.3. Costruzione della distribuzione finale mediante aggiornamento bayesiano . La distribuzio-

ne costruita nel punto precedente non utilizza i dati più significativi, che sono quelli otte-nuti mediante le misure dirette sulle carote. Questa informazione viene ora inserita nel

processo aggiornando la distribuzione determinata nel punto precedente con i valori delleresistenze effettivamente misurati. In questo modo si tiene conto, pesandole con la relativaattendibilità, sia delle misure dirette sia di quelle indirette.

3 DISTRIBUZIONI DEI PARAMETRI STATISTICI MEDIANTE INFERENZABAYESIANA

La distribuzione lognormale è comunemente utilizzata per formulare il modello probabilisticodelle principali caratteristiche meccaniche del calcestruzzo (resistenza, modulo elastico, ecc.)(Joint Committee on Structural Safety, 2002). Poiché la velocità di propagazione delle ondedipende essenzialmente dalla radice quadrata del modulo elastico, anche per essa si potrà uti-lizzare la medesima distribuzione. I logaritmi di queste variabili sono quindi distribuiti secon-do la legge di Gauss. Poiché gli sviluppi analitici risultano notevolmente semplificati se le va-riabili sono gaussiane, nel seguito si opererà direttamente sui logaritmi di queste grandezze.Se X è una v.a. gaussiana, con media μ e varianza σ, la sua funzione di probabilità è

( ) ( ) σ π σ μ σ μ 22exp,| 22−−= x x p (1)

Se i parametri μ e σ fossero noti, la (1) descriverebbe in modo completo la variabile X . Gene-ralmente però queste grandezze sono incognite e devono essere stimate sulla base di un cam-

pione di dati; se il campione è grande, la media aritmetica x e lo scarto quadratico medio s,forniscono una valida stima per μ e σ, ma, nel caso di piccoli campioni, media e varianza so-no anch’esse grandezze aleatorie, la cui dispersione diminuisce al crescere delle dimensioni n del campione.La funzione di probabilità di media e deviazione standard si ottiene facilmente utilizzandol’inferenza bayesiana (Box e Tiao, 1992); se { }n x x x L21x è un vettore di osserva-

zioni indipendenti della v.a. gaussiana X , e:

- 63 -



( ) ( )1 2

1

2

1

−−== ∑∑==

n x x sn x x j

j

j

j

nn

(2)

sono la media statistica e lo scarto quadratico medio del campione, la distribuzione di X è:

( )( )

( )( )

( )( )( )

2/

2

2

2 111

1

2/12/

2/

1|

n

snn

x xn

sn

n

n

n x p

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−

+−Γ

Γ−

=π

x (3)

Ponendo ( ) sn x xnt 1/ +−= , la (3) è la funzione di probabilità di Student ad n-1 gdl.

Quindi [ ] x X E =x| e [ ] ( ) ( )[ ]3/1|Var 22 −−= nnn s X x . Queste relazioni mostrano che il va-lor medio di X (condizionato ai dati) coincide con la media statistica di questi ultimi, mentresolo per n grande si può assumere che la varianza coincida con lo scarto quadratico medio;

per piccoli campioni la varianza è sensibilmente più grande e, per n < 4, diviene infinita.

4 TEST DI OMOGENEITÀ DI DIVERSE ZONE DELLA COSTRUZIONE

Divisa la costruzione in zone ritenute omogenee a priori, si assume che nella i-esima sia statoeseguito un gruppo di ni misure indirette i cui logaritmi sono raccolti nel vettore vi. Date duedifferenti zone, i e k , si deve decidere se queste si possano ritenere o no tra loro omogenee. Iltest adottato riguarda solo il valor medio: si assume che le due zone sono omogenee se μvi =μvk , non omogenee nel caso contrario.Disponendo di due campioni di osservazioni v1 e v2, considerati realizzazioni di due v.a. V 1 eV 2, si vuole verificare l'ipotesi che V 1 e V 2 abbiano la stessa media. Per semplificare il pro-

blema si assume che la varianza delle due v.a., anche se incognita, sia la stessa. Per le ipotesi

fatte la variabile

( ) ( )[ ] S vvt vv /2121 −−= (4)

con

( ) ( )

21

21

21

222

2112

2

11

nn

nn

nn

sn snS vv +

−+−+−

= (5)

segue la distribuzione di Student con n1 + n2 − 2 gdl (Box e Tiao, 1992), dove n1 ed n2 sono

le dimensioni dei campioni v1 e v2.Fissato un valore t 0, l'ipotesi di omogeneità è rifiutata se 021 / t S vv >− . Se l’ipotesi è vera,

quindi 021 =− vv μ , la probabilità che di rifiutarla erroneamente è:

[ ] ( )ν α ,2/Pr 0021 t F t S vv t −==>− (6)

dove F t (t ,ν) indica la funzione di distribuzione cumulata di Student con 221 −+= nnν gdl.

Riducendo α si riduce ovviamente la probabilità di rifiutare l’ipotesi di omogeneità se questaè vera (errore tipo I), ma contemporaneamente aumenta quella dell’errore opposto (accettarel’ipotesi quando è falsa - errore tipo II). La scelta di α dipende anche dall’importanza che sidà ai due tipi di errore; nel nostro caso è tutto sommato preferibile ritenere disomogenee duezone che non lo sono, piuttosto che commettere l’errore opposto; per questo è opportuno

- 64 -



prendere per α un valore non troppo piccolo; α = 0.20 potrebbe essere un accettabile com- promesso.

5 CALIBRAZIONE DELLA LEGGE DI REGRESSIONE

L'utilizzo di misure indirette per stimare laresistenza del calcestruzzo, richiede una leg-ge di regressione che permetta di determina-re la resistenza r in funzione della grandezzamisurata v (la velocità degli ultrasuoni).Come spiegato nell’introduzione, questa re-lazione non è deterministica e quindi si può

porre nella forma ( ) ε += ,v f r , dove èun vettore di parametri che definiscono lafunzione f ed ε è una v.a. a media nulla,

che tiene conto della natura non determini-stica della relazione.Quando i parametri sono stimati sulla ba-se di un campione di dimensioni finite dicoppie (r i,vi) anche è incerto, ed r è alea-torio sia per la natura non deterministica del-la relazione, sia per l'incertezza sulla stima dei parametri . Si deve notare che mentre la pri-ma è intrinseca al metodo, la seconda dipende dalla dimensione del campione e tende a zeroquando questa tende all'infinito. Se per f si adotta una relazione lineare, ha solo due ele-menti, che saranno indicati con α e :

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 2.7 2.9 3.1 3.3 3.5 3.7 3.9 4.1 4.3 4.5

V (Km/s)

l n R ( M p a )

Dati gruppo 1

Dati gruppo 2

Dati gruppo 3

Retta di regressione di

riferimento

Rette di regressione

specifiche

Figura 1 – Rette di regressione per calcestruzzi di etàdifferente

ε β α ++= vr (7)

Come è stato mostrato in diverse occasioni [vedi p.es. (Giannini R., Sguerri L., 2003)] i pa-rametri della (7), particolarmente per quanto riguarda la relazione tra velocità ultrasonica e re-sistenza del calcestruzzo, variano molto in base alla natura ed all’età del calcestruzzo. Per di-sporre di un modello attendibile e non affetto da errori sistematici, è necessario stimarne i pa-rametri con dati specifici. Occorre dunque stimare, sulla base di un piccolo campione di misu-re distruttive e dei corrispondenti risultati delle misure indirette, oltre alla varianza di ε, i due

parametri α e . Tuttavia è stato mostrato (Giannini R., Sguerri L., 2003, 2004) che in realtàsolo il parametro α è fortemente influenzato dalla natura del calcestruzzo, mentre al contrario

β è poco variabile (Figura 1). È pertanto lecito assumere, come è stato fatto nel seguito, che sia deterministico e noto a priori, mentre α è aleatorio e viene stimato sulla base dei dati loca-li.Se è noto, si può definire la nuova variabile

ε α β +=− vr z (8)

Partendo da un campione di nc coppie di dati (r i,vi), si determina la statistica di z :

rvvcrc z cc s s s svr z β β β 22222 −+=−= (9)

dove

- 65 -



( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1;1;11

2

1

22

1

2

11

−−−=−−=−−=

==

∑∑∑

∑∑

===

==

ccici

m

i

rvcci

n

i

vccci

n

i

rc

ci

i

cci

i

c

nr r vv snvv snr r s

nvvnr r

ccc

cc nn

(10)

Per cui la funzione di probabilità congiunta di μ z e σ z è:

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−Γ

−= +−

−−

−−22

21

212/2

12/1

12

1exp

2

1, z n sn

snn p z c z c

z

n

z nn

n

z c

n

c

z z c

cc

c

μ σ

σ π

σ μ (11)

6 DISTRIBUZIONE DELLA VELOCITÀ

Solo una parte delle n misure indirette saranno state impiegate per calibrare la legge di regres-

sione r v → . La parte restante forma un campione di cv nnn −= dati che può essere impiegato per determinare la distribuzione di v. Applicando la (3) si ottiene immediatamente:

( )( )

( )( )

( )( )( )

2/

2

2

2 111

2/12/

2/

1

1vn

vvv

v

v

v

v

v

v snn

vvn

n

n

n

n

sv p

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−

+−Γ

Γ−

=π

(12)

in cui v ed sono la media aritmetica e lo scarto quadratico delle nv misure di velocità ri-

manenti. La distribuzione di v è quindi Student ad

2v s

1−vn gdl con media v e varianza

( ) ( )3/1 22 −− vv n sn vv n .

7 DISTRIBUZIONE A PRIORI DELLA RESISTENZA MEDIA

La (11) fornisce la funzione di probabilità congiunta di media e varianza della v.a. z . Fissato ilvalore di v, z e r differiscono solo per il termine costante v, quindi la funzione di probabilitàdella media e della varianza di r , condizionata a v, si ottiene dalla (11) ponendo

vr z β −= . Per il teorema della probabilità totale, la distribuzione congiunta di μr e σr si

calcola moltiplicando questa funzione per la (12) ed integrando tra -∞ e ∞:

(13)( ) ( ) ( )dvv pv p p r r r r |,, σ μ σ μ ∫∞

∞−=

Per semplificare il calcolo analitico di questo integrale è conveniente approssimare la distribuzione di Student con la distribuzione di Gauss. Come è noto, al crescere del numero deigradi di libertà, la distribuzione di Student tende a quella normale; quindi questa approssima-zione è accettabile se nv non è troppo piccolo; in pratica già per 15∼

vn l'accordo tra le due è

piuttosto buono. Assumendo questa approssimazione e svolgendo l’integrale (13) si ottiene

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )[ ]

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−−−

+

−

−+Γ

−

=

=−

−−

−−

222

2

2

2

2222

12/2

12/11

2

1

exp2

1

,

r vc

ccr c

r

z c

r vc

n

r

nn

n

z c

n

c

r r

S n

vvr n sn

S n

snn

p

c

cc

c

σ β

β μ

σ σ β

σ

π

σ

(14)

- 66 -



( ) ( )31 −−= vvvvv nn snS 222 .in cui

8 AGGIORNAMENTO DELLA DISTRIBUZIONE

La funzione di probabilità (14) è stata costruita utilizzando solo le misure non distruttive; in-fatti i risultati delle prove distruttive sono stati usati per formulare la legge di correlazione,non per valutare direttamente i parametri della distribuzione di r . Ovviamente questo non èrazionale, poiché i dati delle prove distruttive sono quelli più attendibili.Se si assume la (14) come una distribuzione a priori, il teorema di Bayes ci indica come ag-giornarne i parametri in base ai risultati delle prove distruttive che, dati μr e σr , sono gaussia-ni e quindi

( ) ( ) ( )[⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−∝ − 222

12

1exp,| cr crcc

r

n

r r r c r n sn p c μ σ

σ σ μ r ] (15)

Usando la (15) come funzione di verosimiglianza e la (14) come distribuzione a priori, si ha:

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+Δ−−

+−

−+

∝=

−

2

2

22

2

2

2

22

2 1

2

1exp

,,||,

r

cr

r ic

cr c

r

r c

r ic

n

r

r r r r ccr r

r

S n

vr n

S n

S n

p p p

c

σ

μ

σ

β μ

σ σ

σ

σ σ σ rr

(16)

dove ( ) 222222 β vicrc z r S S vvv s sS =−=Δ+= .

La funzione di probabilità congiunta di r , μr e σr si ottiene quindi moltiplicando la (16) per

la densità di r condizionata a μr e σr (che è la nota funzione di Gauss), ossia:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

−+

+Δ−−

+−

−+

∝=−−

2

2

2

2

22

2

2

2

22

12 1

2

1exp

,,|,,

r

r

r

cr c

r ic

cr c

r

r c

r ic

n

r

r r r r r r

r r n

S n

vr nS n

S n

pr pr p

c

σ

μ

σ

μ

σ

β μ

σ σ

σ

σ σ σ

(17)

Per ottenere la densità marginale di r si deve quindi integrare la (17) rispetto a μr e σr . Ai finidelle applicazioni, tuttavia, è più utile disporre della funzione di distribuzione cumulata, me-diante la quale, ad esempio, si determinano valori frattili di r (valore mediano o valore caratte-ristico) che possono essere utilizzati in un ordinario contesto semiprobabilistico. Poiché

l’integrale della (17) rispetto a σr non è risolubile in forma chiusa, è conveniente integrarequesta equazione prima rispetto a μr e ad r . Si ottiene così:

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )[ ]( )

r

S nn

S nnn

r

S n

v

c

icr

c

r

r c

r icc

n

r

r

r r r r

r

r r r r r

d r r

S n

vnS n

S nnC

drd d r pdr d d r pr F

r icc

icccr

r ic

r c

σ σ σ

β

σ σ

σ

σ μ σ μ σ μ σ μ

σ

σ

σ

β σ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−Φ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+Δ

+−

−+

===

+

+++

+

Δ+−∞

∞

∞−

∞

∞−∞−

∞ ∞

∞−

∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

22

22

22

2

00

2

112

20

22

22

2

2

22

12

0

000

2

1

2

1exp

2

,,,,

(18)

dove indica la funzione di distribuzione cumulata di Gauss e C è una costante di norma-

lizzazione che si determina con la condizione che

( )Φ

( ) 1=∞r F .

- 67 -



L’integrale nella (18) si può calcolare numericamente senza particolari difficoltà. In base airisultati è quindi possibile determinare quei valori di r a cui corrispondono valori fissati di

probabilità, p.es. il valore mediano ( ( ) 5.0=mr r F ) o caratteristico ( ( ) 05.0=k r r F ). Ai fini prati-

ci, per evitare il calcolo esplicito degli integrali, questi valori si possono tabellare in funzionedei parametri da cui dipendono. Nella (18) compaiono esplicitamente sette variabili, che tut-

tavia, introducendo le nuove grandezze: ir S S =λ , iS vΔ β γ , ( ) ic S r r −= 0ξ si riducono asole quattro (nc, λ, γ e ξ).

9 ESEMPIO

L’intera procedura è stata utilizzata per analizzare i dati relativi ad un gruppo di edifici in ce-mento armato realizzato circa venti anni fa, composto da otto corpi di fabbrica. Sulle strutturedi ogni fabbricato furono eseguite 9 misure ultrasoniche e prelevate da una a tre carote, per untotale di 72 valori della velocità, 21 dei quali associati ad altrettanti valori della resistenza del

calcestruzzo, misurati mediante prove a rottura dei campioni cilindrici.Ogni fabbricato è stato considerato a priori come una zona omogenea. Nella Tabella 1 sonoriportati i valori medi, v , e le deviazioni standard, sv, relativi ai logaritmi delle velocità, e-spresse in Km/s, per ogni fabbricato. Il test di omogeneità (α = 0.2) è stato eseguito per verifi-

care se i calcestruzzi dei diversi corpi di fabbrica si potessero ritenere omogenei, in modo da accorpare idati in un numero minore di campioni di più grandidimensioni.

Tabella 1

Fabbricato v

Come mostrato in Tabella 1, a seguito del test diomogeneità, gli 8 corpi risultano riuniti in 3 gruppiomogenei, su ciascuno dei quali è possibile applica-

re la procedura di valutazione della resistenza delcalcestruzzo. Nella Tabella 2 sono riportati, per i tre gruppi omo-genei, il numero complessivo di prove ultrasoniche(n), il numero di carote (nc) assieme al valor medioed alla deviazione standard ( cc sr , ) dei logaritmi

delle loro resistenze espresse in MPa, le analoghe grandezze relative alle velocità misuratenegli stessi punti dei prelievi ( vcc sv , ) ed in corrispondenza delle rimanenti stazioni di prova

( v sv , ), nonché il coefficiente di correlazione rv = srv/ src svc, relativo alle coppie resistenza-

velocità. Infine, sempre nella stessa tabella, sono riportati i risultati della procedura sopra de-

scritta, in termini di valori mediani e caratteristici (frattili 5%), della resistenza stimata delcalcestruzzo. A titolo di confronto, nelle colonne adiacenti, sono riportati i valori delle analo-ghe grandezze, stimati mediante la (3) sulla base delle sole misure dirette di resistenza dellecarote.

sv Gruppo omogeneo

Fabbr. 1 1,278 0,034 G2

Fabbr. 2 1,297 0,035 G2

Fabbr. 3 1,332 0,031 G1

Fabbr. 4 1,331 0,029 G1

Fabbr. 5 1,331 0,043 G1

Fabbr. 6 1,351 0,029 G3

Fabbr. 7 1,286 0,053 G2

Fabbr. 8 1,355 0,012 G3

Per il coefficiente angolare β della legge di regressione velocità-resistenza, nella procedura èstato preso il valore β = 2.0805, ottenuto sulla base di 322 coppie di dati, relativi ai calce-struzzi di numerosi edifici, differenti per epoca di costruzione e posizione geografica.I risultati mostrano come il tener conto delle misure indirette abbia un’influenza trascurabilesul valore mediano della resistenza, mentre, in linea di massima, porti ad un sensibile aumentodel valore caratteristico, quindi ad una riduzione della stima della dispersione.L’incremento più elevato del frattile (circa il 7.5%) lo si ottiene per il gruppo G2 caratterizza-to da una stretta correlazione tra velocità e resistenze. Questo fattore, com’è ovvio, incide po-sitivamente sul risultato fornito dal metodo combinato rispetto a quello che prevede il solo

- 68 -



impiego delle carote, nonostante il numero di queste ultime sia relativamente elevato. Al con-trario, il gruppo G3 presenta l’incremento più basso (4,4%), fatto giustificabile da un bassocoefficiente di correlazione i cui effetti sono però compensati da un ridotto numero di carote eda una dispersione delle velocità particolarmente limitata. L’importanza di quest’ultimo fatto-re è sottolineata dal gruppo G1 che presenta un incremento del frattile molto simile al prece-

dente (5,0%) nonostante una discreta correlazione tra resistenze e velocità, ma una dispersio-ne delle misure ultrasoniche praticamente doppia ed un numero di carote leggermente più ele-vato.

Tabella 2 - Parametri statistici e stime della resistenza del calcestruzzo

Dati relativi al gruppoCarote e misure

ultrasonicheSolo carote

n nc cr

c s

cv

vc s ρ v v

s R 0,5

(MPa)R 0,05

(MPa)R 0,5

(MPa)R 0,05

(MPa)

G1 27 7 3.50 0.185 1.33 0.023 0.593 1.33 0.037 33.07 24.07 33.07 22.92

G2 27 9 3.41 0.198 1.28 0.044 0.775 1.29 0.040 30.33 22.31 30.25 20.77

G3 18 5 3.53 0.143 1.36 0.024 0.299 1.35 0.021 33.90 26.11 34.21 25.01

G r u p p o

10 CONCLUSIONI

In questo lavoro, utilizzando le tecniche dell’inferenza bayesiana, è stata esposta una procedu-ra che consente di costruire la funzione di distribuzione della resistenza del calcestruzzo diuna costruzione esistente, utilizzando sia i risultati di misure dirette (prove a rottura di carote)sia di misure indirette, non distruttive. Per questo secondo tipo di prove, nell’applicazione si èfatto espressamente riferimento alle misure delle velocità ultrasoniche, ma la procedura può

essere estesa ad altri tipi di metodi non distruttivi. I risultati delle prove non distruttive vengo-no preliminarmente utilizzati per suddividere il lotto in zone composte con materiale omoge-neo; quindi, utilizzando coppie resistenza-velocità, si costruisce una legge di correlazione conla quale si determina una distribuzione della resistenza basata solo sulle misure indirette; que-sta viene poi aggiornata sulla base dei risultati delle prove dirette, per costruire la distribuzio-ne finale del materiale. L’applicazione ad alcuni casi reali ha mostrato che l’uso combinatodei due tipi di dati porta generalmente alla riduzione della dispersione stimata, in confronto aquella ottenuta usando i soli risultati diretti.

11 BIBLIOGRAFIA

Bartlett F. M., Sexsmith R. G. (1991) “Bayesian Technique for Evaluation of Material Strengths inExisting Bridges”, ACI Materials Journal, V. 88 (2), pp.164-169

Box G., Tiao G. (1992)- Bayesian Inference in Statistical Analysis”, John Wiley and Sons Inc.Giannini R., Sguerri L. (2003) “Affidabilità dei metodi d’indagine non distruttivi per la valutazione

della resistenza del calcestruzzo”, 10° Congresso Nazionale AIPnD, Ravenna.Giannini R., Sguerri L.(2004) “Tecniche bayesiane per la stima delle leggi di correlazione tra velocità

ultrasonica e resistenza del calcestruzzo”, Giornate AICAP 2004.Geyskens Ph., Der Kiureghian A, Monteiro P. (1998) – “Bayesian prediction of elastic modulus of

concrete.” Jour. Struc. Eng. (ASCE), V.124, 1, 1998

Joint Committee on Structural Safety (2002) Probabilistic Model Code. Part 3. Material Properties.Kriviak G., Scanlon A. (1987) “Estimation of Compressive Strength of Concrete in Existing Structures

Based on in Situ Test Data”, ACI Materials Journal , V. 84 (3) pp. 235-245.

- 69 -




MODELLI PREVISIONALI

DELLA RESISTENZA A COMPRESSIONE DEL CALCESTRUZZO

IN STRUTTURE ESISTENTI

Angelo D’Ambrisi, Maria Teresa Cristofaro, Mario De Stefano

a Dipartimento di Costruzioni, Firenze, [email protected]

ABSTRACTLa corretta valutazione della resistenza a compressione del calcestruzzo di strutture in c.a.esistenti risulta fondamentale nella relativa verifica statica e sismica. I risultati ottenuti instudi precedenti degli autori relativi a prove distruttive e non distruttive su edifici ubicati nellaRegione Toscana, mostrano che la resistenza cubica media rilevata dei calcestruzzi di edificicostruiti negli anni ’80 è maggiore di quella di edifici costruiti negli anni ’60. Il metodocombinato Sonreb, nelle varie formulazioni di letteratura considerate, fornisce costantementela migliore predizione della resistenza rispetto al metodo sclerometrico ed a quelloultrasonico, mostrando un’elevata stabilità al variare della formulazione utilizzata. Nel

presente lavoro, riferito allo stesso data-base di dati sperimentali, vengono proposti nuovimodelli per migliorare la predizione della resistenza a compressione del calcestruzzo ottenutacon il metodo sclerometrico e con quello ultrasonico.

PAROLE CHIAVEStrutture in c.a. esistenti, resistenza a compressione del calcestruzzo, prove distruttive e nondistruttive.

1 INTRODUZIONE

L’elevato numero di edifici in c.a. esistenti e la necessità di valutarne la sicurezza strutturalealla luce delle nuove normative sismiche, dei possibili fenomeni di degrado e/o delle mutate

condizioni di utilizzo, hanno dato un notevole impulso all’esecuzione di verifiche statiche esismiche su di essi.Per la definizione della resistenza a compressione del calcestruzzo di strutture in c.a. esistenti,nell’Ordinanza P.C.M. n. 3431 del 03/05/2005 (integrazione e modifica dell’Ord. 3274) siammette l’uso di metodi di indagine non distruttiva di “documentata affidabilità”, non incompleta sostituzione ma ad integrazione delle indagini distruttive sulle quali vanno tarati irisultati delle prove indirette. Tale approccio viene confermato dal recente D.M. 14/01/2008“Norme Tecniche per le Costruzioni” il quale prevede che per le strutture esistenti lacaratterizzazione delle proprietà meccaniche dei materiali avvenga sulla base, oltre che delladocumentazione disponibile e di verifiche visive in situ, anche di prove sperimentali.Per gli edifici in c.a. uno dei parametri essenziali per una corretta valutazione del grado disicurezza è la resistenza a compressione del calcestruzzo. Tale resistenza può essere stimatacon prove distruttive (carotaggi) e con prove non distruttive (sclerometro, ultrasuoni e metodo


- 70 -



combinato Sonreb), effettuando la misura di grandezze fisiche correlate e risalendo allagrandezza di interesse attraverso relazioni ricavate empiricamente.Il limite di tali metodi non distruttivi consiste ovviamente nella difficoltà di correlazione fra ivalori misurati dagli strumenti utilizzati per le indagini di tipo non distruttivo e le resistenzeeffettive. Ciò è dovuto principalmente al fatto che le formule presenti in letteratura sono state

per lo più codificate eseguendo le misurazioni su campioni in calcestruzzo eseguiti “ad hoc”,non rappresentativi quindi del calcestruzzo presente in edifici esistenti. Nel presente studio, utilizzando i risultati di una campagna di indagine svolta su un campionedi 277 edifici in c.a. costruiti tra gli anni ’50 e ’90, viene definita l’affidabilità di differentimetodi, distruttivi e non distruttivi, e vengono proposti nuovi modelli per la stima dellaresistenza cubica a compressione del calcestruzzo. I risultati forniti dai nuovi modelli vengono

poi confrontati con quelli ottenuti da modelli ampiamente diffusi.

2 CAMPIONE ANALIZZATO

I dati utilizzati di seguito appartengono a 277 edifici esistenti in c.a., di carattere pubblico,ubicati nelle zone a sismicità più elevata del territorio toscano: Amiata 6%, Casentino 9%,Valtiberina 16%, Lunigiana 21%, Garfagnana 21% e Mugello 27%. Tali dati sono statireperiti presso il Servizio Sismico della Regione Toscana.Il campione è stato suddiviso per decennio di costruzione, al fine di evidenziare come, con il

passare degli anni, siano state realizzate strutture in c.a. con caratteristiche meccanichemigliori. Di tali edifici, ben oltre il 90% risulta essere stato edificato tra gli anni ’60 ed ’80,come illustrato in Figura 1.

anni '6028%

anni '70

39%

anni '90

2%anni '50

4%anni '80

27%

Figura 1. Distribuzione del campione di edifici in funzione del decennio di costruzione.

Tale suddivisione ha evidenziato (D’Ambrisi et al. 2007) che la resistenza a compressionecubica media del calcestruzzo del campione di edifici realizzati negli anni ’50 è di circa 13MPa, mentre quella del campione di edifici realizzati negli anni ’80 supera i 30 MPa.

3 VALUTAZIONE DELLE CARATTERISTICHE MECCANICHE DELCALCESTRUZZO

Per la determinazione della resistenza cubica a compressione del calcestruzzo da provinicilindrici sono state scelte dalla letteratura le seguenti quattro formulazioni: British Standard(1983), Concrete Society (1976), Braga et al. (1992) e M. Cestelli Guidi e G. Morelli (1981).Di seguito sarà utilizzata come resistenza la media delle quattro espressioni sopra descritte,R c,cub med.. Si evidenzia che tali formule sono state calibrate su calcestruzzi a 28 giorni dimaturazione, non direttamente rappresentativi, quindi, dei conglomerati cementizi prelevati daedifici esistenti.

- 71 -



Nella Tabella 1 sono riportati i dati statistici più significativi, per ogni decennio dicostruzione, della resistenza a compressione cubica media R c,cub med..

Tabella 1. Principali valori statistici della R c,cub med.: (a) anni ’50, (b) anni ’60, (c) anni ’70, (d) anni ’80.

R c,cub med. (MPa)

Media 13,25Errore standard 0,75

Mediana 12,26

Deviazione standard 5,99

Minimo 5,68Massimo 43,56

Conteggio 64Livello di confidenza(95,0%) 1,50

R c,cub med. (MPa)

Media 18,09Errore standard 0,44

Mediana 16,72

Deviazione standard 8,24

Minimo 4,55Massimo 48,34

Conteggio 354

Livello di confidenza(95,0%) 0,86

(a) (b)R c,cub med. (MPa)

Media 22.47Errore standard 0.54

Mediana 20.45

Deviazione standard 10.39

Minimo 5.00Massimo 60.24

Conteggio 365

Livello di confidenza(95,0%) 1.07

R c,cub med. (MPa)

Media 30.92Errore standard 0.79

Mediana 28.67

Deviazione standard 11.55

Minimo 9.67Massimo 66.70

Conteggio 215Livello di confidenza(95,0%) 1.55

(c) (d) Le formule di letteratura scelte per ottenere la R c,cub con il metodo dello sclerometro sono: E.Schmidt (1951), E. Schmidt (1960), G. Pascale (1993) ed E. Del Monte et al. (2004). Nel

presente lavoro ne sono state validate altre cinque, di tipo esponenziale, di cui una è riferita atutto il campione di 860 dati (Eq. 1) e le altre quattro ad ogni singolo decennio: anni ’50 (Eq.2), anni ’60 (Eq. 3), anni ’70 (Eq. 4) ed anni ’80 (Eq. 5):

[ ] MPae R r I cubc

⋅⋅= 0341,0, 1698,5 (1)

[ ]r I ⋅0254,0 MPae R cubc ⋅=, 0398,5 (2)

[ ]r I ⋅0225,0 MPae R cubc ⋅=, 046,7 (3)

[ ]r I ⋅0273,0 MPae R cubc ⋅=, 6614,6 (4)

[ ]r I ⋅0265,0 MPae R cubc ⋅=, 5529,9 (5)

Nella Figura 2 è rappresentata la correlazione tra l’indice di rimbalzo e la R c,cub med. ottenutadalla media delle quattro formule prima citate. Su tale diagramma di dispersione sono ancheconfrontate le sei curve di correlazione proposte, quelle di letteratura e quelle validate nel

presente lavoro, cioè Eq. (1) e, per ogni decennio la relativa espressione esponenziale. Si può ben constatare come i quattro modelli di letteratura tendono a sovrastimare la R c,cub delcalcestruzzo; mentre invece i modelli calibrati in questo lavoro: Eq. (1), Eq. (2), Eq. (3), Eq.(4) ed Eq. (5), conducono ad una migliore previsione della R c,cub.

- 72 -



0

10

20

30

40

50

60

70

20 30 40 50 60

Ir

R c , c u b m e d . ( M p a )

0

10

20

30

40

50

60

70

20 30 40 50 60

Ir

R c , c u b m e d . ( M P a )

(a) (b)

0

10

20

30

40

50

60

70

20 30 40 50 60

Ir

R c , c u b m e d . ( M P a )

0

10

20

30

40

50

60

70

20 30 40 50 60

Ir

R c , c u b m e d . ( M P a )

(c) (d)Schmidt (1951) Schmidt (1960) Pascale (1993)

Del Monte et al. (2004) Eq. 1 Eq. 2Eq. 3 Eq. 4 Eq. 5

Figura 2. Confronto dei modelli sclerometrici: (a) anni ’50, (b) anni ’60, (c) anni ’70, (d) anni ’80.

Stessa operazione è stata effettuata per il metodo ultrasonico. Le formule di letteratura scelte per ottenere la R c,cub sono: Norme Belghe (1976), M. Cestelli Guidi e G. Morelli (1981), S.Popovics (1986), M. Ciampoli e P. Napoli (1993) ed E. Del Monte et al. (2004).Anche in questo caso sono stati proposti cinque modelli, sempre di tipo esponenziale, riferiticome prima a tutti i dati a disposizione (Eq. 6) ed ai singoli decenni: anni ’50 (Eq. 7), anni ’60(Eq. 8), anni ’70 (Eq. 9) ed anni ’80 (Eq. 10).

[ ] MPae R usV cubc

10006,0, 901,2 ⋅⋅= (6)

[ ]usV 10003,0 ⋅ MPae R cubc, 7704,4 ⋅= (7)

[ ] MPae R usV cubc

10005,0, 8281,3 ⋅⋅= (8)

[ ]usV 10006,0 ⋅ MPae R cubc, 236,3 ⋅= (9)

[ ] MPae R usV 10006,07537,3 ⋅⋅= (10)cubc,

- 73 -



Nella Figura 3 sono riportati i risultati ottenuti con i modelli ultrasonici sopra riportati. Inquesto caso è stata effettuata una correlazione tra la velocità di propagazione degli ultrasuoni,misurata sull’elemento prima di essere sottoposto a carotaggio, e la resistenza a compressionecubica media. Su tale diagramma di dispersione sono stati riportati i modelli di letteratura

Norme Belghe (1976), M. Cestelli Guidi e G. Morelli (1981), S. Popovics (1986), M.

Ciampoli e P. Napoli (1993) ed E. Del Monte et al. (2004) e quelli proposti dagli autori: Eq.(6), Eq. (7), Eq. (8), Eq. (9) ed Eq. (10).E’ evidente come le curve di correlazione Eq. (6), Eq. (7), Eq. (8), Eq. (9) ed Eq. (10)forniscono risultati migliori rispetto ai modelli riconosciuti dalla letteratura tecnica.

0

10

20

30

40

50

60

70

1000 2000 3000 4000 5000

Vus 1 (m/s)

R c , c u b m e d . ( M

P a )

0

10

20

30

40

50

60

70

1000 2000 3000 4000 5000

Vus 1 (m/s)

R c , c u b m e d . ( M

P a )

(a) (b)

0

10

20

3040

50

60

70

1000 2000 3000 4000 5000

Vus 1 (m/s)

R c , c u b m e d . ( M

P a )

0

10

20

3040

50

60

70

1000 2000 3000 4000 5000

Vus 1 (m/s)

R c , c u b m e d . ( M

P a )

(c) (d) Norme Belghe (1976) Cestelli e Morelli (1981) Popovics (1986) Ciampoli e Napoli (1993)

Del Monte et al. (2004) Eq. 6 Eq. 7 Eq. 8

Eq. 9 Eq. 10

Figura 3. Confronto dei modelli ultrasonici: (a) anni ’50, (b) anni ’60, (c) anni ’70, (d) anni ’80.

Per il metodo combinato Sonreb (sclerometro + ultrasuoni), non sono stati validati nuovimodelli, ci si è limitati a definire l’affidabilità di quelli maggiormente diffusi in letteratura: R.Giachetti e L. Lacquaniti (1980), J. Gašparik (1992), A. Di Leo e G. Pascale (1994), E.Arioğlu ed O. Köylüoğlu (1996) ed E. Del Monte et al. (2004).

Nella Figura 4 sono riportate le distribuzioni normali riferite a tali modelli, confrontate con lacurva di Gauss riferita alla resistenza a compressione cubica media del calcestruzzo R c,cub med..Per meglio valutare l’affidabilità dei tre metodi non distruttivi, così come le rispettiveformulazioni proposte, per la predizione della resistenza a compressione cubica, sono staticalcolati gli errori medi relativi in valore assoluto rapportati alle resistenze medie dei decennicorrispondenti (Figure 5, 6 e 7).

- 74 -



0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0 10 20 30 40 50 60 70 8

Rc,cub (Mpa)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Rc,cub (MPa)

0

(a) (b)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0 10 20 30 40 50 60 70 8

Rc,cub (MPa)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Rc,cub (MPa)

0

(c) (d) Giachetti e Laquaniti (1980) Gašparik (1992) Di Leo e Pascale (1994)

Arioğlu e Köylüoğlu (1996) Del Monte et al. (2004) Rc,cub med.

Figura 4. Confronto delle distribuzioni normali ottenute con i modelli Sonreb e della R c,cub med: (a) anni’50, (b) anni ’60, (c) anni ’70, (d) anni ’80.

Considerando il metodo dello sclerometro, è evidente come esso risulti alquanto pocoaffidabile utilizzando i modelli di letteratura, raggiungendo valori anche di 1.40 per laformulazione di E. Schmidt (1960) riferita agli anni ’50. I modelli proposti in questo lavoroconseguono un miglioramento fino a ridurre l’errore medio a 0.25 relativamente agli edificidegli anni ’80 Eq. (5).Il metodo ultrasonico presenta valori dell’errore medio relativo inferiori rispetto a quello dellosclerometrico, anche se risultano in ogni caso abbastanza elevati, fino a raggiungere 0.65 peril modello proposto dalle Norme Belghe (1976) negli anni ’50, mentre con l’espressione Eq.

(10) si ottiene la migliore approssimazione, con valori dell’errore medio relativo di circa 0.22 per gli anni ’80.Come prevedibile, il metodo Sonreb presenta valori dell’errore medio relativo più contenuti e,comunque, non superiori a 0.45 con l’espressione proposta da E. Arioğlu ed O. Köylüoğlu(1996), Figura 7. Esso risulta, inoltre, decisamente stabile al variare della formulazioneutilizzata essendo i margini di oscillazione, per ciascun decennio, molto ridotti. In ogni caso,utilizzando le formulazioni di J. Gašparik (1992), A. Di Leo e G. Pascale (1994) ed E. DelMonte et al. (2004) si ottengono le migliori approssimazioni, con valori dell’errore mediorelativo pari a 0.21 per gli anni ’80. Si può inoltre affermare che i modelli esponenziali

proposti per il metodo sclerometrico e degli ultrasuoni conseguono un livello di affidabilità,come espresso dall’errore medio relativo, paragonabile a quello caratteristico del metodoSonreb.

- 75 -



0.00

0.20

0.40

0.60

0.801.00

1.20

1.40

Anni '50 Anni '60 Anni '70 Anni '80

E r r o r e m e d . r e l .

Schmidt (1951) Schmidt (1960) Pascale (1993) Del Monte (2004) Eq. 1 Eq. 2 Eq. 3 Eq. 4 Eq. 5

Figura 5. Errore medio relativo del metodo sclerometrico per le differenti formulazioni considerate.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40



Norme Belghe (1976) Cestelli e Morelli (1981) Popovics (1986) Ciampoli e Napoli (1993)

Del Monte et al. (2004) Eq. 6 Eq. 7 Eq. 8

Eq. 9 Eq. 10

Figura 6. Errore medio relativo del metodo ultrasonico per le differenti formulazioni considerate.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40



Giachetti e Lacquaniti (1980) Gasparik (1992) Di Leo e Pascale (1994)

Arioğlu e Köylüoğlu (1996) Del Monte et al. (2004)

Figura 7. Errore medio relativo del metodo Sonreb per le differenti formulazioni considerate.

4 CONCLUSIONI

Il presente lavoro è riferito ad un data-base di 860 carote estratte da travi e pilastriappartenenti a 277 edifici esistenti in c.a.. Per una migliore interpretazione dei dati, essi sonostati suddivisi per decennio di costruzione dell’edificio di provenienza.

Confrontando i modelli predittivi di letteratura per la determinazione della resistenza cubica acompressione del calcestruzzo, è emerso con evidenza che il metodo più attendibile è quello

- 76 -



combinato Sonreb, che fornisce un valore dell’errore medio relativo di 0.21. I modelli basatisul metodo sclerometrico risultano decisamente inaffidabili, con un errore medio relativo che

può raggiungere valori anche di 1.40. Il modello basato sul metodo ultrasonico hacaratteristiche di affidabilità intermedie con valori dell’errore medio relativo che oscillano tra0.65 e 0.22. L’analisi dei dati ha messo anche in evidenza la stabilità del metodo Sonreb al

variare delle differenti formulazioni di letteratura, indipendentemente dal decennio diosservazione.Considerando i modelli predittivi proposti in questo lavoro, basati sul metodo sclerometrico esu quello ultrasonico, si conseguono notevoli miglioramenti, fino a raggiungere i livelli diaffidabilità caratteristici del metodo Sonreb.

5 RINGRAZIAMENTI

Il presente lavoro è stato svolto nell’ambito del progetto DPC–ReLUIS 2005–2008, Linea diricerca n. 2 “Valutazione e riduzione della vulnerabilità di edifici esistenti in c.a.”.

Gli autori ringraziano il Servizio Sismico della Regione Toscana per aver reso disponibili idati utilizzati nel presente lavoro.

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- 77 -




R OBUST SENSOR PLACEMENT

FOR BUILDINGS MONITORING IN SEISMIC AREAS

Giorgio Montia, Giuseppe Quaranta

a, Giuseppe Carlo Marano

b

a Department of Structural Engineering and Geotechnics,

Sapienza University of Rome, via A. Gramsci 53, 00197, Roma,

[email protected] , [email protected] b Department of Environmental Engineering and Sustainable Development,

Technical University of Bari, viale del Turismo 10, 74100, Taranto,

[email protected]

ABSTRACT

Sensor positioning on real structures is a central topic for structural monitoring. Specifically,

many sensors have to be installed on a structure in order to assess its response or to identify

some particular mechanical parameters. It is well known that at least a number of sensor equal

to the target mode shapes must be installed for a successful structural monitoring. Evidently,

some questions usually require the putting in place of a greater number of sensors, generally

to improve the network robustness and/or to allow a more reliable signal processing. In these

and others non mentioned circumstances, it is necessary to define how many sensors will beinstalled and where they will be positioned. In fact, despite a great number of developments

achieved on the side of sensor’s technology, the choice of an adequate optimal sensor

placement plan to guarantee a correct characterization of the structural system is still a central

question. Particularly, a general strategy in sensor placement is discussed in this paper, with

the principal goal to reduce the influence of the uncertainties, including the presence of noise

contamination. Finally, a numerical application is proposed to discuss its applicability for

buildings monitoring in seismic areas.

KEYWORDS

Optimal sensor placement, Structural identification, Perturbation method.

1 INTRODCTION

In order to assess buildings behavior as well as to estimate its safety degree, in the last years

different approaches and investigation techniques have been developed. In these fields, the

main goal in the structural health monitoring (SHM) is to obtain a sufficiently ample set of

data to guarantee a suitable support in maintenance interventions planning, especially with

regard to strategic structures/infrastructures or historical buildings. In more general terms, a

structural monitoring system can be defined as a system that provides information on demand

about relevant change (i.e. damage) occurring in the structure. Generally, SHM deals withglobal monitoring (GM) and non destructive methodologies: following this way, instead of


- 78 -









looking at the possible causes, the monitoring is focused on the effects produced by changes

in the structural system. In the other hand, local monitoring (LM) techniques (i.e. destructive

or visual inspection-based methodologies) are sometimes described in literature as not

adequate SHM approaches; this in the sense that the entire health of the structure cannot be

determined locally but only from a more comprehensive (global) point of view. Particularly,

dynamic monitoring (DM) is commonly assumed as the most reliable strategy but, at the sametime, it is generally more complex than a static one. By adopting this strategy, the structural

response is measured under environmental dynamic loads (i.e. earthquake and wind induced

vibrations) or in presence of artificial vibrations (i.e. induced by one or more actuators),

having performed a continuos term monitoring or a periodic (frequent or triggered) one.

Firstly, it is indispensable to describe how many sensors will be installed and where they will

be positioned on a structural system. This stage is very important and an incoherent sensor

placement strategy with the main purpose of the SHM can jeopardize the following structural

identification or the damage detection procedures. Optimality condition in sensor network

design (so-called optimal sensor placement, OSP) can be defined in virtue of different

alternatives and each of them can be more or less suitable in the investigated case.

Consequently, it is not surprising if different criterions carried out dissimilar solutions.Therefore, optimal sensor locations must be individually determined for each structure with

regard to a collection of possible scenarios. One of the most diffused strategy is the Effective

Independence Method (Kammer and Brillhar, 1996): it deals with the goal to maximize both

the spatial independence and signal strength of the target mode shapes by maximizing the

determinant of the associated Fisher information matrix. Another criteria (Kinetic Energy

Method) aims to maximize the structural kinetic energy measure (Heo et al, 1997): in this

case, the Fisher information matrix is weighted with the mass matrix. An overview on these

and other non mentioned techniques is presented in (Meo and Zumpano, 2005) with regard to

the OSP problem for a bridge structure. Finally, a less number of works is devoted to the

sensor positioning for damage detection, see for instance (Shi et al., 2000).

In this paper, a robust approach in optimal sensor positioning is proposed, this in the aim to

detect a configuration sufficiently immune against the effects of the (supposed random)

uncertainties in the available set of measurements. The main goal of the proposed criteria is to

reduce the detrimental effects of the uncertainties during the structural identification/damage

detection stage. Finally, a numerical application is presented to discuss the applicability of the

proposed criterion in the sensor network design for buildings in seismic areas.

2 STRUCTURAL IDENTIFICATION

Consider a structural system with N degree of freedom (DoFs) whose (deterministic) equation

of motion is given by:

( ) ( ) ( ) ( ) 1l l l l l ,...,Lτ τ τ τ + + = ∀ =MX CX KX F&& & (1)

where M is the mass matrix, C the damping matrix and K the stiffness matrix. Moreover, X is

the system displacements whereas its single and double upper dots denote the system

velocities and accelerations, respectively. Finally, F is the external dynamic force vector.

Genetic algorithm (GA) methods can be used to identify such systems (Perry et al., 2006).

Briefly, the forward analysis is carried out by numerically solving the dynamic equation using

trial (but evolutionary driven) parameter values. The dynamic time-history generated is

compared with the measured one and the GA evolves to minimize the sum square error between the measured and computed data. Following this usually defined as non-classical

- 79 -



way, it is possible to obtain unknown parameters starting from a limited set of measurements.

Consequently, if these parameters are estimated in two different instants (undamaged vs.

damaged situations), it is possible to evaluate if a deterioration phenomena has occurred in

some elements of the structure during the investigated temporal window. However, since the

presence of indeterminateness in the potential available set of data cannot be ignored, we aim

to define which DoFs should be instrumented to improve the trustworthiness of the structuralidentification results.

3 PERTURBATION METHOD

3.1 Fundamental equations

By adopting the Rayleigh model for damping matrix:

α β = +C M K (2)

instead of the Eq. (1), one has:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1l l l l l l ,...,Lτ α τ τ β τ τ + + + = ∀ =MX MX KX KX F&& & & (3)

In the conventional structural identification, the mass matrix, external excitation and dynamic

response are known and the structural parameters (stiffness values in K and damping

parameters and ) are the J +2 unknown variables. In order to obtain them, as proposed in

(Chen and Li, 2004), it is useful to decouple Eq. (3) as follows:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1l l l l l - - l , ...,Lτ β τ τ τ α τ + = ∀ =K X X F MX MX& && & (4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )& & && 1l l l l l - - l ,...,Lα τ β τ τ τ τ + = ∀ =MX KX F MX KX (5)

Eq. (4) can be expressed as (explicit) linear function of K :

( ) ( ) 1l l l ,...,Lτ τ = ∀ =K K K H P (6)

where K is the collection of stiffness parameters. In the same way, Eq. (5) is an (explicit)

linear function of the Rayleigh’s coefficients:

( ) ( ) 1

l l l ,...,Lτ τ = ∀ =

C C CH P (7)

where C is the collection of Rayleigh’s parameters. Now, both Eqs. (6) and (7) can be

assembled for all sampling instants time L. Consequently, for Eq. (6) we have:

{ }

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )

11

1 2

11 2

T J

J

T L N J l L

T L N l L

with k ,...,k

, ,..., ,...,

, ,..., ,...,

τ τ τ τ

τ τ τ τ

×

× ×

× ×

=

= ∈

= ∈

= ∈

K K K

K

K K K K K

K K K K K

H P

H H H H H

P P P P P

(8)

In the same way, for Eq. (7) we have:

- 80 -





the first-order systems of equations:

First order ( ) 1i ,...,R= − =H P H i ii b bb∗ ∗ ∗∗ ∗ (15)

and the second-order system of equations:

Second order

( )

( )

2

1

2

1

1 1

2 2

1

2

i j i j i j

i j

R

b b b b b b i ji , j

R

b b i ji , j

Cov b ,b

with Cov b ,b

∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗=

∗ ∗=

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∑

∑

H P H H

(16)

where Cov(bi,b j) is the covariance between random variables bi and b j. Once the Eq. (14)-(16)

are solved, one obtains the first-order approximation of the expected value:

[ ]1E ∗∗ ≈ (17)

whereas its second-order approximation is:

[ ] 22E ∗ ∗∗ ≈ + (18)

In the same way, the first-order approximation of the covariance matrix is:

[ ] [ ]

[ ] { }

1 1

11

1

1 2b bi j

rs

R r srsi j

i, j

... ... ...

... ...

... ... ...

r,s ,...,J if with Cov b ,b

r,s , if θ θ ∗ ∗

∗ ∗

∗=

⎡ ⎤⎢ ⎥

= Σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∀ = ∗⎧Σ ≈ ⎨

=

∀ = ∗⎩∑

K

C=

(19)

Due to the linearity of the statement, K and C are also random variables:

[ ] [ ]( )2 1E ; ; MN ,K K b b K (20)

[ ] [ ]( )2 1E ; ; MN ,C C

b

b

C (21)

3.2 Resolution strategy

In order to solve Eqs. (14)-(16), the least square technique can be used. However, our main

purpose concerns Eq. (15), in order to acquire the best estimation for stiffness and damping

sensitivity with respect to the involved random variables. In this sense, the algorithm whose

flow chart is depicted in the following Figure 1 can be used (the random variables vector is

omitted for the sake of simplicity). Furthermore, other details can be found in the following.

- 82 -



Figure 1. Flow chart of the iterative procedure.

For better readability, the main steps in the iterative procedure are below listed and detailed.

Step 1. Firstly, one assumes deterministic values for the Rayleigh’s coefficients and then,

their variances/covariance are zero. The least square technique can be performed on

the Eq. (15) to estimate the stiffness sensitivity (subscript K ):

( ) ( ) (1

1b bb i ii

T T T i ,...,R

−= −K K K K K K H H H P H )=K (22)

and finally, the stiffness covariance matrix can be calculated from Eq. (19).

- 83 -



Step 2. Once the stiffness covariance matrix from the Step 1 is obtained, one can evaluate the

damping covariance matrix by using in Eq. (15) the least square technique (subscript

C):

( ) ( ) ( )

1

1b bb i ii

T T T i ,...,R

−= − =

C C C C CC C H H H P H (23)

and finally, the damping covariance matrix can be calculated from Eq. (19).

Step 3. Damping covariance matrix from the Step 2 is used to evaluate a new updating of the

stiffness covariance matrix. If a specific stop criteria is satisfied (i.e. the relative error

between the determinants in two consecutive iterations is less than an acceptable

value), we have achieved the best estimation for the first approximation of the

covariance matrices. Otherwise, a new iteration starts from Step 2.

4 ROBUST SENSOR PLACEMENT

For an assigned time-history structural response, Eqs. (20) and (21) provide the probabilistic

characterization of the unknown parameters and we assume that they are characterized only

by mean and variance values. In the case of artificially induced vibrations, this is strictly true

because dynamic loads are also known and the structural response can be estimated by using

standard FE codes. In the other hand, in presence of environmental dynamic loads, it is

possible to consider the most attempted or relevant scenario. However, it is also advisable in

both cases to investigate several situations.

A robust sensor configuration can be found by solving the following optimization problem:

{ }

[{

( )

1

1 2

min ; ,

lim

find , ,..,N

that det

s.t. ϕ ϕ

⊂

] }⎡ ⎤⎣ ⎦

≤

K

b

(24)

In Eq. (24), is the vector of the measured DoF (a subset of the N DoF of the system). The

objective function (OF) is calculated as in Eq. (19), where each unmeasured DoF doesn’t

introduce new uncertainty in its evaluation: in this sense, it is important to keep in mind that

the covariance matrix determinant should be interpreted as “index of uncertainty”. Obviously,

other sources of uncertainty could be still present (it is so justify the presence of the random

vector b) when they cannot be directly imputable to the instrumental acquisition (i.e.randomness on the masses values or about the adopted models). Following this way, collected

DoFs in are the most robust sensor configuration, in respect of the imposed constraint. In

other words, uncertainties in measured DoFs have a limited influence on the structural

parameters and then, results from a generic structural identification technique for the dynamic

system in Eq. (1) are more trustworthy. It is important to observe that, due to the Rayleigh

model in Eq. (2), in any case two DoFs have to be equipped. Moreover, () is the cost

function of the network sensor configuration (commonly the number of the installed sensors)

and lim is an admissible maximum cost. Finally, it is useful to note that soft computing

methodologies could be conveniently used to solve Eq. (24), due to the combinatorial nature

of the optimization problem. In this sense, as above stated, perturbation method can be

adopted to reduce the total computational time, typically one of the most important difficultiesin biological and/or social inspired algorithms.

- 84 -



5 NUMERICAL APPLICATION

Optimal sensor positioning in Eq. (24) has been here performed on a generic shear type

system with N = 10 DoFs, whose layout is illustrated in Figure 2, having a linear mechanical

behavior, according to the model in Eq. (1).

Figure 2. Structural model.

Numerical values for simulation purpose are listed in the following Table 1.

In Table 1, N ( , ) denotes a normal variable with mean and standard deviation equal to ,

whereas stiffness parameters assume deterministic values. Other relevant data are the

damping ratio for each mode 0 = 5 % and White Gaussian Noise which standard deviation is

equal to the 1 % of the maximum load amplitude (here assumed as sinusoidal type excitation).

Without loss in generality, proposed system covers a wide class of situations. For instance, it

can be assumed as a structural system subject to artificial vibrations at each floor induced by

juxtaposed actuators. In the other hand, it is possible to consider the same system subject to

earthquake load, so that each floor is subject to the inertial force that occurs as consequence ofthe ground acceleration. However, other mechanical cases can be easily formalized.

Table 1. Numerical values.

Degree offreedom

Mass Stiffness Load amplitude Load frequency

1 N (1,0.05) 1 N (1,0.04) N (1,0.03)

2 N (1,0.03) 1 N (1,0.04) N (1,0.05)

3 N (1,0.01) 1 N (1,0.02) N (1,0.02)

4 N (1,0.04) 1 N (1,0.02) N (1,0.02)

- 85 -



5 N (1,0.01) 1 N (1,0.02) N (1,0.05)

6 N (1,0.05) 1 N (1,0.05) N (1,0.04)

7 N (1,0.01) 1 N (1,0.02) N (1,0.01)

8 N (1,0.02) 1 N (1,0.05) N (1,0.02)

9 N (1,0.01) 1 N (1,0.02) N (1,0.01)

10 N (1,0.01) 1 N (1,0.02) N (1,0.01)

Therefore, due to its generality, only numerical values are adopted in this numerical example

but the role of sensor placement to identify structural parameters for buildings in seismic

areas deserves some special attentions. When the building under investigation is located in a

zone with moderate or high seismic activity, results from monitoring can be effectively used

to update the FE model and/or to detect damaged structural or nonstructural zones. In the

other hand, if the building under investigation is located in a zone with reduced seismic

activity, structural identification based on naturally induced vibrations could be a non

practicable way. However, also in this case we are interested to understand the health statusand to analyze itself to evaluate the structural safety with reference to future (and more

relevant) seismic events. Therefore, if it is impossible to acquire a significant set of data with

a reasonable frequency during the structural lifetime, the use of some actuators located on the

system is, often, a forced choice. This happens, for instance, when other sources of dynamic

loads (i.e. wind or traffic) have a relatively negligible influence.

With specific regard to the this example, numerical values in Table 1 have been adopted for

simulation purpose. Having considered both random and deterministic values, Monte Carlo

Simulation or perturbation method (Doltsinis and Kang, 2004) can be performed to estimate

the mean and the variance of the structural response (acceleration, velocity, displacement)

from the Eq. (1). Successively, it is possible to solve the optimization problem in (24) by

adopting the iterative procedure formalized by Eqs. (22) and (23). For this purpose, it isnecessary to keep in mind that Eqs. (22) and (23) can be solved once their first derivate have

been computed, starting from the Eqs. (6) and (7). If we assume that the number of sensor to

install must be equal to 6, the robust sensor configuration is the following collection of

equipped DoFs:

{ }3 4 7 8 9 10 , , , , ,= (25)

Equivalently, we can say that worse positions are those in correspondence of the following

DoFs: 1,2,5,6. It is interesting to note that, if one analyzes the COV values in Table 1, it isn’t

a completely surprising result. Therefore, numerical solution is physical coherent with theexpected one.

6 CONCLUSIONS

Structural identification methodologies can be performed also on incomplete measurements,

i.e. when the investigated system is equipped with a limited number of accelerometers. In

these circumstance, a standard optimizer works comparing the calculated response and

measured one to achieve the best solution. Clearly, in order to avoid suboptimal solution, a

robust sensor positioning is preferable because it allows to reduce the structural parameter

sensitivity in comparison to the natural variability of (potential) available set of data. Startingfrom this consideration, an optimality criterion has been presented in this paper to obtain a

- 86 -



robust sensor network. Specifically, the perturbation method has been used to compute the

objective function in the optimization problem with the aim to reduce the total elaboration

time. Finally, a numerical application has been presented to show the practicability of the

proposed methodology for buildings monitoring in seismic areas.

7 REFERENCES

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LA METODOLOGIA DELLA R EGIONE TOSCANA

PER LA VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO

DI EDIFICI ESISTENTI IN CEMENTO ARMATO

Maurizio Ferrini, Nicola Signorini, Paola Pelliccia,Francesco Pistola, Vanessa Prestifilippo, Giuseppina Sabia

Servizio Sismico Regione Toscana, [email protected] , [email protected] , [email protected] , [email protected] ,

[email protected] , [email protected]

ABSTRACTLa presente memoria illustra l’attività promossa dalla Regione Toscana nell’ambito delProgramma Regionale V.S.C.A. (Vulnerabilità Sismica edifici in Cemento Armato) che

prevede la definizione di una metodologia standardizzata finalizzata allo svolgimento di unacampagna di indagini sulla qualità del calcestruzzo in edifici strategici e rilevanti in cementoarmato. Tale campagna prevalentemente svolta nei Comuni a maggior rischio sismico dellaToscana, prevede l’effettuazione di prove di tipo non distruttivo e distruttivo, secondo precisi

criteri fissati dal Servizio Sismico Regionale (S.S.R.) per garantire l’uniformità della raccoltadei dati su tutto il territorio, l’elaborazione degli stessi e la creazione di una banca dati ad usodi Enti Locali, tecnici professionisti e operatori del settore.

PAROLE CHIAVECalcestruzzo, carotaggio, metodologia, sclerometro, sonreb, ultrasuoni.

1 INTRODUZIONE

La rilevante consistenza del patrimonio edilizio esistente e la necessità di valutarnel’affidabilità strutturale alla luce delle nuove normative hanno dato un notevole impulsoall’esecuzione di verifiche statiche e sismiche; per gli edifici in cemento armato uno dei

parametri fondamentali e propedeutici all’esecuzione di tali verifiche è la corretta valutazionedella resistenza a compressione del calcestruzzo.A partire dall’Ordinanza P.C.M. n. 3274 del 20/03/2003 fino ad arrivare alle recenti “Linee

guida per la messa in opera del calcestruzzo strutturale e per la valutazione dellecaratteristiche meccaniche del calcestruzzo indurito mediante prove non distruttive”

pubblicate dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici a febbraio 2008, diventa pertanto di primaria importanza la definizione di tale caratteristica da determinarsi in situ con provedistruttive e con prove non distruttive.

In seguito agli eventi sismici del 1995 nei comuni della Lunigiana e Garfagnana il ServizioSismico Regionale (SSR) ha avviato una campagna d’indagini diagnostiche per la


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caratterizzazione della qualità e resistenza dei materiali nell’ambito della progettazione diinterventi di riparazione dei danni e di adeguamento e/o miglioramento sismico di edifici

pubblici strategici e rilevanti. Successivamente, nell’ambito del programma regionale VSCA(Vulnerabilità Sismica di edifici in Cemento Armato), con la L.R. n° 56/97 e con i successiviPiani Regionali di Azione Ambientale (P.R.A.A.) approvati dal Consiglio Regionale Toscano

negli anni 2002-2003 e 2004-2006 tali indagini sono state estese a tutti gli edifici pubblicistrategici e rilevanti, in particolare scuole, delle zone a maggiore rischio sismico (circa 90Comuni) della Garfagnana, Lunigiana, Mugello, Casentino, Valtiberina e Amiata.La Regione Toscana ha avviato questa attività in quasi completa assenza di normativaspecifica e di riferimenti scientifici relativi agli edifici esistenti, pertanto sono state elaboratespecifiche procedure finalizzate ad uniformare le modalità di raccolta e di interpretazione deidati. Tali procedure sono state codificate nelle “Istruzioni Tecniche per lo svolgimento diindagini finalizzate alla valutazione della resistenza del calcestruzzo gettato in opera inedifici esistenti in cemento armato” approvate con delibera di G.R.T. n°1632/1998 esuccessivamente modificate con delibera di G.R.T. n°796/2003 e decreto dirigenzialen°4301/2004.

Il gran numero di dati acquisiti relativi agli edifici in cemento armato (ad oggi circa 400edifici) indagati per mezzo di queste procedure standardizzate (circa 3500 prove nondistruttive e 1500 prove distruttive) costituisce una banca dati di riferimento utile per gli EntiLocali, i tecnici del settore e le Università.

2 LA METODOLOGIA

La metodologia del SSR per l’esecuzione delle indagini è stata redatta utilizzando comesupporto le procedure indicate dalle Norme UNI per l’esecuzione di prove distruttive e nondistruttive.

I tecnici del SSR curano, con notevole risparmio di risorse economiche e sicurezza dellaqualità del risultato, la fase di programmazione delle indagini, il controllo dell’esecuzione da

parte dei Laboratori prove materiali e l’elaborazione finale dei dati raccolti.

2.1 Programmazione delle indagini

L’attività regionale prevede per gli edifici strategici e rilevanti in cemento armato la programmazione e l’esecuzione di prove sperimentali di tipo non distruttivo e distruttivo. LaRegione Toscana ha scelto di utilizzare, tra le più comuni tipologie di prove di tipo indirettoda eseguire su strutture in cemento armato, il metodo Sonreb, basato sull’uso combinato didue tipi di strumenti: sclerometro e apparecchio ad ultrasuoni. Tale metodo viene confrontatocon i risultati di prove di compressione su provini cilindrici prelevati tramite carotaggio sullastessa zona della prova non distruttiva. Una buona correlazione tra i due metodi permette divalutare la qualità del conglomerato cementizio in elementi indagati con la sola prova nondistruttiva.Si è ritenuto di escludere, dopo la sperimentazione negli anni 1998-2000 su alcuni edifici, le

prove di pull-out e le prove con pistola Windsor perché si sono rilevati problemi logistici e disicurezza per l’operatore durante l’esecuzione. Si è inoltre verificato che i dati ottenuti sonofortemente influenzati dalla presenza di carbonatazione.Trattandosi di edifici esistenti nella maggior parte dei casi “datati” in quanto costruiti tra il1948 ed il 1984, per i quali è richiesta una maggiore cautela, la fase di programmazione delleindagini diviene di primaria importanza e viene svolta secondo le seguenti fasi:

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1) reperimento degli elaborati progettuali ed esecutivi originali al fine di raccogliere tutte leinformazioni possibili inerenti l’edificio oggetto d’indagine ed in particolare sullecaratteristiche dei materiali utilizzati per la costruzione;2) esecuzione di sopralluoghi effettuati dai tecnici regionali per verificare la corrispondenzatra lo stato attuale dell’edificio e gli eventuali elaborati di progetto reperiti o, in caso

contrario, esecuzione di un rilievo speditivo ex novo dell’organismo strutturale;3) rilievo di eventuali quadri fessurativi ed analisi dello stato di degrado delle strutture;4) esecuzione di saggi in situ per la definizione tipologica e morfologica dei solai e dei

paramenti murari finalizzata alla determinazione dei pesi propri da computare nell’analisi deicarichi;5) calcolo del carico di lavoro sui pilastri da sottoporre a carotaggio per escludere dalleindagini elementi strutturali fortemente sollecitati.Svolta la fase preliminare viene redatto il Programma delle Indagini, contenente le

planimetrie con la localizzazione delle prove previste e le tabelle riassuntive nelle qualivengono riportati gli elementi da indagare con un codice identificativo, costituito da unadescrizione storica e strutturale dell’edificio e da un estratto delle suddette Istruzioni Tecniche

Regionali. Tale programma viene elaborato prevedendo di sottoporre a indagini un campionesignificativo di elementi della struttura rappresentativo delle caratteristiche medie dei getti dicls in termini di omogeneità, di qualità e di resistenza meccanica. Si è scelto inoltre dieffettuare un maggior numero di indagini sull’elemento pilastro rispetto all’elemento trave

perché in edifici esistenti, realizzati senza progettazione antisismica o con criteri antisismicinon appropriati, in caso di sisma il meccanismo di collasso più probabile è quello con

prevalente formazione di cerniere plastiche alle estremità dei pilastri di un piano (collasso di piano o meccanismo a travi forti e colonne deboli).Sempre a titolo cautelativo, la Regione Toscana nella scelta degli elementi da indagare,

procede per fasi successive, prevedendo una contenuta prima fase di indagini che fornisca unorientamento sulla qualità del calcestruzzo e successivamente, sulla base dei risultati ottenuti,decidendo di procedere o meno ad ulteriori indagini.

2.2 Esecuzione delle indagini

Le indagini sul calcestruzzo prevedono una fase preliminare, finalizzata alla correttaesecuzione delle prove, consistente nella preparazione degli elementi strutturali da indagareattraverso la demolizione dell’intonaco o l’eliminazione di qualsiasi tipo di vernice o ditinteggiatura dalle superfici oggetto d’indagine avendo cura di non danneggiare la superficie.Tali operazioni competono all’Ente proprietario mentre l’esecuzione delle prove distruttive enon distruttive è effettuata da un Laboratorio Prove Materiali in possesso della concessionedel Ministero delle Infrastrutture e Trasporti per l’esecuzione di prove su calcestruzzo ai sensi

della Legge n°1086/1971.Il Laboratorio procede all’individuazione delle armature longitudinali e delle staffe con pacometro o, in casi eccezionali, quando lo spessore elevato del copriferro non permette lacorretta rilevazione, con rimozione di una piccola porzione di copriferro.Successivamente procede all’individuazione dei due allineamenti per ogni elemento(allineamento A-A’ e allineamento B-B’) individuando quindi due punti per ognuna dellesuperfici corrispondenti dell’elemento strutturale.L’utilizzo del metodo combinato Sonreb (sclerometro + ultrasuoni) permette di compensare in

parte i limiti e i margini di incertezza propri di ciascun metodo di prova preso singolarmente;tali limiti sono legati al livello di carbonatazione, alla eventuale presenza di lesioni o di cavità,al grado di invecchiamento del cls ed alla presenza di inerti affioranti o di nidi di ghiaia.

Per uniformare i criteri di raccolta dei dati su tutto il territorio è stata codificata dai tecnici delServizio Sismico Regionale una “Scheda Prove Qualità Calcestruzzo” da compilarsi a cura

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dei tecnici del Laboratorio prove materiali durante l’esecuzione delle indagini (Figura 1 eFigura 2). Tale scheda è stata fornita a tutti i Laboratori corredata di dettagliate istruzioni perla compilazione.

Figura 1. Scheda Prove Qualità (lato A) Figura 2. Scheda Prove Qualità (lato B)

Lo sclerometro misura in modo indiretto la resistenza del calcestruzzo attraverso larilevazione della durezza superficiale; la metodologia prevede che vengano eseguite 12

battute sclerometriche nell’area adiacente ad ogni punto di indagine per un totale di 48 battutesu ogni elemento. Tali indicazioni sono fornite nel rispetto della norma UNI EN 12504-2(Figura 3).

Figura 3. Esecuzione battute sclerometriche

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Il metodo ad ultrasuoni misura la resistenza del calcestruzzo attraverso la rilevazione dellavelocità media con la quale onde vibrazionali trasmesse a frequenze ultrasoniche attraversanol’elemento strutturale indagato. Il metodo di rilevamento delle letture degli ultrasuoni adottatodalla Regione Toscana prevede l’effettuazione di almeno 3 letture per ogni allineamento in

trasmissione diretta ed esclude la possibilità di fare misure indirette. La precisione nellamisurazione del tempo di attraversamento dipende dall’esecuzione della prova ad adeguatadistanza dalle barre d’armatura, dalla buona aderenza fra la superficie del trasduttore e quelladel calcestruzzo ottenuta con l’interposizione di vaselina, dal buon allineamento fra le duesonde che deve essere verificato con livella ad acqua e dall’esecuzione della prova incondizioni ambientali idonee. Tali indicazioni sono fornite nel rispetto della norma UNI EN12504-4 (Figura 4).

Figura 4. Esecuzione prova ultrasonica

Per gli elementi per i quali il Programma d’indagine prevede anche l’effettuazione di provedirette si procede con l’esecuzione del carotaggio per il prelievo di campioni cilindrici di

calcestruzzo. Tale prova deve essere realizzata in una zona di modesta sollecitazioneflessionale e deve rigorosamente essere effettuata in una delle due aree indagate precedentemente con il metodo Sonreb, al fine di poter correlare le resistenze ottenute dai duemetodi.Si prescrive l’estrazione di carote passanti con diametro non inferiore a circa 100 mm, inrelazione alle dimensioni geometriche dell’elemento, alla disposizione dei ferri di armatura ealle dimensioni degli inerti. Diametri inferiori sono consentiti in casi di elevataconcentrazione di armatura che non permette l’effettuazione del prelievo di calcestruzzomediante corone di diametro adeguato. L’operazione deve essere svolta con carotatrice adacqua fissata direttamente sull’elemento strutturale al fine di ridurre al minimo il disturboarrecato dal prelievo e di limitare il più possibile le vibrazioni innescate. Tali indicazioni sono

fornite nel rispetto della norma UNI EN 12504-1 (figura 5).

Figura 5. Esecuzione del carotaggio

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Dopo l’estrazione della carota viene verificata la profondità di carbonatazione delcalcestruzzo, dato che fornisce utili indicazioni per comprendere l’attendibilità della provasclerometrica.La metodologia prevede inoltre la misurazione della velocità di propagazione di onde

ultrasoniche sulla carota estratta sia a fine giornata che successivamente in laboratorio; talimisurazioni, confrontate con quella effettuata in situ sull’elemento strutturale, permettono diverificare che il campione non abbia subito danni durante il carotaggio o il trasporto inLaboratorio.Infine i campioni prelevati vengono trasferiti in laboratorio per essere sottoposti a prova dicompressione fino a rottura.

2.3 Interpretazione dei risultati

Vista la natura sperimentale dell’attività condotta dalla R.T. e la carenza di riferimentinormativi circa le modalità di interpretazione dei dati ottenuti da indagini sul calcestruzzo, ilServizio Sismico Regionale ha elaborato un proprio standard di riferimento, basato sulle

formulazioni presenti in letteratura tecnica e sui risultati ottenuti dai dati raccolti in anni diattività di indagine.Per ottenere il valore della resistenza stimata media del calcestruzzo con il metodo combinatoSonreb la metodologia R. T. prevede di ricavare l’indice di rimbalzo medio su n°10 lettureescludendo il valore più alto e il più basso delle dodici effettuate e il valore della velocità di

propagazione degli impulsi ultrasonici come rapporto fra le dimensioni dell’elementoindagato e la media delle tre letture dei tempi di attraversamento.Tra le varie formulazione presenti in letteratura tecnica per ricavare il valore di resistenza delcalcestruzzo, il SSR ha scelto di utilizzarne tre:

Rc1 = [0,0286 * S 1,246 *V1,85] (1)Rc2 = [1,2*10-9* S1,058 *V2,446] (2)Rc3 = [7,695*10-10*S1,4*V2,6] (3)

in tali formulazioni codificate da J. Gašparik nel 1984 (1), da A. Di Leo e G. Pascale nel 1994(2) e da R. Giachetti e L. Lacquaniti nel 1980 (3), V è la velocità di propagazione degliultrasuoni espressa in m/s, S è l’indice medio di rimbalzo e R c la resistenza cubicaconvenzionale del calcestruzzo standard espressa in N/mmq.Tali formule, corrispondenti a curve di isoresistenza, forniscono valori con differenzedell’ordine anche del 30–40%. Ne consegue una notevole difficoltà tecnica nella scelta delvalore di Rck da attribuire al calcestruzzo dell’edificio esaminato. Le I.T. della Regione

Toscana prevedono di fornire anche come ulteriore riferimento la media ottenuta dalle treformulazioni suddette.Per quanto riguarda la prova distruttiva, invece, il dato che si ottiene dalla rottura acompressione del provino (R car ), a causa di molti fattori perturbativi intrinseci allametodologia stessa, non è rappresentativo dell’effettiva qualità del conglomerato in opera, va

pertanto depurato per ottenere un valore finale di resistenza cubica caratteristica. Tra leformulazioni presenti in bibliografia tecnica, la metodologia prevede di utilizzare per ricavaredal valore di R car la Resistenza in situ, ritenuta la più rappresentativa dell’effettiva qualità delcalcestruzzo in opera, quelle codificate dal British Standard nel 1981 (4), dalla ConcreteSociety nel 1976 (5) e da M. Cestelli Guidi e G. Morelli nel 1981 (6):

R situ = [R car * C *1,25] (4)(con fattore di correzione 0.90<C< 1 per 1<λ<2)

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R situ = [K * (R car /C) * 1,25] (5)(con fattore di correzione C = 1.5+1/λ, con K=2 per perforazioni orizzontali e K=1,84 per

perforazioni verticali e R cub.conv. = [R situ * 1,30])R situ = [K*(R car /C)*1,20] (6)

(con fattore di correzione C = 1,5+1/λ, con K=2 per perforazioni orizzontali e K=1,84 per

perforazioni verticali e R cub.conv.= [R situ*1,50])

Le I.T. della Regione Toscana anche per le prove distruttive forniscono come ulterioreindicazione la media ottenuta dai valori delle tre formulazioni suddette.I dati ricavati dalle prove distruttive e non distruttive, vengono confrontati assumendo come

parametro di riferimento minimo da soddisfare quello contenuto nel D.M. 09/01/96(normativa tecnica per strutture in c.a.) che fissa la resistenza minima per il calcestruzzostrutturale pari a 150 kg/cmq. Nel caso il progetto o le verifiche venissero svolte con altranormativa (D. M. 14/09/2005 o D. M. 14/01/2008) sarà il progettista ad eseguire le opportunevalutazioni.Per gli elementi indagati con entrambi i metodi, la prova diretta, ritenuta più affidabile, viene

utilizzata per verificare e validare la resistenza del calcestruzzo indicata dal Metodo Sonreb. Nel caso di buona correlazione si possono considerare affidabili anche i risultati ottenuti suelementi testati con sola prova non distruttiva.

Nel processo di interpretazione dei dati ottenuti l’ufficio evidenzia inoltre la presenza dielevati valori di deviazione standard nelle letture ultrasoniche e sclerometriche, l’esistenza omeno di omogeneità e coerenza tra i dati ottenuti con le due metodologie, la presenza dicarbonatazione sulle superfici indagate e la correlazione tra le velocità ultrasoniche ottenute insitu sul pilastro e in laboratorio sulla carota.

3 CONCLUSIONI

Le numerose campagne d’indagine svolte nell’ambito del Programma VSCA su tutto ilterritorio regionale hanno confermato alcune problematiche; una di esse è legata al fatto che leformulazioni scientifiche di interpretazione dei dati presenti in letteratura sono calibrate sucalcestruzzi confezionati “ad hoc” a 28 giorni di maturazione e quindi non risultanorappresentative dei conglomerati presenti negli edifici esistenti. Le formule di correlazione delmetodo Sonreb, ad esempio, sono applicabili per valori della velocità di attraversamentosuperiori a 3100÷3200 m/sec, mentre per valori inferiori non risultano attendibile poichéesterne al dominio delle curve Sonreb ricavate sperimentalmente e sulla cui base si applica laformula.

Valori inferiori rispetto a tale limite sono di frequente riscontrabili su edifici “datati” o inelementi strutturali in cui il calcestruzzo presenta difetti di confezionamento. In tali situazionila formula perde di significato anche se, pur non essendo possibile stabilire con certezza laresistenza del cls, si ottiene l’indicazione di una qualità del conglomerato inferiore a 150kg/cmq.Altra problematica è relativa al fatto che la Norma UNI EN 12504-1, definisce che “ilrapporto della dimensione massima dell’aggregato presente nel calcestruzzo rispetto aldiametro della carota influenza significativamente la resistenza misurata, quando si avvicina avalori maggiori di 1:3 circa”. A tal proposito si è riscontrato che molto spesso è difficoltosorispettare tale tipo di prescrizione sia in alcuni casi per la presenza di forti concentrazioni diarmatura che non permettono l’effettuazione del prelievo di calcestruzzo mediante corone di

diametro adeguato sia per la presenza, in edifici risalenti in particolare agli anni ‘50-’70, diinerti, spesso di fiume, di dimensioni elevate (da 4 a 6 cm).

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Risulta pertanto necessaria la codifica di nuove formulazioni di interpretazione dei datispecificatamente calibrate sul patrimonio edilizio esistente in cemento armato. In tale contestosarà utile il data base in corso di realizzazione che contiene tutti i dati delle indagini effettuate.

4 RINGRAZIAMENTIUn ringraziamento ai tecnici regionali Ing. Francesco Barni, Arch. Gabriella De Pasquale,Ing. Claudio Dossena, Ing. Gaia Finzi Contini, Arch. Elena Lucarelli, Ing. Chiara Martellacci,Ing. Federica Papini, Ing. Alessandro Scelfo, Ing. Andrea Tonelli e Arch. Laura Tovazzi che,con contratto a tempo determinato o borse di studio, hanno contribuito allo sviluppo ed alcontinuo aggiornamento della metodologia codificata dal Servizio Sismico per la valutazionedella resistenza meccanica del calcestruzzo.

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R ISULTATI DELLE CAMPAGNE D’INDAGINE SVOLTE DALLA R EGIONE

TOSCANA PER LA VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA DEL

CALCESTRUZZO DI EDIFICI ESISTENTI IN CEMENTO ARMATO

Maurizio Ferrini, Nicola Signorini, Paola Pelliccia,Francesco Pistola, Vanessa Prestifilippo, Giuseppina Sabia

Servizio Sismico Regione Toscana, [email protected] , [email protected] , [email protected] , [email protected] ,

[email protected] , [email protected]

ABSTRACTLa Regione Toscana, a partire dal 1997, ha predisposto indagini per la prevenzione del rischiosismico di edifici strategici e rilevanti in cemento armato nei Comuni della Garfagnana,Lunigiana, Mugello, Casentino, Valtiberina e Amiata. Nel 2007 tali indagini sono state esteseall’Appennino Pistoiese.In generale le indagini di valutazione sulla qualità del calcestruzzo hanno fornito un quadrodello stato di salute del patrimonio edilizio non omogeneo soprattutto in relazione all’età

dell’edificio e all’area geografica in cui è costruito. Per molti edifici in c.a. realizzati principalmente fra il 1950 e il 1970, si è riscontrata la presenza di conglomerati con resistenzemeccaniche inferiori a quelle di progetto e talvolta anche a quelle minime richieste dallanormativa in vigore all’epoca di costruzione del fabbricato (120kg/cmq come richiesto dalR.D.L. 2229/39). Si sono inoltre riscontrati errori progettuali e di realizzazione nelconfezionamento del conglomerato.Tali risultati dimostrano la necessità di implementare le indagini per la caratterizzazione delcalcestruzzo sugli edifici esistenti e di estendere tale valutazione anche alle armature.

PAROLE CHIAVERegione Toscana, programma V.S.C.A., cemento armato, risultati indagini, metodo Sonreb.

1 INTRODUZIONE

La Regione Toscana, a partire dal 1997, ha avviato programmi regionali di valutazione delrischio sismico in circa 90 comuni della Garfagnana, Lunigiana, Mugello, Casentino,Valtiberina, Amiata, Appennino Pistoiese e Val di Chiana.

Nell’ambito delle indagini per la caratterizzazione del calcestruzzo di edifici strategici erilevanti in cemento armato il Servizio Sismico Regionale (SSR), in quasi completa assenza di

normativa specifica e di riferimenti scientifici relativi agli edifici esistenti, ha elaborato una


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propria metodologia finalizzata ad uniformare le modalità di raccolta e di interpretazione deirisultati.Con la L.R. n° 56/1997 e con i successivi Piani Regionali di Azione Ambientale (P.R.A.A.)approvati negli anni 2002-2003 e 2004-2006, si è dato un impulso ulteriore a tale iniziativacon la definizione del programma VSCA (Vulnerabilità Sismica di edifici in Cemento

Armato).La necessità di intervenire con metodi meno invasivi delle prove distruttive su edifici esistentidei quali spesso non si conoscono le effettive capacità resistenti ha portato a svolgerenumerose sperimentazioni tese a valutare alcuni metodi di prova non distruttiva presenti inletteratura scientifica (prova sclerometrica, velocità di propagazione degli ultrasuoni, metodoSonreb, pull-out, sonda Windsor) che hanno portato a ritenere il metodo combinato Sonreb(sclerometro+ultrasuoni) il più affidabile per la valutazione della resistenza del calcestruzzoin edifici esistenti, in quanto è risultato essere il meno influenzato dalla carbonatazionesuperficiale. Per ridurre al massimo l’influenza di tale forma di degrado, presente sullamaggior parte degli edifici esistenti, la procedura esclude per il metodo ad ultrasuoni la

possibilità di fare misure indirette e prescrive misurazioni solo per trasmissione diretta.

Ciò ha portato alla codifica di una normativa tecnica regionale “Istruzioni Tecniche per lo svolgimento di indagini finalizzate alla valutazione della resistenza del calcestruzzo gettato inopera in edifici esistenti in cemento armato”, approvata con delibera di G.R.T. n° 1632/1998e successive modifiche, che prevede l’esecuzione di prove non distruttive (metodo Sonreb) daconfrontare e correlare con prove distruttive (carotaggi).A livello nazionale con l’Ordinanza P.C.M. n° 3274 del 20/03/2003, emanata in seguito alcrollo della scuola di San Giuliano di Puglia del 31/10/2002, viene sottolineata l’importanzadel controllo dello “stato di salute” degli edifici esistenti attraverso la prescrizione di indaginie rilievi in situ a cui corrispondono diversi livelli di conoscenza e, di conseguenza, differentimetodi di analisi e coefficienti di sicurezza. Tale Ordinanza prevede, per la valutazione dellaresistenza del calcestruzzo, solo indagini di tipo distruttivo (carotaggi).Con la successiva Ordinanza P.C.M. n° 3431 del 03/05/2005 (integrazione e modificadell’Ord. 3274) si ammette l’uso di metodi di indagine non distruttiva di “documentataaffidabilità”, non in completa sostituzione ma ad integrazione delle indagini distruttive sullequali i risultati delle prove indirette vanno tarati.Tali indicazioni sono state ribadite nelle recenti “Linee guida per la messa in opera delcalcestruzzo strutturale e per la valutazione delle caratteristiche meccaniche del calcestruzzoindurito mediante prove non distruttive” pubblicate dal Consiglio Superiore dei LavoriPubblici a febbraio 2008.Al 30 marzo 2008 sono stati segnalati dai comuni a maggior rischio sismico circa 820 edificiin cemento armato. Ad oggi il SSR ha visitato, predisposto specifici programmi d’indagine,

elaborato i risultati e finanziato 405 edifici con l’effettuazione di circa 3500 prove nondistruttive (metodo Sonreb) e di circa 1500 prove distruttive (carotaggi). Per 298 di essi leindagini per la caratterizzazione del calcestruzzo risultano concluse mentre per 107 sonotuttora in corso. Sul totale dei 405 edifici circa 120 sono stati finanziati per interventi diadeguamento sismico e altri 150 sono stati inseriti nei programmi delle verifiche sismichedelle Ordinanze 3362/2004 e 3505/2006.

2 PROGRAMMA V.S.C.A.

I circa 90 comuni oggetto d’indagine dei programmi regionali di valutazione del rischio

sismico sono tutti classificati in zona sismica 2. Di essi 41 sono piccoli Comuni con

- 97 -



popolazione residente inferiore a 3300 abitanti che appartengono in prevalenza all’arcoappenninico (34 comuni sono classificati di montagna).In tali Comuni la costruzione di edifici pubblici (scuole, edifici municipali e ospedali) èavvenuta nel dopoguerra (soprattutto negli anni ’50) utilizzando prevalentemente cometipologia strutturale la muratura.

Negli anni ’60-’70 si è avuto lo sviluppo dell’uso del cemento armato in edilizia, ma per moltidi questi comuni soprattutto piccoli e di montagna, a causa del calo demografico, gli edificicostruiti in c.a. hanno avuto un incremento contenuto o del tutto assente.I Comuni oggetto d’indagine del programma V.S.C.A. sono ad oggi 75.

2.1 Classificazione sismica e Normativa

Dei 75 Comuni oggetto d’indagine 47 risultano classificati sismici in zona 2 a partire dal1927. In particolare:

- 47 Comuni sono classificati sismici dal 1927 (R. D. n° 431/1927);- 2 Comuni sono classificati sismici dal 1927 (R. D. n° 431/1927) declassificati nel 1937 (R.

D. n° 2105/1937) e riclassificati nel 1962 (L. n° 1684/1962);- 1 Comune è classificato sismico dal 1927 (R. D. n° 431/1927) declassificato nel 1962 (L. n°1684/1962) e riclassificato nel 2006 (OPCM n° 3519/2006, Del. GRT n° 431/2006);- 16 Comuni sono classificati sismici dal 1982 (DM 19/03/1982);- 4 Comuni sono classificati sismici dal 2003 (OPCM n° 3274/2003, Del. GRT n° 604/2003);- 5 Comuni sono classificati sismici dal 2006 (OPCM n° 3519/2006, Del. GRT n° 431/2006).

A livello nazionale la normativa di riferimento per le opere in c.a. edificate nel dopoguerra è ilRegio Decreto n° 2229 del 16/11/1939 che prevedeva come valore minimo da assumersi perla resistenza cubica del conglomerato a 28 giorni di maturazione 120kg/cmq.Successivamente la Legge n° 1086/1971, con il Decreto Ministeriale 30/05/1972 in vigore dal22/07/1972 data di pubblicazione sulla Gazzetta Ufficiale S. O. n° 190, ha portato talerequisito minimo a 150 Kg/cmq, valore confermato dal Decreto Ministeriale 09/01/1996.

2.2 Campione analizzato

Il campione analizzato è costituito da 405 edifici, per la maggior parte a destinazionescolastica, costruiti tra gli anni ‘50 e primi anni ’90.Si ricorda a tal proposito che la Regione Toscana aveva avviato, con L.R. n° 56/1997, il

proprio programma di indagini sulla qualità del calcestruzzo su edifici costruiti anteriormenteal 1996, successivamente l’Ord. PCM 3274/2003 ha previsto che le verifiche sismiche fosseroeseguite per edifici realizzati precedentemente al 1984.

In particolare le indagini hanno interessato:- 3 edifici in 2 Comuni dell’Appennino Pistoiese corrispondente all’1% dei 405 totali;- 25 edifici in 6 Comuni dell’Amiata corrispondente al 6% dei 405 totali;- 97 edifici in 15 Comuni del Casentino e Valtiberina corrispondente al 24% dei 405 totali;- 83 edifici in 20 Comuni della Garfagnana e Media Valle del Serchio corrispondente al 20%dei 405 totali;- 89 edifici in 17 Comuni della Lunigiana corrispondente al 22% dei 405 totali;- 108 edifici in 15 Comuni del Mugello e Val di Sieve corrispondente al 27% dei 405 totali.Tali edifici risultano essere stati costruiti:- 16 edifici negli anni ’50 (dal 1950 al 1959) corrispondente al 4% dei 405 totali;- 112 edifici negli anni ’60 (dal 1960 al 1972) corrispondente al 28% dei 405 totali;

- 165 edifici negli anni ’70 (dal 1973 al 1979) corrispondente al 40% dei 405 totali;- 104 edifici negli anni ’80 (dal 1980 al 1989) corrispondente al 26% dei 405 totali;

- 98 -



- 8 edifici nei primi anni ’90 (dal 1990 al 1995) corrispondente al 2% dei 405 totali.Si evidenzia che nella suddivisione per anni di costruzione, tra gli anni ’60 e gli anni ’70, si èscelto di utilizzare come punto di riferimento il 1973 in quanto a partire da tale data, come

precedentemente indicato, si può ritenere che gli edifici siano stati costruiti utilizzando comerequisito minimo per il calcestruzzo 150 kg/cmq.

2.3 Risultati delle indagini

Il Servizio Sismico Regionale ha elaborato un proprio standard di riferimento perl’interpretazione dei dati ottenuti dalle prove distruttive e non distruttive basato sulleformulazioni presenti in letteratura tecnica e sui risultati ottenuti in anni di attività di indagine.Si evidenzia che il giudizio sulla qualità del calcestruzzo è formulato principalmente

prendendo in considerazione i risultati ottenuti dalle prove distruttive mentre quelli ricavatidalle prove non distruttive vengono presi in considerazione solo nei casi in cui le correlazionitra i due metodi risultino accettabili (differenza percentuale pari al ±10%).A tal proposito si rileva che la formula di correlazione del Metodo Sonreb è applicabile pervalori della velocità d’attraversamento superiori a 3100 ÷ 3200 m/sec., valori riscontrabili per

calcestruzzi compatti e di buona qualità (resistenza del cls > 150 kg/cmq), mentre per valoriinferiori non risulta attendibile poiché esterna al dominio delle curve Sonreb ricavatesperimentalmente e sulla cui base si applica la formula suddetta.Si ricorda, tuttavia, che nel caso di valori bassi della velocità ultrasonica (≈ 2500 ÷ 3000m/sec), pur non essendo possibile stabilire con certezza l’Rck del cls, si ottiene probabilmenteun valore di resistenza del cls < 150 kg/cmq, mentre per valori particolarmente bassi (≈ 1000÷2300 m/sec), il dato ottenuto perde praticamente di significato pur indicando una resistenza< 100 kg/cmq.Il S.S.R. ha scelto di procedere nella verifica della qualità del calcestruzzo sugli edificiesistenti assumendo come riferimento minimo da soddisfare quello contenuto nel D.M.

09/01/96 che fissa la resistenza minima per il calcestruzzo strutturale pari a 150 kg/cmq. I datiricavati dalle prove distruttive e dalle prove non distruttive ritenute valide vengono pertantoconfrontati con tale riferimento evidenziando gli elementi strutturali che non soddisfano talerequisito. Nel caso il progetto o le verifiche venissero svolte con altra normativa (D. M.14/09/2005 o D. M. 14/01/2008) sarà il progettista ad eseguire le opportune valutazioni.Il giudizio sulla qualità del calcestruzzo di un edificio è ritenuto positivo quando:- tutti i risultati delle prove distruttive forniscono valori di resistenza maggiori di 150kg/cmq;- tutti i risultati delle prove distruttive forniscono valori di resistenza maggiori di 150 kg/cmqad eccezione di un numero limitato di elementi non significativo rispetto al numero totale, chehanno fornito valori compresi tra 120 e 150 kg/cmq, e tali da non innescare meccanismi

fragili.Il giudizio sulla qualità del calcestruzzo di un edificio è ritenuto negativo quando:- tutti i risultati delle prove distruttive forniscono valori di resistenza minori di 150 kg/cmq;- tutti i risultati delle prove distruttive forniscono valori di resistenza minori di 150 kg/cmq adeccezione di un numero limitato di elementi non significativo rispetto al numero totale chehanno dato valori superiori a 150 kg/cmq;- la maggior parte degli elementi strutturali che hanno fornito valori di resistenza minori di150 kg/cmq sono concentrati ai piani bassi o in zone particolarmente sollecitate di un edificio.Si evidenzia infatti che spesso i risultati riscontrati sugli edifici risultano fortementedisomogenei, soprattutto tra i vari piani di un edificio indicando valori del calcestruzzo peralcuni elementi strutturali maggiori di 150 kg/cmq e per altri inferiori. Questa situazione

comporta un giudizio globale negativo sulla qualità del calcestruzzo in quanto costituisceelemento di vulnerabilità.

- 99 -



In generale le indagini di valutazione sulla qualità del calcestruzzo hanno fornito un quadrodello stato di salute del patrimonio edilizio non omogeneo soprattutto in relazione all’areageografica in cui è collocato e all’epoca di costruzione dell’edificio (Figura 1 e Figura 2).

1

16

43

55

36

67

04

16

8

36

16

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Appennino

pistoiese

Amiata Casentino e

Valtiberina

Garfagnana e

Media Valle del

Serchio

Lunigiana Mugello e Val di

Sieve

Area Geografica

n ° e d i f i c i

Esito positivo Esito negativo

Figura 1. Risultati delle indagini per area geografica

Dei 298 edifici per i quali le indagini risultano concluse, 218 hanno fornito esito positivomentre per 80 i risultati delle indagini hanno evidenziato una qualità del calcestruzzo inferioreal minimo di resistenza previsto per il calcestruzzo strutturale.In seguito a tale riscontro negativo e alla successiva esecuzione di verifiche da parte di tecnici

incaricati dagli enti proprietari si è giunti alla chiusura di 29 edifici e alla demolizione di 12(per 4 di essi solo dell’ultimo piano).

0

54

86

72

6

14

37

1513

00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Anni '50 Anni '60 Anni '70 Anni '80 Primi anni '90

Anni di costruzione

n ° e d i f i c i

Esito posit ivo Esito negativo

Figura 2. Risultati delle indagini per anni di costruzione

La Figura 2 evidenzia che il totale degli edifici indagati costruiti negli anni ’50 (100%) e 37edifici dei 91 costruiti negli anni ’60 (41%) hanno fornito esito negativo. Tale risultato

- 100 -



potrebbe sembrare plausibile se si considera che in tali epoche il requisito minimo per laresistenza del calcestruzzo richiesto dalla normativa vigente risultava pari a 120 kg/cmq.Tuttavia analizzando in dettaglio i risultati delle prove distruttive (carotaggio e prova dicompressione) relative alle due epoche di costruzione (figura 3), si osserva che:

63

13

22

0

10

20

30

40

50

60

70

Rck < 120 120 < Rck < 150 Rck > 150

Resistenza cubica in situ (kg/cmq) - Edifici anni '50

n ° p r o v e d i s t r u t t i v e 88

54

117

0

20

40

60

80

100

120

140

Rck < 120 120 < Rck < 150 Rck > 150


n ° p r o v e d i s t r u t t i v e

Figura 3. Risultati prove distruttive – Edifici anni ’50 e anni ’60 con esito indagini negativo

- delle 98 prove distruttive eseguite su edifici costruiti negli anni ’50 (dal 1950 al 1959) il65% ha fornito risultati comunque inferiori al requisito minimo di normativa vigente, il 13%ha fornito risultati compresi tra i 120 e i 150 kg/cmq ed il 22% ha fornito valori superiori a150 kg/cmq;- delle 259 prove distruttive eseguite su edifici costruiti negli anni ’60 (dal 1960 al 1972) il34% ha fornito risultati comunque inferiori al requisito minimo di normativa vigente, il 21%ha fornito risultati compresi tra i 120 e i 150 kg/cmq ed il 45% ha fornito valori superiori a150 kg/cmq.

Sempr 0 e il15% degli edifici costruiti negli anni ’80 hanno una qualità del calcestruzzo inferiore al

quisito minimo di normativa. I risultati diventano ancora più preoccupanti se si analizzano i

e osservando la Figura 2 si evidenzia che il 15% degli edifici costruiti negli anni ’7

rerisultati delle prove distruttive (Figura 4) che evidenziano:

4064

60

70

1816

20

25

30

e d i s t r u t t i v e

38

32

30

40

50

o v e d i s t r u t t i v e

0

10

20

Rck < 120 120 < Rck < 150 Rck > 150


n °

p r

3435

120 120 < Rck < 150 Rck > 150


o v

Figura 4. Risultati prove distruttive – Edifici anni ’70 e anni ’80 con esito indagini negativo

- delle 134 prove distruttive eseguite su edifici costruiti negli anni ’70 (dal 1973 al 1979) il48% risulta superiore al requisito minimo definito dalla Normativa (150 kg/cmq) mentre il24% ha fornito risultati compresi tra 120 e 150 kg/cmq ed il 28% ha fornito valori inferiori a

120 kg/cmq;

0

5

10

15

Rck <

n °

p r

- 101 -



- delle 68 prove distruttive eseguite su edifici costruiti negli anni ’80 (dal 1980 al 1989) il50% risulta superiore al requisito minimo definito dalla Normativa (150 kg/cmq) mentre il24% ha fornito risultati compresi tra 120 e 150 kg/cmq ed il 26% ha fornito valori inferiori a120 kg/cmq.

2.4 Sviluppi della metodologiaIl gran numero di dati acquisiti relativi agli edifici indagati per mezzo di queste procedurestandardizzate costituisce una banca dati di riferimento utile per gli Enti Locali, i tecnici delsettore e le Università.In particolare nell’ambito della ricerca, la Regione Toscana ha avviato collaborazioni con ilDipartimento di Costruzioni della Facoltà di Architettura dell’Università di Firenze, con ilDipartimento di Ingegneria delle Costruzioni, dell’Ambiente e del Territorio (DICAT)dell’Università di Genova, con il Dipartimento di Analisi e Progettazione strutturaledell’Università di Napoli “Federico II” e con il Dipartimento Strutture, Geotecnica, Geologia(DiSGG) dell’Università della Basilicata finalizzate alla codifica di nuove formulazioni diinterpretazione dei dati, specificatamente calibrate sul patrimonio edilizio esistente in cemento

armato.In riferimento alle prove sull’acciaio si è avviata inoltre una sperimentazione con ilDipartimento di Ingegneria Strutturale e il Dipartimento di Ingegneria Chimica, Chimicaindustriale e Scienza dei materiali dell’Università di Pisa, con l’obiettivo di creare unametodologia d’indagine meno invasiva della prova meccanica di resistenza a trazioneattualmente richiesta dalle norme.

atrimonio edilizio esistente in cemento armato costruito negli anni ’50-‘70.

glomerato cementizio intorno ai 70-100kg/cmq.Si rileva inoltre la difficoltà riscontrata durante le indagini, per la maggior parte degli edifici,

va al progetto originale (strutturali, collaudi, ecc.).

dei parametri necessari per una valutazione globale della vulnerabilità

aderenza matrice-inerte dovuta a inerti inadeguati (ghiaia di fiume) e mal preparati

3 CONCLUSIONI

I risultati relativi alla qualità del calcestruzzo ad oggi ottenuti evidenziano un quadro non

positivo del pLe indagini svolte dimostrano che molti edifici si trovano in una situazione di pieno regime diutilizzo con prestazioni statiche inferiori alle resistenze previste nel progetto originale e, inalcuni casi, anche molto inferiori a quelle previste dalla normativa vigente dell’epoca e convalori del con

a reperire la documentazione relatiE’ importante sottolineare che le indagini diagnostiche effettuate ed i conseguenti risultati del

programma V.S.C.A. si riferiscono esclusivamente alla qualità del calcestruzzo checostituisce soltanto unosismica dell’edificio.Durante tali indagini tuttavia i tecnici regionali hanno rilevato un livello della qualità dellestrutture cementizie piuttosto scarso, in particolare si sono evidenziati:1) scarso controllo in corso d’opera sulla qualità dei materiali e/o sul confezionamento delcemento armato:- presenza di porosità e cavità nel cls dovute a un non corretto rapporto acqua/cemento,- mancata vibrazione del getto,- scarsa(scarsa accuratezza nel lavaggio) e/o con assortimento granulometrico non ottimale,- copriferro assente o di dimensione non sufficiente a proteggere le armature da fenomeni diossidazione,

- armatura non sufficiente e/o erronea disposizione dei ferri longitudinali e delle staffe,- utilizzo di staffe aperte,

- 102 -



- riprese di getto che interrompono la continuità strutturale soprattutto nei nodi;2) degrado del cls con fenomeni di solfatazione e di carbonatazione anche estesi;

ini per la caratterizzazione del

tecnici regionali Francesco Barni, Gabriella De Pasquale, Claudio

eterminato o borse di

izio Sismico per la valutazione della resistenza meccanica del calcestruzzo.

ismica

ne per laconglomerato

esistenti in cemento armato:standardizzata

”, Atti del XII Convegno ANIDIS “L’Ingegneria sismica in

onvegno ANIDIS “L’ingegneria sismica in Italia”, Pisa, 10-14 Giugno 2007.

Masi A., Dolce M., Vona M., Nigro D., Pace G., Ferrini M. (2007). “Indagini sperimentali su elementiscuola esistente in c. a.”, Atti del XII Convegno ANIDIS “L’Ingegneria

-14 Giugno 2007.

vulnerabilità e diagnostica”, Atti del XIII Convegno Nazionale “Giornate Aicap ”, Verona.). “Istruzioni Tecniche con i criteri per lo svolgimento di indaginia di G.R.T. n° 4301 del 21.07.2004.

3) danneggiamento delle strutture per permettere il passaggio degli impianti;4) mancata corrispondenza tra elaborati di progetto e stato di fatto:- diversa disposizione delle barre o uso di diametri differenti da quelli previsti,

- errato posizionamento delle staffe,- mancato rispetto delle lunghezze di ancoraggio.Tali risultati dimostrano la necessità di implementare le indagcalcestruzzo sugli edifici esistenti e di estendere tale valutazione anche alle armature.

4 RINGRAZIAMENTI

Un ringraziamento aiDossena, Gaia Finzi Contini, Elena Lucarelli, Chiara Martellacci, Federica Papini, AlessandroScelfo, Andrea Tonelli e Laura Tovazzi che, con contratto a tempo d

studio, hanno contribuito allo sviluppo ed al continuo aggiornamento della metodologiacodificata dal Serv

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- 103 -




HYBRID TECHNIQUE FOR PARTIAL SAFETY FACTORS CALIBRATION

Giuseppe Carlo Marano a, Giuseppe Quaranta b, Mauro Mezzina c

a Department of Environmental Engineering and Sustainable Development,Technical University of Bari, viale del Turismo 10, 74100 Taranto,

[email protected]

b Department of Structural Engineering and Geotechnics,Sapienza University of Rome, via A. Gramsci 53, 00197 Roma,

[email protected]

c Department of Civil Engineering and Architectural Science,Technical University of Bari, via Orabona 4, 70126 Bari,

[email protected]

ABSTRACT

In the framework of the structural reliability assessment and design, an important theme dealswhit the presence of hybrid uncertainties regarding both data and model. For this reason, inthe last decade, an increasing number of researches have developed new methodologies to

consider the influence of non-probabilistic variables. In this paper, a general optimization- based technique to perform a probabilistic analysis under hybrid uncertainties is presented.Particularly, this method is used to calibrate partial safety factors in presence of fuzzy andfuzzy random variables (data uncertainties) and also in presence of several data-compatible

probability density functions (model uncertainties).

KEYWORDS

Partial safety factors, Calibration, Fuzzy variable, Fuzzy random variable.

1 INTRODUCTION

The treatment of uncertainty in engineering is still an open question and scientific literatureoffers different theories based on dissimilar mathematical models. The probabilistic techniqueis the more common one, also for confidence that researches have in this approach, but otherdifferent ways have been proposed and applied. In this context, the main problem is that therearen’t mathematical certainly on the best method to adopt. Typically, the probabilisticapproach is the most complete, being its information more detailed in comparison with othermethodologies. Nevertheless, the selection of a specific probability density function is an hard

problem. The uncertainties associated to a physical phenomena may derive from several anddifferent sources. In the common language, something is uncertain when it assumes random

meanings or behaviors (randomness), or when it is not clearly established or described(vagueness), or when it may have more than one possible meaning or status (ambiguity), or,


- 104 -









finally, when it is described on the basis of too limited amount of information (imprecision)(Biondini et al ., 2004). At a closer examination, randomness, vagueness, ambiguity, andimprecision denote uncertainties with different and specific characteristics: for randomnessthe source of uncertainty is due to intrinsic factors related to the physics of the phenomena,which determine the events under investigation; in the other cases the source of uncertainty

arises from the limited capacity of our formal languages to describe the engineering problemto be solved (ambiguity), or from incorrect and/or ill-posed definitions of quantities whichconvey some informative content (vagueness), or from some lack of knowledge (imprecision).The last three aspects have subjective nature and are usually included in the wider concept offuzziness which, in this sense, results in juxtaposition with the objective concept ofrandomness. The presence of non probabilistic variables isn’t negligible from a practical pointof view: in fact, one can observe that in a lot of realistic circumstances only few data aboutmodels and structural parameters are available, generally because to investigate mechanicaland geometrical system properties as well as the load conditions is economically inconvenientor practically impossible. A further not negligible theme is the significance of the “expertopinion” in some phases of the design process: in this case, no-numerical data are available

but it is comprehensible demand to define a reasonable tool in order to consider a specifictechnical point of view (Onisawa, 1996). In the probabilistic framework, it is well know thatthe use of partial safety factors is one of the most diffused technique (Ditlevsen, 1997) instructural reliability-based design and they are often assumed as standard in several technicalcodes (Muhammed, 2007) (Sedlacek and Kraus, 2007). Several procedures have been

proposed in order to obtain specific values for these coefficients and they assume that theuncertain variables can be treated as probabilistic (Gayton et al ., 2004). In this way, othersource of uncertainties are not (formally) considered (in more general terms, subjectivecontributions are taken into account at the end of the procedure in “arbitrary” way).The final purpose of this paper is to develop a new approach for the calibration of partialsafety factors in presence of fuzzy and fuzzy random variables but also in presence ofdifferent and data-compatible probability density functions. Therefore, we have considered

both data and model uncertainties in the numeric definition of the partial safety factors. Asimple numerical application shows that this procedure can be used for the numericaldefinition of partial safety factors adopted in common technical codes.

2 STRUCTURAL RELIABILITY ASSESSMENT UNDER FUZZINESS

In the field of non-probabilistic strategies for reliability assessment and design, relevantresults have been achieved by using fuzzy, fuzzy random and/or random fuzzy variables.

Nonetheless, the presence of hybrid uncertainties (probabilistic and non probabilistic) isanother important topic. From the analysis of the literature, it is possible to observe that newnon-probabilistic approaches can be considered as a natural extension of the probabilisticones. Scientific results regarding the structural reliability assessment under fuzziness arerelatively limited but a cataloguing of the existing methodologies can be made in the aim tounderstand possible further developments.A possible classification is the following:1. distribution

functions. One can estimate the fuzzy probability of failure through Fuzzy Monte CarloSimulation and Fuzzy Adaptive Importance Sampling (Möller et al ., 2006).

2. Level 2 methods (L2). Reliability is assed on the base of fuzzy safety

Level 3 methods (L3). The uncertain quantities are modeled by their fuzzy joint

index (Shrestha andDuckstein, 1998) (Elishakoff and Ferracuti, 2006).

- 105 -



3. f non probabilistic uncertainties. About this theme, the Authors don't know any proposed procedure inliterature.

In virtue of the proposed cl

Level 1 methods (L1). Parameters are modeled by their characteristic value in presence o

assification, the methodology presented in this paper can be

3 A GENERAL PROCEDURE TO PERFORM PROBABILISTIC RELIABILITY

In this Section, we expose a procedure to adopt the common probabilistic methodologies in

n (LSF) in the canonical form g (x) = r – s = 0, where r is the realization of the indeterminist variable R that represents a s

About the resistance variable, we assume that the decision maker (DM) is able to define

licted by fuzziness and therefore it is necessary to acquire their MFs.Furthermore, a finite number of probability density function (PDFs) can be assumed for resist

inserted into L1 methods.

ANALYSIS UNDER HYBRID UNCERTAINTIES

presence of fuzzy and fuzzy random variables as well as of indeterminateness conditions for probabilistic model. In the following, we make these hypotheses:a) Structural safety can be estimated by assuming the limit state functio

inglestructural element or a resistant mode of the investigate system. Moreover, s is the realization ofthe uncertain variable S that represents the loading condition. Strength and load variables are

assumed independent and time-invariant. The failure is reached if and only if the safety margin(SM) is negative, in other words if and only if M (X) = R – S < 0.

b) Load variable is assumed fuzzy, therefore through fuzzification procedures it is possible to defineits membership function (MF).

c) somerelevant statistical parameters (i.e. expected value and standard deviation). Such statistical

parameters are considered aff ance

variable, compatibly with available data and statistical parameters. Particularly, the DM is able toorganize in a decreasing order all the PDFs on the base of their relative consistency, so that to thetop of the list we have the principal density function (PPDF) or, equivalently, the most reliablemodel.

The acquisition of the MF for each involved fuzzy variable is a typical problem that regardsthe “knowledge acquisition” area (Klir and Yuan, 1995). About this topic, differentmethodologies could be adopted and they are usually classified with reference to the numberof involved experts (approaches with single or more experts) rather than on the adoptedstrategy (direct or indirect) (Klir and Yuan, 1995) (Klir, 2006). In the following, we assumethat for each fuzzy variable its MF has been acquired.Precedent hypotheses have a remarkable practical implication and it is convenient to spendsome opportune reflections. First of all, canonical form in a) has been adopted becausestraightforward and, at the same time, it is able to capture different real and realistic situations(when opportunely simplified). For instance, this expression can be used to define the

reliability in a structural element in virtue of the maximum stress and of the material strength(in limit state analysis), or on the base of the displacement induced by an external loadcompared with an admissible threshold (in serviceability state analysis). A further examplereported in literature is the case of offshore structure that can be idealized as a cantilever

beam rigidly inserted on the bottom of the sea: in this case, main goal is to compare the bending moment to the base and its resistant value. With reference to the assumption in b), ithas been introduced because load variable is affected in a significant measure by non-

probabilistic uncertainty: often in fact, a probabilistic model is unavailable and thecomparison with other circumstance can be poor realistic when not completely misleading. Inreason of this, we believe that load variable can be represented as fuzzy variable.

- 106 -



On the other hand, hypothesis in c) has been introduced because, notwithstanding the

evitable presence of uncertainties, resistance variable can be analyzed in a different way.aboratory or in-situ investigation allow to obtain some information, for instance about thexpected value and the standard deviation. On the other hand, available set of data could be

ot sufficient to consent the extrapolation of a specific PDF. About this parameter and

inLe

nespecially for some materials (i.e. steel or concrete), it is possible to define a reliable finite setof PDFs. Moreover, it is indispensable to add at least two supplementary considerations.Frequently, data from experimental test are concentrated in a limited range around the meanvalue, so that errors in the choice of a unique PDF cannot be observed. This is a crucial aspect

because these approximations have notable effects to the tails, where the probability of failureis commonly computed. Finally, statistical parameters in PDFs are susceptible to vary on the

base of DM’s qualitative considerations as well as on the base of the tests consistency. Forthese reason, we have assumed that strength variable is a fuzzy random one.Preliminary, about the LSF:

( ) 0 g r s− =x (1)

we consider the circumstance where R is a random variable and S a fuzzy one.variable, statistic parameters (i.e. mean and standard deviation)

are temporarily assumed as crisp variables. Under these considerations, probability of failurean be obtained as follows (Bing et al ., 2000):

About the probabilistic-type

c

( ) ( ) f r P x f x dxμ = ∫ %

s

where (

(2)

) s

xμ %

is the MF of the load (fuzzy) variable and ( )r f x is the PDF of the strength

(random) variable. Our purpose is to obtain the probability of failure whit a triangular MF bviously, generalizations to other typologies can be ma

ly the fuzzy probability of failure, in this lasa

(o de) and for some special PDFs.These results will be used to define successive tcase statistic l parameters for PDFs will be assumed as fuzzy variables.In the case of fuzzy triangular load variable and normal strength variable, the load variable isexpressed as:

( )1

, , x m

m n x m nS m n m m n x nμ

⎧ −

0 s

otherwise

− − ≤ ≤ +⎪= − + ⇒ = ⎨

⎪⎩

% (3)

while strength variable is:

( ) ( ) ( )

2

2

1 N , exp

22r

x R f x

η η σ

σ σ π

⎡ ⎤− −⇒ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (4)

Under the following conditions:

0, 0, 0, 0m n η σ > > > > (5)

probability of failure is:

- 107 -



( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

1Erf Erf

2 2 2

4 exp 2 exp 2 exp2 2 2

1 2 2 Erf 2 Erf 2 2 2 2

2 Erf 2 Erf 2 2

f

m n m n P

m m n m n

m m nm m

n

m n m nm

η η

σ σ

η η σ σ

σ σ σ

η η π η π η

π σ

η η π πη

σ

+ − − + += + −

− − − + − − − + +2

η σ

σ

− − +

− − −− + − + −

+ − + −+

⎛ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

σ

⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

(6)

If strength variable has a Lognormal PDF:

⎛

( ) ( ) ( )

2

2

log1LN , exp

22r

x R f x

x

η η σ

σ σ π

⎡ ⎤− −⇒ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (7)

under the following conditions:

n0, 0, 0, 0,m n mη σ > > > > > (8)

the probability of failure is:

( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2

22 2 2

2 2

2 2

2 2

- log log2 exp Erf exp Erf

2 2 22 2

log logexp Erf exp Erf

2 22 2

1 logexp exp Erf

2 2 2 2 f

m mm

m mm

m n P n

n

η η η σ η σ η

σ σ σ σ

η σ η σ η η

σ σ σ σ

η η η

σ σ σ

+ −− + + −

+ + − − −− +

− −= −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

n

( )

( ) ( )

( )

22 2

2

2 2

2 2

2 2 2

2

logexp Erf

2 2

log logexp Erf exp Erf

2 22 2

logexp Erf

2 2 2

m n

m n m nm n

m n

η σ η σ

σ σ

η η η η

σ σ σ σ

η σ η σ η

σ σ

+ + − −+ −

− + − +− +

+ − ++ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜

⎟⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎜ ⎟⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎜ ⎟

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎜ ⎟⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

(9)

If strength variable has a Chi-squared PDF:

( )

2

2

2

exp2

22

x

( )2

r

x

x

ν

ν ν

−

R f χ ν

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦=⇒⎡ ⎤Γ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(10)

nder the following conditions:

n

u

0, 0, 0,m n mν > > > > (11)


- 108 -



4 1 , 2 , ,2 2 2 2 2 2

1, , ,

2 2 2 2 2 2

2 2 22 , 2 ,2 2 2 2

f

m m m nm m

m n m n m n P n m n

n

m n m n

ν ν ν

ν ν ν

ν

ν ν

⎛ ⎞−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− Γ + + Γ − Γ +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= Γ − Γ − Γ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦ + − + +⎡ ⎤ ⎡

+⎡ ⎤ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎜ ⎟Γ

⎜ ⎟⎤Γ + Γ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

(12)

If strength variable has a Gumbel PDF:

( ) ( )1

V , exp exp expr

x a x R a b f x

b b b

a⎧ ⎫− −⎡ ⎤ ⎡⇒ = − − − ⎤⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭

⎦

(13)


(14)0, 0, 0, 0m n a b> > > >


2 Ei exp Ei exp Ei exp

f

b b P

⎣ ⎦⎣=

a m a m n a m nb b b

b

n

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + − + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (15)

In (15) the Ei[·] is Exponential Integral Function.strength variable has a Gamma PDF:If

( )( )

1

expc

r

x

( ),

x

b b f x

b c

−

R b cγ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎣ ⎦=Γ

(16)


(17)

⇒

0, 0, 0, 0m n b c> > > >


( )

( ) ( )2 , , ,1

f P

n c⎜=⎜Γ

2 1 , 1 , 1 ,

m m n m nm c m n c m n c

b b b

m m n m nb c c c

b b b

⎛ ⎞− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Γ + − + Γ + Γ +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎟⎟⎛ ⎞− +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− Γ + + Γ + + Γ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎝ ⎠

(18)

strength variable has a Logistic PDF:

( )

−

If

2

exp

1 exp

r

x a

b f x

x abb

−⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦=( )X , R a b ⇒

⎧ ⎫− ⎤+ −⎨ ⎬⎥⎦⎩ ⎭

(19)

- 109 -




0, 0, 0, 0m n a b> > > >


(20)

[ ] [ ] [ ] ( )2 log expb a b⎛

[ ] ( )

exp log exp exp

log exp exp

m b b a b m n b

b a b m b P

n

⎞⎡ ⎤⎤ ⎡ ⎤+ + + − +⎦ ⎣ ⎦⎡− ⎣ ⎣

n

f

⎦⎜ ⎟⎜ ⎟⎡ ⎤⎡ ⎤+ +⎣ ⎦⎣ ⎦⎝ ⎠= (21)

If strength variable has a Rayleigh PDF:

( ) ( )2

2 2R exp

2r

x R b f x

b b

⎡ ⎤⇒ = −⎢ ⎥

⎣ ⎦ (22)


(23)


0, 0, 0m n b> > >

2 2 Erf b π ⎡ ⎤

2 Erf 2 Erf 2 2 2

2 f

m m n m nb b

b b b P

n

π π − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

4 IDENTIFICATION OF THE CORRECTIVE FACTORS

ext step is articulated as follows:. Identification of PDFs for strength variable, compatibly with available dat and sta

parameters. Moreover this set is organized in a decreasing order on the base of their relativeconsistency. On the top we have the PPDF that is the most reliable model for the random variable.

e PPDF).with available MFs, so

le strength.

(24)

N1 a tistical

For each PDF is assigned a weight (greater weight corresponds to th2. Statistical parameters for strength variable are assumed as fuzzy variable

that we have a fuzzy random variab3. Fuzzy probability of failure is achieved, with reference to the particular situation as in (6), (9),

(12), (15), (18), (21) or (24). In this case, each expression is a fuzzy function, a deterministicmodel able to map from fuzzy variables (statistical parameters for strength variable) into fuzzyvariable (fuzzy probability of failure).

Therefore, we introduce virtual random variables:

$ $ ( )( ) ( ) $ ( )( )1 N S RS r RS R f d d (25)

25)In ( , vectors $ ( )S d and $ ( ) RS Rd collect the statistical parameters in the PDF whereas S e

d and strength statistical parameters. Themain goal is to define these factors as solution of the following optimization problem: R are the corrective factors, respectively for loa

- 110 -



( )

1 1

m 1

. .

N j j j

f f

j j

l u

w P P w

s t

= =

⎫ ⎛ ⎞in

N ⎧− =⎬ ⎜ ⎟

⎩ ⎭ ⎝ ⎠≤ ≤

∑

(26)⎨∑

(26),

( ) j

P is the expected value of the fuzzy probability of failure (Liu, 2004), wIn is theight assigned for the specific PDF of the set. It is possible to note that we have assvirtual load variable has a Normal PDF whose (corrected) statistical parameters are:

ew umed

$ ( ) $ ${ } $ { }1 2 1 2S S S S S S S S d d δ η δ σ = =d (27)

Basic parameters in (27) can be calculated assuming that the entropy as a measure of the

precise information”. Specifically, S σ “im can be esteemed assuming that the probabilistic

ntropy of the virtual random variable:e

( ) ( ) ( )ln ln 2 S S S

x

H f x f x dx eπ σ = − =∫ (28)

is equal to the entropy of the fuzzy variable (Haldar and Reddy, 1992).

( ) ( )' ' 1' ln 0.50 ln

S S

x

G x x dxn

μ μ ⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (29)

Moreover:

$S mη = (30)

About virtual strength variable, it follows the PPDF. For instance, if it is Normal:

$ $ ${ } $ { }1 2 1 2 R R R R R Rd d

Rδ η δ σ = =d (31)

and mean $ Rη and standard deviation

Rσ can be evaluated from laboratory or in situeasures. These values represents the core of the corresponding fuzzy variables. Finally

ossible to evaluate the probability of failure for virtual variables. If we continue to as

that PPDF is Normal, then its value is:

m , it is p sume

( )$ ( ) $ ( )1 1

$ ( )( ) $ ( )( )1 1

2 12 1

2 2

S RS R

S RS Rd d δ δ ⎟+

fferent PPDFs. Afterwards, optimization problem6) can be resolved to acquire the corrective factor in order to defi e the virtual probab

variables. Corrective factors allow to consider, in implicit way, the presence of hybrid sourcesof uncertainty and, at the same time, to use the traditional method in probabilistic reliability

assessment. Other operative observations can be made about (26). Firstly, to limit numericalerrors can be useful to consider the logarithmic operator. Secondarily, it is evident that the

f

d d P

δ δ ⎛ ⎞⎜ ⎟−

= Φ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

(32)

Evidently, it is possible to consider others di(2 n ilistic

- 111 -



general problem doesn’t admit an unique solution: with the purpose to get the simplestsolution, it is important to choose, in a reasonable way, the lower

l and the upper u bounds

for corrective factors:

( ) ( )1 1

min 1

. .

N N j j j

f f

j j

l u

w Log P Log P v w

s t

ϕ = =

⎧ ⎫ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎡ ⎤ − + =⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎝ ⎠

≤ ≤∑ ∑

(33)

In (33), () is a function of (i.e. the norm), v is a coefficient to quantify the relativeimportance between two addends in the objective function.

5 PARTIAL SAFETY FACTORS CALIBRATION

inties. Historically, the search of

the partial safety factor can be done adopting technical judgments, fitting procedures,optimization based techniques or a mix of these. Our approach consider technical judgments

ed as hybrid strategy.First of all, we define the characteristic values for virtual random variables (25):

In this Section, we propose to adopt the aforementioned corrective factors to define partialsafety factors in presence of data and model hybrid uncerta

and optimization based approach, insofar it can be assum

( ) $ ( )

( ) $ ( )

1 2

1 2

0

0

k S S S S S S S

k R R R R R R R

s k k

r k k

δ η δ σ

δ η δ σ

= + ≥

= − ≥

$

$ (34)

In (34), k S and k R are the number of standard deviations above the mean value of the Normal

PDF (for virtual random load variable) and below the mean value of PPDF (for virtualstrength variable) to represent characteristic values. It is important to observe thatoth expression are formulated as function of the corrective fact rs, solutions of the pro

(26). Partial safety factor are introduced to avoid a complete (probabilistic) calculation but, atthe same time, these factors have to provide the given target reliability level (Burdekin,

random b o blem

2007):

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

, ,

k d S R

S S R R

d k S R

s r

s r

β β γ γ = =

ollowing optimization problems:

$ $

$ $ (35)

Finally, partial safety factors for load and strength can be computed respectively by the wellknown f

( ) ( )2

1

min ,S

L i ii i

d k S S S i

s sγ

β γ =

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤−⎨ ⎬⎢ ⎥⎣

. . l u

S S S s t γ γ γ

⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∑ $ $

(36)

≤ ≤

- 112 -



( ) ( )2

1

min ,

. .

R

L i ii i

k d R R R

i

l u

R R R

r r

s t

γ γ β

γ γ γ

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤−⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭≤ ≤

∑ $ $

(37)

where a sufficiently ample class of L cases should be considered. Other details can be foundin the following numerical example.

6 NUMERICAL EXAMPLE

the following stress:A structural element is subject to

2, , 10,15,S m n m m n= − + = 20 N mm (38)

nd its strength obeys to a Normal PDF. In this case, mean and standard deviation are

assumed as fuzzy variables. Virtual strength variable has mean and standard deviation whose

a

values are estimated from experimental investigations:

$ 230 3 R R N mmη σ = = 2 N mm (39)

n the base of expert judgments and technical point of view DM is able to attribufollowing MF for mean and standard deviation in (39):O , te the

% 220,30,31 2. N mmη σ = = 28, 3, 4 N mm (40)

nce the corrective factors are evaluated from (33), design values are:O

( )( ) $ ( )

( ) ( )

2

1 2 2 2

2 2

S S δ σ

d S S S S S

S RS R

s δ η β δ σ

δ σ δ σ

= + ⋅ ⋅+

$ (41)

( ) $ ( )( )

( ) ( )

2

1 2 2 2

2 2

R R

d R R R R R

S RS R

r δ σ

δ η β δ σ

δ σ δ σ

= − ⋅ ⋅+

$ (42)

Having assumed k R = k S = 1, it is possible to obtain partial safety factors for different targetreliability levels from (35). Final results are plotted in the following Figure 1.

- 113 -



Figure 1. Target reliability level vs. Partial safety factor.

It is possible to deduce that if fuzziness and fuzzy randomness condition are considered withthe presented procedure, partial safety factors present greater values (red line with circularmarkers) in comparison to the conventional case in which these sources of uncertainty areneglected (blue line with square marker). Particularly, this difference increases if one considerincreasing values for the safety demand .Another important aspect to underline is that the presented procedure allows to reduce thenegative effects due to the arbitrariness of informal and lexical source of uncertainties. In thisway, it is possible to avoid the use of unjustified values for the partial safety factors.

7 CONCLUSIONS

A general methodology to compute partial safety factors under hybrid uncertainties (both ondata and model) has been discussed. In detail, fuzzy and fuzzy random variables areconsidered (data uncertainties) as well as the presence of several data-compatible probabilitydensity functions (model uncertainties). The procedure can be adopted in the aim to establishthe numerical value of the partial safety factor in different design codes when lexical andinformal type of uncertainties have to be taken into account.

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- 114 -



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- 115 -




AGGIORNAMENTO BAYESIANO

DEI PARAMETRI DI MODELLAZIONE STRUTTURALE

E DELL’AFFIDABILITÀ SISMICA DI EDIFICI ESISTENTI IN C.A.

Fatemeh Jalayer, Iunio Iervolino, Gaetano Manfredi

Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Università degli Studi di Napoli Federico II, [email protected] , [email protected] , [email protected]

ABSTRACT Nell’ambito dei livelli di conoscenza, in funzione delle informazioni disponibili per l’edificio,le recenti norme sismiche sembrano sintetizzare tutti gli aspetti legati all’incertezza sullastruttura nei cosiddetti fattori di confidenza. L’obbiettivo di questo lavoro è di confrontare lavalutazione sismica di una struttura secondo l’approccio dei fattori di confidenza, con l’analisidi affidabilità dell’edificio che tiene conto, in modo esplicito, dell’incertezza nei parametri dimodellazione strutturale e delle informazioni suppletive fornite da prove e verifiche.

Nel presente studio i risultati delle prove in situ sono utilizzati per determinare il modellostrutturale più plausibile e valutare l’affidabilità sismica dell’edificio in esame tenendo contodel maggiore stato di conoscenza acquisito con un metodo di aggiornamento bayesiano. Taleapproccio che può essere particolarmente oneroso dal punto di vista computazionale, vienereso più efficiente da un algoritmo di simulazione adattivo di tipo Markov Chain MonteCarlo, in cui i risultati delle prove vengono considerati come informazioni aggiuntiveattraverso i livelli successivi di simulazione. L’affidabilità aggiornata della struttura, calcolatautilizzando le realizzazioni della simulazione, viene confrontata col valore del fattore diconfidenza relativo all’opportuno livello di conoscenza. Come si vedrà, ciò consente dirappresentare l’effetto dei fattori di confidenza suggeriti dai codici sulla valutazione della

prestazione strutturale globale. Inoltre, permette di definire il valore del fattore di confidenzasulla base della valutazione probabilistica della prestazione sismica e che quindi tieneesplicitamente conto di tutte le incertezze coinvolte nella analisi.

La struttura considerata è il telaio centrale di un edificio esistente in cemento armato diquattro piani situato in Avellino, adibito ad uso scolastico e progettato per soli carichiverticali. Lo studio tiene conto di prove distruttive (carotaggi e prove di trazione su barre) enon distruttive (prove ultrasoniche) per determinare la resistenze dei materiali.

PAROLE CHIAVEFattori di confidenza, aggiornamento bayesiano, affidabilità, simulazione Markov ChainMonte Carlo.


- 116 -







1 INTRODUZIONE

La determinazione delle proprietà dei materiali e dei dettagli strutturali negli edifici esistenti può essere caratterizzata da un significativo livello di incertezza. Le normative sismicheitaliana ed europea affrontano tali incertezze sintetizzandole nei fattori di confidenza, da

applicare alle proprietà medie dei materiali, es. OPCM 3431 (2005). Al fine di quantificaretali fattori di confidenza le normative definiscono specifici livelli di conoscenza dellastruttura, per ciascuno dei quali si richiedono specifiche campagne di test ed ispezioni.L’obbiettivo del presente lavoro è dunque quello di considerare le incertezze strutturalinell’ambito di un approccio bayesiano, utilizzando i risultati di test ed ispezioni peraggiornare sia le distribuzioni di probabilità delle proprietà dei materiali sia l’affidabilitàstrutturale. In particolare, l’algoritmo presentato si basa su di una serie di modelli strutturali

possibili, a ciascuno dei quali viene associata una particolare plausibilità; tali modellistrutturali sono quindi aggiornati all’interno di un approccio bayesiano attraverso unaggiornamento della plausibilità ad essi associata, a partire dai dati provenienti dalle ispezionie dai test condotti (Beck and Katafigiotis, 1998). Tale algoritmo consente quindi di pervenire

ad una valutazione dell’affidabilità strutturale che può essere definita robusta. I risultati diqueste analisi sono quindi confrontati con quelli provenienti dall’applicazione dei fattori diconfidenza come attualmente suggerito dalle succitate normative, il che consente di valutarequantitativamente l’effetto di tali fattori sulla valutazione sismica della struttura secondonorma.

2 METODOLOGIA

Nel presente paragrafo si descrive l’approccio bayesiano seguito per l’aggiornamento delmodello strutturale e della conseguente affidabilità, tuttavia maggiori dettagli possono essere

trovati in Jalayer et al. (2008).

2.1 Valutazione dell’affidabilità robusta

Sia il vettore θ costituito dai parametri affetti da incertezza e si supponga che oθ rappresenti

quei parametri del modello strutturale che sono osservabili attraverso prove in situ.Sia un insieme di prove e si consideri M come un set di possibili ipotesi di

modellazione, caratterizzate sia da aspetti strutturali sia probabilistici. La plausibilità di unmodello strutturale è quantificata attraverso una distribuzione di probabilità per il vettore dei

parametri di modellazione

D

1[ ,..., ]nθ θ θ = che identifica univocamente un modello strutturale

all’interno delle possibili configurazioni. La distribuzione di probabilità aggiornata viene

condotta utilizzando il teorema di Bayes (Beck and Au 2002):

( | , )( | , )( ) ( | , ) ( | ) ( | )

( | ) ( | )o

D

p D M p D M p p D M p M p M

p D M p D M

θ θ θ θ θ θ = = =

(1)

dove ( | ) P M θ rappresenta la distribuzione di probabilità a priori per il vettore θ individuatoda M , rappresenta la distribuzione di probabilità dei dati D individuati da M e( | P D M

( | , ) M )

P D θ rappresenta la distribuzione di probabilità dei dati osservati D, dato il vettore di parametriθ individuato da M. Si assume inoltre che ( | , ) P D M θ sia indipendente dai

parametri uθ per i quali non sono disponibili misurazioni, cioè ( | P D , ) ( | , )o M D M P θ θ = ,

- 117 -



dove oθ rappresenta un set di parametri del modello che possono essere misurati o comunque

valutati. A questo punto, le previsioni di risposta a seguito dell’aggiornamento possono esserecondotte utilizzando i dati D attraverso ( ) D P θ , fornito dall’equazione 1. Ad esempio, se la

probabilità di un evento di failure basato sui parametri θ è rappresentata da , la

probabilità di failure robusta può essere valutata come l’integrale (inteso definito su tutto ildominio di

( | , ) P F D M

θ ):

( | , ) ( ( | , ) P F D M P p d | , ) F M D M θ θ θ = ∫ ( 2)

dove ( | ) P F M ,θ rappresenta la probabilità di collasso convenzionale del modello strutturaledefinito da θ . In particolare, data una specifica rappresentazione di evento sismico,

I ( | P F , M ) si riduce ad una funzione indicatrice ( F , )θ M θ , pari all’unità in caso del

raggiungimento del collasso e nulla altrimenti:

( | , )

) p( | , ) ( , ( | )

( |o

F

M P F D M I M d

M ) p D

M p D

θ θ θ θ = ∫

(3)

Nel presente articolo, al fine di valutare l’affidabilità robusta fornita dall’equazione 3, si fariferimento ad un metodo di simulazione tipo Markov Chain Monte Carlo (Beck and Au,2002). In particolare, per generare campioni secondo una sequenza Markov chain si fa usodell’algoritmo Metropolis-Hastings (MH), al fine di stimare l’affidabilità robusta attraversouna media statistica.

2.2

Generazione di campioni secondo la funzione obiettivo PDF o( | , ) p D M θ L’algoritmo MH è impiegato per generare campioni secondo un’arbitraria funzione PDF, nelcaso in cui tale funzione PDF obiettivo sia nota a meno di una costante. A partire dallaformula bayesiana è possibile derivare la funzione PDF come:

1( | , ) ( |

)o o M )

( | , ) | , ) ( | )( |o o o

p D M p( p D M c p M p M

p D M D

θ θ θ θ θ −= =

(4)

dove ( | )o p M θ rappresenta la distribuzione di probabilità a priori dei parametri osservati o eθ

p( | o , ) D M θ , nota come funzione di verosimiglianza, rappresenta la distribuzione di probabilità dei dati specificati dai parametri oθ . Si introduce quindi una sequenza di PDF

obiettivo intermedie, i f , che varino gradualmente tra la distribuzione a priori ( | )o p M θ e

quella aggiornata obiettivo ( | ,o ) p D M θ . Le funzioni i f possono essere modellate come

funzioni PDF aggiornate, secondo il teorema di Bayes, attraverso un insieme di dati dinumerosità crescente, ovvero ( |i o , )i f p D M θ ≡ , dove .1 2 n D⊂ ⊂ ⋅⋅⋅ ⊂ = D D D

2.3 Collasso strutturale

Si assume che il collasso si verifichi allorché la domanda sismica ( ) D θ supera la capacità

strutturale { }: ( ) ( ) F D C θ θ θ = > . Assumendo entrambe queste quantità come scalari, ilrapporto domanda/capacità può essere definito come ( ) ( ) / ( )Y D C θ θ θ = . Inoltre la regione di

- 118 -



collasso F può essere definita come il dominio delle r cui esse conduconoal collasso e cioè

variabili incerte pe

{ }: ( ) 1 F Y θ θ = = , mentre la sequenza di regioni di collasso nidificate può

essere generata come { }: ( )i i F Y θ θ = > y , dove 10 1m y y< < ⋅⋅⋅ < = .

Nel presente studio la capacità strutturale è ottenuta da analisi di pushover ed è definitacom

3 MODELLAZIONE DELLE INCERTEZZE

Come già anticipato nel precedente paragrafo, il vettore

e lo spostamento globale a cui corrisponde l’attingimento della crisi nel primo elemento(definita convenzionalmente come l’attingimento di una rotazione pari ai ¾ di quella ultima).La domanda sismica, invece, è definita come lo spostamento globale corrispondenteall’intersezione della curva di capacità dell’equivalente sistema SDOF e del corrispondentespettro di risposta sismico di normativa, valutato per il sito in esame, definito in termini diintensità sismica e di caratteristiche del suolo (tale metodo è noto anche come capacityspectrum method, Fajfar, 1999).

θ contiene i parametri del problema

za legata

4 CASO STUDIO

La metodologia fin qui discussa è stata applicata ad una struttura esistente, al fine di condurre

dificio scolastico esistente, situato nel Comune di Avellino. La

ale al 1960 ed è stata progettata per soli carichi gravitazionali, come accadedi

caratterizzati da incertezza, come l’azione sismica, le proprietà dei materiali e i dettaglistrutturali. Il presente lavoro intenzionalmente focalizza l’attenzione sulle incertezze dei

parametri di modellazione strutturale, trascurando quelle relative all’azione sismica.In particolare sono state considerate due distinte sorgenti di incertezza: (1) l’incertezalle proprietà meccaniche dei materiali e (2) quella relativa ai dettagli nella disposizione dellearmature, i quali, anche detti difetti strutturali, sono capaci di influenzare le capacità deisingoli elementi strutturali in termini di legame momento-rotazione. Per quanto riguarda leincertezze di questo secondo gruppo, sono state considerate quelle relative all’assenza di

barre, ai diametri delle stesse, alla qualità dell’ancoraggio e allo spessore del copriferro. Tali

incertezze sono modellate attraverso variabili discrete che possono assumere valori all’internodi specifici intervalli, a ciascuno dei quali è associata una certa plausibilità. Tali valori di plausibilità sono determinati a priori in modo qualitativo, sulla base di giudizio esperto.Inoltre, una volta resi disponibili risultati di test e osservazioni sulle quantità in questione, essi

possono essere utilizzati per aggiornare la plausibilità, attraverso la metodologia bayesiana giàdescritta.

un’analisi su di un caso studio.

4.1 Modello strutturale

E’ stato considerato un estruttura si trova in una zona classificata sismicamente come di II categoria, secondo quantodefinito nella normativa italiana vigente (OPCM 3519, 2006). Il suolo su cui insiste l’edificiorisulta di tipo B.

La struttura risfrequente per strutture stesso costruite in quel periodo. Essa è costituita da tre livelli fuori

piano e da un livello semi-interrato. La Figura 1a mostra una vista tridimensionale delmodello strutturale dell’intero edificio. Da questo è stato estratto il telaio centrale ed è stato

utilizzato come modello strutturale di analisi (Figura 1b). In esso le colonne hanno sezionerettangolare, le cui dimensioni sono le seguenti: primo livello: 40x55 cm2, secondo livello:

- 119 -



40x45 cm2, terzo livello: 40x40 cm2, e quarto livello: 30x40 cm2. Le travi invece, anch’essecaratterizzate da sezione rettangolare hanno le seguenti dimensioni: 40x70 cm2 al primo esecondo piano e 30x50 cm2 per gli ultimi due livelli. Per l’intero edificio sono stati disponibilii grafici strutturali originali, dai quali si è evinto che l’acciaio adoperato per il rinforzo è ditipo Aq40 mentre il calcestruzzo ha una resistenza caratteristica pari a 180 kg/cm2 (R.D.L.

2229, 1939). Il modello strutturale dell’edificio è di tipo a plasticità concentrata, e cioè si èassunto che le non linearità si concentrino in cerniere plastiche poste alle estremità deglielementi strutturali.

(a)

(IV)

(III)

(II)

(I)

(1) (2) (3) (4)

3 . 5

0 m

3 . 9

0 m

3 . 9

0 m

2 . 2

0 m

4.20 m 4.20 m 4.20 m 3.50 m

XY XZY Z

(b)

Figura 1: (a) Vista tridimensionale del modello strutturale (b) Telaio centrale adoperato nelle analisi

4.1.1 Caso 1: Assenza di test e osservazioni

el primo caso si è valutata l’affidabilità a partire dallo stato di conoscenza della struttura N prima di condurre prove o ispezioni. Si assume che le sorgenti di incertezza siano nelle proprietà dei materiali e nei dettagli delle barre d’armatura. In particolare, si è definita unalista di possibili difetti strutturali, per ciascuno dei quali si è proceduto a valutare il pesorelativo e la possibile correlazione con gli altri difetti. I pesi, come già accennato in

precedenza, sono stati valutati sulla base dell’esperienza; in linea di principio, a partire dalconsenso fornito da operatori del settore, sarebbe possibile ed utile costruire un database di

possibili difetti strutturali e delle loro relative plausibilità. Infatti, in assenza di risultati piùaccurati, tali informazioni qualitative servirebbero quale strumento per la costruzione didistribuzioni di probabilità a priori dei parametri relativi ai difetti strutturali. Una sintesi deidati utilizzati nel caso studio è presentata nella Tabella 1. La Tabella 2, invece, mostra i

parametri per la costruzione di distribuzioni di probabilità a priori per la tensione disnervamento dell’acciaio e per la resistenza a compressione del calcestruzzo. Le distribuzionidi probabilità sono quindi costruite utilizzando i risultati di studi statistici condotti sullavariabilità di tali proprietà meccaniche nelle costruzioni esistenti appartenenti allo stesso

periodo dell’edificio in esame (Verderame et al., 2001a; Verderame et al., 2001b). La Tabella2 inoltre presenta il grado e la modalità di correlazione dei parametri all’interno della

struttura.

- 120 -



L’affidabilità della struttura è stata valutata attraverso una procedura di simulazione MonteCarlo, utilizzando in particolare 200 simulazioni. La probabilità di failure è stata quindivalutata come pari a 0.005 e caratterizzata da un coefficiente di variazione pari a 1.

Tabella 1. Modellazione probabilistica dell’incertezza nei dettagli diarmatura.

Difetto Possibilità Prob. Tipo

Ancoraggio(Trave)

Ben fatto

(100% effetiva)

0.900 Sistematico perpiano

Assente

(50% effettiva)

0.100

Disposizionediametro

(Pilastri)

φ 16 0.950 Sistematico perpiano e tipologia

φ 14 0.050

Sovrapposizione

(Pilastri)

100% Area

effettiva

0.950 Sistematico per

piano

75% Areaeffettiva

0.050

Errori diposizionamento(Pilastri)

Posizionamentopiù probabile

0.950 Sistematico perpiano e tipologia

Posizionamentomeno probabile

0.050

Mancanza dellearmature (Travi)

Manca unabarra

0.100 Sistematico perpiano e tipologia

Non manca unabarra

0.900

Copriferro 2 cm 0.125 Sistematico perpiano

3 cm 0.750

4 cm 0.125

Tabella 2. Modellazione probabilistica delle caratteristiche meccaniche dei materiali.

Var Dist Media[kg/cm

2]

COV

f c LN 165 0.15

f y LN 3200 0.08

4.1.2 Caso 2: Utilizzo dei risultati di test per l’aggiornamento della valutazioneIn questo caso sono stati utilizzati risultati di prove condotte al fine di stimare le proprietàmeccaniche del calcestruzzo, adoperando in particolare dati di test ultrasonici e di provemeccaniche a rottura condotte su carote estratte da alcuni elementi strutturali. I risultati di tali

prove sono stati utilizzati secondo algoritmo MH in due livelli (200 simulazioni per ciascunlivello) al fine di aggiornare la distribuzione di probabilità della resistenza del calcestruzzo aidifferenti piani della struttura e calcolare l’affidabilità robusta. La Tabella 3 presenta le provedisponibili per la struttura. Sono utilizzati, nella prima fase di aggiornamento i risultati delle

- 121 -



prove distruttive (sia per il calcestruzzo che per l’acciaio). I risultati delle prove non-distruttive (ultrasoniche) sono invece implementati nel processo di aggiornamento al secondolivello. Si nota che tali prove vengono associati con un livello di errore maggiore rispetto aquelle distruttive.

Tabella 3. Le prove disponibili per l’edificio in esame.

Prova # dati Tipo di prova Errore

Carote piano semi-interrato 2 distruttiva 0.15

Carote piano terra 2 distruttiva 0.15

Carote primo piano 2 distruttiva 0.15

Ultrasoniche piano semi-interrato

6non-distruttiva 0.335

Ultrasoniche pianoterra 6 non-distruttiva 0.335

Ultrasoniche primo piano 6 non-distruttiva 0.335

Prova di resistenza di acciaio 1 distruttiva 0.08

4.2 Discussione: Confronto tra i due casi e la valutazione secondo norma

La Figura 2 nei pannelli di sinistra mostra gli istogrammi del rapporto domanda su capacitàrisultanti dalle simulazioni corrispondenti a tre livelli crescenti di informazioni sulla struttura,mentre a destra sono mostrate le distribuzioni gaussiane adattate per il logaritmo di D/C pergli stessi livelli. Il livello superiore corrisponde alla distribuzione a priori per D/C prima diconoscere i risultati delle prove in situ. Il secondo rappresenta l’aggiornamento della

distribuzione una volta noti i risultati dei test sulle carote di calcestruzzo e sulla barra diarmatura. L’ultimo livello illustra l’aggiornamento della distribuzione della prestazionestrutturale che include anche le informazioni derivate dalle prove ultrasoniche per ilcalcestruzzo.

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.20

2

4

6

a p r i o r i

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.20

5

10

p o s t e r i o r

i 1 l i v e l l o

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.20

5

10

15

ln D/C

p o s t e r i o r i 2 l i v e l l o

FC=1 FC=1.2 FC=1.35 FAILURE60

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.00

20

40

60

40

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.00

20

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.00

20

40

60

D/C

Figura 2: (a) Istogrammi del rapporto domanda su capacità per livelli crescenti di informazione, (b)Distribuzioni lognormali adattate ai dati. Sulla figura si riportano anche i rapporti di domanda su

capacità corrispondenti ai tre valori di FC del codice (linea continua), oltre che il valore del rapporto D/C

che ha il 95% di probabilità di essere superato (linea tratteggiata) in ciascuna distribuzione.

- 122 -



A tutte e tre le stime della prestazione strutturale determinate attraverso l’utilizzo deifattori di confidenza suggeriti dal codice (i.e. FC=1,1.2,1.35) è stato così possibile assegnareuna posizione nelle distribuzioni del rapporto D/C corrispondenti ai vari livelli informativi,come si può evincere dalla Figura 2. Si noti come nella stessa figura si riporta anche il valoredel rapporto domanda su capacità che corrisponde al collasso della struttura:

. Se si definisce come fattore di confidenza esatto quello che porta, adesempio, ad una stima di Y che ha il 5% di probabilità di superamento, è allora possibilevalutare la fondatezza dei valori di FC di normativa per il particolare caso in questione. Adesempio, al livello di conoscenza più scarso il fattore di confidenza esatto è maggiore portaad una stima del rapporto D/C maggiore, seppur vicina, a quella che si ottiene con FC=1.35.Al livello intermedio, che trae vantaggio dalle informazioni fornite delle prove distruttive ilvalore di riferimento, cioè quello corrispondente ad un rapporto D/C che ha il 5% di

probabilità di essere superato, è compreso tra quello relativo ad FC=1.0 e FC=1.20. Per illivello di informazione massimo, relativamente ai risultati delle prove disponibili, si notacome il valore della prestazione strutturale che ha il 5% di probabilità di essere superato nelladistribuzione del rapporto D/C è molto vicino a quello determinato da FC=1 che è quello che

nel codice corrisponde al livello di conoscenza maggiore.

ln ln1.0 0.0Y = =

5 CONCLUSIONI

Lo studio presentato ha inteso valutare e comprendere il livello di confidenza sulla sicurezzastrutturale associato alla valutazione degli edifici esistenti eseguita secondo la recentenormativa sismica italiana. Le incertezze considerate nell’analisi di affidabilità sono relativealle proprietà dei materiali e ai dettagli strutturali, messi in relazione a possibili difetti dicostruzione. Si è quindi presentata una caratterizzazione a priori delle incertezze consideratecon una valutazione semplificata dell’effetto meccanico che esse provocano (questo secondo

aspetto riguarda soprattutto i dettagli di armatura), i modelli probabilistici proposti sono statiin seguito aggiornati con le informazioni provenienti dalle prove in situ.

Il metodo utilizzato per stimare la distribuzione a priori del parametro di prestazionestrutturale, in questo caso il rapporto tra capacità e domanda, è di tipo simulazione (MonteCarlo) in cui ogni realizzazione corrisponde ad una applicazione del metodo del capacityspectrum e quindi richiede una analisi strutturale statica non lineare. L’aggiornamento

bayesiano dell’affidabilità viene effettuata utilizzando un algoritmo di tipo Markov chainMonte Carlo. E’ stato così possibile ricavare la distribuzione a priori della prestazionestrutturale in due casi: (1) si considera sia la variabilità dei materiali che quella legata aidettagli strutturali, (2), la valutazione della struttura nel primo caso viene aggiornatoattraverso i risultati delle prove e ispezioni. Il processo di aggiornamento viene effettuato neidue livelli, in primo livello le prove distruttive e le loro relativi errori vengono implementati enel secondo livello quindi vengono considerate le prove non-distruttive e i relativi errori(maggiori rispetto a quelle distruttive).

Conseguentemente è stato possibile valutare la prestazione sismica della struttura secondola procedura normativa nei tre casi: (a) utilizzando i valori medi delle distribuzioni a prioridelle proprietà dei materiali (FC=1), (b) utilizzando i valori medi divisi per il fattore diconfidenza corrispondente al livello di conoscenza adeguata (FC=1.20), (c) utilizzando ivalori medi divisi per il fattore di confidenza corrispondente al livello di conoscenza limitata(FC=1.35). Per ciascun valore di FC è stato calcolato il rapporto tra domanda e capacitàstrutturale posizionato nella distribuzione della prestazione strutturale per i tre livelli di

informazione per la struttura in esame. Inoltre, il valore del fattore di confidenza cosiddettoesatto è stato caratterizzato come il valore di FC che corrisponde al rapporto domanda

- 123 -



capacità con la probabilità di superamento pari a 5%. Ciò consente, di quantificare il valore diFC, da applicare alle sole proprietà dei materiali, sulla base della valutazione probabilisticaglobale della struttura che tenga rigorosamente conto di tutte le incertezze in gioco, checomprendono sia quelle legate alle effettive caratteristiche della struttura sia alla tipologia equalità delle prove.

6 RINGRAZIAMENTI

Lo studio presentato in questo lavoro è stato sviluppato nell’ambito della Linea 2 del progettotriennale ReLUIS – Dipartimento della Protezione Civile.

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- 124 -




ANALISI PARAMETRICHE SU STRUTTURE ESISTENTI IN C.A. FINALIZZATE ALLA VALUTAZIONE DELLA COERENZA DEI RISULTATI

OTTENUTI CON DIVERSI METODI DI ANALISI

Angelo Masi, Marco Vona, Vincenzo Manfredi

DiSGG, Università degli studi della Basilicata, [email protected] , [email protected]

ABSTRACT Nel presente lavoro sono analizzati alcuni telai bidimensionali estratti da tipologie edilizierappresentative degli edifici in c.a. maggiormente presenti sul territorio italiano ed europeo. A

tale scopo sono stati selezionati alcuni schemi strutturali con differenti altezze, rigidezza delletravi, presenza e collocazione delle tamponature. Dopo aver effettuato una progettazionesimulata basata su norme tecniche vigenti, manualistica consolidata e consuetudini progettualidell’epoca di costruzione, le strutture sono state valutate adottando due dei quattro metodi dianalisi previsti dalle norme italiane ed europee, ossia l’analisi dinamica lineare (ADL) el’analisi statica non lineare (ASNL o analisi push-over) aventi differente livello di complessitàed accuratezza. I risultati ottenuti sono stati esaminati e confrontati all’interno e tra i duemetodi aventi differente livello di complessità ed accuratezza allo scopo di valutare lacoerenza relativa di quanto fornito, in termini di prestazioni e rispetto degli stati limite previstidalle norme sismiche.

PAROLE CHIAVECemento armato, edifici esistenti, analisi dinamiche lineari, push over, normativa.

1 INTRODUZIONE

Gli edifici esistenti con struttura intelaiata in calcestruzzo armato rappresentano una quotarilevante del patrimonio edilizio italiano ed europeo. Inoltre, la maggior parte di essi sonostati progettati non tenendo conto della pericolosità sismica del sito di costruzione, pertanto lavalutazione della resistenza sismica e l’adeguamento di tali edifici è fondamentale per lamitigazione del rischio sismico. La valutazione richiede procedure significativamente diverse

rispetto a quelle adottate per la progettazione degli edifici nuovi, principalmente per leincertezze relative all’individuazione dell’organismo strutturale resistente, alla stima delle

proprietà dei materiali in-situ, all’identificazione dei dettagli costruttivi. Le norme italiane(OPCM 3274/2003) ed europee (EC8) più recenti, accanto all’introduzione di nuovi metodi divalutazione, incentivano le indagini conoscitive definendo fattori di confidenza (FC) cheoperano una riduzione delle resistenze medie dei materiali fornite dalle indagini in modoinversamente proporzionale al livello di conoscenza raggiunto sulla struttura. Nel lavoro è

presentato uno studio parametrico su telai in c.a., rappresentativi di edifici esistenti tipici del patrimonio residenziale italiano, la cui progettazione è stata effettuata adottando unaconsolidata procedura di progettazione simulata. Sono stati selezionati schemi strutturali condifferente altezza (due, quattro ed otto piani), diversa rigidezza delle travi (a spessore di solaioed emergenti), diverse caratteristiche e collocazione delle tamponature, diverse dimensioni in

pianta. Le verifiche sono state condotte considerando i tre diversi valori di FC e due dei


- 125 -





quattro metodi previsti dalle norme italiane, ossia l’analisi dinamica lineare (ADL) con fattoredi struttura e l’analisi statica non lineare (ASNL o analisi push-over) aventi differente livellodi complessità ed accuratezza. Per il primo metodo le elaborazioni sono state condotte perquattro valori del fattore di struttura scelti nell’intervallo prescritto dalla normativa italiana.L’input sismico, applicato ai telai analizzati con entrambi i metodi di verifica, deriva daivalori assunti nella recente classificazione del territorio italiano. Sono stati quindi considerati

quattro livelli di intensità corrispondenti alle zone sismiche considerate in Italia. Le differenticapacità ottenute adottando i tre fattori di confidenza nelle 4 differenti zone sismiche sonostate valutate considerando tre valori della resistenza del calcestruzzo, rappresentativi dicalcestruzzi di scarsa, media e buona qualità.

2 METODOLOGIA

La rappresentatività del presente studio al fine di individuare limiti e vantaggi dei metodi dianalisi indagati deve necessariamente muovere i suoi primi passi dalla corretta definizionedelle tipologie da analizzare. L’individuazione e caratterizzazione delle tipologie edilizie diedifici progettati per soli carichi verticali si basa su di una consolidata procedura messa a

punto ai fini di studi di vulnerabilità su vasta scala (Masi 2003, Masi & Vona 2004, Vona &Masi 2004) basata su l’individuazione dalle tipologie di edifici in c.a., l’esame e studio delleindicazioni normative del periodo, l’esame e studio delle indicazioni della manualistica di usocorrente nel periodo, l’analisi di documentazione tecnica originale rappresentativa degliedifici in esame ed infine la progettazione simulata delle tipologie edilizie.Le tipologie individuate sono rappresentative di edifici residenziali progettati e costruiti neglianni ’60-’70 in zone non sismiche. Esse presentano uno schema intelaiato caratterizzato dalla

presenza di travi, necessarie in virtù dell’orditura dei solai, nella direzione longitudinale e privo di travi in direzione trasversale ad esclusione dei telai di estremità. La lunghezza totale èfunzione della lunghezza delle campate, assunta pari a 5 metri, e del numero delle stesse,

variabile da 3 a 5. Il numero di piani è variabile tra 2, 4 e 8 con un’altezza di interpiano pari a3m. Inoltre, sono stati considerati differenti tipi di collegamenti trasversali sulla base di travidi differente sezione, ossia travi emergenti 30x50cm (Rigid Beam, RB) e travi a spessore70x22cm (Flexible Beam, FB). È stata considerata anche la presenza di pannelli ditamponatura in muratura, la cui collocazione ha dato luogo a tre tipologie di telai: Bare Frame

– BF (telai privi di tamponature efficaci), Infilled Frame – IF (telai completamente tamponati)e Pilotis Frame – PF (telai con configurazione a piano porticato). Per quanto riguarda lecaratteristiche delle tamponature, si è considerata la loro tipica configurazione negli edificiesistenti in c.a., costituita generalmente da una doppia fodera di laterizi forati di spessoretotale t w pari a circa 20cm. I pannelli sono stati modellati mediante un puntone equivalente, lacui area è stata determinata moltiplicando lo spessore t w per una larghezza equivalente bw

ottenuta con la classica espressione di Mainstone (1974) relativa a pannelli rettangolari dimuratura. La combinazione delle diverse caratteristiche tipologiche prese in esame e dei possibili parametri di progetto, che verranno descritti nel seguito, ha dato luogo ad una grandequantità di casi, pertanto nel presente lavoro sono statti riportati soltanto i risultati relativi aitelai bidimensionali rappresentativi di telai esterni presenti nelle tipologie edilizietridimensionali. Tali risultati hanno comunque una loro significatività, tenuto conto dellecaratteristiche tipiche dell’organismo strutturale degli edifici esistenti: essendo generalmente

più deboli nella direzione trasversale, e considerato che in tale direzione gli unici telai presentisono quelli esterni, è chiaro che ad essi è affidata la parte più rilevante della resistenzadell’organismo strutturale. Per quanto riguarda i parametri meccanici, sono stati consideratitre possibili valori della resistenza media del calcestruzzo in situ f cm, pari a 10, 18, 28N/mm2,

mentre per l’acciaio, tenuto conto delle sue caratteristiche di prodotto industriale, è stataconsiderata un solo valore di resistenza media f sm pari a 400N/mm2. Nelle verifiche, sia per itre tipi di calcestruzzo che per l’acciaio, sono stati considerati i diversi valori delle resistenze

- 126 -



di calcolo f cd e f sd ottenuti applicando alle resistenze medie i valori dei fattori di confidenza(FC = 1.35, 1.2, 1) previsti nelle norme per i tre livelli di conoscenza LC1, LC2 e LC3. Perquanto riguarda le azioni sismiche, sono state considerate le quattro zone previste dallaclassificazione sismica del territorio italiano, con la relativa pericolosità di base (ZS1: PGA0.35g, ZS2: PGA 0.25g, ZS3: PGA 0.15g, ZS4: PGA 0.05g). Le analisi sono state condotte

per la verifica degli stati limite di danno severo e di collasso impiegando i metodi di analisi

statica non lineare (ASNL) e dinamica lineare (ADL). Le ASNL sono state condotte al variaredei parametri non tipologici (LC, ZS, f cd) esaminando 648 differenti combinazioni. Per potersempre mettere a confronto i risultati forniti dai due metodi di analisi non si è tenuto conto dellimite di applicabilità dell’ASNL ai soli livelli di conoscenza adeguato (LC2) e accurato(LC3), previsto dalle norme. In aggiunta ai parametri previsti per le ASNL, le ADL sono statecondotte considerando anche differenti valori del fattore di struttura (q = 1.5-2-2.5-3)nell’intervallo previsto dalla normativa italiana (q = 1.5÷3) più ampio rispetto a quello

previsto (q = 1.5÷2) dalle norme europee (CEN 2004). Le verifiche di sicurezza sono statecondotte confrontando la Domanda causata dalle azioni esterne (carichi verticali + sisma) conla Capacità degli elementi strutturali. La verifica di sicurezza è stata ritenuta non soddisfattaquando si è raggiunta in una sezione un valore del rapporto D/C superiore a 1. Nelle ADL èstato esaminato lo SL-DS esprimendo la Domanda in termini di sollecitazione e la Capacità intermini di resistenza. Nelle ASNL si è considerato lo SL-CO esprimendo Domanda e Capacitàin modo analogo alle ADL per gli elementi/meccanismi fragili ed in termini di spostamenti

per gli elementi/meccanismi duttili. Il modello di calcolo, per entrambele modalità di analisi,è stato definito impiegando un classico software agli elementi finiti (SAP 2000) diffusamenteadoperato nella pratica professionale.

3 ANALISI DINAMICHE LINEARI

Nel seguito sono riportati, per esigenze di sintesi, i risultati in termini di rapporti D/C relativi

soltanto ai telai con travi emergenti (RB) ad otto, quattro e due piani con la domanda calcolata per azioni sismiche da zona 1. Va rilevato che, in tutte le strutture esaminate, la crisi è semprecausata dalla flessione (meccanismo duttile) e che si verifica generalmente nelle travi.In figura 1 sono riportati i valori del rapporto D/C per la tipologia di telai non tamponati (BF).Come era logico attendersi, trattandosi di strutture esistenti progettate a soli carichi verticali, ivalori D/C ottenuti al variare dei parametri considerati sono sempre significativamentemaggiori dell’unità. I rapporti D/C decrescono in modo molto più consistente passando dallivello di conoscenza LC1 (FC = 1.35) al livello LC3 (FC = 1) a parità di resistenza stimatadel calcestruzzo f cm, di quanto accada cambiando la resistenza del calcestruzzo a parità di LC,anche se, nel secondo caso, la riduzione di f cd è in genere molto più elevata. In particolare, nelcaso del telaio a 2 piani, D/C rimane pressoché costante, a parità di LC, passando da f c28 a

f c10. Tale risultato è determinato da una serie di fattori, il più rilevante dei quali è che la crisidelle sezioni è causata sempre dall’acciaio, la cui resistenza rimane chiaramente la stessa passando da f c28 a f c10, mentre cambia con il livello di conoscenza assunto. All’aumentaredel fattore di struttura i valori D/C si riducono in modo sostanzialmente proporzionale purmantenendosi significativamente oltre l’unità. Ad esempio, per il telaio ad otto piani e per(f c28)/LC1, il rapporto D/C è pari a 12 per q = 1.5, e diviene circa 6 per q = 3. Si noti infinecome le prestazioni dei telai migliorino sensibilmente al decrescere del numero dei piani,risultato determinato dal fatto che i telai a 2 piani, ed in parte quelli a 4 piani, sono in generesovradimensionati rispetto ai carichi verticali di progetto per il rispetto di esigenzetecnologiche (dimensioni minime delle sezioni: ad es. 30x30cm nei pilastri) e di prescrizioninormative (minimi di armatura). Per quanto riguarda i risultati ottenuti nelle ZS2 e 3 (non

riportati nel presente lavoro), pur se con valori D/C inferiori rispetto alla ZS1, le verifiche perla tipologia BF non sono in genere soddisfatte. Infine, nella ZS4 le verifiche sonogeneralmente soddisfatte con alcune eccezioni per il telaio a 8 piani.

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Telaio 8p_BF_RB Telaio 4p_BF_RB Telaio 2p_BF_RB

Figura 1. Risultati delle analisi dinamiche lineari dei telai non tamponati (BF) per zona sismica 1.

Nella figura 2 sono riportati i valori del rapporto D/C per la tipologia di telaio interamentetamponato (IF). La presenza delle tamponature, come atteso, produce un incremento diresistenza alle azioni orizzontali che si traduce in valori D/C nettamente inferiori rispetto alla

tipologia BF. Ad esempio, in corrispondenza dal valore (f c28)/LC1, con q = 1.5, D/C è pari a6, ossia circa la metà del valore ottenuto nel caso BF. L’andamento complessivo è analogo aquello riscontrato per il caso BF: i valori maggiori di D/C si ottengono in corrispondenza dellivello LC1, per ciascun valore della resistenza stimata del calcestruzzo, con valori

progressivamente inferiori passando a LC2 e LC3. Nel passaggio da f c28 a f c10, a parità diLC, il valore di D/C decresce in modo più rilevante di quanto accadeva per la tipologia BF.Anche per la tipologia tamponata si riscontra un migliore comportamento al decrescere delnumero di piani, al punto che per lo schema a due piani la verifica è sempre soddisfatta,risultato piuttosto sorprendente se si pensa che si tratta di strutture progettate a soli carichiverticali valutate in zona al alta sismicità (ZS1). Pur se con valori del rapporto D/C inferioririspetto a quelli calcolati per la ZS1, anche nelle ZS 2 e 3 le verifiche per la tipologia IF ad 8

piani non sono in genere soddisfatte. Per il telaio a 4 piani la verifica è in molti casisoddisfatta, in particolare con valori del fattore di struttura maggiori di 2. Il telaio a 2 piani èsempre verificato.

Nella figura 3 sono riportati i valori del rapporto di verifica D/C per la tipologia di telaio parzialmente tamponato (PF). La tamponatura, non presente al piano terra, determina lecondizioni di verifica più gravose con valori del rapporto D/C decisamente maggiori rispettoalle altre tipologie esaminate. I valori, a parità di resistenza del calcestruzzo, hannoandamento decrescente nel passaggio da LC1 a LC3. Per le ZS2 e 3 e 4 la tipologia PFfornisce una risposta sismica analoga alla tipologia BF, pur se con valori D/C maggiori.

Telaio 8p_IF-RB Telaio 4p_IF-RB Telaio 2p_IF-RB

Figura 2. Risultati delle analisi dinamiche lineari dei telai tamponati (IF) per zona sismica 1.

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Telaio 8p_PF-RB Telaio 4p_PF-RB Telaio 2p_PF-RB

Figura 3. Risultati delle analisi dinamiche lineari dei telai con piano porticato (PF) per zona sismica 1.

In termini generali per le diverse tipologie esaminate, va rilevato che, in alcuni casi, sono staticalcolati valori del rapporto D/C decrescenti al decrescere della resistenza del calcestruzzo f cd.Questo risultato, in qualche modo anomalo, è dovuto innanzitutto alla scarsa influenza che f cd ha sulla resistenza delle sezioni, in quanto, nella valutazione di tale resistenza (momento

ultimo) è determinante il raggiungimento del limite di deformazione ultima dell’acciaio che,essendo presente in quantità limitata, rappresenta sempre l’elemento critico per la crisi dellesezioni. Inoltre, avendo deciso di assumere il valore del modulo elastico Ec del calcestruzzo infunzione della resistenza f cm, la diminuzione di resistenza del calcestruzzo determina unaminore rigidezza dei telai che, in virtù della forma dello spettro delle accelerazioni, producegeneralmente accelerazioni minori. Al contrario, a fronte di valori più elevati dell’azionesismica al crescere di f cm, dunque di Ec, la resistenza degli elementi strutturali non aumenta inmodo altrettanto significativo. La sensitività dei risultati ottenuti (valori di D/C) nei confrontidei diversi parametri progettuali considerati nelle analisi è stata valutata calcolando ilcoefficiente di variazione (CV) al variare dei parametri di calcolo per i telai a due, quattro edotto piani. Per quanto riguarda la tipologia BF è emerso come il parametro maggiormente

condizionante (valori più elevati del CV) sia il fattore di struttura q seguito dal livello diconoscenza LC. Per quanto riguarda i telai tamponati, nel caso ad otto piani la presenza dei

pannelli di tamponatura determina un valore della dispersione dei risultati confrontabile tra qe LC, mentre per i telai 2 e 4 piani q diventa predominante. In presenza di piano porticato, peril telaio ad otto piani i risultati sono maggiormente influenzati dal LC seguito da q, alcontrario di quanto era emerso per le tipologie BF e IF. L’influenza della resistenza delcalcestruzzo f cd è sempre inferiore rispetto a q e LC, fino a divenire trascurabile per i telai adue piani

4 ANALISI STATICHE NON LINEARI

Le analisi statiche non lineari sono state effettuate considerando una macromodellazione concerniere plastiche alle estremità degli elementi strutturali a cui è attribuito tutto ilcomportamento post-elastico. La capacità deformativa massima delle sezioni è definita conriferimento alla rotazione ultima u rispetto alla corda della sezione d’estremità dell’elemento.I valori del rapporto D/C per lo stato limite di collasso, registrati nella sezione maggiormentesollecitata, sono riportati nei diagrammi delle figure 5-7, rispettivamente per le tipologie BF,IF e PF, al variare della zona sismica ZS, della resistenza del calcestruzzo f cd e del livello diconoscenza LC. Nella figura 4 sono riportati i valori del rapporto D/C per la tipologia BF conotto, quattro e due piani e travi emergenti (RB). In questo caso, a differenza di quanto emersonelle ADL, i rapporti D/C risultano decrescenti non soltanto nel passaggio da LC1 a LC3, maanche all’aumentare di f

cm qualora si mantenga costante la resistenza dell’acciaio. La tipologia

BF ad otto piani presenta un esito di verifica sfavorevole (D/C > 1) in ZS1 e con unaresistenza stimata del calcestruzzo f c10 e, con livello di conoscenza LC1 ed LC2, anche con

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f c18. Per la tipologia a quattro piani la verifica è sempre soddisfatta per tutti i valori diresistenza del calcestruzzo salvo che per f c10 in ZS1. Analoga situazione si ha per il telaio adue piani.

Telaio 8P Telaio 4P Telaio 2P

Figura 4. Risultati delle analisi statiche non lineari dei telai non tamponati (BF).

Per quanto riguarda la tipologia completamente tamponata IF (figura 5), i valori maggiori delrapporto D/C sono in corrispondenza di f c10 ed hanno con andamento decrescenteall’aumentare della resistenza del calcestruzzo e nel passaggio da LC1 a LC3. I rapporti D/Csono sempre inferiori rispetto a quelli riscontrati per la tipologia BF negli schemi a quattro edue piani, mentre nei telai ad otto piani la presenza delle tamponature determina in qualcheraro caso un lieve incremento del rapporto D/C. Per il telaio con piano porticato si verifica lasituazione più gravosa (figura 6). I valori del rapporto D/C per il telaio ad otto e quattro pianisono sempre maggiori dell’unità per la ZS1. In particolare, per il telaio ad otto piani sievidenzia un netto salto del rapporto D/C in corrispondenza della resistenza f c18. Incorrispondenza di tale passaggio si accentua il meccanismo a piano debole dovuto alla

presenza del piano porticato con conseguente collasso degli elementi pilastro alla base deltelaio.


Figura 5. Risultati delle analisi statiche non lineari dei telai tamponati (IF).

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Figura 6. Risultati delle analisi statiche non lineari dei telai con piano porticato (PF).

Nell’esame dei risultati ottenuti con le ASNL va tenuto conto che, contrariamente a quantoaccadeva con le ADL, valori più elevati della resistenza del calcestruzzo giocano sempre unruolo favorevole, tanto nel determinare un incremento della capacità C (espressa in termini dirotazione ultima u) che una riduzione della domanda di spostamento D. In questo caso,

infatti, la dipendenza di Ec da f cm determina riduzioni del periodo fondamentale di vibrazioneal crescere di f cm che danno luogo, tenuto conto della forma dello spettro degli spostamenti, aminori richieste di spostamento. Anche per le ASNL la sensitività dei risultati ottenuti (valoridi D/C) nei confronti dei diversi parametri progettuali è stata valutata mediante il coefficientedi variazione (CV). In questo caso, il parametro avente il maggior peso sui risultati è laresistenza del calcestruzzo. Per quanto riguarda il livello di conoscenza i risultati ottenutisembrano estremamente sensibili al passaggio da LC1 ad LC2.

5 CONSIDERAZIONI FINALI

Lo studio descritto nel presente lavoro nasce dall’esigenza di determinare la resistenzasismica degli edifici esistenti in c.a. progettati per sole azioni gravitazionali, problema sempre

più importante nel panorama nazionale ed internazionale, utilizzando le nuove metodologie divalutazione previste nelle normative italiane ed europee.Le analisi sono state condotte adoperando due metodi previsti dalle norme vigenti, ossial’analisi dinamica lineare (ADL) ampiamente utilizzata nella pratica professionale, e l’analisistatica non lineare (ASNL) che si va man mano diffondendo pur se con alcune limitazioniconseguenti alla sua maggiore complessità e ad alcune incertezze sulla sua applicabilità inalcune condizioni.Per le ADL l’influenza del livello di conoscenza (LC) è significativa ma vincolata al fattore distruttura q che costituisce il parametro che può determinare il maggiore condizionamento sui

risultati delle verifiche. In ogni caso, i valori elevati del rapporto D/C rendono generalmenteininfluenti le variazioni del LC sull’esito della verifica, mentre va evidenziato che il valore diq, così importante sui risultati, non è di immediata e chiara determinazione. È da segnalareche, avendo deciso di assumere il valore del modulo elastico Ec del calcestruzzo funzionedella resistenza f c, l’incremento di f c comporta un incremento della rigidezza a cuicorrispondono periodi di oscillazione inferiori e, dunque, accelerazioni spettrali maggiori. Pertale ragione è emerso, in alcuni casi, un aumento del rapporto di D/C in corrispondenza deivalori più alti di f c. L’ADL conduce ad esiti della valutazione largamente negativi per i telainon tamponati o con piano porticato (tipologie BF e PF), con verifiche che risultanosoddisfatte soltanto nel caso dei telai interamente tamponati per la zona sismica 4.Le ASNL, contrariamente a quanto emerso con le ADL, determinano generalmente un esito

positivo della valutazione anche con valori della resistenza stimata f cm del calcestruzzo nonelevati (f c18) purché con un livello di conoscenza LC2. Va tuttavia evidenziato come la procedura di esecuzione dell’ASNL prevista dalla normativa sia di difficile quanto incerta

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applicazione per l’analisi delle tipologie tamponate, ossia di strutture che presentano in genereun legame forza-spostamento con due fasi di funzionamento legate alla crisi delletamponature e, successivamente, della intelaiatura in c.a., legame che è difficilmentericonducibile ad sistema ad un grado di libertà a comportamento bi-lineare equivalente.D’altra parte è da notare l’importanza che la presenza (tipologia IF) e collocazione (tipologiaPF) hanno mostrato sulle prestazioni, dunque sull’esito della valutazione, delle strutture

esaminate. In tal senso, si ritiene che più accurate indicazioni debbano essere fornite dallanormativa sia per quanto riguarda la modellazione delle tamponature che in merito allanecessità di valutarne sperimentalmente caratteristiche e capacità di collaborare efficacementecon la struttura in c.a..In conclusione, l’esito della valutazione è fortemente condizionato dal metodo di analisiadoperato, dal quale dipende anche l’influenza dei vari parametri progettuali considerati comeil fattore di struttura, la resistenza del calcestruzzo, il livello di conoscenza, ecc.. È importantenotare che, come era auspicabile che accadesse, con il metodo meno accurato (ADL) siottengono risultati che danno luogo ad esiti più sfavorevoli della valutazione rispetto a quantofornito dalle ASNL. Con l’ADL l’esito della valutazione, quasi sempre negativo, risulta noncondizionato dai valori attribuiti ad alcuni parametri fondamentali come il fattore di struttura,la resistenza del calcestruzzo, il livello di conoscenza. La scarsa dipendenza dei risultati dallaresistenza di calcolo del calcestruzzo, dunque dalla resistenza stimata con le indagini e dallivello di conoscenza acquisito, unita alla maggiore confidenza dei professionisti nell’usodell’ADL rispetto all’ASNL, potrebbe indurre ad un comportamento negativo che vaassolutamente scongiurato, ossia spingere ad un minore impegno sul fronte delle indagini cheal contrario vanno ritenute fondamentali per una affidabile valutazione delle prestazioniattuali e future.

6 RINGRAZIAMENTI

Il presente lavoro è stato svolto nell’ambito del progetto DPC-ReLUIS 2005-2008, Linea diricerca n. 2 “Valutazione e riduzione della vulnerabilità di edifici esistenti in c.a.” (Task“Fattori di confidenza”).

7 BIBLIOGRAFIA

CEN (2004). Eurocode 8 - Design of structures for earthquake resistance - Part 3: Assessment andretrofitting of buildings (draft n. 6), prEN 1998-3, Brussels.

Mainstone, R.J., (1974), Supplementary note on the stiffness and strength of infilled frames, CurrentPaper CP13/74, Building Research Establishment, London.

Masi A. (2003). “Seismic vulnerability assessment of gravity load designed R/C frames”, Bulletin of Earthquake Engineering , Vol. 1, N. 3, pp. 371-395.

Masi A., Vona M., (2004), Vulnerabilità sismica di edifici in c.a. realizzati negli anni ‘70, Atti del XICongresso Nazionale L’ingegneria Sismica in Italia, Genova.

OPCM 3274, (2003). Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri del 20 marzo 2003 Primielementi in materia di criteri generali per la classificazione sismica del territorio nazionale e dinormative tecniche per le costruzioni in zona sismica (pubblicata sulla G.U. del 8/5/2003).

Vona M., Masi A., (2004), Resistenza sismica di telai in c.a. progettati con il R.D. 2229/39, Atti del XICongresso Nazionale L’ingegneria Sismica in Italia, Genova.

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R ESISTENZA CARATTERISTICA DEL CALCESTRUZZO IN OPERA

Raffaele Pucinotti

Dipartimento di Meccanica e Materiali, Università Mediterranea di Reggio Calabria, Reggio Calabria, e-mail - [email protected]

ABSTRACTViene affrontato il problema della valutazione della resistenza meccanica a compressione

“attuale” del calcestruzzo in situ. Il valore della resistenza caratteristica del calcestruzzo inopera viene stimato sulla base delle recenti indicazioni fornite dalle normative europee e delleconoscenze acquisite. Viene pertanto introdotta una espressione analitica in grado di fornireuna stima del valore caratteristico della resistenza cubica del calcestruzzo in opera a partiredal valore medio dei risultati ottenuti da prove di compressione eseguite su carote estrattedagli elementi strutturali indagati.A tal proposito sono stati preparati in Laboratorio alcuni modelli di calcestruzzo dai quali, amaturazione avvenuta, sono state estratte le carote da sottoporre a prove di compressione.Le applicazioni svolte hanno consentito di verificare l’attendibilità delle previsioni della

Norma EN 1379 nell’assegnazione della classe di resistenza al calcestruzzo indagato e didimostrare inoltre l’ottima affidabilità dell’espressione analitica proposta per la valutazionedella resistenza caratteristica del calcestruzzo in opera.

PAROLE CHIAVECalcestruzzo, resistenza caratteristica, carote, carotaggi, cubetti, stima.

1 INTRODUZIONE

La stima della resistenza a compressione dei calcestruzzi in situ riveste un ruolo fondamentalee un’importanza sempre più crescente nel mentre che il patrimonio edilizio esistente invecchia

e si degrada. Le problematiche che quindi deve affrontare l’ingegnere strutturista che siaccinge a valutare staticamente gli edifici esistenti sono principalmente connesse con la

pianificazione delle indagini conoscitive relative alle proprietà meccaniche dei materiali.Pertanto, quando si affronta il problema della valutazione dello stato di “salute” e dellavulnerabilità sismica degli edifici esistenti in c.a. è necessario condurre indagini e rilievirivolti all’accertamento delle dimensioni geometriche ed alla caratterizzazione meccanica deimateriali impiegati per gli elementi strutturali all’epoca della realizzazione. Queste possonoessere stimate risalendo ai valori usuali della pratica costruttiva dell’epoca di realizzazionedell’opera in esame, attraverso la lettura delle specifiche di progetto e delle prove originali (sedisponibili) e infine mediante la conduzione di indagini in situ (Manfredi et al 2007).In particolare la valutazione delle caratteristiche di resistenza può essere effettuata attraversouna serie di prove sia distruttive (PD) che non distruttive (PnD). E’ importante la scelta dei

punti in cui eseguire le PD. Infatti, i risultati ottenuti devono essere rappresentativi delle


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proprietà meccaniche medie del calcestruzzo indagato. E’ chiaro pertanto che dovrà essere posta molta cura nella loro scelta e nella esecuzione dei carotaggio i quali dovranno essereaffidate a personale qualificato. Tale operazione influenzerà, in modo significativo, tutte levalutazioni successive comprese la costruzione di curve di taratura di PnD che di solito, perragioni non solo di natura economica, affiancano le PD.

In uno studio recente (Masi et al. 2007) viene evidenziato come, pur essendo fisiologica unacerta variabilità delle proprietà meccaniche del calcestruzzo, elementi interessati da indaginisperimentali in tutto il loro sviluppo, hanno mostrato significative variazioni delle proprietàmeccaniche lasciando aperti forti interrogativi. E’ infatti importante individuare zoneomogenee da cui estrarre un numero di carote adeguato in funzione del Livello di Conoscenza(Limitata, Adeguata, Accurata) che si ritiene opportuno acquisire (OPCM 2003a, OPCM2003b, OPCM 2005). Eventuali situazioni anomale andranno, pertanto, indagateseparatamente.Un altro aspetto non meno importante è la valutazione della resistenza meccanica media acompressione del calcestruzzo in opera; esistono diverse formule di correlazione che mettonoin relazione la resistenza a compressione misurata sulle carote con quella del calcestruzzo in

situ (Pucinotti 2007a). Tali correlazioni, di natura empirica, restituiscono un valor medio a cuisi deve far corrispondere quello di progetto.

Nel presente lavoro viene affrontato il problema della stima della resistenza caratteristica delcalcestruzzo in situ partendo dai valori medi della resistenza a compressione misurata sullecarote estratte da zone omogenee dell’organismo strutturale indagato.

2 RESISTENZA MEDIA A COMPRESSIONE DELLE CAROTE

Come già accennato in precedenza, l’estrazione dei campioni dagli elementi strutturali inopera (carotaggio) è un’operazione molto delicata da affidare a personale esperto. Infatti, sia

la scelta dei punti di estrazione che la stessa operazione di carotaggio deve essereopportunamente pianificata e studiata sulla base di una attenta osservazione degli elementistrutturali sotto indagine.I carotaggi devono essere effettuati possibilmente in prossimità delle zone neutre delle sezionie cioè in quelle zone in cui si prevedono bassi valori dello stato tensionale (Pucinotti 2006a).Infatti nelle zone tese delle travi è molto probabile la presenza di fessure con andamento

parallelo alla direzione di prelievo delle carote che, nella successiva prova di laboratorio, possono portare a stime della resistenza notevolmente inferiori di quelle misurate in zoneintegre (Masi 2005, Masi et al. 2005, Dolce et al 2006).Importanti sono anche le dimensioni geometriche delle carote; le norme UNI EN 12504-1(UNI EN 12 504-1 2002) prescrivono di adottare i seguenti rapporti preferenzialilunghezza/diametro:

a. 2,0 se il risultato di resistenza deve essere paragonato alla resistenza cilindrica; b. 1,0 se il risultato di resistenza deve essere paragonato alla resistenza cubica.

Le Linee Giuda sul Calcestruzzo Strutturale (Presidenza del Consiglio Superiore dei LavoriPubblici) forniscono le indicazioni per passare dalla resistenza cubica misurata su cubetti dilato 150 mm alla resistenza cilindrica misurata su cilindri di diametro pari a 150 mm edaltezza pari a 300 mm. Inoltre esse fissano i valori per il passaggio tra resistenze cubichemisurate su campioni di differenti dimensioni.E’ importante evidenziare che i fattori di conversione delle Linee Giuda, non sono tra lorocorrelabili (Pucinotti 2007a). In generale, infatti, i campioni grandi forniscono resistenze più

basse dei campioni piccoli, i cilindri resistenze minori dei cubi e i provini snelli resistenze

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minori di quelli tozzi. I rapporti di conversione tendono all’unità all’aumentare dellaresistenza a compressione del calcestruzzo in opera.La determinazione del valore medio della resistenza a compressione delle carote passaattraverso un rimaneggiamento di campioni che subiscono vicissitudini e ingiurie abbastanzasignificative: primo tra tutti gli effetti del carotaggio (Pucinotti 2007a). E’ ovvio che di tutto

ciò non si può non tener conto in fase di stima della resistenza media.I fattori che tengono conto dell’influenza di questi aspetti sono espressi mediante coefficientidi natura empirica inserite all’interno di formule di correlazione che legano la resistenza“attuale” (quella reale in sito dei calcestruzzi) con quella stimata sui campioni cilindrici,carote, estratte dagli stessi elementi strutturali.Le più diffuse di queste relazioni sono richiamate e commentate in (Pucinotti 2007a).

3 VALORE CARATTERISTICO DELLA RESISTENZA IN OPERA

Il passaggio dalla resistenza media a quella caratteristica è forse l’operazione più impegnativa

e delicata. Infatti, non si può, a rigore, parlare di resistenza caratterista delle carote se non perun numero di campioni elevato.Alcune Norme forniscono comunque delle indicazioni che consentono tale passaggio infunzione del numero di campioni di cui si dispone. In particolare le ACI 214.4-R03 (ACI214.4-R03 2003) consigliano di sottoporre a prova un numero di carote dipendente dalcoefficiente di variazione e dell’errore percentuale che si vuole ottenere la cui variazione èfunzione del numero degli elementi strutturali presi in esame, del numero di differenti misceledi calcestruzzo utilizzate e della tipologia costruttiva (Pucinotti 2006a).

Nel seguito della presente memoria si focalizzerà l’attenzione sulla Norma EN 13791 (EN13791 2007) e sulle Norme Tecniche per le Costruzioni (NTC, 2007b). Verrà inoltre

presentata un’espressione per la stima del valore caratteristico della resistenza in situ a partire

dal valor medio.

3.1 Norma EN 13791

La Norme EN 13791 fornisce indicazioni sulla determinazione del valore minimo dellaresistenza caratteristica in situ. Infatti, al punto 6 mette in relazione la resistenza caratteristicaminima (per cubi e cilindri) con la classe di resistenza del calcestruzzo. Tale correlazione èriportata per comodità in Tabella 1.Sulla stessa sono riportate la resistenza caratteristica in situ espressa in resistenza equivalentedi un cilindro 150mmx300mm (f ck,is,cyl) e la resistenza caratteristica in situ espressa inresistenza equivalente di un cubo di lato pari a 150mm (f ck,is,cube). Il rapporto tra la resistenzacubica e quella cilindrica (sempre per un cilindro di dimensioni 150mmx300mm) al variaredella classe di esistenza del calcestruzzo è invece riportato in Tabella 2.La norma (EN 13791, 2007) riporta la procedura per la stima della resistenza a compressionecaratteristica in situ mediante prove condotte sulle carote estratte dal calcestruzzo indagato:- le prove su carote con lunghezza e diametro di dimensioni uguale e comprese tra 100 mm e

150 mm forniscono valori di resistenza equivalenti a quella di cubi di lato pari a 150 mm,confezionati e conservati nelle stesse condizioni;

- le prove su carote con diametro nominale compreso tra 100 mm e 150 mm e con rapportolunghezza diametro pari a 2.0, forniscono valori di resistenza equivalenti a quelli ottenutida campioni cilindrici confezionati e conservati nelle stesse condizioni, di dimensionigeometriche pari a D=150 mm L=300 mm.

L’espressione“Confezionati e conservati nelle stesse condizioni” è da intendere che devonoessere tenuti in conto gli effetti della lavorazione e della conservazione. Ciò di solito viene

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fatto attraverso l’applicazione di idonei fattori. Per la stima possono essere seguiti duedifferenti approcci.

3.1.1 Approccio ASecondo l’approccio A, applicabile quando il numero di carote disponibili è maggiore di 15,

la resistenza caratteristica del calcestruzzo in opera è il minimo dei due valori di resistenzaseguenti:

(1)⎢⎣

⎡+

×−=

4min

,

2),(,

lowest is

isnmisck f

sk f f

in cui s rappresenta la deviazione standard dei risultati. Il suo valore minimo è fissato pari a 2MPa.k 2 deve essere indicato sugli annessi nazionali; in mancanza di indicazioni specifiche per essosi può assume il valore 1,48.Dalla resistenza caratteristica in situ ricavata con l’Eq. (1) si passa, utilizzando la Tabella 1,alla classe di resistenza del calcestruzzo in opera. Per esempio se il valore della resistenzacaratteristica in situ è compresa tra 14 e 17 allora al calcestruzzo potrà essere associata laclasse di resistenza C16/20.

Tabella 1: Correlazione tra classi e resistenze caratteristiche

Classe diresistenza in

accordo con la

EN 206-1

Rapporto tra resistenzacaratteristica in situ e

resistenza caratteristicadi campioni standard

Resistenza caratteristicaminima in situ [MPa]

f ck,is, cyl

carota da150x300 mm

f ck,is, cube

cubo da

150 mmC8/10 0.85 7 9

C12/15 0.85 10 13

C16/20 0.85 14 17

C20/25 0.85 17 21

C25/30 0.85 21 26

C30/37 0.85 26 31

C35/45 0.85 30 38

C40/50 0.85 34 43

C45/55 0.85 38 47

C50/60 0.85 43 51

C55/67 0.85 47 57

C60/75 0.85 51 64

C70/85 0.85 60 72

C80/95 0.85 68 81

3.1.2 Approccio BL’approccio B è applicabile nei casi in cui sono disponibili un numero di carote compreso tra3 e 14. In questo caso, la stima della resistenza caratteristica in situ è fornito dal minimo deidue valori seguenti:

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(2)⎢⎣

⎡+

=4

min,

),(,

lowest is

isnmisck f

k f f

−

Il coefficiente k è riportato in Tabella 3 in funzione del numero n di carote disponibili. Anchein questo caso il passaggio alla classe di resistenza del calcestruzzo avviene allo stesso modovisto per l’approccio A.

3.2 NTC - 23 settembre 2005

Secondo le Norme Tecniche per le Costruzioni (NCT 2005) “Il valor medio della resistenzadel calcestruzzo in opera (definito anche come valore attuale) è in genere inferiore al valormedio della resistenza dei prelievi. E’ accettabile un valor medio , misurato con tecnicheopportune (distruttive e non distruttive) e debitamente trasformato in resistenza cubica, noninferiore all’85% di Rck ”.E cioè:

85.083.0, ⋅⋅= CK CAR M R f 1

(3)

Tabella 2: Passaggio tra resistenze cubica e cilindrica

Classe diresistenza

(EN 206-1)

Rcub/Rcil*

Rck [MPa] Classe diresistenza

(EN 206-1)

Rcub/Rcil*

Rck [MPa]

f ck Rck f ck Rck

C8/10 0.80 8 10 C40/50 0.83 40 50

C12/15 0.80 12 15 C45/55 0.83 45 55

C16/20 0.80 16 20 C50/60 0.85 50 60

C20/25 0.83 20 25 C55/67 0.85 55 67

C25/30 0.83 25 30 C60/75 0.85 60 75

C30/37 0.83 30 37 C70/85 0.85 70 85

C35/45 0.83 35 45 C80/95 0.85 80 95

* Nel caso di Cilindro con rapporto d/l =1 tale coefficiente vale 1.

3.3 NTC - Bozza del 24 aprile 2007

La Norme Tecniche sulle Costruzioni del 24 aprile 2007 (NTC 2007a) prescrive invece: “ Ilvalor medio della resistenza del calcestruzzo in opera (definito come resistenza strutturale) è

in genere inferiore al valor medio della resistenza dei prelievi maturati in condizioni dilaboratorio (definita come resistenza potenziale). E’ accettabile un valore caratteristico dellaresistenza in opera, misurata con tecniche opportune (distruttive e non distruttive) edebitamente trasformata in resistenza cilindrica o cubica, non inferiore all’85% del valore

caratteristico di progetto”. La cui applicazione conduce alla seguente relazione:

85.0, ⋅= CK CARCK f f (4)

85.083.0, = CK CARCK ⋅ ⋅

R f

(5)

10.83 varia in funzione della classe di resistenza del calcestruzzo (vedi Tabella 2)

- 137 -



3.4 NTC - Versione finale del 19 dicembre 2007

Nell’ultima rivisitazione del Testo (NTC 2007b) invece è riportata la seguente definizione: “ Ilvalor medio della resistenza del calcestruzzo in opera (definita come resistenza strutturale) èin genere inferiore al valor medio della resistenza dei prelievi in fase di getto maturati incondizioni di laboratorio (definita come resistenza potenziale). È accettabile un valore medio

della resistenza strutturale, misurata con tecniche opportune (distruttive e non distruttive) edebitamente trasformata in resistenza cilindrica o cubica, non inferiore all’85% del valore

medio definito in fase di progetto.

85.0, = ⋅CM CAR M f f

85.083.0

(6)

, = CM CAR M ⋅ ⋅ R f (7)

Tabella 3: Coefficiente k

prEN 13791 (2003) EN 13791 (2007)n k n k

da 10 a 14

da 7 a 9

da 3 a 6

4

5

6

da 10 a 14

da 7 a 9

da 3 a 6

5

6

7

3.5 Formulazione proposta

Alla luce delle conoscenze maturate fino a questo punto (Pucinotti 2006a, Pucinotti 2007a) edi quanto detto in precedenza, viene presentata un’espressione in grado di fornire una stimadella resistenza caratteristica del calcestruzzo in sito a partire direttamente dal valor medio

della resistenza a compressione misurata su carote estratte dagli elementi strutturali indagati(nel caso di un numero di campioni compreso tra 3 e 14):

(8)Car CK d dia

SITU P CK f C C R )(21, ⋅⋅⋅= α α

Nell’Eq. (8) si è indicato con 83.0/11 =α il coefficiente per il passaggio dalla resistenza

cilindrica a quella cubica; 2α rappresenta il parametro dipendente dalla direzione della

perforazione ( 2α =1.15 per perforazioni ortogonali alla direzione del getto, 2α =1.05 per

perforazioni parallele alla direzione del getto); rappresenta il fattore di correzione

che tiene conto del diametro della carota (vale 1.06 per d=50 mm, 1.00 per d=100 mm e 0.98 per d=150 mm);

diaC

d C è il fattore di correzione che tiene conto del disturbo arrecato al campione durante la

perforazione; per esso si adotta quanto suggerito in (Collepardi 2006) e cioè di assumereCd=1.20 per fcar< 20 MPa, e Cd= 1.10 per fcar> 20 MPa; d è il diametro della carota; l la sua

altezza; è il valore caratteristico della resistenza cilindrica del

gruppo di n carote da esprimere in MPa; è il valore della resistenza cilindrica della i-

esima carota in situ da esprimere in MPa;

∑=

−⋅=n

i

id l icar

Car CK nC f f

1/, 5/)(

icar f ,

/C d l )/5.1/(2 l d += è il fattore di correzione che

tiene conto del rapporto diametro/altezza della carota.

- 138 -



4 APPLICAZIONE SPERIMENTALE

Nel seguito sono riportati i risultati di alcune applicazioni sperimentali condotte su modelli dicalcestruzzo. Le indagini sono state condotte su campioni preparati appositamente. Questi siriferiscono ad una più ampia campagna di indagini sperimentali finalizzata alla valutazione

della vulnerabilità sismica di edifici esistenti in cemento armato ricadenti sul territorio della provincia di Reggio Calabria. La ricerca, (dal titolo Indagini sperimentali rivolte allavalutazione della vulnerabilità sismica delle strutture esistenti) finanziata dalla RegioneCalabria, prevede sia la conduzione di PnD che di PD da condurre su elementi strutturali incemento armato in scala reale e su modelli di calcestruzzo realizzati ad hoc. I modelli ed icampioni, in conglomerato cementizio, sono stati sottoposti oltre alle PD di cui si riportano diseguito i risultati, anche a prove penetrometriche, sclerometriche ed indagini ultrasoniche. Icampioni presi in considerazione per questa memoria (Figura 1), consistono in 4 modelli200x600x600 mm (indicati con la sigla IF), 8 cubetti di lato 150 mm (confezionati durante ilgetto dei Modelli) e 8 carote (estratte dai modelli) aventi diametro 94 mm e rapportodiametro/lunghezza circa pari ad 1/2 (Tabella 4).

4.1 Controlli di Accettazione

Il controllo di accettazione eseguito sui cubetti prelevati durante la fase di getto dei modelli èstato condotto secondo i criteri stabiliti dalle nuove NTC (2007b) per cui si è ottenuto,

MPa:30=ck R

27.385.377.345.31 =+=+≤ R Rck MPa (9 a)

44.335.394.365.3 = − =−≤ R R mck MPa (9 b)

4.2 ApplicazioniSui cubetti e sulle carote estratte dai modelli sono quindi state effettuate le prove dicompressione. Come si vede (Tabelle 4), mentre i valori delle tensioni di rottura dei cubettinon subiscono forti variazioni, per le carote estratte dall’ultimo modello, indicati in tabellacon le sigle IF4-CR1 e IF-CR2, si sono registrati valori più bassi che su quelle estratte dai

primi tre modelli. Ciò è certamente da imputare esclusivamente ad una cattiva costipazionedel getto del Modello IF4. Il getto di tutti i modelli IF è stato eseguito dallo stesso impasto,mentre ogni coppia di cubetti è stata confezionata all’atto del getto del modellocorrispondente. Le applicazioni delle relazioni introdotte al paragrafo precedente, sonoriportate in Tabella 5 in cui per tener conto delle anomalie di resistenza riscontrate nelmodello IF4 si sono pertanto riportati i risultati sia per le prime 6 carote (relative ai modelliIF1-IF2-IF3) che per tutte le 8 carote (considerando anche le carote estratte da IF4). Come sivede l’applicazione della prEN 13791 fornisce, sia per n=6 che per n=8, la stessa classe diresistenza per il calcestruzzo indagato e cioè C25/30. Infatti per valori di f ck,is compresi tra 21MPa e 26 MPa dalla Tabella 1 si ricava la classe di resistenza suddetta. Si fa osservare che, ivalori di f ck,is sono vicini al limite inferiore. Analogo risultato, anche se ancora più al limite, siottiene applicando la EN13791 (Tabella 5). La stima effettuata invece con la formulazione

proposta, in entrambi i casi di n=6 ed n=8, appare più convincente; infatti la resistenzacaratteristica stimata è di poco superiore a 30 MPa.La Tabella 6 mostra i risultati ottenuti applicando le differenti versioni delle Norme Tecnichesulle Costruzioni. In particolare, la seconda colonna riporta i risultati ottenuti con l’Eq. (3) che

si riferisce alla versione iniziale delle NTC (NTC 2005).

- 139 -



Tabella 4: Tensione di rottura dei campioni

CubettiTensione di

Rottura [Mpa]

ValoreMedio Rm

[Mpa]Carote

f car

[Mpa]

f car, med

[Mpa]d

[mm]

l

[mm]C l/d

f car x C l/d

[Mpa]

IF-P1a 33.21

34.77

IF1-CR1 26.77

26.88

94 194 1.008 26.98

IF-P1b 36.33 IF1-CR2 26.99 94 194 1.008 27.20

IF-P2a 37.8136.88

IF2-CR1 25.5225.99

94 212 1.029 26.26

IF-P2b 35.95 IF2-CR2 26.47 94 210 1.027 27.18

IF-P3a 40.1839.16

IF3-CR1 31.4930.71

94 200 1.015 31.97

IF-P3b 38.14 IF3-CR2 29.93 94 202 1.018 30.46

IF4-CR1 20.8922.45

94 196 1.010 21.11

IF4-CR2 24.00 94 204 1.020 24.48

Tale equazione mette in relazione il valore medio della resistenza a compressione delle carote(rispettivamente 27.86 MPa per n=6 e 26.51 per n=8) con la resistenza cubica caratteristicadel calcestruzzo. Ne scaturisce la classe di resistenza C30/37 che risulta superiore del valorereale della resistenza del calcestruzzo indagato. La terza colonna riporta invece i risultatidell’applicazione delle NTC versione del 24 aprile 2007 (NTC 2007a).

Tabella 5: Tensione di rottura dei campioni

(+)prEN13791

EN13791

prEN13791

EN13791

Formulazione Proposta

n 8 8 n 6 6 n 8 6

k 5 6 k 6 7 α 1 1.205 1.205

f m(8),is 26.51 26.51 f m(6),is 27.86 27.86 α 2 1.050 1.050

f ck,is_1 21.51 20.51 f ck,is_1 21.86 20.86 C dia 1.007 1.007

f ck,is_2 24.89 24.89 f ck,is_2 29.52 29.52 C d 1.100 1.100

f ck,is 21.51 20.51 f ck,is 21.86 20.86Car

CK f 21.95 23.34

SITU CK R SITU

CK R SITU

P CK R ,*30 *30 *30 *30 30.77 32.71

Classe *C25/30 *C25/30 Classe *C25/30 *C25/30 Classe C25/30 C25/30

(+) I valori delle tensioni sono espressi in MPa; * Valori ricavato dalla Tabella 1.

Figura 1. Modelli di calcestruzzo classe C25/30.

- 140 -



In questo caso si è passati dal valore caratteristico della resistenza in opera al valorecaratteristico di progetto applicando l’Eq. (5). Per la stima del valore caratteristico dellaresistenza delle carote si è adottata la procedura proposta per i controlli di accettazione dallestesse NTC (NTC 2007a) riportata in Tabella 7; se ne deduce la classe di resistenza C25/30.Infine, la quarta colonna della Tabella 6 riporta i valori medi delle resistenze ottenute con

l’Eq. 7 (NTC 2007b). Il passaggio al valore caratteristico (adottando sempre i criteri suggeriti per i controlli di accettazione dalla stessa norma (NTC 2007b)) restituisce gli stessi valori delcaso precedente (Tabella 7). Pertanto anche in questo caso la classe di resistenza stimata è laclasse C25/30.

Tabella 6: Applicazione NTC

[MPa]

NTC (23.09.2005)

R ck [MPa]

*NTC (Bozza del 24.04.2007)

R ck [MPa]

**NTC (19.12.2007)

R cm [MPa]

n=6 39.49 MPa 34.53 MPa 35.59 MPa

n=8 37.57 MPa 32.61 MPa 37.57 MPa* il valore caratteristico della resistenza in opera è stato calcolato applicando il punto 11.1.5 (NTC 2007a);** il valore caratteristico della resistenza in opera è stato calcolato secondo il punto 11.2.5 (NTC 2007b).

Tabella 7: Applicazione controlli di accettazione sulle carote (NTC)

NTC (2007a) n=6 n=8 NTC (2007b) n=6 n=8

f 1 25.99 22.45 R1 36.84 31.82

f 2 26.88 25.99 R2 38.10 36.84

f 3 30.71 26.88 R3 43.53 38.10

f m 27.86 26.51 Rm 39.49 37.57

f 1+3.5 29.49 25.95 R1+3.5 41.81 36.78

f m-3.5 24.36 23.01 Rm-3.5 34.53 32.61

f ck 24.36 21.61 Rck 34.53 32.61

CONCLUSIONI

Il valore della resistenza caratteristica del calcestruzzo in opera viene stimato sulla base dellerecenti norme europee e delle conoscenze acquisite. Le applicazioni svolte, anche se in

numero limitato, hanno mostrato come la procedura indicata dalla norma EN 13791 forniscerisultati che possono ritenersi accettabili. L’applicazione delle diverse versioni delle NTChanno fornito in un caso la classe di resistenza superiore (NTC 2005) e negli altri (NTC2007a, NTC 2007b) la classe di resistenza attesa. C’è da sottolineare che però le NTC, innessuna delle versioni considerate, tengono conto del numero di campioni (carote)effettivamente presi in considerazione.E’ stata infine introdotta e verificata una relazione in grado di stimare il valore caratteristicodella resistenza in situ a partire direttamente dal valor medio della resistenza a compressionemisurata su campioni cilindrici (carote) estratti da modelli in calcestruzzo appositamente

preparati. La sua applicazione ha restituito risultati in perfetto accordo con quelli attesi.La verifica della sua validità generale è attualmente in fase di svolgimento su carote estratteda modelli appositamente confezionati con calcestruzzo di differenti classi di resistenza.

- 141 -



5 RINGRAZIAMENTI

Questa ricerca è stata possibile grazie al sostegno fornito dalla Regione Calabria. Si ringrazial’Azienda Ambrocem di Ambrogio Leandro, torrente Valanidi Reggio Calabria.

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ASSESSING THE ADEQUACY OF A SINGLE CONFIDENCE FACTOR IN

ACCOUNTING FOR EPISTEMIC UNCERTAINTY

Paolo Franchin a, Paolo E. Pinto a, Pathmanathan Rajeev b

a Dip. Ing. Strutturale e Geotecnica, Sapienza Università di Roma, [email protected] , [email protected]

b European School for Reduction of Seismic Risk (ROSE School), Pavia, [email protected]

ABSTRACTEC8 Part 3, Assessment of existing buildings (CEN, 2005), relies on a single factor, calledConfidence Factor, to account for the state of incomplete knowledge of the structure resultingfrom limited information. From a probabilistic viewpoint the effect of this epistemicuncertainty is that of inflating the estimate of the probability of failure of the structure withrespect to the reference value, , corresponding to a state of complete knowledge of the

structure, the only remaining uncertainty being that in the seismic action. Under theassumption that a single factor can account for the total epistemic uncertainty, a procedure has

been envisioned to assess the values that this factor should take on, as a function of increasing

knowledge. A preliminary application illustrates the procedure. The overall adequacy of thesingle-factor framework is tentatively assessed and the obtained values of CF are comparedwith the code values.

* f P

KEYWORDSConstruction defects, tests location, engineering judgement, state evaluation, degradingresponse.

1 INTRODUCTION

Seismic performance assessment of existing structures can be carried out either probabilistically or deterministically. In the former case all relevant sources of uncertainty are preliminarily identified and probabilistic models to describe them are set up (Pinto et al ,2004). These usually consist of random variables and/or fields, characterised by theirdistributions. The current practice in probabilistic seismic assessment focuses on the

probabilistic characterisation of the seismic action (either in the form of a stochastic model orof recorded ground motion coupled with the distribution of an intensity measure), explicitlyrecognising its dominant role in contributing to the total uncertainty, and regarding thestructure as deterministic. Methods exist, however, to deal with uncertainty in the structureand its model. In particular, uncertainty in the capacity models for deformability and strength

of members can be easily accounted for (e.g. Jalayer et al , 2007a,b).


- 143 -









Deterministic seismic assessment, on the other hand, moves along different lines that have been codified in some recent normative documents such as Eurocode 8 Part 3 in Europe(CEN, 2005), as well as others in New Zealand (NZNSEE, 2002), Japan (JBDPA, 1990) orthe US (ASCE/FEMA, 2002). These documents prescribe several performance levels to bechecked (at least two, related to serviceability and safety, respectively), associated with

different intensities of the seismic action, usually specified in the form of elastic spectralshapes characterised by increasing average return periods. This is intended to take care of theuncertainty in the seismic action intensity and in the dynamic response of the structureconditional on the intensity.Uncertainty in the capacity of the structure (i.e. of its components) is dealt with by evaluatingthe members’ capacity to deform in the inelastic range (e.g. for beams and columns, ultimateor plastic chord rotation limits) or to resist shear action by means of lower fractiles of capacityformulas.A further important source of uncertainty stems from the state of incomplete knowledge underwhich the performance assessment is usually carried out (epistemic uncertainty). In theEurocode this uncertainty is intended to be accounted for by means of a factor, called

Confidence Factor (CF), used to reduce material properties and hence capacities. The factortakes values that depend on the amount of information available at the time of the assessment,called Knowledge Level (KL) and ranging from 1 to 3. A larger amount of information(higher KL) means a lower value of the CF. This should work as an incentive to increase thenumber of tests and inspections by rewarding increasing levels of information with less

penalising values of the capacities.The code requires, as a pre-condition to set up an analysis model, that the geometry of thestructure be completely known from the original design drawings, complemented by limitedverifications, or if these are missing by a complete survey. It follows that epistemicuncertainty should be mostly related to incomplete knowledge about construction details(such as reinforcement quantity and layout) and material properties. Some commonly founddefects of older-type RC constructions (insufficient lap-splice, absence of joint reinforcement,etc) have not just a quantitative influence on the response of the structure but, rather, aqualitative one, often changing completely the failure mechanism. It can hence be arguedwhether uncertainty on these aspects can be accounted for by a single factor. Further, evenunder the assumption that a single factor can account for the total epistemic uncertainty, itremains to be assessed whether the values recommended in the code are appropriate. This

paper is a preliminary attempt to give an answer to the above questions by considering the propagation of uncertainty in the information available at the time of assessment down to thestructural response.

2 A PROCEDURE TO ESTABLISH THE CONFIDENCE FACTOR VALUE

The procedure, applicable to any given structure and typology, consists of the following steps:1. From a previously established probability distribution of material properties and

construction details/defects a set of parameters is sampled and assigned to thestructure: this structure is therefore considered to be completely known and is termedthe “reference structure”. The structure is assessed according to the code and theseismic intensity that induces the attainment of the limit-state (LS) underconsideration is recorded. The attainment of the limit state is marked by a unit value ofa global state variable *Y (see Section 3.2). This result is considered the “truth” about

the structure.

- 144 -



2. From the reference (completely known) structure, for each Knowledge Level, anumber N KL of sample structures characterised by a state of incomplete knowledge aregenerated by simulating the inspection/information-collection process. These arecalled “blurred pictures” of the structure.

3. For each KL, the code-based deterministic assessment procedure is applied to the N KL

structures with a unit value of the CF and the same intensity determined in step 1. This produces a sample of values of the global state variable Y .4. Statistical processing of the three (3 KL’s) samples of Y (each of length N KL) produces

three conditional distributions of Y , ( ) KLY F i 3,2,1=i (Fig. 1, solid curves). The

larger dispersion in the Y values corresponding to the increasing ignorance is reflected by the larger inclination of the curve.

5. The value of the CF for each KL is determined (iteratively) by enforcing the conditionthat a chosen lower fractile of Y (say, 10%) is equal for all KL’s. This leads to thedashed curves in Fig. 1.

The condition in step 5, i.e. that 3,10.02,10.01,10.0 KL KL KL Y Y Y == , means that whatever the amountof information available at the time of the assessment and hence the KL, by using the value ofCF thus established there is an acceptably small probability of underestimating the state of thestructure, or of overestimating its capacity (i.e. only 10% out of assessments/evaluationswill, on average, be on the unsafe side). The enforcement of the above condition representsthe criterion for calibrating the values of CF.

KL N

In order to perform step 1 it is necessary to have a list of the frequent construction defects(chosen among those that can be analytically modelled and can hence have an influence on Y )and to gather data on the spatial fluctuation of material properties.In order to perform step 3 it is necessary to subdivide the structure into possible test locationsand to select the actual test locations in a somewhat controlled random fashion (e.g. if the firsttest is performed on the third floor, it is likely that other tests will be performed there too, tominimise disruption to building activities, and hence this should be enforced in the randomsampling of location).

1 KL

F

05.0

Y

1=CF

0 . 1 0 , K

L 1

0 . 1 0 , K

L 2

0 . 1 0 , K

L 3

Y * = 1

2 KL3 KL

1 KL2 KL3 KL

1 KL

F

05.0

Y

1=CF

0 . 1 0 , K

L 1

0 . 1 0 , K

L 2

0 . 1 0 , K

L 3

Y * = 1

2 KL3 KL

1 KL2 KL3 KL

Fig. 1 Distribution of the structural state Y as a function of knowledge level and confidence factor.

For the purpose of this work nonlinear dynamic analysis has been chosen among the differentanalysis options of the code. Though this method is not the preferential choice in the

assessment of structures, it is the one deemed to provide the most accurate estimate of thestructural state, with higher sensitivity of the response to construction defects that can lead to

- 145 -



cyclic degradation (difficult to take into account in all other types of analysis). For the samereason an effort has been made to include in the modelling some refined features that are notcommonly employed. In particular, models for the hysteretic response of RC beam-column

joints and of members in shear have been adopted. These models are described in the nextsection.

In steps 1 and 3, time-history analysis is carried out with seven spectrum-compatible records.The value of the global state variable Y measuring the distance from the limit-state is averagedover the seven records. For the reference structure these are iteratively scaled in amplitudeuntil the scale factor LS α that leads to the attainment of the LS under consideration is found.

This scale factor is then used for all other analyses in step 3.

3 APPLICATION

3.1 Structural modelling to capture cyclic degradation

A recent review of frame formulations accounting for interaction between normal and tangentstresses is given in Ceresa et al , 2007. In this work a simple modelling option has beenchosen, already adopted in Franchin and Pinto, 2007. A plane model is set up in theOPENSEES finite element analysis package (McKenna et al , 2007). Flexibility-based elementswith five Gauss-Lobatto integration points are employed. P-delta is included. At eachintegration point a section aggregator is used to construct a section coupling axial/flexuralresponse ( MN ), modelled by a fibre-discretised section (Kent-Park concrete and Menegotto-Pinto steel), with shear response (V ), modelled by a uniaxial hysteretic law. Note that, thoughthe MN and the V models in the section aggregator are uncoupled resulting in a sectiontangent stiffness of the form:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂∂∂ ∂∂∂∂=

γ

φ ε φ ε

V

M M N N s

00

000

0

k (1)

the moments and shears are still coupled through the element equilibrium. In Eq.(1) γ φ ε ,,0

are the generalised section deformations: axial strain, curvature and shear distortion angle.The adopted shear force-deformation law is degrading hysteretic (in OPENSEES the γ −V lawhas been modelled with two Hysteretic laws, one degrading with ductility damage parameter0.03 and one non-degrading, in Parallel ) with a monotonic multi-linear envelope, withcharacteristic points at cracking , peak and residual strength. The adopted law is shown in

Figure 2a. A similar behaviour is also found in Pincheira et al , 1999, where the multi-linearenvelope is fit to results from analyses carried out with the modified compression field theory(MCFT, Vecchio and Collins, 1986) implemented in the code R ESPONSE2000.Evaluation of the force and deformation values corresponding to the transition points requiresmodels for shear strength ( ), as well as for shear flexibility (deformation in pure shear).

Several models are available for the shear strength of existing RC members, generally in oneof the two additive forms:

peak V

s N c peak V V V V ++= (2a)

( ) V N V V += sc peak (2b)

- 146 -



As an example, the models in Priestley et al , 1994 or in Kowalsky and Priestley, 2000 haveform (2a), while those in Sezen and Mohele, 2004 have form (2b), where the contribution ofaxial force is incorporated in the concrete contribution . Eurocode 8 Part 3 reports a shear

strength equation in the form (2a), derived together with a second one in form (2b) in Biskiniset al 2003. All these models also include a displacement-ductility dependent term

cV

( Δ )μ k that

reduces the strength to account for max response ductility. For the purpose of establishing themonotonic envelope for an hysteretic degrading law, the term ( )Δk is set to its value for

1≤Δ . In this work the model selected is that by Sezen and Mohele, 2004. The shear force at

cracking is set equal to , while the residual force is set equal to the steel term .( ) N V c sV

As it regards the shear force-displacement curve, to the knowledge of the authors the only proposal of a cyclic response model in shear is in Gérin, 2003. When only the monotonicenvelope is of interest a recent paper by Sezen, 2008, the previous work by Pincheira et al ,1999, plus a simplified model applicable to walls derived from the cyclic one and presented inGérin and Adebar, 2004, can be included in the list. Fig. 2 b shows qualitatively thesealternatives. In Pincheira’s model, which refers to older non-ductile columns, the degradationstarts right after the attainment of peak strength. Both Sezen, 2008 and Gérin and Adebar,2004 instead show significant shear strain ductility. Sezen, gives also an estimate of the sheardisplacement where axial collapse occurs, based on the very few available experimentalresults of shear tests on columns that have been brought to the exhaustion of the vertical load-

bearing capacity.

crack V

peak V

.resV

yures γ μ γ γ γ =≡. y peak γ γ ≡crackγ

( )

( )

sres

sc peak

ccrack

V V

V N V V

N V V

=

+=

=

( )*arctan GA ( )a ( )b

crack V

peak V

.resV

uγ yγ crackγ

( )wallsAdebar&Gerin( )scol.'Sezen

( )scol.'Pinto-Franchin,Pincheira et al

crack V

peak V

.resV

yures γ μ γ γ γ =≡. y peak γ γ ≡crackγ

( )

( )

sres

sc peak

ccrack

V V

V N V V

N V V

=

+=

=

( )*arctan GA ( )a ( )b

crack V

peak V

.resV

uγ yγ crackγ

( )wallsAdebar&Gerin( )scol.'Sezen

( )scol.'Pinto-Franchin,Pincheira et al

Fig. 2 Shear modelling of RC members: a) adopted monotonic envelope for the shear force-deformation

law; b) available alternatives.

In this work degradation starts immediately after peak strength. Assuming elastic uncracked behaviour until it is assumed that:crack V V =

*

/ cccrack crack AGV =γ (3)

Following Sezen, 2008, the strain at peak strength is assumed to be a function of steel yieldstress, normalised axial force ν , longitudinal reinforcement ratio l ρ and aspect ratio

(shear span over section height):

H LV /

004.05000

−= H L

f

V

l y peak

ν

ρ γ (4)

Finally, the strain at ultimate (which in the adopted model means a non-zero residual strength)

is expressed as a shear strain ductility term times the strain in (4): peak res γ μ γ γ = with:

- 147 -



( )cc peak res peak f AV 124 −== γ γ γ (5)

3.2 Evaluation of structural performance

Performance of the structure can be evaluated by means of a global state variable, denoted byY , that expresses the global state of the structural system as a function of its members’ states(Jalayer et al , 2007). The formulation of such a variable allows accounting for failuremechanisms that are not included in the response analysis: if, for instance, shear force-deformation is not included in the model (the model is purely flexural, like for a fibreformulation), the shear strength can be included a posteriori in the evaluation of Y , thusconsidering a failure not shown by the response analysis.In this work brittle degrading failure mechanisms such as shear in member and joints areincluded in the analysis, and hence they influence the response. For this reason a simpleformulation of Y is possible in terms of deformation demand only. In particular, the globalstate is defined as the ratio between peak interstorey drift ratio and the correspondingcapacity, set for simplicity to a fixed value of 2.5%.

3.3 Uncertainty in material properties and construction details

For the purpose of generation of the reference structure the following quantities arerandomised (Group 1, variable simulated in step 1): a) stirrup spacing ( and for beams

and columns, respectively), to account for the erroneous stirrup placement or accidentalmovement during concrete casting; b) anchorage length and lap splice ; c) geometric

longitudinal reinforcement ratio

b s c s

al

ρ in the column, to account for erroneous placement of barswith diameter different from that specified in the design documents; d) material properties:concrete strength , steel yield strength and hardening ratio b. For the purpose of

generation of the “blurred pictures” the following quantities are also randomised (Group 2,

variable simulated in step 2, representing judgement errors made by the analyst at theevaluation stage): e) permanent load , with distinct values for the first floor and the roof; f)

cross-section dimensions, in terms of beams’ height , and columns’ dimension in the plane

of flexure . The adopted distribution type and parameters are reported in

c f y f

k G

b H

c H Tab. 1. The

coefficients of variation for the material properties are lower than those reported e.g. inCosenza et al , 2002, since they are meant to refer to the variability within a single building (and have been established based on a few existing buildings where a large number of testswas available). The lower bounds on the strength values are used to avoid very low valuescompatible with the lognormal distribution that would have led to collapse for gravity loads.

Tab. 1 Distribution type and parameters for the adopted random variables. (*) for the truncatedlognormal distribution (TLN) a lower bound is required.

Random variable Distribution Mean or Min CoV orMax

Lowerbound

*

G r o u p 1

Column stirrup spacing Uniform 200 mm 300 mm -

Beam stirrup spacing Uniform 150 mm 250 mm -

Reinforcement ratio Uniform 0.008 0.012 -

Concrete strength TLN 24 MPa 0.10 20 MPa

Steel Yield stress TLN 275 MPa 0.10 250 MPa

Hardening ratio LN 0.004 0.25 -

- 148 -



G r o u p 2

Gk, first floor Uniform 13 kN/m 18 kN/m -

Gk, roof Uniform 11 kN/m 15 kN/m -

Beam height Discr. uniform 450, 500 and 550 mm -

Column height Discr. uniform 250, 300 and 350 mm -

Fig. 3 shows the simple one-bay two-storey frame chosen for the application. During step 1variables belonging to Group 1 are sampled once: the values of , and are sampled at

each integration point (5 per each beam plus 3 per each column for a total of 22 values, thesampling is carried out by first selecting the element, then the position within the element);steel properties are sampled for each element (6 values each); reinforcement ratio

c f b s c s

b f y , ρ is

sampled for each column (4 values).During step 2, the variables belonging to Group 2 are sampled times: the permanent loadis sampled at each floor (2 values); one value of the random cross-section dimension issampled for each beam and one value for the two elements along the same vertical assumingno tapering is present in such a small structure (4 values). For the reference structure the

permanent loads and the cross-section dimensions are set equal to their respective meanvalues.

KL N

Fig. 3 shows all the distinct values of the employed random variables and their location. It can be observed that even if an attempt is made to describe a realistic pattern of variations, thechoice of sampling different values of the steel properties for each element, as if different

batches of bars have been used in such a small structure, is clearly an abstraction.

111 ,, acc l s f

33, cc s f

roof k G ,

floor k G ,

22 , cc s f

1111 ,,, c y H b f ρ

244 ,, acc l s f

66 , cc s f

55 , cc s f

1222 ,,, c y H b f ρ

31010 ,, acc l s f

1212 , cc s f

1111, cc s f

2444 ,,, c y H b f ρ

377 ,, acc l s f

99 , cc s f

88 , cc s f

2333 ,,, c y H b f ρ

71818 ,, acc l s f 82222 ,, acc l s f 1919 , cc s f 2020 , cc s f

51313 ,, acc l s f 61717 ,, acc l s f

5.00

2 . 7

0

2 . 7

0

266 ,, b y H b f

155 ,, b y H b f

1616 , cc s f 1414 , cc s f 1515 , cc s f

2121, cc s f

111 ,, acc l s f

33, cc s f

roof k G ,

floor k G ,

22 , cc s f

1111 ,,, c y H b f ρ

244 ,, acc l s f

66 , cc s f

55 , cc s f

1222 ,,, c y H b f ρ

31010 ,, acc l s f

1212 , cc s f

1111, cc s f

2444 ,,, c y H b f ρ

377 ,, acc l s f

99 , cc s f

88 , cc s f

2333 ,,, c y H b f ρ

71818 ,, acc l s f 82222 ,, acc l s f 1919 , cc s f 2020 , cc s f

51313 ,, acc l s f 61717 ,, acc l s f

5.00

2 . 7

0

2 . 7

0

266 ,, b y H b f

155 ,, b y H b f

1616 , cc s f 1414 , cc s f 1515 , cc s f

2121, cc s f

Fig. 3 The reference structure.

- 149 -



3.4 Simulation of testing process and generation of “blurred pictures”

Generation of sample structures from the reference one is carried out for different knowledgelevels. Tab. 2 reports the minimum requirements in terms of tests number and location toachieve a given KL according to both Eurocode and the Italian code (DPC, 2005).

Tab. 2 Minimum requirements for each KL.

Knowledgelevel

Detalis (percentage of elements) Material properties

EC8 Part 3 Italian code EC8 Part 3 Italian code

1 20% 15% 1 sample per floor 1 sample per floor/300m2

2 50% 35% 2 samples per floor 2 samples per floor/300m2

3 80% 50% 3 samples per floor 3 samples per floor/300m2

The simulation is carried out by: a) uniformly sampling an integer number corresponding toan integration point/test location and reading the corresponding values of the referencestructure, b) sampling Group 2 variables, i.e. cross-section dimensions and permanent loads.For KL1 four locations are sampled, two per floor, one on the beam (assumed to yield valuesfor ) and one on the columns (assumed to yield values forbc s f , c y sb f ,,, ρ ). For KL2 eight

locations are sampled, four per floor, two on the beam ( ) and two on the columns

(bc s f ,

c y f sb ,,, ρ ). As prescribed by the code, for all KLs, the mean of the “experimental” values of

material properties and details (Group 1) is then assigned to all elements and employed forthe analysis.

3.5 Seismic action

For the purpose of dynamic analysis the seismic action is represented by 7 recorded groundmotions selected to fit on average, with minimum scaling, the EC8-specified spectral shapescaled to a PGA of 0.35g for soil class A (Iervolino et al , 2008).

3.6 Results

Fig. 4 shows the results of the analysis for two KLs. Focussing on Fig. 4 left, one can see theempirical distribution of the Y values for the 100 “blurred pictures” with a unit value of CF(case a, dashed line) and with the CF>1 value (case b, solid line) that leads to .1*

10.0 == Y Y

0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.80.9

1

Y

F K L 1

( Y )

KL1

Case a, CF=1Case a, CF=1.15

Case b, CF=1Case b, CF=1.27

0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.80.9

1

Y

F K L 2

( Y )

KL2

Case a, CF=1

Case a, CF=1.15Case b, CF=1Case b, CF=1.25

Fig. 4 Distribution of Y values.

- 150 -



The two colours identify the case of epistemic uncertainty on materials and defects only (red)and of epistemic uncertainty on materials, defects and geometry (black). As one can see theeffect of uncertainty on the geometry is a major one. The value of the required CF increasesfrom 1.15 to 1.27.Fig. 4 right shows the results for KL2. The values of the CF are, for both cases, practically

coincident with those for KL1 (1.15 and 1.25). This is due to two reasons: one is that theepistemic uncertainty related to geometry is not differentiated in this example with respect tothe knowledge level. This is intentional, since going from KL1 to KL2 the number on tests onmaterials and details must increase but this does not necessarily lead to a better knowledge ofgeometry. The second reason is that the analysed structure being so small the additionalamount information coming from KL2 is not appreciably richer than that from KL1.

4 CONCLUSIONS

The elementary example considered proves only the feasibility of the proposed procedure, but

cannot obviously yield quantitative results of direct significance. Extensive application of the procedure to a population of realistic structures can be expected to provide both an assessmentof the correctness of the single-factor approach, as well as of the values to be employed.

5 ACKNOWLEDGEMENTS

This work has been carried out with partial funding by the Italian Civil Protection Agency(Progetto Esecutivo DPC-Reluis 2005-2008). This contribution is gratefully acknowledged.

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- 152 -




CONFIDENCE FACTORS FOR CONCRETE AND STEEL STRENGTH

Giorgio Monti, Silvia Alessandri

Department of Structural Engineering and Geotechnics, Sapienza University of Rome [email protected] , [email protected]

ABSTRACTThis paper proposes a Bayesian procedure for the assessment of material strength and the

calibration of Confidence Factors (CF). The Bayesian method allows to employ destructiveand non-destructive testing results to update a prior probability distribution function, takinginto account individual testing reliability. By the developed method, a reference parameter formaterials strength is evaluated as a lower confidence level for the Bayesian mean. Theconfidence factor value is calculated each time by a closed form equation and is a function ofthe Bayesian coefficient of variation of the weighted means of strength values obtained bytesting and by prior information; it depends on the number, the kind and the reliability of eachtesting procedure employed and by the reliability of prior information. These values areapplied to a design value of materials strength parameter to make it equal to the reference

parameter. The equation developed for the CF has been found by regression analysis appliedto the reference values and to the design values. An application of the proposed procedure to

eight existing buildings is also presented in this paper.

KEYWORDSConfidence Factors, reinforced concrete, strength, non destructive testing methods.

1 INTRODUCTION

The knowledge of a building is reached collecting information of different kind about theconfiguration of the structural system, as well as material strength and condition of thestructural elements. Owing to the different nature of the knowledge process and data type fora reinforced concrete structure, is better to distinguish between information obtained onmaterials strength and information obtained on amount and detailing of reinforcement.Material strength is characterized by intrinsic and epistemic uncertainties, while amount anddetailing of reinforcement is characterized by epistemic uncertainties only: collected data onone structural element are certain but don’t allow to erase uncertainties about other elements.This is the reason why it’s better to distinguish between Confidence Factors (CF) for materialstrength and Confidence Factors for reinforcing details. This paper proposes a method forcalibration of CF for materials strength based on a Bayesian procedure.

2 BAYESIAN APPROACH TO THE CALIBRATION OF CF FOR MATERIALSTRENGTH


- 153 -







The difference between the mean value of material strength evaluated on collected data andthe structural material strength is due mainly to: material intrinsic spatial variability,variability caused by workmanship (for instance not compliance with the original project,execution of structural elements in different times with different materials strength), reliabilityof testing methods and degradation of material properties with the time. The Bayesian method

allows to combine parameter’s intrinsic uncertainties with the intrinsic and epistemic datauncertainties. For this aim destructive and non – destructive testing results are separatelyemployed to up – date a prior probability distribution function of the mean value of thematerial strength, taking into account individual testing reliability. The Bayesian method has

been applied to the assessment of median concrete strength.

2.1 Prior knowledge

Prior knowledge on material strength is based on construction documents, reports, referencestandards and codes from the period of construction. From this data a mean value of the

material strength, f ' μ , and the relating variance, 2 f

' μ σ , are evaluated.

2.2 Posterior knowledge

The material strength, f , can be statistically described by a lognormal distribution function.

If the variable f is lognormal its natural logarithm, ( ) x ln f = , is a normal random variable

with mean value λ and standard deviation ζ . The posterior distribution, ( ) f Λ λ , of λ is

normal with the following statistics:

( )

( )

2 2

2 2

t t t

t t

' n''

n '

⋅ + ⋅=

+

' λ λ

λ

λ

μ ζ μ σ μ

ζ σ

(1)

(( )

2 2

22

2

t t

t t

n ' ''

n '

⋅=

+

λ

λ

λ

ζ σ σ

ζ σ (2)

where: ' λ μ and 2' λ σ are the prior mean value and variance, respectively; t μ and

2t ζ are the

mean value and variance of the natural logarithm of test results, respectively. More than onetest method can be employed performing consecutive up – dating of the probabilitydistribution function. Testing results from different methods are separately employed, takinginto account individual testing reliability. If is the destructive tests number performed

and the strength value form the i-th test, the mean sampling value of destructive testing

is:

DM n

i , f DM

( )1

DM n

i,DM i

DM DM

ln f

n==∑

μ (3)

The evaluation of the sampling variance can take into account testing errors and errors

in regression curve which provides the material resistance as a function of the testing

2

DM ζ

- 154 -



parameter:

2 2 2 DM s,DM t ,DM = +ζ ζ ζ (4)

where

2

s ,MDζ is the natural logarithm of data sampling variance, given as:

( )2

,2 1,

ln

1

DM n

i DM DM i

s DM DM

f

n=

⎡ ⎤− μ⎣ ⎦ζ =

−

∑ (5)

and is the variance of the regression curve, given as:2,t MDζ

(6)2, ,t DM t DM DM CoV ζ = ⋅μ

where is the coefficient of variation of the regression curve.t,DM CoV

When the mean value and variance are known the first updating of the statistics of thedistribution, ( ) f Λ λ of λ is possible:

( )( )

2 2

2 2

DM DM DM

DM DM

' n''

n '

⋅ +=

+

' ⋅λ λ

λ

λ

μ ζ μ μ

ζ σ

σ (7)

( )( )

2 2

22

2 DM DM

DM DM

n ' '' n '

⋅=+

λ λ

λ

ζ σ σ

ζ σ (8)

A second updating is possible using non destructive testing results:

( )( )

2 2

2

NDM NDM NDM

NDM NDM

'' n '' '''

n ''

⋅ +=

+ 2

⋅λ λ

λ

λ

μ ζ μ σ μ

ζ σ (9)

( )( )

2 2

2

'

'

22

NDM NDM

NDM NDM

n ' '''

n '

⋅=

+

λ

λ

λ

ζ σ σ

ζ σ (10)

where: is the nondestructive tests number performed and the strength value

form the j-th test; the mean sampling value of non destructive testing NDM n i,NDM f

NDM μ and the

sampling variance are evaluated as shown for destructive tests; the last can take into

account testing errors and errors in regression curve which provides the material resistance as

a function of the testing parameter. Replacing the value of

2 NDM ζ

'' λ

μ and 2'' λ

σ in the previous

equations the posterior statistics values are sought:

- 155 -



( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 21

NDM NDM DM DM

DM NDM

NDM DM

DM NDM

n

( ' )'''

nn

( ' )

+ +

=+ +

λ

λ λ

λ

σ ζ ζ μ

σ ζ ζ

2' n ⋅⋅μ μ μ

(11)

( ) ( )2 2

1 NDM DM

DM NDM

''' nn

( ' )

=

+ +λ

λ

σ

σ ζ ζ 2

1 (12)

2.3 Confidence interval on mean value

It’s possible to improve mean value’s statistics reliability by applying the confidence intervalfor the mean. What is of interest is the lower confidence limit 1 ) −< α μ , which is the value that

the population mean will be larger with a confidence level of ( )1−α . A 95% lower

confidence level is here considered:

2 1 ,inf ,n''' ''' t ''' −= −λ λ α λ μ μ σ (13)

where 2 1 ,nt −α is the value of the t-Student variate with 1n − degrees of freedom ( is the

sampling dimension) having a cumulative probability level

n

2α . Introducing the expression

of ''' λ μ in the Eq. (13) we get:

( ) ( ) ( ) 2 12 2 2 MND MND MD MD ,inf ,n MD MND

' n xn x''' ''' ''' t ( ' ) −

⎧ ⎫⎡ ⎤⋅⋅⎪ ⎪⎢ ⎥= + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

λ λ λ λ α λ

μ μ σ σ σ ζ ζ − (14)

The parameter ,inf ''' λ μ is related to the variable ( ) E ln f = ⎡ ⎤⎣ ⎦λ ; from it it’s possible to

evaluate the parameter f inf,m''' (m

(, the lower confidence limit for the Bayesian median value,

f mm''' ((

, of median value, f m(

, of the material strength, f , that is the value with a 50 %

probability:

(15) ,inf

f

'''

inf,mm''' e=(( λ μ

2.4 Definition of the design material strength

The parameter f inf,mm''' (

(represents the value for the structural assessment; in order to facilitate

its evaluation a simplified procedure can be defined. The value f inf,mm''' (

(can be obtained

scaling with an opportune CF a weighted mean, μ , of the sampling mean vales obtained by

the different testing method and the prior information:

f D m''' inf,m

FC

= ≅ ((μ

μ (16)

where:

- 156 -



1

f DM DM NDM NDM

DM NDM n n

⎡= ⎢ + +⎣ ⎦

μ ' n x n x+ ⋅ + ⋅ ⎤

⎥μ

(17)

where DM and NDM x are the sampling mean of the destructive and non destructive tests,

respectively; and are the corresponding sampling dimension. Generally, if DM n NDM n i isthe i-th testing method adopted, the material strength for the assessment is:

1i i

i

f M M i

M i

' n x

n

⎡ ⎤+ ⋅= ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

μ μ (18)

where i x is the sampling mean of the i-th testing method and in its dimension.

2.5 Calibration of Confidence Factors, CF, for concrete strength

The CF can be expressed in an explicit form as a function of the Bayesian coefficient ofvariation V μ for the median value of the material strength:

FC a c V = + ⋅ ω (19)

The parameter V μ , which estimate the reliability of available information, is defined as:

2 2

2 2

Mii

s,Mi t ,Mi

Mi Mii

s,Mi t ,Mi

n

s sV

n x

s s

+= =

⋅

+

∑

∑

μ μ

μ

σ

μ (20)

where 2 s ,Mi s and 2

t,Mi s are the sampling variance and the variance of the regression curve of

the i-th testing method, respectively. The Eq. (19) has been calibrated for concrete strength byapplying the least squares method. A Monte Carlo method has been used to simulate samplingwith destructive and non destructive testing. The simulated samplings are extracted from a

population with median concrete strengthc f m

(ranging from 10 MPa to 40 MPa and

hypothesizing the possible range of all the parameters (c

V ,c f ' ,

cV ' ,

c f ' , DM n , t,DM V ,

NDM n t,NDM ). The param c ,V eters anda , ω has been evaluated by applying the leastsquares method to the set of values Dμ calculated by the Eq. (16) w FC given by (19), and

the set of

ith

f cinf,mm''' (

(calculated by the Bayesian e described above so that the condition

given in Eq. (16) is met. The resulting equation for the CF is the following:

procedur

0 9 FC . V = + μ (21)

2.6 Defining homogeneous material strength zones

The Eq. (21) is effective if samples have been extracted from homogeneous zones of thestructure: therefore material strength homogeneous zones must be indentified beforehand.This can be made by an objective consideration of time and phases of building constructiont-Student test on the mean vales extracted from two zones can be used to validate the

- 157 -



hypothesis of non homogeneity. If non homogeneous zones are identified they must beseparately evaluated considering two different median value for concrete strength with twoCF by (21).

3 PROCEDURE FOR EVALUATION OF DESIGN MATERIAL PROPERTIESor evaluation of CF for material strength is based on the following steps:

ogeneous zones;ds to be applied;

lation to the used

e test in each homogeneous zone and evaluation of the mean value

Procedure f • acquisition of prior information;• determination of possible non hom• choice of destructive an non destructive testing metho• definition of coefficient of variation for each testing method in re

regression curves;• execution of destructiv

and variance 2 s,DM s for each zone; DM x

• execution of non destructive tests in each homogeneous zone and evaluation of the meanvalues NDM ,i x and variance 2

s,DM ,i s for each zone;

evaluati V • on of μ by Eq. (20);

4 APPLICATION TO EXISTING BUILDINGS

The proposed method has been applied to evaluation of median concrete strength for eight

• evaluation of FC by Eq. (21);

existing buildings. On each building destructive (cores) and non destructive testing

(sclerometer and ultrasonic pulse velocity) has been executed. No prior information wasavailable. Non destructive testing results have been combined by the Sonreb method, usingregression curves taken from literature with relevant coefficients of variation. Two differentcurves have been applied:

( )9 1 4 2 4461 2 10 . .c f . I V Mpa;m s Di Leo Pascale−= ⋅ ⋅ ⋅ − (22)

424 1 1 24 0 058c f . . I . V ( Mpa; Km s= − + ⋅ + ⋅ ) (23)

where I is the rebound number and is the ultrasonic pulse velocity. Under the hypothesis

t

V

that the wo parameter are independent, the mean value and the variance of concrete strengthare:

( ) NDM f I ,V = (24)

2 222 2 2 2c c

NDM I V NDM NDM I V

f f s s s V

I V

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x (25)

where and I V are the mean value of the rebound number and of the ultrasonic pulse

, respectivelocity vely; ND x is the mean value of concrete strength obtained from application

- 158 -



of Sonreb method, ( ) ND f x is expression of the regression curve; and are the

variance of the nondestructive parameters; finally, and

2 I s 2

V s

NDV is the coefficients of variation of

Sonreb curves (taken form Giannini e al. (2003)).Fig. 1 and Fig. 2 show the CF variation compared to the variation of mean values of concrete

strength obtained by destructive and nondestructive methods and to the relevant coefficient ofvariation; they point out that the CF correctly reflect the information reliability.

1.12 1.121.18 1.18

1.151.21

1.11

1.14 1.131.18 1.21 1.18

1.24

1.11

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

Baiamonti Aurelia AnticaBarberini A Barberini B Subiaco Liegi Torvergata M o

1.28

1.21

attatoi

CoV Core

CoV Sonreb 1

CoV

Sonreb

2

CF Sonreb 1

CF

Sonr

Fig. 1. CF vs coefficients of variation of testing methods (data sources ESSEBI s.r.l., Sguerri et. al . 2006)

eb

2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Baiamonti Aurelia AnticaBarberini A Barberini B Subi aco L iegi Torverg ata M attatoi o

50

Core

Sonreb1

Sonreb2

x

x

x

Fig. 2. Concrete strength mean values from DM and NDM

5 CONCLUSIONS

This paper proposes a procedure for evaluation of CF which goes beyond the definition given by Italian (OPCM 3431) and European (EC8-Part3) Codes. This is because of the different

- 159 -



nature of the knowledge process and uncertainties which characterize material strength andreinforcement detailing. The paper proposes the definition of different CF and an expressionto evaluate CF for material strength as a function of scattering of testing data and priorinformation. The proposed procedure has been calibrated on simulated cases and tested byexisting buildings material strength evaluation. The application points out that the CF

correctly reflects the information reliability.

6 ACKNOWLEDGEMENTS

This work has been carried out under the program “Dipartimento di Protezione Civile –Consorzio RELUIS”, signed on 2005-07-11 (n. 540), Research Line 2, whose financialsupport was greatly appreciated.

7 BIBLIOGRAFIA

Giannini r., Sguerri l., Ninni v. (2003). “Affidabilità dei metodi d’indagine non distruttivi per lavalutazione della resistenza del calcestruzzo”, 10° Congresso Nazionale dell’AIPND, Ravenna, pp.670-679.

Sguerri L., Paolacci F., de Felice G., Giannini R., (2006). “Stima della resistenza del calcestruzzo dellecapriate in cemento armato dell’ex mattatoio di Roma mediante misure non distruttive”; Convegno

Nazionale Sperimentazione su Materiali e Strutture, Venezia 6-7 Dicembre.OPCM 3431, 3-05-05, Allegato 2.EC8 EuroCode 8 – Part 3 ENV 1998 1-1. (2004) Design of structures for earthquake resistance

- 160 -






R C FRAME EXISTING BUILDING ASSESSMENT: CONSIDERATIONS

AND SUGGESTIONS ABOUT EC8 AND OPCM 3431 PROCEDURES

Vassilis Mpampatsikos a, Roberto Nascimbene

b, Lorenza Petrini

c

a ROSE School, Pavia, [email protected] EUCENTRE, Pavia, [email protected]

c Politecnico di Milano, Milano, [email protected]

ABSTRACT

In Italy the seismic assessment of existing structures is a priority, since the majority of the

building heritage was designed according to out-of-date or even no seismic Codes. The

uncertainties about the non-linear behavior of the structures are, therefore, relevant. In fact,

the presence and location of potential inelastic zones, as well as their ductility capacity, are, in

general, unknown. The direct consequence is that the non-linear behavior has to be treated

directly, with a considerable increase in complexity of the assessment procedures. In this

work, the attention was focused on RC frame buildings, assessed according to both OPCM

3431 and Eurocode 8-3, with the following aims: i) suggesting simplified approaches or

improvements for the assessment procedure, concerning the evaluation of both seismic

demand and capacity of the structural members; ii) checking the consistency of the shearassessment results obtained applying the two considered Codes. In order to achieve these

goals, two irregular RC frame buildings were examined, both built before 1980. Since all the

aims refer only to the structural members performance and considering the wide number of

assessed members, the conclusions drawn in this work can be judged as satisfactory.

KEYWORDS

Existing R.C. frame building, assessment procedure, chord rotation, shear assessment.

1 INTRODUCTION

In Italy most of the existing structures was designed according to out-of-date seismic or even

to non-seismic Codes. The uncertainties about the non-linear behavior are, therefore, relevant,

since, generally, the presence and location of potential inelastic zones, as well as their

ductility capacity, are unknown. For this reason, a force-based assessment, obtained using an

elastic analysis and reducing the internal forces by the behavior factor “q”, does not yield, in

general, satisfactory results. Hence, the non-linear behavior of the structure should be faced

directly, with corresponding considerable increase in complexity of the assessment procedure.

In this work, the assessment of RC frame buildings has been performed according to the

followings Codes: 1) Italian Seismic Code “OPCM 3431, Ch. 11, 03/05/2005” and 2)

Eurocode 8 “UNI EN 1998-3, August 2005”. Both Codes recommend a force-based procedure for the brittle mechanisms (shear) and a displacement-based approach for the

- 161 -



ductile ones (flexure). The evaluation of both shear and deformation capacities of thestructural members requires, in general, lengthy and not simple calculations. On the base ofthese considerations, the aims of this work may be summarized as follows. i) Suggestingsimplified approaches for the assessment procedure, concerning the evaluation of bothseismic demand and capacity of the structural members. ii) Checking the consistency of the

brittle assessment results obtained applying the two Codes. Considering that Eurocode 8suggests a more complex procedure, the aim is to show if the simpler approach proposed inOPCM may yield satisfactory results. In order to achieve the above goals, two public RCframe buildings, both located in Tuscany and built before 1980 were examined. Consideringthe wide number of assessed structural members (440 columns and 300 beams), characterized

by different shape, dimension, length and reinforcement content, the conclusions may be judged as satisfactory, although influenced by the considered numerical models.All the results shown in this work refer to the Limit State (LS) of Significant Damage (SD).

1.1 Analyzed buildings

The “Sede Comunale di Vagli Sotto”, located in Vagli Sotto (Lucca, Tuscany), designed in

1965, is a two-storey RC frame building with masonry infill. The shape of the building(Figure 1) is approximately rectangular (dimensions in plan: 27.25 m x 13.60 m), with anexpansion on one side. The frames are mono-directional and oriented parallel to the shortsides of the building. The foundation system consists in a mat slab and footings. Fromextended in-situ inspections, f cm=8.3 Mpa was obtained. From the original drawings, f ym=440

Mpa was assumed for both longitudinal and transversal steel (Feb44k). According to OPCM3274, a g =0.25g (Zone 2) was considered for the assessment at the SD LS. From geophysicaltests the soil was classified as Category B. An importance factor γ =1.4 was assumed.

Figure 1. "Sede Comunale di Vagli Sotto" Figure 2. "Scuola Elementare Pascoli”

The “Scuola Elementare Pascoli”, located in Barga (Lucca, Tuscany), designed in 1978, is a

two-storey RC frame structure with masonry infills. The shape of the building (Figure 2) isapproximately square (dimensions in plan: 40.90 m x 35.60 m). The frames are bidirectional.The foundation system is constituted by foundation beams in both principal directions. Fromextended in-situ inspections, f cm=30 Mpa was obtained. From the original drawings, f ym=440

Mpa was assumed for both longitudinal and transversal steel (Feb44k). According to OPCM3274, a g =0.25g (Zone 2) was considered for the assessment at the SD LS. From geophysicaltests the soil was classified as Category B. An importance factor γ =1.2 was assumed.

1.2 Methods of Analysis

Since both structures are irregular in plan and in elevation, the conditions for the applicabilityof the linear static analysis are not satisfied. Therefore, in this work, only the linear dynamic(response-spectrum), the non-linear static and the non-linear dynamic analyses were

performed. All the analyses were based on 3-D models, because the lack of regularity did not

- 162 -



allow to consider two planar separated models in the two principal directions. Since fixedfoundations and dynamic springs (computed according to Gazetas, 1991) yielded close resultsin terms of eigenvalue analysis, the soil-structure dynamic interaction was not considered andfixed foundations were assumed for both structures.The linear dynamic analysis was carried out using the software SAP2000, Advanced I, 10.0.7.

The modal superposition was performed applying the CQC rule, considering enough modes toobtain a cumulative modal ≥ 90% of the total mass. The pseudo-acceleration elastic spectrum,determined according to OPCM 3431, Attachment 2, was used. E c was evaluated according toFib Bulletin 24 – Appendix 4.A: Ec=0.85⋅2.15⋅104(f c/10)1/3. This formula was used because

both Codes suggest expressions valid for new constructions, that may be improper for theassessment of existing buildings.The non-linear analyses were developed through the software SeismoStruct, Version 4.0.3. Itis a non-linear fiber-model software, which accounts for both material and geometrical non-linearity. The following constitutive models of the materials were assumed for both buildings.i) Non-linear constant confinement concrete model (Mander et al., 1988), characterized by notensile strength, strain at peak stress co=0.002, unconfined ultimate strain cu=0.004. ii) bi-

linear steel model, characterized by E s=200000 MPa, strain hardening parameter μ =0.05, su=0.04 according to OPCM.The static non-linear analysis was based on 8 conventional pushover analyses: 2 distributions(“uniform” and “modal”), 2 directions and 2 signs of lateral loading. With reference to the N2method (Fajfar, 1995), using the elastic displacement response spectrum, the demand Di, thecapacity C i and the ratio Ri=|Di/Ci| of each i-th member were computed for each pushover.For each i-th member, the largest value of Ri was used to assess the response.The dynamic non-linear analysis was based on 7 non-linear time history analyses. For eachanalysis, for each i-th structural member, Ri was evaluated in correspondence to: i) themaximum and the minimum Di; ii) the maximum and the minimum axial load N i, in order tominimize C i. Since 7 different accelerograms were used, the assessment was based on themean value of the maximum Ri obtained from each time history analysis. All theaccelerograms were artificially generated, according to the attenuation law proposed bySabetta and Pugliese, 1996, and then modified to match the elastic spectrum at SD LS.

1.3 Ductile Mechanisms – simplified approach for the chord rotation demand

According to both Codes, the ductile mechanisms are assessed through the comparison between the chord rotation demand and the corresponding capacity at both ends of eachstructural element (beams and columns).The chord rotation demand is the angle defined by the chord connecting the member end tothe point of contraflexure (M=0) and by the tangent at the member end (Figure 3.(a)).

Therefore, each structural member is considered as formed by 2 cantilevers, fixed at themember ends and characterized by a length equal to the shear span L s:

V

M L s = (1)

where M and V are the bending moment and the shear demand, respectively.Denoting as 1 the nodal rotation of the considered member end and as 2 the drift at the endof the shear span, the chord rotation demand of columns c is obtained as 2- 1 (Figure 3.(b)). Under seismic input, since the building is pushed laterally by the ground motion, 2>> 1.Hence, the chord rotation demand of columns may be computed as c = 2- 1 ≈ 2.

The assessment of beams chord rotation demand b is more complicated, due to the presenceof gravity loads. Considering the beam response as the superposition of 2 systems (beam

- 163 -



unloaded and end sections undergoing the nodal rotations due to the seismic input; beam fixedat both ends, loaded by gravity loads), b may be seen as 1+ 2 (Figure 3.(c)).The nodalrotations due to seismic loads, in general, are much larger than the drifts due to gravity loads.The importance of gravity loads decreases with increasing the ground motion intensity.Therefore, in general (and in particular at SD and NC LS), there will be no appreciable lack of

accuracy if 2 is neglected: b = 1+ 2 ≈ 1.

θ1

θθ2

θ1

θ

θ2

θ1

θ2

Chordrotation

Shear spanLs=M/V

(a) (b) (c) Figure 3. (a) Definition of chord rotation; (b) Chord rotation of columns; (c) Chord rotation of beams

1.4 Ductile Mechanisms – simplified approach for the chord rotation capacity

The chord rotation capacity θu depends on geometrical and mechanical properties of themember but also on the seismic input ( M and V determine L s, while N influences theassessment of curvature capacity). Hence, θu can not be defined as an intrinsic property of amember. The correct approach, therefore, is to compute θu as a function of the seismicdemand. Actually, the assessment would be much simpler and faster if it were possible toeliminate the demand dependence and also to replace complex theoretical calculations withsimpler empirical formulas. In this work, through a sensitivity analysis, simplified approacheswere examined and suggested whenever they yield reliable results.Both Eurocode 8 and OPCM propose two possible approaches, one based on theoreticalassumptions and the other on experimental results. The empirical expression of θu is:

( ) ( )( )

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅= c

yw sx

f

f 35.0

s

225.0

cu 25

h

L

CF

f

;01.0max

' ;01.0max3.0016 .0

5.1

1 αρ ν

ω

ω θ (2)

where: ν =(N ⋅ CF)/(Ac⋅ f c ), N positive for compression; ρ sx=A sx /bw⋅ sh , A sx being the transverse

steel parallel to the loading direction; α =(1-sh /2b0 )⋅ (1-sh /2h0 )⋅ (1- ∑ bi

2

/(6h0⋅ b0 )), is theconfinement effectiveness factor; CF is the so-called “Confidence Factor” (introduced to penalize the assessment in function of the knowledge level of the structural properties).Eq.(2) is demand-dependent (it depends on both L s and N ). N should be obtained from theanalysis under the seismic load combination. Hence, if a dynamic analysis is performed, adouble assessment procedure will be required (corresponding to N max and N min). If it were

possible to consider N due only to the gravity loads (which is roughly the mean N that thecolumns undergo during a seismic input), the number of required operations would be halved.The comparison of the results obtained using gravity N with those found considering seismic

N is shown in Figure 4, which refers to the percentage of not verified elements obtainedthrough the non-linear static analysis, for the “Sede Comunale di Vagli Sotto”. Figure 4

shows that seismic N leads to a very small (practically negligible) increase in the percentageof not verified elements with respect to that obtained considering gravity N . Analogous results

- 164 -



were found for both buildings, for all methods of analysis. Therefore, for the consideredstructures, the procedure may be simplified. This topic, however, needs more investigation. Infact, for buildings slender and taller than those analyzed, the seismic variation of N in

perimetral columns may be substantial, leading to a large reduction of their ductility capacity.

NOT VERIFIED ELEMENTS - DUCTILE MECH. - EMPIRICAL FORM.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A ll E le me nt s A ll B ea ms A ll Co lu mn s 1 st F lo or C ol 2 nd F lo or C ol 3 rd F lo or C ol R oo f Co l

%

NON LIN. STAT. - EC8 - N GR AV

NON LIN. STAT. - EC8 - N SEISM

NOT VERIFIED ELEMENTS - DUCTILE MECH. - EMPIRICAL FORM. -

N SEISMIC

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A ll El em en ts A ll Be am s A ll Co lu mn s 1 st F lo or Co l 2 nd F lo or Co l 3 rd F lo or Co l R oof C ol

%

NON LIN. DYN. - EC8 - L /2

NON LIN. DYN. - EC8 - M/V

Figure 4. “Sede Comunale di Vagli Sotto”, non-linear static analysis, gravity N vs seismic N

Figure 5. “Sede Comunale di Vagli Sotto”, non-linear dynamic analysis, Ls=M/V vs Ls=L/2

The application of Eq.(1) will not be trivial if a linear dynamic analysis is carried out, for twodifferent reasons: i) M and V are given as envelope values; ii) M and V grow indefinitely,while, when yielding at one or both ends of a structural member take place, M can not growlinearly anymore and, therefore, L s is likely to change with respect to its elastic value.Computing L s according to Eq.(1) may be, hence, complex and long. A possible simplificationcould be assuming L s equal to half the member length ( L s=L/2). In this work, the reliability ofthis simplification was tested by comparing the results obtained considering Eq(1) to thosefound by assuming L s=L/2. The results are shown in Figure 5, which refers to the percentageof not verified elements obtained through the non-linear dynamic analysis, for the “SedeComunale di Vagli Sotto”. Applying Eq.(1) the percentage of not verified elements undergoesa negligible increase with respect to that obtained assuming L s=L/2. Analogous results werefound for both buildings, for all methods of analysis. Hence, the procedure may be simplified.The theoretical expression for the ultimate chord rotation capacity of structural members is:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+=

s

pl

pl yu yu L2

L1 L

5.1

1φ φ θ θ (3)

where θ y=φ y⋅ L s /3+0.0013(1+1.5⋅ h/L s )+0.13φ y⋅ d b⋅ f y /(f c )0.5 is the yielding rotation and

L pl =0.1L s+0.17h+0.24⋅ d bl ⋅ f y⋅ (CF/f c )0.5 is the plastic hinge length. In order to compute the

ultimate curvature φu, section failure was conventionally considered to take place when themoment capacity Mc drops at 80% of its peak value, Mc,peak . If the spalling of concrete covercauses a drop > 20% Mc,peak , the curvature at spalling will be considered as φu. If, instead, Mc computed considering only the confined core of the section is > 80% Mc,peak , φu will beobtained at the failure of confined concrete core. The confinement model for the compressiveconcrete advised in EN 1992-1-1 was used. Since the correct procedure to evaluate the θu according to Eq(3) is complex and long, in this work attempts to propose simplifiedapproaches were developed. Available experimental results (Priestley, 2003) showed that φy issensitive only to h of the section and to sy of the longitudinal tensile steel. In this work, φy was computed in 4 different ways: i) according to the theoretical approach; ii) according tothe empirical formula proposed by Priestley, 2003 (Eq.(4)); iii) according to the empirical

expression suggested by Biskinis, 2006 (Eq.(5)).

- 165 -



)columns( h

1.2 );beams. secT (

h

7 .1 );beams.rect (

h

87 .1 sy

y

sy

y

sy

y

ε=φ−

ε=φ

ε=φ (4)

h y

75.1 syε φ = (5)

The comparison of the results obtained applying the different ways to evaluate φy is shown inFigure 6, which refers to the percentage of not verified elements obtained through the non-linear dynamic analysis, for the “Sede Comunale di Vagli Sotto”. Applying the theoreticaldefinition of φy, the percentage of not verified elements experiences a very small increase(less than 10%) with respect to that obtained considering Eqs.(4)–(5). Analogous results werefound for both buildings, for all methods of analysis. Hence, the procedure may be simplified.

NOT VERIFIED ELEMENTS - DUCTILE MECH. - THEORETICAL

FORM. - LS=M/V, N SEISMIC

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A ll E le me nt s A ll Be am s A ll Co lu mn s 1 st F lo or Co l 2 nd F lo or Co l 3r d Fl oo r C ol R oo f C ol

%

NON LIN. DYN. - EC8 - T H. FI

NON LIN. DYN. - EC8 - FI BISKINIS

NON LIN. DYN. - EC8 - FI PRIESTLEY

NOT VERIFIED ELEMENTS - DUCTILE MECH. - THEORETICAL

FORM. - N SEISMIC, THEORETICAL Y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A ll El em en ts A ll Be am s A ll Co lu mn s 1 st F lo or Co l 2 nd F lo or Co l 3 rd F lo or Co l R oo f C ol

%

NON LIN. DYN. - EC8 - L/2

NON LIN. DYN. - EC8 - M/V

Figure 6. “Sede Comunale di Vagli Sotto”, non-linear dynamic analysis, theoretical vs empirical y

Figure 7. “Sede Comunale di Vagli Sotto”, non-linear dynamic analysis, Ls=M/V vs Ls=L/2

The results obtained through Eq.(3) are very sensitive to L s. In fact, it may happen that, if L s is

computed according to Eq.(1) and if M at the considered member end is particularly low, L s will be low too, possibly shorter than L pl . In particular, if L pl >2L s, θu will be < than θy or evennegative. The results obtained considering both Eq.(1) and L s=L/2 were compared to checkthe sensitivity of Eq.(3) to the way of computing L s. Figure 7 refers to the percentage of notverified elements obtained through the non-linear dynamic analysis, for the “Sede Comunaledi Vagli Sotto”. Applying Eq.(1), the percentage of not verified elements is much larger thanthat obtained assuming L s=L/2. The reason for this difference is that θu may be seriouslyunderestimated when L pl >2L s.

NOT VERIFIED ELEM. - DUCTILE MECH. - EC8

100

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

VAGLI - All

Elem.

VAGLI - All

Beams

VAGLI - All Col. BARGA - All

Elem.

BARGA - All

Beams

BARGA - All

Col.

%

NON LIN. STAT. - EMP. - Ls = M/V

NON LIN. STAT. - EMP. - Ls = L/2

NON LIN. STAT. - TH. - Ls = M/VNON LIN. STAT. - TH. - Ls = L/2

NOT VERIFIED ELEM. - DUCTILE MECH. - EC8 - CORRECT (LS=M/V,

N SEISMIC, BIAXIAL BENDING, THEORETICAL Y) vs SIMPLIFIED

(LS=L/2, N GRAV, M ONOAXIAL BENDING, EMPIRICAL Y)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

VAGLI - All

Elem.

VAGLI - All

Beams

VAGLI - All Col . BARGA - All

Elem.

BARGA - All

Beams

BARGA - All

Col.

%

NON LIN. STAT. - EMP. - CORR.

NON LIN. STAT. - EMP. - SIMPL.NON LIN. STAT. - TH. - CORR.

NON LIN. STAT. - TH. - SIMPL.

Figure 8. Both buildings, non-linear static analysis,empirical and theoretical u, Ls=M/V vs Ls=L/2

Figure 9. Both buildings, non-linear static analysis,correct vs simplified approaches, empirical vs

theoretical u

In order to establish which approach (Eq.(1) or L s=L/2) gives more reliable results, the percentages of not verified elements, obtained applying both Eq.(1) and L s=L/2 to both Eq.(2)

- 166 -



and Eq.(3), were compared. Figure 8 shows that the results obtained applying both Eq.(1) and L s=L/2 to Eq.(2) and L s=L/2 to Eq.(3) are very similar, but totally different from thoseobtained applying Eq.(1) to Eq.(3). Analogous results were found for all methods of analysis,for both buildings. Hence, concerning Eq.(3), there is the need of considering L s=L/2, sincethe use of Eq.(1) yields results which are too sensitive to L s. This conclusion is remarked in

Figure 9, which shows the comparison among the results obtained considering both thecorrect and the simplified approach of Eq.(2) and Eq.(3). The simplified approach ischaracterized by the following assumptions: N from gravity loads; L s=L/2, empiricalexpressions (Eqs.(4)–(5))of φ y. It is clear that the simplified approach may be used withoutany loss of accuracy, while the use of the correct approach of Eq.(3) is not advised, as it leadsto inaccurate result, due to the excessive sensitivity to L s.

1.5 Brittle mechanisms - Shear capcity assessment

The brittle mechanisms are assessed at the section level, through the comparison between theshear demand and the corresponding capacity at both ends of each structural member.OPCM suggests to compute the shear resistance VR as in a non-seismic design, with the onlyrestriction of considering a contribution of the concrete not larger than that of the samemember without lateral reinforcement. In this work, the approach proposed in D.M.1996 wasused. Accordingly, the Mörsch-Ritter truss with 45% inclined compressive concrete strutswas assumed as resisting model. V R, hence, was computed as the minimum value between theshear that causes the transverse reinforcement to yield in tension and the one that leads to thediagonal compressive failure of the concrete web: V R=min(V c+V w;V c,max ).Eurocode 8, instead, takes into account the effects of both cycling loading and inelasticresponse in the assessment of VR :

( )[ ]( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⋅⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎪⎩

⎪

⎨

⎧⋅−+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⋅

−=

wc

c

cm stot

pl

dem ,c

cm

c s R

V ACF

f

h

L;5min16 .01100;5.0max16 .0

;5min05.01CF

f A55.0; N min

L2

xh

15.1

1V

γ ρ

μ γ θ

(6)

According to Eq.(6), VR decreases when the plastic part of the chord rotation ductility demandμθ,dem

pl increases. Beyond μθ,dem pl = 5, assuming x constant ( x does not change significantly

once plastic moment developed), V R will remain constant at its lowest value. The comparison between the results obtained applying both Codes is shown in Figure 10, which refers to the percentage of not verified elements obtained through the linear dynamic analysis, for both buildings. It emerges that the non-seismic approach suggested in OPCM tends to overestimateVR and, hence, to underestimate the percentage of not verified elements. Analogous resultswere found for all methods of analysis. Therefore, the use of the procedure suggested inEurocode 8 is recommended. Since the formula proposed in OPCM is judged as inadequate,in the following only the results obtained according to Eurocode 8 will be shown.

- 167 -



NOT VERIFIED ELEMENTS - BRITTLE MECH. - N SEISMIC, L S=M/V,

THEORETICAL Y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

VAGLI - All

Elem.

VAGLI - All

Beams

VAGLI - All Col. BARGA - All

Elem.

BARGA - All

Beams

BARGA - All

Col.

%

NON LIN. DYN. - OPCM

NON LIN. DYN. - EC8

NOT VERIFIED ELEMENTS - BRITTLE MECH. - LS=M/V,

THEORETICAL Y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

All Elements All Beams All Columns 1st Floor Col 2nd Floor Col

%

LIN. DYN. - EC8 - N GRAV.

LIN. DYN. - EC8 - N SEISM.

Figure 10. Both considered buildings, non lineardynamic analysis, EC8 vs OPCM 3431

Figure 11. “Scuola Elementare Pascoli”, lineardyn. analysis, EC8, gravity N vs seismic N

Eq.(6) is function of N , φ y and L s. In this work, the possibility of adopting simplifiedapproaches (gravity N , empirical φ y and L s=L/2) was tested. The comparison between the

results obtained considering seismic N and gravity N is shown in Figure 11,which refers to the percentage of not verified elements obtained through the linear dynamic analysis, for the“Scuola Elementare Pascoli”. Seismic N and gravity N yield close percentage of not verifiedelements. Analogous results were found for both buildings, for all methods of analysis. It is,therefore, possible to simplify the procedure. The comparison between the results obtainedconsidering Eq.(1) and L s=L/2 is shown in Figure 12, which refers to the percentage of notverified elements obtained through the non-linear dynamic analysis, for the “ScuolaElementare Pascoli”. Applying L s=L/2, the percentage of not verified elements undergoes anegligible increase with respect to that obtained considering Eq.(1). Analogous results werefound for both buildings, for all methods of analysis. Hence, the procedure can be simplified.

NOT VERIFIED ELEMENTS - BRITTLE M ECH. - EC8 - N SEISMIC,

THEORETICAL Y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


%

NON LIN. DYN. - M/V

NON LIN. DYN. - L/2

NOT VERIFIED ELEMENTS - BRITTLE MECH. - EC8 - N SEISMIC,

LS=M/V

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


%

NON LIN. DYN. - THEOR. FI

NON LIN. DYN. - BISKINIS FI

NON LIN. DYN. - PRIESTLEY FI

Figure 12. “Scuola Elementare Pascoli”, non-lineardyn. analysis, EC8, Ls = M/V vs Ls = L/2

Figure 13. “Scuola Elementare Pascoli”, non-lineardyn. analysis, EC8 theoretical vs empirical y

The comparison among the results obtained considering the theoretical and the empiricalformulas of φ y is shown in Figure 13,which refers to the percentage of not verified elementsobtained through the non-linear dynamic analysis, for the “Scuola Elementare Pascoli”.Theoretical and empirical ((Eq.(4)–(5)) formulas of φ y yield very close results. Analogousresults were found for both buildings, for all methods of analysis. The procedure, hence, can

be simplified. Figure 14 refers to the percentage of not verified elements obtained for the non-linear dynamic analysis, for both buildings, considering both correct and simplified (gravity

N , L s=L/2,empirical φ y) approaches. It is clear that the simplified approach may be appliedwithout any significant loss in precision.

- 168 -



NOT VERIFIED ELEMENTS - BR

SEISMIC, LS=M/V, THEORETIC

LS=L/2, EMP

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

VAGLI - All

Elem.

VAGLI - All

Beams

VAGLI - All

%

ITTLE MECH. - EC8 - CORRECT (N

AL Y) vs SIMPLIFIED ( N GRAV,

IRICAL Y)

C ol . B AR GA - A ll

Elem.

BARGA - All

Beams

BARGA - All

Col.

NON LIN. DYN. - CORR.

NON LIN. DYN. - SIMPL.

Figure 14. Both buildings, non-linear dynamic analysis, EC8, correct vs simplified approach

2 RINGRAZIAMENTI

The authors would like to thank the “Servizio Sismico della Regione Toscana” for making thedata (architectural and structural drawings, descriptive details, results of in-situ testing, etc)available for this study. The authors would also like to acknowledge Dr. Rui Pinho for theuseful discussions on the subject and the support in the numerical analyses and to thank theEUCENTRE Geotechnical Staff for its precious assistance.

3 BIBLIOGRAFIA

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- 169 -

http://www.seismosoft.com/

http://www.seismosoft.com/




DEFINIZIONE DI UNA PROCEDURA PER LA DETERMINAZIONE

STATISTICA DI UN MODELLO DI CAPACITÀ

Giorgio Monti a, Silvia Santini b, Silvia Alessandri a

a Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, “Sapienza” Università di Roma [email protected] , [email protected]

b Dipartimento di Strutture, Università Roma Tre, Roma, [email protected]

ABSTRACTLa possibilità di integrazione tra diversi gruppi di ricerca a livello mondiale passa per ladefinizione di regole generali che garantiscano l’armonizzazione delle procedure. In

particolare occorre definire i passi da seguire per la definizione dei modelli di capacità dainserire nei codici di progetto, quali: definizione del set up delle prove sperimentali,grandezze da misurare e registrare, identificazione delle variabili di base che influenzano ilfenomeno, distinzione tra valori medi ed altri frattili, disaggregazione del modello in partidiverse per tenere conto degli aspetti fisici, probabilistici e di adattamento ai risultatisperimentali. In questo modo i risultati delle prove sperimentali eseguite da diversi gruppi diricerca possono essere facilmente scambiati e utilizzati, anche allo scopo di calibrare i

coefficienti parziali di sicurezza. Il presente lavoro fornisce una proposta di definizione diuna procedura per la calibrazione di un modello di capacità e la sua applicazioneall’equazione che definisce la resistenza alla delaminazione dei rinforzi in FRP applicatiesternamente ad elementi in cemento armato.

PAROLE CHIAVEProgettazione sulla base di dati sperimentali; modelli di capacità, prove sperimentali,resistenza alla delaminazione dei rinforzi in FRP; calibrazione.

1 INTRODUZIONEL’obiettivo del presente lavoro è di cercare di armonizzare le procedure per lo sviluppo delleequazioni di progetto da includere nella normativa, con l’idea che queste presentino tutte unlivello di affidabilità uniforme. La procedura proposta, sebbene ancora in fase di studio,consente a diversi ricercatori di scambiare e confrontare dati e risultati sperimentali, al fine diverificare accuratezza e robustezza delle equazioni proposte, facilitando l’identificazione dieventuali fonti di errore. Tale procedura consente inoltre la calibrazione dei coefficienti

parziali di sicurezza. Per meglio comprendere la trattazione del problema, è opportuno farealcune considerazioni preliminari legate allo sviluppo dei modelli di capacità. Dal punto divista degli autori, tutti i modelli di capacità dovrebbero interpretare gli aspetti meccanici

attraverso una formulazione analitica concepita a priori, indipendentemente da qualsiasisperimentazione. Il confronto con i risultati sperimentali dovrebbe avvenire solo dopo la


- 170 -





formulazione del modello, per verificarne significatività ed accuratezza. In realtà, non tutti imodelli disponibili in letteratura sono basati su un approccio così rigoroso; ad esempio, laloro formulazione può derivare da analisi di regressione fra dati numerici ed evidenzasperimentale, in cui si trascura l’interpretazione meccanica e la natura fisica dei fenomeni. Ingenerale, un modello predittivo dovrebbe esprimere il comportamento di un dato fenomeno in

termini di media. In tal senso, i modelli di capacità dovrebbero cogliere il valore medio deirisultati sperimentali disponibili per il confronto e dovrebbero sempre essere accompagnati dauna misura dell’errore in termini di dispersione attorno al valore medio. Un errore ricorrentenelle procedure presenti in letteratura è il seguente: si sviluppa un modello descritto da unafunzione in cui la capacità dipende da un certo numero di variabili di base per le quali siassume, in base al supporto sperimentale, il valore medio. Il valore di progetto della capacitàviene spesso semplicemente ricavato introducendo nel modello il valore medio delle variabiliin gioco senza tener conto del fatto che ciò sarebbe corretto solo nel caso in cui si abbia a chefare con relazioni lineari. In sintesi, se si ha una formula predittiva del tipo ( )t t r g X = , in cui

X è il vettore delle variabili di base, in generale si ha che ( )tk t k r g X ≠ ed ( )td t d r g X ≠ . La

trasformazione di un modello predittivo in uno di progetto dovrebbe avvenire in modorigoroso, considerando la distribuzione di probabilità della funzione al fine di ottenere ilfrattile desiderato. Una razionalizzazione della procedura favorirebbe il confronto all’internodella comunità scientifica con l’obiettivo di ottenere delle proposte con un livello uniforme diaffidabilità.La procedura proposta ha inoltre il pregio di distinguere le responsabilità ed i ruoli dellefigure che intervengono nello sviluppo delle equazioni di progetto: da una parte c’è laconcezione del modello teorico con attenzione all’interpretazione analitica del fenomenomeccanico, dall’altra c’è la sperimentazione che consente di affinare l’interpretazione data.Infine, c’è un’ultima fase, di chiara natura statistica, in cui vengono introdotti gli aspetti

probabilistici per la finalizzazione progettuale. In quanto segue, tutti i concetti qui introdottisaranno affrontati in dettaglio e quindi applicati ad un modello assunto quale esempioapplicativo.

2 DESCRIZIONE DELLA PROCEDURA

La procedura di sviluppo del modello di capacità, di seguito descritta in tutti i suoi passi, siispira all’Eurocodice 0 (EN- 1990) e si basa su tre ipotesi essenziali: che sia disponibile unnumero sufficiente di prove, che si abbiano misure di tutte le proprietà geometriche e deimateriali, che tutte le variabili aleatorie siano a distribuzione Normale.

Passo 1: definizione del modello di capacità

Il modello deriva dall’interpretazione meccanica della capacità basata sulla conoscenza a priori dei meccanismi resistenti, a differenza dei modelli a posteriori che si ottengono daanalisi di regressione di risultati sperimentali. Il modello può essere espresso da:

( )t t r b g X = ⋅ (1)

in cui ( )t X è la resistenza in funzione di tutte le variabili di base X per lo stato limite

considerato e b è un parametro calibrato ai minimi quadrati, che tiene conto di eventualivariabili non incluse nel modello (ad es. perché ritenute irrilevanti o perché i loro effetti non

sono bene compresi o per semplicità del modello).

- 171 -



Passo 2: Misurazione dei parametri di base X

Il modello meccanico deve essere poi validato sulla base dei risultati sperimentali. A tal finetutti i parametri geometrici e meccanici devono essere misurati in uno dei seguenti metodi: prelievo di carota dal provino ancora integro, prima dell’esecuzione della prova; asportazione di una porzione del provino; prove non distruttive previa appropriata taratura delle medesime;

Nel caso non sia possibile effettuare misurazioni dei parametri di base su ciascun provino, si può ricorrere a valori medi ottenuti da prove distruttive su campioni appositamente preparati.Il numero “sufficiente” di prove da eseguire è tale che: se si dispone di dati sul singolo provino è sufficiente una sola prova per ogni combinazione

delle variabili di base Xi e la calibrazione avviene in termini di valori puntuali; se si dispone dei valori medi è necessario eseguire almeno 5 prove per ciascuna

combinazione delle variabili di base Xi dalle quali ottenere una stima ragionevole Xkm deivalori medi; in questo caso il valore sperimentale da utilizzare per la calibrazione è lamedia delle prove eseguite per ciascuna combinazione di variabili di base Xi.

Passo 3. Calibrazione del coefficiente correttivo b.Allo scopo di migliorare il modello meccanico, il parametro b viene calibrato minimizzandola differenza tra valori teorici, , e sperimentali, :t r er

o( )2

min ti eii r r ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ( )2

min tkm ekmk r r ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦∑ (2)

in cui: è il valore teorico della capacità calcolato sui valori puntuali Xi delle variabili di

base ed è il corrispondente valore sperimentale ottenuto dall’i-esima prova, è il valore

teorico calcolato sui valori medi Xkm delle variabili di base ed è il corrispondente valore

sperimentale ottenuto come media dal’k-esimo gruppo di prove. Se la differenza tra il valoreteorico e quello sperimentale fosse troppo elevata (ad esempio, più del 40% in termini

di valori normalizzati) occorrerebbe:

tir

eir

t r

tkmr

ekmr

er

riformulare il modello teorico per meglio interpretare i fenomeni meccanici considerati; arricchire il modello introducendo le variabili trascurate; aumentare il numero di prove sperimentali per affinare il parametro correttivo b .

Passo 4. Definizione del modello probabilistico della capacità

Il modello di capacità sopra definito assume la seguente forma probabilistica:

( )t t r r b g X = ⋅ = ⋅ ⋅δ δ (3)

in cui δ è la variabile di errore normale con valore medio 1m =δ e deviazione standard δ σ .

Se si dispone di misure delle variabili di base per ciascuna prova, l’errore corrispondente è:

( )ei ei

iti t i

r r

r b g X = =

⋅δ (4)

in cui e r sono valori puntuali della capacità teorica e sperimentale, rispettivamente, per

l’i-esima prova. La deviazione standard dell’errore viene stimata mediante la deviazione

standard campionaria:

tir ei

- 172 -



( )

1

1

numero di prove eseguite1

n

iiˆ , n

n=

−= =

−

∑δ

δ

σ (5)

Se si dispone di misure delle variabili di base per ciascuna combinazione k delle variabili,l’errore viene valutato sui valori medi della resistenza per ciascun gruppo di prove:

( )km km

km

e ek

t t

r r

r b g X = =

⋅δ

km (6)

La deviazione dell’errore viene stimata mediante la deviazione standard campionaria:

( )1

1

numero di prove eseguite1

m

k k ˆ , m

m

=−

= =−

∑

δ

δ

σ (7)

Passo 5. Stima dei momenti della capacità

Il valore medio della capacità deve essere stimato partendo dalle sue statistiche, nel’ipotesi didistribuzione normale. Per la funzione generica ( )t t r r b g X = ⋅ = ⋅ ⋅δ δ l’approssimazione del

primo ordine del valore medio è ( 1m =δ ):

( ) ( )Em t r r b m g X = ≅ ⋅ (8)

L’approssimazione del primo ordine della varianza è:

( ) ( ) ( ) ( )2 2Var Var Var Covn

i i i j ii i j i

r c X c c c X X ≠

⎡ ⎤ j

⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∑ ∑δ δ (9)

in cui ii m m X ,

r c

X

∂=

∂δ

em m X ,

r c

∂=

∂δ

δ δ sono i valori delle derivate parziali della funzione r

rispetto alle variabili di base e all’errorei X δ , rispettivamente, calcolate in corrispondenza

dei valori medi delle variabili di base e in cui la covarianza ( )Cov i j X X è data da:

( ) ( )( ) ( )( )1

1Cov E

n

i j i im j jm il iml jl jml l

X X X X X X X X X X n =

⎡ ⎤= − − = − −⎣ ⎦ ∑ (10)

Se le variabili di base si possono considerare statisticamente indipendenti l’ultimo terminedella (9) è nullo.

Passo 6. Stima del valore caratteristico della resistenza

Il valore caratteristico della resistenza viene infine calcolato come noto da:k r

( )

1 21 64 Var

k mr r . r = − ⋅ ⎤

⎦ (11)

- 173 -





2max,t f f fd f G b f f c ct F b t f b k k t E f f = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (13)

(b f = larghezza del foglio/lamina di FRP). Il valore ottenuto è 0 107Gk .= .

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 8

F m a x , t

F max ,e

Prove sperimentali :

0

Cahajies et al. (1996)

Miller and Nanni (1999)

Pellegrino et al. (2005)

Brosens (2001)

Nakaba et al. (2001)

Fig. 1. Comparazione tra risultati teorici e sperimentali

3.4 Definizione del modello probabilistico della funzione di capacità

In accordo con l’Eq. (3), il modello probabilistico assunto è definito dalla seguenteespressione:

2 G b f c ct

fd f

k k E f f

f t

⋅ ⋅

= ⋅δ (14)

Le variabili di base f E , c f e

ct f sono state considerate tra loro statisticamente indipendenti,

con coefficienti di variazione assunti pari a:c f V =

ct f V = 0.2, f E V = 0.0. L’errore δ è stato

calcolato come rapporto tra valore teorico e sperimentale della forza massima di aderenza; per esso la varianza, ottenuta sulla base dei risultati delle prove sperimentali, è risultata:max F

( )Var Var 0 12max,e

max,t

F .

F

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

δ = (15)

3.5 Stima del valore medio e della varianza del modello di capacità

In accordo con l’Eq. (8), il valore medio della resistenza alla delaminazione è espresso dalla:

2 G b fm cm ctm fdm

f

k k E f f f

t

⋅ ⋅= (16)

mentre la varianza, espressa in forma semplificata, è data da:

- 175 -



( ) ( )2 2 22 1 1 1Var V V V Var

4 16 16 f c ct

G b fm cm ctm fd E f f

f

k k E f f f

t

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⎡ ⎤= ⋅ + +⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦δ (17)

3.6 Stima del valore caratteristico del modello di capacità

Il valore caratteristico di fd f si ottiene applicando l’Eq. (11), con il valore medio fdm f

calcolato mediante l'Eq. (16) e i coefficienti di variazione indicati nel par. 4.4:

20 4 G b fm cm ctm

fdk f

k k E f f f .

t

⋅ ⋅= (18)

Si nota che: a) nell’equazione che fornisce il valore caratteristico della capacità compaiono ivalori medi delle variabili di base, b) la loro variabilità è contenuta in un coefficiente esterno(0.4) che include anche l’errore del modello, c) il coefficiente k G ha il significato di un

coefficiente correttivo.

3.7 Verifica delle proprietà dell’errore

1) Verifica dell’ipotesi di normalità del’errore (normalità dei residui):1.a) Costruzione del grafico di probabilità normale:I dati relativi all’errore del modello, δ , ricavati sulla base dei dati sperimentali di letteratura eriportati in Alessandri et al., sono stati ordinati in modo crescente e riportati su un grafico infunzione della probabilità cumulativa ( )1m n + . Il grafico risultante (Fig. 2) mostra una

tendenza lineare che approssima la retta passante per i punti ( )0 5 1m. , =δ e ( )844 1 3. , .=δ 0 8 46.

, in cui mδ è il valore medio dell’errore del modello δ , e 84 1 346. m .= + =δ δ δ σ

è il valor con

a funzione di distribuzione di probabilità normale è pertanto applicabileal modello di errore considerato.

e

probabilità p = 0.84; l

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00

E r r

o r e d e l m o d e l l o ,

Probabilità cumulativa= m/(N+1)

Normale (1,0.35)

dati

Fig. 1. Errore del modello riportato su un grafico di probabilità.

1.b) Test di Kolmogorov-Smirnov per la normalità dei residui:La validità dell’assunzione del modello di distribuzione Normale è confermata anche

dall’esecuzione del test di Kolmogorov-Smirnov , che viene effettuato mediante il seguente procedimento:

- 176 -



1. Per un campione di dimensione n i cui dati sono ordinati in modo crescente, viene definita

una funzione di distribuzione cumulativa:

( )

10

1

n h

n

h

S n

<⎧⎪⎪

n= ≤ <⎨⎪≥⎪⎩

δ δ

δ δ δ δ

δ δ

(19)

2. Viene calcolata la massima differenza tra ( )nS δ e la distribuzione cumulativa teorica

(CDF) ( ) ( m F N ,= )δ δ δ σ (Fig. 3).

( ) ( ) 0 177n n D max F S .= − =δ

δ δ (20)

3. Il valore osservato viene confrontato è comparato con il valore criticon D n Dα

(fornito dauna apposita tabella), che è il valore per il quale:

( ) 1n n P D D≤ = −α α (21)

Il test è stato eseguito ad un livello di significatività al 5% ( 0 05.=α ). Il valore critico di

è stato calcolato per interpolazione numerica; poiché è risultato che la massima

differenza è minore di , si può concludere che l’ipotesi di distribuzione Normale è

verificata con un livello di significatività del 5%.

0 286n D .=α

0 286n D .=α

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80

F u n

z i o n e d i d i s t r i b u z i o n e c u m u l a t i v a ,

C D F

Errore del modello,

Sn(d)

CDFDn

S n(δ)

Fig. 2. Funzione di distribuzione cumulativa dell’errore del modello δ

2) Verifica dell’ipotesi di omoschedasticità dell’errore:Per verificare l’ipotesi di omoschedasticità dell’errore i residui vengono diagrammati infunzione della forza massima di aderenza teorica (max,t F

m

Fig. 4); i punti sul grafico coprono

un’area omogenea intorno alla retta orizzontale per 1=δ ; questo significa che la varianza

dei residui non varia rispetto alla variabile indipendente e il modello è ben specificato.

- 177 -



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0 10 20 30 40 50 60 70 8

E r r o r e d e l m o d e l l o ,

F max ,t

0

Prove sperimental i:

Cahajies et al. (1996)

Miller

and

Nanni

(1999)

Pellegrino

et

al.

(2005)

Brosens (2001)

Nakaba et al. (2001)

Fig. 3. Verifica dell’ipotesi di omoschedasticità dei residui

Il valore caratteristico della resistenza alla delaminazione ottenuto seguendo la metodologia proposta è stato confrontato con quello determinato mediante il modello descritto nel CNRDT-200/2004. In questo documento il parametro è stato calibrato sulla base dei dati

sperimentali in modo da ottenere direttamente il valore caratteristico diGk

fd f . Dall’analisi

statistica dei risultati delle prove è stato ricavato il valore medio del parametro :

, con deviazione standardGk

0 064mGk .= 0

Gk .023=σ ; il percentile 5% della distribuzione

statistica è pertanto risultato . Per calcolare il valore caratteristico della resistenza

alla delaminazione sono stati introdotti direttamente nell’equazione di capacità i valoricaratteristici della resistenza a compressione del calcestruzzo,

0 026k Gk .=

ck f , e del parametro

(arrotondato a 0.03), e i valori medi di tutte le altre variabili:Gk

2 f Gk b ck ctm

fdk ,CNR f

E k k f f f

t

⋅= (22)

Il confronto tra i valori ottenuti mediante quest’ultima equazione e quelli ottenuti con l’Eq.(19) mostra che seguendo una procedura rigorosa si ottengono valori di capacitàapprossimativamente del 20% più bassi di quelli ottenuti con la formula contenuta nel CNRDT-200/2004:

0 84dk

dk ,CNR

f

f

f .

f = (23)

Questo risultato dimostra che in alcuni casi le semplificazioni introdotte nelle formulazioni portano a stime non conservative del valore di progetto.

- 178 -



4 CONCLUSIONI

In questo lavoro è stata proposta una procedura per sviluppare, controllandone l’affidabilità,le equazioni di progetto per i modelli di capacità.In particolare si è posto l’accento sulle modalità da seguire per lo sviluppo del modello teorico

e, soprattutto, su quali valori delle variabili aleatorie di base devono essere registrati per poteressere impiegati in una calibrazione del modello eseguita da soggetti terzi che raccolgano leinformazioni provenienti da diversi gruppi di ricerca. Idealmente, ciascun modello di capacitàdovrebbe essere sviluppato sulla base di considerazioni teoriche e successivamente adattato airisultati sperimentali mediante analisi di regressione. Una volta che i parametri statisticidell’errore del modello sono noti è possibile definire i parametri del modello di capacità edeterminarne il valore caratteristico. La procedura proposta è stata applicata, a puro titoloesemplificativo, al modello di capacità della tensione di aderenza e al calcolo del valorecaratteristico della resistenza alla delaminazione di un rinforzo in FRP, seguendo il modellodefinito dall’equazione presente nel documento CNR-DT 200/2004. Il confronto con i risultatiottenuti applicando l’equazione proposta nel documento CNR mostra come il mancato

rispetto di una procedura rigorosa possa portare a risultati non conservativi in termini diresistenza. Tale procedura sarà in futuro applicata ad una larga serie di modelli di capacità perverificarne affidabilità e robustezza.

5 RINGRAZIAMENTI

Questo lavoro è stato condotto nell’ambito del programma “Dipartimento di Protezione Civile – RELUIS”, firmato il 2005-07-11 (n. 540), Linea di Ricerca 2 e 8.

6 BIBLIOGRAFIA

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Strengthening Existing Structures”. CNR Rome, July 13th, 2004. (www.cnr.it).Chajes M.J., Finch W.W. jr, Januska T.F. and Thomson T.A. jr. (1996). “Bond and force transfer of

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Materials Congress, Cincinnati, OH, L.C. Bank, Editor, May 10-12, 240-247.Pellegrino, C., Boschetto, G., Tinazzi, D. and Modena, C. (2005). “Progress on understanding bond

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- 179 -




VULNERABILITÀ SISMICA DI EDIFICI MONUMENTALI:IL CASO DELLA STAZIONE CENTRALE DI MILANO

Alessandra Aprile a, Andrea Benedetti b, Enrico Mangoni c,

a ENDIF, Univ. Di Ferrara, Via Saragat 1, Ferrara, [email protected] b DISTART, Univ. di Bologna, Viale Risorgimento 2, Bologna, [email protected]

c DIC, Univ. di Firenze, Via di S. Marta 3, Firenze, [email protected]

ABSTRACTIn this paper, a study of the Milan central railway station structure is presented, aimed to

assess the seismic vulnerability of this monumental building. The opportunity has beenoffered by the need of internal restoration aimed at the construction of a new shopping centre.Based on the preliminary design of Ulisse Stacchini dated 1912, the central railway station ofMilan was completed in 1931. At that time, the station was among the wider railway stationsof Europe. The quantities of employed materials are really impressive: 43000 tons of cementwere cast for the main structures and 2500 tons of steel were employed for galleries and roofarches. The station is composed of a main building and a train gallery. The main buildingstructure is constituted by R/C frames that are quite unusual for geometry and conception. Theconcrete roof floor is hung to steel truss arches with 40 m span. The external walls arecovered by decorative concrete elements with 20-40 cm of thickness and marble. The traingallery is formed by a steel truss arches system completed by glass panels. While the steel

works are fully documented by design drawings and photographs, information concerning theR/C structures is not available; therefore to define the main structure schematics and thematerial properties a wide investigation was necessary.The city of Milan is situated on a very low level seismic region. For this area, a PGA of 0.07is accounted with a return period of 1000 years. Due to the very small amount of steel contentwithin the concrete columns and beams, a structural factor of 1.5 is assumed. The seismicanalysis shows that the overall safety level of the station is acceptable, although some localstructural deficiencies need to be faced by means of a proper strengthening design.

KEYWORDS

R/C structures, Steel roof, Seismic assessment, Monumental buildings.

1 INTRODUCTION

The Milan railway station was planned at the beginning of the XXth century; the ItalianRailway Company put a competition for the new station building and finally the Italianengineer Ulisse Stacchini won the bid in 1912. Several years later the fascist governor ofMilan founded the work and the construction started in 1927. In only five years ending 1932the station was built becoming one of the most important Italian monuments up to date.The construction has huge dimensions: the plan spans 123x213 m2 and the tallest vault is

approximately 60 m above the entrance square; several new techniques were used in erectingthe complex building, and the works proceeded with unparalleled speed. A total of 40.000


- 180 -














Figure 3: View of the assemblage of the external concrete prefabricated shells [IAMWD, 1931]

Figure 4: View of the assemblage of the steel truss framed vaults [Angeleri, 1985]

Figure 5: View of the concrete beam and columns composing the frames

- 182 -



Figure 6: View of the prefabricated vaults and the fastening ties on the rear face

The building roofs are composed of two separated space frame systems; the first one is

supporting the ceiling of the vaults with the transparent sheets. The second one is forming thehat where the illuminating windows are inserted. All the steel frames are composed oflaminated profiles connected with heat deformed pins. At the connections with the perimeterconcrete beams the steel trusses are supported by specific devices like hinges and rollers but,due to the dust, some of them are not more in effect.

Figure 7: View of the roof and ceiling supporting frames

2 SEISMIC VULNERABILITY

In recent times the Railway Company was split in two Agencies owning respectively the railnet and the train management. The owner of the stations formed a partnership named GrandiStazioni charged to exploit the commercial potential of the station buildings. In this respect anew floor in the Coaches and Tickets galleries was designed and the erection begun. In themeanwhile the Italian seismic regulation was updated and the Milan zone classified as lowlevel seismic zone. Thus a vulnerability analysis of the original and refurbished building was

promoted in order to assess the feasibility of the planned modification.

The vulnerability analysis of a so huge building with so many unknown details generates anumber of computational issues of very hard solution [Benedetti, 2007]. The path to the

- 183 -



estimation of the collapse acceleration requires several steps. First of all, the geometry and thematerial properties of the structural elements are to be defined. Then, a finite elementnumerical model suitable for the interpretation of the building behaviour must be meshed.Finally, the response spectrum results allow evaluating the safety margin of the differentelements [ENV 1998:1-1, EN 1992:1-1, 2002].

The geometry of the construction is very complex for many reasons. In fact the prefabricatedskin does not allow to directly measuring many elements. The original drawings areincomplete and many modifications occurred in recent times. A survey activity was carriedout arriving finally to a sufficient level of knowledge on the concrete and steel parts of thestructure. In figure 10 the prepared numerical model is shown. Many approximations wereintroduced in order to keep the model sufficiently simple, but despite this the model requiredmore than 100.000 nodes and elements.

Figure 8: View of the Coaches, Tickets and rail Galleries (from left)

Figure 9.a: Frame representation (in red) of the main entrance wall

Figure 9.b: Frame representation (in red) of the Ticket Gallery wall

Figure 9.c: Frame representation (in red) of the end rail Gallery wall

- 184 -



Figure 10: Finite element model of the Milan railway station

2.1 Data of the seismic excitation

The peak ground acceleration defined for the Milan zone in very low, namely 0.07 g. Theconstruction is characterised by a loose sandy soil and a limited plastic capacity. According tothis the soil factor was set to 1.25 and the behaviour factor to 1.50.The design spectrum is computed assuming an overcoming probability of 5% of the strongmotion with return period of 50 years. This leads to consider the event with average return

period of nearly 1000 years [ENV 1998:1-1].

The seismic design internal actions in the structure were computed by using a CQC modalsuperposition. The seismic combinations included the main horizontal actions of onedirection, 30% of the actions in the other direction, and the vertical effects on the floors. Thesigns of the modal seismic actions were selected according to the prevailing solicitation due tostatic vertical loads.

2.2 Mechanical parameters of the materials

The mechanical parameters of the materials were selected by comparing the results of thelaboratory tests carried out on specimens extracted from the structures, and the prescription ofthe norms holding at the construction time.The characteristic cylindrical strength of the concrete was measured on cores and resulted to

be of the order of 20.0 MPa, while the mild steel bars showed a yielding limit of 220 MPa.The norms promulgated by the Italian monarchy in the period 1927-1930 [RDL 4/09/27]allowed a concrete compression in service approximately equal to 1/3 of the strength, and asteel tension equal to 2/3 of the yielding limit. By using the EN 1992:1-1 instead, theserviceability limits can be raised up with a significant increase for the concrete compressionallowable stress up to nearly 9.0 MPa. It should also be considered that the major part of theloads in the building are self loads, and this increases the safety factor since the loadvariability is very low.

2.3 Verification strategy

Following the complexity and the fuzziness of the problem, a suitable verification strategywas set in order to identify the critical resisting elements. As a first consideration we must

- 185 -



recall that the structure behaviour is very similar to that of unreinforced concrete or masonry.In these structures, the bending and shear resistances are proportional to the axial load throughthe resisting overturning and sliding forces [Benedetti 2007, Anselmi 2005].It is to retain however that the minimum reinforcement defined by the rules which held at theconstruction time are locally satisfied in the concrete structure. More precisely, the 1927

norms introduced a minimal shear reinforcement ratio of 0.25% for beams, and a minimal setof bars for flexural purposes [RDL 4/09/27]. The flexural reinforcement is however betterdefined by a whole back design of the structure for the vertical loads only.The point wise definition of the reinforcement to be compared with local direct survey wasthus obtained by a complete back design of beams by using vertical loads only and theserviceability stress verification in use in Italy at that time. The experimentally obtained bardistributions resulted in any case larger than the back design value.Therefore, a multi step seismic verification strategy was defined based on the following checklist:

if the structural element is verified without reinforcement by using overturning andsliding resistances, then exit

else, if the structural element is verified by using the minimal reinforcement defined by the design rules of the construction time, then exit

else, evaluate the minimal reinforcement distribution needed to satisfy the safetychecks, and pass to survey the element in order to verify if the required reinforcementis present.

Figure 11: Axial – flexural verification of the unreinforced section by means of the limit domain

By this way, the very small set of the elements requiring special reinforcement distributionswas extracted, and the on site direct survey of the existing bars planned.

No one of the critical elements had reinforcement less than the required value, but the effortof the non destructive control of the bars was kept to the minimum possible set of elements.

3 SAFETY ANALYSIS OF THE BUILDING

The safety analysis of the building was carried out by the necessary combinations of thedifferent load types. In fact, the ultimate limit state verification in seismic condition ranaccording to the following load combinations [EN 1992:1-1, 2002]:

( ) , ,1,0 0,3 0,6 0,2 x y z K K floor k roof E E E G Q Q⋅ + + + + + (1.a)

- 186 -



( ) , ,1,0 0,3 0,6 0,2 y x z K K floor k roof E E E G Q Q⋅ + + + + + (1.b)

The calculation of the ultimate resisting actions followed the usual formulas given by EN1992:1-1; in particular, the only mandatory assumptions concerned the minimum steel

reinforcement introduced by the original design. As discussed before, a geometric ratio of0.5% for longitudinal reinforcement and 0.25% for stirrups were considered initially.The shear verification of the columns, according to the consistent axial force present in thesections and the vanishing shear reinforcement, is worked out by using the rule forunreinforced elements:

( )1 0,25 1 50Sd Rd ctd l wV V f b d ρ δ ≤ = + (2)

Where the concrete design tension resistance holds:

2/ 3

0,7 0,271,5 1,5

ctk ck ctd f R f ⋅ ⋅= = (3)

And the symbols have the following meaning:

02,0≤=d b

A

w

sl l ρ

Geometric ratio of the longitudinal reinforcement to the concrete section,

wb Minimum transversal width of the concrete section,d Distance from the rebars to the most compressed fibre,

sdu

M

M 01+=δ

Since the normal force is compressive, δ depends on the ratio of thedecompression bending moment M 0 to the acting one M Sdu .

The verification of the beam elements in shear is carried out with reference to the minimumstirrups ratio provided by the norms holding at the construction time

3

0,90,6Sd Rd cd wd cd w sw yw

d V V V V f b d A f

sδ ≤ = + = + (4)

where:1=δ on the safe side,

sw A area of the transversal stirrup placed at a spacing s,d distance from steel bar to the most compressed fibre.

All the relevant column and beam sections are checked by collecting in plots the minimumsafety ratios in shear and flexure of all the examined elements of the structure:

,,

Rdu im i

Sdu

V

V γ = (5)

In the following fig. 13 and 14 the safety margins for the shear actions on the columns and bending and shear forces in the beam lines are presented. As is evident from the graphs, someelement sections do not fulfil the verification format with the minimal reinforcement provided

by the design rules. For these elements a supplement of experimental investigation was

carried out, and the most part of them resulted with a stronger reinforcement, sufficient toresist the seismic design actions.

- 187 -



variablesectioncolumn

drainageducts

vertical rebars

List of usedconstruction materials

a) masonry 110.000 m3

b) concrete 46.000 m3

c) R/C steel 31.000 kN

d) carpentry 18.700 kN

e) Nabresina stone 8.200 m3

f) Artificial stone 13.700 m3

g) Travertino stone 1.000 m3

5650

2 7 0 0

6Ø30

2Ø30

1Ø8/300

8 Ø 16 Upper sectionconfiguration

Ø 8 / 250

Basementsectionconfiguration

Figure 12: Typical organization of columns, internal reinforcement, and material check list

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131

Column Number

L o g o f t h e s a f e t y f a c t o r

Figure 13: Shear verification of the structural columns as unreinforced elements

4 CONCLUSIONS

The Milan Railway Station building is a complex structure completed in 1932 with many newconstruction techniques and many different materials. Although the construction performedvery well in the past, many seismic vulnerability issues can be recognized in the mainstructural elements, and even more in the secondary architectural details.

A careful vulnerability analysis was thus planned encompassing both a wide experimentalinvestigation and a thorough numerical evaluation.Due to the huge number of unknown local details, the evaluation procedure was based on thedelimitation of the less safe elements, for which a focused investigation supplement led to a

positive safety margin evaluation on the basis of the real geometric and mechanical data.By this way, in a short time and with a reduced economic effort the overall seismic reliabilityof the Railway Station building was ascertained and the feasibility of the plannedrefurbishment verified. The old building can by itself act as a bracing for the new concreteand glass floors which are under construction in the coaches and tickets galleries. These newcommercial spaces will encompass stores and markets for many thousands of square metersmore. All the structural elements will be supported on the perimeter by the old concrete walls.

- 188 -



0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Beam Section Number

S a f

e t y F a c t o r

Line A Line B

Line C Line D

Line E Line G

Line M

Figure 14.a: Flexural verification of beam elements with the back design reinforcement

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Beam Section Number

S a f e t y F a c t o

r

Line A Line B

Line C Line D

Line E Line G

Line M

Figure 14.b: Shear verification of the structural beams with the minimum shear reinforcement

5 AKNOWLEDGEMENTS

The authors wish to thank the helpful collaboration of the engineering group of GrandiStazioni, namely ing. Massimo Antonelli, ing. Stefano Bernini, ing. Paola Pezza, ing. CarloPierdominici

6 REFERENCES

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L’ANALISI DELLA RISPOSTA SISMICA DI STRUTTURE IRREGOLARI

MEDIANTE PROCEDURE STATICHE NON LINEARI

Luigi Petti, Ivana Marino, Luca Cuoco

Università degli Studi di Salerno, Salerno [email protected], [email protected], [email protected]

ABSTRACTLo studio indaga il comportamento sismico di strutture asimmetriche in pianta per mezzo didomini limite costruiti sulla base di analisi statiche non lineari ed in considerazione dellecaratteristiche spaziali dell’evento sismico di riferimento. A tal proposito si propone unanuova rappresentazione della domanda sismica mediante la costruzione di “spettri polari”. In

particolare, si riportano i primi risultati ottenuti applicando procedure statiche e dinamichenon lineari per una struttura campione definita nell’ambito della Linea 2, Task 3 “Valutazionee riduzione della vulnerabilità sismica di edifici esistenti in c.a.” del progetto RELUIS.

PAROLE CHIAVEStrutture irregolari, Analisi Non Lineari, Spettro Polare.

1 INTRODUZIONE

Nella progettazione tradizionale il metodo di riferimento per la valutazione della rispostasismica è l’analisi dinamica lineare con spettro di risposta assegnato. Il ricorso ad analisi piùaccurate, quali quella non lineare al passo, è raramente perseguito a causa delle difficoltàlegate alla scelta dei modelli isteretici, descrittivi del comportamento ciclico non lineare deglielementi strutturali, ed alla scelta degli accelerogrammi rappresentativi delle reali condizionidi sito, aspetti che condizionano fortemente l’affidabilità dei risultati.L’esigenza di valutare le prestazioni sismiche e, quindi, studiare il comportamento di unacostruzione in campo non lineare per eventi di elevata intensità, ha visto negli ultimi anni losviluppo di procedure semplificate per condurre analisi non lineari in ambito statico(Nonlinear Static Procedures-NSP). Tali procedure, consentendo di valutare le capacitàdeformative in campo elasto-plastico permettono di collegare in modo esplicito i livelli dirischio attesi con gli obiettivi prestazionali definiti nell’ambito dei moderni codici sismici(Performance Based Design-PBD).Ad oggi sussistono, pur tuttavia, difficoltà nell’applicazione delle procedure statiche nonlineari nel caso si voglia studiare il comportamento sismico di strutture non regolari in pianta.In tale ambito, in anni recenti sono state avanzate diverse proposte tese ad estendere letradizionali analisi push-over calibrate per lo studio del comportamento piano al caso

tridimensionale [Ayala e Tavera, 2002; Chopra e Goel, 2004; Fajfar e Kilar, 1997]. Tra le principali problematiche oggetto di discussione vi sono la modalità di combinazione del


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carico sismico nelle due direzioni e la stima dell’impegno plastico richiesto agli elementiresistenti disposti lungo il lato più flessibile della struttura [Rutenberg et al., 2002].Tra le prime metodologie di analisi proposte, si cita quella di [Moghadam e Tso, 2000] che si

basa sullo studio del comportamento statico non lineare dei soli controventi sismici più criticiindividuati per mezzo di analisi dinamiche lineari condotte su modelli tridimensionali.

Successivamente Fajfar ha esteso il metodo N2 alle strutture tridimensionali [Fajfar et al.,2002]. Altri studi hanno indagato il comportamento di strutture intelaiate in presenza di pareti[De Stefano e Rutenberg, 1998] e l’accuratezza dei risultati al variare della disposizione in

pianta delle distribuzioni di carico [Faella e Kilar, 1998]. Chopra ha presentato, inoltre,un’estensione della procedura MPA (modal push over analysis) a strutture asimmetriche in

pianta [Chopra e Goel, 2004]. I confronti disponibili tra i risultati ottenuti con i metodi dianalisi statica non lineare proposti ed i risultati di analisi dinamiche non lineari sembranomostrare, in generale, un limitato successo delle metodologie proposte.Di recente, sono stati presentati alcuni contributi tesi a valutare l’impegno elastoplastico nel

piano di strutture irregolari in pianta mediante l’uso di domini di resistenza costruiti sulla basedi analisi statiche non lineari [Petti et al . 2007]. I risultati ottenuti, validati per mezzo di

analisi dinamiche incrementali non lineari, hanno evidenziato che analisi statiche non linearicondotte per differenti direzioni di ingresso dell’evento sismico in pianta consentono diindividuare con accuratezza le direzioni di minore resistenza sismica delle strutturetridimensionali complesse. Come è noto, d’altronde, le modalità di collasso di un sistematridimensionale sono anche governate dalle caratteristiche spaziali dell’evento sismico che loimpegna.Obiettivo dello studio è indagare il comportamento sismico di strutture asimmetriche in piantain considerazione delle direzioni di minor resistenza sismica, valutate per mezzo di domini diresistenza piani costruiti sulla base di analisi statiche non lineari, e delle caratteristichespaziali dell’evento sismico di riferimento. A tal proposito si propone una nuovarappresentazione della risposta spettrale associata ad un generico evento sismico descrittodalle componenti orizzontali di moto nelle due direzioni principali. Tale rappresentazione si

basa sulla costruzione di una superficie spettrale ottenuta dalle caratteristiche spettrali dellecomponenti di moto sismico per differenti direzioni in pianta. La proiezione in pianta dellesuperfici così ottenute viene di seguito definita “spettro polare”.

2 DESCRIZIONE DEGLI EVENTI SISMICI MEDIANTE SPETTRI POLARI

Come è noto, le norme sismiche si basano sull’uso di azioni statiche equivalenti valutate sulla base della risposta spettrale di un oscillatore semplice descritta in termini di pseudo-accelerazione in funzione del periodo fondamentale di vibrazione e del fattore dismorzamento.Dalla registrazione delle componenti del moto sismico nelle due direzioni principali, NS edEW, è possibile valutare lo spettro associato al moto sismico lungo qualsiasi direzione α nel

piano. L’insieme degli spettri calcolati in ogni direzione consente di costruire una superficiespettrale che definisce completamente l’evento sismico nel piano.Ai fini del lavoro sono state costruite le superfici spettrali per le registrazioni sismicheriportate in Tabella 1, estratte da European Strong Motion Database.

Nelle Figure 1-2 si riporta la proiezione in pianta delle superfici spettrali, rappresentate intermini di pseudo-accelerazione, ottenute per gli eventi di Erzincan (Codice 000535) e SouthIceland aftershock (Codice 006334) nel caso di un fattore di smorzamento assunto pari a

ξ=0,05. Tali rappresentazioni, definite “spettri polari”, riportano per un fissato angolo α l’intensità della pseudo-accelerazione spettrale al variare del periodo. In particolare gli spettri

- 191 -





rappresenta un edificio per civile abitazione costituito da 5 piani e realizzato con strutturaintelaiata in c.a.. Ai fini delle analisi, è stato costruito un modello agli elementi finiti medianteil programma OpenSEES [OpenSEES versione 1.7.3]. In tale modello, le travi ed i pilastrisono descritti mediante sezioni a fibre e la plasticità è del tipo distribuita; gli orizzontamentisono invece simulati da elementi piastra a comportamento lineare di opportuno spessore [Petti

et al., 2007]. In Tabella 2 si riportano le principali caratteristiche dinamiche del modelloassunto lineare. In particolare in tabella si riportano per ogni forma modale il periodo divibrazione (T), la massa partecipante espressa in percentuale nelle due direzioni principali in

pianta (M%), e la somma delle stesse fino al periodo considerato (Sum).

Tabella 2. Proprietà modali della struttura bench-mark.

Modo T(s) M%x M%y SumX SumY

1 1,35 10,9% 52,1% 10,9% 52,1%

2 1,22 56,9% 19,6% 67,8% 71,8%

3 0,99 10,8% 9,2% 78,6% 80,9%

4 0,42 0,9% 8,5% 79,4% 89,4%

5 0,38 9,4% 1,9% 88,8% 91,2%

6 0,31 1,5% 1,1% 90,3% 92,4%

7 0,23 0,1% 4,1% 90,4% 96,5%

8 0,20 4,2% 0,5% 94,6% 97,0%

9 0,17 0,9% 0,5% 95,5% 97,5%

Nella figure 3 e 4 si riportano sugli spettri polari degli eventi considerati i luoghi dei punti a parità di periodo, cerchi concentrici, rappresentativi del 1°, 2°, 4° e 5° modo, modi divibrazione essenzialmente traslazionali.

Figure 3-4. Spettri polari per gli eventi di Erzincan (0535, a sinistra), South Iceland aftershock (06334, adestra), su cui sono riportati i periodi propri di vibrazione della struttura.

4 RISULTATI DELLE ANALISI DINAMICHE NON LINEARI

Per ogni evento sismico considerato sono state condotte analisi dinamiche non lineariconsiderando la struttura orientata in pianta a 0° ovvero 90°.

Nelle figure 5-6 si riportano gli spostamenti nel piano del nodo di controllo, baricentrodell’ultimo impalcato, nel caso dell’evento sismico di Erzincan (codice 000535).L’analisi delle figure mostra che, indipendentemente dalla rotazione in pianta della struttura,il massimo impegno deformativo si attinge per la direzione in cui lo spettro polare (Figura 3)mostra le massime pseudo-accelerazioni in corrispondenza dei periodi descrittivi delle prime

- 193 -





termini di spostamento del nodo di controllo e/o di tagliante al piede della struttura oggetto diindagine [Petti et al ., 2007]. Per la struttura in esame si riportano nelle figure 9-12 i confrontitra i domini limite, costruiti applicando distribuzioni di forze triangolari ovvero uniformi lungo l’altezza, e la risposta dinamica non lineare valutata per l’evento sismico South Icelandaftershock ( codice 0006334).

In particolare, nelle figure 9 e 11 si riportano i risultati ottenuti orientando la struttura nel casodi inclinazione pari 0°. In tal caso il collasso si attinge per un moltiplicatore dell’eventosismico pari a 0,4. Analogamente nelle figure 10 e 12 si riportano i risultati relativi allastruttura ruotata di 90° in senso orario. In tal caso il collasso si attinge per un moltiplicatoredell’evento sismico pari a 0,35.

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

-0,2 -0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2

Ux (m)

U y ( m )

Orientamento 0°, moltiplicatore 0,40

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

-0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20

Ux (m)

U y ( m )


Uniforme Triangolare Dinamica

Figure 9-10. Confronto tra il comportamento dinamico per l’evento South Iceland aftershock

(codice 006334) ed i domini limite in termini di spostamenti.

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000

Vx (kN)

V y ( k N )


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000

Vx (kN)

V y ( k N )


Uniforme Triangolar e Dinamica

Figura 11-12. Confronto tra il comportamento dinamico per l’evento South Iceland aftershock(codice 006334) ed i domini limite in termini di tagliante alla base.

L’analisi dei risultati evidenzia che la condizione di collasso, valutata mediante analisidinamica non lineare, è congruente con i domini limite costruiti mediante procedure statichenon lineari semplificate.

- 195 -





Pertanto, è possibile affermare che per il caso in esame l’uso dei domini limite, costruiti con procedure statiche non lineari semplificate, e gli spettri polari consentono di individuare lecondizioni di collasso di strutture tridimensionali complesse. I risultati ottenuti incoraggiano il

prosieguo della ricerca in tal senso.

7 RINGRAZIAMENTI

I risultati presentati nel lavoro sono stati in parte ottenuti nell’ambito del progetto RELUIS,Linea 2, Task 3.

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- 197 -




ANALISI STATICA NON-LINEARE ADATTIVA DI STRUTTURE IRREGOLARI

Rui Pinho

Dipartimento di Meccanica Strutturale, Università di Pavia, Pavia, [email protected]

ABSTRACT Nell’analisi pushover tradizionale si applicano incrementalmente due diverse distribuzioni diforze orizzontali; una distribuzione di forze proporzionali alle masse ed una distribuzione diforze proporzionali al prodotto delle masse per la deformata individuata dal primo modo divibrare. Nel caso di strutture regolari i due andamenti scelti definiscono quindi generalmente ilimiti delle possibili distribuzioni di forze di inerzia durante un evento sismico. Tale

procedura, però, può condurre a risultati solo approssimati e talvolta a sfavore di sicurezza nelcaso di strutture irregolari o alte, nelle quali i modi di vibrare superiori al primo diventanosignificativi, o in strutture dove il danno indotto dall’azione sismica modificasignificativamente nel tempo i modi di vibrare della struttura. In questi casi, l’utilizzo dimetodi di tipo adattivo, che tengono conto di modi di vibrare superiori e modificano incontinuazione la distribuzione dei carichi in funzione del cambiamento delle caratteristiche

della struttura durante il moto sismico, consente di ottenere risultati più validi e precisi. In particolare, e come descritto nel presente lavoro, la modalità di pushover adattiva inspostamento dimostra una superiore capacità di previsione della risposta di edifici e pontisoggetti ad azione sismica, anche nei casi in cui questa sia fortemente irregolare.

PAROLE CHIAVEanalisi statica non-lineare, pushover adattiva, spostamenti, DAP.

1 INTRODUZIONE

Nell’analisi pushover tradizionale si applicano incrementalmente ad un modello della strutturasoggetto ai carichi gravitazionali e con comportamento non lineare del materiale, due diversedistribuzioni di forze orizzontali nei baricentri delle masse dei vari piani; una distribuzione diforze proporzionali alle masse ed una distribuzione di forze proporzionali al prodotto dellemasse per la deformata individuata dal primo modo di vibrare del sistema consideratoelastico.

Negli ultimi anni sono state proposti metodi di analisi statica non-lineare alternativi, nei qualidiverse analisi pushover, ciascuna delle quali utilizzando vettori di forze proporzionali aforme modali differenti, sono eseguite separatamente e la risposta strutturale è poi ottenuta

combinando opportunamente tali risultati (in questo caso, i punti della curva di pushover nonrappresentano più stati di sforzo equilibrati). Paret et al. (1996) per primi suggerirono una


- 198 -



procedura di pushover multi-modale, quindi perfezionata da Moghadam e Tso (2002). Choprae Goel (2002), in alternativa, svilupparono e proposero una tecnica di analisi pushover modale(MPA), aggiornata poi da Hernández-Montes et al. (2004) con una formulazione incentratasul bilancio energetico. Tali metodi di analisi sono stati anche ulteriormente modificati alloscopo di considerare l’alterazione della resistenza locale e delle caratteristiche modali della

struttura conseguenti all’accumulo del danno, mediante l’adozione di vettori di forze adattivi,aggiornati nel corso dell’analisi (Gupta e Kunnath, 2000; Kalkan e Kunnath, 2006). Comesottolineato dai rispettivi autori, il vantaggio principale di questa categoria di analisi non-lineari, è quello di poter essere agevolmente eseguite utilizzando software comunementedisponibili. Tuttavia, come indicato da Maison (2005), l’aspetto negativo ad essi associato, èche tali metodi sono inevitabilmente più complessi se paragonati ad analisi pushovertradizionali, nelle quali una singola analisi è sufficiente. Inoltre, tali metodologie di pushovermulti-modale, sia che abbiano natura adattiva o non-adattiva, comportano difficoltà quandovengono utilizzate procedure basate sul concetto dello “spettro di capacità”, in seguito alla

possibile inversione dello spostamento (associato al progressivo aumento del livello dideformazione plastica) in curve di capacità corrispondenti a modi di vibrare elevati

(Hernández-Montes et al., 2004; ATC, 2005; Goel e Chopra, 2005). Per tutte le ragioni sopraesposte, nel lavoro presentato in questo articolo l’attenzione verrà focalizzata su procedure di

pushover adattiva che coinvolgono una singola analisi.

2 RECENTI SVILUPPI DELL’ALGORITMO PUSHOVER – SINGOLA ANALISI

Tradizionalmente, in analisi pushover, il vettore di forze viene applicato in modoincrementale alla struttura tuttavia senza alterarne la distribuzione, che rimane costante pertutto il corso dell’analisi. Nelle Figure 1 e 2(a) vengono forniti alcuni esempi di come analisi

pushover tradizionali possano portare ad una previsione errata della risposta della struttura, sia

in termini di curva di pushover sia in termini di deformazioni di piano, nel caso di un edificiodi 12 piani soggetto ad un accelerogramma naturale (modello RM15-NR2 esaminato inAntoniou e Pinho, 2004) e nel caso di un edificio di 4 piani, irregolare in altezza, sottopostoad un accelerogramma artificiale (test in scala reale ICONS, descritto in Pinho ed Elnashai,2000). È possibile osservare come, sebbene l’edificio di 12 piani sia regolare in altezza, il suocomportamento è fortemente influenzato dal contributo di modi di vibrare elevati, rendendonedi fatto irregolare la risposta, come risulta evidente osservando la Figura 1(b). I risultati dianalisi pushover tradizionali, considerando distribuzioni di forze triangolare ed uniforme,sono confrontati con l’inviluppo dei risultati ottenuti da analisi dinamiche incrementali(Vamvatsikos e Cornell, 2002; Mwafy e Elnashai, 2000). Queste ultime (IDA) rappresentanoun metodo di valutazione del comportamento della struttura nel quale il sistema vienesottoposto ad una serie di analisi dinamiche di intensità crescente (così come schematizzato inFigura 2(b)), con l’obbiettivo di ottenere un’indicazione quanto più realistica della risposta delsistema soggetto ad azione sismica.

La principale causa di errore in pushover tradizionali risiede nel fatto che gli effetticonseguenti all’accumulo di danno nella struttura, indotto da livelli di deformazione crescenti,non vengono in alcun modo considerati nella valutazione della risposta complessiva. Infatti, la

progressiva deformazione degli elementi strutturali comporta una riduzione della rigidezzaglobale del sistema, che, a sua volta, causa un aumento del periodo di vibrazione (Figura3(a)), e quindi può indurre, in funzione delle caratteristiche dello spettro considerato (o del

contenuto in frequenza dell’accelerogramma), una significativa alterazione delcomportamento della struttura (Figura 3(b)).

- 199 -



0

1

2

3

4

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

INTERSTOREY DRIFT (%)

S T O R E Y

DYNAMIC

TRIANGULAR

UNIFORM

0

2

4

6

8

10

12

0.00% 2.00% 4.00% 6.00%

INTERSTOREY DRIFT (% )

S T O R E Y

DYNAMIC

TRIANGULAR

UNIFORM

(a) (b)Figura 1. Drift inter-piano per un edificio di (a) 4 piani e (b) 12 piani.

0% 1% 2% 3%total drift

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

b a s e

s h e a r ( k N )

dynamic

DAP

uniform

triangular

0

20

40

60

80

100

120

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

drift (%)

M a x B a s e S h e a r ( k N

(a) (b)

Figura 2. (a) Curva di pushover per un edificio di 9 piani, ottenuta con analisi pushover tradizionali edanalisi dinamiche incrementali, (b) Diagramma taglio alla base-spostamento del nodo di riferimento, così

come ottenuto attraverso un’analisi dinamica incrementale (Incremental Dynamic Analysis - IDA).

0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0%

total drift

0

1

2

3

4

5

6

p e r i o d

( s e c )

first modesecond mode

third mode

0

2

4

6

8

10

12

0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0%

top drift = 0.5%

top drift = 1.0%

top drift = 1.5%

top drift = 2.5%

(a) (b)

Figura 3. (a) Periodi di vibrazione di un edificio di 4 piani in corrispondenza di crescenti livelli dideformazione, (b) Drift inter-piano per un edificio di 12 piani in corrispondenza di crescenti livelli di

deformazione.

- 200 -



Riconoscendo le limitazioni intrinseche in analisi pushover tradizionali, negli ultimi anni sonostate sviluppati e diffusi metodi di analisi pushover adattivi, nei quali il vettore di carico vieneaggiornato ad ogni successiva fase dell’analisi, in modo da riflettere il progressivo degradodella rigidezza del sistema conseguente al crescente livello di deformazione anelastica (Figura4(a)). La risposta della struttura è quindi calcolato in modo incrementale attraverso

approssimazioni lineari a tratti (Figura 4(b)), rendendo così possibile l’utilizzo della rigidezzatangente nel punto iniziale di ogni passo di carico, assieme alla massa del sistema, per ilcalcolo delle caratteristiche modali di quest’ultimo ad ogni fase successiva di carico,attraverso una comune analisi modale elastica. In funzione delle proprietà modali cosìottenute è quindi possibile aggiornare il vettore di carico mediante un opportuno vettoreincrementale.


0

1000

2000

3000

4000

5000

b a s e

s h e a r ( k N )


0

1000

2000

3000

4000

5000

b a s e

s h e a r ( k N )


0

1000

2000

3000

4000

5000

b a s e

s h e a r ( k N )


0

1000

2000

3000

4000

5000

b a s e

s h e a r ( k N )


0

1000

2000

3000

4000

5000

b a s e

s h e a r ( k N )


0

1000

2000

3000

4000

5000

b a s e

s h e a r ( k N )


0

1000

2000

3000

4000

5000

b a s e

s h e a r ( k N )


0

1000

2000

3000

4000

5000

b a s e

s h e a r ( k N )

dk +Δdk

O 't

O 'k

dk d t+Δd td t

Fk +ΔFk

Fk

F t+ΔF t

F t

K t

K k

O (a) (b)

Figura 4. (a) Pushover adattiva: la distribuzione del vettore di carico è aggiornata ad ogni fase dell’analisi,(b) Utilizzo della rigidezza tangente per aggiornare il vettore di carico (definizione dell’incremento del

vettore di carico).

Procedure che utilizzano un vettore di forze adattivo sono state proposte da Reinhorn (1997),Bracci et al. (1997), Satyarno et al. (1998), Requena e Ayala (2000), Elnashai (2001) edAntoniou et al. (2002). Ad eccezione del lavoro proposto da Satyarno et al. (1998), dove unvettore di carico adattivo proporzionale ad una sola forma modale è stato utilizzato, in tutti glialtri metodi viene considerato anche il contributo di modi di vibrare superiori assieme alcontenuto in frequenza dell’input sismico. Inoltre, Elnashai (2001) e Antoniou et al. (2002)implementarono il metodo adattivo da loro sviluppato in un software per l’analisi strutturalecon modelli a plasticità diffusa (modelli a fibre), consentendo di fatto di poter aggiornare inmodo continuo, anziché discreto, il vettore di carico.

Benché tali pushover adattive in controllo di forze appaiano come concettualmente superiori,o per lo meno più elaborate nella loro formulazione, non sono tuttavia in grado di fornire unsignificativo miglioramento, rispetto a procedure tradizionali, della previsione delcomportamento strutturale. Entrambe le procedure, infatti, risultano affette da grandi errori in

particolare nella stima delle deformazioni del sistema. Come descritto da Kunnath (2004) edAntoniou e Pinho (2004a), tali errori sono attribuibili principalmente all’adozione di algoritmidi combinazione quadratica dei contributi modali (ad esempio, SRSS, CQC) nella definizionedegli incrementi di carico ad ogni fase dell’analisi; tali regole comportano inevitabilmenteincrementi positivi e quindi un aumento monotono del vettore di carico, rendendo perciòimpossibile un’eventuale inversione del carico applicato, che tuttavia potrebbe essere

necessaria per rappresentare distribuzioni irregolari di forze conseguenti all’ingresso inregime anelastico della struttura.

- 201 -



Allo scopo di superare tali limitazioni, Antoniou e Pinho (2004b) proposero l’innovativoconcetto di analisi pushover adattiva in spostamento (DAP). Contrariamente a quanto accadein pushover non adattive, nelle quali l’applicazione di un vettore di spostamenti costantiequivale ad imporre, magari in modo inappropriato, il modo nel quale la struttura si deforma,utilizzando un algoritmo adattivo l’adozione di una pushover in spostamento è possibile, in

quanto il vettore di carico è aggiornato ad ogni fase in modo da riflettere le attuali proprietàdinamiche del sistema. Tale algoritmo è stato implementato in un programma ad elementifiniti a plasticità diffusa, SeismoStruct (Seismosoft, 2006), scaricabile gratuitamente daInternet. L’utilizzo del metodo adattivo risulta pertanto estremamente agevole, in quanto unasola analisi è sufficiente, rendendo così l’applicazione del metodo semplice al pari di

pushover tradizionali, ed ancor più semplice se paragonato con pushover multi-modali nellequali è richiesta l’esecuzione di più analisi.

3 RISULTATI OTTENUTI

Uno dei principali vantaggi derivanti dall’adozione di un vettore adattivo di spostamentirisiede nel fatto che le forze o i tagli di piano non sono applicati direttamente alla struttura ma piuttosto ottenuti in modo da garantire la presenza ad ogni fase di uno stato di sforzocongruente con le deformazioni imposte. In questo modo, anche adottando regole quadratiche

per la combinazione modale, risulta possibile riprodurre l’inversione di segno delle forze di piano riscontrabile in analisi dinamiche. Di fatto, il drift di piano imposto in DAP, benché possa avere soltanto segno positivo, in seguito al contributo di modi elevati, il suo valoreincrementale può tuttavia essere ridotto rispetto a quello del piano sottostante. In talisituazioni, si avrebbe una riduzione della forza di piano corrispondente, che in alcuni casi puòassumere segno negativo, come accade per l’esempio riportato in Figura 6.

-500 0 500 1000

storey shear (kN)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

adaptive

uniform

triangular

-500 0 500 1000 1500 2000

storey shear (kN)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

adaptive

uniform

triangular

(a) 0.5% drift totale (b) 2.5% drift totaleFigura 6. Distribuzione delle forze orizzontali in un edificio di 12 piani in c.a. ottenuti in DAP per diversi

livelli di deformazione.

In altre parole, considerato che in DAP la distribuzione dei tagli di piano è calcolata in mododa soddisfare condizioni di congruenza con i drift inter-piano imposti, piuttosto che essere ilrisultato di forze applicate direttamente alla struttura, le limitazioni evidenziate in precedenza

per metodi di pushover in controllo di forze possono essere superati, ottenendo così risultati

nel loro complesso (curva di pushover e deformata della struttura ) più accurati.

- 202 -



La capacità di questo innovativo metodo di analisi pushover adattiva in spostamento è statoanalizzato in applicazione a diversi sistemi strutturali, da edifici multi-piano, sia in c.a. cheacciaio, a ponti a travata. Antoniou e Pinho (2004b) e Pinho ed Antoniou (2005) applicaronoil metodo ad un’ampia gamma di strutture in c.a., sia a telaio sia a pareti. I risultati presentatiin questi lavori, dei quali vengono qui proposti alcuni rappresentativi esempi in Figura 7,

dimostrano come i risultati ottenuti con DAP forniscano una migliore approssimazione dellarisposta dinamica della struttura rispetto ai metodi tradizionali (come emerge dal confronto ditali risultati con quelli presentati in Figura 1), in quanto DAP è in grado di cogliere leirregolarità nella risposta, indotte dalla flessibilità dell’edificio di 12 piani e dalla irregolaredistribuzione della resistenza nell’edificio di 4 piani. Le migliori prestazioni garantite dalmetodo adattivo rispetto a quelli tradizionali è inoltre evidente anche in termini di curva dicapacità, così come riportato in Figura 8a.

0

2

4

6

8

10

12

0.00% 2.00% 4.00% 6.00%INTERSTOREY DRIFT (%)

S T O R E Y

DYNAMIC

DAP-SRSS

0

1

2

3

4

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00INTERSTOREY DRIFT (%)

S T O R E Y

DYNAMIC

DAP-SRSS

(a) (b)

Figura 7. Drift inter-piano ottenuti in DAP per (a) un edificio di 12 piani ed (b) un edificio di 4 pianiirregolare in altezza (si noti come i risultati siano più accurati rispetto a quanto riportato in Figura 1).

DAP è stata applicata con ottimi risultati anche nel caso di strutture a telaio in acciaio, siaregolari che irregolari, con un diverso numero di piani (Pietra et al., 2006; Pinho et al., 2007).I risultati ottenuti, di nuovo, dimostrano la superiorità del metodo adattivo rispetto a quelliconvenzionali, anche per strutture flessibili, come nel caso di strutture in acciaio, la cuirisposta è maggiormente condizionata dal contributo di modi superiori, in modo particolare

poi se il numero di piani è elevato. Come emerge osservando i risultati ottenuti in tali lavori(e.g. Figura 8b), le migliori prestazioni fornite dalla pushover adattiva in spostamentoappaiono evidenti sia riguardo alla stima della curva di capacità, sia nei confronti della

previsione della domanda in termini di forze e deformazioni di piano.

4 CONCLUSIONI

La tendenza prevalente nella pratica progettuale di strutture soggette ad azione sismica,incentrata attorno al controllo delle deformazioni al fine di soddisfare un determinato statolimite, richiede che vengano definite procedure di calcolo semplici ed allo stesso tempo

sufficientemente accurate, per prevederne il comportamento in campo non-lineare. Inquest’ottica, l’impiego di metodologie di analisi relativamente semplici, quale “pushover

- 203 -



0% 1% 2% 3%

total drift

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

b a s e s h e a r ( k N )

dynamic

adaptiveuniform

triangular

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

[m]

[ k N ]

9Sw - OGM

IDA-TH

mean IDA

DAP

1st Mode

Uniform

Triangular

Code

(a) (b)

Figura 8. (a) Curva di pushover per un edificio di 9 piani in c.a., ottenuta con DAP e analisi pushovertradizionali, confrontati con l’inviluppo di analisi dinamiche incrementali, (b) Curva di pushover per un

edificio di 9 piani in acciaio con comportamento a piano debole, ottenuta con DAP e analisi pushovertradizionali, confrontati con l’inviluppo IDA.

singola” è ampiamente giustificato. Infatti, confronti con analisi dinamiche non-lineari distrutture regolari, hanno evidenziato che pushover con distribuzioni di forze proporzionali al

primo modo colgono relativamente bene la risposta dinamica finché la struttura rimane incampo elastico, mentre, quando si raggiungono grandi deformazioni, la risposta dinamica èrappresentata in modo soddisfacente da distribuzioni di forze proporzionali alle masse.

Tali distribuzioni, però, possono portare a risultati solo approssimati e talvolta a sfavore disicurezza nel caso di strutture irregolari o alte, nelle quali i modi di vibrare superiori al primo

diventano significativi, o in strutture dove il danno indotto dall’azione sismica modificasignificativamente nel tempo i modi di vibrare della struttura. In questi casi, l’utilizzo dimetodi di tipo adattivo (noti anche come metodi evolutivi), che tengono conto di modi divibrare superiori e modificano in continuazione la distribuzione dei carichi in funzione delcambiamento delle caratteristiche della struttura durante il moto sismico, consente di ottenererisultati più validi e precisi. In particolare, e come descritto nel presente lavoro, la modalità di

pushover in spostamento, fortemente inadeguata in un’ottica di pushover tradizionale, è dicontro accurata in un’ottica di pushover adattiva, poichè dimostra una superiore capacità di

previsione della risposta di edifici e ponti soggetti ad azione sismica, anche nei casi in cuiquesta sia fortemente irregolare. Inoltre, visto che con la pushover adattiva è sufficienteeseguire una singola analisi, questa si rivela semplice come la pushover tradizionale, e

pertanto costituisce un’ideale alternativa, o complemento, alle analisi dinamiche non-lineari distrutture intelaiate.

5 RINGRAZIAMENTI

L’autore ringrazia i preziosi contributi di Dario Pietra, Chiara Casarotti e Stelios Antoniou,senza i quali non sarebbe stato possibile preparare questo lavoro. Si ringrazia anche ilsupporto del Dipartimento della Protezione Civile, tramite il finanziamento dei dueProgrammi Quadro 2005-2008 stabiliti con la Rete dei Laboratori Universitari di IngegneriaSismica (RELUIS, Linea 2) e con il Centro Europeo per la Formazione e la Ricerca inIngegneria Sismica (EUCENTRE).

- 204 -



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- 205 -




ECCENTRICITÀ CORRETTIVE PER LA VALUTAZIONE DELLA RISPOSTA SISMICA

DI EDIFICI ASIMMETRICI MEDIANTE ANALISI STATICA NON LINEARE

Melina Bosco, Aurelio Ghersi, Edoardo Michele Marino

Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale, [email protected], [email protected], [email protected]

ABSTRACTI metodi statici non lineari sono stati recepiti dalle normative quali valida alternativa alle piùonerose analisi dinamiche non lineari per la valutazione della risposta sismica delle strutture. Talimetodi forniscono risultati ragionevolmente approssimati per strutture piane, ma nel caso distrutture spaziali non colgono adeguatamente l’entità delle rotazioni d’impalcato. Nel presentearticolo si propone una nuova procedura per la valutazione della risposta sismica di schemitridimensionali, che prevede di effettuare due volte l’analisi statica non lineare, con forzeapplicate con due diverse eccentricità rispetto al centro di massa, denominate “eccentricitàcorrettive”. I valori da attribuire a tali eccentricità sono definiti in modo che le due analisicolgano i valori degli spostamenti dinamici dei due lati dell’impalcato e forniscano una stima

cautelativa degli spostamenti dei punti intermedi. Essi sono tarati analizzando la risposta sismicadi un ampio insieme di sistemi monopiano asimmetrici, nei quali i parametri che governano larisposta strutturale (posizione dei centri di massa, rigidezza e resistenza, rigidezza torsionale,ecc.) variano all’interno di un intervallo di valori rappresentativo di edifici esistenti in c.a.

PAROLE CHIAVEAnalisi dinamiche non lineari, pushover, eccentricità correttive, edifici esistenti irregolari.

1 INTRODUZIONE

La maggior parte delle strutture che costituiscono il patrimonio edilizio esistente è caratterizzatada una concezione strutturale non sismica; pertanto, le problematiche di valutazione dellarisposta sismica di tali edifici e di riduzione della vulnerabilità degli stessi costituiscono unaspetto fondamentale della ricerca in campo ingegneristico. L’impossibilità di prevedere ilmeccanismo di collasso delle strutture esistenti rende necessario determinare esplicitamente illivello di danneggiamento espresso in termini di spostamenti di interpiano e deformazioni

plastiche delle membrature. Per molti anni l’unico metodo per la valutazione del comportamentosismico delle strutture in campo inelastico è stato l’analisi dinamica non lineare. Tale metodoconsente di cogliere la risposta sismica delle strutture (a condizione di scegliere un’adeguatamodellazione del comportamento ciclico non lineare degli elementi strutturali e di simulare

correttamente l’eccitazione sismica) ma, purtroppo, rimane ancora uno strumento accessibile soloa pochi specialisti del settore. L’esigenza di valutare esplicitamente le deformazioni plastiche


- 206 -



subite dagli elementi strutturali durante il sisma senza dover eseguire complesse ed onerose analisidinamiche non lineari, ha spinto i ricercatori a formulare i cosiddetti “metodi statici non lineari”(Freeman, 1998; Fajfar e Gaspersic, 1996). Tali metodi, che sono stati recepiti dai codici

antisismici, forniscono risultati ragionevolmente approssimati per strutture piane. L’affidabilitànella valutazione della risposta sismica di strutture spaziali, invece, è limitata dalla non correttavalutazione dell’entità delle rotazioni dell’impalcato. Nel presente articolo si propone, pertanto, unnuovo metodo statico non lineare per la valutazione della risposta sismica di schemitridimensionali. Il metodo proposto è calibrato utilizzando un modello di calcolo tridimensionalesemplificato ad un solo piano in quanto le problematiche relative alla componente torsionale dellarisposta di molti edifici asimmetrici, ad esempio quelli regolarmente asimmetrici o quelli dotati di

piano tipo, possono essere colte attraverso tale modello.

2 RISPOSTA SISMICA DI SISTEMI MONOPIANO IRREGOLARI

2.1 Risposta in campo elastico

La risposta sismica elastica di sistemi irregolari in pianta è caratterizzata da contemporaneetraslazioni e rotazioni dell’impalcato. L’entità degli spostamenti conseguenti alle rotazionidell’impalcato, in proporzione a quella degli spostamenti che scaturiscono dalla traslazionedello stesso, è funzione dell’eccentricità delle rigidezze er (definita come la distanza tra il centrodelle rigidezze CR ed il centro delle masse CM) e del rapporto tra le pulsazioni rotazionali (ωθ)e traslazionali (ω x o ω y) del sistema torsionalmente bilanciato corrispondente (sistema ottenutospostando il centro di massa in corrispondenza del centro di rigidezza). In particolare, a paritàdi , il contributo delle rotazioni agli spostamenti d’impalcato cresce con l’eccentricità delle

rigidezze e tale osservazione si ripete dal punto di vista qualitativo con riferimento a sistemi siatorsionalmente rigidi ( >1) che flessibili ( <1). Inoltre gli spostamenti indotti dalle rotazionid’impalcato sono limitati anche in presenza di eccentricità elevate nei sistemi torsionalmenterigidi in virtù della forte rigidezza torsionale, mentre divengono notevoli, soprattutto in presenzadi elevate eccentricità strutturali, nei sistemi torsionalmente flessibili. Tali osservazioni sonoevidenziate in Figura 1 in cui sono rappresentati per un sistema monopiano con pianta rettangolaredi dimensioni L× B per due valori di eccentricità delle rigidezze e per tre valori di ledifferenze percentuali tra gli spostamenti u dell’impalcato e gli spostamenti del corrispondentesistema bilanciato u0 causati da un sisma agente lungo una delle direzioni principali.

2.2 Risposta in campo inelastico

Mentre la risposta elastica di sistemi irregolari in pianta è governata da pochi parametri,sostanzialmente l’eccentricità delle rigidezze ed il rapporto , la risposta in campo inelastico è

(a)

-40

-20

0

20

40

60

80

CR

e r = -0.05 L

CM

u 0

u-u 0(%)

- L /2 L /2

Ωθ = 0.6

Ωθ = 1.0

Ωθ = 1.4

(b)

-40

-20

0

20

40

60

80

e r = -0.10 L

CR CM

u 0

u-u 0(%)Ωθ= 0.6

Ωθ = 1.0

Ωθ = 1.4

- L /2 L /2

Figura 1. Differenze percentuali di spostamento rispetto al bilanciato ottenute in campo lineare per:

(a) er = - 0.05 L; (b) er = - 0.10 L.

- 207 -



condizionata anche da ulteriori fattori, tra i quali la resistenza complessiva del sistema e ladistribuzione di questa tra gli elementi resistenti. Gli studi presenti in letteratura sulcomportamento sismico in campo inelastico di strutture irregolari in pianta (Goel e Chopra,1990; Ghersi e Rossi, 2000) evidenziano come la risposta inelastica dei sistemi mostri minori

rotazioni rispetto a quella elastica. Ciò è dovuto al fatto che durante l’evento sismico la posizionedel centro di rigidezza varia, a causa della plasticizzazione degli elementi strutturali, e soprattuttoal fatto che gli elementi resistenti ortogonali alla direzione della componente principale del sismasi mantengono per più tempo in campo elastico rendendo la rigidezza torsionale più rilevanterispetto a quella traslazionale. Pochi studi, invece, indagano gli effetti che la distribuzione delleresistenze e l’eccentricità delle resistenze e s (qui definita come la distanza tra il centro delleresistenze CS ed il centro delle rigidezze CR ) esercitano sul comportamento dinamico dei sistemistrutturali. Tale carenza è legata al fatto che gli studi mirano essenzialmente alla definizione di

procedure di progetto per sistemi antisismici, nei quali la distribuzione delle resistenze scaturiscedalla procedura di progetto utilizzata. Nel caso di edifici progettati per soli carichi verticali,invece, le resistenze possono assumere distribuzioni molto differenti, condizionanti per larisposta sismica. La Figura 2 mostra le differenze percentuali tra gli spostamenti di sistemi condistribuzione non simmetrica delle resistenze ed i corrispondenti sistemi vincolati a traslare. Ilcomportamento dipende dal valore complessivo della resistenza, maggiore (S 1, Figura 2a) ominore (S 1/2, Figura 2b). Nonostante l’eccentricità delle rigidezze sia nulla, la risposta ha unacomponente rotazionale, che è maggiore nei sistemi torsionalmente flessibili ed aumenta alcrescere dell’eccentricità delle resistenze e della resistenza complessiva dell’edificio.

3 METODO PROPOSTO

Le Figure 1 e 2 mostrano che il diagramma dei massimi spostamenti dinamici dei puntidell’impalcato è generalmente curvilineo (in quanto tali spostamenti si manifestano in istantitemporali differenti) e non può essere colto attraverso un’unica analisi statica non lineare, che

(a)

-40

-20

0

20

40

60

80

e s = -0.05 L

CS CMCR

u 0

u-u 0(%)

- L /2 L /2

Ωθ= 0.6

Ωθ = 1.0

Ωθ = 1.4

-40

-20

0

20

40

60

80

e s = -0.10 L

CS CMCR

u 0

u-u 0 (%)Ωθ= 0.6

Ωθ = 1.0

Ωθ = 1.4

- L /2 L /2 (b)

-40

-20

0

20

40

60

80

e s = -0.05 L

CS CMCR

u 0

u-u 0(%)

- L /2 L /2

Ωθ = 0.6

Ωθ = 1.0

Ωθ = 1.4

-40

-20

0

20

40

60

80

e s = -0.10 L

CS CMCR

u 0

u-u 0 (%)Ωθ= 0.6

Ωθ = 1.0

- L /2 L /2

Ωθ = 1.4

Figura 2. Differenze percentuali di spostamento in campo non lineare rispetto al sistema vincolato a non

ruotare per sistemi con er = 0 e resistenza S pari a: (a) S 1; (b) S 1 /2.

- 208 -



fornisce sempre un diagramma di spostamenti rettilineo. Si propone pertanto di eseguire duevolte l’analisi statica non lineare, con forze applicate con due diverse eccentricità rispetto alcentro di massa. Tali eccentricità, che nel seguito sono denominate “eccentricità correttive”,sono definite in modo che le due analisi colgano i valori degli spostamenti dinamici dei duelati dell’impalcato e forniscano una stima cautelativa degli spostamenti dei punti intermedi.

Allo scopo di determinare tali eccentricità, la risposta sismica di ciascun sistema analizzato è preliminarmente valutata mediante analisi dinamica non lineare. L’input sismico, applicato inuna sola direzione, è costituito da dieci accelerogrammi artificiali generati mediante il programmaSIMQKE e compatibili con lo spettro di risposta proposto dall’Eurocodice 8 (Eurocodice 8,2005) per suolo di tipo C, smorzamento del 5% e accelerazione di picco al suolo pari a 0.35g.Gli spostamenti dei punti dell’impalcato sono dunque determinati come valore medio deimassimi spostamenti in valore assoluto riscontrati in ciascuna analisi dinamica. Successivamentesono condotte diverse analisi pushover del sistema monopiano considerando di volta in voltaun differente punto di applicazione delle azioni statiche equivalenti CF, traslato di una quantità e rispetto al centro delle masse. Ciascuna analisi pushover è interrotta al raggiungimento delvalore dello spostamento del centro di massa (nella direzione di applicazione dell’azione

sismica) richiesto dal sisma. Poiché le eccentricità correttive hanno come unico compito quellodi cogliere il comportamento torsionale della risposta, indipendentemente dalle inevitabiliapprossimazioni che i metodi proposti dalla normativa comportano già per sistemi traslanti, siè valutato lo spostamento del centro di massa richiesto dal sisma come valore medio deimassimi riscontrati mediante una analisi dinamica non lineare (con i dieci accelerogrammi)del sistema in esame vincolato alla rotazione. Gli spostamenti dell’impalcato valutati mediantele analisi pushover sono pertanto rappresentati da un fascio di rette il cui centro, posto incorrispondenza del centro di massa del sistema, ha uno spostamento pari a quello richiesto dalsisma per un sistema traslante. Tra queste si individuano le rette che colgono lo spostamentodinamico del primo e del secondo lato dell’impalcato, cui corrispondono rispettivamente leeccentricità correttive e1 ed e2. Si noti che quando e1 è minore di e2, ovvero il punto diapplicazione della forza per cogliere lo spostamento sul primo lato si trova più a sinistra diquello per cogliere gli spostamenti sul secondo lato, gli spostamenti valutati mediante l’inviluppodelle due analisi pushover colgono esattamente gli spostamenti alle estremità dell’impalcato esovrastimano quelli dei punti intermedi (Figura 3a). Se, invece, e1 è maggiore di e2 glispostamenti dell’inviluppo sono ovunque cautelativi (Figura 3 b). In questo caso una qualunque

pushover effettuata con eccentricità compresa tra e2 ed e1 fornirebbe spostamenti cautelativi per qualunque punto dell’impalcato e mediamente caratterizzati da una minore sovrastimarispetto a quella fornita dall’inviluppo delle due pushover; pertanto nei suddetti casi si è assuntoun valore dell’eccentricità correttiva unico, convenzionalmente pari alla media di e1 ed e2.

(a)

0

50

100

150

200

250

CM

u

- L /2 L /2

(mm)

Dinamica

Inviluppo

Pushover

(b)

0

50

100

150

200

250

CM

u (mm)

- L /2 L /2

Dinamica

Inviluppo

Pushover

Figura 3. Inviluppo del diagramma degli spostamenti dinamici attraverso due diagrammi di spostamenti dapushover con eccentricità correttiva (a) e1< e2; (b) e1> e2

- 209 -



4 ANALISI PARAMETRICHE

Le analisi sono condotte su modelli monopiano con impalcato rigido di forma rettangolare,con lato maggiore L=29.50 m e lato minore B=12.50 m (Figura 4). Il sistema di riferimentofissato ha origine nel baricentro geometrico G dell’impalcato ed assi x ed y. Il sistema è

caratterizzato da una massa m pari a 1416 t, da un raggio d’inerzia delle masse r m=0.312 L eda un periodo traslazionale T del sistema bilanciato uguale nelle due direzioni e pari a 1 s. Irisultati mostrati nel presente lavoro si riferiscono a sistemi eccentrici nelle masse (MES). Laresistenza globale S del sistema, uguale nelle due direzioni, è assegnata in modo da avere

prefissati valori (tra 0.5 e 9.0) del rapporto Rμ tra il prodotto m S e(T ) (massa per accelerazionespettrale elastica corrispondente al periodo del sistema bilanciato) e la resistenza del sistema.L’azione sismica, agente in direzione y, è sostenuta da due insiemi di elementi resistenti acomportamento elastico-perfettamente plastico, disposti parallelamente agli assi diriferimento. Si sono considerati otto elementi resistenti in direzione y, quattro in direzione x esi è assunto che l’aliquota di rigidezza torsionale fornita dai telai in direzione x fosse pari al20% della rigidezza totale. La rigidezza dei singoli elementi resistenti è definita secondo la

procedura proposta da Ghersi e Rossi (2000) che consente di ottenere prefissati valori del parametro Ωθ (0.6, 1.0, 1.4). Il centro di massa è spostato nell’impalcato in modo tale da avereeccentricità delle rigidezze variabile tra −0.10 L e 0 con passo 0.025 L. Non potendosi ritenererigidezza e resistenza delle sezioni in c.a. totalmente indipendenti (Pauley, 1997), la soglia di

plasticizzazione S yi di ciascun elemento resistente in direzione y è fissata inizialmentemediante la relazione:

[ ]{ })()(sign8.01' Ri RS ii yi x x x xC k S −−+= (1)

essendo k i ed xi la rigidezza e l’ascissa del medesimo elemento, C i un numero compreso tra 0

ed 1 generato in modo casuale, x s l’ascissa che individua la posizione prefissata del centro diresistenza (definita in modo tale da ottenere eccentricità delle resistenze variabili tra −0.10 L e0.10 L con passo 0.025 L) e xr quella del centro di rigidezza. Tale generazione consente diottenere una distribuzione di resistenze parzialmente legata alle rigidezze e tale che il centrodi resistenza CS’ abbia un’ascissa x s’ compresa tra xr e l’ascissa dell’elemento resistente postoall’estremità della parte dell’impalcato che contiene CS. La definitiva distribuzione diresistenze si ottiene mediante una variazione lineare della distribuzione di resistenze tale da

portare il centro di resistenze da CS’ a CS e scalando le resistenze così ottenute in modo daavere il valore prescelto della resistenza globale. Si ha, pertanto:

( ) ⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −++= '''' sign2

1S S i yi yi

x x x L

S S (2)

y

k yi

CR

Figura 4. Il generico modello di calcolo

x G

k xie

BCS

e s

L

- 210 -



con:

( ) ( )∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−

−=

n

i

n

i

n

i yiS i yiS S S i yiS S

n

i

n

ii yi yiS

S

L

x xS x x x

L

xS x x

xS S x

1 1

'''2''

1 1

''

2sign2sign

∑=1

(3)

ed infine:

''

1

'' yin

i yi

yi S S

S S

∑=

= (4)

La resistenza degli elementi nella direzione ortogonale all’azione del sisma, invece, è definitain modo tale da essere simmetrica mediante le relazioni:

;( )i xi xi C k S 8.01' += '2/

1

'

2/ xin

i xi

xi S S

S S

∑=

= per 1 ≤ i ≤ n/2 (5a)

)1( +−in x xi S S per i > n/2 (5 b)

Per ogni schema strutturale, corrispondente a diversi valori dei parametri globali (er , e s, Rμ,Ωθ), sono considerate dieci differenti distribuzioni di resistenze, facendo variare in modocasuale il valore dei coefficienti C i, così da valutare l’influenza di questo parametro sulla

risposta dinamica non lineare a parità di eccentricità delle resistenze e resistenza complessiva.

5 DETERMINAZIONE DELLE ECCENTRICITÀ CORRETTIVE

Per ciascuno schema si sono determinate le eccentricità correttive e1 ed e2, col procedimentodescritto nel paragrafo 3. A parità di parametri globali, i valori ottenuti per le diecidistribuzione di resistenze hanno scarti quadratici medi molto modesti; si sono quindi assuntecome eccentricità correttive e1 ed e2 le medie di tali valori. Queste eccentricità sono statediagrammate in funzione dell’eccentricità delle resistenze e delle eccentricità delle rigidezze

per sistemi aventi un prefissato valore di Rμ e del rapporto Ωθ. Si riportano di seguito i

risultati ottenuti con riferimento al lato sinistro dell’impalcato, che per i valori di er considerati è il lato rigido (Figura 5). Risultati analoghi si ottengono per il lato destro. Si notiche, in accordo alle aspettative, le eccentricità correttive dipendono sempre dall’eccentricitàdelle rigidezze e in genere anche dall’eccentricità delle resistenze. Quest’ultimo parametrodiventa irrilevante quando l’impegno plastico è modesto, cioè per sistemi caratterizzati da

bassi valori di Rμ. Comunque, i diagrammi ottenuti sono superfici molto regolari e, adeccezione dei sistemi torsionalmente rigidi in presenza di impegni plastici elevati, benapprossimabili da piani di equazione:

cebeae r si ++= (6)

- 211 -



= 0.6 = 1.0 = 1.4

Per ciascun valore di Rμ e del parametro Ωθ è quindi determinata l’equazione del piano per ilquale risulta minima la somma dei quadrati degli scarti tra l’eccentricità correttiva stimata equella valutata mediante le analisi numeriche.Il confronto tra le eccentricità correttive stimate per il lato di sinistra attraverso l’equazioni

proposte, e1 p, e le medesime eccentricità valutate mediante analisi numeriche, e1n, mostra unaottima corrispondenza (Figura 6).

6 CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI

Il presente lavoro determina le eccentricità correttive con cui condurre l’analisi statica nonlineare per sistemi monopiano in modo tale da cogliere la risposta dinamica non lineare alleestremità dell’impalcato e fornire una stima cautelativa negli altri punti. Si è mostrato che talieccentricità sono esprimibili come funzione lineare delle eccentricità tra centro di massa,centro di rigidezza e centro di resistenza. Ulteriori analisi, svolte con un raffittimentodell’intervallo di valori dei parametri Rμ ed Ωθ, potranno fornire relazioni che esprimanoanaliticamente i coefficienti della suddetta relazione lineare in funzione di questi parametri.Sviluppi futuri potranno riguardare la valutazione dell’entità degli errori commessi nella stimadegli spostamenti dell’impalcato se lo spostamento del centro di massa richiesto dal sisma persistema traslante è valutato mediante i metodi approssimati recepiti dalle normative, nonché laverifica dell’efficacia del procedimento proposto per la stima della risposta sismica di sistemi

multipiano dotati di piano tipo.

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0-0.10

-0.050.00-0.25

-0.20-0.15

-0.10-0.050.000.050.100.15

e s /L

e r /L

e 1 /L

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0-0.10

-0.050.00-0.25

-0.20-0.15

-0.10-0.050.000.050.100.15

e s /L

e r /L

e 1 /L

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0-0.10

-0.050.00-0.25

-0.20-0.15

-0.10-0.050.000.050.100.15

e 1 /L

L

e s /L

e r

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0

. 0 5

0 .

1 0

-0.10-0.050.00-0.25

-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15

e s /L

e r /L

e 1 /L

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0

. 0 5

0 .

1 0

-0.10-0.05

0.00-0.25-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15

e s /L

e r /L

e 1 /L

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0

. 0 5

0 .

1 0

-0.10-0.050.00-0.25

-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15

e 1 /L

L

e s /L

e r

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0-0.10

-0.050.00-0.25

-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15

e s /L

e r /L

e 1 /L

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0-0.10

-0.050.00-0.25

-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15

e s /L

e r /L

e 1 /L

- 0 . 1

0

- 0 . 0

5

0 . 0

0

0 . 0

5

0 . 1

0-0.10

-0.050.00-0.25

-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.100.15

e 1 /L

L

e s /L

e r

Figura 5. Valori di e1 in funzione dell’eccentricità delle rigidezze e delle resistenze

- 212 -



= 0.6 = 1.0 = 1.4

7 RINGRAZIAMENTI

Il presente lavoro è stato sviluppato nell’ambito del programma di ricerca dal titolo“Valutazione e riduzione della vulnerabilità di edifici esistenti in c.a.” (ReLUIS, linea n. 2)finanziato dal Dipartimento della Protezione Civile.Gli autori ringraziano l’ing. Giovanna Ferrara per il prezioso contributo fornito.

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R =

0 . 5

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

R

= 3 . 0

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

R

= 9 . 0

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

-0.2

-0.1

0.0

0.1

-0.2 -0.1 0.0 0.1

e 1 p /L

Le 1n

Figura 6. Confronti tra i valori di e1 valutati mediante la formulazione proposta e stimati numericamente

- 213 -




SEISMIC R ETROFITTING OF EXISTING RC BUILDINGS BY MEANS OF

STEEL SHEAR PANELS: THE K OLETTI BUILDING IN ATHENS

A. Formisano a, G. De Matteis b, Federico M. Mazzolani a

a Dept. of Structural Engineering, University of Naples “Federico II”, Naples,[email protected], [email protected]

b Dept. of Design, Rehabilitation and Control of Architectonic Structures,University of Chieti/Pescara, Pescara, [email protected]

ABSTRACT Nowadays the seismic consolidation of existing reinforced concrete buildings is currently practised for the re-qualification of urban areas. To this purpose, innovative technologies based on metallic dissipative devices are able to provide high structural safety levels, limitingthe plastic engagement of the primary structural elements. In the present paper a newtechnique for seismic retrofitting of existing irregular RC buildings based on using thin steelshear plates is presented. In particular, a design procedure has been developed in theframework of the performance based design methodology and then applied to a specific studycase, namely the Koletti building in Athens. Thus, based on the numerical evaluation of the

lateral load capacity of the building, the strength and stiffness required to steel shear panelsfor fulfilling the seismic retrofitting design have been determined, allowing for the definitionof a suitable shear panel configuration. Finally, the numerical analyses carried out on theupgraded structure have shown the effectiveness of the implemented design procedure.

KEYWORDSSeismic retrofitting, irregular RC buildings, steel shear panels, performance based design,strip model.

1 INTRODUCTORY REMARKS

It has been ascertained that many existing RC structures do not meet the current seismic coderequirements, they resulting significant vulnerable to damage and even to collapse duringexpected earthquakes. As a consequence, the interest on the seismic response of existingstructures increased considerably in the past years, leading to the introduction of severalretrofitting methods, which are able to mitigate the seismic risk. The factors that should beconsidered for the selection of the retrofitting strategy include the effectiveness of the

proposed solution, the required performance level, the viability of execution of the retrofittingwork, the impact of the retrofitting work on the surrounding environment, the ease of

maintenance and the intervention cost. Among the commonly adopted techniques, Steel PlateShear Walls (SPSWs), may be conveniently used in comparison to concrete shear walls


- 214 -



thanks to the following features (Astaneh-Asl, 2001): 1) less weight transferred to thefoundations and less space occupied into the building; 2) less earthquake forces due to thereduced structure mass; 3) speed of erection and reduction of construction costs thank to bothefficient shop-welded and bolted connections.Adopted SPSWs can be either stiffened or unstiffened; the latter are preferable due to the

reduced cost, but under seismic forces they buckle in shear, forming a diagonal tension fieldmechanism. Anyway, past research on SPSWs showed that they are also able to dissipate alarge amount of energy during earthquakes when hot-rolled infill plates are adopted. Such atechnique has been already widely applied for retrofitting existing steel buildings (Berman etal., 2005), whereas the applications for RC structures appear to be very limited.On the basis of these premises and according to the results obtained by the ILVA-IDEMresearch project, where full-scale tests of an existing two-story RC building upgraded withsteel and aluminium shear panels separately used were performed (Mazzolani, 2006), in thecurrent study the possibility to apply steel shear panels for retrofitting an existing irregularGreek building is investigated. For this purpose, an ad hoc design procedure has beendeveloped according to the provisions given by ATC-40 guidelines (1996). In particular,

based on the numerical evaluation of the lateral load capacity of the building, once a targetdisplacement for the upgraded building has been selected, the strength and stiffness requiredto the steel shear panels have been determined. Therefore, a suitable shear panel configurationhas been defined. Then, a numerical analysis has been carried out on the upgraded structure,where the shear panels have been modelled according to the strip model theory, showing theeffectiveness of the implemented design procedure.

2 PAST RESEARCHES ON SPSWS

Before 1980’s, the design of SPSW was based on avoiding the out-of-plane buckling of the

plate. Therefore, in order to prevent buckling, steel plates were hardly stiffened and resultednot economically competitive. However, several experimental and analytical studies using

both quasi-static and dynamic loading emphasised an important post-buckling strength of thinSPSWs (Thorburn et al., 1983; Timler and Kulak, 1983).Many researches were carried out considering steel shear panels inserted in steel framed

buildings, while few studies and none practical application were referred to RC framedstructures. A first numerical activity was presented by Mo and Perng (2000), who tested RC

portal frames reinforced with steel trapezoidal sheeting in order to estimate the effectivenessof these devices as upgrading system for absorbing lateral actions. The tested panels presenteddifferent thickness (0.3, 0.4, 0.5 and 1.0 mm) and were connected to the frame members by

bolts. Based on cyclic tests performed under quasi-static regime, the hysteretic response ofshear panels was characterised by significant pinching effects. Panels with thickness of 0.4and 0.5 mm exhibited the best plastic behaviour, while the 1.0 mm thick one showed a brittlefailure mechanism, due to the frame members which collapsed before plate yielding. It wasconcluded that the small amount of dissipated energy due to large relative displacements

between RC members and the panel made this system not very appropriate for practicaldesign purposes, even if its potentialities was proved. For this reason, a revised system was

proposed by Kono et al. (2007). Four half-scale specimens (A, B, C and D types) composed by corrugated steel shear panels connected with different anchorage configurations to a RC portal frame were tested under cyclic loads (Figure 1a). The panels were realised with flangeson their four sides and two vertical stiffeners. Vertical flanges of specimen type C and all

flanges of specimen type D had a thickness of 9 mm, while other flanges and ribs were 4.5thick. The connection type of corrugated panels to the frame members was realised with 9

- 215 -



mm diameter studs. The experimental results showed for specimens type A, B and C fathysteretic cycles very similar each other up to the peak load when buckling occurred and afterthis a strength reduction not drastic as RC shear walls. In the whole, all specimens showed agood hysteretic behaviour due to the presence of studs which reduced the relativedisplacements between RC members and steel panels.

Wang (2006) analysed by numerical way the behaviour of a non-ductile RC concrete hospital building in the Eastern US retrofitted with four techniques, namely RC jackets, reinforcedconcrete shear walls (RCSWs), steel braces and SPSWs (steel plates having a thickness of 1/4inch and made of A36 steel), the latter being depicted in Figure 1b. The maximum inter-storydrift of the retrofitted structure was only slightly reduced (about 9%) with respect to theoriginal one, whereas the number and maximum rotation of plastic hinges in the framemembers were significantly reduced when SPSWs were used. The comparison among theresponses of the retrofitted structure and the original one showed that, after the RCSWs,SPSWs provide the best enhancement of the bare building performances in terms of bothstrength and stiffness.

Figure 1. The numerical research activity performed by Kono et al. (a) and Wang (b) on RC framesequipped with steel sheeting.

a) b)

All the above research activities were performed by means of numerical analyses, while onlytwo cyclic experimental tests on a real RC structure retrofitted with metal shear panels arereported in literature. This experimental activity, framed within the ILVA-IDEM research

project (Mazzolani, 2006), concerns the use of two different shear panels made of steel(thickness t = 1.15 mm) and pure aluminium (thickness t = 5 mm), respectively. The adoptedshear panels, which were divided into six sub-parts each one having a width b = 600 mm anda depth d = 400 mm, were applied to the first story of a real RC framed structure. In order toallow the correct interaction with the concrete frame, the applied metal shear panels wereinserted within an external steel frame composed by UPN 220 profiles. For the sake ofexample, the global view of aluminium panels is depicted in Figure 2a. The result of the

experimental tests, which are detailed in Formisano (2007), are depicted in Figure 2b, wherethe comparison between the behaviour of the structure retrofitted with steel and aluminiumshear panels with respect to the bare one is reported. It is apparent that the response of theretrofitted structures is significantly improved, showing a strong increase of both initialstiffness (about two times) and ultimate strength (10 and 11.5 times with steel and aluminium

panels, respectively). Also the deformation capacity of the structure appears to be very large,without the involvement of any brittle collapse mode up to a deformation amplitudecorresponding to an inter-storey drift greater than 3.5% and 6.5% for steel and aluminiumshear panels, respectively. For the sake of representation, the deformed shape of the testedsteel panel at the end of the loading process is shown in Figure 2c. The above experimentalresults, which have been obtained starting from an extensive theoretical – numerical study onthe used metal panels, represent the basis of the retrofitting procedure applied in the present

paper.

- 216 -



0

40

80

120

160

200

240

280

320

360

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

First floor displacement (mm)

B a s e s h e a r ( k N )

Bare RC structure

Retrofitted structure (steel panels)

Retrofitted structure (aluminium panels)

Figure 2. a) The tested configuration (aluminium shear panels); b) comparison among experimental cyclicenvelope curves; c) final deformed shape obtained for the steel shear panel.

3 THE STUDY CASE

3.1 The building description

The structure under investigation (Koletti building), which is studied within the PROHITECHresearch project, is one of the most important constructions of National TelecommunicationsOrganization of Athens (Vayas et al., 2006). It was erected in 1979 according to the Greekseismic code in force at that time. The building, which was realised with reinforced concreteframes located in two plane directions, consists of two storeys (total height of 8.25 m) belowground floor and six levels (total height of 26.50 m) above ground floor, with also a 20 mhigh tower positioned at the top. It presents in plane irregularity above the third storey anddevelops according to a rectangular shape of about 41 x 33 m. A global view and somedrawings of the building are shown in Figure 3.

c)Figure 3. The Koletti building: a) global view; b) ground floor lay-out; c) vertical section.

3.2 The numerical model

The finite element model of the building has been implemented by the SAP2000 analysissoftware (CSI, 2003). Beam elements were used to represent beams, columns and the towermembers, whereas slabs and walls of the basements were modelled with shell elements(Vayas et al., 2006). Firstly, both the tower and the underground levels were included in thestructural model (Figure 4a). In a subsequent study phase, since it was proved that the tower

did not affect the dynamic behaviour of the structure and the underground floors were

a) b) c)

b)a)

- 217 -



significantly rigid compared to the rest of the structure, for the sake of simplicity these two parts were excluded from the final structural model (Figure 4b).C16/20 concrete and steel bars with yield stress of 420 MPa were used as base componentsfor reinforced concrete, while S235 steel was used to model the material of the towermembers. The permanent and live loads applied for each storey are summarised in Table 1.

The seismic actions have been computed according to EC8 and Greek seismic regulations. In particular, lateral forces have been applied to the building according to the inverted triangulardistribution in both plane directions.Aiming at assessing the behaviour of the building under horizontal forces, preliminarynonlinear static analyses have been carried out on the bare RC structure. In particular, sincethe building is irregular in plan, showing significant torsional vibration modes, four differentanalyses (+X, -X, +Y, -Y) were developed. The relevant results are represented in the shear –displacement plane, providing the global structural response (Figure 5a).

Figure 4. Complete (a) and simplified (b) FEM model of the Koletti building.a) b)

Table 1. Loads applied on the structure.

FLOOR PERMANENT LOADkNm

-2

LIVE LOADkNm

-2

Ground 4.00 7.50

1st – 5

th 4.00 7.50

6t 2.50 7.50

Roof 1.00 2.50

0

2000

4000

6000

8000

10000

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

Displacement (m)

B a s e f o r c e ( k N )

-X

+X

-Y

+Y

Figure 5. Pushover curves of the bare structure (a) and retrofitting design curves (b).

a) b)

- 218 -



4 THE RETROFITTING INTERVENTION

4.1 Shear panel geometry

The basic procedure to retrofit the original structure by means of steel shear panels is framedwithin the ATC-40 American guidelines (1996), it being detailed in Mistakidis et al. (2007).

Based on the application of the retrofitting procedure to the case under study, the designcurves of the upgraded structure have been achieved, they being characterised by the strength(V ret) and stiffness ( K ret) represented in the ADRS format of Figure 5b under form of spectralacceleration and fundamental period, respectively. Once such values are known, thecontribution of the shear panels in terms of stiffness K p and strength V p can be easilydetermined. In the case under study, K p = 167 kN/m and 110 kN/m in direction X and Y ,respectively, while V p = 3708 kN and 3497 kN in direction X and Y , respectively. Suchstrength and stiffness values allow for the definition of the steel shear panels dimensionsaccording to the following relationships:

Bt f V y p ⋅⋅⋅=2

1 (1)

d nC

t B E K

f m p ⋅⋅

⋅⋅=

24 (2)

where B, d and t are the width, depth and thickness of shear panels, respectively, while, for ageneric level, nf is the number of upper storey (including the storey under consideration), f y isthe yield stress and C m2 is a corrective factor accounting for the difference between thestiffness calculated by theoretical and numerical ways due to the effect of the columnflexibility (Sabouri-Ghomi et al., 2003). If we fix a total panel width equal to 16.50 m thoughthe X direction and 13.00 m through the Y direction (corresponding to 10 panel fields of 1.65m and 1.30 m, respectively), the corresponding thickness to be used can be obtained by eqs.(1) and (2). In particular, the number of steel plate shear walls has been determined in order to

reduce the torsional effects of the structure due to its asymmetric plane configuration. In thecase under consideration, the design of shear panels has been performed by fixing a targetdisplacement corresponding to the life safety level, therefore equal to about 7 cm in both planedirections. As a consequence, the plate thickness has been determined according to stiffnessrather than strength requirements, providing the values reported in Table 2.

Table 2. Thickness of shear panels [mm] applied in X and Y directions.

FLOOR DIR. X DIR. Y

8 4.0 4.0

7 6.0 5.0

6 8.4 7.0

5 6.0 5.0

4 6.0 5.0

3 6.0 5.0

2 6.0 5.0

1 6.0 5.0

Therefore, since the design of shear panels is not conditioned by the steel strength, a steelgrade S235 has been fixed.

4.2 FEM model of the retrofitted structure

Once the panels dimensions have been determined, the FEM model of the upgraded structurehas been implemented by means of the SAP2000 analysis software. Steel shear panels have

been directly inserted within an external frame with an intermediate beam realised with

- 219 -



UPN300 profiles, which have been proportioned in order to remain elastic under themaximum loads generated by the tension field mechanism developed into shear plates. Suchmembers have been represented by means of beam elements, whereas shear panels have beenmodelled according to the strip model theory, considering for each shear wall field ten trussesconnected to the frame members through pinned joints and inclined of 45° in the same

direction of the main tensile stresses. Some views of the numerical model are shown in Figure6. Pushover tests on the retrofitted structure have been performed both in the X and Y direction. For the sake of example, the final state of the structure for the analysis related to thedirection -X is illustrated in Figure 7a, where the activation of the tension field mechanism inshear panels is apparent. In the same figure, a quasi-global dissipative mechanism of thestructure is evident, it being characterised by a maximum plastic rotation of some columnsequal to 0.03 rad. The related pushover curve is plotted in the ADRS plane in Figure 7b,where a very good agreement with the stiffness of the design curve and a satisfactoryaccordance with the theoretical resistance corresponding to the fixed performance point isobserved. Nevertheless, a better matching of the retrofitting design requirements in terms ofstrength could be obtained by using shear panels made of low yield strength steels, which

could result more appropriate for a correct application of this design strategy.

b)a) c)

Figure 6. 3D model (a), plane lay-out at + 15 m (b) and vertical section (c) of the structure retrofitted withsteel shear panels.

0,10

Bare StructureDesign Curve

Sa[g]

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,02 0,04 0,06 0,08 0,12 Sd [m]

5 %

8,1 %Retrofitted Structure

b)Figure 7. Pushover analysis in direction +Y : activation of plastic hinges within panels at the end of the test

(a) and comparison between the retrofitting design curve and the numerical one (b).

a)

5 CONCLUSIONS

In the present paper an effective design procedure for seismic retrofitting of existing RC

buildings by means of steel shear panels has been presented. Starting from the wideexperimental-theoretical-numerical study performed within the ILVA-IDEM research project,

- 220 -



the procedure developed according to the ATC-40 guidelines has been applied to the Koletti buildings of Athens. Therefore, the theoretical curve of the upgraded structure has beendefined and panel dimensions have been determined according to the stiffness requirements.Then, the FEM model of the retrofitted structure has been implemented by using the stripmodel approach for shear panels. Pushover analysis of the building has shown a very good

agreement between the theoretical and numerical results in terms of stiffness and strength.Finally, it has been observed that a better matching of the retrofitting design requirements interms of strength could be obtained by using shear panels made of low yield strength steels,which could result more appropriate for a correct application of this design strategy.

6 ACKNOWLEDGEMENTS

The current study has been developed within both the European research projectPROHITECH and the Italian research project RELUIS.

7 REFERENCES

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http://www.sciencedirect.com/science?_ob=PublicationURL&_tockey=%23TOC%235715%232005%23999729996%23567663%23FLA%23&_cdi=5715&_pubType=J&_auth=y&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=6b54696da4098d2858780bbf0992d3f3

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http://www.sciencedirect.com/science/journal/01410296




ANALISI DI VULNERABILITÀ SISMICA

DEL PALAZZO DEGLI UFFICI STATALI DI FORLÌ

Andrea Acciai, Raffaele Nudo

Dipartimento di Costruzioni, Università degli Studi di Firenze, [email protected]

ABSTRACTIl lavoro presenta un’analisi di vulnerabilità del Palazzo degli Uffici Statali di Forlì finalizzataad un’ipotesi di adeguamento sismico. L’edificio, progettato dall’Ing. Cesare Bazzani duranteil ventennio fascista ed inaugurato nel 1938, presenta una struttura in c.a. a sei piani fuori terra

più un piano interrato; esso inoltre, nella sua configurazione attuale, risulta privo della torretta presente nel progetto originale, distrutta nel 1944 dalle truppe tedesche in ritirata. La pianta,di forma pressoché quadrata, risulta irregolare a causa della disposizione di pilastri moltomassicci sui due prospetti principali; anche lo sviluppo in altezza presenta alcune irregolaritàa causa della brusca variazione della sezione di alcuni pilastri appartenenti ai telai perimetraliinterni.Al fine di valutare la vulnerabilità sismica dell’edificio è stata sviluppata un’analisi strutturalesecondo le prescrizioni della normativa sismica vigente. Detta analisi ha evidenziato livelli

deformativi e di sollecitazione rilevanti in alcune membrature dovuti essenzialmente ai moditorsionali connessi alla irregolarità in pianta dell’edificio. L’ipotesi di intervento hariguardato, da un lato, la disposizione di controventi metallici nelle maglie perimetraliospitanti gli elementi di minore rigidezza e, dall’altro, il ricorso a tecniche innovative al finedi colmare le carenze d’armatura a taglio rilevate in alcuni elementi.

PAROLE CHIAVEVulnerabilità sismica, irregolarità, adeguamento, elementi di controvento, rinforzo a taglio.

1 INTRODUZIONEIl lavoro presenta un’analisi di vulnerabilità sismica del Palazzo degli Uffici Statali di Forlì,uno degli edifici simbolo della città. Esso fu inaugurato il 21 aprile 1938 ma il suo iter

progettuale fu denso di vicissitudini. Come capoluogo della provincia che gli aveva dato inatali, Forlì ebbe attenzioni particolari da parte di Benito Mussolini. Pertanto, durante ilventennio la città subì una decisa trasformazione ad opera di figure autorevoli che il poterecentrale gli imponeva. Giunse così in città l’Arch. Ing. Cesare Bazzani, colui che nel 1905vinse il concorso per la facciata di S. Lorenzo a Firenze, che nel 1906 partecipò al concorso

per la Biblioteca Nazionale della stessa città ottenendo il primo premio e che due anni doporisultò vincitore del concorso per il Palazzo delle Belle Arti, poi Galleria d’Arte Moderna, di

Roma. Bazzani costruì e restaurò a Forlì i luoghi delle istituzioni più importanti fra i quali ilPalazzo degli Uffici Statali, che venne eretto in prossimità di Piazza Aurelio Saffi, uno dei

Topic: MND FC IRREG MIX TAMP SCALE NODI BIAX

- 222 -



luoghi più centrali della città. Il complesso che andò a sostituire le preesistenze fu oggetto di

diversi ripensamenti progettuali, testimoniati dai numerosi elaborati conservati presso

l’archivio privato del progettista (Archivio di Stato della città di Terni) e presso l’Archivio di

Stato della città di Forlì, nonché da tavole pubblicate sul Popolo di Romagna (Emeroteca

della città di Forlì).

L’opera nella sua configurazione finale (Figura 1) ebbe però vita breve. Inauguratanell’aprile del 1938 fu poi minata in sommità e privata della torretta dai tedeschi in ritirata

nel novembre del 1944. Il crollo danneggiò la copertura e parte dei solai del quinto piano.

Furono poi l’urgenza e le disponibilità economiche limitate a determinare la scelta di una

ricostruzione parziale del complesso, che da allora si erge sulla piazza senza la torretta di

coronamento (Figura 2). Il trascorrere degli anni e il succedersi delle generazioni ha poi

cancellato dalle memorie l’immagine originale del complesso.

Figura 1. L’edificio nel 1938. Figura 2. Vista attuale dell’edificio.

2 CARATTERISTICHE DELL’EDIFICIO

Il rilievo delle caratteristiche dell’edificio è stato condotto, oltre che attraverso un esamevisivo a campione di quanto possibile rilevare, soprattutto grazie alla consultazione deidocumenti custoditi presso gli Archivi di Stato di Terni e di Forlì; purtroppo l’archivio

dell’impresa esecutrice (Cantieri Ettore Benini) è andato perduto. L’analisi di tali documentiha consentito di accertare quanto di seguito riportato.

2.1 Rilievo geometrico

Il complesso di cui fa parte il Palazzo degli Uffici Statali di Forlì è costituito da una struttura atelaio in cemento armato. Esso è composto da diversi corpi di fabbrica disposti lungo il

perimetro di un isolato di forma rettangolare. Il corpo d’angolo che costituisce l’oggetto della presente indagine ha un’altezza maggiore rispetto ai corpi attigui dai quali risultastrutturalmente indipendente grazie alla presenza di giunti tecnici di dimensione pari a 5 cm.Il progetto delle fondazioni, come rilevato dal capitolato speciale d’appalto (Archivio di Stato

di Forlì), prevedeva inizialmente la realizzazione di travi rovesce in calcestruzzo non armato.I successivi scavi, portati alla profondità di 3 m al di sotto del piano stradale, rivelarono però

- 223 -



un terreno di portanza non adeguata a sopportare il peso dell’edificio. A seguito di sondaggigeotecnici appositamente eseguiti si accertò che lo strato di terreno caratterizzato dasufficienti proprietà meccaniche (argilla con lieve quantità di sabbia, carico di sicurezza di 1.8kg/cm2), risultava ad una profondità di 7.5 m. Si pensò pertanto di adottare una soluzionediversa rispetto a quella ipotizzata inizialmente e fondare il corpo di fabbrica su una platea in

calcestruzzo armato, posta ad una profondità di 3.5 m ed attestata su pali in legno di pinoaventi diametro di 21 cm e lunghezza di 6.5 m (Figura 3). Prima della messa in opera sonostate condotte prove d’infissione sui pali che fornirono un carico di sicurezza percompressione assiale di 8500 kg. I pali vennero poi posizionati ad interasse di 70 cm, su file

parallele sfalsate; in tal modo, per il solo corpo d’angolo del complesso, si ottenne un numerodi pali intorno al migliaio.Per quanto riguarda la sovrastruttura, le informazioni ottenute risultano meno dettagliate. Daidocumenti consultati è stato possibile acquisire soltanto le dimensioni geometriche dei diversielementi strutturali ma non la quantità e la distribuzione delle armature. In particolare è statorilevato che i pilastri presentano in genere andamento rastremante, ad eccezione delle

pilastrate presenti sui lati adiacenti ai corpi attigui di minore altezza, che subiscono una brusca

variazione di sezione ai piani 3, 4 e 5, per poi riprendere una sezione maggiore ai pianieccedenti l’altezza dei corpi in aderenza. Alcuni pilastri collocati in corrispondenza dei giuntitecnici presentano una sezione articolata, tendente a determinare una sorta d’incastro con icorrispondenti elementi dei corpi di fabbrica attigui (Figura 3).Le sezioni delle travi di bordo hanno forma ad “L” con anima emergente all’estradosso,mentre le travi interne presentano sezione rettangolare emergente all’intradosso. I solai sonocostituiti da piastre di calcestruzzo armato dello spessore di 15 cm, progettati per un carico diesercizio di 300 kg/m2. Le tamponature delle maglie dei telai perimetrali sono costituite damuratura in mattoni pieni tali da realizzare spessori diversi tra facciate principali e telaitergali; in particolare, per questi ultimi è stata rilevata la presenza di 2 cortine di mattoni conintercapedine interposta. Le tramezzature interne, delimitanti i vari ambienti, sono invecerealizzate in mattoni forati in foglio.

Figura 3. Pianta generale originale della platea armata (Archivio di Stato di Forlì).

2.2 Armatura degli elementi e caratteristiche meccaniche dei materiali

Come già precisato, i documenti consultati non forniscono riferimenti espliciti sulle armature

degli elementi della sovrastruttura e sulle resistenze dei materiali. Per tale motivo si è pensatodi pervenire comunque ad una stima delle suddette caratteristiche avvalendosi delle

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informazioni a disposizione e delle prescrizioni delle normative vigenti all’epoca, unite ad unaserie di indagini condotte in situ.Il complesso è stato progettato agli inizi degli anni ‘30 quando la normativa sismica,introdotta a carattere nazionale dal R.D. 23/10/1924 n. 2089, aveva appena iniziato adevolversi con l’introduzione, nel 1927, delle zone sismiche di prima e seconda categoria.

Quanto emerge dal capitolato speciale d’appalto è che il complesso fu realizzato utilizzandoferro omogeneo e un calcestruzzo con dosaggio costituito da 350 kg di cemento Portland, 0.4m

3 di sabbia, 0.8 m

3 di ghiaia e 120 litri d’acqua, in conformità a quanto previsto dal R.D.L.

29/07/1933 n. 1213. In particolare tale documento precisa quanto segue relativamente aimateriali da utilizzare per il confezionamento del cemento armato:− ferro colato od omogeneo in barre con resistenza a trazione compresa fra 3800 e 5000

kg/cm2 e con allungamento a rottura non inferiore a 27% e 21% rispettivamente;

− conglomerato normale di resistenza minima pari a 300 kg/cm2, confezionato con

proporzioni volumetriche pari a 300 kg di cemento Portland, 0.4 m3 di sabbia, 0.8 m3 di

ghiaia e 120 litri d’acqua.

Ai fini di una più approfondita conoscenza delle caratteristiche dell’edificio sono stateeseguite, inoltre, prove sclerometriche a campione su alcuni elementi strutturali. Tali prove

hanno fornito valori uniformi rispetto agli elementi testati, con un valore medio dellaresistenza cubica pari a R cm = 35 N/mm2. A seguito di ciò, e tenendo conto delle altre

informazioni ricavate, è stata assunta per il calcestruzzo una resistenza cilindrica media paria f cm = 25 N/mm2. Riguardo all’acciaio, in base a quanto deducibile dalle prescrizioni del

R.D.L. del 1933, sono state assunte caratteristiche intermedie tra le attuali classi FeB22k ed

FeB32k, e precisamente valori di snervamento e di rottura dati rispettivamente da f ym = 270 N/mm

2 e f tm = 420 N/mm

2.

Sono stati effettuati anche rilievi magnetometrici che hanno consentito di determinareunicamente il passo delle staffe (per le travi s = 25÷40 cm, per i pilastri s = 20÷30 cm),

mentre alcuni dubbi sono rimasti sui diametri e sul numero dei ferri d’armatura. Si è pertanto proceduto simulando un dimensionamento secondo le consuetudini e le normative dell’epoca(calcoli semplificati per le travi del tipo trave continua soggetta a carichi verticaliincrementati, armatura dei pilastri in percentuale della sezione di calcestruzzo).In base a quanto è stato possibile dedurre sulle caratteristiche geometriche e meccanichedell’edificio, e facendo esplicito riferimento alle disposizioni dell’OPCM 3431/05, è sembratoragionevole ipotizzare un livello di conoscenza intermedio (LC2); in funzione di detto livelloè stato definito il tipo di analisi (lineare modale) ed il fattore di confidenza (FC=1.2).

3 ANALISI SISMICA DELL’EDIFICIO ATTUALE

Al fine di determinare la vulnerabilità sismica dell’edificio nelle condizioni attuali, intesacome capacità di soddisfare i requisiti prescritti dall’OPCM 3431/05, è stata sviluppataun’analisi modale applicata ad un modello tridimensionale dell’edificio, tenuto conto dellecaratteristiche di non regolarità di quest’ultimo determinate dalla non uniforme distribuzionedelle rigidezze.In Figura 4 è riportato il modello tridimensionale dell’edificio assieme ai relativi parametrimodali. In particolare sono stati considerati i primi 15 modi di vibrare in quanto ad essicorrisponde una partecipazione modale appena superiore all’85% prescritto. Per quantoriguarda la definizione degli Stati Limite ai fini delle verifiche di sicurezza, sono staticonsiderati lo Stato Limite di Danno Severo (S.L.D.S.) e lo Stato Limite di Danneggiamento

Limitato (S.L.D.L.).

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Figura 4. Modello tridimensionale dell’edificio e relativi coefficienti di partecipazione modale.

Ai fini della verifica allo S.L.D.S. si è ritenuto eccessivamente penalizzante riferirsi al solospettro elastico, tenuto conto del fatto che le medesime caratteristiche in un edificio nuovo

avrebbero determinato un fattore di struttura q pari a 3.28. Pertanto, considerando lalimitazione 1.5 ≤ q ≤ 3, il valore dello stesso fattore è stato fissato pari a 2.5; tale assunzioneconsente peraltro di utilizzare lo stesso spettro per le verifiche relative ad entrambi gli statilimite considerati. L’accelerazione di ancoraggio allo spettro è stata fissata pari a 0.25 g essendo la città di Forlì collocata in zona sismica n. 2. Per la categoria del suolo è stato fissatoil tipo E in quanto ritenuto rispondente alla stratigrafia del terreno reale.Sono stati quindi valutati gli effetti, in termini deformativi e di sollecitazione, corrispondentialle condizioni di carico fissate dalla normativa ed ottenute dalla combinazione tra carichigravitazionali ed azioni sismiche in direzione x e y.Le verifiche allo S.L.D.S. sono state condotte con riferimento ai meccanismi duttili (flessionee presso-flessione con valore contenuto dello sforzo normale) ed a quelli fragili (taglio). Per

quanto riguarda il primo tipo di verifica essa, in accordo con le indicazioni di normativa, èstata condotta sulla base della seguente limitazione:

θ ≤ θu (1)

essendo θ la rotazione rispetto alla corda ad un estremo dell’elemento considerato e θu ilcorrispondente valore di collasso; tale ultimo valore è fornito da:

( )

( )

( )dc

ywsx

100f

f 35.0

v225.0

c

el

u 25.125

h

Lf

;01.0max

';01.0max3.0016.0

1 ρ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ αρ

ν ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ω

ω×

γ

=θ (2)

Le grandezze riportate nella (2) sono meglio precisate nell’Allegato 11.A dell’OPCM3431/05.La verifica relativa agli elementi fragili è stata condotta sulla base della seguentedisuguaglianza:

V ≤ Vu (3)

Entrambi i tipi di verifica hanno evidenziato che un numero consistente di elementi strutturalinon ottempera ai requisiti richiesti. Per tale motivo si conclude che l’edificio attuale risulta

caratterizzato da vulnerabilità sismica sulla base della procedura convenzionale prescritta dalgià citato documento normativo.

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4 IPOTESI DI RICOSTRUZIONE DELLA TORRETTA

L’esito delle verifiche condotte sull’edificio nelle condizioni attuali ha determinato la

necessità di ipotizzare un intervento di adeguamento e di valutarne la fattibilità da un punto divista tecnico ed economico. Nel contempo però, stante il fascino che il complesso suscita

nella sua configurazione originaria, si è voluto considerare l’ipotesi della ricostruzione dellatorretta valutando l’influenza che la stessa può determinare sulla risposta dinamica

dell’edificio, inclusi gli eventuali incrementi delle richieste in termini di sollecitazione e dideformazione.

Per ricostruire nel modo più fedele possibile la geometria originaria della struttura di

coronamento è stata utilizzata una procedura definita di “prospettiva inversa”. Attraverso talemetodo, partendo da immagini fotografiche originali, è stato ricavato il relativo modello

tridimensionale, dal quale sono poi state attinte tutte le informazioni dimensionali necessarie.

Il progetto della struttura prevede solai di tipo composito acciaio-calcestruzzo con orditurasecondaria costituita da IPE 140 disposte ad interasse di 80 cm sorretta da una struttura principale costituita da IPE 450. Gli impalcati sono a loro volta sorretti da piedritti principali

realizzati con HEA 300 e da piedritti secondari costituiti da elementi scatolari 70×140×10mm, che trasmettono all’edificio sottostante un carico complessivo di circa 400 kN. Le magliestrutturali sono state controventate per mezzo di elementi diagonali a sezione angolare 60×8

mm. In Figura 5 sono riportati il nuovo modello tridimensionale di edificio con torretta ed i parametri modali ottenuti dall’analisi. Dai valori riscontrati si ricava una riduzione della

partecipazione dei modi rotazionali a favore di quelli traslazionali. Relativamente allerichieste deformative e di sollecitazione si rileva una riduzione quantificabile in qualche

unità percentuale. Si deduce pertanto che l’inserimento della torretta risulta stabilizzante neiriguardi della risposta dinamica, con particolare riferimento all’abbattimento dei modi

torsionali.

L’analisi sviluppata con riferimento a tale modello ha comunque dimostrato che la riduzioneottenuta sugli effetti deformativi e di sollecitazione non risulta sufficiente a soddisfare le

verifiche di sicurezza.

Figura 5. Modello dell’edificio con torretta e relativi coefficienti di partecipazione modale.

5 IPOTESI DI ADEGUAMENTO

I risultati forniti dai modelli precedenti hanno evidenziato consistenti componentirotazionali determinate da una non uniforme distribuzione delle rigidezze in pianta. In

particolare tale distribuzione risulta connessa alla presenza di elementi molto rigidi incorrispondenza dei due prospetti principali dell’edificio. L’incidenza, in termini di

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rigidezza, determinata dalle pesanti tamponature in mattoni pieni nelle maglie degli stessi

telai è stata ritenuta poco rilevante a causa della presenza di aperture di superficie notevole.A seguito delle suddette considerazioni si è pertanto ipotizzato un intervento di

adeguamento basato sul tentativo di regolarizzare la distribuzione delle rigidezze all’internodell’edificio e ciò attraverso l’inserimento di elementi di controvento (aste diagonali)

opportunamente posizionati nelle maglie dei telai disposti nella parte tergale dell’edificio. InFigura 6 è illustrato il modello numerico con evidenziazione delle maglie ospitanti glielementi di controvento. In Figura 7 sono invece riportate le deformate dell’edificio, prima e

dopo l’intervento di controventamento, corrispondenti alla condizione di carico che prevedela componente sismica più rilevante in direzione x. Da tale confronto emerge che l’interventoipotizzato consente praticamente di eliminare la componente rotazionale. In particolare lo

stesso intervento ha determinato, oltre che una regolarizzazione delle rigidezze, una piùuniforme distribuzione delle sollecitazioni, scaricando le membrature che risultavano

maggiormente penalizzate e, nel contempo, incrementando le richieste in quegli elementi

che precedentemente risultavano meno gravati. Nelle Tabelle 1 e 2 sono riportate legrandezze relative alle verifiche allo S.L.D.S. condotte sugli elementi maggiormente

penalizzati in termini di deformazione e di sollecitazione, con esplicito riferimento aimeccanismi duttili e fragili. Dai dati evidenziati risulta che l’intervento consente di

ottemperare alle prescrizioni regolamentari per quanto riguarda le richieste flessionali. Si presenta invece un problema legato alla sollecitazione tagliante; Tale evenienza può essere

affrontata attraverso interventi locali di rinforzo basati sull’utilizzo di materiali compositi

fibrorinforzati (CNR-DT 200/2004). Nessun tipo di problema è stato riscontrato per le verifiche allo S.L.D.L..

Dall’analisi risulta infine un taglio massimo alla base dell’edificio pari a 3805 kN; se si prescinde dall’attrito fondazione-terreno, alla testa di ciascun palo risulta pertanto un taglio

pari a circa 4 kN (τ = 0.12 N/mm2).

Figura 6. Modello dell’edificio con controventi

metallici. Figura 7. Confronto fra le deformazioni subite

dalla

struttura prima e dopo l’intervento.

Tabella 1. Grandezze relative alla verifica allo S.L.D.S. per meccanismi duttili.

ElementoM

kN×mmVkN

Lv mm

ν u SD

304337373.9 207.38 1627 0.0004 0.0001 0.0146 0.0109

(trave)82 122213.1 123.95 986 0.2699 0.00004 0.0074 0.0056

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(pilastro)

Tabella 2. Grandezze relative alla verifica allo S.L.D.S. per meccanismi fragili.

ElementoØst

mm

s

mm

V

kN

Vu

kN

3049 250 207.38 156.39

(trave)

829 300 123.95 331.25

(pilastro)

6 CONCLUSIONI

Le analisi sviluppate hanno rivelato che l’edificio, nelle condizioni attuali, risultacaratterizzato da vulnerabilità sismica in quanto affetto da grosse irregolarità nella

distribuzione delle rigidezze. E’ stato altresì dimostrato che l’eventuale ricostruzione della

torretta non determina un peggioramento della risposta dinamica. L’intervento diadeguamento ipotizzato, basato sull’inserimento di elementi di controvento che determinano

una più uniforme distribuzione delle rigidezze, consente di soddisfare le verificheconvenzionali previste dalla vigente normativa relativamente ai meccanismi duttili; si rileva

invece una criticità connessa alla verifica a taglio. Tale problema può essere affrontatoricorrendo a rinforzi locali con materiali compositi, vagliando però la fattibilità economica

dell’intervento. Persistono peraltro ulteriori aspetti critici quali le incertezze connesse ai palidi fondazione in legno; tali elementi infatti, pur risultando poco sollecitati, non forniscono

garanzie in termini di durabilità del materiale e di efficacia del collegamento con la platea di

fondazione.

7 RINGRAZIAMENTI

Gli autori ringraziano la Regione Emilia Romagna per aver autorizzato le indaginiconoscitive, l’Archivio di Stato di Forlì, l’Archivio di Stato di Terni, Confindustria di Forlì-Cesena, la Biblioteca di Forlì e il Sig. Giorgio Liverani per l’aiuto fornito nella consultazionedei preziosi documenti indispensabili allo sviluppo del presente studio.

8 BIBLIOGRAFIA

Archivio di Stato Città di Terni. Fondo Bazzani, immagini FO085022, FO097003, FO097004,FO097017, FO097018, FO097019.

Archivio di Stato Città di Forlì. Archivio dell’Ufficio del Genio Civile di Forlì, cartelle n. 347, 435,442, 443.

Emeroteca Città di Forlì. Popolo di Romagna, annate dal 1934 al 1938.R.D. n. 2089 del 23/10/1924. “Norme tecniche ed igieniche di edilizia per le località colpite dal

terremoto”.R.D.L. n. 1213 del 29/07/1933. “Norme per l’accettazione dei leganti idraulici e per l’esecuzione delle

opere in conglomerato cementizio”.O.P.C.M. n. 3431 del 03/05/2005. “Norme tecniche per il progetto, la valutazione e l’adeguamento

sismico degli edifici”, Allegato 2.

CNR-DT 200/2004. “Istruzioni per la progettazione, l’esecuzione ed il controllo di interventi diconsolidamento statico mediante l’utilizzo di compositi fibro-rinforzati”, Roma.

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DUE PROPOSTE PER I PROFILI DI CARICO NELL’ANALISI PUSHOVER

Piero Colajanni, Barbara Potenzone

Dipartimento Ingegneria Civile, Messina [email protected], [email protected]

ABSTRACT Nell’ambito dell’analisi statica non lineare, vengono proposte due semplici distribuzioni di

carico secondarie, una invariante ed una adattiva, da impiegare per la valutazione la rispostadi “progetto” nella logica dell’inviluppo delle risposte ottenute con i profili principali.Attraverso l’analisi della risposta di due telai in c.a., uno regolare in altezza, l’altro irregolareviene mostrato che l’impiego dei profili proposti consente di ottenere una stima conservativadella risposta nei piani inferiori della struttura, tipica della distribuzione uniforme, riducendosignificativamente l’approssimazione connesse con l’impiego di quest’ultima. I profili

proposti possono pertanto costituire una valida alternativa ai profili di carico secondari proposti dall’attuale normativa.

PAROLE CHIAVE

Analisi pushover, profili di carico, distribuzioni invarianti, distribuzioni adattive, normativa.

1 INTRODUZIONE

Nell’eseguire un’analisi statica non lineare, la scelta del profilo di carico costituisce unaspetto fondamentale, in grado di influenzare significativamente l’accuratezza dei risultatiottenibili. Sebbene recenti formulazioni hanno consentito di incrementare l’accuratezza deirisultati ottenibili con i diversi approcci (Chopra and Goel, 2002, Antoniou e Pinho, 2004b,Kunnath 2004), fin ora non sono state ancora fornite formulazioni e criteri capaci di indicarela forma del profilo di carico “ottimale” da impiegare in relazione alla tipologia strutturale o

alle caratteristiche dell’input sismico. Inoltre i risultati presenti in letteratura mostrano chenessuna distribuzione di forze statiche riesce a cogliere efficacemente tutti i parametri dirisposta di interesse progettuale per tutti i casi esaminati.In ambito normativo i più recenti codici prevedono di valutare la risposta attraversol’inviluppo dei risultati ottenuti da due analisi, fornendo per ciascuna di esse, un gruppo di

profili di carico fra i quali scegliere la coppia più idonea per la struttura in oggetto.Il primo gruppo, detto delle distribuzioni principali, è formato da profili di carico definiti a

partire dalle proprietà dinamiche della struttura a comportamento lineare, e il suo impiego si pone l’obiettivo di riprodurre la risposta per effetto di terremoti di modesta intensità. In talicondizioni, il cimento della struttura in campo plastico è limitato, e le variazioni dellecaratteristiche di rigidezza modificano soltanto parzialmente le proprietà dinamiche e la formadei modi propri di vibrare associati alla matrice di rigidezza tangente della struttura. Neconsegue che, durante l’evento sismico, la distribuzione delle forze di inerzia e dissipative


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lungo l’altezza si discosta poco da quella prevista attraverso lo studio delle risposta elastica.Il secondo gruppo, contenente le distribuzioni secondarie, è formato da profili di caricofinalizzati a tenere in conto il profondo modificarsi delle caratteristiche della struttura in

presenza di diffuse deformazioni plastiche. La radicale variazione del profilo deglispostamenti esibiti lungo l’altezza richiede una conseguente modifica della distribuzione delle

azioni che, agendo staticamente, tentano di riprodurre tale comportamento. Nella previsione di un siffatto comportamento, possono essere seguiti due diversi approcci.Un primo, seguito dalle analisi adattive (Antoniou & Pinho, 2004a, 2004b) si ponel’ambizioso obiettivo di tentare di riprodurre staticamente il più fedelmente possibile ladeformata dinamica della struttura, aggiornando durante l’analisi incrementale il profilo dicarico in funzione delle caratteristiche dinamiche associate alla matrice di rigidezza tangentedel sistema. Un secondo, più realistico (Kunnath, 2004), si limita a cercare di fornire unastima conservativa della risposta attraverso l’impiego di più profili di carico, inviluppando irisultati forniti dalle diverse analisi. È proprio in quest’ultimo ambito che si collocano leindicazioni dei più recenti codici normativi (FEMA 356, EC8) In particolare, la recentenormativa italiana ( Norme tecniche per le costruzioni 2008) prevede, fra i profili secondari, il

profilo “uniforme”, con forze proporzionali alla masse di piano, e profili adattivi, per i quali però non è fornita alcuna ulteriore indicazione. Nel presente lavoro sono proposte due semplici distribuzioni di carico, appartenenti al gruppodelle distribuzioni secondarie, una invariante ed una adattiva, da impiegare nel ricercare larisposta di “progetto” nella logica dell’inviluppo delle risposte ottenute con profili del primogruppo. Attraverso l’analisi del comportamento di due strutture in c.a., che costituiscono una

piccola parte della più ampia casistica analizzata in altra sede (Potenzone 2008), sarà mostratoche l’impiego dei profili proposti consente di ottenere una stima conservativa della risposta,tipica della distribuzione uniforme, riducendo significativamente l’approssimazione nellavalutazione della risposta, soprattutto nei piani inferiori della struttura.

2 PROCEDURE E PROFILI DI CARICO PER L’ANALISI STATCA NON LINEARE

Le recenti Norme Tecniche per le Costruzioni (2008) prevedono, per i profili di carico principali, atti a prevedere la risposta di sistemi a comportamento debolmente non lineare, letre seguenti distribuzioni: i) distribuzione “triangolare”, nella quale la forza sismica al piano è

proporzionale al prodotto del peso sismico di piano W i per l’altezza dell’impalcato dallospiccato delle fondazioni; ii) distribuzione corrispondente alla forma del primo modo divibrare (nel seguito indicata con l’acronimo 1M), nella quale la forza sismica di piano è

proporzionale al prodotto di W i per lo spostamento di piano associato alla prima forma modaledel sistema elastico; iii) distribuzione delle forze in grado di riprodurre l’andamento dei taglidi piano calcolati attraverso l’analisi dinamica multimodale (nel seguito indicata conl’acronimo MS “Modal Shear”), nella quale le forze di piano sono:

N modi2

i i i 1 n n i ij j 1

F (Q Q ) (i 1,2...., n 1); F Q ; Q Q+=

= α − = − = = ∑ (1a,b,c)

dove Qij e il taglio sismico al piano i dovuto al generico modo j.Per le distribuzioni secondarie, atte a prevedere la risposta di sistemi a comportamentofortemente non lineare, sono previste: iv) la distribuzione uniforme (che verrà indicata conl’acronimo U), nella quale le forze sismiche sono proporzionali ai pesi sismici di piano W i; v)

distribuzioni adattive, in cui la forma del profilo di carico si modifica durante l’analisi infunzione della plasticizzazione della struttura.

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Fra le innumerevoli procedure e distribuzioni proposte in letteratura, particolare interessesuscitano quelle proposte da Chopra & Goel (2002) e da Antoniou e Pinho (2004b). La prima,nota con l’acronimo MPA (Modal Pushover Analysis) è derivata attraverso una direttaestensione dell’analisi dinamica multimodale per sistemi lineari, alla valutazione dellarisposta sismica di sistemi a comportamento isteretico. La procedura richiede che, per ogni

modo considerato, venga svolta un analisi push-over con profilo di forze invariante proporzionale alla corrispondente forma modale. La risposta nodale complessiva è calcolatacombinando i parametri di risposta cinematici ottenuti in ciascuna delle analisi pushoverattraverso le regole di combinazione modali SRSS o CQC impiegate in ambito lineare. LaMPA si configura come una procedura fra le più accurate per la valutazione della domandasismica di strutture deformabili a comportamento debolmente non-lineare.Per la previsione della risposta di strutture a comportamento fortemente non lineare,

particolarmente efficace risulta la procedura proposta da Antoniou e Pinho (2004b), nota conl’acronimo DAP (Displacement-based Adaptive Pushover procedure), secondo la qualel’analisi viene condotta, al k -esimo passo di carico, imponendo un profilo di spostamenti U i

k ottenuto con approccio incrementale. A tale scopo, si valuta il profilo degli incrementi di

spostamento di piano Dik dalla somma degli spostamenti di interpiano Δ Dik . Questi ultimisono ottenuti dalla combinazione modale degli spostamenti relativi di piano, calcolatimediante gli autovettori Φ k

i,j associati alla matrice di rigidezza tangente. Si ha così:

( )

( )2n modi n modi2

, 11 1

1

1

( )

;

ij j

k k k k k k i i j i d j

j j

ik k k k k i p i i k i

p

D D S T

D D U U D

Δ Δ Γ Φ Φ

Δ λ

−= =

−

=

⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

= = +

∑ ∑

∑ (2,a,b)

dove si è indicato S d (T ik ) l’ordinata dello spettro di risposta elastico in spostamento

corrispondente al periodo T ik e con λk il moltiplicatore degli spostamenti.

Un analoga procedura, basata su profili di carico adattivi incrementali in termini di forze, precedentemente proposta in letteratura, ed indicata con l’acronimo FAP (Antoniou e Pinho2004a) non consente di ottenere, in genere, la stessa accuratezza di risultati.

2.1 Due proposte per i profili di carico secondari

L’impiego di procedure adattive, anche se in un gran numero di casi consente di ottenerestime della risposta più accurate di quelle ottenibili con profili invarianti, spesso non forniscerisultati conservativi, come è invece assicurato dall’impiego della distribuzione uniforme

insieme ad una distribuzione principale. D’altro canto, l’impiego della distribuzione uniforme,nella maggioranza dei casi risulta eccessivamente penalizzante, conducendo ad una stimafortemente cautelativa degli spostamenti dei piani inferiori.Sulle basi di queste osservazioni, si propone l’impiego di due profili di forze secondari, unoinvariante e l’altro adattivo semplificato, alternativi all’impiego del profilo uniforme o delle

più complesse procedure adattive. L’ efficacia dei profili proposti è dunque da intendersinell’ambito della procedure indicata dalla normativa, che prevede di ottenere la stima delladomanda dall’inviluppo dei risultati ottenuti con l’impiego di uno dei profili principali.

Nel proporre le nuove distribuzioni, si è tenuto in conto che tra i profili principali, quelloderivato dalla distribuzione dei tagli di piano dedotti da un’analisi modale in fase elastica(MS) è fra i più efficaci nel riprodurre le sollecitazioni massime sulla struttura, fin quandol’intensità del sisma non produce la formazione di cerniere plastiche. Tale osservazione hacondotto a ritenere che, in una procedura adattiva semplificata, fin quando il sistema ha un

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comportamento elastico lineare, questa distribuzione è la più idonea a prevedere la rispostadella struttura. Quando le prime plasticizzazioni si manifestano, appare estremamente

problematico definire un criterio di valutazione degli incrementi del profilo di carico. Per lefinalità sopra descritte, si propone di impiegare incrementi di carico derivati dal profilouniforme. Si ottiene cosi una procedura adattiva semplificata (che inseguito sarà indicata con

la dicitura propA) che in base a Eq.(1), ed in analogia a quanto previsto in Eq(2b), prevedel’applicazione del seguente profilo di carico:

( )i 1 i i 1 1 yF Q Q 0+= α − ≤ α ≤ α (3a)

( ) iFi 2 i i y i i 1F W F Q Q −Δ = α = α − + Δ (3b)

essendo α1 il moltiplicatore del profilo di carico MS da impiegare in fase elastica, α y il suovalore alla formazione della prima cerniera plastica, e α2 il moltiplicatore degli incrementi dicarico con distribuzione “uniforme” U. Vale la pena rilevare che tale profilo può essere

definito, in modo del tutto analogo, sostituendo al profilo tagli modali un qualsiasi altro profilo principale invariante.In alternativa, è possibile ottenere un profilo di carico secondario invariante che, purmantenendo la caratteristica di essere cautelativo ai piani inferiori, tipica del profilo uniforme,non sia eccessivamente penalizzante come quest’ultimo, attraverso la combinazione del

profilo MS ed del profilo uniforme U. I coefficienti di combinazione possono essere calcolati,sulla base delle stesse considerazioni fatte in precedenza, dopo avere condotto l’analisi con il

profilo MS. È così possibile valutare i corrispondenti valori del moltiplicatore dei carichi asnervamento α y e al collasso αu, che individuano i valori del taglio sismico al raggiungimentodei due stati limite. Per ottenere un profilo di carico secondario invariante che rispecchi le

proporzioni fra taglio sismico applicato in fase elastica e quello in fase plastica nell’analisi

precedente, quest’ultimo eventualmente amplificato attraverso da un coefficiente β , si propone di impiegare il seguente profilo di carico (indicato con la dicitura propI ):

( ) ( )n

i y i i 1 u y 1 ii 1

F Q Q Q W+=

⎡ ⎤⎛ ⎞= α α − + β α − α⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∑ iW (4)

Il coefficiente β consente di modulare l’aliquota del profilo di carico distribuita secondo il profilo “uniforme”. Al crescere di β la distribuzione proposta tende ad avvicinarsi al profilouniforme, rendendo la stima della risposta più conservativa ai piani inferiori. Le analisinumeriche svolte su svariate tipologie strutturali (Potenzone, 2008) hanno evidenziato che

ponendo β =2 si ottiene una stima sufficientemente conservativa in tutti i casi analizzati.Per verificare l’efficacia dei profili di carico proposti nella valutazione della domanda sismicaattesa attraverso l’inviluppo fra i risultati ottenuti impiegando profili di carico principali esecondari, nel paragrafo successivo si confronta la previsione della risposta sismica per duestrutture in c.a. L’analisi dinamica non lineare al passo costituisce il “benckmark” per lavalutazione dell’affidabilità delle analisi statiche non-lineari investigate.

3 APPLICAZIONI NUMERICHE

Impiegando un modello a plasticità concentrata, si valuta la risposta di due strutture in c.a.,

impiegate da Ferracuti et Al. (2007) per evidenziare l’efficacia della tecnica DAP. Le duestrutture (Figura 1) sono realizzate con acciaio con f y=414 MPa e calcestruzzo con f’ c0=30

- 233 -



a) b)

Figura 1. Schema geometrico e armature degli elementi:per le strutture: a) regolare; b) irregolare.

MPa, e sono progettate per sostenere la concomitante azione dei carichi verticali, pari a 20

kN/m, e dell’azione sismica (PGA=0.35 g ). Per la valutazione della risposta dinamica nonlineare, sono stati impiegati accelerogrammi artificiali (Cacciola at Al. 2004) compatibili conlo spettro per terreno di tipo B. Si considerano due differenti livelli dell’eccitazione sismica, il

primo corrispondente alla PGA di progetto (0.35g), il secondo corrispondente allospostamento di collasso individuato per ciascuna struttura in Ferracuti et Al. (2007). Le analisi

pushover sono condotte imponendo uno spostamento in testa pari al valore medio dellospostamento massimo rilevato dalle analisi dinamiche, in modo da poter confrontare ladistribuzione lungo l’altezza dei parametri di risposta locali. È opportuno rilevare che talecriterio, coerente con le attuali prescrizioni normative, conduce ad una stima per difetto deglispostamenti massimi di interpiano poiché in una analisi dinamica essi non si verificano tutticontemporaneamente; pertanto la somma degli spostamenti massimi di interpiano risulta

leggermente più grande (~15%) del massimo spostamento in sommità.Per la struttura regolare e PGA=0.35 g , in Figura 2a-b sono confrontati i valori medi deglispostamenti di piano U e di interpiano ΔU ottenuti con l’analisi dinamica non lineare al passo,indicati con l’acronimo NRHA, con i valori forniti da i profili di carico o delle procedure

pushover precedentemente menzionate. In Figura 2c sono rappresentati gli istogrammidell’errore percentuale si nella valutazione degli spostamenti di interpiano. Fra i profili

principali è stato scelto il profilo 1M, suggerito dalla normativa in relazione allecaratteristiche dinamiche della struttura. I risultati mostrano che gli errori nella stima deglispostamenti di interpiano ai piani inferiori sono contenuti per tutte le procedure, ad eccezionedi quella uniforme che conduce ad una stima eccessivamente cautelativa. Le procedure

proposte, pur rimanendo cautelative ai piani inferiori, riducono l’errore previsto con ladistribuzione uniforme. Il comportamento della struttura è debolmente non lineare, e la MPAfornisce i risultati complessivamente più accurati, seguita dalla DAPM. In Figura 3 sonorappresentati gli errori nella stima dello spostamento di interpiano ottenuti inviluppando irisultati presentati precedentemente per i profili secondari, in un primo caso (Figura 3a) conquelli ottenuti con il profilo principale 1M, nel secondo con quelli forniti dalla MPA (Figura3b). Il profilo di spostamenti ottenuti dall’inviluppo dei risultati forniti dalla MPA con quellidella procedura adattiva proposta fornisce il maggiore livello di accuratezza.In Figura 4 e 5 sono riportati, sempre per ag=0.35 g , gli omologhi risultati per la strutturairregolare in altezza, per la quale si è impiegato il profilo di carico principale MS. La struttura,non subisce una concentrazione degli spostamenti di interpiano dove esibisce l’irregolarità.

Anche in questo caso i profili di carico proposti riducono gli errori indotti dall’impiego della

- 234 -



-80 -40 0 40si,ΔU(%)

1MMPA

PropA

PropI

DAPM

FAPM

U

c)

0 0.5 1 1.5

ΔU/h (%)

NRHA

1M

MPA

propA

propI

DAPM

FAPM

U

0 0.5 1 1.5

U/H (%)

1

2

3

4

5

6

n ° p i a n i

NRHA

1M

MPA

propA

propI

DAPM

FAPM

U

b)a)

Figura 2. Strut. regolare (PGA=0.35g): a) spostamenti assoluti; spost. di interpiano: b) risposta; c) errori;

-60 -30 0 30 60si,ΔU(%)

1

2

3

4

5

6

n ° p i a n i

1M+propI

1M+propA

1M+DAP M

1M+FAP M

1M+U

b)

-60 -30 0 30 60si,ΔU(%)

MPA+propI

MPA+propA

MPA+DAP M

MPA+FAP M

MPA+U

a)

Figura 3. Struttura regolare (PGA=0.35g): inviluppi degli errore per gli spostamenti di interpiano

distribuzione uniforme, e sono cautelativi ai piani bassi, dove questa volta la MPA prevedeuna stima per difetto. Al di sopra del secondo piano, la MPA torna ad essere nuovamente la

procedura più accurata, seguita dalla DAPM, che però coglie con buona accuratezza larisposta anche ai piani inferiori. I valori degli errori ottenuti attraverso l’inviluppo con irisultati forniti dal profilo MS e dalla MPA confermano l’efficacia dei profili propostisoprattutto se impiegati nella procedura di inviluppo con i risultati forniti dalla MPA. NellaFigura 6 sono riportati i risultati ottenuti per la struttura regolare eccitata da una accelerazionecon valore di PGA=0.52g, in grado di produrre uno spostamento in sommità pari 0.211 m cheinduce il collasso della struttura. In particolare in Figura 6a e 6b sono riportati gli istogrammidegli spostamenti di interpiano e della massima rotazione plastica delle cerniere plastiche al

piano, e in Figura 6c i valori di tale parametro stimati attraverso l’inviluppo con i risultatiforniti dal profilo 1M. In questo caso, fra quelle proposte, soltanto la procedura adattiva è ingrado di ridurre le approssimazioni generate dall’impiego del profilo uniforme ai piani bassi,

mantenendosi conservativa ed accurata fino al terzo piano. La procedura invariante propostariproduce l’andamento previsto dal profilo uniforme. Nuovamente l’MPA risulta la procedura

- 235 -



-80 -40 0 40si,ΔU(%)

MS

MPA

PropA

PropI

DAPM

FAPM

U

c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

ΔU/h (%)

NRHAMS

MPA

propA

propI

DAPM

FAPM

U

0 0.5 1

U/H (%)

1

2

3

4

5

6

n ° p i a n i

NRHA

MS

MPA

propA

propI

DAPM

FAPM

U

b)a)

Figura 4 Strutt. irregolare (PGA=0.35g): a) spostamenti assoluti, spost. di interpiano: b) risposta; c)errori

-60 -30 0 30 60si,ΔU(%)

1

2

3

4

5

6

n ° p

i a n

i

MS+FAP M

MS+DAP M

MS+U

MS+prop I

MS+prop A

b)

-60 -30 0 30 60si,ΔU(%)

MPA+FAP M

MPA+DAP M

MPA+U

MPA+prop I

MPA+prop A

a)

Figura 5. Struttura irregolare (PGA=0.35g): inviluppi degli errore per gli spostamenti di interpiano

più accurata ai piani superiori, mentre la DAPM è quella che fornisce globalmente i risultati più accurati. Infine, in Figura 7a-c sono riportati gli omologhi risultati per la struttura

irregolare in altezza, per lo spostamento di collasso pari a 0.31m (PGA=0.7 g). In questo casola procedura adattiva proposta risulta fra le più accurate fino al terzo piano, l’MPA perde diaccuratezza ai primi due piani, e la DAPM riproduce gli andamenti dei parametri di risposta,anche se fornisce una stima per difetto. Gli inviluppi di Figura 6c mostrano in questo ambitouna sostanziale equivalenza fra tutti i risultati.I risultati qui presentati, unitamente alla più ampia casistica di strutture analizzate in altra sede(Potenzone 2008), mostrano che i profili proposti esibiscono la maggiore accuratezza fraquelli qui considerati se impiegati insieme ai risultati forniti dalla MPA, e possono costituireuna valida alternativa ai profili di carico secondari proposti dall’attuale normativa.

- 236 -



0 0.004 0.008 0.012 0.016

γ pl

NRHA

1M+propI

1M+propA

1M+DAP M

1M+FAP M

1M+U

c)

0 0.004 0.008 0.012 0.016

γ pl

NRHA

1M

MPA

propA

propI

DAPM

FAPM

U

0 0.5 1 1.5 2

ΔU/h(%)

1

2

3

4

5

6

n ° p i a n

i

NRHA

1M

MPA

propA

propI

DAPM

FAPM

U

b)

a)

Figura 6. Strut. regolare (PGA=0.52g: a) spost. di interpiano; rotazioni plastiche: b)risposta; c) errori.

0 0.011 0.022 0.033

γ pl

NRHA

1M+propI

1M+propA

1M+DAP M

1M+FAP M

1M+U

c)

0 0.011 0.022 0.033

γ pl

NRHA

MS

MPA

propA

propI

DAPM

FAPM

U

0 1 2 3 4

ΔU/h(%)

1

2

3

4

5

6

n ° p

i a n

i

NRHA

MS

MPA

propA

propI

DAPM

FAPM

U

b)a)

Figura 7. Strut. irregolare (PGA =0.7g a) spost. di interpiano; rotazioni plastiche: b) risposta; c) errori.

4 BIBLIOGRAFIA

Chopra A. K., Goel R.K. (2002): “A modal pushover analysis procedure for estimating seismicdemands for buildings”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 31, pp: 561-582.Ministero delle Infrastrutture, dell’Interno e Dip. Protezione Civile (2008).”Norme tecniche per le costruzioni”

Antoniou S., and Pinho R. (2004a): “Advantages and limitations of adaptive and non-adaptive force- based pushover procedures”, J. of Earthquake Engineering , Vol 8 No 4, 497-522 Imperial College Press.Antoniou S., and Pinho R. (2004b): “Development and Verification of a Displacement-based adaptive

pushover procedure”, J. of Earthquake Engineering , Vol 8- No 5, 643-661 Imperial College Press.Cacciola P., Colajanni P. and Muscolino G. (2004): “Combination of modal responses consistent withseismic input representation”, Journal of Structural Engineering , ASCE , 130(1), pp: 47-55.Fema 356 (2000): “Prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings”, Federal

Emergency Management Agency, Washington (USA).Kunnath S.K. (2004) “ Identification of Modal Combination for non linear static analysis of buildingstructures” Computer-Aided civil and Infrastructure, Vol.19, pp. 246-259.Ferracuti B., Pinho R., savoia M. and Francia R., (2007): “Pushover versus Incremental DynamicAnalyses”, Atti XII Convegno Anidis “L’ingegneria sismica in Italia”, Pisa 10-14/06/07, n°234Potenzone B. (2008) “Analisi statica non lineare per la valutazione della risposta sismica di struttureintelaiate”, Tesi di Dottorato, Dipartimento di Ingegneria Civile, Università di Messina.

- 237 -




ON THE NON-LINEAR R OTATIONAL R ESPONSE

OF ONE-STOREY ASYMMETRIC STRUCTURES

Stefano Silvestri, Tomaso Trombetti, Giada Gasparini

Department DISTART, University of Bologna, [email protected] , [email protected] , [email protected]

ABSTRACTStructures characterized by eccentricity in plan between the centre of mass and the centre ofstiffness, under seismic excitations, develop coupled lateral-torsional response which mayincrease the deformation level of the structural elements which are more distant from thecentre of stiffness. In this paper, first, the fundamental linear-elastic parameters and theadditional non-linear parameters which govern the torsional response of one-storeyasymmetric systems have been clearly identified. Second, the basic findings are brieflyrecalled of previous research works by the authors which have led to the identification of asynthetic structural parameter (called α ) capable of capturing the essence of the torsional

behaviour of linear-elastic systems and allowing effective maximum rotational responseestimations. Third, preliminary non-linear dynamic simulations are carried out to investigate

the rotational trends of asymmetric systems characterised by non-linear behaviour underseismic excitation. The results indicate that (i) the ratio of the maximum rotation over themaximum displacement for non-linear systems is generally inferior to the corresponding ratiofor linear-elastic systems, and that (ii) the estimations of the maximum rotation obtained usingthe α parameter are generally on the safe side, thus providing useful upper bounds for theactual rotation of non-linear systems.

KEYWORDSAsymmetric structures, seismic excitation, rotational response, system parameters, synthetic

parameter, non-linear dynamic analysis.

1 INTRODUCTION

Plan asymmetric (eccentric) structures, characterized by non coincident centre of mass andcentre of stiffness, when subjected to dynamic excitation, develop a coupled lateral-torsionalresponse that may increase their local peak dynamic response. This behaviour has beeninvestigated by many researchers since the late 1970s [Kan and Chopra, 1977a and b], [Hejaland Chopra, 1987], [Goel and Chopra, 1990], [Rutenberg, 1998], [Tso and Moghadam 1998],[De Stefano et al., 1998], [Ghersi and Rossi, 2000 and 2001], [Rutenberg, 2002], [Rutenbergand Tso, 2004], [Trombetti and Conte, 2005], [Peruš and Fajfar, 2005], [Pettinga et al., 2007].

In order to effectively apply the performance-based design approach to seismic design, thereis a growing need for code oriented methodologies aimed at predicting deformation


- 238 -









parameters. In this respect, for plan asymmetric structures, estimating maximumdisplacements at different locations in plan, especially at the perimeter, requires an evaluationof the floor rotations. In previous research works, the authors [Trombetti, 1994], [Trombettiand Conte, 2005], [Trombetti et al. 2008] have widely investigated the torsional behaviour ofone-storey linear-elastic asymmetric systems: the parameters which govern the rotational

response of such systems have been recognised and a synthetic structural parameter (called α )capable of capturing the essence of this torsional behaviour has been identified. This parameter being also the basis for a simplified method (called the “α method”) for maximumrotational response estimation.In this paper, together with a brief recall of these basic findings, (i) the additional non-linear

parameters which govern the torsional response of inelastic asymmetric systems arerecognised, and (ii) a preliminary non-linear parametric study is developed, with reference tosimplified one-storey models, in order to find if the elastic prediction of the maximumrotation is conservative with respect to the actual inelastic one or not.

2 THE ASYMMETRIC DYNAMIC SYSTEM

Consider the three-dimensional one-storey system idealization, displayed in Figure 1, of ageneral eccentric structure with non-coincident centre of mass (CM) and centre of stiffness(CK ). It is assumed that the diaphragm is infinitely rigid in its own plane, and that all lateral-resisting elements (e.g. columns, shear walls, …) are massless, axially inextensible, and havethe same mechanical characteristics which are equal along the x- and the y-directions(reasonable assumption for many building structures). The three degrees of freedom, whichdescribe the motion of the system, are supposed to be attached to the centre of mass CM.

L

B

E

x

y y-longitudinal displacement

x-transversal displacement

u x

yu

uθ

C

MC

K

E k,y

k,x

Figure 1. Three-degrees-of-freedom one-storey system idealization and reference coordinate system with

origin located at the centre of mass CM.

3 LINEAR-ELASTIC PARAMETERS

Assuming that the rotational response uθ developed under seismic excitation is small enough

to allow the approximation ( ) ( )sin tanu u uθ θ ≅ ≅ θ , the dynamic coupled lateral-torsional

response of the system considered is governed by the following set of coupled differentialequations of motion, written in a reference coordinates system with origin located at thecentre of mass CM [Trombetti, 1994], [Trombetti and Conte, 2005], [Trombetti et al., 2008]:

- 239 -



( )( )

( )[ ]

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )

,

2,

2, ,

1 0 12

0 1 12

12 12

x x

y y

m m

k y x x

L k x y

m mk y k x km

u t u t

M u t C u t

u t u t

eu t p t

M e u t

u t p t e e

θ θ

θ θ

ρ ρ

ω y p t

ρ ρ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦

&& &

&& &

&& &

(1)

where: , , are the translations along the x- and y-directions and the rotation

along the z -axis, respectively, of the eccentric system; M is the total mass of the structure;

( ) xu t ( ) yu t ( )u t θ

,m p m I M ρ = is the mass radius of gyration of the system as computed with respect to the z -

axis; ( )2 2, p m

M

I x y= + dm∫ is the polar moment of inertia of the mass of the system as

computed with respect to the z -axis; [ ]C is the damping matrix; i x , i are the coordinates of

the i-th lateral-resisting element; is the stiffness of each lateral-resisting element (note that,as per the assumption given in section 2, the stiffness along the x-direction of each element,

k

xk

, p k

, is equal to the stiffness along the y-direction of each element, , i.e. );

is the total lateral stiffness in both the x-and the y-directions of the total

lateral-resisting elements system (as composed by N lateral-resisting elements);

yk x yk k = = k

1

N

ii

K k =

= =∑

i

N k ⋅

( )2 2i i ( 2 )2

1 1

N N

i i

i i I k x= ⋅ y+∑ k = =

= x y+∑ is the polar moment of inertia of the stiffness of the

system as computed with respect to the z -axis; ,k p k I K ρ = is the stiffness radius of

gyration of the system as computed with respect to the z -axis; ,1

N

k x i ii

E k x=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ K ,

,1

N

i ii

E k y=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑k y K are the coordinates (eccentricities along the x- and y-directions,

respectively) of CK ; 12e m D ρ = ⋅ is a useful reference length referred to as the “equivalent

diagonal” of the system; ,e E = , e Dk x k x , , ,k y k y ee E D are the relative eccentricities of CK ;

2 2, ,k k x k ye e e= + is the total relative eccentricity of CK ;

,

,m p

I p k km

m

k

I K γ = = ρ

ρ is the ratio

between the stiffness and the mass radii of gyration of the system (this parameter, which physically corresponds to the ratio between the rotational and the longitudinal natural circularfrequencies of the system, provides a measure of the stiffness distribution in plan); ( ) x p t ,

( ) y p t , ( ) p t θ are the external dynamic forces/moment applied along the x-, y- and z -

directions.

- 240 -



4 NON-LINEAR PARAMETERS

When non-linear behaviour of the lateral-resisting elements is considered, additional non-linear parameters [Pettinga et al., 2007], [De Stefano and Pintucchi, 2008] should beintroduced to complete the description of (i) the specific mechanical characterisation of each

element and (ii) the strength plan distribution of the elements.Under the simplifying assumptions given in section 2 (equal mechanical characteristics in both the x- and the y-directions of all lateral-resisting elements), the mechanicalcharacterisation of the planar system can be developed as follows.First, mechanical models (i.e. elastoplastic, bilinear with hardening, …) must be specified forthe single lateral-resisting element. Depending on the constitutive model adopted, specific

parameters in addition to the elastic stiffness value (k ) must be introduced: for example, the(yield) strength value of the lateral-resisting element is sufficient to completely define theelastoplastic model, whilst the strain hardening ratio (after-yielding stiffness, k 2,over elasticstiffness, k )

s

2SHR k k =

s

is also necessary for a bilinear model.

Second, the additional non-linear parameters necessary to characterize strength plan

distribution can be represented by:1

N

ii

S s N =

= = ⋅∑

)2

is the total lateral strength in both the x-

and the y-directions of the total lateral-resisting elements system;

( ) (2 2 2,

1 1

N N

p s i i i i ii i

I s x y s x= =

= ⋅ + = +∑ ∑ y is the polar moment of inertia of the strength of the

system as computed with respect to the z -axis; , s I p s S ρ = is the stiffness radius of gyration

of the system as computed with respect to the z -axis; ,1

N

s x i ii

E s x S =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ , ,

1

N

s y i ii

E s y=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ S

are the coordinates (eccentricities along the x- and y-directions, respectively) of the centre ofstrength CS; , , s x S x ee E D= , , , s y S ye E De= are the relative eccentricities of CS;

2 2, s , s x s ye e e= + is the total relative eccentricity of CS; ,

,

p s s sm

m p m

I

I S

ρ γ

ρ = = is the ratio

between the strength and the mass radii of gyration of the system.Finally, to quantify (in engineering terms) the level of the plastic excursion of the whole

system of lateral-resisting elements, the “global” ductility demand max

yielding

δ μ

δ = should be also

carefully taken into account ( maxδ and yielding δ representing the maximum displacement under

the seismic input and the yielding displacement of the whole system, as measured at CM,respectively). Note that 1iμ ≤ indicates a “global” linear-elastic behaviour and, indeed, this

does not ensure that all lateral-resisting elements still maintain a linear-elastic behaviour.

5 A SYNTHETIC PARAMETER CAPABLE OF CAPTURING THE ESSENCE OFTHE LINEAR-ELASTIC RESPONSE OF ONE-STOREY ASYMMETRICSYSTEMS

In previous research works [Trombetti, 1994], [Trombetti and Conte, 2005] [Trombetti et al. 2008], the authors have identified the so-called α parameter, capable of capturing the essenceof the torsional response of linear-elastic one-storey asymmetric systems. This parameter

- 241 -



being defined as “the maximum rotational to maximum longitudinal displacement responseratio in free vibrations, adimensionalised using the mass radius of gyration of the structure”:

, free vibration max

, free vibration max

def

m

y

u

u

θ α ρ = ⋅ (2)

where , free vibration maxuθ and , free vibration max yu represent, respectively, the maximum absolute

values of the rotational response and of the longitudinal response , as obtained in

free vibration conditions.

( )u t θ ( ) yu t

It can be also shown [Trombetti, 1994], [Trombetti and Conte, 2005] that the response ratio

max maxm R u uθ ρ = ⋅ y is a robust, low-variability response parameter, which is only weakly

excitation dependent and therefore mainly system dependent (i.e. R α ≅ ). This allows toobtain an estimation of the maximum rotation developed by the asymmetric system under

seismic excitation as follows (“α method”):

maxmax

y

m

uuθ α

ρ ≅ ⋅ (3)

where an effective estimation ofmax yu is represented by

max y neu

−, which is defined as the

maximum displacement, under seismic excitation, of an “equivalent” non-eccentric (samemechanical characteristics but null eccentricity) mechanical system.For undamped eccentric structures, in the special case of , 0k ye = ( ,k x k e e= ), the α parameter

(hereafter named uα , where subscript u stands for “undamped”) has the following closed-form expression:

( )22 2

4 3

1 48

k u

km k

e

eα

γ

=− +

(4)

For damped eccentric structures, the exponential decay in time of the amplitude of the variousharmonic components of the free vibration response does not allow to obtain a simple closed-form expression for the same adimensionalised ratio (here referred to as d α , where subscript

d stands for “damped”) as done for the undamped case. However, for the specific but commoncase of damping ratios of the first and second modes of vibration along the asymmetricdirection equal to 5%, the authors [Trombetti et al., 2008] have shown that the followingapproximation for d α provides good and conservative results (in the sense that they lead to a

probability of 95% that the actual maximum rotation is less than the estimated one):

d K uα α = ⋅ with 0.77 K ≅ (5)

6 NON-LINEAR PARAMETRIC ANALYSIS

A first (preliminary) parametric study has been developed with the aim of investigating thenon-linear (for different “global” ductility demand values 1μ > ) rotational seismic response

- 242 -



of one-storey asymmetric structures and comparing it with the actual ( 1μ = ) and theestimated (through the α parameter) linear-elastic one.

6.1 The considered models

Simplified but realistic one-storey square-plan building models (like the one represented in

Figure 2a) have been taken into account, in which a regular mesh of massless and axiallyinextensible lateral-resisting elements combines with a non-uniform, trapezoidal, distributionof the mass over a rigid floor slab, in order to simulate asymmetric systems.

y

xC

F

δ

δ yielding

SHR . k i2,k =i i

k i

si

M

CK CS

E k,x E s,x

L

L

(a) (b)

Figure 2. (a) Representative one-storey square-plan building models (n = 4). (b) The bilinear constitutive

model adopted for each single lateral-resisting element (SHR = 0.1).

The following assumptions have been made. All lateral-resisting elements are characterised(in both the x- and the y-directions) by the bilinear constitutive model represented in Figure2b, with strain hardening ratio equal to SHR = 0.1. This leads to K C CS≡ , and therefore to

km sm ρ ρ = and km smγ γ =

,k xe =

. The lateral-resisting elements are assumed to be located at the nodes

of a mesh characterised by n grid spaces in both directions (e.g., n = 4 in Figure 2a). Differentmodels characterised by different values of grid spaces have been considered: n = 1, 2, 4, 6, 8and 10; these values, together with different eccentricity values, lead to γ km values in the range

of 1.1 1.9. The “initial” linear-elastic longitudinal period of vibration of the whole system

is assumed to be equal to T = 1.0 s, while the damping ratios of the first two modes ofvibration are set equal to 0.05. The mass and the inertia of the all superstructure arecondensed in CM, which is eccentric with respect to the geometric centre of the square-plan,which, in turn, coincides with CK and CS. Note that the origin of the reference coordinatesystem is taken in CM. Systems characterized by transversal eccentricity only are

considered (i.e.: and ); varies in the range of between 0 and 28% of the

equivalent diagonal De. It is worth pointing out that, for square-plan structures with non-uniform mass distribution and identical lateral-resisting elements located at the nodes of amesh characterised by n grid spaces in both directions, the stiffness radius of gyration of thesystem as computed with respect to the z -axis which passes through CM can be simply

computed as [Trombetti et al., 2008]:

,k xe

k e , 0k ye = k e

- 243 -



22 212 1km k

n ne

n nγ

+ +⎛ = + +⎜ ⎞

⎟⎝ ⎠

(6)

6.2 The structural response under seismic excitation

The non-linear dynamic responses of the structural models subjected to seismic excitationhave been measured in terms of the maximum rotational to maximum longitudinaldisplacement response ratio, adimensionalised using the mass radius of gyration of the

structure (max maxm R u uθ ρ = ⋅ y ). 11 different earthquake ground-motion records have been

used as base accelerograms. The average of R, μ R, as computed for the 11 seismic inputs istaken as reference. Each single dynamic analysis (of a single model as subjected to a singleaccelerogram) has been performed iteratively with different scaling values of theaccelerogram until, every time, desired levels of “global” ductility demand μ have beenachieved. Six values of μ have been achieved in all cases: 1 (corresponding to the referencelinear-elastic behaviour), 2, 4, 6, 8, 11. For sake of completeness of the results, also large

values (e.g. 8 and 11) of ductility demands have been taken into account. Analyses have beendeveloped with eccentricity ek varying within the range 0 28% and with parameter γ km

belonging to the following ranges: 1.1 1.3kmγ < ≤ (i.e. 1.2kmγ ≈ ), 1.3 1.5kmγ < ≤ (i.e.

1.4kmγ ≈ ), 1.5 1.7kmγ < ≤ (i.e. 1.6kmγ ≈ ), and 1.7 1.9kmγ < ≤ (i.e. 1.8kmγ ≈ ).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 280

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ek %

ρ m

⋅ |uθ |max

/|u y

|max

γ km

≈ 1.2 (1.1<γ km

≤1.3)

α u

α d

μ R

for μ = 1μ

R for μ = 2

μ R

for μ = 4

μ R for μ = 6μ R

for μ = 8μ

R for μ = 11

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 280

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ek %

ρ m

⋅ |uθ |max

/|u y

|max

γ km

≈ 1.4 (1.3<γ km

≤1.5)

α u

α d

μ R

for μ = 1μ

R for μ = 2

μ R

for μ = 4

μ R for μ = 6μ R

for μ = 8μ

R for μ = 11

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 280

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

γ km

≈ 1.6

1

ek %

ρ m

⋅ |uθ |max

/|u y

|max

(1.5<γ km

≤1.7)

α u

α d

μ R

for μ = 1

μ R for μ = 2μ R

for μ = 4μ

R for μ = 6

μ R

for μ = 8μ

R for μ = 11

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 280

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ek %

ρ m

⋅ |uθ |max

/|u y

|max

γ km

≈ 1.8 (1.7<γ km

≤1.9)

α u

α d

μ R

for μ = 1

μ R for μ = 2μ R

for μ = 4μ

R for μ = 6

μ R

for μ = 8μ

R for μ = 11

Figure 3. Dependence of the considered response ratio upon parameters ek , km and

- 244 -



The comparison between α u, α d and R is presented (for different values of parameters ek , γ km and μ ) in the graphics reported in Figure 3, where, in addition to the α u and the α d curves asgiven by Eq. (4) and (5), the μ R values corresponding to the results obtained numericallythrough non-linear dynamic analyses are plotted. In these graphics, dashed lines whichconnect μ R values characterised by same ductility demand μ are also plotted

Note that the α u curve always represents a conservative upper bound for all μ R values, whilstthe α d curve represents a good and, in most cases, also conservative, estimation of the μ R values. This indicates that Eq. (3) together with Eq. (4) or Eq. (5) can be effectively used forsafe design of non-linear asymmetric systems. Also, the following fundamental trends can be observed. For each range of γ km considered, μ R always increases for increasing values of ek (this increasing is proportional to ek only for largevalues of γ km or μ ). Moreover, μ R decreases for increasing values of γ km. Given that largevalues of γ km characterise structures with sparse mesh of lateral-resisting elements (e.g. withfew elements located on the perimeter), this confirms the following well-known observation:in analogy to a flexional resistant section (where it is worth to centrifuge the masses in order

to obtain a major inertia), in buildings it is better to centrifuge lateral-resisting elements inorder to limit the rotations of the storey (vertical loads permitting). Furthermore, the curveslower for increasing values of the “global” ductility demand μ , which confirms the fact thatinelastic excursion plays the role of hysteretic damping. For common values of parameter γ km

(e.g. γ km 1.2, corresponding to almost uniform distributions of the lateral-resisting

elements), the linear-elastic value ( 1μ = ) of μ R is always higher than any non-linear one. Thisis a fundamental result that allows for a conservative estimation of the actual rotation makinguse of a linear-elastic modeling of the lateral-resisting elements instead of more complicatednon-linear ones. However, there are some exceptions which concern the cases of large valuesof γ km and very small values of μ : in these cases, respectively, the lateral-resisting elements

are too few and the non-linear hysteretic cycles too narrow to produce a sufficient damping.

7 CONCLUSIONS

A preliminary parametric study is developed with the aim of investigating the non-linearrotational seismic response of one-storey asymmetric structures and comparing it with the(actual and estimated) linear-elastic one. The results indicate that (i) the ratio of the maximumrotation over the maximum displacement for non-linear systems is generally inferior to thecorresponding ratio for linear-elastic systems, and that (ii) the estimations of the maximumrotation obtained using the so-called (linear-elastic) α parameter are generally on the safe

side, thus providing useful upper bounds for the actual rotation of non-linear systems.

8 ACKNOWLEDEGMENTS

Financial supports of Department of Civil Protection (Reluis 2005 Grant – Task 2:“Assessment and mitigation of the vulnerability of r.c. existing buildings”) is gratefullyacknowledged.

- 245 -



9 REFERENCES

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- 246 -




STUDIO DEL COMPORTAMENTO SISMICO

DI EDIFICI MONO-PIANO A TELAIO ASIMMETRICI IN PIANTA

Andrea Lucchini a, Giorgio Monti a, Sashi Kunnath b

a Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Sapienza Università di Roma, Roma,[email protected] , [email protected]

b Department of Civil & Environmental Engineering, University of California at Davis, Davis, California, USA, [email protected]

ABSTRACTMentre il comportamento sismico elastico degli edifici asimmetrici in pianta è statolargamente investigato, rimangono ancora irrisolti significativi interrogativi sulla loro rispostatorsionale in campo non lineare. Il presente lavoro riporta i risultati di una serie di indagini

parametriche effettuate su edifici mono piano a telaio irregolari in pianta, che hanno permessodi mettere in luce alcuni importanti trend di comportamento generali. In particolari i risultatidelle analisi presentati mostrano quanto la risposta torsionale degli edifici asimmetrici in

pianta sia influenzata dalla distribuzione delle resistenze dell’edificio, e come questa puòessere facilmente caratterizzata attraverso il meccanismo di collasso dell’edificio che fornisce

la resistenza laterale massima nella direzione di azione del terremoto, ovvero dal centro delleforze resistenti corrispondente.

PAROLE CHIAVEEdifici asimmetrici in pianta, risposta torsionale, comportamento sismico non lineare.

1 INTRODUZIONE

Mentre il comportamento sismico elastico degli edifici asimmetrici in pianta è statolargamente investigato, sono ancora presenti significativi interrogativi sulla risposta torsionalein campo non lineare. Anche se studi recenti hanno portato ad interessanti risultati, non c’èancora accordo su quali siano effettivamente i parametri che governano il loro comportamentodinamico non lineare. Oggetto del presente lavoro è di contribuire alla comprensione deimeccanismi che influenzano il comportamento non lineare degli edifici asimmetrici in pianta,

per l’identificazione di tendenze di comportamento generali.

2 EDIFICIO TIPO ANALIZZATO

Il tipo di sistema oggetto delle indagini riportate nel presente lavoro, utilizzato per studiare ilcomportamento sismico degli edifici irregolari in pianta, è la struttura a telaio mono-pianoriportata in Figura 1. Il sistema presenta una pianta rettangolare, di dimensioni lungo i dueassi principali x ed y pari rispettivamente ad a e b, ed un’altezza di piano pari ad h.


- 247 -









Nell’edificio l’intera massa traslazionale M e rotazionale I M è concentrata nel centro di massaCM del diaframma rigido di piano. La resistenza laterale dell’edificio è fornita da sei pilastriuguali posizionati simmetricamente in pianta, caratterizzati da uguali valori di rigidezzalaterale k lungo entrambe le direzioni x ed y. In ogni pilastro le cerniere plastiche, nelle qualisono ipotizzate concentrate tutte le non linearità meccaniche dell’elemento, sono posizionate

alle due estremità, e sono caratterizzate da un comportamento costitutivo di tipo rigido- plastico. Per ciascun i-esimo elemento resistente lo snervamento è definito da una superficiedi interazione M x-M y circolare, ovvero da una forza di snervamento f i uguale a

, ,2 / 2 x yielding y yielding /h M = h .

M

I M CM

f x,i= f i

f y,i= f i

snervamento

superficie di interazione

f x,i= f i

f y,i= f i

k

elemento i

M

I M CM

f x,i= f i

f y,i= f i

snervamento

superficie di interazione

f x,i= f i

f y,i= f i

k

elemento i

2@b/2

2 @ a / 2 = b

/ 2

telaio 3telaio 2telaio 1

y

xCM CS

u y

uθ

telaio i

h

Figura 1. Telaio mono piano oggetto dell’indagine.

Nello studio il sistema è eccitato da un’azione sismica agente nella sola direzione y. Lospostamento traslazionale u y e la rotazione del diaframma rigido di piano uθ prodotta dalla

componente y del sisma, sono quindi i due soli gradi di libertà del sistema.La risposta dinamica dell’edificio descritto è governata dalla seguente equazione di moto:

( ) )(t a g Mr RuC u M −=++ &&&

dove è il vettore dello spostamento di piano, sono i corrispondenti vettori

di accelerazione e velocità, è il vettore contenente le deformazioni degli elementiresistenti (con L matrice di trasformazione spostamenti-deformazione), sono le matrici

delle masse, dello smorzamento e delle forze di richiamo, ed

{ T y uu θ 0=u } uu &&& ,

Lu = RC M , ,

{ }T =r 010 è il vettored’influenza dell’eccitazione a g (t). La matrice di smorzamento viscoso, definita utilizzando il

modello di Rayleigh, è stata valutata utilizzando una combinazione lineare tanα β K + M della

- 248 -



matrice delle masse e delle rigidezze tangenti. I coefficienti α e β sono stati fissati in modotale che lo smorzamento in corrispondenza dei primi due modi del sistema risultasse pari al2% del valore critico.L’eccitazione sismica utilizzata nelle indagini è l’accelerogramma naturale registrato duranteil terremoto del Friuli (6 Maggio 1976), i cui spettri in pseudo-accelerazione ed in

spostamento S a e S d (corrispondenti ad uno smorzamento viscoso del 5%) sono riportati inFigura 2.

0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

T [s]

S a [ g ]

0 1 2

5

03

10

15

T [s]

S d [ c m ]

Figura 2. Accelerogramma utilizzato durante il terremoto del Friuli (6 Maggio 1976): spettro in pseudio

accelerazione ed in spostamento S a e S d della componente forte registrata nella stazione di Tolmezzo.

Scalando l’accelerogramma considerato sono stati ottenuti infine terremoti di intensitàcrescente, che hanno permesso di valutare la variazione della risposta sismica degli edifici

studiati dal campo lineare a quello non lineare.

3 CASI STUDIO

Nell’edificio mono piano prima descritto, variando la distribuzione delle masse, ovvero la posizione di CM e i valori delle masse M e I M , si possono ottenere edifici caratterizzati dadifferenti comportamenti elastici torsionali. In Figura 3, sono riportati i quattro diversi sistemiM1, M2, M3 ed M4, la cui risposta sismica è stata oggetto d’indagine.Gli edifici asimmetrici considerati sono sistemi che presentano un’asimmetria in pianta nellasola direzione y, ovvero solamente nella direzione di azione del sisma. Il sistema M 1 è un

sistema simmetrico di confronto, caratterizzato da una posizione del centro di massa CM coincidente con quella del centro delle rigidezze CS . Le dimensioni geometriche b, a ed h delsistema, misurano rispettivamente 10m, 5m, e 3m. La rigidezza dei singoli pilastri è uguale a1808.45kN/m, mentre la distribuzione delle masse è caratterizzata da valori di M e I M paririspettivamente a 68.8kN/(m/s2) e 3000kN(ms2). I periodi Ty e Tθ del modo disaccoppiatotraslazionale e rotazionale del sistema M1 sono rispettivamente pari a ≈0.50s e ≈0.7s. I sistemiM2, M3 e M4, ottenuti dal sistema simmetrico spostando CM ad una distanza e s da CS pari al10% di b, si differenziano fra loro per il diverso valore di I M , uguale rispettivamente ad 1.0,0.6 e 0.4 il valore della massa rotazionale del sistema M1. Tθ , maggiore di Ty nel sistema M2,

per effetto della diminuzione della massa rotazionale diventa rispettivamente praticamenteuguale e minore nel sistema M3 ed M4. I valori dei periodi T1 e T2 e delle masse partecipanti

My,1 e My,2 dei modi accoppiati dei sistemi, sono riportati sinteticamente nella Tabella 1.

- 249 -



Torsionally Stiff SystemTorsional System

CM

Torsionally Flex System

f y,1=1.0f f x,1=f y,1

f y,2=1.0f f x,2=f y,2

f y,3=1.0f f x,3=f y,3

CR=CS

M4

I 4=0.4I M

CM

f y,1=1.0f f x,1=f y,1

f y,2=1.0f f x,2=f y,2

f y,3=1.0f f x,3=f y,3

CR=CS

M3

I 3=0.6I M

CM

Translational System

f y,1=1.0f f x,1=f y,1

f y,2=1.0f f x,2=f y,2

f y,3=1.0f f x,3=f y,3

f y,1=1.0f f x,1=f y,1

f y,2=1.0f f x,2=f y,2

f y,3=1.0f f x,3=f y,3

CM=CR=CS

M1

I 1

=1.0I M CR=CS

M2

I 2=1.0I M

Figura 3. Casi studio: sistemi caratterizzati da quattro differenti distribuzioni di masse M1, M2, M3 e M4.

È importante notare che gli edifici considerati sono stati definiti per rappresentare le tredifferenti classi di sistemi torsionalmente flessibili (M2), torsionali (M3) e torsionalmenterigidi (M4), che comunemente vengono utilizzate nelle normative e nei lavori di letteratura

sugli edifici irregolari, per classificare i differenti comportamenti sismici degli edificiasimmetrici in pianta.

Tavola 1. Periodi e masse partecipanti dei sistemi studiati.

Sistema M1 M2 M3 M4

T1 0.69s 0.7s 0.58s 0.54s

My,1 100% 9% 36% 80%

T2 0.5s 0.49s 0.47s 0.42s

My,2 0% 91% 64% 20%

In tutti i casi la resistenza traslazionale del sistema è uguale a 6 f , con f resistenza del singolo pilastro, pari a 0.1 il peso totale W dell’edificio. La distribuzione delle resistenze risulta esseresempre simmetrica rispetto alla geometria in pianta dell’edificio.

4 IL CENTRO DELLE RESISTENZE

Diversi studi (i.e. Goel et al., 1990, Tso et al., 2002, Garcia et al., 2004) hanno mostratoquanto la distribuzione in pianta delle resistenze influenzi la risposta torsionale non linearedegli edifici irregolari. Molti sforzi sono stati spesi da differenti ricercatori per identificarequali parametri possono essere utilizzati per rappresentarla. Risultati interessanti sono stati

- 250 -



ottenuti da De La Llera et al. (1995). Secondo i loro studi, la distribuzione in pianta delleresistenze di un edificio mono piano può essere sinteticamente rappresentata nel dominio“taglio-momento torcente” dalla superficie BST. Questa superficie è definita da tutte quellecoppie taglio momento torcente V-T corrispondenti ai differenti meccanismi di collasso che

possono svilupparsi nell’edificio. Analisi dinamiche non lineari hanno mostrato come i

parametri che determinano la forma della superficie BST siano in realtà quelli che influenzanola risposta non lineare in pianta dell’edificio. Nella Figura 4 è riportata, come esempio, laBST dell’edificio mono piano simmetrico M1, insieme con il dominio elastico del sistema,ovvero con la regione costituita da tutte quelle coppie V-T che forzano staticamente il sistemain campo lineare. Come mostrato in Figura, ogni punto V-T della BST corrisponde ad unmeccanismo di collasso caratterizzato da una specifica distribuzione delle forze resistenti,ovvero da una loro risultante posizionata ad una distanza e=T/V da CM . Fra tutti i meccanismidi collasso, è possibile identificare quello che fornisce la resistenza laterale massima V max dell’edificio nella direzione di azione del sisma. D’ora in poi il centro delle resistenzeassociato a questo meccanismo verrà indicato con CR.

Negli edifici studiati la superficie BST, per effetto della distribuzione simmetrica in pianta

delle resistenze, risulta essere simmetrica, ed il centro delle resistenze CR è sempre posizionato nel centro geometrico della pianta dell’edificio.

e=T/V

T

V CM=CS

f i

f x,i

f y,i

CM CR

CM= CR

V

V

DominioElastico

BST

Figura 4. Superficie BST e dominio elastico dell’edificio simmetrico M1.

5 GRANDEZZE DI RISPOSTA REGISTRATE

In ogni analisi dinamica, la risposta dell’edificio studiato è stata esaminata registrando sia lestorie temporali delle coppie “taglio-momento torcente” V-T alla base dello stesso, che glispostamenti nella direzione di azione dell’eccitazione sismica (direzione y) dei tre telairesistenti s y,1, s y,2, s y,3 e del centro di massa sCM . Come mostrato in Figura 5, in ogni analisi èstata poi valutata la domanda in spostamento massima s y,i max in ciascun i-esimo telaioresistente ed il corrispondete valore della coppia V Sy,i max-T Sy,i max agente.Per valutare con ragionevole continuità l’evoluzione del comportamento sismico dal campolineare a quello non lineare, sono state effettuate per ciascun edificio delle analisi dinamicheincrementali ( IDA). E’ stata quindi valutata la risposta di ogni sistema prodotta da eccitazionisismiche di intensità crescente (crescenti valori di PGA). Il range di intensità sismica è statofissato in modo tale da ottenere domande di duttilità in spostamento nel singolo elementoresistente non maggiori di 10. Come mostrato in Figura 6, sono stati poi tracciati i percorsiV Sy,i max-T Sy,i max dei sistemi, corrispondenti ai valori di PGA crescenti considerati. In ragione

- 251 -



delle simmetrie dei sistemi studiati rispetto all’asse delle x, tutte le coppie V Sy,i max-T Sy,i max contagli alla base negativi sono state specchiate nella regione positiva del dominio T , in modotale da rendere i percorsi corrispondenti più facilmente rappresentativi dell’evoluzione dellarisposta dal campo lineare a quello non lineare. Come mostrato in Figura 6, i percorsi V Sy,i max-T Sy,i max di ogni edificio sono infine stati tracciati insieme al dominio elastico e alla superficie

BST del sistema.

CR=CS

M3

I 3=0.6I M

f y,1=1.0f f x,1=f y,1 f y,2=1.0f f x,2=f y,2

f y,3=1.0f f x,3=f y,3

CM

-8 -4 0 4 8-8

-4

0

4

8

V [f]

T [ f b / 2 ]

-0.5 0 0.50.5

1.0

1.5

2.0

[b]

s y m a x

[ s C M m a x

]

s y,1 max

s y,2 max

s y,3 max

s y,1 max

s y,2 max

s y,3 max

Figura 5. Risposta dinamica del sistema M3: spostamenti massimi nella direzione y s y max (normalizzati

rispetto allo spostamento max sCM, max del centro di massa CM ) dell’i -esimo telaio resistente; storie “taglio-momento torcente” V-T alla base del sistema e coppie V Sy,imax -T Sy,imax corrispondenti a s y,i max .

-0.5 0 0.50.5

1.0

1.5

2.0

[b]

s y m a x [ s C M m a x

] PGA1

PGA2> PGA1

PGA3> PGA2

PGA4> PGA3

PGA1

PGA2> PGA1

PGA3> PGA2

PGA4> PGA3

-8 -4 0 4 8-8

-4

0

4

8

V [f]

T [ f b / 2 ]

Figura 6. Risultati delle analisi incrementali dinamiche ( IDA) del sistema M3: inviluppi degli spostamenti

massimi s y,i max e percorsi V Sy,imax -T Sy,imax per valori crescenti dell’intensità dell’azione sismica ( PGA).

6 COMPORTAMENTI DINAMICI NON LINEARI OSSERVATI

Dall’osservazione dei risultati delle IDA del sistema M3, mostrati in Figura 6, si può notareimmediatamente un trend di comportamento interessante. I percorsi V Sy,i max-T Sy,i max,inizialmente differenti nel dominio elastico, cambiano direzione dopo che il sistema snerva,

puntando verso lo stesso punto in campo non lineare. Questo punto corrisponde almeccanismo di collasso della superficie BST nel quale la resistenza laterale dell’edificiorisulta massima. Questa osservazione porta a differenti conclusioni significative. Prima ditutto indica che la risposta del sistema asimmetrico in pianta cambia entrando in campo nonlineare. Inoltre che questo cambiamento porta il sistema a resistere all’azione sismica con ilmassimo della sua resistenza laterale. Una importante conseguenza di questo tipo di

comportamento osservato è che, in campo non lineare, una unica configurazione V-T delleforze sismiche produce lo spostamento massimo in ogni elemento resistente del sistema.

- 252 -



Questa configurazione V-T non cambia quando ci si spinge maggiormente in campo nonlineare. Questo è chiaramente mostrato anche nel grafico di Figura 7 che riporta i rapporti T Sy,i

max su V Sy,i max, ottenuti per terremoti di intensità crescente, in funzione dello spostamento delcentro di massa (normalizzato rispetto al valore di spostamento sCM max, yield corrispondente al

primo snervamento). Entrando significativamente in campo non lineare le eccentricità dei

percorsi puntano verso l’eccentricità delle resistenze del sistema er fra CM e CR. Un percorsofisso della distribuzione delle forze sismiche che produce il massimo della risposta del sistema può quindi in questo caso essere identificato.

-8 -4 0 4 8-8

-4

0

4

8

V [f]

T [ f b / 2 ]

0 2 4 6 8-1

-0.5

0

0.5

1

sCM

max

[sCM

max,

yield

]

T S y , i m a x / V S y , i m a x

[ b ]

er

CR

M3

f y,1=1.0f f x,1=f y,1

f y,2=1.0f f x,2=f y,2

f y,3=1.0f f x,3=f y,3

CM

er er

V Sy,imax

Figura 7. Risultati delle analisi incrementali dinamiche ( IDA) del sistema M3:convergenza dei rapporti T Sy,imax /V Sy,imax verso l’eccentricità delle resistenze er .

-0.5 0 0.50.8

1.0

1.2

1.4

[b]

s y m a x

[ s C M m a x ]

-0.5 0 0.50.5

1.0

1.5

2

[b]

s y m a x

[ s C M m a x ]

-0.5 0 0.50.5

1.0

1.5

2

[b]

s y m a x

[ s C M m a x ]

Sistema M2Sistema M3 Sistema M4

-8 -4 0 4 8-8

-4

0

4

8

V [f]

T [ f b / 2 ]

-8 -4 0 4 8-8

-4

0

4

8

V [f]

T [ f b / 2 ]

-8 -4 0 4 8-8

-4

0

4

8

V [f]

T [ f b / 2 ]

Figura 8. Risultati delle analisi incrementali dinamiche ( IDA) di tutti i sistemi asimmetrici studiati:

in termini di percorsi V Sy,ima

-T Sy,imax

e di spostamenti massimi in direzione y s y,i max

. (normalizzati rispettoallo spostamento max di CM sCM max ) per valori crescenti di intensità dell’azione sismica.

- 253 -



Un trend simile può essere osservato anche negli spostamenti. All’aumentare della PGA,infatti, il profilo degli spostamenti massimi diventa più piatto, il che significa che la domandamassima in spostamento nei differenti elementi resistenti tende ad essere raggiunta con lastessa configurazione deformata del sistema. Nel caso considerato, quindi, entrando in camponon lineare la forma della risposta del sistema tende verso una configurazione fissa sia nel

campo delle forze che in quello degli spostamenti.Come mostrato nei grafici di Figura 8, questi comportamenti, osservati nella risposta sismicadel sistema M3, sono stai riscontranti in tutti i sistemi asimmetrici studiati.

7 CONCLUSIONI

Le analisi effettuate sugli edifici mono piano a telaio asimmetrici in pianta oggetto delleindagini, hanno mostrato come entrando significativamente in campo non lineare la domandamassimo in spostamento dei differenti elementi resistenti tende ad essere raggiunta conun’unica configurazione deformata del sistema. Questa configurazione corrisponde al

meccanismo di collasso dell’edificio che fornisce la resistenza laterale massima nelladirezione di azione del terremoto. Il taglio sismico corrispondente si posiziona quindi inquesto caso nel centro delle resistenze del sistema CR.

Nel caso in cui, sulla base di ulteriori indagini su altri edifici asimmetrici in pianta, ilcomportamento osservato venisse confermato come generale, potrebbe risultare

particolarmente utile per la definizione del vettore di carico da utilizzare nelle analisi push-over. Per valutare la domanda sismica non lineare degli edifici asimmetrici in pianta si

potrebbe infatti utilizzare un’analisi statica non lineare, spingendo semplicemente l’edificiocon un vettore di carico parallelo alla direzione del sisma posizionato nel centro delleresistenze del sistema.

8 RINGRAZIAMENTI

Questo lavoro è stato in parte svolto all’interno del programma “Dipartimento di ProtezioneCivile – Consorzio Reluis”, firmato il 2005-07-11 (n. 540), Linea di Ricerca 2.

9 BIBLIOGRAFIA

De La Llera J.C., Chopra A.K. (1995). “Understanding the inelastic seismic behavior of asymmetric- plan buildings”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 24, 549-572.

Garcia O., Islas A., Ayala A.G. (2004). “Effect Of The In-Plan Distribution Of Strength On The Non-Linear Seismic Response Of Torsionally Coupled Buildings”, Proc. of the 13th World Conferenceon Earthquake Engineering , Paper No. 1891, Vancouver, Canada.

Goel R.K., Chopra A.K. (1990). “Inelastic seismic response of one-story, asymmetric plan systems”, Report No. EERC 90/14 University of California, Berkeley, CA.

Tso W.K., Myslimaj B. (2002). “Effect of strength distribution on the inelastic torsional response ofasymmetric structural systems”, Proc. of the 12th European Conference on Earthquake

Engineering , Paper No. 081, London, UK.

- 254 -




ESTENSIONE DEL METODO N2 AGLI EDIFICI IRREGOLARI IN PIANTA

CONSIDERANDO L'ECCENTRICITÀ ACCIDENTALE

Gennaro Magliulo, Giuseppe Maddaloni, Edoardo Cosenza

DIST, Università degli Studi di Napoli “Federico II”, Facoltà di Ingegneria, Napoli, [email protected] , [email protected] , [email protected]

ABSTRACT Nel presente articolo è trattato con particolare attenzione il problema dell’estensione delmetodo N2 agli edifici irregolari in pianta per tenere conto della sottostima della richiestasismica sul lato rigido della struttura.In particolare, con riferimento ad un edificio in c.a. multipiano ed irregolare in pianta,

progettato elasticamente secondo le prescrizioni degli Eurocodici 2 (EC2) ed 8 (EC8), sono proposte 3 diverse applicazioni del metodo N2, in ciascuno delle quali è considerata la possibilità di portare in conto l’eccentricità accidentale della massa sismica, così comeimposto da tutte le più moderne normative. I risultati, in termini di spostamenti in sommitàdell’edificio e spostamenti d’interpiano, sono confrontati con quelli ottenuti dalle analisidinamiche al passo.

PAROLE CHIAVEAnalisi non lineari, irregolarità in pianta, metodo N2, eccentricità accidentale, Eurocodice 8.

1 INTRODUZIONE

Il metodo N2 rappresenta uno dei metodi più diffusi per l'analisi statica non lineare dellestrutture: è previsto sia dall'EC8 [CEN, 2003] che da tutte le più importanti normativesismiche moderne. Da quando tale metodo è stato proposto per la prima volta dal prof. Fajfardell’Università di Lubiana nel 2000, il suo gruppo di ricerca ha lavorato per estenderlo agliedifici irregolari in pianta, al fine di compensare la sottostima della richiesta sismica sul latorigido dell’edificio che l’applicazione del metodo comporta. In particolare, è stata propostauna procedura [Fajfar et al., 2005; Fajfar et al., 2006] che prevede che le analisi di pushoversiano effettuate utilizzando un modello 3D, applicando le forze orizzontali nel centro di massaseparatamente nelle due direzioni orizzontali; al fine di considerare gli effetti torsionali sidetermina un fattore di correzione moltiplicativo dei risultati delle analisi pushover, comerapporto tra due spostamenti sommitali normalizzati, rispettivamente ottenuti da un’analisidinamica modale e da un’analisi di pushover. Lo spostamento normalizzato è valutato, perogni telaio, come il rapporto tra lo spostamento all’ultimo piano e quello sempre in sommitàma in corrispondenza del centro di massa (CM). Il fattore amplificativo è da applicare a tutti i

telai che si trovano sul lato rigido dell’edificio (per lato rigido si intende quello più vicino alcentro delle rigidezze rispetto al centro delle masse).


- 255 -









Tale procedura, così come proposta, non considera l’obbligo di normativa di portare in contonel calcolo l’aleatorietà del centro di massa, assumendo diverse posizioni corrispondenti alledifferenti eccentricità accidentali.

Nell'articolo sono proposti tre metodi diversi per applicare ad un edificio irregolare in pianta ilmetodo N2 come formulato da Fajfar, ma considerando anche l'eccentricità accidentale; tali

metodi, caratterizzati da livelli diversi di accuratezza, sono descritti e confrontati conun’applicazione ad un edificio di tre piani in c.a..

2 GEOMETRIA E MODELLAZIONE DELL’EDIFICIO

La geometria dell’edificio è riportata in Figura 1; la struttura si sviluppa su tre livelli conl’altezza di interpiano pari a 3,2 m. Al primo piano le dimensioni delle colonne sono 40x65cm2, mentre le travi sono 40x60 cm2; al secondo livello tali dimensioni sono rispettivamente40x60 cm2 e 40x55 cm2, al terzo 40x55 cm2 e 40x50 cm2. L’area tratteggiata indica la

presenza di balconi aventi larghezza pari a 2 m. L’edificio è progettato in accordo alle

prescrizioni degli Eurocodici 0, 1, 2 e 8 [CEN, 2002a; CEN, 2002b; CEN, 2004a], medianteun’analisi dinamica modale, considerando un suolo B type 1 e un’accelerazione orizzontalemassima su suolo di tipo A ag=0.35g.

X

Y

F r a m e 3

F r a m e 2

F r a m e 1

Frame 9

Frame 8

Frame 7

Frame 6

Frame 5

Frame 4

2 3 m

6 m

6 m

3 m

3 m

3 m

2 m

13 m

2 m 6 m 2 m 2 m

Figura 1. Geometria dell’edificio analizzato.

Le analisi elastiche sono eseguite mediante il programma SAP2000 [CSI, 2004],considerando le regole progettuali della Classe di Duttilità Alta ed un fattore di struttura pari a2.4 che tiene conto della particolare tipologia di edificio "flessibile torsionalmente" prevista

dall'EC8 e dell’irregolarità in elevazione (la riduzione della rigidezza laterale tra primo esecondo piano è più grande del 40%).Le analisi non lineari sono eseguite mediante il programma CANNY99 [Li, 1996]. La nonlinearità degli elementi riguarda solo la rotazione flessionale. Sia le travi che i pilastri sonomodellati come elementi elastici con due molle rotazionali non lineari alle estremità. Ilcomportamento delle molle è definito da una curva trilineare, tracciata una volta noti ilmomento di fessurazione e di snervamento e le corrispondenti rotazioni; la rigidezzarotazionale post-snervamento è assunta pari a zero.I momenti flettenti e le corrispondenti curvature sono calcolate considerando per ilcalcestruzzo in compressione un diagramma parabola-rettangolo, avente una resistenza media

pari a 38 N/mm2, un valore della deformazione al termine del tratto parabolico pari allo 0.2%

e un valore di deformazione ultima pari allo 0.35%. Per l’acciaio è assunto un diagrammaelastico-perfettamente plastico, caratterizzato da una resistenza media pari a 530 N/mm2.

- 256 -





Al fine di valutare in maniera adeguata gli effetti torsionali che nascono su una strutturaflessibile torsionalmente, vengono di seguito proposte tre varianti del metodo di Fajfar.

3.1 Metodo n.1

Sono eseguite quattro analisi dinamiche modali (ADM) indicate con X inf , Xsup Ydx, Ysx in

funzione della direzione della forza applicata e della posizione del centro di massa. I risultati(in particolare gli spostamenti all’ultimo piano di ciascun telaio e del centro di massa) ottenuti

per ogni analisi sono combinati con la regola SRSS:2Ydx

2supX uu + ; 2

Ysx2

supX uu + ; 2Ydx

2inf X uu + ; 2

Ysx2

inf X uu + ; (Eq. 1)

Per ciascuna combinazione e per ciascun telaio è calcolato quindi il seguente spostamentonormalizzato:

ADM iADM i

ADM CM

u

u ,

, ,

= (Eq. 2)

dove uADM,i e uADM,CM sono rispettivamente lo spostamento all’ultimo piano del telaio “i”-moe del CM; conseguentemente, dei 4 valori di ηADM,i calcolati per ogni telaio si è assunto comeriferimento il valore massimo.Successivamente si sono effettuate otto analisi statiche non lineari, considerando i due versi(+ e -) per i 4 modelli e per ogni modello è stato considerato il massimo spostamento al target(t.ULS); di conseguenza, per ogni telaio, sono ottenuti 4 spostamenti normalizzati:

CM

ASNL iASNL i

ASNL

u

u ,

, ,

= (Eq. 3)

dove uASNL,i è lo spostamento sommitale del telaio “i”-mo e uASNL,CM è lo spostamentosommitale del CM.Sono quindi calcolati i fattori di correzione:

ADM,i

iASNL,i

= (Eq. 4)

dove per ogni telaio, ηADM,i è un unico valore di riferimento mentre gli NLSA,i sono i 4 valoriottenuti dalla (Eq. 3). La richiesta sismica per i telai posizionati sul lato rigido della struttura è infine amplificatamoltiplicando tutte le quantità rilevanti ottenute dalle 4 analisi statiche non lineari per icorrispondenti fattori di correzione forniti dalla (Eq. 4). Il valore massimo dei parametri dirichiesta “ amplificati” ottenuti per i 4 modelli è quindi confrontato con la capacità valutata inaccordo a quanto previsto dall'EC8.

3.2 Metodo n.2

Si eseguono quattro analisi dinamiche modali come già indicato per il metodo n.1 senzacombinare i risultati con la regola SRSS. Per ciascuna posizione del CM e per ogni telaio sicalcola lo spostamento normalizzato (Eq. 2); di conseguenza, sono ottenuti quattro ADM,i perogni telaio.Successivamente sono eseguite le otto analisi statiche non lineari e, seguendo la stessa

procedura illustrata nel metodo 1, sono ottenuti 4 NLSA,i dalla (Eq. 3); infine dalla (Eq. 4), perogni telaio, si ottengono 4 fattori di correzione come rapporto tra i 4 NLSA,i corrispondentialle 4 posizioni del centro di massa e ai 4 ADM,i. La richiesta sismica per i telai del lato rigido della struttura è infine amplificata moltiplicandotutte le quantità rilevanti ottenute dalle 4 analisi statiche non lineari per i corrispondenti fattoridi correzione.

Le richieste derivanti dalle 4 ASNL amplificate sono quindi combinate secondo la regolaSRSS:

- 258 -





della condizione di Stato Limite Ultimo; ASNL(met. n.1) e ASNL(met. n.2) indicanorispettivamente gli spostamenti ottenuti applicando il metodo n.1 ed il metodo n.2 per tenereconto degli effetti torsionali; ADNL(med) indica uno spostamento ricavato come media fraquelli massimi ottenuti delle 7 analisi dinamiche non lineari effettuate per ognuno dei 4modelli (spostando il centro di massa) e quindi determinando successivamente il massimo

degli stessi; con ADNL(med+DS) è indicato uno spostamento valutato come per il caso diADNL(med) ma considerando oltre che il valore medio del risultato anche la deviazionestandard dello stesso (DS).La Figura 3 mostra gli spostamenti massimi in sommità per i vari telai, valutati come assolutie come adimensionalizzati rispetto allo spostamento CM, separatamente per la direzione X eY. È facile osservare che ASNL(met. n.1) fornisce per il lato rigido dell’edificio (telai 4 e 5nella dir. X e 3 nella dir. Y) spostamenti più grandi di ASNL e ASNL(met. n.2). Inoltre dallastessa figura, si evince che le analisi non lineari statiche offrono sempre spostamenti piuttostomaggiori rispetto a quelli delle analisi dinamiche e che la deviazione standard non ètrascurabile rispetto ai risultati medi, come può essere osservato dalla differenza tra glispostamenti di ADNL(med) e di ADNL(med+DS).

Assoluto, X dir.

T e l a i o 4

CM

T e l a i o 5

T e l a i o 6

T e l a i o 7

T e l a i o 8

T e l a i o 9

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

s p o s t a m e n t o [ m ]

ADNL (media) ASNL (met. n.1) ASNL ASNL (met. n.2) ADNL (med+DS)

Assoluto, Y dir.

T e l a i o 1 CM

T e l a i o 2

T e l a i o 3

0.05

0.10

0.15

0.20

s p o s t a m e n t o [ m

ADNL (med) ASNL (met. n.1) ASNL ASNL (met. n.2) ADNL (med+DS)

Adimensionalizzato, X dir.

T e l a i o 4

CM

T e l a i o 6

T e l a i o 7

T e l a i o 8

T e l a i o 9

T e l a i o 5

0.90

1.10

1.30

1.50

1.70

1.90

2.10

2.30

u / u C M

ADNL (med) ASNL (met. n.1) ASNL ASNL (met. n.2) ADNL (med+DS)

Adimensionalizzato, Y dir.

T e l a i o 1

CM

T e l a i o 2

T e l a i o 3

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

u / u C M

ADNL (med) ASNL (met. n.1) ASNL ASNL (met. n.2) ADNL (med+DS) Figura 3. Spostamenti sommitali adimensionalizzati e non dei telai dell’edificio.

I commenti sopra riportati sono pienamente confermati anche dalla Figura 4, in cui sonoindicati gli spostamenti d'interpiano valutati per due spigoli opposti dell’edificio e lungo le

direzioni X e Y. L'incremento degli spostamenti al secondo piano, mostrato per tutte leanalisi, è fondamentalmente causato dalla riduzione della rigidezza del secondo piano rispettoal primo.

Angolo 1, X dir.

0

3.2

6.4

9.6

0.00 0.04 0.08 0.12

Spostamento interpiano [m]

h [ m ] ADNL (med)

ASNL

ASNL (met. n.1)

ASNL (met. n.2)

ADNL (med+DS)

pr i m o pi an o

s e c on d o pi an o

t e r z o pi an o

Angolo 2, X dir.

0

3.2

6.4

9.6

0.00 0.02 0.04 0.06

Spostamento interpiano [m]

h [ m ]

ADNL (med)

ASNL

ASNL (met. n.1)

ASNL (met. n.2)

ADNL (med+DS)

pr i m o pi an

s e c on d o

t e r z o pi an o

- 260 -



Angolo 1, Y dir.

0

3.2

6.4

9.6

0.00 0.02 0.04 0.06Spostamento interpiano [m]

h [ m ] ADNL (med)

ASNL

ASNL (met. n.1)

ASNL (met. n.2)

ADNL (med+DS)

pr i m o pi an o


t e r z o pi an o

Angolo 2, Y dir.

0

3.2

6.4

9.6

0.00 0.02 0.04 0.06Spostamento interpiano [m]

h [ m ] ADNL (med)

ASNL

ASNL (met. n.1)

ASNL (met. n.2)

ADNL (med+DS)

pr i m o pi an o


t e r z o pi an o

2

1

X

Y

Figura 4. Spostamenti di interpiano valutati in direzione X e Y.

6 CONCLUSIONI

Nell'articolo si discute della procedura che estende il metodo N2 agli edifici irregolari in pianta compensando la sottostima di richiesta sismica sul lato rigido. Sono proposte tremetodologie che portano in conto l'eccentricità accidentale (4 diverse posizioni del centro dimassa corrispondenti a 4 modelli), applicando le stesse ad un edificio di 3 piani irregolare in

pianta progettato elasticamente secondo le prescrizioni dell'EC8.

Le differenze principali tra i 3 metodi proposti sono: l’ASNL(met. n.1) combina glispostamenti dell'analisi dinamica modale ottenuti dai 4 modelli (associati alle 4 eccentricità)con la regola SRSS e, per ogni telaio, il massimo spostamento normalizzato è assunto comeriferimento; ASNL(met. n.2), porta in conto i quattro diversi modelli e solamente alla finedella procedura combina i risultati con la regola SRSS; ASNL(met. n.3) è uguale a ASNL(met. n.2), però considera fino alla fine della procedura anche il duplice segno (+ e -) della

pushover.I risultati delle analisi statiche non lineari (ASNL) sono confrontati con quelli ottenuti dalleanalisi dinamiche non lineari (ADNL). Sono eseguite 28 analisi dinamiche non lineari (7analisi per ognuno dei 4 modelli ottenuti considerando l’eccentricità accidentale), valutandosempre il massimo effetto dei 4 modelli; per ogni modello sono state calcolate la media dei 7massimi ottenuti da 7 terremoti (ADNL(med)), nonché lo stesso valore medio sommato alladeviazione standard (ADNL(med+DS)).I risultati della ASNL(met. n.3) sono coincidenti con i risultati della ASNL(met. n.2),confermando che è corretto considerare solo il massimo spostamento di target dato dalle 2

pushover eseguite sullo stesso modello nella stessa direzione ma con verso opposto diapplicazione delle forze, come affermato in [Fajfar et al.,2006].L'influenza degli effetti ortogonali valutata con la regola SRSS sui risultati della ASNL(met.n.2) è stata valutata e ritenuta trascurabile; questa conclusione è confermata da analisicompiute su altri edifici.ASNL(met. n.1) fornisce spostamenti più grandi di ASNL(met. n.2) ed, in particolare, per

alcuni telai valuta meglio gli spostamenti sul lato rigido dell’edificio per effetto della torsione.Al contrario, gli aspetti positivi di ASNL(met. n.2) sono che il fattore di correzione calcolato

- 261 -



per un modello viene da spostamenti normalizzati calcolati per lo stesso modello e chel'incremento di spostamenti dovuto agli effetti della torsione risulta essere più basso, il che è

positivo considerando che gli spostamenti assoluti di ADNL(med) sono più piccoli.I risultati delle analisi dinamiche non lineari sono sempre più piccoli dei corrispondenti valoriritrovati con le analisi statiche non lineari.

7 RINGRAZIAMENTI

Questo lavoro è stato in parte sovvenzionato dalla Protezione Civile nell’ambito del progettodi ricerca ReLUIS Linea 2.

8 BIBLIOGRAFIA

CEN. EN 1990 [2002] Eurocode 0: Basis of structural design., Brussels.CEN. EN 1991-1-1 [2002]. Eurocode 1: Actions on structures – Part 1-1: General actions- Densities,

self weight, imposed loads for buildings., Brussels.CEN, EN 1992-1-1 [2004]. Eurocode 2: Design of concrete structures – Part 1-1: General rules and

rules for buildings, Brussels.CEN, Final Draft, prEN 1998-1 [2003]. Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance –

Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings. Brussels. CEN, prEN 1998-3 [2004]. Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance – Part 3:

Assessment and retrofitting for buildings. Draft No 7, Brussels.CSI Computer & Structures Inc. SAP2000 [2004] Linear and Nonlinear Static and Dynamic Analysis

of Three-Dimensional Structures. Computer & Structures, Inc., Berkeley, California.Fajfar, P., Marusic, D., Perus, I., [2005]. “The extension of the N2 method to asymmetric buildings”.

Proceedings of the 4th European Workshop on the seismic behaviour of irregular and complex

structures. Thessaloniki, Greece, 26-27 August 2005.Fajfar, P., Marusic, D., Perus, I, [2006]. “The N2 method for asymmetric buildings”. First European

Conference on Earthquake Engineering and Seismology. Ginevra, Svizzera, 3-8 Settembre 2006.Iervolino, I., Maddaloni, G., Cosenza, E. [2008]. “Eurocode 8 compliant real record sets for seismic

analysis of structures”, Journal of Earthquake Engineering , Vol. 12, No. 1.Li KN. CANNY99 [1996]. Three-dimensional nonlinear dynamic structural analysis computer

program package. Technical and Users’ manual. Canny Consultants Pte Ltd:1996.

- 262 -




ANALISI STATICHE E DINAMICHE NON LINEARI DI EDIFICI ESISTENTI

IN CEMENTO ARMATO IRREGOLARI IN PIANTA

Gennaro Magliulo, Giuseppe Maddaloni, Edoardo Cosenza

DIST, Università degli Studi di Napoli “Federico II”, Facoltà di Ingegneria, Napoli [email protected] , [email protected] , [email protected]

ABSTRACTIl presente articolo si occupa dello studio della risposta sismica di tre strutture esistenti. Ilriferimento è ad edifici multipiano in cemento armato, tipologia molto diffusa in Italia, il

primo a pianta rettangolare, il secondo a pianta ad L e il terzo a pianta rettangolare con cortile.Il secondo ed il terzo sono irregolari in pianta in accordo all’Ordinanza del Presidente delConsiglio dei Ministri n. 3431 (OPCM n. 3431) e all’Eurocodice 8 (EC8). Sono eseguiteanalisi non lineari statiche (pushover) e dinamiche, considerando le tre differenti zonesismiche previste dall’OPCM n. 3431 (ag pari a 0.35g, 0.25g e 0.15g). Le analisi di pushoversono eseguite con il programma di calcolo SAP2000, mentre le analisi dinamiche non lineariutilizzando il programma CANNY99. Per queste ultime, sono considerati set di 7 terremoti(portando in conto entrambe le componenti orizzontali) completamente soddisfacenti le

prescrizioni dell’OPCM n. 3431. Le analisi sono condotte sia allo Stato Limite di DannoSevero che allo Stato Limite di Collasso ed i risultati sono forniti in termini di rapportirotazione richiesta/rotazione disponibile in testa ed al piede di ogni colonna nelle duedirezioni nonché in termini di massimo spostamento in sommità degli edifici.

PAROLE CHIAVEAnalisi non lineari, irregolarità in pianta, accelerogrammi naturali, edifici esistenti, OPCM n.3431.

1 INTRODUZIONELe più importanti normative antisismiche nazionali ed internazionali prevedono l’utilizzo diquattro metodologie di analisi atte a verificare che la risposta strutturale, durante un eventosismico, non superi un certo valore limite. Tali metodi risultano caratterizzati da complessità e

precisione crescenti comportando anche difficoltà di modellazione e di esecuzione man mano più elevate: analisi statica, analisi dinamica modale, analisi statica non lineare, analisidinamica non lineare. La scelta tra un metodo e l’altro dipende dalle caratteristiche (regolarità, periodi propri) edall’importanza della struttura che si intende progettare e/o verificare. Tra i vari approcci,l’analisi dinamica non lineare è sicuramente in grado di fornire la migliore predizione della

risposta strutturale indotta dai terremoti. Gli input per tali analisi sono in genere scelti inmaniera da rappresentare scenari sismici che determinano la pericolosità del sito o tali da


- 263 -









corrispondere allo spettro di risposta elastico a probabilità di superamento uniforme. A questoapproccio fanno riferimento anche la normativa italiana OPCM n. 3431 [OPCM, 2003] el’EC8 [CEN, 2003] per le quali le registrazioni accelerometriche per le analisi devonorispondere a requisiti di compatibilità con gli spettri di normativa [Iervolino et al., 2008]. In

particolare, nel lavoro, si focalizza l’attenzione alle prescrizioni suggerite dall’OPCM n.3431;

l’obiettivo è quello di fornire strumenti di base per comprendere i presupposti dei più recentirisultati dell’ingegneria sismica e per applicare, con piena consapevolezza, le prescrizioninormative che a tali risultati si ispirano.Lo studio riguarda la verifica ed in generale l’analisi di tre strutture esistenti in cementoarmato: la prima regolare e le altre due irregolari in pianta. Le tre tipologie sono state scelte inquanto rappresentative del comune patrimonio edilizio italiano delle strutture in cementoarmato. In particolare il primo ha una pianta rettangolare, il secondo presenta, invece, una

pianta spiccatamente ad L ed il terzo una pianta rettangolare con un cortile centrale.L’irregolarità del secondo edificio è insita nella forma della pianta, mentre l’irregolarità delterzo è da ricercarsi nella possibilità che l’impalcato non possa essere consideratoinfinitamente rigido a causa della presenza del foro.

Le strutture sono analizzate con analisi non lineari statiche e dinamiche, facendo variare uncerto numero di fattori. In particolare per l’analisi statica non lineare (o analisi di pushover) siè fatta variare la zona sismica, considerando le zone 1, 2 e 3 previste dall’OPCM n. 3431, inmodo da consentire un’analisi della risposta sismica per gli edifici ubicati su gran parte delterritorio nazionale; inoltre è fatta variare la tipologia di distribuzione di forze consideratanell’esecuzione dell’analisi di pushover, ovvero è presa in considerazione una distribuzione diforze uniforme (proporzionale alla massa ad ogni impalcato) ed una distribuzione di forzetriangolare (proporzionale alla massa moltiplicata per gli spostamenti del primo modo divibrazione).Per l’analisi dinamica non lineare, oltre a far variare la zona sismica, come per le analisistatiche, è fatto variare l’angolo di incidenza dell’input sismico (per il solo edificio 2) percercare di capire quanto tale fattore possa essere importante nella risposta sismica di unedificio.

2 GEOMETRIA E MODELLAZIONE DEGLI EDIFICI

La geometria degli edifici analizzati è sinteticamente descritta in Figura 1.L’edificio 1 risulta doppiamente simmetrico e si sviluppa su quattro livelli, ciascuno dei qualidi altezza 3.20 m. I pilastri e le travi, tutti uguali, hanno dimensioni 30 cm x 60 cm per tuttol’edificio. Per quanto riguarda i materiali, il calcestruzzo ha una resistenza media f cm=33.5

N/mm2 e l’acciaio una resistenza media f ym=500 N/mm2.L’edificio 2 ha una pianta ad L e si sviluppa su cinque piani, ciascuno dei quali di altezza 3.50m. Le pilastrate hanno tre diverse tipologie di dimensioni che si mantengono costanti per tuttal’altezza dell’edificio: 40 cm x 40 cm, 40 cm x 50 cm, 40 cm x 70 cm. Anche le travi hannodimensioni diverse raggruppabili in tre tipologie: 40 cm x 60 cm, 40 cm x 50 cm, 25 cm x 50cm. Per quanto riguarda i materiali, il calcestruzzo ha una resistenza media f cm=25 N/mm2 el’acciaio una resistenza media f ym=400 N/mm2.L’edificio 3 ha una pianta rettangolare e un cortile centrale; si sviluppa per cinque piani,ciascuno dei quali di altezza 3.50 m. Le pilastrate hanno due diverse tipologie di dimensioniche si mantengono costanti per tutta l’altezza dell’edificio: 40 cm x 55 cm, 40 cm x 70 cm.Anche le travi hanno dimensioni diverse raggruppabili in tre tipologie: 40 cm x 60 cm, 40 cm

x 50 cm, 25 cm x 40 cm. Per quanto riguarda i materiali, il calcestruzzo ha una resistenzamedia f cm=25 N/mm2 e l’acciaio una resistenza media f ym=400 N/mm2.

- 264 -



1 32

Y

4 5

X

Y

1 5 5

5

2

5

1 3 4

X

5

c

d6

a

b

5 6 6 6 5

28

Edificio 1 Edificio 2 Edificio 3

Figura 1. Vista 3D e pianta degli edifici analizzati.

Per tutti e tre gli edifici è considerato un modello con impalcato rigido e masse concentratenel baricentro.Le analisi non lineari sono eseguite mediante il programma SAP 2000 [CSI, 2004] e

CANNY99 [Li, 1996]. La non linearità degli elementi riguarda solo la rotazione flessionale.Sia le travi che i pilastri sono modellati come elementi elastici con due molle rotazionali nonlineari alle estremità. Il comportamento delle molle è definito da una curva bilineareincrudente, tracciata una volta noti il momento di snervamento e la corrispondente rotazione.La fessurazione è portata in conto considerando un modulo di Young dimezzato.I momenti flettenti e le corrispondenti curvature sono calcolate considerando per ilcalcestruzzo in compressione un diagramma parabola-rettangolo, avente un valore delladeformazione al termine del tratto parabolico pari allo 0.2% e un valore di deformazioneultima pari allo 0.35%. Per l’acciaio è assunto un diagramma elastico-perfettamente plastico.La rotazione di snervamento e quella ultima sono calcolate come definito rispettivamentedalle equazioni (11.1.a) e (A.11.1) dell’OPCM n.3431.Il modello isteretico considerato è di tipo Takeda, modificato per tener conto anchedell’effetto pinching, come consentito dal programma CANNY99.

3 ANALISI STATICA NON LINEARE

Un’analisi statica non lineare consiste nel sottoporre una struttura ai carichi gravitazionali e adun sistema di forze laterali, simulanti le forze di inerzia, che, mantenendo i rapporti relativi tradi esse, sono incrementate monotonamente fino al raggiungimento di uno spostamento di un

punto di controllo della struttura (es. il baricentro dell’ultimo piano), detto spostamento ditarget, che rappresenta la richiesta sotto lo spettro elastico di normativa. Nel presente lavorotale spostamento è individuato applicando il metodo N2, così come indicato dalla normaitaliana. Per ogni edificio sono eseguite 24 analisi di pushover; in particolare per ogni edificio

- 265 -



l’analisi è effettuata separatamente per le due direzioni ortogonali orizzontali e considerando per ogni direzione i due versi della forza sismica. Come imposto dalla norma, sonoconsiderate due diverse distribuzioni di forze orizzontali: una distribuzione di forze

proporzionali al prodotto delle masse per la deformata corrispondente al modo di vibrazionefondamentale nella direzione di spinta e una distribuzione di forze proporzionali alle masse.

Inoltre l’analisi è ripetuta considerando le tre diverse zone sismiche previste dall’OPCM n.3431 e cioè valutando la richiesta con spettri elastici di normativa costruiti per leaccelerazioni ag pari a 0.15g, 0.25g e 0.35g.

Nella Figura 2 sono riportate solo 2 pushover per ogni edificio e cioè quelle ottenuteapplicando una distribuzione di forze proporzionali alle forme modali e valutando la richiesta

per una ag=0.35g. In particolare nei grafici è riportato, sull’asse delle ascisse lo spostamentodel punto di controllo (il baricentro dell’impalcato dell’ultimo piano) adimensionalizzatorispetto all’altezza dell’edificio e sull’asse delle ordinate il taglio alla base adimensionalizzatorispetto al peso sismico totale dell’edificio. Inoltre nelle stesse figure sono evidenziati: lospostamento in corrispondenza del quale si ottiene la formazione di un numero di cerniere taliche la struttura diviene un meccanismo e la corrispondente resistenza (αu); lo spostamento di

target , che corrisponde allo spostamento richiesto dal terremoto di progetto allo Stato Limitedi Danno Severo (t.SD-“ significant damage”) e lo spostamento che corrisponde a quellorichiesto allo Stato Limite di Collasso (t.NC-“near collapse”), che si ottiene amplificando lospettro elastico di normativa per 1,5 (probabilità di superamento del 2% in 50 anni); lo

spostamento ultimo (SD) e quello di collasso (NC), che corrispondono al primo attingimentoin una delle cerniere plastiche assegnate della rotazione ultima, rispettivamente pari a ¾ dellau e a u, da parte della prima cerniera plastica tra tutte quelle assegnate. La rotazione ultima(u) è calcolata così come indicato dalla (A.11.1) dell’OPCM n. 3431.

t . S D

αu S D

N C

m e c c

t . N C

000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

dc/Htot

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.

F b / W t o t

t . S

D t . N C

αu S D

N C

m e c c

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025

dc/Htot

t . S D

αu

S D

N C

m

e c c

t . N

C

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020

dc/Htot

F b / W t o t

-0.

F b / W t o t

N C

αu t . S D

S D

m e c c

t . N C

000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

dc/Htot

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.

F b / W t o t

αu t . S D

S D

N C

m e c c

t . N C

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025

dc/Htot

N C

αu S D t .

S D

m e c c

t . N C

0.00

0.05

0.10

0.15

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

dc/Htot

F b / W t o t

-0.

F b / W t o t


Figura 2. Curve di capacità taglio-spostamento per forze applicate in direzione X (sopra) e Y (sotto).

I risultati di Figura 2 mostrano che non sempre la verifica della struttura è soddisfatta. Inalcuni casi infatti (edificio 3 direzione Y), la richiesta (t.SD e t.NC) risulta essere superiorealla disponibilità (SD e NC).

- 266 -





0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

90°

60°

30°

0°

330°

300°

270°

240°

210°

180°

150°

120°

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3

var. var. var.

% %0° 0,59 0,42 0,31

30° 0,66 12,2% 0,46 10,1% 0,28 -9,0%

60° 0,56 -4,6% 0,43 2,5% 0,32 2,2%

90° 0,60 1,5% 0,44 5,3% 0,35 14,0%

120° 0,74 26,0% 0,53 25,4% 0,31 1,5%

150° 0,72 21,0% 0,46 10,2% 0,29 -7,5%

180° 0,61 3,5% 0,42 0,1% 0,31 0,3%

210° 0,63 5,9% 0,50 18,4% 0,26 -14,1%

240° 0,60 1,2% 0,46 9,3% 0,30 -2,2%

270° 0,62 4,4% 0,47 12,5% 0,34 9,4%

300° 0,75 27,6% 0,51 22,2% 0,30 -4,0%

330° 0,70 17,6% 0,48 14,0% 0,30 -2,5%

MAX 0,75 27,6% 0,53 25,4% 0,35 14,0%

ZONA 1 ZONA 2 ZONA 3

r / d r / d r / d

MAX ASSOLUTO PILASTRI

%

Valori massimi Valori minimi

Figura 4. Influenza dell’angolo di incidenza dell’input sismico: rotazione richiesta/rotazione disponibile.

5 CONFRONTI DEI RISULTATI

I risultati ottenuti dalle analisi statiche non lineari effettuate con le modalità illustrate nelParagrafo 4, sono confrontati con i risultati ottenuti dalle analisi dinamiche non lineariillustrate nel Paragrafo 5. In particolare, i confronti sono effettuati in termini di rapporti tra larotazione richiesta (domanda) e la rotazione disponibile (capacità) per la sezione di testa e di

piede dei pilastri in entrambe le direzioni; di tali rapporti è calcolato il massimo tra tutti i

pilastri dell’edificio, nonché la media dei valori ad ogni piano. Tali confronti sono eseguiti siaallo Stato Limite di Collasso che allo Stato Limite di Danno Severo.

Nella Figura 5, per brevità, si riportano i soli valori massimi valutati allo Stato Limite diDanno Severo, considerando per l’analisi statica non lineare le due diverse distribuzioni diforze orizzontali (forze proporzionali alle masse e forze proporzionali al prodotto delle masse

per gli spostamenti del primo modo di vibrazione) dei rapporti rotazionalirichiesta/disponibilità valutati alla base e in testa di tutti i pilastri degli edifici per le tre zonesismiche di riferimento.

TH PO max triang. PO max unif.TH PO max triang. PO max unif. TH PO max triang PO max unif.TH PO max triang PO max unif.TH PO max triang. PO max unif.TH PO max triang. PO max unif.

(MAX ASSOLUTO PILASTRI)

TimePGA (g)

Pushover Pushover


Figura 5. Massimi valori di richiesta/disponibilità per lo Stato Limite di Danno Severo.

0,15 0,26 0,16 0,15

0,25 0,40 0,34 0,40

0,35 0,51 0,55 0,64

History triang. unif.

0,15 0,31 0,25 0,13

0,25 0,42 0,57 0,46

0,35 0,59 0,84 0,72


PGA (g)Time

History

Pushover

triang.

Pushover

unif.0,15 0,36 0,23 0,28

0,25 0,46 0,46 0,57

0,35 0,72 0,67 0,86


PGA (g)Time

History

Pushover

triang.

Pushover

unif.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0,15 0,2 0,25 0,3 0,35PGA[g]

R [ a d i m ]

0,00

0,30

0,60

0,90

1,20

0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

PGA[g]

R [ a d i m ]

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

PGA[g]

R [ a d i m ]

- 268 -



Dalla Figura 5 si evince che, per gli edifici esistenti oggetto di studio, non è sempre rispettatoil principio, generalmente valido per gli edifici di nuova progettazione [Magliulo et al., 2007],secondo il quale ad un’analisi più semplice corrispondono risultati con un maggior grado disicurezza, in quanto spesso l’analisi dinamica non lineare fornisce risultati più gravosi dellaanalisi statica non lineare (che risulta meno complessa). Tale fenomeno si accentua con il

diminuire dell’intensità sismica (ovvero passando da zona 1 a zona 3). Nella Figura 6 sono riportati gli stessi risultati della Figura 5 ma per il solo edificio 1, conriferimento allo Stato Limite di Collasso e ai soli piani I e IV.

0.00

0.15

0.30

0.45

0.60

0.75

0.90

0.15 0.2 0.25 0.3

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

PGA[g]

R [ a d i m ]

0.35

PGA[g]

R [ a d i m ]

TH PO max triang. PO max unif.TH PO max triang. PO max unif. TH PO max triang PO max unif.TH PO max triang PO max unif. I piano IV piano

Figura 6. Massimi valori di richiesta/disponibilità per lo Stato Limite di Collasso per l’edificio 1.

Dai risultati si deduce, come era da aspettarsi, che l’analisi di pushover con distribuzione diforze uniforme, ai piani bassi risulta più gravosa di quella con distribuzione di forzetriangolare; al contrario, salendo verso i piani alti, tale tendenza si inverte, risultando piùgravosa la pushover con distribuzione di forze triangolare.

6 CONCLUSIONI

Nell’articolo i metodi di analisi non lineari (statica e dinamica), così come previstidall’OPCM n. 3431, ma anche dalle più moderne normative internazionali, sono applicati atre diverse tipologie di edifici in c.a., scelti in quanto rappresentativi del comune patrimonioedilizio italiano. In particolare il primo edificio è a pianta rettangolare, il secondo presenta,invece, una pianta spiccatamente ad L ed il terzo una pianta ancora rettangolare, ma con uncortile centrale. Il secondo ed il terzo edificio sono classificati irregolari secondo quanto

previsto dall’OPCM n. 3431.Gli accelerogrammi utilizzati per l’analisi dinamica non lineare sono reperiti dal sitowww.reluis.it e si è deciso di utilizzare set di 7 terremoti naturali in modo da poterconsiderare i valori medi di risposta di ogni terremoto anziché quelli massimi (come indicatodalla norma).Per le analisi statiche non lineari si è utilizzato il programma SAP 2000 v.10, mentre perl’esecuzione delle analisi dinamiche non lineari si è utilizzato il programma CANNY99. Talianalisi sono eseguite facendo variare un certo numero di fattori. In particolare per l’analisistatica non lineare (o analisi di pushover) si è fatta variare la zona sismica, considerando lezone 1, 2 e 3 previste dalla OPCM n. 3431, in modo da ricoprire la risposta sismica per gran

parte del territorio nazionale; inoltre è fatta variare la tipologia di distribuzione di forzeconsiderata nell’esecuzione delle analisi di pushover, ovvero è presa in considerazione unadistribuzione di forze uniforme (proporzionale alla massa degli impalcati) ed unadistribuzione di forze triangolare (proporzionale alla massa moltiplicata per gli spostamenti

del primo modo di vibrazione). Per quanto riguarda l’analisi dinamica non lineare, oltre a farvariare la zona sismica, come è fatto per le analisi statiche, è fatto variare l’angolo di

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http://www.reluis.it/




incidenza dell’input sismico (per il solo edificio 2) per cercare di capire quanto tale fattore può essere importante nella risposta sismica di un edificio.Dall’analisi dei risultati ottenuti è possibile dedurre che generalmente, come ci si aspetta,l’analisi di pushover con distribuzione di forze uniforme, ai piani bassi, risulta più gravosa diquella con distribuzione di forze triangolare, questo proprio perché la pushover con

distribuzione di forze uniforme vuole rappresentare una modalità di crisi della struttura permeccanismo di piano soffice al primo piano o comunque ai primi piani della struttura; alcontrario, salendo verso i piani alti, tale tendenza si inverte, risultando più gravosa la

pushover con distribuzione di forze triangolare.Inoltre, dai risultati si evince che non è sempre rispettato il principio, generalmente valido pergli edifici di nuova progettazione, secondo il quale ad un’analisi più semplice corrispondonorisultati con un maggior grado di sicurezza, in quanto spesso l’analisi dinamica non linearefornisce risultati più alti della analisi statica non lineare (che risulta meno complessa). Talefenomeno si accentua con il diminuire dell’intensità sismica (ovvero passando dalla zona 1alla zona 3).Si può, infine, dedurre che ha senso parlare di angolo critico di incidenza del sisma, ovvero

esiste un angolo di applicazione del sisma in corrispondenza del quale si ottiene la massimarisposta strutturale. Data la variabilità della risposta strutturale al variare del suddetto angolo(che talvolta supera il 30%), tale problematica non risulta trascurabile e pertanto dovrebbeessere portata in conto nell’analisi sismica di una struttura.

7 RINGRAZIAMENTI

Questo lavoro è stato in parte sovvenzionato dalla Protezione Civile nell’ambito del progettodi ricerca ReLUIS Linea 2.

8 BIBLIOGRAFIA

CEN, Final Draft, prEN 1998-1 (2003). Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance –Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings. Brussels.

CSI Computer & Structures Inc. SAP2000 (2004). Linear and Nonlinear Static and Dynamic Analysisof Three-Dimensional Structures. Computer & Structures, Inc., Berkeley, California.

http://www.reluis.it/ Iervolino, I., Maddaloni, G., Cosenza, E. (2008). “Eurocode 8 compliant real record sets for seismic

analysis of structures”, Journal of Earthquake Engineering , Vol. 12, No. 1.Li KN. CANNY99 (1996). Three-dimensional nonlinear dynamic structural analysis computer

program package. Technical and Users’ manual. Canny Consultants Pte Ltd:1996.Magliulo G., Maddaloni G., Cosenza, E. (2007). “Comparison between non linear dynamic analysis performed according to EC8 and elastic and non linear static analyses”. Engineering Structures,Vol. 29, 2893-2900.

OPCM. Ordinanza n.3431 (2003). Ulteriori modifiche ed integrazioni all’ordinanza del Presidente delConsiglio dei Ministri n. 3274 del 20 marzo 2003, recante ”Primi elementi in materia di criterigenerali per la classificazione sismica del territorio nazionale e di normative tecniche per lecostruzioni in zona sismica”, Roma.

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PRESTAZIONI SISMICHE DI TELAI REGOLARI ED IRREGOLARI

IN ELEVAZIONE IN TERMINI DI RESISTENZA

Gennaro Magliulo, Roberto Ramasco

Dipartimento di ingegneria strutturale, Università degli studi di Napoli “Federico II” [email protected] , [email protected]

ABSTRACTIn questo articolo si discute del comportamento sismico dei telai in c.a. che presentanodiscontinuità della distribuzione in elevazione della sovraresistenza. Tali discontinuità sonoottenute eguagliando a diversi piani le armature di travi e/o pilastri di un telaio regolare,

progettato secondo l’Eurocodice 8 (EC8) in Classe di Duttilità Alta. Per tutti i telai sonoapplicati i criteri di regolarità della resistenza in elevazione prescritti dalle più importantinormative sismiche internazionali. Per tali verifiche di regolarità la resistenza di piano ècalcolata con due metodi differenti: il primo tiene conto solo delle resistenze flessionali dei

pilastri, mentre il secondo anche delle resistenze flessionali delle travi. Il comportamentosismico di tutti i telai è studiato attraverso analisi non lineari, sia statiche che dinamiche,eseguite secondo le prescrizioni dell’EC8. Tutti i telai sono verificati sia allo stato limite

ultimo che a quello di collasso mediante analisi non lineari sia statiche che dinamiche al passo. Sia osserva che sia per le non importanti discontinuità di resistenza assegnate che invirtù dell’applicazione della gerarchia delle resistenze, le verifiche di tutti i telai esaminatisono ampiamente soddisfatte.

PAROLE CHIAVEIrregolarità in elevazione in termini di resistenza, analisi non lineari, resistenza di piano,classe di duttilità alta, Eurocodice 8.

1 INTRODUZIONELe strutture irregolari esibiscono un comportamento sismico sfavorevole, caratterizzato dallaconcentrazione delle domanda plastica in un numero limitato di sezioni, che può condurle adun collasso prematuro sotto azioni sismiche violente. La regolarità in elevazione è, in

particolare, condizionata dalla distribuzione lungo l’altezza delle masse, delle rigidezze edelle resistenze. Tutte le più moderne normative internazionali dettano dei criteri per laverifica di regolarità delle strutture, che possono essere di tipo qualitativo o quantitativo e, nelcaso tali criteri non siano soddisfatti, presentano prescrizioni opportune.I primi studi sull’argomento hanno riguardato strutture con set-back e con primi piani soffici.Più recentemente, i problemi di irregolarità in elevazione sono stati studiati distinguendo le

distribuzioni irregolari di massa, rigidezza e resistenza (Valmundsson e Nau, 1997, Al-Ali eKrawinkler 1998; Magliulo et al., 2001; Magliulo et al., 2002a; Magliulo et al., 2002b;


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Magliulo et al., 2002c; Iorio et al., 2003; Magliulo et al., 2004; Iorio et al. 2005; Magliulo etal., 2006), per ottenere una migliore stima dei loro effetti. Questi studi hanno mostrato che leirregolarità di resistenza sono quelle che inducono incrementi maggiori di richiesta plasticarispetto alle strutture regolari. In tali studi, inoltre, si valuta l’affidabilità dei criteri normativi

per la verifica di regolarità.

Il lavoro di ricerca presentato nel seguito parte da alcuni risultati e considerazioni esposte inMagliulo et al., 2004. Come in una parte di quest’ultimo si indaga in merito alla risposta ditelai con distribuzione in elevazione non uniforme delle sovraresistenze (rapporti fraresistenza disponibile e resistenza richiesta dalle azioni di progetto) e circa l’affidabilità deicriteri normativi per la verifica di regolarità in elevazione di resistenza. Gli elementi di novitàrispetto al lavoro citato sono esposti qui di seguito.Si ritiene che un telaio sia da definirsi irregolare in quanto la sua verifica allo Stato LimiteUltimo o al Collasso non sia soddisfatta o, almeno, dia risultati decisamente peggiori rispettoalla stessa verifica condotta su un telaio ritenuto regolare; ovviamente, poiché si discute ditelai duttili e di irregolarità in elevazione in termini di resistenza, le verifiche vanno condottein campo non lineare. Conseguentemente, da un telaio, dalla geometria molto regolare e

presentato anche in Magliulo et al., 2004, progettato con le versioni correnti degli Eurocodici(CEN, 2002a; CEN, 2002b; CEN, 2003; CEN, 2004), sono generati dei casi caratterizzati dadiscontinuità delle sovraresistenze in elevazione, come possono riscontrarsi nella comune

pratica tecnica; questi telai sono verificati rispetto allo Stato Limite Ultimo ed al Collassomediante analisi statica e dinamica al passo non lineare, condotte completamente in accordoalle prescrizioni dell’EC8, anche in termini di spettrocompatibilità dell’azione sismica.Inoltre, la regolarità di resistenza in elevazione degli stessi telai e verificata rispetto ai criteridi diverse normative internazionali; a questo scopo la resistenza di piano è valutata mediantedue diverse metodologie, una delle quali tiene in conto anche la resistenza delle travi.

2 DESCRIZIONE DEI TELAI ANALIZZATI

La struttura di riferimento (Figura 1) è un telaio piano di 5 livelli e 2 campate. Per il progettosi è ipotizzato che esso appartenga ad un edificio 3D caratterizzato da un numero infinito ditelai tutti uguali.Gli elementi (travi e pilastri) hanno tutti la stessa sezione, pari a 30x60cm. La struttura ècomposta da calcestruzzo con una resistenza caratteristica cilindrica a compressione pari a 35

N/mm2 ed un acciaio con una resistenza caratteristica di snervamento pari a 450 N/mm2. Il progetto è condotto in accordo alle prescrizioni degli Eurocodici. Lo spettro utilizzato è quello per suolo tipo B, con accelerazione su suolo rigido ag caratteristica della zona 1 secondol’OPCM 3431, 2005, vale a dire pari a 0,35g. La classe di duttilità scelta è quella alta. Ilfattore di struttura è assunto pari a 5,85, considerando anche che la struttura è regolare intermini di massa, rigidezza e resistenza. La resistenza assegnata, infatti, è quella strettamenterichiesta dall’analisi di progetto, che è elastica con spettro di risposta, a meno dei minimi

previsti dalla normativa.Il primo periodo elastico di tale telaio di riferimento è pari a 0,706 sec, con massa

partecipante pari all’83%, il secondo pari a 0,223 sec, con massa partecipante pari all’11%.Variando la resistenza delle travi e/o dei pilastri del telaio di riferimento sono generati seitelai, caratterizzati, quindi, da distribuzioni in elevazione delle sovraresistenze discontinue. Ilmodo in cui tali telai sono generati è descritto nel seguito e risponde a semplificazioni nelladistribuzione delle armature che sovente, per comodità realizzativa, vengono adottate nella

pratica tecnica.

- 272 -



Il caso Pb(1-3,4-5)H è ottenuto facendo in modo che le tre travate ai primi tre livelli abbianola stessa armatura; ciò è ottenuto assegnando a ciascun lembo di ciascuna sezione la massimaarmatura presente in quel punto nelle tre travate considerate nel telaio di riferimento.Analogamente l’armatura di ciascuna sezione della travata del quarto livello, uguale a quelladel quinto, è pari alla massima presente in quel punto nelle due corrispondenti travate del

telaio di riferimento. E’ ovvio che la variazione di resistenza avviene mediante l’incrementodi quella di alcune sezioni delle travi del telaio di riferimento e non mediante il suodecremento, dal momento che in quest’ultimo caso i telai generati non rispetterebbero le

prescrizioni minime della norma e, quindi, essi sarebbero non realistici e già sicuramente penalizzati in termini di verifica.Il telaio Pb(1-3,4-5)HH è ottenuto dal Pb(1-3,4-5)H applicando nuovamente la gerarchia delleresistenze in ciascun nodo trave – pilastro, come prevista dall’EC8, vale a dire verificando la:

∑∑ ≥ Rb Rc M M 3,1 (1)

Infatti, le modifiche apportate al caso di riferimento per generare il Pb(1-3,4-5)H possonodeterminare in tale telaio il mancato soddisfacimento della (1).Il caso denominato Pc è ottenuto eguagliando in ciascun pilastro del telaio di riferimentol’armatura alla base con quella in testa, ovviamente alla massima fra le due. Altro casoanalizzato è il Pbc(1-3,4-5)H, generato dal telaio regolare apportando sia le modifichedescritte per Pb(1-3,4-5)H che per Pc. Verificando la (1) per Pbc(1-3,4-5)H si ottiene il telaioPbc(1-3,4-5)HH.Infine il telaio Alfa zero è generato da quello regolare incrementando la resistenza al piede diciascun pilastro del primo livello dello stesso coefficiente moltiplicativo assegnato in testaallo stesso pilastro, allorquando è stata imposta la verifica della (1). Questo caso è introdottoal fine di cogliere eventuali variazioni della risposta rispetto al telaio di riferimento, in cui

ciascun pilastro del primo livello, in accordo alle prescrizioni dell’EC8, presenta alla baseun’armatura e, quindi, una resistenza non inferiore di quella in testa, sebbene potrebbe essereinferiore, invece, la sovraresistenza.

Figura 1. Telaio di riferimento.

3 ANALISI NON LINEARI

Le analisi non lineari sono condotte mediante il programma di calcoloCANNY99 (Li, 1996),facendo le assunzioni descritte nel seguito. Travi e pilastri sono modellati con elementi a

plasticità concentrata con molle rotazionali non lineari alle estremità; la non linearitàmeccanica è assegnata attraverso un modello trilineare momento - rotazione che tiene conto

- 273 -



della fessurazione degli elementi; la relazione M-θ per i pilastri è computata per uno sforzonormale derivante dai carichi verticali considerati nella combinazione con l’azione sismica.La curva monotona M-θ è trilineare, con la rotazione di fessurazione assunta pari allacorrispondente curvatura per la lunghezza dell’elemento diviso 6 e con la rotazione disnervamento assunta pari alla (A10b) dell’EC8 (CEN, 2005). Per le analisi dinamiche non

lineari si è usato un modello isteretico tipo Takeda (Figura 2), che tiene conto dell’effetto pinching, vale a dire dell’abbattimento della rigidezza in corrispondenza del cambiamento disegno del diagramma del momento.

Figura 2. Moldello isteretico per le analisi dinamiche non lineari.

Le analisi statiche non lineari (ASNL) sono condotte, come già detto, in accordo alle prescrizioni dell’EC8. Le curve di capacità, taglio alla base – spostamento di sommità, sonoottenute usando le due previste distribuzioni di forze orizzontali: una proporzionale al

prodotto della distribuzione degli spostamenti del primo modo di vibrazione per le masse(Mxφ), l’altra proporzionale alla distribuzione delle masse (M). Gli spostamenti di target allostato limite ultimo (SLU) ed al collasso (NC) sono ottenuti attraverso il metodo N2; nel primocaso l’azione è rappresentata dallo spettro elastico di normativa utilizzato per il progetto deitelai, nel secondo lo stesso amplificato per il coefficiente 1,5, come previsto dall’OPCM3431, 2005. La rotazione richiesta in corrispondenza delle cerniere plastiche è confrontata conla capacità rotazionale disponibile prevista dall’EC8 e pari a ¾θu per l’ULS e θu per l’NC,secondo la (A.1) in CEN, 2005.I risultati ottenuti dal telaio regolare sono confrontati con quelli dei “presunti” telai irregolariin termini di curve di capacità, rapporti tra lo spostamento in sommità richiesto e disponibile erapporti tra la massima duttilità rotazionale richiesta e quella disponibile.Le analisi dinamiche non lineari (ADNL) sono effettuate usando sette terremoti reali,spettrocompatibili, secondo le indicazioni dell’EC8, con lo spettro utilizzato per il progettodei telai (suolo B, ag=0,35). Tali terremoti sono stati scaricati dal sito www.reluis.it , sebbene,

a differenza di quanto indicato sul sito, il solo terremoto dal codice 000187 (Teheran) èscalato mediante un coefficiente pari a 1,08, essendo sufficiente la spettrocompatibilità suintervallo di periodi più stretto rispetto a 0,04 – 2 sec. Poiché i telai analizzati sono piani, ledue componenti di uno stesso terremoto sono utilizzate separatamente; conseguentemente, perogni telaio sono eseguite 14 analisi ed i risultati commentati, riportati in termini di rapporti trale rotazioni richieste e quelle disponibili, sono la media dei 14 massimi.

4 RISULTATI DELLE ANALISI NON LINEARI

Le curve di capacità, spostamento di sommità adimensionalizzato rispetto all’altezza totale –

taglio alla base, sono indicate in Figura 3 per la distribuzione di forze Mxφ ed in Figura 4 per la distribuzione M. Ogni pushover è tracciata fino allo spostamento corrispondente alla

- 274 -





disponibilità allo stato limite di collasso; inoltre con il tondo è indicata la richiesta incorrispondenza di tale stato limite, mentre con il rombo ed il triangolo rispettivamentedisponibilità e richiesta in corrispondenza dello stato limite ultimo. Il quadratino indica lospostamento in corrispondenza del quale nel telaio si forma un meccanismo.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035

D/H

V b

Regolare

Pc

Alfa zero

Pb(1-3,4-5)H

Pb(1-3,4-5)HH

Pbc(1-3,4-5)H

Pbc(1-3,4-5)HH

Meccan.

T.SLU

T.NC Av.SLU

Av.NC

Figura 3. Curve di capacità dei telai analizzati con spostamenti richiesti e disponibili (distr. forze Mx ).

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035

D/H

V b

500

Regolare

Pc

Alfa zero

Pb(1-3,4-5)H

Pb(1-3,4-5)HH

Pbc(1-3,4-5)H

Pbc(1-3,4-5)HH

Meccan.

T.SLU

T.NC

Av.SLU

Av.NC

Figura 4. Curve di capacità dei telai analizzati con spostamenti richiesti e disponibili (distr. forze M).

Le figure mostrano chiaramente che tutti i telai sono ampiamente verificati, sia allo statolimite ultimo che al collasso, con differenze molto lievi in termini di risposta dei telaicaratterizzati da una distribuzione delle resistenze variate rispetto al telaio regolare diriferimento; conseguentemente si può decisamente affermare che nessuno dei telai esaminati

presenta una risposta di tipo irregolare. Appaiono, inoltre, confermati i risultati presentati inMagliulo et al., 2004; in particolare si osserva che la gerarchia delle resistenze applicata nei

- 275 -



nodi trave – pilastro regolarizza decisamente la risposta di telai con discontinuità dellesovraresistenze in elevazione. I risultati osservati sono anche condizionati dal fatto che levariazioni di sovraresistenza tra un piano e l’altro dei telai analizzati non sono elevate.Le conclusioni appena riportate scaturiscono anche dalla osservazione dei rapportirichiesta/disponibilità rotazionale mostrati nelle Figure 5 e 6. Nella prima si riportano i

massimi rapporti in percentuale tra rotazione richiesta e disponibile ottenuti dalla ASNL alloSLU (a sinistra) ed allo NC (a destra), valutati, per ogni telaio, tra i massimi agli estremi di pilastri e travi, in questo secondo caso considerando sia il lembo inferiore che quellosuperiore. In Figura 6, invece, i valori mostrati sono le medie sui 14 accelerogrammi deivalori massimi sopra citati, ottenuti dalle ADNL.

61.64

43.60

61.85

43.95

60.44

43.42

62.25

44.26

72.91

46.59

62.61

44.99

65.74

47.87

35

40

45

50

55

60

65

70

SLU NC

T / A v ( % )

Regolare Pc Alfa zero Pb(1-3,4-5)H Pb(1-3,4-5)HH Pbc(1-3,4-5)H Pbc(1-3,4-5)HH

Figura 5. Rapporti tra le rotazioni max richieste e disponibili ottenuti dalle ASNL per la distrib. Mx .

25.11

26.79

25.7926.31

25.95

27.20 27.37

20

21

22

23

24

25

26

27

28

T / A v ( % )

Rego lare Pc Alf a zero Pb(1-3 ,4 -5)H Pb(1-3 ,4 -5)HH Pbc(1-3, 4-5)H Pbc(1-3,4 -5)HH

Figura 6. Rapporti tra le massime rotazioni richieste e disponibili ottenuti dalle ADNL allo SLU.

5 DISCUSSIONE SUI CRITERI NORMATIVI PER LA VALUTAZIONE DELLAREGOLARITÀ IN ELEVAZIONE DELLA RESISTENZA

Al fine di applicare i criteri di regolarità delle più moderne normative sismiche internazionali,è necessario valutare la resistenza di piano. Nel caso di telai con travi deformabili questo

parametro non è univocamente definito e nel seguito è valutato utilizzando due diversemetodologie. Il metodo 1 consiste nel calcolare la resistenza di piano come la somma deimomenti di snervamento alle estremità dei pilastri al piano diviso l’altezza di interpiano. Ilmetodo 2 è analogo al precedente, ma il momento di snervamento in corrispondenza di unagenerica estremità del pilastro concorrente in un nodo è moltiplicato per il rapporto tra lasomma dei momenti di snervamento delle travi e quella dei momenti di snervamento(considerati coincidenti con i momenti resistenti) dei pilastri che concorrono nello stessonodo, nel caso in cui tale rapporto risulti inferiore dell’unità.

In Tabella 1 sono riportati, relativamente ai telai sopra analizzati, i giudizi di regolarità diresistenza in elevazione (R: regolare, I: irregolare) forniti dall’Eurocodice 8, dall’OPCM

- 276 -



3431, dall’NBC (http://www.nationalcodes.ca/consult/tc/nbc/part4/part4_en.pdf , 2005),dall’IBC (International Code Council, 2000), dal SEAOC (SEAOC, 1999), dall’ATC40(Applied Technology Council, 1996) e dal NEHERP (Building Seismic Safety Council,2001); poiché l’Eurocodice 8 fornisce una soglia di regolarità solo qualitativa, si è assuntacome variazione limite della sovraresistenza per la regolarità il 20%, come per l’OPCM 3431.

Nei casi esaminati i giudizi di regolarità non variano utilizzando i due differenti metodi dicalcolo della resistenza di piano. Si osserva che il giudizio positivo di regolarità dell’OPCM3431 è condizionato dal fatto che ai telai è applicata la gerarchia delle resistenze incorrispondenza dei nodi: i risultati delle analisi confermano la congruità di tale giudizio

positivo. Il giudizio di irregolarità condizionato da una variazione della sovraresistenza tra un piano e l’altro maggiore del 20% appare, invece, eccessivamente gravoso. La regolaritàgeneralmente conferita dalle normative americane è confermata dalle analisi.

Tabella 1. Giudizio di regolarità secondo alcune normative internazionali.

CODES Regolare Pc Pb(1-3,4-5)H Pb(1-3,4-5)HH Pbc(1-3,4-5)H Pbc(1-3,4-5)HH Alfa zero

EC8 R I R I I I R

OPCM 3431 R R R R R R R

NBC R R R R R I R

IBC

R R R R R R RSEAOC

ATC40

NEHRP

6 CONCLUSIONI

I telai analizzati, progettati secondo le regole della Classe di Duttilità Alta dell’Eurocodice 8 ecaratterizzati da variazioni di resistenza rispetto a quella necessaria di progetto che sovente siriscontrano nella pratica, mostrano un comportamento decisamente regolare, essendoampiamente soddisfatte le verifiche condotte mediante analisi statica e dinamica non lineari.Ciò è sicuramente anche dovuto all’applicazione della gerarchia delle resistenze nei noditrave-pilastro, come previsto dall’OPCM 3431. In ogni caso, per perturbare la risposta sismicanon lineare di telai in cemento armato, sono necessarie delle variazioni di sovraresistenza traun piano ed un altro maggiori del 20%.

7 RINGRAZIAMENTI

Questo lavoro di ricerca è stato in parte finanziato dal Dipartimento della Protezione Civile,nell’ambito del progetto di ricerca ReLUIS, Linea 2.Gli autori vogliono anche ringraziare il Prof. Roberto Realfonzo, dell’Università degli Studidi Salerno, dal momento che lo studio qui presentato è il naturale proseguimento di un lavorodi ricerca condotto con la sua collaborazione.

- 277 -

http://www.nationalcodes.ca/consult/tc/nbc/part4/part4_en.pdf




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- 278 -






VARIAZIONE DELLA RISPOSTA SISMICA

SOTTO DIFFERENTI SET DI TERREMOTI

Giuseppe Maddaloni, Gennaro Magliulo, Edoardo Cosenza

DIST, Università degli Studi di Napoli “Federico II”, Facoltà di Ingegneria, Napoli, [email protected] , [email protected] , [email protected]

ABSTRACT Nel presente articolo è valutata l’incidenza dell’input sismico sulla risposta di sistemistrutturali, effettuando un confronto tra le risposte dinamiche non lineari determinatemediante dieci diversi set di accelerogrammi. Ogni set è composto da 7 terremoti (ognuno deiquali comprendente entrambe le componenti orizzontali), selezionati in accordo alle

prescrizioni dell'Eurocodice 8 (EC8).Le analisi sono prima condotte su un sistema ad un grado di libertà (SDOF) e quindisuccessivamente estese ad un edificio spaziale multipiano in cemento armato, progettatorispettando le prescrizioni dell’Eurocodice 2 (EC2) e dell’EC8.La risposta dei sistemi elastici SDOF è analizzata in termini di accelerazione spettrale; lostesso parametro è investigato per i sistemi non lineari, così come la variazione di duttilità

richiesta e del fattore di struttura.Per l’edificio, i risultati sono forniti in termini di spostamento massimo in sommità, dispostamento d’interpiano, di rapporti tra duttilità rotazionale richiesta e disponibile, così comein termini di coefficienti di variazione di questi parametri.È mostrato che le prescrizioni dell’EC8 riguardanti la selezione dei set come input per leanalisi non lineari non sono completamente affidabili, poiché esse non portano in conto lavariabilità degli spettri elastici, che condizionano significativamente la risposta non linearedelle strutture.

PAROLE CHIAVE

Input sismico, accelerogrammi naturali, analisi dinamica non lineare, Eurocodice 8, variabilitàdei risultati.

1 INTRODUZIONE

La gran parte degli articoli che trattano gli effetti dei differenti input sismici sulla rispostastrutturale considerano la variabilità dell’input in termini di magnitudo, di contenuto infrequenza del segnale [Krawinkler et al., 2003; Wang et al., 2002], di PGA (Peak GroundAcceleration), di Intensità di Arias, di Durata [Amiri e Dana, 2005; Van de Lindt e Goh,2004], di energia dissipata e indici di danno [Cosenza e Manfredi, 2000].

Nel presente articolo sono discussi gli effetti della variabilità dell’input sismico analizzando larisposta non lineare di sistemi ad un grado di libertà (SDOF) e di un telaio spaziale in c.a.


- 279 -









(MDOF). L'originalità dello studio è rappresentata dal fatto che tutti i risultati sono ottenuticonsiderando come input set di accelerogrammi che soddisfano pienamente le prescrizionidell’Eurocodice 8 [CEN, 2003]; questo consente di trattare il tema degli effetti dellavariabilità dell’input sismico in un caso specifico ed anche di validare le prescrizioni dellanormativa.

2 SCELTA DELL’INPUT SISMICO

Sono considerati tre set di accelerogrammi, ognuno dei quali composto da 7 terremoti e daentrambe le componenti orizzontali; di conseguenza ogni set è formato da 14 registrazioni. Lascelta di utilizzare set di 7 terremoti consente di poter assumere come risposta strutturale lamedia dei valori massimi ottenuti dalle 7 analisi dinamiche non lineari eseguite. Leregistrazioni sono selezionate in accordo alle prescrizioni dell’EC8 e considerando unintervallo di spettro-compatibilità compreso tra 0 e 2 secondi; opportuni criteri di selezioneaggiuntivi sono considerati al fine di evitare una sovrastima della domanda sismica, così come

ampiamente illustrato in [Iervolino et al., 2008].La Figura 1 mostra, per ognuno dei tre set utilizzati, gli spettri elastici delle 14 registrazioni,insieme al loro spettro medio (linea spessa nera irregolare), e lo spettro elastico di riferimentodell'EC8 (linea spessa nera regolare). Lo spettro elastico di riferimento è quello utilizzato peril progetto dell'edificio analizzato assegnando un fattore di struttura q=1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

T [sec]

S a

[ g ]

000196000199000233000288000535006328006334

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

T [sec]

S a

[ g ]

000187000197000230000291001228004673004677

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

T [sec]

S a

[ g ]

p0317p0528p0629p0764p0779p0810p0883

Figura 1. Spettri elastici per il set 1 (sinistra), set 2 (centro) e set 3 (destra).

Gli accelerogrammi che costituiscono il set 1 e 2 sono ottenuti dal European Strong-motionDatabase (ESD) [ESD, 2007], mentre quelli del set 3 dal Pacific Earthquake EngineeringResearch (PEER) Strong Motion Database [PEER, 2007]. Dettagli delle registrazioni sonoriportati in appendice.

Il set 2 è formato da terremoti tutti diversi da quelli presenti nel set 1; questo evita che leanalisi effettuate considerando i due set europei possano essere condizionate dalla stessaregistrazione prevalente.

3 RISPOSTA DEI SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTA’

Per tutte le registrazioni dei tre set considerati, è valutata la risposta dei sistemi elastici SDOFanalizzata in termini di accelerazione spettrale, nonché quella non lineare ottenutadeterminando gli spettri anelastici per valori assegnati della richiesta di duttilità (=4 e =5)e del fattore di struttura q (q=4, q=4.68 e q=5).

- 280 -



Per ogni set, sia per gli spettri elastici che anelastici, è calcolato il coefficiente di variazione(CoV), ossia il rapporto tra la deviazione standard e la media (m). Il CoV, per ognuno dei treset considerati, è calcolato:a) per T1 = 0.716 s (periodo fondamentale dell'edificio multipiano analizzato);

b) come media dei valori dei CoV calcolati su 100 periodi nell’intervallo T1-2T1, considerato

che, una struttura durante un evento sismico, per effetto del danneggiamento, può subire unariduzione di rigidezza che, nel caso di edifici multipiano progettati in Alta Duttilità, può provocare un incremento del periodo fondamentale mediamente pari a due volte il valoreelastico;c) come media dei valori dei CoV calcolati su 100 periodi all'interno dell’intervallo 0-2secondi (intervallo nel quale è stata valutata la compatibilità dello spettro medio con lo spettroelastico di norma).I risultati delle analisi sono presentati in Tabella 1; nella stessa è fatto riferimento anche ad unquarto set (set 4), ottenuto considerando tutte le registrazioni degli altri tre set; ovviamente,anche quest’ultimo soddisfa pienamente le prescrizioni dell'EC8.Anche se tutti i set soddisfano lo stesso criterio in termini di selezione (e quindi risultano

equivalenti dal punto di vista normativo), una variabilità non trascurabile del CoV può esserenotata: i valori più bassi sono forniti dal set 3, sia con riferimento al fissato periodo T 1, siacome media nell’intervallo T1-2T1 e 0-2 secondi. Il CoV medio dei primi tre set èapprossimativamente 0.7 sia per gli spettri elastici che non lineari, come confermato dal set 4.

Tabella 1. Valori dei CoV per gli spettri lineari e non lineari

Tipo di spettro Intervallo di valutazione Set 1 Set 2 Set 3 Set 4

LineareT1 0.71 0.86 0.47 0.69

T1-2 T1 0.86 0.72 0.56 0.72

0-2 sec 0.58 0.91 0.46 0.69

Non lineare

(=4)

T1 0.81 0.85 0.58 0.75

T1-2 T1 0.96 0.67 0.61 0.760-2 sec 0.79 0.71 0.54 0.69

Non lineare

(=5)

T1 0.84 0.61 0.60 0.69

T1-2 T1 0.93 0.69 0.60 0.74

0-2 sec 0.78 0.72 0.53 0.68

Non lineare

(q=4)

T1 0.70 0.85 0.45 0.68

T1-2 T1 0.85 0.68 0.54 0.70

0-2 sec 0.75 0.71 0.53 0.68

Non lineare

(q=4.68)

T1 0.69 0.84 0.45 0.67

T1-2 T1 0.84 0.67 0.53 0.69

0-2 sec 0.75 0.70 0.53 0.67

Non lineare

(q=5)

T1 0.69 0.83 0.45 0.67

T1-2 T1 0.83 0.67 0.53 0.69

0-2 sec 0.74 0.70 0.52 0.66 Per analizzare la variabilità della risposta sismica non lineare, per ciascun set, è calcolato ilCoV dei fattori q ottenuti dallo spettro anelastico per una richiesta di duttilità costante pari aμ=4 e μ=5; i valori di q sono valutati con riferimento al periodo T1=0.716 s. Per ogni set, ilvalore del CoV dei fattori q è diagrammato in funzione del CoV valutato per i corrispondentispettri elastici al periodo T1=0.716 s (Figura 2, sinistra). Nella stessa figura, è riportata lalinea di interpolazione dei risultati e il valore del quadrato del coefficiente di correlazione(R 2=1 indica la massima correlazione); evidentemente, la buona correlazione dei risultatiesprime la condizione che all’aumento del CoV valutato sulle ordinate degli spettri elastici,corrisponde un aumento pressoché proporzionale del CoV dei fattori q calcolati per gli spettri

anelastici a duttilità costante.

- 281 -



Nel diagramma di destra di Figura 2, invece, per i quattro set considerati, il CoV delleordinate degli spettri elastici valutata per il periodo T1=0.716 s è messo in relazione al CoVdelle richieste di duttilità ottenute dagli spettri anelastici caratterizzati da un fattore di strutturaq costante pari a 4, 4.68 e 5. Anche in tal caso, la linea di interpolazione dei risultati mostrauna buona correlazione; all’aumentare della variabilità degli spettri elastici, corrisponde un

aumento quasi proporzionale, della variabilità delle duttilità richieste .

R 2 = 0.988

R 2 = 0.793

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

COV elastic spectra at T1

C O V q a t T 1

μ=4

μ=5

corr. (=4)

corr. (=5)R

2 = 0.996R

2 = 0.794

R 2 = 0.372

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

COV elastastic spectra at T1

C O V

a t T 1

q=4

q=4.68

q=5

corr. (q=4)

corr. (q=4.68)

corr. (q=5)

Figura 2. Sinistra: correlazione (al periodo T1) tra il CoV valutato per gli spettri elastici e il CoV deifattori q ottenuti dagli spettri inelastici caratterizzati da una richiesta di duttilità =4 e =5; destra:correlazione (al periodo T1) tra il CoV valutato per gli spettri elastici e il CoV delle richieste di duttilità

ottenute dagli spettri inelastici caratterizzati da un fattore di struttura costante q=4, q=4.68 e q=5.

4 ESTENSIONE DEI RISULTATI AD UN EDIFICIO SPAZIALE MULTIPIANO INC.A.

4.1 Geometria e modellazione dell’edificio

La geometria dell’edificio è riportata in Figura 3; la struttura si sviluppa su quattro livelli conl’altezza del primo piano pari a 4 m e 3.2 m per gli altri. Al primo piano le dimensioni di tuttii pilastri e le travi sono 30x55 cm2; al secondo tali dimensioni sono rispettivamente 30x50cm2, al terzo 30x45 cm2, mentre all’ultimo si riducono a 30x40 cm2.L’edificio è progettato in accordo alle prescrizioni degli Eurocodici 0, 1, 2 e 8 [CEN, 2002a;CEN, 2002b; CEN, 2004], mediante un’analisi dinamica modale, considerando un suolo Btype 1 e un’accelerazione orizzontale massima su suolo di tipo A a g=0.25g; questacorrisponde alla zona 2 delle categorie previste dalla normativa sismica italiana OPCM 3274[PCM, 2003].

1 4 m

25,4 m

X1

2X

3X

4X

Y1 2Y 3Y 4Y 5Y 6YY

X Figura 3. Geometria dell’edificio analizzato.

Il progetto è eseguito applicando le regole dell’Alta Duttilità, con un fattore di struttura pari a4.68 e considerando l’edificio irregolare in elevazione. I materiali impiegati sono un

- 282 -



calcestruzzo con una resistenza cilindrica pari a f ck =30 N/mm2 e un acciaio con tensione disnervamento pari a f yk =450 N/mm2.Le analisi non lineari sono eseguite mediante il programma CANNY99. La non linearità deglielementi riguarda solo la rotazione flessionale. Sia le travi che i pilastri sono modellati comeelementi elastici con due molle rotazionali non lineari alle estremità. Il comportamento delle

molle è definito da una curva trilineare, tracciata una volta noti il momento di fessurazione edi snervamento e le corrispondenti rotazioni; la rigidezza rotazionale post-snervamento èassunta pari a zero.I momenti flettenti e le corrispondenti curvature sono calcolate considerando per ilcalcestruzzo in compressione un diagramma parabola-rettangolo, avente una resistenza media

pari a 38 N/mm2, un valore della deformazione al termine del tratto parabolico pari allo 0.2%e un valore di deformazione ultima pari allo 0.35%. Per l’acciaio è assunto un diagrammaelastico-perfettamente plastico, caratterizzato da una resistenza di snervamento media pari a530 N/mm2.La rotazione di fessurazione è calcolata moltiplicando la curvatura corrispondente per L/6,essendo L la lunghezza dell’elemento. La rotazione di snervamento e quella ultima sono

calcolate come definito rispettivamente dalle equazioni (A.10b) e (A.1) nella parte terzadell’EC8.Il modello isteretico considerato è di tipo Takeda, modificato per tener conto anchedell’effetto pinching, come consentito dal programma CANNY99.

4.2 Risultati delle analisi

Gli stessi set da 7 terremoti ciascuno, adottati per investigare la risposta dei sistemi ad ungrado di libertà (SDOF), costituiscono l’input per le analisi dinamiche non lineari sull’edificiodi quattro piani, applicando, per ogni terremoto, la componente N-S lungo la direzionelongitudinale (X) dell’edificio e la componente E-O lungo la direzione ortogonale (Y).

Nella Tabella 2, è riportata la media tra i valori massimi del rapporto domanda/capacitàottenuti da ciascuna delle 7 analisi non lineari eseguite per ciascun set e valutati comerotazione totale rispetto alla corda alle estremità delle travi e delle colonne. Per ottenere ilrapporto domanda/capacità, ogni valore massimo è stato diviso per la capacità rotazionalevalutata allo Stato Limite Ultimo, in accordo all’EC8 [CEN, 2004b], come 3/4 u, dove u èla rotazione ultima definita dalla stessa norma secondo la formula empirica (A.1).

Tabella 2. Massimo rapporto domanda/capacità in termini di rotazione rispetto alla corda

Elementi Set 1 Set 2 Set 3 Set 4

Travi 0.35 0.30 0.28 0.31

Pilastri 0.27 0.22 0.20 0.22

Travi della scala 0.37 0.28 0.28 0.30Pilastri della scala 0.38 0.31 0.29 0.31

- 283 -



I risultati presentati in Tabella 2 mostrano una relazione con i valori dei CoV indicati inTabella 1: i valori decrescono dal set 1 al set 3, mentre quelli del set 4 sono coincidenti o al

più leggermente maggiori di quelli forniti dal set 2.

4.3 Confronto fra la risposta strutturale del sistema SDOF e MDOF

Per confermare tutti i risultati presentati in questo articolo ed ottenuti considerando quattro setdi terremoti, sono scelti altri 6 set di sette terremoti. Tre di essi sono ottenuti scalandolinearmente le registrazioni dei set 1, 2 e 3, così da imporre a tutti gli spettri di un set diassumere al periodo T1=0.716 s la stessa ordinata dello spettro elastico di normativa (EC8).Gli altri tre set sono selezionati come già operato per il set 1, cioè a partire dal EuropeanStrong-motion Database e secondo delle procedure di ottimizzazione della selezione,

presentate in [Iervolino et al., 2008].In Figura 4 ciascun set è rappresentato con un simbolo. Nei due diagrammi nella parte altadella figura ogni quadrato è caratterizzato da un’ascissa pari alla media dei CoV delle ordinatedegli spettri elastici valutati per 100 periodi nel range T1-2T1 e da un’ordinata pari al CoVdegli spostamenti assoluti (D, separatamente valutati per le due direzioni orizzontali X e Y)

del centro di massa in sommità dell’edificio; lo stesso discorso vale per il simbolo triangolo,ma in tal caso l’ordinata rappresenta il CoV degli spostamenti d'interpiano dell'edificio (Δ/Hs,separatamente valutati per le due direzioni orizzontali X e Y). Sempre in Figura 3, nella parte

bassa è riportato la stessa tipologia di risultati, ma sull'asse verticale sono considerati i CoVdei rapporti domanda/capacità della massima rotazione valutata rispetto alla corda.In tutti i diagrammi descritti è anche riportata la linea di interpolazione dei risultati insieme alvalore del quadrato del coefficiente di correlazione (R 2).La buona correlazione lineare tra i CoV dei parametri caratterizzanti la risposta non linearedella struttura spaziale ed i CoV delle ordinate degli spettri elastici è confermata pienamente.

R 2 = 0.891

R 2 = 0.913

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

CoV elastic spectra in T1- 2T1

C o V D - C o V

/ H S

CoV Dx CoV (/HS)x

corr. (CoV Dx) corr. (CoV (/HS)x)

R 2 = 0.626

R 2 = 0.694

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0CoV elastic spectra in T1- 2T1

C o V D - C o V

/ H S

CoV Dy CoV (/HS)y

corr. (CoV Dy) corr. (CoV (/HS)y)

R 2 = 0.952

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

CoV elastic spectra in T1 - 2T1

C o V d e m a n d / c a p a c i t

Figure 4. Correlazione per ogni set tra i CoV degli spettri elastici e i CoV dei parametri di risposta sismicadell’edificio.

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5 CONCLUSIONI

Nel presente articolo sono discussi gli effetti della variabilità dell’input sismico sulla rispostastrutturale; è analizzata la risposta non lineare di sistemi SDOF e di un telaio spaziale in c.a.(MDOF). L'originalità dello studio presentato riguarda la tipologia di input usato nelle analisi:

set di accelerogrammi che soddisfano pienamente le prescrizioni normative in termini dicompatibilità con lo spettro elastico di progetto. Questo consente di trattare il tema deglieffetti della variabilità dell’input sismico in un caso specifico e nel contempo di analizzare le

prescrizioni della normativa.La risposta dei sistemi elastici SDOF è analizzata in termini di accelerazione spettrale; lostesso parametro è investigato per i sistemi non lineari, così come la duttilità richiesta e ilfattore di struttura.Per ciascun set, è calcolato, sia per gli spettri elastici che anelastici, il coefficiente divariazione (CoV), cioè il rapporto tra la deviazione standard e la media. I grandi valori deiCoV rivelano una grande dispersione di risultati; il CoV medio fra i set considerati èapprossimativamente 0.7. Inoltre, all’aumento del CoV delle ordinate degli spettri elastici,

corrisponde un incremento quasi proporzionale del CoV dei fattori q calcolati sugli spettrianelastici a duttilità costante e del CoV di richiesta di duttilità valutato per gli spettri anelasticicon fattore q costante.Le analisi sono estese ad un edificio multipiano in c.a. progettato elasticamente secondo le

prescrizioni degli Eurocodici. Per ogni set, sono determinati i coefficienti di variazione (CoV)dei risultati delle sette analisi dinamiche non lineari; i risultati sono valutati comespostamento sommitale dell’edificio, spostamento d'interpiano e rapporto domanda/capacitàin termini di rotazione rispetto alla corda dell'estremità degli elementi. I risultati ottenutimostrano che, all’aumento del CoV delle ordinate degli spettri elastici valutato nell’intervalloT1-2T1, corrisponde un incremento quasi proporzionale del CoV dei parametri caratterizzantila risposta non lineare.

A conclusione delle considerazioni sopra fatte, si può affermare che, quando sono eseguiteanalisi dinamiche non lineari, dovrebbe anche essere preso in considerazione il coefficiente divariazione (CoV), sia per la selezione dell'input che per la valutazione dei risultati. Riguardoalla selezione degli input, è stato riscontrato un valore di CoV "naturale"; di conseguenza,quando per le analisi non lineari sono utilizzati set di registrazioni artificiali, questidovrebbero essere caratterizzati da un CoV non più basso del valore "naturale" indicato, inquanto quest’ultimo condiziona in maniera all’incirca proporzionale il CoV dei parametri dirisposta non lineare delle strutture.

6 RINGRAZIAMENTI

Questo lavoro è stato in parte sponsorizzato dalla Protezione Civile nell’ambito del progettodi ricerca ReLUIS Linea 2.

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8 APPENDICE

Dettagli dei terremoti dei set 1, 2 e 3

Set Codice Data Nome Stazione Nazione

1

000196 15/04/1979 Montenegro Petrovac-Hotel Oliva Yugoslavia

000199 15/04/1979 Montenegro Bar-Skupstina Opstine Yugoslavia

000233 24/05/1979 Montenegro (aftershock) Kotor-Zovod za Biologiju Mora Yugoslavia

000288 23/11/1980 Cam ano Lucano Brienza Italia

000535 13/03/1992 Erzincan Erzincan-Meteorolo i Mudurlu u Turchia

006328 21/06/2000 South Iceland (aftershock Kaldarholt Islanda

006334 21/06/2000 South Iceland (aftershock) Solheimar Islanda

2

000187 16/09/1978 Tabas Tabas Iran

000197 15/04/1979 Montene ro Ulcin -Hotel Olim ic Yu oslavia

000230 24/05/1979 Montene ro aftershock Budva-PTT Yu oslavia

000291 23/11/1980 Campano Lucano Calitri Italia

001228 17/08/1999 Izmit Gebze-Tubitak Marmara Arastirma Turchia

004673 17/06/2000 South Iceland Hella Islanda

004677 17/06/2000 South Iceland Selsund Islanda

3

P00317 26/04/1981 Westmoreland - Stati Uniti

P00528 08/07/1986 Palm Springs - Stati Uniti

P00629 01/10/1987 Whittier Narrows - Stati Uniti

P00764 18/10/1989 Loma Prieta - Stati Uniti

P00779 18/10/1989 Loma Prieta - Stati Uniti

P00810 25/04/1992 Ca e Mendocino - Stati Uniti

P00887 17/01/1994 Northridge - Stati Uniti

- 286 -

http://www.isesd.cv.ic.ac.uk/

http://peer.berkeley.edu/smcat/data.html

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http://www.isesd.cv.ic.ac.uk/




ANALISI DELLA RISPOSTA SISMICA DI EDIFICI ESISTENTI

IRREGOLARI: UN CASO DI STUDIO

Angelo D’Ambrisi, Mario De Stefano, Marco Tanganelli

Dipartimento di Costruzioni, Firenze, [email protected]

SOMMARIOI metodi per l’analisi pushover, ben consolidati nel caso di strutture intelaiate piane, non sonodirettamente applicabili alle strutture irregolari, in particolare a quelle irregolari in pianta.Recentemente, sono stati sviluppati metodi differenti per superare tale limitazione e la lorocapacità di approssimare i risultati dell’analisi dinamica nonlineare (IDA) è stata verificatacon riferimento a modelli idealizzati di edifici tridimensionali ovvero a strutture di geometriasemplificata sottoposte a prove sperimentali. In questo lavoro viene esaminato uno di talimetodi, proposto da Fajfar et al. (2005a), verificandone l’adeguatezza con riferimento ad unedificio scolastico esistente, caratterizzato sia da irregolarità planimetriche che in elevazione,tali da determinare una configurazione strutturale ben più complessa di quelleschematicamente considerate dai codici sismici. I risultati ottenuti mostrano che il metodo diFajfar et al., anche per questa particolare struttura, consegue una buona approssimazione

dell’analisi dinamica nonlineare per quanto riguarda sia l’entità degli spostamenti diinterpiano e delle rotazioni plastiche che la tipologia del meccanismo di collasso.

PAROLE CHIAVEEdifici esistenti in c.a., analisi pushover, irregolarità strutturale.

1 INTRODUZIONE

Benchè l’analisi dinamica nonlineare (IDA) rappresenti il metodo più raffinato per la predizione della risposta sismica delle strutture, l’analisi statica nonlineare (pushover) viene

generalmente ritenuta più adatta nella pratica professionale poichè consente di tener conto delcomportamento inelastico pur conservando una notevole semplicità. In particolare, l’analisi

pushover appare molto conveniente per la verifica sismica di edifici esistenti, poiché consentedi introdurre nella modellazione le caratteristiche meccaniche dei materiali, e costituisce unaefficace alternativa all’analisi dinamica nonlineare, tanto che tutte le principali normativesismiche la annoverano fra i metodi di calcolo utilizzabili dal progettista per gli edificiregolari, che presentano comportamento traslazionale sotto azioni sismiche.Gli edifici irregolari in pianta richiedono una modellazione tridimensionale ed esibiscono unarisposta di tipo torsionale che dà luogo ad una distribuzione non uniforme degli spostamentilaterali di piano. Viene compromessa, pertanto, la possibilità dei metodi convenzionali perl’analisi pushover, come ad esempio il metodo N2 (Faifar et al., 1997) ed il metodo dello

spettro di capacità (Freeman, 1998), di approssimare bene i risultati ottenuti con l’IDA, poiché non è sufficiente la definizione di un solo spostamento target (tipicamente quello del


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baricentro delle masse dell’ultimo piano). Di conseguenza, negli anni più recenti, numerosilavori scientifici hanno affrontato il problema, formulando metodi differenti (Goel andChopra, 2004, Moghadam and Tso, 1997, 2000a, 2000b) per estendere l’analisi pushover agliedifici irregolari in pianta. Nel 2005, Fajfar et al. (2005a, 2005b) hanno proposto dicombinare i risultati di una normale analisi pushover piana condotta con il metodo N2 con

quelli ottenuti mediante analisi modale elastica. In particolare, l’analisi modale è utilizzata pereffettuare una previsione della forma dell’inviluppo degli spostamenti laterali dell’ultimo piano, adimensionalizzati rispetto a quello del baricentro delle masse, ottenendo così deifattori amplificativi degli spostamenti laterali del’ultimo piano calcolati mediante il metodo

N2. Nel caso in cui, per effetto della risposta torsionale, si verifichino sul lato rigidodell’edificio riduzioni degli spostamenti laterali rispetto al baricentro delle masse, il metodo diFajfar et al (2005a) le trascura a vantaggio di sicurezza (applicando la cosiddetta ‘noreduction rule’). Tale metodo appare particolarmente vantaggioso per le applicazioni pratiche,

poiché tiene conto in modo semplice e concettualmente chiaro dell’effetto principale dellarisposta torsionale – la distribuzione non uniforme degli spostamenti laterali dell’ultimo piano

– che può compromettere l’utilizzo dell’analisi pushover.

Tuttavia, va osservato che la capacità di approssimare i risultati dell’IDA dei differenti metodisviluppati per estendere l’analisi pushover agli edifici irregolari è stata verificata solo conriferimento a modelli idealizzati di edifici tridimensionali ovvero a strutture di geometriasemplificata sottoposte a prove sperimentali. In questo lavoro viene esaminato il metodo

proposto da Fajfar et al. (2005b), verificandone l’adeguatezza con riferimento ad un edificioscolastico esistente, caratterizzato sia da irregolarità planimetriche che in elevazione, derivantianche da una cattiva concezione strutturale e da difetti costruttivi, tali da determinare unaconfigurazione strutturale ben più complessa di quelle schematicamente considerate dai codicisismici. Tale caso di studio appare ancora più interessante poiché per esso è disponibile unainformazione dettagliata riguardante le proprietà meccaniche dei materiali, che ha consentitodi implementare un modello computazionale molto realistico. I risultati ottenuti mostrano cheil metodo di Fajfar et al. (2005a), anche per questa particolare struttura, consegue una buonaapprossimazione dell’analisi dinamica nonlineare per quanto riguarda sia l’entità deglispostamenti di interpiano e delle rotazioni plastiche che la tipologia del meccanismo dicollasso.

2 CASO DI STUDIO: DIMENSIONI STRUTTURALI, PROPRIETA’ DEIMATERIALI E MODELLAZIONE NUMERICA

L’edificio scolastico esaminato, costruito nel 1974, presenta una struttura intelaiata in c.a. diquattro piani. Esso è ubicato nel comune di Londa, in provincia di Firenze, nell’area sismica

del Mugello che, conformemente con la classificazione sismica italiana, è caratterizzata dauna PGA attesa di 0.25g (zona sismica 2 OPCM 3431).Per l’edificio in oggetto è stato condotto un ampio programma di indagini in situ con lo scopodi verificare i disegni di progetto originali, ovvero l’effettiva presenza di tutti gli elementistrutturali, le loro dimensioni geometriche e le percentuali di armatura. Le proprietà delcalcestruzzo sono state indagate tramite prove dirette (carotaggi) e prove indirette(sclerometro e ultrasuoni), utili alla valutazione della resistenza cubica a compressione delcalcestruzzo. Le proprietà dell’acciaio sono state valutate in base alle normative italianevigenti nel periodo di costruzione dell’edificio (acciaio A 38 non controllato).Le proprietà dei materiali sono state usate per definire le relazioni costitutive implementatenel programma di calcolo ZEUS NL (Elnashai et al., 2002) utilizzato per condurre le analisinumeriche non lineari. Le analisi dinamiche non lineari e la valutazione dello spostamentotarget per le analisi pushover sono state condotte utilizzando un gruppo di 14 registrazioni

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sismiche compatibili con le specifiche contenute nella normativa italiana (OPCM 3431). Ilgruppo di registrazioni appartiene al database selezionato da Iervolino et al. (2006)nell’ambito del programma di ricerca triennale ReLUIS-DPC 2005-08. Ulteriori informazionisulla modellazione dell’edificio oggetto di questo studio sono riportate in D’Ambrisi et al.(2007a, 2007b).

3 VALUTAZIONE DELL’APPLICABILITA’ DELL’ANALISI PUSHOVERMODIFICATA AL CASO DI STUDIO

I codici sismici, nel consentire l’uso dell’analisi pushover, raccomandano l’applicazione delleforze orizzontali secondo due forme: 1) proporzionale alle masse di piano; 2) proporzionale al

prodotto delle masse di piano per gli spostamenti di piano del primo modo di vibrare. Poichéquesto lavoro non è finalizzato alla valutazione dell’adeguatezza delle diverse forme dellaforzante orizzontale di carico e avendo verificato che quella proporzionale al prodotto dellemasse per gli spostamenti di piano del primo modo di vibrare, per il caso in esame, consegue

un’approssimazione migliore dei risultati ottenuti con l’IDA, nel seguito vengono presentati irisultati ottenuti con tale tipo di modello di carico.La struttura in esame è virtualmente simmetrica rispetto alla direzione X, come mostrato dallaFigura 1 che riporta, per tale direzione, gli inviluppi degli spostamenti laterali in sommità,mediati sui 14 accelerogrammi considerati, al variare della PGA media, come ottenutidall’analisi dinamica inelastica. Si può vedere che gli inviluppi, normalizzati rispetto alcorrispondente spostamento del baricentro delle masse, sono praticamente uniformi, adimostrazione che la risposta dell’edificio in direzione X è essenzialmente traslazionale. Diconseguenza, lo studio dell’applicabilità dell’analisi pushover modificata secondo il metododi Fajfar (2005a) riguarda la risposta dell’edificio lungo la direzione Y, rispetto alla quale lastruttura è senza dubbio asimmetrica.

0.5

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1.5

U x / U x C M

Med ia P GA = 0. 0625g Med ia PGA = 0. 1875g

Telaio X1 Telaio X4CM Figura 1. Inviluppo degli spostamenti medi laterali normalizzati in sommità in direzione X ottenuti per

due livelli medi di PGA.

Come già sottolineato, il problema chiave che compromette l’applicabilità dell’analisi pushover convenzionale in presenza di irregolarità in pianta è la variazione in pianta deglispostamenti laterali massimi in sommità. A causa delle rotazioni di piano, infatti, durantel’eccitazione sismica gli spostamenti massimi (in sommità) vengono raggiunti in istantidiversi lungo la pianta dell’edificio, così che, anche nell’ipotesi di impalcato infinitamenterigido, il loro inviluppo è curvilineo. Inoltre, l’amplificazione degli spostamenti sul latoflessibile dell’edificio rispetto a quelli del centro di massa viene esaltata dall’amplificazionedell’eccentricità statica dovuta all’insorgere di coppie d’inerzia torsionali. In definitiva,l’analisi pushover convenzionale, condotta ad esempio con il metodo N2, non è adeguata in

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presenza di irregolarità in pianta per i seguenti motivi: 1) viene previsto un inviluppo linearedegli spostamenti laterali in sommità; 2) sono sottostimate le amplificazioni degli spostamentisul lato flessibile.Per superare i difetti sopra descritti dell’analisi pushover convenzionale, è necessario, quindi,effettuare una previsione della forma degli spostamenti laterali in sommità in modo

semplificato e conservativo. Fajfar et al. (2005a) hanno proposto di considerare l’inviluppodegli spostamenti laterali in sommità ottenuti dall’analisi elastica modale, assumendo che essaconduca ad una stima conservativa dell’inviluppo effettivo ottenuto dall’analisi dinamica nonlineare. L’applicazione di tale procedura ha richiesto quindi l’analisi elastica modaledell’edificio in esame e l’identificazione dei modi di vibrare con massa partecipante piùsignificativa. Il primo modo di vibrare risulta principalmente tralazionale lungo la direzioneX, mentre il secondo modo si sviluppa principalmente lungo Y ed è caratterizzato da unsignificativo accoppiamento latero-torsionale degli spostamenti.Considerando gli spettri elastici di tutte le 14 registrazioni selezionate, sono stati definiti,mediante analisi modale, gli inviluppi degli spostamenti laterali di piano, uy . La Figura 2mostra le forme degli inviluppi ottenute dall’adimensionalizzazione rispetto allo spostamento

in sommità del centro delle masse, uyCM. Tali forme confermano la presenza di un latoflessibile, e cioè il lato sinistro (telaio Y1), mentre il lato destro è quello rigido (telaio Y5).L’amplificazione degli spostamenti laterali sul lato flessibile (circa il 35% al telaio Y1) non èinfluenzata in maniera significativa dall’input sismico, mentre le deamplificazioni sul latorigido presentano una marcata variabilità. La forma media presenta un’amplificazione(rispetto al baricentro delle masse) di 1.347 per il telaio Y1 (lato flessibile) ed una riduzione

pari a 0.803 per il telaio Y5 (lato rigido).Una volta ottenuta mediante analisi modale la forma media normalizzata degli spostamentilaterali in sommità, Fajfar et al. (2005a) raccomandano che, a vantaggio di sicurezza, glispostamenti normalizzati al lato rigido minori dell’unità vengano assunti pari ad uno,applicando la cosiddetta “no reduction rule” (IBC, 2003).

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U y / U y C M

0232XA 0232YA 0297XA 0297YA 1214XA

1214YA 1722XA 1722YA 5809XA 5809YA

5815XA 5815YA 6144XA 6144YA Media

Telaio Y1 Telaio Y5 CM

Figura 2. Inviluppo degli spostamenti laterali in sommità normalizzati per la direzione Y ottenuti

dall’analisi modale con i 14 accelerogrammi considerati.

In Figura 3 sono confrontate, al variare della PGA media da 0.0625 g a 0.1875 g, le formedegli inviluppi degli spostamenti medi normalizzati in direzione Y ottenute mediante analisi

pushover modificata con quelle ottenute con analisi pushover convenzionale (basata sulmetodo N2) e con analisi dinamica nonlineare. E’ evidente che l’amplificazione deglispostamenti sul lato flessibile rispetto a quelli del baricentro delle masse ottenuta medianteIDA è sempre maggiore di quella prevista con l’analisi pushover convenzionale. Con il

metodo di Fajfar et al. (2005a) si ottiene, rispetto ai risultati da IDA, una previsionedecisamente migliore dell’inviluppo degli spostamenti sul lato flessibile e valori conservativi

- 290 -



sul lato rigido. Pertanto, emerge con chiarezza che con il metodo di Fajfar et al. (2005a), perl’edificio selezionato, l’analisi pushover può conseguire risultati decisamente attendibili, purin presenza di una significativa irregolarità in pianta.

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U y / U y C M

Media PGA = 0.0625 g

Pushoverconvenzionale

Pushovermodificata

IDA

TelaioY1 TelaioY5 CM

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1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

U y

/ U y C M

Media PGA = 0.10 g


Pushovermodificata

IDA

Telaio Y1 Telaio Y5 CM

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

U y

/ U y C M

Media PGA = 0.14 g


Pushovermodificata

IDA

Telaio Y1 Telaio Y5 CM 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

U y

/ U y C M



Pushovermodificata

IDA

TelaioY1 Telaio Y5 CM Figura 3. Spostamenti medi in pianta normalizzati per la direzione Y a diversi livelli medi di PGA.

0

40

80

120

160

200

240

U y ( m m )


Pushover convenzionale

Pushover modificata

IDA

Telaio Y1 TelaioC Y5 M

0

40

80

120

160

200

240

U y ( m m )

Media PGA = 0.10 g


Pushover modificata

IDA

TelaioY1 TelaioY5 CM

0

40

80

120

160

200

240

U y ( m m )

Media PGA = 0.14 g

Pushov er convenzionale

Pushover modificata

IDA

Telaio Y1 TelaioY5 CM

0

40

80

120

160

200

240

U y ( m m )



Pushover modificata

IDA

TelaioY1 Telaio Y5 CM Figura 4. Spostamenti medi assoluti in pianta per la direzione Y al variare della PGA media.

Applicando la forma dell’inviluppo ottenuta con il metodo di Fajfar et al. (2005a) aglispostamenti assoluti ottenuti mediante analisi pushover convenzionale (Figura 4 tratto blu), si

ottiene l’inviluppo finale degli spostamenti assoluti in sommità (Figura 4 tratto rosso) per idiversi livelli medi di PGA. In Figura 4 sono anche riportati gli inviluppi degli spostamenti

- 291 -



laterali assoluti in sommità al variare della PGA media ottenuti con IDA (tratto nero). Èevidente come in questo caso di studio l’analisi pushover modificata conduce ad un’accurata

previsione degli spostamenti sul lato flessibile per livelli bassi ed alti della PGA media,mentre la previsione è conservativa per i livelli intermedi di PGA. In definitiva l’analisi

pushover modificata rappresenta un’evoluzione dell’analisi pushover convenzionale, poiché

gli spostamenti in sommità sono ben approssimati o valutati in modo conservativo. Alcontrario, appare evidente che l’analisi pushover convenzionale è inadatta, poiché essadiventa conservativa solo quando lo spostamento target del centro delle masse è ampiamentesovrastimato.In accordo con la procedura prevista dall’analisi pushover modificata, gli spostamenti assolutiin sommità riportati in Figura 4 sono stati assunti come spostamenti target dei singoli telaiallineati lungo la direzione Y, permettendo così di valutare i corrispondenti valori dei

parametri prestazionali (drift di piano e rotazioni plastiche).La Figura 5 mostra i profili verticali dei drifts medi ottenuti con analisi pushover modificata econ IDA per il telaio Y1 (lato flessibile), considerando i valori medi sui 14 accelerogrammiimpiegati. I valori medi dei drifts di interpiano sono confrontati con i valori limite previsti dal

SEAOC “Vision 2000” (1995) per i livelli prestazionali Operational (OP), Life Safe (LS) e Near Collapse (NC), rispettivamente 0.5%, 1.5% e 2.5%. I profili dei drifts sono rappresentati per differenti valori di PGA ed evidenziano la formazione di un meccanismo di piano al terzolivello, con un drift medio maggiore del 2% per un valore di PGA pari a 0.14g. Per una PGA

pari a 0.1875g si raggiunge un valore di drift pari al 3.6% al terzo piano, che è superiore allimite riferito al livello prestazionale NC, evidenziando così che la PGA di collasso èampiamente minore di quella attesa nella zona sismica 2 (0.25g). Per controllarel’adeguatezza dell’analisi pushover modificata, la Figura 5 (b) mostra i profili medi ottenuticon l’analisi dinamica non lineare. Dal confronto emerge che l’analisi pushover modificataindividua la modalità di collasso, cioè un meccanismo di piano al terzo livello che, utilizzandol’IDA, viene raggiunto soltanto per un valore della PGA pari a 0.1875g. Inoltre, fino ad unvalore di PGA pari a 0.16g, prossimo alla PGA di collasso, l’analisi pushover modificata si

presenta conservativa rispetto all’IDA. Inoltre, benché la forma dei profili dei drifts ottenuticon i due metodi di analisi sia alquanto diversa, complessivamente l’analisi pushovermodificata prevede adeguatamente le modalità di collasso e approssima in manieraconservativa i drift di interpiano fin quasi al collasso. Solo quando il meccanismo di piano alterzo livello si sviluppa completamente, allora l’analisi pushover modificata diventa nonconservativa, poiché con l’IDA il drift di interpiano massimo eccede il 4%.

0

1

2

3

4

0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.

L i v e l l o

Drift (%)

0%

Media PGA = 0.0625 g Media PGA = 0.08 g




OP L

S N

C

Media PGA = 0.0625g Media PGA = 0.08g



Media PGA = 0.1875g

0

1

2

3

4

0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0%

L i v e l l o

Drift (%)

OP L

S N

C

(a) (b)

Figura 5. Profili verticali dei drift di interpiano medi sul lato flessibile (telaio Y1): (a) analisi pushovermodificata; (b) analisi dinamica nonlineare (IDA).

- 292 -



Le Figure 6 (a) e (b) mostrano le rotazioni plastiche medie all’estremità dei pilastri ottenuterispettivamente con l’analisi pushover modificata e con l’analisi dinamica nonlineare. Anche

per questo parametro l’analisi pushover modificata prevede in modo conservativo le rotazionimedie (fino ad una PGA pari a 0.16g) rispetto a quelle ottenute con l’IDA. Inoltre l’analisi

pushover modificata coglie chiaramente la formazione di un meccanismo di piano al terzo

livello già per valori bassi di PGA media.In definitiva la stima dei livelli prestazionali ottenuta mediante l’analisi pushover modificata è più accurata di quella derivante dall’analisi pushover convenzionale, a conferma che il procedimento proposto da Fajfar et al. (2005a) è particolarmente adatto per le struttureintelaiate, come mostrato in De Stefano e Pintucchi (2008) attraverso lo studio parametrico diun modello semplificato ad un solo piano.Tale risultato mostra anche che l’irregolarità in altezza che caratterizza l’edificio in esame, inaggiunta a quella in pianta, non influenza in modo significativo la capacità dell’analisi

pushover modificata di approssimare bene i risultati ottenuti con l’IDA, pur essendo il metododi Fajfar et al. (2005a) formulato per tener conto dell’irregolarità in pianta. Solo in fase dicollasso l’analisi pushover modificata diventa leggermente non conservativa rispetto all’IDA,

a causa dello sviluppo di un meccanismo locale di piano.

0

1

2

3

4

0.00 0.01 0.02 0.03

L i v e l l o

Rotazioni (rad)

0.04

Media PGA = 0.0625 g Media PGA = 0.08 g Media PGA = 0.1 g

Med ia PG A = 0.12 g Med ia PG A = 0.14 g Med ia PG A = 0.16 g


0

1

2

3

4

0 0.01 0.02 0.03 0.04

L i v e l l o

Rotazioni (rad)

Media PGA = 0.0625 g Media PGA = 0.08 g Media PGA = 0.1 g

Med ia PG A = 0.12 g Med ia PG A = 0.14 g Med ia PG A = 0.16 g


(a) (b)

Figura 6. Profili verticali delle rotazioni plastiche medie dei pilastri sul lato flessibile (telaio Y1): (a) analisipushover modificata; (b) analisi dinamica nonlineare (IDA).

4 CONCLUSIONI

Nel presente lavoro è stata valutata l’adeguatezza dell’analisi pushover modificata secondo ilmetodo proposto da Fajfar et al. (2005a) per gli edifici irregolari in pianta, utilizzando comecaso di studio un edificio scolastico in c.a esistente, che presenta una complessa combinazionedi irregolarità in pianta ed in altezza. L’edificio è stato scelto perché le sue condizioni diirregolarità vanno ben oltre le condizioni di irregolarità schematicamente considerate daicodici sismici per descrivere il concetto di irregolarità strutturale che, per sua natura, non èdefinibile in modo generale.Dal confronto tra i risultati ottenuti con l’analisi pushover modificata e quelli ottenuti conl’analisi dinamica nonlineare, includendo parametri di risposta globale e locale, si evince che,complessivamente, l’analisi pushover modificata fornisce risultati molto prossimi a quelliottenuti con l’IDA, quasi fino al collasso. Anche il meccanismo di collasso che, nel caso in

esame, consiste in un meccanismo di piano al terzo livello è previsto correttamentedall’analisi pushover modificata. Solo in fase di collasso, a causa del completo sviluppo del

- 293 -



meccanismo locale al terzo piano, l’analisi pushover modificata diventa leggermente nonconservativa.In definitiva l’analisi pushover modificata, pur essendo basata sulla procedura proposta daFajfar et al. (2005) per tener conto dei soli effetti dell’irregolarità in pianta, appare molto

promettente anche perché, come evidenziato nel caso studiato, le irregolarità in elevazione

non ne compromettono l’efficacia.

5 RINGRAZIAMENTI

Il presente studio è stato svolto nell’ambito del progetto DPC-ReLUIS 2005-2008, Linea diricerca n. 2 “Valutazione e riduzione della vulnerabilità di edifici esistenti in c.a .”.Gli autori ringraziano anche il Mid-America Earthquake Center e la U.S. National ScienceFoundation per aver messo a disposizione il programma di calcolo ZEUS NL utilizzato per leanalisi non lineari.

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- 294 -

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STATISTICAL VALIDATION OF NONLINEAR PUSHOVER METHODS

BY INCREMENTAL DYNAMIC ANALYSES

Barbara Ferracuti a, Rui Pinho b, Marco Savoia c

a DISTART – Struct. Engineering, University of Bologna, [email protected] Department of Structural Mechanics, University of Pavia, [email protected]

c DISTART – Structural Engineering, University of Bologna, [email protected]

ABSTRACT

The present study aims to validate pushover methodology for RC frame structures bycomparison with Incremental Dynamic Analysis (IDA). A high number of simulated responsespectrum compatible time-histories has been used to perform incremental dynamic analyses.Different pushover procedures have been considered, i.e., conventional (first mode loaddistribution, uniform distribution) and adaptive pushover method (DAP). With reference tothree case studies, comparison of static against dynamic results has been performed in termsof capacity curves, interstorey drift profiles, maximum top displacements and failure modes.

KEYWORDSPushover Analysis, Incremental Dynamic Analysis, RC Structures, Statistical Analysis

1 INTRODUCTION

In the recent years, nonlinear static analyses received a great attention within the earthquakeengineering community. Their goal is to describe the capacity of the structure underhorizontal forces in the nonlinear range with a reduced computational effort with respect tononlinear dynamic analyses. For these reasons, many codes (EuroCode-8, ATC-40, FEMA-356) recommend nonlinear static methodologies to evaluate structural behaviour underseismic action.In conventional pushover procedures, the shape of load distribution is constant during theanalysis. Such techniques are not able to take into account progressive structural stiffnessdegradation, change of modal characteristics and period elongation of a structure forincreasing values of external action. These drawbacks motivated the recent proposal of so-called Adaptive Pushover methods (Antoniou and Pinho 2004), where load distribution isevaluated step-by-step as a function of updated modal characteristics of the structure.In order to validate different static nonlinear analysis techniques, some authors comparedstructural response obtained by pushover techniques with Incremental Dynamic Analyses(IDA), but usually using a limited number of ground motion time-histories (Gupta and

Kunnath 2000, Elnashai 2002). Hence, due to the high variability of possible input groundmotions, no general conclusions can be typically drawn from these studies.


- 295 -



In the present research, a statistical validation of conventional and adaptive pushover methodsfor RC frame structures has been performed. A high number of simulated response spectrumcompatible time-histories has been used to perform incremental dynamic analyses. Three casestudies have been analysed using a fibre finite element code (OpenSees 2005). Comparison ofstatic against dynamic results, in terms of both capacity curves as well as interstorey drift

profiles, leads to the conclusion that displacement-based adaptive pushover features thehighest potential to better reproduce results of incremental dynamic analysis.

2 METHODS FOR PUSHOVER ANALYSIS

Pushover methods consist on studying a frame structure subjected to gravitational loads andhorizontal loads applied at each storey, where the latter are incremented up to failure.Conventional pushover procedures, proposed by many codes and guidelines, adopt aninvariant load pattern during the analysis. For conventional analyses, at least two differentforce distributions must be considered; uniform and proportional to the first modal shape. The great limitation of conventional pushover analyses is the adoption of an invariant load

pattern, because real inertia force distribution changes during seismic event due to highermode contribution and structural degradation, which modifies stiffness of individual structuralelements. For this reason, adaptive pushover methods have been developed. These methodsare based on a pushover procedure whereby the applied horizontal load pattern is updatedduring the analysis.In the current work, a fibre-based adaptive pushover procedure is adopted, following theincremental adaptive formulations described in Pinho and Antoniou (2005), namedDisplacement-based Adaptive Pushover (DAP). This method is able to take into account, forincreasing values of applied external action, progressive structural stiffness degradation,change of modal characteristics and period elongation of a structure for increasing values of

horizontal forces.In adaptive procedure, the influence of the frequency content of the input motion can beconsidered, by adopting a given response spectrum to weight the contributions of differentmodes to the applied incremental horizontal load pattern, updated at each step.In the present work, fifty artificial time-histories have been adopted to perform dynamicanalyses. Simulated ground motions compatible with EC8 spectrum have been generated bySIMQKE software. In order to evaluate how different displacement spectra can modifystructural response in adaptive procedure, DAP analyses have been performed employing fiftydifferent response spectra to weight the contribution of each mode. Due to the high number ofstatic pushover analyses performed, a statistical treatment of results was possible. Thisanalysis will be called Statistical DAP (S-DAP) in the following. An example of results

obtained by DAP procedure with different displacement spectra in terms of base shear – top

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

50

100

150

200

250

Top displacement [m]

B a s e s h e a r [ k N ]

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

50

100

150

200

250

DAP-EC8

S-DAP (mean)


B a s e s h e a r

[ k N ]

(a) b

Figure 1: Capacity curves from (a) S-DAP and (b) mean value of S-DAP compared with DAP adoptingEC8 spectrum (2nd case study).

- 296 -



displacement curve is reported in Figure 1a. These results refer to the second case studyconsidered in Section 4. It can be observed that difference between curves is quite small, andtheir mean value curve (black line) almost coincides with the curve obtained adopting EC8spectrum in DAP procedure (see Figure 1b).In the present work, structural failure is assumed to occur when concrete strain exceeds

ultimate strain. In Figure 1a black dots represent base shear and top displacementcorresponding to the attainment of ultimate strain in one of column cross-sections of theframe structure. Failure data in terms of top displacement are slightly spread, and maycorrespond to failures occurred at different floors. In conclusion, since mean value of capacitycurves is very similar to the curve obtained using EC8 spectrum (Figure 1b), only the latterwill be reported in subsequent sections of this paper. On the other hand, top displacementscorresponding to failure and failure modes from different DAP analyses will be comparedwith their dynamic counterparts.

3 INCREMENTAL DYNAMIC ANALYSIS

Incremental Dynamic Analysis is a parametric method (Vamvatsikos and Cornell, 2002)where a structure is subjected to a series of nonlinear time-history analyses of increasingintensity. Results from IDA are considered a reference solution to evaluate the effectivenessof pushover analyses in describing structural dynamic behaviour in nonlinear range.

Nevertheless, structural response can be significantly different if input ground-motion ismodified. Therefore, validation of conventional and adaptive pushover methods for RC framestructures can be conducted only in statistical sense, i.e. considering a very high number oftime-histories. In the present work, 50 artificial response spectrum compatible time-historieshave been used to perform incremental dynamic analyses. The response spectrum fromEurocode 8 has been adopted, considering seismic zone 2 and type B ground. Artificialground-motions have been preferred here over natural records in order to reduce variability ofstructural response and to obtain a homogeneous statistical sample. For each time-history, tento twenty increasing levels of amplification, with scaling factors varying from 0.1 to 2.5, have

been considered. Therefore, around 800 dynamic analyses have been performed for each casestudy presented in Section 4. Comparison between results of incremental dynamic analysisand pushover analyses with different methods are given in terms of base shear - topdisplacement relationship, maximum interstorey drift and failure modes.In order to obtain from a dynamic analysis a point giving maximum capacity attained in baseshear – top displacement diagram, different criteria can be followed: maximum displacementversus corresponding base shear, maximum displacement versus maximum base shear,maximum base shear versus corresponding displacement or maximum displacement versuscorresponding maximum base shear inside a fixed temporal interval. In the present work, each

IDA point in the capacity diagram is evaluated by selecting maximum top displacementattained during a given dynamic analysis and corresponding maximum base shear inside atemporal interval of ±0.25 seconds. The resulting capacity diagram is then obtained, for eachartificial record.Interstorey drift profile obtained through pushover analyses at a given value of total driftshould intend to reproduce the mean of maximum dynamic response values obtained fromscaled time-history analyses. Mean value and standard deviation of maximum interstorey driftΔmax,i for each floor obtained from fifty IDA have been calculated. They are denoted asStatistical-IDA (S-IDA). In order to estimate the accuracy of results given by pushoveranalyses, mean value of maximum interstorey drift from dynamic analyses is considered asthe reference solution and has been compared with results of non linear static analyses.

4 THREE CASE STUDIES

- 297 -



Three different frame structures, depicted in Figure 2, are considered as case studies.Mechanical properties of the materials are also reported, whilst the distributed vertical loadingon beams was considered as equal to 20 kN/m. The first two structure are regular along theheight, whilst the third frame structure is significantly irregular.In Figure 3a, base shear-top displacement curves obtained for the three case-study using

different pushover procedures are compared with IDA results, adopting fifty differentartificial accelerograms (Statistical IDA, S-IDA). Black line represents the mean value of S-IDA. In the same figure, results of dynamic analyses corresponding to the attainment ofultimate strain of a fibre in concrete core are indicated with red markers.For all the case studies, it can be observed that the adaptive capacity curve is in-between thetwo conventional pushover curves, and that the latter in the first and third frame structuresenvelope results from dynamic analyses. For the second case-study, as a first observation,conventional pushover curves cannot provide for upper and lower bound response curves withrespect to dynamic results, as it has been shown already in other studies (e.g. Antoniou et al.,2002). Both DAP with EC8 spectrum and first mode force distribution give results very closeto mean curve obtained from IDA analyses.For the third case-study, scatter in the dynamic results is much larger, in comparison with the

previous two cases. Results from pushover analyses are also significantly different to eachothers. Since the higher mode effects are more significant for the third case study, DAP curve

provides the closest fit to the mean IDA values, thus somehow confirming the superiority ofthis displacement-based adaptive pushover algorithm.In Table 1, the relative error of different pushover methods in terms of capacity curves withrespect to the mean curve obtained from IDA is reported. Errors are calculated at threedifferent levels of maximum top displacement corresponding to failure according toconventional and adaptive pushover analyses. Uniform force distribution gives results muchworse that with other methods. Moreover, DAP gives results better than first modeconventional procedure for the 2nd and 3rd case studies, where contribution of higher modes ismore significant.

Values of top displacement corresponding to failure obtained by IDA depend on the employedtime-histories. Then, its variability has been described as a normal random variable,calculating mean value and standard deviation. Gaussian distributions are given in Figures 3b

500 500

3 0 0

3 0 0

3 0 0

3 0 0

35x30 35x30

35x3035x30

30x30 30x30

30x3030x30

35x30

30x30

30x30

35x30 35x30

30x30

30x30

35x30

500

Beam cross-section

26Ø16 - 1206 mm

2

6Ø16 - 1206 mm

2

4Ø16 - 804 mm

4Ø16 - 804 mm 2

2Ø18

Column cross-sectionSteel reinf.

1234

Level

2Ø1430 cm

2Ø14+

5 0 c m

30 cm

2Ø14

2Ø18 2Ø14+

2Ø18

2Ø14

2Ø14+ 2Ø14

2Ø18 2Ø14+

Beam cross-section

Column cross-section

30 cm

5 0 c m

30 cm

30x30

30x30

35x30

35x30

30x30 30x30

30x3030x30

35x30 35x30

35x3035x30

40x3040x30 40x30

45x3045x30

3 0 0

3 0 0

3 0 0

3 0 0

3 0 0

3 5 045x30

500550

4Ø16 6Ø16 6Ø16

3 0

c m

35 cm40 cm

3 0

c m

3 0

c m

45 cm

Level 1-2

30x30 30x30

35x30 35x30

35x3035x30

40x3040x30 35x30

35x3045x30

3 0 0

3 0 0

3 0 0

3 0 0

3 0 0

3 5 0 45x30

500550

30x3030x30

2nd case study

1st case study

Steel bars

f = 30-33 MPa f = 414 MPa

E s = 210000 MPa εco = 0.0022

E s /E 1 = 0.009

Concrete

εcu = 0.0035

30 cm

5 0 c m

30 cm

Beam cross-section

2Ø14+ 2Ø18

2Ø14 2Ø14+

2Ø14

2Ø18

y co

Level

4321

Steel reinf.

2

4Ø16 - 804 mm

4Ø16 - 804 mm 2

6Ø16 - 1206 mm 2

6Ø16 - 1206 mm 2

2

4Ø16 - 804 mm

4Ø16 - 804 mm 2

56

Level6543

Steel reinf.2

4Ø16 - 804 mm

4Ø16 - 804 mm 2

Column cross-section

2

4Ø16 - 804 mm

4Ø16 - 804 mm 2

co f = 30 MPa

f = 33 MPaco f = 33 MPaco3rd case study

Figure 2: Frame structures: geometry and beam / column cross-sections.

- 298 -



(black line) and compared with results by non linear static analyses. In particular, forconventional pushover analyses, top displacements corresponding to failure are deterministicvalues because these methods do not take the specific input motions into account. On thecontrary, by DAP procedure the input motion can be taken into account by employing, foreach time-history, its displacement response spectrum to weight the contribution of each

mode to the applied incremental horizontal load pattern, updated at each step of the analysis.Therefore, a statistical study has been performed by DAP procedure employing the fiftyresponse spectra as described in Section 2.2. The statistic results are reported in Figure 3b byorange curve. For the first case study, black and orange curves corresponding to S-IDA and S-DAP results are in good agreement in terms of both mean and standard deviation. Moreover,DAP procedure has been performed in the usual way, by performing a single-run analysis,

0.05 0.1 0.15 0.20

100

200

300

First mode

Uniform

DAP-EC8

S-IDA (mean)


B a s e s h e a r

[ k N ]

Ult. strainlevel 1

Ult. strainlevel 3

Ult. strainlevel 3

0.05 0.1 0.15 0.20

10

20

30

S-IDA

S-DAP


P r o b a b i l i t y d e n

s i t y

U n i f o r m

D A P - E C 8

F i r s t m o d e

S - I D A ( m e a n )

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

50

100

150

200

250

First mode

Uniform

DAP-EC8

S-IDA (mean)


B a s e s h e a r

[ k N

]

Ult. strainlevel 1

Ult. strainlevel 1Ult. strain

level 1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

10

20

30

40

50 S-IDA

S-DAP


P r o b a b i l i t y d e n s i t y

U n i f o r m

D A P - E C 8

F i r s t m o d e

S - I D A ( m e a n )

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

40

80

120

160

200

First mode

Uniform

DAP-EC8

S-IDA (mean)


B a s e s h e a r

[ k N ]

Ult. strainlevel 1

Ult. strainlevel 1

Ult. strainlevel 3

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

5

10

15

20S-IDA

S-DAP


P r o b a b i l i t y d e n s i t y

U n i f o r m

D A P

- E C 8

F i r s t m o d e

S - I D A ( m e a n )

Figure 3: (a1-a3) Capacity curves from pushover analyses and results obtained from IDA; (b1-b3) Pdf oftop disp. corresponding to failure from S-IDA, S-DAP and deterministic values from pushover analyses.

1st Case Study

2nd Case Study (b1)(a1)

(b2)(a2)3rd Case Study

(a3) (b3)

- 299 -



Table 1: Error on results from different nonlinear static analyses against results from IDA.

Error on capacity curves

Top Displacement [m] Uniform First mode DAP

1th case study0.089 30.3% 5.4% 14.5%0.124 - 6.7% 13.8%

0.130 - 6.9% -

2nd case study0.152 31.2% 10.6% 4.1%0.203 - 9.3% 3.8%0.211 - - 3.7%

3rd case study0.209 41.4% 15.9% 14.2%0.278 - 17.6% 15.4%0.312 - - 16.2%

Error on estimate of interstorey drift

Top Displacement [m] Uniform First mode DAP

1th case study0.089 54.9% 52.5% 16.4%0.124 - 51.4% 26.3%0.130 - 51.3% -

2nd case study0.152 41.9% 25.3% 9.8%0.203 - 28.7% 11.5%0.211 - - 12.4%

3rd case study0.209 56.2% 30.8% 13.1%0.278 - 36.3% 9.1%0.312 - - 11.4%

employing EC8 spectrum. The method provides for a value of top displacement at failurecloser to the mean value of dynamic analyses than other static analyses. In the second casestudy, mean value of S-DAP is close to deterministic value obtained by DAP using EC8spectrum and to mean of S-IDA, but scatter of results is much smaller than dynamic analyses

(S-IDA). In the third case study, DAP procedure overestimates top displacement at failure predicted by IDA, the error being higher than adopting first mode distribution.Interstorey drift and horizontal displacement for various total drifts obtained by pushover andS-IDA are reported in Figure 4. For the latter, mean value and standard deviation of maximuminterstorey drift obtained from the fifty incremental dynamic analyses and evaluated followingthe criterion described in Section 3.2 are reported (black line). For the first case study,interstorey drifts obtained from dynamic analyses reach their maximum value at the thirdstorey, and are close to results obtained from first mode and DAP analyses. For the secondand third case studies, interstorey drifts obtained from dynamic analysis are very well

predicted by DAP adopting EC8 spectrum. On the contrary, interstorey profiles obtainedadopting uniform load distribution are quite different from those given by dynamic analysesfor all the case studies. The relative error of pushover results by different methods withrespect to dynamic results has been reported in Table 1, shows that DAP procedure gives

better results in terms of interstorey drift profile for both low and high values of total drift andfor all the case studies.Due to the high variability of input ground motions, for the same structure failure may occurat different floors. This circumstance cannot be predicted of course by static pushover

procedures based on a single load pattern, since the influence on structural response of theinput motion cannot be taken into account. On the contrary, adopting DAP procedure, thefrequency content of input motion can be taken into account by employing its responsespectrum to weight the contribution of each mode to the applied incremental horizontal load

pattern, updated at each step. Therefore, according to this criterion, DAP analyses have been

performed by employing the adopting response spectra (S-DAP). For the three case studies,number of dynamic analyses causing failure at a given floor are indicated in Figure 5.Statistical results obtained from S-IDA and S-DAP are reported by green and yellow

- 300 -



0 0.5 1 1.5 2

0

3

6

9

12

0 0.05 0.1

0

3

6

9

12

Uniform

First mode

DAP-EC8

S-IDA (mean)

Displacement [m]Interstorey drift [%]

H e i g h t

[ m ]

H e i g h t

[ m ]

Total drift: 0.74% H

Mean

SD SD

0 0.5 1 1.5 2

0

3

6

9

12

0 0.05 0.1

0

3

6

9

12

First mode

DAP-EC8

S-IDA (mea

histograms and deterministic results from conventional static analyses and adaptive DAP with

EC8 spectrum are also reported. It can be noted that, in the first two case studies, S-DAP predicts well the frequency of most significant failure modes obtained from dynamic analyses.Moreover, both DAP and first mode procedures are able to indicate the most frequent failuremodes by statistical dynamic analyses: the third floor for the first case study and the first floorfor the second case study. On the contrary, uniform distribution is not able to indicate themost significant failure mode in the first case. In the third case study, dynamic analyses

predict possible failures at all floors, with similar probability of occurrence. Results fromstatistic analyses are in this case less accurate: S-DAP (yellow histogram) predicts most

probable failure at the first floor, as in the case of uniform conventional pushover and DAPwith EC8 spectrum, whereas first mode load pattern predicts failure at the third floor.

5 CONCLUSIONS

The aim of the present study is to validate pushover methodology for RC frame structures bycomparison with Incremental Dynamic Analysis (IDA). A high number of simulated responsespectrum compatible time-histories has been used to perform incremental dynamic analyses.Different pushover procedures have been analysed: conventional and adaptive pushoveranalysis (DAP) have been carried out to predict structural behaviour of three frame structuressubjected to fifty artificially generated spectrum-compatible records. Comparisons of staticagainst dynamic results seem to indicate that displacement-based adaptive pushover featuresthe highest potential to better reproduce results of incremental dynamic analysis. Prediction ofinterstorey drift profiles obtained from DAP procedure are particularly accurate for bothregular and irregular frame structures.

n)


H e i g h t

[ m ]


Mean

H e i g h t

[ m ]

SD SD

0 0.5 1 1.5 2

0

3

6

9

12

15

18

21

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

0

3

6

9

12

15

18

21

First mode

DAP-EC8

S-IDA (mean)


H e i g h t [ m

]

H e i g h t [ m

]


Mean

SD SD

0 1 2 3

0

3

6

9

12

15

18

21

0 0.1 0.2 0.3

0

3

6

9

12

15

18

21

First mode

DAP-EC8

S-IDA (mean)


H e i g h t [ m

]

H e i g h t [ m

]


Mean

SD SD

Figure 4: Interstorey drift and horizontal displacement at different values of total drift. Pushover analyses

and mean value of S-IDA.

0 20 40 60 80 100

1

2

3

4

Uniform

First mode

DAP-EC8

S-DAP

S-IDA

Number of failure modes [%]

L e v e l

1st Case Study

0 20 40 60 80 100

1

2

3

4

5

6

Uniform

First mode

DAP-EC8

S-DAP

S-IDA

Num er of failure modes [%]

L e v e

l

2nd Case Study1st Case Study

(b)(a)

Uniform

First mode

0 20 40 60 80 100

1

2

3

4

5

6

DAP-EC8

S-DAP

S-IDA

Num er of failure modes [%]

v e

l

(b) L e

(a)3rd Case Study

2nd Case Study 3rd Case Study

Figure 5: Number of dynamic and static analyses showing failure at a given frame level.

(c)

(d )(c)

- 301 -



6 ACKNOWLEDGEMENTS

Financial support of the Italian Department of Civil Protection, through the two 2005-2008framework programmes established with the Italian National Network of EarthquakeEngineering University Laboratories (RELUIS, Task 7) and the European Centre for Training

and Research in Earthquake Engineering (EUCENTRE), is gratefully acknowledged.

7 REFERENCES

Antoniou S., Pinho R. (2004). “Development and verification of a displacement-based adaptive pushover procedure”, Journal of Earthquake Engineering, Vol. 8(5), 643–661.

ATC (1996), “Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings”, AT40, Applied TechnologyCouncil, Redwood City (USA), Vol. 1.

Elnashai A.S. (2001). “Advanced inelastic static (pushover) analysis for earthquake applications”,Structural Engineering and Mechanics, Vol. 12(1), 51-69.

Eurocode 8 (2004). “ Design of structures for earthquake resistance, Part 3: Assessment and

retrofitting of buildings”, Draft version.FEMA (2000), “ Prestandard and commentary for the seismic rehabilitation of buildings”. FEMA-356 ,

Federal Emergency Management Agency, Washington (USA).Gupta B., Kunnath S.K. (2000). Adaptive spectra-based pushover procedure for seismic evaluation of

structures, Earthquake Spectra, Vol.16(2), 367-391.OpenSees (2005), “OpenSees – Open System for Earthquake Engineering Simulation”, PEER Center,

University of California, Berkeley (USA).Pinho R., Antoniou S. (2005). “A Displacement-Based Adaptive Pushover Algorithm for Assessment

of Vertically Irregular Frames”, Proc. of 4th EWICS., Thessaloniki, Greece.Vamvatsikos D., Cornell C.A. (2002). “Incremental dynamic analysis”, Earthquake Engineering and

Structural Dynamics, Vol. 31(3), 491-514.

- 302 -






SEISMIC ANALYSIS OF IRREGULAR RC STRUCTURES BY 3D

FORCE / TORQUE PUSHOVER METHOD

Barbara Ferracutia, Marco Savoia

a, Rui Pinho

b, Maurizio Serpieri

a

a DISTART – Struct. Engineering, University of Bologna

[email protected], [email protected], [email protected] Department of Structural Mechanics, University of Pavia, [email protected]

ABSTRACT

In the present study, a new pushover procedure for 3D frame structures is proposed, based on

the application of a set of horizontal force and torque distributions at each floor level; in order

to predict the most severe configurations of an irregular structure subjected to an earthquake,

more than one pushover analysis has to be performed. The proposed method is validated by a

consistent comparison of results from static pushover and dynamic simulations in terms of

different response parameters, such as displacements, rotations, floor shears and floor torques.

Starting from the linear analysis, the procedure is subsequently extended to the nonlinear case.

The results confirm the effectiveness of the proposed procedure to predict the structural

behaviour in the most severe configurations.

KEYWORDS

3D Pushover Analysis, Incremental Dynamic Analysis, RC frame structures.

1 INTRODUCTION

The main goal of nonlinear static analysis is to describe the nonlinear capacity of the structure

when subjected to earthquake ground motion, with a reduced computational effort with

respect to nonlinear dynamic analyses.For 2D frame structures, a large number of studies have been performed in order to validate

different pushover techniques by comparison with results from dynamic analyses (e.g.

Ferracuti et al. 2007, amongst many others). On the contrary, few pushover methods for

irregular 3D frame structures have been proposed (Moghadam and Tso, 2000; Penelis and

Kappos, 2002; Chopra and Goel, 2004; Fajfar et al., 2005). The definition and assessment of

3D pushover methods is however much more complex than in the 2D case.

Indeed, the fundamental point in 3D pushover analyses is the selection of the distribution of

horizontal forces along the frame height and across the individual floors. At floor level,

horizontal forces can be divided into translational and torsional contributions. By analyzing

the dynamic response of an irregular structure subjected to earthquake excitation, it can be

observed that maximum displacement and maximum rotation do not occur at the same time

- 303 -



step. Therefore, a unique pushover force distribution giving the most severe conditions for the

structure cannot really be defined.

In the present work, a new pushover procedure for 3D RC structures, called Force/Torque

pushover (FTP) is thus proposed; a set of force and torque distributions is selected to predict

the most severe configurations the structure may undergo during the earthquake. In order to

validate such technique, the comparison between results from a series of incremental dynamicanalyses and pushover analyses has been carried out, considering different representative

parameters of the structural response. In particular, both global parameters (capacity curves,

horizontal displacement versus rotation of the centre of mass of the roof) and local parameters

such as floor shears, interstorey drifts, floor rotations have been considered. A relatively good

agreement between results with the proposed pushover method and dynamic analyses has

been preliminarily found.

2 PROPOSED METHOD: FORCE/TORQUE PUSHOVER (FTP)

By analyzing the dynamic response of an irregular structure subjected to earthquakeexcitation, it can be observed maximum displacement and maximum rotation do not occur atthe same timing step. Therefore, a unique pushover force distribution giving the most severeconditions for the structure cannot be defined. In the present study, Force/Torque Pushoverhas been proposed. To start with, a rigid diaphragm constraint is introduced at each individualfloors of the structure. Then, the force distribution proportional to the fundamental mode ofthe structure with the highest participation factor for the selected ground motion direction isobtained. The floor force resultant at the i-th floor level is divided into lateral forces

ixF , , iyF ,

and torque iT with respect to the centre of mass. A coefficient weighting the twocomponents is then introduced, so defining a class of force distributions with variable forceand torsional resultants. Forces applied at the i-th floor are then written as (see Figure 1):

ii

iyiy

ixix

TT

FF

FF

,,

,,

)1(

)1(

(1)

The weight coefficient can vary from zero to one. Therefore, forces-only or alternativelytorque-only are applied for the two limit cases, =0 and =1, respectively (see Figure 1). For = 0.5, the force system (1) corresponds to the force distribution proportional to the selectedfundamental mode.

Figure 1. Proposed pushover technique: force distribution at each floor and two limit cases.

FTP Force Distribution Two Limit Force Distributions

- 304 -



3 CASE STUDIES

Two simple multi-storey RC frame structures with floor plans symmetric about the y-axis butasymmetric about the x-axis are considered (see Figure 2). Column cross-sections andeccentricities of Centre of Rigidity (CR) with respect to the Centre of Mass (CM) are present,

Elastic modulus of concrete is 25000 MPa, whilst the distributed mass is 6.60 kN/m

2

. For casen.1, the frame structure is slightly irregular, whilst case n.2 features a significant eccentricity.The periods of the first three vibration modes are also reported in Figure 2, together with massparticipation factors for a ground motion acting in x-direction.The structures have been modelled using the fibre finite element code Seismosoft (2007).

Case n.1 Case n.2

Cross Section Cross Section

Col. 1 30x25 60x25

Col. 2 30x25 60x25

Col. 3 25x25 25x25

Col. 4 25x25 25x25

ey /L 0.133 0.433

T1-1 0.97 s 0% 0.90 s 0%

T2-2 0.94 s 76.7% 0.86 s 45.3%

T3-3 0.80 s 7.5% 0.59 s 33.1%

Figure 2. Geometry of two case studies, column cross-sections, periods T and mass participation factors

for an earthquake acting in x direction.

4 COMPARISON OF RESULTS FROM DYNAMIC AND PUSHOVER ANALYSES

4.1

Linear range

The aim of the present work is to validate the proposed FTP procedure through comparisonwith results from dynamic analyses. The comparison has been made at a given limit state,corresponding to the achievement of ultimate strain in concrete core (cu=0.35%) in a column.For the case studies, the pushover procedure proposed in Section 2 has been performed byselecting a set of values of weight coefficient . For case n.1, two selected responseparameters, i.e. maximum displacement and maximum rotation of the centre of mass (CM) ofthe three floors, obtained for different values of are reported in Figures 3a,b. Byincreasing i.e. reducing forces and increasing torsional component, displacement of CMdecreases and rotation increases.

The results from static analyses have been compared with those from linear dynamic analyses

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

d x

[ m ]

CM3 CM2 CM1

-0.04

-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

r a

CM3 CM2 CM1

Figure 3. Case n.1: (a) Maximum displacement and (b) maximum rotation of centre of mass (CM) at

failure of the three floors obtained by the proposed FTP method with different values of the weight

coefficient .

(a) (b)

- 305 -



by adopting 12 artificial time-histories compatible with Eurocode 8 response spectrum(seismic zone 2 and type B ground). Artificial ground-motions have been preferred here overnatural records in order to reduce variability of the structural response and to obtain ahomogeneous statistical sample. The artificial records have been scaled up to the achievementof the limit state (cu=0.35%) for the structure under study.As an example, the response in terms of displacement versus rotation of CM3 obtained fromone time history analysis (Ag1a) with scaling factor 1.69 (corresponding to the attainment ofthe limit state) is compared with results from FTP in Figure 4a. In particular, from dynamicanalyses the points corresponding to maximum values of displacement dx, rotation q andconcrete deformation cu (the limit state condition) are indicated with markers on the curve.

For pushover analyses, only the ultimate values corresponding to the limit state condition arereported. The ultimate points from FTP for different values of the coefficient are locatedalong the dashed line between limit cases =0 and =1. Moreover, points from dynamicanalyses corresponding to the maximum values of response parameters are inside the conedescribed by the two limit cases ( =0 and =1) and the line of ultimate points obtained fromstatic analyses. The same behavior can be observed when static results are compared with allthe results from 12 time histories analyses. These results are summarized in Figure 4b, whereall the maximum values of response parameters from 12 dynamic analyses have beencompared with results from linear static analyses (red points corresponding to limit stateconditions).

- 0.2 5 - 0.2 -0 .1 5 - 0. 1 - 0.0 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

d x [m]

q [ R

a d ]

Dyn

dx,max

qmax

cu

=0

=0.25

=0.30

=0.50

=0.75

=0.90

=1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

d x [m]

q [ R a d

]

=0

=0.25

=0.30

=0.50

=0.66

=0.75

=0.90

=1

cu

static

dx,max

dx,max

(mean)

qmax

qmax

(mean)

cu

dyn

cu

(mean)

Figure 4. Case n.1: Displacement versus rotation of CM3: (a) results from time history Ag1a with SF=1.69

and failure states from static analyses for different values of ; (b) maximum values of responseparameters from 12 dynamic analyses, their mean values (bold symbols), and results from static analyses

with different values of

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

100

200

300

400

500

600

700

800

d x [m]

B a s e S h e a r V

x [ k N ]

=0

=0.25

=0.30=0.50

=0.66

=0.75

=0.90

=1

cu

static

dx,max

dx,max

(mean)

qmax

qmax

(mean)

cu

dyn

cu

(mean)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

500

1000

1500

2000

2500

q [Rad]

B a s e T o r q u e T [ k N m ]

=0=0.25

=0.30

=0.50

=0.66

=0.75

=0.90

=1

cu

static

dx,max

dx,max

(mean)

qmax

qmax

(mean)

cu

dyn

cu

(mean)

Figure 5. Case n.1: (a) Base shear in the direction of the seismic action Vx vs top displacement of CM fromstatic analysis compared with the maximum value of response parameters obtained from dynamic

analyses; (b) base torque versus rotation.

(a) (b)

= 0

= 1

=0

= 1

(a) (b)

= 1

= 0

=1

=0

- 306 -



The same results from both dynamic and static analyses, but in terms of capacity curves (BaseShear – displacement and Base Torque – rotation) are depicted in Figure 5.It is observed that dynamic results corresponding to maximum displacement and rotationoccur at different time steps with respect to that corresponding to the achievement of the limitstate (cu =0.35%). In order to perform a consistent comparison between static and dynamic

analyses, scaling coefficients have been then introduced:

)(max,

x

d

dt

Coef c

cu ;)(

-max, q

qt

Coef c

cu (2)

where td and tq are the timing steps of dynamic analysis corresponding to maximumdisplacement and maximum rotation of third floor, respectively, c,max(td) and c,max(tq) aremaximum concrete strains corresponding to timing steps td and tq, respectively. For the 12dynamic analyses, the mean values of coefficients xdCoef and q-Coef are 1.10 and 1.27,respectively for case n.1, whilst for case n.2 they are 1.3 and 1.09.The results of linear dynamic analyses at time instant td and tq are then multiplied by the

above coefficients in order to compare results from static and dynamic analyses in the sameconditions (the attainment of the ultimate limit state). In Figure 6, the maximum values ofthose response parameters from 12 dynamic analyses are reported and compared with thefailure states predicted by FTP for different values of .For case n.1, the results, in terms of displacement-rotation couples corresponding to theattainment of the maximum rotation or maximum displacement, are quite close to each otherbecause of the relatively reduced irregularity of the structure (due to its small eccentricity).Indeed, for this case pushover analyses with weight coefficients =0.30 and 0.66 give resultsclose to the mean values of failure conditions, corresponding to the attainment of themaximum displacement and maximum rotation of the structure, respectively, whereas =0.42corresponds to the mean value of dynamic states when the limit state is attained.For case n.2, displacement-rotation couples corresponding to the attainment of the maximum

rotation or the maximum displacement are very “distant” from each other , due to the largereccentricity of the centre of mass of the second structure (see Figure 2). In this case, the staticanalysis with =0 ( ixix FF ,, and Ti=0) turns to be very close to the mean value of failureconditions corresponding to the attainment of maximum displacement from the 12 dynamicanalyses; analogously, the ultimate condition obtained from static analysis with =0.9(i.e., ixix FF ,, 1.0 and ii TT 9.0 ) coincides with the mean value of failure conditionscorresponding to the attainment of the maximum rotation.These results show that, for regular structures, the most severe conditions in the linear rangecan be predicted adopting force/torque distributions quite close to the first mode distribution(=0.3 and 0.6 instead of =0.5). On the contrary, for irregular structures, such as case n.2,

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

d x [m]

q [ R

a d ]

=0

=0.25=0.30

=0.50

=0.66

=0.75

=0.90

=1

cu

static

dx,max

dx,max

(mean)

qmax

qmax

(mean)

cu

dyn

cu

(mean)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

d x [m]

q [ R

a d ]

=0

=0.25

=0.30

=0.50

=0.75

=0.90

=1

cu

static

dx,max

dx,max

(mean)

qmax

qmax

(mean)

cu

dyn

cu

(mean)

Figure 6. Displacement versus rotation of CM3 with amplified values of dynamic results: (a) Case

n.1, (b) Case n.2.

= 0

= 1

=

1

=0

=0.66

=0.9

=0.30

(a) (b)

- 307 -



force/torque distributions similar to the limit distributions =0 and =1 are required.In the following, a comprehensive comparison of results from static and dynamic analyses at

time steps corresponding to maximum displacement and maximum rotation is performed.

For case n.1, displacements, interstorey drifts, floor shears in x direction, and floor torques

have been reported in Figures 7 a,b,c,d. Results from static analysis with =0.66 are reported

with red line, whereas the mean value of results from 12 dynamic analyses, corresponding tothe time instant where maximum rotation qmax has been attained, is depicted as black line. A

good matching between results can be observed. Displacements and forces over the

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

d x/ H [%]

H e i g h t [ m ]

Pushover

A1a

A1b

A1c

A2a

A2b

A2c

A3a

A3b

A3c

A4aA4b

A4c

Dyn (mean)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Interstorey drift ratio d x/h [%]

H e

i g h t [ m ]

Pushover

A1a

A1b

A1c

A2a

A2b

A2c

A3a

A3b

A3c

A4a

A4b

A4c

Dyn (mean)

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Storey Shear [kN]

H e i g h t [ m

]

Pushover

A1a

A1b

A1c

A2a

A2b

A2c

A3a

A3b

A3c

A4a

A4b

A4c

Dyn (mean)

0 500 1000 15000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Storey Torque [kNm]

H e i g h t [ m

]

Pushover

A1a

A1b

A1c

A2a

A2b

A2c

A3a

A3b

A3c

A4a

A4b

A4c

Dyn (mean)

-0.04 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 00

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

q [Rad]

| d | [ m ]

Pushover

A1a

A1b

A1c

A2a

A2bA2c

A3a

A3b

A3c

A4a

A4b

A4c

Dyn (mean)

Figure 7. Case n.1 – Linear FTP analysis with = 0.66 and results from 12 dynamic analyses at time

instant corresponding to maximum rotation: (a) Displacement in x direction; (b) interstorey drift in xdirection; (c) Storey shear in x direction; (d) Storey torque; (e) Displacement versus rotation of three

floors.

D namic Anal ses corres ondin to qmax and FTP with =0.66

(a) (b)

(c) (d)

(e)

1st floor

nd floor

3rd floor

308

Documents

Reluis_Convegno Roma 29-30 Maggio 2008