Renato Giannini - Ebook Gratisebookgratis.biz/Generi-ebook/Ingegneria/Dinamica delle strutture.pdf · l’azione dinamica più importante per le strutture civili è quella sismica,

ELEMENTI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE

Renato Giannini

Indice

1 Elementi di meccanica 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Dinamica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Il principio di D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Massa e peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Il principio delle potenze virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Equazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.5 Esempio: equazione del bipendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 L’oscillatore semplice 82.1 Oscillazioni libere non smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Oscillazioni libere smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Oscillazioni forzate armonicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.1 Energia dissipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Rappresentazione complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.3 Isolamento alla base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Risposta ad un’azione periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Risposta ad una forza impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Risposta ad un’azione non periodica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.1 Integrale di Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.2 Integrazione diretta delle equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . 312.6.3 Stabilità, decadimento di ampiezza ed elongazione del periodo . . . 33

3 Sistemi discreti con più di un grado di libertà 403.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 La matrice delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Oscillazioni libere non smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Oscillazioni smorzate e forzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.1 Matrice di smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5 Analisi in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.1 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.2 Soluzione dell’equazione dinamica mediante trasformata di Fourier . 57

3.6 Moto di trascinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6.1 Moto sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6.2 Moto non sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7 Smorzamento non classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7.1 Analisi modale complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2

INDICE i

4 Sistemi continui: onde nei mezzi elastici 684.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2 Vibrazioni longitudinali di una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1 Onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.2 Barra di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Onde nel continuo indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.1 Onde piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.5 Trave a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.1 Onde smorzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.6 Vibrazione delle travi inflesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.6.1 Oscillazioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A Elementi di algebra lineare 90A.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.2 Dipendenza lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.3 Dimensioni di uno spazio. Basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.4 Prodotto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.5 Vettori ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.6 Basi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.7 Componenti di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.7.1 Basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.8 Cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.9 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

A.9.1 Cambiamento di base di un operatore lineare . . . . . . . . . . . . . 97A.9.2 Nucleo di un operatore lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.9.3 Inverso di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.9.4 Operatore identico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98A.9.5 Operatori hermitiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98A.9.6 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98A.9.7 Autovalori ed autovettori di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.10 Vettori in Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

A.11.1 Autovalori multipli, triangolarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.11.2 Matrici simmetriche; ortogonalità degli autovettori . . . . . . . . . . 103A.11.3 Autovalori ed autovettori generalizzati di due matrici . . . . . . . . 104

Capitolo 1

Elementi di meccanica

1.1 Introduzione

Le forze agenti sulle strutture civili, nella maggior parte dei casi, si possono trattare comese agissero staticamente; con questo si intende che, variando molto lentamente nel tempo,esse inducono nella struttura velocità ed accelerazioni trascurabili, in modo tale che lastruttura passa da uno stato di equilibrio ad un altro attraverso stati che in pratica possonoessere considerati anch’essi di equilibrio. In quanto precede si intende che il termine statodi equilibrio è sinonimo di stato di equilibrio statico.

Sebbene sia vero che la maggior parte delle azioni che interessano le strutture civili sipossono considerare ai fini pratici come statiche, è pur vero che esistono alcune importantieccezioni; p.es. le azioni indotte da macchinari rotanti all’interno di officine ed impiantiindustriali, la pressione del vento, le azioni indotte da veicoli (in particolare quelli pesanti)in movimento sui ponti ed i viadotti, le onde del mare, ecc. Non vi è dubbio però chel’azione dinamica più importante per le strutture civili è quella sismica, almeno in queipaesi, come l’Italia, dove è presente una rilevante attività sismica.

L’azione sismica si manifesta con un moto del terreno, in direzione orizzontale e verti-cale, che trascina con sé le strutture degli edifici. Questo moto di trascinamento, indottodal sisma, induce delle forze di inerzia che agiscono sulla struttura nella direzione delmoto di trascinamento; particolarmente pericolosa è la componente orizzontale del moto,che induce sulle strutture azioni che esse normalmente non sono chiamate a sopportare enei confronti delle quali sono spesso vulnerabili.

L’importanza che si attribuisce alle azioni sismiche è ben nota; essa discende daglieffetti distruttivi che un terremoto violento può avere sulle costruzioni e dalla grandeestensione di territorio interessata dal fenomeno, che può assumere aspetti catastrofici, siadal punto di vista economico, sia da quello relativo alla perdita di vite umane.

La formulazione generale dell’analisi dinamica delle strutture, specialmente quandoqueste vengono studiate con modelli lineari, prescinde ovviamente dal tipo di azione;quindi nel seguito normalmente non si farà riferimento all’azione sismica. Tuttavia poichéper l’analisi sismica sono stati sviluppati alcuni procedimenti specifici (p.es. l’analisi conlo spettro di risposta), quando necessario, sarà abbandonato il generale per il particolarespecifico.

1

1.2 Dinamica dei sistemi 2

1.2 Dinamica dei sistemi

1.2.1 Il principio di D’Alembert

La dinamica dei sistemi può essere ricondotta alla statica mediante il Principio di D’A-lembert, che semplicemente afferma che ogni sistema è sempre in equilibrio sotto l’azionedelle forze attive Fi, di quelle reattive Φi e delle forze di inerzia miai:

Fi +Φi −miai = 0 (i = 1, 2, . . . , N) (1.1)

In questa equazione mi indica la massa ed ai l’accelerazione del punto materiale i delsistema. La forza d’inerzia quindi non è altro che il prodotto della massa per l’accelerazione(cambiata di segno) del corpo puntiforme.

L’accelerazione di un corpo, però, dipende dal sistema di riferimento; ad esempio uncorpo in quiete rispetto ad un riferimento solidale ad un punto della superficie della Terrarisulta muoversi di moto accelerato rispetto ad un altro riferimento, la cui origine è solidaleal centro della Terra ed è orientato verso le stelle fisse; infatti rispetto a quest’ultimoriferimento il corpo ruota con la velocità angolare della rotazione terrestre, ωT , e quindiha un’accelerazione (centripeta) di valore ω2T r, r essendo la distanza del corpo dall’asseterrestre. Quindi la relazione (1.1) non può essere valida in ogni riferimento, ma solo inun certo tipo di riferimento privilegiato.

I riferimenti di questo tipo sono detti inerziali. Un modo per definire un riferimentoinerziale è il seguente: un riferimento inerziale ha l’origine solidale ad una massa isolataed è orientato verso le stelle fisse. Per massa isolata si intende un corpo che si trovicosì distante da tutti gli altri, da poterne trascurare le interazioni reciproche; le stellefisse sono quei corpi celesti così lontani che il loro moto relativo al nostro corpo risultacomunque inavvertibile. In pratica nessun corpo rispetta esattamente queste condizioni,ma si possono costruire riferimenti che approssimano quello inerziale in modo più o menoaccurato: un riferimento con origine nel baricentro del Sole ed orientato verso le stellefisse è una buona approssimazione di riferimento inerziale; un riferimento con origine nelbaricentro della Terra ed orientato come il precedente costituisce un’approssimazione unpo’ meno buona. Ai fini pratici della meccanica strutturale tuttavia, anche un riferimentosolidale alla superficie terrestre può essere adottato come riferimento inerziale; infattil’accelerazione centripeta è molto piccola, al massimo (all’equatore) si ha:

a = ω2T rT 'µ

2π

24 · 3600¶2 rad

sec2× 6 · 106m ' 3.17 · 10−2 m

sec2

cioè appena lo 0.3% dell’accelerazione di gravità.Nell’eq. (1.1) compaiono solo le accelerazioni, pertanto essa è evidentemente valida in

tutti quei riferimenti in cui l’accelerazione è la stessa che nel riferimento inerziale; di fatto,se un riferimento è inerziale lo sono anche tutti quelli che si muovono di moto relativouniforme (cioè traslano con velocità costante) rispetto al primo. Con le stesse appros-simazioni accettate prima, quindi, anche ogni riferimento che si muova sulla Terra conmoto uniforme rispetto ad uno fisso (se la velocità non è troppo alta) si potrà considerareinerziale.

1.2.2 Massa e peso

La massa (inerziale) è una proprietà della materia: le particelle elementari hanno unamassa (in alcuni casi nulla), che (a riposo) è un invariante, cioè non dipende né dal tempo


né dalla posizione della particella. Ma vi è un altro significato per la massa (gravitazionale):essa è una costante che misura l’intensità della forza di gravitazione che una particella èin grado di scambiare con un’altra (in modo analogo alla carica elettrica in relazione alleforze elettromagnetiche). La massa inerziale e quella gravitazionale quantitativamentecoincidono: questa in apparenza sorprendente coincidenza della natura trova una profondaspiegazione nella teoria geometrica (relativistica) della gravitazione.

Poiché il peso dei corpi non è altro che l’effetto delle forze gravitazionali che essiscambiano con la Terra, vi è una semplice relazione tra massa e peso: pi = mig, in cui gè l’accelerazione di gravità, cioè il campo gravitazionale generato dalla massa della Terranei punti prossimi alla sua superficie.1 Il modulo del vettore g cambia poco da un puntoall’altro della superficie terrestre, e si può assumere approssimativamente pari a:

g = 9.81m/sec2

Nel sistema MKS l’unità di massa è il chilogrammo (kg) e ne costituisce un’unitàfondamentale, insieme al metro ed al secondo. Le forze invece si misurano in Newton(N): un Newton è un chilogrammo per un metro al secondo quadrato (N = kg ·m/sec2).Quindi un corpo che ha massa m = 1 kg ha un peso

p = m · g = 1 · 9.81N

Nella pratica tecnica, in passato, è stata molto usata l’unità di forza chilogrammo-forza,comunemente indicata con kgf (o più semplicemente con kg). Un chilogrammo-forza è laforza peso esercitata da una massa di un chilo, cioè:

1 kgf = 1 kg · g = 9.81N

Se si utilizza come unità fondamentale il chilogrammo-forza, la massa deve essere espressain kgf/g, quindi un corpo che pesa 1 kgf ha una massa, in unità conformi : m = 1/g =1/9.81 kgf/g.

1.2.3 Il principio delle potenze virtuali

Poiché, grazie al principio di D’Alembert, le equazioni della dinamica sono ricondotte aquelle della statica con l’aggiunta delle forze di inerzia, le equazioni di equilibrio (1.1)possono esprimersi in modo equivalente mediante il principio delle potenze virtuali. Li-mitandoci al caso di sistemi soggetti a vincoli bilaterali e lisci2, le equazioni di equilibrio

1Due particelle di massa m1 ed m2 si scambiano una forza proporzionale al prodotto delle loro masseed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza:

F12 = Gm1m2

r212

La costante di gravitazione universale G è piccolissima (G = 6.66×10−8 cm3 sec−2 g−1); per questo motivola forza di gravità scambiata tra corpi di massa piccola non è avvertita: solo se almeno uno dei duecorpi ha grande massa, come quella di un pianeta o di una stella, la gravità ha effetti significativi. Supiccola scala quindi dominano le forze elettromagnetiche, molto più intense: tuttavia queste hanno segnoopposto (attrattiva tra particelle di diversa carica, repulsiva tra quelle di carica uguale); poiché la materia ègeneralmente neutra (cioè vi è uguale numero di particelle con carica positiva e negativa), a grande scala leforze elettromagnetiche si annullano, mentre le forze gravitazionali, che sono sempre attrattive, divengonoprevalenti e dominano nella meccanica celeste.

2 Il caso dei vincoli scabri può essere incluso aggiungendo alle forze attive quelle dovute all’attrito.


dinamico si possono esprimere:

Π =NXi=1

(Fi −miai)× v0i = 0 (1.2)

in cui v0i indica un arbitrario atto di moto virtuale, cioè compatibile con i vincoli fissi3,

mentre × indica il prodotto interno (scalare) tra vettori. Nell’eq. (1.2) non compaiono leforze reattive, il che normalmente costituisce una notevole semplificazione.

1.2.4 Equazione di Lagrange

Si considerino ora sistemi soggetti a vincoli che, oltre che bilaterali e lisci, siano ancheolonomi, cioè esclusivamente di posizione; in questo caso, se il sistema ha n gradi dilibertà, le coordinate di ogni suo punto Pi si possono esprimere in funzione di n parametriliberi, qk(t) (k = 1, 2, . . . , n), detti coordinate lagrangiane del sistema:

Pi(t) = Pi[q1(t), q2(t), · · · , qn(t); t] (1.3)

L’espressione della velocità di un punto mediante le coordinate lagrangiane si determinaderivando l’eq. (1.3):

vi =Xk

∂Pi∂qk

qk +∂Pi∂t

(1.4)

Nel caso di vincoli fissi Pi non dipende esplicitamente da t e quindi l’ultimo termine nella(1.4) viene a mancare. Se v0i indica un atto di moto virtuale, essendo questo per definizionerelativo a vincoli fissi, si avrà:

v0i =Xk

∂Pi∂qk

q0k (1.5)

Sostituendo l’eq. (1.5) nella equazione delle potenze virtuali (1.2), dopo aver scambiatogli ordini di somma si ha:

nfXk=1

q0k

"NXi=1

(Fi −miai)∂Pi∂qk

#= 0

Questa, per l’arbitrarietà dell’atto di moto virtuale q0k, implica il sistema di equazioni:

NXi=1

Fi∂Pi∂qk−

NXi=1

miai∂Pi∂qk

= 0

che può scriversi:

NXi=1

miai∂Pi∂qk

= Qk (1.6)

3Cioè, v0i deve essere compatibile con le condizioni di vincolo rese indipendenti da t, anche se questeequazioni sono funzioni del tempo. Ad esempio, per un punto materiale che si muove vincolato ad unalinea, che a sua volta si sposta, v0 deve essere tangente alla linea considerata fissa nella sua posizione altempo t, senza tener conto del moto del vincolo.


Avendo introdotto le forze generalizzate

Qk =NXi=1

Fi∂Pi∂qk

Indicando con vi la velocità del punto Pi, l’energia cinetica del sistema è definita dallarelazione:

T =1

2

NXi=1

mivi × vi (1.7)

Derivando la (1.7) relativamente a qk e tenendo conto della (1.4), risulta:

∂T

∂qk=

NXi=1

mivi∂vi∂qk

=NXi=1

mivi∂Pi∂qk

Derivando ulteriormente rispetto al tempo entrambi i membri dell’equazione precedente,si ottiene:

d

dt

∂T

∂qk=

NXi=1

miai∂Pi∂qk

+NXi=1

mivi∂vi∂qk

(1.8)

Tenendo conto che, derivando la (1.7), si ottiene:

∂T

∂qk=

NXi=1

mivi∂vi∂qk

combinando questa equazione con la (1.8), si ha:

NXi=1

miai∂Pi∂qk

=d

dt

∂T

∂qk− ∂T

∂qk

E quindi, sostituendo questo risultato nell’eq. (1.6), si ottiene l’equazione di Lagrange:

d

dt

∂T

∂qk− ∂T

∂qk= Qk (1.9)

Questa equazione risulta di notevole aiuto nello studio dei sistemi complessi, in quantopermette di scrivere in modo automatico le equazioni di equilibrio, una volta che sia statascritta l’espressione esplicita dell’energia cinetica.

L’eq. (1.9) si semplifica ulteriormente se tutte le forze agenti sul sistema sono conserva-tive, cioè se esiste una funzione potenziale U(P1, P2, · · · , PN), delle coordinate del sistema,tale che:

Fi =∂U

∂Pi(1.10)

In questo caso l’espressione della forza generalizzata diviene:

Qk =NXi=1

Fi∂Pi∂qk

=NXi=1

∂U

∂Pi

∂Pi∂qk

=∂U

∂qk


in quanto, tramite le (1.3), U è funzione delle sole coordinate lagrangiane qk.Introdotta la funzione di Lagrange, definita come

L(q, q, t) = T + U (1.11)

somma dell’energia cinetica e della funzione potenziale, l’eq. (1.9) si può scrivere in modopiù sintetico:

d

dt

∂L

∂qk− ∂L

∂qk= 0 (1.12)

che è un’altra forma delle equazioni di Lagrange.L’equazione (1.12) è l’equazione di Eulero del funzionale:

S =Z t2

t1

L(q, q, t) dt (1.13)

chiamato l’azione del sistema. L’equazione (1.12) implica che il sistema evolve tra duequalsiasi istanti di tempo t1 e t2 rendendo stazionaria l’azione S (principio di Hamilton).

Se i vincoli sono fissi, per cui L non dipende esplicitamente dal tempo, si può dimostrareche la quantità:

H = T − U = T + V (1.14)

si conserva, cioè resta costante nel tempo. La quantità H non è altro che l’energia totaledel sistema, in quanto somma dell’energia cinetica T e dell’energia potenziale V = −U .Quindi si può concludere che: in un sistema con vincoli bilaterali, lisci ed indipendenti daltempo e soggetto all’azione di sole forze conservative, l’energia totale H si conserva.

1.2.5 Esempio: equazione del bipendolo

Si consideri un doppio pendolo, composto con due masse m1 ed m2, sospese a due regolirigidi e privi di massa di lunghezza l1 ed l2. Indicando con θ1 e θ2 gli angoli formati dairegoli rispetto ad un asse verticale, le coordinate delle due masse, riferite ad un sistemacartesiano ortogonale, con l’asse x verticale e rivolta verso l’alto ed origine nella cernieradel pendolo, sono:

x1 = l1 sin (θ1) (1.15a)

y1 = −l1 cos (θ1) (1.15b)

x2 = l1 sin (θ1) + l2 sin (θ2) (1.15c)

y2 = −l1 cos (θ1)− l2 cos (θ2) (1.15d)

e di conseguenza le componenti delle velocità risultano:

x1 = l1 cos (θ1) θ1 (1.16a)

y1 = l1 sin (θ1) θ1 (1.16b)

x2 = l1 cos (θ1) θ1 + l2 cos (θ2) θ2 (1.16c)

y2 = l1 sin (θ1) θ1 + l2 sin (θ2) θ2 (1.16d)


Gli angoli θ1 e θ2 sono le coordinate lagrangiane del sistema; l’espressione dell’energiacinetica in funzione delle coordinate lagrangiane si ottiene quindi facilmente sostituendole (1.16) nell’espressione di T :

T =1

2

£m1¡x21 + y

21

¢+m2

¡x22 + y

22

¢¤=1

2

h(m1 +m2) l

21θ21 + 2m2l1θ1l2θ2 cos (θ1 − θ2) +m2l

22θ22

i(1.17)

Analogamente dalle (1.15) si ottiene la forma esplicita del potenziale U in funzione dellecoordinate lagrangiane:

U = −m1y1g −m2y2g = g {m1l1 cos (θ1) +m2 [l1 cos (θ1) + l2 cos (θ2)]}(1.18)

e quindi, sommando le eq. (1.17) e (1.18), si ha la funzione di Lagrange:

L = T + U =1

2

h(m1 +m2) l

21θ21 + 2m2l1θ1l2θ2 cos (θ1 − θ2) +m2l

22θ22

i+

g {m1l1 cos (θ1) +m2 [l1 cos (θ1) + l2 cos (θ2)]} (1.19)

Applicando l’equazione di Lagrange (1.12) alla funzione (1.19), si ottengono le dueequazioni seguenti, che descrivono la dinamica del sistema:

d

dt

∂L

∂θ1− ∂L

∂θ1= (m1 +m2) l

21θ1 +m2l1l2 cos (θ1 − θ2) θ2 +

m2l1l2 sin (θ1 − θ2) θ22 + g (m1 +m2) l1 sin θ1 = 0 (1.20)

d

dt

∂L

∂θ2− ∂L

∂θ2= m2l1l2 cos (θ1 − θ2) θ1 +m2l

22θ2 −

m2l1l2 sin (θ1 − θ2) θ21 + gm2l2 sin θ2 = 0 (1.21)

Le equazioni (1.20) e (1.21) sono nonlineari; per valori piccoli degli angoli θ1e θ2 le funzionitrigonometriche seno e coseno possono essere approssimate dai termini lineari del lorosviluppo in serie, ottenendo:

(m1 +m2) l21θ1 +m2l1l2θ2 +m2l1l2 (θ1 − θ2) θ

22 + g (m1 +m2) l1θ1 = 0

(1.22a)

m2l1l2θ1 +m2l22θ2 −m2l1l2 (θ1 − θ2) θ

21 + gm2l2θ2 = 0

(1.22b)

Queste equazioni tuttavia sono ancora nonlineari a causa dei termini che contengono iquadrati delle velocità angolari θ che tengono conto degli effetti delle forze centrifughe; sele velocità sono sufficientemente piccole i loro quadrati si potranno trascurare con un’ap-prossimazione confrontabile con quella precedente e si ottiene allora il semplice sistema didue equazioni lineari accoppiate:

(m1 +m2) l21θ1 +m2l1l2θ2 + g (m1 +m2) l1θ1 = 0 (1.23a)

m2l1l2θ1 +m2l22θ2 + gm2l2θ2 = 0 (1.23b)

Capitolo 2

L’oscillatore semplice

Si consideri una struttura molto semplice, composta da una trave sostenuta da due pilastriuguali (portale), come quella rappresentata nella fig. 2.1. Se si suppone che siano soddi-sfatte le seguenti condizioni: i) la trave sia molto più rigida dei pilastri, in modo che lerotazioni dei nodi siano trascurabili, ii) la rigidezza assiale dei pilastri sia molto maggioredi quella flessionale, in modo che i pilastri si possano ritenere assialmente indeformabili,iii) il telaio si sposti solo nel suo piano; questo sistema ha un solo grado di libertà, lospostamento x dalla posizione di equilibrio statico.

2.1 Oscillazioni libere non smorzate

Indicando con m la massa complessiva della trave più quella da essa sopportata ed as-sumendo trascurabili le masse dei pilastri, l’equazione di equilibrio di questa struttura siscrive facilmente in modo diretto, utilizzando il principio di D’Alembert; in assenza diforze esterne applicate le sole forze sono la forza elastica esercitata dai pilastri e la forzad’inerzia della massa m:

−mx(t)− kx(t) = 0 (2.1)

in cui k = 2 · 12EJ/h3 indica la rigidezza dei pilastri. Dividendo l’eq. (2.1) per m edintroducendo la quantità:

ω2 =k

m(2.2)

l’eq. (2.1) diviene:

x(t) + ω2x(t) = 0 (2.3)

Il parametro ω ha le dimensioni dell’inverso di un tempo. È conveniente introdurre iltempo adimensionale:

τ = ωt (2.4)

Infatti, tenendo conto che:

d

dt=d

dτ

dτ

dt=d

dτω (2.5)

8

2.1 Oscillazioni libere non smorzate 9

Figura~2.1: Portale ad un grado di libertà

sostituendo τ a t come variabile in x, ed indicando con il punto la derivazione rispetto a τe non più rispetto a t, come in precedenza, applicando la (2.5) alla (2.3) e poi dividendoper ω2, si ottiene:

x(τ) + x(τ) = 0 (2.6)

equazione in cui non compaiono esplicitamente parametri.La soluzione generale dell’equazione differenziale lineare ed omogenea (2.6) ha la forma:

x(τ) = A sin(τ) +B cos(τ) (2.7)

in cui A e B sono parametri che dipendono dalle condizioni iniziali, cioè dallo stato dellastruttura al tempo τ = 0.

Derivando la (2.7) rispetto a τ si ha:

y(τ) = x(τ) = A cos(τ)−B sin(τ) (2.8)

in cui y = dx/dτ è legato alla velocità v = dx/dt dalla semplice proporzionalità: y = v/ω,come segue dalla (2.5). Indicando con x0, y0 i valori di x ed y al tempo τ = 0, dalleequazioni (2.7) e (2.8) esplicitate al tempo τ = 0, si ottengono i valori di A e B in funzionedelle condizioni iniziali x0, y0, per cui la (2.7) diviene:

x(τ) = x0 cos(τ) + y0 sin(τ) (2.9)

Dalle eq. (2.7) o (2.9) si osserva facilmente che x(τ) (ed y(τ)) sono funzioni periodichedi periodo 2π:

x(τ + 2nπ) = x(τ) n intero

Poiché x è periodica di periodo 2π in τ , rispetto al tempo reale t risulta periodica diperiodo

T =2π

ω= 2π

rm

k(2.10)

2.2 Oscillazioni libere smorzate 10

x

f

Figura~2.2: Legge forza—spostamento di un sistema elasto-viscoso soggetto ad un’azioneciclica

T è il periodo proprio delle oscillazioni libere della struttura, ω è detta pulsazione propria,mentre l’inverso di T è detto frequenza propria f = 1/T = ω/2π. Dunque l’eq. (2.9)descrive un moto oscillatorio, di ampiezza

px20 + y

20 e di periodo T , dato dall’eq. (2.10). È

importante osservare che il periodo delle oscillazioni libere dipende solo dalle caratteristichedella struttura, massa e rigidezza, e non dallo specifico moto; in particolare il periodo delleoscillazioni non è funzione dell’ampiezza del moto: vibrazioni di piccola o grande ampiezzacompiono un ciclo nello stesso tempo, almeno fin quando il modello elastico lineare descrivecon sufficiente esattezza il comportamento strutturale.

2.2 Oscillazioni libere smorzate

La soluzione (2.9) dell’eq. (2.6) è una funzione armonica la cui ampiezzapx20 + y

20 è

costante nel tempo. Fisicamente ciò corrisponde ad un sistema che, una volta posto inmovimento, continua ad oscillare con la stessa ampiezza, senza più fermarsi. Questo è incontraddizione con le più elementari esperienze, che ci mostrano come, in assenza di forzeche le sostengano, le oscillazioni libere di qualsiasi sistema si riducano in ampiezza, fino ache questo torna in quiete dopo un numero più o meno grande di cicli.

Il fatto che il moto del sistema governato dalle eq. (2.3) o (2.6) sia indefinitamenteperiodico dipende dal fatto che la sola forza attiva presa in conto, la forza elastica −kx,è conservativa e quindi l’energia totale del sistema è costante. In realtà tutti i sistemisono dissipativi, in quanto una parte dell’energia viene trasformata in calore e quindi resaindisponibile ai processi meccanici, come previsto dal secondo principio della termodina-mica. Quindi l’energia meccanica del sistema si riduce e con essa l’ampiezza massima delleoscillazioni.

Applicando ad un oggetto che segue un comportamento elastico lineare una forza chevaria lentamente, questo subisce un processo reversibile; infatti togliendo gradualmente laforza il corpo torna nella sua configurazione originale, percorrendo, nello spazio degli stati,lo stesso cammino seguito nella fase di carico. Se la forza viene applicata più rapidamentequesto non si verifica più; nella fase di carico la forza è maggiore di quella (kx) puramente


Figura~2.3: Modello di una struttura con elemento dissipativo elasto-viscoso

elastica, nella fase di scarico invece la forza risulta minore, come illustrato schematica-mente nella fig. 2.2; l’area racchiusa nel ciclo rappresenta il lavoro fatto sul sistema e nonrestituito, per cui la trasformazione risulta ora irreversibile. Questo fenomeno si può spie-gare assumendo che sul sistema agisca, oltre la forza elastica −kx, anche una forza viscosao attritivo, la cui ampiezza ed il segno dipendono dalla velocità; il modello più sempli-ce è quello della viscosità lineare, in cui la forza è data dal prodotto della velocità peruna costante, che dipende dalle proprietà del materiale e dalla configurazione strutturale.Con riferimento alla semplice struttura della fig. 2.1, questo effetto può essere modellatoaggiungendo al sistema un elemento viscoso, schematicamente illustrato in fig. 2.3, cheesplica sulla massa m una forza viscosa FD = −cx(t), proporzionale alla velocità del si-stema ed al coefficiente di viscosità c. Che la forza FD sia dissipativa si può verificarecalcolando il lavoro fatto da questa forza in un ciclo:

WD =

I−cdxdtdx = −c

Z T

0

µdx

dt

¶2dt < 0 (2.11)

esso risulta (se c > 0) sempre negativo, come segue dal fatto che la funzione integrandanell’eq. (2.11) è sempre positiva.

Se si tiene conto anche delle forze di tipo viscoso che si sviluppano nella struttura,l’eq. (2.1) deve essere sostituita dalla:

−mx(t)− cx(t)− kx(t) = 0 (2.12)

Dividendo tutti i termini dell’eq. (2.12) perm, tenendo conto della (2.2) ed inoltre ponendo:

c = 2mωξ = 2√kmξ (2.13)

si ottiene:

x(t) + 2ωξx(t) + ω2x(t) = 0 (2.14)


Quindi eseguendo il cambiamento di variabile (2.4), dal tempo reale t a quello adimensio-nale τ , risulta l’equazione:

x(τ) + 2ξx(τ) + x(τ) = 0 (2.15)

in cui compare il solo parametro ξ; questo viene indicato come il coefficiente di smorza-mento percentuale, per i motivi che saranno chiariti nel seguito; poiché c ha le dimensionidi una forza divisa per la velocità e perciò di una massa divisa per il tempo, ξ risultaadimensionale.

L’integrale generale dell’eq. (2.15) è:

x(τ) = Aeα1τ +Beα2τ (2.16)

in cui α1 ed α2 sono le radici dell’equazione caratteristica:

α2 + 2ξα+ 1 = 0 (2.17)

ossia:

α1 = −ξ +qξ2 − 1 α2 = −ξ −

qξ2 − 1 (2.18)

Sostituendo la (2.18), la (2.16) diviene:

x(τ) = e−ξτhAe√

ξ2−1τ +Be−√

ξ2−1τi

(2.19)

L’equazione (2.19) ha un punto di biforcazione (cioè cambia comportamento) in corrispon-denza del valore di ξ = 1. Per ξ < 1 la quantità

pξ2 − 1 è immaginaria e quindi le funzioni

esponenziali nell’eq. (2.19) divengono delle funzioni armoniche, per cui l’eq. (2.19) si puòriscrivere:

x(τ) = e−ξτ [C1 sin(δτ) + C2 cos(δτ)] (2.20)

avendo posto

δ =

q1− ξ2 (2.21)

Derivando l’eq.(2.20) rispetto a τ si ottiene:

x(τ) = e−ξτ [−(C1ξ + C2δ) sin(δτ) + (C1δ −C2ξ) cos(δτ)] (2.22)

I valori delle costanti C1 e C2 si determinano quindi imponendo le condizioni iniziali ad xed x; dalle eq. (2.20) e (2.22) si deduce infatti il sistema:

x(0) = C2 = x0

x(0) = C1δ −C2ξ = y0risolvendo il quale risulta:

C1 =y0 + x0ξ

δC2 = x0


per cui le eq. (2.20) e (2.22) si possono scrivere esplicitamente in funzione delle condizioniiniziali:

x(τ) = e−ξτ·x0 cos(δτ) +

y0 + x0ξ

δsin(δτ)

¸(2.23)

x(τ) = e−ξτ·y0 cos(δτ)− x0 + y0ξ

δsin(δτ)

¸(2.24)

Ponendo y0 = 0 (questa condizione può sempre essere verificata, fissando opportuna-mente l’origine del tempo) le equazioni (2.23) e (2.24) si semplificano nelle:

x(τ) = x0e−ξτ

·cos(δτ) +

ξ

δsin(δτ)

¸(2.25)

x(τ) = −x0e−ξτ 1δsin(δτ) (2.26)

Dalla (2.26) appare evidente che x(τ) = 0 se δτ = nπ, dove n = 0, 1, 2, . . . è un numerointero. In corrispondenza degli istanti in cui x si annulla, x(τ) prende valori estremali(massimi o minimi); in particolare se x0 > 0, x è massimo per n pari, minimo per ndispari. Due massimi consecutivi si verificano quindi per ∆τ = 2π/δ; passando al temponaturale, si può definire un “periodo” delle oscillazioni smorzate TD come il tempo cheintercorre tra due massimi della risposta:

TD =∆τ

ω=

Tp1− ξ2

(2.27)

(T è il periodo delle oscillazioni non smorzate); al periodo TD corrisponde una “pulsazio-ne”:

ωD = ωδ = ω

q1− ξ2 (2.28)

Queste relazioni mostrano che il periodo delle oscillazioni libere, smorzate o no, non di-pende dalle condizioni iniziali, ma solo dalle caratteristiche dell’oscillatore, la massa, larigidezza e lo smorzamento percentuale ξ. Le eq. (2.20) e (2.23) descrivono un moto oscil-latorio di ampiezza decrescente, come illustrato nella figura 2.4a. Il rapporto tradue massimi consecutivi della risposta, agli istanti τn = 2nπ/δ e τn+1 = 2(n+ 1)π/δ, perl’eq.(2.25) risulta:

x(τn+1)

x(τn)= exp

"− 2ξπp

1− ξ2

#(2.29)

e dipende soltanto dal coefficiente ξ. Il logaritmo dell’inverso di questo rapporto è dettodecremento logaritmico:

∆l = log

µx(τn)

x(τn+1)

¶(2.30)

L’eq. (2.29) si può risolvere in ξ, esprimendo lo smorzamento percentuale in funzione deldecremento logaritmico:

ξ =∆lq

∆2l + 4π2

(2.31)


0.0 20.0 40.0 60.0 80.0≥

xΕ≥Φ

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0≥

smorzamento critico ( ↑ΖΝΦ

smorzamento supercritico ( ↑ΖΝΚΡΦSmorzamento subcritico ( ↑ΖΜΚΜΡΦ

(a) (b)

Figura~2.4: Moto smorzato: smorzamento subcritico (a), critico e supercritico (b)

Questa relazione può essere utilizzata per misurare il coefficiente di smorzamento sullabase di registrazioni del moto di risposta.

Quando ξ = 1 l’equazione (2.17) ha due radici reali coincidenti α = −1. In questo casola soluzione dell’eq. (2.15) prende la forma

x(τ) = e−τ (A+Bτ) (2.32)

e quindi, imponendo il rispetto delle condizioni iniziali:

x(τ) = e−τ [x0 + (x0 + y0)τ ] (2.33)

Le equazioni (2.32) e (2.33) esprimono un moto di direzione uniforme, senza oscillazioni;il sistema tende a tornare nella posizione di equilibrio statico muovendo dalla posizioneattuale e tendendo ad x = 0 in un tempo idealmente infinito.1 Il moto di un sistema cheinizia con velocità nulla, nel caso di smorzamento critico è illustrato nella fig. 2.4b. Losmorzamento c corrispondente a ξ = 1 è detto critico; per la (2.13) si ha:

cr = 2√mk (2.34)

quindi ξ rappresenta la percentuale di smorzamento rispetto al valore critico. Nelle strut-ture si manifestano solitamente smorzamenti piccoli, relativamente a quello critico; quindisi hanno valori di ξ molto minori di uno. Valori tipici sono compresi nell’intervallo tra0.02 e 0.10.

1L’esperienza dimostra che l’equilibrio viene invece raggiunto dopo un tempo più o meno breve, mafinito; questo implica che la legge dello smorzamento viscoso lineare spiega solo approssimativamente larealtà. Da un punto di vista pratico questo però ha scarsa importanza; dopo un tempo t = 10 ·T = 20π/ω,cioè dopo un tempo pari a 10 volte il periodo delle oscillazioni non smorzate, si ha τ = 20π e quindie−τ ' 0.51 · 10−27, cioè lo spostamento è divenuto circa 1027 volte più piccolo di quello iniziale: ai finipratici questo è equivalente a zero.

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 15

Per valori di ξ superiori ad uno le radici dell’equazione caratteristica (2.17) sono reali edistinte; il moto che ne risulta è ancora di tipo non oscillatorio, simile a quello relativo allosmorzamento critico; tuttavia, come è illustrato nell’esempio in fig. 2.4b, il moto avvienepiù lentamente ed il sistema impiega più tempo per raggiungere la posizione di equilibrio(o meglio uno spostamento sufficientemente piccolo, preso convenzionalmente come zero).

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente

Si supponga ora di applicare, alla struttura di fig. 2.3, una forza F (t) variabile nel tempo.L’equazione di equilibrio dinamico si ottiene aggiungendo questo termine all’eq. (2.12):

F (t)−mx(t)− cx(t)− kx(t) = 0 (2.35)

Quindi, dividendo i termini per m, utilizzando le posizioni (2.2) e (2.13), ed eseguendo lasostituzione (2.4) della scala dei tempi, si ottiene l’equazione:

x(τ) + 2ξx(τ) + x(τ) =F (τ/ω)

k(2.36)

Se la forza F (t) varia con legge armonica, indicando con ωf la sua pulsazione, si puòporre F (t) = F0 sin(ωf t); sostituendo questa espressione nell’eq. (2.36), si ottiene:

x(τ) + 2ξx(τ) + x(τ) = u0 sin(βτ) (2.37)

Nell’eq. (2.37) si è posto

u0 =F0k

(2.38)

ad indicare lo spostamento che la struttura subirebbe per effetto una forza di modulo F0applicata staticamente, mentre

β =ωfω

(2.39)

indica il rapporto tra la pulsazione (o la frequenza) della forzante e quella delle oscillazionilibere (non smorzate) della struttura.

Seguendo la regola generale per la soluzione delle equazioni lineari non omogenee, lasoluzione dell’eq. (2.37) si ottiene sovrapponendo all’integrale generale della stessa equa-zione resa omogenea (cioè eliminando il termine a secondo membro), un integrale parti-colare dell’equazione completa (2.37). Nel seguito si supporrà che la struttura abbia unosmorzamento subcritico (ξ < 1), pertanto l’integrale generale dell’equazione omogenea èquello espresso dall’eq. (2.20). La soluzione particolare dell’equazione completa si ottieneassumendo che possa porsi nella forma:

x(τ) = A1 sin(βτ) +A2 cos(βτ) (2.40)

Infatti, sostituendo l’espressione di x(τ) ad x(τ) nell’eq. (2.37), risulta:

− β2 [A1 sin(βτ) +A2 cos(βτ)] + 2βξ [A1 cos(βτ)−A2 sin(βτ)] +A1 sin(βτ) +A2 cos(βτ) = u0 sin(βτ)


Ponendo in evidenza le funzioni sin(βτ) e cos(βτ), appare evidente che questa equazionerisulta identicamente soddisfatta per ogni valore di τ se risultano entrambi nulli i coeffi-cienti delle funzioni seno e coseno. Imponendo queste condizioni si ottiene il sistema didue equazioni nelle incognire A1, A2:

(1− β2)A1 − 2ξβA2 = u02ξβA1 + (1− β2)A2 = 0

la cui soluzione è

A1 = u01− β2

(1− β2)2 + 4ξ2β2A2 = u0

−2ξβ(1− β2)2 + 4ξ2β2

(2.41)

Quindi, sostituendo le espressioni dei coefficienti A1 ed A2 nell’eq. (2.40), si determinal’espressione esplicita della soluzione particolare dell’equazione non omogenea (2.37):

x(τ) =u0

(1− β2)2 + 4ξ2β2£(1− β2) sin(βτ)− 2ξβ cos(βτ)¤ (2.42)

L’eq. (2.40) si può anche scrivere in forma più espressiva ponendo:

x(τ) = X sin(βτ − φ) (2.43)

in cui:

X =qA21 +A

22 =

u0q(1− β2)2 + 4ξ2β2

(2.44)

indica l’ampiezza del moto di risposta, mentre l’angolo φ, definito dalle relazioni:

sin(φ) = −A2X=

2ξβq(1− β2)2 + 4ξ2β2

cos(φ) =A1X=

1− β2q(1− β2)2 + 4ξ2β2

(2.45)

è detto la differenza di fase tra la forzante ed il moto di risposta.La soluzione generale del moto forzato si ottiene sommando la soluzione particolare

[eq. (2.42)] dell’equazione non omogenea alla soluzione generale [eq. (2.20)] dell’equazioneomogenea, e risulta:

x(τ) = e−ξτ [C1 sin(δτ) +C2 cos(δτ)] +u0

(1− β2)2 + 4ξ2β2£(1− β2) sin(βτ)− 2ξβ cos(βτ)¤ (2.46)

Ottenuta l’espressione esplicita di x(τ) derivando il secondo membro dell’eq. (2.46), laforma esplicita del moto di risposta si determina imponendo le condizioni iniziali (x(0) =x0, x(0) = y0), e quindi calcolando le costanti C1 e C2:

x(τ) = e−ξτ·1

δ

µx0ξ + y0 +

u0(2ξ2 − 1+ β2)β

(1− β2)2 + 4ξ2β2

¶sin(δτ)+µ

x0 +2ξβu0

(1− β2)2 + 4ξ2β2

¶cos(δτ)

¸+

u0

(1− β2)2 + 4ξ2β2£(1− β2) sin(βτ)− 2ξβ(βτ)¤ (2.47)


In presenza di smorzamento (ξ > 0), la parte dell’eq. (2.47) che dipende dalle condizioniiniziali, cioè la soluzione dell’equazione omogenea, diminuisce esponenzialmente al cresceredi τ e tende a zero per per τ → ∞; in pratica per τ abbastanza grande questo terminediverrà trascurabile a confronto di quello che dipende dalle caratteristiche della forzante.Quindi nei sistemi dotati di smorzamento si possono distinguere due fasi della risposta: unaprima, per tempi vicini a quello iniziale, in cui il moto è influenzato dalle condizioni iniziali,detta fase transitoria; una seconda, espressa dalla sola eq. (2.42), detta fase stazionaria,in cui il moto di risposta non dipende dalle condizioni iniziali ma solo dalle caratteristichedella forzante. Ovviamente la separazione tra queste due fasi è convenzionale, in quanto ilpassaggio dall’una fase all’altra è continuo e, a rigore, la fase stazionaria si raggiunge soloquando τ =∞. In pratica però si può, con qualche arbitrio, scegliere un valore di τ oltreil quale il contribito del termine (2.20) all’ampiezza totale del moto diviene trascurabile econsiderare stazionario il moto nel tempo successivo.

Poiché, come si riconosce guardando la figura 2.4a, anche per valori piccoli di ξ leoscillazioni libere si smorzano dopo un numero limitato di cicli, è interessante puntarel’attenzione sulla parte stazionaria della risposta. Dall’eq. (2.42) appare evidente che x(τ)è periodica di periodo 2π/β in τ e quindi di periodo 2π/ωf in t; cioè lo stesso della forzante.L’ampiezza massima della risposta X è quella data dall’eq. (2.43), da cui si ricava che:

X

u0= D =

1q(1− β2)2 + 4ξ2β2

(2.48)

Il fattore D è detto coefficiente di amplificazione dinamica, in quanto è il raporto tra lospostamento massimo della risposta dinamica e lo spostamento u0 = F0/k che sarebbeprodotto dalla forza F0 qualora agisse staticamente. Per β = 0 D = 1; al crescere di βgeneralmente D cresce fino a raggiungere un massimo per β soluzione dell’equazione:

dD

dβ∼ β(−1+ β2 + 2ξ2) = 0

Se 2ξ2 < 1 questa equazione ammette una soluzione reale per:

βr =

q1− 2ξ2 (2.49)

cui corrisponde il valore massimo del coefficiente di amplificazione:

Dmax =1

2ξp1− ξ2

(2.50)

Facendo crescere β oltre il valore βr, D decresce e per β → ∞ D → 0. L’andamento delcoefficiente di amplificazione in funzione di β e per alcuni valori dello smorzamento ξ èmostrato nella fig. 2.5. Se ξ ¿ 1 l’amplificazione massima si verifica per βr ' 1,cioè quando ωf ' ω; con la stessa approssimazione l’amplificazione massima e circa 1/2ξ.La frequenza per cui l’ampiezza della risposta è massima si chiama di risonanza:

ωr = ω

q1− 2ξ2

Nei sistemi debolmente smorzati la frequenza di risonanza praticamente coincide con lafrequenza delle oscillazioni libere (non smorzate) della struttura, indicata anche comefrequenza naturale dell’oscillatore. L’amplificazione massima che si verifica alla risonanza


0.0 1.0 2.0 3.0ϒΖ∂ f Λ∂

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

D

↑=Ζ=ΜΚΜ

↑=Ζ=ΜΚΜΡ

↑=Ζ=ΜΚΝΜ

↑=Ζ=ΜΚΡΜ

Figura~2.5: Coefficiente di amplificazione dinamica in funzione di β e ν; in linea spessa èindicata la congiungente i punti di massima amplificazione

cresce inversamente allo smorzamento; nei sistemi debolmente smorzati (ξ ¿ 1) Dmax À 1e tende all’infinito nel caso di smorzamento nullo. Così, nei sistemi con debole smorza-mento, se la frequenza della forzante si avvicina alla frequenza naturale dell’oscillatore, ilmoto di risposta risulta grandemente amplificato; in questo modo anche una piccola forza,se pulsa alla frequenza di risonanza della struttura, può produrre spostamenti, e quindisollecitazioni, molto grandi e pericolosi.

Il ritardo di fase φ, espresso dalle equazioni (2.45), è diagrammato in fig. 2.6 in funzionedi β e per alcuni valori dello smorzamento ξ. Per sistemi debolmente smorzati (al limitecon smorzamento nullo) quando β < 1 φ ∼ 0, cioè la risposta è praticamente in fase conl’eccitazione. Quando β si avvicina ad 1 la differenza di fase aumenta rapidamente, inmodo che per β = 1 si ha φ = π/2. Spostandosi ancora verso valori maggiori di β, φaumenta rapidamente, approssimando π; in questo caso la risposta è in opposizione di faseall’eccitazione, in quanto l’una raggiunge il massimo positivo quando l’altra è al massimonegativo e viceversa. Il passaggio dalla risposta in fase ed in opposizione di fase è tantopiù brusco quanto più lo smorzamento è piccolo, come mostrato dalla fig. 2.6; al limite persistemi non smorzati passa da φ = 0 per β < 1 a φ = π per β > 0 in modo discontinuo.Questa caratteristica del cambiamento di fase viene utilizzata per individuare la frequenzadi risonanza di un oscillatore.

In figura 2.7 sono rappresentate le storie degli spostamenti di due oscillatori, con lostesso coefficiente di smorzamento ξ = 0.05, soggetti all’azione di una forza di periodoβ = ωf/ω = 0.9 il primo (a), e β = 1.1 il secondo (b). È evidente che nel primo caso, dopola fase transitoria, la risposta è praticamente in fase con la forzante, mentre nel secondosi ha opposizione di fase.


0.0 1.0 2.0 3.0ϒ

0.00

1.57

3.14

∞

↑=Ζ=ΜΚΜΝ

↑=Ζ=ΜΚΜΡ

↑=Ζ=ΜΚΝΜ

↑=Ζ=ΜΚΠΜ

Figura~2.6: Differenza di fase tra forzante e risposta in funzione di β e del coefficiente dismorzamento ν

2.3.1 Energia dissipata

Il lavoro svolto dalla forza esterna F (t) in un ciclo del moto stazionario, si calcola facilmenteavendo determinato la legge del moto di risposta. Infatti si ha:

W =

Z Tf

0F0 sin(ωf t)x(t) dt (2.51)

in cui Tf = 2π/ωf indica il periodo della forza F (t). Quindi sostituendo ad x(t) l’espres-sione esplicita del moto stazionario (2.43), tenendo conto della (2.44), della (2.48) e delledefinizioni di β, τ e u0, dall’eq.(2.51) si deduce:

W =DF 20ωfk

Z 2π/ωf

0sin(ωf t) cos(ωf t− φ) dt =

DF 20k

π sin(φ) (2.52)

Quindi rendendo espliciti i termini D e sin(φ) mediante sostituzione delle equazioni (2.48)e (2.45), si ha:

W =F 202k

4πξβ

(1− β2)2 + 4ξ2β2(2.53)

Il primo termine nel secondo membro dell’eq. (2.53), F 20 /2k è il lavoro fatto dalla forzaF0 applicata staticamente, nel ciclo di carico; il secondo termine tiene conto della leggeciclica di applicazione della forza e degli effetti dinamici. È facile verificare che l’espressione(2.53) del lavoro fatto dalla forza esterna in un ciclo coincide con quello dissipato dall’unicoelemento non conservativo dell’oscillatore ed espresso dall’integrale:Z Tf

0cx2(t) dt


0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0≥

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

x

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0≥

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

x

(a)

(b)

Figura~2.7: Storie degli spostamenti di due oscillatori con lo stesso coefficiente di smor-zamento ν = 0.05. Grafico (a): β = 0.9; grafico (b): β = 1.1. Con linea tratteggiata èindicata la storia della forzante u0 sin(βτ)

Il valore di W in funzione di β e per alcuni valori di ξ è rappresentato nel diagrammadella figura 2.8. In tutti i casi il lavoro fatto si annulla per β → 0, come conseguenzadel fatto che il sistema non è dissipativo nei confronti di forze applicate staticamente;inoltre si osservi come, per valori di β non troppo vicini ad uno, il lavoro fatto dal sistemacresca con lo smorzamento percentuale ξ: cioè i sistemi con coefficiente di smorzamentopiù grande dissipano una maggiore quantità di energia. Questa relazione però si invertequando β ' 1, cioè in prossimità della risonanza: in tali condizioni l’energia dissipata daisistemi debolmente smorzati aumenta molto rapidamente e raggiunge livelli anche moltopiù elevati di quelli relativi agli oscillatori dotati di maggior smorzamento.

2.3.2 Rappresentazione complessa

Se su di un piano cartesiano x, y si riporta un vettore ~u di modulo u0 e che forma un angoloβτ(mod 2π) con l’asse x, come mostrato nella figura 2.9, la componente di ~u sull’asse yha ampiezza u0 sin(βτ), uguale all’ampiezza della forzante nell’equazione (2.37); facendoruotare ~u con velocità angolare β la sua proiezione su y uguaglia l’ampiezza della forzaapplicata al sistema.


0.0 1.0 2.0 3.0ϒ

1E-3

1E-2

1E-1

1E+0

1E+1

1E+2

W

↑=Ζ=ΜΚΜΝ

↑=Ζ=ΜΚΜΡ

↑=Ζ=ΜΚΝΜ

↑=Ζ=ΜΚΟΜ

↑=Ζ=ΜΚΡΜ

Figura~2.8: Lavoro fatto dalla forza sinusoidale applicata ad un oscillatore smorzato inun ciclo del moto stazionario

Combinando i risultati (2.43) e (2.48), l’ampezza della risposta stazionaria si puòscrivere:

X(τ) = Du0 sin(βτ − φ) (2.54)

Se sullo stesso piano dove viene riportato ~u si riporta anche il vettore ~x, di modulo Du0 eche forma con ~u l’angolo −φ, i due vettori, ruotando solidalmente, descrivono, con le loroproiezioni su y, l’ampiezza della forzante e del moto di risposta.

Se si interpreta il piano x, y come il piano dei numeri complessi, i vettori ~u e ~x sipossono interpretare come le rappresentazioni dei numeri complessi:

u0[cos(βτ) + i sin(βτ)] = u0eiβτ (2.55)

Du0[cos(βτ − φ) + i sin(βτ − φ)] = Du0ei(βτ−φ) (2.56)

Più in generale, ponendo Ueiβτ come termine noto nell’eq. (2.37), con U eventualmentecomplesso, e cercando la soluzione stazionaria dell’equazione così ottenuta nella formaXeiβτ , dopo sostituzione nell’equazione (2.37), si ha:

X[−β2 + 2iβξ + 1]e−βτ = Ue−βτ (2.57)

da cui si ottiene:

X =U

1− β2 + 2iβξ= H(β, ξ)U (2.58)

La funzione

H(β, ξ) =1

1− β2 + 2iβξ=

1− β2 − 2iβξ(1− β2)2 + 4ξ2β2

(2.59)


Figura~2.9: Rappresentazione vettoriale (o complessa) della forza e della risposta

è detta funzione di trasferimento; la sua inversa 1−β2+2iβξ è l’impedenza complessa delsistema. Posta in forma esponenziale la funzione di trasferimento si scrive:

H(β, ξ) = ||H||e−iψ (2.60)

È facile verificare che il modulo di H coincide con il coefficiente di amplificazione; infatti:

||H|| = 1q(1− β2)2 + 4ξ2β2

= D (2.61)

mentre l’anomalia ψ coincide con il ritardo di fase φ, come si controlla confrontando le

cos(ψ) =1− β2

(1− β2)2 + 4ξ2β2sin(ψ) =

2βξ

(1− β2)2 + 4ξ2β2

con l’eq. (2.45).Se U è reale ed uguale ad u0, per l’eq. (2.57) e per quanto visto sopra si ha:

x(τ) = H(β, ξ)u0eiβτ = Du0e

i(βτ−φ) (2.62)

coincidente con la (2.56). Si è dunque determinata una soluzione complessa in conseguenzadi una legge complessa della forzante. Poiché realmente sia la forzante che la risposta sonograndezze reali, la soluzione (2.62) si deve intendere come la combinazione delle rispostead un’eccitazione cosinusoidale (parte reale) ed a quella sinusoidale (parte immaginaria).

2.3.3 Isolamento alla base

Si supponga che una macchina rotante eserciti una forza sinusoidale F0 sin(ωf t) su di unastruttura di fondazione di massa m, collegata al terreno mediante dei vincoli elastici dirigidezza k e viscosità c, come schematicamente illustrato nella figura 2.10; si è interessatialla determinazione della forza che il basamento trasmette al terreno.

Poiché questa struttura è stata modellata come un sistema ad un grado di libertà, larisposta in spostamento ad una forzante armonica è data dall’eq. (2.47); in particolare la la


Figura~2.10: Modellazione schematica del basamento di fondazione di una macchina

legge della parte stazionaria è espressa nell’eq.(2.54). La forza che il basamento trasmetteal terreno è evidentemente la somma delle forze assorbite dai vincoli, cioè la forza elasticak x(t) e la forza viscosa c x(t). Quindi, tenendo conto della (2.54), si ottiene facilmente:

FT (t) = k x(t) + c x(t) = Du0[k sin(βτ − φ) + cβω cos(βτ − φ)]

= DF0[sin(βτ − φ) + 2ξβ cos(βτ − φ)] (2.63)

in cui D è la funzione di amplificazione (2.48) e sono state utilizzate le uguaglianze (2.38)e (2.13).

L’eq. (2.63) mostra che la forza FT , in condizioni stazionarie, segue una legge armonicacon la pulsazione βω = ωf della forzante ed ampiezza:

|FT (t)| = F0Dq1+ 4ξ2β2

Quindi, sostituendo l’espressione di D fornita dall’eq. (2.48), si ottiene in forma esplicita ilrapporto |FT |/F0 tra la forza trasmessa al terreno e quella esercitata dalla macchina sullafondazione, chiamato la trasmissibilità del sistema:

TR =|FT (t)|F0

=

s1+ 4ξ2β2

(1− β2)2 + 4ξ2β2(2.64)

La trasmissibilità è rappresentata in fig. 2.11 in funzione di β e per diversi valori delcoefficiente di smorzamento. Da questa figura appare evidente che TR = 1 perβ → 0, cioè per azioni statiche, e cresce quando β approssima 1, con un’amplificazione chedipende dallo smorzamento. Superato 1 la trasmissibilità diminuisce e diviene inferioread 1 per β >

√2. L’attenuazione è maggiore per i sistemi poco smorzati, così come era

maggiore l’amplificazione per β ' 1.Dal grafico di fig. (2.11) appare evidente che se si vuole ridurre gli effetti trasmessi dal

macchinario al terreno (e quindi attraverso questo alle strutture circostanti) occorre cheTR ¿ 1, il che si ottiene mediante un sistema in cui β = ωf/ω À

√2, ciò che significa

che la fondazione deve avere una frequenza propria molto minore di quella della forzante.Dallo stesso grafico sembrerebbe essere conveniente ridurre al minimo lo smorzamento,perché in questo modo si riduce la trasmissibilità, ma non è prudente eccedere, perché i

2.4 Risposta ad un’azione periodica 24

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0ϒ=Ζ=∂ ∂

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

TR

↑ΖΜΚΜΝ

↑ΖΜΚΜΡ

↑ΖΜΚΝΜ

↑ΖΜΚΟΜ

↑ΖΜΚΘΜ

↑ΖΜΚΣΜ

_

Figura~2.11: Funzione di trasmissibilità di un sistema eccitato armonicamente

sistemi poco smorzati hanno l’inconveniente di attenuare lentamente gli effetti transitorie, nel caso si dovesse verificare un’azione di frequenza vicina a quella naturale del sistema,darebbero luogo a pericolose amplificazioni. Valori dello smorzamento prossimi al 10%rappresentano di solito un buon compromesso tra queste due esigenze.

2.4 Risposta ad un’azione periodica

Spesso le azioni trasmesse da macchinari alle strutture sono periodiche di periodo Tf , cioèsoddisfano la condizione:

F (t+ Tf ) = F (t) ∀tma non sono semplicemente armoniche, cioè non possono essere rappresentate in modosoddisfacente con una semplice funzione sinusoidale o cosinusoidale. Tuttavia è ben notoche le funzioni periodiche possono essere espresse mediante uno sviluppo in serie di funzioniarmoniche; questa serie è nota come serie di Fourier.

Da un punto di vista operativo è più comodo utilizzare la rappresentazione sotto formadi esponenziali complessi delle funzioni armoniche, perché così si ottengono risultati informa più compatta; si potrà poi fare uso di quanto visto nel § 2.3.2 per interpretare irisultati espressi in forma complessa.

Se F (t) è periodica di periodo Tf , si potrà allora porre:

F (t) = a0 +∞X

n=−∞n6=0

Aneiωnt (2.65)

in cui

ωn =2nπ

Tf(2.66)


è la pulsazione dell’n-esima armoninica in cui è decomposta la funzione F (t), mentre Anindica la corrispondente ampiezza complessa. Moltiplicando entrambi i membri dell’equa-zione (2.65) per exp(−iωjt) ed integrando il risultato su di un periodo, si ottiene:Z Tf

0F (t)e−iωjt dt = a0

Z Tf

0e−iωjt dt+

∞Xn=−∞n6=0

An

Z Tf

0ei(ωn−ωj)t dt =

½Tfa0 se j = 0TfAj se j 6= 0

(2.67)

da cui si deduce:

a0 =1

Tf

Z Tf

0F (t) dt

Aj =1

Tf

Z Tf

0F (t)e−iωjt dt

(2.68)

Negli sviluppi dell’eq. (2.67) si è tenuto conto che le funzioni eiωnt, per ωn 6= 0, sonoperiodiche e pertanto il loro integrale su di un intervallo multiplo del loro periodo è nullo.

Per l’eq. (2.65) la forza periodica F (t) è stata decomposta nella somma di una forzacostante a0 e di infinite forze variabili con legge armonica di ampiezza ||An|| e periodoωn = 2nπ/Tf . Per la linearità del sistema, la parte stazionaria della risposta sarà lasomma delle risposte dello stesso sistema a queste forzanti armoniche agenti singolarmente.Si potrà allora porre:

x(t) = b0 +∞X

n=−∞n6=0

Bneiωnt (2.69)

Sostituendo le equazioni (2.65), (2.69) e le sue derivate nell’equazione di equilibrio dinamico(2.35) si ha:

−∞X

n=−∞n6=0

ω2nBneiωnt + 2iωξ

∞Xn=−∞n6=0

ωnBneiωnt + ω2

b0 + ∞Xn=−∞n6=0

Bneiωnt

=

1

m

a0 + ∞Xn=−∞n6=0

Aneiωnt

(2.70)

da cui, uguagliando i termini costanti ed i coefficienti delle funzioni eiωnt, si ottengono leespressioni dei coefficienti dello sviluppo della risposta:

b0 =a0k

(2.71a)

Bn =An

m(ω2 − ω2n + 2iξωωn)=

An

k(1− β2n + 2iξβn)= H(βn, ξ)

Ank (2.71b)

in cui βn = ωn/ω ed H indica la funzione di trasferimento complessa, definita dal-l’eq. (2.59).


Infine, sostituendo le soluzioni (??) nell’eq. (2.69) si ricava l’espressione esplicita dellarisposta stazionaria del sistema alla forzante periodica F (t):

x(t) =1

k

a0 + ∞Xn=−∞n6=0

H(βn, ξ)Aneiωnt

(2.72)

Se F (t) è reale An e A−n formano coppie di numeri complessi coniugati; così i terminidello sviluppo (2.65) sono, per valori opposti di n, complessi coniugati e la somma dellecoppie

Aneiωnt +A−ne−iωnt = 2<{Aneiωnt}

è reale e la sommatoria bilaterale può essere sostituita dalla sommatoria monolaterale:

F (t) = a0 + 2∞Xn=1

<{Aneiωnt} (2.73)

Gli sviluppi in serie della forzante [eq. (2.65)] e della soluzione [eq. (2.72)] contengonoin teoria infiniti termini; tuttavia in pratica spesso sono sufficienti pochi termini dellosviluppo per approssimare in modo accettabile la legge della forzante; inoltre, ricordandoche il modulo della funzione di trasferimento è la funzione di amplificazione, illustratain fig. 2.5, appare evidente come, per i sistemi debolmente smorzati, saranno fortementeamplificate le componenti di frequenza prossima alla risonanza, mentre quelle di frequenzamolto maggiore verranno drasticamente ridotte; l’oscillatore funziona quindi come un filtroche lascia passare, eventualmente amplificando, le armoniche di frequenza inferiore (o pocomaggiore) di quella naturale, mentre in pratica elimina le armoniche di frequenza piùelevata. Pertanto, per il calcolo della risposta, negli sviluppi sarà sufficiente tener contosolo di un numero limitato di termini di frequenza superiore a quella di risonanza, datoche gli altri sarebbero comunque filtrati dal sistema.

Esempio 2.1 Si vuole determinare la risposta stazionaria di un oscillatore di frequenza naturaleω = 3.5 rad/sec ad una forzante ad “onda quadra” di periodo Tf = 2π sec ed ampiezza π.Un “onda quadra” è una funzione periodica che assume un valore costante per metà del periodo equindi lo stesso valore cambiato di segno per la restante metà. Si avrà quindi:

F (t) =

(π per 0 ≥ t < π

−π per π ≥ t < 2π

I coefficienti dello sviluppo di F (t) si calcolano utilizzando l’eq. (2.68). Per la (2.66), ricordandoche si è posto Tf = 2π, si ha:

ωn =2nπ

Tf= n

Ovviamente a0 = 0, mentre per i termini periodici risulta:

An =1

2π

µZ π

0

πe−int dt+Z 2π

π

−πe−int dt¶= i−1+ (−1)n

n

Sommando i primi termini dello sviluppo (2.73) per n < 10 si ottiene la funzione rappresentata infig. 2.12.

2.5 Risposta ad una forza impulsiva 27

Figura~2.12: Approssimazione della funzione “onda quadra” mediante somma dei primitermini (n < 10) dello sviluppo in serie di Fourier

I coefficienti dello sviluppo della risposta si ottengono moltiplicando i coefficienti An per la funzionedi trasferimento H(ωn/ω, ξ); sostituendo ad ω ed a ξ il loro valore si ha:

Bn =1

1− (n/3.5)2 + 2i · 0.05 · n/3.5An

Il modulo di 2An e 2Bn (per n < 10) è riportato nella fig 2.13; Sostituendo i valori di Bn cosìcalcolati nell’espressione (2.69) dello sviluppo, si ottiene la funzione di risposta, illustrata nellafig. 2.14. 2

2.5 Risposta ad una forza impulsiva

Si studia la risposta dell’oscillatore lineare all’azione di una forza di breve durata; il risul-tato ottenuto sarà usato per costruire la funzione di risposta ad un’azione espressa da unalegge arbitraria.

Indicando con f(t) la somma di tutte le forze agenti (attive e reattive), l’equazionedell’equilibrio dinamico (1.1), scritta in forma scalare, diviene:

md2x

dt2= f(t)

Quindi, tenendo conto che la massa m non dipende dal tempo, si può anche scrivere:

d

dt

µmdx

dt

¶= f(t)


1 3 5 7 9∂ n

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

An

, Bn

Ampiezza armoniche forzante A n

Ampiezza armoniche di risposta B n

Figura~2.13: Ampiezza del modulo dei coefficienti dello sviluppo della forzante e dellarisposta

Figura~2.14: Risposta stazionaria di un oscillatore di frequenza ω = 3.5 sec−1 esmorzamento 5% ad un’onda quadra di periodo 2π


Integrando entrambi i membri di questa equazione nell’intervallo [t, t+∆t], si ha:

mx(t+∆t)−mx(t) =Z t+∆t

tf(θ) dθ (2.74)

Il prodotto della massa per la velocità è la quantità di moto del sistema, l’integrale asecondo membro è detto l’impulso prodotto dalla forza f(t) nel tempo ∆t. L’eq. (2.74) di-mostra che la variazione della quantità di moto in un intervallo di tempo uguaglia l’impulsoprodotto dalla risultante di tutte le forze agenti nello stesso tempo.

Se ad un sistema in quiete, al tempo t = 0, viene applicata una forza di intensità F0costante per un tempo ∆t, la funzione di risposta del sistema x(t) può essere sviluppata inserie di Taylor nell’intorno di t = 0; tenendo conto che per ipotesi si ha x(0) = x(0) = 0,lo sviluppo diviene:

x(t) = O(t2) (2.75)

in cui O(tn) indica un infinitesimo dello stesso ordine di tn.Applicando l’equazione (2.74) all’oscillatore di massa m, rigidezza k e smorzamento c,

si ha, ponendo t = 0 e tenendo conto che il sistema è inizialmente in quiete:

mx(∆t) =

Z ∆t

0(F0 − cx(θ)− kx(θ)) dθ

Nel secondo membro di questa equazione, l’integrale di x fornisce lo spostamento x(∆t)che, per l’eq. (2.75) è infinitesimo di ordine ∆t2, mentre l’integrale della funzione x(t)risulterà di conseguenza infinitesimo di orine ∆t3. Qindi si potrà scrivere:

mx(∆t) = F0∆t+O(∆t2)

Da questa equazione, per ∆t→ 0, si ottiene, a meno di infinitesimi di ordine superiore alprimo, la velocità dell’oscillatore al tempo ∆t prodotta dall’impulso F0∆t:

x(∆t) =F0m∆t (2.76)

mentre lo spostamento, che si ottiene integrando la velocità, risulterà infinitesimo di ordinesuperiore ad uno.

Cessata la forza, per t > ∆t, il sistema è soggetto alle oscillazioni libere determinatedalle condizioni iniziali x0 = x(∆t) x0 = x(∆t) = 0; ricordando l’eq. (2.23) con x0 = 0 edil significato di δ e di y0 = x0/ω si ha:

x(τ) = e−ξτsin(

p1− ξ2τ)p1− ξ2

F0k∆τ (2.77)

che espressa nel tempo effettivo t = τ/ω, diviene:

x(t) =e−ωξt

m

sin(ωp1− ξ2t)

ωp1− ξ2

F0∆t (2.78)

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 30

2.6 Risposta ad un’azione non periodica

2.6.1 Integrale di Duhamel

Se ora si suppone che sul sistema agisca una forza variabile con legge di tipo arbitrarioF (t), questa si può pensare decomposta in infiniti impulsi di intensità F (t) e di duratainfinitesima dt. La risposta del sistema in quiete a ciascuno di questi impulsi si puòdeterminare applicando l’eq. (2.78), tenendo però conto che ora l’azione è applicata nonnell’origine ma al tempo generico θ, per cui la risposta al tempo t sarà:

dx(t) =e−ξω(t−θ)

m

sin[ωD(t− θ)]

ωDF (θ) dθ (2.79)

in cui si è fatto uso della posizione (2.28). Per la linearità del sistema, la funzione di rispostaall’intera storia della forza F (θ) nel tempo (t0, t) si ottiene sommando i contributi di tuttigli impulsi infinitesimi in cui è stata idealmente decomposta, al limite la sommatoria tendead un integrale e così per la (2.79) si ottiene:

x(t) =

Z t

t0

e−ξω(t−θ)

m

sin[ωD(t− θ)]

ωDF (θ) dθ (2.80)

Quest’ultima equazione può essere anche scritta in forma sintetica:

x(t) =

Z t

t0

h(t− θ)F (θ) dθ (2.81)

in cui

h(t) =e−ξωt

m

sin(ωDt)

ωD(2.82)

è la funzione di risposta ad impulso dell’oscillatore di massa m, frequenza angolare ω esmorzamento ξ.

Se nell’eq. (2.81) si esegue un cambiamento della variabile di integrazione, ponendot0 = t− θ, si ottiene l’espressione alternativa:

x(t) =

Z t−t0

0h(t0)F (t− t0) dt0 (2.83)

La variabile t0 rappresenta il tempo trascorso tra il momento di applicazione della forza equello di osservazione; è evidente che per valori negativi di t0 si ha h(t0) ≡ 0, altrimentil’effetto precederebbe l’azione. Quindi, con questa posizione, il limite inferiore dell’inte-grale (2.83) può essere esteso a −∞ senza modificare il risultato. Poi, portando l’originedei tempi all’infinito, cioè ponendo t0 = −∞, l’eq. (2.83) diviene2:

x(t) =

Z ∞

−∞h(t0)F (t− t0) dt0 (2.84)

per cui la risposta stazionaria si ottiene come prodotto di convoluzione tra la forza F (t) ela funzione di risposta ad impulso h(t).

2Questo non modifica il risultato, se per esempio si assume che F (t) ≡ 0 per t < t0


2.6.2 Integrazione diretta delle equazioni del moto

L’equazione (2.81) [o (2.84)] ha un’importanza più concettuale che pratica, poiché se,come spesso avviene, l’integrale non può essere svolto analiticamente, il procedimento dicalcolo della risposta basato sulla quadratura numerica dell’integrale (2.80) risulta deltutto inefficiente. Infatti esso fornisce la risposta ad un fissato istante di tempo t, edovrebbe pertanto essere ripetuto tante volte quanti sono i punti dell’asse dei tempi in cuisi vuole conoscere la risposta.

Molto più efficienti sono a questo scopo i procedimenti basati sull’integrazione diret-ta (numerica) delle equazioni del moto: questi procedimenti hanno inoltre il vantaggiodi non richiedere che la struttura abbia un comportamento lineare. Infatti, se la leggeforza- spostamento del nostro oscillatore fosse non-lineare, l’equazione del moto si potrebberiscrivere:

mx(t) + cx(t) + r(x, x) = F (t)

in cui il termine non lineare r(x, x) sostituisce il termine lineare kx. L’integrazione diquesta equazione non richiede in sostanza un impegno di calcolo superiore a quello del-l’analoga equazione lineare, se non per l’eventuale maggior onere necessario per il calcolodella funzione r(x) che sostituisce il semplice prodotto kx. Inoltre, mentre per la soluzionedel problema lineare sono disponibili diversi metodi alternativi, per quanto riguarda l’a-nalisi delle strutture non lineari l’integrazione diretta delle equazioni del moto è in praticala sola via perseguibile.

Vi sono diverse famiglie di algoritmi per la soluzione numerica delle equazioni differen-ziali; quelli utilizzati nell’analisi sismica delle strutture vengono normalmente classificatiin due tipi: algoritmi espliciti ed algoritmi impliciti. I primi, di più semplice applicazione,consentono di determinare il valore della funzione integranda (x, x) al passo k+1 diretta-mente in funzione delle stesse grandezze al passo precedente e dell’equazione di equilibrioscritta nel passo k; i secondi invece richiedono che l’equazione di bilancio sia soddisfattaanche nel passo k+ 1, ciò che, nei sistemi non lineari, richiede che si compiano delle itera-zioni. I metodi impliciti sono generalmente più accurati di quelli espliciti ed inoltre, peropportune scelte dei parametri, sono incondizionatamente stabili.

Un algoritmo si dice stabile se la soluzione che fornisce non diverge; la stabilità non im-plica accuratezza, poiché la soluzione numerica potrebbe differire di molto da quella esatta,pur restando limitata. La stabilità delle soluzioni numeriche dell’equazione dell’oscillatorepuò essere studiata in via generale solo nel caso lineare; da questo studio si deduce che lacondizione di stabilità è in genere soddisfatta solo se il passo di integrazione, cioè l’inter-vallo di tempo esistente tra due successivi istanti in cui viene calcolata la risposta dellastruttura, è minore di una frazione del periodo proprio della struttura; in questo caso lastabilità è condizionata alla scelta di un passo di integrazione sufficientemente piccolo epertanto l’algoritmo si classifica come condizionatamente stabile.

In alcuni casi, per gli algoritmi impliciti, la condizione di stabilità è soddisfatta qualun-que sia il valore del passo di integrazione: questi algoritmi si dicono incondizionatamentestabili. Naturalmente questo non autorizza ad adottare passi di grandezza arbitraria; se sidesidera che la soluzione sia accurata il passo deve essere sufficientemente piccolo. Tutta-via vi sono dei casi, nell’analisi di sistemi con molti gradi di libertà, in cui nelle equazionicompaiono dei termini irrilevanti, per i quali non è richiesta accuratezza, ma solo cherestino limitati, in modo da non alterare apprezzabilmente la soluzione; in questi casi lastabilità incondizionata dell’integratore diviene un requisito importante al fine di ottenere


soluzioni accurate. Questi aspetti saranno richiamati più avanti, dopo aver trattato dellestrutture con molti gradi di libertà.

Un esempio di algoritmo esplicito: il metodo delle differenze centrali

Un algoritmo esplicito molto semplice e largamente usato nell’analisi dinamica delle strut-ture è il metodo delle differenze centrali. Esso è basato sull’idea che, nelle equazionidinamiche, le derivate prime e seconde delle funzioni incognite siano sostituibili con ledifferenze finite centrali. Se l’asse dei tempi è diviso in intervalli di uguale ampiezza ∆t,indicando con il pedice k tutte le grandezze relative all’istante tk = k∆t, le differenze finiteal passo k-esimo sono date dalle relazioni:

xk =xk+1 − xk−1

2∆t

xk =xk+1 − 2xk + xk−1

∆t2

(2.85)

Sostutuendo queste espressioni nell’equazione dinamica dell’oscillatore relativa al tempotk, che in modo relativamente generale si potrà scrivere:

xk + 2ωξxk + r(xk) = f(tk) (2.86)

si ottiene un’equazione in cui compaiono le grandezze xk ed xx−1, che sono note, e l’unicaincognita xk+1, che può quindi facilmente essere calcolata. In modo analogo, conoscendoora il valore di x ai passi k + 1 e k, si può determinarne il valore al passo k + 2; il proce-dimento viene ripetuto per tutti i passi e consente di ottenere la soluzione, approssimata,dell’equazione differenziale (2.86).

Ad ogni passo la soluzione dipende dal valore della funzione nei due passi precedenti;nelle condizioni iniziali (al tempo t0) questo pone qualche problema perché in tal caso nonesiste un passo precente. Tuttavia all’istante iniziale devono essere noti il valore di x0, equello della sua derivata prima x0 e quindi, grazie all’equazione dinamica (2.86) scrittaper k = 0, anche l’accelerazione xk. Allora dalle equazioni (2.85) scritte per k = 0, si puòeliminare il termine x1 ed ottenere un’equazione in cui compaiono x0, x0, x0, che sononoti, e x−1. Risolvendo questa equazione rispetto alla sola incognita si ottiene:

x−1 = x0 − x0∆t+ x0∆t2

2

che, insieme ad x0, viene usato come valore di innesco del processo di integrazione.

Un procedimento implicito: il metodo di Newmark

La famiglia di metodi di integrazione ideata da Newmark, si basa sulla stima del valoredella funzione incognita e della sua derivata prima alla fine del passo, mediante l’integra-zione della funzione accelerazione, che viene approssimata con una legge arbitraria tra ivalori che assume agli estremi del passo; si pone quindi:

xk+1 = xk + [xk(1− α) + xk+1α]∆t

xk+1 = xk + xk∆t+ [xk(1− β) + xk+1β]∆t2

2

(2.87)

Il tipo di legge interpolante usato per l’accelerazione dipende dai valori assegnati aicoefficienti α e β, che possono variare tra 0 ed 1. Porre α = β = 1/2 è equivalente ad


un’accelerazione costante, uguale alla media dei valori iniziale e finale (metodo dell’acce-lerazione media); per α = 1/2 e β = 1/3 la legge di interpolazione tra i valori estremidell’intervallo è lineare.

Come si vede dall’eq. (2.87), i valori finali di x ed x al passo k + 1 dipendono dall’ac-celerazione di fine passo, la quale a sua volta dipende, tramite l’equazione (2.86), da xk+1ed xk+1. Pertanto la soluzione richiede generalmente delle iterazioni: fissato un valoredi prima approssimazione per xk+1 (p.es. uguale al valore del passo precedente) si deter-minano, mediante le eq. (2.87), xk+1 e xk+1. Sostituendo questi valori nell’eq. (2.87), sicalcola xk+1 e quindi xk+1 e xk+1; il procedimento viene iterato fin quando il risultato nonè stabile.

I metodi impliciti sono, come si è visto, più onerosi perché richiedono ad ogni passoalcune iterazioni, e quindi più calcoli; per contro sono in genere più accurati, e questo con-sente di impiegare un passo di integrazione più grande, il che significa un minor numerodi passi, riducendo così sensibilmente il loro svantaggio. Inoltre, per opportune scelte deiparametri α e β, il metodo di Newmark è incondizionatamente stabile, cioè la soluzioneresta limitata anche se il passo di integrazione è grande rispetto al periodo proprio dell’o-scillatore: come si vedrà più avanti, questa proprietà è molto utile per sistemi con moltigradi di libertà.

2.6.3 Stabilità, decadimento di ampiezza ed elongazione del periodo

Si esaminano più in dettaglio le proprietà di stabilità e di accuratezza del metodo delledifferenze centrali e del metodo di Newmark, come esempi di procedure esplicite ed im-plicite, rispettivamente. L’analisi verrà condotta con riferimento alle oscillazioni libere diun sistema non smorzato, la cui equazione del moto, utilizzando il tempo adimensionaleτ = ωt, è (2.6):

x(τ) + x(τ) = 0 (2.88)

Stabilità del metodo delle differenze centrali

Introducendo la velocità come variabile autonoma e tenendo conto della (2.88), le equazioni(2.85) possono essere riscritte, dopo aver eliminato xk−1, nel seguente modo:

xk+1 =

µ1+

∆τ2

2

¶xk +∆τ xk

xk+1 =

µ∆τ3

4−∆τ

¶xk +

µ1− ∆τ

2

¶xk

(2.89)

Queste equazioni si sintetizzano nella forma matriciale:

xk+1 = Axk (2.90)

in cui xk è il vettore di stato del sistema al tempo τk:

xk =

·xkxk

¸(2.91)

mentre la matrice di trasformazione A è formata con i coefficienti delle equazioni (2.89):

A =

"1− ∆τ2

2 ∆τ∆τ3

4 −∆τ 1− ∆τ2

2

#(2.92)


Indicando con x0 il vettore delle condizioni iniziali ed applicando ripetutamente la(2.90), si ha:

xk = A ·A · · ·A| {z }k volte

x0 = Akx0 (2.93)

La matrice A può essere diagonalizzata utilizzando la base dei suoi autovettori; indicandocon Ψ la matrice degli autovettori di A e con Λ la matrice diagonale degli autovalori, siha: Λ = Ψ−1AΨ; di conseguenza la matrice A si può decomporre nella forma normale:

A = ΨΛΨ−1 (2.94)

Sostituendo l’eq. (2.94) nella (2.93) si verifica facilmente che si ottiene:

xk = ΨΛkΨ−1 (2.95)

Poiché la matrice Λ è digonale, la sua k-esima potenza è la matrice (diagonale) i cuielementi sono gli stessi della matrice Λ elevati alla potenza k.

Dalla (2.95) appare evidente che il comportamento della soluzione è governato dagliautovalori della matrice A. Se gli autovalori fossero reali la soluzione crescerebbe o decre-scerebbe esponenzialmente, senza oscillare: quindi se si vuole che la soluzione sia oscillante,come è effettivamente quella esatta, gli autovalori λ1 e λ2 di A devono essere complessiconiugati e, affinché l’ampiezza delle oscillazioni non aumenti, cioè che la soluzione siastabile, il modulo dei due autovalori non deve risultare maggiore di 1.

Gli autovalori di una matrice si ottengono come radici dell’equazione caratteristica

det(A− λI) = 0

in cui I indica la matrice unità. Per una matrice 2 × 2, l’equazione caratteristica èsemplicemente:

λ2 − tr(A)λ+ det(A) = 0 (2.96)

in cui tr(A) indica la traccia della matriceA. Poiché l’eq. (2.96) è un’equazione di secondogrado, la condizione che le sue radici siano complesse implica che il discriminante sia minoredi zero, ossia che:

tr(A)2 − 4 det(A) < 0Per il metodo delle differenze centrali la matrice A è espressa dall’eq. (2.92); sostituitanella precedente si ottiene la condizione:

(2−∆τ2)2 − 4 < 0

che, con l’ovvia condizione ∆τ > 0, ha come soluzione:

0 < ∆τ < 2 (2.97)

Se le soluzioni dell’equazione (2.96) sono complesse coniugate allora si ha che |λ|2 =det(A); poichè è facile verificare che risulta

det(A) = 1 (2.98)


ne segue che se è soddisfatta l’eq. (2.97) gli autovalori di A sono complessi, dunque lasoluzione è oscillante, ed inoltre, poiché in tal caso |λ| = 1, è anche stabile.

Se le soluzioni sono reali allora risulta:

|λ|2max =Ã1− ∆τ

2

2+

r∆τ2 − ∆τ

4

4

!2La condizione |λ| ≤ 1 implica ∆τ ≤ 2: pertanto si può concludere che il metodo delle diffe-renze centrali è stabile se ∆τ ≤ 2 e fornisce anche una soluzione oscillante se èsoddisfattala più restrittiva eq. (2.97), che nel tempo naturale t = τ/ω = τT/2π significa:

∆t

T<1

π(2.99)

Come si è notato in precedenza la condizione di stabilità non implica l’accuratezza dellasoluzione; essa è condizione necessaria, ma non sufficiente, perché la soluzione numericadell’equazione differenziale approssimi quella esatta. Per giudicare circa l’accuratezza delmetodo si esaminano altri due aspetti della soluzione: il decadimento dell’ampiezza e loscorrimento del periodo.

Gli autovalori di A, supponendo che le condizioni di stabilità siano verificate, sonocomplessi coniugati e quindi si possono porre nella forma:

λ1 = |λ|eiφ λ2 = |λ|e−iφ

in cui |λ| = det(A)1/2 è il modulo e φ l’argomento degli autovalori. Al k-esimo passo diintegrazione gli autovalori risultano elevati alla k-esima potenza, per cui si ha:

λkj = |λ|ke±ikφ (j = 1, 2) (2.100)

Se |λ| fosse maggiore di uno il modulo degli autovalori di Ak crescerebbe indefinitamentecon k, per cui il procedimento sarebbe instabile; viceversa se |λ| < 1 il modulo degliautovalori decresce e tende a zero per k → ∞: la soluzione in questo caso è stabile masi manifesta un decadimento dell’ampiezza delle oscillazioni, analogo a quello prodotto daun termine viscoso, che però nell’equazione (2.88) che stiamo integrando non è presente.Poiché la soluzione delle equazioni (2.88) è una combinazione di funzioni armoniche diperiodo 2π, prendendo come passo di integrazione una frazione di questo periodo: ∆τ =2π/n, il decadimento di ampiezza in un periodo risulta:

|λ|n = |λ|2π/∆τ (2.101)

Dopo k iterazioni, tali che:kφ = 2π

si ha xk/|λ|k = x0. Se ∆τ è il passo di integrazione, il periodo della soluzione numericarisulta pertanto

Π∗ = k∆τ = ∆τ2π

φ

Lo scarto dal valore esatto Π = 2π è dunque:

Π∗ −Π = 2πµ∆τ

φ− 1¶


e lo scarto percentuale è dato da:

Sp =T ∗ − TT

=Π∗ −ΠΠ

=∆τ

φ− 1 (2.102)

Nel metodo delle differenze centrali, se è soddisfatta la condizione (2.99), si ha

|λ| = det(A)1/2 = 1per cui non si verifica decadimento di ampiezza. Inoltre risulta

cos(φ) =tr(A)

2 det(A)1/2= 1− ∆τ

2

2

che sostituita nella (2.102) da luogo a:

Sp =∆τ

arccos(1−∆τ2/2) − 1

Sviluppando in serie questa funzione si ottiene la relazione approssimata:

Sp = −∆τ2

24− 17

5760∆τ4 +O(∆τ6) (2.103)

che, espressa in termini del tempo effettivo t, diviene:

Sp = −π2

6

µ∆t

T

¶2− π4

360

µ∆t

T

¶4+O

"µ∆t

T

¶6#(2.104)

Si può quindi concludere che al crescere del rapporto ∆t/T il periodo della soluzionenumerica ottenuta con il metodo delle differenze centrali si discosta, risultando più piccolo,da quello esatto.

Metodo di Newmark

Quando il sistema è elastico lineare, l’equazione (2.88) può essere usata per esprimere xk+1in funzione di xk+1 e xk+1; questo permette di eliminare l’accelerazione di fine passo dalleequazioni (2.87), che così divengono esplicite, e si possono porre ancora nella forma (2.90),in cui la matrice A è:

A =

2 + (β − 1)∆τ22 + β∆τ2

2∆τ

2 + β∆τ2

(α− β)∆τ3 − 2∆τ2 + β∆τ2

2 + (β − 2α)∆τ22 + β∆τ2

(2.105)

Esplicitamente, la condizione che gli autovalori siano complessi, e quindi la soluzioneoscillante, si esprime ora:

tr(A)2 − 4 det(A) = ∆τ2∆τ2(1− 8β + 4α+ 4α2)− 16

(2 + β∆τ2)2< 0

da cui segue:

∆τ <4p

1+ 4(α2 + α− 2β) (2.106)


ovvero, nel tempo naturale t,

∆t

T<

2

πp1+ 4(α2 + α− 2β)

Se gli autovalori sono complessi si ha |λ|2 = λ1λ2 = det(A); quindi la soluzione è stabilese:

det(A) =2 + (1+ β − 2α)∆τ2

2 + β∆τ2≤ 1

Questa relazione è soddisfatta per qualunque valore di ∆τ che soddisfi la condizione(2.106), se risulta:

α ≥ 12

(2.107)

Se l’eq. (2.106) non è soddisfatta gli autovalori sono reali; in questo caso il modulodell’autovalore maggiore è dato dalla relazione:

|λmax|2 =tr(A)

2+

str(A)2

4− det(A)

la condizione di stabilità, cioè che λmax ≤ 1, è soddisfatta se:

∆τ ≤√2√

α− β(2.108)

Si deve peraltro osservare che la condizione (2.107) deve comunque essere verificata, sesi vuole che la soluzione resti stabile anche quando il passo di integrazione è abbastanzapiccolo da soddisfare l’eq. (2.106).

Se α = β ed α ≥ 0 l’equazione (2.108) è soddisfatta per qualsiasi valore di∆τ ; in questocaso l’integratore si indica come incondizionatamente stabile; tuttavia la soluzione risultaoscillante solo se il passo di integrazione è abbastanza piccolo da soddisfare l’eq. (2.106),che per α = β ora si scrive:

∆τ <4

|1− 2α|Un altro modo per avere condizioni di stabilità incondizionata, sempre ammesso che si

abbia α ≥ 1/2, consiste nel rendere infinito il secondo membro dell’eq. (2.106): in tal modola soluzione risulta sempre oscillante (perché è verificata l’eq. (2.106)) e stabile, perché èimposta la condizione (2.107). Annullando il denominatore del termine a secondo membrodell’eq. (2.106) si ottiene:

1+ 4(α2 + α− 2β) = 0che è verificata se si pone;

β =(1+ 2α)2

8(2.109)

Poiché la condizione di stabilità richiede che si abbia α > 1/2, è conveniente porre

α =1

2+ ² (² ≥ 0)


Sostituendo questa posizione nell’eq. (2.109) si ottiene la condizione per β:

β =(1+ ²)2

2

Per ogni scelta di ² tale che 0 ≤ ² ≤ √2 − 1 si ottiene un procedimento che risulta in-condizionatamente stabile. Si osservi che per ² = 0 si ha α = β = 1/2: questo dimostrache il metodo dell’accelerazione media è incondizionatamente stabile. Al contrario il me-todo dell’accelerazione lineare (α = 1/2β = 1/3) non è incondizionatamente stabile; lacondizione di stabilità dell’equazione (2.108) diviene per questo caso:

∆τ ≤ 2√3

Gli algoritmi di Newmark incondizionatamente stabili sono generalmente dissipativi,in quanto risulta che |λ| < 1. Infatti, ponendo α = β = 1/2 + ² il modulo degli autovaloricomplessi risulta:

|λ|2 = det(A) = 4 + (1− 2²)∆τ24 + (1+ 2²)∆τ2

Ponendo invece α = 1/2+ ², β = (1+ ²)2/2, altra combinazione che rende il procedimentoincondizionatamente stabile, si ha:

|λ|2 = det(A) = 4 + (1− ²)2∆τ24 + (1+ ²)2∆τ2

Quindi risulta evidente che |λ| < 1, con l’eccezione del caso ² = 0. Il metodo dell’accele-razione media è il solo, tra gli algoritmi di Newmark, che sia incondizionatamente stabilee non presenti decadimento di ampiezza.

Per ² > 0 si manifesta un decadimento di ampiezza; dalle due combinazioni per cui ilmetodo risulta incondizionatamente stabile si ottengono risultati molto simili; nel seguitosi fa riferimento alla scelta che rende la soluzione stabile ed oscillante. Sostituendo allorala precedente espressione di |λ| nell’eq. (2.101) si ottiene che la riduzione di ampiezza inun periodo è:

DA =

·4 + (1− ²)2∆τ24 + (1+ ²)2∆τ2

¸π/∆τ

I primi termini dello sviluppo in serie di questa espressione sono:

DA = 1− π ²∆τ +1

2π2²2∆τ2 +O(∆τ3)

Il logaritmo dell’inverso di DA è il decremento logaritmico delle oscillazioni libere; aquesto decremento corrisponde uno smorzamento percentuale che si calcola con l’eq. (2.31).Sviluppando in serie di Taylor l’espressione che ne risulta si ha:

ξ∗ =1

2²∆τ − 2²+ 3²

3

16∆τ3 +O(∆τ4)

Questo smorzamento non compare esplicitamente nelle equazioni del moto ma è equiva-lente, nel senso che produce gli stessi effetti dell’algoritmo numerico; per questo motivo èchiamato smorzamento numerico dell’algoritmo. Se ∆τ è sensibilmente inferiore ad uno,in modo che siano trascurabili gli infinitesimi superiori, lo smorzamento numerico è circa


²∆τ/2. Quindi, se si vuole ridurre il decadimento di ampiezza, occorre assumere valoripiccoli di ² ed usare un piccolo passo di integrazione.

Per determinare l’entità dello scorrimento del periodo si determina il coseno dell’argo-mento degli autovalori di A:

cos(φ) =tr(A)

2 det(A)1/2

Quindi lo scorrimento di periodo si calcola con l’eq. (2.104). Per gli algoritmi incondizio-natamente stabili ed oscillanti, ponendo α = 1/2+², β = (1+²)2/2, e sviluppando in seriedi ∆τ , si ha:

Sp =1+ 3²2

12∆τ2 +O(∆τ4)

Per il metodo dell’accelerazione media si ha in particolare:

Sp =∆τ2

12− ∆τ

4

180+O(∆τ6)

mentre il metodo dell’accelerazione lineare (che non è incondizionatamente stabile) haun’elogazione del periodo:

Sp =∆τ2

24− 17

5760∆τ4 +O(∆τ6)

Per ∆τ → 0 il metodo dell’accelerazione lineare produce lo stesso scarto di periodo delmetodo delle differenze centrali (ma con segno opposto); al crescere di∆τ però la situazionediviene più favorevole per il metodo di Newmark, come dimostra, nello sviluppo in seriedella funzione Sp, la differenza di segno tra il termine quadratico e quello di quarto grado.

Capitolo 3

Sistemi discreti con più di ungrado di libertà

3.1 Introduzione

Gli oggetti reali, da un punto di vista macroscopico, sono continui e quindi caratterizzatida infiniti gradi di libertà. Tuttavia, come insegna la teoria delle strutture, i mezzi continuipossono essere discretizzati, per esempio mediante la tecnica degli elementi finiti (e.f.), ele equazioni differenziali che ne descrivono il comportamento ridotte a sistemi di equazionialgebriche, la cui soluzione approssima quella esatta tanto meglio quanto più fitta è statala discretizzazione impiegata.

Analoghe considerazioni si applicano al problema dinamico, spesso in modo ancorapiù marcato, come avviene ad esempio quando la maggior parte della massa è associata apochi gradi di libertà: in tal caso i gradi di libertà a cui è associata una massa trscurabilepossono essere “condensati” e non compaiono più come incognite esplicite nelle equazionidel moto.

Per esempio, prendendo in esame un telaio multipiano a maglie rettangolari, comequello illustrato nella fig. , se si trascura la deformabilità assiale delle travi e si ritiene chele masse associate ai gradi di libertà di rotazione dei nodi siano piccole in confronto conquelle relative alle traslazioni, tutte le masse si possono considerare concentrate a livellodei piani. Non essendovi masse (e quindi forze) associate agli altri gradi di libertà, lamatrice di rigidezza della struttura può essere condensata, ponendo in relazione solo leforze applicate ai piani e gli spostamenti corrispondenti.1

Con la notazione delle matrici, l’equazione di equilibrio della struttura si scrive:

Ku = f (3.1)

in cui K indica la matrice delle rigidezze, u è il vettore degli spostamenti dei piani ed fè il vettore delle forze applicate ai piani. Se le sole forze applicate sono quelle d’inerzia,

1La matrice condensata si può ottenere direttamente, p.es. mediante un programma ad e.f. standard,imponendo uno spostamento unitario ai nodi di un piano e spostamenti nulli agli altri: le reazioni che siottengono formano una colonna della matrice di rigidezza condensata; variando a turno il piano a cui èimposto lo spostamento si determinano tutte le colonne.

40

3.2 La matrice delle masse 41

poiché le masse sono per ipotesi concentrate nei piani, si avrà:

f = −

m1u1m2u2· · ·mnun

=Mudove m1, . . . ,mn sono le masse dei piani e M è la matrice diagonale:

M =

m1 0 · · · 00 m2 · · · 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 · · · mn

(3.2)

detta matrice delle masse. Sostituendo le forze di inerzia ad f nell’eq. (3.1) si ottiene ilsistema di equazioni della dianamica di un sistema con masse concentrate e non forzato:

Mu(t) +Ku(t) = 0 (3.3)

L’equazione (3.3) è formalmente simile alla (2.1) relativa ad un sistema con un sologrado di libertà, ma le quantità scalari m e k sono sostituite dalle corrispondenti matriciM e K. L’equazione (3.3) si riferisce al moto libero e non smorzato di un sistema conmolti gradi di libertà: il caso più generale del moto forzato di un sistema dissipativo siottiene con ovvie generalizzazioni: la presenza di azioni esterne comporta l’aggiunta diun termine f(t), rappresentativo delle azioni esterne note, mentre gli effetti della viscositàlineare vengono messi in conto introducendo un termine Cu(t), prodotto di una matriceviscosa C per il vettore delle velocità. Sulla effettiva struttura della matrice C si tornerànel seguito, per ora si osservi che, con l’introduzione delle forze esterne e degli effetti viscosi,l’equazione dinamica di un sistema discreto con più di un grado di libertà si sintetizza nellaformula:

Mu(t) +Cu(t) +Ku(t) = f(t) (3.4)

che corrisponde alla eq. (2.35), relativa ad un sistema ad un g.d.l.

3.2 La matrice delle masse

Per i sistemi discreti la matrice delle masse è una matrice diagonale i cui elementi non nullisono le masse concentrate, associate ai rispettivi gradi di libertà. Spesso questo modellorappresenta un’approssimazione accettabile anche per i sistemi continui discretizzati, comesi è detto a proposito dell’esempio descritto nel precedente paragrafo. In questo caso itermini diagonali della matrice delle masse sono formati con i valori risultanti delle massedistribuite, associate a ciascun nodo secondo qualche criterio di “zona di influenza”.

Questo procedimento però non è sempre accettabile, né si può sempre trascurare ilfatto che una massa distribuita è associata a più di un grado di libertà, per cui la matricedelle masse non è diagonale. Per affrontare in modo razionale la costruzione della matricedelle masse di un sistema continuo discretizzato, si riassumono sinteticamente i passi concui si perviene a formulare le equazioni di equilibrio, utilizzando la tecnica degli elementifiniti.


Indicando con u(x, t) il campo degli spostamenti in un mezzo continuo, questo sidiscretizza ponendo:

u(x, t) = N(x)u0(t) (3.5)

In cui N(x) indica una matrice di funzioni interpolanti e u0(t) è un vettore di parame-tri, che nel metodo degli elementi finiti si interpretano come gli spostamenti dei nodidell’elemento.

Dal campo degli spostamenti si deriva quello delle deformazioni, mediante l’applicazio-ne di un operatore differenziale D che, nella teoria linearizzata, valida per piccole defor-mazioni, è lineare. Quindi applicando l’operatore D ad u, posto nella forma discretizzatadell’eq. (3.5), si ottiene:

²(x, t) = D[u(x, t)] = D[N(x)]u0(t) = B(x)u0(t) (3.6)

in cuiB(x) = D[N(x)]

è la matrice che trasforma il campo degli spostamenti nodali u0 nel campo delle deforma-zioni ².

In un mezzo elastico lineare la relazione tra il campo delle deformazioni ² e quello delletensioni σ è lineare, per cui si ha σ = E², dove E è la matrice elastica del materiale.Utilizzando l’espressione (3.6) per ², si ha quindi:

σ(x, t) = EB(x)u0(t) (3.7)

Utilizzando le equazioni dell’equilibrio nella forma del principio dei lavori virtuali, in-dicando con g il vettore delle forze di massa, con δu il campo, arbitrario, degli spostamentivirtuali e con δ² il corrispondente campo delle deformazioni, ed indicando con V il volumedell’elemento, si ha: Z

Vδε(x, t)Tσ(x,t) dx =

ZVδu(x, t)Tg(x, t) dx (3.8)

Nella formulazione di Galerkin il campo di spostamenti arbitrario viene espresso me-diante le stesse funzioni interpolanti usate per descrivere il campo degli spostamenti reali;si pone dunque δu = Nδu0. Sostituendo nella (3.8) questa espressione degli spostamentivirtuali e quella analoga delle deformazioni, che si ottiene dalla (3.6) ponendo δu0 in luogodi u0, nonché l’espressione (3.7) del campo delle tensioni, si ottiene:

δuT0

·µZVBT (x)EB(x) dx

¶u0(t)−

ZVNT (x)g(x, t) dx

¸= 0 (3.9)

che, per l’arbitrarietà del campo degli spostamenti δu0, implica sia verificata l’equazione:

Ku0(t) = f(t)

dove la matrice di rigidezza, come si desume dall’eq. (3.9), è:

K =

ZVBT (x)EB(x) dx


mentre il vettore delle forze generalizzate risulta:

f(t) =

ZVNT (x)g(x, t) dx (3.10)

Nei problemi dinamici, tra le forze di massa g deve essere considerata la forza d’inerzia−ρu (ρ indica la densità di massa del materiale); il contributo alla forza generalizzatadovuto alla forza di inerzia si calcola quindi facilmente, sostituendo, nell’eq. (3.10), a g iltermine inerziale −ρu; utilizzando per u l’espressione (3.5) si ha pertanto:

fi(t) = −µZ

VρNT (x)N(x) dx

¶u0(t) = −Mu0(t) (3.11)

in cui

M =

ZVρNT (x)N(x) dx (3.12)

è la matrice “coerente” delle masse del sistema discretizzato. Nel caso di elementi fini-ti l’equazione (3.12) fornisce la matrice delle masse dell’elemento: la matrice dell’interastruttura si ottiene poi assemblando le matrici elementari con le solite regole, valide ancheper l’assemblaggio della matrice di rigidezza.

Aggiungendo il termine con le forze d’inerzia all’equazione di equilibrio si ottiene quindiancora l’equazione (3.4) (a meno del termine viscoso Cu) ma ora la matrice delle massenon è più diagonale: essa non è stata ottenuta per semplice “aggregazione” nel nodo dellamassa circostante, ma con un procedimento coerente (da qui la denominazione) con glialtri procedimenti di discretizzazione.

Esempio 3.1 Si vuole costruire la matrice delle masse di una trave vincolata nel piano x, y, condensità di massa per unità di lunghezza ρl, uniforme.Nel riferimento proprio della trave, l’asse x coincidente con quello della trave, l’asse y ortogonale,sesi indica con u(x) = [u(x) v(x)]T il vettore degli spostamenti e con u0 = [u1 v1 φ1 u2 v2 φ2]

T

il vettore dei parametri nodali, cioè le componenti dello spostamento e la rotazione di ciascunaestremità della trave, la matrice delle funzioni interpolanti è:

N(x) =

"1− x

l 0 0 xl 0 0

0 −3 x2l2 + 1+ 2 x3

l3x3

l2 + x− 2 x2

l 0 −2 x3l3 + 3 x2

l2x3

l2 − x2

l

#

Per determinare la matrice delle masse si sostituisce l’esprerssione di N(x) data dall’equazioneprecedente nella (3.12); svolgendo i prodotti e quindi integrando tutti i termini della matricequadrata NT (x)N(x) per x variabile tra 0 ed l, tenendo conto che, per ipotesi, ρl non dipende dax, si ha:

M =

Z l

0

ρNT (x)N(x) dx = ρl

13 l 0 0 1

6 l 0 0

0 1335 l

11210 l

2 0 970 l − 13

420 l2

0 11210 l

2 1105 l

3 0 13420 l

2 − 1140 l

3

16 l 0 0 1

3 l 0 0

0 970 l

13420 l

2 0 1335 l − 11

210 l2

0 − 13420 l

2 − 1140 l

3 0 − 11210 l

2 1105 l

3

2


3.3 Oscillazioni libere non smorzate

L’equazione (3.3) è, come si è detto, l’equivalente dell’eq. (2.1) generalizzata ai sistemicon più di un grado di libertà, rappresenta cioè l’equazione del moto di un sistema nonsoggetto ad azioni esterne ed in assenza di effetti viscosi; come per il caso ad un g.d.l. siaffronterà prima la soluzione di questo problema, per poi generalizzarla ai sistemi forzatie smorzati.

Per determinare la soluzione dell’eq. (3.3), che qui si riscrive:

Mu(t) +Ku(t) = 0

si pone:

u(t) = φz(t) (3.13)

Si assume quindi che la soluzione dell’eq. (3.3) si possa esprimere come il prodotto di unvettore costante φ per una funzione scalare del tempo z(t); quindi si cerca, se esiste, unasoluzione dell’eq. (3.3) che si possa porre in tale forma.

Sostituendo l’eq. (3.13) nella (3.3) e moltiplicando tutti i termini a sinistra per φT , siottiene:

φTMφ z(t) + φTKφ z(t) = 0

quindi, tenendo conto che i prodotti φTMφ e φTKφ sono scalari, dall’equazione prece-dente si trae:

z(t)

z(t)= −φ

TKφ

φTMφ= −ω2 (3.14)

cioè il rapporto tra la derivata seconda di z(t) e la funzione stessa deve uguagliare unacostante negativa. Il segno di questa costante consegue dal fatto che le quantità φTMφ eφTKφ sono sempre positive. Questo si giustifica osservando che, se si interpreta il vettoreφ come un vettore di spostamenti impressi alla struttura, la quantità φTKφ è, a menodel fattore 1

2 , l’energia elastica della struttura, che è, come noto, sempre positiva. Analo-gamente se φ si interpreta come il vettore delle velocità impresse ai nodi della struttura,φTMφ è il doppio dell’energia cinetica del sistema, grandezza anch’essa positiva.2

Dall’eq. (3.14) segue che z(t) deve essere soluzione dell’equazione differenziale:

z(t) + ω2z(t) = 0 (3.15)

che coincide con l’eq. (2.3), dell’oscillatore ad un g.d.l. libero e non smorzato, la cuisoluzione si può porre nella forma:

z(t) = A sin(ωt+ φ) (3.16)

in cui A e φ sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto.Sostituendo l’espressione di z(t) (3.16) nell’eq. (3.13) e quindi questa di nuovo nella

(3.3), si ricava facilmente: ¡−Mφω2 +Kφ¢A sin(ωt+ φ) = 0 (3.17)

2Quindi le matrici M e K sono definite positive


Perché questa equazione sia soddisfatta per ogni valore di t deve risultare identicamentenulla la quantità (−Mφω2+Kφ). Sostituendo ω2 con λ, questo implica che si deve avere:

Kφ = λMφ (3.18)

Questa equazione è identica a quella (A.49) studiata nell’appendice A: λ e φ devonoquindi essere l’autovalore ed il corrispondente autovettore, in forma generalizzata, dellematrici K e M. Come è stato mostrato nei §§??, ??, ?? ed ??, poiché le matrici K eM sono simmetriche ed il loro determinante non è nullo (come segue dal fatto che sonodefinite positive), se n è l’ordine delle matrici, se ciè il sistema ha n g.d.l., l’equazione(3.18) ha n soluzioni distinte φ1, . . . ,φn, a ciascuna delle quali è associato un autovaloreλk (k = 1, . . . , n) i cui valori non sono necessariamente sempre distinti. Sempre per lasimmetria di M e K si ha che gli autovalori λk e gli autovettori φk sono reali ed inoltrei vettori φk sono linearmente indipendenti, pertanto formano una base per lo spazio Rn:questo significa che ogni vettore x può essere ottenuto come una combinazione lineare deivettori φk.

Un’ulteriore proprietà che deriva dalla simmetria di M e K è che, per j 6= k si ha:φTjMφk = φTj Kφk = 0 j 6= k (3.19)

Quindi, se si indica con Φ la matrice n× n costruita con gli autovettori φk, risulta che lematrici:

ΦTKΦ ΦTMΦ

sono diagonali ed inoltre:

(ΦTMΦ)−1(ΦTKΦ) = Φ−1¡M−1K

¢Φ = Λ (3.20)

in cui Λ indica la matrice diagonale costruita con gli autovalori λk di K eM.Da queste osservazioni segue che l’equazione (3.3) ha n soluzioni del tipo (3.13), una per

ogni autovettore di M e K: φkzk(t), in cui zk(t) è a sua volta la soluzione dell’equazionedell’oscillatore semplice di frequenza ωk =

√λk, dove λk è il corrispondente autovalore.

Dunque la più generale delle soluzioni dell’eq. (3.3) si potrà esprimere come combinazionelineare delle precedenti, ossia:

u(t) =nXk=1

φkzk(t) (3.21)

dove zk(t) è la soluzione della k-esima tra le n equazioni:

zk(t) + ω2kzk(t) = 0 k = 1, . . . , n (3.22)

che, come è noto dallo studio dei sistemi ad un g.d.l., è:

zk(t) = Ak sin(ωkt+ φk) ω2k = λk (3.23)

In conclusione si può affermare che il moto libero di un sistema non smorzato ad ng.d.l., governato dal sistema di equazioni (3.3), si può ottenere sovrapponendo n oscillazioniarmoniche di frequenza ω1, . . . ,ωn; ad ogni frequenza è associata una “forma” del motodi oscillazione (detta modo) e definita dall’autovettore φk, corrispondente all’autovaloreω2k. Il moto libero di un sistema si decompone quindi in n modi, ciascuno oscillante condiversa frequenza (la frequenza del modo). Poiché ciascuna delle componenti modali delmoto zk(t) è definita a meno di due costanti (l’ampiezza Ak e la fase φk), l’intero motoè definito a meno di 2n parametri, che si possono determinare imponendo le condizioniiniziali della posizione u(0) e della velocità u(0) del sistema.


3.3.1 Esempi

Come primo esempio si studiano le oscillazioni libere del doppio pendolo introdotto nel§1.2.5, utilizzando le equazioni linearizzate (1.23).

Esempio 3.2 Oscillazioni libere del bipendolo Le equazioni del bipendolo sono state ot-tenute nel nel §1.2.5, applicando le equazioni di Lagrange; in forma linearizzata, valida per piccoleoscillazioni, queste sono espresse dalle (1.23). Queste equazioni possono formularsi, con la notazio-ne delle matrici, nella formaMθ +Kθ = 0, in cui θ indica il vettore delle coordinate lagrangianee le matrici delle masse e delle rigidezze sono:

M =

·(m1 +m2) l

21 m2l1l2

m2l1l2 m2l22

¸K =

·g (m1 +m2) l1 0

0 gm2l2

¸Gli autovalori della matrice:

K−1M =

"1g l1

1g(m1+m2)

m2l21g l1

1g l2

#

la cui equazione caratteristica è:

g2m1 + g2m2

g2 (m1 +m2)λ2 +

−l1gm1 − l1gm2 − gl2m1 − gm2l2g2 (m1 +m2)

λ+ l1l2m1

g2 (m1 +m2)= 0

sono proporzionali (a meno di 2π) al quadrato dei periodi di oscillazione del sistema. Tali autovalorisi ottengono come radici dell’equazione precedente, e sono:

λ1 =1

2g

(l1 + l2)(m1 +m2) +

r(m1 +m2)

³m2 (l1 + l2)

2+m1 (l1 − l2)2

´m1 +m2

λ2 =1

2g

(l1 + l2)(m1 +m2)−r(m1 +m2)

³m2 (l1 + l2)

2 +m1 (l1 − l2)2´

m1 +m2

Introducendo le quantità adimensionali µ = m2/(m1 +m2) e η = l2/(l1 + l2), le espressioni deidue autovalori si semplificano; a meno del fattore 2π

p(l1 + l2)/g, che è il periodo di un pendolo

semplice di lunghezza l1 + l2, i periodi di oscillazione del bipendolo dependono soltanto da questirapporti:

T1 = 2π

s(l1 + l2)

g

r1

2

h1+

pµ+ (1− µ)(1− 2η)2

iT2 = 2π

s(l1 + l2)

g

r1

2

h1−

pµ+ (1− µ)(1− 2η)2

iI corrispondenti autovettori, normalizzati assumendo θ2 = 1, sono indicati dalle espressioni seguen-ti: "

12

1−2η+√µ+(1−µ)(1−2η)21−η1

# "12

1−2η−√µ+(1−µ)(1−2η)21−η1

#Nella figura 3.1 sono riportati gli andamenti dei periodi di vibrazione (adimensionalizzate medianteil fattore 2π

p(l1 + l2)/g) dei due modi, in funzione del rapporto µ tra la massam2 e quella totale e

per due casi del rapporto η tra la lunghezza l2 del secondo pendolo e quella totale. In linea continuaè rappresentato il caso η = 0.5, con linea punteggiata è rappresentato il caso η = 0.25, che peraltrocoincide con quello relativo a η = 0.75. Nella successiva figura 3.2 è riportata, in funzione degli


10.80.60.40.20

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figura~3.1: Periodi di vibrazione del bipendolo (normalizzati con il fattore πp(l1 + l2)/g)

in funzione del rapporto µ = m2/(m1 +m2); tratto continuo: η = 0.5; linea tratteggiata:η = 0.25 e η = 0.75. Le linee superiori si riferiscono al primo modo, quelle inferiori alsecondo.

stessi parametri, l’ampiezza della componente θ1 del vettore delle coordinate, rapportata a θ2,posta uguale ad 1. Dalla fig. 3.1 si osservi come il periodo del primo modo aumenta al cresceredella seconda massa in rapporto a quella totale, mentre il periodo del secondo diminuisce. Perµ = 1 (tutta la massa concentrata nel secondo pendololo) il periodo di oscillazione del primo modocoincide con quello del pendolo semplice di lunghezza l1 + l2; inoltre, dalla fig. 3.2 risulta cheθ2 = θ1 = 1, ossia il pendolo oscilla rigidamente, ignorando la cerniera intermedia. Al diminuiredella massa m2 il periodo del primo modo decresce; se la cerniera è al centro (l1 = l2) i periodi deidue modi tendono a coincidere mentre θ1 → 0: l’ampiezza delle oscillazioni del pendolo superiore,dotato di maggiore massa, si riduce e tende ad annullarsi (raffrontata a quella del pendolo di massaminore) quando tutta la massa è nel nodo superiore.Si determina ora la storia delle ampiezze delle coordinate angolari θ1 e θ2 per un doppio pendolocon masse uguali (µ = 0.5) e per tre valori del rapporto η = l2/(l1 + l2), assumendo le condizioniθ1 = θ2 = 1 e θ1 = θ2 = 0. Indicando con φi (i = 1, 2) gli autovettori si ottengono le equazioni:

φ1 [a1 cos (0) + b1 sin (0)] + φ2 [a2 cos (0) + b2 sin (0)] =

·11

¸2π

T1φ1 [−a1 sin(0) + b1 cos(0)] +

2π

T2φ2 [−a2 sin(0) + b2 cos(0)] =

·00

¸Per cui dalla seconda equazione segue che b1 = b2 = 0 mentre la prima si semplifica nella:

φ1a1 + φ2a2 =

·11

¸Per µ = 0.5 ed η = 0.5 si ottiene:

φ1 =

·. 86041.0

¸φ2 =

· −. 193721.0

¸T1 = . 9462 T2 = 0. 3236


-3

-2

-1

0

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura~3.2: Primo elemento del vettore modale in funzione del rapporto µ. I valori positivisi riferiscono al primo modo, quelli negativi al secondo. Linea punteggiata η = 0.25; lineacontinua η = 0.5; linea tratteggiata η = 0.75

e quindia1 = 1. 1324 a2 = −. 13243

Combinando questi risultati si ottengono le espressioni:

θ1 = 1. 1324 cos(1. 0569τ)− . 13243 cos(3. 0902τ),θ2 = . 97432 cos(1. 0569τ) + 2. 5654× 10−2 cos(3. 0902τ)

in cui τ = t/T0 è un tempo adimensionalizzato con il periodo del pendolo di lunghezza l1 + l2.Queste due funzioni sono rappresentate nella figura 3.3.Ripetendo il procedimento per i valori del parametro η di 0.25 e 0.75 rispettivamente, si ottengonole seguenti esppressioni delle coordinate angolari θ in funzione del tempo:

θ1 = . 97432 cos (1. 0568τ) + 2. 5654× 10−2 cos (3. 0902τ)θ2 = 1. 1324 cos (1. 0568τ)− . 13243 cos (3. 0902τ)

θ1 = . 65809 cos (1. 0568τ) + . 34188 cos (3. 0902τ)

θ2 = 1. 1324 cos (1. 0568τ)− . 13245 cos (3. 0902τ)Gli andamenti nel tempo sono, nei due casi, rappresentati nelle figure 3.4 e 3.5.Si noti come il contributo del seondo modo sia poco rilevante per i casi in cui η = 0.5 e η = 0.25,mentre diventano importanti, almeno per il moto della massa superiore, nel caso η = 0.75. Questoera d’altra parte prevedibile osservando il grafico della fig. 3.2, dove è evidente, per questo caso, lagrande ampiezza (negativa) della componente θ1 del secondo autovettore. 2

Come secondo esempio si riporta lo studio delle oscillazioni libere di un semplice telaiodi 3 piani con travi indeformabili (shear type).


t 6050403020100

1

0.5

0

-0.5

-1

Figura~3.3: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo.µ = 0.5 η = 0.5. Con linea continua è rappresentato θ1, con linea punteggiata θ2

t 6050403020100

1

0.5

0

-0.5

-1



t 6050403020100

1

0.5

0

-0.5

-1


Esempio 3.3 Si vogliono determinare le frequenze e le forme modali del telaio a 3 piani rap-presentato in fig. 3.6, ipotizzando che le travi siano indeformabili e trascurando la deformazioneassiale dei pilastri. Si assume inoltre che le masse sono interamente concentrate a livello dei piani.Le sezioni dei pilastri sono 30 × 30 cm2, le masse, uguali a tutti i piani, sono di 30 t, il moduloelastico del materiale E = 3× 107 KN/m2.Il sistema ha tre soli gradi di libertà, corrispondenti agli spostamenti dei piani. Numerando lecoordinate lagrangiane ui (gli spostamenti dei piani) partendo dal basso, la matrice di rigidezza sicostruisce facilmente partendo da quella dei pilastri. Indicando con

J =1

120.3× 0.33 = 6. 75× 10−4 m4

il momento di inerzia della sezione di un pilastro e con Kp la rigidezza di un piano:

Kp = 212EJ

33= 18000

KN

m

La matrice di rigidezza della struttura risulta:

K =

2Kp −Kp 0−Kp 2Kp −Kp0 −Kp Kp

= 36000 −18000 0−18000 36000 −180000 −18000 18000

Poiché le masse sono concentrate, la matrice M è diagonale:

M =

30 0 00 30 00 0 30

Le frequenze proprie (al quadrato) del telaio si possono calcolare come autovalori della matrice

A =M−1K =

30 0 00 30 00 0 30

−1 36000 −18000 0−18000 36000 −180000 −18000 18000

= 1200 −600 0−600 1200 −6000 −600 600

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 51

Figura~3.6: Schema del telaio esaminato.

risolvendo l’equazione caratteristica:

det(A−λI) =λ3 − 3000λ2 + 2160000λ− 216000000 = 0Si ottengono quindi i tre autovalori, raccolti nella matrice diagonale Λ:

Λ =diag£118. 84 932. 97 1948. 2

¤ed a cui corrispondono gli autovettori:

Φ =

. 32799 −. 73698 . 59101. 59101 −. 32799 −. 73698. 73698 . 59101 . 32799

Le frequenze proprie della struttura si ottengono dagli autovalori, ricordando che ωi =

√λi; nella

tabella seguente sono riportati i valori delle frequenze e dei periodi propri della struttura:

modo freq. ω (sec−1) period. T (sec)1 10.90 0.5762 30.54 0.2063 44.14 0.142

Nella figura 3.7 sono invece rappresentate le forme modali dei tre modi del telaio. 2

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate

Si torni ora a considerare l’equazione generale della dinamica lineare di sistemi discreti, eq.(3.4). Se Φ è la matrice degli autovettori φi di K ed M, soluzione dell’eq. (3.18), poichéquesti autovettori formano una base in Rn, si può porre:

u(t) =nXi=1

φizi(t) = Φz(t) (3.24)


-1.0 0.0 1.0

0

1

2

3

-1.0 0.0 1.0

0

1

2

3

-1.0 0.0 1.0

0

1

2

3

1° modo 2° modo 3° modo

Figura~3.7: Deformate modali del telaio a 3 piani

Sostituendo l’eq. (3.24) nella (3.4) e premoltiplicando quest’ultima equazione per ΦT , siottiene:

ΦTMΦz(t) +ΦTCΦz(t) +ΦTKΦz(t) = ΦT f(t) (3.25)

Per quanto visto nel §3.3 le matrici ΦTMΦ e ΦTKΦ sono diagonali, ma il termineΦTCΦ in generale non risulta diagonale: così il sistema (3.25) non è completamente di-saccoppiato e quindi non è più possibile risolverlo sovrapponendo le soluzioni di n sistemiad un g.d.l.

Ciò nonostante si assuma che C sia tale da essere diagonalizzato dagli autovettori Φ,in modo che si possa porre:

ΦTCΦ = matrice diagonale (3.26)

In questo caso, noto come smorzamento proporzionale o classico, il sistema (3.25) sidecompone in n equazioni indipendenti:

Mizi + Cizi +Kizi = Fi(t) (3.27)

in cuiMi, Ci e Ki sono i termini non nulli delle matrici diagonali: ΦTMΦ, ΦTCΦ e ΦTKΦ:Mi = φTi Mφi Ci = φTi Cφi Ki = φTi Kφi (3.28)

e sono detti massa, smorzamento e rigidezza del modo i, mentre

Fi = φTi f (3.29)

è la forza modale.L’equazione (3.27) è quella di un oscillatore ad 1 gdl aventi massa, rigidezza e smor-

zamento del modo i. Dividendo questa equazione perMi questa si può porre nella formastandard:

zi + 2ωiξizi + ω2i zi = Qi(t) (3.30)


in cui

ω2i =KiMi

ξi =Ci

2√KiMi

(3.31)

sono la frequenza naturale non smorzata e lo smorzamento percentuale del modo, mentresi è posto Qi = Fi/Mi.

3.4.1 Matrice di smorzamento

La capacità dissipativa delle strutture dipende da molti fenomeni che non sono chiaramentecompresi; per questo motivo non è usualmente possibile costruire la matrice C partendodalla geometria della struttura e dalle caratteristiche dei materiali, in modo simile a quellocon cui si calcolano le matrici di rigidezza e delle masse. Di solito i valori degli smorzamentidelle strutture si assegnano globalmente, sulla base di risultati sperimentali, misurati sustrutture di analoghe caratteristiche.

Dati i metodi con cui è possibile misurare lo smorzamento di una struttura (p.es. sullabase del decadimento di ampiezza delle oscillazioni libere, o sull’ampiezza della rispostadi risonanza), ciò che è noto solitamente sono i valori degli smorzamenti percentuali dei(primi) modi di vibrazione della struttura; quindi quel che si conosce sono proprio i valoridei coefficienti ξi dei primi modi di vibrazione, non i termini cij della matrice C.

L’ipotesi che gli autovalori diM eK diagonalizzino la matrice di smorzamento è dunqueuna conseguenza della scarsa conoscenza del fenomeno dello smorzamento; in questi casinon è effettivamente necessario eseguire la decomposizione della matrice C (che in effettinon è nota): determinate le caratteristiche dei modi non smorzati, come descritto nel §3.3,nelle equazioni disaccoppiate (3.30) si introduce un termine dissipativo 2ωiξi, assegnandoalla percentuale di smorzamento ξi il valore che compete a quel modo. Le risposte modaliz(t) ottenute integrando le equazioni (3.30) si combinano secondo la (3.24) per ottenere ilvettore degli spostamenti dei nodi u(t), da cui si potrà poi derivare ogni altra grandezzadi interesse fisico, come deformazioni, tensioni, ecc. . .

In alcuni casi, anziché operare la decomposizione modale, si preferisce integrare nu-mericamente il sistema di equazioni accoppiate (3.4); questo si verifica ad esempio perle strutture con comportamento nonlineare, le cui forze interne non seguono la semplicelegge lineare del prodotto di una matrice costante K per il vettore degli spostamenti u.In questi casi è indispensabile costruire la matrice C partendo dai dati disponibili, cioè glismorzamenti modali.3 Dalla seconda delle (3.31) si determinano i coefficienti della matricediagonale Ci = 2ξi

√KiMi e quindi invertendo le eq. (3.282) si ha:

C = Φ [Ci]ΦT (3.32)

Per le strutture con molti gdl questo procedimento risulta molto oneroso: infatti ilcalcolo di tutti gli autovettori ed autovalori di una matrice di grandi dimensioni richiedeun notevole impegno di calcolo. L’efficenza dell’analisi modale si basa sul fatto che gene-ralmente i modi di frequenza più elevata danno un contributo trascurabile alla risposta,per cui la decomposizione (3.24) può essere sostituita da

u(t) 'mXi=1

φizi(t) (3.33)

3A rigore nell’analisi nonlineare non è più lecito parlare di modi e di analisi modale. Tuttavia poichéper vibrazioni di ampiezza sufficientemente piccola si può ritenere che il sistema si comporti linearmente,si può comunque fare riferimento ai modi relativi alla matrice di rigidezza “tangente” nell’origine.


in cui il numero dei modi considerati m ≤ n è spesso molto minore del numero dei gdldella struttura. Viceversa il calcolo diC mediante la (3.32) richiede che si impieghino tuttigli autovettori di M e K; infatti se in luogo di Φ si impegasse una matrice rettangolarecomposta con i primi m < n autovettori, la matrice C così costruita assegnerebbe unosmorzamento nullo ai modi di frequenza più elevata ωi > ωm, ciò che, per ragioni distabilità e accuratezza dell’algoritmo di integrazione, non è opportuno.

Per costruire una matrice di smorzamento “classica” normalmente si preferisce assu-mere che essa sia proporzionale alle matriciM e K:

C =αM+βK (3.34)

con α e β coefficienti opportuni. Questa matrice soddisfa evidentemente la condizione(3.26) e quindi si ha:

ΦTCΦ = [Ci] = α [Mi] + β [Ki]da cui si deduce:

ξi =1

2

µα

ωi+ βωi

¶(3.35)

in cui ωi indica la frequenza delle oscillazioni libere e non smorzate del modo i. Poi-ché mediante la (3.34) C dipende solo dai due coefficienti α e β, è possibile fissare ivalori degli smorzamenti di due soli modi (p.es. del 1◦ e del 2◦); gli altri risultano tuttiautomaticamente determinati dall’eq. (3.35).

1. Una formulazione più generale, di cui la (3.34) rappresenta un caso particolare, è laseguente:

C =M

pXl=0

αl¡M−1K

¢l(3.36)

2. Per p = 1 l’eq. (3.36) coincide con la (3.34); per l > 1, per l’eq. (3.20) si ha:

Φ−1¡M−1K

¢Φ = Λ

da cui segue che M−1K = ΦΛΦ−1, e di conseguenza:¡M−1K

¢l= ΦΛΦ−1ΦΛΦ−1 · · ·ΦΛΦ−1| {z }

l volte

= ΦΛlΦ−1

Sostituendo questa equazione nella (3.36), si ottiene:

C =M

pXl=0

αlΦΛlΦ

e dunque:

ΦTCΦ = ΦT

"MΦ

Xl

αlΛlΦ−1

#Φ =diag [Mi]

Xl

αlΛl

3.5 Analisi in frequenza 55

ovvero, in forma scalare:

φTi Cφj = 0 se i 6= jφTi Cφi = Mi

Xl

αlω2li

Si dimostra così che quando C ha la forma (3.36), è diagonalizzata dagli autovaloridi M e K. Inoltre uguagliando lo smorzamento modale a: 2Miωiξi, si ottienel’espressione dello smorzamento del modo i in funzione dei coefficienti αl:

ξi =1

2

Xl

αlω2l−1i (3.37)

3.5 Analisi in frequenza

3.5.1 Trasformata di Fourier

Nel paragrafo 2.4 si è visto che, mediante uno sviluppo in serie di Fourier, ogni forzante pe-riodica di periodo T può essere rappresentata come sovrapposizione di funzioni armonichedi periodo T, T/2, T/3, . . . , e quindi, grazie alla linearità delle equazioni del sitema, anchela risposta si ottiene sovrapponendo le soluzioni ottenute per il caso con forzante armonica,cioè, per la parte stazionaria, di funzioni armoniche anch’esse di periodo T, T/2, T/3, . . .ecc., e con ampiezze e fasi che dipendono, oltre che da quelle delle componenti dell’azione,dalla funzione di risposta H(ω, ξ) espressa dall’eq. (2.59). Si vogliono generalizzare questirisultati al caso delle funzioni non periodiche.

L’espressione (2.68) dei coefficienti di Fourier si può scrivere in modo equivalente4:

TAn =

Z T/2

−T/2f(t)e−iωntdt (3.38)

mentre l’espressione della funzione f(t) come combinazione di armoniche diviene:

f(t) =1

2π

∞Xn=−∞

TAneiωnt∆ω (3.39)

dove si è posto ∆ω = ω1 = ωn−ωn−1 = 2π/T . Per T →∞ si ha ovviamente che ∆ω → 0e la variabile discreta ωn tende alla varibile continua ω. Pertanto, posto TAn = ef(ω) etenendo conto che per ∆ω → 0 la sommatoria nell’eq. (3.39) tende al relativo integrale,dalle equazioni (3.38) e (3.39) si deducono le relazioni:

ef(ω) =

Z ∞

−∞f(t)e−iωtdt (3.40)

f(t) =1

2π

Z ∞

−∞ef(ω)eiωtdω (3.41)

La funzione ef(ω) è chiamata trasformata (o integrale) di Fourier della funzione f(t); lafunzione originale (detta anche antitrasformata) e la sua trasformata formano una coppia,collegate dalle relazioni simmetriche (3.40) e (3.41). Nel seguito verranno illustrate alcunetra le principali proprietà dell’operazione di trasformazione.

4Le relazioni (3.40) e (3.41) hanno senso solo se gli integrali impropri convergono: questo implica che:limt→±∞ |f(t)eiωt| = 0 ed anche limω→±∞ | ef(ω)eiωt| = 0.


• L’operazione di trasformazione e la sua inversa sono lineari, pertanto sono intercam-biabili con ogni altro operatore lineare.

• Trasformata di Fourier della derivata. Applicando l’eq. (3.40) alla derivata di f(t)ed integrando per parti, si ottiene:

fdfdt=

Z ∞

−∞df

dte−iωtdt = f(t)e−iωt

¯∞−∞ + iω

Z ∞

−∞f(t)e−iωtdt = iω ef(ω)

Avendo tenuto conto di quanto detto nella nota precedente. Applicando più volte ilprocedimento risulta:

gdnfdtn

= (iω)n ef(ω) (3.42)

Ovvero: la trasformata di Fourier della derivata n-esima di una funzione si ottienemoltiplicando per (iω)n la trasformata della funzione.

• Trasformata di Fourier dell’integrale. L’eq. (3.42), ponendo g(t) = dnf(t)/dtn,diviene:

eg(ω) = (iω)n ^Z· · ·Zg(t)dt

da cui segue:

^Z· · ·Zg(t)dt = (iω)−neg(ω) (3.43)

e quindi la trasformata dell’integrale di una funzione è data dalla trasformata dellafunzione divisa per (iω)n.

• Prodotto di convoluzione. Date due funzioni f(t) e g(t), si definisce prodotto diconvoluzione, ammesso che esista, l’integrale:

f(t) ∗ g(t) =Z ∞

−∞f(t− τ)g(τ)dτ =

Z ∞

−∞f(τ)g(t− τ)dτ (3.44)

Applicando la (3.40) alla (3.44), dopo uno scambio dell’ordine di integrazione, siottiene:

]f ∗ g =Z ∞

−∞

·Z ∞

−∞f(t− τ)g(τ)dτ

¸e−iωtdt =

Z ∞

−∞g(τ)

Z ∞

−∞f(t− τ)e−iωtdt dτ

Quindi, ponendo θ = t− τ e sostituendo nella precedente, risulta:

]f ∗ g =Z ∞

−∞g(τ)e−iωτdτ

Z ∞

−∞f(θ)e−iωθdθ = ef(ω)eg(ω) (3.45)

In sintesi: la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni è ilprodotto delle trasformate.

Lo sviluppo in serie di Fourier può quindi essere visto come un caso particolare dellatrasformata, nel caso che la funzione sia periodica: infatti è possibile dimostrare che nelcaso in cui la funzione f(t) è periodica, l’integrale (3.40) è nullo ovunque, eccetto un


numero discreto di punti ωn = 2πn/T , in cui si ha ef(ωn) = Aiδ(ω − ωn); in questaespressione δ indica la funzione Delta di Dirac ed Ai è il coefficiente dello sviluppo in seriedi Fourier.

Solo nel caso di funzioni semplici è possibile calcolare analiticamente la trasformata diFourier, altrimenti il calcolo deve essere svolto numericamente. In questo caso di fatto latrasformata viene approssimata con i coefficienti di uno sviluppo in serie di una funzioneperiodica di periodo abbastanza grande da coprire tutta la durata di interesse del fenome-no. Un algoritmo particolarmente efficiente a questo scopo è la Fast Fourier Transform(FFT) che trasforma una funzione di t, campionata in n punti equidistanti ti nella suatrasformata, anch’essa campionata in n punti equidistanti ωi.

Se f(t) è una funzione reale, l’eq. (3.40) si può scrivere esplicitamente:

ef(ω) = Z ∞

−∞f(t) cos(ωt)dt− i

Z ∞

−∞f(t) sin(ωt)dt

se f(t) è simmetrica attorno all’origine [f(t) = f(−t)] il secondo integrale è nullo e latrasformata di Fourier è anch’essa reale.

3.5.2 Soluzione dell’equazione dinamica mediante trasformata di Fourier

Se a tutti i termini dell’equazione dinamica di un oscillatore ad un g.d.l.:

x(t) + 2ω0ξx(t) + ω20x(t) = f(t)

si applica l’operatore trasformata di Fourier, tenendo conto della linearità dell’operatoree della proprietà (3.42) si ottiene:

−ω2ex(ω) + 2ω0ξ(iω)ex(ω) + ω20ex(ω) = ef(ω)In queste equazioni ω0 è la frequenza delle oscillazioni libere non smorzate del sistema,mentre ω è il parametro della trasformata di Fourier e ex e ef indicano le trasformate dellarisposta e della forzante, rispettivamente. Risolvendo la precedente equazione rispetto adex(ω) si ottiene:

ex(ω) = 1

−ω2 + 2iω0ωξ + ω20ef(ω) = H(ω,ω0, ξ) ef(ω) (3.46)

dove H(ω,ω0, ξ) è la funzione di trasferimento complessa, già introdotta nel precedentecapitolo [eq. (2.59)]5

Tenendo conto delle proprietà della trasformata del prodotto di convoluzione espressedalle equazioni (3.44) e (3.45), la trasformata inversa della (3.46) si scrive:

x(t) =

Z ∞

−∞f(τ)h(t− τ) dτ (3.47)

in cui h(t) indica la trasformata inversa della funzione di trasferimento H(ω), cioè:

h(t) =1

2π

Z ∞

−∞H(ω)eiωtdω (3.48)

5Nel capitolo precedente il tempo natorale t era sostituito con il tempo adimensionale τ = ω0t perquesto motivo la funzione H risulta moltiplicata per ω20. Si ricordi che β = ω/ω0.


Confrontando l’eq. (3.47) con la (2.81) appare evidente che la funzione di trasferimentoH(ω) è la trasformata di Fourier della funzione di risposta ad impulso (2.82) (a meno delfattore 1/m), pertanto si avrà:

1

2π

Z ∞

−∞H(ω)eiωtdω =

sin³ω0p1− ξ2t

´ω0p1− ξ2

e−ξω0t (3.49)

Questa relazione può essere calcolata direttamente, facendo uso della proprietà dellefunzioni olomorfe, per cui si ha:Z ∞

−∞f(x) dx = 2πi

Xn

Residuo [f(zn)]

dove zn sono i punti di singolarità di f(z) che cadono nella parte superiore del pianocomplesso. I punti singolari di H(ω)eiωt sono le radici della funzione a denominatore:

−ω2 + 2iω0ωξ + ω20 = 0

ω12= ω0

·iξ ±

q1− ξ2

¸e quindi:

h(t) =eω0t

h−ξ+i√1−ξ2

i+ e

ω0th−ξ−i√1−ξ2

i2iω0

p1− ξ2

=sin³ω0p1− ξ2t

´ω0p1− ξ2

e−ξω0t

La funzione h(t) si deve intendere nulla per t < 0; pertanto l’integrale (3.47) si puòestendere all’intervallo [−∞, t]; in questo modo l’eq. (3.47) coincide con la (2.81) quandoil tempo inziale t0 → −∞; questo dimostra che l’eq. (3.46) fornisce la trasformata dellaparte stazionaria del moto.

Per un sistema a molti gradi di libertà, supponendo che lo smorzamento sia di tipoclassico, le equazioni del moto possono essere disaccoppiate, riportando il problema aquello di N oscillatori indipendenti, ciascuno caratterizzato dalla frequenza modale ωne dal relativo smorzamento ξn, per i quali si applica l’eq. (3.46). Quindi eseguendo latrasformata di Fourier dell’eq. (3.30) si orriene:

ezn(ω) = Hn(ω) eQn(ω) (3.50)

in cui

Hn(ω) =1

−ω2 + 2iωωnξn + ω2n(3.51)

e

eQn(ω) = φTnMn

ef(ω) (3.52)

Il vettore ef(ω) è costruito con le trasformate di Fourier delle componenti del vettore delleforze esterne f(t). L’intero vettore ez(ω) è dato quindi dalla relazione:

ez(ω) = diag [Hn(ω)] ¡ΦTMΦ¢−1ΦTef(ω) = diag [Hn(ω)]Φ−1M−1ef(ω)(3.53)

3.6 Moto di trascinamento 59

e quindi, tenendo conto dell’eq. (3.24), risulta:

eu(ω) = Φez(ω) = Φdiag [Hn(ω)]Φ−1M−1ef(ω) = H(ω)ea(ω) (3.54)

La matrice:

H(ω) = Φdiag [Hn(ω)]Φ−1 (3.55)

è la matrice di trasferimento della struttura, mentre

ea(ω) =M−1ef(ω) (3.56)

è il vettore delle trasformate di Fourier delle forze normalizzate con la matrice delle masse.Il calcolo della trasformata diretta ed inversa in forma analitica è possibile solo per

poche semplici funzioni. In generale l’uso delle trasformate di Fourier richiede l’impiegodi procedimenti numerici: utilizzando l’algoritmo FFT si possono calcolare per punti lefunzioni ef(ω) e quindi, mediante le (3.54) si determinano i valori di eu; la risposta si ottienepoi utilizzando la FFT inversa, applicata a eu.3.6 Moto di trascinamento

3.6.1 Moto sincrono

Tra le cause che sono in grado di indurre azioni dinamiche significative sulle strutture dellecostruzioni civili la più importante probabilmente è il moto sismico. In questo caso sullastruttura non agiscono direttamente delle forze, ma solo gli effetti inerziali impressi dalmoto di trascinamento. Infatti, in condizioni sismiche, un riferimento solidale al terrenonon è più, neanche approssimativamente, inerziale e non è più lecito scrivere le equazionidel moto rispetto ad esso. Si dovrà perciò assumere come riferimento uno solidale al terrenoin quiete; rispetto a questo, supponendo che la fondazione, rappresentata dai nodi vincolatial terreno, si comporti come un corpo rigido, l’accelerazione dei nodi della struttura si potàdecomporre nella somma di un moto rigido direttamente proporzionale all’accelerazionealla base e di un termine di moto relativo, che esprime la deformazione della struttura:u+Tag(t), in cui u indica ancora il vettore degli spostamenti relativi alla fondazione eag è il vettore delle componenti del moto della fondazione; nel caso più generale ag è unvettore con 6 termini (3 traslazioni e 3 rotazioni). La matrice T, detta di trascinamento,è la matrice che esprime il moto dei nodi della struttura (considerata rigida) in funzionedi quello della base; essa ha tante colonne quanti sono i termini di ag e tante righe perquanti sono i g.d.l. della struttura. Tenendo conto che la parte rigida del moto non inducedirettamente tensioni, l’equazione dinamica del sistema si scrive:

M (u+Tag(t)) +Cu+Ku = 0

Portando il termine noto a secondo membro si ottiene:

Mu+Cu+Ku = −MTag(t) (3.57)

Questa equazione coincide con la (3.4) se si sostituisce il termine noto f con −Tag. Sela matrice di smorzamento è di tipo classico l’eq. (3.57) può essere disaccoppiata nelleequazioni modali ed il termine della forzante del modo i—esimo risulta:

Qi = −φTi MT

φiMφiag(t) = −piag(t) (3.58)


Il vettore

pi =φTi MT

φiMφi(3.59)

è detto vettore dei coefficienti di partecipazione del modo i—esimo. Quando il moto dellafondazione è traslatorio in una sola direzione, il vettore ag diviene uno scalare e la ma-trice T un vettore; in questo caso anche pi è uno scalare, indicato come coefficiente dipartecipazione del modo.

La matrice P dei coefficienti di partecipazione si può anche esprimere direttamentecome prodotto di Φ−1T, infatti:

P =¡ΦTMΦ

¢−1 ¡ΦTMT

¢= Φ−1T (3.60)

Questa formulazione non è conveniente per i sistemi con numerosi g.d.l. di cui normalmentenon vengono determinati tutti gli autovettori e pertanto l’eq. (3.60) non è utilizzabile, inquanto l’intera matrice Φ non è nota.

Esempio 3.4 Determinare i coefficienti di partecipazione dei modi del telaio studiato nell’esem-pio 3.3 supponendo che il moto di trascinamento sia di sola traslazione in direzione orizzontale.In questo caso la matrice T diviene un vettore che, per la struttura esaminata, ha tre termini, tuttiuguali ad 1:

T =

111

ricordando le matrici delle masse e degli autovettori della struttura:

M =

30 0 00 30 00 0 30

Φ =

. 32799 −. 73698 . 59101. 59101 −. 32799 −. 73698. 73698 . 59101 . 32799

si ottiene facilmente, per ciascun modo:

p1 =φT1MT

φT1Mφ1=49. 679

30.0= 1. 656

p2 =φT2MT

φT2Mφ2=−14. 21930.0

= −. 47397

p3 =φT3MT

φT3Mφ3=5. 4606

30.0= . 18202

ovvero, direttamete:

p = Φ−1T =

. 32798 . 59101 . 73697−. 73697 −. 32798 . 59101. 59101 −. 73697 . 32798

111

= 1. 656−. 47395. 18201

Si osservi come i coefficienti di partecipazione diminuiscano in valore assoluto al crescere dell’ordinedel modo: pertanto la forzante modale Qi decresce a sua volta e di conseguenza i modi di ordineelevato, in questi casi, contribuiscono poco al moto complessivo della struttura. 2


3.6.2 Moto non sincrono

Anche se nella maggior parte dei casi l’ipotesi di moto sincrono dei punti vincolati alterreno sia lecita, ve ne sono alcuni in cui essa non è più accettabile: questo è per esempioil caso delle strutture spazialmente estese, con vincoli anche molto distanti tra loro, come ilunghi ponti o viadotti, o le tubazioni dei gasdotti, o nel caso delle sovrastrutture vincolatein punti diversi di una struttura principale.

Quando il moto di trascinamento non è più sincrono si deve far riferimento al sistemadi assi in quiete: indicando con x il vettore degli spostamenti di tutti inodi della strutturarelativi a questo riferimento, le equazioni di equilibrio dei g.d.l. non vincolati si scrive:

Mff xf+Mfgxg+Cff xf+Cfgxg+Kffxf+Kfgxg= 0 (3.61)

Il vettore x è stato suddiviso nei sottovettori xf dei gradi di libertà non vincolati e xg delmoto impresso ai g.d.l. vincolati e le matrici delle masse, degli smorzamenti e di rigidezzasono state coerentemente suddivise. La matrice Kfg tiene conto degli effetti prodotti suinodi liberi dalle distorsioni impresse ai vincoli; la matrice Mfg non è nulla solo nel casodi matrice delle masse “coerente”. È conveniente esprimere xf come somma di una parte“dinamica” e di una “statica” o distorsiva:

xf = xsf + u (3.62)

in cui u indica la parte “dinamica” del moto e xsf quella “statica”. La parte “statica” siassume che verifichi l’equazione (3.61) in condizioni statiche, cioè:

Kffxsf+Kfgxg= 0 (3.63)

da cui si deduce che:

xsf = −K−1ffKfgxg (3.64)

Sostituendo la decomposizione (3.62) nell’eq. (3.61) e tenendo conto della (3.64), si ottiene:

Mff u+Cff u+Kffu =³MffK

−1ffKfg−Mfg

´xg+

³CffK

−1ffKfg−Cfg

´xg(3.65)

In questo modo si è ottinuto di dare all’equazione delle strutture soggette a moto nonsincrono una struttura analoga alla (3.57) relativa al caso sincrono, a parte il terminea secondo membro dell’eq. (3.65) che dipende dalla velocità del moto di trascinamento.Inoltre, se si assume che la matrice di rigidezza sia semplicemente proporzionale a quelladelle rigidezze, cioè che sia valida l’eq. (3.34) con α = 0, allora sostituendo Cff = βKff

e Cfg = βKfg, l’ultimo termine del secondo membro dell’eq. (3.65) è identicamente nulloe risulta:

Mff u+Cff u+Kffu =³MffK

−1ffKfg−Mfg

´xg (3.66)

Anche quando non si può sostenere che la matrice di smorzamento è proporzionale allerigidezze, se il contributo dello smorzamento alle forze totali è piccolo, il termine di smor-zamento viene comunque trascurato, in modo che il sistema di equazioni assuma la forma(3.66), formalmente simile a quella delle strutture soggette a moto sincrono.

3.7 Smorzamento non classico 62

Le sollecitazioni dei nodi liberi dipendono solo dalla parte dinamica dello spostamento:infatti si ha:

sf = Kff (u+ xsf ) +Kfgxg = Kffu (3.67)

L’ultimo risultato si ottiene immediatamente tenendo conto della posizione (3.63). Neinodi vincolati invece si avrà:

sg = Kgf (u+ xsf ) +Kggxg

per cui, tenendo conto della (3.64) e del fatto che Kgf = KTfg, si ottiene:

sg = KTfgu+

³Kgg−KT

fgK−1ffKfg

´xg (3.68)

Quindi, contrariamente al caso di moto sincrono, le sollecitazioni nei nodi vincolati dipen-dono anche dalle distorsioni indotte dal trascinamento.

3.7 Smorzamento non classico

Si è già detto in precedenza come di solito non sia possibile costruire la matrice di smor-zamento di una struttura per assemblaggio di quelle dei suoi elementi costituenti (p.es.travi e pilastri) per cui lo smorzamento viene assegnato in termini percentuali direttamen-te ai modi della struttura non smorzata, basandosi sui valori misurati sperimentalmentesu edifici analoghi a quello attualmente studiato. Questo modo di procedere presupponeche la matrice di smorzamento della struttura risulti disaccoppiata dagli autovettori dellematrici di rigidezza e delle masse, relativi alla struttura non smorzata, ossia che lo smor-zamento sia di tipo “classico” o “proporzionale”, e ques to implica che C si possa ottenerecombinando M e K come espresso dall’eq. (3.34) o, più in generale, (3.36).

In alcuni casi tuttavia l’ipotesi di smorzamento “classico” non è accettabile: questo siverifica quando per qualche ragione è noto che una parte di una struttura ha uno smorza-mento notevolmente diverso da quello delle altre, come nel caso dello studio dei problemidi interazione suolo struttura o delle strutture isolate alla base o munite di sistemi di dissi-pazione di energia. Ad esempio per lo studio dell’interazione della deformabilità del suolocon la soprastante struttura è necessario inserire nel modello, insieme alla struttura, ancheuna parte del suolo sottostante. È noto che, per varie ragioni, lo smorzamento da asse-gnare al suolo è sensibilmente maggiore di quello da attribuire alla struttura soprastante,ne consegue che la matrice globale risulta non proporzionale6.

Quando la matrice di smorzamento non è diagonalizzata dagli autovettori del sistemanon smorzato, la decomposizione modale studiata nei §3.3 ed 3.4 non è più applicabileperchè il sistema di equazioni che si ottiene utilizzando la trasformazione (3.25) non è piùcomposto da equazioni indipendenti, poiché la matrice ΦTCΦ non è diagonale e pertantonella k—esima equazioni compaiono termini in zj , con j 6= k. Sono stati ideati alcuni me-todi approssimati per superare questo ostacolo, il più semplice dei quali, utilizzabile per

6Nel caso dei problemi di interazione suolo—struttura, per la costruzione della matrice complessiva sipuò procedere nel seguente modo: si costruiscono le matrici di smorzamento Ct e Cs relative al solo terrenoed alla sola struttura, considerati separati, partendo dalle matrici di rigidezza e delle masse di ciascunaparte, nell’ipotesi di smorzamento proporzionale, utilizzando le eq. (3.34) o (3.36), e quindi assemblandoqueste in un’unica matrice.


sistemi debolmente smorzati, consiste semplicemente nell’ignorare i termini fuori diagona-le, assumendo quindi per ogni modo lo smorzamento che corrisponde altermine diagonaledella matrice ΦTCΦ. Più in generale, se si vuole tenere correttamente conto della naturanon proporzionale dello smorzamento per un sistema eccitato da una forzante qualsiasi,ma definita deterministicamente, la via più conveniente è quella di integrare direttamentele equazioni del moto nel dominio del tempo, impiegando una tecnica numerica del tipodi quelle illustrate nel §2.6.2. In alcuni casi però, ad esempio nelo studio della risposta adun’azione aleatoria, è indispensabile possedere una formulazione analitica dell’equazione,ottenuta mediante la decomposizione modale: nel seguito sarà illustrato un procedimentoche consente la decomposizione modale di sistemi con matrice di smorzamento di tipoqualsiasi.

3.7.1 Analisi modale complessa

Riduzione di un’equazione differenziale ad un sistema del primo ordine

Una equazione differenziale lineare di orine m:

y(m) + a1y(m−1) + · · ·+ am−1y0 + amy = f

con le condizioni iniziali:

y(0) = y10, y0(0) = y20, . . . y(m−1)(0) = ym0

può essere sempre trasformata in un sistema di m equazioni del primo ordine; basta perquesto introdurre un vettore di incognite:

y1 = y, y2 = y0, . . . ym = y

(m−1)

e quindi riscrivere l’equazione originale e le definizioni introdotte in modo da formare ilsitema seguente:

y01 = y2

y02 = y3...

y0m = −a1ym − a2ym−1 − · · ·− am−1y2 − amy1 + f

con le condizioni iniziali

y1(0) = y10, y2(0) = y20, . . . ym(0) = ym0

In modo analogo si può mostrare che un sistema di N equazioni di ordine m, si puòtrasformare in un sistema di mN equazioni del primo ordine.

Seguendo il procedimento delineato sopra, l’equazione dinamica di una struttura conN gradi di libertà (3.4) diviene un sistema di 2N equazioni del primo ordine; per questosi definisce il vettore di stato:

x(t) =

·u(t)u(t)

¸(3.69)


la matrice dei coefficienti

A =

·0 I

−M−1K −M−1C

¸(3.70)

ed il vettore dei termini noti:

y(t)=

·0

M−1f(t)

¸(3.71)

L’equazione (3.4) è quindi equivalente al sistema di primo ordine:

x(t) = Ax(t) + y(t) (3.72)

come è facile verificare direttamente, sviluppando la (3.72) e tenendo conto delle definizioni(3.69), (3.70) e (3.71).

Soluzione di un sistema del primo ordine a coefficienti costanti

L’equazione differenziale (3.72) è a coefficienti costanti, come l’eq. (3.4) da cui deriva.L’integrale generale dell’eq. (3.72) si può calcolare con la relazione:

x(t) = X(t)x0 +

Z t

0X(t−τ)y(τ) dτ (3.73)

in cui x0 indica il vettore delle condizioni iniziali di x(t) edX(t) è la matrice delle soluzioniprincipali. X(t) è una matrice 2N × 2N formata con 2N soluzioni indipendenti dell’equa-zione (3.72) resa omogenea e con condizioni iniziali tali che solo una delle componenti dix(0) è non nulla (ed uguale ad uno). Sinteticamente questo significa che X(t) soddisfa lecondizioni:

X(t) = AX(t) X(0) = I (3.74)

dove, come di solito, I indica la matrice unità. La (3.73) si giustifica immediatamente,calcolando la derivata di x(t) e tenendo conto della (3.74)

x(t) = X(t)x0 +X(0)y(t) +

Z t

0X(t− τ)y(τ) dτ =

AX(t)x0 + y(t) +A

Z t

0X(t− τ)y(τ) dτ = Ax(t) + y(t)

La soluzione dell’equazione matriciale (3.74) si può scrivere formalmente:

X(t) = eAt (3.75)

in cui con eAt si intende la matrice che si ottiene come limite della serie:

eAt = I+At+1

2(At)2 +

1

3!(At)3 + · · · =

∞Xn=0

1

n!Antn (3.76)

Supponendo che la matrice degli autovettori di A, Ψ, sia non singolare, essa definisce unatrasformazione che rendeA diagonale [eq. (A.46)]Ψ−1AΨ = Λ, in cui Λ =diag [λ1,λ2, . . . ,λ2N ]


è la matrice diagonale degli autovalori di A. Inversamente si ha A = ΨΛΨ−1; sostituendoquesta relazione nella (3.76) si ottiene:

eAt = Ψ

Ã ∞Xn=0

1

n!Λntn

!Ψ−1 = Ψdiag

" ∞Xn=0

λnkn!tn

#Ψ−1 = Ψdiag

heλkt

iΨ−1 = ΨeΛtΨ−1

(3.77)

Con eΛt si è indicata sinteticamente la matrice diagonale formata con gli esponenzialidegli autovalori di A moltiplicati per t. La soluzione dell’equazione differenziale (3.72) èquindi ricondotta alla determinazione degli autovalori e degli autovettori della matrice Adei coefficienti.

Determinazione delle soluzioni modali

Sostituendo nella (3.73) alla matrice delle soluzioni principali X(t) la (3.75) nella forma(3.77), si ottiene

x(t) = ΨeΛtΨ−1x0 +ΨZ t

0eΛ(t−τ)Ψ−1y(τ) dτ (3.78)

Quindi, introducendo il vettore delle variabili modali z(t):

z(t)= Ψ−1x(t) ⇐⇒ x(t)= Ψz(t) (3.79)

dalla (3.78) si ottiene:

z(t) = eΛtz0 +

Z t

0eΛ(t−τ)w(τ) dτ (3.80)

avendo posto, in accordo alla (3.79), z0 = Ψ−1x0 e w(t) = Ψ−1y(t). Tenendo conto cheeΛt è una matrice diagonale, l’eq. (3.80) si decompone in 2N equazioni indipendenti deltipo:

zk(t) = eλktz0k +

Z t

0eλk(t−τ)wk(τ) dτ (k = 1, 2, . . . , 2N) (3.81)

La decomposizione delle matrici simmetriche M e K dava luogo ad autovettori edautovalori reali; al contrario gli autovalori e gli autovettori della matrice non simmetricaA risultano generalmente complessi e, poiché A ha dimensioni pari, si avranno in generaleN coppie di valori complessi coniugati. Se gli autovettori Ψ sono complessi, tali sarannoanche le coordinate modali z(t), ma poiché Ψ e z sono composte da coppie coniugate, illoro prodotto risulta reale; quindi x risulta reale, come ovvio.

Si consideri il caso di oscillazioni libere (w(t) ≡ 0) per cui si ha zk(t) = z0keλkt; se λkfosse reale avremmo un andamento esponenziale del moto e poiché questo non può esserecrescente risulterà λk < 0. Questo è il caso che corrisponde ad uno smorzamento critico osupercritico per l’oscillatore ad un g.d.l. Per sistemi smorzati in modo subcritico, affinchéil moto sia oscillante, l’autovalore dovrà essere complesso e la parte reale non positiva; idue autovalori complessi coniugati saranno pertanto

λk = −µk ± iηk


in cui µk e ηk sono numeri reali non negativi. Indicando con ωk = |λk| il modulodell’autovalore e ponendo µk = ξkωk, evidentemente si ha

ηk = ωk

q1− ξ2k

per cui la legge temporale del modo zk risulta

zk(t) = z0ke−ξkωkt

·cos

µωk

q1− ξ2kt

¶+ i sin

µωk

q1− ξ2kt

¶¸(3.82)

La parte reale di questa funzione coincide con la legge del moto di un oscillatore di frequnzanaturale (non smorzata) ωk e smorzamento percentuale ξk. Dunque il modulo dell’auto-valore complesso λk è la frequenza naturale del modo ed il rapporto tra la parte reale edil modulo stesso corrisponde al coefficiente di smorzamento.

Autovettori complessi

Nelle strutture non smorzate, o smorzate in modo classico, se viene eccitato un singolomodo di vibrazione, la struttura oscilla in modo che, pur variando l’ampiezza, la con-figurazione non muta, poiché questa è dall’autovettore reale delle matrici K e M. Percomprendere quello che accade per le strutture con smorzamento non classico si osserviche se ψk indica il k—esimo vettore della matrice Ψ, cioè il k—esimo autovettore di A, devesoddisfare l’equazione Aψk = λkψk. Ricordando la forma della matrice A [eq. (3.70)] e

suddividendo il vettore ψk in due sottovettori: ψk =·φk$k

¸si ha:

Aψk =

·0 I

−M−1K −M−1C

¸ ·φk$k

¸= λk

·φk$k

¸da cui si deducono le due equazioni:

$k = λkφk (3.83)

−M−1Kφk−M−1C$k = λk$k

Sostituendo la prima nella seconda, dopo aver moltiplicato tutti i termini a sinistra perM, si ottiene: ¡

λ2kM+λkC+K¢φk = 0 (3.84)

Gli autovalori λk si possono quindi ottenere come radici del polinomio di ordine 2N :det

¡λ2kM+λkC+K

¢= 0 ed gli autovettori φk come soluzioni del sistema omogeneo

(3.84).

Ortogonalità degli autovettori

Introducendo le matrici simmetriche:

D =

·C MM 0

¸B =

· −K 00 M

¸(3.85)

e facile verificare che

D−1 =·

0 M−1

M−1 −M−1CM−1

¸


e quindi che D−1B = A. Sostituendo questa posizione nell’equazione agli autovalori di A,dopo aver moltiplicato i due membri per D risulta

Bψk = λkDψk (3.86)

Poiché le matrici B e D sono simmetriche si verifica facilmente che gli autovettori sonoortogonali; cioè se ψk e ψl sono autovettori che corrispondono a due modi diversi λk 6= λl,si ha:

ψTl Bψk = λkψTl Dψk = 0 (l 6= k) (3.87)

In forma esplicita, ricordando che si è posto ψk =·

φkλkφk

¸, alla (3.87) corrispondono le

equazioni

φTl Kφk=λlλkφTl Mφk (3.88a)

φTl Cφk+(λl + λk)φTl Mφk = 0 (3.88b)

Forme di vibrazione delle strutture con smorzamento non classico

Moltiplicando l’ampiezza del modo k, espressa dalla (3.82) per il corrispondente autovet-tore φk si ottiene il contributo di questo modo al moto globale della struttura; sommandopoi i contributi di due modi complessi coniugati si ottiene che il vettore degli spostamentistrutturali dovuti al modo k, si possono esprimere come

uk(t) = 2Re

½φkz0ke

−ξkωkt·cos

µωk

q1− ξ2kt

¶+ i sin

µωk

q1− ξ2kt

¶¸¾quindi, ponendo z0k nella forma |z0k|eiϑk e distinguendo φk nelle sue parti reale e imma-ginaria, risulta:

uk(t) = 2Re

½(κk+iγk) |z0k|e−ξkωkt

·cos

µωk

q1− ξ2kt+ ϑk

¶+i sin

µωk

q1− ξ2kt+ ϑk

¶¸¾=

2|z0k|eξkωkt·κk cos

µωk

q1− ξ2kt+ ϑk

¶− γk sin

µωk

q1− ξ2kt+ ϑk

¶¸(3.89)

Questa equazione dimostra come, a differenza del caso delle oscillazioni non smorzate,o smorzate in modo proporzionale, ora le oscillazioni di ciascun modo sono formate da unacombinazione di due forme, che oscillano con la stessa frequenza ma con una differenza difase di π/2, corrispondenti alla parte reale e complessa dell’autovettore.

Capitolo 4

Sistemi continui: onde nei mezzielastici

4.1 Introduzione

Nei capitoli precedenti sono stati esaminati sistemi con un numero finito di gradi di li-bertà. Da un punto di vista operativo l’aver ristretto lo studio a tali sistemi non è unalimitazione, poiché è sempre possibile approssimare un sistema continuo con uno discreto,eventualmente fornito di un numero sufficientemente grande di gradi di libertà. In alcunicasi la discretizzazione è quasi naturale e dà luogo a sistemi con relativamente pochi gradidi libertà (p.es. gli edifici a telaio multipiano), in altri la discretizzazione è meno ovviae richiede, per ottenere una modellazione significativa, l’introduzione di molti gradi di li-bertà (p.es. la discretizzazione con elementi finiti di un guscio o di una piastra). Tuttavia,se la discretizzazione con il metodo degli elementi finiti è uno strumento potente che per-mette di risolvere accuratamente problemi complessi, la cui soluzione è inabbordabile pervia analitica, ha il limite di non porre in evidenza i caratteri generali delle soluzioni, chespesso è possibile ottenere da uno studio attento delle equazioni che reggono il problema edella struttura delle soluzioni (quando note); tale studio consente spesso di penetrare piùprofondamente nella natura del sistema e funge da guida per apprestare gli strumenti diindagine più appropriati per altri problemi.

Le equazioni della dinamica dei continui si ottengono facilmente estendendo quelle bennote della statica. In pratica le equazioni di compatibilità cinematica (congruenza) e lalegge costitutiva del materiale (p.es. elastica lineare) non mutano; solo nelle equazioni diequilibrio si deve tener conto anche degli effetti dell’inerzia. Nel caso di piccoli sposta-menti, quando è possibile sostituire le equazioni di equilibrio relative alla configurazionedi riferimento (configurazione indeformata) a quelle relative alla configurazione attuale, leequazioni di equilibrio si scrivono:

τ ij/j + gi = ρui (4.1)

dove τ ij indica la componente ij del tensore delle tensioni T, gi sono le componenti delvettore delle forze di volume g, ui sono le componenti del vettore degli spostamenti ue ρ indica la densità di massa; il pedice /j denota la derivazione rispetto alla j-esimacoordinata spaziale xj , mentre con il punto sopra il simbolo si è indicata la derivatarispetto alla coordinata temporale t. Pertanto ui è la i-esima componente del vettoreaccelerazione; inoltre si è applicata la convenzione di Einstein, per la quale è sottintesa la

68

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 69

somma degli indici ripetuti due volte (p.es. τ ij/j =Pj∂τ ij∂xj). Con altra notazione l’eq.

(4.1) si può scrivere:divT+g =ρu

L’equazione (4.1), unita a quella di compatibiltà cinematica ed alla legge costitutivadel materiale, descrive in modo completo la dinamica delle piccole vibrazioni dei solidi.

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra

4.2.1 Onde stazionarie

Il caso più semplice da esaminire è quello di una barra con asse rettilineo soggetta soltantoad azioni parallele all’asse longitudinale. Indicando con x la direzione di questo asse, lasola componente non nulla di T sarà τxx = σ; assumendo inoltre nulle le forze di volume,la (4.1) si semplifica nella sola equazione scalare:

∂σ

∂x= ρ

∂2u

∂t2(4.2)

In un mezzo elastico lineare e per le ipotesi fatte si ha semplicemente σ = Eε, dove

ε =∂u

∂x

è la deformazione longitudinale della barra ed E è il modulo elastico del materiale.Sostituendo queste due ultime relazioni nella (4.2) si ottiene facilmente:

∂

∂x

µE∂u

∂x

¶= ρ

∂2u

∂t2

e, se le caratteristiche meccaniche sono uniformi nella barra:

E∂2u

∂x2= ρ

∂2u

∂t2

che si può anche scrivere:

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2(4.3)

dove, tenendo conto che E e ρ sono grandezze sempre positive, si è posto:

c =

sE

ρ(4.4)

È facile verificare che l’equazione (4.3) ha soluzioni del tipo:

u (x, t) = f1 (x+ ct) + f2 (x− ct) (4.5)

dove f1 ed f2 sono funzioni arbitrarie, purché due volte derivabili, il cui effettivo valoredipende dalle condizioni iniziali ed al contorno. L’equazione (4.5) rappresenta la sovrap-posizione di due onde, di forma f1(x) ed f2(x), rispettivamente, entrambe viaggianti convelocità c, la prima nel verso negativo e la seconda in quello positivo dell’asse della barra.


-0.8-0.6-0.4-0.2

0

0.20.40.60.8

5 10 15 20 25 30x

Figura~4.1: Moto di un onda di equazione f(x) = sin(x)e−0.03x2

Infatti, se ad esempio f1 assume il valore u nel punto x0 al tempo t0, lo stesso valore saràraggiunto in tutti i punti in cui è soddisfatta la condizione:

x+ ct = x0 + ct0

ossia perx = x0 − c (t− t0)

Questa è l’equazione di un punto che si muove, in direzione negativa, con velocità c.Analogamente è facile verificare che l’onda f2 si propaga nella direzione positiva con lamedesima velocità. Nella Fig.4.1 è rappresentata in tre differenti istanti l’onda di equazionesin (x) e−0.03x2 propagantesi in verso positivo.

4.2.2 Barra di lunghezza finita

La soluzione (4.5) dell’equazione (4.3) lascia completamente indeterminata la forma dellefunzioni f1 ed f2. Per rendere la soluzione determinata occorre definire delle condizioni alcontorno, cioè sulle sezioni terminali della barra, e delle condizioni iniziali, cioè lo statodella barra da un tempo iniziale, per esempio t = 0.

Si consideri allora una barra di lunghezza finita l, con condizioni di vincolo nelle basiche saranno definite in seguito. La soluzione dell’equazione (4.3) viene cercata con ilmetodo della separazione delle variabili, ponendo

u (x, t) = φ (x)w (t) (4.6)

Sostituendo la (4.6) nella (4.3) si ottiene:

φ (x)d2w

dt2= c2w (t)

d2φ

dx2

quindi dividendo entrambi i membri per u e tenendo conto che ora il primo membrodipende solo da t ed il secondo solo da x, si dovrà avere::

1

w(t)

d2w

dt2= c2

1

φ(x)

d2φ

dx2= −ω2 (4.7)


dove ω2 indica una costante positiva. La ragione della scelta del segno della costante saràchiarito tra breve.

Dalla (4.7) si ottengono due equazioni differenziali ordinarie (lineari ed a coefficienticostanti):

d2w

dt2+ ω2w = 0 (4.8)

d2φ

dx2+³ωc

´2φ = 0 (4.9)

L’equazione (4.8) coincide con quella (2.3) di un oscillatore semplice non smorzato difrequenza ω. La soluzione si può scrivere nella forma:

w(t) = eiωt (4.10)

È ora possibile chiarire la ragione della scelta del segno dell’ultimo membro del-la (4.7); se questo fosse stato positivo la soluzione dell’equazione (4.8) sarebbe stataesponenzialmente crescente nel tempo, violando i principi di conservazione.

Analogamente anche la soluzione dell’equazione (4.9) è una combinazione di funzioniarmoniche:

φ(x) = Aeiκx +Be−iκx (4.11)

in cui si è posto

κ =ω

c(4.12)

mentre A e B sono costanti complesse che dipendono dai vincoli imposti alle sezioni diestremità. La soluzione dell’equazione (4.3) si può quindi scrivere:

u (x, t) = Aei(ωt+κx) +Bei(ωt−κx) (4.13)

Estremi liberi

In tal caso nella sezioni di ascissa x = 0 e x = l si ha σ = 0, ovvero, per la proporzionalitàtra tensioni e deformazioni,

εx =∂u

∂x= w

dφ

dx= 0 per x = 0 e x = l

Sostituendo la (4.13) si ottengono le due equazioni:

iκ (A−B) eiωt = 0

iκ³Aeiκl −Be−iκl

éiωt = 0

Dalla prima di queste equazioni segue che A = B. Quindi dalla seconda si ricava:

A³eiκl − e−iκl

´= 2iA sin (κl) = 0

Escludendo la soluzione banale A = 0, questa equazione è verificata se κl = nπ, dove nindica un arbitrario intero positivo. Dalla condizione κl = nπ segue

κn =nπ

l(4.14)


e quindi

ωn = nπc

l(4.15)

A ciacun valore di n corrisponde quindi una soluzione dell’equazione (4.3) che rispetta lecondizioni di bordo libero:

un(x, t) = φn(x)wn(t) (4.16)

in cui

φn(x) = cos(κnx) (4.17)

wn(t) = Aeiωnt (4.18)

Le funzioni φn(x) sono le autofunzioni dell’equazione differenziale (4.9), per le condizio-ni ai limiti prescelte; κn sono i corrispondenti autovalori. Ricordando la definizione di κn,è facile intendere il significato della grandezza, detta lunghezza d’onda, λn = 2π/κn = cTn,dove Tn = 2π/ωn è il periodo di oscillazione: λn è lo spazio percorso dall’onda in un pe-riodo di oscillazione, ma è anche il “periodo” spaziale dell’autofunzione. Il suo inverso (ameno di 2π) κn è detto numero d’onda.

Estremi vincolati

In questo caso le condizioni al contorno sono φ(0) = φ(l) = 0. Di conseguenza dalla (4.13)si ottiengono le equazioni:

(A+B) eiωt = 0³Aeiκl +Be−iκl

éiωt = 0

la cui soluzione non banale èA = −B κl = nπ

dove n indica un intero positivo. Quindi i numeri d’onda delle vibrazioni sono, come nelcaso precedente

κn =nπ

l

e di conseguenza anche le frequenze prendono i valori forniti dall’equazione (4.15). Lasoluzione dell’equazione delle onde risulta pertanto:

un (x, t) = A sin (κnx) eiωnt (4.19)

Il fattore 2i è stato incorporato nel coefficiente indeterminato A. Nei due casi esaminati levibrazioni in due barre di uguali caratteristiche ma diversamente vincolate alle estremità,una con le estremità libere e l’altra incastrate, hanno le stesse frequenze e lunghezzed’onda, ma le onde sono traslate, l’una rispetto a l’altra, del fattore π/2.


Estremo libero ed estremo vincolato

Se la base iniziale della barra è incastrata , mentre l’altra è libera, le condizioni al contornorisultano:

(A+B) eiωt = 0

iκ³Aeiκl −Be−iκl

éiωt = 0

Dalla prima si trae che A = −B, dalla seconda segue:

eiκl + e−iκl = 2 cos (κl) = 0 =⇒ κl =

µn− 1

2

¶π (n = 1, 2, . . . )

e quindi

κn =

µn− 1

2

¶π

l(4.20a)

ωn =

µn− 1

2

¶πc

l(4.20b)

Il confronto tra le (4.20) e la (4.15) dimostra come le frequenze delle vibrazioni liberedelle barre con vincoli misti sono più basse di quelle di analoghe barre vincolate in modouguale ad entrambi gli estremi. Indicando con ωIn le frequenze di queste ultime e con ωIInquelle delle barre con vincoli asimmetrici, si ha:

ωIInωIn

=n− 1/2n

= 1− 1

2n=©0.5 0.75 0.833 · · · ª

Vibrazioni indotte da una percossa

Su di una barra lunga l, inizialmente in quiete, vincolata ad un estremo e libera all’altro,si applichi, all’estremità libera, una pressione di intensità σ0 per un tempo molto breve∆t, dopo il quale la forza viene rimossa e la barra è lasciata libera di vibrare. Alla fine deltempo ∆t solo un breve tratto della barra di lunghezza ∆x, infinitesimo dello stesso ordinedi ∆t, avrà avvertito gli effetti della percossa, mentre il resto della barra sarà rimasto inquiete.

Per valutare gli effetti della forza alla fine del tempo di applicazione, si parte dallaequazione (4.2); integrando entrambi i membri rispetto ad x, nell’intervallo [0,∆x], si ha:

σ (∆x, t)− σ (0, t) = ρ

Z ∆x

0u (x, t) dx (4.21)

Per 0 ≤ t < ∆t, si ha per ipotesi σ (0, t) = −σ0 ed inoltre, per come è stato definito∆x, σ (∆x, t) = 0. Sostituendo queste uguaglianze nell’eq. (4.21) ed integrando ancoraentrambi i membri rispetto al tempo, nell’intervallo [0,∆t], si ottiene:

σ0∆t = ρ

Z ∆x

0[u (x,∆t)− u (x, 0)] dx

e, poiché inizialmente il corpo era in quiete e quindi u (x, 0) = 0, x ∈ [0, l],

σ0∆t = ρ

Z ∆x

0u (x,∆t) dx


Considerando ∆x un infinitesimo, si avrà quindi:

σ0∆t = ρu (0,∆t)∆x+O¡∆x2

¢da cui, si ottiene:

u (0,∆t) = v0 = lim∆t→0

σ0ρ

∆t

∆x=

σ0ρc

(4.22)

in cui c è la velocità di propagazione delle onde.Per quanto visto nel precedente paragrafo, per una barra con un estremo libero ed uno

vincolato, la soluzione dell’equazione (4.2) si può scrivere:

u (x, t) =∞Xn=1

Aneiωnt cos (κnx) (4.23)

dove le espressioni di ωn e κn sono quelle delle eq. (4.20). Diversamente dal caso trattatoprima qui si è posta l’origine del riferimento in corrispondenza dell’estremità libera dellabarra, per cui la funzione seno è sostituita dalla funzione coseno. Derivando la (4.23) sitrova l’espressione della velocità:

u (x, t) = i∞Xn=1

Anωneiωnt cos (κnx) (4.24)

Ponendo l’origine dei tempi nell’istante in cui cessa l’azione della forza, al tempo zero lavelocità dei punti della barra è nulla ovunque eccetto il tratto iniziale di lunghezza ∆xdove prende il valore v0 fornito dalla (4.22). Moltiplicando entrambi i membri della (4.24)per cos (κjx), ponendo t = 0 e tenendo conto che u 6= 0 solo per x ∈ [0,∆x], si ha:Z ∆x

0v0 cos (κjx) dx = i

∞Xn=1

Ajωj

Z l

0cos (κjx) cos (κnx) dx

Tenendo conto dell’espressione esplicita di κ e di ω [eq. (4.20)] e delle proprietà di ortogo-nalità delle funzioni trigonometriche, si ha:

v0¡∆x+O

¡∆x3

¢¢= iAjωj

l

2

da cui, a meno di infinitesimi di ordine superiore al secondo in ∆x, si ricava:

Aj = −i2v0∆xωjl

= −i 4σ0∆t

ρ (2j − 1)πc (4.25)

Sostituendo la (4.25) nella (4.23) ed utilizzando le espressioni esplicite di ω e κ [eq. (4.20)],si ha l’espressione dell’onda che si propaga nella barra:

u (x, t) =4σ0∆t

ρπc

∞Xn=1

sin [(2n− 1)ω1t] cos [(2n− 1)κ1x](2n− 1) (4.26)

dove ω1 = πc/2l, è la frequenza del primo modo e κ1 = ω1/c è il corrispondente numerod’onda..


≥ΖΜΚΡ ≥ΖΝΚΜ ≥ΖΝΚΡ

≥ΖΟΚΜ ≥ΖΟΚΡ ≥ΖΠΚΜ

≥ΖΠΚΡ ≥ΖΘΚΜ ≥ΖΘΚΡ

Figura~4.2: Rappresentazione della funzione u(x, t) in 6 istanti successivi. τ = ω1t.

In figura 4.2 la funzione u (x, t) è rappresentata in sei istanti successivi. Il tempo τè normalizzato con la frequenza del primo modo: τ = ω1t, l’ascissa spaziale è normaliz-zata alla lunghezza (ξ = x/l), mentre l’ampiezza dello spostamento è normalizzata conil fattore 4σ0∆t/ρπc. Come si vede il fronte d’onda presenta una brusca discontinuitàtra la parte indisturbata e quella che ha subito lo spostamento; in questo strato infini-tesimo evidentemente si raggiungono deformazioni infinite: ciò dipende dall’ipotesi fattache ∆t sia infinitesiomo e quindi, perché l’impulso σ0∆t sia finito, che σ0 sia infinito. Inrealtà la transizione tra le due zone sarà tanto più lunga quanto più lungo è il tempodi applicazione della forza e proporzionalmente minore la tensione σ0. In figura 4.3 sonoriportati, sovrapposti, gli andamenti della deformazione ε = ∂u/∂x in tre istanti successivi(τ = 0.5 − 1.0 − 1.5). Il grafico mostra un picco, pronunciato ma di intensità finita, cheinteressa un tratto piccolo ma finito della barra, che si propaga, come il fronte d’onda, convelocità c. Il fatto che il risultato non sia un picco infinito di ampiezza nulla dipende peròsolo dal numero finito di armoniche (40) messe in conto nella (4.26) per il calcolo di u. Alcrescere del numero delle armoniche conteggiate, il picco si fa sempre più alto e sottile.

Raggiunta la base fissa, come si vede dalla fig. 4.2, il fronte d’onda torna indietro, finoalla base libera, dove viene ulteriormente riflessa verso l’interno, però con segno opposto.Poiché nelle equazioni non sono stati introdotti termini dissipativi, è evidente che il motoprosegue indefinitamente.

4.3 Onde nel continuo indefinito 76

Figura~4.3: Andamento della tensione nella barra in 3 istanti successivi.

4.3 Onde nel continuo indefinito

Nel continuo tridimensionale le equazioni di equilibrio sono espresse dalla (4.1); a queste sidevono aggiungere le relazioni di compatibilità cinematica che, per piccole deformazioni,sono:

E = simgradu (4.27)

dove l’operatore sim (T) indica la parte simmetrica del tensore T, e la legge costitutiva delmateriale. Per un mezzo linearmente elastico ed isotropo questa può formulare nel modoseguente:

T = λTr (E) I+2µE (4.28)

in cui I indica il tensore isotropo, Tr (E) = e è la variazione relativa di volume dell’elemento,mentre λ e µ sono coefficienti noti come le costanti di Lamè del materiale. Come è notoqueste costanti sono legate al modulo di Young E ed al coefficiente di Poisson ν, dallerelazioni

λ =νE

(1+ ν) (1− 2ν) µ = G =E

2 (1+ ν)(4.29)

Sostituendo le (4.27) e (4.28) nella (4.1) risulta:

(λ+ µ) grad divu+µ4u+ g =ρu (4.30)

in cui 4 indica l’operatore di Laplace: 4 = div grad = ∂2

∂x2+ ∂2

∂y2+ ∂2

∂z2.

Si assumano ora nulle le forze di volume, e si ponga

u = ul + ut (4.31)

dove:

divut = rotul = 0 (4.32)

4.3 Onde nel continuo indefinito 77

La decomposizione (4.31) di un vettore come somma di uno irrotazionale (ul) ed unoa divergenza nulla (ut) è sempre possibile. Applicando l’operatore divergenza a tutti imembri della (4.30) e tenendo conto delle (4.31) e (4.32), si ottiene:

divh(λ+ 2µ)∆ul − ρul

i= 0 (4.33)

Analogamente applicando l’operatore rotore e tenendo anche conto che rot grad ≡ 0, sideduce:

rot£µ∆ut − ρut

¤= 0 (4.34)

Poiché per le entrambe le quantità in parentesi quadra nelle due equazioni (4.33) e (4.34)si annullano rotore e divergenza esse sono, a meno di un termine costante, identicamentenulle; si ottengono così le due equazioni:

ul = c2l4ul (4.35a)

ut = c2t4ut (4.35b)

dove

cl =

sλ+ 2µ

ρ=

sE

ρ

1− ν

(1+ ν) (1− 2ν) ct =

rµ

ρ=

sE

ρ

1

2 (1+ ν) (4.36)

4.3.1 Onde piane

Una soluzione delle equazioni (4.35) è costituita da onde piane che si propagano secondouna arbitraria direzione n. Infatti posto

u(t,x) = u (x · n± ct) (4.37)

dove u sta per ul od ut secondo l’equazione considerata e di conseguenza c = cl o c = ct.Tenendo conto che:

u =c2u00 4u = u00 (n · n) = u00

si vede che la (4.37) soddisfa identicamente ciascuna delle (4.35). Pertanto alle due equa-zioni (4.35) corrispondono due tipi di onde che si propagano con velocità differenti: cle ct. Le prime sono caratterizzate da un moto irrotazionale, le seconde da divergenzanulla, quindi, poiché divu = εii = e, è la variazione percentuale di volume, al moto ut

corrisponde una deformazione che non comporta variazione di volume, quindi è una puradistorsione.

Le funzioni u che soddisfano le equazioni (4.35) sono arbitrarie e vengono definite dallecondizioni iniziali, ma le componenti ul e ut devono rispettare le condizioni di irrotazio-nalità e divergenza nulla. Poiché un campo irrotazionale ammette sempre un potenziale,si può porre ul = grad [Ψ (x · n−ct)] = Ψ0n, ciò dimostra che la componente ul dellospostamento ha la direzione della propagazione dell’onda. Analogamente la condizioneche divut = 0, implica che

¡ut¢0 · n = 0, e dunque, poiché n è una costante,anche che¡

ut · n¢0 = 0, da cui segue che ut·n = cost. Una traslazione uniforme dell’intero spazio nonè in genere compatibile con le condizioni al contorno; si potrà quindi porre ut·n = 0. Si puòpertanto concludere che la componente ut è perpendicolare alla direzione di propagazionedell’onda.

4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh) 78

x y

z

Figura~4.4: Rappresentazione schematica di un’onda superficiale piana.

I due tipi di onde sono note in sismologia con i nomi di onde di pressione, od onde-p, eonde di taglio, od onde-s; le onde p si propagano con velocità superiore alle onde di taglio(s), le loro velocità sono nel rapporto:

clct=

s2 +

λ

µ=

r21− ν

1− 2ν ≥√2 (4.38)

come si deduce dalle (4.36). L’equazione (4.38) dimostra che il rapporto tra le velocitàdelle onde p e le s dipende solo dal coefficiente di Poisson ν.

4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh)

Si vuole ora cercare una soluzione dell’equazione delle onde (4.35) che sia valida in unsemispazio in prossimità della sua frontiera. Questa soluzione descrive la propagazione dionde in prossimità della superficie di separazione del semispazio in uno strato di relativopiccolo spessore e quindi sono chiamate onde superficiali o onde di Reyleigh in onore delfisico che per primo studiò questo fenomeno (1885).

Si considererà il caso di un’onda piana, cioè quando le particelle poste in vibrazionesi muovono parallelamente ad un piano che per ovvie ragioni si supporrà ortogonale allasuperficie che delimita il semispazio. Si assumerà un riferimento con origine sulla frontieradel semispazio, l’asse x nella direzione della propagazione dell’onda e l’asse z ortogonalealla superficie e rivolto verso l’interno del semispazio. Per le ipotesi fatte il vettore dispostamento u è contenuto nel piano xz e quindi ha componenti nulle nella direzioneortogonale y.

Nel paragrafo precedente è stato mostrato che è conveniente esprimere il campo deglispostamenti come somma di un vettore irrotazionale ed uno a divergenza nulla. Poiché il

4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh) 79

più generale vettore irrotazionale è il gradiente di un potenziale scalare Φ mentre il piùgenerale vettore a divergenza nulla si esprime come il rotore di un potenziale vettore ψ,si avrà:

ul = gradΦ ut = rotψ (4.39)

Nel caso piano, Φ e ψ saranno funzioni solo di x e z; inoltre, perché ut sia contenuto nelpiano xz occorre che ψ sia ortogonale a tale piano, quindi che abbia una sola componentenon nulla −Ψ, parallela ad y. In modo esplicito si ha dunque:

ul =∂Φ

∂xut =

∂Ψ

∂z(4.40)

wl =∂Φ

∂zwt = −∂Ψ

∂x

in cui u,w indicano le componenti sugli assi x e z, rispettivamente, ed i pedici l o tindicano la parte irrotazionale e quella a divergenza nulla. Sostituendo le (4.40) nelleequazioni (4.35) si ottiene facilmente:

∂

∂x

µ∂2Φ

∂t2

¶= c2l

∂

∂x

µ∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂z2

¶∂

∂z

µ∂2Φ

∂t2

¶= c2l

∂

∂z

µ∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂z2

¶− ∂

∂z

µ∂2Ψ

∂t2

¶= −c2t

∂

∂z

µ∂2Ψ

∂x2+

∂2Ψ

∂z2

¶∂

∂x

µ∂2Ψ

∂t2

¶= c2t

∂

∂x

µ∂2Ψ

∂x2+

∂2Ψ

∂z2

¶Queste relazioni sono equivalenti alle espressioni più sintetiche:

grad

µ∂2Φ

∂t2= c2l4Φ

¶grad

µ∂2Ψ

∂t2= c2t4Ψ

¶che, a meno di un termine costante, del tutto irrilevante, implicano che:

∂2Φ

∂t2= c2l4Φ (4.41a)

∂2Ψ

∂t2= c2t4Ψ (4.41b)

Queste due equazioni sono simili e si differenziano solo per il diverso valore della velocitàdelle onde di pressione rispetto a quelle di taglio; si cercherà ora la struttura della soluzionedi un’equazione del tipo:

∂2F

∂t2= c24F (4.42)

dove F sta per Φ o Ψ e di conseguenza c varrà cl o ct.Separando le variabili si pone

F (x, z, t) = X (x)Z (z)φ (t) (4.43)

4.5 Trave a taglio 80

Sostituendo la (4.43) nella (4.42) e dividendo tutti i termini per F = XZφ, si ha:

1

φ

d2φ

dt2= c2

µ1

X

d2X

dx2+1

Z

d2Z

dz2

¶

4.5 Trave a taglio

Si consideri ora il caso di uno strato delimitato da due piani paralleli tra loro distantih. Si assuma un riferimento in cui l’asse z è ortogonale ai due piani, quindi, supponendoche lo strato sia soggetto ad un moto piano, si indichi con x l’altro asse che, insieme a z,definisca il piano parallelo alla direzione del moto, così che possa porsi uy = 0. Inoltresi assumerà che la faccia inferiore dello strato (z = 0) sia vincolata, per cui u(0, t) = 0,mentre la faccia superiore sarà libera, e quindi T(h, t)k = 0; k indica la direzione dell’assez.

Si cerca una soluzione delle equazioni (4.35) che soddisfa le condizioni precedenti,assumendo uz = 0 ed inoltre che la sola componente di u non nulla, ux, sia funzione dellasola coordinata spaziale z:

ux = u(z, t) uy = uz = 0 (4.44)

Di conseguenza la sola componente di deformazione non nulla sarà:

γxz =du

dz

e pertanto la sola componente di T diversa da zero sarà τxz. Le equazioni di equilibrio(4.1) con g = 0 si riducono alla sola:

ρ∂2u

∂t2= G

∂2u

∂z2

poiché le altre si riducono all’identità 0 = 0, e da cui si ottiene:

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂z2(4.45)

dove c =pG/ρ è la velocità delle onde di taglio [eq. (4.36)].

Separando le variabili, ponendo:

u (z, t) = φ (z)w(t) (4.46)

dalla (4.45) si ottengono le due equazioni ordinarie:

w + ω2w = 0 (4.47a)

φ00 + κ2φ = 0 (4.47b)

dove κ = ω/c.Come nel caso delle vibrazioni longitudinali di una barra, le soluzioni delle equazioni

(4.47) sono funzioni armoniche:

w(t) = eiωt (4.48a)

φ(z) = Aeiκx +Be−iκx (4.48b)


e quindiu (x, t) = Aei(ωt+κx) +Bei(ωt−κx)

Per rispettare le condizioni ai limiti si dovrà avere che u(0, t) = 0 ed inoltre cheτxz(h) = Gγxz(h) = Gw

dφdz |zhl = 0, per cui dovranno essere soddisfatte le condizioni:

(A+B)eiωt = 0

iκ³Aeiκh −Beiκh

éiωt = 0

da cui si hanno le soluzioni non banali: A = −B e cos (κh) = 0, ovvero:

κ = κn =

µn− 1

2

¶π

h(4.49)

dove n è un intero positivo. A questi valori di κ corrispondono le autofunzioni

φn = φ0n sin

·µn− 1

2

¶πz

h

¸(4.50)

che sono le forme di vibrazione dello strato.Dalla (4.49) e dalla definizione di κ segue che le frequenze dei modi di vibrazione dello

strato sono:

ω = ωn = cκn =

µn− 1

2

¶πc

h(4.51)

Oscillazioni forzate

Si supponga ora che la base dello strato sia soggetta ad un moto assegnato di direzionex, descritto dalla storia di accelerazione ag(t). Le equazioni di equilibrio (4.1) sono ovvia-mente ancora valide, ma devono scriversi con riferimento ad una base inerziale, per cui inquesto caso si ha

ρ

µag +

∂2u

∂t2

¶= G

∂2u

∂z2

da cui si deduce l’equazione

∂2u

∂t2− c2∂

2u

∂z2= −ag(t) (4.52)

La soluzione di questa equazione si cercherà tra le funzioni che possono esprimersi comecombinazione lineare delle autofunzioni φn dei modi di vibrazione dello strato, nella forma:

u(z, t) =∞Xn=1

wn (t)φn (z) (4.53)

che soddisfano in modo implicito le condizioni ai limiti. Questo richiede in via prelimi-nare la dimostrazione che le autofunzioni φn formino un sistema ortogonale, ossia cheR h0 φn(z)φk(z)dz = 0 se n 6= k.


Ortogonalità dei modi Per quanto visto prima ogni funzione un(z, t) = wn(t)φn(z) èuna soluzione dell’equazione di equilibrio

ρun = G∂2un∂z2

per cui in ogni istante vi è equilibrio tra le tensioni prodotte dalla deformazione elastica une le forze esterne −ρun. Se un e uk sono gli spostamenti relativi a due modi di vibrazionen e k, allora per il teorema di Betti, ad ogni istante, il lavoro fatto dalle forze del modon per gli spostamenti del modo k sarà uguale al lavoro delle forze del modo k per glispostamenti del modo n. In formule:Z h

0(−ρun)ukdz =

Z h

0(−ρuk)undz

Sotituendo ad u il prodotto w(t)φ(z) si ottiene:

wnwk

Z h

0ρφn(z)φk(z)dz = wkwn

Z h

oρφk(z)φn(z)dz

quindi, tenendo conto cke per (4.47a) si ha wn/wn = −ω2n, dividendo ambo i membridell’equazione precedente per wnwk si ottiene:

−ω2nZ h

0ρφn(z)φk(z)dz = −ω2k

Z h

oρφk(z)φn(z)dz

ovvero: ¡ω2n − ω2k

¢ Z h

0ρφn(z)φk(z)dz = 0

Se ω2n 6= ω2k la condizione precedente è soddisfatta solo seZ h

0ρφn(z)φk(z)dz = 0 n 6= k (4.54)

che esprime la condizione di ortogonalità dei modi di vibrazione; quando, come nel casoesaminato, si suppone che ρ costante nel dominio di integrazione, la condizione (4.54)diviene semplicemente:

R h0 φn(z)φk(z)dz = 0.

Soluzione del problema delle oscillazioni forzate Tornando alla determinazionedelle vibrazioni dello strato prodotte dal moto di trascinamento della base vincolata,sostituendo la (4.53) nella (4.52) e ricordando che, se la serie (4.53) è assolutamenteconvergente, l’operatore di somma e quello di derivazione commutano, si ha:

∞Xn=0

wn (t)φn (z)− c2∞Xn=1

wn (t)φ00n (z) = −ag (t)

Eseguendo la sostituzione φ00n = −κnφn, come è lecito per la (4.47b), quindi moltiplicandotutti i termini di questa equazione per la k-esima autofunzione φk(z) e per ρ ed integrandosu z tra 0 e h, tenendo in conto la (4.54) si ha:

wk (t)

Z h

0ρφ2k (z) dz + c

2κ2kwk (t)

Z h

0ρφ2k (z) dz = −ag (t)

Z h

0ρφk (z) dz


Dividendo tutti i termini perR h0 ρφ2k (z) dz e ricordando che cκ = ω, dall’ultima equazione

si deriva;

wk (t) + ω2kwk (t) = −pkag (t) (4.55)

dove

pk =

R h0 ρφk (z) dzR h0 ρφ2k (z) dz

(4.56)

è il coefficiente di partecipazione del modo k. Per ρ costante le funzioni φk hannol’espressione (4.50), pertanto:

pk =

R h0 sin

£¡k − 1

2

¢π zh¤dz

φ0kR h0 sin

2£¡k − 1

2

¢π zh¤dz=1

φ0k

4

(2k − 1)π (4.57)

I coefficienti pk che “pesano” l’azione ag per ciascun modo, decrescono inversamente al-l’ordine del modo. Così, normalizzando tutti i modi per cui φ0k = 1 ∀k, il rapporto trail coefficiente del modo k ed il primo, pk/p1 = 1/(2k + 1). Ad esempio il coefficiente dipartecipazione del 10◦ modo sarà 1/19 del coefficiente del primo; i modi di ordine moltoelevato pertanto avranno un coefficiente molto piccolo e risulteranno trascurabili.

Se l’eccitazione è una funzione armonica di pulsazione ωf , per quanto visto nel capitolo2, le ampiezze delle risposte modali wk(t) dipendono, oltre che dall’ampiezza della forzante,dal rapporto βk = ωf/ωk tra la frequenza della forzante e quella naturale del modo. Poichéla funzione di amplificazioneD [eq. (2.48)] ha un massimo per β ' 1, le risposte dei modi difrequenza prossima a quella della forzante saranno amplificati; quelli di frequenza ωk ¿ ωf(βk À 1) risultano attenuati, poiché D < 1; per quelli di frequenza ωk À ωf , la funzioneD ' 1, ma, per la (4.57), il coefficiente di partecipazione diviene piccolo, pertanto ancheil contributo di questi modi diverrà trascurabile in confronto a quello dei modi prevalenti.

Quando l’eccitazione è costituita dalla sovrapposizione di più funzioni armoniche didiversa frequenza, in genere vi sarà più di un modo che sarà eccitato significativamente;l’entità della risposta di ciascun modo dipenderà dalle ampiezze delle componenti dellaforzante di frequenza più prossima a quella del modo e dal coefficiente di partecipazionedi questo. In genere se l’eccitazione ha uno “spettro” a larga banda, cioè è formato damolte armoniche di ampiezza confrontabile, la risposta sarà dominata dai primi modi acui corrispondono i coefficienti di partecipazione maggiori.

4.5.1 Onde smorzate

Nelle equazioni precedenti non si è tenuto conto della dissipazione per cui un’oscillazioneresta stazionaria anche in assenza di un’eccitazione che la sostenga. Questo è, come noto,contrario all’evidenza fisica; per avere un modello più realistico si deve introdurre nellegame costitutivo del materiale un termine che tenga conto della dissipazione. Il modellopiù semplice che conserva la linearità delle equazioni è quello di Kelvin che, in formagenerale si formula:

T = CE+DE (4.58)

dove C e D sono tensori del quarto ordine, il tensore elastico e quello di dissipazione. Nelcaso in esame in cui E ha una sola componente non nulla, la (4.58) diviene l’equazionescalare:

τ = Gγ + ηγ (4.59)


per cui l’equazione di equilibrio diviene:

ρ∂2u

∂t2= G

∂2u

∂z2+ η

∂3u

∂t∂z2(4.60)

• Si cerca una soluzione della (4.60) ponendo:

u (z, t) = φ (z) eiωt (4.61)


−ρω2φ (z) eiωt = Gφ00 (z) eiωt + iωηφ00 (z) eiωt

ovvero: ·φ00 (z) +

ρω2

G+ iωηφ (z)

¸eiωt = 0 (4.62)

I modi di vibrazione dello strato si ottengono quindi come soluzione dell’equazione

φ00 (z) + κ∗2φ (z) = 0 (4.63)

per appropriate condizioni al contorno. La costante

κ∗ = ω

rρ

G∗= ω

rρ

|G∗|√e−iψ (4.64)

è il numero d’onda complesso e G∗ = G − iωη è il modulo di taglio complesso. Sesi pone ωη = 2ζG, dove ζ è la percentuale di smorzamento rispetto al critico, si haG∗ = G (1+ 2iζ) e la (4.64) si puòscrivere:

κ∗ = ω

sρ

G¡1+ 4ζ2

¢√e−iψ (4.65)

e si è posto ψ = tan−1 (2ζ). Le due radici di e−iψ sono quindi e−iζ e ei(π−ζ).

La soluzione dell’equazione (4.63) si scrive dunque:

φ (z) = Aeiκ∗z +Be−iκ

∗z (4.66)

e quindi u (z, t) =¡Aeiκ

∗z +Be−iκ∗z¢eiωt. Di conseguenza la tensione τ è data da

τ = G∂u

∂z+ η

∂2u

∂t∂z= [G+ iωη]

∂φ

∂zeiωt =

G∗iκ∗³Aeiκz −Be−iκ∗z

éiωt (4.67)

Se z = 0 corrisponde alla superficie libera dello strato, si avrà τ (0, t) = 0 e quindi, perla (4.67) A−B = 0, ossia A = B.

Si supponga che la base dello strato sia soggetta ad un moto imposto di tipo armonico:u0 = Ue

iωt; quindi alla base dello strato, per compatibilità cinematica, si dovrà avere:

Aeiκ∗h +Be−iκ

∗h = U


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

Figura~4.5: Modulo della funzione di amplificazione per v = 500m/ sec, h = 50m eζ = 0.1

ed essendo A = B,

A = B =U

eiκ∗h + e−iκ∗h=

U

2 cos (κ∗h)

così il rapporto tra l’ampiezza del moto in superficie A+B e quella alla base U è

F (ω) =2A

U=

1

cos (κ∗h)(4.68)

ed è detta la funzione di amplificazione dello strato. Ponendo κ∗ = κ1 + iκ2, si ha

F (ω) =1

coshκ1 coshhκ2 − i sinhκ1 sinhhκ2 (4.69)

ed il cui modulo è

|F (ω)| = 1psinh(κ2h)2 + cos(κ1h)2

(4.70)

Per valori piccoli dello smorzamento si ha κ∗ ' κ (1− iζ), dove κ = ωpρ/G = ω/v

è il numero d’onda non smorzato. In tal caso κ1 = κ, κ2 = ζκ. Ponendo ad esempiov = 500m/ sec e ζ = 0.1, h = 50m

Se il terreno è stratificato, la soluzione si può ancora porre nella forma (4.66) all’internodi ciscuno strato, ma i coefficienti A e B saranno diversi tra uno strato e l’altro. Assumendoper ciascun strato un riferimento che ha origine sulla superficie limite superiore dello stratoe rivolto verso il basso, le condizioni di compatibilità ed equilibrio tra due strati consecutiviimpongono che:

φk (0) = φk+1 (hk+1)

τk (0) = τk+1 (hk+1)

4.6 Vibrazione delle travi inflesse 86

Dalla prima si tre immediatamente che

Ak+1 +Bk+1 = Akeiκ∗khk +Bke

−iκ∗khk (4.71)

mentre dalla seconda, ricordando la (4.67) si ha:

G∗k+1iκ∗k+1 (Ak+1 −Bk+1) = G∗kiκ∗k

³Ake

iκ∗khk −Bke−iκ∗khk´

ovvero

Ak+1 −Bk+1 = G∗kiκ∗k

G∗k+1iκ∗k+1

³Ake

iκ∗khk −Bke−iκ∗khk´

(4.72)

Ponendo a sistema le (4.71) e (4.72) si ottiene la relazione ricorsiva:

Ak+1 =

Ã1+

G∗kiκ∗k

G∗k+1iκ∗k+1

!Ake

iκ∗khk +

Ã1− G∗kiκ

∗k

G∗k+1iκ∗k+1

!Bke

−iκ∗khk (4.73a)

Bk+1 =

Ã1− G∗kiκ

∗k

G∗k+1iκ∗k+1

!Ake

iκ∗khk +

Ã1+

G∗kiκ∗k

G∗k+1iκ∗k+1

!Bke

−iκ∗khk (4.73b)

Partendo dallo strato superiore dove, per quanto si è visto A = B e ponendo A = B = 1,applicando ripetutamente la (4.73) si determinano i coefficienti AN e BN dell’ultimo strato,la funzione di amplificazione sarà:

F (ω) =2

ANeiκ∗NhN +BNe

−iκ∗NhN(4.74)

4.6 Vibrazione delle travi inflesse

Per una trave di sezione costante deformabile solamente a flessione, l’equazione della lineaelastica è, come noto:

d4v

dx4=p(x)

EJ

dove v(x) è lo spostamento della linea elastica, p(x) indica la densità del carico, EJ è larigidezza alla flessione ed x è l’ascissa lungo la linea d’asse della trave. Nel caso dinamico,oltre al carico p(x) si dovrà mettere in conto le forze di inerzia; considerando trascurabilii termini dovuti all’inerzia rotazionale, l’equazione di equilibrio dinamico della trave è:

∂4v

∂x4=1

EJ

µp(x)− ρ

∂2v

∂t2

¶che, ordinata diversamente può scriversi:

∂4v

∂x4+

ρ

EJ

∂2v

∂t2=p(x, t)

EJ(4.75)

In questa equazione ρ è la densità di massa della trave e v(x, t) è la linea elastica dellatrave, funzione dell’ascissa x e del tempo t.


4.6.1 Oscillazioni libere

Ponendo p ≡ 0, l’equazione (4.75) si semplifica nella:∂4v

∂x4+

ρ

EJ

∂2v

∂t2= 0 (4.76)

la cui soluzione rappresenta le oscillazioni libere della trave. Anche in questo caso lasoluzione si cerca con il metodo di separazione, ponendo:

v (x, t) = φ (x)w (t) (4.77)


d4φ

dx4w +

ρ

EJφd2w

dt2= 0

e quindi:1

φ

d4φ

dx4EJ

ρ= − 1

w

d2w

dt2= ω2

da cui si deducono le due equazioni:

d2w

dt2+ ω2w = 0 (4.78a)

d4φ

dx4− ρω2

EJφ = 0 (4.78b)

La prima è ancora l’equazione di un oscillatore elementare non smorzato di frequenzanaturale ω2. La seconda delle (4.78), posto

a4 =ρω2

EJ(4.79)

è un’equazione omogenea di quarto grado, la cui equazione caratteristica è

α4 − a4 = 0

le cui 4 radici sonoα =

©a ia −a −ia ª

Quindi la soluzione della (4.78b) è

φ(x) = C1eax + C2e

iax + C3e−ax + C4e−iax

o, in forma equivalente:

φ(x) = A1 sin (ax) +A2 cos (ax) +A3 sinh (ax) +A4 cosh (ax) (4.80)

I valori dei coefficienti Ak (o Ck) dipendono dalle condizioni al contorno, pertanto lafunzione φ risulterà definita solo dopo aver precisato le condizioni di vincolo delle estremità.


Trave appoggiata

Nella trave appoggiata si annullano sia gli spostamenti sia i momenti alle estremità dellatrave. Poiché M = EJu00 le condizioni di vincolo forniscono le 4 equazioni per le funzioniφ:

φ(0) = 0 φ(l) = 0

φ00(0) = 0 φ00(l) = 0

dove l indica la lunghezza della trave. Sostituendo la (4.80) e la sua derivata seconda siottengono le seguenti 4 equazioni, le cui incognite sono i coefficienti Ai:

A2 +A4 = 0

−A2 +A4 = 0

A1 sin(al) +A2 cos(al) +A3 sinh(al) +A4 cosh(al) = 0

−A1 sin(al)−A2 cos(al) +A3 sinh(al) +A4 cosh(al) = 0

In altra forma questo sistema si può riscrivere:0 1 0 10 −1 0 1sin(al) cos(al) sinh(al) cosh(al)− sin(al) − cos(al) sinh(al) cosh(al)

A1A2A3A4

=0000

Questo sistema omogeneo ha soluzioni non banali solo se il determinante della matrice deicoefficienti è nullo, ossia se:

−4 sin al sinh al = 0che evidentemente è soddisfatta se al = nπ, ossia se:

a = nπ

l

Ricordando la definizione (4.79) della costante a si ottengono le frequenze naturali delleoscillazioni libere non smorzate:

ωn =

sEJ

ρa2 = n2π2

sEJ

ρl4(4.81)

I modi di vibrazione flessionale di una trave elastica di sezione costante sono sinusoidila cui “lunghezza d’onda” è un sottomultiplo di l: sin(nπx/l), a ciascun modo corrispondeuna frequenza di vibrazione fornita dall’equazione (4.81).

Mensola

Nel caso di una mensola incastrata nella sezione origine (x = 0), le condizioni di vincolosono: u(0) = u0(0) = 0, M(l) = V (l) = 0, ossia nella sezione di incastro si annullanogli spostamenti e le rotazioni, nella sezione libera saranno nulle le sollecitazioni di taglioe momento. Queste condizioni implicano che la funzione φ deve verificare le seguentiequazioni:

φ (0) = φ0 (0) = 0φ00 (l) = φ000 (l) = 0


Sostituendo l’espressione (4.80) della funzione φ si ha il sistema di 4 equazioni nelle 4incognite Ak:

0 1 0 11 0 1 0

− sin (al) − cos (al) sinh (al) cosh (al)− cos (al) sin (al) cosh (al) sinh (al)

A1A2A3A4

=0000

Il determinante della matrice dei coefficienti è

2 + 2 cos al cosh al

I valori di al che rendono nulla questa funzione devono essere trovati numericamente; leprime 4 radici sono:

al =©1. 8751 4. 6941 7. 8548 10. 996 · · · ª

e pertanto le prime 4 frequenze naturali di una mensola omogenea di lunghezza l e rigidezzaflessionale EJ , risultano:

ω =

sEJ

ρl4©3. 516 22. 035 61. 698 120. 91 · · · ª (4.82)

Appendice A

Elementi di algebra lineare

A.1 Spazi vettoriali

Si dice spazio vettoriale un insieme non vuoto V che soddisfa le seguenti condizioni:

1. Se u ed v sono elementi di V, esiste un’operazione, la somma di u e v, che associa adue elementi di V uno ed un solo elemento dello stesso spazio:

w = u+ v

e che verifica le seguenti proprietà:

(a) è commutativau+ v = v+ u

(b) è associativa:u+ (v+ w) = (u+ v) + w

2. Esiste in V un elemento nullo 0 tale che:

u+ 0 = u ∀u ∈ V

3. Per ogni elemento u ∈ V esiste un altro elemento di V, detto l’opposto di u, (−u),tale che:

u+ (−u) = 0

4. Se a è un numero e u ∈ V, il prodotto di a per u è un vettore v ∈ V:

v = au

che verifica le seguenti proprietà:

a(bu) = (ab)u

1u = u

(a+ b)u = au+ bu

a(u+ v) = au+ av

90

A.2 Dipendenza lineare 91

A.2 Dipendenza lineare

Dati n vettori v1, . . . , vn elementi di V, questi si dicono linearmente dipendenti se esistonon numeri a1, . . . , an, non tutti nulli, tali che:

a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0 (A.1)

Al contrario, se l’eq. (A.1) è vera solo se a1 = a2 = · · · = an = 0, i vettori v1, . . . , vn sidicono linearmente indipendenti.

A.3 Dimensioni di uno spazio. Basi

Se in uno spazio vettoriale V esistono n vettori linearmente indipendenti e1, e2, . . . , en, manon ne esistono n+ 1, si dice che V ha n dimensioni, e si indica con Vn.

Una n-pla di vettori indipendenti ∈ Vn forma una base dello spazio vettoriale, poichéogni vettore w ∈ Vn si può rappresentare con una combinazione lineare dei vettori dellabase.

Infatti, se e1, . . . , en sono una tale base, allora qualunque sia w esisteranno n+1 numeriaj tali che:

a1e1 + a2e2 + · · ·+ anen + an+1w = 0 (A.2)

in quanto per ipotesi in Vn non esistono n + 1 vettori linearmente indipendenti; inol-tre an+1 6= 0, poiché in caso contrario i vettori della base {ej} sarebbero linearmentedipendenti. Quindi, risolvendo la (A.2) rispetto a w si ha:

w = w1e1 + w2e2 + · · ·+wnen =nXj=1

wjej (A.3)

in cui i coefficienti wj sono dati dalla:

wj = − ajan+1

e sono detti le componenti di w rispetto alla base E = {ej}.

A.4 Prodotto interno

Se u, w sono elementi dello spazio vettoriale V, si definisce il prodotto interno (o scalare)dei due vettori un’operazione che associa a u, w un numero (reale o complesso) e si indicacon il simbolo:

hu,wiIl prodotto interno soddisfa le seguenti condizioni:

1. se a e b sono numeri (reali o complessi) allora:

hau, bwi = abhu,wi

in cui b indica il complesso coniugato di b.

A.5 Vettori ortogonali 92

2.

hu, ui ≥ 0

e l’uguaglianza è verificata se e solo se u = 0.

3.

hu+ v,wi = hu,wi+ hv,wi

4.

hu,wi = hw, ui

A.5 Vettori ortogonali

Due vettori non nulli u e v si dicono ortogonali se il loro prodotto interno è nullo:

u ⊥ w se hu,wi = 0

Se n vettori vj sono tra loro ortogonali allora sono anche linearmente indipendenti.Infatti in caso contrario esisterebbe una combinazione lineare con coefficienti non tuttinulli per cui:

nXj=1

ajvj = 0

Prendento il prodotto interno di ambo i membri di questa equazione ed uno qualsiasi vkdei vettori dell’insieme, per l’ortogonalità tra essi, si ha evidentemente:

nXj=1

ajhvj , vki = akhvk, vki = 0

Ciò implica, dato che hvk, vki 6= 0, che ak = 0. Poiché questo e valido per qualunque vk(k = 1, 2, . . . , n), ne segue che i coefficienti ak devono essere tutti nulli, quindi i vettori vjsono linermente indipendenti.

Da quanto dimostrato segue che in uno spazio Vn non possono esistere più di n vettoritra loro ortogonali.

A.6 Basi ortogonali

Dati n vettori linearmente indipendenti v1, v2, . . . , vn, si possono, a partire da questi,costruire n vettori ortogonali. A questo scopo è sufficiente seguire la procedura:

w1 = v1

w2 = v2 − hw1, v2ihw1,w1iw1

w3 = v3 − hw1, v3ihw1,w1iw1 −

hw2, v3ihw2,w2iw2

. . .

(A.4)

A.7 Componenti di un vettore 93

È facile controllare direttamente che i vettori wj sono tra loro ortogonali; la dimostrazioneperò non è completa se non si verivica che i denominatori nelle eq. (A.4) sono diversi dazero. Per questo basta controllare che wk 6= 0 ∀k; ma questo è immediato perché, tenendoconto che ogni wk è una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli di vj , j ≤ k, seper qualche k risultasse wk = 0, esisterebbe una combinazione lineare dei vettori vj conrisultante nullo, contraddicendo l’ipotesi di indipendenza dei vettori vj .

Poiché i vettori ortogonali sono indipendenti possono essere impiegati per formare unabase dello spazio Vn. Data una base qualsiasi, seguendo la procedura (A.4), si può semprecostruire una base ortogonale. Se poi, a partire da una base ortogonale wj si costruisceun’altra base:

uj =1

hwj ,wjiwj ∀j

che soddisfa alla condizione di normalità huj , uji = 1, ∀j, la base così ottenuta si diceortonormale.

A.7 Componenti di un vettore

Data una base E ∈ Vn, l’eq. (A.3) dimostra che ogni vettore w può essere rappresentatocome combinazione lineare dei vettori della base. I coefficienti wj della combinazione sidicono le componenti di w nella base E.

Dati due vettori u ed w, rappresentati nella base E:

u =nXj=1

ujej w =nXj=1

wjej (A.5)

la loro somma è data da:

u+ w =nXj=1

(uj +wj)ej (A.6)

cioè le componenti della somma di due vettori si ottengono sommando le componentiomologhe dei vettori sommati.

Se a è un numero, applicando le proprietà elencate, si ottiene facilmente che:

au =nXj=1

(a uj)ej (A.7)

ossia le componenti del vettore ottenuto moltiplicando un vettore per uno scalare siottengono moltiplicando le componenti del vettore dato per lo stesso scalare.

Si calcola ora il prodotto interno di due vettori rappresentati nella base E; utilizzandol’eq. (A.5) e le proprietà del prodotto interno si ottiene:

hu,wi =nXj=1

nXk=1

hej , ekiujwk =nXj=1

nXk=1

gkjujwk (A.8)

Questa equazione dimostra che il prodotto interno di due vettori si calcola come una formaquadratica i cui coefficienti:

gkj = hej , eki (A.9)

A.8 Cambiamento di base 94

formano una matrice quadrata hermitiana1 e definita positiva2: la prima proprietà è con-seguenza della proprietà 4, mentre quest’ultima discende direttamente dalla proprietà n. 2del prodotto interno.

Indicando con u e w le matrici n× 1 costruite con le componenti dei vettori u e w, econ G la matrice quadrata n× n costruita con i coefficienti gkj :

u =

u1u2...un

w =

w1w2...wn

G =

g11 g12 . . . g1ng21 g22 . . . g2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .gn1 gn2 . . . gnn

(A.10)

il prodotto interno dei vettori u ed w si calcola con la forma quadratica3:

hu,wi = w∗ ·G · u = u∗ ·G ·w (A.11)

A.7.1 Basi ortonormali

Se E è una base ortonormale, tenendo conto che in tal caso si ha hej , eki = 0 per j 6= k ehej , eji = 1, dall’eq. (A.9) segue:

gjk = δjk

in cui δjk indica il simbolo di Kroneker: δjk = 0 per j 6= k e δjj = 1. Di conseguenza lamatrice G coincide con la matrice unità I ed il prodotto interno di due vettori in questabase diviene:

hu,wi = u∗ · I ·w = u∗ ·w (A.12)

In questo caso il prodotto interno si riconduce al prodotto matriciale tra una matrice aduna riga u∗ ed una matrice ad una colonna w.

A.8 Cambiamento di base

Se E è una base di Vn e E0 un’altra base nello stesso spazio, i vettori e0j che formano laseconda base si potranno rappresentare come combinazione di quelli della prima:

e0j =nXk=1

βkjek (A.13)

1Una matrice quadrata si dice hermitiana se per tutti i termini della matrice sono verificate le ugua-glianze ajk = akj . Se con A∗ si indica la matrice (detta aggiunta) che si ottiene da A scambiando le righecon le colonne e prendendo il complesso coniugato dei suoi elementi:

A∗ = AT

una matrice è hermitiana se A = A∗. È evidente che gli elementi della diagonale principale di una matricehermitiana sono reali. Se una matrice hermitiana è reale allora è una matrice simmetrica, cioè A = AT .

2Una matrice quadrata n×n A si dice definita positiva se, per per qualsiasi matrice n× 1, x 6= 0 si ha:x∗ ·A · x > 0

3Nel caso reale l’eq. (A.11) diviene semplicemente hu,wi = uT ·G ·w.

A.8 Cambiamento di base 95

Analogamente i vettori della prima base si potranno rappresentare come combinazione diquelli della seconda:

eh =nXj=1

αjhe0j (A.14)

Con i coefficienti βkj e αjh si costruiscono due matrici n×n che, come è facile dimostrare,sono l’una l’inversa dell’altra. Infatti se si sostituisce l’eq. (A.13) nella (A.14) si ottiene:

eh =nXj=1

nXk=1

αjhβkjek (A.15)

Poiché i vettori eh sono linearmente indipendenti, l’equazione (A.15) implica che:

nXj=1

βkjαjh = δkh (A.16)

che, con formalismo matriciale, si può scrivere:

B ·A = I (A.17)

da cui segue che, poiché A e B sono quadrate:

B = A−1 (A.18)

cioè la matrice B è l’inversa di A (e viceversa).Se u è un vettore di Vn e uT = [u1, u2, . . . , un] sono le sue componenti nella base E,

cioè si ha:

u =nXj=1

ujej

sostituendo ai vettori ej la loro rappresentazione nella base E0 espressa dall’eq. (A.14), siottiene:

u =nXj=1

nXk=1

ujαkjv0k =

nXk=1

u0kv0k (A.19)

in cui si è posto

u0k =nXj=1

αkjuj (A.20)

L’equazione (2.23) mostra che le quantità u0k sono le componenti di u nella nuova base E0;

con esse si costruisce la matrice u0 (n×1) , che si ottiene dalla matrice u delle componentirelative alla base precedente mediante la trasformazione:

u0 = Au (A.21)

A.9 Operatori lineari 96

A.9 Operatori lineari

Una funzione che associa elementi v di uno spazio vettoriale ad altri elementi dello stessospazio, è chiamata un operatore. Se la funzione gode delle proprietà di linearità, è indicatacon il nome di operatore lineare.

Più precisamente, sia L : Vn 7→ Vn, in modo tale che, se ( u w) ∈ Vn e a e b sononumeri, si ha:

L(au+ bw) = aL(u) + bL(w)

L è un operatore lineare.Dato uno spazio vettoriale Vn, se E è una sua base e L un operatore lineare, rappre-

sentando un vettore u ∈ Vn come combinazione lineare dei vettori della base:

u =nXj=1

ujej (A.22)

ed applicando ad entrambi i membri dell’eq. (A.22) l’operatore L, tenendo conto delleproprietà prima enunciate, risulta:

L(u) =nXj=1

ujL(ej) (A.23)

I vettori L(ej) sono elementi di Vn e quindi si possono rappresentare nella base E;indicando con akj la componente di L(ej) relativamente a ek, è

L(ej) =nXk=1

akjek

Quindi, sostituendo nell’eq. (A.23) si ottiene:

L(u) =nXj=1

nXk=1

ujakjek =nXk=1

nXj=1

akjuj

ek (A.24)

Dall’eq. (A.24) appare evidente che le componenti del vettore L(u) nella base E, si ot-tengono combinando linearmente i coefficienti akj con le componenti del vettore origineu. Raccogliendo le componenti di L(u) e di u in matrici n × 1 e i coefficienti ak,j dellatrasformazione nella matrice n× n:

L =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann

le componenti di L(u) in E si ottengono dal prodotto:

L · u (A.25)


A.9.1 Cambiamento di base di un operatore lineare

Se u, w sono due elementi dello spazio vettoriale Vn collegati da una trasformazione lineareL, in modo che si abbia w = L(u), per l’eq. (A.25), le componenti dei vettori relative aduna base E si trasformano mediante la relazione lineare:

w = L · u (A.26)

in cui L è una matrice n× n. Passando dalla base E ad una nuova base E0 le componentidei vettori u, w si trasformano in accordo alla eq. (A.21); tenendo conto anche della (A.18)si ha quindi: w0 = Aw e u = A−1u0, per cui l’eq. (A.26) diviene:

w0 = A ·w = A · L ·A−1 · u0 = L0 · u0 (A.27)

avendo posto:

L0 = A · L ·A−1 (A.28)

L’eq. (A.28) esprime la legge di trasformazione a seguito del cambiamento di base dellamatrice L della trasformazione lineare L.

A.9.2 Nucleo di un operatore lineare

Se L indica un operatore lineare in Vn, l’insieme degli elementi dello spazio vettoriale Vnper cui si ha:

L(v) = 0

è chiamato il nucleo dell’operatore L. Formalmente, il nucleo (L) di un’operatore lineareè definito dalla relazione:

(L) = {v ∈ Vn|L(v) = 0} (A.29)

A.9.3 Inverso di un operatore

Sia L un operatore lineare di Vn; dato un elemento qualsiasi w ∈ Vn, si supponga cheesista un solo elemento di Vn, v, tale che:

w = L(v)

allora si può definire un operatore w→ v, inverso di L:

v = L−1(w) = L−1 ◦ L(v) (A.30)

Si può dimostrare che, se esiste, L−1 è un operatore lineare e che l’operatore L èinvertibile (cioè esiste il suo inverso L−1) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solovettore nullo:

(L) = {0}Se L è la matrice dell’operatore L in una base E, allora, se L è invertibile, la matricedell’operatore L−1 è l’inversa di L. L’operatore L è invertibile se e solo se L non èsingolare (cioè det(L) 6= 0).4

4 Il determinante è una proprietà intrinseca dell’operatore e non muta con il cambiamento della base.Infatti, tenendo conto delle note proprietà dei determinanti e dell’eq. (A.28), si ha:

det(A0) = det(A · L ·A−1) = det(A) det(L) det(A)−1 = det(A)


A.9.4 Operatore identico

L’operatore che trasforma ogni elemento di Vn in se stesso è detto l’operatore identicodello spazio Vn:

v = I(v) ∀v ∈ VnL’eq. (A.30) dimostra che, se un operatore è invertibile, l’applicazione successiva di L

e del suo inverso produce l’operatore identico:

L−1 ◦ L = I

La matrice dell’operatore identico I in Vn è la matrice unitaria I (n× n).

A.9.5 Operatori hermitiani

Siano (v,w) ∈ Vn elementi di uno spazio vettoriale ed L un operatore lineare dello stessospazio: poiché L(v) ∈ Vn, si può calcolare il prodotto interno:

hL(v), wi

Esiste ed è unico un altro operatore lineare L∗, detto l’operatore aggiunto di L, tale che:

hL(v),wi = hv, L∗(w)i (A.31)

Un operatore lineare L si dice hermitiano od autoaggiunto se L = L∗, per cui:

hL(v), wi = hvL(w)i

La matrice dell’operatore aggiunto è l’aggiunta della matrice di L, cioè la matrice chesi ottiene prendendo la complessa coniugata della trasposta:

L∗ = LT (A.32)

La matrice aggiunta di una matrice reale è la sua trasposta. Una matrice è hermitiana secoincide con la sua aggiunta A∗ = A; una matrice reale è autoaggiunta se è simmetrica.

A.9.6 Operatori unitari

Un operatore U si dice unitario se soddisfa la seguente condizione: per ogni (v, w) ∈ Vn,

hU(w), U(v)i = hw, vi (A.33)

Un operatore è unitario solo se U∗ ◦U = I. Infatti dalla definizione (A.33) e da quelladi operatore aggiunto (A.31), segue:

hU(v), U(w)i = hv, U∗ ◦ U(w)i = hv, wi

da cui segue evidentemente che U∗ ◦ U = I.Quindi per un operatorunitario esiste sempre l’operatore inverso, e questo coincide con

l’operatore aggiunto.


A.9.7 Autovalori ed autovettori di un operatore

Se A è un operatore lineare dello spazio vettoriale Vn ed x un elemento di Vn, x è dettoun autovettore di A se per qualche numero λ è verificata l’equazione:

A(x) = λx (A.34)

il numero λ ∈ C è detto l’autovalore di A associato all’autovettore x.Se ad un autovalore λ sono associati più di un atovettore xk, allora ogni combinazione

lineare di questi autovettori è un autovettore di A. Infatti, per le proprietà degli operatorilineari e per la (A.34), si ha:

A(Xk

ckxk) =Xk

ckA(xk) = λXk

ckxk

Gli autovettori che corrispondono ad autovettori distinti sono linearmente indipendenti.Siano infatti x1, . . . , xm m autovettori di A, cui corrispondono diversi autovalori λ1, . . . ,λm.Se m = 1 l’affermazione è ovvia; infatti cx1 = 0 solo se c = 0. Si assuma che l’affermazionesia vera per m − 1; in questo caso per qualunque combinazione lineare a coefficienti nontutti nulli, si ha:

c1x1 + c2x2 + · · ·+ cm−1xm−1 6= 0 (A.35)

Si supponga per assurdo che invece x1, . . . , xm−1, xm siano linearmente dipendenti. Inquesto caso esisterebbe una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli per cui:

c1x1 + c2x2 + · · ·+ cm−1xm−1 + cmxm = 0 (A.36)

Applicando l’operatore A a tutti i termini della (A.36) e tenendo conto dell’eq. (A.34),risulta:

c1λ1x1 + c2λ2x2 + · · ·+ cm−1λm−1xm−1 + cmλmxm = 0 (A.37)

se a questa equazione si sottra la (A.36) moltiplicata per λm, risulta:

c1(λ1 − λm)x1 + c2(λ2 − λm)x2 + · · ·+ cm−1(λm−1 − λm)xm−1 = 0

ma, dato che per ipotesi λm 6= λk, (k 6= m), questa implicherebbe che x1, . . . , xm−1 sianolinearmente dipendenti, contraddicendo l’ipotesi: quindi l’eq. (A.36) è falsa ed è pertantodimpostrato che gli autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

Indicando con I l’operatore identico, l’equazione (A.34) si può riscrivere:

(A− λI)(x) = 0 (A.38)

Ricordando la definizione del nucleo di un operatore, è evidente che gli autovettori associatiall’autovalore λ sono il nucleo dell’operatore (A − λI); ne consegue che λ è un operatoredi A se e solo se (A− λI) non è invertibile.

Un’ulteriore proprietà che può essere dimostrata è che ogni operatore A ha almeno unoperatore non nullo. Per quanto visto in precedenza se un operatore lineare ha m atovaloridistinti allora ha anche m autovalori, che tra loro risultano linearmente indipendenti; daquesto consegue che un operatore in Vn non può avere più di n autovalori ed autovettori.

A.10 Vettori in Cn 100

A.10 Vettori in Cn

Nei paragrafi precedenti si è posto in evidenza come un vettore v ∈ Vn, elemento di unospazio vettoriale, sia generalmente diverso dai coefficienti di una sua rappresentazionerelativa ad una qualche base di Vn; per sottolineare questa differenza e non ingenerareconfusione, l’insieme delle componenti di v è stato chiamato matrice n × 1 o matricecolonna e non vettore, come spesso avviene.

Peraltro lo spazio dei numeri complessi,5 o, più in generale, il prodotto di n spazicomplessi C × C× · · · × C = Cn è uno spazio vettoriale, in quanto soddisfa a tutte lecondizioni esposte nel primo paragrafo. Pertanto le n-ple di numeri complessi sono essestesse elementi di uno spazio vettoriale, per cui non è improprio chiamare vettore unamatrice-colonna. Quindi l’insieme di n numeri complessi è di per se stesso un vettore,come elemento di uno spazio Cn ma può anche essere la rappresentazione, relativa aduna qualche base, di un elemento di un altro spazio vettoriale. Ad esempio l’insieme deisegmenti orientati nello spazio che hanno un estremo in un punto è uno spazio vettoriale; lecoordinate dell’altro estremo del segmento riferite ad una terna cartesiana forniscono unaterna di numeri che sono le componenti del vettore nella base assegnata. Questa terna dinumeri può essere interpretata come un vettore dello spazio Rn o come rappresentazione,riferita ad una certa base, del segmento orientato dello spazio geometrico.

Nel seguito, quando non sarà necessario evidenziare questa distinzione, le n-ple dinumeri reali (o complessi) saranno chiamate vettori.

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice

Sia E una base in Vn; come si è visto, ogni vettore v ∈ Vn può essere rappresentatodalla matrice (n × 1) delle componenti di v rispetto ad E. Quindi ad ogni vettore in Vncorrisponde una matrice (n× 1) e ad ogni operatore lineare una matrice (n× n).

Se dunque A è un operatore lineare e A la matrice ad esso associata nella base E, seλ è un autovalore di A ed x un corrispondente autovettore, le componenti x di x in E,devono soddisfare l’equazione:

A · x = λx (A.39)

L’eq. (A.39) è equivalente alla:

(A− λI) · x = 0 (A.40)

in cui I indica la matrice unità e 0 è l’elemento nullo di Cn.L’equazione (A.40) è un sistema omogeneo (perché il termine noto è nullo) di n equa-

zioni nelle n incognite x, la cui matrice dei coefficienti è (A−λI). Come è noto un sistemadi questo genere ammette soluzioni non banali6 se e solo se il rango della matrice deicoefficienti è inferiore al numero delle incognite. Poiché nel caso in esame la matrice èquadrata questo significa che si dovrà avere:

det(A− λI) = 0 (A.41)

5Analoghe considerazioni si applicano allo spazio dei numeri reali, che si può considerare un sottospaziodi C

6x = 0 è ovviamente soluzione dell’eq. (A.40), ma essa è priva di interesse e quindi denominata banale

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 101

Sviluppando il determinante si ottiene un polinomio di ordine n in λ, detto polinomiocaratteristico della matrice A; la condizione (A.41) è quindi un’equazione di grado n in λ,del tipo:

λn + p1λn−1 + p2λn−2 + · · ·+ pn = 0 (A.42)

Per il teorema fondamentale dell’algebra l’eq. (A.42) ha sempre n soluzioni (radici), realio complesse, qualcuna delle quali può avere molteplicità maggiore di 1. Se si indica con λkuna delle m ≤ n radici distinte dell’eq. (A.42) e con rk ≥ 1 la sua molteplicità, l’eq (A.42)è equivalente a:

mYk=1

(λ− λk)rk = 0 (A.43)

Se λk è una soluzione dell’eq. (A.42), il sistema di equazioni che si ottiene sostituendoλk a λ nella (A.40) ammette almeno una soluzione non banale.

Se gli autovalori diA sono tutti distinti (cioè se l’equazione caratteristica ha n soluzionidi molteplicità uno), come si è già visto gli autovettori di A sono linearmente indipendenti:pertanto con essi si può costruire una base di Vn. In questa base la matrice Φ costruitacon le componenti degli autovettori coincide con la matrice unità. Ora poiché l’eq. (A.39),scritta per tutti gli autovettori, si può mettere nella forma:

A · Φ = Φ · Λ (A.44)

in cui Λ è la matrice diagonale degli autovettori, se Φ = I, dall’eq.(A.44) segue che A = Λ;in altre parole si può dire che, nel riferimento che ha per base gli autovettori dell’operatoreA, la matrice ad esso associata è diagonale e coincide con la matrice Λ costruita con i suoiautovalori, che per ipotesi sono tutti diversi.

La matrice di trasformazione da una base arbitraria E a quella degli autovettori èevidentemente costituita dalle componenti degli autovettori su questa base; infatti dal-l’eq. (A.44) si deduce:

Φ−1 ·A · Φ = Λ (A.45)

ovvero, inversamente, si può passare dalla base degli autovettori ad un’altra base Emediante la trasformazione inversa:

Φ · Λ · Φ−1 = A (A.46)

A.11.1 Autovalori multipli, triangolarizzazione

Se una matrice ha qualche autovalore di molteplicità maggiore di uno non è più garantital’esistenza di n autovettori distinti; pertanto non è in generale sempre possibile porre lamatrice nella forma diagonale Λ. Tuttavia è almeno sempre possibile determinare unatrasformazione unitaria che renda la matrice triangolare superiore; anche in questo caso itermini sulla diagonale principale sono gli autovalori della matrice.

Per dimostrare la precedente affermazione si osservi che una matrice ha sempre almenoun autovettore; si costruisce allora una base ortonormale in Vn formata con l’autovettoreφ di A e con altri n− 1 vettori ortonormali, ma per altro arbitrari.


In questa base la prima colonna di A ha tutti i termini nulli, eccetto il primo, che ha ilvalore dell’autovalore λ1 associato all’auovettore φ. Infatti in questa base φ ha componenti[1 0 0 . . . 0] e quindi si dovrà avere:

A · φ =

a11a21...an1

= λ1φ = λ1

10...0

da cui appare evidente che si avrà

a11 = λ1 aj1 = 0 (j = 2 . . . n)

La matrice di trasformazione U1 che proietta la matrice in questo riferimento è ovvia-mente formata con le componenti dell’autovettore φ e degli altri vettori ortogonali.

Se ora si considera la matrice (n−1×n−1) A1, ottenuta da A eliminandone le primeriga e colonna, anche questa matrice avrà almeno un autovettore e quindi si potrà costruireuna base di Vn−1 in cui sono nulli tutti i termini della prima colonna di A1, escluso ilprimo. La matrice di trasformazione può essere aumentata in Vn, aggiungendovi il vettore[1 0 . . . 0]T e ponendo uguali a zero le componenti dei vettori di Vn−1 su φ. Questa matricedi trasformazione U2 è ancora unitaria e quindi tale è anche la trasormazione prodottoU1 ·U2; infatti:

(U1 ·U2)∗ · (U1 ·U2) = U

∗2 ·U∗1 ·U1 ·U2

Iterando il procedimento alle sottomatrici (n−2×n−2) . . . 2×2 che via via si formano,si perviene quindi a costruire una trasformazione ortonormale:

U1 ·U2 · · ·Un−1

che trasforma una generica matrice A in una matrice triangolare superiore, i cui terminisulla diagonale principale sono gli autovalori di A.

Esempio A.1 La matrice (3× 3):

A =

3 −2 20 5 −10 4 1

ha l’autovalore triplo λ = 3 e non può essere diagonalizzata. Si cerca quindi la trasformazioneortonormale che triangolarizza A. Poiché la prima colonna di A è già nella forma desiderata,la prima trasformazione sarà la trasformazione identica; quindi: U1 = I. Si considera allora lasottomatrice (2× 2):

A1 =

·5 −14 1

¸che ha l’autovalore doppio λ = 3 e l’autovettore φ1 = [1/

√5 2/√5]T ; si costruisce quindi la base

ortonormale: ·1√5 2/

√5

2/√5 −1/√5

¸con cui si forma la trasformazione ortonormale U2:

U2 =

1 0 0

0 1/√5 2/

√5

0 2/√5 −1/√5


Applicando ad A questa trasformazione se ne ottiene la forma triangolare, i termini diagonaliessendo i suoi autovalori:

UT ·A ·U =

3 2/√5 −6/√5

0 3 50 0 3

2

A.11.2 Matrici simmetriche; ortogonalità degli autovettori

Come si è già detto una matrice si dice hermitiana se essa coincide con la matrice dell’o-peratore aggiunto, cioè con la matrice coniugata della trasposta : A = AT . La matricetrasposta coniugata si indica comunemente con il simboloA∗; se A è reale la sua traspostaconiugata coincide con la trasposta ed una matrice hermitiana e reale è simmetrica.

Una matrice hermitiana (in particolare simmetrica) si può sempre porre nella formadiagonale. Questa proprietà consegue immediatamente dal fatto, dimostrato in preceden-za, che ogni matrice può essere posta in forma triangolare e che la proprietà di esserehermitiana si conserva per una trasformazione unitaria; infatti in questo caso si ha:

(U∗ ·A ·U)∗ = U∗ ·A∗ ·U = U∗ ·A ·U

dato che per ipotesi A∗ = A. Poichè d’altra parte una matrice triangolare ed hermitianaè ovviamente una matrice diagonale, ne consegue che le matrici hermitiane sono semprediagonalizzabili. La matrice ortonormale U della trasformazione che la triangolarizza (equindi la diagonalizza) è allora la matrice dei suoi autovalori. Da questo segue dunqueimmediatamente come corollario che gli autovettori di una matrice hermitiana formanouna base ortogonale.

Un’ulteriore proprietà delle matrici hermitiane è che i loro autovalori sono semprereali. Infatti se A è una matrice hermitiana, φ un suo autovettore e λ il corrispondenteautovalore si ha:

A · φ = λφ

quindi, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione a sinistra per φ∗, si ottiene:

φ∗ ·A · φ = λφ∗ · φ (A.47)

Prendendo il trasposto-coniugato7 dei due membri dell’eq.(A.47):

φ∗ ·A∗ · φ = λφ∗ · φ (A.48)

dal confronto tra le equazioni (A.47) e (A.48), tenendo conto che per ipotesi A∗ = A, neconsegue che deve risultare λ = λ, il che significa che λ è reale. In particolare se la matriceA è reale e simmetrica, anche gli autovettori φ sono reali.

7È facile verificare che (A∗ ·B)∗ = B∗ ·A. Infatti:

(ATB)T = BTA = BT ·A


A.11.3 Autovalori ed autovettori generalizzati di due matrici

Se A e B sono due operatori lineari in Vn ed A e B le corrispondenti matrici in unaopportuna base E, l’equazione (A.39) può essere generalizzata nel modo seguente:

A · x = λB · x (A.49)

Se l’operatore B è invertibile, in modo che esista la matrice inversa di B, alloral’eq. (A.49) è equivalente a:

B−1 ·A · x = λx

che è equivalente alla (A.39), ove si sostituisca A con B−1 ·A.Se A e B sono matrici hermitiane, la matrice B−1 ·A non lo è; pertanto non è possibile

direttamente estendere le proprietà delle matrici hermitiane (autovalori reali, esistenza inogni caso della trasformazione diagonale, ecc.). Tuttavia, se B è hermitiana, non singolaree definita positiva, allora esiste almeno una decomposizione per B, come il prodotto diuna matrice per la sua aggiunta:

B = C∗ ·C (A.50)

in cui C è una matrice non singolare. Sostituendo la (A.50) nella (A.49) e ponendo:

y = C · x x = C−1 · y (A.51)

si ha:A ·C−1 · y = λC∗ · y

che, moltiplicata a sinistra per (C−1)∗ diviene:

(C−1)∗ ·A ·C−1 · y = λy (A.52)

L’eq. (A.52) è ora nella forma standard (A.49) ed inoltre la matrice (C−1)∗ ·A ·C−1è ancora hermitiana, se lo è A. Si può dunque concludere che se B è hermitiana, nonsingolare e definita positiva, esiste una trasformazione che pone il problema degli autovalorinella forma standard conservando la proprietà di A di essere hermitiana. Questo consentedi estendere all’eq. (A.49), quando A e B sono hermitiane, tutte le proprietà dimostrateper gli autovalori e gli autovettori di una matrice hermitiana, relativamente al problemastandard (A.39).

Se si indica con Y la matrice degli autovettori di (C−1)∗ ·A ·C−1, allora si ha:Y∗ · (C−1)∗ ·A ·C−1 ·Y = Λ (A.53)

in cui Λ è la matrice diagonale degli autovalori di A. Ponendo ora:

X = C−1Y

l’equazione (A.53) diviene:

X∗ ·A ·X = Λ (A.54)

ciò dimostra che X diagonalizza la matrice A.Tenendo conto della posizione (A.50) e del fatto che Y è ortonormale, si verifica anche

con facilità che:

X∗ ·B ·X = Y∗ · (C−1)∗ · (C∗ ·C) ·C−1 ·Y = Y∗ ·Y = I

cioè la trasformazione X diagonalizza anche la matrice B, trsformandola nella matriceunità.

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