1

Ekonomick fakulta

Univerzity Mateja Bela

Bansk Bystrica

Rentov poet

Uebn texty ku kurzu:

Finann matematika 1

(1. Bc. FBI; 2. a 3. r. Bc. CR, EMP, FBI, RRVS, VES)

Autor: doc. Ing. Vladimr radnek, Ph.D.

Tento uebn text, ani iadnu jeho as nemono reprodukova bez shlasu autora. Text nepreiel jazykovou pravou.

Aktualizovan vydanie jl 2012

2

Polehotn p-termnov renta (anuita)

Doplnme symboliku o: p poet pravidelnch rovnako vekch spltok R rone s nominlnou rokovou sadzbou i

(m) pri m konverzich za rok.

Poet vetkch lenov renty je n x p.

Ron rokovac faktor je

m(m)i

1m

R R R R R

0 1

p

1

m .... 1 ....

2n

p

1n

p n

pz1R

znR

______

(p)nS

ziR = zhodnotenie i-tej spltky od asu platby do asu n

(p)nS = budca hodnota p-termnovej polehotnej renty

znR = R

pzn-1R = R .

(m) (m)

1m

m ppi i

1+ = R. 1+m m

pzn-2R = R .

(m) (m)

22m

m ppi i

1+ = R. 1+m m

...

z1R = R .

(m) (m)n - 1

m mn - m

i i1+ = R. 1+

m m

...

3

pz1R = R .

(m) (m)

1mn -

m mn - ppi i

1+ = R. 1+m m

Potom

p

nS = z z z z zn n-1 p n-2 p 1 1 pR + R + R + ...+ R + ... + R

p

nS = R +(m)

m

piR. 1+

m+

(m)2m

piR. 1+

m+ ... +

(m)mn - m

i R. 1+

m+ ... +

(m)m

mn - pi

R. 1+m

.

(1)

Prav strana rovnosti (1) predstavuje geometrick postupnos, ktorej prv len 1a = R

a kvocient (m)

m

piq = 1+

m.

Potom pre set prvch N lenov geometrickej postupnosti plat vzah:

n

N 1

q - 1S = a .

q - 1 , o ak aplikujeme na n prpad, kde prvch N = n x p lenov, tak

dostaneme:

(p)nS =

(m)

(m)

npm

p

m

p

i1+ - 1

m

R .

i1+ - 1

m

=

(m)

(m)

mn

m

p

i1+ - 1

mR .

i1+ - 1

m

.

Zistili sme, e budcu hodnotu p-termnovej polehotnej renty meme vypota poda vzahu:

(m)

(m)

mn

(p)n m

p

i1+ - 1

mS = R .

i1+ - 1

m

(2)

Niekedy tie zvykneme psa:

(n) (n)p pS = R . s , kde

(n)ps nazvame polehotn sporite.

4

Vzah pre vpoet prtomnej hodnoty p-termnovej polehotnej renty meme zska vemi jednoduchm spsobom. Sta odroi budcu hodnotu (2) do asu 0. Ron diskontn

faktor je

m(m)i

1m

. Potom pre n rokovch obdob bude tento faktor

nm(m)i

1m

.

(m)

(m)(p)

(m)

.

mn

-mn

n m

p

i1+ - 1

m iA = R . 1+

mi

1+ - 1m

(m)

(p)

(m)

-mn

n m

p

i1 - 1+

mA = R .

i1+ - 1

m

(3)

Vzah (3) meme zapsa aj ako:

(n) (n)p pA = R . a , v ktorom

(n)pa nazvame polehotn zsobite.

Zo vzahov (2) a (3) dostaneme dva variantn vzahy pre vyslenie vekosti spltky R:

Z (2) R =

(m)

(m)

m

p

(p)n mn

i1+ - 1

mS .

i1+ - 1

m

= (n)p (n)p

1S .

s, (4)

kde (n)p

1

snazvame polehotn fondovate.

Z (3) R =

(m)

(p)

(m)

m

p

n -mn

i1+ - 1

mA .

i1 - 1+

m

= (n)

(n)p

p

1A .

a , (5)

kde (n)p

1

anazvame polehotn umorovate.

5

mn(m)

m(m) p

(p)n m

(m) p

i1 1

miS R. 1 . .

m

i1 1

m

mn(m)

mmn

(m) (m)p(p)n m

(m) p

i1 1

mi iA R. 1 . . 1

m m

i1 1

m

Predlehotn p-termnov renta

Budca hodnota p-termnovej polehotnej renty sa vypota poda vzahu:

mn(m)

(p)n m

(m) p

i1 1

mS R.

i1 1

m

.

V prpade predlehotnej renty odpadne posledn spltka a pribudne prv spltka v nultom obdob.

a1 = R .

m(m) pi

1m

, q =

m(m) pi

1m

,

poet lenov renty = n.p

Potom

(6)

Ak tto hodnotu odroime do asu 0, potom dostaneme sasn hodnotu danej postupnosti spltok:

po prave:

6

mn(m)

m(m) p

(p)n m

(m) p

i1 1

miA R. 1 .

mi

1 1m

. (7)

Vzah medzi polehotnou a predlehotnou rentou: m

(m) p(p) (p)n n

iS 1 .S

m

m(m) p

(p) (p)n n

iA 1 .A

m

Renta so spojitm rokovanm

Polehotn renta so spojitm rokovanm

mn(m)

mm(m) p

i1 1

mS lim R.

i1 1

m

mn(m)

mm(m) p

i1 1

mR. lim

i1 1

m

rn

r

p

e 1R.

e 1

. (8)

mn(m)

mm(m) p

i1 1

mA lim R.

i1 1

m

rn

r

p

1 eR. .

e 1 (9)

7

Predlehotn renta so spojitm rokovanm

mn(m)

m(m).. p

mm(m) p

i1 1

miS lim R. 1

m

i1 1

m

mn(m)

m(m) p

mm(m) p

i1 1

miR. lim 1

m

i1 1

m

rrn

p

r

p

e 1R.e

e 1

. (10)

mn(m)

m(m).. p

mm(m) p

i1 1

miA lim R. 1

m

i1 1

m

rrn

p

r

p

1 eR.e .

e 1 (11)

Ven renta (perpetuita)

Polehotn ven renta

mn(m)

(p)

mn(m) p

i1 1

mS lim R.

i1 1

m (12)

mn(m)

(p)

m mn(m) (m)p p

i1 1

m RA lim R.

i i1 1 1 1

m m

, (13)

resp.

8

v prpade polehotnej venej renty so spojitm rokovanm:

rn(p)

r rnp p

1 e RA lim R. .

e 1 e 1

(14)

Predlehotn ven renta

mn(m)

m(m) p

(p)n mn

(m) p

i1 1

miS lim R. 1 .

m

i1 1

m (15)

mmn

(m) (m) pm

(m) p(p)n m mn

(m) (m)p p

i i1 1 R 1

m miA lim R. 1

m

i i1 1 1 1

m m

(16)

resp.

v prpade predlehotnej venej renty so spojitm rokovanm:

rr

rn p(p) pn r rn

p p

1 e R eA lim R e .

e 1 e 1

(17)

Odloen renta

- hovorme o nej, ak sa prv rentov spltka nezane plati v momente zaiatku renty, ale po uritom obdob t (akacia doba, doba sporenia, nedostatku).

t n nS S

t nA = odroenie (diskontovanie) nA v momente t za akaciu dobu t.

t nA = 1

nA .(1 it) - v prpade pouitia jednoduchho rokovania, (18)

(p)t nA =

(p)nA .

mt(m)i

1m

- v prpade pouitia zloenho rokovania. (19)

9

Preruen renta

- ak medzi niektormi platbami je akacia doba. Ide o skladanie dvoch rient, z ktorch druh je odloen renta.

Zadvanie loh rentovho potu v prostred MS Excel:

Budca hodnota funkcia FV:

Rate (rokov sadzba na jedno obdobie medzi dvomi bezprostredne za sebou nasledujcimi

vkladmi) ................ zadvame vo veobecnosti

m(m) pi

1 1m

, o zvykneme symbolicky

zapisova ako (p)i

.p

Pre prpad renty so spojitm rokovanm zadvame

r

pe 1 .

Nper (poet obdob, v ktorch sa aplikuje rokov sadzba (p)i

p) .. n p (v prpade venej

renty zadvame najprv vetky ostatn parametre a a na koniec zadvame parameter Nper, priom zadvame ubovon maximlne vek slo, ktor Excel akceptuje).

Pmt (spltka) ........... R.

PV (sasn hodnota) ........ pri rentovom pote nezadvame.

Type ................. len pre prpad predlehotnej renty ........ zadvame 1.

Vznam jednotlivch parametrov zostva identicky zachovan aj pre prpad ostatnch finannch funkci rentovho potu, t.j. pre funkcie:

PV, Nper alebo Rate.

Poznmky:

1. Na zohadnenie zdaovania rokov v prkladoch rentovho potu sta poui v prslunom vzorci zdanen rokov sadzbu i*, ktor sme pouvali aj pri klasickom rokovom pote.

2. Uveden uebn text je spracovan v slade so zkladnou literatrou, ktor je uveden pod poradovm slom [2] v zozname pouitej literatry. itatea upozorujeme, e v praxi by sme pri rentovom pote mali rozliova vklady, ktor s uloen na krtkodob sporenie (do jednho roka) a dlhodob sporenie (nad jeden rok), priom sprvne by malo s v kadom prklade, ktor je uveden s asovm horizontom nad jeden rok o kombinciu krtkodobho a dlhodobho sporenia. V tchto prpadoch by boli jednotliv vzorce mierne korigovan a nsledne aj zskan vsledky prkladov by sa mierne odliovali od vsledkov, ktor dosahujeme pri aplikovan naich vzorcov. Bliie sa s touto problematikou me itate oboznmi v pokraovan srie uebnch textov z Finannej matematiky 1 v asti Sporenie.

10

Nerieen prklady:

Prklad 1: Podnik sa rozhodol poskytova tudentovi poas poslednch dvoch rokov tdia podporu 150 vdy na konci mesiaca, ktor bude musie vrti jednorzovou spltkou 3 roky po skonen tdia.

a) Koko bude musie zaplati, ak pika je rokovan 1 % ronou rokovou mierou poas jeho tdia a 3 % ronou rokovou mierou so tvrronm rokovanm po skonen jeho tdia ? (3 634,55 ; 3 975,50 )

b) Predpokladajme, e tudent hne po skonen koly zane pracova. Koko si mus tvrrone uklada do banky pri 4 % ronej rokovej miere, aby o 3 roky mal potrebn sumu na svojom konte ? (313,72 )

Prklad 2: Pn Novk si z asti dedistva chce zaloi fond v banke pri 5 % ronej rokovej miere, z ktorho by mesane poas 15 rokov erpal 350 . Ak vek m by vklad, ak prv vber sa m uskutoni o mesiac ? (44 584,81 )

Prklad 3: Sporenie sa uskutouje 15 platbami na zaiatku kadho roka, kad o vekosti 100 , a to pri ronej rokovej miere 3 % prvch 10 rokov a 5 % nasledujcich 5 rokov. Njdite akumulovan sumu na konci 15. roku sporenia . (2 087,20 )

Prklad 4: Oban uzavrel s bankou zmluvu, poda ktorej vloil 1.1.2009 na et 500 a potom v trojmesanch intervaloch vklad 500 . Posledn platba sa uskuton 1.10.2012. Da 1.1.2013 si chce oban vybra cel svoj vklad aj s rokmi. Vypotajte, koko si vyberie, ak je dan rokov miera a)10 % p.a. ; b) 10 % p.a. s polronm rokovanm.

(9 855,21 ; 9 905,74 ) Prklad 5: Sponzor chce poas 5 rokov kad Vianoce darova detskmu domovu sumu 2 000 na nkup darekov. Ak vklad mus na tento el deponova v banke pri 4 % p.a. rokovej miere, ak konto zriauje 1 a roka pred prvmi Vianocami, na ktor chce prispie ? (8 729 )

Prklad 6: Mladomanelia zskali vhodn piku na byt v sume 70 000 pri 6 % p.a. rokovej miere. Dlobu chc splati mesanmi spltkami poas 15 rokov. Vypotajte vekos spltky, ak prv spltka sa m uskutoni o 1 a roka. (635,02 )

Prklad 7: Ak iastka zabezpe nm (a naim pozostalm) mesan polehotn ven dchodok vo vke 200 pri nemennej rokovej miere 4 % p.a. ? (61 092,21 )

Prklad 8: Vypotajte vekos zabezpeovacieho fondu, ktor je uloen v banke pri spojitom rokovan s nominlnou rokovou mierou 4 %, ak m poskytova pravideln polehotn tvrron platby vo vke 1000

a) po dobu 12 rokov, (37 931,37 ) b) nekonene dlh dobu . (99 500,83 )

11

Prklad 9: Zaiatkom kadho mesiaca vkladte na sporiaci et v banke iastku 150 . Banka rokuje Vae vklady nominlnou rokovou mierou 2 % p.a., priom roky pripisuje tvrrone. Vypotajte, koko budete ma na te po piatich rokoch.

a) Abstrahujte od zdaovania rokov a rznych bankovch poplatkov. (9 472,05 ) b) Zohadnite zdaovanie rokov 19 % daovou sadzbou, o ktorej predpokladte, e

bude plati poas celho obdobia sporenia a abstrahujte od rznych bankovch poplatkov. (9 380,08 )

Prklad 10: O p rokov chcete s na exkluzvnu dovolenku, o ktorej predpokladte, e bude v tom ase st 9 000 . Koko eur muste na konci kadho mesiaca uklada do banky na et, aby ste o p rokov mali na Vaom te poadovan iastku 9 000 . S bankou ste sa dohodli, e V et bude rokovan prv dva roky nominlnou rokovou sadzbou 3,0 % p.a. s polronm rokovanm a zvyn tri roky sa rokov sadzba zvi na 3,5 % p.a., priom poet konverzi do roka ostane nezmenen. Abstrahujte od zdaovania rokov a od rznych bankovch poplatkov. (137,84 )

Prklad 11: Koncom kadho mesiaca vkladte na sporiaci et v banke iastku 100 . Banka rokuje Vae vklady nominlnou rokovou mierou 4 % p.a., priom roky pripisuje polrone. Po jeden a pol roku banka zvila rokov sadzbu na 4,25 % p.a. a ponechala polron pripisovanie rokov. Nsledne ste po alch dvoch rokoch zvili Vae mesan vklady na 200 . Vypotajte, koko budete ma na te celkove po 7 rokoch od zaiatku sporenia. Abstrahujte od zdaovania rokov a rznych bankovch poplatkov. (14 262,94 )

Prklad 12: Oban uzavrel s bankou zmluvu, poda ktorej vloil 1.1.2010 na et 300 , a potom v mesanch intervaloch vklad 300 . Posledn platba sa uskuton 1.10.2012.

a) Da 1.11.2012 si chce oban vybra cel svoj vklad aj s rokmi. Vypotajte, koko si vyberie, ak je dan rokov miera 3 % p.a. s polronm rokovanm. (10 567,75 )

b) Da 1.1.2013 si chce oban vybra cel svoj vklad aj s rokmi. Vypotajte, koko si vyberie, ak je dan rokov miera 3 % p.a. s polronm rokovanm. (10 610,37 )

Pri vpote oboch loh zohadnite aj zdaovanie rokov 19 %-nou daovou sadzbou, ktor je v platnosti poas celho sledovanho obdobia. Abstrahujte od rznych bankovch poplatkov.

Prklad 13: Oban chce poas piatich rokov darova vdy koncom mesiaca iastku 300 . Ak vklad m na tento el v banke uloi pri 3,5 %-nej ronej rokovej sadzbe s polronm rokovanm, ak si konto zriauje 16 mesiacov pred koncom prvho mesiaca, kedy chce prispie ? Abstrahujeme od zdaovania rokov a rznych bankovch poplatkov. (15 800,86 )

Prklad 14: Rodiia uloili dcre 4 roky pred zaiatkom tdia na vysokej kole iastku 3 100 , z ktorej bude dcra erpa rovnomerne mesane polehotne poas celho pronho tdia na vysokej kole. rokov sadzba je 3 % p.a. s polronm pripisovanm rokov. Ak vek vreckov bude dostva kad mesiac ? (62,72 )

12

Prklad 15: Oban uloil do banky sumu 6 200 pri 4 % ronej rokovej sadzbe a polronom pripisovan rokov. Ak najvyiu sumu me vybera:

a) koncom kadho mesiaca a. poas 15 rokov; (45,76 ) b. neobmedzene dlh dobu ? (20,50 )

b) zaiatkom kadho mesiaca a. poas 15 rokov; (45,61 ) b. neobmedzene dlh dobu ? (20,43 )

Prklad 16: Ak vek mus by zabezpeovac fond v banke, ak je uloen pri spojitom rokovan pri nominlnej rokovej miere 4 % a ak m poskytova pravideln predlehotn polron spltky v sume 5 000

a) po dobu desiatich rokov; (83 246,94 ) b) neobmedzene dlh dobu. (252 508,33 )

Zoznam pouitej literatry:

1. GUTTENOV, D. VOJTEKOV, M. 2009. Zbierka loh z finannej a poistnej matematiky pre Fakultu PEDaS. ilina: ilinsk univerzita, 2009. 103 s. ISBN 978-80-5540-131-7.

2. HUKA, V. PELLER, F. 2010. Finann matematika v Exceli. 5., upraven vyd. Bratislava : IURA Edition, 2010, 192 s. ISBN 978-80-8078-320-4.

3. RADOV, J. DVOK, P. MLEK, J. 2009. Finann matematika pro kadho. 7. aktualizovan vydn. Praha : GRADA Publishing, a.s., 2009. 296 s. ISBN 978-80-247-3291-6.