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REPASO DE MATEMATICA

JAVIER DE JS PAULINO

La matemática es el lenguaje, con que Dios

ha escrito en el universo.

Galileo

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Importancia de la matemática

Los desafíos que enfrentan hoy la ciencia y la ingeniería son tan complejos que sólo pueden resolverse con la relación interdisciplinaria y en la cual la matemática juega un papel muy destacado. La matemática, la ciencia y la ingeniería tienen una larga y estrecha relación que es crucial y de creciente importancia para ellas

Disciplinas como la física y la ingeniería eléctrica que han sido siempre muy matemáticas lo son aún cada día más. Ciencias como la biología, la fisiología y la medicina en las cuales la matemática no tenía una presencia relevante, están demandando nuevas herramientas matemáticas para poder analizar y explicar muchos problemas sobre los cuales tienen cada vez mas información experimental. También la matemática es requerida hoy de manera muy significativa por la tecnología de las comunicaciones, las finanzas, la elaboración de manufacturas y los negocios. El progreso científico, en todas sus ramas, requiere una estrecha y fuerte interacción con la matemática.

Entre los principales temas que emergen sistemáticamente en la relación de la matemática con la ciencia se pueden señalar los siguientes:

Modelado matemático: la adecuada descripción de un fenómeno científico en un marco matemático permite el uso de poderosas herramientas para la construcción de algoritmos efectivos para la caracterización, el análisis y la predicción del fenómeno. Los modelos matemáticos permiten realizar experimentos virtuales cuyos análogos reales serían caros, peligrosos o imposibles; hacen innecesarios la destrucción real de un avión, diseminar un virus mortal o presenciar el origen del universo.

La importancia de la Matemática en la Física, es que la Matemática es el "lenguaje" en el que "habla" en Física.

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REPASO DE MATEMATICA

Los mayores problemas que enfrentan los estudiantes para aprobar esta asignatura de Física

General I, se encuentran en el nivel de matemática con que llegan los estudiantes al aula,

necesitamos un nivel de matemática mínimos que tenemos que usar en esta asignatura, para

que sea entendida por los estudiantes así que inmediatamente ataca queremos ese problemas,

que se basa en un repaso de :

Despeje de variable en una formula. Un poco de algebras

Ecuaciones de primer y segundo grado.

Determínate de una matriz.

Teorema del coseno y del seno

Derivadas e integrales (simple).

Parte 1

DESPEJE DE VARIABLE EN FORMULA

Por ejemplos muchas de las ecuaciones típicas que veremos en clase tendrán esta forma: Tabla1

tenemos que aprender como despejar una variable en una ecuación

1 2 3 4

𝑥 = 𝑣 𝑡

𝑣 = 𝑣𝑖 + 𝑎 𝑡

2 𝑎𝑥 = 𝑣2 − 𝑣𝑖

2

𝐹 = 𝑚𝑎

5 6 7 8

𝐸 =1

2 𝑚𝑣2

𝑤 =1

2𝑚(𝑣2 − 𝑣𝑖

2 )

10 𝑡2 + 20 𝑡 − 32 = 0

𝑦 = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 –𝑔 𝑥2

2 𝑣𝑖2 𝐶𝑜𝑠2𝜃

9 10

𝑚1 𝑔 − 𝑇 = 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑔 − 𝑇 = −𝑚2 𝑎

𝑇 − 𝑓𝑟 = 𝑚1 𝑎

𝑇 −𝑚2 𝑔 = −𝑚2 𝑎 𝑓𝑟 = 𝜇 𝑚1 𝑔

Tabla1

Es bien conocido en matemática que para despejar una variable en una ecuaciones dejarla

sola en cualquier lado del signo de igual. si una variable está multiplicando en un lado del signo

de igual pasa al otro lado dividiendo y viceversa. Si esta sumando pasa restando y así

sucesivamente ..

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Por Ejemplo Observemos los siguientes ejercicios resueltos.

EJERCICIO RESUELTO

1.0

En la ecuación (2) de la Tabla1 𝑣 = 𝑣𝑖 + 𝑎 𝑡 despejar 𝑎 =?

Solución: Aquí sabemos que 𝑣𝑖 que esta sumando pasa al otro lado restando, seria 𝑣 − 𝑣𝑖 = 𝑎 𝑡 ; y t que; está multiplicando pasa dividiendo entonces tendríamos.

𝑎 = (𝑣 − 𝑣𝑖 )/𝑡

2.0

En la ecuación (3) de la Tabla1 2 𝑎𝑥 = 𝑣2 − 𝑣𝑖

2 despejar la 𝑣 =?

Solución: En término −𝑣𝑖2 esta restando pasa

sumando, y luego extraemos la raíz en ambos lados y obtenemos.

𝑣 = 2 𝑎 𝑥 + 𝑣𝑖2

3.0

En la ecuación (9) de la Tabla1 Hallar 𝑎 =? y la 𝑇 =? Recordar que estas ecuaciones son simultanea.

𝑚1 𝑔 − 𝑇 = 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑔 − 𝑇 = −𝑚2 𝑎

Solución: si multiplicamos la segunda ecuación por -1 y sumamos tenemos(este método es llamado de reducción)

𝑚1 𝑔 − 𝑇 = 𝑚1 𝑎 −𝑚2 𝑔 + 𝑇 = +𝑚2 𝑎

𝑚1 −𝑚2 𝑔 = (𝑚1 + 𝑚2)𝑎

Despejando a 𝑎 , tenemos: 𝑎 = 𝑚1−𝑚2

𝑚1+𝑚2 𝑔

Si la ecuaciones originales multiplicamos la primera por 𝑚2 y la segunda por 𝑚1 tenemos, y Sumando tenemos:

𝑚2 𝑚1 𝑔 −𝑚2 𝑇 = 𝑚2 𝑚1 𝑎 𝑚1 𝑚2 𝑔 −𝑚1 𝑇 = −𝑚1 𝑚2 𝑎

2𝑚1 𝑚2 𝑔 − 𝑚1 + 𝑚2 𝑇 = 0

𝑇 =2 𝑚1 𝑚2 𝑔

𝑚1 + 𝑚2

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1 Ecuaciones lineales01 VIDEO

2 Ecuaciones lineales02 “

3 Ecuaciones lineales03 “

4 Matemáticas Resolución Ecuación Segundo Grado “

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.0

Usando la tabla 1 ecuación (5), despeje las siguientes variables a) 𝑣 =? y b) m=?

2.0

Usando la tabla 1 ecuación (3), despeje las siguientes variables a) 𝑣𝑖 =? ;b) x=?; c) a=?

3.0

Usando la tabla 1 ecuación (6), despeje las siguientes variables a) 𝑣 =? ;b) 𝑣𝑖 =? ; c) m=?

4.0

Despeje la ecuación (10), de la tabla 1 las siguientes variables a) a=? , T=?, recuerde que son dos ecuaciones simultáneas, donde g , m1, m2, 𝜇, 𝑓𝑟 son constantes, que hay muchos métodos para resolverla.

5.0

Usar la ecuación general para hallar la solución de la ecuación (7)

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

6.0

Despeje la ecuación (8), de la tabla 1, la velocidad inicial 𝑣𝑖 =?

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Parte 2

Mucha veces tendremos que hallar el determínate de una matriz, El determínate de una matriz

es un numero asociado a cualquier matriz cuadrada.

Sabemos que hay muchas formas de hallar un determinante. Aquí elegimos el métodos del

menor para hallar el determínate de esta matriz, cuando. Hallamos el producto vectorial de los

vectores A y B genera un nuevo vector C ortogonal a los dos primeros. A x B Cuando se conoce

las componentes de los vectores, se usa la siguiente expresión:

𝑨𝒙𝑩 = 𝒊 𝒋 𝒌𝑨𝑿 𝑨𝒀 𝑨𝒁

𝑩𝑿 𝑩𝒀 𝑩𝒁

= 𝑨𝒀 𝑨𝒁

𝑩𝒀 𝑩𝒁 î −

𝑨𝑿 𝑨𝒁

𝑩𝑿 𝑩𝒁 ĵ +

𝑨𝑿 𝑨𝒀

𝑩𝑿 𝑩𝒀 𝒌

Teorema del coseno

Este teorema es aplicado cuando interactúan dos vectores en el plano y tienen como

característica el hecho de presentar un origen común; se requiere conocer los módulos de los

vectores, y el ángulo que forman entre sí (Figura 1). En Física lo usamos mucho para hallar la

resultante entre dos vectores

Caso uno. Suma de vectores

(𝑨 + 𝑩)𝟐 = 𝐴 2 + 𝐵 2 + 2 𝐴 𝐵 cos𝜃 (11)

Donde:

A: El vector A y |A| módulo del vector A

B: El vector B y |B| módulo del vector B

A+ B: Resultante de la suma A+B,|A+B| módulo del vector suma A + B

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1 Determinantes fundamentos “

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θ: es ángulo entre los vectores A y B.

Figura 1. Dos vectores A y B, ambos se suman por el método del paralelogramo

Caso dos. Resta de vectores

(𝑨 + 𝑩)𝟐 = 𝐴 2 + 𝐵 2 − 2 𝐴 𝐵 cos𝜃 (12)

Teorema del seno

Este método se aplica en la resolución de sistemas de vectores donde coexisten un máximo de

tres vectores no concurrentes, pero que actúan sobre un mismo cuerpo (Figura 2). Es muy útil

al momento de determinar dirección y sentido de un vector, y suele emplearse en conjunción

con el teorema del coseno.

𝑨

𝑠𝑖𝑛𝛼=

𝑩

𝑠𝑖𝑛𝛽=

𝑪

𝑠𝑖𝑛𝜎 (13)

Donde:

A, B, C: módulos de los vectores A, B y C

ángulo en frente del vector A..

ángulo en frente del vector B..

ángulo en frente del vector C..

A + B

A

B

θ

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.0

Hallar el determinante en la siguiente natri z

1 4 32 2 11 0 3

2.0

Hallar el determinante en la siguiente natri z A= 2i – 3j –k y B= i –j ; esto es AxB

𝑖 𝑗 𝑘2 −3 −11 −1 0

3.0

Hallar la resultante para esto dos vectores A+B. Si A= 8 u, B=6 u, y el θ= 30o

4.0

Hallar la resultante para esto dos vectores A+B. Si A= 10 u, B=8 u, y el θ= 120o

B

A

θ

θ

B

A

θ

θ

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x

∆x

P1

P2

t

∆t

Parte3

DERIVADA E INTEGRALES

El desplazamiento de un objeto que se mueve desde el punto (xi, ti), hasta el punto (xf, tf) sobre

el eje x que representa posición en función del tiempo. La cantidad ∆x/∆t representa la

velocidad media en el intervalo de tiempo ∆t, mientras que el límite de esta cantidad cuando ∆t

tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantánea en el tiempo t.

Aquí ∆x= xf – xi y ∆t= tf – ti recordándole que ∆x/∆t es la pendiente entre los dos puntos P1

y P2.

∆x/∆t Que es la velocidad media entre eso dos puntos Y el límite de esa pendiente es igual a

la a dx/dt que es la velocidad instantánea. Que también es la derivada de la posición con

relación al tiempo.

𝑣 =𝑙𝑖𝑚

∆𝑡⇾0 (

∆𝑥

∆𝑡 ) =

𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 (14)

Muchas expresiones que usamos en Física tienen más o menos esta forma 𝑥 = 𝑘 𝑡𝑛 donde, donde k y

n son constantes, x seria la posición de una partícula y t el tiempo, si queremos hallar la velocidad por

ejemplo usamos la ec, 14 𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 , hallamos la derivada de la posición con relación al tiempo que

Si aplicamos la reglas de derivadas tenemos 𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝑘 𝑡𝑛) = 𝑛 𝑘 𝑡𝑛−1 la regla es bien fácil, el

exponente multiplica a la base y disminuye en uno.

Si queremos hallar la aceleración de la partículas derivamos de nuevo esto es, aplicar de nuevo la regla

𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑥 . Aplicamos de nuevo la regla, y hallamos la aceleración.

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑥=

𝑑 𝑛 𝑘 𝑡𝑛−1

𝑑𝑡= 𝑛 𝑛 − 1 𝑘𝑡𝑛−2 (15).

Esto sería lo mimo que la segunda derivada.

La operación opuesta a la derivada es la integración en este caso usando la ecuación 15 𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 ,

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Si conocemos la 𝑣 y me piden la posición, despejando tenemos 𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡, para la mayoría de los

cálculos que usaremos tendremos una expresión parecida a esta 𝑣 = 𝑘 𝑡𝑚 , donde 𝑣 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

t es el tiempo y donde k y m son constantes sustituyendo 𝑣 dentro la ecuación tenemos:

𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑘 𝑡𝑚 𝑑𝑡 = 𝑘

𝑚+1 𝑡𝑚+1 Que es la regla para hacer este tipo de integrales

Que usaremos en clase más adelante. El exponente aumenta en uno y divide a la base.

De la misma forma podemos hallar la velocidad si conocemos la aceleración de la partícula. Con la

formula 𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑥 , si conocemos la aceleración y me piden la velocidad 𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.0

Tenemos que un móvil se mueve según esta ecuación 𝑥 = 𝒂 𝑡 + 𝒃 𝑡2 donde a y b son Constantes, y x representa la posición de la partícula y t el tiempo hallar a) la velocidad de la partícula en cualquier tiempo, b) la aceleración de la partícula.

Repuesta: a)

Para hallar la velocidad usamos 𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 , entonces

𝑣 =𝑑

𝑑𝑡 (𝒂 𝑡 + 𝒃 𝑡2) si aplicado las regla de la

derivada tenemos 𝑣 = 𝑎 + 2 𝑏 𝑡; que seria la velocidad en cualquier tiempo. Repuesta: b) Para hallar la aceleración aplicamos la ecuación 15

𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑥 . Esto es, 𝑎 =

𝑑

𝑑𝑥 ( 𝑎 + 2 𝑏 𝑡)= 2b

Esto significa que la aceleración es constante 𝑎= 2b

2.0

La aceleración de un móvil esta dadas por 𝑎 = 2 𝑡 + 6, hallar, a) la velocidad, y b) el desplazamiento.

Repuesta: a) La velocidad esta dadas por 𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 sustituyendo la 𝑎 en esta ecuación 𝑣 =

(2 𝑡 + 6 )𝑑𝑡 Integrando tenemos 𝑣 = 𝑡2 + 6𝑡, Repuesta: b) Si queremos hallar , el desplazamiento integramos de nuevo, usando 𝑥 = 𝑣 𝑑𝑡, esto es 𝑥 = (𝑡2 + 6𝑡)𝑑𝑡, el resultado es

𝑥 =𝑡3

3+ 3𝑡2

Que sería el desplazamiento para cualquier tiempo.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.0

Un cuerpo se mueve según la siguiente ecuación 𝑥 = 20 𝑡 + 10 𝑡2, Hallar la velocidad y la aceleración para cualquier tiempo.

2.0

Un móvil se mueve según la siguiente ecuación 𝑥 = 20 − 5𝑡 + 4 𝑡2. Hallar para qué tiempo la velocidad es cero.

3.0

La velocidad de un móvil está dada por 𝑣 = 6 𝑡, Hallar la aceleración y el desplazamiento cuando el móvil se mueve de 0 a 2 segundos.

4.0

La aceleración de un globo que haciende está dada por 𝑎 = 2 𝑡3 , a) Hallar la velocidad en cualquier tiempo b) el desplazamiento realizado cuando el tiempo es de 2 s.