Repaso 3º ESO Operaciones con fracciones

1. Simplifica las siguientes fracciones por divisores comunes:

a) =775

680 b) =

556

274 c) =

524

430

2. Suma las fracciones:

a) =+11

3

11

5

b) =+9

7

7

4

c) =++7

6

3

2´4

1

d) 4 3

15 20+ =

e) 5 7

18 24+ =

f) 3 7 11

4 8 12+ + =

3. Resta las fracciones:

a) =!9

2

9

7

b) =!9

2

7

6

c) =!8

3

9

4

d) 7 3

6 4! =

e) 3 7

4 10! =

f) 5 1

18 27! =

4. Calcula:

a) 1

13

+ =

b) 1

34

+ =

c) 82

3+ =

d) 2

25

! =

e) 15

22! =

f) 22

73! =

5. Calcula:

a) 2 3 1

13 8 4

! + ! =

b) 13 5 1

22 6 2! + ! =

c) 7 9 13

2 4 6! + ! =

d) 7 5 1

36 2 5+ ! + =

e) 1 5 7 2

34 6 12 3

+ ! + ! =

f) 1 4 1 3

35 5 4 4+ ! + + =

6. Calcula y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) 3 1

4 5! =

b) 7 2

6 5! =

c) 3 1 8

4 5 9! ! =

d) 7 2 5

10 3 4! ! =

e) 43

5! =

f) 218

9! =

7. Calcula y simplifica el resultado cuando sea posible:

a) 3 1:4 5

=

b) 7 3:4 8

=

c) 3 1:

35 70=

d) 3

3:7=

e) 6:37

=

f) 12: 4

5=

8. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 1 3 1

2 4 8! " = b)

3 1 3

4 5 2! " = c)

1 23 :4 3

+ =

Operaciones con fracciones

9. Calcula simplificando durante el cálculo siempre que te sea posible:

a) 3 2 1 1

5 3 5 3+ ! + =

b) 4 1 3

: 25 2 10! + =

c) 1 3 1 3

: 32 4 2 4+ ! + =

d) 2 2 1 1

: : 33 3 2 5+ ! =

e) 3 8 1 1 3

: 64 5 8 4 2! ! " + =

f) 9 3 1 1 3

: 24 4 2 4 2+ + ! " =

10. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 15 1

24 3

! "# + =$ %& '

b) 9 7

22 3

! "# # =$ %& '

c) 8 1

23 4

! "# # =$ %& '

d) 2 3 1

3 4 6

! "# $ =% &' (

e) 2 1

35 10

! "+ # =$ %

& '

f) 3 2 3:5 3 5

! "+ =# $

% &

g) 1 2

3 :4 3

! "# =$ %& '

h) 4 2 1:5 3 5

! "# =$ %& '

i) 1 2

2 : :5 3

! "=# $

% &

11. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 3 1

5 : 24 2

! "+ # =$ %& '

b) 7 1 1

25 3 5

! "+ # $ =% &

' (

c) 3 1 7

24 8 8

! "+ # $ =% &

' (

d) 2 2 15 2 :

5 3 6

! "+ # + =$ %

& '

12. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 20 1: 2 2 2

3 4

! "# + $ =% &' (

b) 1 2 3 1

35 3 5 10

! " ! "+ # $ # =% & % &

' ( ' (

c) 2 1 1 1 3

: : 13 4 2 3 4

! " ! "+ + # =$ % $ %

& ' & '

d) 3 5 1 1 1

: 24 2 2 2 4

! " ! "+ + # $ =% & % &

' ( ' (

e) 1 1 1 3 1

3 : 22 4 4 4 6

! " ! "# + + $ + =% & % &' ( ' (

f) 2 5 1 1 1

1 2 :5 3 5 3 6

! " ! "# + $ # + =% & % &' ( ' (

13. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 7 2 1

24 3 2

! "# $% % + =& '( )* +, -

b) 1 1

3 2 1 :2 2

! "# $% & % =' () *+ ,- .

c) 3 7 1 1

24 3 2 4

! "# $% & + % =' () *+ ,- .

d) 8 1 1 5

: 23 2 3 6

! "# $+ % + =& '( )* +, -

e) 1 1 4

3 14 6 5

! "# $% & & % =' () *+ ,- .

f) 3 2 1: 6 34 3 6

! "# $% + & =' () *+ ,- .

EJERCICIOS SOBRE :

PROBLEMAS CON FRACCIONES

Dpto. Matemáticas

1) ¿Cuántas botellas de 34 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?

2) Con el contenido de un bidón de agua se han llenado 40 botellas de 34 de litro. ¿Cuántos litros

de agua había en el bidón?

3) Dos hermanos se reparten las canicas de un bote. El primero se lleva 38 del total, mientras que

el segundo obtiene las 55 restantes. ¿Cuántas contenía el bote?

4) Un frasco de perfume tiene la capacidad de1

20 de litro. ¿Cuántos frascos de perfume se

pueden llenar con el contenido de una botella de34 de litro?

5) Jacinto se come los27 de una tarta y Pepita los

35 del resto. ¿Qué fracción se ha comido

Pepita? ¿Qué fracción queda?

6) De un depósito que contenía 600 litros de agua han sacado primero16 del total y después

34 del total. ¿Cuántos litros quedan?

7) Compramos un televisor por 1.300 € y pagamos14 al contado y el resto en 6 plazos. ¿Cuál

será el importe de cada plazo?

8) De un depósito que estaba lleno se han sacado 23 del total y, después,

15 del total. Sabiendo

que aún quedan 400 litros, ¿cuál era la capacidad del depósito?

9) Dos atletas llevan recorrido los 3

12 y los 8

32 de una carrera, respectivamente. ¿Cuál de los

dos va delante?

10)Un tonel de vino está lleno hasta los 7

11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1.804 litros

para llenarlo completamente. ¿Cuál es la capacidad del tonel?11)En una carrera de automóviles faltan 372 km para llegar a meta. ¿Cuántos km debe recorrer en

total un coche que ya ha recorrido 9

40 ?

12)De una cesta de manzanas se pudren 23 . Comemos las

45 del resto y las 25 restantes las

utilizamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta?

13)Entre 7 personas se reparten 49 de una herencia. Si cada uno recibe 1.750 €, ¿cuál es el total

de la herencia?

14)Una persona ha cosechado durante la mañana 13 de un campo y por la tarde la mitad del resto.

Si todavía le quedan 170 hectáreas, ¿cuál es la superficie total del campo?

EJERCICIOS SOBRE :

PROBLEMAS CON FRACCIONES

Dpto. Matemáticas

15)Un futbolista ha metido los 25 del número de goles marcados por su equipo y otro la cuarta

parte del resto. Si los demás jugadores han conseguido 45 goles, ¿cuántos goles metió el equipo en toda la temporada?

16)Tres jinetes disputan una carrera invirtiendo para ello 75 de hora,

2012 hora y

169 horas,

respectivametne. ¿Cuál de ellos es más veloz?

17)Un ganadero vende los 34 del número de reses que tiene. Más tarde los

34 del resto,

quedando así 16 reses en la ganadería. ¿Cuántos animales tenía?

18)Un niño regala a su hermana 16 de sus tebeos, vende

13 del total a sus amigos y pierde la

quinta parte. Si todavía quedan 9 tebeos, ¿cuántos tenía al principio?

19)Un profesor ha corregido 25 de los exámenes con rotulador rojo y

14 con bolígrafo azul. Si

todavía le quedan por corregir 42 exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total?

20)Una tienda ofrece pantalones rebajados en 17 de su precio. Si ahora se venden a 88'50 €, ¿cuál

era su precio antes de la rebaja?

21)Aurora sale de casa con 30 €. Se gasta 25 del dinero en un libro y después

45 de lo que le

quedaba en un disco. ¿Con cuánto dinero vuelve a casa?

22)Un vendedor despacha por la mañana las 34 partes de las naranjas que tenía. Por la tarde

vende 45 de las que quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas,

¿cuántos kilos tenía?

23)En una biblioteca los 29 de los libros que hay son de matemáticas,

35 son de literatura,

17 son de ciencias sociales y el resto de idiomas. Ordena las diferentes asignaturas por el

número de volúmenes que encontraron en la biblioteca.

24)Los 56 de lo gastado por una familia este fin de semana son 87 €. ¿Cuánto supone los

23 de

los gastos de esa misma familia?25)Un atleta da una vuelta a la pista de atletismo en un minuto y medio. ¿Cuánto tardará en recorrer

los 1.500 m ( 3 vueltas y 34 de vuelta)?

26)Nos dicen que el resultado de un examen ha sido el siguiente: 18 de los alumnos y alumnas

han obtenido insuficiente, 37 suficiente,

38 notable y

110 sobresaliente. Comprueba si

estos resultados son posibles.

27)Un aventurero realiza 25 de un viaje en todo terreno,

13 a caballo y el resto andando. Si la

caminata ha sido de 80 km , ¿cuál es la longitud total de su recorrido?

EJERCICIOS SOBRE :

PROBLEMAS CON FRACCIONES

Dpto. Matemáticas

28)Mi cuaderno tenía originalmente 80 páginas, pero ha usado 25 y he arrancado

18 . ¿Cuántas

páginas quedan disponibles? ¿Cuál es su fracción?29)Se celebra en Roma una conferencia para la defensa ecológica del Mar Mediterráneo, con la

aistencia de científicos de algunos países ribereños: 16 españoles,

15 marroquíes,

18

argelinos, 18 tunecinos y el resto italianos, que son 20. ¿Cuántos científicos asisten a la

reunión?

30)Un paseante camina con pasos regulares de 56 de metro. Si da 2 pasos regulares cada 3

segundos, ¿qué distancia recorrerá en media hora?

31)El paso de rosca de un tornillo es de 34 de milímetro. ¿Cuántas vueltas hemos de darle con

una llave para que penetre 1'8 cm?

32)Una clase tiene 42 alumnos. ¿Se puede afirmar que 36 son chicos y

47 son chicas?

33)Se cuentan 5.700 botellas cuando se lleva 23 de la carga. ¿Cuántas son la carga completa?

34)2.700 bombillas son los 34 del total. ¿Cuántas bombillas son

710?

35)Expresa en forma de fracción de hora 40 minutos. Exprésalos también como fracción de día. SOLUCIONES

1) 40 botellas2) 30 litros3) 88 canicas4) 10 frascos

5) 37 y

27

6) 50 litros7) 162'5 €8) 3000 litros9) Igual10) 4.961 litros11) 480 km12) 375 manzanas13) 27.562'5 €14) 510 hectáreas15) 100 goles

16) El de 75

17) 256 reses

18) 30 cómics19) 120 exámenes20) 103'25 €21) 3'6 €22) 2.000 kg23) Lit >Mat>Soc>Id24) 69'6 €

25) 5 min y 58 de min

26) No27) 300 km

28) 39 páginas y 1940

29) 120 científicos30) 1 km31) 24 vueltas32) No33) 8.550 botellas34) 3.150 bombillas

35)

3 y 1

362

Para practicar

1. Escribe en forma de potencia:

a) 7·7·7·7·7

b) (-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5)

c) 31

31

31

31

31

31

⋅⋅⋅⋅⋅

d) 21

21

21

21 −

⋅−

⋅−

⋅−

2. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) -22 b) (-2)2

c) -20 d) (-2)0

3. Calcula el valor de las siguientes potencias:

a) -33 b) (-3)3

c) -32 d) (-3)2

4. Ordena de menor a mayor, utilizando para ello el símbolo <.

(-3)2 , (-3)3, -32 , 33 , (-3)0

5. Ordena de mayor a menor, utilizando los símbolos > e = cuando según los necesites.

(-2)3 , 23, -23 , 20 , -22 , (-2)0 , -20

6. ¿Son iguales las siguientes potencias?

a) 92 y 34

b) (52)2 y 252

7. Escribe en forma de potencia de una potencia:

a) 72·72·72·72·72

b) (-2)4·(-2)4·(-2)4

8. Escribe en forma de potencia de una potencia:

a) 55

31

31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

b) 3333

21

21

21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

9. Calcula el valor de las siguientes potencias de productos:

a) (5·3)2

b) (-1·3)3

c) (-2·5)4

d) [(-2)·(-3)]2

10. Calcula el valor de las siguientes potencias de cocientes:

a) 2

27⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ b) 3

24⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

⎠⎝

c) 4

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ d) 2

23⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

11. Calcula los siguientes productos. Expresa el resultado en forma de potencia:

a) 35·32

b) (-7)5·(-7)6

c) 24·23·2

d) x4·x10

12. Escribe como una potencia de diez:

a) 1000000000

b) 1000·10000

c) 10·100·1000

13. ¿Qué fracción elevada al cubo da 271 ?

14. ¿Qué fracción elevada a la quinta

potencia da como resultado 321 ?

Potencias

15. Calcula los siguientes cocientes.

Expresa el resultado en forma de potencia:

a) 2

6

55 b) 5

12

)2()2(

−

−

c) 7

7

33 d) 2

8

xx

16. Calcula. Expresa el resultado en forma de potencia:

a) (35)7 b) (x4)5

c) [(-2)3]4 d) (y8)8

17. Calcula. Expresa el resultado en forma de potencia:

a) 52

31

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

b) 34

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

c) 27

x1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

18. Escribe la descomposición polinómica de los siguientes números:

a) 15978

b) 724

c) 4093

d) 99

19. Escribe la masa del protón en notación científica:

0,0000000000000000000000016726 g

20. Escribe en notación científica la masa de la luna:

73490000000000000000000 kg

21. Escribe en notación científica el tamaño del virus que provoca la fiebre aftosa.

0,000000024 m

22. Escribe en notación científica el diámetro ecuatorial del planeta Júpiter.

142984000 m

23. ¿Qué número decimal es 4,88·10-5?

24. ¿Qué número decimal es 5,06·109?

25. 78,17·1012, aunque está bien escrito, no está bien expresado en notación científica. Escríbelo correctamente en notación científica.

26. 689,231·10-21 no está bien expresado en notación científica, aunque es perfectamente válido. Escríbelo de forma correcta en notación científica.

27. Indica si los números siguientes son o no cuadrados perfectos.

a) 51 b) 49

c) 1600 d) 120

28. Calcula las raíces cuadradas de los números siguientes, con una cifra decimal.

a) 449 b) 97

c) 19 d) 605

29. Halla el área de un cuadrado cuyo lado mide 5 m (recuerda que el área de un cuadrado es su lado elevado a 2).

30. Halla el volumen de un cubo cuyo

lado mide 41 m (recuerda que el

volumen del cubo es su lado elevado a 3).

Potencias

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) 75 b) (-5)6 c) 6

31⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ d)

⎠⎝

4

21⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎠⎝

−

2. a) -4 b) 4 c) -1 d) 1

3. a) -27 b) -27 c) -9 d) 9

4. (-3)3 < -32 < (-3)0 < (-3)2 < 33

5. 23 >20=(-2)0 >-20 >-22 >-23=(-2)3

6. a) sí b) sí

7. a) (72)5 b) [(-2)4]3

8. a)

25

31

⎥⎥

⎢⎢ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ b) ⎦

⎤

⎣

⎡43

21

⎥⎥⎢ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

9. a) 225 b) -27 c) 10000 d) 36

10. a) 12,25 b) -8 c) 0,0625 d) 2,25

11. a) 37 b) (-7)11 c) 28 d) x14

12. a) 109 b) 107 c) 106

13. 31

14. 21

15. a) 54 b) (-2)7 c) 30 d) x6

16. a) 335 b) x20 c) (-2)12 d) y64

17. a) 10

31⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ b)

⎠⎝

12

21⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ c)

⎠⎝

14

x1⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎠⎝

18. a) 1·104+5·103+9·102+7·101+8·100

b) 7·102+2·101+4·100

c) 4·103+0·102+9·101+3·100

d) 9·101+9·100

19. 1,6726 · 10-24 g

20. 7,349 · 1022 kg

21. 2,4 · 10-8 m

22. 1,42984 · 108 m

23. 0,0000488

24. 5060000000

25. 7,817 · 1013

26. 6,89231 · 10-19

27. a) No b) Sí c) Sí d) No

28. a) 21,1 b) 9,8 c) 4,3 d) 24,5

29. 25 m2

30. 641 m2 = 0,015625 m2

Potencias

¿SoJig"9ipi ue t}T0tm}Stp t}[ Jüino[83 Sep9nd? .znt SogB F ep Se t}pütHTxoJdt2 E?ouB}spi3Áno oiffl3}Ü©3-Üjiv s© soj}osoti Ü sÜuBOJeo §¥tH StziieJ#e StJ| ep Ütln ."sTOT.9b`6€ eiügtHÜpt2uip[oJdt2 eTt!AEnbe enb `„zni o¥B„ ÜztiE}n es C.3}9 `sojiguig[pi `soiiem ep zeA uo

(st2ieüBTd `st2iieiise 9Jiu9) osJeAtm ie t[e St!EOüüisp sgpueJs st}i Jipe" t2J€d .o[ t;uigiqoid

'U9JpeTe

un ep t2pt2ui¡xoidB BSEui Úi JBino[i2o s9Pend SO}BP So}Se uoD .ugJ}9eie un ep t2SB"Ü| S909A 9€8[ SBtm 8¥¿z.0[ x 9Z¿9`[ .XOJdg ep S9 U9}OJd Ün 9P t}SEtH t}ri .6 tgui®iqoJd

epF"enboA[odep"opJEdüun¥ieAesoü3uÜ#nbv?-03i}Ügim[egn¿£°9J;;gÉ-%:£seo©A ,oi.s`z o¥tztm} Ün Ü oigfqo tm JBAJgsqo 9}EtHJed o!doosoJOEtii tin .8 Üm3iqold

•tzJJeu tz[ tz Jt28eii ue Tos T©P zn[ t;i Bpmi oiti?no JEinoit2o izJt}d t23iji}Üeio ug?ot?ioti

Ü[ t}Sn 'SOJle"9TPI 00o ooo 0S[ .Se TOS it} ÜHeH t}[ 9p t}Epeu t}[o"2is?p t}ri .opunsesJod soJiougTpi ooo oo€ ep ÜptztHExoJdE Ptzpi®OioA Eun 8 Üít}tA zn[ ÜT .¿ i2m@iqold

¿t}Heti t3[ t} ios Tep CBogi}ue?o ug!ot2}oÜue `ÜpBui3xoJdE tzEOüt}}SEP ¥[ S© [?n3? .eHe?i tzi 8 Jt2Se[[ ti9 Sopüns©S zo[ x O.S 9P

Üojgo ÜpjEi £optmges Jod ur]i so[ x o.€ e eiüe"ÜPüui[XoJdü gíe?A enb Zn[ ei .9 tgui3iqoid

¿B|StuHBtHqns ig t}i}Üenouees pt}ptpurüoJd gnb t}? `etoH9dns Ü[ He eonpoJd gs enb opTHos un JBp®iep ug s z`o tzpm}t}isEtiTJB"qns un ?S .S/ui £0[.9`T Se msú [e Üe oP?uoS i8P Pt2ptooieA t}T .s t2m®iqoid

•uD| S[ JeHo39I

ug ¥]t?pJB} 9nb odtHep ie t}inoTB® .S/ui 8 8o[.€ S9 Zn[ Ü[ 9P PBPEOoieA t}| .P ÜtH@|qoJd

•SeuoJingu 9[ Á sguo}oJd gi `SetioJ3oeTe gi eugi} 9nb opugiqt}s eLgnzg

ep otHoi? Un ep t2SÜHi BT t2tiEtliJ919C| .8H ¿z.oi.¿9`[ `elu9tHBPB"EXOJdü `S8 U9Jinou un ep

otHoo ug}oJd tm ep oiüt}} St2StzHi St2i .8H [£.o[.6 Se ugJiooie Ün ep t}SÜ" t}T .€ t;mgiqoid

•4/Z«-+p:€dn3oenbtietm[oA

ie Á od]em tin ep tzst2tH Ü[ eJiue ÜgzBj Üi se t}EpetH PÜpFsugp ti[ enb iüpJo3eJ seqgpe"eiqojd 9}S9 JEz?iúoJ ÜJt}d .gJJ9E| gi ep tletmEOA T3 t}|mlt}3 ££tH¢H goT.S`S S9 tz?P9tH

pt}pisuep ns erib opüe?qBS .bzo[ .9 ep t!PütHixoriü ÜsütH t2Ün euetl tzJJeEL BT .Z t"3|qoJd

•[OS [9P ESBtii t2l t}|nopo CSH ]7zoi.g Se ÜJJei| BI 9P ÜSB"

Üi is .t}Heti t}i gp üi S909A oooos£ `e}ug"Üpt}uip£OJdü `S9 ios iep t3SütH ET .i t;m@iqoJd

tzgii!}u@P ugpt;+Ou u@ StztH®|qoJ[d

1. Operaciones con radicales

1.1 Producto de radicales De radicales homogéneos (de igual índice)

Ejemplos:

a) 333 3575 =⋅ b) 4 34 24 aaa =⋅

Ejercicios: Efectúa los productos siguientes:

1) 532 ⋅⋅ 2) 3 53 23 aaa ⋅⋅ 3) ab

ba 2

2⋅ 4) 4 33 aaa ⋅⋅

5) 33 532 ⋅⋅ 6) 436 543 ⋅⋅ 7) 6 53 232 xxx ⋅⋅

8) 43

43

52

32

⋅⋅ 9) 364 xyxy

yx

⋅⋅ 10) abccbacab ⋅⋅ 5 2225 32

11) 532 abccbabaa ⋅⋅ 12) 4 223 2 23 baba ⋅ 1.2 Extracción de factores fuera del signo radical

32343412 =⋅=⋅= 4 34 34 44 344 7 aaaaaaa =⋅=⋅=

nnn BABA ⋅=⋅

El producto de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo índice y por radicando el producto de los radicandos de los factores.

6 32526 1585 33 zyxyzzyx = Observa que los factores 3 y x5 quedan íntegros dentro del radical por tener exponentes menores que el índice. Si el radicando es un número, se descompone en factores primos y se procede como se ha indicado. Ejemplo: 336332323888 2254 =⋅=⋅=

Ejercicios:

1) 32 2) 3 516x 3) 4 6564 yx 4) 4 46nm

5) 6 151296 dcba 6) 2642 cba 7) 3 4312681 dcba 8) 3 1069 cba−

9) 5 510145 cba 10) 2353 cba 11) 3 543227 dcba 12) 3162 a

13) 3 53485 zyx 14) zyxxy 4383 15) 3522 yxxy

1.3 Introducción de factores dentro del signo radical Para introducir dentro del signo radical un factor que multiplica a una raíz, se multiplica el exponente del factor por el índice de la raíz y se escribe el producto como exponente del factor dentro de la raíz.

Demostración: n nmnn nmnm bababa =⋅= )( Ejemplos:

a) 3 73 433 4 aaaaa ==

b) 5 1355 31055 3525 32 77)7(7 xxxxxxx ===

c) 33322

2

3

333

2

23

32

2 632232

432

432

ba

ba

ab

ba

ab

ba

ab

ba

===

=

Ejercicios: 1) aa 22 2) 3 243 xx 3) )()( baba ++ 4) 223 abba

5) 3 2bcxax 6) 5 22 baab− 7) xyyx 22 8) 3 232 3 babca

9) 252 aba 10)x

x31

2 11) 33

2

232

dcab

ba

12) 3425

52

yx

13)xy

yx

23

32

14) 32

2 abc

ba

15)6

3 xyzxy

16))(

)(yxyx

yx−+

− 17)yxyx

yxyx

+−

−+

18) 22

1)(

baba

−+

19) 22)(baba

ba−−

+ 20)11

11

+−

−+

aa

aa

1.4 Cociente de radicales De radicales homogéneos (igual índice) n

n

n

BA

BA

=⋅

El cociente de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo índice y por radicando el cociente de los radicandos .

Ejemplos:

a) 333

3

44

164

16==

b) 326

21

:23

21

:23

===

Ejercicios:

1) 3:2 b

aba

2) 43

43

:53

32

⋅ 3)

6245

23

:8 cababca

4) 32:722 5) xyyx 3:2 32 6) 72:18

7) 2243 4:16 yxyx 8) 5 25 432 : cabcba 9) abba 3:2 3 2

10) abcddbca :3 22 11) 4 323 32 : bcabca 12) 43

32

53

:43

⋅

Para extraer factores de un radical con radicando en forma de fracción se realiza primero el cociente de radicales y después se extraen independientemente los factores del numerador y del denominador. Ejemplos

a) 24

3

233

2

31627

1627

===

b) 32

3

3 2

3 44

3 543

34

542

332

33

2

3

281

8ab

yzayz

aba

yzyz

ba

zybazyx

===

Ejercicios:

1)9

163

332 yxyx 2)

425

52 53bca

cab

3 ) 6

43

2

32

949

73

xcab

cbxa

4) 515

106

32bba−

5) 36

1086

27bcba

6) 345

234

12 fdcba−

7) 5963

876

72964

zyxcba

1.5 Potencia de un radical

( ) n ppn AA =

Para elevar una raíz a una potencia se eleva el radicando a esa potencia Ejemplo:

a) ( ) 444481)3(3 xaaxax ==

Ejercicios: Calcula las potencias y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles

1) ( )32ab 2) ( )2

3 23 ba 3) ( )35 32223 cba 4)

34 32

2

dcb

a

5) ( )33232 cba 6)

2

32

22

abc

cab

7) ( )332 )( baab − 8)

21

)(

−−

yxyx

9)2

322

2

92

3

yxyx 10)

3

43

4

ba

ab 11)10

52

− zyx

1.6 Raíz de un radical

mnm n AA =

Ejemplos:

a) 124 3

53

53

=

b) Estos ejercicios se empiezan a resolver desde el radical más interior

3945165

214541453114591145

==+=+

++=++=+++=+++

c) En estos ejercicios se combina la raíz de una raíz con la introducción/extracción de factores del radical.

2244232243

2 981327927 babababababa === (Extracción) 6 53 233 2 222 aaaaa == (Introducción)

Ejercicios

1) 32a 2) 3 5

23

ab 3) 4 3

32

ax

4)

La raíz m-ésima de la raíz n-ésima de un número es la raíz mn-ésima de dicho número.

6482120 +++ 5) 4932419 −+−

6) 42 16215 aaa ++ 7) 842 256325 xxx −+

8) 3 aa 9) 4816 10) 2248 baabab

11) 2222 12) 3 16 13) 5 22 aa 14) 3 23 aab

15)21

222 16) 3331

33 17) 4 31a

aa 18) 31

xx

x

19) 32

23

2

ba

bbb

a⋅ 20) 3

23

2:

ba

bbba

1.7 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes Para sumar o restar radicales estos han de ser semejantes. Son radicales semejantes los que tienen el mismo índice y el mismo radicando

Son semejantes: 5 35 35 3 2)(2;2 azyaxa −

También son semejantes 82 y ya que 2228 3 == Si los radicales no son semejantes, se deja la operación indicada. Para buscar radicales semejantes usaremos la simplificación, la extracción de factores y la introducción .

La adición o sustracción de radicales semejantes da como resultado otro radical semejante, cuyo coeficiente se obtiene sumando o restando los coeficientes de los radicales

Ejemplos:

a) Agrupa los radicales semejantes: 54,9,31

,24,12,3 4

63,3,33

,62,32,323,3,3

1,32,32,3 34 232 ⇒⋅

Son semejantes por un lado:

,39,33

31

,3212,3 4 ===

y por otro: 63546224 == y

b) 3433332 +−+ = 383)4132( =+−+ c)7 1842332250 −−− =

2122)123835(2122328235

234232222572342322527 2252

=−−−=−−−

=⋅−−⋅−⋅=⋅−−−⋅

d) 535223 32845 baabbaab +++ = =+++ abababbababb 242225 22 ababbababb 2)42(25 22 +++

Ejercicios: 1) 2222428 −+− 2) 5

51

532

553

531

+−+

3) 333 232

241

221

−+ 4) 20345352 +−

5) 4 3238218 −+ 6) 333 1282543167 −+

7) xxxxx 185038 3 +− 8) aaaaa 122732 3 +−

9) 22 123335 aaa +− 10) 2 6 103 23 5 2565416 xxxx +−

11) 452820745273 +−++− 12) xyxyxyxy34

952

431

23

−+−

259

536243x

xxxx −−+− 333

1253

59

99

1256

xxx+−

55

555 ab

abba

ab

ba

−++−