Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

Representasjoner i matematikk

Forfatter:

Olaug Ellen Lona Svingen

Publisert dato: 18.desember, 2018

© Matematikksenteret

Foto: Lena Knutli

2 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

2

Kaja kommer med en prestekrage i hånda. Hun kan føle, smake og lukte på

prestekragen. Hun kan lære leken med å plukke ut ett og ett kronblad for å se om hun

blir gift. Hun kan få mange fysiske erfaringer med hva en prestekrage er, og hva den

består av. Hva om hun skal gjøre det samme med tallet fire? Det lar seg ikke direkte føle,

smake og lukte på. Hun kan ta og føle på en mengde med fire brikker, telle en – to – tre –

fire og skrive fire med tallsymbolet 4. Dette er ulike representasjoner for begrepet fire,

men begrepet i seg selv er abstrakt.

Matematiske objekter er abstrakte og er tilgjengelige bare gjennom ulike

representasjoner (Duval, 2006). I denne artikkelen blir matematisk objekt1 brukt om

matematiske begreper, ideer og operasjoner.

Tallet fire er et eksempel på et matematisk begrep. Det matematiske objektet fire er

knyttet både til antallet fire og plasseringen det har i en rekkefølge av tall. Det kan

framstilles på ulike måter, med ulike representasjoner: ved å vise fire fingre, skrive tallet

fire, si fire, plassere tallet 4 på tallinja, osv.

Det matematiske objektet kommutativ egenskap i addisjon er

et eksempel på en matematisk idé. Den matematisk ideen er

at rekkefølgen ikke har betydning for helheten når man slår

sammen to mengder. Illustrasjonen til høyre viser hvordan

den kommutative egenskapen kan representeres på to ulike

måter, ved hjelp av tallinja og med konkreter.

Det matematiske objektet addisjon er et eksempel på en operasjon. Det innebærer at

man kan legge til en endring, slå sammen mengder, sammenligne og utligne ulikheter.

Addisjon kan representeres ved hjelp av tallinja, konkreter, symboler osv. Addisjon kan

også representeres ved ulike kontekster. Her er fire eksempler: 1 Kari har tre drops. Hun

får to til. Hvor mange drops har Kari? 2 Kari har tre blå og fire gule drops. Hvor mange

drops har Kari? 3 Kari har 13 drops. Hilde har 5 flere. Hvor mange drops har Hilde? 4 Kari

1 Begrepet matematisk objekt brukes på ulike måter i faglitteraturen. For å gjøre teksten lettere å lese har jeg valgt å bruke begrepet om begrep, ideer og operasjoner.

Figur 1 Den kommutative egenskapen i addisjon

3 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

3

har tre drops. Hun får fire til. Da har hun like mange som Hilde. Hvor mange drops har

Hilde? Disse fire eksemplene viser ulike aspekter ved addisjon.

Å kunne bruke matematiske representasjoner og oppdage sammenhenger mellom ulike

representasjoner er en viktig del av å utvikle dyp matematisk forståelse (Kilpatrick,

Swafford, & Findell, 2001; Niss & Jensen, 2002; Utdanningsdirektoratet, 2018). Tegn og

symboler har stor betydning når man skal arbeide med og forstå matematikk. En

representasjon er ikke identisk med det matematiske objektet. Ensidig vektlegging av

tegn og symboler som representasjoner kan gi inntrykk av at tegnene og symbolene er

matematiske objekter. Vi må arbeide med ulike representasjoner, slik at elevene ser det

matematiske objektet på ulike måter, og dermed utvikler god forståelse av hva det

matematiske objektet er.

Det er vanlig å vise til fem ulike representasjoner for matematiske objekter: visuelle,

konkreter, kontekst/hverdagssituasjoner, verbale og symbolske (Kilpatrick et al., 2001;

Lesh, Cramer, Doerr, Post, & Zawojewski, 2003), se figur 2.

Figur 2 Representasjoner for matematiske objekter

Disse representasjonene er tilsynelatende veldig ulike, men de er uttrykk for samme

matematiske objekt. For å kunne utvikle dyp forståelse i matematikk må man være i

Matematisk objekt

Visuelt

Symbolsk

Verbalt

I en kontekst/hverdags-situasjon

Med konkreter

4 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

4

stand til å se sammenhenger mellom de ulike representasjonene. Det blir viktig når man

skal lære matematikk. Pedagogen må legge til rette for at elevene møter ulike

representasjoner i undervisningen, og trekke fram sammenhengene mellom

representasjonene. Figur 3 viser ulike representasjoner av brøken ¾. I arbeidet med

brøk er det viktig at elevene ser sammenhenger og kan kjenne igjen brøken i de ulike

representasjonene.

Siden matematiske objekter er abstrakte, vil man møte ulike representasjoner når man

arbeider med matematikk. Representasjonene kan enten bearbeides eller konverteres.

Når man jobber innenfor samme representasjon, bearbeider man den. Hvis man derimot

skifter mellom ulike representasjoner,

konverterer man mellom ulike

representasjoner (Duval, 2006). For å utvikle

dypere matematisk forståelse er det viktig at

man gjør begge deler: både bearbeider

innenfor samme representasjon og

konverterer mellom ulike representasjoner

(figur 4). Arbeider man bare med konkreter, vil

man ikke utvikle forståelse av tall og symboler. Det er nødvendig å knytte

representasjonene sammen og vise at de er to sider av samme sak. For elever som

presterer lavt i matematikk, er det særs viktig å oppdage sammenhenger mellom ulike

representasjoner.

Eksempel: Brøk

Symbolsk Visuelt Verbalt I en kontekst

Med konkreter

3

4

Tre firedeler

Fire barn deler tre

sjokolader likt

Figur 3 Ulike representasjoner av brøken 3/4

Figur 4 Eksempel på bearbeiding og konvertering

5 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

5

Egenskaper ved ulike representasjoner

Det er viktig å tenke igjennom hensikten med valg av representasjoner. Hvilke

representasjoner som er hensiktsmessige for å utvikle bedre forståelse, kan vurderes ut

fra følgende fem egenskaper: synlighet, effektivitet, generalitet, klarhet og presisjon

(Kilpatrick et al., 2001). Å vurdere representasjoner ut fra disse egenskapene er nyttig

for å kunne velge representasjoner som er hensiktsmessige.

Ulike representasjoner kan støtte opp om og synliggjøre matematiske objekter, men

elevene selv må konstruere objektene mentalt. Med utgangspunkt i de fem egenskapene

kan læreren vurdere i hvilken grad en representasjon vil være til støtte for elevene i

forståelsen av det matematiske objektet. Vi skal se et eksempel på vurdering ut fra de

fem egenskapene: forståelse av posisjonssystemet. Det matematiske objektet her er

ideen om at ti kan være én tier, men også ti enere.

Synlighet: Når man skal vurdere synlighet, kan man spørre i hvilken grad den valgte

representasjonen viser det matematiske objektet. Den matematiske ideen om at ti kan

være én tier eller ti enere, vil være mer synlig i tibasemateriell eller i hundrerutenett

enn i penger. Tibasemateriell er ferdiggruppert, og forholdet mellom enere og tiere er

proporsjonalt – en tier er ti ganger større enn en ener. Centikuber, pinner i bunter, kuler

i skåler og tellebrikker er eksempler på proporsjonale konkreter. Det er ikke like

innlysende at ti enkronemynter er det samme som en tikronemynt. En tikronemynt er

ikke ti ganger større enn en enkronemynt.

Effektivitet: Det er ønskelig at elevene utforsker effektive representasjoner.

Utforskingen må gå i takt med elevenes forståelse. De symbolske representasjonene er

effektive, men setter store krav til at elevene forstår hva de kommuniserer. Elever som

har behov for å se alle tierne, kan synes at tibasemateriell er mer effektivt enn å tegne

alt. På sikt kan tegning bli mer effektivt enn å bruke tibasemateriell om man utvikler

effektive måter å tegne tiere og enere på.

Generalitet: En vurdering av representasjonene er om de kan brukes på et bredt

spekter av matematiske objekter. Perlesnor er ikke en generell representasjon. Den

6 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

6

fungerer med hele tall, men ikke med desimaltall. Den er heller ikke særlig praktisk når

man skal jobbe med større tall. Tallinja gir mulighet til å utvide fra hele tall til rasjonale

tall og reelle tall. I arbeidet med ulike representasjoner er det nødvendig å ha som mål at

man skal utvikle forståelse av representasjoner som er brukbare, etter hvert som man

blir introdusert for nye aspekter ved posisjonssystemet.

Klarhet: Er den valgte representasjonen forståelig og enkel i bruk? Hvordan en

representasjon skal brukes, er utviklet over tid og noe man er blitt enig om. Tallinje er et

eksempel på at man gjennom bruk legger til rette for en felles forståelse av hva den er,

og hvordan den kan brukes. Tall skrives i stigende rekkefølge, og tallintervallene deles

inn i riktig størrelsesforhold. Flytter man seg ti steg til høyre på tallinja, blir tallet en tier

større.

Presisjon: Her vurderer man hvor nøyaktig representasjonen er. Tallinja kan ha ulik

grad av presisjon. Når man forstår grunnprinsippene for tallinja, kan man bruke den

mer som en mental støtte, og trenger verken å skrive alle tallene eller ha riktig avstand

mellom dem. Dette er et eksempel på en åpen tallinje, der bare rekkefølgen av tallene

etter størrelse er viktig. En tallinje som modell for alle reelle tall skal ha både rekkefølge

og størrelsesforhold presist avmerket, og er et eksempel på stor presisjon.

Alle egenskapene trenger ikke å være til stede for å velge en representasjon, men

egenskapene kan være en støtte til å vurdere når ulike representasjoner er

hensiktsmessige. I arbeid med forståelsen av tall kan elevene bruke en perlesnor. Men

etter hvert bør de kunne jobbe uten å bruke perlesnora, den er tungvint å bruke i det

lange løp. Kobler man en visuell

representasjon til perlesnora, vil

tallinja være et naturlig valg. Man

kan tegne snora som en rett linje,

og i stedet for å tegne hver perle

setter man et merke for hver perle.

En lignende kobling kan gjøres mellom centikuber og hundrerutenettet. Etter at man har

jobbet konkret med centikuber, kan de knyttes til hundrerutenettet. Målet må hele tiden

Figur 5 Konvertering fra perlesnor til tallinje

7 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

7

være å gi elevene verktøy som kan støtte tenkningen deres. Å jobbe med konkreter, for

deretter å utvikle visuelle representasjoner som også knyttes til symbolske

representasjoner, vil gi elevene dypere forståelse av de matematiske objektene.

Bruk av representasjoner i undervisningen

Et av hovedproblemene for elever som presterer lavt i matematikk, er at de har uklar

forståelse av sammenhengen mellom abstrakte symboler og andre matematiske

representasjoner (Gersten et al., 2014). Systematisk undervisning om sammenhengen

mellom ulike representasjoner er nødvendig for å utvikle robuste begreper i

matematikk. Det er tradisjon å bruke konkretiseringsmateriell mye i

begynneropplæringen. Etter hvert som elevene blir eldre, bruker man i større grad

symbolske representasjoner. Konkretiseringsmateriell kan være effektivt uansett

alderen på elevene, men ubevisst forhold til bruk av konkreter kan være et hinder for

elevenes læringsutbytte. En undervisning der læreren viser hvordan

konkretiseringsmateriellet skal brukes trinn for trinn, er like lite produktivt som der

elevene får fritt spillerom og jobber uten veiledning (Stein & Bovalino, 2001). Hvis

læreren styrer elevene skritt for skritt gjennom aktiviteten, får de ikke rom til å tenke

igjennom og skape mening i aktiviteten. Da tar læreren en snarvei forbi elevenes egen

tenkning, og viser dem hvordan de skal gjøre det. Skal bruk av konkretiseringsmateriell

gi mening, må eleven selv skape sammenheng mellom representasjonen og det

matematiske objektet. Det er ikke nok å få det fortalt. I motsatt ende av skalaen, der

elevene jobber fritt med konkretiseringsmateriell, blir de i for stor grad overlatt til seg

selv. Dette fremmer usystematisk og uproduktiv bruk av konkretiseringsmateriellet.

Eleven må selv finne sammenhengen mellom konkretiseringsmateriellet og det

matematiske objektet, og denne sammenhengen trenger ikke å være opplagt. Det som er

en opplagt kobling mellom konkretiseringsmateriell og det matematiske objektet for

læreren, trenger ikke å være like opplagt for eleven. Konkretiseringsmateriell er laget

for å synliggjøre et matematisk objekt. Når sammenhengen mellom

konkretiseringsmateriellet og det matematiske objektet er forstått, ser man

sammenhengen tydelig. Men for de som ikke kjenner til hvilket matematisk objekt

konkretiseringsmateriellet skal representere, blir denne sammenhengen uklar.

8 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

8

Disse fire prinsippene kan beskrive effektiviteten av bruk av

konkretiseringsmateriell(Laski, Jor’dan, Daoust, & Murray, 2015):

1 Bruk konkretiseringsmateriell konsekvent og over lang tid. Elevene trenger tid til å bli

kjent med materiellet og skape sammenheng mellom materiellet og det matematiske

objektet.

2 Begynn med konkrete representasjoner der det matematiske objektet er godt synlig,

og gå gradvis over til representasjoner som er mer abstrakte. Konkretiseringsmateriell

der den fysiske likheten mellom den fysiske representasjonen og det matematiske

objektet er tydelig, vil gi elevene større mulighet til å se sammenhengen mellom dem.

3 Unngå konkretiseringsmateriell som ligner hverdagsobjekter og har distraherende og

irrelevante egenskaper. Konkretiseringsmateriell kan betraktes fra to ulike posisjoner,

som et objekt for sin egen del og som et symbol for et matematisk objekt. Når et

konkretiseringsmateriell er spennende å utforske for sin egen del, eller har egenskaper

som er irrelevante for det matematiske objektet, kan det distrahere og hindre eleven i å

se sammenhengen mellom representasjon og matematisk objekt.

4 Vis sammenhengen mellom konkretiseringsmateriell og matematisk objekt klart og

presist. Det er urealistisk å tro at et elevene selv skal kunne se denne sammenhengen

uten veiledning.

I avsnittene over er det beskrevet hvordan bruk av konkretiseringsmateriell kan gi økt

læring. Disse beskrivelsene vil også ha betydning for bruk av andre representasjoner, for

eksempel visuelle representasjoner. I læring av nye matematiske objekter vil det være

nødvendig å bruke ulike representasjoner, uansett hvor gamle elevene er. Å inkludere

ulike representasjoner i undervisningen krever forberedelse av læreren. Det er

nødvendig å ha oversikt over og være kjent med fordeler og ulemper ved ulike

representasjoner. I forberedelsene er det viktig å tenke igjennom hvordan ulike

representasjoner skal brukes og knyttes sammen. Læreren må selv løse oppgaven ved

hjelp av representasjoner han eller hun tenker å bruke. Sist, men ikke minst, er det

viktig å tenke igjennom den praktiske gjennomføringen i klasserommet og plasseringen

av elevene, og gjøre klar materiell som elevene skal bruke (Stein & Bovalino, 2001).

9 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

9

Det er ønskelig at så mange elever som mulig får utbytte av det ordinære tilbudet. Ved at

man bruker ulike representasjoner i klasserommet, vil flere kunne delta. Elever som har

behov for særlig tilrettelegging, har samme behov for å utvikle forståelse for

sammenhenger mellom ulike representasjoner som alle andre. Bruk av representasjoner

blir derfor sentralt i all undervisning, både i ordinær undervisning og når det er

særskilte behov. Uansett hvilket nivå undervisningen foregår på, er grundig planlegging

og vurdering viktig for at utbyttet til elevene skal bli best mulig.

10 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

10

Eksempler på representasjoner

2 Proporsjonale representasjoner er representasjoner for posisjonssystemet, der en representasjon for ti er ti ganger større enn en ener, og en hundrer er ti ganger større enn en tier.

KONKRETER

Proporsjonale2 Egenskaper – egne notater

Numicon

Perlesnor

Tellebrikker, unifixbrikker o.l.

Tibasemateriell

Brøkbrikker

Cuisenairestaver

Kulerammer

Ikke-proporsjonale

Penger

Posisjonstabell

Andre

Geobrett

Klosser

Geometriske figurer

Jovobrikker

11 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

11

VISUELLE Egenskaper – egne notater

Tallinjer

Grafer

Tabeller

Hundrerutenett

Tegning

Barmodell (Singapore)

Rutenett/arealmodell

MUNTLIG Elevens eget språk

SYMBOLSK

Tall

Bokstaver

Symboler

KONTEKST Regnefortellinger

Hverdagssituasjoner

12 av 12

Institutt for lærerutdanning

Matematikksenteret

12

Referanser

Duval, R. (2006). A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in a Learning of Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 103-102), p.103-131. doi:10.1007/s10649-006-0400-z

Gersten, R., Compton, D., Connor, C. M., Dimino, J., Santoro, L., Linan-Thompson, S., & David Tilly, W. (2014). Assisting students struggling with reading: Response to intervention and multi-tier intervention in the primary grades.

Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up. Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Washington, DC: National Academy Press.

Laski, E. V., Jor’dan, J. R., Daoust, C., & Murray, A. K. J. S. O. (2015). What makes mathematics manipulatives effective? Lessons from cognitive science and Montessori education. 5(2), 2158244015589588.

Lesh, R., Cramer, K., Doerr, H., Post, T., & Zawojewski, J. (2003). Model development sequences. Niss, M., & Jensen, T. H. (2002). Kompetencer og matematiklæring: Idéer og inspiration til udvikling

af matematikundervisning i Danmark (Vol. 18): Undervisningsministeriet. Stein, M. K., & Bovalino, J. W. (2001). Manipulatives: One piece of the puzzle. Mathematics Teaching

in the Middle School, 6(6), 356. Utdanningsdirektoratet. (2018). Høringsutkast kjerneelementer i Matematikk fellesfag og

programfag. Retrieved from https://hoering.udir.no/Hoering/v2/197?notatId=358