RESGATE DA INSERÇÃO DAS NOÇÕES ELEMENTARES DO …

Universidade Federal do Espiacuterito Santo

Centro de Ciecircncias Exatas

Curso de Mestrado Profissional em Matemaacutetica

Alexandre Maia Ferreira

RESGATE DA INSERCcedilAtildeO DAS NOCcedilOtildeES ELEMENTARESDO CAacuteLCULO (EM PARTICULAR DAS NOCcedilOtildeES DE

LIMITE) DURANTE O ENSINO MEacuteDIO

Vitoacuteria

Dissertaccedilatildeo apresentada ao Curso de Mestrado Pro-

ssional em Matemaacutetica da UFES como requisito

parcial para a obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Mestre em

Matemaacutetica

Orientador Etereldes Gonccedilalves Juacutenior

Doutor em Matemaacutetica - IMPA-RJ

Vitoacuteria

A minha esposa Taniara e aos meus pais Luiza

e Miguel

Aos colegas e amigos pelo incentivo pela ajuda

e pela paciecircncia

Resumo

Este trabalho eacute uma alternativa de retorno da abordagem de assuntos ligados

ao Caacutelculo Diferencial e Integral de forma intuitiva e construtiva durante o Ensino Meacutedio

O desenvolvimento desse material inicia com a realizaccedilatildeo de uma pesquisa histoacuterica sobre

a evoluccedilatildeo do estudo de limite derivada e integral em seguida eacute feito um levantamento

de dados entre professores e graduandos sobre os impactos (vantagensdesvantagens) que

o resgate do repasse de ideais correlatas do Caacutelculo proporcionaria Com o intuito de

justicar a restauraccedilatildeo proposta foi realizado um mapeamento dos conteuacutedos que neces-

sitam de enfoque de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo nos principais livros didaacuteticos utilizados

tradicionalmente nas escolas capixabas puacuteblicas e particulares Foi questionada entre pro-

fessores a melhor seacuterie a visatildeo dos Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) o curriacuteculo

baacutesico a existecircncia de cursos de formaccedilatildeo e material didaacutetico especiacuteco para realizaccedilatildeo

de tal iniciativa assim como foi avaliada a situaccedilatildeo em que eacute possiacutevel inserir tais conceitos

sem causar danos e comprometimento ao ensinoaprendizagem dos alunos Apoacutes a anaacutelise

dos assuntos principais que requerem o uso de noccedilotildees de Caacutelculo de uma maneira geral

montou-se a proposta de sequencia didaacutetica com atividades estrateacutegias e metodologias

desenvolvidas e apresentadas de maneira construtiva e intuitiva

Palavras-chaves Caacutelculo Limite Derivada Integral GeoGebra

Abstract

This work is an alternative return of the issues related to Dierential and

Integral Calculus approach intuitive and constructive way during high school The deve-

lopment of this material starts with doing historical research on the evolution of the study

of limit derivative and integral then it is a survey of data between faculty and graduate

students about the impacts (advantagesdisadvantages) that the transfer of redemption

ideals related calculation would provide In order to justify the proposed restoration a

mapping of the contents that require focus on intuitive notions of calculus in the main

textbooks used traditionally in public and private schools capixabas was performed It

was questioned from the grade teachers the vision of the National Curriculum Parame-

ters (PCN) the core curriculum the availability of training courses and specic teaching

materials for conducting such an initiative as well as the situation in which you can enter

these concepts was evaluated harmlessly and commitment to teachinglearning of stu-

dents After analyzing the main issues that require the use of concepts of Calculus in

general was set up to draft sequence with didactic activities strategies and methodologies

developed and presented in a constructive and intuitive way

Keywords Calculus Limit Derivative Ingegral GeoGebra

Agradecimentos

A princiacutepio gostaria de agradecer a Deus por me proporcionar uma vida sau-

daacutevel (repleta de sabedoria inteligecircncia e amizade) uma famiacutelia majestosa amigos mag-

niacutecos e uma esposa formidaacutevel a qual amo muito

Em segundo plano e em caraacuteter especial gostaria de agradecer aos meus pais

(Luiza e Miguel) que satildeo a razatildeo do meu viver a minha avoacute (Salviana) que eacute uma

lutadora e uma educadora incansaacutevel a minha esposa (Taniara) que realizou mudanccedilas

signicativas na minha vida e aleacutem disso meus agradecimentos a todos os meus pro-

fessores da educaccedilatildeo baacutesica ateacute o ensino superior pelo aprendizado pela educaccedilatildeo pela

paciecircncia pelo incentivo e pela dedicaccedilatildeo fervorosa para que o sucesso ateacute aqui conquis-

tado fosse possiacutevel

Enm gostaria de agradecer ao meu orientador (Dr Etereldes) aos professo-

res do PROFMAT e a todos os amigos (alunos e colegas de prossatildeo) que colaboraram

de forma direta (Professores Rubens e Solano) eou indireta para a realizaccedilatildeo dessa

dissertaccedilatildeo

Serei eternamente grato a todos sem distinccedilatildeo e sempre estarei agrave disposiccedilatildeo

para retribuir os gestos de carinho de incentivo e de forccedila a mim repassados nos momentos

difiacuteceis conturbados e desanimadores

A pior ditadura natildeo eacute a que aprisiona

o homem pela forccedila mas sim pela fra-

queza fazendo-o refeacutem de suas proacuteprias

necessidades

Juacutelia Liacutecia

Sumaacuterio

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 10

1 INTRODUCcedilAtildeO 11

2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO 15

3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO 22

4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA 29

5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS 32

6 ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES 42

7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA 45

71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL 46

711 Diacutezimas Perioacutedicas 47

712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales 50

713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas 54

714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo 55

72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES 57

721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees 60

73 EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES 67

731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite 71

732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua 72

74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO 76

741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri 80

742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse 88

743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva 90

744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica 96

7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea 98

7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle 100

745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada 101

7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada 104

7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada 106

8 CONCLUSAtildeO 110

I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da

FAACZ (Anexo A) 112

II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo

B) 115

Referecircncias Bibliograacutecas 119

Lista de Figuras

31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias

que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo 22

32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-

ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1+ 2460+ 51

602+ 10

1414212 28

71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais 51

73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis 52

74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso) 53

75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos 54

76 Retacircngulo 6 x 5 56

78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita 60

79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5 63

710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50 65

711 Poliacutegono Retangular para n = 100 65

712 Processo recursivo de Quadrados 70

713 Processo recursivo de Triacircngulos Equilaacuteteros 70

714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito) 77

715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8 78

717 Anel Ciliacutendrico 81

718 Casca de Esfera 82

719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica 84

720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 85

721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7 86

722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 87

724 Elipse inscrita numa circunferecircncia 89

725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante 91

726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer 91

727 Quadratura do ciacuterculo para n = 11 92

731 Poliacutegono Retangular inscrito 95

732 Poliacutegono Retangular circunscrito 95

733 Trapeacutezio retacircngulo 100

734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000 101

735 Reta tangente a uma dada paraacutebola 103

736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral

a esquerda) 105

a direita) 106

738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular 108

739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica 109

Lista de Tabelas

51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos 41

71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2 59

72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais 72

73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler 75

74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo 100

75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio 101

1 INTRODUCcedilAtildeO

Haacute pontos especiacutecos na educaccedilatildeo baacutesica em que a ideia intuitiva de limite

de derivada e de integral estaacute presente Como satildeo tratados os casos em que eacute necessaacuterio

mencionar as noccedilotildees de limite ou de integral para discutir uma consequecircncia natural de

um assunto elementar Como os livros didaacuteticos tratam o assunto Qual a visatildeo dos pro-

fessores diante do tema Como os Paracircmetros Curriculares Nacionais (PCN) lidam com a

situaccedilatildeo Em que estados brasileiros nota-se a presenccedila e a aplicabilidade de tais noccedilotildees

elementares do Caacutelculo Como as consequecircncias imediatas dessa posturaapresentaccedilatildeo

preacute-matura estatildeo interferindo no rendimento dos cursos de Caacutelculo no niacutevel superior De

que maneira podemos introduzir e abordar esse peculiar assunto sem causar constrangi-

mentos e traumas em nossos alunos Em que contexto histoacuterico se deu o processamento

das ideias de limite Tais ideias satildeo largamente empregadas no nosso dia-a-dia Como

explorar as noccedilotildees de limite de derivada e de integral via softwares de geometria dinacircmica

(especicamente o GeoGebra) Como explorar as noccedilotildees de limite via planilhas eletrocirc-

nicas (Microsoft Excel) O que eacute limite e como introduzir sem exageros e formalidades

de maneira que os alunos consigam acompanhar tal abstraccedilatildeo Qual a ordem cronoloacutegica

dos fatos surgiu o Caacutelculo Integral ou primeiro o Caacutelculo Diferencial Como propor a

inserccedilatildeo de limite nos estudo das derivadas O que eacute derivada Soacute se aprende derivada

se souber limite Como interligar a deniccedilatildeo de limite com a noccedilatildeo de integral O que

eacute integral Qual foi a evoluccedilatildeo histoacuterica (limite derivada e integral) Quais principais

precursores (paiacutes cidade natal seacuteculo data problematizaccedilatildeo etc) QueQual percen-

tual de alunos aprendeu alguma noccedilatildeo de limite de derivada ou de integral durante a

educaccedilatildeo baacutesica Quais as vantagens em ensinar as noccedilotildees de limite de derivada e de

integral na educaccedilatildeo baacutesica em particular no ensino meacutedio

Diante de tantos questionamentos surge a necessidade de respondecirc-los por

meio de uma reexatildeo acerca dos pontos destacados na pesquisa desenvolvida na pre-

sente dissertaccedilatildeo Inicialmente foi feita uma pesquisa entre os alunos que estatildeo ingres-

sandocursando na Universidade Federal do Espiacuterito Santo (UFES) e no Instituto Federal

do Espiacuterito Santo (IFES) sobre o estudo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo durante as

fases da educaccedilatildeo baacutesica Quem estudou Em que seacuterie se consolidou tal aprendizado

Haacute conceitos baacutesicos que utilizam as noccedilotildees de limite de derivada e de integral Quais

vantagens obteriam caso tivessem uma base melhor e satisfatoacuteria de tais ideias intuitivas

durante o ensino baacutesico Em segundo momento os professores foram questionados sobre

as vantagensdesvantagens em propor o ensino das noccedilotildees de limite de derivada e de

integrais durante a educaccedilatildeo baacutesica

Em seguida foi feita uma averiguaccedilatildeo que de fato existem conteuacutedos da edu-

caccedilatildeo baacutesica que necessitam de uma abordagem mais especiacuteca das noccedilotildees de limite de

derivada e de integral tais como a representaccedilatildeo decimalfracionaacuteria das diacutezimas pe-

rioacutedicas ao somar os innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de razatildeo especial

(0 lt |q| lt 1) ao estudar a capitalizaccedilatildeo contiacutenua ao analisar comportamentos graacute-

cos de uma funccedilatildeo para valores muito grande eou pequeno do domiacutenio de uma funccedilatildeo

(funccedilatildeo 1o grau 2o grau exponencial e logariacutetmica) ao calcular da medida da aacuterea de

uma regiatildeo plana qualquer com lados curvos aleacutem das inuacutemeras aplicaccedilotildees no estudo da

Fiacutesica (emprego da hipeacuterbole equilaacutetera na relaccedilatildeo entre pressatildeo e volume de um gaacutes em

condiccedilotildees isoteacutermicas e do conceito de velocidade instantacircnea)

Uma busca nos livros de Histoacuteria da Matemaacutetica com o intuito de desvendar

as maneiras e o contexto sobre os quais se deu o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas de

limite de derivada e de integral ateacute chegar ao cliacutemax da notaccedilatildeo atual e padratildeo formal

ensinado na disciplina de Caacutelculo nas universidades Nesse iacutenterim pretendeu-se propor

uma viagem no tempo ao longo dos seacuteculos em busca de momentos cruciais em que se

desenvolveuaplicou as noccedilotildees elementares do Caacutelculo

Apoacutes mapear as diversas situaccedilotildees problema que serviram de motivaccedilatildeo para

o desenvolvimento das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo foi realizada uma conferecircncia nos

livros didaacuteticos mais utilizados na educaccedilatildeo baacutesica especicamente na 3a etapa o Ensino

Meacutedio com o intuito de investigar como o assunto eacute introduzido em que conteuacutedos satildeo

discutidos e qual a linguagem utilizada (notaccedilatildeo usual)

Uma pesquisa com graduandos e com professores foi realizada com o intuito

de averiguar se os mesmos trabalham as noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de

integral no ensino baacutesico e como o fazem Quais satildeo suas anguacutestias temores diculdades

sugestotildees etc Haacute cursos de capacitaccedilatildeoformaccedilatildeo de professores nesse sentido Seria

necessaacuterio criar um algoritmo tipo uma receita de bolo um guia didaacutetico um manual

pedagoacutegico de direcionamento de trabalho que norteasse e ensinasse aos professores com

sugestotildees de abordagem do tema em estudo Em geral os professores possuem conheci-

mentos na aacuterea de utilizaccedilatildeoaplicaccedilatildeo da teoria de limite de derivada e de integral para

empregar em suas aulas a utilizaccedilatildeo de softwares de geometria dinacircmica e softwares que

trabalham com planilha eletrocircnica de estudos

Tendo em matildeos o mapeamento dos conteuacutedos que necessitam de um enfoque

das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral a opiniatildeo dos professores e

dos graduandos a visatildeo apresentada nos livros didaacuteticos e nos Paracircmetros Curriculares

Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) a evoluccedilatildeo histoacuterica e suas situaccedilotildees-problema

foi possiacutevel articular a sequecircncia didaacutetica que de acordo com a nossa visatildeo facilitaria o

entendimento e minimizaria a distacircncia entre o concreto e o abstrato isto eacute reduziria a

margem de abstraccedilatildeo que tais noccedilotildees requerem Nesse sentido o foco da pesquisa tem

como meta a introduccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite de derivada e de integral de acordo

com a seacuterie do Ensino Meacutedio em que se pretende inserir tais conceitos Tambeacutem eacute vaacutelido

ressaltar que haacute conteuacutedos do Ensino Fundamental que necessitam de um enfoque das

noccedilotildees de Caacutelculo por exemplo o estudo das diacutezimas perioacutedicas a demonstraccedilatildeo completa

do Teorema de Tales e a deniccedilatildeo de aacuterea de uma regiatildeo retangular Nesse iacutenterim o

presente trabalho propotildee uma metodologia de introduccedilatildeo desses conceitos empregando e

entrelaccedilando as noccedilotildees elementares de limite

Para a 1a seacuterie do Ensino Meacutedio a abordagem algeacutebrica foi realizada a partir

do estudo de funccedilotildees e suas implicaccedilotildees e do estudo de sequecircncias (em particular seacuteries

geomeacutetricas convergentes diacutezimas perioacutedicas) que apresentam caracteriacutesticas peculiares

que necessitam do estudo das noccedilotildees de limite Em seguida foi proposta uma aplicaccedilatildeo

desses conceitos numa situaccedilatildeo-problema presente no estudo de matemaacutetica nanceira

(especicamente no estudo de juros compostos) isto eacute foi realizada uma reproduccedilatildeo e

uma anaacutelise do problema proposto por Jacques Bernoulli sobre capitalizaccedilatildeo contiacutenua ou

seja as implicaccedilotildees sobre a evoluccedilatildeo de crescimento de um capital depositado a juros

compostos ser acrescido de juros subdividindo constantemente o intervalo de correccedilatildeo Jaacute

a abordagem geomeacutetrica a ser apresentada tanto no 1o ano quanto no 2o ano conforme

o plano de curso preacute-estabelecido pela unidade escolar se deu por intermeacutedio do estudo

de aacutereas de guras planas em especial aquelas que apresentam lados curviliacuteneos

Ainda na 1a seacuterie do Ensino Meacutedio foi realizada uma anaacutelise comportamental

de graacutecos de funccedilotildees fazendo um paralelo com os graacutecos presentes no estudo de conceitos

da disciplina de Fiacutesica com o intuito particular de explicar o que signica e como se

calcula a aacuterea sob o graacuteco de uma curva qualquer que relacionam duas variaacuteveis com

grau de dependecircncia (funccedilatildeo de uma variaacutevel) E tambeacutem foi realizada uma anaacutelise da

desintegraccedilatildeo radioativa de uma substacircncia que consiste num problema interdisciplinar

amplamente discutido na Quiacutemica

Para a 2a seacuterie ou 3a seacuterie do Ensino Meacutedio de acordo com curriacuteculo escolar

baacutesico adotado a introduccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo foi realizada em para-

lelo ao estudo de geometria espacial momento em que houve uma revisatildeo do estudo de

aacutereas de guras planas poligonais e a introduccedilatildeo do caacutelculo da aacuterea de uma gura plana

que contenha algum lado curviliacuteneo Posteriormente tais ideias foram aplicadas para

demonstrar as aacutereas superciais e volumes de corpos redondos especiais (cilindros cones

e esferas) utilizando como fonte e direccedilatildeo de trabalho o meacutetodo dos indivisiacuteveis proposto

por Kepler e Cavalieri

Enm a abordagem das noccedilotildees elementares do Caacutelculo na 3a seacuterie do Ensino

Meacutedio foi construiacuteda de maneira correlacionada com o estudo (deniccedilotildees e propriedades)

das cocircnicas (paraacutebolas e hipeacuterboles)

2 VANTAGENS E DESVANTAGENS DA

INSERCcedilAtildeO

O objetivo da presente pesquisa foi investigar nesse particular espaccedilo amos-

tral que percentual de graduandos teve contato com as noccedilotildees elementares de Caacutelculo

durante a educaccedilatildeo baacutesica questionando quatildeo signicante foi tal experiecircncia e quais van-

tagensdesvantagens obtiveramobteriam com o contato preacute-liminar com noccedilotildees intuitivas

do Caacutelculo Aleacutem disso entrevistas foram feitas com professores (rede estadual e privada)

que atuam no Ensino Meacutedio e com professores que lecionamlecionaram a disciplina de

Caacutelculo I (limite derivada e integral) e de Fiacutesica Geral I oportunidade em que a visatildeo

dos mesmos seraacute analisada diante da problemaacutetica aqui retratada

A pesquisa foi realizada com parte da turma de 2012 do PROFMAT-UFES

via envio do questionaacuterio por e-mail dos quais apenas dez alunos retornaram respondidos

os questionaacuterios Tambeacutem participaram os vinte e quatro alunos da turma de ingresso ao

PROFMAT 2014 via questionaacuterio impresso o qual foi aplicado no dia 22 de Fevereiro de

2014 na sala 32 do Centro de Ciecircncias Exatas (CCE) da Universidade Federal do Espiacuterito

Santo (UFES) Aleacutem desses professores mestrandos responderam aos questionaacuterios parte

(dez alunos) de uma turma de graduandos (futuros e atuais professores de matemaacutetica)

pertencentes ao curso de Licenciatura Plena em Matemaacutetica pelo Instituto Federal do

Espiacuterito Santo (IFES) uma miacutenima (apenas oito) amostra de professores que atuam no

Ensino Meacutedio da rede estadual especicamente nas escolas da Serra Sede (EEEFM Pro-

fessor Joatildeo Loyola e EEEFM Cloacutevis Borges Miguel) uma pequena amostra de professores

que atuam somente nas faculdades particulares e com alunos graduandos em engenharia

da Faculdade de Aracruz (FAACZ) que estavam praticamente concluindo o estudo da

disciplina de Caacutelculo e Fiacutesica I

Para discentes foi articulado um questionaacuterio alternativodiscursivo composto

de perguntas pertinentes agraves experiecircncias com o estudo de Caacutelculo I e em particular das

noccedilotildees de limite na educaccedilatildeo baacutesica e as vantagensdesvantagens que a aprendizagem

de tais conceitos lhe renderia A pesquisa foi realizada com uma pequena amostra de

alunos dos cursos de Licenciatura Plena em Matemaacutetica (IFES) e de Engenharia Mecacircnica

(FAACZ)

Jaacute para os docentes foi pensado um questionaacuterio com escalas de classica-

ccedilatildeo em que o professor repassaria dados histoacutericos de suas experiecircncias com a disciplina

de Caacutelculo I desde a graduaccedilatildeo ateacute a realidade encontrada em sua sala de aula caso

seja professor da disciplina de Caacutelculo I com o intuito de questionar quais as facilida-

desdiculdades que a aprendizagem das noccedilotildees de limite e outras noccedilotildees baacutesicas do

Caacutelculo poderiam produzir A pesquisa foi realizada com professores da UFES do IFES

e de algumas escolas particulares que lecionaramlecionam a disciplina de Caacutelculo I em

qualquer curso superior

De acordo com uma anaacutelise geral dos dados da pesquisa foi possiacutevel constatar

que a maioria dos professores seja da rede puacuteblica ou privada atuantes na educaccedilatildeo

baacutesica (Ensino Fundamental e Meacutedio) embora tenha recebido orientaccedilatildeopreparaccedilatildeo es-

peciacuteca que os formassem de maneira satisfatoacuteria para inserir noccedilotildees intuitivas de limite

e ideias correlatas do Caacutelculo nessa fase de ensino ainda natildeo faz ideia de como aplicar

tais conceitos caso os mesmos sejam implementados no curriacuteculo baacutesico Aleacutem disso em

uma conversa informal (bate-papo apoacutes o preenchimento dos questionaacuterios) com um grupo

atuante na rede estadual foi possiacutevel constatar que haacute diculdade de ensinar a matemaacutetica

elementar quanto mais os toacutepicos que remetem o uso de citaccedilatildeo de ideias avanccediladas cujo

grau de abstraccedilatildeo eacute mais acentuado Segundo os professores os alunos chegam ao Ensino

Meacutedio com niacutevel de aprendizagem abaixo do ideal com defasagens gritantes em aritmeacutetica

baacutesica (operaccedilotildees elementares) e com problemas de domiacutenio da liacutengua portuguesa naquilo

que concerne agrave interpretaccedilatildeo de enunciados e compreensatildeo de teorias Foi de consenso

comum entre os professores pesquisados que o trabalho eacute pertinente e de fundamental

importacircncia para sanar problemas como os altos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de

Caacutelculo e Fiacutesica I Tambeacutem consentiram que caso tal pesquisa inuenciasse uma mudanccedila

no curriacuteculo baacutesico da rede estadual de ensino haveria necessidade de um curso especiacuteco

e produccedilatildeo de um material suplementar que os orientasse Aleacutem disso um seleto grupo

informou que hoje seria possiacutevel repassar algumas orientaccedilotildees somente no 3o ano apoacutes a

aplicaccedilatildeo da prova do ENEM periacuteodo em que os alunos praticamente estatildeo aprovados e

teoricamente jaacute estudaram toda a matemaacutetica elementar dos niacuteveis fundamental e meacutedio

Caso contraacuterio veem atualmente viabilidade de aplicaccedilatildeo do estudo proposto somente em

turmas oliacutempicas de matemaacutetica

Os dados especiacutecos da pesquisa podem induzir uma reexatildeo draacutestica de que

os cursos superiores de formaccedilatildeo de professores de matemaacutetica embora repassem aos seus

alunos fundamentos necessaacuterios e sucientes para que os mesmos estejam habilitados para

trabalhar com a proposta presente nesse trabalho a totalidade dos professores questiona-

dos natildeo se sente seguro para repassar noccedilotildees elementares do Caacutelculo a alunos da educaccedilatildeo

baacutesica E mais a maioria dos professores eacute favoraacutevel quanto agrave grade curricular e quanto

agrave adequaccedilatildeo e suciecircncia das disciplinas de Caacutelculo durante a fase de graduaccedilatildeo Um

verdadeiro paradoxo

Segundo os professores pesquisados a assimilaccedilatildeo e o ensinoaprendizagem

dos graduandos poderiam ser melhorados via curso especiacuteco de preacute-Caacutelculo ou propondo

estrateacutegias motivadoras durante o Ensino Meacutedio Ainda armaram estarem cientes da

distacircncia enorme entre o modelo de ensino ofertada pelas Licenciaturas e a realidade dos

alunos em sala de aula aleacutem disso comentaram que a aversatildeo relativa ao ensino de toacutepi-

cos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio eacute explicada devido a experiecircnciasaprendizagens

decitaacuterias durante a fase de graduaccedilatildeo naquilo que tange a metodologia diferenciada (es-

trateacutegias didaacutetica interessemotivaccedilatildeo do professor em ensinar e utilizaccedilatildeo de recursos

didaacuteticos etc)

A partir da pesquisa tambeacutem foi possiacutevel conjecturar que a realidade atual dos

cursos de Caacutelculo pode ser melhorada com uma fuga ao modelo tradicional de ensino

Nesse iacutenterim faz-se necessaacuterio que os professores universitaacuterios estejam mais atentos agrave

didaacutetica de ensino ao planejamento de suas aulas agrave variaccedilatildeo de metodologias de aprendi-

zagem via recursos computacionais disponiacuteveis e via alternativas modernas que favoreccedilam

um aumento no rendimento escolar universitaacuterio com uma consequente reduccedilatildeo dos iacutendi-

ces de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo Eacute impossiacutevel repassar noccedilotildees elementares do

Caacutelculo para os alunos da educaccedilatildeo baacutesica se a formaccedilatildeo que os professores recebem natildeo

eacute satisfatoacuteria ao ponto de que haja seguranccedila e domiacutenio do tema Para isso eacute necessaacuterio

ampliar o leque de discussatildeo das poliacuteticas puacuteblicas educacionais com uma proposta de re-

formulaccedilatildeo dos PCN com proposiccedilatildeo de cursos de capacitaccedilatildeo de professores convenientes

e em horaacuterios adequados e com a produccedilatildeo de um material didaacutetico especiacuteco adequado

agrave realidade da educaccedilatildeo baacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que a retomada do ensino de Caacutelculo

vem acontecendo desde a deacutecada de 90 mas com a preocupaccedilatildeo de que esse posiciona-

mento natildeo venha a sobrecarregar o curriacuteculo e nem esteja distante da realidade do niacutevel

elementar o Ensino Meacutedio a ser apresentada e incluiacuteda a ideia do presente trabalho

Caso haja educadores contraacuterios a presente proposta com a justicativa de

que o curriacuteculo baacutesico jaacute estaacute abarrotado de conteuacutedos e de ser um instrumento imutaacutevel

seria interessante promover uma formaccedilatildeo completa sobre os Paracircmetros Curriculares

Nacionais e sobre o curriacuteculo baacutesico adotado com o intuito de explicar aos professores

que haacute muito interpretaccedilatildeo equivocada dos PCN dado que os mesmos devem servir como

elemento norteador indicador das habilidades e competecircncias necessaacuterias para garantir o

miacutenimo de aprendizagem signicativa e sem que seja um instrumento impositivo (dono da

verdade deus do universo etc) ou seja quem faz o curriacuteculo de Matemaacutetica eacute o professor

atrelado ao plano pedagoacutegico da escola e matrizes do ENEM

Para encerrar a anaacutelise relativa aos dados da pesquisa eacute vaacutelido salientar que

muitos professores consideraram o questionaacuterio longo e tedioso Essa aversatildeo inicial pode

representar uma justicativa aparente de que a postura dos professores quanto agrave mu-

danccedilasaiacuteda do estado de platocirc atual sempre seraacute uma barreira agrave produccedilatildeo de conheci-

mentos A presente pesquisa cujos dados estatildeo tabulados no anexo A foi realizada com

38 professores atuantes na rede publica e privada com experiecircncia no mercado Parte

desses professores (10) ainda estavam em fase de conclusatildeo do curso de Licenciatura no

IFES De acordo com os dados da pesquisa foi possiacutevel inferir que muitos desses pro-

fessores natildeo possuem o haacutebito de realizar leituras de revistas especializadas (Revista do

Professor de Matemaacutetica (RPM) Revista Caacutelculo) de livros da Sociedade Brasileira de

Matemaacutetica (SBM) de artigos de seminaacuterios de discussatildeo de educaccedilatildeo matemaacutetica e nem

possuem interesse na participaccedilatildeo em simpoacutesios bienais cursos de capacitaccedilatildeo cursos de

veratildeo etc Nesse iacutenterim eacute bom citar que aqueles poucos professores que participaram

de forma remunerada do multicurso de matemaacutetica promovido pela Secretaria Educaccedilatildeo

do Espiacuterito Santo (SEDU) informaram que natildeo houve qualquer menccedilatildeo aos toacutepicos atuais

de discussatildeo do retorno das noccedilotildees elementares do Caacutelculo ao curriacuteculo baacutesico Jaacute aque-

les que estiveram presentes no Programa de Aperfeiccediloamento de Professores do Ensino

Meacutedio (PAPEM) relataram que houve alguma citaccedilatildeo breve do assunto durante as aulas

de viacutedeo conferecircncia e em problemas propostos nas ocinas no periacuteodo vespertino

A outra tabela que consta no anexo B dessa dissertaccedilatildeo representa a tabulaccedilatildeo

dos dados da pesquisa realizada com uma amostra (32 alunos) de alunos (graduandos) do

curso de engenharia mecacircnica da FAACZ

Inicialmente eacute interessante citar que participaram da pesquisa 32 alunos em

sua maioria graduandos do sexo masculino estudantes do curso de Engenharia Mecacircnica

da Faculdade de Aracruz (FAACZ) e desse total eacute importante citar que 31 graduandos

estatildeo na faixa etaacuteria abaixo dos 30 anos

De acordo com os dados analisados foi possiacutevel vericar que a faculdade dispo-

nibiliza aos seus alunos um curso de nivelamento (preacute-Caacutelculo) com o intuito de apresentar

aos alunos uma ajuda consideraacutevel para iniciarem o estudo de Caacutelculo e para minimizar a

distacircncia que haacute entre a matemaacutetica elementar promovida na educaccedilatildeo baacutesica e a mate-

maacutetica superior principalmente as noccedilotildees elementares de limite deriva e integral Nesse

curso de nivelamento foram apresentadas aos alunos situaccedilotildees problema que necessitavam

de emprego de noccedilotildees do Caacutelculo A partir da exposiccedilatildeo de problemas concretos proacutexi-

mos da realidade dos alunos foi possiacutevel introduzir de maneira construtiva toacutepicos que

exigiram o emprego de limite de derivada e integral

Segundo a maioria dos alunos o referido curso de preacute-Caacutelculo ofertado contribui

para melhorar o rendimento em todos os aspectos e responderam que caso a introduccedilatildeo

das ideias difundidas no curso de nivelamento tivessem sido realizadas durante o ensino

meacutedio haveria uma melhora consideraacutevel no ensinoaprendizagem

Ao questionar sobre a sequecircncia da histoacuteria da evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi possiacutevel

constatar que quase a totalidade dos alunos natildeo tiveram uma introduccedilatildeo histoacuterica da

evoluccedilatildeo do Caacutelculo pois a maioria deles (20 alunos) armou que a evoluccedilatildeo do Caacutelculo

estaacute em conformidade com a sequecircncia apresentada nos livros didaacuteticos Tambeacutem foi

possiacutevel perceber que o ensino de Fiacutesica I ocorreu simultaneamente com o ensino de Caacutelculo

I o que eacute uma realidade questionada nos principais cursos de exatas das instituiccedilotildees

puacuteblica e privada do Estado do Espiacuterito Santo Anal como a ementa do curso de Fiacutesica

I requer o conhecimento de um conjunto de aplicaccedilotildees e propriedades do Caacutelculo seria

loacutegico que tal curso fosse realizado apoacutes a introduccedilatildeo das ideias de limite derivada e

integral

De acordo com a pesquisa contatou-se que quase todos os alunos (27) estu-

daram via livros didaacuteticos especiacutecos de Caacutelculo de autores com bastante bagagem e

profundos conhecedores do Caacutelculo (James Stewart e George B Thomas 11a e 5a edi-

ccedilatildeo respectivamente) Do total de alunos entrevistados 5 alunos armaram ter estudado

Caacutelculo via apostilas notas de aulas e viacutedeo aula

Segundo a visatildeo dos graduandos para realizar a introduccedilatildeo das noccedilotildees ele-

mentares do Caacutelculo faz-se necessaacuterio que os alunos tenham uma base adequada de en-

sinoaprendizagem acumulada das seacuteries anteriores inclusive no Ensino Fundamental

Quanto ao aspecto conteuacutedos do Ensino Meacutedio que exigem a inserccedilatildeo das noccedilotildees elemen-

tares do Caacutelculo os graduandos citaram Funccedilotildees Sequecircncias Aacutereas e volumes em geral

Jaacute no estudo da Fiacutesica mencionaram o estudo de velocidades aceleraccedilotildees e trabalho

Quanto aos iacutendices de aprovaccedilatildeo eacute vaacutelido ressaltar que dos 32 entrevistados

somente 6 caram reprovados em Caacutelculo I A explicaccedilatildeo para esse iacutendice excelente de

aprovaccedilatildeo pode ser justicativa pelo repasse das noccedilotildees elementares do Caacutelculo via curso

de nivelamento Tambeacutem eacute vaacutelido ressaltar que a formaccedilatildeo dos docentes regentes das

disciplinas que zeram o uso das ideias de Caacutelculo para os graduandos partiacutecipes da

presente pesquisa varia da titulaccedilatildeo miacutenima de especialistas ateacute doutores

As aulas de Caacutelculo na FAACZ satildeo muito ecleacuteticas poreacutem arcaicas obsoletas

tradicionais e remetem a ideia de que a maioria dos seus professores prefere um curso de

Caacutelculo que exija uma boa formaccedilatildeo baseada numa conciliaccedilatildeo do processo demonstra-

tivoaplicativo dos teoremas e proposiccedilotildees do Caacutelculo Tambeacutem armaram de maneira

quase unacircnime e satisfatoacuteria sobre as facilidades que a utilizaccedilatildeo dos recursos didaacuteticos

(softwares de geometria dinacircmica e planilhas eletrocircnicas) proporcionaria e favoreceria o

ensinoaprendizagem dos estudantes dessa instituiccedilatildeo Em contrapartida 26 desses alu-

nos responderam natildeo ter recebido trabalhos de abordagem de modelagem matemaacutetica de

uma situaccedilatildeo real cotidiana ou melhor a maioria desses alunos armou que ainda natildeo

sabem o que eacute modelagem matemaacutetica

Quanto agrave experiecircncia desses alunos ao serem expostos agrave teoria de limites com

todas as suas formalidades foi possiacutevel constatar que o curso de nivelamento de prepa-

raccedilatildeo para o estudo de Caacutelculo contribui de forma satisfatoacuteria para melhorar o rendi-

mentoentendimento da maior parte dos graduandos Esse curso de preacute-Caacutelculo foi uma

forma de preencher a lacuna deixada pela educaccedilatildeo baacutesica principalmente pelo Ensino

Meacutedio em que segundo dados da pesquisa natildeo houve citaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de

limite nem muito menos ideias correlatas do Caacutelculo deriva e integral Nesse iacutenterim a

maioria dos alunos armou que os livros didaacuteticos existentes na educaccedilatildeo baacutesica ou satildeo

insucientes quanto ao repasse ou natildeo abordam as noccedilotildees de intuitivas do Caacutelculo E

mais um percentual consideraacutevel dos entrevistados armou jamais ter ouvido qualquer

citaccedilatildeo baacutesica das noccedilotildees de limite deriva e integral durante o Ensino Meacutedio

Essas informaccedilotildees vecircm ao encontro da nossa proposta a qual propotildee um res-

gate da inserccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas e ideias elementares do Caacutelculo durante o Ensino

Meacutedio com a nalidade de preparar o aluno para ingressar no estudo de Caacutelculo e com

o intuito de justicar proposiccedilotildees elementares com argumentos satisfatoacuterios sem fuga

desculpa ou enrolo Essa inserccedilatildeo deve ser direcionada e atrelada agrave evoluccedilatildeo histoacuterica

do Caacutelculo com um material especiacuteco devido agrave insuciecircncia dos materiais didaacuteticos

existentes no mercado e com atividades interdisciplinares no estudo de Fiacutesica e Quiacutemica

principalmente E mais deve existir um curso especiacuteco de preparaccedilatildeo aos professores

da educaccedilatildeo baacutesicasuperior e a inclusatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo nos PCNEM

com intuito de estimularraticar o repasse das ideias e de contribuir para elevar o rendi-

mento dos estudantes no estudo de Caacutelculo em cursos superiores posteriores pois assim

os educadores receberatildeo a formaccedilatildeo necessaacuteria para trabalharem com maior destreza e

seguranccedila via recursos didaacuteticos disponiacuteveis (softwares educacionais quadro multimeios

laboratoacuterios de matemaacutetica jogos matemaacuteticos etc)

3 DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO

CAacuteLCULO

Figura 31 Parte do Papiro de Rhind British Museum Registro mais antigo de ideias

que usavam preceitos rudimentares do Caacutelculo

Fonte wwwmatematicabrhistoriaprhindhtml[34]

A evoluccedilatildeo do Caacutelculo da origem intuitiva (ideias remotas) ateacute o rigoroso pa-

dratildeo adotado nos livros atuais foi marcada pelas contribuiccedilotildees de diversos estudiosos

dentre os quais pode-se citar em ordem cronoloacutegica de destaque Ahmes (ou Ahmose

escriba egiacutepcio) babilocircnicos Hiacutepias Zenatildeo (ou Zeno de Eleacuteia) Eudoacutexio (ou Eudoxos)

Demoacutecrito Arquimides Papus Kepller Descartes Fermat Roberval Torricelli Cavali-

eri Wallis Barrow Newton Leibnitz famiacutelia Bernoulli De Moivre Taylor Maclaurin

Euler Clairaut DAlembert Lambert Lagrange Laplace Legendre Monge Carnot

Gauss Fourier Poisson Bolzano Cauchy Abel Galois Jacobi Dirichlet Weierstrass

e Riemann Eacute vaacutelido ressaltar que outros personagens zeram contribuiccedilotildees favoraacuteveis

e que natildeo foram mencionados para natildeo haver fuga ao escopo principal dessa pesquisa

Aleacutem disso os personagens destacados foram formidaacuteveis e providenciais para o desen-

volvimento aprimoramento potencialidade aplicabilidade formalidade e padronizaccedilatildeo

loacutegica do Caacutelculo

A partir do seacuteculo XV II eacute que se evidenciou a evoluccedilatildeo formal no desenvolvi-

mento do Caacutelculo apesar de suas noccedilotildees intuitivas serem encontradas por volta de 1650

aC isto eacute dezessete seacuteculos anteriores aos tempos da era cristatilde foi encontrado no papiro

Rhind cuja coacutepia foi realizada pelo escriba Ahmes (ou Ahmose) evidecircncias de que os

egiacutepcios descobriram de maneira correta que o volume de uma piracircmide de base qua-

drada equivale a 13do volume do prisma retangular de mesma base e mesma altura Eacute

vaacutelido ressaltar que natildeo havia demonstraccedilatildeo de tal relaccedilatildeo nem deveria pois para checar

a veracidade com rigor e precisatildeo eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees de innitesimais perten-

centes ao Caacutelculo Aleacutem dos indiacutecios encontrados nesse papiro tambeacutem foram descobertos

tabulas cuneiformes babilocircnicas que destacam problemas relacionados ao Caacutelculo especi-

camente no algoritmo iterativo empregado para calcular a raiz quadrada de um nuacutemero

racional e na mensuraccedilatildeo de guras planas

Conforme BOYER [4] (1992 p2)

() Jaacute no seacuteculo XV II aC os babilocircnicos aplicaram sua aacutelgebra admi-ravelmente exiacutevel a uma ampla gama de problemas praacuteticos incluindomensuraccedilatildeo de guras Conhecendo o teorema de Pitaacutegoras acharamcorretamente a diagonal de um quadrado ateacute o equivalente a meia duacuteziade casas decimais Tomavam a aacuterea do ciacuterculo geralmente como o tri-plo da aacuterea do quadrado sobre ao raio ma em pelo menos uma ocasiatildeousaram para uma aproximaccedilatildeo melhor 31

Embora egiacutepcios e babilocircnicos em niacutevel mais acentuado tenham deixado evi-

dente a habilidade em aacutelgebra natildeo se pode dizer o mesmo em relaccedilatildeo agrave loacutegica empregada

Nesse sentido de preocupaccedilatildeo com o rigor loacutegico a partir de princiacutepios baacutesicos destacam-

se os trabalhos desenvolvidos na Greacutecia desde a descoberta da incomensurabilidade por

Hiacutepias (c de 425 aC) perpassando pelos quatro paradoxos propostos pelo loacutesofo Ze-

natildeo de Eleacuteia (c de 450 aC) que indicavam a existecircncia de um processo innito e pelo

brilhante trabalho de Eudoacutexio (ou Eudoxo cerca 370 aC) que propocircs uma teacutecnica de

comprovaccedilatildeo de validade de uma proposiccedilatildeo o meacutetodo da Exaustatildeo o qual eacute considerado

um prenuacutencio mais proacuteximo do Caacutelculo por parte de estudiosos gregos ateacute o aacutepice das

experiecircncias argumentos (reduccedilatildeo ao absurdo duplo) e meacutetodos bastante precisos desen-

volvidos por Arquimedes (287 minus 212 aC) para obter suas demonstraccedilotildees rigorosas das

foacutermulas de aacutereas e volumes em que frequentemente guravam seacuteries innitas

Consideradas duas grandezas desiguais se da maior subtraiacutemos umagrandeza maior que sua metade e da que resta uma grandeza maiorque sua metade e se este processo eacute repetido continuamente restaraacuteuma grandeza que seraacute menor que a menor das grandezas consideradas(BOYER [4] 1992 p 4)

Segundo BOYER [4] (1992 p 4) de maneira geral eis uma das citaccedilotildees mais

elementares das noccedilotildees de limites se A eacute a maior das duas grandezas dadas (positivas)

a e A e se un = A2n

entatildeo limnrarrinfin un = 0 lt a

De acordo BOYER [4]

Deve-se notar que enquanto a notaccedilatildeo moderna recorreu ao siacutembolo deinnito a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referecircnciaaberta a um processo innito As duas formulaccedilotildees no entanto natildeo es-tatildeo distantes quanto a seu signicado Para mostrar que limnrarrinfin un = 0deve-se demonstrar que dado um nuacutemero ε positivo mesmo que pequeno(o equivalente da grandeza menor a na proposiccedilatildeo de Euclides) pode-seachar um inteiro N (o equivalente da frase de Euclides se este processoeacute repetido continuamente) tal que para n gt N vale a relaccedilatildeo un lt εO Caacutelculo de Euclides (derivado presumivelmente de Eudoacutexio) pode tersido menos efetivo que o de Newton e Leibniz dois milecircnios mais tardemas em termos de ideias baacutesicas natildeo estava muito longe do conceitode limite usado rudemente por Newton e aprimorado no seacuteculo XIX(1992 p 5)

O uacuteltimo matemaacutetico dos tempos medievais a realizar contribuiccedilotildees favoraacuteveis

agrave evoluccedilatildeo do Caacutelculo foi Papus (c de 320 dC) A partir daiacute houve um decliacutenio um ver-

dadeiro breu secular e histoacuterico de difusatildeoemancipaccedilatildeoevoluccedilatildeoativaccedilatildeo dos conceitos

do Caacutelculo Somente apareceraacute novamente discussatildeo proacutexima agrave teoria do Caacutelculo nos tem-

pos modernos por meio dos trabalhos de Nicole Oresme no seacuteculo XIV e Regiomontanus

no seacuteculo XV

O seacuteculo XV I foi o periacuteodo de reativaccedilatildeo do desenvolvimento dos concei-

tos principais do Caacutelculo Destacam-se nessa empreitada os trabalhos de Simon Stevin

(1548 minus 1620) e Luca Valerio (cerca de 1552 minus 1618) que evitaram a dupla reduction

ad absurdum do meacutetodo da exaustatildeo e zeram uso de um meacutetodo que fazia uma passa-

gem direta ao limite Aliaacutes Stevin o Arquimedes Holandecircs foi o primeiro a demonstrar

numericamente que uma sequencia de nuacutemeros tendia a um valor limite ao analisar pro-

posiccedilotildees relacionadas ao estudo de pressatildeo de uidos embora admitir mais credibilidade

ao tratamento geomeacutetrico

Nessa linha de defesa observe o relato EVES [11]

()Stevin usava esse meacutetodo em seu trabalho no campo da hidrostaacute-tica para determinar a forccedila exercida pela pressatildeo de um uido sobreum dique vertical Basicamente sua ideia consistia em dividir o diqueem faixas horizontais e entatildeo fazer cada uma girar em torno de suasbordas superior e inferior ateacute que elas se tornassem paralelas ao planohorizontal Fundamentalmente eacute esse o meacutetodo usado loje em dia emnossos textos elementares de Caacutelculo (2004 [11] p424)

Aleacutem de Stevin Johann Kepler (1573minus 1630) e Galileu Galilei (1564minus 1642)

foram pioneiros a evitar os rigores do meacutetodo da exaustatildeo apesar de utilizar incessante-

mente os meacutetodos de Arquimedes Devido a tal atitude foram os responsaacuteveis pela mudan-

ccedilasmodicaccedilotildees no panorama da anaacutelise innitesimal (innitamente grande e innita-

mente pequeno) Nesse sentido eacute vaacutelido ressaltar que Kepler heuriacutestico demasiadamente

para ganhar tempo e economizar trabalho utilizou a adiccedilatildeo de grandezas innitamente

pequenas quando imaginou o volume de cada barril de vinho formado por uma enorme

quantidade de secccedilotildees circulares com altura tendendo a zero e ainda segundo EVES [11]

(2004 p 424) considerava uma circunferecircncia como um poliacutegono regular de um nuacutemero

innito de ladose a partir desse raciociacutenio pode-se estendecirc-lo para caracterizar uma es-

fera como uma reuniatildeo de innitas piracircmides com as peculiaridades de serem delgadas e

com veacutertice coincidente com o centro da esfera

O seacuteculo XV II eacutepoca em que se destacaram os trabalhos elaborados por

Cavalieri Torricelli (1608 minus 1647) Roberval (1602 minus 1675) Descartes Fermat Wallis

Barrow Newton e Leibniz houve uma consideraacutevel produtividade do desenvolvimento da

matemaacutetica com a criaccedilatildeo da geometria analiacutetica e evoluccedilatildeo das teacutecnicas de quadratura

eou cubatura as quais satildeo empregadas a curvas e soacutelidos especiacutecos ou famiacutelias de cur-

vas Eacute vaacutelido ressaltar que o conceito de limite natildeo foi utilizado pelos ceacutelebres nomes

citados nem sequer reconheciam e perceberam a necessidade da fundamentaccedilatildeo de tal

teoria Dentre os diversos estudos de destaque potencial nesse periacuteodo mencionaremos

a contribuiccedilatildeo de Bonaventura Cavalieri (1598 minus 1647) com seu brilhante meacutetodo dos

indivisiacuteveis (Geometria indivisibilibus) em que nos apresenta as preacutevias dos atuais prin-

ciacutepios de Cavalieri ferramentas essenciais para o Caacutelculo Integral moderno e os estudos

de Reneacute Descartes (1596 minus 1650) e Pierre de Fermat (de 1509 ateacute 1608 ou 1601 minus 1665)

com contribuiccedilotildees pontuais para a fundamentaccedilatildeo e para o desenvolvimento da Geometria

Analiacutetica

Apoacutes o desenvolvimento do campo da geometria analiacutetica as bases do Caacutelculo

moderno estavam prontas para se tornar cada vez mais evidentes e direcionadas agrave reso-

luccedilatildeo dos dois problemas fundamentais do Caacutelculo encontrar retas tangentes a curvas

e determinar valores exatos para aacutereas de regiotildees limitadas pelo menos em parte por

curvas (problemas de quadratura) Nesse sentido faz-se necessaacuterio citar as contribuiccedilotildees

de grande magnitude de um francecircs Fermat trecircs ingleses John Wallis (1616minus1703) Isaac

Barrow (1630minus 1677) Isaac Newtow (1642minus 1727) e um alematildeo Gottfried Wilhelm Leib-

niz (1646minus1716) para o que futuramente seria batizado de Caacutelculo Diferencial e Integral

Eacute vaacutelido ressaltar que tanto o Newton quanto o Leibniz de maneira independente foram

os responsaacuteveis pelo desenvolvimento das bases notaacuteveis do Caacutelculo moderno e por isso

satildeo considerados responsaacuteveis pela invenccedilatildeo

Note que em momento algum foi destacada a necessidade de utilizaccedilatildeo da

teoria de limite Embora tal conceito tenha sido negligenciado em diversos trabalhos eacute

importante destacar que Newton foi o pioneiro no reconhecimento do papel fundamental

que o limite iria desempenhar no desenvolvimento de problemas relativos ao Caacutelculo

(tangecircncias quadraturas e ans) Tal armativa pode ser constatada em seu Livro I

do Principia Mathematica (1687) na qual haacute uma tentativa de formular um conceito de

limite De acordo com BOYER [3]

Quantidades e as razotildees de quantidades as quais em qualquer temponito convergem continuamente para igualdade e antes do nal daqueletempo se aproximam entre si por qualquer dada diferenccedila tornam-seiguais no nal (BOYER [3] 1996 p 274)

O desenvolvimento da matemaacutetica e em particular as aplicaccedilotildees do Caacutelculo

durante o seacuteculo XV III XIX e XX eacute repleto de histoacuterias esplecircndidas e momentos de

contribuiccedilotildees memoraacuteveis agrave expansatildeo da aplicabilidade das teorias relacionadas ao estudo

de Caacutelculo Vaacuterios satildeo os nomes que se destacaram membros da famiacutelia Bernoulli G

F A de LHospital (1661 minus 1704) Johann I (1667 minus 1748) Nicolas I (1687 minus 1759) e

Daniel (1700minus1782) Brook Taylor (1685minus1731) Leonhard Euler (1707minus1783) e Alexis

Claude Clairaut (1713minus1765) Colin Maclaurin (1698minus1746) Jean Le Rond DAlembert

(1717minus 1783) Joseph-Louis Lagrange (1736minus 1813) etc Dentre os ceacutelebres citados os

quais natildeo estabeleceram uma fundamentaccedilatildeo rigorosa para o Caacutelculo eacute vaacutelido destacar

na corrida pela formalizaccedilatildeo do conceito de limite (pilar baacutesico do Caacutelculo ensinado nos

dias de hoje) uma deniccedilatildeo especial como a que foi posta na ceacutelebre Encyclopeacutedie

(1751 minus 1776) em que DAlembert ponderou que para denir a derivada precisamente

era necessaacuterio entender as noccedilotildees de limite primeiro

Uma quantidade eacute o limite de uma outra quantidade quando a segundapuder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisatildeo dada natildeoimporta quatildeo pequena apesar da segunda quantidade nunca exceder aquantidade que ela aproxima (DALEMBERT 1772 apud FINNEYWEIR GIORDANO 2002 [12])

No nal do seacuteculo XV III e durante todo o seacuteculo XIX foi o periacuteodo de

contribuiccedilotildees dos renomados Carl Friedrich Gauss (1777minus 1855) Jean Baptiste Joseph

Fourier (1768minus 1830) Bernhard Bolzano (1781minus 1848) Augustin Louis Cauchy (1789minus

1857) Niels Henrik Abel (1802minus1829) Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805minus1859) e Karl

Weierstrass (1815minus 1897) Nesse periacuteodo em que houve um estudo cuidadoso e rigoroso

em busca da deniccedilatildeo de limite destacaremos o trabalho desenvolvido por Cauchy (aluno

de Lagrange na Escola Politeacutecnica) e Weierstrass O primeiro embora tenha deixado

de lado a preocupaccedilatildeo com alguns detalhes teacutecnicos foi responsaacutevel por apresentar a

deniccedilatildeo mais proacutexima de limite que conhecemos atualmente Jaacute o segundo restabeleceu

o conceito original de limite proposto por Cauchy com tratamento estritamente aritmeacutetico

e utilizando apenas valores absolutos e desigualdades Weierstrass aleacutem de corrigir os

descuidos e erros de Cauchy formulou a deniccedilatildeo de limite empregada nos diversos livros

de Caacutelculo da era moderna na matemaacutetica e continuou suas contribuiccedilotildees estabelecendo

todo o rigor aritmeacutetico adotado no Caacutelculo e na anaacutelise matemaacutetica

Segundo BOYER [3] eacute creditada a Cauchy a introduccedilatildeo de limite de maneira

aperfeiccediloada quando publicou em 1821 em seu Cours danalyse de lEacutecole Polytechnique

Quando os valores sucessivos atribuiacutedos a uma variaacutevel aproximam-se indenidamente de

um valor xo chegando a diferir dele tatildeo pouco quanto se deseje este uacuteltimo eacute chamado

limite de todos os outros Jaacute a Weierstrass de acordo Boyer coube o trabalho de explicar

de maneira elegante e precisa substituir as ideias vagas de aproximaccedilatildeo na deniccedilatildeo de

limite de Cauchy-Bolzano por ideias que utilizavam eacutepsilon-deltacom uma linguagem

puramente numeacuterica

() Diz-se que L eacute um limite da funccedilatildeo f(x) para o valor x = a sedado qualquer nuacutemero positivo ε existe um nuacutemero positivo δ tal que|f(x)L| lt ε para qualquer x que verique 0 lt |xa| lt δ (BOYER [4]1992 p 27)

De acordo com o levantamento histoacuterico realizado eacute possiacutevel constatar que

por diversos seacuteculos o conceito de limite foi um tanto vago confuso losoacuteco intuitivo

indenido impreciso imperceptiacutevel negligenciado dentre outros inuacutemeros adjetivos cor-

relacionados A matemaacutetica moderna foi desfrutar das noccedilotildees de limite somente durante

o periacuteodo europeu intitulado de Iluminismo nal do seacuteculo XV III e iniacutecio do seacuteculo

XIX Jaacute a deniccedilatildeo formal (rigorosa loacutegica e correta) apresentada nos livros de Caacutelculo

atuais foi formalizada por volta do ano 1856 (haacute uns 160 anos)

Figura 32 Tabuleta de argila babilocircnica com inscriccedilotildees A diagonal mostra uma apro-

ximaccedilatildeo da raiz quadrada de 2 com seis casas decimais 1 + 2460

+ 51602

+ 10603

= 1414212

Fonte ptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica[35]

4 MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA

EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA

Segundo os anais da histoacuteria da Matemaacutetica a constataccedilatildeo da presenccedila das no-

ccedilotildees de limite iniciou desde os tempos antigos ateacute o desenrolar da invenccedilatildeoevoluccedilatildeoaplicaccedilatildeo

do Caacutelculo (seacuteculos XV II XV III XIX) De acordo com BOYER [4] tal descoberta

jaacute impressionava e tirava o sono de estudiosos gregos

() Foi um choque para a comunidade matemaacutetica grega tomar conheci-mento de que haacute coisas como segmentos de reta incomensuraacuteveis e que aocorrecircncia dessa situaccedilatildeo eacute espantosamente comum isto eacute que conceitosans ao Caacutelculo aparecem nas mais elementares situaccedilotildees Os diaacutelogosde Platatildeo mostram que os matemaacuteticos da eacutepoca caram profundamentepertubados com essa descoberta (BOYER [4] 1992 p 3)

Ainda nessa linha assim se pronunciou EVES [11]

() Esses conceitos tecircm tanto alcance e tantas implicaccedilotildees no mundomoderno que talvez seja correto dizer que sem algum conhecimento delesdicilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se culta (EVES [11]2004 p 417)

Eacute importante ressaltar que a ordem do desenvolvimento histoacuterico do Caacutelculo

foi diferente da ordem apresentada nos livros textos e cursos baacutesicos sobre o assunto isto

eacute houve inicialmente o surgimento do Caacutelculo Integral e muito tempo depois apareceram

os conceitos ligados ao Caacutelculo Diferencial Segundo EVES [11]

() A ideia de integraccedilatildeo teve origens em processos somatoacuterios ligadosao caacutelculo de certas aacutereas e certos volumes e comprimentos A diferen-ciaccedilatildeo criada bem mais tarde resultou de problemas sobre tangentes acurvas e questotildees sobre maacuteximos e miacutenimos Mais tarde ainda vericou-se que a integraccedilatildeo e a diferenciaccedilatildeo estatildeo relacionadas entre si sendocada uma delas operaccedilatildeo inversa da outra (EVES [11] 2004 p 417)

Assim eacute possiacutevel vericar uma gama de assuntos da educaccedilatildeo baacutesica em par-

ticular nas fases nais do Ensino Fundamental e durante o Ensino Meacutedio que evocam as

ideias correlatas do Caacutelculo e em particular as noccedilotildees de limite Embora seja possiacutevel

constatar a presenccedila das noccedilotildees de limite e de integral no Ensino Fundamental haacute um

consenso de que natildeo eacute pedagogicamente correto destacar a presenccedila de tais conceitos nessa

fase dado que um nuacutemero consideraacutevel de alunos ainda natildeo possui maturidade (manipula-

ccedilatildeo algeacutebrica soacutelida poder de abstraccedilatildeo consolidado domiacutenio amplo da aritmeacutetica etc)

suciente para compreender tamanho grau de abstraccedilatildeoexigecircncia Caso haja alunos com

tal capacidade eacute recomendado propor em aulas especiais direcionadas didaticamente com

a linguagem de assimilaccedilatildeo proacutepria bem proacutexima dos alunos Nesse iacutenterim a presenccedila

da noccedilatildeo intuitiva de limite e ideais correlatas de integral pode ser destacada de forma

construtiva e com grau de abstraccedilatildeo passiacutevel de entendimento em pelo menos trecircs pontos

especiacutecos estudados no Ensino Fundamental a primeira abordagem pode ser inserida

a partir do momento em que o professor inicia o estudo dos nuacutemeros racionais (diacutezimas

perioacutedicas) o segundo enfoque pode ser aplicado ao demonstrar de maneira completa o

Teorema de Tales e a terceira citaccedilatildeo deve ocorrer ao estudar aacutereas de guras planas

principalmente ao apresentarprovar a aacuterea de uma regiatildeo retangular A exibiccedilatildeo desses

toacutepicos direcionada ao Ensino Fundamental pode ser conferida ao realizar a leitura do

capiacutetulo referente agraves sequencias didaacuteticas sugeridas posteriormente nessa dissertaccedilatildeo

Na ordem cronoloacutegica e didaacutetica dos livros atuais de matemaacutetica do Ensino

Meacutedio nota-se a necessidade de introduccedilatildeo das noccedilotildees de limite jaacute na 1a seacuterie Ao estudar

a representaccedilatildeo decimal de nuacutemeros racionais innitos e perioacutedicos jaacute se faz uso impliacutecito

do conceito de limite Nessa mesma linha ao apresentar os nuacutemeros irracionais e reais

tambeacutem eacute necessaacuterio em diversos pontos citar a ideia de limite Em seguida haacute necessidade

de mencionar a referida teoria ao estudar as minuacutecias de uma funccedilatildeo seja ela qual for

principalmente ao realizar a anaacutelise graacuteca Tambeacutem eacute possiacutevel vericar a aplicabilidade

de limite ao estudar sequecircncias em particular e em maior grau ao estudar a soma de uma

seacuterie convergente (progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo (q) denida por (0 lt |q| lt 1) Aleacutem

disso pode-se adaptar a referida soma numa aplicaccedilatildeo praacutetica usual e diaacuteria que consiste

no estudo de capitalizaccedilatildeo contiacutenua em Matemaacutetica Financeira (deniccedilatildeo do nuacutemero de

Euler) Eacute possiacutevel promover atividades interdisciplinas com a Fiacutesica e com a Quiacutemica

Relativamente agrave primeira justica-se a correspondecircncia durante o estudo de Mecacircnica

(velocidade e aceleraccedilatildeo instantacircnea trabalho realizado por uma forccedila etc) Enquanto

a segunda a associaccedilatildeo pode ser feita durante o estudo de Desintegraccedilatildeo Radioativa Ao

estudar Geometria plana eacute possiacutevel embutir agraves noccedilotildees de limite ao inserir o conceito de

grandezas incomensuraacuteveis ao demonstrar o Teorema de Tales e consequentemente ao

aplicaacute-lo ao estudo de semelhanccedila de triacircngulos e nalmente ao introduzir o estudo de

aacutereas de guras planas (ciacuterculo e suas partes segmento paraboacutelico hipeacuterboles etc) em

particular aquelas que apresentam pelo menos um lado curviliacuteneo

Durante a 2a seacuterie ou fase nal da 1a haacute necessidade de menccedilatildeo a ideia de

limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas aleacutem de aparecer ao estudar aacutereas

superciais e volumes de soacutelidos geomeacutetricos Tambeacutem nota-se indiacutecio ao estudar o caacutel-

culo de determinantes ao discutir sistemas lineares ao resolver problemas de contagem

(somatoacuterios de seacuteries especiacutecas) pertencentes agrave anaacutelise combinatoacuteria e ao investigar de-

terminadas probabilidades associadas a problemas baacutesicos De maneira interdisciplinar

constata-se a necessidade de ecircnfase no estudo do trabalho realizado por um gaacutes numa

transformaccedilatildeo isoteacutermica (Lei de Boyle) por exemplo

Jaacute na 3a seacuterie eacute possiacutevel incrementar o estudo de Geometria Analiacutetica Cocircnicas

e Polinocircmios com uma abordagem que evoque o emprego das noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo

(limite derivada e integral) Aleacutem disso eacute possiacutevel promover atividades suplementares

que apliquem as ideias correlatas do Caacutelculo em toacutepicos do estudo de eletricidade (campo

eleacutetrico potecircncia corrente etc)

5 ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS

A importacircncia do estudo de limites derivadas e integrais pode ser vericada

ao analisar os nuacutemeros relativos agraves grades dos cursos ofertados pelas universidades fe-

derais e por algumas faculdades particulares Por exemplo a Universidade Federal do

Espiacuterito Santo (UFES) oferece 90 cursos de graduaccedilatildeo (total de 4975 vagas anuais) e des-

ses haacute uma variedade de cursos cujas ementas empregam direta ou indiretamente noccedilotildees

elementares de Caacutelculo tais como Fiacutesica Quiacutemica Estatiacutestica Matemaacutetica Ciecircncias Bi-

oloacutegicas Administraccedilatildeo Arqueologia Medicina Farmaacutecia Ciecircncias Contaacutebeis Ciecircncias

Econocircmicas Engenharias Arquitetura e Urbanismo Psicologia Agronomia Zootecnia

Sistemas de Informaccedilatildeo Desenho Industrial Tecnologia Mecacircnica Oceanograa e Ciecircncia

da Computaccedilatildeo Dentre os cursos de bacharelados e licenciaturas distribuiacutedos em turnos

(Diurno Vespertino e Noturno) e espalhados pelo Campus da UFES mais de 50 neces-

sita do conhecimento de ideias correlatas do Caacutelculo isto eacute mais da metade dos futuros

prossionais a serem formados pela UFES precisam estudar impliacutecita ou explicitamente

noccedilotildees de limite derivada e integral

Somente os dados relatados no paraacutegrafo anterior seriam sucientes para jus-

ticar o retorno do emprego de noccedilotildees intuitivas do Caacutelculo no Ensino Meacutedio poreacutem haacute

outros fatores que reforccedilam a temaacutetica abordada nesse trabalho De acordo com informa-

ccedilotildees fornecidas pelos meios regulamentadores da educacional nacional de niacutevel superior

na aacuterea de Engenharias haacute uma reduccedilatildeo (nos vestibulares do paiacutes) no nuacutemero de inscritos

em cursos de exatas e aumento constante da evasatildeo dos alunos matriculados em cursos

que envolvam o emprego de elementos do Caacutelculo em particular os de engenharia de-

vido agrave diculdade encontrada pelos alunos via anaacutelise preliminar da grade curricular do

curso pretendidoe em parte pelo fato de natildeo receber orientaccedilotildees sobre toacutepicos correlatos

do caacutelculo diferencial e integral no ensino fragmentado e desmotivador promovido pela

maioria das escolas brasileiras haacute seacuteculos em geral natildeo estar sendo realizado um traba-

lho interdisciplinar signicativo e com respaldo de preparaccedilatildeo para o ingresso futuro no

ensino superior

Uma proposta de mudanccedila desse panorama preocupante pode ser realizada via

inclusatildeo de conceitos baacutesicos do Caacutelculo Diferencial e Integral no Ensino Meacutedio fato que

proporcionaria aos alunos aulas motivadoras interdisciplinares e mais proacuteximas da reali-

dade dos alunos com uma discussatildeo mais ampla natural generalizada e contextualizada

de conteuacutedos do proacuteprio Ensino Meacutedio Entretanto para que essa inclusatildeo ocorra eacute ne-

cessaacuterio que os cursos de Licenciatura em Matemaacutetica formem professores capazes de lidar

com essa realidade Sendo assim o Caacutelculo Diferencial e Integral deve ser apresentado

aos licenciandos como uma disciplina baacutesica poreacutem ampla e integradora propiciando aos

futuros professores uma visatildeo mais geral e segura dos conteuacutedos do Ensino Meacutedio Eacute im-

portante salientar que haacute estados brasileiros que apresentam noccedilotildees de Caacutelculo em seus

curriacuteculos escolares baacutesicos do Ensino Meacutedio

Antes de iniciar as consideraccedilotildees quanto agrave existecircncia ou natildeo das noccedilotildees intui-

tivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo nos livros dos diversos autores renomados

cujos livros didaacuteticos satildeo amplamente adotados para tornar completa a breve discussatildeo

histoacuterica e embasada pela opiniatildeo de diversos autores eacute salutar a realizaccedilatildeo de um diag-

noacutestico informal da situaccedilatildeo em que se encontram os cursos de que necessitam do emprego

da disciplina de Caacutelculo em suas grades curriculares Aleacutem disso faremos uma reexatildeo

do ensino de matemaacutetica no Brasil

Segundo a LDB [30] o Ensino Meacutedio eacute a etapa nal da educaccedilatildeo baacutesica(Art35)

e o mesmo deve possuir um curriacuteculo com a caracteriacutestica da terminalidade isto eacute segundo

o PCNEM (2000) [20] o Ensino Meacutedio deve ser capaz de

() assegurar a todos os cidadatildeos a oportunidade de consolidar e apro-fundar os conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental aprimoraro educando como pessoa humana possibilitar o prosseguimento de estu-dos garantir a preparaccedilatildeo baacutesica para o trabalho e a cidadania dotaro educando dos instrumentos que o permitam continuar aprendendotendo em vista o desenvolvimento da compreensatildeo dos fundamentos ci-entiacutecos e tecnoloacutegicos dos processos produtivos(Art35 incisos I a IV)(PCNEM [21] 2000 p 9)

Fazer com que haja continuaccedilatildeo dos estudos posteriormente em niacuteveis superi-

ores eacute uma meta arrojada uma vez que os resultados das avaliaccedilotildees institucionais como o

Sistema Nacional de Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) e o Exame Nacional do Ensino

Meacutedio (ENEM) cujas provas satildeo produzidas pelo governo federal indicam um iacutendice de

fracasso ao teacutermino do ensino meacutedio pois uma parcela consideraacutevel dos formandos apre-

sentam diculdades baacutesicas na compreensatildeo de conceitos e procedimentos fundamentais

quanto agraves operaccedilotildees aritmeacuteticas e compreensatildeo geral via interpretaccedilatildeo Contudo ainda

se faz necessaacuterio propor algo que facilite a vida desses alunos pois aqueles que ingressam

no ensino superior em especial aos cursos que necessitam de uma veia na aacuterea de exatas

vatildeo se deparar com a disciplina de Caacutelculo que requer o domiacutenio amplo da matemaacutetica

baacutesica para conseguir acompanhar o grau de abstraccedilatildeo a ser introduzido por meio da

compreensatildeo das noccedilotildees iniciais de limite derivada e integral

De acordo com NIETO (2005 p7) [36] eacute certo que uma reforma deveria ser

iniciada nos ensinos fundamental e meacutedio no entanto esse aluno estaacute chegando ao curso

superior e noacutes professores universitaacuterios natildeo podemos enviaacute-los de volta E mais eacute

possiacutevel constatar que a situaccedilatildeo vem se agravando nos uacuteltimos anos devido agraves diculda-

des de aprendizagem de Matemaacutetica no Ensino Fundamental e Meacutedio evidenciadas pelos

resultados das avaliaccedilotildees sob a coordenaccedilatildeo do INEP tais como as provas do Sistema de

Avaliaccedilatildeo da Educaccedilatildeo Baacutesica (SAEB) do Exame Nacional do Ensino Meacutedio (ENEM)

e do Programa Internacional de Avaliaccedilatildeo de Alunos (PISA) Essa conjuntura implica

diretamente na avaliaccedilatildeo da disciplina de Caacutelculo Diferencial e Integral pois os alunos

com pouca bagagem de matemaacutetica baacutesica certamente produziratildeo rendimentos aqueacutem

das possibilidades contribuindo para o aumento dos iacutendices de reprovaccedilatildeo na referida

disciplina Isso nos conduz ao seguinte raciociacutenio Por que natildeo incluir na preparaccedilatildeo dos

alunos do Ensino Meacutedio toacutepicos que faccedilam a conexatildeo com os conceitos do Caacutelculo Dife-

rencial e Integral (um curso de nivelamento preacute-caacutelculo) Por que natildeo criar estrateacutegias

didaacuteticas que promovam a interdisciplinaridade e transforme o aprendizado dos conteuacute-

dos mais sosticado Com absoluta certeza eacute notoacuterio entre os professores e alunos via

anaacutelise de questionaacuterios acessiacuteveis em anexos que tais iniciativas podem tornar o extenso

curriacuteculo menos complexo mais loacutegico e ainda repleto de conteuacutedos natildeo fragmentados e

com signicados respaldados nas diversas contextualizaccedilotildees e interdisciplinaridades dis-

poniacuteveis e acessiacuteveis ao dia-a-dia do aluno Isto eacute eacute possiacutevel ensinar toacutepicos intuitivos

de limite derivada e integral durante o Ensino Meacutedio tanto na Matemaacutetica quanto na

Fiacutesica e Quiacutemica poreacutem eacute necessaacuterio realizar mudanccedilas nos PCN no curriacuteculo baacutesico

escolar capacitar professores e produzir material suplementar que preencha as lacunas

encontradas nos principais livros didaacuteticos utilizados atualmente

Num artigo publicado na RPM o professor Geraldo AacuteVILA [1] faz o seguinte

questionamento sobre a inclusatildeo de toacutepicos do Caacutelculo no Ensino Meacutedio

Por que natildeo ensinamos Caacutelculo na escola de segundo grau Seraacute queeacute um assunto muito difiacutecil Foi sempre assim no passado ou jaacute houveeacutepoca em que o Caacutelculo era ensinado na escola secundaacuteria E nos outrospaiacuteses como eacute a situaccedilatildeo Eacute ou natildeo conveniente introduzir o Caacutelculo noensino Por que Como fazer isso (AacuteVILA [1] 1991 p1)

Eacute vaacutelido ressaltar que uma introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial e Integral jaacute

esteve presente no curriacuteculo escolar baacutesico Segundo CARVALHO (1996) [5] a participaccedilatildeo

ocorreu em dois momentos distintos em 1891 com a reforma proposta por Benjamim

Constant no iniacutecio da Repuacuteblica foi a primeira oportunidade em que houve constataccedilatildeo

da presenccedila e a segunda iniciou em 1942 durante a Reforma Capanema ocorrida no

governo de Getuacutelio Vargas permanecendo ocialmente ateacute 1961 Durante as deacutecadas de

60 e 70 inuenciado pelo movimento da Matemaacutetica Moderna o ensino brasileiro sofreu

mudanccedilas consideraacuteveis dentre elas a exclusatildeo do Caacutelculo do programa baacutesico de ensino

Tambeacutem eacute importante citar que ateacute nos dias atuais ainda encontra-se alguns

livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio que fazem menccedilatildeo a toacutepicos relativos ao Caacutelculo em-

bora sejam negligenciados por parte dos professores e gestores com o pretexto de que

ampliariam o jaacute extenso curriacuteculo e aleacutem disso a linguagem empregada eacute inacessiacutevel aos

estudantes isto eacute quando haacute presenccedila no livro didaacutetico natildeo ocorre inclusatildeo no curriacuteculo

escolar baacutesico Na verdade o que se faz nos dias atuais nas escolas de Ensino Meacutedio das

redes puacuteblica e privada eacute um verdadeiro curso preacute-ENEM (curso preacute-vestibular) extensivo

aos trecircs anos de estudo no Ensino Meacutedio com o intuito de promover a instituiccedilatildeo com

iacutendices de aprovaccedilatildeo em faculdades e universidades do paiacutes em detrimento ao estiacutemulo a

um ensino construtivo signicativo e passiacutevel de ser aproveitaacutevel em estudos posteriores

no ensino superior ou tecnoloacutegico Imagine como reagiria um professor enclausurado nesse

sistema de ensino que prioriza conteuacutedos fragmentados e sem signicados ao ser questi-

onado com uma pergunta simples do tipo O que eacute limite derivada e integral Onde

aplico tais ideiasMuitos colegas de prossatildeo jaacute responderam assim Quando vocecirc es-

tudar Caacutelculo vocecirc saberaacute Ou entatildeo Isso vocecirc soacute aprende na faculdade Essa atitude

com absoluta certeza desapontaria demais o aluno aacutevido pelo conhecimento e talvez ateacute

sepultaria uma mente prodigiosa apta ao desenvolvimento do Caacutelculo

Ainda nesse sentido observe a opiniatildeo de AacuteVILA (1991 p1-9) [1] o qual

defende que o conceito de derivada pode ser ensinado com grande vantagem logo na

primeira seacuterie do segundo grau ao lado do ensino de funccedilotildeese ainda destaca a importacircncia

do estudo da derivada na continuidade do estudo de funccedilotildees em especial as polinomiais e

as suas variadas aplicaccedilotildees cientiacutecas principalmente no estudo do movimento na Fiacutesica

Antes da compreensatildeo do conceito de derivada eacute necessaacuterio compreender e

dominar as noccedilotildees de limite pois a derivada eacute uma aplicaccedilatildeo de limite e sua deniccedilatildeo

atual utiliza as noccedilotildees de limite O domiacutenio de parte das propriedades decorrentes do

estudo de derivadas faraacute com que o entendimento de determinadas propriedades relativas

ao estudo de funccedilotildees tanto na Matemaacutetica quanto na Fiacutesica seja compreendida com mais

argumentos de maneira mais coerente contextualizada e interdisciplinar

Nessa linha eacute imprescindiacutevel mencionar o artigo Caacutelculo no Segundo Grau

publicado na RPM n 20 do professor Roberto Costallat DUCLOS (1992) [10] que segue

e apoia a linha de defesa do professor AacuteVILA sobre a possibilidade de difusatildeo de novas

ideias e sobretudo pela gama de aplicabilidade de seus meacutetodos

De acordo com os argumentos exposto pelo professor Geraldo AacuteVILA [1] na

RPM 18 eacute possiacutevel introduzir o Caacutelculo Integral no Ensino Meacutedio de modo a incitar o

interesse e a curiosidade desde que seja de maneira intuitiva dando ecircnfase as ideias e

aplicaccedilotildees em detrimento das teacutecnicas e suas propriedades Ele ainda faz uma criacutetica

agravequeles que opinam de forma contraacuteria

A ideia de que os programas de matemaacutetica satildeo extensos e natildeo compor-tariam a inclusatildeo do caacutelculo eacute um equiacutevoco Os atuais programas estatildeoisto sim mal estruturados (AacuteVILA [1] 1991 p 1-9)

Apoacutes exibir o panorama da educaccedilatildeo matemaacutetica nacional e citar as contribui-

ccedilotildees favoraacuteveis da apresentaccedilatildeo das noccedilotildees do Caacutelculo Diferencial e Integral que remetem

a ideia de limite eacute vaacutelido repassar ao leitor do presente trabalho os elementos norteadores

da referida pesquisa ou seja uma lista dos livros didaacuteticos e dos seus respectivos auto-

res com o intuito de criar uma simbologia numeacuterica isto eacute uma legenda de associaccedilatildeo

de cada livro segundo o nuacutemero indicado no rol abaixo com intuito de evitar repeticcedilotildees

desnecessaacuterias

1 Matemaacutetica Contexto amp Aplicaccedilotildees de Luiz Roberto DANTE [9] (Dante) - Editora

Aacutetica 2010

2 Matemaacutetica de Manoel PAIVA [23] Editora Moderna 2009

3 Matemaacutetica Coleccedilatildeo Novo Olhar de Joamir Roberto de SOUZA [25] Editora FTD

4 Matemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees de Gelson IEZZI [15] Osvaldo Dolce David

Degenszajn Roberto Peacuterigo e Nilze de Almeira Editora Saraiva 2010

5 Matemaacutetica Completa de Joseacute Ruy GIOVANNI [29] e Joseacute Roberto Bonjorno (Gi-

ovanni e Bonjorno) Editora FTD 2005

6 A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio Coleccedilatildeo do Professor de Matemaacutetica de Elon Lages

LIMA [17] Paulo Cezar Pinto Carvalho Eduardo Wagner e Augusto Ceacutesar Morgado

Editora SBM 2006 (6a ediccedilatildeo)

7 Fundamentos de Matemaacutetica Elementar (vol 8) Editora Atual 1993 (diversos

autores)

8 Noccedilotildees de Caacutelculo (vol 9) - Seacuterie Matemaacutetica por assunto de Nilson Joseacute Machado

Editora Scipione 1988

9 Caacutelculo de Geraldo Aacutevila Editora LTC 1988

10 Caacutelculo de James Stewart (vol I) Editora Pioneira 2003 (4a Ediccedilatildeo)

Os livros didaacuteticos que foram analisados possuem publicaccedilotildees em trecircs volumes

foram numerados de 1 ateacute 6 Jaacute os livros que possuem volume uacutenico integrado ou livros

especiacutecos de coleccedilotildees divididos por assunto conforme a preferecircncia do autor foram

numerados de 7 ateacute 10 Quantos aos primeiros (de 1 a 6) foi feito uma analise minuciosa

tanto dos conteuacutedos quanto dos guias de orientaccedilatildeo do professor Jaacute os uacuteltimos (de 7

ateacute 10) foram citados simplesmente como sugestatildeo de uma leitura mais renada e com o

intuito de repassar aos professores uma oportunidade de enriquecer seus conhecimentos

com um material didaacutetico de qualidade A escolha dos livros de 1 a 6 eacute justicada pelo

fato de que a maioria desses autores estaacute ou jaacute esteve presente de forma maccedilante nas

escolas puacuteblicas e particulares brasileiras

A anaacutelise realizada nos livros consiste numa investigaccedilatildeo especiacuteca e minuciosa

em busca de pontos (conteuacutedos) que faccedilam menccedilatildeo as noccedilotildees elementares e intuitivas do

Caacutelculo (limite derivada e integral)

Dentre todos os livros analisados destaca-se o livro do DANTE (1) como o

mais completo em todos os aspectos (deniccedilotildees mais rigorosas maior nuacutemero de de-

monstraccedilotildees conteuacutedo contextualizada e interdisciplinar etc) poreacutem eacute vaacutelido ressal-

tar que a linguagem adotada natildeo eacute tatildeo simples assim como os exerciacutecios propostos

possuem grau de diculdade mais acentuado Aleacutem disso consiste no material didaacute-

tico que mais se aproxima do propoacutesito desse trabalho ou seja de explicar eou jus-

ticar os fatosconteuacutedosteoremas com argumentos satisfatoacuterios e com ideias intuiti-

vasinterdisciplinascontextualizadasconstrutivas sem receio de abordar toacutepicos relativos

ao Caacutelculo Diferencial e Integral

No livro (1) volume 1 a presenccedila das noccedilotildees intuitivas de limite pode ser

vericada no estudo de diacutezimas perioacutedicas na apresentaccedilatildeo do nuacutemero irracional e no

estudo do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica na soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica

innita e no caacutelculo da aacuterea do ciacuterculo Tambeacutem eacute notaacutevel a presenccedila das noccedilotildees de

derivada ao trabalhar com taxa de variaccedilatildeo da funccedilatildeo quadraacutetica e consequente aplicaccedilatildeo

no Movimento Uniformemente Variado (MUV) Nesse iacutenterim tambeacutem ocorre menccedilatildeo

elementar do estudo de integral via aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau No

volume 2 da referida da obra a ideia de limite estaacute presente no estudo da aacuterea da superfiacutecie

esfeacuterica Jaacute no volume 3 haacute um estudo completo das noccedilotildees elementares de derivada via

razatildeo incremental e via aplicaccedilotildees em problemas da Fiacutesica Eacute vaacutelido ressaltar que tais

noccedilotildees motivaram algumas atividades presentes na sequecircncia didaacutetica a ser apresentada

nesse trabalho O manual do professor embora seja pedagoacutegico com excelentes dicas

de atividades utilizando diversas metodologias recursos didaacuteticos softwares educacionais

e sugestotildees de revistas livros e lmes atrelados ao ensino de matemaacutetica natildeo possui

formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo alguma que oriente o professor a trabalhar com ideias correlatas do

Caacutelculo

O volume 1 do livro (2) haacute apenas uma citaccedilatildeo direta das ideias de limite

ao introduzir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita Jaacute no volume

(2) uma citaccedilatildeo indireta das noccedilotildees elementares de limite ao explicar a aacuterea do ciacuterculo

Quanto ao volume 3 natildeo haacute menccedilatildeo alguma das noccedilotildees elementares do Caacutelculo A

propoacutesito o manual destinado aos professores como suporte de preparaccedilatildeo para suas

aulas natildeo apresenta toacutepicos do Caacutelculo e haacute diversos pontos de erros conceituais

A partir da avaliaccedilatildeo do volume 1 do livro (3) foi possiacutevel vericar que haacute

somente um breve comentaacuterio no estudo de soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica

das noccedilotildees de limite E mais natildeo existe citaccedilatildeo no volume 2 e no volume 3 temos

apenas um comentaacuterio ao calcular a aacuterea da superfiacutecie da esfera O guia pedagoacutegico natildeo

menciona elementos do caacutelculo embora promova inuacutemeras situaccedilotildees em que o emprego

das noccedilotildees de caacutelculo poderia se explorada de maneira luacutedica criativa interdisciplinar e

contextualizada

No livro (4) volume 1 tambeacutem existe uma abordagem de limite no estudo de

soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Enquanto no volume 2 haacute um preluacutedio

das ideias de limite atreladas as noccedilotildees de integral quando aborda a aacuterea do ciacuterculo e

quando explora a aacuterea da superfiacutecie esfeacuterica Em relaccedilatildeo ao volume 3 natildeo haacute citaccedilotildees

intuitivas de limite derivada e integral Embora a quantidade de abordagens de ideias

correlatas do Caacutelculo seja piacutea o manual pedagoacutegico estaacute coberto de estrateacutegias inovado-

ras que podem ser exploradas e incrementadas de noccedilotildees de limite deriva ou ateacute mesmo

integral

Tambeacutem no volume 1 do livro (5) foi possiacutevel constatar que as ideias de limite

estatildeo sendo difundidas ao inserir a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica Jaacute no

volume 2 da referida obra o autor faz referencia as noccedilotildees de limite e de integral ao provar

o volume da esfera Enquanto o volume 3 apresenta um estudo das noccedilotildees elementares de

limite e de derivadas assim como suas propriedades e aplicaccedilotildees Embora haja capiacutetulos

especiacutecos que abordam toacutepicos do Caacutelculo de maneira simploacuteria e pouco signicativa

o manual pedagoacutegico do professor mostrou-se deciente quanto ao direcionamento do

trabalho para incitar as ideias correlatas do Caacutelculo Eacute bom salientar que a obra analisada

eacute a coleccedilatildeo de trecircs volumes mais antiga anterior a mudanccedila do novo ENEM e talvez isso

seja uma justicativa para o emprego de limite e derivadas em detrimento ao modelo

padronizado dos livros publicados de 2009 em diante que supervalorizam as atividades em

favor de situaccedilotildees problema tipo ENEM

Enm o livro (6) volume 1 da Coleccedilatildeo Professor de Matemaacutetica (SBM) des-

tinada a professores que atual no ensino meacutedio apresenta citaccedilotildees das noccedilotildees intuitivas

de limite e de derivadas com excesso de rigor e abstraccedilatildeo ao estudar a continuidade da

funccedilatildeo proporcionalidade via limite de uma sequencia e ao estudar de forma interdisci-

plinar o MUV via razatildeo incremental (noccedilatildeo intuitiva de derivada) Tambeacutem haacute citaccedilatildeo

das ideias de derivadas ao citar ao estudar as funccedilotildees polinomiais via meacutetodo de Newton

e ainda haacute citaccedilatildeo das noccedilotildees de limite no estudo de funccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas

via justicativa do comportamento de graacutecos e estabelecimento no nuacutemero de Euler Jaacute

no volume 2 da referida coleccedilatildeo haacute citaccedilatildeo de limite durante o estudo de soma dos termos

de uma progressatildeo geomeacutetrica innita e menccedilatildeo intuitiva de integral ao propor o volume

de corpos redondos (cilindros cones e esferas) E nalmente no volume 3 ocorre uma

menccedilatildeo ao estudo derivada via equaccedilotildees algeacutebricas Eacute vaacutelido ressaltar que natildeo haacute guia de

orientaccedilatildeo para os professores pois o proacuteprio livro trata-se de uma guia de reexatildeo criacutetica

em relaccedilatildeo agrave abordagem precaacuteria de matemaacutetica encontrada nos principais livros didaacuteticos

do paiacutes O niacutevel dos exerciacutecios dos trecircs volumes eacute de grau elevadiacutessimo e os idealizadores

do referido material satildeo professores do Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada (IMPA

RJ) o que certamente explica a fundamentaccedilatildeo precisa a preocupaccedilatildeo com o rigor da

linguagem e o grau de abstraccedilatildeo existentes nas proposiccedilotildees demonstraccedilotildees aplicaccedilotildees e

exerciacutecios dos livros em questatildeo

Assim foi possiacutevel avaliar que todos os livros analisados exibiram as noccedilotildees

elementares do Caacutelculo somente durante o estudo da soma dos termos de uma progressatildeo

geomeacutetrica innita e em alguns casos de caacutelculo da aacuterea de ciacuterculos aacuterea supercial e

volume de uma esfera Apenas os livros (1) e (5) possuem apresentaccedilatildeo de elementos do

Caacutelculo de maneira sistecircmica e conceitual poreacutem a metodologia natildeo eacute conveniente e a

linguagem empregada estaacute distante da realidade da educaccedilatildeo puacuteblica da rede estadual do

Espiacuterito Santo Essas consideraccedilotildees reetem o caraacuteter defendido nos PCNEM [21] que

natildeo fazem menccedilatildeo a necessidade de repassar aos alunos elementos essenciais do Caacutelculo e

no curriacuteculo baacutesico estadual que apresenta excesso de conteuacutedo e ausecircnciadeciecircncia de

atividades que estimulem a modelagem matemaacutetica e o estudo dirigido de noccedilotildees intuitivas

de limite derivada e integral

A partir da anaacutelise dispostos de forma tabular a seguir eacute possiacutevel inferir de ma-

neira resumida e simplicada as conclusotildees obtidas a partir da anaacutelise dos livros didaacuteticos

investigados e numerados de 1 a 6

Tabela 51 Anaacutelise dos livros didaacuteticos escolhidos

LIVROS DIDAacuteTICOS ANALISADOS

DANTE PAIVA JOAMIR IEZZI GIOVAN SBM

CONCLUSOtildeES IMEDIATAS 1 2 3 4 5 6

Haacute menccedilatildeo das noccedilotildees elementa-

res de limite

SIM SIM SIM SIM SIM SIM

res de derivada

SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM SIM

res de integral

SIM NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO NAtildeO

No manual pedagoacutegico do profes-

sor existe orientaccedilatildeo sobre a in-

serccedilatildeo de noccedilotildees elementares do

Caacutelculo

NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NPM

Abordam as noccedilotildees elementares

de Caacutelculo de maneira contextua-

lizada intuitiva e construtiva

SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM

de Caacutelculo de maneira interdisci-

plinar

Dedicam capiacutetulos exclusivos

para as noccedilotildees elementares do

Caacutelculo

SIM NAtildeO NAtildeO NAtildeO SIM NAtildeO

Haacute exerciacutecios de xaccedilatildeo que ex-

ploram de modo investigativo as

noccedilotildees de Caacutelculo

Haacute alguma atividade de explo-

raccedilatildeo das noccedilotildees de Caacutelculo via

software de geometria dinacircmica

ou planilha eletrocircnica

NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO NAtildeO

NPM = NAtildeO POSSUI MANUAL

6 ABORDAGEMCONDUTA DOS

PROFESSORES

De acordo com a anaacutelise dos dados coletados eacute possiacutevel constatar que a maio-

ria dos professores atuantes no niacutevel baacutesico da educaccedilatildeo estaacute negligenciando o ensino das

noccedilotildees intuitivas de limite e ideias correlatas do Caacutelculo em detrimento ao cumprimento

do curriacuteculo preacute-estabelecido pela rede a qual trabalham eou em virtude de direciona-

mento de trabalho visando melhores resultados na prova do Programa de Avaliaccedilatildeo da

Educaccedilatildeo Baacutesica do Espiacuterito Santo (PAEBES) e ENEM Isso se justica por inuacutemeros

fatores formaccedilatildeo deciente durante a graduaccedilatildeo baixo niacutevel de aprendizagem dos alunos

(deacutecit herdado de um Ensino Fundamental tradicional arcaico obsoleto e negligente)

inexistecircncia de material didaacutetico de orientaccedilatildeo especiacuteca ausecircncia de participaccedilatildeo do

tema em estudo no curriacuteculo baacutesico norteador e inexistecircncia de cursos de capacitaccedilatildeo

para aprimorarem seus conhecimentos

Segundo a opiniatildeo geral dos professores que responderam os questionaacuterios os

cursos de licenciaturas em Matemaacutetica poderiam explorar de maneira mais diversicada as

ideias correlatas do Caacutelculo Eacute consensual que a maioria dos professores mestredoutores

das universidades federais poderia aprimorar sua didaacutetica com o intuito de melhorar a

exposiccedilatildeoapresentaccedilatildeo de determinados conteuacutedos e aleacutem disso sugeriram que a apre-

sentaccedilatildeo de conteuacutedos correlacionados ao Caacutelculo seja realizada por meio de estrateacutegias

diferenciadas (recursos didaacuteticos e modelagem matemaacutetica) Isso pode contribuir de ma-

neira signicativa para melhorar os niacuteveis de aprendizagem durante a fase de graduaccedilatildeo

e ao mesmo tempo servir de estiacutemulo para estudos posteriores Eacute certo que a realidade

vem melhorandoultimamente devido exigecircncias impostas pelas poliacuteticas governamen-

tais em melhorar os altos e absurdos iacutendices de reprovaccedilatildeo na disciplina de Caacutelculo I mas

em contrapartida os setores responsaacuteveis pela validaccedilatildeo de complementaccedilotildees (licenciatu-

ras curtas) e alguns cursos de Licenciatura a distacircncia sejam mais rigorosos ao avaliar

o conceito dessas graduaccedilotildees para que a formaccedilatildeo desses professores seja qualidade ex-

celente ao ponto de acumular bagagem de estaacutegio e conhecimento especiacuteco suciente

para explorar ao maacuteximo a capacidade de seus alunos A realidade vivenciada nos editais

de contrataccedilatildeo de professores de designaccedilatildeo temporaacuteria seja da secretaria de educaccedilatildeo

municipal ou estadual do Espiacuterito Santo aparenta nos remeter a ideia de que o tiacutetulo

eacute mais importante do que o conteuacutedo o objeto de estudo analisado Esse dado eacute um

fator que contribui indiretamente para a reduccedilatildeo da procura de alunos para as licencia-

turas na UFES e IFES Por exemplo o curso de Matemaacutetica no processo seletivo 1 UFES

20132014 ofereceu 50 vagas das quais apenas 27 alunos conseguiram obter notas que os

capacitassem para prosseguir o curso

Aqueles professores que relataram citaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo

em pontos especiacutecos do Ensino Meacutedio informaram que fazem apenas uma abordagem

supercial sem embasamento teoacuterico com pouca mobilidade metodoloacutegica e sem respaldo

curricular Tambeacutem relataram que os poucos cursos de capacitaccedilatildeo que existem ocorrem

em horaacuterios e dias natildeo convenientes (recesso eou feacuterias nais de semana etc) Quanto ao

respaldo curricular os professores argumentaram que os PCNEM natildeo apresentam menccedilatildeo

alguma agrave introduccedilatildeo das ideias intuitivas do Caacutelculo E caso houvesse uma mudanccedila nesse

documento haveria necessidade de curso de formaccedilatildeocapacitaccedilatildeo com material didaacutetico

autoexplicativo e focado na realidade da educaccedilatildeo baacutesica dado que os referidos docentes

natildeo fazem ideia de como realizar a introduccedilatildeo de tais conceitos no modelo educacional

vigente

Os docentes tambeacutem nos disseram que caso fossem questionados sobre algum

ponto que requeresse citaccedilatildeo de noccedilotildees elementares do Caacutelculo a priori deixariam a

discussatildeo de forma particular com o aluno que promoveu a pergunta ou entatildeo daria uma

desculpa qualquer de que tais noccedilotildees seratildeo discutidas posteriormente no Ensino Superior

somente para os privilegiados que estudaratildeo a disciplina de Caacutelculo

Os dados da pesquisa servem para uma reexatildeo sobre a situaccedilatildeo do ensino de

matemaacutetica embora o espaccedilo amostral esteja concentrado nas escolas da Grande Vitoacuteria

pode ser que esteja dissipada ao redor do estado Isso pode ser um obstaacuteculo agrave inser-

ccedilatildeo de elementos intuitivos do Caacutelculo durante o Ensino Meacutedio pois eacute um tema bastante

discutiacutevel e natildeo dispomos de um modelo de educaccedilatildeo pronto que resolva os problemas men-

1Observaccedilatildeo o processo seletivo da UFES para o curso de Matemaacutetica eacute diferente dos demais pois o

aluno eacute preacute-aprovado para a 2a etapa e em seguida deve cursar durante o proacuteximo semestre duas disciplinas

Matemaacutetica Baacutesica I e II com a prerrogativa de obter rendimento miacutenimo de meacutedia nal de 50 pontos

em cada disciplina caso contraacuterio o aluno natildeo estaacute apto para prosseguir no curso de Matemaacutetica e o

mesmo eacute eliminado do certame

cionados Talvez tal negligecircncia tenha como consequecircncia agravante rendimentos piacuteos

por parte da maioria dos estudantes evasatildeo universitaacuteria e fuga aos cursos que requerem

conhecimento preacutevio de Caacutelculo poreacutem o universo estatiacutestico analisado natildeo eacute suciente

para tal conclusatildeo mas sim para uma reexatildeo As propostas a seguir tecircm a pretensatildeo

de preencher as lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos quanto ao repasse de noccedilotildees ele-

mentares de limite derivada e integral durante a educaccedilatildeo baacutesica Assim como promover

uma orientaccedilatildeo para os professores da educaccedilatildeo baacutesica por intermeacutedio de atividades praacute-

ticas construtivas contextualizadas e interdisciplinares Eacute vaacutelido ressaltar que o referido

trabalho jaacute eacute realizado em determinados estados brasileiros (Satildeo Paulo Minas Gerais

Rio Grande do Sul e Paranaacute) e aleacutem disso na Franccedila Portugal e Espanha o Caacutelculo

Diferencial e Integral eacute conteuacutedo do curriacuteculo miacutenimo comum obrigatoacuterio na educaccedilatildeo baacute-

sica Nos estados brasileiros que fazem referecircncia as noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio

a inclusatildeo do tema eacute inserida de maneira indireta transversal e interdisciplinar de acordo

com as duacutevidas e o grau de abstraccedilatildeo que o assunto requer A implementaccedilatildeo de nossa

proposta eacute uma tentativa de reduzir o grande abismo entre a educaccedilatildeo baacutesica e o ensino

superior Aleacutem disso pretendemos contribuir para o aumento da procura por cursos de

exatas nos vestibulares para a consideraacutevel melhora no rendimento universitaacuterio dos alu-

nos que cursavam disciplinas de Caacutelculo e para a promoccedilatildeo de um ensinoaprendizagem

mais signicativo concreto interdisciplinar contextualizado e motivador

Embora as noccedilotildees de limite derivada e integral natildeo estejam presentes de forma

direta e obrigatoacuteria no curriacuteculo miacutenimo de conteuacutedos do Ensino Meacutedio no curriacuteculo

escolar paulista (2011) haacute uma argumentaccedilatildeo excelente de defesa do ensino de noccedilotildees de

Caacutelculo na 3a etapa da educaccedilatildeo baacutesica na qual os autores trabalham com a ideia de que

havendo uma boa razatildeo para fazer algo sempre seraacute possiacutevel arquitetar uma maneira de

fazecirc-lo (quem tem um porque arruma um como) Por exemplo haacute uma orientaccedilatildeo

de trabalhar com uma escala de aprofundamento adequada ao grau de conhecimento

do aluno em questatildeo toacutepicos do Caacutelculo Diferencial por meio da anaacutelise de problemas

cotidianos (presentes em jornais e revistas) que medem a rapidez com que uma grandeza

cresce ou decresce em relaccedilatildeo agrave outra (o que futuramente aprenderatildeo como derivada)

Aleacutem disso orientam que o trabalho com o Caacutelculo Integral deve ser ealizado a partir de

uma aproximaccedilatildeo de uma grandeza variaacutevel por uma seacuterie de valores constantes (como se

fosse constante em pequenos intervalos)

7 SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA

Com o intuito de realizar o resgate do repasse das noccedilotildees elementares do

Caacutelculo o presente trabalho estaraacute repleto de atividades que de forma direta eou indireta

citaratildeo as ideias intuitivas de limite de derivada e de integral

De fato haacute uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em par-

ticular durante o Ensino Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees

elementares do Caacutelculo e em caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite De fato haacute

uma gama consideraacutevel de pontos da educaccedilatildeo baacutesica em particular durante o Ensino

Meacutedio que necessitam de abordagem especiacuteca das noccedilotildees elementares do Caacutelculo e em

caraacuteter especial agraves noccedilotildees intuitivas de limite Aleacutem disso os dados das pesquisas realiza-

das revelaram agraves diculdades que muitos professores possuemteriam para expor o tema

tambeacutem foi visto que haacute mais pontos favoraacuteveis que desvantajosos em propor o resgate

da inserccedilatildeo de tais conceitos durante o Ensino Meacutedio e para nalizar foram constatadas

as deciecircncias existentes nas diversas literaturas disponiacuteveis

Assim a principal meta desse trabalho consiste em propor situaccedilotildees praacuteticas

em que haacute a necessidade de empregar e justicar o ensino das noccedilotildees intuitivas de limite e

ideias correlatas do Caacutelculo na educaccedilatildeo baacutesica em especial durante o Ensino Meacutedio Com

o intuito de ajudar colegas de prossatildeo tentamos propor abordagens do ensino das noccedilotildees

intuitivas de limite de derivada e de integral por meio de softwares de geometria dinacircmica

e planilhas eletrocircnicas de maneira que tais conceitos sejam introduzidos passo a passo

(algo bem construtivo) Pretendemos gerar um ambiente de reexatildeo sobre a importacircncia

de justicar determinados toacutepicos da matemaacutetica elementar com maior precisatildeo e aleacutem

disso fornecer subsiacutedios garantidos por lei para continuidade de estudos posteriores A

resoluccedilatildeo de cada situaccedilatildeo problema seraacute feita sempre que possiacutevel a partir dos meacutetodos

propostos por POLYA (1995) [28] os quais podem ser expressos em quatro passos

1 Compreender o problema Nesse 1o passo eacute importante fazer perguntas identicar

qual eacute a incoacutegnita do problemavericar quais satildeo os dados e quais satildeo as condiccedilotildees

entre outros

2 Construccedilatildeo de uma estrateacutegia de resoluccedilatildeo Nesse 2o passo devemos encontrar as

conexotildees entre os dados e a incoacutegnita caso seja necessaacuterio considerando problemas

auxiliares ou particulares

3 Execuccedilatildeo da estrateacutegia Frequumlentemente o 3o passo eacute considerado o mais faacutecil do

processo de resoluccedilatildeo de um problema Contudo a maioria dos principiantes tende

a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal

4 Revisatildeo da soluccedilatildeo O 4o passo consiste numa anaacutelise minuciosa da soluccedilatildeo obtida

em que eacute feita a vericaccedilatildeo dos resultados dos argumentos utilizados e da escrita

matemaacutetica aleacutem de ser uma etapa excelente para oportunizar uma reexatildeo sobre

a possibilidade de uma resoluccedilatildeo de modo diferente

Nesse iacutenterim eacute necessaacuterio ter uma preocupaccedilatildeo contiacutenua em realizar uma boa

interpretaccedilatildeo dos exerciacutecios seguida de uma atenciosa coleta de dados chegando ao ponto

de encontrar a melhor estrateacutegia para solucionar a questatildeo e apoacutes aplicar a melhor teacutecnica

(ou a mais conveniente) de resoluccedilatildeo nalizar a atividade por meio de uma revisatildeo da

soluccedilatildeo realizada com ecircnfase e detalhamento de valores obtidos assim como o estudo do

signicado semacircntico algeacutebrico ou geomeacutetrico eacute uma teacutecnica excelente e sugerimos que

se torne praacutetica diaacuteria de professores e alunos

MACHADO (2008) [19] professor e autor de livros de matemaacutetica elemen-

tarsuperior arma em seu artigo Caacutelculo Diferencial e Integral na Educaccedilatildeo Baacutesica

que a presenccedila das ideias baacutesicas do Caacutelculo eacute inserida em no dia-a-dia a partir do mo-

mento em que haacute o estudo analiacutetico do comportamento de grandezas variando com o

tempo Note o relato de MACHADO (2008 p1)

Eacute do diaacutelogo entre a permanecircncia e a variaccedilatildeo juntamente com a buscade uma forma de caracterizaccedilatildeo da rapidez com que uma grandeza variacom outra que nascem as duas ideias fundamentais do Caacutelculo a integrale a derivada (MACHADO 2008 [19] p1)

71 NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO

FUNDAMENTAL

Embora contrarie as expectativas da maioria dos professores de matemaacutetica

atuantes nessa etapa da educaccedilatildeo baacutesica eacute possiacutevel inserir ideias fundamentais e construti-

vas de limite em diversos pontos do ensino fundamental poreacutem haacute trecircs ocasiotildees especiacutecas

em que o emprego das noccedilotildees intuitivas de limite faz-se necessaacuterio para completar o en-

tendimento e maximizar o ensinoaprendizagem dos alunos no estudo da representaccedilatildeo

decimal das diacutezimas perioacutedicas no estudo da demonstraccedilatildeo completa do Teorema de Ta-

les e no estudo de aacuterea de aacutereas de guras planas em particular a partir da aacuterea de um

retacircngulo

711 Diacutezimas Perioacutedicas

Em geral as diacutezimas perioacutedicas satildeo introduzidas a partir do 7o ano durante

o estudo da representaccedilatildeo decimal dos nuacutemeros racionais Um nuacutemero racional pode ser

representado por um nuacutemero decimal exato (diacutezima exata) que possui um nuacutemero nito

de casas agrave direita da viacutergula ou por um nuacutemero decimal innito e perioacutedico (diacutezima

perioacutedica) que possui um nuacutemero innito de casas agrave direita da viacutergula Em outras

palavras uma diacutezima perioacutedica eacute uma representaccedilatildeo numeacuterica em que haacute uma sequecircncia

nita de algarismos que se repetem indenidamente

Por deniccedilatildeo os nuacutemeros racionais satildeo aqueles que podem ser representados

por uma fraccedilatildeo isto eacute nuacutemeros da forma pq com p e q nuacutemeros inteiros e q 6= 0 As

fraccedilotildees que geram diacutezimas perioacutedicas satildeo denominadas de fraccedilotildees geratrizes

Para transformar uma fraccedilatildeo (ab)cujo denominador apresente apenas fatores

2 ou 5 em um nuacutemero decimal pode-se aplicar o seguinte meacutetodo Considere b = 2x middot 5y

com x lt y Em seguida multiplique tanto o numerador quanto o denominador por 2yminusx

isto eacutea

a middot 2yminusx

2x middot 5y middot 2yminusx=a middot 2yminusx

2y5y= a middot 2yminusx10minusy

Isso eacute equivalente a calcular o nuacutemero a middot 2yminusx e escrevecirc-lo apoacutes as x casas decimais apoacutes

a viacutergula Note que o caso x gt y eacute anaacutelogo ao anterior poreacutem o fator multiplicativo seraacute

5yminusx Por exemplo

22 middot 5=

7 middot 52minus1

22 middot 5 middot 52minus1=

100= 0 35

A aplicaccedilatildeo desse procedimento para denominadores particulares que produ-

zem fraccedilotildees decimais nem sempre produz um nuacutemero nito de casas apoacutes a viacutergula Um

exemplo simploacuterio seria a tentativa de escrever a representaccedilatildeo decimal da fraccedilatildeo geratriz13 Note que

1 middot 103 middot 10

103 middot 3 + 1

10(3 +

3= 0 3 +

Repetindo o processo tem-se

3= 0 3 +

10(0 3 +

3) = 0 3 + 0 03 +

Observe que novamente apareceu a fraccedilatildeo original um terccedilo e eacute evidente que o

mesmo aconteceraacute nas proacuteximas iteraccedilotildees Isto signica que para a representaccedilatildeo decimal

de um terccedilo eacute necessaacuterio innitas casas decimais agrave direita da viacutergula Assim concluiacute-se

3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()

Note que eacute importante que o professor interra com questionamentos sobre a

regularidade dos elementos que surgem nessa soma e com a solicitaccedilatildeo do Caacutelculo para um

nuacutemero particular de parcelas dessa soma A nalidade dessa tarefa eacute mostrar ao aluno

que um terccedilo eacute igual a uma soma de innitos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica cujo

primeiro termo eacute a1 = 0 3 e cuja razatildeo q = 0 1 (seacuterie convergente) Para calcular essa

soma eacute necessaacuterio empregar as noccedilotildees intuitivas de limite e isso seraacute realizado posterior-

mente nesse trabalho Note ainda que ao multiplicar a ambos os membros pelo nuacutemero

3 tem-se

3 middot 13= 3 middot 0 333rArr 1 = 0 999 = 0 9

Para que os alunos familiarizem-se com o procedimento anterior que utiliza a

ideia de innito de processo indenido proponha atividade de requeiram a determinaccedilatildeo

da representaccedilatildeo decimal por exemplo para as fraccedilotildees 311

e 17 Note que o grau de

diculdade aumenta e aguccedila a curiosidade do aluno Veja o resultado para a fraccedilatildeo

10(2 middot 11 + 8

10(2 +

Natildeo apareceu explicitamente a fraccedilatildeo 311

na primeira iteraccedilatildeo poreacutem na se-

gunda etapa tem-se 311

= 3middot1011middot10 = 1

103011

= 110(2middot11+8

11) = 1

10(2 + 8

11) = 2

10 811

0 2 + 110 80110

= 0 2 + 1100(7middot11+3

11) = 0 2 + 0 07 + 1

100 311

= 0 27 + 1100 311

Ou seja 311

= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1

100middot 311) = middot middot middot = 0 272727 = 0 27

Espera-se com essas atividades que os estudantes consigam assimilar o caraacuteter

perioacutedico e innito das diacutezimas

Em geral uma diacutezima perioacutedica simples de periacuteodo k eacute um nuacutemero que possui

expansatildeo decimal do seguinte modo a b1b2b3bk = a b1b2b3bk E toda diacutezima perioacutedica

representa um nuacutemero racional isto eacute possui representaccedilatildeo fracionaacuteria dada por

a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk

Considere que

r = 0 b1b2b3bk

Daiacute segue que

10r middot r = 10r middot (0 b1b2b3bk)

rArr 10k middot r minus r = (b1b2b3bk b1b2b3bk)

rArr (10r minus 1)r = b1b2b3bk

rArr r =b1b2b3b410k minus 1

=b1b2b3bk9999

Logo tem-se

a b1b2b3bk = a b1b2b3bk = a+ 0 b1b2b3bk = a+ b1b2b3bk

999 middot middot middot 9︸︷︷︸k repeticcedilotildees de 9

Exemplo motivacional Determine a fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 5 777 middot middot middot

1o modo Desenvolvendo raciociacutenio similar a demonstraccedilatildeo

r = 5 777

rArr 10r = 57 777

rArr 10r minus r = 57 777minus r

rArr 9r = 52

rArr r =52

2o modo Aplicando o algoritmo demonstrado

5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7

A reciacuteproca da demonstraccedilatildeo acima tambeacutem eacute verdadeira ou seja todo nuacutemero

racional eacute representado por uma diacutezima perioacutedica A demonstraccedilatildeo desse fato eacute obtida

por intermeacutedio do algoritmo de divisatildeo de Euclides

712 Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales

Considere a proposiccedilatildeo a seguir proposta por um rico comerciante Tales da

cidade grega de Mileto por volta do V aC conhecida como Teorema de Tales um conjunto

de retas paralelas entre si (feixe de paralelas) cortado por duas transversais (r e s) forma

sobre elas segmentos correspondentes proporcionais isto eacute a razatildeo entre dois segmentos

quaisquer determinados pelo feixe sobre a reta r por exemplo AB e CD eacute igual agrave razatildeo

de seus correspondentes sobre a reta s AprimeBprime e C primeDprime ou seja

CD=AprimeBprime

C primeDprime

A demonstraccedilatildeo desse teorema em geral natildeo eacute realizada nos livros didaacuteticos

do Ensino Fundamental Jaacute nos livros de Ensino Meacutedio eacute apenas apresentada uma parte

da validade para segmentos comensuraacuteveis Diante desse fato consumado eis que surge o

questionamento Por que os livros didaacuteticos do Ensino Meacutedio natildeo apresentam a demons-

traccedilatildeo para segmentos natildeo comensuraacuteveis

A explicaccedilatildeo para a omissatildeo da segunda parte da prova pode ser justicada

pelo fato de que a manipulaccedilatildeo com nuacutemeros irracionais requer emprego de completude

dos nuacutemeros reais e com certeza o grau de abstraccedilatildeo necessaacuterio pode estar aleacutem das

possibilidades de entendimento do aluno E mais eacute necessaacuterio utilizar noccedilotildees intuitivas

de limite para completar o raciociacutenio

A seguir eacute apresentada de forma completa a demonstraccedilatildeo do Teorema de

1a parte da demonstraccedilatildeo Sejam r s t e z retas paralelas e a e b retas

transversais

Suponha que AB e CD sejam comensuraacuteveis e que exista um segmento u

(unidade de medida comum entre os segmentos AB e CD) tal que AB = mu e CD = nu

(mn isin N ) isto eacute o segmento u cabe m vezes dentro de AB assim como cabe n vezes

no segmento CD

Logo a razatildeo ABCD

= munu

= mn(I)

Agora pelos pontos que dividem AB e CD em m e n partes congruentes

ao segmento de medida u trace retas paralelas ao feixe com o intuito de subdividir os

segmentos AprimeBprime e C primeDprime em m e n partes iguais a w A partir dessa consideraccedilatildeo tem-se

a razatildeo AprimeBprime

CprimeDprime =mwnw

= mn(II)

Figura 71 Feixe de retas paralelas cortado por transversais

Fonte DANTE [9] 2010 vol1 p 404

Daiacute concluiacute-se a partir das relaccedilotildees (I) e (II) que ABCD

= AprimeBprime

CprimeDprime conforme

queriacuteamos demonstrar

2a parte da demonstraccedilatildeo Sejam a1 i e j retas paralelas e r e s retas trans-

versais

Fonte GeoGebra

Suponha agora que os segmentos AB e BC sejam incomensuraacuteveis Por co-

modidade suponha que AB seja menor do que BC (caso contraacuterio o raciociacutenio seraacute

desenvolvido a partir de BC) e divida AB em m partes congruentes com o segmento

u = 1mAB Como u lt AB (dado que a parte eacute menor do que o todo) e como AB lt BC

entatildeo u lt BC

Figura 73 Teorema de Tales envolvendo segmentos incomensuraacuteveis

Fonte GeoGebra

Pela propriedade Arquimediana (dadas duas magnitudes quaisquer de mesma

natureza a e b existe sempre um nuacutemero inteiro n tal que na gt b) existe um nuacutemero

inteiro n tal que mu gt BC Existindo um nuacutemero com essa propriedade existiraacute uma

innidade porque Nu tambeacutem seraacute maior do que BC para qualquer N gt n Nesse iacutente-

rim pode-se considerar que n eacute o menor dos nuacutemeros inteiros para os quais mu gt BC

Assim sendo (nminus 1)u deveraacute ser menor do que BC ou seja (nminus 1)u lt BC lt nu Como

mu = AB segue que nminus1m

lt BCAB

lt nm Em outras palavras a relaccedilatildeo entre os incomensu-

raacuteveis BC e AB estaacute compreendida entre os racionais nminus1m

e nm Pelas extremidades dos m

segmentos em que AB foi dividido traccedilando-se paralelas ao feixe o segmento DE caraacute

dividido em m partes congruentes com o segmento w = 1mDE ou seja DE = mw Pelas

extremidades dos n segmentos congruentes com u sobre o segmento BC trace as paralelas

ao feixe Sobre a reta s caratildeo determinados n segmentos congruentes a w Denomine

de Kn e Kn+1 as extremidades dos segmentos a partir de C formados respectivamente

por (nminus 1) e n segmentos congruentes a u Sejam K primen e Kprimen+1 seus correspondentes sobre

a reta s

Observe a situaccedilatildeo descrita geometricamente na gura a seguir

Figura 74 Segmentos incomensuraacuteveis (Aproximaccedilotildees por falta e por excesso)

Fonte GeoGebra

Note a partir da gura anterior que C estaacute entre Kn e Kn+1 Agora resta

mostrar que seu correspondente (F ) estaacute entre K primen e K primen+1 Eacute notoacuterio que F natildeo pode

coincidir com K primen ou K primen+1 pois nesses casos DE e EF seriam comensuraacuteveis e por con-

sequecircncia AB e BC tambeacutem seriam o que contrariaria a hipoacutetese imposta O ponto F

correspondente de C natildeo pode estar entre E e K primen pois nesse caso Kn e K primen estariam em

semiplanos opostos em relaccedilatildeo agrave reta KnKprimen de tal modo que a reta Kn+1K

primen+1 cruzaria

a reta KnKprimen o que eacute um absurdo pois ambas satildeo paralelas Com raciociacutenio anaacutelogo

descarta-se a possibilidade de K primen+1 estar entre E e F Logo (nminus1)w lt EF lt nw Como

DE = mw entatildeo nminus1m

lt EFDE

lt nm O que acabou de ser mostrado prova que AB e BC

sobre a reta r satildeo incomensuraacuteveis e a relaccedilatildeo entre eles estaacute entre nminus1m

e nm os segmentos

DE e EF sobre s tambeacutem satildeo incomensuraacuteveis e sua relaccedilatildeo estaacute entre aqueles dois raci-

onais Assim nesse iacutenterim denomina-se nminus1m

e nm respectivamente de aproximaccedilotildees por

falta e por excesso das relaccedilotildees BCAB

e EFDE

Note que a diferenccedila entre tais aproximaccedilotildees eacute1me pode ser feita tatildeo pequena quanto se queira Em outras palavras BC

ABe EFDE

ser espremidas entre dois nuacutemeros racionais tatildeo proacuteximos quanto se queira ateacute chegar ao

aacutepice intuitivo de que tais razotildees satildeo iguais Para completar a demonstraccedilatildeo eacute necessaacuterio

mostrar que tanto o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por falta natildeo tem maacuteximo como

o conjunto das aproximaccedilotildees racionais por excesso natildeo tem miacutenimo Essa demonstraccedilatildeo

pode ser encontrada com maior riqueza de detalhes em GARBI (2010 p115) [29]

713 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas

Em geral o estudo de aacutereas eacute posterior ao estudo de congruecircncia e semelhanccedila

de triacircngulos Embora seja comum nos livros didaacuteticos apresentar o estudo de aacutereas

assim como suas propriedades no nal do curso de Geometria em WAGNER (1992) [31]

haacute antecipaccedilatildeo da inserccedilatildeo das noccedilotildees de aacutereas

Uma das vantagens de realizar tal inversatildeo na apresentaccedilatildeo dos conteuacutedos

consiste no fato de evitar a anaacutelise da comensurabilidade dos segmentos em questatildeo

A seguir seraacute exposta a demonstraccedilatildeo via aacutereas

Sejam Bprime e C prime os pontos dos lados AB e ABprime respectivamente do triacircngulo

ABC conforme ilustra a gura a seguir

Figura 75 Triacircngulo ABC em que BC e BprimeC prime satildeo lados paralelos

Fonte RPM [31] n 21 p7

Analisando a gura anterior segue que os segmentos BC prime e CBprime satildeo paralelos

ou seja BprimeC primeBC e partir daiacute eacute possiacutevel concluir que os triacircngulos BprimeC primeB e BprimeC primeC

tecircm mesma aacuterea dado que possuem mesma base (BprimeC prime) e alturas relativas a essa base

tambeacutem iguais Acrescentando a esses triacircngulos o triacircngulo ABprimeC prime concluiacutemos que os

triacircngulos ABC prime e ACBprime tambeacutem possuem a mesma aacuterea Portanto segue que

ABprime

AB=S(ABprimeC prime

S(ABC prime)=S(AC primeBprime

S(ACBprime)=AC prime

714 Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo

Os livros didaacuteticos da educaccedilatildeo baacutesica natildeo apresentam o caacutelculo da medida

da aacuterea (S) da regiatildeo retangular de maneira construtiva dinacircmica e com explicaccedilotildees

convincentes de que a superfiacutecie retangular eacute dada pelo produto entre a medida da base

(b) e a medida da altura (h) Os autores optam pela abordagem via repasse da foacutermula

sem o devido cuidado de demonstrar sua validade para todos os nuacutemeros reais isto eacute

S = b middot h

Para demonstrar a validade da referida foacutermula eacute necessaacuterio utilizar um proce-

dimento anaacutelogo ao utilizado na prova completa do Teorema de Tales exibido na atividade

anterior isto eacute primeiro eacute mostrado a validade para nuacutemeros racionais e depois eacute esten-

dida para nuacutemeros irracionais Eacute vaacutelido ressaltar que o foco dessa atividade eacute direcionado

para destacar a necessidade de implementar noccedilotildees intuitivas de limite para concluir a

foacutermula de caacutelculo da aacuterea do retacircngulo

Considere um retacircngulo de lados m e n nuacutemeros naturais particionado em

m middot n quadrados de lado 1 em que m = 6 e n = 5 Note que o retacircngulo eacute composto por

m middot n = 6 middot 5 = 30 quadrados

Em seguida considere um retacircngulo de lados m1

n1e m2

n2 com (m1m2 n1 n2 isin

N) A partir de n1n2 coacutepias desse novo retacircngulo monta-se um retacircngulo maior de lados

m1 e m2 Adicionando aacutereas iguais concluiacute-se que a aacuterea do retacircngulo dado originalmente

eacute igual a m1middotm2

n1middotn2= m1

n1middot m2

Finalmente toma-se um retacircngulo de lados a e b reais positivos e para k isin N

nuacutemeros racionais xk yk uk vk tais que xk lt a lt yk uk lt b lt vk e yk minus xk uk minus vk lt 1k

Sendo S a aacuterea do retacircngulo de lados a e b um argumento anaacutelogo ao feito para quadrados

garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk ykvk) e daiacute para todo k isin N

tem-se

|Aminus ab| lt vkyk minus ukxk

rArr vkyk minus ukxk = (vk minus uk)yk + (yk minus xk)uk lt1

k(yk + uk)

rArr 1

k(yk + uk) =

k((yk minus xk) + 2xk + (vk minus uk) + 2uk) lt

k+ 2a+ 2b)

rArr |Aminus ab| lt 1

k+ 2a+ 2b)

A gura a seguir ilustra o retacircngulo mn em que m = 6 e n = 5

Figura 76 Retacircngulo 6 x 5

Fonte GeoGebra

Note que quanto maior o valor de n as aproximaccedilotildees por falta (xkuk) e por

excesso (vkyk) indicam intuitivamente que a aacuterea do retacircngulo de lados a e b tenderaacute para

S = ab isto eacute

xkuk lt ab lt vkyk

rArr k

nmiddot mnlt

(k + 1)

nmiddot (m+ 1)

rArr km(1

n)2 lt ab lt (km+ k +m+ 1)(

rArr 0 lt abminus km(1

n)2 lt (k +m+ 1)(

Quanto maior o valor de n (n tendendo ao innito) melhor seraacute a aproximaccedilatildeo

da aacuterea (correspondente agrave soma de todos os retacircngulos de medidas kne m

n) da pretendida

do retacircngulo dada por S = ab

A gura a seguir representa um retacircngulo 100 e 80 em que a base e a altura

respectivamente foram subdivididas em 100(na) e 80(nb) partes com a mesma unidade

de comprimento

Fonte GeoGebra

72 NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ES-

TUDO DE FUNCcedilOtildeES

Inicialmente sugere-se a apresentaccedilatildeo de algumas situaccedilotildees problema que

abordam de forma embutida as noccedilotildees intuitivas de limite de forma praacutetica Inclusive

o presente trabalho possui a preocupaccedilatildeo em mostrar aos alunos a simbologia moderna

utilizada em detrimento das expressotildees e locuccedilotildees de tendecircncia Observe

bull a) Se o cacircmbio do doacutelar americano tende a estabilizar em torno de R$ 233 entatildeo o

valor pago por 100 doacutelares estabiliza em torno de R$ 23300 Logo podemos falar

que o limite (valor pago por 100 doacutelares) eacute igual a R$ 23300 quando o valor pago por

1 doacutelar tende a R$ 233 Pode-se representar tal situaccedilatildeo por limxrarr100

2 33x = 233

bull b) Imagine uma placa metaacutelica quadrada que se expande uniformemente por estar

sendo aquecida Se x representa o comprimento do lado a aacuterea da placa eacute dada

por A(x) = x2 Evidentemente quando x se aproxima de 5 a aacuterea da placa A se

aproxima de 25 Essa situaccedilatildeo pode ser expressa simbolicamente por limxrarr5

x2 = 25

bull c) Suponha agora que vocecirc esteja dirigindo um automoacutevel Se o acelerador for pres-

sionado para baixo em torno de 4 cm entatildeo a velocidade se manteraacute proacutexima aos 120

Kmh Logo podemos dizer que o limite (velocidade instantacircnea do automoacutevel) eacute

igual a 120 Kmh quando o acelerador tender a 4 cm para baixo Matematicamente

escrevemos tal situaccedilatildeo por limxrarr4

v(x) = 120 onde v(x) eacute a velocidade instantacircnea do

automoacutevel e x eacute a medida em centiacutemetros do deslocamento do pedal do acelerador

bull d) Outra aplicaccedilatildeo interessante do limite de uma funccedilatildeo eacute o caacutelculo da velocidade

instantacircnea de um corpo em queda livre sob a accedilatildeo da gravidade dentre outras

inuacutemeras aplicaccedilotildees interdisciplinares disponiacuteveis

Apoacutes apresentar um panorama de aplicaccedilotildees simples faz-se necessaacuterio propor

o repasse das noccedilotildees intuitivas de limite utilizando o estudo de funccedilotildees De acordo com a

estrateacutegia disseminada pelos livros didaacuteticos uma das melhores formas de expor as ideias

de limite via funccedilotildees consiste em observar o comportamento de uma funccedilatildeo dada nas

proximidades de um ponto em sua vizinhanccedila

Vejamos um exemplo praacutetico Exemplo Observe o estudo analiacutetico do compor-

tamento de uma funccedilatildeo f na vizinhanccedila de um ponto Considere a funccedilatildeo f R2 minusrarr R

denida por

f(x) =x2 minus 4

xminus 2=

(x+ 2)(xminus 2)

xminus 2= x+ 2

Estudando o comportamento da referida funccedilatildeo nas proximidades do ponto

x = 2 dado que o mesmo natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada verica-se que

quando aproximamos os valores de x da abscissa x = 2 haacute uma aproximaccedilatildeo abrupta

para a imagem y = f(x) = 4 mesmo que se tome valores agrave esquerda (x lt 2) ou a direita

(x gt 2) da abscissa x = 2 Tal constataccedilatildeo sob o ponto de vista numeacuterico pode ser

interpretada a seguir via dados tabelados

Tabela 71 Aproximaccedilatildeo do valor numeacuterico da funccedilatildeo f(x) = x+ 2 para x = 2

Aproximaccedilatildeo pela esquerda (x lt 2) Aproximaccedilatildeo pela direita (x gt 2)

x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2

f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4

Nesse momento eacute possiacutevel discutir com os alunos a noccedilatildeo intuitiva de limite

Note que tomando valores na vizinhanccedila de x = 2 o valor da funccedilatildeo permanece nas

proximidades de y = f(x) = 4 Inserindo a linguagem moderna precisa e concisa pode-se

dizer que ao fazer com que os valores de x tendam para a abscissa x = 2 (xrarr 2) os valores

das imagens tenderatildeo para a imagem y = f(x) = 4 (y rarr 4) a qual seraacute denominada de

limite e representada por L = limxrarr2

f(x) = 4 Note que esse limite representa o valor da

funccedilatildeo para x = 2 poreacutem esse valor de x natildeo pertence ao domiacutenio da funccedilatildeo dada Tal

episoacutedio serve de base para explicar que o conceito de limite independe de a funccedilatildeo estar

denida naquele ponto especiacuteco e mais serve para representar que o limite de uma dada

funccedilatildeo pode natildeo ser o valor da imagem do ponto em que estamos investigando em sua

vizinhanccedila

Embora tal explicaccedilatildeo seja aceitaacutevel eacute bom ser cauteloso ao explicar a situaccedilatildeo

Caso ainda haja duacutevida recomenda-se a construccedilatildeo do graacuteco da referida funccedilatildeo via Geo-

Gebra Nesse software ao inserir no campo entrada as coordenadas do ponto F = (2 f(2))

o programa indicaraacute na janela de Aacutelgebra a informaccedilatildeo de que tal ponto eacute indenido e

quando inserirmos G = (1999 f(1999)) o GeoGebra indicaraacute um ponto praticamente so-

bre o ponto (2 4) o qual eacute o ponto indenido cuja imagem representaraacute o limite da funccedilatildeo

Oportunidade riquiacutessima para mencionar a relaccedilatildeo importacircnciadependecircncialimitaccedilatildeo de

um software no estudo de Matemaacutetica

Para melhor compreensatildeo observe a imagem capturada da tela do GeoGebra

Eacute interessante mencionar que esse fenocircmeno pode ser generalizado de maneira informal

para qualquer funccedilatildeo f(x) denida em um intervalo aberto em torno de x = a exceto

talvez em x = a Se f(x) ca arbitrariamente proacuteximo de L para todos os valores

de x sucientemente proacuteximos de a dizemos que f tem limite L quando x tende para

a e escrevemos limxrarra

f(x) = L Nesse iacutenterim eacute vaacutelido ressaltar que o conceito formal

utilizando eacutepsilon e delta seraacute visto em um curso especiacuteco de Caacutelculo I E mais haacute

disponiacutevel diversos sites na internet com variados applets (programas desenvolvido via

GeoGebra) com atividades que explicam toacutepicos do estudo de Caacutelculo por exemplo

em BIZELLI (2014) [33] responsaacutevel pelo site do Instituto de Quiacutemica da Universidade

Estadual de Satildeo Paulo (UNESP) em que disponibiliza applets que orientam diversos

assuntos dentre os quais destacamos o estudo da ideia de limite de uma funccedilatildeo que

corresponde a uma contribuiccedilatildeo construtiva para o conhecimento de forma luacutedica concreta

e com possibilidades de inuacutemeras iteraccedilotildees

Figura 78 Representaccedilatildeo graacuteca da funccedilatildeo f(x) = x + 2 para aproximaccedilotildees agrave direita

Fonte Imagem capturada de uma janela do GeoGebra

721 Estudo do comportamento graacuteco de algumas funccedilotildees

Ao estudar a construccedilatildeo dos graacutecos das principais funccedilotildees estudadas durante

o ensino meacutedio diversos questionamentos satildeo levantados por alunos A principal pergunta

dos alunos consiste em como obter garantias sucientes e esclarecedoras sobre o compor-

tamento das curvas (Quando crescem ou decrescem Quando os eixos ou determinas retas

satildeo consideradas assiacutentotas das curvas em questatildeo Selecionando um intervalo qualquer

presente no 1o quadrante por exemplo o que signica e como se calcula a aacuterea sob o

graacuteco dessa funccedilatildeo) Alguns desses e outros questionamentos satildeo frequentes em sala de

aula e serviram de base para a discussatildeo que seraacute feita a partir desse momento

Ao representar o graacuteco de uma funccedilatildeo do 1o grau do 2o grau Exponencial

ou Logariacutetmica geralmente representa-se apenas uma parte da funccedilatildeo a partir de valores

discretos para as abscissas Em seguida traccedilamos o graacuteco de maneira natural de acordo

com a amostragem construiacuteda por exemplo via tabela que relaciona o par (x f(x))

Satildeo raros os professores que abrem a discussatildeo em torno de valores contiacutenuos para a

variaacutevel x Uma estrateacutegia boa para garantir aos alunos que o crescimentoconcavidade

da referida natildeo se altera para algum valor de x e que em alguns casos o crescimento tende

para o innito seria utilizar as ferramentas do Caacutelculo mas tais ferramentas natildeo estatildeo

disponiacuteveis no Ensino Meacutedio Daiacute a necessidade de fornecer um suporte especiacuteco de

noccedilotildees elementares do Caacutelculo para justicardemonstrar algumas propriedades que satildeo

simplesmente comentadas sem a prova de que satildeo vaacutelidas independentemente do valor do

domiacutenio ser discreto ou contiacutenuo isto eacute a validade eacute para todo o domiacutenio real de deniccedilatildeo

da funccedilatildeo um preluacutedio ao conceito de continuidade de funccedilatildeo

As questotildees referentes agrave tendecircncia de crescimento para o innito ou agrave apro-

ximaccedilatildeo a uma reta assiacutentota satildeo explicadas via noccedilotildees de limites Negligenciar tal

discussatildeo como eacute praxe na educaccedilatildeo baacutesica contribui vertiginosamente para a desmoti-

vaccedilatildeo dos alunos e como consequecircncia reduz o rendimento das escolas de educaccedilatildeo baacutesica

e superior

Por exemplo suponha hipoteticamente que um dado aluno do Ensino Meacutedio

faccedila dois questionamentos acerca do graacuteco da funccedilatildeo logariacutetmica Por que a funccedilatildeo

logariacutetmica eacute crescentee O que garante que quando os valores de x tendem para o

innito positivo os valores das imagens (f(x)) tendem tambeacutem para o innito positivo

Eacute notoacuterio que inuacutemeros professores do Ensino Meacutedio teriam diculdade em explicar com

transparecircncia e argumentos vaacutelidos tais perguntas Com o intuito de ajudar colegas

que apresentem inseguranccedila diculdade e alguma outra adversidade na arte de lecionar

esse conteuacutedo particular proposto observe a maneira escolhida para justicaacute-las Note

que para explicaacute-las faz-se necessaacuterio formalizaacute-las segundo proposiccedilotildees (teoremas) e em

seguida demonstraacute-las Aleacutem disso verique que a segunda proposiccedilatildeo torna-se suciente

a partir da prova de monotonicidade da primeira

Proposiccedilatildeo 721 A funccedilatildeo logariacutetmica de base 10 (logaritmos decimais) eacute crescente

isto eacute se 0 lt x lt y entatildeo log x lt log y

Demonstraccedilatildeo Sejam x e y dois nuacutemeros positivos com x lt y ou seja existe um nuacutemero

m gt 1 tal que y = mx Daiacute temos log y = log (mx) = log m + log y Como m gt 1

segue que log m gt 0 Conclusatildeo log y gt log x como queriacuteamos demonstrar

Proposiccedilatildeo 722 Quando x tende para +infin log x tende para +infin Isto eacute quando

tomamos valores positivos cada vez maiores para x o logaritmo decimal cresce e pode

torna-se maior do que qualquer nuacutemero positivo prexado

Demonstraccedilatildeo Dado qualquer nuacutemero real J gt 0 pode-se obter K gt 0 tal que para

todo x gt K se tem log x gt J Assim dado J gt 0 escolhemos primeiro um nuacutemero inteiro

positivo M tal que M gt Jlog 2

Entatildeo log (2M) = M log 2 gt J Tome agora K = 2M

Note que qualquer que seja x gt K como a funccedilatildeo logaritmo de base 10 eacute crescente

tem-se que log x gt log K gt J Isso prova que todos os nuacutemeros reais x gt K possuem

logaritmos decimais maiores do que J Utilizando uma linguagem moderna e avanccedilada

concluiacutemos que limxrarr+infin

log x = +infin

Eacute vaacutelido ressaltar que a maioria dos livros analisados natildeo demonstra tais pro-

posiccedilotildees apenas faz citaccedilotildees como propriedades vaacutelidas Somente o livro do IEZZI (2010)

[15] e o do LIMA (2006) [17] fazem menccedilatildeo de maneira deciente injusticada e dife-

rente da apresentada Note que a escolha da funccedilatildeo logariacutetmica foi com a nalidade de

escapar da comodidade de trabalhar com funccedilotildees simples (1o e 2o grau) e para mostrar

um questionamento que pode ser uacutetil em sala de aula Foi feita apenas uma apresentaccedilatildeo

simples de demonstraccedilatildeo de uma propriedade muito utilizada no estudo de Logaritmos

mas eacute claro que haacute outras pertinentes e que exigem um olhar diferenciado do professor

regente Tambeacutem eacute bom salientar a necessidade de empregar noccedilotildees intuitivas de limite

para completar e raticar o raciociacutenio

Agora suponha que um aluno faccedila um questionamento interdisciplinar ou seja

vamos admitir que um dado aluno tenha recebido a informaccedilatildeo numa aula de Fiacutesica de que

a aacuterea sob o graacuteco de uma funccedilatildeo representa o espaccedilo percorrido por um moacutevel ou o tra-

balho de uma forccedila por exemplo Diante dessa situaccedilatildeo o aluno lhe peccedila esclarecimentos

sobre tal informaccedilatildeo Como explicar essa situaccedilatildeo utilizando somente matemaacutetica ele-

mentar faltaria argumentos faz-se necessaacuterio inserir noccedilotildees elementares do Caacutelculo para

justicar e esclarecer os fatos para o dado aluno

Por exemplo considere uma paraacutebola denida por y = x2 em que y represente

a velocidade e x o tempo percorrido por um moacutevel num dado instante Caso o interesse

esteja voltado para o caacutelculo do espaccedilo percorrido pelo moacutevel no primeiro intervalo (uni-

dade) de tempo eacute preciso calcular a aacuterea da faixa de paraacutebola (A(x2)ba) compreendida

entre as retas verticais x = 0 e x = 1 Como as ferramentas de Caacutelculo natildeo estatildeo disponiacute-

veis e tambeacutem natildeo possuiacutemos uma foacutermula especiacuteca para efetuar o caacutelculo a resoluccedilatildeo

do referido problema deve empregar um raciociacutenio que evocaraacute noccedilotildees intuitivas do caacutel-

culo Para realizar e estimar o caacutelculo da aacuterea em questatildeo eacute necessaacuterio decompor a regiatildeo

[0 1] sob a curva em (n+1) intervalos justapostos de mesmo comprimento e calcular uma

aproximaccedilatildeo inferior para a faixa A(x2)01 atraveacutes da aacuterea do poliacutegono retangular Pn+1

inscrito na faixa da paraacutebola y = x2 Vide gura a seguir que exemplica a aproximaccedilatildeo

inferior da aacuterea de uma faixa de paraacutebola por intermeacutedio da aacuterea do poliacutegono retangular

P6com 6 intervalos justapostos de mesmo comprimento (n = 5)

Figura 79 Aproximaccedilatildeo para a aacuterea da faixa de paraacutebola com n = 5

Fonte GeoGebra

A aacuterea (S) do poliacutegono retangular Pn+1 inscrito na faixa da paraacutebola y = x2

seraacute dada pela soma das aacutereas de todos os retacircngulos contidos na regiatildeo sob a paraacutebola

isto eacute

S = A1 + A2 + A3 + middot middot middot+ An

rArr S = 1(n+1)

(n+1)f(

2(n+1)

(n+1)f(

3(n+1)

)+ middot middot middot+ 1

(n+1)f(

n(n+1)

Substituindo os valores da funccedilatildeo em cada particcedilatildeo considerada e utilizando a

fatoraccedilatildeo por evidecircncia tem-se

(n+ 1)3(1 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)

rArr S =1

(n+ 1)3

1(1 + 1

)3 (1 + 3

Segue daiacute a conclusatildeo de que tomando valores cada vez maiores para n isto

eacute aumentando o nuacutemero de subintervalos aumentamos o nuacutemero de retacircngulos e con-

sequentemente a diferenccedila entre a aacuterea (S) do poliacutegono retangular e a aacuterea da faixa de

paraacutebola aproxima-se de zero Eacute oacutebvio que quando n tende para o innito (n rarr infin) a

aacuterea S tende para a aacuterea da faixa de paraacutebola ou seja S sim= A(x2)01 =13 Em linguagem

moderna e avanccedilada temos

limsrarrinfin

S = limnrarrinfin

1(1 + 1

)3 (1 + 3

A construccedilatildeo da atividade acima deve ser realizada de maneira gradual ou seja

solicitando aos alunos que calculem a aacuterea do poliacutegono retangular a partir de subcasos

supondo valores para n por exemplo n = 5 e depois para n = 10 Essa atividade pode ser

realizada com auxiacutelio de calculadora cientiacuteca ou entatildeo via planilha eletrocircnica (do Excel

ou CALC ou ateacute do GeoGebra) Apoacutes resolver os problemas para os casos particulares

(encontrar a aacuterea por falta) sugira aos alunos para que tentem generalizar o meacutetodo ateacute

conseguir encontrar a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] Essa aacuterea foi encontrada

experimentalmente por Arquimedes atraveacutes de O meacutetodo de equiliacutebrio e demonstrado via

meacutetodo da exaustatildeo com argumentos de dupla reductio ad absurdum Com o meacutetodo de

equiliacutebrio Arquimedes vericava e testava a validade da propriedade Jaacute com o meacutetodo da

exaustatildeo que historicamente eacute creditado a Eudoxos poreacutem segundo EVES (2004) [11]

jaacute havia antecipaccedilatildeo de tais ideias nos trabalhos do sosta Antiacutefon (c 430 aC) o mestre

de Siracusa demonstrava a validade da proposiccedilatildeo formando um verdadeiro preluacutedio agraves

escuras das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular a ideia intuitiva de limite

Veja a construccedilatildeo do graacuteco via GeoGebra da aacuterea do poliacutegono retangular

para cinco cinquenta e cem intervalos de mesmo comprimento

Eacute notoacuterio que fazendo n tender para o innito a faixa escura cresceraacute e tenderaacute

para a aacuterea do triacircngulo paraboacutelico de base [0 1] cuja aacuterea corresponde a um terccedilo da

aacuterea do quadrado de mesma base E mais pode-se concluir que a aacuterea de metade do

segmento paraboacutelico (regiatildeo limitada pela reta secante pontilhada e pela paraacutebola) contido

Figura 710 Poliacutegono Retangular para n = 5 e n = 50

Fonte Geogebra

Figura 711 Poliacutegono Retangular para n = 100

Fonte Geogebra

no quadrado de lado unitaacuterio mede 23 ou melhor eacute possiacutevel concluir que a aacuterea do segmento

paraboacutelico da paraacutebola em questatildeo mede 43 Esse procedimento consiste na quadratura da

paraacutebola cuja autoria de forma rudimentar isto eacute com as ferramentas disponiacuteveis para a

eacutepoca eacute creditada a Arquimedes via Meacutetodo de Equiliacutebrio e Meacutetodo da Exaustatildeo

Tambeacutem eacute necessaacuterio dizer que o problema de calcular aacute aacuterea referida acima

poderia ser solucionado decompondo o intervalo [0 1] em subintervalos contendo trapeacutezios

circunscritos de forma que a aacuterea do poliacutegono trapezoidal circunscrito agrave faixa de paraacute-

bola fosse uma aproximaccedilatildeo por excesso Possivelmente os alunos vatildeo reclamar muito

das contas que apareceratildeo pois os caacutelculos natildeo satildeo tatildeo simples assim como a teacutecnica

propriamente dita Mas segundo MACHADO (2008) [19] esse aspecto eacute favoraacutevel pois

prepararaacute o aluno para que venha a apreciar as facilidades que seratildeo depois apresentadas

em um curso de Caacutelculo Inclusive eacute possiacutevel mencionar a existecircncia de um teorema im-

portantiacutessimo que cita a existecircncia um ponto entre as aacutereas por aproximaccedilotildees por falta

e por excesso que as tornam iguais Esse teorema eacute conhecido como Teorema do Valor

Meacutedio

Outra atividade excelente de aplicaccedilatildeo das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias

correlatas do Caacutelculo eacute o caacutelculo da chamada Aacuterea de uma faixa de Hipeacuterbole Antes de

deni-la eacute preciso preacute-estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas em que H seraacute

considerado algebricamente como o ramo positivo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x isto eacute

H = (x y)x gt 0 y = 1x ou geometricamente ramo da Hipeacuterbole Equilaacutetera (xy = 1)

contido no primeiro quadrante A partir dessas consideraccedilotildees eacute possiacutevel denir a faixa

de hipeacuterbole e de forma especiacuteca como consequecircncia imediata propor uma ligaccedilatildeo com

o estudo de logaritmos naturais Esse trabalho pode ser conferido na iacutentegra em LIMA

(1980) [16] em que o autor com maestria faz uma abordagem geomeacutetrica do estudo dos

logaritmos e suas consequecircncias (construccedilatildeo da tabela de logaritmos caacutelculo de raiacutezes

inexatas de iacutendice qualquer caacutelculo de potecircncias de base e expoente qualquer construccedilatildeo

do nuacutemero de Euler e sua ligaccedilatildeo com o logaritmo natural e nalmente propor o estudo

da Funccedilatildeo Exponencial)

Nesse iacutenterim eacute possiacutevel propor uma atividade de aplicaccedilatildeo interdisciplinar

sobre a relaccedilatildeo existente entre o crescimento exponencial e o decaimento (desintegraccedilatildeo)

radioativo Esse problema eacute comum nos livros de Ensino Meacutedio Observe a situaccedilatildeo pro-

blema descrita a seguir em que eacute apresentada uma maneira construtiva de explorarutilizar

as noccedilotildees elementares de Caacutelculo

Situaccedilatildeo Problema A Desintegraccedilatildeo Radioativa consiste na emissatildeo espontacirc-

nea de raios (partiacuteculas e ondas) de nuacutecleo instaacutevel com o objetivo de adquirir estabilidade

em que um aacutetomo radioativo (por exemplo o Raacutedio e o Uracircnio) eacute transformado num ele-

mento quiacutemico diferente Essa transformaccedilatildeo faz com que a quantidade de substacircncia

original diminua a cada instante de forma que a desintegraccedilatildeo seja proporcional agrave massa

da substacircncia original presente no corpo naquele momento A constante (α) de proporci-

onalidade eacute especiacuteca para cada substacircncia e eacute determinada experimentalmente

Suponha hipoteticamente que um corpo de massa M0 seja formado por uma

substacircncia radioativa cuja taxa de desintegraccedilatildeo seja α Caso o processo de desintegraccedilatildeo

seja instantaneamente a cada segundo tem-se que para t = 0 a massa correspondente eacute

M0 Decorrido o tempo t = 1 segundo ocorreraacute uma perda de αM0 unidade de massa

restando somente a massa M1 = M0 minus αM0 = (1 minus α)M0 Para t = 2 segundos implica

que a massa restante seraacute dada porM2 = (1minusα)M1 = (1minusα)2M0 Esse processo pode ser

generalizado isto eacute apoacutes n segundos temos Mn = M0(1minus α)n Poreacutem a desintegraccedilatildeo

se processa de forma contiacutenua e natildeo apenas discreta Daiacute eacute necessaacuterio pensar que a

desintegraccedilatildeo seja feita em fraccedilotildees de intervalos de 1nde segundo Assim apoacutes a primeira

fraccedilatildeo de 1nde segundo a massa do corpo se reduziria para M0 minus α

(1minus α

Realizando uma subdivisatildeo do intervalo [0 1] em um nuacutemero n cada vez maior de particcedilotildees

iguais tem-se que a massa resultante se reduziria para a aproximaccedilatildeo(1minus α

Logo quando n tender para o innito a expressatildeo(1minus α

)nM0 tenderaacute para M0e

minusα

Em linguagem moderna e avanccedilada tem-se limnrarrinfin

(1minus α

)nM0 = M0 lim

nrarrinfin

(1minus α

M0eminusα Caso se queira calcular a massa apoacutes t segundos eacute preciso dividir o intervalo [0 t]

em n partes iguais em que cada intervalo parcial receberaacute uma perda de massa de αtnM0

Repetindo esse processo encontra-se a expressatildeo que fornece a massa do corpo apoacutes t

segundo decorridos M(t) = M0eminusα A tiacutetulo de curiosidade vale a pena ressaltar que

a constante α eacute determinada a partir de um nuacutemero baacutesico denominado de meia-vida da

substacircncia (tempo necessaacuterio para que se desintegre a metade da massa de um corpo)

73 EXPLORANDOAS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS

IMPLICACcedilOtildeES

Comumente ao estudar conjuntos numeacutericos em particular ao estudar o con-

junto dos nuacutemeros racionais nos deparamos com nuacutemeros decimais innitos poreacutem perioacute-

dicos os quais satildeo denominados de diacutezimas perioacutedicas Dentre as diacutezimas perioacutedicas mais

ceacutelebres com absoluta certeza estaacute o nuacutemero decimal perioacutedico 0 999 Esse nuacutemero gera

bastante desconforto entre os alunos do Ensino Meacutedio principalmente quando o professor

de Matemaacutetica arma que 1 = 0 999 Anal de contas o que eacute uma diacutezima perioacutedica

e o que representa Esses questionamentos satildeo frequentes e recorrentes durante as aulas

de Matemaacutetica que requerem a utilizaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedicas

Conforme jaacute foi denido denominamos de diacutezima perioacutedica todo nuacutemero ra-

cional com representaccedilatildeo decimal innita e perioacutedica Haacute diacutezimas perioacutedicas simples e

compostas Nesse trabalho apenas far-se-aacute uma anaacutelise da formaccedilatildeo das diacutezimas perioacutedi-

cas simples (por exemplo 0 111 0 353535 0 456456456etc)

As diacutezimas perioacutedicas em geral representam uma soma innita de termos de

uma progressatildeo geomeacutetrica com razatildeo entre 0 e 1 Assim por exemplo a diacutezima perioacutedica

0 111 eacute equivalente a soma S = 0 1 + 0 01 + 0 001 + cujo primeiro termo coincide a

razatildeo numericamente igual a 0 1

Muitos problemas de matemaacutetica elementar exigem que o aluno de Ensino

Meacutedio determine a fraccedilatildeo geratriz correspondente a uma dada diacutezima perioacutedica Para

realizar tal feito os professores utilizam diversos recursos e artimanhas dentre as quais

eacute possiacutevel citar o meacutetodo em que haacute o repasse de uma foacutermula com bastante decoreba

e pouca compreensatildeo o meacutetodo que requer a utilizaccedilatildeo de artifiacutecio via equaccedilatildeo do 1o

grau e o meacutetodo de considerar a diacutezima como uma soma de termos de uma progressatildeo

geomeacutetrica innita de razatildeo (q) variando entre 0 e 1 A exposiccedilatildeo seguinte apenas expotildee

o meacutetodo de obtenccedilatildeo da diacutezima via comparaccedilatildeo como uma soma de termos de progressatildeo

geomeacutetrica innita

Para dar continuidade a exibiccedilatildeo eacute necessaacuterio estudar como eacute feita a soma dos

n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica nita Assim dada uma progressatildeo ge-

omeacutetrica (a1 a2 a3 middot middot middot an) dene-se a soma (S) dos termos dessa progressatildeo geomeacutetrica

da seguinte maneira

S = a1 + a2 + a3 + middot middot middot+ an = a1 + a1q + a1q2 + a1q

3 + middot middot middot+ a1qnminus1 (1)

Multiplicando ambos os membros da equaccedilatildeo (1) pela razatildeo q tem-se

qS = qa1 + qa2 + qa3 + middot middot middot+ qan = qa1 + a1q2 + a1q

3 + a1q4 + middot middot middot+ a1q

Subtraindo (1) de (2) membro a membro tem-se

qS minus S = a1qn minus a1 = a1(q

n minus 1)rArr S(q minus 1) = a1(qn minus 1)rArr S =

a1(qn minus 1)

q minus 1

Assim a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressatildeo geomeacutetrica de

razatildeo (q) eacute dada em funccedilatildeo do primeiro termo da razatildeo e do nuacutemero de termos

Quando se dispotildee de uma diacutezima perioacutedica ou melhor de uma soma de termos

de progressatildeo geometria innita cuja razatildeo pertence ao intervalo (0 1) percebemos que

o termo qn se aproxima de zero a medida que n tende ao innito Em outra linguagem

o limite da soma (S) quando n tende ao innito eacute dado por

limnrarrinfin

S = limnrarrinfin

n minus 1)

q minus 1

]=a1 middot (minus1)q minus 1

1minus q

Como exemplo observe o caacutelculo da fraccedilatildeo geratriz da diacutezima perioacutedica 0 999 middot middot middot

Note que 0 999 middot middot middot equivale a soma S = 0 9 + 0 09 + 0 009 + middot middot middot

Essa soma representa o somatoacuterio dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica

innita cuja razatildeo eacute dada por q = 0 1 Substituindo a1 = 0 9 e q = 0 1 tem-se

S = limnrarrinfin

[( 110)n minus 1

]0 1minus 1

0 9 middot (minus1)0 1minus 1

=minus0 9minus0 9

Isto eacute o limite do somatoacuterio dos termos da progressatildeo geomeacutetrica innita em

questatildeo eacute igual a um quando tomamos n tendendo para o innito

Haacute uma seacuterie de problemas que utilizam de tais recursos dentre os quais se

destacam a formaccedilatildeo de determinados mosaicos o processo de divisatildeo celular via meiose

o processo decaimento radioativo etc

O estudo do somatoacuterio de uma quantidade innita resultar numa quantidade

nita aparece historicamente no paradoxo de Zenon (por volta do seacuteculo V aC) que

surpreendentemente promove uma corrida em forma de aposta entre um famoso guerreiro

(Aquiles) da Greacutecia antiga e uma tartaruga Nessa corrida Aquiles conhecedor de sua

superioridade oferece uma vantagem para tartaruga poreacutem Aquiles nunca alcanccedila a

tartaruga pois por mais devagar que ela caminhe quando ele chegar agrave posiccedilatildeo inicial da

tartaruga a mesma teraacute avanccedilado um pouco E quando Aquiles cobrir esta distacircncia

a tartaruga teraacute avanccedilado um pouco mais e assim sucessivamente Embora os gregos

soubessem que do ponto de vista praacutetico Aquiles seria o vencedor natildeo sabiam explicar

tal fato do ponto de vista matemaacutetico Eacute vaacutelido ressaltar que tal ausecircncia de clareza por

parte dos matemaacuteticos gregos era justicada pela ausecircncia do conhecimento das noccedilotildees

intuitivas de limite Note que o limite da diferenccedila entre as distacircncias entre os dois

corredores tende para zero

Aleacutem de Zenon outro matemaacutetico grego percebeu e calculou com bastante

habilidade a soma dos termos de uma progressatildeo geomeacutetrica com innitos termos cuja

razatildeo estava compreendida entre 0 e 1 Nessa eacutepoca o mestre de Siracusa (Arquimedes)

estava estudando e analisando quadraturas Para isso ele utilizava dois meacutetodos antigos

de muito prestiacutegio O meacutetodo de Equiliacutebrio de autoria do proacuteprio Arquimedes e o meacutetodo

da Exaustatildeo credita a Eudoxos Numa de suas pesquisas em busca da quadratura de um

segmento paraboacutelico Arquimedes conseguiu demonstrar experimentalmente via meacutetodo

de Equiliacutebrio que a aacuterea do segmento de paraacutebola correspondia a 43da aacuterea do triacircngulo

inscrito no segmento paraboacutelico Essa demonstraccedilatildeo ismiuccedilada em CONTADOR (2012)

[6] Arquimedes utilizou o conhecimento dessa proposiccedilatildeo para realizar a quadratura da

paraacutebola Nesse trabalho foi encontrada pela primeira vez a soma de uma seacuterie innita

Acompanhe duas aplicaccedilotildees do estudo de somas de progressotildees geomeacutetricas

innitas cuja razatildeo (q) seja dada por |q| lt 1 e q natildeo nulo

Figura 712 Processo re-

cursivo de Quadrados

Figura 713 Processo

recursivo de Triacircngulos

Equilaacuteteros

Note que as guras acima determinam o comportamento das aacutereas e dos pe-

riacutemetros dos novos quadrados e dos novos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir dos

pontos meacutedios dos lados da gura anterior Para isso considere o quadrado inicial de

lado l e o triacircngulo equilaacutetero inicial de lado 2α

Note que as sequecircncias das aacutereas dos quadrados e dos triacircngulos equilaacuteteros

a partir do primeiro quadrado e do primeiro triacircngulo equilaacutetero satildeo dadas respectiva-

mente por(l2 l

8 middot middot middot

)e(a2radic3 a

2radic3

Por conseguinte a soma (SQ) das aacutereas dos innitos quadrados formados a

partir do quadrado primitivo de lado l representa uma soma de termos de uma progressatildeo

geomeacutetrica innita de razatildeo q = 12a qual seraacute dada por SQ = a1

1minusq =l2

1minus 12

= l2 Isto

eacute a soma (SQ) coincide com a aacuterea do quadrado primitivo de lado l Jaacute a soma (STE)

das aacutereas dos triacircngulos equilaacuteteros formados a partir do triacircngulo equilaacutetero de lado 2a

tambeacutem representa uma soma de termos de uma progressatildeo geomeacutetrica innita de razatildeo

q = 14 a qual seraacute dada por STE = a1

1minusq = a2radic3

1minus 14

= a2radic3

= 43a2radic3 Isto eacute a soma (STE)

equivale a 43da aacuterea do triacircngulo equilaacutetero primitivo de lado 2a

731 Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de

limite

A origem dessa discussatildeo iniciou-se na Greacutecia com a crise na Escola Pitagoacuterica

diante da descoberta de grandezas incomensuraacuteveis isto eacute apoacutes provarem que eacute impossiacutevel

existir um submuacuteltiplo comum (α) entre o lado (L) e a diagonal (D) de quadrado de lado

unitaacuterio tal que L = mα e D = nα

Nesse iacutenterim surgiu o questionamento da existecircncia de uma unidade comum

innitamente pequena (um submuacuteltiplo) de forma que ela pudesse medir o lado e a dia-

gonal do quadrado Caso tal existecircncia se conrmasse seria loacutegica a discussatildeo realizada

por volta do seacuteculo V aC pelo matemaacutetico grego Zenon que questionava o fato de que

uma soma innita pudesse ser nita ou ainda utilizando a linguagem moderna se seria

possiacutevel fazer com que o limite da diferenccedila entre as distacircncias percorridas por Aquiles

e a tartaruga tendesse a zero Segundo os anais da Histoacuteria da Matemaacutetica o paradoxo

de Zenon e suas consequecircncias assim como a descoberta das grandezas incomensuraacuteveis

satildeo relatos pioneiros e rudimentares da presenccedilaintervenccedilatildeo do conceito de limite num

problema matemaacutetico

Atualmente eacute possiacutevel concluir que se o segmento AB eacute incomensuraacutevel com

o segmento unitaacuterio α entatildeo a medida de AB eacute um nuacutemero irracional E como exemplo

ceacutelebre de nuacutemero irracional pode-se citar a medida da razatildeo aacuteurea (o famoso nuacutemero

de ouro 1+radic5

2) e a medida da diagonal de um quadrado de lado unitaacuterio cuja medida

corresponde ao nuacutemero irracionalradic2 Os exemplos escolhidos satildeo excelentes didaacuteticos e

histoacutericos Inclusive em GALARDA et al (1999) [13] haacute uma discussatildeo aberta sobre qual

nuacutemero irracional apareceu primeiro natildeo se sabe se foiradic2 ou

radic5 que primeiro revelou a

existecircncia de grandezas incomensuraacuteveis

Mesmo sabendo que natildeo eacute possiacutevel determinar com exatidatildeo o valor deradic2 eacute

possiacutevel relacionar aproximaccedilotildees por falta e por excesso de nuacutemeros racionais construindo

uma sequecircncia innita de nuacutemeros racionais tais que seus quadrados sejam todos menores

do que 2

Observe a tabela a seguir em que a primeira coluna representa uma sequecircncia

innita de nuacutemeros racionais a segunda coluna representa seus quadrados e a terceira

coluna representa a diferenccedila entre quadrado da diagonal e cada termo quadraacutetico na seacuterie

gerada Note que tomando aproximaccedilotildees com um nuacutemero reduzido de casas decimais

foi possiacutevel construir uma sequecircncia de quadrados em que com apenas seis iteraccedilotildees

tornou-se miacutenima a diferenccedila entre os valores quadraacuteticos da seacuterie formada e o nuacutemero 2

Assim pode-se tornar a diferenccedila tatildeo pequena quanto se queira aumentando o nuacutemero de

iteraccedilotildees Quando o nuacutemero de iteraccedilotildees tende ao innito de fato tem-se que a diferenccedila

tenderaacute a zero e consequentemente obteacutem-se o valorradic2

Tabela 72 Caacutelculo aproximado do valorradic2 com ateacute 5 casas decimais

Nuacutemero (xi) da Sequecircncia Quadrado de xi 2minus x2i1 1 1

14 196 004

141 19881 00119

1414 1999396 0000604

14142 1999962 0000038360000000237100000000000

141421 199999 0000010075900000128300000000000

Aleacutem de ser uma atividade rica de utilizaccedilatildeo da calculadora em sala de aula

eacute uma excelente oportunidade de expor de maneira compreensiva a inuecircncia de que a

noccedilatildeo de limite estaacute associada agrave ideia de incomensurabilidade

Eacute vaacutelido ressaltar que um procedimento anaacutelogo pode ser aplicado para caacutel-

culo do nuacutemero π por meio da divisatildeo do periacutemetro do poliacutegono regular inscrito pela

maior diagonal desse poliacutegono Quanto maior o nuacutemero de lados desse poliacutegono inscrito

mais proacuteximo do comprimento da circunferecircncia estaraacute seu periacutemetro e consequentemente

promoveraacute uma melhor aproximaccedilatildeo para o valor do nuacutemero π

732 Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua

Embora sugira um aspecto bastante abstrato o nuacutemero de Euler (e) estaacute

presente em diversos processos de crescimento ou decrescimento exponencial dentre os

quais possui destaque o problema de aplicaccedilatildeo de um capital a uma taxa anual de k

com juros compostos capitalizados de forma contiacutenua durante t anos

Suponha hipoteticamente que um determinado capital C0 seja aplicado a

juros de 100 ao ano

Caso sejam incorporados ao capital somente no nal do ano entatildeo ao nal de

um ano teriacuteamos o montante de R$ 200 para cada R$100 investido isto eacute o capital nal

acumulado apoacutes um ano eacute dado por

C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0

Agora a forma de incorporaccedilatildeo dos juros seraacute alterada poreacutem mantendo a

taxa anual de 100

Suponha que a referida taxa seja decomposta em duas taxas semestrais de

50 sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada semestre Daiacute segue que a

partir do capital inicial C0 haveraacute duas acumulaccedilotildees a serem consideradas A primeira

ocorreraacute ao nal do 1o semestre e a segunda ao nal do 2o semestre com a ressalva de

que o capital inicial a ser utilizado no caacutelculo do montante do 2o semestre coincide com o

montante acumulado ao nal do 1o semestre Em outras palavras ou melhor adotando

a linguagem moderna da matemaacutetica tem-se

1 Capital apoacutes o nal do 1o semestre

C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)

rArr C12 = C0(1 + 12)

C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)

rArr C1 = C0(1 + 12)2

3 Suponha que a referida taxa seja decomposta em quatro taxas trimestrais de 25

sendo os juros incorporados ao capital no nal de cada trimestre Capital apoacutes o

nal do 1o trimestre

C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)

rArr C14 = C0(1 + 14)

4 Capital apoacutes o nal do 2o trimestre

C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)

rArr C24 = C0(1 + 14)2

C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)

rArr C34 = C0(1 + 14)3

C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)

rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4

7 Caso a capitalizaccedilatildeo fosse mensal seria necessaacuterio subdividir ano e a taxa anual de

100 em 12 partes iguais daiacute o resultado seria

C1 = C0(1 + 112)12

8 Caso a incorporaccedilatildeo seja realizada de forma diaacuteria seria preciso subdividir o ano e

a taxa anual de 100 em 365 partes iguais daiacute segue que

C1 = C0(1 + 1365)365

Generalizando o fenocircmeno isto eacute subdividindo o ano e a taxa anual de 100

em n partes iguais e considerando-se que os juros satildeo incorporados ao capital no nal de

cada periacuteodo tem-se

C1 = C0(1 +1

Esquematizando uma tabela com o objetivo de analisar o comportamento da

expressatildeo (1 + 1n)n quando n cresce indenidamente tem-se

Note que a expressatildeo (1 + 1n)n aproxima-se indenidamente para um nuacutemero

decimal natildeo perioacutedico (nuacutemero irracional ou transcendental) denominado de nuacutemero de

Euler Tal nuacutemero eacute representado por e Uma aproximaccedilatildeo suciente com trecircs casas

decimais para tal nuacutemero eacute dada por e asymp 2 718

Tabela 73 Caacutelculo aproximado do valor do nuacutemero de Euler

Subdivisatildeo Fator de Acumulaccedilatildeo

n (1 + 1n)n

3 237037037

4 244140625

5 248832

10 259374246

50 2691588029

100 2704813829

1000 2716923932

10000 2718145927

100000 2718268237

1000000 2718280469

Assim conclui-se que um capital C0 aplicado a uma taxa de 100 ao ano

com capitalizaccedilatildeo contiacutenua (a cada instante) resultaraacute ao nal do 1o ano um valor C1 tal

que C1 = C0 middot e

Isto eacute quando n tende ao innito (incorporaccedilatildeo de juros de forma continuada

instantacircnea) tem-se que (1 + 1n)n tende para o nuacutemero irracional e

Eacute importante observar que caso a aplicaccedilatildeo seja a uma taxa anual de k ao

ano ao nal de um ano haveraacute um capital expresso por C1 = C0 middot ek Jaacute no nal de t

anos C1 = C0 middot ekt

Uma excelente demonstraccedilatildeo de modelagem matemaacutetica que faz uso do nuacutemero

de Euler de maneira construtiva e natildeo imperativa embora seja uma situaccedilatildeo hipoteacutetica

74 OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteL-

Conforme jaacute foi visto nas atividades propostas na seccedilatildeo 621 o caacutelculo da

aacuterea de uma regiatildeo com algum lado curviliacuteneo natildeo eacute tatildeo oacutebvio como o caacutelculo da aacuterea de

uma regiatildeo poligonal Quando se pretende analisar a regiatildeo abaixo da curva cujo graacuteco

natildeo eacute retiliacuteneo em sua totalidade com o intuito de obter a medida da aacuterea sob a curva

a resoluccedilatildeo desse problema eacute realizada novamente por aproximaccedilatildeo da aacuterea da faixa de

hiperboacutele a ser calculada por um poliacutegono retangular inferior como se consideraacutessemos

a funccedilatildeo constante em cada instante e somaacutessemos todos os aacutereas dos retacircngulos ideais

Essa estrateacutegia eacute bastante motivadora poreacutem para que a estimativa seja boa eacute necessaacuterio

realizar um nuacutemero de iteraccedilotildees relativamente grande Para calcular aacuterea sob o graacuteco de

uma funccedilatildeo curviliacutenea utilizando a construccedilatildeo de poliacutegonos retangulares acrescentaremos

ao raciociacutenio a aproximaccedilatildeo via retacircngulos superiores fazendo com que a soma das aacutereas

desses retacircngulos (poliacutegono retangular inscrito e circunscrito) seja estimada tanto por

excesso quanto por falta

Eacute possiacutevel generalizar os casos tomando uma funccedilatildeo natildeo negativa e contiacutenua

num dado intervalo e dividi-lo em n subintervalos de mesmo comprimento em que cada

particcedilatildeo conteraacute um retacircngulo de mesma base de acordo com o nuacutemero de particcedilotildees e

cuja altura consiste no valor da funccedilatildeo numa dada extremidade do retacircngulo considerado

poreacutem seraacute proposto um processo mais construtivo que trabalha de forma concreta com

um nuacutemero de casos palpaacutevel por meio da anaacutelise de graacutecos de funccedilotildees quadraacuteticas de

hipeacuterboles equilaacuteteras e de funccedilotildees exponenciais O procedimento geral citado fornece

uma excelente aproximaccedilatildeo e o mesmo eacute amplamente encontrado nos livros de caacutelculo

com a denominaccedilatildeo popularmente conhecida como Somas de Riemann Nele ao tender

o nuacutemero de iteraccedilotildees (subdivisotildees do intervalo) para o innito tem-se que as somas de

Riemann tendem para o valor da aacuterea (A) da regiatildeo sob a curva que eacute denominada de

integral denida ou seja limnrarrinfin

S(n) =nsumk=1

f(xk) 4 x em que f(xk) e 4x representam

altura e comprimento do retacircngulo k

Observe a gura construiacuteda via GeoGebra com vinte retacircngulos inferiores e

superiores sob a curva da funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Note que a soma das aacutereas dos

retacircngulos inferiores (Si) (destacados de azul) e a soma das aacutereas dos retacircngulos superiores

(Ss) (destacados de vermelho) para um nuacutemero de vinte intervalos iguais nos fornece uma

ideia de que a aacuterea pretendida estaacute compreendida entre 031 e 036 Isso serve como

instrumento empiacuterico para raticar uma armaccedilatildeo (quadratura da paraacutebola) demonstrada

na seccedilatildeo 621 em que foi constatado que a aacuterea da faixa de paraacutebola no intervalo [0 1]

mede 13

Figura 714 Poliacutegonos Retangulares (Inscrito e Circunscrito)

Fonte Geogebra

Na mesma linha da anaacutelise anterior poreacutem com maior riqueza de detalhes e

consequecircncias pode analisar o comportamento do ramo positivo de uma hipeacuterbole equi-

laacutetera e da parte pertencente ao primeiro quadrante do graacuteco da funccedilatildeo exponencial

Somente seraacute realizada a anaacutelise do signicado geomeacutetrico da aacuterea de uma faixa de hi-

peacuterbole equilaacutetera Via GeoGebra proponha a construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo y = 1x

e por meio do comando SomaDeRiemann solicite o caacutelculo de aproximaccedilotildees para a aacuterea

pretendida

Inicialmente proponha o caacutelculo da aacuterea do poliacutegono retangular inscrito e

circunscrito para n = 8 isto eacute pretende-se que o aluno determine uma aproximaccedilatildeo para

o valor da aacuterea da faixa da hipeacuterbole para uma subdivisatildeo de oito retacircngulos de mesmo

comprimento Veja o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo descrita

Figura 715 Poliacutegono Retangular Inscrito com n = 8

Fonte Geogebra

Espera-se que o aluno seja capaz de calcular a aacuterea da faixa de hipeacuterbole

denotada por H31 realizando o maior nuacutemero de iteraccedilotildees de subdivisotildees do intervalo

[1 3] Por exemplo ao dividi-la em oito particcedilotildees de mesmo comprimento encontra-se

os valores das abscissas 1 54 64 74 84 94 104 114 e 124 E calculando suas

respectivas imagens tem-se 1 45 46 47 48 49 410 411 e 412 Realizando o

caacutelculo da soma dos retacircngulos inferiores obteacutem-se

4middot 45+

4middot 46+

4middot 47+

4middot 48+

4middot 49+

4middot 410

4middot 411

4middot 412

rArr S asymp 1 019

O passo seguinte para o prosseguimento da atividade e para completar o racio-

ciacutenio depende de cada professor poreacutem eacute recomendaacutevel solicitar aos alunos que reproduza

a situaccedilatildeo descrita para outros valores de n por exemplo para n = 10 considerando o

intervalo de 1 ateacute 2 Seguindo esse procedimento espera-se que o aluno consiga calcular a

aacuterea com uma precisatildeo de cerca de 067 Observe o esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo mencionada

Nesse momento o professor deve intervir diretamente na atividade inserindo

a deniccedilatildeo geomeacutetrica do logaritmo natural de x como a aacuterea da faixa de Hipeacuterbole de 1

ateacute x ou seja ln x = Aacuterea(Hx1)

Fonte Geogebra

A partir dessa deniccedilatildeo eacute possiacutevel questionar os alunos sobre a existecircncia de

uma dada abscissa que representaraacute a aacuterea de medida igual a 1 unidade Aleacutem disso pode-

se conjecturar uma boa aproximaccedilatildeo entre nuacutemeros inteiros para o nuacutemero neperiano (e)

de acordo com o estudo exposto acima Enm eacute necessaacuterio orientar os alunos com a

nalidade dos mesmos investigarem a existecircncia de uma aacuterea de uma faixa de hipeacuterbole

variando de 1 ateacute um certo x cuja aacuterea seja unitaacuteria ou equivalentemente procurar o

valor de x tal que ln x = Aacuterea(Hx1 ) = 1 A conclusatildeo obtida pelos alunos deve admitir a

existecircncia dessa abscissa e estimar que o valor procurado pertencente ao intervalo entre

2 e 3 Pode-se demonstrar que o valor de x em questatildeo trata-se do nuacutemero irracional e

cuja melhor aproximaccedilatildeo eacute dada por e = 2 718281828459 Nesse ponto eacute satisfatoacuterio

que o professor faccedila uma reexatildeo comparando o nuacutemero obtido com o nuacutemero de Euler

surgido ao resolver o problema de capitalizaccedilatildeo contiacutenua proposto historicamente pelos

irmatildeos Bernoulli

741 Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri

O procedimento que seraacute apresentado a seguir consiste basicamente num re-

sumo dos estudos realizados no seacuteculo XVII pelo matemaacutetico Bonaventura Francesco

Cavalieri que recebeu forte inuecircncia dos predecessores Arquimedes Kepler Galileu e

Fermat

Esse grandioso trabalho de Cavalieri foi publicado em 1635 e foi intitulado de

Geometria indivisibilibus O meacutetodo proposto considerava um soacutelido formado pela reuniatildeo

de conjunto innito de planos isto eacute seu princiacutepio dizia que qualquer grandeza (plana ou

soacutelida) pode ser dividida numa quantidade innita de porccedilotildees (lacircminas) com espessura

innitesimal de tal modo que mantenham entre si proporccedilotildees desejadas

Segundo CONTADOR (2012 p 214) [7] um dos princiacutepios norteadores do

meacutetodo de Cavaliere dizia que se dois soacutelidos nos quais qualquer plano secante a eles e

paralelo a um plano dado determina neste soacutelido planos cuja razatildeo eacute constante entatildeo a

razatildeo entre os volumes destes soacutelidos tambeacutem seraacute constante

Observe por meio da utilizaccedilatildeo da linguagem moderna da matemaacutetica como

Cavalieri obteve a aacuterea lateral de um cilindro a aacuterea supercial da esfera e volume do

cone de revoluccedilatildeo a partir da reproduccedilatildeo de ideias publicadas em CONTADOR (2012)

Inicialmente eacute necessaacuterio considerar um soacutelido qualquer com bases paralelas

de altura h e aacuterea S e de volume (VL) dado por VL = Sh Agora imagine uma superfiacutecie

como uma lacircmina soacutelida em que sua altura h eacute innitamente pequena logo seu volume e

sua aacuterea seratildeo praticamente iguais ou seja S = VL

bull a) Caacutelculo da aacuterea (S) lateral de um cilindro

Eacute notoacuterio e consensual que o procedimento adotado na maioria dos livros di-

daacuteticos (caacutelculo da superfiacutecie lateral do cilindro reto eacute obtido a partir de uma regiatildeo

retangular de altura h e base 2π) possui uma abordagem excelente aos olhos da didaacutetica

e de acordo com a visatildeo criacutetica dos alunos tal procedimento eacute considerado de faacutecil assi-

milaccedilatildeocompreensatildeo contribuindo de modo satisfatoacuterio para o ensinoaprendizagem O

procedimento a ser apresentado tem como proposta o caacutelculo da aacuterea lateral de um cilindro

de altura h e raio da base igual a (r + x) a partir do volume VA do anel ciliacutendrico consi-

derando x como uma espessura innitamente pequena pois a partir dessas consideraccedilotildees

eacute possiacutevel inserir a aplicaccedilatildeo das noccedilotildees de limite de uma maneira construtiva

Figura 717 Anel Ciliacutendrico

Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p 333

Note que o volume do cilindro interno de raio r e altura h eacute dado por Vi =

πr2h Jaacute o volume do cilindro externo de raio (r + x) e de mesma altura h eacute dado por

Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h

Assim o volume do anel ciliacutendrico seraacute dado por

VA = Ve minus Vi

rArr VA = πh(r2 + 2rx+ x2)minus πr2h

rArr VA = πh(2rx+ x2)

rArr VA = πh2rx+ πhx2

Fazendo a divisatildeo por x tanto do 1o membro quanto do 2o membro igualdade

tem-se

rArr VAx

= πh2r + πhx

Como VA = S middot x rArr S = VAx

e sabendo que x eacute innitamente pequeno segue

que a 2a parcela da soma do 2o membro tambeacutem seraacute tatildeo pequena ao ponto de consideraacute-la

rArr VAx

= S = 2πhr

Observe que de fato S eacute aacuterea do retacircngulo de altura h e de base idecircntica ao

comprimento de um circunferecircncia de raio r

bull b) Caacutelculo da aacuterea da esfera (S)

O caacutelculo da aacuterea da superfiacutecie de uma esfera seraacute feito a partir da diferenccedila

entre os volumes das esferas externa e interna cujos raios satildeo (r+h) e r respectivamente

Figura 718 Casca de Esfera

VCasca = Ve minus Vi

rArr VCasca =4

3π(r + h)3 minus 4

rArr VCasca =4

3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)

rArr VCasca =4

3π(3r2h+ 3rh2 + h3)

Utilizando procedimento anaacutelogo isto eacute dividindo ambos os termos por h

tem-se

rArr VCascah

3π(3r2 + 3rh+ h2)

Como VCasca = S middothrArr S = VCasca

he sabendo-se que h eacute innitamente pequeno

segue queVCascah

= S =4

bull c) Caacutelculo do volume do cone de revoluccedilatildeo

Antes de deduzir a foacutermula VCone = 13πr2h em que r e h representam o raio e a

altura do cone respectivamente eacute vaacutelido ressaltar que historicamente esse feito eacute creditado

inicialmente a Demoacutecrito (c 410 aC) e sua evoluccedilatildeo posteriormente a Arquimedes que

utilizou brilhantemente seu meacutetodo de equiliacutebrio para conjecturar e o meacutetodo da exaustatildeo

de Eudoxo para provar a validade dessa relaccedilatildeo De acordo com EVES (2004) [11] o

pioneiro no Caacutelculo do volume do cone foi Demoacutecrito

() A chave eacute fornecida por Plutarco ao relatar o dilema a que chegoucerta vez Demoacutecrito quando considerou a possibilidade de um cone serformado de uma innidade de secccedilotildees planas paralelas agrave base Se duassecccedilotildees adjacentes fossem do mesmo tamanho o soacutelido seria um cilindroe natildeo um cone Se por outro lado duas secccedilotildees adjacentes tivessem aacutereasdiferentes a superfiacutecie do soacutelido seria formada de uma seacuterie de degrauso que certamente natildeo se verica Nesse caso se assumiu que o volumedo cone pode ser subdividido indenidamente (ou seja numa innidadede secccedilotildees planas atocircmicas) mas que o conjunto dessas secccedilotildees eacute contaacute-vel no sentido de que dada uma delas haacute uma outra que lhe eacute vizinhasuposiccedilatildeo que se situa ateacute certo ponto entre as duas jaacute consideradassobre a divisibilidade de grandezas Demoacutecrito pode ter argumentadoque se duas piracircmides de bases equivalentes e alturas iguais satildeo seccio-nadas por planos paralelos agraves bases vericando-se a divisatildeo das alturasnuma mesma razatildeo entatildeo as secccedilotildees correspondentes assim formadas satildeoequivalentes Portanto as piracircmides conteacutem o mesmo nuacutemero innito desecccedilotildees planas equivalentes o que implica que seus volumes devem seriguais Tem-se aiacute o que seria um exemplo primitivo do chamado meacutetododos indivisiacuteveis de Cavalieri () (EVES [11] 2004 p 420)

Considere o cone de diacircmetro da base AB = 2r e altura H composto pela

junccedilatildeo de n cilindros de raios variando de 0 agrave r e de altura h extremamente pequena tal

que h = Hn

Considere um desses cilindros ideais de ordem k a partir do veacutertice C e raio r1

de tal maneira que o cone que dividido em duas partes Note que eacute possiacutevel por meio da

semelhanccedila de triacircngulos relacionar rr1 H e H1 de tal modo que seja dado em funccedilatildeo

de r k e nr

rArr r

rArr r1 =rk

Figura 719 Fatiamento da Secccedilatildeo Cocircnica

O volume do cilindro de ordem k seraacute dado por

VCilindro = πr21h

rArr VCilindro = πr2k2

rArr VCilindro = πr2H1

Assim o volume do cone seraacute dado pelo somatoacuterio de todos os cilindros ideais

com k variando de 1 a n

VCone = πr2H1

n312 + πr2H

n322 + πr2H

n332 + πr2H

n342 + middot middot middot+ πr2H

= πr2H1

n3(12 + 22 + 32 + 42 + middot middot middot+ n2)

Sabe-se que 12+22+32+42+ middot middot middot+n2 = n3

6 A validade dessa relaccedilatildeo

pode ser obtida pelo Princiacutepio da Induccedilatildeo Matemaacutetica ou a partir do desenvolvimento do

binocircmio (1 + k)3 = 1+ 3k + 3k2 + k3 variando k de 0 a n e adicionando as igualdades de

ambos os membros (vide em CONTADOR (2012) [8]) Embora essa abstraccedilatildeo algeacutebrica

seja possiacutevel de ser aplicada aos alunos do Ensino Meacutedio a demonstraccedilatildeo geomeacutetrica

consiste num procedimento mais construtivo e de faacutecil assimilaccedilatildeo

Inicialmente faremos a apresentaccedilatildeo da prova geomeacutetrica para a soma dos

nuacutemeros inteiros de 1 a n isto eacute S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n = n(n+1)2

dado que a mesma

seraacute necessaacuteria para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo 12+22+32+42+

middot middot middot+ n2 = n3

6= n(n+1)(2n+1)

Antes de generalizar os casos eacute imprescindiacutevel realizar os caacutelculos para um

caso particular por exemplo n = 6 com o intuito de motivar e aguccedilar a curiosidade

dos alunos Aleacutem de contribuir de maneira satisfatoacuteria para a formaccedilatildeo da conjectura dos

alunos

A gura seguinte ilustra a soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) em que a coluna i eacute

composta por i quadrados

Figura 720 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)

Fonte Geogebra

Ao girar a gura anterior e encaixaacute-la tem-se um retacircngulo de base 6 e altura

7 conforme ilustra a imagem seguinte

Note que a medida da aacuterea do retacircngulo construiacutedo eacute dada por 6 middot7 = 6 middot(6+1)

A partir daiacute eacute possiacutevel concluir que a soma (1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6) pretendida

representa a metade do retacircngulo construiacutedo isto eacute

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

Para generalizar o procedimento eacute necessaacuterio construir um retacircngulo de base

n e altura (n + 1) a partir das n colunas que representam geometricamente a soma S =

1 + 2 + 3 + middot middot middot + n A aacuterea (A) do retacircngulo construiacutedo seraacute dada por A = n middot (n + 1)

Figura 721 Representaccedilatildeo geomeacutetrica do retacircngulo 6 x 7

Fonte Geogebra

De forma anaacuteloga a soma desejada (S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot + n) representa a metade do

retacircngulo n(n+ 1) isto eacute

S = 1 + 2 + 3 + middot middot middot+ n =n(n+ 1)

Enm para demonstrar geometricamente a validade da relaccedilatildeo () faz-se ne-

cessaacuterio implementar ideias semelhantes com as devidas ressalvas

Repetindo o procedimento realizado para um caso particular da soma dos 6

primeiros quadrados perfeitos (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)

As guras a seguir sugerem uma visatildeo geomeacutetrica do procedimento detalhado

Note que para realizar o preenchimento eacute preciso acrescentar um quadrado na 2a linha

um quadrado e um retacircngulo (2x1) na 3a linha um quadrado um retacircngulo (2x1) e

retacircngulo (3x1) na 4a linha assim por diante

Logo a aacuterea (A) do retacircngulo (ABCD) cuja base mede b = (1+2+3+4+5+6)

e cuja altura mde 6 unidades eacute dada por A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) middot 6

Equivalentemente tal aacuterea pode ser calculada a partir da soma das aacutereas que

compotildee o retacircngulo (ABCD) isto eacute

A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]

rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1

(1 + i)i

Portanto tem-se

1+22+32+42+52+62 = (1+2+3+4+5+6)middot6minus[5sumi=1

(1 + i)i

2] = (

6(6 + 1)

2)middot6minus1

2middot[5sumi=1

i+5sumi=1

Figura 722 Representaccedilatildeo geomeacutetrica da soma 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36

Fonte Geogebra

Daiacute segue que

1 + 22 + 32 + middot middot middot+ 62 =6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot5sumi=1

iminus 1

2middot5sumi=1

rArr6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot (6(6minus 1)

2)minus 1

2middot5sumi=1

Ainda eacute possiacutevel manipular a referida expressatildeo com o intuito de melhorar a

visualizaccedilatildeo

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot ([

6sumi=1

i2]minus 62)

rArr6sumi=1

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 3

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 6

6sumi=1

i2 =62 + 6

2minus 62 minus 6

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

rArr6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

Generalizando o procedimento ou seja representando geometricamente a soma

dos quadrados (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + middot middot middot + n2) de 1 ateacute n e em seguida completando a

gura ateacute que se forme um retacircngulo de base (1+2+3+4+5+ middot+n) e altura n tem-se

6sumi=1

i2 = 1 + 22 + 32 + middot middot middot+ n2 =n(2 middot n+ 1)(n+ 1)

Assim dispondo da relaccedilatildeo que representa a soma dos quadrados segue que

VCone = πr2H1

= πr2H1

)= πr2H

Como n tende ao innito segue que as fraccedilotildees que conteacutem denominador composto por n

poderatildeo ser desprezadas dado que tenderatildeo a zero Isto eacute o volume do cone seraacute dado

VCone =1

3πr2H

Recomenda-se que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada na 2a e 3a seacuterie

do Ensino Meacutedio de acordo com o curriacuteculo adotado sob o caraacuteter de material adicional

Acredita-se que em cinco aulas haacute tempo suciente para complementar todo o aparato de

discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Espacial

742 Caacutelculo da aacuterea de uma elipse

Dispondo dos meacutetodos de quadratura do ciacuterculo realizados por Arquimedes

dos conceitos baacutesicos de Geometria Analiacutetica difundida por Descartes e Fermat e aleacutem

disso dos princiacutepios de Cavalieri eacute possiacutevel aplicar tais ideias para ampliar o estudo de

cocircnica deduzindo a foacutermula para o caacutelculo da aacuterea de uma elipse isto eacute descobrir a

relaccedilatildeo de proporccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo para a elipse de eixo maior igual ao diacircmetro do

ciacuterculo formalizada por Johannes Kepler

Figura 724 Elipse inscrita numa circunferecircncia

Fonte CONTADOR [8] 2012 vol3 p339

Considere o semi-ciacuterculo de raio r = a e a semi-elipse de semi-eixos positivos

a e b com a gt b A partir dessa convenccedilatildeo eacute possiacutevel descrever as equaccedilotildees reduzidas do

ciacuterculo e da elipse

x2 + y2 = a2 ex2

Escrevendo y em funccedilatildeo de x e tomando o 1o quadrante por simetria am de

que ambos os radicandos sejam positivos tem-se

y =radica2 minus x2

eyprime2

b2= 1minus x2

a2rArrradicb2 minus x2 b

rArr yprime =

radicb2(1minus x2

radicb2(a2 minus x2a2

radica2 minus x2

Ou seja yprime = bay (a razatildeo entre duas cordas verticais correspondentes da elipse

e do ciacuterculo eacute ba)

Note que apesar de adotar a variaacutevel y em cada funccedilatildeo y e yprime satildeo diferentes

isto eacute representam para cada abscissa x ordenadas com valores distintos

Se as ordenadas do ciacuterculo e elipse y e yprime respectivamente guardam entre si a

relaccedilatildeo ba segue que suas aacutereas vatildeo manter a mesma razatildeo Essa armaccedilatildeo eacute garantida

pelo primeiro princiacutepio de Cavalieri em que EVES (2004 p426) [11] destaca Se duas

porccedilotildees planas satildeo tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina

nas porccedilotildees segmentos de reta cuja razatildeo eacute constante entatildeo a razatildeo entre as aacutereas dessas

porccedilotildees eacute a mesma constante Em linguagem moderna temos

Area da elipse

Area do circulo=b

rArr Area da elipse =b

aArea do circulo

aπa2 = πab

Eacute vaacutelido ressaltar que a ideia acima pode ser estendida para comparar dois

soacutelidos (segundo princiacutepio de Cavalieri) e por meio dela pode-se deduzir a foacutermula para o

caacutelculo do volume da esfera

Eacute recomendaacutevel que a aplicaccedilatildeo dessa atividade seja realizada durante a 3a seacuterie

A quantidade de aulas sucientes para expor tais ideias variaraacute de acordo com a proposta

do professor mas acredita-se que cinco aulas satildeo bastantes para complementar todo o

aparato de discussatildeo sobre os toacutepicos de Geometria Analiacutetica e de Cocircnicas

743 Aacuterea sob o graacuteco de uma curva

Ao analisar uma grandeza cuja variaccedilatildeo eacute tomada como constante em subin-

tervalos isto eacute como se a funccedilatildeo tivesse variaccedilatildeo de degrau em degrau e natildeo de forma

continuada haacute uma abordagem de forma impliacutecita das noccedilotildees intuitivas de limite e ideias

elementares de integral

Primeiramente o trabalho estaraacute focado no caso em que a funccedilatildeo eacute constante

em todo o intervalo positivo considerado Suponha que o interesse principal seja o caacutelculo

da aacuterea sob o graacuteco no intervalo considerado Nesse caso o problema se resume em medir

a aacuterea de um retacircngulo cuja base coincide com a variaccedilatildeo do intervalo considerado e a

altura corresponde ao valor xo e constante da funccedilatildeo xada

Nessa mesma tocircnica veja um exemplo graacuteco de uma funccedilatildeo constante (f(x) =

3x) via GeoGebra com poliacutegono regular inscrito para n = 100

Figura 725 Graacuteco de uma Funccedilatildeo Constante

Fonte GeoGebra

Figura 726 Poliacutegono Retangular inscrito de uma curva qualquer

Fonte GeoGebra

A gura anterior representa o caso de uma grandeza positiva e natildeo constante

cuja variaccedilatildeo seja contiacutenua ao longo do intervalo considerado Nesse caso para calcular a

aacuterea sob o graacuteco eacute preciso analisar o problema fragmentando o intervalo contiacutenuo em um

nuacutemero consideraacutevel de partes (degraus) com o intuito de que a grandeza seja analisada

como se fosse praticamente constante em cada subintervalo isto eacute a aacuterea solicitada eacute

obtida adicionando as aacutereas dos inuacutemeros retacircngulos inseridos no intervalo considerado

A gura a seguir ilustra o graacuteco de uma funccedilatildeo qualquer feita a matildeo livre via GeoGebra

com poliacutegono retangular inscrito com n = 10

Esse procedimento descrito acima eacute comum e rotineiro em diversas situaccedilotildees

cotidianas A estrateacutegia de resoluccedilatildeo eacute similar na maioria dos casos e consiste em racio-

cinar a funccedilatildeo dado como se fosse constante em pequenos trechos Tal fenocircmeno jaacute era

realizado desde o seacuteculo III aC por Arquimedes com auxiacutelio do meacutetodo da exaustatildeo Um

exemplo praacutetico motivacional e de faacutecil entendimento eacute a explicaccedilatildeo da aacuterea do ciacuterculo

como uma aproximaccedilatildeo via aacuterea de poliacutegonos regulares inscritos com nuacutemero de lados

em escala crescente e tendendo ao innito Observe a imagem abaixo que foi produzida

no software de geometria dinacircmica GeoGebra Note que haacute um controle deslizante res-

ponsaacutevel por determinar o nuacutemero de lados do poliacutegono regular inscrito Na imagem a

seguir o cursor do controle deslizante foi posicionado em N = 11 isto eacute fez-se surgir o

undecaacutegono regular inscrito Jaacute a gura ao lado estaacute representando o hectaacutegono regular

(poliacutegono regular de 100 lados) inscrito e construiacutedo tambeacutem via GeoGebra

Figura 727 Quadratura do ciacuterculo

para n = 11

para n = 100

Tomando uma funccedilatildeo contiacutenua y = f(x) qualquer preferencialmente natildeo

constante denida no intervalo positivo [a b] e supondo que a meta seja o caacutelculo da aacuterea

sob o graacuteco contido no 1o quadrante faz-se necessaacuterio uma subdivisatildeo do intervalo [a b]

em numerosos subintervalos praticamente constantes am de determinar a aacuterea sob o

graacuteco como uma aproximaccedilatildeo pela soma de todos os retacircngulos obtidos ao particionar o

intervalo [a b] Isto eacute considerando n subintervalos de comprimentos x1 x2 x3 middot middot middot xn e

cujas imagens (alturas dos retacircngulos) sejam y1 y2 y3 middot middot middot yn respectivamente e supostos

constantes em cada subintervalo tem-se uma aproximaccedilatildeo para a aacuterea S sob o graacuteco da

curva dada

S sim= x1y1 + x2x2 + x3y3 + middot middot middot+ xnyn

Note que aumentando o valor de n e reduzindo o comprimento dos subinter-

valos a aproximaccedilatildeo ca melhorada ou seja o valor real da aacuterea sob o graacuteco torna-se

muito proacuteximo da aproximaccedilatildeo considerada via soma de retacircngulos Eacute oacutebvio que ten-

dendo o valor de n para um nuacutemero innito de subdivisotildees sucessivas com as ressalvas

necessaacuterias de reduccedilatildeo dos comprimentos dos subintervalos a soma das innitas aacutereas dos

retacircngulos pertencentes aos trechos particionados tenderaacute para o valor real da aacuterea sob

o graacuteco da funccedilatildeo considerada Tal nuacutemero eacute conhecido como integral denida

Eacute vaacutelido ressaltar que o procedimento exibido acima pode ser contextualizado

aplicado e inserido de forma interdisciplinar com a disciplina de Fiacutesica ao calcular a

distacircncia d percorrida por um moacutevel com velocidade v(t) no intervalo de tempo [a b] ou

entatildeo no caacutelculo do trabalho T realizado por uma forccedila de direccedilatildeo constante e intensidade

f(x) no deslocamento de x de a ateacute b Tambeacutem eacute possiacutevel aplicar o estudo descrito para

calcular o volume de uma trombeta (soacutelido obtido pela rotaccedilatildeo do graacuteco particular

y = f(x) em torno do eixo x com a le x le b e f(x) ge 0) via cascas ciliacutendricas poreacutem essa

atividade pode ser encontrada nos livros de Caacutelculo citados anterioremente e seraacute deixada

como atividade suplementar pois foge ao escopo desse trabalho

Para raticar o estudo exibido propotildee-se um exerciacutecio que pode ser resolvido

passo a passo conforme etapas descritas a seguir

Exerciacutecio Calcule um valor aproximado para a aacuterea sob o graacuteco de f(x) =

100minus x2 no intervalo [0 10]

Atividade a ser desenvolvida no laboratoacuterio de informaacutetica com computadores

compostos por softwares de geometria dinacircmica (especialmente o GeoGebra) Aleacutem disso

eacute recomendaacutevel o uso de calculadora cientiacuteca ou de algum software de planilha (por

exemplo Excel ou CALC)

1o passo Utilize o GeoGebra para plotar o graacuteco da funccedilatildeo com as restriccedilotildees

discriminadas no enunciado

2o passo Inicialmente proponha uma subdivisatildeo do intervalo [0 10] em 5 su-

bintervalos de comprimento igual a 2 Note que em cada subintervalo eacute preciso supor

f(x) constante e de valor correspondente ao ponto meacutedio do subintervalo

3o passo Calcule os valores de f(1) f(3) f(5) f(7) e f(9) Nesse momento

questione os alunos sobre o que essas imagens representam

4o passo Utilize a calculadora cientiacuteca ou uma planilha eletrocircnica para adi-

cionar a aacuterea dos cinco retacircngulos contidos nos subintervalos determinados A soma (S5)

eacute uma aproximaccedilatildeo para o valor da aacuterea sob o graacuteco da funccedilatildeo dada isto eacute eacute uma

estimativa para o valor da integral denida

5o passo Questione os alunos sobre o que aconteceraacute com a estimativaaproximaccedilatildeo

caso fosse uma nova subdivisatildeo em dez subintervalos de comprimento igual a 1 Oriente

os mesmos a realizarem tal experimento

6o passo Maximize o grau de abstraccedilatildeo da atividade supondo uma subdivisatildeo

do intervalo dado em n subintervalos de comprimento igual a 10n Solicite aos alunos que

calculem a nova aproximaccedilatildeo em funccedilatildeo de n fornecendo uma expressatildeo geral e ao nal

dessa tarefa questione os alunos sobre o que aconteceraacute com tal expressatildeo caso o valor de

n seja tendido ao innito

7o passo Revise todas as etapas melhorando a linguagem de forma gradual

e introduzindo uma simbologia de maneira a facilitar a escrita por exemplo insira a

notaccedilatildeo de somatoacuterios Caso observe a maturidade e a compreensatildeo dos conceitos de

maneira satisfatoacuteria por parte dos alunos insira a notaccedilatildeo moderna de limite junto aos

siacutembolos de somatoacuterios Aleacutem disso tambeacutem pode introduzir a simbologia de integrais

A expectativa dessa atividade eacute que a maioria dos alunos construa o graacuteco

no GeoGebra conforme as guras ilustrativas a seguir e que aproxime ao maacuteximo da aacuterea

sob o graacuteco via Soma de Riemann

Note que o aumento do nuacutemero de iteraccedilotildees de cinco para dez fez com que a

aproximaccedilatildeo da aacuterea do poliacutegono retangular inferior melhorasse de 560 para 615 unidades

de aacuterea E mais aumentando o nuacutemero de interaccedilotildees de 10 para 100 fez com que a

aproximaccedilatildeo via aacuterea do poliacutegono retangular superior melhorasse de 715 para 67165

Tal realizaccedilatildeo conduz a seguinte conclusatildeo a aacuterea procurada eacute um nuacutemero entre 615

e 67165 Utilizando as ideias de Arquimedes sobre quadratura da paraacutebola eacute possiacutevel

constatar que a aacuterea desse segmento paraboacutelico (Asp) eacute dada por 43da aacuterea do triacircngulo

inscrito de base medindo 10 unidades e altura medindo 100 unidades isto eacute Asp = 43de

10middot1002

= 20003

= 666 6

Figura 729 Poliacutegono Retangular

para n = 5

para n = 10

inscrito

circunscrito

Observe que a Figura 732 representa uma imagem ilustrativa de um poliacutegono

retangular superior em que eacute possiacutevel vericar que a aacuterea estaacute bem proacutexima do valor real

exibido anteriormente Note ainda que a medida que aumentamos o valor do cursor (n)

o poliacutegono retangular inscrito aproximasse cada vez mais da aacuterea da faixa de paraacutebola

pretendida (vide gura 731)

744 Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica

O estudo de funccedilatildeo decorre da necessidade de analisar fenocircmenos descrever

regularidades interpretar interdependecircncias e generalizar Eacute preciso ter em mente que o

termo funccedilatildeo eacute mais abrangente e complexo do que a deniccedilatildeo apresentada ou seja eacute

necessaacuterio mostrar ao aluno que esse toacutepico usado de forma sistemaacutetica em exatas e no

seu cotidiano eacute de suma importacircncia para o meio social pois vaacuterias relaccedilotildees de mercado

e capital engenharia economia (micro e macro) sauacutede transportes induacutestrias artes

energia enm uma diversidade de aacutereas dependem de uma anaacutelise clara e objetiva da

funcionalidade de um modelo ou paracircmetro a ser adotado

Os casos em que haacute o emprego das noccedilotildees elementares no estudo de Fiacutesica

durante a etapa do ensino meacutedio satildeo frequentes e corriqueiros Observe os casos em que

eacute possiacutevel explorar tais ideias durante o ensino meacutedio

No 1o ano do Ensino Meacutedio aplica-se durante o estudo do

bull graacuteco de Velocidade x Tempo (Deslocamento)

bull graacuteco de Aceleraccedilatildeo x Tempo (Velocidade)

bull graacuteco de Forccedila x Distacircncia (Trabalho)

bull graacuteco de Forccedila x tempo (Impulso)

bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Trabalho realizado por um gaacutes ideal)

bull graacuteco de pressatildeo x Volume (Transformaccedilatildeo isoteacutermica)

bull graacuteco de calor especiacuteco x variaccedilatildeo de temperatura (Quantidade de Calor)

bull graacuteco de Corrente x Tempo (Carga)

bull graacuteco de Campo eleacutetrico x distacircncia (Forccedila eleacutetrica)

bull graacuteco de Resistecircncia x corrente (Tensatildeo)

Eacute possiacutevel citar outros casos mais especiacutecos poreacutem fogem ao escopo desse

material A seguir seraacute apresentado um estudo de catildeo referente ao caacutelculo da aacuterea sob o

graacuteco de uma dada relaccedilatildeo entre duas grandezas

A riqueza de tal estudo que eacute uma aplicaccedilatildeo baacutesica do caacutelculo integral vai

ao encontro dos ideais de interdisciplinaridade e contextualizaccedilatildeo defendidos pelos Paracirc-

metros Curriculares Nacionais do Ensino Meacutedio (PCNEM) [20] e pela Lei de Diretrizes e

Bases da Educaccedilatildeo (LDB) [30]

Os PCNEM (2002) [21] foram formulados a partir da discussatildeo entre especi-

alistas e educadores pertencentes aos domiacutenios do territoacuterio nacional Sua nalidade eacute

bastante abrangente dado que se pretende dar suporte as equipes escolares na execuccedilatildeo

de seus trabalhos com o intuito de promover o aperfeiccediloamento da praacutetica educativa por

meio de estiacutemulo e apoio agrave reexatildeo sobre a praacutetica diaacuteria ao planejamento de aulas e

ao desenvolvimento do curriacuteculo da escola de maneira a construir um processo contiacutenuo

de ensinoaprendizagem e a contribuir satisfatoriamente para a atualizaccedilatildeo prossional e

para a integraccedilatildeo ao mundo contemporacircneo nas dimensotildees fundamentais da cidadania e

do trabalho

Nesse iacutenterim que foca numa aprendizagem de formaccedilatildeo geral em que se pri-

oriza a aquisiccedilatildeo de conhecimentos a preparaccedilatildeo cientiacuteca e a capacidade de utilizar as

diferentes tecnologias relativas agraves aacutereas de atuaccedilatildeo a pretensatildeo dessa sequencia didaacutetico

tem a nalidade de contribuir para a transformaccedilatildeo do ensino meacutedio assim como formar

alunos capazes de buscar analisar e selecionar informaccedilotildees de modo criacutetico em detrimento

do ensino focado nos processos de memorizaccedilatildeo

A integraccedilatildeo e o uso da Matemaacutetica para justicar fatos da Fiacutesica sempre

foram e seratildeo mecanismos favoraacuteveis para o desenvolvimento da ciecircncia e da tecnologia

Eacute vaacutelido ressaltar que para propagar tais ideias eacute necessaacuterio discutircomentar

alguns preacute-requisitos matemaacuteticos e fiacutesicos de acordo com a seacuterie em que haacute pretensatildeo a

aplicar a referida teacutecnica Eacute de suma importacircncia que o aluno saiba e domine os conceitos

de funccedilatildeo uacuteteis na construccedilatildeo do esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo proposta Assim a primeira

etapa de todo o processo consiste numa revisatildeo de toacutepicos de funccedilatildeo (1o grau 2o grau

exponencial logariacutetmica trigonomeacutetrica hipeacuterbole equilaacutetera etc) de acordo com o

enfoque que o professor trabalharaacute

Por exemplo caso o professor esteja interessado apenas em aplicar os conceitos

de limite agraves funccedilotildees do 1o grau cujos graacutecos seratildeo guras planas poligonais natildeo haacute

necessidade de explanar as demais funccedilotildees Jaacute o educador que pretende estudar tais

fenocircmenos que desembocam em graacutecos paraboacutelicos eacute preciso discutir com os alunos

toacutepicos relacionados ao estudo das funccedilotildees quadraacuteticas e suas relaccedilotildees graacutecas com o

estudo da paraacutebola Nos outros casos recomenda-se prosseguir com raciociacutenio anaacutelogo

O nuacutemero de aulas previstas de revisatildeo dependeraacute do niacutevel da turma em que se pretende

aplicar o trabalho

Aleacutem disso eacute preciso utilizar o laboratoacuterio de informaacutetica como recurso suple-

mentar para o ensino e manejo do software de geometria dinacircmica GeoGebra Em geral

de duas a quatro aulas satildeo sucientes para aprender a usar de forma baacutesica desde que haja

planejamento de atividades e interesse por parte discente e docente no aprimoramento da

utilizaccedilatildeo

Apoacutes o domiacutenio das ferramentas baacutesicas do GeoGebra eacute hora de propor a

plotagemconstruccedilatildeo de graacutecos Eacute recomendaacutevel que o professor inicie seu trabalho a

partir de uma situaccedilatildeo problema que empregaraacute conceitos de funccedilatildeo do 1o grau e que

implicaraacute na utilizaccedilatildeo dos conceitos fiacutesicos de acordo com a seacuterie momentacircnea Forneccedila

os dados via tabela via texto ou via foacutermula Solicite a interpretaccedilatildeo da funccedilatildeo com

questionamentos Quem eacute a variaacutevel dependente e a independente Como representamos

tal situaccedilatildeo gracamente O que representa o produto das variaacuteveis Etc

7441 Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea

Para compreender o signicado de velocidade instantacircnea de um moacutevel em

movimento faz-se necessaacuterio compreender o conceito de taxa de variaccedilatildeo

Considere que x = f(t) seja equaccedilatildeo que descreve o movimento do moacutevel

(funccedilatildeo horaacuteria do moacutevel) A velocidade meacutedia (vm) de um moacutevel entre os instantes t1

e t2 = t1 +4t eacute denida como a razatildeo entre variaccedilatildeo do espaccedilo percorrido pelo tempo

gasto para executar tal deslocamento

vm =4S4t

=s2 minus s1t2 minus t1

=f(t2)minus f(t1)(t1 +4t)minus t1

=f(t1 +4t)minus f(t1)

Tomando 4trarr 0 tem-se que vm tende para a velocidade instantacircnea isto eacute

vinstatanea = lim4trarr0

f(t1 +4t)minus f(t1)4t

A razatildeo f(t1+4t)minusf(t1)4t eacute denominada de Quociente de Newton Esse quociente eacute

bastante corriqueiro em problemas de Matemaacutetica (problemas de tangecircncia a curvas) Fiacute-

sica (velocidade instantacircnea aceleraccedilatildeo instantacircnea etc) Quiacutemica (quociente de reaccedilotildees

quiacutemicas) e Economia (problemas de custo marginal) No estudo de caacutelculo esse conceito

receberaacute o nome de derivada de uma funccedilatildeo em um dado ponto ou ainda representa

geometricamente a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacuteco no ponto (t f(t))

Nesse momento seria interessante propor atividades de cunho experimental

com carrinhos de exatildeo ou com problemas de queda livre Nessa tarefa aleacutem de realizar

anotaccedilotildees acerca de deslocamentos e tempos decorridos eacute interessante solicitar a cons-

truccedilatildeo de um esboccedilo graacuteco da situaccedilatildeo e propor questionamentos aos alunos acerca da

aacuterea sob o graacuteco da curva obtida ao traccedilar o graacuteco

Situaccedilatildeo Problema Caacutelculo da distacircncia d percorrida por um moacutevel com ve-

locidade v(t) no intervalo de tempo [a b]

1o caso Se a velocidade v(t) for constante e igual a v segue que

d = vt = v(bminus a)

2o caso Se a velocidade v(t) natildeo for constante em [a b] entatildeo eacute possiacutevel

adotar uma subdivisatildeo desse intervalo em n particcedilotildees de mesmo comprimento e supor

que a velocidade seja constante em cada subintervalo Isto eacute adotando t1 t2 t3 t4 middot middot middot tncomo comprimento desses subintervalos tem-se

d sim= v1t1 + v2t2 + v3t3 + middot middot middot+ vntn

Observe a situaccedilatildeo ilustrativa de aplicaccedilatildeo das ideias difundidas acima por

meio da anaacutelise da tabela que fornece a velocidade de um corpo que se desloca com

movimento retiliacuteneo em diversos instantes

Tabela 74 Dados da Velocidade em funccedilatildeo do tempo

t(segundos) 0 1 2 3 4 5

v (ms) 2 5 8 11 14 17

Figura 733 Trapeacutezio retacircngulo

Fonte GeoGebra

7442 Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle

Um gaacutes sofre transformaccedilatildeo isoteacutermica quando haacute variaccedilatildeo da sua pressatildeo e do

seu volume sem que haja variaccedilatildeo de sua temperatura isto eacute a temperatura permanece

constante Daiacute se explica o nome da transformaccedilatildeo que eacute uma fusatildeo do prexo iso (do

grego iso = igual) com a palavra thermo (do grego thermo = calor)

Segundo a Lei de Boyle-Mariotte a pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo

inversamente proporcionais ou seja aumentando a pressatildeo o volume de gaacutes diminui

Um exemplo simples praacutetico e presente diariamente em nosso dia-a-dia eacute o

ecircmbolo de uma seringa Como a Pressatildeo (P ) e o volume (V ) de um gaacutes satildeo inversamente

proporcionais segue que PV = k Observe a situaccedilatildeo hipoteacutetica tabulada e a construccedilatildeo

do graacuteco a partir de tais dados Daiacute decorre que os pontos da curva geram de fato uma

hipeacuterbole Isto eacute por intermeacutedio da construccedilatildeo do graacuteco da funccedilatildeo (hipeacuterbole) y = 54x

eacute possiacutevel conjecturar um valor para o trabalho realizado no intervalo [3 24] O eixo das

abscissas conteacutem os valores do volume enquanto o eixo das ordenadas conteacutem os valores

da pressatildeo do referido gaacutes em estudo

Tabela 75 Dados hipoteacuteticos de Pressatildeo e Volume de um gaacutes ctiacutecio

Pressatildeo (atm) Volume (ml) Produto (P middotV )

3 18 54

6 9 54

12 45 54

18 3 54

24 225 54

Note que a aproximaccedilatildeo via poliacutegonos retangulares inferiores quanto a aproxi-

maccedilatildeo via poliacutegonos retangulares superiores estaacute tendendo para um nuacutemero entre 11212

e 11246 unidades de aacuterea Como a aacuterea em questatildeo representa o trabalho realizado pelo

gaacutes e conforme jaacute foi provada a referida aacuterea pode ser obtida a partir de uma subtraccedilatildeo

entre os logaritmos naturais das abscissas do intervalo [3 24] segue que o trabalho (T )

realizado seraacute dado por T = 54(ln 24minus ln 3) sim= 112 289

Figura 734 Faixa de Hipeacuterbole com Poliacutegono Retangular para n = 1000

Fonte GeoGebra

745 Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada

Eacute consenso entre os estudiosos do assunto de que a introduccedilatildeo do estudo de

derivadas deve ser realizada por meio de suas aplicaccedilotildees como por exemplo ao introduzir

conceitos de pressatildeo densidade da massa densidade da carga eleacutetrica e em problemas de

tangecircncia em determinados pontos de uma curva

Vaacuterios artigos da RPM jaacute mencionaram a importacircncia desse estudo e defen-

deram de forma ferrenha e de acordo com histoacuteria o estudo das derivadas Dentre os

inuacutemeros artigos que citam diretaindiretamente o ensino de derivadas merece destaque

os artigos de AacuteVILA (1991) [1] nas revistas de nuacutemero 18 23 e 60 e o artigo dos professores

WAGNER e CARNEIRO (2004) [32] na revista de nuacutemero 53

Analisando o artigo mais recente da RPM de nuacutemero 60 sobre o tema cuja

autoria eacute exclusiva do professor AacuteVILA (2006) [2] eacute possiacutevel vericar a possibilidade de

aplicaccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo em particular do estudo inicial de derivadas

no Ensino Meacutedio Nesse artigo o autor critica as abordagens feitas pelos livros didaacuteticos

e propotildee uma abordagem segundo a utilizaccedilatildeo de ferramentas do Caacutelculo diferencial e

integral com o intuito de promover um ensino baacutesico de forma ampla contextualizada e

harmocircnica com outras aacutereas do conhecimento

A princiacutepio AacuteVILA [2] apresenta o estudo das coordenadas do veacutertice de uma

paraacutebola conforme a maioria dos livros didaacuteticos nos apresenta isto eacute um amontoado de

proposiccedilotildees e foacutermulas sem justicativas e aceitas via decoreba sem demonstraccedilatildeo formal

ou intuitiva Um verdadeiro disparate dado que haacute uma desvinculaccedilatildeo entre deniccedilatildeo

do veacutertice e a funccedilatildeo propriamente dita cujo graacuteco eacute uma paraacutebola Segundo SANTOS

(2006) [24]

a deniccedilatildeo mais natural e contextualizada seria a de que o veacutertice daparaacutebola eacute o ponto que representa o extremo (maacuteximo ou miacutenimo) dafunccedilatildeo quadraacutetica sendo a abscissa o ponto onde esse extremo eacute atingidoe a ordenada o valor extremo assumido Dessa forma ao considerar umafunccedilatildeo quadraacutetica como um modelo matemaacutetico ca clara a importacircnciade se obter o veacutertice da paraacutebola ao interpretaacute-lo como o extremo dafunccedilatildeo (SANTOS [24] 2006 p4)

Eacute importante salientar que segundo AacuteVILA (2006) [2] para seguir os proacuteximos

passos propostos na RPM de nuacutemero 60 faz-se necessaacuterio uma abordagem inicial do estudo

de derivadas conforme a maior parte dos livros didaacuteticos de Caacutelculo apresenta em que o

limite das inclinaccedilotildees das retas secantes ao graacuteco de uma paraacutebola (y = ax2 + bx + c)

tende para (2ax+ b) A apresentaccedilatildeo desse estudo eacute feita posteriormente com auxiacutelio do

GeoGebra Caso natildeo seja suciente a atividade proposta eacute recomendado realizar uma

leitura criacutetica e minuciosa da exposiccedilatildeo desse assunto em STEWART (2006) [37]

A partir desses preacute-requisitos eacute possiacutevel introduzir as noccedilotildees elementares de

derivada difundidas no presente artigo Nele haacute uma interpretaccedilatildeo geomeacutetrica da derivada

relacionada ao coeciente angular da reta tangente ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica em

cada ponto descartando a anaacutelise via zeros da funccedilatildeo Como a inclinaccedilatildeo da reta tangente

no veacutertice da paraacutebola possui valor nulo uma vez que a reta tangente eacute horizontal segue

que a derivada da funccedilatildeo (f(x) = ax2+ bx+ c) no ponto que conteacutem a abscissa do veacutertice

eacute igual a zero isto eacute

f prime(x) = 0hArr 2axv + b = 0hArr minusb2a

Jaacute a ordenada yv pode ser obtida como a imagem da abscissa ou seja substituindo o

valor da abscissa do veacutertice na funccedilatildeo quadraacutetica

Nesse mesmo artigo AacuteVILA (2006) [2] cita uma aplicaccedilatildeo da derivada segunda

para uma anaacutelise da concavidade da paraacutebola e aleacutem disso tambeacutem faz uma citaccedilatildeo de

referecircncia a uma aplicaccedilatildeo da derivada como taxa de variaccedilatildeo no estudo de Mecacircnica na

Fiacutesica A explanaccedilatildeo com riqueza de detalhes caraacute a cargo do leitor pois assim evita-se

uma fuga demasiada do escopo da discussatildeo desse trabalho de dissertaccedilatildeo

Veja o esboccedilo da situaccedilatildeo descrita acima

Figura 735 Reta tangente a uma dada paraacutebola

Fonte RPM [2] n60

7451 Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada

Conforme a maioria dos livros didaacuteticos de caacutelculo propotildee recomenda-se que a

introduccedilatildeo do estudo de derivadas seja realizada a partir da situaccedilatildeo problema de traccedilar

a reta tangente a uma curva num determinado ponto

Se a gura curviliacutenea for uma circunferecircncia basta encontrar a reta que toca

a circunferecircncia em um uacutenico ponto Mas essa noccedilatildeo natildeo pode ser estendida como caso

geral pois haacute diversos exemplos de curvas qualquer em que uma dada reta intercepta

somente em um ponto e tal reta natildeo representa a reta tangente Por exemplo se a

referida curva fosse uma paraacutebola eacute oacutebvio que a reta vertical que representa o eixo da

paraacutebola intercepta a curva somente em seu veacutertice e tal reta natildeo representa uma reta

tangente da paraacutebola Sendo assim faz-se necessaacuterio criar uma deniccedilatildeo geral capaz de

ser utilizada em qualquer graacuteco curviliacuteneo

Para isso eacute necessaacuterio partir de uma situaccedilatildeo concreta por exemplo esco-

lhendo o graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica (y = x2) Considere dois pontos nessa curva

P = (a f(a)) e Q = (a+h f(a+h)) A proposta exibida abaixo eacute referente a uma anaacutelise

da inclinaccedilatildeo das retas secantes quando Q se aproxima de P com a intenccedilatildeo de conjectu-

rar uma deniccedilatildeo precisa de reta tangente via razatildeo incremental (inclinaccedilatildeo coeciente

angular)

Observe o procedimento da situaccedilatildeo descrita via representaccedilatildeo no GeoGebra

cujos passos devem ser repassados conforme proposiccedilatildeo abaixo

1o passo Digite na linha de comandos (campo entrada) a lei de formaccedilatildeo da

funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2)

2o passo Crie dois controles deslizantes a e h O primeiro (a) com intervalo

de variaccedilatildeo de -10 ateacute 10 com incremento de 01 O segundo (h) com mesmo intervalo e

com mesmo de 001

3o passo Crie dois pontos (A e Q) O primeiro com coordenadas A = (a f(a))

e o segundo com coordenadas Q = (a+ h f(a+ h)) Em seguida crie a reta denida por

dois pontos (A e Q)

4o passo Crie uma razatildeo incremental (m) tal que

m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)

5o passo Solicite aos alunos que realize variaccedilatildeo no controle deslizante a e no

controle deslizante h

6o passo Mantenha o controle deslizante na posiccedilatildeo a = 1 e faccedila variaccedilotildees no

7o passo Solicite aos alunos que comparem o valor do coeciente angular da

reta AQ com o valor da razatildeo incremental (m) quando o ponto Q se aproxima do ponto

A em sua vizinhanccedila

A seguir observe as retas secantes ao graacuteco da funccedilatildeo quadraacutetica (f(x) = x2

com representaccedilatildeo de limites laterais (h = minus004 e h = 004) Eacute vaacutelido que apoacutes a

realizaccedilatildeo dos passos descritos e de analisar as conjecturas obtidas pelos alunos o professor

deve realizar diversos questionamentos acerca da atividade desenvolvida dentre os quais

o de maior destaque consiste em observar o que acontece na vizinha do ponto P = (1 1)

Figura 736 Reta secante ao graacuteco de uma funccedilatildeo quadraacutetica f(x) = x2 (limite lateral

a esquerda)

Fonte GeoGebra

a direita)

Fonte GeoGebra

7452 Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada

Apoacutes realizar experimento via GeoGebra e incitar conjecturar a partir de inuacute-

meras modicaccedilotildees nos cursores (a e h) que conduzem alteraccedilotildees no ponto escolhido e no

incremento lateral analisado eacute hora de utilizar o quadro da sala de aula com o intuito

de realizar um estudo algeacutebrico das etapas a partir da anaacutelise da razatildeo incremental (m)

comparando com o valor do coeciente angular da reta secante AQ

Observe como seria o referido estudo analiacutetico e algeacutebrico

=f(a+ h)minus f(a)(a+ h)minus h

=(a+ h)2 minus a2

=2ah+ h2

= 2a+ h

Note que quanto mais proacuteximo o ponto Q estiver em relaccedilatildeo ao ponto A o

valor de h tenderaacute a zero isto eacute

limhrarr0

[m =(y(Q)minus y(A))(x(Q)minus x(A)

] = limhrarr0

[2a+ h] = 2a

Note que para a = 1 implica em m = 2 ou seja a inclinaccedilatildeo da secante

AQ tambeacutem seraacute igual a 2 e nesse momento a reta via GeoGebra secante deixa de

existir pois natildeo faz sentido para o programa divisatildeo com denominador nulo Mas eacute

vaacutelido ressaltar que a reta existe e trata-se da reta tangente cuja inclinaccedilatildeo (coeciente

angular ou razatildeo incremental) coincide com o valor da derivada no ponto A Caso o

professor ache conveniente introduza a notaccedilatildeo de derivada primeira num ponto qualquer

determinado (f prime(a) = 2a) Essa atitude de acordo com o niacutevel de abstraccedilatildeo da turma

pode ser um belo exemplo e uma boa alternativa de introduccedilatildeo das teacutecnicas e propriedades

de derivaccedilatildeo da funccedilatildeo polinomial

Na atividade proposta tambeacutem foi utilizada a funccedilatildeo quadraacutetica mas eacute vaacute-

lido salientar que haacute viabilidade e facilidade da extensatildeo para demais funccedilotildees (1o grau

exponencial logariacutetmica e ateacute mesmo a funccedilatildeo trigonomeacutetrica)

O problema descrito abaixo eacute referente a uma situaccedilatildeo problema de utilizaccedilatildeo

praacutetica do estudo de derivada com auxiacutelio do GeoGebra

1a Situaccedilatildeo problema Aplicaccedilatildeo num problema de maximizaccedilatildeo

Um terreno em formato retangular possui periacutemetro de medida igual a 74

metros A partir dessa informaccedilatildeo determine a medida dos lados desse retacircngulo para

que a aacuterea desse terreno seja maacutexima

Resoluccedilatildeo passo a passo via GeoGebra

1o passo Equacionar o problema a partir dos dados

Sejam a e b os lados do terreno em questatildeo

Como o periacutemetro mede 74 metros segue que 2a+ 2b = 74

Isto eacute a+ b = 37 que eacute equivalente a b = 37minus a

Como o problema solicita os valores das dimensotildees que geram aacuterea (S)maacutexima

segue que S = ab = a(37minus a) = minusa2 + 37a

2o passo Apoacutes o equacionamento construir via GeoGebra o graacuteco da funccedilatildeo

quadraacutetica obtida (f(x) = minusx2 + 37x)

3o passo Criar um controle deslizante (a) de intervalo de -50 a 50 com incre-

mento de 01

4o passo Criar um ponto de coordenadas P = (a f(a)) Em seguida criar

uma reta tangente no ponto P

5o passo Varie o controle deslizante e observe na janela de aacutelgebra os valores

das ordenadas do ponto P

Observe a imagem da tela do GeoGebra apoacutes sequencia dos passos anteriores

Figura 738 Ponto (P ) de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica relativo a aacuterea retangular

Fonte Imagem capturada de janela do GeoGebra

Note que quando o ponto P atinge o veacutertice (V ) da paraacutebola as coordenadas

desse ponto satildeo dadas por V = (185 34225) Assim eacute possiacutevel concluir que a funccedilatildeo

aacuterea assume valor maacuteximo quando a reta tangente torna-se horizontal isto eacute a maacutexima

aacuterea ocorre quando a inclinaccedilatildeo da reta tangente eacute igual a zero e o retacircngulo torna-se um

quadrado de lado de medida 185 metros Utilizando a linguagem do caacutelculo eacute possiacutevel

dizer que a aacuterea eacute maacutexima quando a derivada no ponto P eacute igual a zero (vide imagem a

seguir)

Figura 739 Reta tangente ao ponto de maacuteximo da funccedilatildeo quadraacutetica

Fonte Imagem capturada da janela do GeoGebra

8 CONCLUSAtildeO

Ao tomar a decisatildeo nal de pesquisar sobre o tema em estudo e escrever uma

proposta de sequecircncia didaacutetica de resgate agrave inserccedilatildeo das noccedilotildees elementares do Caacutelculo

durante o Ensino Meacutedio eacute importante confessar que a princiacutepio tal ideia aparentemente

foi considerada absurda antiquada e de discussatildeo despreziacutevel Apoacutes nalizar todo o levan-

tamento de dados dessa dissertaccedilatildeo foi possiacutevel perceber quatildeo eacute pertinente tal discussatildeo

e quanto o ensino estaacute sendo negligenciado por professores experientes e de reputaccedilatildeo

ilibada no mercado da terceira etapa da educaccedilatildeo baacutesica

Assim como opinaram a maioria dos professores que atua na rede municipal

e estadual do Espiacuterito Santo nossa visatildeo a priori do tema da pesquisa era criacutetica e

contraacuteria agrave introduccedilatildeo de conceitos de limite deriva e integral Uma justicativa plausiacutevel

seria dizer que a clientela existente na educaccedilatildeo baacutesica diariamente estaacute constantemente

nos desapontando com problemas simples de matemaacutetica elementar e isso talvez tenha

contribuiacutedo para o equiacutevoco de considerar tal proposta absurda impossiacutevel e incompatiacutevel

com a realidade da maioria das escolas capixabas poreacutem em contrapartida eacute preciso

focar a atenccedilatildeo ao prejuiacutezo que estamos causando agravequela minoria de estudantes aacutevidos

pelo saber e que possuem alto grau de abstraccedilatildeo A preparaccedilatildeo de nossos alunos para

ingressarem no estudo de matemaacutetica superior natildeo estaacute sendo suciente Isso pode ser

uma das justicas para os piacuteos iacutendices de aprovaccedilatildeo da maior parte dos alunos que

estudam Caacutelculo A implementaccedilatildeo de nossa proposta em sala de aula mesmo que seja

para um seleto grupo pode gerar mudanccedilas signicativas com contribuiccedilotildees iacutempares para

o ensinoaprendizagem dos alunos partiacutecipes

Tambeacutem foi possiacutevel reetir sobre vaacuterios pontos da educaccedilatildeo matemaacutetica ca-

pixaba em particular do puacuteblico alvo da pesquisa pertencente agrave Grande Vitoacuteria que

perpassa desde a formaccedilatildeo inconsistente dos professores seja de instituiccedilatildeo puacuteblica ou

privada ateacute a precariedadenegligecircncia de nossos livros didaacuteticos do curriacuteculo estadual

dos PCN da proposta do ENEM e dos cursos de capacitaccedilatildeo em relaccedilatildeo ao repasse de

noccedilotildees elementares do Caacutelculo

O presente trabalho serviu para nos alertar sobre a importacircncia da Histoacuteria

da Matemaacutetica na evoluccedilatildeo dos conceitos Agraves vezes desejamos que os alunos aprendam

algo em um dia sendo que tal conceito demorou seacuteculos para atingir o rigor e o padratildeo

preestabelecido em nossas literaturas de matemaacutetica Aleacutem disso serviu de instrumento

norteador para pensar em mudanccedilas ou adaptaccedilotildees signicativas em nossos livros didaacute-

ticos para que os mesmos estejam em conformidade com a proposta constitucional de

preparaccedilatildeo para uma continuaccedilatildeo de estudos mais avanccedilados Tambeacutem serviu de aper-

feiccediloamento do conhecimento via emprego praacutetico e motivador de planilhas eletrocircnicas e

softwares de geometria dinacircmica (GeoGebra) Como esses recursos podem tornar as aulas

mais interessantes e fazer com que o ensinoaprendizagem seja facilitado

O emprego das noccedilotildees de Caacutelculo no Ensino Meacutedio via noccedilotildees intuitivas e

via situaccedilotildees problema de aplicaccedilotildees reais pode ser incluso novamente nos PNCEM

no curriacuteculo estadual eou entatildeo nas estrateacutegias suplementares do plano pedagoacutegico da

escola baacutesica com o intuito de oportunizar um aprendizado mais qualicado aos alunos

e de preparaacute-los para estudos posteriores com maior teor de abstraccedilatildeo Foi possiacutevel

vericar que algumas propriedades satildeo justicadas de maneira rigorosa apenas com o

auxiacutelio de ideais correlatas do Caacutelculo (limite derivada e integral) principalmente a

explicaccedilatildeo matemaacutetica de alguns fenocircmenos fiacutesicos e quiacutemicos tornando a matemaacutetica

interdisciplinar

Enm eacute preciso ensinar matemaacutetica com o intuito de formar alunos aptos a

lidar com situaccedilotildees extremas de abstraccedilatildeo nas universidades e natildeo somente para adqui-

rirem bom rendimento nos exames de caraacuteter nacional (ENEM PAEBES etc) Anal

a omissatildeo pode estar causando resultados negativos como desmotivaccedilatildeo dos alunos da

escola baacutesica reduccedilatildeo de procura por cursos que requerem uma boa formaccedilatildeo na aacuterea

de exatas e aulas expositivas cada vez mais distantes da realidade cotidiana dos nossos

alunos Assim as poliacuteticas governamentais assim como os professores devem participar

dessas discussotildees com propostas de viabilidade de cursos de capacitaccedilatildeo que oriente os

prossionais a trabalharem com as noccedilotildees de Caacutelculo via aulas expositivas com adaptaccedilotildees

de recursos didaacuteticos disponiacuteveis e via produccedilatildeo de material especiacuteco que complemente as

lacunas deixadas pelos livros didaacuteticos disponiacuteveis Essa adaptaccedilatildeo ao modelo tradicional

de ensino que jaacute se mostrou desmotivador arcaico e ultrapassado pode ser uma alterna-

tiva eciente para resgatar a busca incessante pelo aprofundamento do saber matemaacutetico

fiacutesico e quiacutemico por parte dos alunos

I Resultados do questionaacuterio aplicado aos

graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo

I Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)113

II Resultados do questionaacuterio aplicado aos

professores de Matemaacutetica (Anexo B)

II Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B) 116

Referecircncias Bibliograacutecas

[1] AacuteVILA Geraldo O Ensino do Caacutelculo no Segundo Grau Revista do Professor de

Matemaacutetica n18 Rio de Janeiro SBM 1991 p1-9

[2] AacuteVILA Geraldo Limites e Derivadas no Ensino Meacutedio Revista do Professor de

[3] BOYER Carl Benjamim Histoacuteria da Matemaacutetica 2aEd Satildeo Paulo Editora Edgard

Blucher 1996

[4] BOYER Carl Benjamim Caacutelculo Toacutepicos de Histoacuteria da Matemaacutetica para o uso

em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992

[5] CARVALHO Joatildeo Bosco Pitombeira O Caacutelculo na escola secundaacuteria - algumas

consideraccedilotildees histoacutericas Caderno CEDES Campinas Papirus n40 p 68-81 1996

[6] CONTADOR Paulo Roberto Martins Matemaacutetica uma breve Histoacuteria Volume I

4aEd Satildeo Paulo Livraria de Fiacutesica 2012

[7] CONTADOR Paulo Roberto Martins Matemaacutetica uma breve Histoacuteria Volume II

[8] CONTADOR Paulo Roberto Martins Matemaacutetica uma breve Histoacuteria Volume III

[9] DANTE Luis Roberto Matemaacutetica Contexto e Aplicaccedilotildees 3v 1aEd Satildeo Paulo

Ed Aacutetica 2010

[10] DUCLOS Roberto Costa Caacutelculo no Segundo Grau Revista do Professor de Mate-

maacutetica n 20 Rio de Janeiro SBM 1992 p26-30

[11] EVES Howard Introduccedilatildeo agrave Histoacuteria da Matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo Uni-

camp 2004

[12] FINNEY Ross Lee WEIR Maurice GIORDANO Frank Caacutelculo de George B

Thomas Volume I 10aEd Satildeo Paulo Person Addison Wesley 2002

REFEREcircNCIAS BIBLIOGRAacuteFICAS 120

[13] GALARDA Lilian Jeanette SILVA Sophia E E ROSSI Suely M MA Evoluccedilatildeo

do Caacutelculo atraveacutes da Histoacuteria 1aEd Vitoacuteria UFES 1999

[14] GIOVANNI Joseacute Ruy BONJORNO Joseacute RobertoMatemaacutetica Completa 3v 2aEd

Satildeo Paulo FTD 2005

[15] IEZZI Gelson et alMatemaacutetica Ciecircncia e Aplicaccedilotildees 3v 6aEd Satildeo Paulo Editora

Atual 2010

[16] LIMA Elon Lages Logaritmos Brasiacutelia SBM 1980

[17] LIMA Elon Lages et al A Matemaacutetica do Ensino Meacutedio 3v Rio de Janeiro SBM

[18] MACHADO Nilson Joseacute Noccedilotildees de Caacutelculo Satildeo Paulo Editore Scipione 1989

[19] MACHADO Nilson Joseacute Caacutelculo Diferencial e Integral na Escola Baacutesica Possiacutevel e

Necessaacuterio Satildeo Paulo Seminaacuterios de Ensino da Matemaacutetica - Faculdade de Educaccedilatildeo

da Universidade de Satildeo Paulo (FEUSP)2008

[20] BRASIL Ministeacuterio da Educaccedilatildeo Paracircmetros Curriculares Nacionais para o Ensino

Meacutedio Brasiacutelia MECSEMTEC 2000

[22] MORAES Mocircnica Suelen Ferreira de et al Alguns apontamentos so-

bre o desenvolvimento histoacuterico do conceito de limite de funccedilatildeo X Se-

minaacuterio Nacional de Histoacuteria da Matemaacutetica 2013 Disponiacutevel em

lthttpwwwcleunicampbreprintsindexphpanais-snhmindexgt Acesso em

10 de Janeiro de 2014

[23] PAIVA Manuel Matemaacutetica 3v 1aEd Satildeo Paulo Moderna 2009

[24] SANTOS Damiana A Inclusatildeo do Caacutelculo Diferencial e Integral no Curriacuteculo do

Ensino Meacutedio Trabalho de Conclusatildeo do Curso de Licenciatura em Matemaacutetica -

Universidade Severino Sombra Vassouras 2006

[25] SOUZA Joamir Roberto de Novo Olhar Matemaacutetica 3v 1aEd Satildeo Paulo FTD

[26] GOULART Luis Amorim CAacuteLCULO NO ENSINO MEacuteDIO Progressotildees geomeacutetri-

cas e o que vai para debaixo do tapete Rio de JaneiroIMPA 2013 97f (Dissertaccedilatildeo

Mestrado Prossional em Matemaacutetica) - Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Matemaacute-

tica PROFMAT-IMPA Associaccedilatildeo Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada Rio

de Janeiro 2013

[27] BRITO Faacutebio Luis de CAacuteLCULO NO ENSINO MEacuteDIO Aacuterea sob o graacuteco de

uma curva Rio de JaneiroIMPA 2013 59f (Dissertaccedilatildeo Mestrado Prossional em

Matemaacutetica) - Programa de Poacutes-Graduaccedilatildeo em Matemaacutetica PROFMAT-IMPA As-

sociaccedilatildeo Instituto de Matemaacutetica Pura e Aplicada Rio de Janeiro 2013

[28] POLYA George A arte de resolver problemas um novo aspecto do meacutetodo mate-

maacutetico Traduccedilatildeo e adaptaccedilatildeo de Heitor Lisboa de Arauacutejo 2aReimpressatildeo Rio de

Janeiro Interciecircncia Ltda 1995

[29] GARBI Gilberto Geraldo CQD Explicaccedilotildees e demonstraccedilotildees sobre conceitos te-

oremas e foacutermulas essenciais da geometria 1aEd Satildeo Paulo Editoria Livraria da

Fiacutesica 2010

[30] BRASIL Senado Federal Lei de Diretrizes e Bases da Educaccedilatildeo Nacional Brasiacutelia

Lei 93941996

[31] WAGNER Eduardo Usando Aacutereas Revista do Professor de Matemaacutetica n21 Rio

de Janeiro SBM 1992

[32] CARNEIRO Joseacute Paulo e WAGNER Eduardo Vale a pena estudar Caacutelculo Re-

vista do Professor de Matemaacutetica n53 Rio de Janeiro SBM 2004 p18-21

[33] BIZELLI Maria Helena S S Caacutelculo Digital Conteuacutedos didaacuteti-

cos digitais para o ensino e aprendizagem do Caacutelculo Disponiacutevel em

lthttpwwwcalculoiqunespbrsitenovoCalculo1calculodigitalhtmlgt Aces-

sado em 10 de Marccedilo de 2014

[34] LUCHETA Valeacuteria Ostete JannisMatemaacutetica Interativa na Internet Papiro Rhind

Disponiacutevel em lthttpwwwmatematicabrhistoriaprhindhtmlgt Acessado em

15 de Marccedilo de 2014

[35] WIKIPEacuteDIA Desenvolvido pela Wikimedia Foundation Apresenta conteuacutedo enci-

clopeacutedico Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiMatemaacuteticababilnica Aces-

[36] GOMES Gisela Hernandes Lopes Ceacutelia Mendes Carvalho Nieto Solange dos San-

tos Caacutelculo zero uma experiecircncia pedagoacutegica com calouros nos cursos de engenharia

In CONGRESSO BRASILEIRO DE ENSINO DE ENGENHARIA 33 2005 Cam-

pina Grande Anais Campina Grande UFPB 2005 CD-ROM

[37] STEWART James CALCULO vol I Traduccedilatildeo da 5aEd Satildeo Paulo Pioneira

Thomson Learning 2006

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

INTRODUCcedilAtildeO

VANTAGENS E DESVANTAGENS DA INSERCcedilAtildeO

DADOS HISTOacuteRICOS DA EVOLUCcedilAtildeO DO CAacuteLCULO

MAPEAMENTO DE CONCEITOS DA EDUCACcedilAtildeO BAacuteSICA

ANAacuteLISE DOS LIVROS DIDAacuteTICOS

ABORDAGEMCONDUTA DOS PROFESSORES

SEQUEcircNCIA DIDAacuteTICA

NOCcedilOtildeES INTUITIVAS DE LIMITE NO ENSINO FUNDAMENTAL

Diacutezimas Perioacutedicas

Completude na demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales

Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales usando aacutereas

Caacutelculo da medida da aacuterea de um retacircngulo

NOCcedilOtildeES DE LIMITE EM PARALELO AO ESTUDO DE FUNCcedilOtildeES

Estudo do comportamento graacutefico de algumas funccedilotildees

EXPLORANDO AS DIacuteZIMAS PERIOacuteDICAS E SUAS IMPLICACcedilOtildeES

Relaccedilatildeo entre grandezas incomensuraacuteveis e o conceito de limite

Utilizaccedilatildeo do nuacutemero de Euler na Capitalizaccedilatildeo Contiacutenua

OUTRAS APLICACcedilOtildeES DE NOCcedilOtildeES DE CAacuteLCULO

Utilizando as noccedilotildees de indivisiacuteveis de Cavalieri

Caacutelculo da aacuterea de uma elipse

Aacuterea sob o graacutefico de uma curva

Atividades interdisciplinares com a Fiacutesica

Velocidade x Tempo e Caacutelculo de Velocidade instantacircnea

Transformaccedilatildeo Isoteacutermica ou Lei de Boyle

Sugestatildeo de estrateacutegia de inserccedilatildeo da derivada

Interpretaccedilatildeo geomeacutetrica do estudo da derivada

Interpretaccedilatildeo algeacutebrica do estudo da derivada

CONCLUSAtildeO

Resultados do questionaacuterio aplicado aos graduandos de engenharia da FAACZ (Anexo A)

Resultados do questionaacuterio aplicado aos professores de Matemaacutetica (Anexo B)

Referecircncias Bibliograacuteficas

Dissertaccedilatildeo apresentada ao Curso de Mestrado Pro-

ssional em Matemaacutetica da UFES como requisito

parcial para a obtenccedilatildeo do tiacutetulo de Mestre em

Matemaacutetica

Orientador Etereldes Gonccedilalves Juacutenior

Doutor em Matemaacutetica - IMPA-RJ

Vitoacuteria

e Miguel

Resumo

Abstract

Agradecimentos

necessidades

Sumaacuterio

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 10

FAACZ (Anexo A) 112

B) 115

Lista de Figuras

602+ 10

1414212 28

a esquerda) 105

a direita) 106

Lista de Tabelas

INSERCcedilAtildeO

(FAACZ)

verdadeiro paradoxo

didaacuteticos etc)

integral

CAacuteLCULO

a e A e se un = A2n

De acordo BOYER [4]

no seacuteculo XV

Analiacutetica

+ 51602

+ 10603

= 1414212

ensino superior

desnecessaacuterias

Aacutetica 2010

autores)

Caacutelculo

contextualizada

integral

res de limite

res de derivada

res de integral

Caacutelculo

plinar

Caacutelculo

PROFESSORES

vigente

entre outros

FUNDAMENTAL

retacircngulo

isto eacutea

a middot 2yminusx

22 middot 5=

7 middot 52minus1

100= 0 35

103 middot 3 + 1

10(3 +

3= 0 3 +

10(0 3 +

3) = 0 3 + 0 03 +

3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()

3 tem-se

10(2 middot 11 + 8

10(2 +

103011

= 110(2middot11+8

11) = 1

10(2 + 8

11) = 2

10 811

0 2 + 110 80110

= 0 2 + 1100(7middot11+3

11) = 0 2 + 0 07 + 1

100 311

= 0 27 + 1100 311

Ou seja 311

= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1

Considere que

r = 0 b1b2b3bk

Daiacute segue que

=b1b2b3bk9999

Logo tem-se

r = 5 777

rArr 10r = 57 777

rArr 9r = 52

rArr r =52

5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7

CD=AprimeBprime

C primeDprime

transversais

no segmento CD

= munu

= mn(I)

CprimeDprime =mwnw

= mn(II)

= AprimeBprime

versais

Fonte GeoGebra

entatildeo u lt BC

Fonte GeoGebra

lt BCAB

a reta s

Fonte GeoGebra

primen+1 cruzaria

lt EFDE

e nm os segmentos

e EFDE

ABe EFDE

ABprime

AB=S(ABprimeC prime

S = b middot h

n1e m2

n1middotn2= m1

n1middot m2

tem-se

k(yk + uk)

rArr 1

k(yk + uk) =

k+ 2a+ 2b)

Fonte GeoGebra

S = ab isto eacute

xkuk lt ab lt vkyk

rArr k

nmiddot mnlt

(k + 1)

nmiddot (m+ 1)

rArr km(1

n)2 lt (k +m+ 1)(

n) da pretendida

de comprimento

Fonte GeoGebra

2 33x = 233

x2 = 25

denida por

f(x) =x2 minus 4

xminus 2=

(x+ 2)(xminus 2)

xminus 2= x+ 2

x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2

f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4

vizinhanccedila

e superior

log x = +infin

Fonte GeoGebra

isto eacute

rArr S = 1(n+1)

(n+1)f(

2(n+1)

(n+1)f(

3(n+1)

(n+1)f(

n(n+1)

rArr S =1

(n+ 1)3

1(1 + 1

)3 (1 + 3

limsrarrinfin

S = limnrarrinfin

1(1 + 1

)3 (1 + 3

Fonte Geogebra

Meacutedio

(1minus α

minusα

(1minus α

)nM0 = M0 lim

nrarrinfin

(1minus α

da seguinte maneira

a1(qn minus 1)

q minus 1

limnrarrinfin

S = limnrarrinfin

n minus 1)

q minus 1

1minus q

S = limnrarrinfin

[( 110)n minus 1

]0 1minus 1

=minus0 9minus0 9

Figura 713 Processo

Equilaacuteteros

mente por(l2 l

)e(a2radic3 a

2radic3

1minusq =l2

1minus 12

= l2 Isto

1minusq = a2radic3

1minus 14

= a2radic3

limite

de ouro 1+radic5

do que 2

14 196 004

141 19881 00119

1414 1999396 0000604

14142 1999962 0000038360000000237100000000000

141421 199999 0000010075900000128300000000000

juros de 100 ao ano

C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0

taxa anual de 100

C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)

rArr C12 = C0(1 + 12)

C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)

rArr C1 = C0(1 + 12)2

nal do 1o trimestre

C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)

rArr C14 = C0(1 + 14)

C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)

rArr C24 = C0(1 + 14)2

C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)

rArr C34 = C0(1 + 14)3

C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)

rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4

C1 = C0(1 + 112)12

C1 = C0(1 + 1365)365

C1 = C0(1 +1

n (1 + 1n)n

3 237037037

4 244140625

5 248832

10 259374246

50 2691588029

100 2704813829

1000 2716923932

10000 2718145927

100000 2718268237

1000000 2718280469

S(n) =nsumk=1

mede 13

Fonte Geogebra

pretendida

Fonte Geogebra

4middot 45+

4middot 46+

4middot 47+

4middot 48+

4middot 49+

4middot 410

4middot 411

4middot 412

rArr S asymp 1 019

Fonte Geogebra

Fermat

Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h

VA = Ve minus Vi

tem-se

rArr VAx

= πh2r + πhx

rArr VAx

= S = 2πhr

rArr VCasca =4

3π(r + h)3 minus 4

rArr VCasca =4

3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)

rArr VCasca =4

3π(3r2h+ 3rh2 + h3)

tem-se

rArr VCascah

3π(3r2 + 3rh+ h2)

segue queVCascah

= S =4

que h = Hn

de r k e nr

rArr r

rArr r1 =rk

VCilindro = πr21h

VCone = πr2H1

n312 + πr2H

n322 + πr2H

n332 + πr2H

= πr2H1

dado que a mesma

6= n(n+1)(2n+1)

alunos

Fonte Geogebra

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

Fonte Geogebra

A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]

rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1

(1 + i)i

Portanto tem-se

(1 + i)i

2] = (

6(6 + 1)

2)middot6minus1

2middot[5sumi=1

i+5sumi=1

Fonte Geogebra

Daiacute segue que

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot5sumi=1

iminus 1

2middot5sumi=1

rArr6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot5sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot ([

6sumi=1

i2]minus 62)

rArr6sumi=1

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 3

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 6

6sumi=1

i2 =62 + 6

2minus 62 minus 6

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

rArr6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

6sumi=1

VCone = πr2H1

= πr2H1

)= πr2H

VCone =1

3πr2H

x2 + y2 = a2 ex2

y =radica2 minus x2

eyprime2

b2= 1minus x2

rArr yprime =

radicb2(1minus x2

radica2 minus x2

Area da elipse

Area do circulo=b

aArea do circulo

aπa2 = πab

Fonte GeoGebra

para n = 11

para n = 100

curva dada

10middot1002

= 20003

= 666 6

para n = 5

para n = 10

inscrito

circunscrito

do trabalho

aplicar o trabalho

vm =4S4t

t(segundos) 0 1 2 3 4 5

v (ms) 2 5 8 11 14 17

Fonte GeoGebra

3 18 54

6 9 54

12 45 54

18 3 54

24 225 54

Fonte GeoGebra

(2006) [24]

Fonte RPM [2] n60

angular)

com mesmo de 001

dois pontos (A e Q)

a esquerda)

Fonte GeoGebra

a direita)

Fonte GeoGebra

=(a+ h)2 minus a2

=2ah+ h2

= 2a+ h

limhrarr0

] = limhrarr0

[2a+ h] = 2a

mento de 01

seguir)

8 CONCLUSAtildeO

interdisciplinar

Blucher 1996

Ed Aacutetica 2010

camp 2004

Atual 2010

de Janeiro 2013

Fiacutesica 2010

Lei 93941996

de Janeiro SBM 1992

Lista de Figuras

Lista de Tabelas





















CONCLUSAtildeO




e Miguel

Resumo

Abstract

Agradecimentos

necessidades

Sumaacuterio

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 10

FAACZ (Anexo A) 112

B) 115

Lista de Figuras

602+ 10

1414212 28

a esquerda) 105

a direita) 106

Lista de Tabelas

INSERCcedilAtildeO

(FAACZ)

verdadeiro paradoxo

didaacuteticos etc)

integral

CAacuteLCULO

a e A e se un = A2n

De acordo BOYER [4]

no seacuteculo XV

Analiacutetica

+ 51602

+ 10603

= 1414212

ensino superior

desnecessaacuterias

Aacutetica 2010

autores)

Caacutelculo

contextualizada

integral

res de limite

res de derivada

res de integral

Caacutelculo

plinar

Caacutelculo

PROFESSORES

vigente

entre outros

FUNDAMENTAL

retacircngulo

isto eacutea

a middot 2yminusx

22 middot 5=

7 middot 52minus1

100= 0 35

103 middot 3 + 1

10(3 +

3= 0 3 +

10(0 3 +

3) = 0 3 + 0 03 +

3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()

3 tem-se

10(2 middot 11 + 8

10(2 +

103011

= 110(2middot11+8

11) = 1

10(2 + 8

11) = 2

10 811

0 2 + 110 80110

= 0 2 + 1100(7middot11+3

11) = 0 2 + 0 07 + 1

100 311

= 0 27 + 1100 311

Ou seja 311

= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1

Considere que

r = 0 b1b2b3bk

Daiacute segue que

=b1b2b3bk9999

Logo tem-se

r = 5 777

rArr 10r = 57 777

rArr 9r = 52

rArr r =52

5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7

CD=AprimeBprime

C primeDprime

transversais

no segmento CD

= munu

= mn(I)

CprimeDprime =mwnw

= mn(II)

= AprimeBprime

versais

Fonte GeoGebra

entatildeo u lt BC

Fonte GeoGebra

lt BCAB

a reta s

Fonte GeoGebra

primen+1 cruzaria

lt EFDE

e nm os segmentos

e EFDE

ABe EFDE

ABprime

AB=S(ABprimeC prime

S = b middot h

n1e m2

n1middotn2= m1

n1middot m2

tem-se

k(yk + uk)

rArr 1

k(yk + uk) =

k+ 2a+ 2b)

Fonte GeoGebra

S = ab isto eacute

xkuk lt ab lt vkyk

rArr k

nmiddot mnlt

(k + 1)

nmiddot (m+ 1)

rArr km(1

n)2 lt (k +m+ 1)(

n) da pretendida

de comprimento

Fonte GeoGebra

2 33x = 233

x2 = 25

denida por

f(x) =x2 minus 4

xminus 2=

(x+ 2)(xminus 2)

xminus 2= x+ 2

x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2

f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4

vizinhanccedila

e superior

log x = +infin

Fonte GeoGebra

isto eacute

rArr S = 1(n+1)

(n+1)f(

2(n+1)

(n+1)f(

3(n+1)

(n+1)f(

n(n+1)

rArr S =1

(n+ 1)3

1(1 + 1

)3 (1 + 3

limsrarrinfin

S = limnrarrinfin

1(1 + 1

)3 (1 + 3

Fonte Geogebra

Meacutedio

(1minus α

minusα

(1minus α

)nM0 = M0 lim

nrarrinfin

(1minus α

da seguinte maneira

a1(qn minus 1)

q minus 1

limnrarrinfin

S = limnrarrinfin

n minus 1)

q minus 1

1minus q

S = limnrarrinfin

[( 110)n minus 1

]0 1minus 1

=minus0 9minus0 9

Figura 713 Processo

Equilaacuteteros

mente por(l2 l

)e(a2radic3 a

2radic3

1minusq =l2

1minus 12

= l2 Isto

1minusq = a2radic3

1minus 14

= a2radic3

limite

de ouro 1+radic5

do que 2

14 196 004

141 19881 00119

1414 1999396 0000604

14142 1999962 0000038360000000237100000000000

141421 199999 0000010075900000128300000000000

juros de 100 ao ano

C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0

taxa anual de 100

C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)

rArr C12 = C0(1 + 12)

C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)

rArr C1 = C0(1 + 12)2

nal do 1o trimestre

C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)

rArr C14 = C0(1 + 14)

C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)

rArr C24 = C0(1 + 14)2

C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)

rArr C34 = C0(1 + 14)3

C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)

rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4

C1 = C0(1 + 112)12

C1 = C0(1 + 1365)365

C1 = C0(1 +1

n (1 + 1n)n

3 237037037

4 244140625

5 248832

10 259374246

50 2691588029

100 2704813829

1000 2716923932

10000 2718145927

100000 2718268237

1000000 2718280469

S(n) =nsumk=1

mede 13

Fonte Geogebra

pretendida

Fonte Geogebra

4middot 45+

4middot 46+

4middot 47+

4middot 48+

4middot 49+

4middot 410

4middot 411

4middot 412

rArr S asymp 1 019

Fonte Geogebra

Fermat

Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h

VA = Ve minus Vi

tem-se

rArr VAx

= πh2r + πhx

rArr VAx

= S = 2πhr

rArr VCasca =4

3π(r + h)3 minus 4

rArr VCasca =4

3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)

rArr VCasca =4

3π(3r2h+ 3rh2 + h3)

tem-se

rArr VCascah

3π(3r2 + 3rh+ h2)

segue queVCascah

= S =4

que h = Hn

de r k e nr

rArr r

rArr r1 =rk

VCilindro = πr21h

VCone = πr2H1

n312 + πr2H

n322 + πr2H

n332 + πr2H

= πr2H1

dado que a mesma

6= n(n+1)(2n+1)

alunos

Fonte Geogebra

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

Fonte Geogebra

A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]

rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1

(1 + i)i

Portanto tem-se

(1 + i)i

2] = (

6(6 + 1)

2)middot6minus1

2middot[5sumi=1

i+5sumi=1

Fonte Geogebra

Daiacute segue que

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot5sumi=1

iminus 1

2middot5sumi=1

rArr6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot5sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot ([

6sumi=1

i2]minus 62)

rArr6sumi=1

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 3

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 6

6sumi=1

i2 =62 + 6

2minus 62 minus 6

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

rArr6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

6sumi=1

VCone = πr2H1

= πr2H1

)= πr2H

VCone =1

3πr2H

x2 + y2 = a2 ex2

y =radica2 minus x2

eyprime2

b2= 1minus x2

rArr yprime =

radicb2(1minus x2

radica2 minus x2

Area da elipse

Area do circulo=b

aArea do circulo

aπa2 = πab

Fonte GeoGebra

para n = 11

para n = 100

curva dada

10middot1002

= 20003

= 666 6

para n = 5

para n = 10

inscrito

circunscrito

do trabalho

aplicar o trabalho

vm =4S4t

t(segundos) 0 1 2 3 4 5

v (ms) 2 5 8 11 14 17

Fonte GeoGebra

3 18 54

6 9 54

12 45 54

18 3 54

24 225 54

Fonte GeoGebra

(2006) [24]

Fonte RPM [2] n60

angular)

com mesmo de 001

dois pontos (A e Q)

a esquerda)

Fonte GeoGebra

a direita)

Fonte GeoGebra

=(a+ h)2 minus a2

=2ah+ h2

= 2a+ h

limhrarr0

] = limhrarr0

[2a+ h] = 2a

mento de 01

seguir)

8 CONCLUSAtildeO

interdisciplinar

Blucher 1996

Ed Aacutetica 2010

camp 2004

Atual 2010

de Janeiro 2013

Fiacutesica 2010

Lei 93941996

de Janeiro SBM 1992

Lista de Figuras

Lista de Tabelas





















CONCLUSAtildeO




Resumo

Abstract

Agradecimentos

necessidades

Sumaacuterio

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 10

FAACZ (Anexo A) 112

B) 115

Lista de Figuras

602+ 10

1414212 28

a esquerda) 105

a direita) 106

Lista de Tabelas

INSERCcedilAtildeO

(FAACZ)

verdadeiro paradoxo

didaacuteticos etc)

integral

CAacuteLCULO

a e A e se un = A2n

De acordo BOYER [4]

no seacuteculo XV

Analiacutetica

+ 51602

+ 10603

= 1414212

ensino superior

desnecessaacuterias

Aacutetica 2010

autores)

Caacutelculo

contextualizada

integral

res de limite

res de derivada

res de integral

Caacutelculo

plinar

Caacutelculo

PROFESSORES

vigente

entre outros

FUNDAMENTAL

retacircngulo

isto eacutea

a middot 2yminusx

22 middot 5=

7 middot 52minus1

100= 0 35

103 middot 3 + 1

10(3 +

3= 0 3 +

10(0 3 +

3) = 0 3 + 0 03 +

3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()

3 tem-se

10(2 middot 11 + 8

10(2 +

103011

= 110(2middot11+8

11) = 1

10(2 + 8

11) = 2

10 811

0 2 + 110 80110

= 0 2 + 1100(7middot11+3

11) = 0 2 + 0 07 + 1

100 311

= 0 27 + 1100 311

Ou seja 311

= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1

Considere que

r = 0 b1b2b3bk

Daiacute segue que

=b1b2b3bk9999

Logo tem-se

r = 5 777

rArr 10r = 57 777

rArr 9r = 52

rArr r =52

5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7

CD=AprimeBprime

C primeDprime

transversais

no segmento CD

= munu

= mn(I)

CprimeDprime =mwnw

= mn(II)

= AprimeBprime

versais

Fonte GeoGebra

entatildeo u lt BC

Fonte GeoGebra

lt BCAB

a reta s

Fonte GeoGebra

primen+1 cruzaria

lt EFDE

e nm os segmentos

e EFDE

ABe EFDE

ABprime

AB=S(ABprimeC prime

S = b middot h

n1e m2

n1middotn2= m1

n1middot m2

tem-se

k(yk + uk)

rArr 1

k(yk + uk) =

k+ 2a+ 2b)

Fonte GeoGebra

S = ab isto eacute

xkuk lt ab lt vkyk

rArr k

nmiddot mnlt

(k + 1)

nmiddot (m+ 1)

rArr km(1

n)2 lt (k +m+ 1)(

n) da pretendida

de comprimento

Fonte GeoGebra

2 33x = 233

x2 = 25

denida por

f(x) =x2 minus 4

xminus 2=

(x+ 2)(xminus 2)

xminus 2= x+ 2

x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2

f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4

vizinhanccedila

e superior

log x = +infin

Fonte GeoGebra

isto eacute

rArr S = 1(n+1)

(n+1)f(

2(n+1)

(n+1)f(

3(n+1)

(n+1)f(

n(n+1)

rArr S =1

(n+ 1)3

1(1 + 1

)3 (1 + 3

limsrarrinfin

S = limnrarrinfin

1(1 + 1

)3 (1 + 3

Fonte Geogebra

Meacutedio

(1minus α

minusα

(1minus α

)nM0 = M0 lim

nrarrinfin

(1minus α

da seguinte maneira

a1(qn minus 1)

q minus 1

limnrarrinfin

S = limnrarrinfin

n minus 1)

q minus 1

1minus q

S = limnrarrinfin

[( 110)n minus 1

]0 1minus 1

=minus0 9minus0 9

Figura 713 Processo

Equilaacuteteros

mente por(l2 l

)e(a2radic3 a

2radic3

1minusq =l2

1minus 12

= l2 Isto

1minusq = a2radic3

1minus 14

= a2radic3

limite

de ouro 1+radic5

do que 2

14 196 004

141 19881 00119

1414 1999396 0000604

14142 1999962 0000038360000000237100000000000

141421 199999 0000010075900000128300000000000

juros de 100 ao ano

C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0

taxa anual de 100

C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)

rArr C12 = C0(1 + 12)

C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)

rArr C1 = C0(1 + 12)2

nal do 1o trimestre

C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)

rArr C14 = C0(1 + 14)

C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)

rArr C24 = C0(1 + 14)2

C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)

rArr C34 = C0(1 + 14)3

C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)

rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4

C1 = C0(1 + 112)12

C1 = C0(1 + 1365)365

C1 = C0(1 +1

n (1 + 1n)n

3 237037037

4 244140625

5 248832

10 259374246

50 2691588029

100 2704813829

1000 2716923932

10000 2718145927

100000 2718268237

1000000 2718280469

S(n) =nsumk=1

mede 13

Fonte Geogebra

pretendida

Fonte Geogebra

4middot 45+

4middot 46+

4middot 47+

4middot 48+

4middot 49+

4middot 410

4middot 411

4middot 412

rArr S asymp 1 019

Fonte Geogebra

Fermat

Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h

VA = Ve minus Vi

tem-se

rArr VAx

= πh2r + πhx

rArr VAx

= S = 2πhr

rArr VCasca =4

3π(r + h)3 minus 4

rArr VCasca =4

3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)

rArr VCasca =4

3π(3r2h+ 3rh2 + h3)

tem-se

rArr VCascah

3π(3r2 + 3rh+ h2)

segue queVCascah

= S =4

que h = Hn

de r k e nr

rArr r

rArr r1 =rk

VCilindro = πr21h

VCone = πr2H1

n312 + πr2H

n322 + πr2H

n332 + πr2H

= πr2H1

dado que a mesma

6= n(n+1)(2n+1)

alunos

Fonte Geogebra

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

Fonte Geogebra

A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]

rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1

(1 + i)i

Portanto tem-se

(1 + i)i

2] = (

6(6 + 1)

2)middot6minus1

2middot[5sumi=1

i+5sumi=1

Fonte Geogebra

Daiacute segue que

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot5sumi=1

iminus 1

2middot5sumi=1

rArr6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot5sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot ([

6sumi=1

i2]minus 62)

rArr6sumi=1

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 3

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 6

6sumi=1

i2 =62 + 6

2minus 62 minus 6

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

rArr6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

6sumi=1

VCone = πr2H1

= πr2H1

)= πr2H

VCone =1

3πr2H

x2 + y2 = a2 ex2

y =radica2 minus x2

eyprime2

b2= 1minus x2

rArr yprime =

radicb2(1minus x2

radica2 minus x2

Area da elipse

Area do circulo=b

aArea do circulo

aπa2 = πab

Fonte GeoGebra

para n = 11

para n = 100

curva dada

10middot1002

= 20003

= 666 6

para n = 5

para n = 10

inscrito

circunscrito

do trabalho

aplicar o trabalho

vm =4S4t

t(segundos) 0 1 2 3 4 5

v (ms) 2 5 8 11 14 17

Fonte GeoGebra

3 18 54

6 9 54

12 45 54

18 3 54

24 225 54

Fonte GeoGebra

(2006) [24]

Fonte RPM [2] n60

angular)

com mesmo de 001

dois pontos (A e Q)

a esquerda)

Fonte GeoGebra

a direita)

Fonte GeoGebra

=(a+ h)2 minus a2

=2ah+ h2

= 2a+ h

limhrarr0

] = limhrarr0

[2a+ h] = 2a

mento de 01

seguir)

8 CONCLUSAtildeO

interdisciplinar

Blucher 1996

Ed Aacutetica 2010

camp 2004

Atual 2010

de Janeiro 2013

Fiacutesica 2010

Lei 93941996

de Janeiro SBM 1992

Lista de Figuras

Lista de Tabelas





















CONCLUSAtildeO




Abstract

Agradecimentos

necessidades

Sumaacuterio

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 10

FAACZ (Anexo A) 112

B) 115

Lista de Figuras

602+ 10

1414212 28

a esquerda) 105

a direita) 106

Lista de Tabelas

INSERCcedilAtildeO

(FAACZ)

verdadeiro paradoxo

didaacuteticos etc)

integral

CAacuteLCULO

a e A e se un = A2n

De acordo BOYER [4]

no seacuteculo XV

Analiacutetica

+ 51602

+ 10603

= 1414212

ensino superior

desnecessaacuterias

Aacutetica 2010

autores)

Caacutelculo

contextualizada

integral

res de limite

res de derivada

res de integral

Caacutelculo

plinar

Caacutelculo

PROFESSORES

vigente

entre outros

FUNDAMENTAL

retacircngulo

isto eacutea

a middot 2yminusx

22 middot 5=

7 middot 52minus1

100= 0 35

103 middot 3 + 1

10(3 +

3= 0 3 +

10(0 3 +

3) = 0 3 + 0 03 +

3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()

3 tem-se

10(2 middot 11 + 8

10(2 +

103011

= 110(2middot11+8

11) = 1

10(2 + 8

11) = 2

10 811

0 2 + 110 80110

= 0 2 + 1100(7middot11+3

11) = 0 2 + 0 07 + 1

100 311

= 0 27 + 1100 311

Ou seja 311

= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1

Considere que

r = 0 b1b2b3bk

Daiacute segue que

=b1b2b3bk9999

Logo tem-se

r = 5 777

rArr 10r = 57 777

rArr 9r = 52

rArr r =52

5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7

CD=AprimeBprime

C primeDprime

transversais

no segmento CD

= munu

= mn(I)

CprimeDprime =mwnw

= mn(II)

= AprimeBprime

versais

Fonte GeoGebra

entatildeo u lt BC

Fonte GeoGebra

lt BCAB

a reta s

Fonte GeoGebra

primen+1 cruzaria

lt EFDE

e nm os segmentos

e EFDE

ABe EFDE

ABprime

AB=S(ABprimeC prime

S = b middot h

n1e m2

n1middotn2= m1

n1middot m2

tem-se

k(yk + uk)

rArr 1

k(yk + uk) =

k+ 2a+ 2b)

Fonte GeoGebra

S = ab isto eacute

xkuk lt ab lt vkyk

rArr k

nmiddot mnlt

(k + 1)

nmiddot (m+ 1)

rArr km(1

n)2 lt (k +m+ 1)(

n) da pretendida

de comprimento

Fonte GeoGebra

2 33x = 233

x2 = 25

denida por

f(x) =x2 minus 4

xminus 2=

(x+ 2)(xminus 2)

xminus 2= x+ 2

x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2

f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4

vizinhanccedila

e superior

log x = +infin

Fonte GeoGebra

isto eacute

rArr S = 1(n+1)

(n+1)f(

2(n+1)

(n+1)f(

3(n+1)

(n+1)f(

n(n+1)

rArr S =1

(n+ 1)3

1(1 + 1

)3 (1 + 3

limsrarrinfin

S = limnrarrinfin

1(1 + 1

)3 (1 + 3

Fonte Geogebra

Meacutedio

(1minus α

minusα

(1minus α

)nM0 = M0 lim

nrarrinfin

(1minus α

da seguinte maneira

a1(qn minus 1)

q minus 1

limnrarrinfin

S = limnrarrinfin

n minus 1)

q minus 1

1minus q

S = limnrarrinfin

[( 110)n minus 1

]0 1minus 1

=minus0 9minus0 9

Figura 713 Processo

Equilaacuteteros

mente por(l2 l

)e(a2radic3 a

2radic3

1minusq =l2

1minus 12

= l2 Isto

1minusq = a2radic3

1minus 14

= a2radic3

limite

de ouro 1+radic5

do que 2

14 196 004

141 19881 00119

1414 1999396 0000604

14142 1999962 0000038360000000237100000000000

141421 199999 0000010075900000128300000000000

juros de 100 ao ano

C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0

taxa anual de 100

C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)

rArr C12 = C0(1 + 12)

C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)

rArr C1 = C0(1 + 12)2

nal do 1o trimestre

C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)

rArr C14 = C0(1 + 14)

C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)

rArr C24 = C0(1 + 14)2

C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)

rArr C34 = C0(1 + 14)3

C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)

rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4

C1 = C0(1 + 112)12

C1 = C0(1 + 1365)365

C1 = C0(1 +1

n (1 + 1n)n

3 237037037

4 244140625

5 248832

10 259374246

50 2691588029

100 2704813829

1000 2716923932

10000 2718145927

100000 2718268237

1000000 2718280469

S(n) =nsumk=1

mede 13

Fonte Geogebra

pretendida

Fonte Geogebra

4middot 45+

4middot 46+

4middot 47+

4middot 48+

4middot 49+

4middot 410

4middot 411

4middot 412

rArr S asymp 1 019

Fonte Geogebra

Fermat

Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h

VA = Ve minus Vi

tem-se

rArr VAx

= πh2r + πhx

rArr VAx

= S = 2πhr

rArr VCasca =4

3π(r + h)3 minus 4

rArr VCasca =4

3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)

rArr VCasca =4

3π(3r2h+ 3rh2 + h3)

tem-se

rArr VCascah

3π(3r2 + 3rh+ h2)

segue queVCascah

= S =4

que h = Hn

de r k e nr

rArr r

rArr r1 =rk

VCilindro = πr21h

VCone = πr2H1

n312 + πr2H

n322 + πr2H

n332 + πr2H

= πr2H1

dado que a mesma

6= n(n+1)(2n+1)

alunos

Fonte Geogebra

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

Fonte Geogebra

A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]

rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1

(1 + i)i

Portanto tem-se

(1 + i)i

2] = (

6(6 + 1)

2)middot6minus1

2middot[5sumi=1

i+5sumi=1

Fonte Geogebra

Daiacute segue que

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot5sumi=1

iminus 1

2middot5sumi=1

rArr6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot5sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot ([

6sumi=1

i2]minus 62)

rArr6sumi=1

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 3

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 6

6sumi=1

i2 =62 + 6

2minus 62 minus 6

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

rArr6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

6sumi=1

VCone = πr2H1

= πr2H1

)= πr2H

VCone =1

3πr2H

x2 + y2 = a2 ex2

y =radica2 minus x2

eyprime2

b2= 1minus x2

rArr yprime =

radicb2(1minus x2

radica2 minus x2

Area da elipse

Area do circulo=b

aArea do circulo

aπa2 = πab

Fonte GeoGebra

para n = 11

para n = 100

curva dada

10middot1002

= 20003

= 666 6

para n = 5

para n = 10

inscrito

circunscrito

do trabalho

aplicar o trabalho

vm =4S4t

t(segundos) 0 1 2 3 4 5

v (ms) 2 5 8 11 14 17

Fonte GeoGebra

3 18 54

6 9 54

12 45 54

18 3 54

24 225 54

Fonte GeoGebra

(2006) [24]

Fonte RPM [2] n60

angular)

com mesmo de 001

dois pontos (A e Q)

a esquerda)

Fonte GeoGebra

a direita)

Fonte GeoGebra

=(a+ h)2 minus a2

=2ah+ h2

= 2a+ h

limhrarr0

] = limhrarr0

[2a+ h] = 2a

mento de 01

seguir)

8 CONCLUSAtildeO

interdisciplinar

Blucher 1996

Ed Aacutetica 2010

camp 2004

Atual 2010

de Janeiro 2013

Fiacutesica 2010

Lei 93941996

de Janeiro SBM 1992

Lista de Figuras

Lista de Tabelas





















CONCLUSAtildeO




Agradecimentos

necessidades

Sumaacuterio

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 10

FAACZ (Anexo A) 112

B) 115

Lista de Figuras

602+ 10

1414212 28

a esquerda) 105

a direita) 106

Lista de Tabelas

INSERCcedilAtildeO

(FAACZ)

verdadeiro paradoxo

didaacuteticos etc)

integral

CAacuteLCULO

a e A e se un = A2n

De acordo BOYER [4]

no seacuteculo XV

Analiacutetica

+ 51602

+ 10603

= 1414212

ensino superior

desnecessaacuterias

Aacutetica 2010

autores)

Caacutelculo

contextualizada

integral

res de limite

res de derivada

res de integral

Caacutelculo

plinar

Caacutelculo

PROFESSORES

vigente

entre outros

FUNDAMENTAL

retacircngulo

isto eacutea

a middot 2yminusx

22 middot 5=

7 middot 52minus1

100= 0 35

103 middot 3 + 1

10(3 +

3= 0 3 +

10(0 3 +

3) = 0 3 + 0 03 +

3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()

3 tem-se

10(2 middot 11 + 8

10(2 +

103011

= 110(2middot11+8

11) = 1

10(2 + 8

11) = 2

10 811

0 2 + 110 80110

= 0 2 + 1100(7middot11+3

11) = 0 2 + 0 07 + 1

100 311

= 0 27 + 1100 311

Ou seja 311

= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1

Considere que

r = 0 b1b2b3bk

Daiacute segue que

=b1b2b3bk9999

Logo tem-se

r = 5 777

rArr 10r = 57 777

rArr 9r = 52

rArr r =52

5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7

CD=AprimeBprime

C primeDprime

transversais

no segmento CD

= munu

= mn(I)

CprimeDprime =mwnw

= mn(II)

= AprimeBprime

versais

Fonte GeoGebra

entatildeo u lt BC

Fonte GeoGebra

lt BCAB

a reta s

Fonte GeoGebra

primen+1 cruzaria

lt EFDE

e nm os segmentos

e EFDE

ABe EFDE

ABprime

AB=S(ABprimeC prime

S = b middot h

n1e m2

n1middotn2= m1

n1middot m2

tem-se

k(yk + uk)

rArr 1

k(yk + uk) =

k+ 2a+ 2b)

Fonte GeoGebra

S = ab isto eacute

xkuk lt ab lt vkyk

rArr k

nmiddot mnlt

(k + 1)

nmiddot (m+ 1)

rArr km(1

n)2 lt (k +m+ 1)(

n) da pretendida

de comprimento

Fonte GeoGebra

2 33x = 233

x2 = 25

denida por

f(x) =x2 minus 4

xminus 2=

(x+ 2)(xminus 2)

xminus 2= x+ 2

x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2

f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4

vizinhanccedila

e superior

log x = +infin

Fonte GeoGebra

isto eacute

rArr S = 1(n+1)

(n+1)f(

2(n+1)

(n+1)f(

3(n+1)

(n+1)f(

n(n+1)

rArr S =1

(n+ 1)3

1(1 + 1

)3 (1 + 3

limsrarrinfin

S = limnrarrinfin

1(1 + 1

)3 (1 + 3

Fonte Geogebra

Meacutedio

(1minus α

minusα

(1minus α

)nM0 = M0 lim

nrarrinfin

(1minus α

da seguinte maneira

a1(qn minus 1)

q minus 1

limnrarrinfin

S = limnrarrinfin

n minus 1)

q minus 1

1minus q

S = limnrarrinfin

[( 110)n minus 1

]0 1minus 1

=minus0 9minus0 9

Figura 713 Processo

Equilaacuteteros

mente por(l2 l

)e(a2radic3 a

2radic3

1minusq =l2

1minus 12

= l2 Isto

1minusq = a2radic3

1minus 14

= a2radic3

limite

de ouro 1+radic5

do que 2

14 196 004

141 19881 00119

1414 1999396 0000604

14142 1999962 0000038360000000237100000000000

141421 199999 0000010075900000128300000000000

juros de 100 ao ano

C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0

taxa anual de 100

C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)

rArr C12 = C0(1 + 12)

C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)

rArr C1 = C0(1 + 12)2

nal do 1o trimestre

C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)

rArr C14 = C0(1 + 14)

C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)

rArr C24 = C0(1 + 14)2

C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)

rArr C34 = C0(1 + 14)3

C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)

rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4

C1 = C0(1 + 112)12

C1 = C0(1 + 1365)365

C1 = C0(1 +1

n (1 + 1n)n

3 237037037

4 244140625

5 248832

10 259374246

50 2691588029

100 2704813829

1000 2716923932

10000 2718145927

100000 2718268237

1000000 2718280469

S(n) =nsumk=1

mede 13

Fonte Geogebra

pretendida

Fonte Geogebra

4middot 45+

4middot 46+

4middot 47+

4middot 48+

4middot 49+

4middot 410

4middot 411

4middot 412

rArr S asymp 1 019

Fonte Geogebra

Fermat

Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h

VA = Ve minus Vi

tem-se

rArr VAx

= πh2r + πhx

rArr VAx

= S = 2πhr

rArr VCasca =4

3π(r + h)3 minus 4

rArr VCasca =4

3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)

rArr VCasca =4

3π(3r2h+ 3rh2 + h3)

tem-se

rArr VCascah

3π(3r2 + 3rh+ h2)

segue queVCascah

= S =4

que h = Hn

de r k e nr

rArr r

rArr r1 =rk

VCilindro = πr21h

VCone = πr2H1

n312 + πr2H

n322 + πr2H

n332 + πr2H

= πr2H1

dado que a mesma

6= n(n+1)(2n+1)

alunos

Fonte Geogebra

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

Fonte Geogebra

A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]

rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1

(1 + i)i

Portanto tem-se

(1 + i)i

2] = (

6(6 + 1)

2)middot6minus1

2middot[5sumi=1

i+5sumi=1

Fonte Geogebra

Daiacute segue que

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot5sumi=1

iminus 1

2middot5sumi=1

rArr6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot5sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot ([

6sumi=1

i2]minus 62)

rArr6sumi=1

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 3

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 6

6sumi=1

i2 =62 + 6

2minus 62 minus 6

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

rArr6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

6sumi=1

VCone = πr2H1

= πr2H1

)= πr2H

VCone =1

3πr2H

x2 + y2 = a2 ex2

y =radica2 minus x2

eyprime2

b2= 1minus x2

rArr yprime =

radicb2(1minus x2

radica2 minus x2

Area da elipse

Area do circulo=b

aArea do circulo

aπa2 = πab

Fonte GeoGebra

para n = 11

para n = 100

curva dada

10middot1002

= 20003

= 666 6

para n = 5

para n = 10

inscrito

circunscrito

do trabalho

aplicar o trabalho

vm =4S4t

t(segundos) 0 1 2 3 4 5

v (ms) 2 5 8 11 14 17

Fonte GeoGebra

3 18 54

6 9 54

12 45 54

18 3 54

24 225 54

Fonte GeoGebra

(2006) [24]

Fonte RPM [2] n60

angular)

com mesmo de 001

dois pontos (A e Q)

a esquerda)

Fonte GeoGebra

a direita)

Fonte GeoGebra

=(a+ h)2 minus a2

=2ah+ h2

= 2a+ h

limhrarr0

] = limhrarr0

[2a+ h] = 2a

mento de 01

seguir)

8 CONCLUSAtildeO

interdisciplinar

Blucher 1996

Ed Aacutetica 2010

camp 2004

Atual 2010

de Janeiro 2013

Fiacutesica 2010

Lei 93941996

de Janeiro SBM 1992

Lista de Figuras

Lista de Tabelas





















CONCLUSAtildeO




necessidades

Sumaacuterio

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 10

FAACZ (Anexo A) 112

B) 115

Lista de Figuras

602+ 10

1414212 28

a esquerda) 105

a direita) 106

Lista de Tabelas

INSERCcedilAtildeO

(FAACZ)

verdadeiro paradoxo

didaacuteticos etc)

integral

CAacuteLCULO

a e A e se un = A2n

De acordo BOYER [4]

no seacuteculo XV

Analiacutetica

+ 51602

+ 10603

= 1414212

ensino superior

desnecessaacuterias

Aacutetica 2010

autores)

Caacutelculo

contextualizada

integral

res de limite

res de derivada

res de integral

Caacutelculo

plinar

Caacutelculo

PROFESSORES

vigente

entre outros

FUNDAMENTAL

retacircngulo

isto eacutea

a middot 2yminusx

22 middot 5=

7 middot 52minus1

100= 0 35

103 middot 3 + 1

10(3 +

3= 0 3 +

10(0 3 +

3) = 0 3 + 0 03 +

3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()

3 tem-se

10(2 middot 11 + 8

10(2 +

103011

= 110(2middot11+8

11) = 1

10(2 + 8

11) = 2

10 811

0 2 + 110 80110

= 0 2 + 1100(7middot11+3

11) = 0 2 + 0 07 + 1

100 311

= 0 27 + 1100 311

Ou seja 311

= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1

Considere que

r = 0 b1b2b3bk

Daiacute segue que

=b1b2b3bk9999

Logo tem-se

r = 5 777

rArr 10r = 57 777

rArr 9r = 52

rArr r =52

5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7

CD=AprimeBprime

C primeDprime

transversais

no segmento CD

= munu

= mn(I)

CprimeDprime =mwnw

= mn(II)

= AprimeBprime

versais

Fonte GeoGebra

entatildeo u lt BC

Fonte GeoGebra

lt BCAB

a reta s

Fonte GeoGebra

primen+1 cruzaria

lt EFDE

e nm os segmentos

e EFDE

ABe EFDE

ABprime

AB=S(ABprimeC prime

S = b middot h

n1e m2

n1middotn2= m1

n1middot m2

tem-se

k(yk + uk)

rArr 1

k(yk + uk) =

k+ 2a+ 2b)

Fonte GeoGebra

S = ab isto eacute

xkuk lt ab lt vkyk

rArr k

nmiddot mnlt

(k + 1)

nmiddot (m+ 1)

rArr km(1

n)2 lt (k +m+ 1)(

n) da pretendida

de comprimento

Fonte GeoGebra

2 33x = 233

x2 = 25

denida por

f(x) =x2 minus 4

xminus 2=

(x+ 2)(xminus 2)

xminus 2= x+ 2

x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2

f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4

vizinhanccedila

e superior

log x = +infin

Fonte GeoGebra

isto eacute

rArr S = 1(n+1)

(n+1)f(

2(n+1)

(n+1)f(

3(n+1)

(n+1)f(

n(n+1)

rArr S =1

(n+ 1)3

1(1 + 1

)3 (1 + 3

limsrarrinfin

S = limnrarrinfin

1(1 + 1

)3 (1 + 3

Fonte Geogebra

Meacutedio

(1minus α

minusα

(1minus α

)nM0 = M0 lim

nrarrinfin

(1minus α

da seguinte maneira

a1(qn minus 1)

q minus 1

limnrarrinfin

S = limnrarrinfin

n minus 1)

q minus 1

1minus q

S = limnrarrinfin

[( 110)n minus 1

]0 1minus 1

=minus0 9minus0 9

Figura 713 Processo

Equilaacuteteros

mente por(l2 l

)e(a2radic3 a

2radic3

1minusq =l2

1minus 12

= l2 Isto

1minusq = a2radic3

1minus 14

= a2radic3

limite

de ouro 1+radic5

do que 2

14 196 004

141 19881 00119

1414 1999396 0000604

14142 1999962 0000038360000000237100000000000

141421 199999 0000010075900000128300000000000

juros de 100 ao ano

C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0

taxa anual de 100

C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)

rArr C12 = C0(1 + 12)

C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)

rArr C1 = C0(1 + 12)2

nal do 1o trimestre

C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)

rArr C14 = C0(1 + 14)

C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)

rArr C24 = C0(1 + 14)2

C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)

rArr C34 = C0(1 + 14)3

C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)

rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4

C1 = C0(1 + 112)12

C1 = C0(1 + 1365)365

C1 = C0(1 +1

n (1 + 1n)n

3 237037037

4 244140625

5 248832

10 259374246

50 2691588029

100 2704813829

1000 2716923932

10000 2718145927

100000 2718268237

1000000 2718280469

S(n) =nsumk=1

mede 13

Fonte Geogebra

pretendida

Fonte Geogebra

4middot 45+

4middot 46+

4middot 47+

4middot 48+

4middot 49+

4middot 410

4middot 411

4middot 412

rArr S asymp 1 019

Fonte Geogebra

Fermat

Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h

VA = Ve minus Vi

tem-se

rArr VAx

= πh2r + πhx

rArr VAx

= S = 2πhr

rArr VCasca =4

3π(r + h)3 minus 4

rArr VCasca =4

3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)

rArr VCasca =4

3π(3r2h+ 3rh2 + h3)

tem-se

rArr VCascah

3π(3r2 + 3rh+ h2)

segue queVCascah

= S =4

que h = Hn

de r k e nr

rArr r

rArr r1 =rk

VCilindro = πr21h

VCone = πr2H1

n312 + πr2H

n322 + πr2H

n332 + πr2H

= πr2H1

dado que a mesma

6= n(n+1)(2n+1)

alunos

Fonte Geogebra

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

Fonte Geogebra

A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]

rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1

(1 + i)i

Portanto tem-se

(1 + i)i

2] = (

6(6 + 1)

2)middot6minus1

2middot[5sumi=1

i+5sumi=1

Fonte Geogebra

Daiacute segue que

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot5sumi=1

iminus 1

2middot5sumi=1

rArr6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot5sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot ([

6sumi=1

i2]minus 62)

rArr6sumi=1

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 3

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 6

6sumi=1

i2 =62 + 6

2minus 62 minus 6

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

rArr6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

6sumi=1

VCone = πr2H1

= πr2H1

)= πr2H

VCone =1

3πr2H

x2 + y2 = a2 ex2

y =radica2 minus x2

eyprime2

b2= 1minus x2

rArr yprime =

radicb2(1minus x2

radica2 minus x2

Area da elipse

Area do circulo=b

aArea do circulo

aπa2 = πab

Fonte GeoGebra

para n = 11

para n = 100

curva dada

10middot1002

= 20003

= 666 6

para n = 5

para n = 10

inscrito

circunscrito

do trabalho

aplicar o trabalho

vm =4S4t

t(segundos) 0 1 2 3 4 5

v (ms) 2 5 8 11 14 17

Fonte GeoGebra

3 18 54

6 9 54

12 45 54

18 3 54

24 225 54

Fonte GeoGebra

(2006) [24]

Fonte RPM [2] n60

angular)

com mesmo de 001

dois pontos (A e Q)

a esquerda)

Fonte GeoGebra

a direita)

Fonte GeoGebra

=(a+ h)2 minus a2

=2ah+ h2

= 2a+ h

limhrarr0

] = limhrarr0

[2a+ h] = 2a

mento de 01

seguir)

8 CONCLUSAtildeO

interdisciplinar

Blucher 1996

Ed Aacutetica 2010

camp 2004

Atual 2010

de Janeiro 2013

Fiacutesica 2010

Lei 93941996

de Janeiro SBM 1992

Lista de Figuras

Lista de Tabelas





















CONCLUSAtildeO




Sumaacuterio

Lista de Figuras 8

Lista de Tabelas 10

FAACZ (Anexo A) 112

B) 115

Lista de Figuras

602+ 10

1414212 28

a esquerda) 105

a direita) 106

Lista de Tabelas

INSERCcedilAtildeO

(FAACZ)

verdadeiro paradoxo

didaacuteticos etc)

integral

CAacuteLCULO

a e A e se un = A2n

De acordo BOYER [4]

no seacuteculo XV

Analiacutetica

+ 51602

+ 10603

= 1414212

ensino superior

desnecessaacuterias

Aacutetica 2010

autores)

Caacutelculo

contextualizada

integral

res de limite

res de derivada

res de integral

Caacutelculo

plinar

Caacutelculo

PROFESSORES

vigente

entre outros

FUNDAMENTAL

retacircngulo

isto eacutea

a middot 2yminusx

22 middot 5=

7 middot 52minus1

100= 0 35

103 middot 3 + 1

10(3 +

3= 0 3 +

10(0 3 +

3) = 0 3 + 0 03 +

3= 0 333 = 0 3 = 0 3 + 0 03 + 0 003 + ()

3 tem-se

10(2 middot 11 + 8

10(2 +

103011

= 110(2middot11+8

11) = 1

10(2 + 8

11) = 2

10 811

0 2 + 110 80110

= 0 2 + 1100(7middot11+3

11) = 0 2 + 0 07 + 1

100 311

= 0 27 + 1100 311

Ou seja 311

= 0 27 + 1100middot (0 27 + 1

Considere que

r = 0 b1b2b3bk

Daiacute segue que

=b1b2b3bk9999

Logo tem-se

r = 5 777

rArr 10r = 57 777

rArr 9r = 52

rArr r =52

5 777 = 5 7 = 5 + 0 7 = 5 +7

CD=AprimeBprime

C primeDprime

transversais

no segmento CD

= munu

= mn(I)

CprimeDprime =mwnw

= mn(II)

= AprimeBprime

versais

Fonte GeoGebra

entatildeo u lt BC

Fonte GeoGebra

lt BCAB

a reta s

Fonte GeoGebra

primen+1 cruzaria

lt EFDE

e nm os segmentos

e EFDE

ABe EFDE

ABprime

AB=S(ABprimeC prime

S = b middot h

n1e m2

n1middotn2= m1

n1middot m2

tem-se

k(yk + uk)

rArr 1

k(yk + uk) =

k+ 2a+ 2b)

Fonte GeoGebra

S = ab isto eacute

xkuk lt ab lt vkyk

rArr k

nmiddot mnlt

(k + 1)

nmiddot (m+ 1)

rArr km(1

n)2 lt (k +m+ 1)(

n) da pretendida

de comprimento

Fonte GeoGebra

2 33x = 233

x2 = 25

denida por

f(x) =x2 minus 4

xminus 2=

(x+ 2)(xminus 2)

xminus 2= x+ 2

x 0 05 1 15 17 199 1999 2 x 4 35 3 25 23 201 2001 2

f(x) 2 25 3 35 37 399 3999 4 f(x) 6 55 5 45 43 401 4001 4

vizinhanccedila

e superior

log x = +infin

Fonte GeoGebra

isto eacute

rArr S = 1(n+1)

(n+1)f(

2(n+1)

(n+1)f(

3(n+1)

(n+1)f(

n(n+1)

rArr S =1

(n+ 1)3

1(1 + 1

)3 (1 + 3

limsrarrinfin

S = limnrarrinfin

1(1 + 1

)3 (1 + 3

Fonte Geogebra

Meacutedio

(1minus α

minusα

(1minus α

)nM0 = M0 lim

nrarrinfin

(1minus α

da seguinte maneira

a1(qn minus 1)

q minus 1

limnrarrinfin

S = limnrarrinfin

n minus 1)

q minus 1

1minus q

S = limnrarrinfin

[( 110)n minus 1

]0 1minus 1

=minus0 9minus0 9

Figura 713 Processo

Equilaacuteteros

mente por(l2 l

)e(a2radic3 a

2radic3

1minusq =l2

1minus 12

= l2 Isto

1minusq = a2radic3

1minus 14

= a2radic3

limite

de ouro 1+radic5

do que 2

14 196 004

141 19881 00119

1414 1999396 0000604

14142 1999962 0000038360000000237100000000000

141421 199999 0000010075900000128300000000000

juros de 100 ao ano

C1 = C0 + 100C0 = C0 + 1C0 = 2C0

taxa anual de 100

C12 = C0 + 50C0 = C0(1 + 50) = C0(1 + 12)

rArr C12 = C0(1 + 12)

C1 = C12 + 50C12 = C12(1 + 50) = C12(1 + 12) = C0(1 + 12)(1 + 12)

rArr C1 = C0(1 + 12)2

nal do 1o trimestre

C14 = C0 + 25C0 = (1 + 25)C0 = C0(1 + 14)

rArr C14 = C0(1 + 14)

C24 = C14 + 25C14 = (1 + 25)C14 = C14(1 + 14) = C0(1 + 14)(1 + 14)

rArr C24 = C0(1 + 14)2

C34 = C24 + 25C24 = (1 + 25)C24 = C24(1 + 14) = C0(1 + 14)2(1 + 14)

rArr C34 = C0(1 + 14)3

C44 = C1 = C34+25C34 = (1+25)C34 = C34(1+14) = C0(1+14)3(1+14)

rArr C44 = C1 = C0(1 + 14)4

C1 = C0(1 + 112)12

C1 = C0(1 + 1365)365

C1 = C0(1 +1

n (1 + 1n)n

3 237037037

4 244140625

5 248832

10 259374246

50 2691588029

100 2704813829

1000 2716923932

10000 2718145927

100000 2718268237

1000000 2718280469

S(n) =nsumk=1

mede 13

Fonte Geogebra

pretendida

Fonte Geogebra

4middot 45+

4middot 46+

4middot 47+

4middot 48+

4middot 49+

4middot 410

4middot 411

4middot 412

rArr S asymp 1 019

Fonte Geogebra

Fermat

Ve = πr + x2 = rh(r2 + 2rx+ x2)h

VA = Ve minus Vi

tem-se

rArr VAx

= πh2r + πhx

rArr VAx

= S = 2πhr

rArr VCasca =4

3π(r + h)3 minus 4

rArr VCasca =4

3π(r3 + 3r2h+ 3rh2 + h3 minus r3)

rArr VCasca =4

3π(3r2h+ 3rh2 + h3)

tem-se

rArr VCascah

3π(3r2 + 3rh+ h2)

segue queVCascah

= S =4

que h = Hn

de r k e nr

rArr r

rArr r1 =rk

VCilindro = πr21h

VCone = πr2H1

n312 + πr2H

n322 + πr2H

n332 + πr2H

= πr2H1

dado que a mesma

6= n(n+1)(2n+1)

alunos

Fonte Geogebra

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =6(6 + 1)

Fonte Geogebra

A = (1+4+9+16+25+36)+[1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)]

rArr A = (1 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) + [5sumi=1

(1 + i)i

Portanto tem-se

(1 + i)i

2] = (

6(6 + 1)

2)middot6minus1

2middot[5sumi=1

i+5sumi=1

Fonte Geogebra

Daiacute segue que

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2middot5sumi=1

iminus 1

2middot5sumi=1

rArr6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot5sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

2)minus 1

2middot ([

6sumi=1

i2]minus 62)

rArr6sumi=1

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 3

2middot6sumi=1

i2 = (6(6 + 1)

2) middot 6minus 1

rArr 6

6sumi=1

i2 =62 + 6

2minus 62 minus 6

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 62 + 3 middot 6 + 1)

rArr 6

6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

rArr6sumi=1

i2 =6(2 middot 6 + 1)(6 + 1)

6sumi=1

VCone = πr2H1

= πr2H1

)= πr2H

VCone =1

3πr2H

x2 + y2 = a2 ex2

y =radica2 minus x2

eyprime2

b2= 1minus x2

rArr yprime =

radicb2(1minus x2

radica2 minus x2

Area da elipse

Area do circulo=b

aArea do circulo

aπa2 = πab

Fonte GeoGebra

para n = 11

para n = 100

curva dada

10middot1002

= 20003

= 666 6

para n = 5

para n = 10

inscrito

circunscrito

do trabalho

aplicar o trabalho

vm =4S4t

t(segundos) 0 1 2 3 4 5

v (ms) 2 5 8 11 14 17

Fonte GeoGebra

3 18 54

6 9 54

12 45 54

18 3 54

24 225 54

Fonte GeoGebra

(2006) [24]

Fonte RPM [2] n60

angular)

com mesmo de 001

dois pontos (A e Q)

a esquerda)

Fonte GeoGebra

a direita)

Fonte GeoGebra

=(a+ h)2 minus a2

=2ah+ h2

= 2a+ h

limhrarr0

] = limhrarr0

[2a+ h] = 2a

mento de 01

seguir)

8 CONCLUSAtildeO

interdisciplinar

Blucher 1996

Ed Aacutetica 2010

camp 2004

Atual 2010

de Janeiro 2013

Fiacutesica 2010

Lei 93941996

de Janeiro SBM 1992

Lista de Figuras

Lista de Tabelas





















CONCLUSAtildeO




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RESGATE DA INSERÇÃO DAS NOÇÕES ELEMENTARES DO …