Resist en CIA Basica Engranajes Cilindricos

Autor: Dr. Gonzalo González Rey,

Email: [email protected] Profesor Principal de Elementos de Máquinas. CUJAE, Facultad de Ingeniería Mecánica. Ciudad de la Habana, Cuba Experto de ISO TC60 y Miembro Académico de AGMA.

Julio 2005

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 1

II - COMPROBACIÓN DE LA CAPACIDAD DE CARGA DE LOS ENGRANAJES CILÍNDRICOS.

Para la verificación de la capacidad de carga de los engranajes cilíndricos han sido dos los criterios más difundidos y estudiados: resistencia a los esfuerzos de contacto y resistencia a las tensiones en la base del diente, los cuales han servido de base a diversas normas de comprobación de este tipo de engranaje. El criterio de resistencia a los esfuerzos de contacto analiza la capacidad de trabajo de los flancos activos de los dientes considerando que no ocurra un deterioro por fatiga superficial (picadura) antes de un plazo de tiempo previsto. En cambio, el criterio de resistencia a los esfuerzos en la base (fondo) del diente verifica que no ocurra la fractura de los diente por fatiga volumétrica y pueda ser cumplido el plazo de tiempo esperado para el servicio en explotación. Los criterios de resistencia a la picadura y a la fractura de los dientes, aplicados a modelos adecuados de cálculo, permiten la obtención de ecuaciones básicas que una vez mejoradas con la introducción de algunos coeficientes teóricos y prácticos, permiten que su aplicación al cálculo de los engranajes sea un reflejo más fiel de la realidad. Por lo tanto, la verificación de la capacidad de carga de los engranajes se basan en las confrontaciones de los esfuerzos de contacto calculados con los admisibles que dependen de las condiciones de contacto de los dientes en los puntos de posibles deterioros, y de los esfuerzos en la base del diente con los admisibles a la flexión. Un ejemplo del planteamiento anterior, es la Norma ISO 6336:96, para el cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos, la cual toma en consideración las particularidades de las actuales transmisiones por engranajes cilíndricos y el estado del conocimiento derivado de la experiencia y estudios realizados.

2.1- Normas más conocidas para el cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de ejes paralelos.

2.1.1- Normas y Reportes Internacionales (ISO). De las numerosas agrupaciones técnicas de ISO (siglas aceptadas internacionalmente para identificar a la Organización para la Normalización Internacional), ha sido designado el Comité Técnico 60 (ISO TC60) para dedicarse plenamente a la elaboración, discusión y aprobación de las Normas Internacionales referidas a engranajes. Desde 1993, la secretaría de ISO TC60 corre a cargo de la Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes (en ingles, American Gear Manufacturers Association, AGMA) y es dirigida por William A. Bradley, quien es actualmente Jefe de la División Técnica de AGMA y personalidad de gran prestigio técnico e intelectual entre especialistas vinculados con los engranajes. Anteriormente el Instituto Belga de Normalización había sido responsabilizado con la conducción del mencionado Comité Técnico, bajo la dirección del Dr. M.J.Sprengers. Hasta el mes de Diciembre del 2000, ISO TC60 presentaba aprobadas 22 Normas ISO y 8 Reportes Técnicos (TR). De estas normas, son dirigidas al cálculo de la capacidad de carga de los engranajes cilíndricos las siguientes:

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 2ISO 6336-1 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.

Introducción y factores de influencia general. ISO 6336-2 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.

Cálculo de la durabilidad superficial (picadura). ISO 6336-3 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.

Cálculo de la resistencia en el pie del diente. ISO 6336-5 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.

Resistencia y calidad de los materiales. ISO-TR10495 : Cálculo de la vida de servicio en condiciones de carga variable, para engranajes cilíndricos. ISO-TR13989-1: Verificación de la resistencia de los flancos de los dientes al desgaste adhesivo.

Criterio de temperatura de flash. ISO-TR13989-2: Verificación de la resistencia de los flancos de los dientes al desgaste adhesivo.

Criterio de temperatura media. Derivada de la Norma ISO 6336, dirigida a engranajes con aplicación general, se han realizado un grupo de propuestas de normas con aplicaciones más especificas, como son los casos de: ISO-CD9085-1: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos industriales. ISO-CD9085-2: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos industriales. Cálculo simplificado. ISO-CD9084 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos para altas velocidades. ISO-CD9083 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con aplicación en la marina. ISO-CD9082 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con aplicación en vehículos. ISO-CD9081 : Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con aplicación en la aviación.

2.1.2- Normas Estadounidenses (AGMA). Es innegable el destacado aporte realizado, en el desarrollo de normas y orientaciones para el cálculo de la capacidad de carga de los engranajes de la Asociación Americana de Fabricantes de Engranajes (AGMA), reconocida por muchos como la principal agrupación en el estudio de los engranajes. Fundada en 1916, por nueve compañías productoras con intereses en la normalización de los engranajes, AGMA presenta una miembresia actual de 350 compañías vinculadas a la tecnología de engranajes y significativas personalidades de prestigio internacional en esta temática.1 Desde 1993, AGMA posee la dirección del Comité Técnico 60 de la Organización Internacional de Normalización (ISO), responsable del desarrollo de normas internacionales relacionadas con los engranajes. Actualmente posee 49 comités técnicos vinculados al desarrollo de normas AGMA para el diseño, fabricación y aplicación de los engranajes y acoplamientos dentados. Uno de los principales fundamentos de la asociación es el desarrollo y actualización de las normas AGMA. Debido al intenso trabajo desarrollado, actualmente cuenta con un total de 64 normas vinculadas al campo de 1 AGMA Staff, ¨ Keeping the World in Motion ¨, Machine Design, Sept. , N° 12, 1991

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 3los engranajes. De ellas, directamente asociadas al cálculo de la capacidad de carga de los engranajes cilíndricos son las siguientes normas AGMA: ANSI/AGMA2001: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con dientes de evolvente.

(sistema ingles). ANSI/AGMA2101: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos con dientes de evolvente.

(sistema métrico). AGMA 370.01 : Manual de diseño de engranajes cilíndricos.

2.1.3- Normas Alemanas (DIN) . En los trabajos iniciales realizados para las discusión y aprobación de la vigente Norma ISO 6336, tuvieron gran importancia como propuestas de normas preliminares las actuales normas alemanas: DIN 3990-1: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.

Introducción y factores de influencia general. DIN 3990-2: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.

Cálculo de la durabilidad superficial (picadura). DIN 3990-3: Cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales.

Cálculo de la resistencia en el pie del diente.

2.1.4 - Normas Soviéticas (GOST) . Las normas soviéticas fueron durante mucho tiempo el reflejo del elevado desarrollo alcanzado por las investigaciones en el campo científico-técnico por la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas (URSS), observado en la detallada edición de las normas GOST, que comprendían en la mayoría de los casos los últimos avances científicos-técnicos alcanzados por los investigadores en áreas especificas. En el caso de las normas para el cálculo de la capacidad de carga de los engranajes cilíndricos mucho tuvieron que ver los trabajos de A. Petrusevich y V. Kudriavtsev entre otros investigadores de la URSS. Los trabajos de los investigadores soviéticos, además del estudio realizado de las normas CAME y las propuestas de normas ISO contemporáneas, permitieron la elaboración de la siguiente norma: GOST 21354-86 : Engranajes cilíndricos de dientes de evolvente. Cálculo de Resistencia.

2.2- Comprobación de la resistencia a los esfuerzos de contacto. Este cálculo toma como referencia el modelo formado por dos cilindros en contacto, sobre los cuales se aplica una fuerza. El modelo empleado ha permitido desarrollar las ecuaciones de Hertz para evaluar los esfuerzos de contacto, considerando que los cilindros tienen un radio igual al de los flancos de los dientes cuando realizan contacto en el polo. La comprobación de la resistencia de las superficies activas de los dientes se basa en comparar el máximo esfuerzo de compresión por contacto con el esfuerzo admisible para que no ocurra el deterioro por picadura. Aunque la forma de los dientes no corresponde con exactitud al modelo utilizado para evaluar los esfuerzos reales máximos, y se conoce también que la resistencia mecánica no solo depende del radio de curvatura reducido ρred y de la elasticidad del material, sino también de la calidad de la superficie de los dientes, del tratamiento térmico y de la lubricación entre otros aspectos, es enmendada la falta de concordancia entre las

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 4premisas teóricas de la fórmula de partida con las condiciones reales de carga en las superficies de los dientes designando los esfuerzos admisibles de contacto determinados por los experimentos por aquellos calculados con la fórmula básica.

Figura 2.1 - Modelo de referencia para el cálculo de los esfuerzos de contacto.

2.2.1- Fórmula para determinar los esfuerzos de contacto. La siguiente fórmula es la ecuación de Hertz para determinar los esfuerzos de contacto, en dos cilindros con radios ρ1 y ρ2 y longitudes lΣ, estableciendo un contacto exterior :

( ) ( )[ ] red

n

212

221

21H

l

F

1E1E

EE

ρ⋅⋅

υ−⋅+υ−⋅⋅π

⋅=σ

Σ (MPa)

En la ecuación anterior, empleada como ecuación básica para el cálculo de los esfuerzos de contacto en un engranaje cilíndrico con dientes de perfil de evolvente y contacto exterior, los términos son: E1 y E2 : Módulo de elasticidad de los materiales de los dientes del piñón y de la rueda (MPa). ν1 y ν2 : Coeficiente de deformación transversal (Poisson) del material de los dientes del piñón y de los

dientes de la rueda. be : Ancho de engrane (mm). Fn : Fuerza normal en el flanco de los dientes (N). ρred : Radio de curvatura reducido en el polo del engranaje. (mm) Para engranajes cilíndricos de ejes paralelos con contacto exterior y dientes rectos :

12

21red ρ+ρ

ρ⋅ρ=ρ = ( )u12

utancosd t1+⋅

⋅α⋅α⋅ (mm)

lΣ

FN

FN ρ2

ρ1

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 5 Para engranajes cilíndricos de ejes paralelos con contacto exterior y dientes helicoidales:

tw1b1 tand5,0 α⋅⋅=ρ (mm)

tw2b2 tand5,0 α⋅⋅=ρ (mm) Plano transversal:

( )u12utancosd twt1

red+⋅

⋅α⋅α⋅=ρ (mm)

Plano normal:

( ) b

twt1red cosu12

utancosdβ⋅+⋅

⋅α⋅α⋅=ρ (mm)

lΣ : Longitud sumaria de contacto (mm).

en caso de εβ = 0 entonces α

Σ ε−⋅

=4

b3l e (mm)

en caso de εβ ≥1 entonces b

ecosb

lβε⋅

= αΣ (mm)

en caso de 0 1< <εβ entonces

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ε

ε+ε−⋅

ε−⋅β

=

α

ββ

αΣ

13

4cos

bl

b

e

Sustituyendo en la ecuación básica de Hertz, las fórmulas para la determinación del radio reducido, la longitud sumaria y la fuerza normal en los dientes, y luego de realizar las agrupaciones necesarias, es obtenida la siguiente ecuación para el cálculo de los esfuerzos de contacto:

( )

ubd1uKKKKF

ZZZZe1

HHVAtEHH ⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=σ αβ

βε (MPa)

donde: ZH, ZE, Zε, Zβ : Son coeficientes obtenidos por un agrupamiento de términos durante la deducción

de la formula para el cálculo de los esfuerzos de contacto. KA, KV, KHβ, KHα : Son factores obtenidos de forma experimental, con una fundamentación teórica,

cuyos objetivos son modificar el valor de la carga nominal teórica y ajustarlo a un valor de carga nominal de cálculo.

Ft : Fuerza tangencial nominal (N). FT

dt =⋅2000 1

1 (N)

T1 : Torque nominal en el piñón (Nm). d1 : Diámetro de referencia del piñón (mm). be : Ancho de engrane (mm). u : Razón de engrane.


2.2.1.1 - Factor de elasticidad ZE. El factor ZE toma en consideración la influencia de las propiedades elásticas del material de los dientes en los esfuerzos de contacto.

( ) ( )[ ]2

122

21

21E

1E1E

EEZ

υ−⋅+υ−⋅⋅π

⋅= (MPa1/2)

En el caso de igualdad de material entre los dientes del piñón y de la rueda tendremos que E1 = E2 = E y υ1 = υ2 = υ, pudiendo ser empleada la siguiente ecuación:

( )2E12

EZυ−⋅π⋅

= (MPa1/2 )

La tabla 2.1 ofrece diferentes valores del factor ZE para distintas combinaciones de materiales empleados, con mayor difusión en la fabricación de ruedas dentadas actuales.

Tabla 2.1- Factor de Elasticidad ZE.

Material de los dientes en el piñón Material de los dientes en la rueda ZE (MPa1/2)

Acero Acero 189,8 Acero Fundido 188,9 Hierro Fundido de Grafito Esferoidal 181,4 Hierro Fundido de Grafito Laminar 162,0 Bronce al Estaño 159,8

Acero Fundido Acero Fundido 188,0 Hierro Fundido de Grafito Esferoidal 180,5 Hierro Fundido de Grafito Laminar 161,4

Hierro Fundido de Grafito Esferoidal Hierro Fundido de Grafito Esferoidal 173,9 Hierro Fundido de Grafito Laminar 156,6

2.2.1.2 - Factor de zona ZH. El factor ZH tiene en cuenta la influencia en el esfuerzo de contacto de la curvatura del flanco del diente en la línea polar y permite considerar el efecto de la fuerza tangencial en el cilindro de referencia a partir de la fuerza normal en el cilindro primitivo. Los parámetros de la fórmula para calcular el factor ZH están en dependencia del lugar definido (zona), en el modelo de análisis, para considerar el contacto de los flancos activos en los pares de dientes engranados. Generalmente la zona considerada para el contacto es el polo.


wtt2

bH

tancos

cos2Z

α⋅α

β⋅=

Algunos valores del factor ZH para ciertos tipos de engranajes son dado a continuación como referencia :

ZH = 2,50 cuando α = 20° , xΣ = 0,00 y β = 0° ZH = 2,28 cuando α = 25° , xΣ = 0,00 y β = 0°

ZH = 2,30 cuando α = 20° , xΣ = 0,00 y β = 25° ZH = 1,90 cuando α = 20° , xΣ = 0,00 y β = 45°

ZH = 2,30 cuando α = 20° , xΣ = 0,72 y β = 0°

2.2.1.3 - Factor por coeficiente de recubrimiento para esfuerzos de contacto Zε.

El factor Zε considera la influencia de la distribución transversal de la carga entre varios pares de flancos en contacto. Este coeficiente permite modificar la carga de cálculo teórica entre dientes debido a que cuando existen varios pares de dientes en contacto considera que la carga se distribuye entre ellos según la rigidez de los pares, sin considerar errores de paso.

Para dientes rectos (εβ = 0) 3

4Z αε

ε−=

Para dientes helicoidales con εβ > 1 αε

=ε1Z

Para dientes helicoidales con εβ ≤ 1 ( )α

ββ

αε

ε

ε+ε−⋅

ε−= 1

34

Z

2.2.1.4 - Factor por ángulo de la hélice para esfuerzos de contacto Zβ. El factor Zβ considera la influencia que ejerce el ángulo de la hélice en la inclinación de la línea de rotura y en la resistencia a la picadura, aparte del efecto que produce en la capacidad de carga del engranaje desde el punto de vista geométrico y que es tomado en cuenta por otros factores. El aumento de la inclinación del diente, produce que la línea de contacto también se incline, produciendo una distribución de la carga más ventajosa en el flanco de los dientes. Ha sido aceptada una evaluación empírica de este factor según :

β=β cosZ


2.2.1.5 - Factor por Aplicación de Carga KA. El factor KA permite ajustar la fuerza nominal Ft, para compensar los incrementos de la carga en el engranaje debido a fuerzas externas. Estas carga externas dependen de las características de la máquina movida y la motriz, como también de las masas y rigidez del sistema, incluyendo los árboles y acoplamientos empleados. El factor KA es definido como la relación entre el torque máximo del ciclo y el torque nominal. Generalmente son orientadas dos formas de valorar la magnitud de KA, una de ellas recomienda el establecimiento de los valores exactos a través de un análisis de la experiencia de servicio en una aplicación determinada y mediante mediciones prácticas, en cambio si no se dispone de los equipos necesarios o la experiencia en explotación suficiente puede ser empleada la otra opción, más simple pero menos precisa, basada en tablas de orientación. Las tablas 2.2 y 2.3 son dos de las formas más frecuentes de ser presentadas las tablas de orientación del valor del factor KA. Tabla 2.2 - Valores recomendados del factor por aplicación de carga KA según ISO 6336-1, en dependencia

del tipo de trabajo de la máquina motriz y la movida.

Trabajo de la máquina motriz Trabajo característico de la máquina movida uniforme choques

ligeros choques

moderados choques fuertes

uniforme 1,00 1,25 1,50 1,75 choques ligeros 1,10 1,35 1,60 1,85

choques moderados 1,25 1,50 1,75 2,00 choques fuertes 1,50 1,75 2,00 2,25

Tabla 2.3 - Valores recomendados del factor por aplicación de carga KA según la firma MAAG,

para engranajes en reductores y multiplicadores.

Máquina motriz Máquina movida motor

asincrónico motor

sincrónico Motor de combustión

interna Turbinas de

gas Turbo-compresor, bomba

centrífuga, ventilador 1,25 1,35 1,50 1,25

Compresor de pistón 1,50 1,60 1,75 1,50 Generador ----- ----- 1,35 1,10

2.2.1.6 - Factor de Carga Transversal para Tensiones de Contacto KHα. El factor KHα toma en consideración la distribución no uniforme de la carga cuando varias parejas de dientes engranan simultáneamente. Un cálculo exacto de este coeficiente requiere de un análisis de las deformaciones elásticas bajo carga de los dientes y de la influencia que ejercen las imprecisiones del paso y del perfil de los dientes en el reparto transversal de la carga, además de cuantos pares de dientes y en que lugar engranan ellos en la línea práctica de engranaje. El factor KHα es definido como la relación entre la máxima carga que soporta un diente cuando engranan dos ruedas, que se mueven a baja velocidad, y la correspondiente máxima carga en los dientes de un engranaje similar sin imprecisiones en su dentado.

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 9 El factor KHα en unión del factor Zε ajustan la distribución de carga entre los dientes engranados en la línea práctica. El termino Zε considera una distribución de la carga entre los dientes según el coeficiente de recubrimiento y la rigidez del engrane, pero KHα ajusta esta distribución considerando que los errores de elaboración pueden producir sobre la línea práctica de engrane que exista solo un par de dientes en contacto, incluso para casos de engranajes con coeficiente de recubrimiento transversal mayor de 2. Una de las formas simplificadas para evaluar con cierta exactitud este factor, es brindada en siguiente tabla.

Tabla 2.4 - Factor de carga transversal KHα según Norma ISO 6336-1 (método C). Ft KA /be mayor de 100 N/mm menor de 100 N/mm

Grado de precisión (ISO 1328-1) 5 6 7 8 todos dientes

endurecidos

rectos

helicoidales

1,00

1,00

1,00

1,10

1,10

1,20

1,20

1,40

2,1Z

12≥

ε

4,1cos b

2≥

β

εα

dientes no endurecidos

rectos

helicoidales

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,10

1,10

1,20

2,1Z

12≥

ε

4,1cos b

2≥

β

εα

Nota : Si solo una de las ruedas del par dentado tuviera sus dientes endurecidos, entonces debe ser usado un valor medio de KHα. Si las ruedas tuvieran diferentes grados de precisión, debe ser tomado la menor precisión en la selección del valor (usualmente es la rueda).

2.2.1.7 - Factor por carga dinámica interna KV. En la norma ISO 6336 son aceptados un total de cinco métodos para evaluar el coeficiente Kv, conocidos como método A, B, C, D y E, con diferencias en la complejidad de cálculo y en los factores considerados con influencia en las cargas dinámicas internas.

2.2.1.7.1 - Coeficiente de carga dinámica según el método A. Este método es aplicable cuando se dispone de una suficiente información del comportamiento y magnitud de la carga dinámica generada internamente durante la transmisión del movimiento entre las ruedas, soportando los dientes una carga plena en el régimen de explotación nominal. Se prevé que este coeficiente de carga dinámica sea evaluado a partir de mediciones exactas y con un amplio análisis matemático del sistema de transmisión. Este es un método recomendado cuando se dispone de toda la información referida a la carga en los dientes y la posibilidad de definir con exactitud practica la magnitud de la fuerza interna generada por los impactos entre los dientes, permitiendo una evaluación del factor de carga dinámica Kv según la siguiente relación :

t

tdF

FFKv +=

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 10donde:

Fd : Incremento dinámico de la carga en los dientes, debido a la respuesta dinámica del engranaje a la excitación producida por los errores de transmisión, sin incluir la fuerza tangencial nominal trasmitida [N].

Ft : Fuerza tangencial nominal trasmitida [N].

2.2.1.7.2 - Coeficiente de carga dinámica según el método B. El procedimiento de cálculo según el método B, toma como referencia la norma alemana DIN 3990-1 y fue aceptado con ligeras modificaciones en la Norma ISO 6336-1. Para la evaluación del coeficiente de carga dinámica KV este método propone que el par de ruedas engranadas sea considerado semejante al modelo mostrado en la figura 2.2, compuesto por dos masas reducidas m1

* y m2*, las cuales son vinculadas a un

muelle de rigidez cγ . En el modelo de análisis, los parámetros m1* y m2

* son representativos de las masas del piñón y de la rueda por unidad de ancho y el termino cγ del valor unitario medio de la rigidez.

Figura 2.2 - Modelo de análisis del engranaje de dos ruedas cilíndricas con contacto exterior, para el cálculo

del coeficiente de carga dinámica, según el método B de la Norma ISO 6336-1. El modelo de análisis previsto para evaluar KV considera la influencia de la frecuencia de resonancia en el incremento de la carga dinámica en los dientes, según es mostrado en la figura 2.3, aunque para ciertos casos los valores esperados no son lo suficientemente precisos, pues no es considerada la influencia de otras etapas de la transmisión en el engranaje analizado, ni los efectos que puede producir la vibración torsional en todo el sistema de transmisión, entre otros aspectos. Las fórmulas para evaluar KV corresponden con los siguientes cuatros regímenes, definidos al considerar la posible resonancia del engranaje y la relación entre la frecuencia de rotación del piñón n1 y la frecuencia de resonancia nE1 : I. Régimen subcrítico. [n1/nE1 ≤ 0,85] II. Régimen de resonancia. [0,85 < n1/nE1 ≤ 1,15] III. Régimen intermedio. [1,15 < n1/nE1 <1,5]] IV. Régimen supercrítico. [n1/nE1 ≥ 1,5]

0,85 1,15 1,50 N=n1 / nE1

I

II

III

IV

Kv

Figura 2.3 - Comportamiento del coeficiente de carga dinámica Kv en dependencia de la razón de resonancia (N = n1 / nE1), para una carga nominal constante en los dientes, según el método B.

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 11Para establecer el régimen de trabajo del par de ruedas analizadas, es empleado el factor adimensional N, denominado Razón de Resonancia y calculado para el modelo de la figura 2.2 según la ecuación (2) :

γ⋅

⋅π⋅==

cm

30000zn

nn

N red11

1E

1

donde : n1 : frecuencia de rotación del piñón (min-1). z1 : número de dientes en el piñón. cγ : rigidez media por ancho de diente en el engrane (N/(mm.μm)), mred : masa por unidad de ancho de ruedas, reducida y ubicada en la línea de engranaje (kg/mm).

Para el cálculo de la masa reducida mred, pueden ser empleados los procedimientos clásicos de Teoría de Mecanismos y Mecánica Teórica. Para el caso particular de un par de ruedas cilíndricas con contacto exterior puede ser empleada la ecuación siguiente :

21b

*2

22b

*1

*2

*1

redrIrI

IIm

⋅+⋅

⋅= (kg/mm)

donde :

I1*, I2* : momentos polares de inercia de las masas de las ruedas, por unidad de ancho (Kg.mm2/mm). rb1 , rb2 : radios básicos de las ruedas (mm).

Para caracterizar la rigidez media del engrane es empleado el valor medio de rigidez de todos los dientes en el engrane. En cálculos aproximados, la siguiente ecuación es apropiada para el caso de engranajes cilíndricos con valores de coeficientes de recubrimiento transversal εα ≥ 1,2 y ángulos de hélice β ≤ 45°2.

( )25,075,0cc ' +ε⋅⋅= αγ (N/(mm.μm))

donde : εα : coeficiente de recubrimiento en el plano transversal. c’ : rigidez de un par de dientes engranados (N/(mm.μm)).

La rigidez de un par de dientes c’ en la anterior ecuación es considerada como la rigidez máxima del par de dientes en contacto durante su trayectoria por la línea de engranaje. Este valor es aproximadamente igual a la máxima rigidez del par de dientes en la zona en que solo ellos trasmiten la carga. Para una carga especifica en los dientes del engrane mayor de 100 N/mm, es orientada la siguiente ecuación para calcular la rigidez del par de dientes.

( )β⋅⋅⋅⋅= cosCCc8,0c BRth'' (N/(mm.μm))

donde : β : ángulo de la hélice de los dientes en el cilindro de referencia. CR : factor por tipo de rueda. Para ruedas macizas debe ser tomado CR = 1, en caso de ruedas con

vaciados en sus llantas puede ser tomado hasta un valor mínimo de CR = 0,7. CB : factor por tipo de cremallera básica. Para engranajes con cremallera básica de referencia

según ISO 53 -1974 puede ser empleado CB = 1, para otras condiciones es orientado evaluar como :

( )[ ] ( )[ ]α−⋅−⋅−ρ+⋅+= ο2002,01*h*15,01C fpfpB

2 Hohn, B., ¨ Calculation of the Mean Value of Mesh Stiffness ¨, Doc. 690 en ISO/TC60/WG6, Munich 1997

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 12siendo :

ρ*fp : factor del radio de curvatura en el pie de la cremallera de referencia.

h*fp : factor de altura del pie del diente en la cremallera de referencia.

α : ángulo de flanco del perfil del diente en la cremallera de referencia (°). c’

th : rigidez teórica de un par de dientes engranados (N/(mm.μm)).

El valor de la rigidez teórica c’th puede ser obtenido mediante la siguiente ecuación y la tabla 2.5.

12

292

182v

2726

1v

1514

2v

3

1v

21th

' xCxCz

xCxC

z

xCxC

z

C

z

CCc

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅+

⋅+⋅+

⋅+⋅+++= (N/(mm.μm))

donde : x1 , x2 : coeficientes de corrección de los dientes del piñón y de la rueda. zv1 , zv2 : número de dientes de las ruedas equivalentes (virtuales).

Tabla 2.5- Valores de los coeficientes C1 ,C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9 . Unidades en (N/(mm.μm)). C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 0,04723 0,15551 0,25791 -0,00635 -0,11654 -0,00193 -0,24188 0,00529 0,00182

Los errores inevitables, durante la elaboración de las ruedas dentadas, en la magnitud del paso y la forma del perfil , así como los desplazamientos elásticos de los dientes bajo carga, provocan cierta irregularidad del movimiento en la rueda conducida a pesar que la rueda motriz gire uniformemente. Esta irregularidad del movimiento provoca cargas dinámicas sobre los dientes y el trabajo del engranaje con vibraciones y ruidos. Las principales cargas dinámicas en los dientes de las ruedas se producen al engranar los dientes y desengranar el par de dientes precedente. Para conseguir el trabajo sin colisiones, es necesario que los dientes al trasmitir la carga establezcan contacto sobre la línea de engrane, es decir, que sean iguales los pasos de los dientes de las ruedas engranadas y que los perfiles de los dientes garanticen que la normal al punto de contacto pase por el punto de tangencia de las circunferencias primitivas. Por ello, a pesar de que las ruedas se fabricaran con absoluta exactitud, tendrían lugar las colisiones, ya que las deformaciones, inevitables de los dientes a causa de la carga, influyen en el engrane del mismo modo que los errores del paso o del perfil. Además de la influencia que ejercen los errores de fabricación en los valores de cargas dinámicas, es necesario considerar el efecto que produce la inevitable variación de la rigidez de los pares de dientes engranados, originada por la variación del número de dientes en contacto y la posición ocupada por ellos en la línea practica del engrane. Figura 2.4- Rigidez de un par de dientes helicoidales

(.z1 = 53 z2 = 65 m = 1,5 β = 15° x1 = 0 x2 = -0,08 εα = 1,7 εβ = 1,1 Ft/b = 484 N ).

Figura 2.5- Rigidez en un engrane de dientes rectos a lo largo de la línea de engranaje, para 1,2 ≤ εα ≤ 1,8.

0 2 4 6 8

10 12 14 16

Línea de engranaje

Cth [N/(mm. m)]

2 pares

2 pares

C

1 par

Línea de engranaje

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 13 Según puede ser observado en la figura 2.4, la rigidez de un par de dientes engranados varia en dependencia de la zona del contacto. Pero más significativa es la variación de la rigidez cuando es analizado el comportamiento conjunto de los pares de dientes engranados a lo largo de la línea practica, como es apreciable en la figura 2.5. Esta variación de la rigidez provoca una influencia significativa en la redistribución no uniforme de la carga sobre los dientes y produce deformaciones abruptas que generan cargas dinámicas apreciables La influencia en la carga dinámica de la precisión del engrane y la variación cíclica de la rigidez es considerada en el cálculo del coeficiente de cargas dinámicas mediante los siguientes parámetros adimensionales :

e

At

pbeff'

p

bKF

fcB

⋅

⋅=

e

At

teff'

f

bKF

fcB⋅

⋅=

e

At

'

k

bKF

Cac1B⋅

⋅−=

siendo : Bp , Bf , Bk: Coeficientes modificadores de la carga dinámica nominal por efecto de errores del

perfil, el paso y variaciones de la cresta del diente. KA : coeficiente de aplicación de la carga. be : ancho de engrane (mm), fpbeff : desviación efectiva del paso básico después del asentado (μm) fteff : desviación efectiva del perfil del diente después del asentado (μm) Ca : cantidad de modificación del perfil en la cresta del diente (μm).

En caso de no ser conocidos los valores de desviación efectiva del paso básico y del perfil del diente después de producirse el ajuste funcional, ellos pueden ser estimados mediante las siguientes fórmulas :

ppbpbeff yff −= (μm) ffteff yff −= α (μm)

siendo: fpb : desviación del paso básico (μm) según ISO 1328-1. ffα : desviación del perfil (μm) según ISO 1328-1. yp : asentamiento permisible para el paso (μm). yf : asentamiento permisible del perfil (μm).

donde : Para dureza superficial en el diente: pbp f075,0y ⋅= (μm) ; α⋅= ff f075,0y (μm)

Para dureza volumétrica en el diente: pbHlim

p f160y ⋅σ

= (μm) ; α⋅σ

= fHlim

f f160y (μm)

siendo σHlim : Esfuerzo límite por fatiga superficial del material, para un contacto intermitente (MPa).

2.2.1.7.2.1 - Coeficiente de carga dinámica según método B en el régimen subcrítico. Este régimen es considerado por debajo de la zona de peligro de resonancia. Por seguridad es definida esa zona cuando N < 0,85, debido a que el cálculo de la razón de resonancia no considera la influencia de la rigidez de otros componentes de la transmisión como son los árboles, rodamientos y carcaza, los cuales influyen en la precisión del cálculo de la resonancia del engranaje. Para la evaluación del coeficiente de carga dinámica en el régimen subcrítico es empleada la siguiente ecuación y los coeficientes de la tabla 2.6:


( ) NBCBCBC1Kv k3Vf2Vp1V ⋅⋅+⋅+⋅+=

Tabla 2.6 - Valores y fórmulas para el cálculo de los factores CV . Coeficientes 1 2< ≤εγ ε γ > 2

CV1 0,32 0,32 CV2 0,34 ( )0 57 0 3, ,εγ −

CV3 0,23 ( )0 096 156, ,εγ −

CV4 0,90 ( ) ( )0 57 0 05 144, , ,− ⋅ −ε εγ γ

CV5 0,47 0,47 CV6 0,47 ( )012 174, ,εγ −

Nota : εγ : Coeficiente de recubrimiento total = εα + εβ

2.2.1.7.2.2 - Coeficiente de carga dinámica según método B en el régimen de resonancia. Este régimen es caracterizado por una vibración intensa del engranaje, donde las amplitudes provocadas por la resonancia pueden destruir la transmisión, en caso de ser mantenido el trabajo del engranaje durante un tiempo prolongado en esta zona. En este régimen son alcanzados los máximos valores del coeficiente de carga dinámica según puede ser observado en la figura 2.3. La aproximación a esta zona de resonancia se revela exteriormente por un aumento constante de las vibraciones, por tal motivo, se considera como rango para este régimen aquel que esta comprendido entre los valores de razón de resonancia de 0,85 y 1,15. Puede ser calculado el coeficiente de carga dinámica en este régimen mediante la siguiente ecuación y los factores CV de la tabla 2.6.

( )k4Vf2Vp1V BCBCBC1Kv ⋅+⋅+⋅+=

2.2.1.7.2.3 - Coeficiente de carga dinámica según método B en el régimen supercrítico . En este régimen pueden ocurrir picos disminuidos de cargas dinámicas en zonas donde la razón de resonancia sea igual a N=2 ó N=3. Es necesario tener en consideración, que para algunas transmisiones en este régimen, es importante tomar en cuenta las cargas dinámicas debido a la vibración transversal de otros engranajes y árboles. En caso de que el efecto de los otros componentes de la transmisión sobre las cargas dinámicas no sea tenido en cuenta, el coeficiente Kv puede ser valorado mediante la siguiente ecuación :

7Vf6Vp5V CBCBCKv +⋅+⋅=

La anterior ecuación es aplicable en la zona donde la razón de resonancia toma valores superiores a 1,5. Los factores CV5 y CV6 pueden ser obtenidos de la tabla 2.6, en cambio el factor CV7 debe ser evaluado como :

75,0C 7V = para 5,11 ≤ε< γ

( )[ ]2sen125,0875,0C y7v −ε⋅π⋅+= para 5,25,1 ≤ε< γ

1C 7V = para 5,2>εγ


2.2.1.7.2.4 - Coeficiente de carga dinámica según método B en el régimen intermedio. Este es un régimen de transición entre el régimen critico y el supercritico, por ello el coeficiente de carga dinámica es determinado mediante interpolación lineal entre estos regímenes.

( )( )

( ) ( )[ ]5,1N15,1N5,1N KvKv35,0

N5,1KvKv === −⋅−

+=

2.2.1.7.3 - Coeficiente de carga dinámica según método C. La determinación del coeficiente de carga dinámica mediante el método C está basada en el procedimiento brindado por el método B, pero con la introducción de algunas consideraciones simplificadoras como :

Es considerado un régimen subcritico de resonancia para el engrane. Se asume que el piñón y la rueda son masas aisladas. El cálculo orientado es para cargas especificas Ft.KA/be ≥ 100 N/mm.

A partir de las consideraciones anteriores, el coeficiente de carga dinámica para engranajes cilíndricos de dientes rectos o de dientes helicoidales con un coeficiente de recubrimiento axial mayor que 1 (εβ ≥ 1), puede ser calculado mediante la siguiente expresión :

( ) 1u

u100

vz2K

b/KF1K1Kv

2

21

eAt +⋅

⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⋅+=

donde: v : velocidad circunferencial (m/s). u : razón de engrane. K1 y K2 : factores de cálculo evaluados según la tabla 2.7.

Tabla 2.7- Factores K1 y K2 para el cálculo del coeficiente de carga dinámica según el método C.

Valores de K1 según el grado de precisión ISO1328-1 Valores de

K2 Tipo de diente

5 6 7 8 9 10 todos Recto 7,5 14,9 26,8 39,1 52,8 76,6 0,0193

Helicoidal 6,7 13,3 23,9 34,8 47,0 68,2 0,0087 Para engranajes cilíndricos con dientes helicoidales y coeficiente de recubrimiento axial menor que 1 el valor del coeficiente de carga dinámica es determinado mediante la interpolación lineal del valor de Kv para dientes rectos y para dientes helicoidales.

( )β−α⋅ε−α= β KvKvKvKv

donde: Kvα : factor dinámico considerando dientes rectos. Kvβ : factor dinámico considerando dientes helicoidales con εβ ≥ 1. εβ : coeficiente de recubrimiento axial del engranaje analizado.


2.2.1.7.4. Coeficiente de carga dinámica según método D. Este es un método mucho más simple que el anterior, pero prevé la influencia de menos parámetros y factores en el cálculo del coeficiente de cargas dinámicas. Toma en cuenta las consideraciones del método C, asumiendo que la carga lineal en el diente es de Ft.KA/be = 350 N/mm, un valor aceptado como medio en engranajes industriales. A partir de las anteriores consideraciones la ecuación para el cálculo del coeficiente de carga dinámica es :

1u

u100

vz2k

3501K1Kv

2

21

+⋅

⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2.2.1.7.5. Coeficiente de carga dinámica según método E. El procedimiento de cálculo del coeficiente Kv, según este método, toma como referencia la norma estadounidense ANSI/AGMA 2001-B88 y fue aceptado con ligeras modificaciones en ISO 6336-1. El fundamento del cálculo es empírico y conveniente para engranajes industriales de uso general, según consta en las referencias que sirven de base al método. Este procedimiento no considera las cargas dinámicas producidas en un régimen de resonancia y no debe ser empleado cuando la frecuencia de rotación del piñón exceda el 80% de su frecuencia de resonancia. Para el cálculo del coeficiente de carga dinámica es empleada la siguiente ecuación :

B

v200AAKv

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅+=

donde : ( )B15650A −⋅+= y ( ) 667,05C25,0B −⋅=

siendo : C : grado de precisión según ISO 1328-1 v : velocidad circunferencial (m/s).

2.2.1.7.5 – Algunas conclusiones del cálculo del coeficiente de cargas dinámicas según ISO. En la tabla 2.8 son mostrados algunos valores del factor de carga dinámico para engranajes cilíndricos de dientes rectos, obtenidos mediante el método C (recomendado para engranajes industriales). Los resultados brindados en la mencionada tabla permiten recomendar las mayores precisiones posibles en la elaboración de aquellas ruedas dentadas que presenten sus dientes con pequeñas carga en explotación, en estos casos son convenientes los menores errores de paso admisibles para el engranaje. Esto es también valido para ruedas dentadas de dientes helicoidales, aunque las carga dinámicas son algo menores.

Tabla 2.8 - Algunos valores del coeficiente de carga dinámica KV en engranajes cilíndricos de dientes rectos, para grados 6 y 9 de precisión ISO.

z V u

u1

2

2100 1⋅

⋅+

m/s

Ft.KA/be = 100 N/mm

6 9

Ft.KA/be = 350 N/mm

6 9

Ft.KA/be = 1000 N/mm

6 9 1 1,168 1,547 1,062 1,170 1,034 1,072 5 1,841 3,736 1,309 1,850 1,171 1,360

10 2,683 6,473 1,619 2,700 1,342 1,721

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 17 Al parecer la realización de ensayos (método A) es la única evaluación que permite precisar un valor del coeficiente Kv. Pero la realización de estas evaluaciones es una tarea difícil con mucho gasto en tiempo y en recursos, por lo tanto, solo se justifica en determinados casos y cuando no se está en presencia de un nuevo diseño. Por ello, contar con un método de cálculo seguro, pero no muy conservador, para el cálculo del coeficiente de carga dinámica es una de las tareas que se proponen muchos de los estudiosos de la dinámica de los engranajes. A pesar de los muchos esfuerzos realizados para lograr una evaluación precisa del coeficiente de cargas dinámicas, aún existen discrepancias entre los diferentes procedimientos y los resultados que se obtienen a partir de los métodos de cálculo del coeficiente Kv3. Guiándose por diferentes metodologías de cálculo analítico se pueden obtener, para un mismo engranaje en iguales condiciones de explotación, valores del coeficiente Kv con diferencias entre un 20% y un 36%, las mayores discrepancias son para engranajes de poca precisión.

Figura 2.6.- Valores del coeficiente de carga dinámica Kv en dependencia de la velocidad circunferencial de las ruedas, calculados según los métodos B (Kv-B), C (Kv-C), D (Kv-D) y E (Kv-E) de ISO 6336-1 y los obtenidos en ensayos (Kv-A), en un engranaje cilíndrico de grado de precisión ISO 7 con cargas en sus dientes de 185 N/mm.

2.2.1.8 - Factor de carga en el flanco del diente para esfuerzos de contacto KHβ. El factor KHβ ajusta los esfuerzos calculados en los dientes para posibilitar que sean considerados los efectos de una distribución no uniforme de la carga en el flanco del diente. Uno de los procedimientos de cálculo aceptado en las Norma ISO referidas a la verificación de la capacidad de carga de los engranajes cilíndricos es el denominado método C2, el cual permite tomar en cuenta la influencia de:

La alineación del engranaje. Las deformaciones elásticas del conjunto piñón - árbol. Los errores de fabricación.

3 González-Rey, G., y García, M.E., ¨Coeficientes de Carga Dinámicas en Engranajes Cilíndricos según ISO 6336 ¨, 3er Congreso

Iberoamericano de Ingeniería Mecánica, ISPJAE, Ciudad Habana, 1997

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

0 1,5 3 4,5 6 7,5

Velocidad circunferencial m/s

Coe

ficie

nte

de c

arga

din

ámic

a K

v

Kv-A

Kv-C

Kv-E

Kv-D

Kv-B

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 18 Cálculos más exactos que este procedimiento pueden ser encontrados en la Norma ISO 6336 (pero a la vez más complejos), considerando otras influencias en la alineación del engranaje como:

Deformaciones elásticas causadas no solo por la fuerza en el engrane, sino además por otras transmisiones vinculadas al engranajes como: correas, cadenas, acoplamientos, etc.

Deformaciones elásticas de la rueda y su árbol. Deformaciones elásticas e imprecisiones de fabricación de la carcaza. Deformaciones y holguras en los rodamientos.

Con este método, es calculable un valor de KHβ mayor de 2, aunque usualmente el valor verdadero es menor que este. Sin embargo, es recomendable que debe ser reconsiderado el diseño si el valor calculado es mayor que 1.5, por ejemplo aumentando la rigidez del árbol, cambiando la posición de los apoyos y/o mejorando la exactitud de la hélice. Las siguientes fórmulas son básicas para el cálculo del factor de carga en el flanco del diente para los esfuerzos de contacto:

( )eVAt

yH b/KKF2

CF1K

⋅⋅⋅

⋅+=

γββ valida para KHβ < 2,0

etVA

yH b/FKK

CF2K

⋅⋅

γ⋅⋅=

ββ valida para KHβ ≥ 2,0

donde :

KA : Factor de aplicación de carga. KV : Factor de carga dinámica. Ft : Fuerza tangencial (N). be : Ancho de engrane (mm). Cγ : Rigidez del engrane (N/(mm.μm)). Es generalmente aceptado un valor de rigidez media del

engrane de Cγ = 20 N/(mm.μm). Fβy : Desalineación del engranaje después del asentamiento (μm). Este valor coincide con el error

total en la dirección de la hélice del diente. Tabla 2.9 - Algunos valores del factor KHβ, con diferentes cargas en el engrane y desalineaciones Fβy ,

para una rigidez media de Cγ = 20 N/(mm.μm).

Carga lineal en el engrane KA KV Ft / be (N / mm) Fβy (μm) 100 300 600 900 1200 1500

5 1,50 1,16 1,08 1,05 1,04 1,03 10 2,00 1,33 1,16 1,11 1,08 1,06 15 2,45 1,50 1,25 1,16 1,12 1,10 20 2,83 1,66 1,33 1,22 1,16 1,13 25 3,16 1,83 1,42 1,27 1,20 1,16 30 3,46 2,00 1,50 1,33 1,25 1,20 40 4,00 2,31 1,66 1,44 1,33 1,26 60 4,90 2,80 2,00 1,66 1,50 1,40

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 19 Se ha podido comprobar que, después de un periodo de trabajo, las ruedas dentadas engranadas con alguna desalineación sufren una pequeña y favorable modificación de la desalineación que atenúa la distribución irregular de la carga en los flancos conjugados de los dientes. Este favorable efecto es debido al ajuste durante el funcionamiento de los dientes engranados (asentado), que está en dependencia del material y dureza de los flancos de los dientes y las velocidades de trabajo, por ello:

βββ −= yFF xy (μm)

donde : Fβy : Desalineación del engranaje después del asentamiento (μm). Fβx : Desalineación inicial del engranaje sin asentamiento (μm). yβ : Asentado permisible en el engranaje (μm). En la literatura especifica y en la misma Norma

ISO 6336 es brindada información relativa a su cálculo aproximado. Algunas de las recomendaciones más conocidas para evaluar la magnitud del asentado permisible orienta que para dientes de acero con dureza volumétrica sea empleado un asentado permisible igual a :

Hlimx

Hlim

19200F320yσ

≤⋅σ

= ββ (μm)

En el caso de dientes de acero cementados, nitrurados o nitrocementados la magnitud de asentado permisible es orientada en la magnitud de:

m6F15,0y x μ≤⋅= ββ

Prácticamente la determinación exacta de la desalineación del engranaje, a partir de los factores que pueden influir en este aspecto, no es del todo posible, existen orientaciones en literatura especializada y en ISO 6336 donde es planteado que la desalineación del engranaje puede ser determinada como:

Fβx = ⏐fma + fsh1 + fsh2 + fbe + fca + fte ⏐ Siendo:

fma : Desalineación debido a imprecisiones de fabricación. fsh1 : Desalineación por deformación del árbol del piñón. fsh2 : Desalineación por deformación del árbol de la rueda. fca : Desalineación por deformación e imprecisión en la carcaza. fbe : Desalineación en los cojinetes. fte : Desalineación por efecto de la temperatura.

Generalmente durante el cálculo de la desalineación del engranaje en ruedas dentadas cilíndricas con aplicación industrial, son consideradas con influencia preponderantes las desviaciones de fabricación y las deflexiones producidas en el piñón y su árbol. Usualmente la desalineación inicial del engranaje es evaluada como :

ma21sh1x fBfB33,1F ⋅+⋅⋅=β (μm)

siendo : fma :Desalineación debida a imprecisiones de fabricación. Para evaluar fma se debe tomar la mayor

desalineación posible, esto se logra considerando la máxima tolerancia de desviación de la hélice admitida para el piñón o la rueda: fma = fβ.

B1 y B2 : Constantes que consideran las modificaciones realizadas en la hélice de los dientes. Son

evaluados en la tabla 2.11.


Tabla 2.10 - Algunos valores recomendados como máxima tolerancia de desviación de la hélice fβ (μm).

Grado de

Ancho del dentado (mm)

Precisión hasta 40 40 .... 100 100 .... 160 160 .... 250 5 7 10 12 16 6 9 12 16 20 7 11 16 20 25 8 18 25 32 40 9 28 40 50 63

Tabla 2.11 - Constantes B1 y B2 para evaluar la desalineación equivalente Fβx.

No Tipo de modificación de la hélice. B1 B2 1 Sin ninguna modificación 1,0 1,0 2 Con abarrilamiento central 1,0 0,5 3 Con corrección de la hélice según la carga aplicada 0,1 1,0 4 Corrección en la hélice y abarrilamiento (caso 2 + 3) 0,1 0,5 5 Extremos del diente achaflanados 0,7 0,7

La fórmula anterior para el cálculo de la desalineación inicial del engranaje, es empleada en casos de montajes donde no se garantice una ubicación favorable de la huella de contacto a lo largo de la línea de contacto, de forma tal que las deformaciones elásticas y las desviaciones por fabricación no se compensen y ocurra la desalineación máxima del engranaje. En cambio para engranajes con una verificación de la posición favorable del contacto, con ajuste de la transmisión durante el montaje, debe ser empleada la siguiente fórmula:

51sh1x ffB33,1F ββ −⋅⋅= (μm)

Siendo: fβ5 : máxima tolerancia de desviación de la hélice para un grado de precisión 5to, según la tabla 2.10.

Una ubicación favorable de la huella de contacto permite una mejor distribución de la carga en el flanco del diente durante la transmisión de la carga. Además el control de la huella de contacto, garantizando su ubicación en la zona menos cargada del diente durante las verificaciones de la transmisión con pequeña carga, posibilita una disminución apreciable de la desalineación efectiva del engrane. El cálculo de la desalineación por deflexión del árbol del piñón, está en dependencia del tipo de montaje, de la rigidez del conjunto, de la fuerza actuante, del ancho relativo al diámetro del piñón y del perfil de los dientes. En el caso de engranajes cilíndricos con dientes de acero rectos o helicoidales, es posible obtener la siguiente ecuación:

2

1

14

1sh

12

1

'

1

tVA1sh d

b3,03,0

dd

d

slK1023,0b

FKKf ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅= (μm)

donde: dsh1 : diámetro medio del árbol (mm).

d1 y b1 : diámetro de referencia y ancho del piñón (mm). Los términos l , s , y K’ son referidos en la tabla 2.13.

modification en

cresta abarrilamiento

central

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 21Tabla 2.12 - Reglas para la determinación de una posición favorable de la huella de contacto con los dientes

sometidos a pequeñas carga.

T

T

Posición de la huella de contacto. Ubicación

favorable

favorable

desfavorable

desfavorable


Tabla 2.13 - Valor del factor K’ empleado en el cálculo de fsh1.

T

0,5.l 0,5.l

S

T

0,5. l 0,5.l

S

l s

0,5. l

S

0,5. l

S

Esquema de montaje del piñón. 15,1dd

1sh1 ≥

0,48 0,80

-0,48 -0,80

1,33 1,33

-0,36 -0,60

-0,60 -1,00

15,11

1 <shd

d


2.2.2 - Esfuerzo de contacto admisible. Los esfuerzos de contacto admisibles en los flancos de dientes de las ruedas cilíndricas son determinados previendo la resistencia al deterioro por picadura. Los valores de esfuerzos admisible son obtenidos a partir de esfuerzos límites para un contacto intermitente y bajo determinadas condiciones establecidas experimentalmente, posteriormente estos esfuerzos límites son ajustados a esfuerzos admisibles empleando un conjunto de factores modificadores que permiten precisar el valor del esfuerzo admisible a las condiciones del diseño exigido. En las Normas ISO, referidas al cálculo de engranajes cilíndricos, es recomendada la siguiente expresión para evaluar el esfuerzo de contacto admisible:

XWRVLNHmin

HlimHp ZZZZZZ

S⋅⋅⋅⋅⋅⋅

σ=σ (MPa)

Siendo : σHlim : Esfuerzo límite para una tensión de contacto intermitente (MPa) SHmin : Coeficiente de seguridad para esfuerzos de contacto. ZN : Coeficiente de durabilidad. ZL : Coeficiente de lubricación. ZV : Coeficiente por velocidad. ZR : Coeficiente por rugosidad del flanco. ZW : Coeficiente por endurecimiento durante el trabajo. ZX : Coeficiente de tamaño.

2.2.2.1 - Esfuerzo de contacto límite σHlim. Este valor es definido como el esfuerzo límite para una tensión de contacto intermitente sostenida durante un número de ciclos básicos, sin que ocurra la picadura (pitting) progresiva. En la tabla 14 son brindados valores de esfuerzos límites según la Norma ISO 6336-5, para los cuales durante su determinación fueron establecidas las siguientes condiciones experimentales : - Distancia interaxial aw = 100 mm - Ángulo de la hélice β = 0° - Módulo m = 3....5 mm - Rugosidad de flanco Rz = 3 μm - Velocidad circunferencial v = 10 m/s - Viscosidad del aceite ν50 = 100 mm2/s - Ruedas engranadas del mismo material - Grado de precisión del engranaje (ISO 1328-1) Q = 4...6 - Factores de influencia general KA = KV = KHβ = KHα = 1 - Probabilidad de fallo del engranaje previendo picadura de un 1 %

En los ensayos fue considerado que el engranaje fallaba, cuando :

a) Engranajes con dureza volumétrica presentaban un 2 % del total de las áreas de los flancos activos con picadura.

b) Engranajes con endurecimiento superficial presentaban un 0,5 % del total de las áreas de los flancos activos con picadura o el 4 % del área del flanco activo de un diente era dañado por picadura.


Tabla 2.14- Esfuerzos límites de contacto σHlim.

Materiales y tratamientos Rango de dureza superficial

Valores de σHlim. (Mpa)

Acero normalizado 115 .. 220 HB 188 + HB Acero fundido 145 .. 210 HB 279 + 0,93 (HB -140) Hierro fundido nodular 200 .. 300 HB 470 + 1,38 (HB - 175) Hierro fundido gris 150 .. 235 HB 280 + 1,12 (HB - 150) Acero al carbono con temple volumétrico 150 .. 220 HB 345 + HB Acero aleado con temple volumétrico 200 .. 360 HB 630 + 1,35 (HB - 200) Acero cementado 57 .. 63 HRC 1500 Acero con temple superficial 52 .. 57 HRC 1160 + 7,94 (HRC-50,5) Acero nitricementado 52 .. 58 HRC 950 Acero nitrurado 50 .. 58 HRC 1000 Acero nitrurado 60 .. 65 HRC 1250

2.2.2.2 - Coeficiente mínimo de seguridad para esfuerzos de contacto. Generalmente sobre el coeficiente de seguridad no existen recomendaciones precisas en normas de verificación de la capacidad de carga de engranajes. Usualmente son aceptados los valores a partir de acuerdos entre el productor y el usuario. Algunas normas recomiendan valores en dependencia de la fiabilidad exigida, por ejemplo: la Norma AGMA 2001-C95 establece los siguientes valores tomando como base un estudio realizado por la marina de E.U.A.

Tabla 2.15 - Coeficientes mínimos de seguridad para esfuerzos de contacto (Norma AGMA 2001-C95).

Probabilidad de ocurrir el fallo SHmin 0,01 % 1,50 0,10 % 1,25 1,00 % 1,00 10,00 % 0,85

Otras normas recomiendan valores de coeficiente de seguridad para esfuerzos de contacto en función de la dispersión de las tensiones límites en el ensayo y de la probabilidad del fallo. En este caso la Norma BDS 17108-89, desarrollada en Bulgaria, es una clara muestra de ello. Según la mencionada Norma Búlgara, el valor recomendado del coeficiente de seguridad para contacto es SHmin = 1,3, aunque este valor puede ser modificado en caso de que:

La estimación de las cargas reales haya sido realizada con precisión: - para materiales con dureza volumétrica: SHmin = 1,1 - para materiales con dureza superficial : SHmin = 1,2

La rotura puede producir graves consecuencias : SHmin = 1,3 .... 1,4 Es admisible en el trabajo normal de la transmisión un cierto nivel de picadura en los flancos de los

dientes sin que ocurra la fractura de ellos : SHmin ≤ 1,0.


2.2.2.3 - Factor de durabilidad ZN. El factor ZN permite graduales aumentos del esfuerzo límite de contacto durante el cálculo de engranajes que soportan un número de ciclos de carga menor que el número de ciclos básico establecido durante los ensayos para la determinación de los esfuerzos límites por fatiga superficial. Este factor puede ser evaluado según las siguientes orientaciones : Para dientes de acero templados, cementados o con dureza volumétrica, o para dientes de hierro con estructura perlitica o bainitica :

ZN = 1,60 para un número de ciclos efectivos de carga menor de 105. ZN = 1,19 para un número de ciclos efectivos de carga igual a 5 ⋅ 106. ZN = 1,00 para un número de ciclos efectivos de carga igual o mayor de 5 ⋅ 107.

Para dientes de acero nitrurados o nitrocementados, o para dientes de hierro con estructura ferritica ;

ZN = 1,30 para un número de ciclos efectivos de carga menor de 105. ZN = 1,06 para un número de ciclos efectivos de carga igual a 106. ZN = 1,00 para un número de ciclos efectivos de carga igual o mayor de 2 ⋅ 106.

2.2.2.4 - Factor de tamaño ZX. El factor Zx toma en cuenta la aparición de los defectos por debajo de la superficie, debido a la ocurrencia de pequeños concentradores de tensión y a la influencia del tamaño en la calidad del material (efecto de los procesos de fundición, forja y de ocasionales variaciones de estructura). Todos estos efectos en el diente tienen una evidencia estadística, provocando que los valores de esfuerzos en los cuales ocurre el daño disminuyan con el incremento del tamaño del diente. En la etapa actual de las investigaciones, sobre este aspecto y referido a los engranajes de ruedas cilíndricas, no se dispone de una información verdaderamente confiable, por tal motivo este factor es evaluado cautelosamente. Generalmente es orientado que ZX = 1 para el cálculo de engranajes industriales. Algunas investigaciones han permitido recomendar que:

Para dientes de acero con dureza volumétrica ZX = 1. Para dientes de acero y cementados ZX = 1, si el módulo es menor de 12 mm. Para dientes de acero y nitrurados ZX = 1 , si el módulo es menor de 8 mm.

2.2.2.5 - Factor por endurecimiento durante el trabajo ZW. El factor ZW considera el aumento de la resistencia de la superficie de los dientes no endurecidos, cuando ellos trabajan con otra rueda de dientes endurecidos, debido a que los dientes de menor dureza sufren un proceso de endurecimiento en frío que le permiten aumentar su resistencia a la picadura . Este efecto comienza a verse de forma significativa si la diferencia de durezas entre los flancos de los dientes del piñón y de la rueda supera los 200 HB y la rugosidad de los flancos es menor de 6 μm.

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 26Tabla 2.16 - Valores del factor por endurecimiento durante el trabajo Zw, para dientes de acero y

rugosidades medias máximas (Rz) en los flancos menor o igual que 6 μm, cuando la diferencia de dureza entre los flancos conjugados es mayor de 200 HB.

Dureza menor de los dientes engranados Zw menor o igual que 130 HB 1,200

200 HB 1,159 300 HB 1,100

mayor o igual que 470 HB 1,000

2.2.2.6 - Factores con influencia en la formación de la película de lubricante. En la resistencia al deterioro por picadura de los flancos activo de los dientes tiene gran influencia la calidad y espesor de la película de lubricante formada en la línea de contacto, Algunos de los factores con mayor influencia en la resistencia a la picadura son considerados en la valoración del esfuerzo de contacto admisible mediante los siguientes coeficientes:

ZL : Coeficiente por viscosidad del lubricante. ZV : Coeficiente por velocidad. ZR : Coeficiente por rugosidad .

Como es conocido, valores elevados de la viscosidad del aceite y de la velocidad en la zona del contacto provocan mejores condiciones de lubricación hidrodinámica. Además si disminuye la rugosidad superficial de los flancos activos de los dientes aumenta la resistencia a la picadura por ser menor la cantidad de microgrietas que favorecerían este tipo de deterioro. El efecto de estos tres factores en la resistencia del flanco del diente a la picadura pueden ser observado en el comportamiento de los factores ZL , ZV y ZR , según es mostrado en la tabla 17.

Tabla 2.17. Algunos valores de ZL , ZV y ZR.

ν50 (mm2/s) ZL V (m/s) ZV RZ (μm) ZR 43 0,947 2 0,950 2 1,050 89 0,991 5 0,975 3 1,000

100 1,000 10 1,000 5 0,950 125 1,016 20 1,025 10 0,880

El cálculo más preciso de estos coeficientes puede ser obtenido en la norma ISO 6336-2, aunque usualmente se opta por un método simplificado que establece el valor del producto ZL . ZV igual a la unidad, si la viscosidad del aceite es seleccionada adecuadamente para las condiciones de trabajo. Por ello, dependiendo de la rugosidad superficial asociada con la forma de elaboración, pueden ser orientados los siguientes valores: Para engranajes con dientes rectificados o afeitados:

00,1ZZZ RVL =⋅⋅ si la rugosidad máxima media en flanco es no mayor de 4 μm.

92,0ZZZ RVL =⋅⋅ si la rugosidad máxima media en flanco es mayor de 4 μm.

Para engranajes con dientes sin rectificar: 85,0ZZZ RVL =⋅⋅


2.3 - Comprobación de la Resistencia a los Esfuerzos de Flexión. Este cálculo toma como modelo de referencia la semejanza existente entre una barra prismática con carga en voladizo y un diente con la carga aplicada en la cresta. Este modelo ha permitido desarrollar las ecuaciones necesarias para evaluar los esfuerzos que surgen en la raíz del diente y están asociadas con la fractura que puede ser producida en la base del diente.

Figura 2.7- Modelo de referencia en el cálculo de los esfuerzos en la base del diente.

2.3.1- Fórmula para determinar los esfuerzos de flexión. Del análisis del modelo de referencia puede ser obtenidas las ecuaciones de los diferentes tipos de esfuerzos que actúan en la raíz del diente.

Esfuerzo normal por flexión:

6bs

h)cos(F2

fn

FaFannF

⋅

⋅α⋅=σ

(MPa)

Esfuerzo normal por compresión: bs

)sen(F

fn

FannC

⋅

α⋅=σ (MPa)

Esfuerzo tangencial por cortante: bs

)cos(F

fn

Fann⋅

α⋅=τ (MPa)

30°

αan

γa

sFn

hFn

αFan

ρf

rb

Fn

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 28 De estos tres esfuerzos, el más significativo por su magnitud es el correspondiente al esfuerzo por flexión, por tal motivo, y para simplificar el análisis del esfuerzo resultante en la base del diente, generalmente son despreciados los esfuerzos por compresión y por cortante en el cálculo del esfuerzo en la raíz del diente (este procedimiento es el seguido en la norma ISO 6336). De tal forma que la ecuación básica para determinar los esfuerzos de flexión en la base del diente es:

6bs

h)cos(F2

fn

FaFannF

⋅

⋅α⋅=σ (MPa)

Siendo: Fn : Fuerza normal (N). Es considerada toda la fuerza actuando en un solo par y aplicada en la

cresta del diente analizado. αFan: Angulo de incidencia de la fuerza normal cuando actúa la carga en la cresta. hFa: Altura desde la zona critica por rotura en la raíz del diente hasta el punto de intersección de

la línea de acción de la fuerza normal y el eje de simetría del diente (mm). sfn : Espesor cordal en la zona critica del diente por rotura de su base (mm). b : Ancho del diente en la base (mm).

Conociendo la dependencia entre la fuerza normal y su componente tangencial, y empleando valores relativos al módulo del espesor y de la altura, para generalizar el cálculo es posible obtener la siguiente fórmula para el cálculo del esfuerzo básico en la raíz por flexión del diente:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

α⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

α⋅⋅⋅

⋅=σ

)cos(m

s

)cos(m

h6

mbF

2fn

FanFa

tF

(MPa)

Por definición, la relación entre corchetes se reconoce como el Factor de Forma y se identifica como YFa. Adicionalmente se introducen, para el cálculo del esfuerzo por flexión, otros factores que consideran la influencia de concentradores de tensión en la base del diente, la distribución irregular de la carga en el engrane y la inclinación de los dientes, entre otros aspectos. La inclusión de estos factores, como coeficientes teóricos y prácticos, hacen posible la obtención de una ecuación básica para el cálculo de los esfuerzos de flexión mucho más ajustada a la condición de carga verdadera, permitiendo que su aplicación al cálculo de los engranajes cilíndricos sea un reflejo más fiel de la realidad. Sustituyendo en la ecuación básica de los esfuerzos de flexión los referidos factores, y luego de realizar las agrupaciones necesarias, son obtenidas las siguientes ecuaciones para el cálculo de los esfuerzos actuantes en la base de los dientes del piñón (σF1) y la rueda (σF2) :

Para el piñón: αββε ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=σ FFVA1sa1Fa1

t1F KKKKYYYY

mbF (MPa)

Para la rueda: αββε ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=σ FFVA2sa2Fa2

t2F KKKKYYYY

mbF (MPa)

Donde: Ft : Fuerza tangencial (N). b1 : Ancho del diente del piñón (mm).


b2 : Ancho del diente de la rueda (mm). m : Módulo del engranaje (mm). Yε : Factor por razón de contacto. Yβ : Factor por ángulo de la hélice. YFa1 : Factor de forma de los dientes del piñón. YFa2 : Factor de forma de los dientes de la rueda. Ysa1 : Factor de concentración de tensiones de los dientes del piñón. Ysa2 : Factor de concentración de tensiones de los dientes de la rueda. KA : Factor por aplicación de carga. KV : Factor por carga dinámica interna. KFβ : Factor de carga en el flanco del diente. KFα : Factor de carga transversal.

2.3.1.1 - Factores de forma y de concentración de tensiones ( YFa y Ysa ). El factor de forma YFa permite que sea referido el cálculo a la flexión que se produce en la base del diente, cuando es considerada la carga en la cresta, Su valor está en dependencia básicamente del espesor de cuerda normal en la sección critica de la raíz del diente por fractura y del momento flector producido por la fuerza normal.

α⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

α⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=

cosm

s

cosm

h6

Y2

fn

Fan

2Fa

Fa

El cálculo analítico de este factor se refiere en la Norma ISO 6336-3 y otras de aplicación en engranajes cilíndricos industriales. En el caso de engranajes con parámetros de cremallera básica correspondientes a los previstos en la Norma ISO 53, su valor puede ser obtenido mediante curvas ploteadas en gráficos, en función del número de dientes y el coeficiente de corrección. A continuación son presentados 2 gráficos del factor YFa y un diagrama de bloque para el cálculo del mencionado coeficiente.

Gráficos de Yfa para engranajes cilíndricos de contacto exterior.

Izquierdo con: α = 20°, ha* = 1, c* = 0,25 y ρ*f = 0,25. Derecho con: Izquierdo con: α = 20°, ha* = 1, c* = 0,25 y ρ*f = 0,3


Algoritmo para el cálculo del coeficiente de forma YFa.

Datos: Parámetros de la herramienta: α , m, ha*, ρf*, c* Parámetros de la rueda: z, β , d, da , db , x

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ β⋅=β −

dtand

tan b1b

( ) mchh afp ⋅+= ∗∗

mffp ⋅ρ=ρ ∗

β⋅β=

coscos

zzb

2n

( )α

ρ⋅α−−α⋅−⋅

π=

cossen1tanhm

4E fp

fp

xm

h

mG fpfp

+−ρ

=

3mE

2z2Hn

π−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −π

⋅=

6π

=θ

Htanz

G2

nI −θ⋅

⋅=θ

001,0I ≤θ−θ Iθ=θ

Iθ=θ

1


El factor de concentración de tensiones Ysa es la razón entre el esfuerzo máximo provocado por los concentradores de tensión y el esfuerzo de flexión básico definido de forma puramente geométrica. Este factor considera la influencia en el esfuerzo de flexión real del radio de curvatura en el filete de la raíz del diente ρf.

1

sFa

fnsa

fnsFah3,2

21,1

qhs

13,02,1Y

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=

siendo: f

fns 2

sq

ρ⋅=

El cálculo analítico del factor YSA es explicado en la Norma ISO 6336-3 y en otras de aplicaciones especificas de los engranajes cilíndricos. Generalmente su valor puede ser obtenido mediante curvas ploteadas en gráficos, para diferentes parámetros de la cremallera básica del engranaje, en función del número de dientes y el coeficiente de corrección.

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ−

θ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−π

⋅= ∗∗fnfn cos

G33

senzs

( )G2coszcos

G22

n

2ffmn

⋅−θ⋅⋅θ

⋅+ρ=ρ ∗

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

−+

α=α −

n

a

1an

zmdd

1

coscos

ann

a invinvz

tanx25,0α−α+

α⋅⋅+π⋅=γ

aanFan γ−α=α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ−ρ⋅+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−π

−α

α⋅⋅=∗

cosG*5,0

3cos

coscos

z5,0h fFan

annFa

( ) α⋅

α⋅⋅=

∗

∗

coss

cosh6Y

2fn

FanFaFa

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 32 Como ambos factores consideran la influencia de la forma del diente en el esfuerzo de flexión real, cuando la carga es aplicada en la cresta del diente, ha sido tomada la decisión practica de evaluar el producto de ellos en un solo factor denominado :

saFaFS YYY ⋅= Con el objetivo de simplificar el cálculo de estos factores han sido confeccionadas gráficas, con los valores de este producto ploteados en curvas, que permiten la evaluación de YFS en función del coeficiente de corrección x, de parámetros de la cremallera básica del engranaje y del número de dientes virtuales zv. Este último parámetro puede ser determinado como:

Para dientes rectos:

zv1 = z1 zv2 = z2

Para dientes helicoidales:

z z

bv1

12=

⋅cos ( ) cos( )β β

z z

bv2

22

=⋅cos ( ) cos( )β β

En la tabla 18 son brindados algunos valores del factor YFS en función de algunos parámetros geométricos de la rueda dentada y su cremallera de referencia. Un análisis de los valores de YFS , en la mencionada tabla, permite apreciar la influencia tan significativa que ejercen en el factor YFS parámetros como : el número de dientes virtuales ZV, el coeficiente de corrección x, el ángulo de la cremallera de referencia α, el factor de altura de la cabeza del diente ha

*, el factor de holgura radial c* y el factor del radio de curvatura en la raíz del diente ρf*.

Tabla 2.18 - Valores del factor YFS en dependencia del número de dientes virtuales ZV y el coeficiente de

corrección x, para diferentes tipos de cremalleras de referencia.

Valores del factor YFS ZV x α=20° ha

*=1 c* =0,25 ρ* =0,25

α=20° ha*=1 c* =0,25

ρ* =0,375 α=22,5° ha

*=1 c* =0,25 ρ* =0,4

15 0,5 4,33 3,94 3,68 15 0 --- --- 4,32 20 0,5 4,30 3,92 3,65 20 0 4,66 4,36 4,05 20 -0,2 4,95 4,65 4,31 30 0,5 4,32 3,91 3,65 30 0 4,39 4,10 3,85 30 -0,5 4,85 4,60 4,25 50 0,5 4,43 3,94 3,69 50 0 4,28 3,98 3,72 50 -0,5 4,38 4,15 3,85

100 0,5 4,50 3,98 3,71 100 0 4,30 3,96 3,70 100 -0,5 4,18 3,93 3,65




2.3.1.2 - Factor por coeficiente de recubrimiento para esfuerzos de flexión Yε. El factor Yε es usado para modificar el efecto de YFa (considera toda la carga aplicada en la cresta del diente). La condición empleada en el modelo para el cálculo del esfuerzo de flexión es en extremo critica y con poca probabilidad de ocurrir en la práctica, pues solo cuando estemos en presencia de un engranaje de ejes paralelos formado por ruedas cilíndricas de dientes rectos y coeficiente de recubrimiento ε = 1 ocurrirá que solo un par de dientes trasmitirá la carga y el punto más peligroso será cuando la carga sea aplicada en la cresta de los dientes, en otras circunstancias es muy posible que solo un par trasmita toda la carga, pero el punto critico de aplicación será por debajo de la cresta del diente y por consiguiente el momento flector en la base del diente será menor que el supuesto en el modelo. Una de las alternativas para la evaluación del factor Yε es la siguiente fórmula, brindada en la Norma ISO 6336-3 y con aceptación de aplicación en el cálculo de engranajes cilíndricos industriales:

625,0)(cos75,0

25,0Y2

b ≥ε

β⋅+=

αε

2.3.1.3 - Factor por ángulo de la hélice Yβ. Mediante el factor Yβ , el valor preliminar del esfuerzo por flexión en la base del diente recto, que ha servido como modelo, puede ser modificado para que sea posible la aplicación de este método al cálculo del esfuerzo por flexión en un diente helicoidal. Además permite considerar la orientación oblicua de las líneas de contacto en los flancos activos y la correspondiente distribución de la carga según la rigidez del diente.

Para εβ ≤1

°βββ

⋅ε−=120

1Y si β ≥ 30° tomar ββ ε⋅−= 25,01Y

Para εβ>1

°ββ

−=120

1Y si β ≥ 30° tomar 75,0Y =β

2.3.1.4 - Factor de carga transversal para esfuerzos de flexión KFα. El factor KFα toma en consideración la distribución irregular de la carga entre varias parejas de dientes que engranan simultáneamente. Un cálculo exacto de este coeficiente requiere de un análisis de las deformaciones elásticas bajo carga de los dientes y de las imprecisiones del paso y del perfil de los dientes, además de cuantos pares de dientes y en que lugar engranan ellos en la línea práctica de engranaje, los efectos considerados por este factor son semejantes a los tomados en cuenta por KHα durante el cálculo de los esfuerzos de contacto.

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 36Una de las formas simplificadas para evaluar con cierta exactitud este factor, es brindada en la siguiente tabla.

Tabla 19 - Factor de carga transversal KFα según Norma ISO 6336-1 (método C).

Ft KA /be mayor de 100 N/mm menor de 100 N/mm Grado de precisión (ISO 1328-1) 5 6 7 8 todos

dientes endurecidos

rectos

helicoidales

1,00

1,00

1,00

1,10

1,10

1,20

1,20

1,40

11 2

Yε≥ ,

ε

βα

cos,2 1 4

b≥

dientes no endurecidos

rectos

helicoidales

1,00

1,00

1,00

1,00

1,00

1,10

1,10

1,20

11 2

Yε≥ ,

ε

βα

cos,

21 4

b≥

Nota: Si solo una de las ruedas del par dentado tuviera sus dientes endurecidos, entonces debe ser usado un valor medio. Si las ruedas tuvieran diferentes grados de precisión, debe ser tomado la menor precisión (usualmente es la rueda).

2.3.1.5 - Factor de carga en el flanco del diente para esfuerzos de flexión KFβ. El factor KFβ ajusta el esfuerzo de flexión calculado en la base del diente de forma que sean considerado el efecto de una distribución no uniforme de la carga en el flanco del diente. Uno de los procedimientos de cálculo aceptado en las Norma ISO referidas a la verificación de la capacidad de carga de los engranajes cilíndricos es el denominado método C2, el cual permite tomar en cuenta la influencia de:

La alineación del engranaje. Las deformaciones elásticas del conjunto piñón - árbol. Los errores de fabricación. La relación ancho / altura del diente (be/h) .

Según este método el cálculo es referido según la siguiente fórmula:

Para be / h ≥ 3 tomar

( )( ) ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++ββ =

2hebheb1

2heb

HF KK

Para be / h < 3 tomar K KF Hβ β= 9 13/

Cálculos más exactos que este procedimiento pueden ser encontrados en la Norma ISO 6336 (pero a la vez más complejos), considerando otras influencias en la alineación del engranaje como fueron explicadas anteriormente en el procedimiento de cálculo del factor KHβ .


2.3.2 - Esfuerzo de flexión admisible. El esfuerzo de flexión admisible en la raíz de los dientes de ruedas cilíndricas engranadas es determinado previendo la resistencia al deterioro por fractura en la base del diente. Los valores de los esfuerzos admisibles son obtenidos a partir de esfuerzos límites por fatiga, considerando una flexión intermitente y bajo determinadas condiciones establecidas experimentalmente. Posteriormente estos esfuerzos límites son ajustados a esfuerzos admisibles empleando un conjunto de factores modificadores que permiten precisar el valor del esfuerzo admisible por flexión bajo las condiciones del diseño exigido. En las Normas ISO, referidas al cálculo de engranajes cilíndricos, es recomendada la siguiente expresión para evaluar el esfuerzo admisible por flexión del diente:

En el piñón : 1X1Rrel1rel1NFmin

1Flim1Fp YYYY

S⋅⋅⋅⋅

σ=σ δ (MPa)

En la rueda : 2X2Rrel2rel2NFmin

2Flim2Fp YYYY

S⋅⋅⋅⋅

σ=σ δ (MPa)

Siendo : σFlim : Esfuerzo límite por fatiga por flexión (MPa). SFmin : Coeficiente mínimo de seguridad para esfuerzos de flexión. YN : Factor de durabilidad. Yδrel : Factor por sensibilidad relativa de la raíz del diente. YRrel : Factor por rugosidad relativa del fondo del diente. YX : Factor de tamaño.

2.3.2.1 - Esfuerzo de flexión límite σFlim. Este valor es definido como el esfuerzo límite para una flexión intermitente sostenida durante un número de ciclos básicos, sin que ocurra la fractura del diente en su base producto de una fatiga volumétrica en la zona de la curva de transición del diente. En la tabla 20 son brindados valores de esfuerzos límites por flexión según la Norma ISO 6336-5, para los cuales fueron establecidas las siguientes condiciones experimentales en su determinación: - Ángulo de la hélice β = 0° - Módulo m = 3....5 mm - Entalladura en la zona de transición qs = 2,5 - Rugosidad en la zona de transición Rz = 10 μm - Grado de precisión del engranaje (ISO 1328-1) Q = 4...7 - Ancho del diente b = 10...50 mm - Cremallera básica según ISO 53 - Factores de influencia general KA = KV = KFβ = KFα = 1 - Número básico de ciclos de carga Nb = 3.106...104 - En los ensayos fueron aplicadas cargas

unidireccionales en los dientes (esfuerzos por flexión intermitente en la base)


Tabla 2.20 - Esfuerzos límites por flexión en la base del diente σFlim.

Materiales y tratamientos Rango de dureza superficial Valores de σFlim. (Mpa)

Acero normalizado 115 .. 220 HB 240 + 0,90 (HB-115) Acero fundido 145 .. 210 HB 210 + 1,08 (HB -145)

Hierro fundido nodular 200 .. 300 HB 380 + 0,70 (HB -200) Hierro fundido gris 150 .. 235 HB 100 + 0,55 (HB -150)

Acero al carbono con temple volumétrico 150 .. 220 HB 380 + 0,38 (HB -120) Acero aleado con temple volumétrico 200 .. 360 HB 550 + 0,86 (HB - 200)

Acero cementado 57 .. 63 HRC 1000 Acero con temple superficial 52 .. 57 HRC 730

Acero nitrocementado 52 .. 58 HRC 780 Acero nitrurado 50 .. 58 HRC 720 Acero nitrurado 60 .. 65 HRC 850

Nota : Los esfuerzos límites en la tabla son validos para una flexión intermitente en la base del diente (carga unidireccional), en caso de cargas en ambos sentidos aplicadas sobre los dientes los esfuerzos limites en la tabla deben ser multiplicados por 0,7.

2.3.2.2 - Coeficiente mínimo de seguridad para esfuerzos de flexión SFmin. De igual forma que en la evaluación del esfuerzo admisible de contacto, generalmente sobre el coeficiente de seguridad a flexión no existen recomendaciones precisas en las normas de verificación de la capacidad de carga de engranajes. Usualmente son aceptados los valores acordados entre el productor y el usuario. Algunas normas recomiendan valores en dependencia de la fiabilidad exigida, por ejemplo: la Norma AGMA 2001-C95 establece estos valores tomando como base un estudio realizado por la marina de E.U.A y reflejados en la tabla 21. Aunque los coeficientes de seguridad previstos para esfuerzos de flexión y recomendados en las normas AGMA son iguales que los orientados para los esfuerzos de contacto, debe de ser tenido en consideración que debido al deterioro catastrófico del fallo por fractura del diente usualmente son orientados mayores coeficientes de seguridad para esfuerzos de flexión que para esfuerzos de contacto.

Tabla 2.21 - Coeficientes mínimos de seguridad para esfuerzos de flexión, según Norma AGMA 2001-C95.

Probabilidad de ocurrir el fallo SFmin

0,01 % 1,50 0,10 % 1,25 1,00 % 1,00 10,00 % 0,85

Otras normas recomiendan valores de coeficiente de seguridad para esfuerzos de flexión en función de la precisión de las cargas o las condiciones de trabajo. En este caso, al igual que para los coeficientes de seguridad a esfuerzos de contacto, la Norma BDS 17108-89 es una clara muestra de ello, recomendándose un valor del coeficiente de seguridad para esfuerzo de flexión es SFmin = 1,7, aunque este valor puede ser modificado en caso de : - aceros aleados de gran calidad con precisión de la carga : SF = 1,6 - engranajes que trabajan sometidos a elevadas temperaturas : SF = 2,2 - engranajes sometidos a cargas de impacto : SF = 2,0.


2.3.2.3 - Factor de durabilidad YN. El factor YN, toma en cuenta la posibilidad de emplear valores mayores de esfuerzos limites a flexión en la base del diente, cuando se estima que en los dientes de la rueda analizada actuara una cantidad de ciclos de carga menor que el número de ciclos básicos, establecido durante los ensayos para la determinación de los esfuerzos normales de flexión límites por fatiga volumétrica. Este factor puede ser evaluado según las siguientes orientaciones:

Para dientes de acero con dureza volumétrica y un esfuerzo limite de rotura a tracción superior a 800 MPa, o para dientes de hierro nodular con estructura perlítica o bainítica, o para dientes de hierro fundido maleable con estructura perlítica :

YN = 2,50 para un número efectivo de ciclos de carga menor de 104. YN = 1,73 para un número efectivo de ciclos de carga igual a 105. YN = 1,19 para un número efectivo de ciclos de carga igual a 106. YN = 1,00 para un número efectivo de ciclos de carga igual o mayor de 3 ⋅ 106.

Para dientes de acero cementado, o para dientes de acero con endurecimiento superficial en todo el

contorno de la zona de transición :

YN = 2,50 para un número efectivo de ciclos de carga menor de 103. YN = 1,47 para un número efectivo de ciclos de carga igual a 105. YN = 1,13 para un número efectivo de ciclos de carga igual a 106. YN = 1,00 para un número efectivo de ciclos de carga igual o mayor de 3 ⋅ 106.

Para dientes de acero con un esfuerzo límite de rotura a tracción menor de 800 MPa, o para dientes de

acero nitrurado, o para dientes de hierro con estructura ferrítica ;

YN = 1,30 para un número efectivo de ciclos de carga menor de 105. YN = 1,06 para un número efectivo de ciclos de carga igual a 106. YN = 1,00 para un número efectivo de ciclos de carga igual o mayor de 2 ⋅ 106.

2.3.2.4 - Factor por sensibilidad del material a la concentración de tensión Yδrel. El factor Yδrel indica aproximadamente la tolerancia a los concentradores de tensión del material en la zona de transición. La intensidad de la concentración de tensiones en la raíz del diente es valorada por la relación entre el espesor del diente en el plano normal sfn y el doble del radio de transición de la raíz del diente ρf. Para un parámetro de entalladura qs ≥ 1,5 puede ser evaluado Yδrel = 1,0 Para un parámetro de entalladura qs <1,5 puede ser evaluado Yδrel = 0,95

Siendo : f

fns 2

sq

ρ⋅=

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 40 A continuación algunas condiciones límites que cumplen con qs < 1,5 :

Para α = 20°, ha* = 1 , c*= 0,25 , ρf

* = 0,25 si x = -0,2 y zV ≤ 18 x = -0,3 y zV ≤ 24 x = -0,4 y zV ≤ 32 x = -0,5 y zV ≤ 38 Para α = 20°, ha

* = 1 , c*= 0,25 , ρf* = 0,375 si x = -0,2 y zV ≤ 25

x = -0,3 y zV ≤ 30 x = -0,4 y zV ≤ 38 x = -0,5 y zV ≤ 50 Para α = 22,5°, ha

* = 1 , c*= 0,25 , ρf* = 0,4 si x = -0,1 y zV ≤ 16

x = -0,2 y zV ≤ 22 x = -0,3 y zV ≤ 30 x = -0,4 y zV ≤ 35 x = -0,5 y zV ≤ 45

2.3.2.5 - Factor por rugosidad en la curva de transición YRrel. El factor YRrel considera la influencia que ejerce, en la resistencia a la fatiga, el estado de la superficie de transición en la raíz del diente, cuando la base del diente es solicitada por un esfuerzo de flexión. Otros aspectos como la forma y la textura de las rugosidades, tensiones superficiales que pueden surgir por un tratamiento de chorreado de perdigones en la zona de transición o simplemente los normales procesos de oxidación del material, pueden influir significativamente en el estado real de la superficie y por consiguiente de la resistencia a la fatiga, pero debido al estado actual del conocimiento de esta problemática no es posible contar con una información completa y práctica que permita precisar con exactitud estos aspectos, por tal motivo la influencia del estado de la superficie en la zona de transición del diente es considerada simplemente como:

YRrel = 1,00 si la rugosidad máxima media es Rz ≤ 16 μm . Esta condición puede ser alcanzada con engranajes fresados cuidadosamente sin rectificar su curva de transición.

YRrel = 0,90 si la rugosidad máxima media es Rz > 16 μm. Dientes fresados normalmente, sin un cuidado extremo.

2.3.2.6 - Factor de tamaño YX. El factor YX permite considerar la influencia del tamaño del diente en la resistencia a la fatiga del material, pues toma en cuenta la distribución de probabilidad de los puntos débiles en la estructura del material y la influencia de las dimensiones en los procesos de forja y fundición de los semiproductos, entre otros aspectos.

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 41 A pesar de ser conocido que el tamaño del diente ejerce influencia en la resistencia a la fatiga aún es poca la información que se dispone de este aspecto. Son pocas las normativas que dan una información precisa para evaluar la influencia del tamaño en los esfuerzos admisibles, dentro de ellas están la Norma ISO 6336-3 y la propuesta de norma ISO/CD 9085-1 que orientan la evaluación de este factor en dependencia del tipo de material y tratamiento térmico-químico a que se somete el dentado de las ruedas. Para dientes de acero con dureza volumétrica, o dientes de hierro con estructura perlítica o bainítica : si m ≤ 5 entonces YX = 1,00 si 5 < m < 30 entonces YX = 1,03 - 0,006 . m si m ≥ 30 entonces YX = 0,85 Para dientes de acero con dureza superficial : si m ≤ 5 entonces YX = 1,00 si 5 < m < 25 entonces YX = 1,05 - 0,01 . m si m ≥ 25 entonces YX = 0,80 Para dientes de hierro con estructura ferrítica : si m ≤ 5 entonces YX = 1,00 si 5 < m < 30 entonces YX = 1,075 - 0,015 . m si m ≥ 25 entonces YX = 0,70


III- FÓRMULAS PARA EL DIMENSIONADO PREVIO DE ENGRANAJES CILÍNDRICOS SEGÚN EL CRITERIO DE RESISTENCIA MECÁNICA.

La primera dificultad con que se inicia un proyecto de transmisiones por engranajes coincide con el hecho de que es necesario conocer todas las dimensiones fundamentales del engranaje y de las ruedas, así como la forma y tamaño de los dientes, antes de que se puedan determinar con exactitud las fuerzas y esfuerzos. Aunque la más antigua información disponible sobre el cálculo de engranajes, según estudios realizados por Darley W. Dudley, se han encontrado en el libro A Treatise on Steam Engine (en español : Tratado acerca de motores de vapor) de John Farey, publicado por primera vez en 1827, es aceptado por muchos que el verdadero inicio del diseño ingenieril de los engranajes fue dado con los tratados, acerca de engranajes, del estadounidense George B. Grant, en los primeros años de este siglo. Desde estos inicios hasta la actualidad, la tecnología especializada en engranajes se ha desarrollado a una velocidad sin precedente, nuevas máquinas herramientas han aparecido continuamente en la escena industrial con inmensas capacidades, modernos procesos de tallado de acabado en dientes con durezas superiores a los 60 HrC y rectificado de CBN (Nitruro de Boro Cúbico Cristalino) de los flancos activos de los dientes de las ruedas, son algunos de los ejemplos de la moderna elaboración rápida y precisa de los engranajes. A pesar de estos avances tecnológicos, aun el diseño de los engranajes continua siendo un arte poco conocido, que a menudo se resuelve con una combinación de conocimiento, experiencia y suerte, incluso en muchos casos, los métodos de tanteo es la única forma efectiva de diseñar engranajes. Durante años la experiencia ha posibilitado producir y emplear transmisiones por engranajes que trabajan satisfactoriamente en la mayoría de las aplicaciones, pero las actuales exigencias de mayor precisión, suavidad de marcha y durabilidad de las ruedas dentadas a menudo fuerzan a los proyectistas a buscar alternativas de diseño. La practica generalizada del cálculo de engranajes ha hecho necesario estimar la dimensión de los engranajes utilizando métodos simplificados y luego comprobar esta estimación, empleando las ecuaciones básicas más exactas para verificar la capacidad de carga del engranaje según las diversas normas vigentes. Uno de los problemas para la obtención de las expresiones de cálculo simplificadas para el dimensionado previo del engranaje es la reducción de los datos requeridos a un conjunto de simples especificaciones. Estos datos previos exigen normalmente la siguiente información : - Magnitud y carácter de la carga trasmitida. - Frecuencia de rotación del piñón. - Razón de engrane. - Material y tratamiento empleado en la elaboración de los dientes. - Tiempo previsto de funcionamiento. - Relación entre algunos de los parámetros básicos del engranajes.

Usualmente es empleada la razón entre el ancho y la distancia interaxial. Un análisis de las ecuaciones básicas para verificar la capacidad de carga del engranaje, que permita despejar un parámetro básico de la transmisión, brinda la posibilidad de obtener fórmulas simples para el dimensionado previo del engranaje. Muchas relaciones empíricas permiten obtener una dimensión básica del engranaje y realizar un adecuado proyecto. A continuación son presentadas algunas fórmulas empleadas para el dimensionado previo de los engranajes cilíndricos de ejes paralelos.


3.1 - Fórmulas Empíricas Empleadas para el Dimensionado Previo. En casos de transmisiones por engranajes cilíndricos, donde se requiera conocer aproximadamente alguna dimensión básica de ella, es posible emplear dependencias empíricas establecidas según las tendencias estadísticas entre parámetros de carga y dimensiones del engranaje, en aquellos casos que han demostrado su efectividad práctica. Algunos ejemplos de fórmulas empíricas obtenidas de estudios estadísticos de diseños verificados en explotación, son brindadas a continuación :

Para reductores de velocidad de una etapa, compuesto por ruedas cilíndricas de dientes cementados y rectificados (según estudio de una serie de reductores alemanes FLENDER realizado en el ISPJAE, Cuba).

a Mtw = ⋅92 97 23.... (mm)

Donde: aw : Distancia entre centros de ruedas (mm) Mt2 : Momento torsor en la rueda (kNm)

Para reductores de velocidad de dos etapas, compuesto por ruedas cilíndricas con dientes de baja

dureza no rectificados (según estudio de una serie de reductores soviéticos PM realizado en el ISPJAE, Cuba).

a Mtwrap s= ⋅118 121 3.... (mm) a Mtwlen s= ⋅168 183 3.... (mm)

Donde : awrap : Distancia entre centros de ruedas del engranaje rápido (mm). awlen : Distancia entre centros de ruedas del engranaje lento (mm). Mts : Momento torsor a la salida del reductor de velocidad (kNm).

Para engranajes empleados en cajas de velocidad, compuesto por tres árboles, siendo coaxiales los

árboles de entrada y de salida (según estudio de varias cajas de velocidades en autos ligeros y camiones realizado en el ISPJAE, Cuba).

Para autos ligeros : a Mmotw = ⋅120 3 (mm)

Para camiones con cajas de 4 velocidades : a Mmotw = ⋅ ⋅ ⋅140 1953 (mm)

Donde : aw : Distancia entre centros de ruedas (mm). Mmot : Momento máximo del motor (kNm).

Es indiscutible que el dimensionado previo a partir de las dependencias empíricas es muy simple, pero no debe de pasar inadvertido que es un procedimiento de empleo solo cuando se desea copiar exactamente una transmisión por engranajes, sin pretensiones de un diseño optimo o modificaciones del proyecto original.


3.2 - Fórmula para el Dimensionado Previo según Norma AGMA 370.1. El propósito de la norma AGMA 370.01-73 es brindar orientaciones para el diseño, fabricación, inspección y ensamble de engranajes pequeños (con módulo menor de 1,5), pero el importante aporte que ha realizado al dimensionado previo de engranajes cilíndricos ha permitido el empleo de su fórmula básica para estimar el tamaño del engranaje, después de ser sometida a las necesarias conversiones de símbolos y parámetros vigentes según las nuevas denominaciones internacionales.

( ) 31ba

W unKP1u888a

⋅⋅⋅ψ⋅+⋅≥ (mm)

donde: P : Potencia a trasmitir (kW). u : Razón de engrane. n1 : Frecuencia de rotación del piñón (min-1). K : Factor auxiliar de cálculo (tabla 3.1) ψba = be / aW : Ancho relativo a la distancia entre centros. Como orientación

pueden servir los siguientes valores:

ψba = 0,1 ........... 1,2 General ψba = 0,25 .......... 0,6 Transmisiones usuales ψba = 0,25 .......... 0,3 Dientes endurecidos muy cargados ψba = 0,4 ............ 0,6 Dientes no endurecidos poco cargado

Tabla 3.1- Valores para el factor auxiliar de cálculo K.

Material de los dientes engranados Dureza superficial K

Acero - Acero menos de 257 HB hasta 100 260 ... 290 HB 130 295 ... 380 HB 185 41 .... 45 HRC 230 46 .... 55 HRC 340 más de 56 HRC 500

Hierro Fundido - Hierro Fundido ------- 70 Acero - Aluminio ------- 30

Aluminio - Aluminio ------- 5 Acero - Nylon ------- 75

3.3 - Fórmula para el Dimensionado Previo Deducida a partir de las ecuaciones básicas en Normas ISO .

En todo dimensionado previo de un engranaje es necesario determinar sus dimensiones mínimas, para las cuales no aparece el peligro del deterioro de los dientes. La solución más racional de este problema es posible solo con un cálculo donde sea relacionada mutuamente la resistencia mecánica y la geometría del engranaje, puesto que, cambiando el número de dientes, los coeficientes de corrección y el ángulo de

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 45inclinación de los dientes, entre otros parámetros geométricos, puede ser aumentado considerablemente la capacidad de carga del engranaje. Del análisis de aquellos deterioros de los dientes que pueden limitar la capacidad de carga del engranaje se deduce que los engranajes cerrados con lubricación adecuada deben de ser dimensionados previamente empleando el criterio de resistencia a la picadura, mucho más conveniente cuando la dureza de los dientes es baja y garantiza poca resistencia en los flancos, para durezas elevadas en los dientes puede ocurrir que la capacidad de carga se vea limitada por la resistencia a la fractura y no por la resistencia a la picadura. En las transmisiones abiertas, donde la lubricación es insuficiente o su cantidad es completamente insignificante, la picadura superficial se observa muy raramente, puesto que la capa superficial, en la cual se producen las grietas iniciales, se desgasta antes de que en ella tenga lugar los procesos de rotura por fatiga. Por ello, el tamaño previo de la transmisión se define calculando los dientes a fractura.

3.3.1 - Cálculo del diámetro de referencia previo para el piñón según criterio de resistencia a la picadura.

Recordando la ecuación básica para el cálculo de los esfuerzos de contacto en los dientes de engranajes cilíndricos de ejes paralelos y con contacto exterior, tendremos:

( )ubd

1uKKKKFZZZZ

e1

HHVAtEHH

⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=σ αβ

βε (MPa)

Además:

Conociendo que : F Mtdt =⋅2 1

1 ,

Definiendo : ψbdeb

d1 1= ,.

Agrupando : K K K KV H HV Hβ α β α= ⋅ ⋅ ,

Planteando el criterio de resistencia a esfuerzos de contacto : σ σH HP≤ . Puede ser obtenido, mediante un simple despeje y un conveniente agrupamiento de términos, una fórmula para el cálculo del diámetro de referencia d1 :

( ) ( )3 2

HPbd

VA12EH1

u

1uKKMt2ZZZZd

1 σ⋅⋅ψ

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ αβ

βε (mm)


Considerando un valor aproximado de Z ZHε ⋅ = 2 5, y sustituyendo ( )

ψ ψbd bau

11

2= ⋅

+

se obtiene:

( )3 2HPbd

VA12E1

u

KKMt25ZZd

1 σ⋅⋅ψ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ αβ

β (mm)

donde:

Mt1 : Momento torsor aplicado al piñón (Nmm). ZE : Factor de elasticidad (MPa). σHP : Esfuerzo de contacto admisible (MPa).

Para un engranajes de ejes paralelos y ruedas cilíndricas con dientes de acero la fórmula anterior puede ser simplificada como:

32

HPba

VA11

u

cosKKMt6,96d

σ⋅⋅ψ

β⋅⋅⋅⋅≥ αβ

(mm)

Como podrá suponerse, el valor del coeficiente auxiliar de cálculo KβVα tiene amplias variaciones en dependencia de las condiciones de explotación y de fabricación del engranaje, como puede ser observado en la tabla 3.2. Para un dimensionado previo puede ser recomendable emplear un valor de KβVα = 2. Tabla 3.2 - Valores del coeficiente auxiliar de cálculo KβVα para algunas condiciones de carga, velocidad de

trabajo y precisión en la fabricación del engranaje.

Condiciones establecidas Factor KβVα Ft / be = 100 N/mm , QISO = 9no y

z uu

12

2100 1⋅ ⋅

+

v = 10 m/s

30,0

Ft / be = 100 N/mm , QISO = 6to 5,60 Ft / be = 500 N/mm , QISO = 9no 1,82 Ft / be = 500 N/mm , QISO = 6no 1,00

Cálculo de engranajes cilíndricos Gonzalo González Rey 47Bibliografía básica en idioma ingles:

Colbourne, J. R., The Geometry of Involute Gears, Springer-Verlag, 1987 Drago, R. J., Fundamentals of Gear Design. Butterworths,1988 Dudley, Darle W., The Handbook of Practical Gear Design, Technomic Publishing Co., 1994 Ewert, Richard H., Gears and Gear Manufacture. The Fundamentals, Chapman & Hall, 1997 Gear Design, Manufacturing and Inspection Manual, Edit. Society of Automotive Engineers, 1990 Litvin, Faydor L., Gear Geometry and Applied Theory, Prentice Hall Lynwander, P., Gear Drive Systems, Marcel Dekker, 1983 MAAG Gear Co., MAAG Gear Book, 1990 South, David W.; Ewer, Richard H., Encyclopedic Dictionary of Gears and Gearing, McGraw-Hill, 1995 Normas básicas para el cálculo de la capacidad de carga de engranajes cilíndricos: Norma ISO 6336 (partes 1,2,3 & 5): Cálculo de la Capacidad de Carga de Engranajes Cilíndricos de Dientes Rectos y

Helicoidales (en ingles).1996 Norma ANSI/AGMA 2101: Cálculo de la Capacidad de Carga de Engranajes Cilíndricos con Dientes de Evolvente

(en ingles). 1996 Norma DIN 3990 (partes 1,2,3,4 y 5): Cálculo de la Capacidad de Carga de Engranajes Cilíndricos de Dientes Rectos

y Helicoidales (en alemán). Norma GOST 21354-86: Engranajes Cilíndricos de Dientes de Evolventes. Cálculo de Resistencia (en ruso). 1986 Alguna de la literatura disponible en idioma español: Baranov, G., Curso de la Teoría de Mecanismos y Máquinas, Editorial MIR, 1979 Dobrovolki, V.; Zablonski, K., Elementos de Máquinas, Editorial. MIR, Moscú, 1980 Niemann, G., Tratado Teórico Práctico de Elementos de Máquinas, Vol I y II, Editorial Labor, España, 1973 Reshetov, D., Elementos de Máquinas, Editorial Pueblo y Educación, Habana, 1985 Nota: La primera parte de estos apuntes corresponden a “Geometría Básica de

Engranajes Cilíndricos” del propio autor.

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