Upload
julian-asencio
View
224
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Resolución de Problemas Método Simplex
Primer Semestre 2007
EII 405 – Clase 5
Conjunto convexo
Conjunto no convexo
Cuando el problema se transforma en un modelo matemático con 2 (ó 3) variables de decisión, entonces es posible resolver gráficamente el problema.
Si la región de soluciones factibles del problema es un conjunto convexo, existe a lo menos un óptimo global y se encuentra en una esquina.
Un conjunto es convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos del conjunto se encuentra completamente dentro de él.
Método Gráfico
Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones factibles en un problema de programación lineal
Características principales:
Algoritmo eficiente y rápido para encontrar el óptimo
Determina la solución óptima sin evaluar todos los puntos extremos factibles
Es capaz de detectar si existen múltiples soluciones, si la solución no está acotada y si existe incompatibilidad de restricciones
Método Simplex
Para resolver por este método se utilizará el siguiente modelo de programación lineal
Max Z = C1 X1 + C2 X2 +...+ Cn XnMax Z = C1 X1 + C2 X2 +...+ Cn Xn
a11 X1 +...+ a1i Xi +...+ a1n Xn b1
a21 X1 +...+ a2i Xi +...+ a2n Xn bi
. . . . . . . . .am1X1 +...+ amiXi +...+ amnXn bm
a11 X1 +...+ a1i Xi +...+ a1n Xn b1
a21 X1 +...+ a2i Xi +...+ a2n Xn bi
. . . . . . . . .am1X1 +...+ amiXi +...+ amnXn bm
Xi 0 i = 1, 2,..., nXi 0 i = 1, 2,..., n
S.a
Método Simplex
El método Simplex requiere que las restricciones sean ecuaciones.
Para convertir cada desigualdad del tipo en una igualdad se debe agregar una nueva variable positiva llamada variable de holgura (hi).
A las variables hi se les denomina de holgura porque representan la cantidad no utilizada del recurso i, es decir, es la diferencia entre la cantidad disponible del recurso i (bi) y la cantidad utilizada
hi = bi - aij xjhi = bi - aij xj
Método Simplex
De esta manera, al incorporar las variables de holgura, el modelo queda de la siguiente forma:
Max Z = C1X1 + C2X2 +...+ CnXn
a11 X1 +...+ a1i Xi +...+ a1n Xn + h1 = b1
a21 X1 +...+ a2i Xi +...+ a2n Xn + h2 = bi
. . . . . . . . .am1X1 +...+ amiXi +...+ amnXn + hm = bm
Xi, hi 0 i = 1, 2,..., n
S.a
Método Simplex
Max Z = 200X1 + 240X2
S.a12X1 + 6X2 120 4X1 + 8X2 64 X1, X2 0
Analicemos el siguiente ejemplo:
Transformando el modelo para poder aplicar el método simplex tenemos:
Max Z = 200X1 + 240X2
S.a12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64X1, X2, h1, h2 0
Max Z = 200X1 + 240X2
S.a12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64X1, X2, h1, h2 0
Método Simplex
Procedimiento:
• Consiste en avanzar hacia el óptimo a través de los puntos extremos, en el sentido en que la F.O aumenta.
• Para ello, se utiliza una solución básica factible, se evalúa si es óptima, y si no lo es, se saca una variable de la base y se introduce otra, de manera que aumente el valor de la función objetivo
Método Simplex
Para trabajar con este método se utiliza un cuadro resumen denominado “Tableau”
VB CB XB X1 X2 ... Xn h1 h2 ... hm
B1 CB1 XB1 y11 y12 ... y1n y11 y12 ... y1m
B2 CB2 XB2 y21 y22 ... y2n y21 y22 ... y2m
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Bm CBm XBm ym1 ym2 ... ymn ym1 ym2 ... ymm
Z z1-c1 z2-c2 ... zn-cn z1-c1 z2-c2 ... zm-cm
c1 c2 ... cn c1 c2 ... cm
Método Simplex
VB: Indica las variables que forman la base.CB: Indica los coeficientes en la F.O. de cada variable básica (ci).XB: Representa el vector resultado del sistema de ecuaciones, asociado
a dichas variables básicas.Z: Es el valor de la F.O. para la solución encontrada, (Z = CBi·XBi)
xj : Son las variables de decisión.hj : Son las variables de holgura.yij: Son los coeficientes que permiten expresar a la variable xj (o
hj) como una combinación lineal de las variables básicas Bi. (inicialmente corresponden a los aij de las restricciones)
cj: Es el coeficiente de la variable j en la función objetivo.zj - cj: Es el costo reducido (o marginal) de que la variable j entre a la
base. zj = CBi·Yij
Método Simplex
VB CB XB X1 X2 h1 h2
Retomando el ejemplo, para construir el tableau inicial se debe elegir una solución factible, para esto se comienza con las variables de holgura en la base (VB)
0 120 12 6 1 0h1
h2 0 64 4 8 0 1
0 -200 -240 0 0
200 240 0 0
Max Z = 200X1 + 240X2
S.a12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64 X1, X2, h1, h2 0
Max Z = 200X1 + 240X2
S.a12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64 X1, X2, h1, h2 0
Las variables básicas deben estar en forma
canónica
Las variables básicas deben estar en forma
canónica
Método Simplex
VB CB XB X1 X2 h1 h2
h1 0 120 12 6 1 0
h2 0 64 4 8 0 1
0 -200 -240 0 0
200 240 0 0
Se determina si la solución es óptima, analizando los coeficientes zj - cj de las variables no básicas. Si todos los coeficientes son positivos (o cero) se ha llegado al óptimo, en caso contrario se debe continuar.
Método Simplex
Se selecciona como variable básica entrante aquella que incrementa más rápidamente la F.O. (coeficiente zj - cj más negativo). Se elige el más negativo para llegar más rápido al óptimo, pero en general basta con elegir cualquier zj - cj negativo.
VB CB XB X1 X2 h1 h2
h1 0 120 12 6 1 0
h2 0 64 4 8 0 1
0 -200 -240 0 0
200 240 0 0
Método SimplexMétodo Simplex
Ahora se debe determinar la variable que debe salir de la base, para eso se elige aquella que llegue más rápido a cero al incrementar la variable entrante, es decir, la que tenga el XBi / yij mínimo, con yij > 0
VB CB XB X1 X2 h1 h2
h1 0 120 12 6 1 0
h2 0 64 4 8 0 1
0 -200 -240 0 0
200 240 0 0
120/6 = 20
64/8 = 8
Método SimplexMétodo Simplex
Si no existe ningún yij > 0 en la variable entrante, entonces se escoge para entrar otra variable con zj – cj negativo que si tenga al menos un yij > 0. Si no existe ninguna con estas características, entonces se dice que el problema no tiene solución pues no está acotado.
Ejemplo: VB CB XB X1 X2 X3 X4
X1 10 10 1 0 0 -1/2
X2 0 15 0 1 -3 0
0 0 0 -5 -12
10 0 5 7
Solución no acotada
Método SimplexMétodo Simplex
Ahora se tiene una nueva base en donde la variable entrante ocupa la posición de la variable saliente. Entonces será necesario transformar el sistema a una forma canónica. Luego se determina si se ha llegado al óptimo, de no ser así se continua iterando.
VB CB XB X1 X2 h1 h2
h1 0 120 12 6 1 0
h2 0 64 4 8 0 1
0 -200 -240 0 0
200 240 0 0
72 9 0 1 -6/8
1920 -80 0 0 30
200 240 0 0
8 1/2 1 0 1/8
0h1
X2 240
VB CB XB X1 X2 h1 h2
72/9 = 8
8 / 0,5 = 16
F1 – F2 * 6/8120 – 64 * 6/8 = 7212 – 4 * 6/8 = 96 – 8 * 6/8 = 01 – 0 * 6/8 = 10 – 1 * 6/8 = -6/8
F1 – F2 * 6/8120 – 64 * 6/8 = 7212 – 4 * 6/8 = 96 – 8 * 6/8 = 01 – 0 * 6/8 = 10 – 1 * 6/8 = -6/8
F2 * 1/864 * 1/8 = 8 4 * 1/8 = 1/28 * 1/8 = 10 * 1/8 = 01 * 1/8 = 1/8
F2 * 1/864 * 1/8 = 8 4 * 1/8 = 1/28 * 1/8 = 10 * 1/8 = 01 * 1/8 = 1/8
Método SimplexMétodo Simplex
F1 * 1/972 * 1/9 = 8 9 * 1/9 = 10 * 1/9 = 01 * 1/9 = 1-6/8 * 1/9 = -1/12
F1 * 1/972 * 1/9 = 8 9 * 1/9 = 10 * 1/9 = 01 * 1/9 = 1-6/8 * 1/9 = -1/12
F2 – F1 * 1/28 – 8 * 1/2 = 4 1/2 – 1 * 1/2 = 01 – 0 * 1/2 = 11 – 19 * 1/2 = -1/181/8 + 1/12*1/2 = 1/6
F2 – F1 * 1/28 – 8 * 1/2 = 4 1/2 – 1 * 1/2 = 01 – 0 * 1/2 = 11 – 19 * 1/2 = -1/181/8 + 1/12*1/2 = 1/6
VB CB XB X1 X2 h1 h2
h1 0 72 9 0 1 -6/8
X2 240 8 1/2 1 0 1/8
1920 -80 0 0 30
200 240 0 0
8 1 0 1/9 -1/12
4 0 1 -1/18 1/6
2560 0 0 80/9 70/3
200 240 0 0
VB CB XB X1 X2 h1 h2
X1 200
X2 240
Solución óptimaZ = 2560X1 = 8X2 = 4
Solución óptimaZ = 2560X1 = 8X2 = 4
Método SimplexMétodo Simplex
Método Simplex
Un taller tiene 3 tipos de máquinas A, B y C y fabrica 2 tipos de productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden, primero a la máquina A, luego a la B y finalmente a la C.
Máquina Producto 1 Producto 2 Horas Sem.A 2 2 16B 1 2 12C 4 2 28
Ganancia 1 1,5
¿Qué cantidad de cada producto debe producirse por semana para obtener la máxima ganancia?¿cuántas horas semanales sobran en cada máquina?
La tabla muestra:1) Las horas requeridas en c/máquina por unidad de producto.2) Las horas totales disponibles para c/máquina por semana.3) La ganancia por unidad vendida de cada producto
Método Simplex
Max Z = X1 + 1,5X2
S a:
2X1 + 2X2 16 Horas disponibles en máquina A
X1 + 2X2 12 Horas disponibles en máquina B
4X1 + 2X2 28 Horas disponibles en máquina C
Xj 0 y entero j = 1 y 2 No negatividad
F.O.:
Max Z = X1 + 3/2 X2
S.a2X1 +2X2 + h1 = 16X1 + 2X2 + h2 = 124X1 + 2X2 + h3 = 28X1, X2, h1, h2, h3 0
Max Z = X1 + 3/2 X2
S.a2X1 +2X2 + h1 = 16X1 + 2X2 + h2 = 124X1 + 2X2 + h3 = 28X1, X2, h1, h2, h3 0
Método Simplex
16 2 2 1 0 00
12 1 2 0 1 00
28 4 2 0 0 10
0 -1 -3/2 0 0 0
VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3
h1
h2
h3
1 3/2 0 0 0
8
6
14
Método Simplex
4 1 0 1 -1 00
6 1/2 1 0 1/2 03/2
16 3 0 0 -1 10
9 -1/4 0 0 3/4 0
VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3
h1
X2
h3
1 3/2 0 0 0
F2 / 2F2 / 2
F1 - F2 * 2F1 - F2 * 2
F3 - F2 * 2F3 - F2 * 2
4
12
16/3
4 1 0 1 -1 01
4 0 1 -1/2 1 03/2
4 0 0 -3 2 10
10 0 0 1/4 1/2 0
VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3
X1
X2
h3
1 3/2 0 0 0
F1F1
F2 – F1 / 2F2 – F1 / 2
F3 – F1 * 3F3 – F1 * 3
Solución óptimaZ = 10X1 = 4X2 = 4h3 = 4
Solución óptimaZ = 10X1 = 4X2 = 4h3 = 4
Método Simplex