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Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
1
Resonatormoden
Der Resonator aus zwei Spiegeln sorgt nicht nur für den mehrfachen Durchlauf des Lichts durch das aktive
Medium, sondern konzentriert die Intensität auch auf bestimmte Moden, die von der Geometrie des Oszillators
abhängen. In der Regel sind TEM00q-Moden erwünscht (transversal-elektromagnetische Moden mit 0 Knoten
des elektrischen Felds in x-Richtung, 0 Knoten in y-Richtung und q Knoten in z-Richtung, d.h. entlang der
Strahlachse. Der Spiegelabstand ist ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge:
L
cq
cqqL
222
Die Moden bilden ein dichtes Spektrum
(das Verhältnis von L zu beträgt typisch 106)
Das transversale Strahlprofil zwischen zwei gekrümmten Spiegel ist Gauß-förmig und bildet eine Strahltaille:
Die charakteristische Länge zR heißt Rayleigh-Länge und hängt von der Größe der Taille w0 und der Wellenlänge ab.
2
02
0 mit/12w
zzzwzw RR
longitudinale Moden (Wikipedia, Dr. W. Geitner) transversale Moden für rechteckige Spiegel
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
2
Lasertypen
nach Pulsform
- Dauerstrich (cw)
- gepulst, Kurzpulslaser
nach Bauform
- Gas (geschlossen oder Gasstrom)
- Flüssigkeit (geschlossen oder Gasstrom)
- Kristall
- Laserdioden
- Scheibenlaser
- Faserlaser
nach Wellenlänge
- UV-Laser (Excimer)
- sichtbares Licht (z.B. HeNe)
- IR-Laser (Er:Glas)
nach Lasermedium
- Festkörper (Ti:Saphir, Nd:YAG,...)
- Flüssigkeit (Farbstofflaser)
- Gaslaser (CO2, HeNe)
Prominente Beispiele
CO2-Laser = 10 mm
Gaslaser für hohe Intensitäten
Er:Glas-Laser = 1540 nm
Faserlaser für die Telekommunikation,
kurze Pulse möglich (100 fs)
Nd:Glas-Laser = 1064 nm
hohe Intensität, Pulse im ns-Bereich,
oft frequenz-verdoppelt (532 nm)
z.B. zum Pumpen von Ti:Saphir
Yb:Glas-Laser = 1030 nm
ähnlich wie Nd:Glas
Ti:Saphir-Laser ≈ 800 nm
Standard-Kurzpulslaser (20 fs)
AlGaAs-Laser = 785 nm
Laserdiode z.B. für CD/DVD
HeNe-Laser = 632 nm
cw-Gaslaser, typischer Justierlaser
InGaN-Laser = 405 nm
Laserdiode z.B. für BlueRay
Excimer-Laser (Ar/Kr) = 193/243 nm
Gaslaser für UV-Licht
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
3
Erzeugung ultrakurzer Lichtpulse
- erfordert sehr "breitbandige" Laser,
Unschärferelation bzw. "Zeit-Bandbreiten-Produkt"
- in der Regel Titan:Saphir-Laser mit 800 nm Wellenlänge (1 Periode = 2,67 fs)
gepumpt mit grünem Licht bei 532 nm (frequenz-verdoppelter Nd:Glas-Laser)
- Pulsdauern < 10 fs möglich ("few-cycle"-Pulse)
- Modenkopplung: durch Addition longitudinaler Moden mit fester Phasenbeziehung
entsteht ein sehr kurzer Puls durch konstruktive Interferenz.
- die Verstärkung kurzer Laserpulse ist aufgrund der hohen Spitzenintensität problematisch,
Lösung: chirped pulse amplification CPA (Mourou, Strickland 1985)
2/12/ ttE
L
ctqAA
q
q2
2cos 0
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
Berechnung des Spektrums - zwei Ansätze
Planck: Moden im Hohlraum, Wahrscheinlichkeiten p durch Boltzmann-Faktoren gegeben
Einstein: Gleichgewicht zwischen Absorption, spontaner und stimulierter Emission
Beide Ansätze kommen zum selben Ergebnis:
4
2.22 Zusammenfassung: Grundlagen der Quantenmechanik
Stefan-Boltzmann-Gesetz (1873)
von der Fläche A emittierte Leistung 4
42
8 TAKm
W1067,5P
Wiensches Verschiebungsgesetz (1896)
Wellenlänge des spektralen Maximums T
Kμm 2898max
d
kTh
h
cdT
1)/exp(
8,
3
3
Plancksche Strahlungsformel
TkhnpphnWn
/exp0
2.22.1 Strahlung eines "schwarzen Körpers"
dnTndnT EE ,, 0
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
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2.22.2 Weitere Hinweise auf Lichtquanten (Photonen)
aWhUeE 0max
a) Der Photoeffekt
Energie der emittierten Elektronen hängt nicht von der Lichtintensität ab, sondern von der Frequenz/Wellenlänge
b) Der Compton-Effekt
Licht streut an (quasi freien) Elektronen wie Teilchen mit einer
bestimmten Energie und Impuls
2
0
2
0' cmcmhEhh kin Energiesatz
Impulssatz wmkk
0
Compton-Streuformel
cm
hcc
0
2
2sin2
Compton-Wellenlänge:
Änderung der Wellenlänge bei Streuung unter 90 Grad
c) Detektion von Licht mit einem Photomultiplier
Abschwächung der Lichtquelle: keine gleichmäßige Reduktion der Signalstärke,
sondern einzelne Signale, die schwächer werden.
Andererseits: Beugungserscheinungen sprechen für Wellencharakter des Lichts
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
Photonenenergie
Photonenimpuls
Photonen sind masselos, aber eine formale "Masse" zeigt sich beim Einfluss der Gravitation
Lichtintensität im Wellen- und Teilchenbild
Ebenso kann man einem "Teilchen", das eine Masse hat, (z.B. Elektron) auch Wellencharakter zuschreiben
6
2.22.3 Der Welle-Teilchen-Dualismus
chhE
kpkc
hp
22 c
h
c
Em
Je nach Experiment zeigt sich der Wellen- oder Teilchencharakter des Lichts
2
2
0m
W IhcnIEcI
p
h
kkp
2
De-Broglie-Wellenlänge
/),( xptEixkti eCeCtx Materiewellen
vdk
dv
v
kv
g
ph
2
vvv gph Unterschied zu Lichtwellen: Dispersion auch im Vakuum
Teilchen entspricht einem "Wellenpaket"
Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
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2.22.4 Wellenfunktion
/00),( xptEixkti eCeCtx
x
dxtxdxtx 1),(mit),(22
Kopenhagener Deutung
ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall [x, x+dx] zu finden. Der genaue Ort ist nicht vorhersagbar und steht
erst dann fest, wenn eine Messung durchgeführt wird, ebenso wie man den Zerfall eines bestimmten radioaktiven
Atomkerns nicht vorhersagen kann. Skurriles Beispiel:
Schrödingers Katze: In einem geschlossenen Raum befindet sich eine Katze mit einem Mechanismus, der durch einen
quantenmechanischen Prozess entscheidet, ob die Katze stirbt (radioaktiver Zerfall löst die Zerstörung einer Giftampulle
aus). Solange niemand nachschaut, ist die Katze demnach in einem tot/lebendig-Überlagerungszustand.
dkekCtx txki
),(
Spektrum und Wellenfunktion sind durch Fourier-Transformation verknüpft, d.h.
schmales Spektrum, kleine Impulsunschärfe breite Verteilung in x, große Ortsunschärfe
breites Spektrum, große Impulsunschärfe schmale Verteilung in x, kleine Ortsunschärfe
daraus ergibt sich die Heisenbergsche Unschärferelation
Eine Wellenfunktion enthält normalerweise verschiedene Frequenzen
hpxpx xx oder
12
1 kxkx
Verschiedene Formulierungen je nach Definition der Breite
( bedeutet Standardabweichung)
tE ebenso gilt
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
Youngsches Doppelspalt-Experiment mit Teilchen
Interferenzmuster wie bei Licht, wenn nicht gefragt wird, durch welchen Spalt das Teilchen geht
Wenn sich das Teilchen für einen Spalt "entscheiden" muss, verschwindet die Interferenz
8
2
21
2 PI
2
2
2
121 PPPI
2.22.5 Operatoren und Erwartungswerte
1*2
dxdx ii
Wellenfunktionen entsprechen Vektoron im Hilbert-Raum
AdxAAx
ˆ*
normierte Wellenfunktion
Erwartungswert
Wenn , dann ist A ein Eigenwert und eine Eigenfunktion zum Operator  AA
Impulsoperator
Operatoren "holen eine bestimmte Größe aus der Wellenfunktion heraus", z.B.
ipt
iE
ˆ
Energieoperator
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2.22.6 Vertauschungsrelationen
ipxixppx xxxˆ,ˆˆˆˆˆ Kommutator
Orts- und Impulsoperator "vertauschen nicht", d.h. der Kommutator ist ungleich 0. Solche Größen unterliegen
einer Unschärferelation. Ist der Kommutator gleich 0, können die entsprechenden Größen gleichzeitig genau
gemessen werden.
iEt ˆ,ˆebenso
2.22.7 Das Bohrsche Atommodell
Experimentelle Befunde:
Existenz des Atomkerns (Rutherford)
Absorptions/Emissionsspektren, Rydberg-Formel
Franck-Hertz-Versuch (Elektronen in Hg-Dampf)
2
2
2
1
11
nnR
e
e
e mmm
mm
r
eZ
r
v
Kern
Kern
2
2
0
2
4
1m
m
Zentripetalkraft = Coulomb-Kraft (m: reduzierte Masse)
entweder: Bahnumfang = ganzahliges Vielfaches der De-Broglie-Wellenlänge
oder: Bahndrehimpuls = ganzzahliges Vielfaches von ħ
vhnnr m /2
nvrL m
Beides führt zu:
m 10292,5 11
2
0
2
0
m
e
ha
2
2
2
2
22
0
4
8 n
ZR
n
Z
h
eE
m
Bohrscher Radius diskrete Energieniveaus
oder
emR mfür eV 13,6
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2.22.8 Die Schrödinger-Gleichung
2
2
2
2
2
22
22
2
22
,2
ˆmitˆ,2
zyx
txVm
HHt
itxVxmt
i
Hamilton-Operator
)()()()(
2
)()(
2
22
xExxVx
x
m
tEt
ti
Zeitunabhängiges Potenzial:
ti
nnnextx
)(),()()(ˆ xExH
Lösung:
(nicht-relativistisch)
Beispiel: unendlich hoher Potenzialtopf
- unterstes Energieniveau nicht null
- Zustände orthogonal und vollständig
3 ,2 ,1
22sin
2),( 2
2
2222
n
nmam
kEex
a
n
atx n
n
ti
n
mnnm xx )()(
1
sin2
)(n
n xa
nc
axf
n
n
n EcE 2
Beispiel: endlich hoher Potenzialtopf
- gebundene und ungebundene Zustände
- numerische Lösungen, sin/cos-förmige Wellenfunktion dringt in die Wände ein, klingt dort exponentiell ab
Beispiel: Potenzialstufe, Barriere ...
- Tunneleffekt
Beispiel: Harmonischer Oszillator
- Hermitesche Polynome (H0(a) = 1)
2
2
1
)(a
ii eaH
2 ,1 ,0 2/1 nnEn
äquidistante Energieniveaus
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xki
xx
xkixki
eEx
eDeCx
eBeAx
)( III)
)( II)
)( I)
III
II
I
x
a
x
aaa
xx
)()()()(
)0()0()0()0(
IIIIIIIIII
IIIIII
2.22.9 Der Tunnel-Effekt
Anschluss: stetig und differenzierbar
)(21
0
2 EVmeT a
Transmission:
dxxp
exp
Cx
)(1
)()( WKB-Näherung: wenn Potenzial ortsabhängig, aber ändert sich nur langsam
Das Integral geteilt durch ħ ersetzt k∙x,
wenn V nicht konstant ist.
Beispiel: Alpha-Zerfall von Atomkernen
Transmission
fm
1 485,1undMeV 980,1mit 21121 KKrZK
E
ZK
rdrpeTr
ˆ)ˆ(1
mit0
2
Gamov-Faktor
Geiger-Nuttall-Regel: Je höher die Energie,
desto kürzer die Halbwertzeit
21ln aE
a
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
2
2
2
2
2
222
2),,(
223 ,2 ,1sinsinsin,,
),,(sonst,000für0),,(
c
n
b
n
a
n
mnnnE
cbaCBAnz
cnCy
bnBx
anAzyx
zyxVczbyaxzyxV
zyxzyx
izyx
12
Energieniveaus können "entartet" sein, d.h. für verschiedene
Quantenzahlen ist der Energie-Eigenwert gleich
2.22.10 Schrödinger-Gleichung in 3 Dimensionen
Drei-dimensionaler unendlich hoher Kasten
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
)/(tan
)/(cos
1
2221
222
xy
zyxz
zyxr
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
2
2
222
2
2 sin
1sin
sin
11
rrrr
rr
(Herleitung sehr umständlich)
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2.22.11 Das Wasserstoff-Atom
0)(2
),,(2
rVEr
m
)()(),,( rRrProduktansatz
Schrödinger-Gleichung mit Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
2 ,1 ,0 ,1,2mit2
1 me mi
magnetische Quantenzahl
ll
lll
m
lm xdx
d
lxPxPlmlPA 1
!2
1)()(mit)(cos)( 20
Drehimpuls-Quantenzahl Legendre-Polynome
m
m
l
m
l PY cos),(
0
12
1
1 /20 narLerrR l
ln
an
r
l
nl
Hauptquantenzahl n
Laguerre-Polynome
Kugelflächenfunktionen
2
2
22
0
42
8 n
ZR
nh
eZEn
mEnergieniveaus
nl
lml
21
0
12 nln
l
entartete Zustände
Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2
14
,/22
!12
!120
12
1
0
3
3
0
0 m
l
l
ln
l
an
r
nlm YnarLan
re
nn
ln
na
Normierung
(abhängig von n, l)
radiale Abhängigkeit
mit Laguerre-Polynomen
(abhängig von n, l)
Winkelabhängigkeit mit
Kugelflächenfunktionen
(abhängig von l, m)
Gesamtwellenfunktion
2.22.12 Drehimpuls
T
J 10274,9
2
24
e
Bm
e m
Normaler Zeeman-Effekt: Aufspaltung im Magnetfeld
BmBE Bepot mm
mL
LLm
LLL
z
L
)1(
Bohrsches Magneton
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2.22.13 Korrekturen des Wasserstoff-Spektrums
Energieniveaus gemäß dem Bohrschen Atommodell in der Größenordnung von
a) Feinstruktur (relativistischer Effekt und Spin-Bahn-Kopplung)
b) Lamb-Verschiebung (Quantenelektrodynamik, Vakuumfluktuationen)
c) Hyperfeinstruktur (Effekte des Kerns: el./mag. Moment, Masse, Volumen) )/(24
25
24
22
pe mmcm
cm
cm
cm
137
1007297,0
4 0
2
c
e
Feinstruktur-Konstante
Stern-Gerlach-Experiment
Elektronen haben einen
inneren Drehimpuls ("Spin")
32
1
2
3
2
1
2
1)1( ssssmsss s
20023,2mitanalog sB
ssB
l gsgl
mm
mm
sog. Landé-Faktor ungefähr (aber nicht genau) 2
Einstein-de-Haas-Experiment
Messung des gyromagnetischen Verhältnisses S
M
N
N
ss
ss
s
2
2 mm
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212121, rrrrrr abba
212121, rrrrrr abba
Bosonen
Fermionen
symmetrische Linearkombination, Teilchen mit ganzzahligem Spin
antisymmetrische Linearkombination, Teilchen mit halbzahligem Spin
2/10 1
1 1
1 1
2/10 0
sr
12210
2
2121211
2
211
2 1
4,,,
2,
2 rr
Z
r
ZeErrErrErrrr potpot
m
m
2.22.14 Das Helium-Atom
Gesamtwellenfunktion
Triplett (symmetrisch)
Betrachte zwei ununterscheidbare Teilchen, z.B. Elektronen im He-Atom, in zwei Zuständen a, b
Singulett (antisymmetrisch)
Ortswellenfkt. ∙Spinwellenftk.
Zwei Fermionen können
nicht gleichzeitig im selben
Quantenzustand sein
Schrödinger-Gleichung für zwei Elektronen
Lösung mit Näherungen, z.B. 1-Teilchen-Schrödinger-Gleichung mit reduzierter Kernladung (Abschirmung)
oder zwei Elektronen auf gegenüberliegenden Positionen (s. Übungsblatt 7)
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2.22.15 Das Periodensystem der Elemente
Elektronen"schalen"
n = 1: K-Schale
n = 2: L-Schale
n = 3: M-Schale
n = 4: N-Schale usw.
Die Radialwellenfunktion hängt auch von l ab. Mit (n, l) bezeichnete Zustände nennt man Unterschalen. Für jede
Schale gibt es n Unterschalen, da l = 0 ... n-1, und 2·(2·l+1) Zustände pro Unterschale.
Mit zunehmender Ordnungszahl Z (Protonenzahl, Kernladungszahl) werden die Unterschalen in folgender
Reihenfolge aufgefüllt:
1s (1H bis 2He)
2s (3Li bis 4Be)
2p (5B bis 10Ne)
3s (11Na bis 12Mg)
3p (13Al bis 18Ar)
4s (19K bis 20Ca)
3d (21Sc bis 30Zn)
4p (31Ga bis 36Kr)
5s (37Rb bis 38Sr)
4d (39Y bis 48Cd)
5p (49In bis 54Xe)
Zweite Hundsche Regel: Im Grundzustand hat der Gesamtspin den größtmöglichen Wert, die
Elektronenspins stehen also möglichst parallel.
Erste Hundsche Regel: Volle Schalen und Unterschalen haben den Gesamtdrehimpuls null.
L-S-Kopplung
j-j-Kopplung i
iiii jJslj
SLJsSlLi
i
i
i
J
S Ln 12 B
S=1/2
↑
C
S=1
↑ ↑
O
S=1
↑↓ ↑ ↑
N
S=3/2
↑ ↑ ↑
Ne
S=0
↑↓ ↑↓ ↑↓
F
S=1/2
↑↓ ↑↓ ↑
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ki EEh
2.22.16 Angeregte Atome, Emission und Absorption von Strahlung
ikikki
i
kik B
c
hAB
g
gB
3
38
Gleichgewicht zwischen Absorption, spontaner und stimulierter Emission ergibt
zusammen mit der Planckschen Formel:
spontan stimuliert
)(')(
)()()(
0
//
tHHtH
etcetct
itHtEi
bb
tEi
aaba
Für die Betrachtung von Übergängen: zeitabhängiges Potenzial eingeführt
/)(
'tEEi
babaabeHc
ic
zeitliche Ableitung des Koeffizienten
kosinus-förmige Störung angenommen, integriert und quadriert
auf elektrische Dipole angewandt
2
0
0
2
2
2
2
)(
2/)(sin)(
tVctP
ba
bba
0EpVV elbaab
ababaael
el
reMrerep
rep
Übergangsdipolmoment
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0
1
1
S
L
l
00außer1,0 JJJ
1
0
m
m
Auswahlregeln für Dipolübergänge
für lineare Polarisation
für zirkulare Polarisation
(mehrere Elektronen) gilt streng für für L-S-Kopplung, weil sonst L nicht definiert ist
(mehrere Elektronen) gilt streng für für L-S-Kopplung, weil sonst S nicht definiert ist
(ein Elektron)
2
3
0
3
0
2
3
2abab r
ch
eA
Endergebnis (Fermis goldene Regel)
Anwendungen
- Herleitung der Auswahlregeln (welche Integrale werden null, welche nicht?)
- Ausrechnen des Einstein-Koeffizienten, der Lebensdauer des Zustands und der Linienbreite des Übergangs
tA
aaaeNtN
)0()(a
aA
1Besetzung eines Zustands als Funktion der Zeit 1/e-Lebensdauer
)2/(1/1 aa nat. Linienbreite
2.22.17 Röntgenstrahlung
Quellen
- Röntgenröhre
- Synchrotronstrahlungsquellen
- Freie-Elektronen-Laser
- laser-basierte Quellen
2
2
2
1
11
nnZRh eff
Moseleysches Gesetz Röntgenstrahlung und Materie
- Photoeffekt
- Comptonstreuung
- Paarbildung