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RESUMEN DE TEOREMAS DE LIMITE
Teorema de liacutemite 1 TL1 Si k es una constante y a un nuacutemero cualquiera entonces
Teorema de liacutemite 2 Para cualquier nuacutemero dado a
Teorema de liacutemite 3 Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces
Teorema de liacutemite 4
Teorema de liacutemite5
Teorema de liacutemite6 Si f es un polinomio y a es un nuacutemero real entonces
Teorema de liacutemite7 Si q es una funcioacuten racional y a pertenece al dominio de q entonces
Teorema de liacutemite8
El llamado teorema de estriccioacuten de intercalacioacuten o del sandwiche es importante
para la demostracioacuten de otros teoremas Tambieacuten se utiliza el teorema de estriccioacuten para
calcular cierta clase de liacutemites
TL significa teorema de
liacutemite el nuacutemero es el
asociado al teorema ojo
esos nuacutemeros son solo
para efectos de esta guiacutea
2
Teorema de estriccioacuten (TL9)
Teorema de liacutemite10
Teorema de liacutemite11
Teorema de liacutemite12
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
3
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de ligravemite 17
Teorema de liacutemite18
4
Teorema de liacutemite19
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto
que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto
disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada
etc
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Aplique identidades trigonomeacutetricas o
utilice el teorema Aquiacute se hizo con
identidades Trigonomeacutetricas
5
En la calculadora da
aprox 070 iexcles lo
mismo
6
7
Cada vez que veas
Ese siacutembolo se usa para denotar conclusioacuten o resultado Son tres puntitos no colineales
Intenta hacer los ejercicios sin ver la solucioacuten aquiacute Luego compara para que encuentres tus
dudas trata de despejarlas consultando textos apuntes Algunas veces las dudas seraacuten de
matemaacutetica elemental ataacutecalas de una o sino se volveraacuten craacuteteres en tu estudios proacuteximos
Para el quiz te saldraacuten parecidos pero no iguales
Bueno maacutes pequentildeo lo estoy sentildealando
con la flecha
8
9
10
11
12
13
14
Ahora con funciones Trigonomeacutetricas
15
S o l u c i o n e s
16
17
18
19
20
Otro mas cheacuteverehellipups
21
MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
24
25
AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
2
Teorema de estriccioacuten (TL9)
Teorema de liacutemite10
Teorema de liacutemite11
Teorema de liacutemite12
Teorema de liacutemite13
Teorema de liacutemite14
3
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de ligravemite 17
Teorema de liacutemite18
4
Teorema de liacutemite19
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto
que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto
disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada
etc
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Aplique identidades trigonomeacutetricas o
utilice el teorema Aquiacute se hizo con
identidades Trigonomeacutetricas
5
En la calculadora da
aprox 070 iexcles lo
mismo
6
7
Cada vez que veas
Ese siacutembolo se usa para denotar conclusioacuten o resultado Son tres puntitos no colineales
Intenta hacer los ejercicios sin ver la solucioacuten aquiacute Luego compara para que encuentres tus
dudas trata de despejarlas consultando textos apuntes Algunas veces las dudas seraacuten de
matemaacutetica elemental ataacutecalas de una o sino se volveraacuten craacuteteres en tu estudios proacuteximos
Para el quiz te saldraacuten parecidos pero no iguales
Bueno maacutes pequentildeo lo estoy sentildealando
con la flecha
8
9
10
11
12
13
14
Ahora con funciones Trigonomeacutetricas
15
S o l u c i o n e s
16
17
18
19
20
Otro mas cheacuteverehellipups
21
MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
24
25
AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
3
Teorema de liacutemite15
Teorema de liacutemite16
Teorema de ligravemite 17
Teorema de liacutemite18
4
Teorema de liacutemite19
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto
que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto
disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada
etc
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Aplique identidades trigonomeacutetricas o
utilice el teorema Aquiacute se hizo con
identidades Trigonomeacutetricas
5
En la calculadora da
aprox 070 iexcles lo
mismo
6
7
Cada vez que veas
Ese siacutembolo se usa para denotar conclusioacuten o resultado Son tres puntitos no colineales
Intenta hacer los ejercicios sin ver la solucioacuten aquiacute Luego compara para que encuentres tus
dudas trata de despejarlas consultando textos apuntes Algunas veces las dudas seraacuten de
matemaacutetica elemental ataacutecalas de una o sino se volveraacuten craacuteteres en tu estudios proacuteximos
Para el quiz te saldraacuten parecidos pero no iguales
Bueno maacutes pequentildeo lo estoy sentildealando
con la flecha
8
9
10
11
12
13
14
Ahora con funciones Trigonomeacutetricas
15
S o l u c i o n e s
16
17
18
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MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
24
25
AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
4
Teorema de liacutemite19
Procedimiento para calcular liacutemites Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores el liacutemite se calcula
directamente Con respecto a las propiedades como la propiedad 6 se aplica a cualquier
polinomio y las propiedades 1 2 3 y 4 implican funciones polinoacutemicas es indistinto
que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6
cuando calculamos el liacutemite de una funcioacuten polinoacutemica Lo mismo la propiedad 7 se
aplica a una funcioacuten racional y la propiedad 4 (III) tambieacuten
Cuando al sustituir la a por x en la funcioacuten nos da la forma indetermidada 00 es
posible calcular el liacutemite pero previamente hay que transformar la foacutermula de la
funcioacuten de tal modo que se pueda evitar la divisioacuten por cero para lograr esto
disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorizacioacuten la conjugada
etc
Miscelaacutenea1
S o l u c i o n e s
Aplique identidades trigonomeacutetricas o
utilice el teorema Aquiacute se hizo con
identidades Trigonomeacutetricas
5
En la calculadora da
aprox 070 iexcles lo
mismo
6
7
Cada vez que veas
Ese siacutembolo se usa para denotar conclusioacuten o resultado Son tres puntitos no colineales
Intenta hacer los ejercicios sin ver la solucioacuten aquiacute Luego compara para que encuentres tus
dudas trata de despejarlas consultando textos apuntes Algunas veces las dudas seraacuten de
matemaacutetica elemental ataacutecalas de una o sino se volveraacuten craacuteteres en tu estudios proacuteximos
Para el quiz te saldraacuten parecidos pero no iguales
Bueno maacutes pequentildeo lo estoy sentildealando
con la flecha
8
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10
11
12
13
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16
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MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
24
25
AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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1 Solucioacuten
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30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
5
En la calculadora da
aprox 070 iexcles lo
mismo
6
7
Cada vez que veas
Ese siacutembolo se usa para denotar conclusioacuten o resultado Son tres puntitos no colineales
Intenta hacer los ejercicios sin ver la solucioacuten aquiacute Luego compara para que encuentres tus
dudas trata de despejarlas consultando textos apuntes Algunas veces las dudas seraacuten de
matemaacutetica elemental ataacutecalas de una o sino se volveraacuten craacuteteres en tu estudios proacuteximos
Para el quiz te saldraacuten parecidos pero no iguales
Bueno maacutes pequentildeo lo estoy sentildealando
con la flecha
8
9
10
11
12
13
14
Ahora con funciones Trigonomeacutetricas
15
S o l u c i o n e s
16
17
18
19
20
Otro mas cheacuteverehellipups
21
MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
24
25
AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
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21 Solucioacuten
6
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Cada vez que veas
Ese siacutembolo se usa para denotar conclusioacuten o resultado Son tres puntitos no colineales
Intenta hacer los ejercicios sin ver la solucioacuten aquiacute Luego compara para que encuentres tus
dudas trata de despejarlas consultando textos apuntes Algunas veces las dudas seraacuten de
matemaacutetica elemental ataacutecalas de una o sino se volveraacuten craacuteteres en tu estudios proacuteximos
Para el quiz te saldraacuten parecidos pero no iguales
Bueno maacutes pequentildeo lo estoy sentildealando
con la flecha
8
9
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11
12
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
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AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
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Cada vez que veas
Ese siacutembolo se usa para denotar conclusioacuten o resultado Son tres puntitos no colineales
Intenta hacer los ejercicios sin ver la solucioacuten aquiacute Luego compara para que encuentres tus
dudas trata de despejarlas consultando textos apuntes Algunas veces las dudas seraacuten de
matemaacutetica elemental ataacutecalas de una o sino se volveraacuten craacuteteres en tu estudios proacuteximos
Para el quiz te saldraacuten parecidos pero no iguales
Bueno maacutes pequentildeo lo estoy sentildealando
con la flecha
8
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MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
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ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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1 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
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29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
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x
y -2 -1 0 1 2
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40
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18 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
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ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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1 Solucioacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
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38
10 Solucioacuten
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Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
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15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
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Ahora con funciones Trigonomeacutetricas
15
S o l u c i o n e s
16
17
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19
20
Otro mas cheacuteverehellipups
21
MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
24
25
AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
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15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
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Ahora con funciones Trigonomeacutetricas
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16
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MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
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AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
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16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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1 Solucioacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
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29
3 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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13 Solucioacuten
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16 Solucioacuten
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18 Solucioacuten
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ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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existe deacute la razoacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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1 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
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determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
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37
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x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
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40
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ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
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Otro mas cheacuteverehellipups
21
MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
24
25
AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
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Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
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18 Solucioacuten
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MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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2 Solucioacuten
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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2 Solucioacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
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x
y -2 -1 0 1 2
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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x
y -2 -1 0 1 2
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9 Solucioacuten
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11 Solucioacuten
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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existe deacute la razoacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
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determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
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x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
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37
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x
y -2 -1 0 1 2
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MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
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existe deacute la razoacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
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vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
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Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
20
Otro mas cheacuteverehellipups
21
MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
23
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
24
25
AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
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15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
21
MAacuteS EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estriccioacuten para encontrar el liacutemite En los
ejercicios 5 a 14 determine el liacutemite si es que existe
22
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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24
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AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
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x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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14 Solucioacuten
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16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
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AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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1 Solucioacuten
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3 Solucioacuten
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5 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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11 Solucioacuten
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15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
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19 Solucioacuten
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21 Solucioacuten
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AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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1 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
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18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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27
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
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AHORA LIMITES LATERALES (POR LA IZQUIERDA Y POR LA DERECHA)
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 4 trace la graacutefica y determine el liacutemite indicado si existe si no
existe deacute la razoacuten
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1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
6 Solucioacuten
30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
26
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
3 Solucioacuten
27
4 Solucioacuten
ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
1 Solucioacuten
2 Solucioacuten
29
3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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30
Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
31
32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
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ASINTOTAS
Una asiacutentota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente Trazar las
asiacutentotas tanto verticales como horizontales es de gran ayuda para dibujar la graacutefica de
una funcioacuten
Asiacutentota vertical Una asiacutentota vertical es una recta paralela al eje y
Se dice que la recta x = a es una asiacutentota vertical de la graacutefica de la funcioacuten f si por lo
menos uno de los siguientes enunciados es verdadero
28
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
S o l u c i o n e s
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4 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
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38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 determine el liacutemite En los ejercicios 9 a 11 encuentre la(s) asiacutentota(s)
vertical(es) de la graacutefica de la funcioacuten
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1 Solucioacuten
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3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
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x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
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Por lo tanto f es discontinua en 0
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x
y -2 -1 0 1 2
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12 Solucioacuten
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17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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3 Solucioacuten
4 Solucioacuten
5 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
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Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
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11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
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40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
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Asiacutentota horizontal Una asiacutentota horizontal es una recta paralela al eje x
Ejercicios resueltos
S o l u c i o n e s
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33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
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x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
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11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
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Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
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1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
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32
Continuidad de una funcioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
33
Criterios de continuidad de una funcioacuten en un nuacutemero
Se dice que una funcioacuten f es continua en el nuacutemero a si y soacutelo si se
cumplen las tres condiciones siguientes
Una funcioacuten que no es continua en un nuacutemero se dice que es discontinua en
dicho nuacutemero En la graacutefica de una funcioacuten que es discontinua en el nuacutemero a se puede
observar un salto o un hueco precisamente donde x = a La discontinuidad puede
ser eliminable o esencial
Las discontinuidades eliminables se denominan tambieacuten discontinuidad de hueco en
la graacutefica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un hueco en el punto
del plano cuyas coordenadas son (a f (a))
Las discontinuidades esenciales tambieacuten reciben los nombres de discontinuidad de
salto se presenta cuando los liacutemites unilaterales existen pero son diferentes y la
discontinuidad infinita sucede cuando el liacutemite de f cuando x tiende a a es infinito
T e o r e m a s d e c o n t i n u i d a d
34
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7 trace la graacutefica de la funcioacuten luego observando doacutende hay saltos en la graacutefica
determine los valores de la variable independiente en los cuales la funcioacuten es discontinua y muestre cuaacutel
condicioacuten no se cumple de los Criterios de contnuidad de una funcioacuten en nuacutemero En los ejercicios 8 a 14
demuestre que la funcioacuten es discontinua en el nuacutemero a Luego determine si la discontinuidad es eliminable o
esencial Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca En los ejercicios 15 a 21
determine los nuacutemeros en los cuales es continua la funcioacuten dada
S o l u c i o n e s
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
38
10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
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15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
35
1 Solucioacuten
x -4 0 2
f (x) -6 -2 0
f (-3) no existe por lo tanto la parte (i) de los criterios
de continuidad no se cumple conclusioacuten
f es discontinua en -3
2 Solucioacuten
x -6 -1 0 2 3 5 6 9
h(x) -05 -1 -125 -25 -5 5 25 1
f (4) no existe por lo tanto la parte (i) de los
criterios de continuidad no se cumple conclusoacuten
f es discontinua en 4
3 Solucioacuten
x -4 -3 -2 -1 0 8
y -05 -1 0 1 05 01
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
39
13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
36
4 Solucioacuten
x -6 -2 -1 0 1 2 6
y 0025 0125 02 025 02 0125 0025
5 Solucioacuten
Por lo tanto f es discontinua en 0
6 Solucioacuten
37
7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
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17 Solucioacuten
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19 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
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7 Solucioacuten
x
y -2 -1 0 1 2
8 Solucioacuten
9 Solucioacuten
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11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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13 Solucioacuten
14 Solucioacuten
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15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
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19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
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10 Solucioacuten
11 Solucioacuten
12 Solucioacuten
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14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
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21 Solucioacuten
39
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14 Solucioacuten
40
15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
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20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
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15 Solucioacuten
16 Solucioacuten
17 Solucioacuten
18 Solucioacuten
19 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
41
20 Solucioacuten
21 Solucioacuten
