Universidad de los Andes Departamento de Ingeniería Industrial Probabilidad y Estadística I (IIND2106) Profesor Coordinador: Mario Castillo Profesores: Hernando Mutis Instructores: Astrid Johanna Bernal, María Andrea Novoa, John Jairo Ríos, Andrés Arboleda, María Alejandra López y Carlos Castellanos Segundo Semestre 2012

Complementaria  10  Teorema  del  Limite  Central  y  Suma  de  Variables  Aleatorias  

 1. La  cantidad  de  barriles  diaria  que  se  extraen  de  un  pozo  petrolero  entre  semana  se  

comporta   como   una   variable   aleatoria  X   con   distribución  Normal,   con  media   20  pozos  y  desviación  estándar  5.  Adicionalmente,  se  conoce  que  los  fines  de  semana  los  barriles  extraídos  se  comporta  como  una  variable  aleatoria  Y  con  distribución  Normal,   con  media   10   pozos   y   desviación   3.   Asuma   que   la   cantidad   de   barriles  diaria   que   se   extraen   en   cualquier   día   de   la   semana   se   comporta   de   forma  independiente  a  lo  largo  de  los  diferentes  días  del  año.    

 a) Sea  W  la  variable  que  representa  la  cantidad  total  de  barriles  que  se  extraerán  

la  próxima  semana.  Halle  una  expresión  para  W.    

𝑊 = 𝑋!

!

!!!

+ 𝑌!

!

!!!

 

 b) Encuentre  la  media  y  la  varianza  de  la  variable  aleatoria  W.  

 𝑋~𝑁 𝜇 = 20,𝜎! = 25 , 𝑌~𝑁(𝜇 = 10,𝜎! = 9)  

 

𝐸 𝑊 = 𝐸 𝑋!

!

!!!

+ 𝑌!

!

!!!

= 𝐸 𝑋!

!

!!!

+ 𝐸 𝑌!

!

!!!

= 𝐸 𝑋!

!!!

+ 𝐸(𝑌)!

!!!

= 5𝐸 𝑋 + 2𝐸(𝑌)  

 

𝑉𝐴𝑅 𝑊 = 𝑉𝐴𝑅 𝑋!

!

!!!

+ 𝑌!

!

!!!

= 𝑉𝐴𝑅 𝑋!

!

!!!

+ 𝑉𝐴𝑅 𝑌!

!

!!!

= 𝑉𝐴𝑅 𝑋!

!!!

+ 𝑉𝐴𝑅(𝑌)!

!!!

= 5𝑉𝐴𝑅 𝑋 + 2𝑉𝐴𝑅(𝑌)  

   

𝑊~𝑁(𝜇 = 5 ∗ 20+ 2 ∗ 10 = 120,𝜎! = 5 ∗ 25+ 2 ∗ 9 = 143)  

 c) ¿Cuál   es   la   probabilidad   de   que   sean   extraídos   más   de   150   pozos   en   una  

semana  cualquiera?    

𝑃 𝑍 > 150 = 1− 𝑃 𝑍 ≤ 150 = 1− Φ150 − 120

143= 1 − Φ 2,51 = 1 − 0,9939

= 0.0061  

d) Si  se  escoge  un  mes  al  azar  de  4  semanas,  calcule  la  probabilidad  de  que  sean  extraídos  menos  de  400  barriles  de  petróleo.    Se  define    K=  Suma  de  barriles  extraídos  en  un  mes  cualquiera.    

𝐾~𝑁(𝜇 = 4 ∗ 120 = 480,𝜎! = 4 ∗ 143 = 572)    

𝑃 𝑧 < 400 = 𝑃 𝑧 < !""!!"#!"#

= 𝑃 𝑧 < −3.34 = 1− 𝑃 𝑧 < 3.34 = 1−0,99958854  

=  0,00041146    

 

2. El  valor  de  la  inflación  del  próximo  mes  se  comporta  como  una  variable  aleatoria  X,    la   cual   se   distribuye   uniformemente   entre   1.5   y   3.5   porciento,   con  media   2.5   y  varianza  1/3.      

a) ¿Cuál  es  la  probabilidad  de  que  un  mes  seleccionado  al  azar  la  inflación  sea  inferior  a  2.5?    

𝑋~𝑈(𝜇 = 2.5,𝜎! =13)  

𝑃 𝑋 < 2.5 =12  

 b) Se  toma  una  muestra  aleatoria  de  un  año.  ¿Cuál  es  la  probabilidad  de  que  

el  promedio  del  valor  de    la  inflación  del  año  sea  inferior  a  2.45?    

𝑃𝑜𝑟  𝑇𝐿𝐶:  𝑋 =112 𝑋!

!"

!!!

~𝑁(2.5,136)      

𝑃 𝑋 < 2.45 =  𝜙2.45− 2.5

136

= 𝜙 −0.3 = 1− 𝜙 0.3 = 1− 0.618

= 0.382    

c) ¿Cuál  es  el  mínimo  valor  que  debe   tomar   la   suma  de   las   inflaciones  mensuales   durante   un   año,   para   que   este   dato   este   en   el   percentil  90?    

𝑌 = 𝑆𝑢𝑚𝑎  𝑑𝑒  𝑙𝑎𝑠  𝑖𝑛𝑓𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠  𝑑𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒  𝑢𝑛  𝑎ñ𝑜  

𝑌~𝑁 𝜇 = 12 ∗ 2.5 = 30,𝜎! = 12 ∗13 = 4  

 𝑆𝑒  𝑛𝑜𝑠  𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎  𝑞𝑢𝑒𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = 0.9  

𝑧 = 1,28155        

𝑧 =𝑦 − 𝜇𝜎 → 𝑦 = 𝑧𝜎 + 𝜇  

𝑦 = 1,28155 ∗ 4+ 30 = 32.56  

3. El  gerente  de  producción  de  una  fábrica  de  celulares,  está  interesado  en  conocer  el  número   total   de   celulares   que   salen   defectuosos   de   las   marcas   Blackberry,    Samsung  y   Iphone.  Asuma  que   los  mecánicos  cometen  un  error  en   la  producción  de   celulares   con   probabilidad   de   1/4,   lo   que   implica   que   el   celular   salga  defectuoso.    El  plan  de  producción  para  el  día  de  hoy    será:  producir  50  celulares  Blackberry,  60  Samsung  y  30  Iphones.  Encuentre  el  valor  esperado  total  de  los  celulares  que  salen  defectuosos  del  lote  de  producción.  Utilice  la  función  generatriz  de  momentos.      X=  Número  de  celulares  defectuosos  de  la  marca  Blackberry.  Y=  Número  de  celulares  defectuosos  de  la  marca  Samsung.    K=  número  de  celulares  defectuosos  de  la  marca  Iphone.    Z=  Número  total  de  celulares  defectuosos.    Z=X+Y+K  

𝑀! 𝑡 = 𝑀! 𝑡 ∗𝑀! 𝑡 ∗𝑀! 𝑡

Si X se distribuye binomial (n,p):

Si X se distribuye binomial (50,(1/4)): 𝑀! 𝑡 = (1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!"

Si Y se distribuye binomial (n,p):

Si Y se distribuye binomial (60,(1/4)): 𝑀! 𝑡 = (1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!"

Si K se distribuye binomial (n,p):

Si K se distribuye binomial (30,(1/4)): 𝑀! 𝑡 = (1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!"

𝑀! 𝑡 = (1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!" ∗ 1 − 𝑝 + 𝑝𝑒! !" ∗ 1 − 𝑝 + 𝑝𝑒! !"=(1 − 𝑝 + 𝑝𝑒!)!"#

Por lo tanto:

X+Y+K = Z ~ Binomial (140, 1/4)

E[Z]=np=140*(1/4)=35  

 

ntX peptM )1()( +−=

ntY peptM )1()( +−=

ntY peptM )1()( +−=