INTRODUCCINMovilidad o grados de libertad (GDL) Criterio de Kutzbach m = 3(n 1) 2 j1 j2 m: movilidad o GDL n: nmero de eslabones del mecanismo j1: nmero de pares cinemticos de 1 GDL j2: nmero de pares cinemticos de 2 GDL Criterio de Grber m = 3(n 1) 2 j m: movilidad o GDL n: nmero de eslabones del mecanismo j: nmero de pares cinemticos j=1 para pares de 1 GDL j=2 para pares de 2 GDL

NOTA: 1) Cuando llegan ms de dos eslabones a un enlace, el nmero de pares a contar es el nmero de eslabones que llegan menos 1. 2) Pares superiores de 1 2 GDL, segn haya: - solo rodadura - solo deslizamiento - rodadura + deslizamiento Criterio de Kutzbach en el espacio: m = 6(n 1) 5 j1 4 j2 3 j3 2 j4 j5 Ley de Grashof (Cuadriltero articulado) Para que al menos un eslabn del cuadriltero articulado sea capaz de realizar una vuelta completa con respecto al sistema absoluto de referencia, se tiene que cumplir: s+l p+q donde s < p < q < l La condicin lmite de Grashof es la igualdad: s+l = p+q Ventaja mecnica (VM) Es la relacin entre el par de salida ejecutado por el eslabn conducido y el par motor de entrada en el eslabn conductor. T l sen VM = 4 = 2 = 4 T2 4 l2 sen

= 4 3 : ngulo de transmisin (entre el eslabn acoplador y el de salida)

CINEMTICAPosicin de un punto (en el plano) Coordenadas cartesianas r r R A = Rx i + RY j Coordenadas polares R = R 2 + R 2 x y r A R A = R A Ry = arctg R x Haciendo uso del lgebra compleja R A = RA cos + jRA sen Identidad trigonomtrica de Euler e j = cos jsen r RA = RA e j Desplazamiento, diferencia de posicin, posicin relativa

1) Desplazamiento: 2) Diferencia de posicin: 3) Posicin relativa:r r r RBA = RB RA r r r RBA = RA + RBA

1 Observador 1 Punto 2 Instantes 1 Observador 2 Puntos 1 Instante 2 Observadores 1 Punto 1 Instante

r RA : vector de posicin absoluta de A r RB : vector de posicin absoluta de B r RBA : - vector desplazamiento - diferencia de posicin - posicin relativa de B respecto de A

Teorema de Chasles (es conmutativo) Cualquier desplazamiento de un cuerpo rgido es equivalente a la suma de una traslacin de cualquier punto del cuerpo y una rotacin alrededor de un eje que pasa por ese punto.

Velocidad Velocidad lineal r r dR V= dt Velocidad angular r r d = dt

r r r VPA = RPA vPA = RPA

=

vPA RPA

Metodo de las velocidades relativas Aplicable a dos puntos cualesquiera, sin restriccin alguna r VPA :velocidad relativa de P respecto de A r r r r r r VPA = VP VA VP = VA + VPA r r r r r r VAP = VA VP VA = VP + VAP r r VPA = VAP

r La velocidad (absoluta) del punto P, VP , es la suma r vectorial de la velocidad (absoluta) de arrastre, VA , y de la velocidad (relativa) de P respecto del sistema de referencia r situado en A, VPA .Caso 1: Dos puntos en el mismo cuerpo r r r r VP = VA + VPA r r r r r VP = VA + RPA r VPA = RPA : velocidad angular del eslabn al que pertenecen los dos puntos Caso 2: Dos puntos coincidentes de eslabones distintos Aplicacin a mecanismos planos con correderas sobre eslabones mviles. Posibles ecuaciones a plantear: r r r V A 2 = VA 4 + V A 2 / 4 r r r V A 4 = VA 2 + V A 4 / 2 r r r V A 4 = VA3 + VA 4 / 3

A2 A3 (Son el mismo punto) A4 r r VA 2 = VA3Debido a que 3 y 4 comparten la junta de la corredera y deben girar juntos: 4 = 3 =

vA4 O4 A

Caso 3: Caso de contacto por pares superiores r r r VP 3 = VP 2 + VP 3 / 2 r Si : VP 3 / 2 = 0 Rodadura. pura r Si : VP 3 / 2 0 Rodadura. pura + deslizamiento

r VP 3 / 2 aparece como consecuencia del deslizamiento y su direccin es tangente a las superficies de contacto. r r Las proyecciones de VP 3 y VP 2 sobre la normal comn han de ser iguales en todo momento, ya que si no el contacto se perdera.

Anlisis grfico de la velocidad Se necesita: Conocer las longitudes de los eslabones, las posiciones angulares de todos ellos y la velocidad instantnea de entrada de cualquier eslabn impulsor o punto de impulsin. Metodologa: Primero se determinan las posiciones de los eslabones, despus las velocidades y finalmente las aceleraciones. Centro instantneo de velocidad (CIV) CIV es la ubicacin instantnea de un par de puntos coincidentes de eslabones distintos en movimiento relativo, que tienen la misma velocidad absoluta en ese instante. r r r r r r Como: VIn = VIk + VIn / k Si : VIn = VIk VIn / k = 0 r r VBn / k = nk I nk B r r r nk = n k r VBn / k es I nk B

NOTACIN: I XY : los dos nmeros subndices corresponden a cada uno de los eslabones que forman el CIV, sin importar el orden. Nmero de CIV de un mecanismo n(n 1) 2 N = Cn = 2 Ley de los tres centros Tres cuerpos cualesquiera en movimiento plano tendrn exactamente tres CIV y se encontrarn sobre la misma lnea recta.

Obtencin de CIV con la ley de los tres centros Algunos CIV se encuentran por inspeccin, utilizando slo la definicin de centro instantneo. Supongamos n=4 n(n 1) 2 N = Cn = =6 2 I12 I13 I14 I 23 I 24 I 34 1) Dibujar un polgono en el que cada vrtice o punto represente un eslabn. Las lneas entre puntos representan un CIV. 2) Trazar las lneas de los CIV encontrados por inspeccin. 3) Unir con una lnea punteada en el grafo lineal una combinacin de eslabones para los que no se haya encontrado el CIV. 4) Los tringulos que contienen la lnea punteada en el grafo lineal definen ternas de CIV que tienen que cumplir la ley de los tres centros. As, los CIV 13, 14 y 34 deben encontrarse en la misma recta. Tambin los CIV 12, 23 y 13 estarn en la misma recta. 5) La interseccin de ambas lneas es uno de los CIV buscados. 6) Continuar con el procedimiento hasta que se hayan encontrado todos los CIV. Obtencin de CIV en correderas en traslacin Una junta de corredera en traslacin, tendr su centro instantneo en el infinito, a lo largo de una lnea perpendicular a la direccin del deslizamiento.

Obtencin de CIV en pares superiores

- Cuando hay rodadura pura, el punto de contacto es el CIV - Cuando no hay rodadura pura, el CIV estar sobre una lnea perpendicular a la direccin del deslizamiento relativo r r VP 3 / 2 = 32 I 23 P r VP 3 / 2es I 23 P

Razn de velocidades angulares La razn de velocidades angulares de dos cuerpos cualesquiera, n y k, en movimiento plano, en relacin con un tercer cuerpo, i, toma el valor: ni I ik I nk = ki I in I nk Aceleracin La aceleracin lineal de un punto se define La aceleracin angular de un eslabn se como: define como: r r r dV r d = A= dt dt Eslabn en rotacin respecto de un punto fijo A: Trayectoria circular r RP = pe j

j=e 2 r r dRP d VP = = p je j = pje j dt dt j + r VP = p e 2 r r r VP = RP r r dVP d ( pje j ) d d j AP = = = jp e + je j dt dt dt dt r AP = pje j + pj 2 2 e j j + r AP = p e 2 + p 2 e j ( + ) r rt rn AP = AP + AP La aceleracin tangencial tiene direccin perpendicular al radio de rotacin, (tangente a la direccin del movimiento) y sentido el dado por . j + rt r r AP = RP = p e 2 La aceleracin normal o centrpeta va dirigida siempre hacia el centro de la trayectoria. rn r r AP = VP = p 2 e j ( + ) rn r r r AP = RP rn r AP = 2 RP

j

(

)

Caso de dos puntos en el mismo cuerpo r r r rn r r AP = AA + APA APA = 2 VPA r r rt rn rn r r AP = AA + APA + APA APA = 2 2 AP rn 2 APA = 2 AP rt r APA = 2 AP 2 rn VPA 2 APA = ( AP ) = ( AP )

(

)

(

)

Caso de dos puntos coincidentes de eslabones distintos r r r r AP 3 = AP 2 + AP 3 / 2 + ACOR r r r ACOR = 2 2 VP 3 / 2 r AP 3 : aceleracin absoluta de P3 r AP 2 : aceleracin absoluta de P2, o aceleracin de arrastre. P2 es el punto del eslabn mvil respecto al cual tomaremos el movimiento relativo, que coincide con P3. r AP 3 / 2 : aceleracin relativa de P3 respecto al sistema mvil r ACOR : aceleracin complementaria o de Coriolis

Aunque la trayectoria relativa no sea circular, siempre es posible descomponer el vector aceleracin relativa en una componente normal a la trayectoria y en una componente tangencial a la misma. Y esto en algunos casos es interesante. r rt rn AP 3 / 2 = AP 3 / 2 + AP 3 / 2 rn rt AP 3 / 2 AP 3 / 2 rt rn VP23 / 2 AP 3 / 2 = ??? AP 3 / 2 = Direccin: tangente a la trayectoria relativa Direccin: normal a la trayectoria Sentido: ??? Sentido: hacia el centro de curvatura

Cuando la trayectoria relativa sea circular: rn V2 2 AP 3 / 2 = P 3 / 2 = 32

rt AP 3 / 2 = 32 ; sentido dado por 32 Cuando la trayectoria relativa sea rectilnea, slo existe componente tangencial: rn V2 V2 AP 3 / 2 = P 3 / 2 = P 3 / 2 = 0 Aceleracin de coriolis r Su direccin es perpendicular al vector VP 3 / 2 y sentido el r dado por la 2 de arrastrer r r ACOR = 22 VP 3 / 2

La componente de aceleracin de Coriolis estar presente siempre que haya una velocidad de deslizamiento asociada a cualquier elemento que tambin tenga una velocidad angular. En ausencia de uno de estos dos factores, dicha componente ser nula. Cuando se analiza el movimiento relativo con respecto a un eslabn rotatorio aparece la componente adicional de aceleracin de Coriolis.

Caso de contacto por pares superiores En P hay rodadura pura y adems es el I12 VP 2 = VP1 = 0 ACOR = 0 Pero tiene aceleracinr rt r r rt rn r r AP 2 = AP1 + AP 2 / 1 + AP 2 / 1 + 21 VP 2 / 1 AP 2 = AP 2 / 1 Tangente a la trayectoria relativa rn V2 AP 2 / 1 = P 2 / 1 = 0 Porque VP 2 / 1 = 0

En un contacto por rodadura, las aceleraciones de los puntos en contacto son diferentes, pero sus componentes en la direccin tangente a las superficies en el punto de contacto han de ser iguales, porque sino habra deslizamiento.

DINMICA2 LEY DE NEWTON r r r r r r r r r dP d mV d 2R r dV = m 2 P = mV = = ma = F F = ma = m dt dt dt dt r r 2 r r d d = I 2 T = I = I dt dt

( )

Par o momento de fuerzas r r r M = RBA F

M = hFTm = Tu + Tp

=

Tu Tu = Tm Tu + Tp

Tm : trabajo motor Tu : trabajo til Tp : trabajo pasivo

FXY :

x: realiza la accin y: recibe la accin

Sistema de cuerpos en equilibrio r F =0 r En el plano: M =0 Cuerpo sometido a dos fuerzas FA = FB e igual lnea de accin

F = 0 F = 0 M = 0X Y

Cuerpo sometido a tres fuerzas Las lneas de accin de FA , FB , FC concurren en un punto comn y su vector suma es nulo. Cuerpo sometido a cuatro fuerzas Lnea de Cullman: La resultante de las fuerzas dos a dos deben de estar contenidas sobre la misma lnea Dinmica en movimiento plano r r rF = ma r Newton M G = I G Principio de DAlembert r r r F h = M = I r Fr + m AG = 0 Froi = m AGi oi I oi I Gi i r r Gi i Gi i M G + ( I O ) = 0 M oi = IGi i h = Foi = mi AGi

(

)

Mtodo matrical Se plantean 3(n-1) ecuaciones Trepidacin n r n r r FS = Fk1 = F1kk =2 k =2

Mtodo de las potencias virtuales n r r n r n r n r r r r Fk Vk + Tk k + Fok VGk + Tok k = 0 n r r r r Fk Vk + Tk k : cambio de energa debido a todas las fuerzas y pares de torsin externos k =2 k =2 k =2 n k =2 k =2 k =2

aplicados al sistema, respectivamente n r n r r r Fok VGk + Tok k : cambio de energa debido a todas las fuerzas de inercia y pares de k =2 k =2

torsin de inercia presentes en el sistema, respectivamente

FRICCINModelo de rozamiento seco de Coulomb 1) En reposo: equilibrio esttico FX = 0 Fr = Ft

F = 0 N = Q M = 0 N d = F hY r

Fr : fuerza de rozamiento

2) En punto o movimiento de deslizamiento inminente (PMI): equilibrio esttico FX = 0 Fre = Ft 0

F = 0 N = Q M = 0 N d = FY

re

h

Fre : fuerza de friccin esttica o lmite de adherencia 3) En deslizamiento: equilibrio dinmico FX = m AGX Ft Frc = ma

F = m A = 0 N = Q M = I = 0 N d = FY GY G

re

h

Frc : fuerza de friccin cintica r r Frc = c Nr r En deslizamiento uniforme (a=0) Ft = Frc

c < e

NOTA: Si F h > Qd max el cuerpo vuelca

Modelo de rozamiento viscoso Se aplica cuando las superficies de contacto estn totalmente separadas por una capa de lubricante r r Fr = cVd c = cte r Vd : velocidad de deslizamiento

ngulo y cono de rozamiento Las fuerzas normal N, y de friccin, N, se pueden sumar y sustituir por una fuerza total R, que representa la reaccin del cuerpo 1 sobre el cuerpo 2. N : ngulo de rozamiento, es el formado por la resultante R y la tan e = e = e normal N N Cono de rozamiento es el que tiene como eje la normal N, y N tan c = c = c cuyo semingulo es N = arctan Acuamiento de contacto Si < e se producir acuamiento (el slido no deslizar sea cual sea w) (Ft < e N )

Si > e el slido deslizar para cualquier valor de w (Ft > e N )

Rozamiento en pares de rotacin M r = Qre M r : momento resistente debido a la friccin : coeficiente de friccin aparente del par de rotacin (esttico en PMI o cintico si hay movimiento) Q: carga radial que soporta el par de rotacin o cojinete d re = : es el radio del eje 2

En PMI: M = M r = Qre e En movimiento a velocidad de giro cte: M = M r = Qre c En movimiento a velocidad variable: M M r = I con M r = Qre c

La lnea de accin de la reaccin pasa La lnea de accin de la reaccin no pasa por el centro del eje, sino que se por el centro, en cuyo caso deberemos aadir desplaza una distancia dada por re (hasta el par M. ser tangente al crculo de rozamiento) originndose de este modo un par que se opone al giro.Potencia disipada en un cojinete P = M = Qre Resistencia a la rodadura F = Fr < e N

N=P F h = N Situacin de PMI para rodaduraM r = N : es el par de resistencia a la rodadura, opuesto al sentido de giro M = F h : es el par necesario para vencer la resistencia a la rodadura [mm]: es el coeficiente de resistencia a la rodadura

Casos posibles: N > F no hay movimiento 1) h N 2) = F < e N PMI para rodadura ( M = M r F h = N ) h N < F < e N rodadura a velocidad variable ( M M r = I F h N = I ) 3) h 4) F = e N PMI para deslizamiento 5) F > e N deslizamiento a velocidad variable ( F e N = ma )

Si h, menor F necesaria para vencer el par de resistencia a la rodadura Si h, mayor F es necesaria, pudiendo ocurrir que F supere a e N y la rueda deslice directamenteResumen: Para tener en cuenta la resistencia a la rodadura en el diagrama de cuerpo libre (DCL) de un cuerpo que rueda, tendremos que desplazar la lnea de accin de la normal, alejndola del centro una distancia igual al coeficiente de rodadura, de tal modo que se produzca un momento que se oponga al giro del cuerpo. Alternativamente, se podra hacer que la normal pase por el centro, pero en ese caso tendramos que aadir un momento N , cuyo sentido, debe ser opuesto al giro.

REDUCCIN DINMICAEnerga cintica de los mecanismos 1 EC .mecanismo = EC .eslaboles Solo traslacin: EC .eslabon = mVG2 2 1 1 EC .eslabon = mVG2 + I G 2 Solo rotacin respecto a un punto fijo O cualquiera: 2 2 2 1 1 1 EC .eslabon = I O 2 = I G 2 + m OG 2 2 2 2 Teorema de Steiner:

( )

I O = I G + m OG

( )

2

Teorema de las fuerzas vivas El trabajo realizado por las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema de masas en movimiento, entre dos instantes (a y b) cualesquiera de su movimiento, es igual a la variacin de su energa cintica. Tab = Tm ( ab ) Tr ( ab ) = EC .b EC .a

Tab : trabajo realizado por las fuerzas y pares exteriores aplicados al mecanismo, al pasar de a a b. Tm (ab ) : trabajo generado por las fuerzas o momentos motores aplicados (positivo) Tr (ab ) : trabajo consumido por las fuerzas o momentos resistentes (negativo) TC .b : energa cintica del mecanismo en el instante b TC .a : energa cintica del mecanismo en el instante aCiclos de trabajo de una mquina cclica El ciclo de trabajo de una mquina puede dividirse en tres periodos PERIODO DE ARRANQUE: 0: posicin inicial (parado) 1: posicin final de arranque (en movimiento) Tm ( 01) Tr ( 01) = EC1 EC 0 = EC1

Tm ( 01) = Tr ( 01) + EC1PERIODO EN RGIMEN: 1: posicin inicial del ciclo de trabajo 2: posicin final del ciclo de trabajo Tm (12 ) Tr (12 ) = EC 2 EC1 = 0

EC 2 = EC1 Tm (12 ) = Tr (12 ) PERIODO DE PARADA: 2: posicin inicial de parada (en movimiento) 3: posicin final de parada Tm ( 23) Tr ( 23) = EC 3 EC 2 = EC 2 Tm ( 23) + EC 2 = Tr ( 23)

Reduccin dinmica de mecanismos de 1 GDL Para analizar la interaccin entre las fuerzas actuantes sobre un mecanismo de 1 GDL y la velocidad que ste adquiere (relacin entre trabajo y energa cintica) resulta ms cmodo sustituir el mecanismo por un modelo dinmicamente equivalente, ms sencillo de estudiar.

A Las fuerzas motoras ( F2 ) se reducen a Rm y las resistentes ( F3 y F4 ) a RnA . Todas quedan

( )

reducidas a RTA . El mecanismo puede reducirse al punto A, sustituyndolo por una nica masa (masa reducida nTA total) girando alrededor de O12 con una velocidad 2 y una fuerza (la fuerza reducida total RTA ) tomada con direccin perpendicular O12 A . El mecanismo tambin puede reducirse al eje O12 , sustituyndolo por un disco giratorio alrededor de O12 con una velocidad 2 , con un momento de inercia que es el O momento de inercia de todo el mecanismo reducido a dicho eje ( I R .12 ), sobre el que acta un O par o momento reducido (el par reducido total M RT.12 ).

O. Las fuerzas motoras ( F2 ) se reducen al par M Rm12 . Las resistentes ( F3 y F4 ) se reducen al par O O M Rr.12 . Todas quedan reducidas a M RT.12 .

Masa reducida a un punto en un instante dado Masa reducida a un punto de un mecanismo de 1 GDL es la masa mR , que colocada en ese punto y movindose con l, tendra ella sola la misma energa cintica que todo el mecanismo. 1 1 1 mR VR2 = mi VG2.i + I G .i i2 2 2 2

Momento de inercia reducido a un eje en un instante dado Momento de inercia reducido a un eje de un mecanismo de 1 GDL es el momento de inercia de un volante, I R , que colocado en el eje de reduccin y girando con l, tendra l solo la misma energa cintica que todo el mecanismo 1 1 1 2 I R R = mi VG2.i + I G .i i2 2 2 2 Diagrama de fuerzas, par, masa y momento de inercia reducidos Diagramas de fuerza reducida en un punto o de par reducido a un eje: Es la representacin de los mdulos de las fuerzas o pares reducidos, motrices y resistentes, para cada valor del ngulo girado por el eje de reduccin durante un ciclo de trabajo de la mquina. (Pueden tomar valores positivos y/o negativos)

Diagramas de masa reducida en un punto o momento de inercia reducido a un eje Es la representacin de los valores de la masa reducida o del momento de inercia reducido para cada valor del ngulo girado por eje de reduccin durante un ciclo de trabajo de la mquina (No puede tomar valores negativos) Fuerza reducida en un punto o par reducido a un eje en un instante dado Para hallar la fuerza reducida en un punto, o el par reducido a un eje, son aplicables cualesquiera de los mtodos vistos anteriormente para resolver problemas dinmicos, siendo el de las potencias virtuales el de ms fcil y rpida solucin Para igualar WR = Wreal se aplica el mtodo de las potencias virtuales al reducido y al real y se igualan

Ecuacin diferencial del movimiento 1) Al modelo formado por la masa reducida en un punto, sometida a la accin de las fuerzas motriz reducida y resistente reducida, en ese punto 1 dmR 2 FmR FrR = mR AR + VR 2 dxR 2) Al modelo formado por un volante que gira sobre el eje de reduccin, cuyo momento de inercia es el momento de inercia reducido a dicho eje, y sometido a la accin de los pares motor reducido y resistente reducido a ese eje 1 dI R 2 R M mR M rR = I R R + 2 d R1 2 Los trminos 1 2

dm R 2 VR dx R se anulan si: dm R 2 VR dx R

1) mR o I R son constantes 2) VR 0 R 0 (en los instantes de arranque o parada)

En estas situaciones, las ecuaciones diferenciales quedan: r r r r r r FmR = FrR + mR AR M mR = M rR + I R R r M mR : par de arranque r M rR : par esttico r r M ac = I R R : par de aceleracin Reduccin similar de potencias:

1 dI R 2 Si I R = cte R 0 (en instantes de arranque o parada) R = 0 2 dt r r r r M mR R = M rR R + I R R R r r M mR R : potencia motriz r r M rR R : potencia consumida I R R : potencia para acelerar

VOLANTES DE INERCIAIntroduccin Rgimen permanente: Para un ciclo se cumple que Tm ( if ) = Tr ( if ) f r O.12 r f r O.12 r M Rm d M Rr d = 0i i

CONDICIN DE PERMANENCIA EN RGIMEN b r O r Pero en el intervalo ab: M RT.12 d > 0 , lo que implica variaciones de energa cintica de aa

a b, o lo que es lo mismo (R )b (R )a Esto significa que la velocidad estar oscilando a lo largo de todos y cada uno de los ciclos, definindose como la velocidad media o velocidad de rgimen de los mismos a la expresin: f r r i R d R.media = (if ) dI R = 0 , por lo que la ecuacin diferencial del movimiento se En mecanismos rotativos d R r r r reduce a: M Rm M Rr = I R R Como se aprecia la velocidad oscila alrededor de la velocidad de rgimen a lo largo de todo el ciclo + R. min Se aproxima: R.media = R. max 2 Grado de irregularidad: R. min = R. max

R.media

Volante de inercia. Funcin El volante de inercia es una masa adicional (generalmente, una masa giratoria unida a la O manivela principal) que al incrementar el valor de I RT.12 hace que disminuya el grado de irregularidad. Efecto que provoca un volante sobre la mquina 1) Permite reducir las variaciones de velocidad dentro de un ciclo 2) Almacena energa y permite un nivel de energa ms alto 3) Reduce los esfuerzos mximos a los que estn sometidos algunos elementos de la mquina 4) Alarga las fases de arranque y parada de la mquina

Clculo de un volante de inercia Se aplica la ecuacin general del movimiento de un mecanismo (reducido al extremo de su manivela principal) entre los instantes de su ciclo en que la velocidad de giro de la manivela principal es mxima y mnima absolutas. max r r 1 1 2 2 T T(max, min) = M RT d = I RT max R max I RT min R min min 2 2 Si se supone I RT max = I RT min = I RT = cte max r r 1 2 A= M RT d = I RT (R max + R min )(R max R min ) = I RT R.media min 2 A: mxima variacin de energa cintica en el ciclo 1.Si : A A I RT = I R + IV = 2 R.media 2.Si : I RT

IV : momento de inercia del volante I R : momento de inercia reducido del mecanismo o mquina sin el volante

EQUILIBRADO DE ROTORESUn mecanismo estar desequilibrado cuando las acciones sobre el bastidor (trepidacin) varen a lo largo del tiempo Trepidacin debido a: 1) fuerzas exteriores (no se puede actuar sobre ellas) 2) fuerzas de inercia (si se puede actuar sobre ellas) Para equilibrar un mecanismo se adicionan o sustraen masas en cada uno de los miembros modificando as su centro de gravedad y haciendo que los efectos de inercia no magnifiquen las fuerzas sobre el bastidor.Tipos de desequilibrios ESTATICO Se debe a que el centro de gravedad (CDG) del rotor no est sobre el eje de giro. Esto hace que al apoyar el rotor gire hasta colocar su CDG en la parte ms baja.

Para equilibrarlo estticamente se lleva su CDG al eje de giroDINMICO: Las acciones sobre el bastidor son variables en el tiempo. Aparece debido a los momentos que crean las fuerzas de inercia. Para equilibrarlo hacemos que el eje de giro sea eje principal de inercia

Clases de rotores CORTOS: Son discos de espesor casi despreciable que nicamente pueden estar desequilibrados estticamente ya que todas las fuerzas se pueden considerar coplanarias y por tanto no crean momentos sobre el bastidor r Equilibrado: situamos una masa m* en una posicin r ' que contrarreste la fuerza de inercia resultante del rotor, elevando as su CDG al centro de giro

r r r FI = ma = m 2 rCon este tipo de problemas = cte , luego = 0 r r y at = 0

Dibujo: la masa del rotor se puede representar aproximadamente por medio de un dibujo como este: Hay que conseguir que: r r F =0 r r r r r Fi1 + Fi 2 + Fi 3 + F ' = 0 r r r r r m1r1 + m2 r2 + m3 r3 + m'r ' = 0 n r mi ri = 0 : Condicin de equilibrioi =1

estticoLARGOS: Cuerpos en rotacin de espesor no despreciable. Suelen poseer desequilibrio esttico y dinmico. Equilibrado: se han de situar 2 masas ( mder y mizq ) en 2 planos paralelos llamados planos de r r equilibrado y en las posiciones rder y rizq

Nos dicen en que plano estamos equilibrando, en I o en D (dato)

Equilibrio esttico: n r r r r r r r mi ri = 0 m1r1 + m2 r2 + m3 r3 + mD rD + mI rI = 0i =1

Equilibrio dinmico: Es mucho ms simple si cogemos momentos lo ms a la izquierda posible o lo ms a la derecha posible. Si lo hacemos en otro punto hay que tener en cuenta los signos. n r n r r r r r r M = 0 li Fii = 0 li mi 2 ri = 0i =1 i =1

r r r li mi ri = 0 Condicin de equilibrio dinmico i r=1 r r r r r r r r l1m1r1 + l2 m2 r2 + l3 m3 r3 + lD mD rD = 0n

ENGRANAJESQueremos que i = cte

i=

r r r 2 = VI .12 + 2 I12 I 23 VI .23 r r 3 = VI .13 + 3 I13 I 23 2 I12 I 23 = 3 I13 I 23 I I i = 2 = 12 23 = cte I 23 : FIJO i = cte 3 I13 I 23I12 fijos porque pertenecen al bastidor I13

3 = cte 2

Ruedas de friccin

i=

3 I12 I 23 R2 = = 2 I13 I 23 R3

F < N si es mayor estamos perdiendo potencia

Clasificacin de los engranajes

Parmetros caractersticos de los engranajes evolvente Para que I 23 sea fijo perfil del diente cicloide El I 23 es el punto donde estaran en contacto por rodadura las ruedas de friccin equivalentes. En el punto de contacto real entre dientes existe deslizamiento ya que no pertenece a la lnea de centros.

Paso(p): arco sobre la circunferencia primitiva entre dos puntos iguales de dientes consecutivos Ancho de hueco (e): arco sobre la circunferencia primitiva existente entre dos dientes consecutivos Espesor (s): ancho del diente medido sobre la circunferencia primitiva Adendum (ha): distancia desde la circunferencia primitiva a la circunferencia de cabeza Dedendum (hb): distancia desde la circunferencia primitiva a la circunferencia de fondo Circunferencia de fondo (df): circunferencia por encima de la cual todo es diente Circunferencia de cabeza o exterior (de): circunferencia por debajo de la cual, y hasta el fondo, todo es diente Circunferencia primitiva (d): es la circunferencia de la rueda de friccin equivalente. Si dos ruedas engranan las circunferencias primitivas has de ser tangentes Circunferencia de base (db): circunferencia a partir de la cual se genera el perfil de evolvente Espacio libre de fondo o huelgo (hf): espacio que queda entre los dientes de las dos ruedas que engranan Lnea de engrane/presin/accin (h): lnea tangente a las dos circunferencias base. Est formada por los sucesivos puntos de contacto de una pareja de dientes Segmento de accin (U): segmento de la recta de accin entre las dos circunferencias exteriores ngulo de presin ( ): ngulo formado por la recta de accin y la tangente en el punto primitivo

Engranajes cilndricos de dentado recto Para que dos ruedas engranen han de tener el mismo mdulo, o lo que es lo mismo, el mismo paso

d P = pZ = d Z d cos pb = pcos = Z d + d 2 m(Z1 + Z 2 ) c= 1 = 2 2 d: dimetro primitivo Z: nmero de dientes i: relacin de transmisin c: distancia entre centros 1 Pin (rueda ms pequea) 2 Rueda (rueda ms grande) m = mdulo =

db = d cos de = d + 2ha df = d 2hf

d Z pZ = d d Z i= 2 = 1 = 1 1 d 2 Z 2 m=ha hb hf m 1.25m 0.25m 0.75m m 0.25m

Tipo de diente Normal Corto

Relacin de contacto Es el nmero promedio de parejas de dientes en contacto en cada momento. Cuanto mayor sea C mayor ser nuestra capacidad de transmitir potencia

C =

: ngulo de funcionamiento que no tiene que coincidir con el de tallado, ya que si variamos c vara d y Casos posibles: C 1 : contacto intermitente engranaje malo C = 2 : habr 2 parejas de dientes en contacto en todo momento C = 1.72 : en el 72% del segmento de accin hay 2 parejas de dientes en contacto y en el resto unaNmero mnimo de dientes 2k Z min = ; k = 0.75 sen 2 Variacin de la distancia entre centros A veces se puede separar un poco los engranajes y seguir funcionando Parmetros que cambian (Todos aquellos que se midan sobre la circunferencia primitiva) ' s s' d d' ha ha ' 2c' m' = Z1 + Z 2 p p' e e' m m' hb hb' c'cos ' = ccos Parmetros que no cambian de, df, db, pb 2c' c m C ; c'cos ' = ccos m' = m'1 = m'2 = Z1 + Z 2

2 2 U1 + U 2 U1 = re2 rb2 r2 sen pb U 2 = re12 rb12 r1sen

Fenmeno de interferencia Se dice que hay interferencia cuando la circunferencia de fondo est por debajo de la de base y adems hay contacto en esa zona, es decir, que no hay perfil de evolvente. Tipos: 1) De tallado/generacin: hay interferencias con la fresa de tallado 2) De funcionamiento: la interferencia se da entre los engranajes en contacto Problemas que causa: 1) Rebaje de la superficie lateral de los dientes con la consecuente rotura de los mismos 2) Relacin de transmisin no constante, ya que no todos los puntos donde hay contacto tiene perfil de evolvente, es decir, I 23 no es fijo Correccin de la interferencia de funcionamiento: 1) Reduccin del dimetro de la circunferencia de cabeza 2) Rectificar el borde del diente vaciando su flanco 3) Aumentar la distancia entre centros 4) Correccin de la interferencia de tallado empleando una tcnica que se llama correccin de dentado. Hacer que los engranajes con un nmero mnimo de dientes que evite la interferencia 1 : diente.normal 2k ;k Z min = 2 sen 0.75 : diente.corto

Engranajes cilndricos de dentado helicoidal Se fabrican con la misma herramienta que los de dentado recto inclinndola un cierto ngulo, llamado ngulo de hlice del engranaje ( ) Tipos: Ejes que se cruzan 1 2 Ejes paralelos 1 = 2 Orientados a izquierdas Orientados a derechas ngulo entre engranajes: Los dos orientados a izquierdas/derechas = 1 + 2

Uno helicoidal y otro dentado recto =

Uno a derechas y otro a izquierdas = 1 2

Axial: contiene al eje del engranaje y en l se definen paso axial ( p X ), mdulo axial ( mX ), ngulo de presin axial ( X ) Normal: es perpendicular al diente del engranaje y se define ( pn , mn , n ) Circunferencial: plano perpendicular al eje del engranaje ( pC , mC , C ) Sobre el plano circunferencial se miden: El dimetro primitivo, exterior, de fondo y base. Todas las frmulas de dentado recto valen para los parmetros circunferenciales. Para que dos engranajes cilndricos de dentado helicoidal engranen deben coincidir sus mdulos normales y sus ngulos de presin normales. pn = pC cos = p X sen pb = pC cos C tg n = tg C cos d = mC Z mn = mC cos db = d cos C de = d + 2ha Tipo de diente ha hb hf Normal mn 1.25mn 0.25mn df = d 2hf Corto 0.75mn mn 0.25mn ejes d + d 2 mC mn (Z1 + Z 2 ) = mn Z1 + Z 2 = ( Z1 + Z 2 ) = c= 1 = cos cos 2 2 2 paralelos 2cos 1 2

i=

d1 2 Z1 d1cos 1 ejes = = = = 1 Z 2 d 2 cos 2 paralelos d 2

Nmero mnimo de dientes para que no haya interferencia 2k cos3 1 : diente.normal ;k Z min = sen 2 n 0.75 : diente.recto Relacin de contacto b: ancho del diente 2 2 U1 + U 2 + btg b U1 = re2 rb2 r2 sen C pbc = pC cos C C = pbc : paso base tg b = tg cos C pbc U 2 = re12 rb12 r1sen C circunferencia La relacin de contacto en engranajes helicoidales es mayor que las de dentado recto, ya que cuando una pareja de dientes pierde el contacto en le plano circunferencial lo mantiene aun en planos paralelos situados por detrs de l La relacin de contacto en helicoidal puede ser > 2

Ventajas e inconvenientes de helicoidales sobre rectos Inconvenientes: - Rendimiento ms bajo debido al mayor deslizamiento entre los dientes - La carga es perpendicular al diente, lo que hace que aparezca una componente axial de la fuerza Ventajas: - Contacto progresivo - Funcionamiento ms suave y silencioso - Mayor velocidad de funcionamiento - Mayor relacin de contacto ( C ) por lo que pueden transmitir mayores potencias - Permite obtener cualquier ngulo entre ejes ajustando convenientemente 1 y 2 - Menor desgaste de los dientes - Permite un bajo nmero de dientes sin problemas de interferencia

TRENES DE ENGRANAJES Definicin Un tren de engranaje es un conjunto de parejas de engranajes encadenadas entre s. Su uso es habitual por las siguientes razones: 1) Para transmitir movimiento entre ejes muy alejados 2) Para conseguir relaciones de transmisin adecuadas. Pueden ser muy altas (250), muy pequeas (1/1000) o de nmeros no racionales (630/519) 3) Permiten cambiar el sentido de giro de salida 4) Permiten obtener varias salidas ante una nica entrada Trenes ordinarios Z conductoras i = salida = entrada Z conducidas Trenes hepicicloidales o planetarios Tienen 2 GDL directamente no se puede saber para donde gira CARACTERSTICAS - Tienen 1 o 2 ruedas de ejes fijos coaxiales que son las que se llaman planetas, una de ellas ser la entrada y la otra la salida si son de dentado interior se les llama coronas - Tienen 1 o varias ruedas de ejes mviles que giran alrededor de los planetas y engranando con ellos que son lo que se llaman satlites - Tienen un brazo o portasatlites que arrastra los ejes de los satlites Frmula de Willis: Un observador situado sobre el brazo y movindose solidariamente con l, ve el tren hepicicloidal como un tren ordinario de ejes fijos: ns nb Z conductoras = ne nb Z conducidas NOTAS: + si e y s tienen el mismo sentido considerando el tren como uno ordinario y si tienen sentido contrario Suponemos un sentido de giro siempre positivo y metemos las n en la frmula de acuerdo con ese sentido Los trenes planetarios tiene 2 grados de libertad NO se puede saber de antemano cmo van a girar

Formulario CCEMFRENOS Y EMBRAGUES INERCIA DE CARGA GD 2 Nm 2 n[rpm] T [Nm] = 375t [s ]

Jorge Vzquez Fernndez

[

]

V [m / min ] GD 2 Nm 2 = 9.81m[kg ] n[rpm] 2 2 2 2 GD Nm = 4g m / s I kg m

[ [

] ]

2

[

][

]

T [Nm] = I kg m 2 rd / s 2 9550N [kw] T [Nm] = n[rpm] 2 I = m[kg ]rGIRO m 2

[

] [

]

1 I DISCO = mR 2 2

[ ]

n GD = GD n e2 e 2

2

FRENO DE ZAPATA SIMPLE N [N ] = p N / mm 2 a mm 2

M = 0 F b N b + N a = 0 F = 0 R + N = 0 F = 0 R + N F = 0A X X

[

][

]

M F [Nmm] = N [N ]R[mm]

Y

Y

FRENOS DE CINTA

P1 = e , P1 > P2 P2 T = ( P1 P2 )R P p max = 1 bR Freno de cinta diferencial autocerrante T1 b b e T2 a aFRENO ZAPATAS EXTERIORES SIMETRICAS Reacciones p = pa cos 2 p br 4r sen 2 (2 2 + sen2 2 ) R X = N = 2 dN cos = a a= 0 2 2 2 + sen2 2 2 p br Par de frenado (2 2 + sen2 2 ) RY = FR = N = 2 dN cos = a 0 2 T = N a FRENOS DE DISCO Presin uniforme P 2P p= = = cte A Re3 Ri2

(

)

T=

2 P R R 3 R R3 e 2 e

3 i 2 i

Desgaste uniforme P pmax = Ri (Re Ri )

T=

P2

(Re + Ri )

EMBRAGUE CNICO Presin uniforme P 2 P Re3 Ri3 p= Mr = Re2 Ri2 3 sen Re2 Ri2

[

]

Desgaste uniforme P pmax = 2 Ri (Re Ri )

Mr =

1 P(Re + Ri ) 2sen

Formulario CCEMFRENOS DE ZAPATAS INTERIORES Y EXTERIORES

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sen p a br a 2 1 sen2 2 sen21 p = pa 1 sen a sen 2 2 4 2 p a br a 2 2 M F = dN (r acos ) = r (cos 2 cos 1 ) 2 (sen 2 sen 1 ) 1 sen a Par de frenado Autoenergiazante (-) MN m MF 2 pa br 2 F= No autoenergizante (+) (cos1 cos 2 ) T = r dN = c 1 sen a Condicion autobloqueo Reacciones 2 1 2 p br F 0 MN MF A = sen ( A m B) FX ) RX = a 2 1 sen a 2 1 pa br B = sen2 (B A) FY ) RY = 2 4 1 sen a M N = dN asen =2

n.total.ramales n.ramales.al.tambor V VELEVACION = CABLE i CARGA Q Tiro = n .ramales VCABLE = nTAMBOR RTAMBOR i=

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POTENCIA DE ACCIONAMIENTOS. SELECCIN DE MOTORES Para una elevacin En general 60 f [Hz ] nS [rpm] = 2 F [N ]V [m / s ] Q[kg ]v[m / s ] p N [kw] = N R [C.V .] = 1000 75 1CV = 736 w M [Nm]n[rpm] F [N ]V [m / s ] 1HP = 746 w N [kw] = N R [kw] = 9550 1000 Carga relativa M nom = r M R M R ; par.en.c arg a M + M0 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Carga Ralativa Mr 0.5 Mr = R 2M R M 0 : par.en.vacio 0.74 0.74 0.76 0.83 0.91 1.0 r Para una traslacin m= peso propio + carga [kg] (Q + G )[kg ]w[kg / Tm]v[m / s ] N R [C.V .] = G=9.81 m/s2 100075 D=diametro rueda traslacin [mm] F [N ]V [m / s ] N R [kw] = d= diametro eje [mm] 1000 R=0.005 ruedas con rodamientos FR = (G + Q )w R=0.08 a 0.1 ruedas con cojinetes f=coeficiente resistencia a la rodadura 2 d FR [N ] = mg R + f + c 2 D F .d .M =

Tiempos.Marcha 100 Tiempos.Marcha + Tiempos.Parada

Velocidad v (m/s) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Duracion del arranque ta(s) 5 6 7 8 9 Ruedas sobre cojinetes de bronce, w=20 kg/t 1.0 1.0 1.2 1.3 1.4 N nom Ruedas sobre rodamientos, w=7 kg/t 1.45 3.0 2.5 2.8 3.0 NR Potencia termica Potencia aceleracion 2 2 2 2 (G + Q )[kg ]V [m / s ] (N A + N R )2 t A + N R t R + N F t F N A [C.V .] = NT = 2 g m / s t A [s ]75 t A + tR + tF = 1.1.a.1.2 N F = ( N A N R ) 2 t A = t F Potencia nominal Efectos del viento NA + NR S m 2 v[m / s ] N nom [C.V .] = NV [C.V .] = (15...20) kg / m 2 (1.7.a.2) 75

3.0 10 1.5 3.2

[

]

[ ]

[

]

UNIONES ATORNILLADAS Traccin axial Tornillo 6.8: 2 B = 600 N / mm F 0.6 S , esfuerzos.estati cos Z = 8 AK 0.3 S , esfuerzos, oscilantes S = 600 = 480 N / mm 2 10 Cortadura FTORNILLO = FDIRECTA + FPAR 0.6 S , esfuerzos, estati cos F FPAR = Fi = C ri A = 0.5 S , esfuerzos. pulsatorios A M PAR = Fi ri 0.4 S , esfuerzos.alternativos

[

[

]

]

Formulario CCEM TORNILLOS DE POTENCIAP 1.5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 h3 0.9 1.25 1.75 2.25 2.75 3.5 4 4.5 5 5.5 6.5 Rosca Trapecial ISO, DIN 103 H1 R2 P h3 0.75 0.15 14 8 1 0.25 16 9 1.5 0.25 18 10 2 0.25 20 11 2.5 0.25 22 12 3 0.5 24 13 3.5 0.5 28 15 4 0.5 32 17 4.5 0.5 36 19 5 0.5 40 21 6 0.5 44 23 d2=d-0.5P d3=d-2h3 H1 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 22 R2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Jorge Vzquez Fernndez Ph = Pn Relaciones geometricas P tg = h d 2 cos Autorretencion tg ( ') 0 ' s 0 Descenso Fu = F tg ( ') Wutil F d tg ( ') s = = u 2 = Waportado F Ph tgRESISTENCIA F AK T an 3 0.2d 3

tg ' =

HUSILLO T = Fu r2 COJINETE TR = F a Rm ACCIONAMIENTO Tan = T + TR Wutil = F Ph

Elevacion Fu = F tg ( + ') Wutil F Ph tg h = = = Waportado Fu d 2 tg ( + ') RENDIMIENTO TOTAL 1 = tg ( + ') a Dm + tg Ph

V = + 32

2

=

Waportado = Fu d 2 + F a Dm

AK =

d 324

Nota: si el cojinete de apoyo esta situado en el accionamiento (arriba), debe tomarse Tan=T adm0.2B, para esfuerzos pulsatorios adm0.3B, para esfuerzos alternativos PANDEO 90 2 E S K = 2 2.66 < 90 k SK = 0 1.74 E200000 N/mm2 F = AK Aceros St50 a St60: 0 350 N / mm 2k 0.6 N / mm 2

B resistencia a traccion del material del husillo (casi siempre B=50060 N/mm2 Esbeltez flexional EA b = EI m RADIO DE GIRO seccion cuadrada: lado im = i g = 12 seccion circular: radio im = i g = 2

b =

L L2 A = im Im

Nota: para el clculo de la esbeltez se usa d3. Presion en los flancos F P p= md 2 H 1 =2 Empotrada Libre =1 Biarticulada =0.71 Empotrada Articulada =0.5 Biempotrada

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RESORTES ELASTICOSResortes de traccin, compresin y flexin Grado elstico c=F/x Trabajo de elasticidad 1 W = F x 2 Frecuencia propia 1 c v= 2 m Resortes de torsin c [N/mm],[N/rad]: cte elstica F [N]: fuerza elstica x [mm]: elongacin T [Nmm]: momento giro elstico [rad]: ngulo de torsin W [Nmm]:trabajo elstico v [Hz]: frecuencia propia m [kg]: masa del cuerpo unido al resorte J [kg/m2]: momento de inercia del cuerpo unido al resorte, con respecto al eje de giro

Grado elstico c = T / Trabajo de elasticidad 1 W = T 2 Frecuencia propia 1 c v= 2 J

Resortes de barra trabajando a torsin Tensin de torsin [N/mm2]: tensin de torsin en la seccin transversal de la barra T 700 N / mm 2 = Wt T [Nmm]: momento de torsin elstico Wt [mm3]: momento polar de resistencia a torsin, de la seccin transversal ngulo elstico de la barra; W t 0.2d 3 T l = [rad]: ngulo de flexin I t G l [mm]: longitud de la caa del resorte It [mm]: momento polar de inercia a torsin, de la seccin transversal de la barra; I t 0.1d 4 G [N/mm2]: mdulo de deslizamiento transversal (mdulo transversal) del material del resorte

[

]

Resortes de lmina trabajando a flexin b [N/mm2]: tensin de flexin en la seccin transversal de la lmina Tensin de flexin F [N]: fuerza elstica F l bh 2 x [mm]: elongacin bajo la fuerza F b = ;W = W 6 l [mm]: brazo de palanca de la fuerza en la seccin peligrosa Carrera del resorte W[mm3]: momento resistente de la lmina de resorte 3 3 I [mm4]: momento de inercia de la lmina de resorte F l bh x=k ;I = E [N/mm2]: mdulo de elasticidad del material del resorte 3EI 12 k: coef de clculo, tabla

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Jorge Vzquez FernndezResortes a compresin de varillas redondas i g = i f + 1.5

Resortes a compresin y a traccin, cilndricos Resortes a compresin, de alambre redondo, conformados en fro ig: nmero de espiras totales if: nmero de espiras elasticas ig = i f + 2LB1 [mm]: longitud de compresin, cuando todas las espiras se tocan d [mm]: dimetro del alambre Espiras extremas estn unidas y amoladas LB1 = i g d

Resortes de varillas redondas laminadas LB1 (i g 0.3)d Resortes de varillas redondas amoladas LB1 (i g 0.4 )d Resortes con extremos elsticos que permanecen sin mecanizar LB1 (i g + 1)d

Espiras extremas estn unidas LB1 = (i g + 1.5)dResortes a traccin, de alambre y varillas redondos Longitud del cuerpo del resorte LK (i g + 1)d LK [mm]: longitud del cuerpo del resorte ig : nmero de espiras elsticas d [mm]: dimetro de alambre

Clculo de los resortes a compresin y a traccin Las secciones del alambre o de la varilla estn sometidas a esfuerzos de torsin. Tensin tangencial ideal i [N/mm2]: tensin tangencial ideal sin considerar la curvatura del alambre N de espiras 8Dm Gd F= f i = 3 2 k [N/mm2]: tensin tangencial elsticas d i f Dm considerando la influencia de la curvatura Gd 4 f Tensin tangencial mxima if = del alambre 3 8Dm F k = k i k: coeficiente segn tabla Fuerza del resorte Dimetro del alambre F [N]: fuerza del resorte Gd 4 f G [N/mm2]: mdulo de deslizamiento 8F Dm F= 3 d =3 transversal 8Dm F i d [mm]: dimetro del alambre o de la Grado de elasticidad Carrera del resorte varilla 3 F Gd 4 8Dm i f c= = Dm [mm]: dimetro medio de la espira 3 f = F f 8Dm i f 4 if nmero de espiras elsticas Gd f [mm]: desplazamiento elstico c [N/mm]: grado elstico Tipos de extremos Simple Simple Rebajado A escuadra Rebajado a escuadra N total espiras N1 N N N+2 N+2 Longitud slida (n+1)d nd (n+3)d (n+2)d Longitud libre np+d np np+3d np+2d D[mm]: dimetro de la espira d[mm]: dimetro del alambre N: n de espiras =f: elongacin

=c=

T r 16T 8F D = = J d 3 d 3F

C=

Dm d

=

F d 4 G d G = ; o.tb = 3 f 8D N 8 N C 3

8F D 3 N = d 4 G

Cargas de fatiga 4C 1 0.615 KW = + 8F D C 4C 4 max = KW d 3 0.5 Cargas estticas K S = 1+ C 8F D 1 c max = K S d 3 f n [Hz ] = 2 m

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Resortes de brazos trabajando a torsin i [N/mm2]: tensin ideal de flesin en la seccin transversal del alambre Tensin ideal de flexin M [N/mm]: momento de flexin en la seccin transversal del i = M /W alambre: M = F R d 3 W [mm3]: momento resistente de la seccin transversal del W = 0.1d 3 32 alambre q [N/mm2]: tensin de traccin por flexin en el lado interior Tensin mxima de traccin por de la seccin transversal del alambre, a consecuencia de la flexin curvatura del mismo q = q i q: coef q recoge el aumento de tensin debido a la curvatura del alambre, segn figura [rad]: ngulo de torsin elstico l [mm]: longitud desarrollada de las espiras elsticas sin brazos adm 0.7 B extremos Tensin de elevacin admisible I [mm4]: momento de inercia de la seccin transversal del N h.adm 700 0.25 u d 4 2 0.05d 4 alambre; I = mm 64 ngulo de torsin E [N/mm2]: mdulo de elasticidad del material del resorte M l M [N/mm]: momento de flexin en la seccin transversal del = I E alambre; M = F R Longitud desarrollada de las espiras elsticas Para a + d Dm / 4 : l = Dm i f Para a + d > Dm / 4 : l =

(Dm )2 + (a + d )2

Longitud del cuerpo del resorte sin tensin l k 0 = i f (a + d ) + d Dimetro exterior o interior del resorte tensado if Di ,a Dm md if 2 Superior Di Inferior Da En la ecuacin =

Dm [mm]: dimetro medio de las espiras del resorte if: nmero de espiras elsticas a [mm]:distancia libre entre las espiras elsticas d [mm]: dimetro del alambre

M l se desprecia el valor del ngulo de torsin I E que resulta adicionalmente por flexin del brazo. En el caso de resortes de torsin con pocas espiras y/o brazos largos, debe tenerse en cuenta la flexin de estos ltimos. Para este clculo es vlida la F l 3 correspondiente a un resorte de un solo ecuacin: x = k 3EI brazo, siendo k=1; I 0.05d 4 y l la longitud del brazo del resorte considerado.