RESUMEN ESTADISTICA.pptx

8/19/2019 RESUMEN ESTADISTICA.pptx

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1. Distribución Multinomial.

2. Distribución de Pascal.

3. DistribuciónGeométrica.


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Distribución ultinomial

Si una prueba dada puede reducir a los kresultados con las probabilidades entonces ladistribución de probabilidad de las variablesaleatorias que representan el número de

ocurrencias para en n pruebas independienteses


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E%ercicio de Aplicación

" esas elecciones sepresentaron # partidos pol$ticosel P%P% obtuvo un #&' de los

votos( el )*)* el 3&'( el M+M+ el2&' , el -"-" el 1&' restante./u0l es la probabilidad de que

al eleir ciudadanos al aar( 34a,an votado al P%P%( 1 alM+M+ , 1 al -"-"5


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S%-+/678

Sea /antidad de ciudadanos que votaron por

el P%P%

/antidad de ciudadanos que votaron porel )*)* /antidad de ciudadanos que votaron por

el M+M+ /antidad de ciudadanos que votaron por

el -"-" 9a que se distribu,e como una distribución

multinomial tenemos


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Distribución de Pascal

*l número de e;perimentos de .Su ?unción de probabilidad es


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*@ercicio de "plicación

Si la probabilidad de que un niAoe;puesto a una en?ermedadcontaiosa la contraia es de &.#&.

/u0l es la probabilidad de que eldecimo niAo e;puesto a laen?ermedad sea el tercero en

contraerla5


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S%-+/678Sea B la variable aleatoria número de niAos e;puestosa la en?ermedad contaiosa.

/alculando la probabilidad de que el decimo niAoe;aminado sea el tercero en contraer la en?ermedadtenemos

*l :.##' de las veces ocurre que el decimo niAo

e;puesto a la en?ermedad sea el tercero en contraerla.


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*@ercicio de aplicación.

-os reistros de una compaA$aconstructora de poos( indicanque la probabilidad de que uno de

sus poos nuevos( requiera dereparaciones en el término de unaAo es de &.2&. /u0l es laprobabilidad de que el quinto poo

construido por esta compaA$a enun aAo dado sea el primero enrequerir reparaciones en un aAo5.


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S%-+/678

a Sea B E el numero de poo que requierareparación en el termino de un aAoF

-a probabilidad de que el quinto poo sea elprimero en requerir reparación en el termino

de un aAo es del .1H'


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Distribuciones Especiales DeTipo $ontinua


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1.Distribución Gamma.2.Distribución *;ponencial.

3.Distribución /4i/uadrado.#.Distribución I JStudent..Distribución K LKis4er.


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Distribución Gamma+na variable aleatoria B( tiene una distribución

amma( si B representa el tiempo transcurrido4asta obtener un determinado resultado. *s unadistribución con par0metros ( N( si su ?unción dedensidad esta dada por

/uando O& , NO&.

-a distribución amma especial donde 1 sellama distribución e;ponencial.


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*@ercicio de aplicación

Si un componente eléctrico?alla una ve cada 4oras(cu0l es el tiempo medio que

transcurre 4asta que ?allan doscomponentes5 /u0l es laprobabilidad de que transcurran

12 4oras antes de que ?allen losdos componentes5

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S%-+/678Sea B la variable aleatoria Etiempo

transcurrido 4asta la ?alla de 2componentesF


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*l tiempo medio para que ocurra el ?allo de 2

componentes es de 1& 4oras.

PL B O 12 1 Q PL B R 12

*n un 3&.#' de la veces( pasaran mas de 124oras 4asta que ?allen dos componentes.


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-os clientes de un supermercado llean enpromedio de uno por minuto. Talle la probabilidadde que transcurran

a Por lo menos 3U después de la lleada del últimocliente , el pró;imo.b *ntre 2U , #U.c " lo m0s 2 U.

d M0;imo 3U( sabiendo que el penúltimo , el últimollearon con una di?erencia de 2U como m$nimo.Tallar la media , la variana del e@ercicio.


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S%-+/678Sea B Eel tiempo Len minutos transcurridoentre la lleada de 2 clientes.F

a)

*l ' de las veces ocurre que transcurran 3minutos o m0s entre el último cliente , elpró;imo.

b)


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b)

*l 11.V' de las veces transcurre entre2 , # minutos en la lleada del últimocliente , el pró;imo.c)

*l :.#:' de las veces transcurremenos de 2 minutos entre la lleadadel último cliente , la lleada delpró;imo cliente.

d)


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d)

*l :3.21' de las veces transcurre menos de3 minutos( dado que la ultima ve

transcurrió m0s de dos minutos entre lalleada del último cliente , el pró;imo.


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Distribución /4i cuadrada L

-a variable aleatoria continua ; ( tiene unadistribución c4i cuadrada con rados delibertad( su ?unción de densidad esta dada por.

Donde v es un entero positivo.


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*l t d$ ti /4i d d t


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*l estad$stico /4i=cuadrada estadado por

donde n es el tamaAo de la muestra( s2 la varianamuestral , la variana de la población de donde see;tra@o la muestra.

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

-os valores de B2 son ma,ores o iuales que &. -a ?orma de una distribución B2 depende del ln=1.

*n consecuencia( 4a, un número inCnito dedistribuciones B2.

*l 0rea ba@o una curva c4i=cuadrada , sobre el e@e4oriontal es 1.

-as distribuciones B2 no son simétricas. Iienen colasestrec4as que se e;tienden a la derec4aW esto es(est0n sesadas a la derec4a.

/uando nO2( la media de una distribución B2 es n=1


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Supona que los tiemposrequeridos para alcanar la

producción de un determinadoproducto ?orman una distribuciónnormal con una desviaciónest0ndar 1 minuto. Si se elie al

aar una muestra de 1V tiempos(encuentre la probabilidad de que lavariana muestral sea ma,or que 2.


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S%-+/678

Primero se encontrar0 el valor de c4i=cuadrada correspondiente a s22 como siue

1 n 1V

32

*l valor de 32 se busca adentro de la


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*l valor de 32 se busca adentro de latabla en el renlón de 1: rados delibertad , se encuentra que a este

valor le corresponde un 0rea a laderec4a de &.&1. *n consecuencia( elvalor de la probabilidad es PLs2O2


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*@ercicio 2 de aplicación

Mediante la tabla para distribuciónc4i=cuadrada obtena el valorrequerido de acuerdo a los rados de

libertad n , la probabilidad o 0reaa %btenerb %btener

c %btener


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S%-+/678a con rados de libertad

b con 23 rados de libertad

c con 1V rados de libertad

Di ib ió d


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Distribución tJstudent

Distribución de probabilidad que sure delproblema de estimar la media deuna distribución normal LX cuando el tamaAode la muestra es pequeAo( , una distribución

c4i cuadrada LB con v rados de libertad.


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-a lonitud de los tornillos?abricados en una determinada?0brica tienen media Y2& mm

, desviación s1 mm( calcularla probabilidad de que en unamuestra de tamaAo n2 ( la

lonitud media del tornillo seain?erior a 2&. mm

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S%-+/678

Para 4allar partimos de

-o cual nos enera

/on

Grados de libertad.


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Por lo tanto para calculartenemos

Por lo tanto

*l HH' de las veces la lonitudmedia de una muestra de 2tornillos ser0 in?erior a 2&. mm


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*@ercicio 2 de aplicación

%btenera /on 1 rados de libertad

PLI1(12b /on 1 rados de libertad PLI=1(##1

c /on rados de libertadPL=1(H2 1(H2


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P t b bilid d PL 1 H2


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c Para esta probabilidad PL=1(H21(H2 con rados de libertad(buscamos el valor de para 1(H2 ,como queremos el 0rea ba@o la curvadesde =1.H2 4asta 1.H2 tenemosque

PL=1(H2 1(H2


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Distribución K de Kis4er

*sta es la distribución de probabilidad de laraón de dos varianas provenientes de dospoblaciones di?erentes. Por mediode esta distribución es posible determinar la

probabilidad de ocurrencia de una raónespec$Cca con v1n1=1 , v2n2=1 radosde libertad en muestras de tamaAo n1, n2(menores que treinta.

Su ?unción de densidad es


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Media , Zariana

-a media de esta distribución e;istesi es ma,or o iual que 3( teniendocomo media

-a variana e;iste si es ma,or o

iual que cinco( teniendo comovalores


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7


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S%-+/678

/alculando los rados de libertad del numeradortenemos

/alculando los rados de libertad del denominador se

tiene

/on 1 rados de libertad en el numerador( 1 en eldenominador tenemos

-a probabilidad de que la raón de varianas seama,or a 1.HV es del 1&'.

-a probabilidad de que la raón de varianas seamenor a 3.2 es del HH'

*@ i i 2 d li ió


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*@ercicio 2 de aplicación.

Por tablas se conoce que para 1& , :( el percentil H&2(H#W el percentil H #(&:./alcular los valores de ladistribución K de : , 1& radosde libertad que de@an a su

iquierda una masa deprobabilidad de &.1 , &.&respectivamente.

S%-+/678


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S%-+/678

/on la in?ormación que tenemos(conocemos que

*ntonces a partir de esto tenemos

Por lo tanto


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68I*\Z"-%S D* /%8K6"8X"

6ntervalos de conCana para una


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6ntervalos de conCana para unapoblación.

a 6ntervalo de conCana para la media.

b 6ntervalo de conCana para laproporción.

c 6ntervalo de conCana para la variana.

6ntervalo de conCana para dospoblaciones.a 6ntervalo de conCana para la di?erencia

de medias.b 6ntervalo de conCana para la di?erencia

de proporciones.c 6ntervalo de conCana para el cociente

de varianas.

6ntervalo de conCana para la


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6ntervalo de conCana para lamedia Luna población

Para 4allar este tipo de intervalo debemostener en cuenta que e;isten tres casosdentro del intervalo de conCana para unamuestra poblacional. *stos son Población normal con variana poblacional

conocida. Población que no es normal( con variana

poblacional desconocida , muestra randeLnO3& Población normal( con variana

poblacional desconocida , muestra

pequeAa Ln]3&


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Población normal con variana poblacional conocida.

Si ^ es la media de una muestra aleatoria de

tamaAo n tomada de una población normal convariana ( un intervalo de conCana al L1= 1&&'para la media poblacional esta dado por

Donde es el valor que limita un 0rea ba@o la curva ala derec4a de Iambién podemos escribirlo en ?orma m0scompacta( es decir como

-os e;tremos in?erior , superior de un intervalo deconCana para la media poblacional m son


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*@ i i d li ió


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Se desea apro;imar el peso promediode los productos elaborados en una?0brica. Se toma una muestra de 2& de

estos productos , se obtiene un pesomedio de ^ 2 ramos. Si sesupone que el peso de estos art$culoses normal con una variana 3 (construir un intervalo de conCanapara el peso promedio de los art$culosproducidos por esta ?0brica con un

rado de conCana del HH'.

S%-+/678


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S%-+/678

+n intervalo de conCana para la media poblacionalba@o las condiciones dadas es

De la tabla de porcenta@es de la curva normalest0ndar tenemos que para &.HH"s$ que al sustituir obtenemos un intervalo para lamedia

/on una conCana del HH' se puede establecer queel peso promedio de los art$culos producidos pordic4a ?abrica va a estar entre 21(: ramos , 2(#

ramos.


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Población que no es normal( con variana poblacionaldesconocida , muestra rande LnO3&

/uando no se conoce la varianapoblacional , por ende la

desviación ( podemos remplaarlapor un valor de la desviaciónest0ndar muestral s( siempre que el

tamaAo de la muestra sea rande(,a que a medida que una muestraaumenta de tamaAo( una buena

apro;imación de es s


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+n intervalo de conCana para la

media poblacional ( esta dado como

%

Donde s es la desviación est0ndar deuna muestra aleatoria de tamaAonO3& tomada de una población no

necesariamente normal con varianadesconocida.

*@ i i d li ió


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/onstruir un intervalo de conCanadel H' para la resistencia media ala ruptura de los bloques de

concreto que se usan en la industriade la construcción( a partir de unamuestra de 1&& bloques de los quese obtiene una resistencia promediode 1 toneladas , una desviaciónest0ndar de 1. toneladas


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Población normal( con variana poblacionaldesconocida , muestra pequeAa Ln]3&

Si , s son la media , desviación est0ndarde una muestra aleatoria de tamaAo n conLn ] 3&( tomada de una población normal

con variana desconocida( un intervalo deconCana al1&&' para la media poblacional es

Donde es el valor que se obtiene de latabla para la variable t de Student conrados de libertad( que limita un 0rea ba@ola curva de a su derec4a.



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+na m0quina produce pieasmet0licas de ?orma cil$ndrica. Setoma una muestra de pieascu,os di0metros son *ncuentreun intervalo de conCana delHH' para el di0metro promedio

de pieas de esta m0quina si sesupone una distribuciónapro;imadamente normal.

S%-+/678


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S%-+/678Debido a que la variana poblacional es desconocida , el tamaAode la muestra es pequeAo( el intervalo de conCana ser0

Para la variable I de Student se obtiene que el valor de con n=1rados de libertad es

/on rados de libertad.

Sustitu,endo estos valores en la ecuación tenemos que

Donde e es el error

/on un nivel de conCana del HH' se puede aCrmar que lam0quina est0 produciendo cilindros con un di0metro entre &.HV

cm , 1.&32 cm con un error de &.&2V cm


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pproporción Luna población

Para la proporción poblacional p ( unestimador puntual es , para laconstrucción de un intervalo deconCana( se utilia una estimación

puntual que resulta de una muestraaleatoria de tamaAo n e;tra$da de lapoblación( donde ; es el número de é;itoso de elementos que tienen una mismacaracter$stica en la muestra. -a variablees apro;imadamente normal cuando lamuestra es rande( por lo que la podemos

llevarla a la normal est0ndar X ( donde


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Si es la proporción de é;itos de unamuestra aleatoria de tamaAo n , ( un

intervalo de conCana de L 1&&' para laproporción poblacional p es

% bien ( siempre que el tamaAo de lamuestra sea rande.Se considera como rande el tamaAo de lamuestra( si



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%btener un intervalo deconCana del H2' para laproporción de 4abitantesque utilian un producto queevita la ca$da del cabello enuna localidad. Si en una

muestra aleatoria de 1&& deestas personas 3 lo usan.

S%-+/678


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S%-+/678

"l calcular el valor de la proporción dela muestra nos damos cuenta( que el

tamaAo es rande( ,a que ,*n este caso los productos cumplen con , donde n1&& , podemos utiliar/omo un intervalo de conCana P( quees la proporción real de personas queusan el producto para evitar la ca$da delcabello.

"dem0s por tabla se conoce que


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,a que

*ntonces

Siendo as$ un intervalo de conCana para la verdaderaproporción es

/on un nivel de conCana del H2' se puede decir queentre el 2:.:' , el #3.#' de las personas utilian dic4oproducto para evitar la ca$da del cabello.



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pvariana Luna población

Para construir un intervalo deconCana de la variana en una

población normal( se utilia lavariable @i 2 o c4iQcuadrada.*sta variable es , tiene una

distribución c4iQcuadrada con nrados de libertad.

P t l t i d t A


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Para una muestra aleatoria de tamaAon ( tomada de una población normal

con variana ( un intervalo deconCana del L 1&&' para la varianaqueda como

Donde es la variana de la muestra( ,de la tabla de la distribución c4i

cuadrada con n rados de libertad



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De una población normal( se e;traeuna muestra aleatoria de tamaAo n1 , resulta que su variana es1.# . *l e;tremo in?erior de unintervalo de conCana para lavariana poblacional es &.V&H.a Determine el rado de conCana

del intervalo.b %btena el valor del e;tremosuperior del intervalo.

S%-+/678


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S%-+/678

a *l e;tremo de un intervalo para la varianaes lueo al iualarlo con &.V&H(tenemos

&.V&H de donde resulta que

9 de la tabla de la distribución c4i=cuadrada

con 1# rados de libertad tenemos que por lotantoPor lo tanto el rado de conCana esKinalmente tenemos el H&' como rado de

conCana.


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b /omo sabemos que es el e;tremo

superior , dado que entonces , con1# rados de libertad ( as$ que el valordel e;tremo superior del intervalo es

Kinalmente quedo que el intervalo deconCana para dic4a variana

poblacional se encuentra entre&(V&H , 3.&H

di?erencia de medias


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di?erencia de mediaspoblacionalesL

Para estos intervalos( necesitamos analiar los

di?erentes casos que se presentan de acuerdo a lascaracter$sticas que presenta las poblaciones. *stoscasos son Dos poblaciones normales con varianas conocidas ,

muestras aleatorias independientes. Poblaciones no normales con con varianas

desconocidas , muestras randes. Dos poblaciones normales con varianas desconocidas

pero iuales , muestras pequeAas e independientes. Dos poblaciones normales con varianas desconocidas

di?erentes , muestras pequeAas e independientes. Poblaciones normales( cuando las muestras no son

independientes o las muestras se presentanapareadas.

D bl i l i id


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Dos poblaciones normales con varianas conocidas ,muestras aleatorias independientes.

Para tenemos que un estimadorpuntual es tal que la variable normalest0ndar queda

Donde son los tamaAos de lasmuestras independientes tomadas de

la población 1 , 2 respectivamente.

"4ora si son las medias de muestras


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"4ora si son las medias de muestrasaleatorias independientes de tamaAo

tomadas de poblaciones normalescon varianas conocidasrespectivamente( un intervalo de

conCana del esta dodo pordonde es el valor de la tabla normalque limita un 0rea de a su derec4a.


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+na muestra aleatoria de tamaAotomada de una población normal condesviación est0ndar tiene una media

+na seunda muestra aleatoria detamaAo tomada de otra poblaciónnormal con desviación est0ndar

tiene una media%btena un intervalo de conCanadel H#' para

S%-+/678


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S%-+/678

Para el intervalo de conCana del H#'

entonces tenemos

"4ora buscando por tablas tenemosque


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\emplaando en

Ienemos

/on esto el intervalo de conCana

para es L2.H( V(1&1


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83/210

S%-+/678


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S%-+/678Marca " L1 Marca < L11

2

/omo las muestras son randes e independientes , laspoblaciones no son normales con varianas desconocidas(

un intervalo de conCana para queda

a4ora como entonces

9 por tabla tenemos que

Kinalmente sustitu,endo en la ecuación tenemos

Por lo que un intervalo de conCana para al H' es

Dos poblaciones normales con varianas desconocidas pero iuales


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p p

, muestras pequeAas e independientes.

*n este caso como las varianaspoblacionales se desconocen( peroson iuales( se usa una estimaciónpuntual de estas( conocida como lavariana ponderada , esta dada por

-a desviación est0ndar ponderadaqueda

Dado que las muestras son pequeAastendremos que usar la variable I de


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tendremos que usar la variable I deStudent con rados de libertad.

De modo que si son las medias demuestras pequeAas independientes detamaAos respectivamente( tomadas a

partir de poblaciones normales convarianas desconocidas pero iualesun intervalo de conCana de para est0dado por

Donde s el valor de la variable I conrados de libertad que limita un 0rea

de a la derec4a



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-os siuientes datos( e;presados en d$as(representan el tiempo de recuperación depacientes tratados al aar con uno de dosmedicamentos( para curar in?ecciones ravesde la ve@ia.

%btena un intervalo de conCana de HH' parala di?erencia en el tiempo promedio derecuperación para los dos ?0rmacos(suponiendo poblaciones normales con varianas

desconocidas pero iuales.

S%-+/678


88/210

S%-+/678

/omo se nos pide un intervalo para( simplemente cambiamos laestimación puntual ( para tener lo

deseado( es decir"4ora como

Por lo tanto con

Grados de libertad

"dem0s calculando


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Ienemos

"l sustituir tenemos que

Por lo que un intervalo de conCana para ladi?erencia de tiempos promedio derecuperación de los pacientes con los dos

?0rmacos al HH' es ]3(3&

Dos poblaciones normales con varianasdesconocidas di?erentes , muestras


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desconocidas di?erentes , muestraspequeAas e independientes.

Para este caso se usa el estad$stico

*l cual tiene una distribución t con _

rados de libertad( donde

*l valor de _ casi nunca es un

número entero( siempre lo vamos aredondear al entero m0s pró;imo.

Si ( son las medias , varianas demuestras pequeAas independientes de


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muestras pequeAas independientes detamaAos respectivamente( tomadas apartir de poblaciones normales convarianas desconocidas di?erentes unintervalo de conCana de para est0 dadopor

Donde es el valor de la variable I conv rados de libertad( que produce un0rea de ba@o la curva a su derec4a.



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-os siuientes datos representan lostiempos en minutos de duración depel$culas producidas por dos

compaA$as de cine. /ompaA$a 61&3 H# 11& V H/ompaA$a 66 HV 2 123 H2 1V 11 /onstru,a un intervalo deconCana al H&' para di?erencia delos tiempos medios de duración delas pel$culas producidas por las dos

com aA$as Si se considera ue los

S%-+/678


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S%-+/678

*n este problema no se nos dice nadarespecto a las varianas poblacionalespor lo que se supone que sondesconocidas , di?erentes( adem0s de las

muestras deben ser independientes. Delas dos muestras tenemos que/ompaA$a 1 /ompaA$a 11

4allando los rados de libertad tenemos

"4ora entonces


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Por lo tanto W con V rados delibertad."l sustituir tenemos

Por lo que un intervalo de conCanaal H&' para la di?erencia de lostiempos medios de duración de laspel$culas producidas por estascompaA$as es

Poblaciones normales( cuando lasmuestras no son independientes o las


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pmuestras se presentan apareadas.

+na estimación puntual de la media

ser0 el valor de la media de lasdi?erencias de la muestra en pare@as ,para la variana ser0 la variana de lasdi?erencias de la misma muestra( esdecir

Donde

Si son la media , la desviaciónt0 d d l di? i


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est0ndar de las di?erencias cu,adistribución es normal( n pare@as de

mediciones( un intervalo deconCana de para ser0

Donde se obtiene de la raCca conn=1 rados de libertad.



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@ p

Se aCrma que una nueva dieta reducir0 elpeso de una persona en #. k en promedio(en un periodo de 2 semanas. -os pesos de Vmu@eres que llevaron la dieta se anotaronantes , después de 2 semanas.P. antes . :&.3 :1.V :H.& :#.& :2.: :.VP. después :&.& #.H .1 :2.1 . H.H #.#/onstru,a un intervalo de conCana del H'

para la di?erencia media de los pesos ,decida si la aCrmación es aceptable. Suponaque las di?erencias de pesos se son normales.

S%-+/678


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/onsiderando los pesos antes como la muestra6 , los pesos después la muestra 66( calculamoslas di?erencias antes Q después.

. :&.& 1. :&.3 #.H .# lueo :1.V .1 3.:

:H.& :2.1 :.H

:#.& . .:2.: H.H 2.V con : rados de libertad:.V #.# 2.3

Sustitu,endo en


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Por lo tanto un intervalo de conCana

para la di?erencia media de los pesosqueda como

Se puede observar que el intervaloconstruido contiene al valor #.( esto nospermite decir que la aCrmación de quecon la dieta las personas pueden reducirsu peso en promedio #. k en un

periodo de 2 semanas es aceptable 6ntervalo de conCana para la di?erencia

de proporciones poblacionales


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de proporciones poblacionales.

Si tenemos a4ora dos poblaciones conproporciones respectivamente , deseamosun intervalo de conCana para obtenemosuna muestra de cada población( recordando

que su estimador puntual es con

, una buena estimación puntual ser0cuando los tamaAos de las muestrasaleatorias independientes seansuCcientemente randes( es decir ( ( (


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+n intervalo de conCana del

para es

% bien

Donde , con el numero de é;itos delas muestras de tamaAo ,respectivamente.



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@ p

+na empresa que produce bebidasdesea comparar la pre?erencia pordos marcas de re?resco de cola " ,


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S%-+/678

/on

/on

"4ora por lo tanto

Donde por tabla

"4ora remplaando en


104/210

Ienemos

Por lo tanto un intervalo deconCana del H#' es

6ntervalo de conCana para la raónde varianas


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de varianas

/uando se tienen dos poblacionesnormales con varianas Paraconstruir un intervalo de conCana

utiliamos la variable o estad$sticoK que esta e;presada por

/on una distribución K con radosde libertad para el numerador ,denominador respectivamente.


106/210


107/210

S%-+/678


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/onsideremos que -os datos delprimer renlón son la muestra 6 L" ,los del seundo la muestra 66 L


109/210

Sustitu,endo en

Ienemos

Por lo tanto un intervalo deconCana al HH' para es L&.&:3(

.VV


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P\+*


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Prueba de 4ipótesis para la media. Prueba de 4ipótesis para la proporción. Prueba de 4ipótesis para la variana.Pruebas de 4ipótesis para dospoblaciones.

Prueba de 4ipótesis para la di?erenciade medias.

Prueba de 4ipótesis para la di?erencia

de proporciones. Prueba de 4ipótesis para la raón de

varianas.

Prueba de 4ipótesis para la mediaLuna población


112/210

Luna población

Para 4allar esta prueba( debemos tener encuenta que e;isten tres casos dentro de laprueba de 4ipótesis para una muestrapoblacional. *stos son

Población normal con variana poblacionalconocida.

Población que no es normal( con varianapoblacional desconocida , muestra randeLnO3&

Población normal( con varianapoblacional desconocida , muestra

pequeAa Ln]3&

(poblacional desconocida ,A


113/210

muestra pequeAa Ln]3&

Planteamiento de las hipótesis: "qu$ sepueden presentar tres posibles 4ipótesisalternativas para la 4ipótesis nula( a saber

Donde es un valor especiCco.El nivel de signifcancia: este valor seproporciona de ante mano o en su de?ecto

se da como es decir reularmente.\ecordemos que nos da la probabilidad decometer el error tipo 6( al rec4aar la4ipótesis nula .

El estadístico de prueba: *ste tercer elementoresulta ?undamental en la prueba( ,a que ser0 el quenos permita tomar una decisión al respecto de el


114/210

nos permita tomar una decisión al respecto de elrec4ao ó no de la 4ipótesis nula , para podercompararlo con el valor cr$tico( debemos obtener suvalor para una muestra aleatoria particular( lo quesiniCca que el estad$stico de prueba para este casoes

"4ora el valor de este estad$stico de prueba( para unamuestra aleatoria de tamaAo n tomada de lapoblación lo escribimos como

La región de rechazo: Para poder comparar el valordel estad$stico de prueba( debemos contar con unvalor cr$tico( el cual lo obtendremos de la tabla devalores para la curva normal est0ndar( dependiendodel tipo de reión que va,amos a considerar( es decir

de la 4ipótesis alternativa que tenamos en el planteo


115/210

Decisión estadística De acuerdo al valor delestad$stico de prueba , el valor encontrado dela tabla para la normal est0ndar se tomar0n las


116/210

la tabla para la normal est0ndar( se tomar0n lassiuientes decisiones seún la reión de rec4ao

a considerar. Para una reión de rec4ao de cola derec4a( la

4ipótesis nula se rec4aa( si el valor calculadodel estad$stico de prueba , no se rec4aa en

caso contrario Para una reión de rec4ao de cola iquierda(

la 4ipótesis nula se rec4aa( si el valorcalculado del estad$stico de prueba , no se

rec4aa en caso contrario Para una reión de rec4ao de dos colas( la

4ipótesis nula se rec4aa( si el valor calculadodel estad$stico de prueba o bien cuando , no

se rec4aa en caso contrario ,



117/210

+na empresa que ?abrica materiales parala construcción desarrollo un nuevo aditivopara cierto tipo de cemento , aCrma queel coeCciente promedio a la compresión es

de 1&& k por con una desviaciónest0ndar de 12& k por . Desea probar la4ipótesis en contra de la alternativa paraello toma una muestra aleatoria de &pieas de este tipo de cemento , obtieneque k por . Supona que la población esnormal , use un nivel de siniCcancia del

'

S%-+/678


118/210

De acuerdo a los datos del problema(

tenemos una población normal condesviación est0ndar , se quiere realiaruna prueba de 4ipótesis de colaiquierda( ,a que se van a contrastar las

siuientes 4ipótesis Planteamiento de las 4ipótesis

8ivel de siniCcancia.

Zalor del estad$stico de prueba

\eión de rec4ao. -a reión es de cola iquierda(de la tabla se determina el valor de con


119/210

Decisión estad$stica. /omo el valor del estad$sticode prueba cae dentro de la reión de rec4ao( ,aque la 4ipótesis nula debe ser rec4aada deacuerdo a los datos obtenidos de la muestra. Por

lo que podemos inclinarnos en aceptar la4ipótesis alternativa( es decir el coeCcientepromedio de compresión es menor que &&& kpor .

Población que no es normal( con variana poblacional desconocida , muestrarande LnO3&


120/210

*n este caso lo único que cambia es el valordel estad$stico de prueba( ,a que los dem0selementos de la prueba son los mismos que elcaso anterior. Por lo tanto solo escribimos de

?orma simbólica los elementos.= Planteamiento de la 4ipótesis

Donde es un valor especiCco.

8ivel de siniCcancia.


\eión de rec4ao. De cola derec4a( cuando


121/210

e co a de ec a( cua do De cola iquierda( cuando De dos colas( cuando Decisión estad$stica.( se rec4aa( si L\eión de rec4ao

de cola derec4a( se rec4aa( si L\eión de rec4ao

de cola iquierda( se rec4aa( si , L\eión de rec4ao

de dos colas



122/210

*n estudios realiados sobre la durea aun determinado metal( se observo queen una muestra aleatoria de n 1&&pieas de este tipo de metal( se ten$auna durea promedio de 1. k( conuna desviación est0ndar de k.*l ?abricante aseura que la durea

promedio de sus pieas que produce essuperior a 1 k( pruebe la 4ipótesisanterior con un nivel de siniCcancia

del 1'

S%-+/678


123/210

Planteamiento de la 4ipótesis

8ivel de siniCcancia

Zalor del estad$stico de prueba.

\eión de rec4ao./omo por tabla se conoce que para , la prueba de4ipótesis se pide para la derec4a entonces


124/210

4ipótesis se pide para la derec4a( entoncestenemos

Decisión estad$stica /omo el valor del estad$sticode prueba no cae en la reión de rec4ao( ,a que

la 4ipótesis nula no se puede rec4aar con lain?ormación de esta muestra aleatoria. Por lo que

el ?abricante no tiene raón Población normal( con variana poblacional desconocida , muestra pequeAa

Ln]3&


125/210

Para este caso el estad$stico de pruebaes

el cual tiene una distribución t deStudent con n =1 rados de libertad( loque siniCca que debemos traba@ar conla distribución t de Student , no con la

curva normal est0ndar.-os elementos de la prueba cambian enel valor del estad$stico de prueba , la

reión de rec4ao



126/210




\eión de rec4ao L\\


127/210

Donde se obtienen de la distribución t deStudent con n=1 rados de libertad.

Decisión estad$stica.Dependiendo del tipo de reión de rec4ao( setiene la siuiente decisión-a 4ipótesis nula se rec4aa si L\\ de cola

derec4a-a 4ipótesis nula se rec4aa si L\\ de cola

iquierda-a 4ipótesis nula se rec4aa si o L\\ de dos

colas



128/210

De una población normal se e;traeuna muestra de tamaAo , se obtiene(con Pruebe la 4ipótesis nula de que la

media poblacional es iual a V( encontra de la 4ipótesis alternativa deque es di?erente de V. +tilice un nivel

de siniCcancia de

S%-+/678


129/210

/on

Planteamiento de 4ipótesis.

8ivel de siniCcancia Zalor del estimador de prueba

\eión de rec4aoDado que la prueba es a dos colas( de la tabla t deStudent con rados de libertad tenemos


130/210

Student con rados de libertad tenemos

Decisión estad$stica /omo se puede observar enla Cura( el valor del estad$stico de prueba no caeen la reión de rec4ao L\\( ,a que Por lo tanto(la 4ipótesis nula no se rec4aa con los datosrecabados de la muestra( al nivel de siniCcancia

del a 1&'

Prueba de 4ipótesis para unaproporción


131/210

Planteamiento de la 4ipótesis.

Donde es un valor especiCco. 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

Donde es el valor de la proporciónmuestral.

\eión de rec4ao.De cola derec4a( si la alternativa esDe cola iquierda si la alternativa es


132/210

De cola iquierda( si la alternativa esDe dos colas( si la alternativa es Decisión estad$stica. ( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola

derec4a ( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola

iquierda ( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos

colas



133/210

Se cree que al menos el :&' de losresidentes de cierta 0rea est0n encontra de un nuevo impuesto. `ué se

puede concluir si de 2& 4abitantesde esa ona 1#& no est0n de acuerdocon el nuevo impuesto5 utiliar un

nivel de siniCcancia del '

S%-+/678


134/210

Planteamiento de la 4ipótesis al menos el :&' de los residentes est0n en contra menos del :& ' de los residentes est0n en contra



\eión de rec4ao. Por la 4ipótesis alternativa( lareión es de cola iquierda. *l valor cr$tico seobtiene de la tabla de los porcenta@es para la

0


135/210

variable normal est0ndar , es con

Decisión estad$stica. Dado que el valor delestad$stico de prueba no cae en la reión derec4ao( ,a que como se ve en la Cura( seconclu,e que la 4ipótesis nula no se rec4aa , portanto la creencia de que al menos el :&' de losresidentes en esa 0rea est0n en contra del nuevoimpuesto( es aceptable( con un nivel de siniCcancia

del '

Prueba de 4ipótesis para lavariana


136/210

Para la variana poblacional ( se tiene

también su prueba de 4ipótesis. "qu$ seutilia la distribución )i o /4i= cuadrada. Planteamiento de la 4ipótesis.

Donde es un valor especiCco. 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

Donde es el valor de la variana muestralaleatoria de tamaAo n ( e;tra$da de una

población normal

\eión de rec4ao.De cola derec4a( si la alternativa esDe cola iquierda( si la alternativa es


137/210

De cola iquierda( si la alternativa esDe dos colas( si la alternativa es

Decisión estad$stica. ( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola derec4a

( se rec4aa si Lreión de rec4ao de colaiquierda ( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos colas



138/210

/uando un proceso de producción est0 ?uncionandoadecuadamente( la variana de las partes producidases iual a cuatro. -as medidas de las partes sedistribu,en normalmente , se considera que el procesode producción en la actualidad se encuentra ?uera de

control Se selecciona una muestra aleatoria de nuevepartes producidas , se obtienen las siuientes medidas.

H( 1&( 12( 13( 12( ( :( 11 , H

Se tiene raón en aCrmar que en la actualidad elproceso de producción est0 ?uera de control5 utilice unnivel de siniCcancia del 1&'

S%-+/678


139/210

De acuerdo a la in?ormación cuando la

variana ( el proceso est0 ?uncionandocorrectamente , cuando est0 ?uera decontrol. "s$ que la prueba de 4ipótesis quese realiar0 es para la variana Planteamiento de la 4ipótesis.

8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.*l valor de la variana para la muestra dada

es por lo que tenemos lo siuiente

\eión de rec4ao. Por ser de dos colas se tiene quecon rados de libertad.


140/210

Decisión estad$stica la 4ipótesis nula ( no se rec4aa( ,aque el valor del estad$stico de prueba no cae en lareión de rec4ao ,a que como se puedeobservar en la raCca Por lo que( en base de estos datosel proceso de producción est0 ?uncionando

adecuadamente con una siniCcancia del 1&'

Prueba de 4ipótesis para ladi?erencia de medias


141/210

Para este tipo de prueba e;istes cosos los cuales

son Poblaciones normales con varianas conocidas. Poblaciones no normales con varianas

desconocidas( pero muestras randes e

independientes. Poblaciones normales con varianas

desconocidas pero iuales L , muestraspequeAas e independientes.

Poblaciones normales con varianasdesconocidas pero di?erentes L , muestraspequeAas e independientes.

Poblaciones normales , muestras pequeAas

dependientes Lmuestras apareadas

Poblaciones normales con varianas conocidas.


142/210




Zalor del estad$stico de prueba.

\eión de rec4ao. Seún la4ipótesis alternativaD l d 4 d


143/210

De cola derec4a cuando

De cola iquierda cuandoDe dos colas cuando Decisión estad$stica.

( se rec4aa si Lreión de rec4ao decola derec4a( se rec4aa si Lreión de rec4ao de

cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4aode dos colas



144/210

+na muestra aleatoria de tamaAoe;tra$da de una población normal condesviación est0ndar tiene una mediamuestral una seunda muestraaleatoria de tamaAo sacada de unapoblación di?erente normal( condesviación est0ndar tiene una media

muestral . Probar la 4ipótesis de que (contra la alternativa ( con un nivel desiniCcancia del :'.


145/210

\eión de rec4ao. Por la 4ipótesis alternativa( la reiónes de dos colas. "l tener tenemos que ,


146/210

Decisión estad$stica /omo el valor del estad$stico deprueba cae dentro de la reión de rec4ao( ,a que la4ipótesis nula debe ser rec4aada. Por lo que( lasmedias de las poblaciones no son iuales( comoresultado de la in?ormación recopilada a partir de estas

muestras aleatorias

Poblaciones no normales con varianas desconocidas(pero muestras randes e independientes.


147/210



8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

\eión de rec4ao. Seún la4ipótesis alternativa

D l d 4 d


148/210


De cola iquierda cuandoDe dos colas cuando Decisión estad$stica.

( se rec4aa si Lreión de rec4ao decola derec4a( se rec4aa si Lreión de rec4ao de

cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4aode dos colas



149/210

+n ?abricante aCrma que el coeCciente promedioa la tensión de una Cbra E"F e;cede al coeCcientepromedio a la tensión de la Cbra E


150/210

Planteamiento de las 4ipótesis.Si consideramos que es el coeCcientepromedio a la tensión de la Cbra E"F , es elcoeCciente promedio a la tensión de la Cbra

E


151/210

\eión de rec4ao.-a reión es de cola iquierda. *l valorcritico lo sacamos de la tabla normal

est0ndar para donde tenemos que


152/210

Poblaciones normales con varianas desconocidas pero iuales L , muestras pequeAas eindependientes.


153/210



8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

/on

\eión de rec4ao. . Seún la 4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuandoDe cola iquierda cuando

D d l d


154/210

De dos colas cuando

Decisión estad$stica.

( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola derec4a( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos colasDonde son valores de la variable I de Student conrados de libertad.



155/210

Se pretende averiuar cual de dosmedicamentos es me@or para reducir la presiónarterial( para ello se seleccionan 2 pacientes alos cuales se les suministra el medicamento 6 ,se obtienen los siuientes resultados . " otros

pacientes se les administra el medicamento 66 ,se obtiene Si suponemos que las poblacionesson normales( con varianas desconocidas peroiuales , que las muestras son

independientes. /on un nivel de siniCcanciadel 1&'( pruebe la 4ipótesis de que elmedicamento 6 es me@or que el medicamento 66

S%-+/678/onsideremos que es la presión


156/210

/onsideremos que es la presión

arterial media producida por losmedicamentos 6 , 66 respectivamente(que el medicamento 6 sea me@or queel medicamento 66( siniCca que Por loque. Planteamiento de la 4ipótesis. los dos medicamentos tienen la misma e?ectividad.

el medicamento 1 es me@or que el medicamento 11. 8ivel de siniCcancia valor del estad$stico de prueba

\eión de rec4ao. -a reión de rec4ao es decola iquierda. 9 por tabla sabemos que conrados de libertad , un


157/210

Decisión estad$stica. Dado que el valor delestad$stico de prueba cae dentro de la reión de

rec4ao( ,a que se rec4aa la 4ipótesis nula .Por lo tanto( el ?abricante de medicamentos notiene raón en su aCrmación de acuerdo a losdatos que proporcionan las muestras aleatorias.


158/210

\eión de rec4ao. . Seún la 4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuandoDe cola iquierda cuandoDe dos colas cuando


159/210

De dos colas cuando

Decisión estad$stica.( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola derec4a

( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos colasDonde son valores de la variable I de Student con

rados de libertad.



160/210

+na ran ?0brica de automóviles est0 tratando de

decidir si compra llantas E"F o E


161/210

Planteamiento de la 4ipótesis. Dado que

se aCrma que no 4a, di?erencia entrelos dos tipos de llantas( siniCca que lasmedias poblacionales son iuales( encontra de que son di?erentes. -o

anterior traducido en las 4ipótesisqueda de la siuiente manera.

8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba

\eión de rec4ao. *s una reión de dos colas(por lo que tenemos que con rados de libertad.


162/210

Decisión estad$stica *l valor del estad$stico deprueba no cae en la reión de rec4ao( dado que

lueo la 4ipótesis nula no se rec4aa , enconsecuencia no 4a, di?erencia siniCcativa encuanto a los dos tipos de llantas que usar0 en susnuevos modelos( de acuerdo con la in?ormación

obtenida en las muestras

Poblaciones normales , muestras pequeAasdependientes Lmuestras apareadas


163/210


Donde es un valor especiCco , es lamedia de las di?erencias poblacionales. 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

/on , los valores de la media , ladesviación est0ndar de las di?erenciasmuestrales ( respectivamente. "dem0s de

\eión de rec4ao. . Seún la 4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuandoDe cola iquierda cuandoDe dos colas cuando


164/210

De dos colas cuando

Decisión estad$stica.( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola derec4a( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos colasDonde son valores de la variable I de Student con

rados de libertad.

*@ercicio de aplicación* t di i t l i i t d t


165/210

*n un estudio se reistraron los siuientes datos

acerca de la concentración de residuos de acidosórbico en @amón( en partes por millón(inmediatamente después de introducir el @amón porun instante en una solución sórbica , después de :&d$as de almacenamiento.

Si suponemos que las poblaciones son normales(4a, evidencias suCcientes con un nivel desiniCcancia del '( para decir que el periodo dealmacenamiento reduce las concentraciones

residuales de acido sórbico5

S%-+/678"qu$ las muestras la consideramos


166/210

dependientes( ,a que el @amón es el mismo

antes , después del almacenamiento. *lvalor de la media , la desviación est0ndarde las di?erencias son respectivamente.

Planteamiento de la 4ipótesis.*l almacenamiento no reduce laconcentración de acido.

*l almacenamiento si reduce la

concentración de acido. 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

\eión de rec4ao.*s de cola derec4a( ,a que la 4ipótesis alternaaCrma que , el valor cr$tico en la tabla es conrados de libertad


167/210

rados de libertad.

Decisión estad$stica. /omo el valor del

estad$stico de prueba si cae en la reión derec4ao( ,a que ( la 4ipótesis nula se rec4aa.Por lo que si e;isten evidencias suCcientes deque el periodo de almacenamiento reduce la

t ió d id ó bi l @ ó


168/210

Muestras randes con o bien


169/210


Donde 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

Donde es el valor de la proporción

arupada para las muestras aleatorias de tamaAos (respectivamente. son el número de

é it l t ti

\eión de rec4ao. . Seún la4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuando


170/210


De cola iquierda cuandoDe dos colas cuando

Decisión estad$stica.( se rec4aa si Lreión de rec4ao de

cola derec4a

( se rec4aa si Lreión de rec4ao decola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao

d d l



171/210

+na empresa ?abricante de ciarroselabora dos marcas de este producto.*ncuentra que : de 2&& ?umadores

preCeren la marca E"F , 2H de 1&preCeren la marca E


172/210

-a proporción cruada es


Lno 4a, pre?erencia por aluna de las marcas Lla marca " es m0s pre?erida que la marca


173/210

Decisión estad$stica /omo el valor del

estad$stico de prueba cae en la reión derec4ao es decir la 4ipótesis nula se rec4aa.Por lo que si se puede aseurar que la marcaE"F es m0s pre?erida sobre la marca E


174/210


Donde 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

Donde son los valores de las

proporciones para las muestrasaleatorias de tamaAos (respectivamente. Iomadas de su

ti bl ió "d 0 d

\eión de rec4ao. Seún la4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuando


175/210

De cola iquierda cuandoDe dos colas cuando

Decisión estad$stica.( se rec4aa si Lreión de rec4ao de

cola derec4a

( se rec4aa si Lreión de rec4ao decola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao

d d l



176/210

+na cl$nica especialista en nutriciónaseura que el porcenta@e de 4ombres quepadece obesidad( es superior en m0s deun 1' sobre la proporción de mu@eres con

este problema. De una muestra aleatoriade 1&& 4ombres # tienen problemas deobesidad( mientras que de una muestraaleatoria de 12& mu@eres 3 son obesas.

Se puede concluir que la cl$nica tieneraón( con una siniCcancia del 1&'5

S%-+/678Si es la proporción de 4ombres , de mu@eres


177/210

Si es la proporción de 4ombres , de mu@eres

con problemas de obesidad( respectivamente(entonces tenemos que Planteamiento de la 4ipótesis-a di?erencia de proporciones es menor o iual

al 1'-a di?erencia de proporciones es superior al1' 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.

\eión de rec4ao es de cola derec4a dondetenemos para


178/210

Decisión estad$stica Dado que el valor del

estad$stico de prueba no cae en la reión derec4ao( ,a que ( la 4ipótesis nula no se rec4aa(es decir la cl$nica no tiene raón en su aCrmaciónde acuerdo con los datos recibidos en lasmuestras.

Prueba de 4ipótesis para la raónde varianas



179/210


8ivel de siniCcancia valor del estad$stico de prueba.

Donde son los valores de lasvarianas para las muestras

aleatorias de tamaAorespectivamente( e;tra$das depoblaciones normales.


180/210


181/210

*@ercicio de aplicación+ i ti d id l


182/210

+n investiador considera que lavariabilidad en los tiempos deatención v$a tele?ónica en un banco "es superior que en los tiempos de otro

banco


183/210

Si tomamos como la variana de los

tiempos del banco " , del banco


184/210

Decisión estad$stica /omo el valor del estad$stico de

prueba cae en la reión de rec4ao( ,a que se rec4aala 4ipótesis nula es decir el investiador tiene raón enaCrmar que la variabilidad en los tiempos de atenciónv$a tele?ónica del banco "( es ma,or que la del banco


185/210


186/210

datos provenientes del estudio es absolutamente

necesario. -a prueba de bondad de a@uste permiteprobar el a@uste de los resultados de une;perimento a una distribución de probabilidadteórica su@eto a un error o nivel de conCana

*l método en cuestión se basa en la comparaciónde las ?recuencias absolutas observadas , las?recuencias absolutas esperadas( calculadas a

partir de la distribución teórica en an0lisis.

Para la prueba de 4ipótesis utiliaremos dosestad$sticos *l /4i=cuadrado , la prueba de

l S i

Zariable aleatoria /4i=/uadrada*s aplicable a distribuciones continuas o


187/210

*s aplicable a distribuciones continuas o

discretas./ompara las ?recuencias observadas con las?recuencias esperadas.Se selecciona una muestra aleatoria de n

observaciones( cada una de las cuales puedeclasiCcarse e;actamente en una de Kcateor$as. Suponamos que el numeroobservado en cada cateor$a es . Si una

4ipótesis nula () especiCca las probabilidadesde que una observación perteneca a cada unade estas cateor$as( los números esperados enlas cateor$as( si se cumple serian


188/210


189/210

*@ercicio de aplicación*n cierta m0quina *;pendedora de \e?rescose;isten # canales que e;piden el mismo tipo de


190/210

e;isten # canales que e;piden el mismo tipo de

bebida. *stamos interesados en averiuar si laelección de cualquiera de estos canales se 4ace de?orma aleatoria o por el contrario e;iste alún tipode pre?erencia en la selección de aluno de ellospor los consumidores. -a siuiente tabla muestrael número de bebidas vendidas en cada uno de los# canales durante una semana. /ontrastar la4ipótesis de que los canales son seleccionados alaar a un nivel de siniCcación del '.

!anal "#mero de bebidasconsumidas medianteeste e$pendedor

1 13

2 22

3 1

# 1V

S%-+/678Para realiar el contraste de


191/210

debemos calcular las ?recuencias esperadasde cada suceso ba@o la 4ipótesis deuni?ormidad entre los valores. Si la seleccióndel canal ?uera aleatoria( todos los canalestendr$an la misma probabilidad de selección ,por lo tanto la ?recuencia esperada de bebidasvendidas en cada uno de ellos deber$a serapro;imadamente la misma. /omo se 4anvendido en total V& re?rescos( la ?recuenciaesperada en cada canal es

*l estad$stico de prueba seria

*ste valor debemos compararlo con el


192/210

valor critico de la distribución con L#=13 rados de libertad. *ste valor es

Puesto que el valor del estad$stico L2.3#es menor que el valor critico LV(1( nopodemos rec4aar la 4ipótesis de que

los datos se a@ustan a una distribuciónuni?orme. *s decir( que los canales sonseleccionados aleatoriamente entre losconsumidores.

*@ercicio 2 de aplicaciónSe 4a tomado una muestra aleatoria de #&b t $ 4 i t d d ió A


193/210

bater$as , se 4a reistrado su duración en aAos.*stos resultados se 4a arupado en V clasescomo se muestra.

ZeriCcar con ' de siniCcancia que la duraciónen aAos de las bater$as producidas por este?abricante tiene duración distribuida normalmentecon media 3. , desviación est0ndar &.V

S%-+/678Sea B duración en aAos Lvariable


194/210

L

aleatoria continua

/alculando la probabilidadcorrespondiente a cada intervalo

tenemos

/alculando las ?recuencias esperadas tenemos


195/210

\esumen de datos

Pero como es necesario que se cumpla que entonces tenemo

como resultado solo # clases las cuales son

"4ora deCniendo nuestra reión derec4ao tenemos


196/210

/alculando el estad$stico de prueba

tenemos

Decisión /omo 3.& no es ma,or a

V.1( se dice que no 4a, evidenciasuCciente para rec4aar el modelopropuesto para la población.


197/210

*ste resultado suiere el estad$sticode olmoorov=Smirnov


198/210

`ue proporciona una medida dediscrepancia entre , cu,a

distribución( ( no depende de .*ste resultado es mu, importanteporque si la distribución del

estad$stico dependiera de ser0necesario calcular su distribución ba@opara cada problema en particular.


199/210

*@ercicio de aplicaciónSe 4a realiado una muestra a 1V municipios al

t d l t @ d bl ió ti


200/210

respecto del porcenta@e de población activadedicada a la venta de ordenadores resultandolos siuientes valores

`ueremos contrastarque el

porcenta@e demunicipios para

cada rupoestablecido se

distribu,e

S%-+/678


201/210

4ipótesisnula cadarupodebiera deestar

/ompuestopor el 1&' de

la poblacióndado que

e;istendie rupos"s$ podemosestablecer la tabla

*n la tabla anterior se pudo observar que


202/210

"4ora el estad$stico de prueba olmoorov=Smirnov para un nivel de siniCcancia del 'es

Dado que el estad$stico es menor L&(&:&V que

el valor de la tabla L&(1&1H no rec4aamos la4ipótesis de comportamiento uni?orme de losrupos establecidos al respecto de la poblaciónactiva dedicada a la venta de ordenadores

. libertad a&(&1 a&(& a&(1 a&(1 a&(2

1 &(HH &(HV &(H &(H2 &(H

2 &(H2H &(#2 &(VV: &(V2: &(:#

3 &(2 &(V& &(:#2 &(HV &(2:

# & V33 & :2# & :# & 2 & #H#

Iabla de olmo

orov=Smirnov


203/210

# &(V33 &(:2# &(:# &(2 &(#H#

&(::H &(: &(1 &(#V# &(##:

: &(:1 &(21 &(#V &(#3: &(#1

V &(VV &(#: &(#3 &(#& &(31

&(#3 &(#V &(#11 &(31 &(3

H &(1# &(#32 &(3 &(3: &(33H

1& &(#H &(#&1 &(3: &(3#2 &(322

1 &(# &(33 &(3 &(23 &(2::

2& &(3: &(2H &(2:# &(2: &(231

2 &(32 &(2V &(2# &(22 &(21

3& &(2H &(2# &(22 &(2 &(1H

3 &(2V &(23 &(21 &(1H &(1

#& &(2 &(21 &(1H &(1 &(1V

# &(2# &(2 &(1 &(1V &(1:

& &(23 &(1H &(1V &(1: &(1

recurrencia para nma,or


204/210

*@ercicio de aplicación/onsideremos las observaciones de


205/210

los pesos Lk , las alturas Lcm de uncon@unto de die personas elindividuo 1 tiene 1:1 cm de altura ,

:3 k de peso( el individuo 2 tiene12cm de altura , : k de peso( etc.

Tallar el coeCciente de determinación.

S%-+/678

" partir de la recta de reresión


206/210

p

podemos calcular los valoresestimados , los residuos.

*s mu, conveniente( por comodidad(disponer de los datos , los c0lculos en?orma de tablaW en concreto( por lo

tanto construimos una tabla dec0lculos del coeCciente dedeterminación la cual es


207/210

Por lo tanto tenemos que


208/210

"4ora 4allando el coeCciente dedeterminación

*s coeCciente de determinación nosindica que el :(1V' de la

variabilidad total de los datos ese;plicada por el modelo querepresenta dic4os datos.


209/210

p p p p J p

4ttp.itc4.edu.m;academicindustrialestadistica1cap&3b.4tml

4ttp.virtual.unal.edu.cocursossedesmaniales#&3

&&11leccionescap3capJ3JpaJ12.4tml4ttpecosdelaeconomia.Cles.ordpress.com2&11&

distribucion=amma.pd?

4ttp.itc4.edu.m;academicindustrialsabaticoritaJprivate&VDistr'2&Geometrica.4tm

4ttpes.scribd.comdoc12&:VDistribuciones=Discretas=de=Probabilidad

http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/sab/rfinsab_acc07.pdfhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.htmlhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdfhttp://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdfhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Distr%20Geometrica.htmhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Distr%20Geometrica.htmhttp://es.scribd.com/doc/8120687/Distribuciones-Discretas-de-Probabilidadhttp://es.scribd.com/doc/8120687/Distribuciones-Discretas-de-Probabilidadhttp://es.scribd.com/doc/8120687/Distribuciones-Discretas-de-Probabilidadhttp://es.scribd.com/doc/8120687/Distribuciones-Discretas-de-Probabilidadhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Distr%20Geometrica.htmhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Distr%20Geometrica.htmhttp://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdfhttp://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdfhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.htmlhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.htmlhttp://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/sab/rfinsab_acc07.pdfhttp://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/sab/rfinsab_acc07.pdf


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