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Resumo Funções Manuela Soares Página 1/13
Escola Secundária de Ermesinde
Resumo teórico – FUNÇÕES
11.º Ano; Matemática A 2010/2011
Funções do tipo a
y bx c
= +−
.
( ) xf x
x
+=+5 1
3 ( ) x
g xx
+=−
6 7
3 2
• { } { }: \fD x x= ∈ + ≠ = −3 0 3ℝ ℝ
• Zeros de f : − 15
( )f x x x= ⇔ + = ⇔ = − 10 5 1 05
.
• Ponto de intersecção com o eixo Ox : , −
10
5.
• Ponto de intersecção com o eixo Oy : ( )( ), ,f =
10 0 0
3
• ( ) xf x
x x
+= = −+ +5 1 14
53 3
c.a.
x xx
+ +
−− −5 1 3
14
55 15
• { }: \gD x x = ∈ − ≠ =
23 2 0
3ℝ ℝ
• Zeros de g : − 76
( )g x x x= ⇔ + = ⇔ = − 70 6 7 06
.
• Ponto de intersecção com o eixo Ox : , −
70
6.
• Ponto de intersecção com o eixo Oy : ( )( ), ,g = −
70 0 0
2
• ( )g xx
xx
= + = + = +− −−
11
11 11 32 2 2
223 23
33
c.a.
x xx
+ −− +6 7 3 2
11
6 4 2
• Equação da assimptota vertical: x = −3 .
• Equação da assimptota horizontal: y = 5
( )limxf x −
→+∞= 5 ; ( )lim
xf x +
→−∞= 5
( )limx
f x+→−
= −∞3
; ( )limx
f x−→−
= +∞3
• Equação da assimptota vertical: x = 23
.
• Equação da assimptota horizontal: y = 2
( )limxf x +
→+∞= 2 ; ( )lim
xf x −
→−∞= 2
( )limx
f x+
→
= +∞2
3
; ( )limx
f x−
→
= −∞2
3
Resumo Funções Manuela Soares Página 2/13
Igualdade de funções:
• Duas funções f e g são iguais ( )f g= se e só se têm o mesmo domínio e ( ) ( )f x g x=
Exemplos:
( )f x x= e ( ) x xg x
x
+=+
3
2
3
3.
fD = ℝ
:gD x x
= ∈ + ≠ =
2
Cond. Universal
3 0ℝ ℝ�����
( )x xx x
g xx
++= =+
23
2
33
3
( )x +2 3
( )x f x= = .
Como f gD D= e ( ) ( )f x g x= , as funções f e g são
iguais
( )f x x= + 2 e ( ) xg x
x
−=−
24
2.
fD = ℝ
{ } { }: \gD x x= ∈ − ≠ =2 0 2ℝ ℝ
f gD D≠ , pelo que as funções f e g não são iguais,
embora se tenha ( ) ( )f x g x= , pois,
( ) ( ) ( )x xxg x x
x x
− +−= = = +− −
2 2 242
2 2
Soma de funções:
f g f gD D D+ = ∩ e ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +
Exemplo:
• Considera as funções f e g , de domínios { }\ 4ℝ e { }\ ,−4 4ℝ , respectivamente, definidas por ( ) xf x
x
−=−5 1
4 e
( ) xg x
x
− −=−23 12
16.
{ }\ ,f g f gD D D+ = ∩ = −4 4ℝ
Tem-se que:
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )( )( )
x
f g x f x g x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
+
+ = + =
− − −= + =− −
+ − − − −= =− +
+ −= =− +
− +=
2
4
2
2
5 1 3 12
4 16
5 20 4 3 12
4 4
5 16 16
4 4
5 4 4( )( )x x− +4 4( )x
x
=
−=−
5 4
4
c.a.
x x
x
x
x x
x x
+ − = ⇔
− ± +⇔ = ⇔
− ±⇔ = ⇔
− − − +⇔ = ∨ = ⇔
⇔ = − ∨ =
25 16 16 0
16 256 320
10
16 24
10
16 24 16 24
10 10
44
5
( ) ( )( )x x x x x x + − = − + = − +
2 45 16 16 5 4 5 4 4
5
Diferença de funções:
f g f gD D D− = ∩ e ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = −
Exemplo:
• Considera as funções f e g , de domínios { }\ 0ℝ e ℝ , respectivamente, definidas por ( ) xf x
x
+= 2 1 e
( )g x x= − + 4 .
{ }\f g f gD D D− = ∩ = 0ℝ
Tem-se que:
( )( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x xf g x f x g x x x
x x x x
+ + + + − − +− = − = − − + = + − = =2 2
2 1 2 1 2 1 4 2 14 4
Resumo Funções Manuela Soares Página 3/13
Produto de funções:
f g f gD D D× = ∩ e ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x× = ×
Exemplo:
• Considera as funções f e g , de domínios { }\ −1ℝ e { }\ 3ℝ , respectivamente, definidas por ( ) x xf x
x
− +=+
25 6
1 e
( ) xg x
x
−=−
21
3.
{ }\ ,f g f gD D D− = ∩ = −1 3ℝ
Tem-se que:
( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( )
x x xx x xf g x f x g x
x x x x
x
− + −− + −× = × = × = =+ − + −
−=
2 22 2 5 6 15 6 1
1 3 1 3
3 ( )( ) ( )x x x− − +2 1 1
( )x +1 ( )x− − 3
( ) ( )x x x x x
x xx x
− − − − += = =− −
− += = − + −−
2
2
2
2 1 2 2
1 1
3 23 2
1
c.a.
x x
x x
x x x x
− + = ⇔
± − ±⇔ = ⇔ = ⇔
− +⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
25 6 0
5 25 24 5 1
2 2
5 1 5 12 3
2 2
( ) ( )x x x x− + = − −25 6 3 2
Quociente de funções:
( ){ }:f f g
g
D D D x g x= ∩ ∩ ∈ ≠ 0ℝ e ( ) ( )( )f xf
xg g x
=
Exemplo:
• Considera as funções f e g , de domínios { }\ 1ℝ e { }\ 1ℝ , respectivamente, definidas por ( ) xf x
x x
+=− +2
2
2 1 e
( ) xg x
x
−=−
24
1.
( ){ } { } { } { } { } { }: \ : \ \ , \ , ,f f g
g
D D D x g x x x= ∩ ∩ ∈ ≠ = ∩ ∈ − ≠ = ∩ − = −20 1 4 0 1 2 2 2 1 2ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ
Tem-se que:
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )
( )x
xf x x xf x xxg g x x x x x
x
+− ++ − − += = = = − − + −
−
2
2 2 2
222 12 1
4 2 1 4
1
x −1( )( )x − 21 ( ) ( )x x− +2 2 ( )( )x x x x
−= = −− − − +2
1 1
1 2 3 2
Composição de funções:
( ){ }:f g g fD D x g x D= ∩ ∈ ∈� ℝ e ( )( ) ( )( )f g x f g x=�
Exemplo:
• Considera as funções f e g , de domínios { }\ −3ℝ e { }\ 4ℝ , respectivamente, definidas por ( ) xf x
x
2=+ 3
e
( )g xx
= −−1
4.
( ){ } { }
{ }
: \ :
\ ,
f g g fD D x g x D x
x
= ∩ ∈ ∈ = ∩ ∈ − ≠ − = +
= −
14 3
4
1 4
� ℝ ℝ ℝ
ℝ
c.a.
x x
x x x x
− ≠ − ⇔ ≠ ⇔+ +
⇔ + ≠ ∧ ≠ ⇔ ≠ − ∧ ≠
1 13 3
4 4
3 4 1 4 1 4
Tem-se que:
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )
( )x
xf x x xf x xxg g x x x x x
x
+− ++ − − += = = = − − + −
−
2
2 2 2
222 12 1
4 2 1 4
1
x −1( )( )x − 21 ( ) ( )x x− +2 2 ( )( )x x x x
−= = −− − − +2
1 1
1 2 3 2
Resumo Funções Manuela Soares Página 4/13
Resolução de equações racionais:
As soluções de ( )( )N x
D x= 0 são os zeros de ( )N x , desde que pertençam ao domínio da expressão.
Exemplos:
( )x
x x x x xx x x x
x x x x
x
−
+ + + + − +• = − ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ∧ − ≠ ⇔ = ∧ ≠ ⇔− − − −
⇔ = =
2
3 3 3 2 2 1 11 1 0 0 0 2 1 0 2 0 2
2 2 2 2 2
1 1C.S.
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) Equação impossível
xx x
x x x x x x x x x
x x x x xx x x x
x x x x x
x
x
−
+ + + − − + − +• + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔− − −− −
⇔ − + = ∧ − ≠ ⇔ = ∧
−−
≠ ∧ ≠
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 21 1 0 0 0
2 2 22 2
2 0 2
2
0 2 0 2���������������
Resolução de inequações racionais:
Uma inequação racional resolve-se passando à forma ( )( ) ( )ou , ou , ou N x
D x< < > ≥0 e elaborando um quadro de sinal do
numerador e do denominador, começando por determinar os zeros de cada um deles.
Exemplos:
( ) ( )
( ) ( )
x
x x x x
x x
x x x x x x
x x
+
+ +• ≥ ⇔ − ≥ ⇔+ +
− − − − − + −⇔ ≥ ⇔ ≥+ +
20 12
2 2
1 10
12 20 12 20
20 12 12 7 120 0
20 12 20 12
c.a.
• x x x x− ± − − ±− + − = ⇔ = ⇔ = ⇔
− −2 7 49 48 7 17 12 0
2 2
x x x x− + − −⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
− −7 1 7 1
3 42 2
• ( )x x+ = ⇔ = −20 12 0 12
Quadro de sinal:
x −∞ −12 3 4 +∞
x x− + −27 12 − − − 0 + 0 −
( )x +20 12 − 0 + + + + +
( )Q x + ND − 0 + 0 −
] [ [ ]C.S. , ,= −∞ − ∪12 3 4
• Na figura está representada, em referencial o.n. xOy , parte do gráfico de uma função f , bem como
as duas assimptotas deste gráfico.
Tal como a figura sugere:
• o ponto de coordenadas ( ),5 0 pertence ao gráfico de f
• as rectas de equação x = 3 e y = −4 são assimptotas do gráfico de f .
Seja g a função, de domínio ℝ , definida por ( )g x x= − − 6 .
Tendo em conta o gráfico de f e a expressão analítica de g , resolver a inequação ( ) ( )f x g x× < 0
Quadro de sinal:
x −∞ −6 3 5 +∞
( )f x − − − ND + 0 −
( )g x + 0 − − − − −
( ) ( )f x g x× − 0 + ND − 0 +
] [ ] [C.S. , ,= −∞ − ∪6 3 5
Resumo Funções Manuela Soares Página 5/13
Assimptotas de algumas funções:
Considera a função g , de domínio, { }\ −1ℝ , definida por ( )g xx
= − ++4
21
.
Equações das assimptotas do gráfico de:
g →� x = −1 e y = −2
h� , sendo h definida por ( ) ( )h x g x= + 3
Ora, o gráfico de h é obtido através de um deslocamento horizontal de 3 unidades do gráfico de g , isto é, é obtido a
partir do gráfico de g por uma translação associada ao vector ( ),−3 0 .
As equações das assimptotas do gráfico de h são x x x− = − = − → = −
3
4 1 4 e y = 1 .
i� , sendo i definida por ( ) ( )i x g x= − +1 3
O gráfico de i é obtido a partir do gráfico de g por uma translação associada ao vector ( ),1 0 seguida de uma translação
associada ao vector ( ),0 3 .
As equações das assimptotas do gráfico de i são x x x+ = = − → =
1
0 1 0 e y y y+ = = − → =
3
1 2 1 .
j� , sendo j definida por ( ) ( )j x g x= − − 3 .
O gráfico de j é obtido a partir do gráfico de g por uma simetria axial de eixo Ox seguida de uma translação associada
ao vector ( ),−0 3 .
As equações das assimptotas do gráfico de j são x = −1 e y y y y− − = − = − → = → = −
3
1 2 2 1 .
k� , sendo k definida por ( ) ( )k x g x= − + 1 .
O gráfico de k é obtido a partir do gráfico de g por uma simetria axial de eixo Oy seguida de uma translação associada
ao vector ( ),0 1 .
As equações das assimptotas do gráfico de k são x x x− = = − → =
1 1 1 e y y y
+ = − = − → = −
1
1 2 1 .
l� , sendo l definida por ( ) ( )l x g x= − − +5 6 .
O gráfico de l é obtido a partir do gráfico de g por uma translação associada ao vector ( ),5 0 seguida de uma simetria
axial de eixo Ox e, por último, por uma translação associada ao vector ( ),0 6 .
As equações das assimptotas do gráfico de l são x x x x+ − = = − → = → = −
5
1 1 4 4 e y y y+ = = − → =
6
4 2 4 .
Resumo Funções Manuela Soares Página 6/13
Taxa média de variação
Dada uma função f , a taxa média de variação no intervalo [ ] ( ),a b a b< é dada por: [ ]( ) ( )
,a b
f b f atmv
b a
−=
−, ou seja, é igual
ao declive da recta definida pelos pontos de coordenadas ( )( ),a f a e ( )( ),b f b .
A taxa média de variação num intervalo mede a forma como a função varia entre os extremos desse intervalo:
• se for positiva, significa que a função cresce ao passar de um extremo do intervalo para o outro, embora a
função possa não ser sempre crescente.
• se for negativa, significa que a função decresce ao passar de um extremo do intervalo para o outro, embora
a função possa não ser sempre decrescente.
• se for nula, é porque são iguais os valores da função nos extremos do intervalo, mas nada ficamos a saber
do que acontece entre eles.
Taxa de variação ou derivada num ponto
Dada uma função f e a um ponto do seu domínio, a derivada de f no ponto de abcissa a á dada por:
( ) ( )limh
f a h f a
h→
+ −0
Nota: Quando temos uma função tempo/distância, a derivada dá-nos a velocidade.
DERIVADA
• Função afim: ( ) ( )'f x mx b f x m= + ⇒ =
A derivada de uma função afim é uma função constant e.
A derivada de uma função constante é 0 .
Determinar, pela definição, 'f
1
3 sendo ( )f x x= − +5 1
' lim
lim lim
h
h h
f h f
fh
hh
h h
→
→ →
+ − = =
− − − − − = = = −
0
0 0
1 1
1 3 3
3
2 25
53 35
c.a.
f h h h h + = − + + = − − + = − −
1 1 5 25 1 5 1 5
3 3 3 3
f = − × + = −
1 1 25 1
3 3 3
Exemplos: ( ) 'x− + = −2 3 2 ; ( ) 'x = 1 ; ( ) '− =5 0
Graficamente:
Tem-se que ( )'f x = 2 , pois o declive da recta, gráfico
de f , é 2 .
Tem-se que ( )'g x = −1 , pois o declive da recta, gráfico de
g , é −1 .
Resumo Funções Manuela Soares Página 7/13
• Função quadrática : ( ) ( )'g x ax bx c g x ax b= + + ⇒ = +22
A derivada de uma função quadrática é uma função af im.
Determinar, pela definição, ( )'g −2 sendo ( )g x x x= − − +23 5 1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
' lim lim
lim lim
lim
h h
h h
h
g h g h hg
h h
h hh h
h h
h
→ →
→ →
→
− + − − − + − − −− = = =
− +− += = =
= − + =
2
0 0
2
0 0
0
2 2 3 7 1 12
3 73 7
3 7 7
c.a. ( ) ( ) ( )g h h h− + = − − + − − + + =2
2 3 2 5 2 1
( )h h h
h h
= − − + + − + =
= − + −
2
2
3 4 4 10 5 1
3 7 1
( ) ( ) ( )g − = − − − − + =
= −
2
2 3 2 5 2 1
1
Graficamente: Se o gráfico da função é uma a parábola:
• com concavidade voltada para cima, o gráfico da sua
derivada é uma recta com declive positivo.
• com concavidade voltada para baixo, o gráfico da sua
derivada é uma recta com declive negativo.
Exemplos: ( ) 'x x x− + − = − +22 3 1 4 3 ;
'x
x
− =
22
53 3
; ( ) 'x x x+ = +25 7 2 5 7
• Função cúbica: ( ) ( )'h x ax bx cx d h x ax bx c= + + + ⇒ = + +3 2 23 2
A derivada de uma função cúbica é uma função quadrá tica.
Exemplos: ( ) 'x x x x x+ − + = + −3 2 25 3 1 15 6 1 ;
'x
x x
− = −
3
25 5
3; ( ) 'x x x+ = +3 2
5 7 15 7
• Função racional:
( ) ( )'a a
f x f xx x
= → = −2
. ( ) ( )( )
'a ab
f x f xbx c bx c
= → = −+ + 2
.
Exemplos:'
x x
= −
2
2 2;
( )
'
x x
− = + + 2
3 6
2 1 2 1
, ( ) ( )
' 'x
x x x x
= − = + = + + + +2 2
2 2 2 22 0
1 1 1 1
Determinar, pela definição ( )'i 1 , sendo ( ) xi x
x=
+2 1
c.a. ( ) ( )h
i hh
++ =+ +1
12 1 1
h
h
+=+1
2 3; ( )i = =
× +1 1
12 1 1 3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' lim lim
lim lim
h h
h h
h
i h i hi
h h
h
h h h
→ →
→ →
+ − += = =
= = =+ +
0 0
0 0
1 1 3 2 31
1 1
3 2 3 3 2 3 9
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )h
h h h hi h i
h h h+
+ + − −+ − = − = =+ + +2 3
3
1 1 3 3 2 31 1
2 3 3 3 2 3 3 2 3
Função módulo
( ) ( ) se '
se
xf x x f x
x
− <= → = >
1 0
1 0 .
Não existe derivada no ponto de abcissa 0 (porque o ponto de coordenadas ( ),0 0 é um ponto “em bico”).
Resumo Funções Manuela Soares Página 8/13
Recta tangente
A recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é a recta que passa no ponto ( )( ),a f a e tem como declive ( )'f a .
A equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é da forma ( )'y f a x b= + .
Exemplos:
• É dada abcissa do ponto de tangência
Considera a função f definida por ( )f x x x= − −23 3 1 . Determinar recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa −2 .
A recta r tem declive ( )'rm f= −2 e passa no ponto ( )( ),P f− −2 2 .
Ora, ( ) ( ) ( )f − = × − − × − − =2
2 3 2 3 2 1 17 , logo, P tem coordenadas ( ),−2 17
Como ( )'f x x= −6 3 , tem-se que ( ) ( )'f − = − − = −2 6 2 3 15 .
Logo, a equação da recta r é da forma y x b= − +15 , como P r∈ , tem-se ( ) b= − × − +17 15 2 , ou seja, b = −13 .
Portanto, a equação reduzida da recta r é y x= − −15 13 .
• É dada a ordenada do ponto de tangência
Considera a função g definida por ( )g xx
= + 23 . Determinar recta tangente ao gráfico de g no ponto de ordenada 5 .
Para descobrirmos a abcissa do ponto de tangência precisamos resolver a equação ( )g x = 5
Tem-se que, x
x x xa x x
− ++ = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ − + = ∧ ≠ ⇔ =2 2 2 23 5 2 0 0 2 2 0 0 1 .
Logo, o ponto de coordenadas ( ),1 5 é um ponto da recta tangente e ( )'g 1 o seu declive.
Ora, ( )'
'g xx x
= + = −
2
2 23 , pelo que ( )'g = −1 2
Logo, a equação reduzida da recta é da forma y x b= − +2 . Como o ponto ( ),1 5 pertence à recta vem que:
b b= − × + ⇔ =5 2 1 7 .
Portanto, a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de g no ponto de ordenada 5 é y x= − +2 7 .
• É dado o declive da recta tangente
Considera a função h definida por ( ) xh x x= +
3
22
2. Determinar os pontos do gráfico de h em que a recta tangente é
paralela à recta de equação y x= −31
2.
Para descobrirmos a abcissa do ponto de tangência precisamos resolver a equação ( )'h x = 32
.
Ora, ( )'
'x
h x x x x
= + = +
3
2 232 4
2 2, pelo que, ( )'h x x x x x= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔2 23 3 3
4 3 8 3 02 2 2
( )x x x
− ± − × × −⇔ = ⇔ = − ∨ =
×
28 8 4 3 3 1
32 3 3
.
Existem dois pontos do gráfico de h em que a recta tangente é paralela à recta de equação y x= −31
2, os pontos de
coordenadas ( )( ), ,h − = −
93 3 3
2 e , ,h =
1 1 1 13
3 3 3 54.
Se pedisse a equação da recta tangente bastava proceder como no exemplo “dada abcissa do ponto de tangência”.
Resumo Funções Manuela Soares Página 9/13
Derivada e monotonia
• Se uma função tem derivada positiva em todos os pontos de um intervalo é estritamente crescente nesse intervalo.
• Se uma função tem derivada negativa em todos os pontos de um intervalo é estritamente decrescente nesse intervalo.
• Se uma função tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo é constante nesse intervalo.
Exemplos:
• Considera a função 'f , derivada de f , representada graficamente.
A função f é decrescente nos intervalos ] ],−∞ − 2 e [ [,+ ∞3 , pois nestes
intervalos 'f é menor ou igual a zero.
A função f é crescente no intervalo [ ],−2 3 pois neste intervalo 'f é maior ou igual
a zero.
• Seja g uma função de domínio ℝ e tal que ( )'g xx
= −+21
1. Estudar a monotonia de g .
Como ( )'g x é sempre negativa (pois, x + >21 0 ), tem-se que g é decrescente em ℝ .
• Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. xOy , parte do gráfico h ,
função polinomial do 2.º grau.
Resolver a condição ( ) ( ). 'h x h x ≥ 0
x −∞ −2 0 2 +∞
( )h x − 0 + + + 0 −
( )'h x + + + 0 − − −
( ) ( ). 'h x h x − 0 + 0 − 0 +
[ ] [ [. . , ,C S = − ∪ + ∞2 0 2
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Extremos relativos
No referencial está representada uma função f de domínio [ ],x x0 5
.
Localização de máximos relativos Localização de mín imos relativos
• Se a derivada se anula passando de + para − . Na figura,
( )f x4
é máximo relativo
• Se não há derivada num ponto e o sinal das derivadas
laterais se anula passando de + para − . Na figura,
( )f x2
é máximo relativo.
• Se a derivada à direita do menor valor do domínio é
negativa. Na figura ( )f x0
é máximo relativo.
• Se a derivada à esquerda do maior valor do domínio é
positiva.
• Se a derivada se anula passando de − para + . Na figura,
( )f x1
e ( )f x3
são mínimos relativos.
• Se não há derivada num ponto e o sinal das derivadas
laterais se anula passando de − para + .
• Se a derivada à direita do menor valor do domínio é
positiva.
• Se a derivada à esquerda do maior valor do domínio é
negativa. Na figura ( )f x5
é mínimo relativo.
• Se uma dada função estiver definida num intervalo aberto, ] [,x x
0 1 não há máximos nem mínimos relativos, nos extremos
do intervalo.
Exemplos:
• Determinar os intervalos de monotonia e o os extremos relativos do gráfico de f , sendo f a função de domínio ℝ
definida por ( )f x x x= − +3 23 1 .
→ Determinar a expressão derivada de f : ( ) ( )''f x x x x x= − + = −3 2 2
3 1 3 6
→ Determinar os zeros da derivada: ( ) ( )'f x x x x x x x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ∨ =20 3 6 0 3 6 0 0 2
→ Construir um quadro de sinal de 'f e de variação de f :
x −∞ 0 2 +∞
'f + 0 − 0 +
f ր Max. ց Min. ր
→ Indicar intervalos de monotonia e extremos:
f é crescente no intervalo ] ],−∞ 0 e no intervalo [ [, + ∞2 .
f é decrescente no intervalo [ ],0 2
f tem um máximo relativo, ( )f =0 1 e tem um mínimo relativo, ( )f = −2 3 .
Resumo Funções Manuela Soares Página 11/13
• Na figura ao lado está representado o gráfico 'g .
Determinar os intervalos de monotonia e o os extremos relativos do gráfico de g .
x − 52
−2 3 9
2
'g 0 − 0 + 0 + nd
g Máx. ց Min. ր
g é decrescente no intervalo , − −
52
2
g é crescente no intervalo , −
922
.
g tem um máximo relativo , g −
5
2 e tem um mínimo relativo , ( )g −2 .
• Na figura está representado o gráfico da função i .
Resolver a condição ( ) ( ). 'i x i x+ <1 0
x −∞ −2 −1 0 1 +∞
( )i x +1 − − − 0 + + + + +
( )'i x 0 nd + + + + + nd 0
( ) ( ). 'i x i x+1 0 nd − 0 + 0 + nd 0 ] [. . ,C S = − −2 1
• Durante o ano de 2010 o preço de certa acção, na Bolsa, variou de acordo com a função
( )C x x x x= − + +3 215 48 65 , C - euros x - meses, [ ],x ∈ 0 12
Qual foi a melhor altura para comprar e para vender acções?
Ora, a melhor opção é comprar ao preço mínimo e vender no preço máximo.
Tem-se que ( ) ( )''C x x x x x x= − + + = − +3 2 2
15 48 65 3 30 48 .
( )'C x x x x x x±= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ∨ =2 30 324
0 3 30 48 0 2 86
x 0 2 6 12
'C + + 0 − 0 + +
C Min. ր Máx. ց Min. ր Máx.
Mínimos: ( )C =0 65 e ( )C =6 29 Máximos: ( )C =12 209 e ( )C =2 109 .
Então, ( )C =6 29 é mínimo absoluto e ( )C =12 209 é máximo absoluto.
Portanto, a melhor opção teria sido comprar em Junho e vender em Dezembro.
• Na figura, um rectângulo está inscrito no triângulo rectângulo isósceles cujos catetos medem cm20 .
Determinar as dimensões do rectângulo de área máxima
Tem-se que A x AD= × , x CD
CD x= ⇔ =20 20
e AD x= −20 , ] [,x ∈ 0 20 .
Logo, ( ) ( )A x x x x x= × − = − 220 20 . Ora, ( ) ( )'
'A x x x x= − = −220 20 2 , pelo que ( )'A x x= ⇔ =0 10
x 0 10 20
'A + 0 −
A ր Máx. ց
Para x = 10 tem-se que AD = 10 , pelo que a área é máxima
quando o rectângulo é um quadrado de lado 10 .
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Função inversa ( de uma função injectiva )
A função inversa de uma função f representa-se por f −1 .
• Os gráficos de f e f −1 são simétricos em relação à recta de equação y x= (bissectriz dos quadrantes ímpares).
Exemplos:
• ( ) ( )f f −= → =10 1 1 0
• ( ) ( )f f −− = − → − = −12 1 1 2
• ( ) ( )f f −− = − → − = −12 1 1 2
• ( ) ( )f f −= → =14 3 3 4
• ( )( ) ( )( ) ( )f f f f f− − −= = =1 1 144 3 4�
• ( )( )f f x x− =1 �
• Sabe-se que g é uma função ímpar e injectiva. Sendo ( )g = −1 2 , ( )g − =3 4 e ( )g =2 0 , então podemos dizer que:
( )g − = −14 3 ; ( )g − − =1
4 3 porque sendo g é ímpar ( )g = −3 4 e ( )( ) ( )g g g− − −= = −1 1 10 2 1 , porque ( )g − =1 2 .
Caracterizar, analiticamente, a função inversa de u ma função (injectiva) f • Determinar o domínio de f
• Resolver a equação ( )f x y= , em ordem a x , sendo x um valor do domínio de f
• Determinar o domínio de f −1
Função afim
Seja ( )f x x= − 325
• fD = ℝ
• ( )f x y x y x y x y= ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = −3 3 1 32 2
5 5 2 10
Substituímos a variável y por x , para representarmos a variável independente com a notação usual.
( )f x x− = −1 1 3
2 10
•
fD − =1 ℝ
:f
x x
− →
→ −
1
1 3
2 10
ℝ ℝ
Função racional
Seja ( ) xg x
x
−= 2
• { }\gD = 0ℝ
• Seja x ≠ 0 , tem-se ( ) xg x y y x xy xy x
x
−= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ⇔22 2
( )x y xy
⇔ = + ⇔ =+2
2 11
( )g xx
− =+
1 2
1
• { }\gD − = −1 1ℝ
Tem-se então: { } { }: \ \g
xx
− − →
→+
11 0
2
1
ℝ ℝ
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Funções irracionais Funções que têm uma variável no radicando Domínio de funções irracionais
Recorda que, por exemplo, 2
0 e −5 não representam números reais.
Determinar o domínio das seguintes funções:
Função Domínio Cálculos auxiliares
• ( )f x x= −1 5 { }: ,fD x x = ∈ − ≥ = −∞
11 5 0
5ℝ x x x x− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ≤ 11 5 0 5 1 5 1
5
• ( )g x x x= − + 3 { } [ [: ,gD x x x= ∈ ≥ ∧ + ≥ = + ∞0 3 0 0ℝ x x
x x
≥ ∧ + ≥ ⇔⇔ ≥ ∧ ≥ −
0 3 0
0 3
• ( ) xh x
x
−=−
1
3 9 [ [: ,h
xD x x
x
− = ∈ ≥ ∧ − ≠ = −
10 3 9 0 1 3
3 9ℝ
x x
x x
− = ⇔ =− = ⇔ =
1 0 1
3 9 0 3
i
i
x −∞ 1 3 +∞
x−1 + 0 − − −
x −3 9 − − − 0 +
( )Q x − 0 + nd −
• ( )i x x= −31 i
D = ℝ
• ( ) xj x
x=
−32
{ } { }: \hD x x= ∈ − ≠ =3
2 0 2ℝ ℝ x x x− = ⇔ − = ⇔ =32 0 2 0 2