Revisão de Vetores

Introdução à Álgebra LinearAula

Prof. Me. Hugo Santos Nunes

Instituto Federal de Alagoas - IFAL

2015

Prof. Me. Hugo Santos Nunes (Instituto Federal de Alagoas - IFAL) Introdução à Álgebra Linear 2015 1 / 15

VETORES

Dados dois pontos A e B, representamos o vetor−→AB da seguinte forma:

−→AB = B −A

Exemplo: Sejam A = (0, 1, 2) e B = (3, 2, 3), o vetor−→AB é:

−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).

Seja −→v = (a, b, c). A norma de um vetor −→v é o número não negativo que indica ocomprimento do vetor.

||−→v || =√a2 + b2 + c2.

Exemplo: Seja o vetor −→v = (3, 0,−2). A norma de −→v é:

||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.

Sejam dois vetores −→u e −→v . O Produto Interno desses dois vetores é o escalar −→u · −→v dadopor:

−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.

Se −→u · −→v = 0, então os vetores −→u e −→v são ortogonais (perpendiculares).A expressão cartesiana do produto interno é dada por:

−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A

= (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2)

= (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2

=√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.

Se −→u · −→v = 0, então os vetores −→u e −→v são ortogonais (perpendiculares).

A expressão cartesiana do produto interno é dada por:−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES


−→AB = B −A


−→AB = B −A = (3, 2, 3)− (0, 1, 2) = (3, 1, 1).


||−→v || =√a2 + b2 + c2.


||−→v || =√

32 + 02 + (−2)2 =√13.


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ.


−→u · −→v = x1x2 + y1y2 + z1z2.


VETORES

O ângulo entre dois vetores −→u e −→v é dado por:

cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.

A projeção vetorial entre dois vetores −→u e −→v é dado por:

proj−→u−→v =

−→u · −→v||−→u ||2

· −→u

Dados dois vetores −→u e −→v no espaço, o produto vetorial de −→u por −→v , que denotaremos por−→u ×−→v é dado da seguinte forma: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Podemos escrever o produto vetorial da seguinte forma:

−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .

O produto vetorial é o vetor −→u ×−→v que é ortogonal aos vetores −→u e −→v .


VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u


−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2


−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u


−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2


−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u


−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2


−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u


−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2


−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u

Dados dois vetores −→u e −→v no espaço, o produto vetorial de −→u por −→v , que denotaremos por−→u ×−→v é dado da seguinte forma:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2


−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u


−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

Podemos escrever o produto vetorial da seguinte forma:

−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u


−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2


−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u


−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2


−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



VETORES


cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

.



−→u · −→v||−→u ||2

· −→u


−→i−→j−→k

x1 y1 z1

x2 y2 z2


−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)−→i + (x2z1 − x1z2)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .



Exemplo: Dados −→u = 3−→i +−→j e −→v = 2

−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:

a) −→u · −→vb) ||−→u ||c) ||−→v ||d) O ângulo entre os vetores

Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3

d) Substituindo os valores obtidos acima:

−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10

⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12

⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o



−→i + 2

−→j − 2

−→k , obter:


Solução:

a) −→u · −→v = 3 · 2 + 1 · 2 + 0 · (−2) = 8

b) ||−→u ||2 = 32 + 12 + 02 = 10⇒ ||−→u || =√10

c) ||−→v ||2 = 22 + 22 + (−2)2 = 12⇒ ||−→v || = 2√3


−→u · −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ

8 =√10(2√3) cos θ

cos θ =4√30

θ = arccos4√30

θ = ∼= 43o


Exemplo: Sendo −→u = (2,−1, 1) e −→v = (1, 1,−2), calcular −→u ×−→v .

Solução:

Colocamos os vetores no determinante: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Usamos a regra de Sarrus: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:


−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2


−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:

Colocamos os vetores no determinante:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2


−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:


−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Usamos a regra de Sarrus: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:


−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Usamos a regra de Sarrus:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:


−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2


−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:


−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2


−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:


−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2


−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:


−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2


−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)



Solução:


−→i−→j

−→k

2 −1 1

1 1 −2


−→i−→j

−→k | −→i −→

j

2 −1 1 | 2 −1

1 1 −2 | 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Assim:

det = (−2 · −1 · −→i ) + (1 · 1 · −→j ) + (2 · 1 ·−→k )− (−1 · 1 ·

−→k )− (1 · 1 · −→i )− (−2 · 2 · −→j )

det = 2−→i +−→j + 2

−→k +−→k −−→i + 4

−→j

det =−→i + 5

−→j + 3

−→k

det = (1, 5, 3)


EQUAÇÕES DA RETAS

Dados dois pontos A e B, podemos determinar a equação da reta r que passa por estesdois pontos.Para isso, devemos achar o vetor −→v =

−→AB e substituir na fórmula:

X = A+−→v t.

Essa fórmula é chamada de equação vetorial da reta.

Exemplo 1: Encontre as equações da reta que passa pelos pontos A = (0, 1, 1) eB = (1, 3, 0).

Solução: Temos −→v = (1, 2,−1) como vetor diretor e A como ponto inicial, daí obtemos aequação vetorial:

r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t

Quando expandimos a equação vetorial, achamos as equações paramétricas.Usando o exemplo acima, temos:

x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS

Dados dois pontos A e B, podemos determinar a equação da reta r que passa por estesdois pontos.

Para isso, devemos achar o vetor −→v =−→AB e substituir na fórmula:

X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t

(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t

Quando expandimos a equação vetorial, achamos as equações paramétricas.

Usando o exemplo acima, temos: x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS



X = A+−→v t.




r : X = A+−→v t(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 2,−1)t


x = t

y = 1 + 2t

z = 1 − t


EQUAÇÕES DA RETAS

Outra forma de representar a reta r pode ser obtida ao isolarmos o parâmetro t nasequações paramétricas.Se tivermos v1 6= 0, v2 6= 0 e v3 6= 0, podemos eliminar o parâmetro t e obter

x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,

chamadas de equações da reta r na forma simétrica.Usando o exemplo acima, temos:

x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t

Logo, a equação simétrica é:x

1=y − 1

2=z − 1

−1.

A equação geral da reta é dada por:

ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS

Outra forma de representar a reta r pode ser obtida ao isolarmos o parâmetro t nasequações paramétricas.

Se tivermos v1 6= 0, v2 6= 0 e v3 6= 0, podemos eliminar o parâmetro t e obter

x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,

chamadas de equações da reta r na forma simétrica.

Usando o exemplo acima, temos:

x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t

Logo, a equação simétrica é:

x

1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DA RETAS


x− av1

=y − bv2

=z − cv3

,


x = t⇒x

1= t

y = 1 + 2t⇒ y − 1 = 2t⇒y − 1

2= t

z = 1 − t⇒ z − 1 = −t⇒z − 1

−1= t


1=y − 1

2=z − 1

−1.


ax+ by + c = 0.


EQUAÇÕES DO PLANO

Dados três pontos P0, P1 e P2 não colineares existe um único plano π passando por essespontos.

Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.

Podemos escrever o vetor−−→P0P como combinação linear de −→u e −→v , ou seja:

−−→P0P = −→u s+−→v t.

Essa equação é chamada de equação vetorial do plano.

Escrevendo P = (x, y, z), P0 = (x0, y0, z0), −→u = (u1, u2, u3) e −→v = (v1, v2, v3) obtemos:

x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,

encontrando assim equações paramétricas do plano.


EQUAÇÕES DO PLANO


Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.


−−→P0P = −→u s+−→v t.



x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,



EQUAÇÕES DO PLANO


Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.


−−→P0P = −→u s+−→v t.



x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,



EQUAÇÕES DO PLANO


Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.


−−→P0P = −→u s+−→v t.



x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,



EQUAÇÕES DO PLANO


Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.


−−→P0P = −→u s+−→v t.



x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,



EQUAÇÕES DO PLANO


Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.


−−→P0P = −→u s+−→v t.



x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,



EQUAÇÕES DO PLANO


Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.


−−→P0P = −→u s+−→v t.



x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,



EQUAÇÕES DO PLANO


Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.


−−→P0P = −→u s+−→v t.



x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,



EQUAÇÕES DO PLANO


Tome −→u =−−−→P0P1 e −→v =

−−−→P0P2.


−−→P0P = −→u s+−→v t.



x = x0 + u1s+ v1t

y = y0 + u2s+ v2t

z = z0 + u3s+ v3t,



Exemplo 1: Encontre as equações vetorial e paramétricas do plano π determinado pelos pontosP0 = (1, 0, 1), P1 = (−1, 2, 3) e P2 : (3, 1, 0).

Solução: Definindo −→u =−−−→P0P1 = (−2, 2, 2) e −→v =

−−−→P0P2 = (2, 1, 1) a equação vetorial de π fica

π : P = (1, 0, 1) + (−2, 2, 2)s+ (2, 1,−1)t.

A forma paramétrica é encontrada ao olharmos coordenada por coordenada, ou seja,

x = 1− 2s+ 2t

y = 2s+ t

z = 1 + 2s− t.





π : P = (1, 0, 1) + (−2, 2, 2)s+ (2, 1,−1)t.


x = 1− 2s+ 2t

y = 2s+ t

z = 1 + 2s− t.





π : P = (1, 0, 1) + (−2, 2, 2)s+ (2, 1,−1)t.


x = 1− 2s+ 2t

y = 2s+ t

z = 1 + 2s− t.





π : P = (1, 0, 1) + (−2, 2, 2)s+ (2, 1,−1)t.


x = 1− 2s+ 2t

y = 2s+ t

z = 1 + 2s− t.





π : P = (1, 0, 1) + (−2, 2, 2)s+ (2, 1,−1)t.


x = 1− 2s+ 2t

y = 2s+ t

z = 1 + 2s− t.


EQUAÇÕES DO PLANO

Para encontrarmos a equação geral do plano, precisamos apenas de um ponto que pertençaa esse plano e o vetor normal à esse plano.Lembrando que o vetor normal −→n = (a, b, c) ao plano é o vetor ortogonal à esse plano.A equação ax+ by + cz = d é chamada de equação geral do plano.

Exemplo: Encontre a equação geral do plano passando pelos pontos A = (2, 1, 0), B = (3, 3, 2) eC = (1, 2, 4).

Solução: Como−→AB e

−→AC são paralelos ao plano que queremos, um possível vetor normal a esse

plano é dado por −→n =−→AB ×

−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).

Segue daí que a equação geral do plano é da forma 6x− 6y + 3z = d.

Para determinar d basta notar que o ponto A = (2, 1, 0) pertence ao plano, e logo deve satisfazeresta equação.

Assim obtemos6 · 2− 6 · 1 + 3 · 0 = d ⇒ 6x− 6y + 3z = 6.


EQUAÇÕES DO PLANO

Para encontrarmos a equação geral do plano, precisamos apenas de um ponto que pertençaa esse plano e o vetor normal à esse plano.

Lembrando que o vetor normal −→n = (a, b, c) ao plano é o vetor ortogonal à esse plano.A equação ax+ by + cz = d é chamada de equação geral do plano.





−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO

Para encontrarmos a equação geral do plano, precisamos apenas de um ponto que pertençaa esse plano e o vetor normal à esse plano.Lembrando que o vetor normal −→n = (a, b, c) ao plano é o vetor ortogonal à esse plano.

A equação ax+ by + cz = d é chamada de equação geral do plano.





−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Logo, −→n =−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).



Assim obtemos6 · 2− 6 · 1 + 3 · 0 = d

⇒ 6x− 6y + 3z = 6.


EQUAÇÕES DO PLANO






−→AC.

Calculando, temos:

−→AB ×

−→AC =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 2

−1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Logo, −→n =

−→AB ×

−→AC = (6,−6, 2).





ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS

O ângulo entre duas retas é definido como o ângulo entre seus vetores diretores.Assim se r : A+−→v t e s : B +−→u t então o ângulo θ entre r e s será tal que:

cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||

)Exemplo: Encontre o ângulo entre as reta r : X = (1, 2, 1) + (1, 1, 0)t e

s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).

Solução: A reta r tem vetor diretor (1, 1, 0) e a reta s tem vetor direto ( 12, 12, 1√

2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o



O ângulo entre duas retas é definido como o ângulo entre seus vetores diretores.

Assim se r : A+−→v t e s : B +−→u t então o ângulo θ entre r e s será tal que:

cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||

)

Exemplo: Encontre o ângulo entre as reta r : X = (1, 2, 1) + (1, 1, 0)t e

s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2

cos θ =1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o




cos θ =−→u · −→v||−→u || ||−→v ||

⇒ θ = arccos

( −→u · −→v||−→u || ||−→v ||


s :x− 2

(1/2)=y + 3

(1/2)=

z + 7

(1/√2).


2).

E assim:

cos θ =(1, 1, 0) · ( 1

2, 12, 1√

2)

||(1, 1, 0)|| ||( 12, 12, 1√

2)||

cos θ =1 · 1

2+ 1 · 1

2+ 0 · 1√

2

√12 + 12 + 02

√(12

)2+(12

)2+(

1√2

)2cos θ =

1√2

cos θ =

√2

2⇒ θ = 45o


ÂNGULO ENTRE UMA RETA E UM PLANO

O ângulo θ entre uma reta r e um plano π é definido como:

sin(θ) =|−→v · −→n |||−→v || ||−→n ||

.

Exemplo: Determine o ângulo entre a reta X = (6, 7, 0) + (1, 1, 0)t e o plano de equação vetorialπ = (8,−4, 2) + (−1, 0, 2)t+ (1,−2, 0)s.

Solução: Vamos encontrar inicialmente um vetor normal a esse plano:

−→n = (−1, 0, 2)× (1,−2, 0) = (4, 2, 2).

Logo o angulo entre a reta e o plano é dado por:

sin(θ) =(1, 1, 0) · (4, 2, 2)√2√24

=

√3

2= 60o.




sin(θ) =|−→v · −→n |||−→v || ||−→n ||

.



−→n = (−1, 0, 2)× (1,−2, 0) = (4, 2, 2).


sin(θ) =(1, 1, 0) · (4, 2, 2)√2√24

=

√3

2= 60o.




sin(θ) =|−→v · −→n |||−→v || ||−→n ||

.



−→n = (−1, 0, 2)× (1,−2, 0) = (4, 2, 2).


sin(θ) =(1, 1, 0) · (4, 2, 2)√2√24

=

√3

2= 60o.




sin(θ) =|−→v · −→n |||−→v || ||−→n ||

.



−→n = (−1, 0, 2)× (1,−2, 0) = (4, 2, 2).


sin(θ) =(1, 1, 0) · (4, 2, 2)√2√24

=

√3

2= 60o.




sin(θ) =|−→v · −→n |||−→v || ||−→n ||

.



−→n = (−1, 0, 2)× (1,−2, 0) = (4, 2, 2).


sin(θ) =(1, 1, 0) · (4, 2, 2)√2√24

=

√3

2= 60o.




sin(θ) =|−→v · −→n |||−→v || ||−→n ||

.



−→n = (−1, 0, 2)× (1,−2, 0) = (4, 2, 2).


sin(θ) =(1, 1, 0) · (4, 2, 2)√2√24

=

√3

2= 60o.




sin(θ) =|−→v · −→n |||−→v || ||−→n ||

.



−→n = (−1, 0, 2)× (1,−2, 0) = (4, 2, 2).


sin(θ) =(1, 1, 0) · (4, 2, 2)√2√24

=

√3

2= 60o.


ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS

O ângulo entre dois planos π1 e π2 é definido como:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.

Exemplo: Determinar o ângulo entre os planos π1 = 2x+ y − z + 30 e π2 = x+ y − 4 = 0.

Solução: Sendo −→n 1 = (2, 1,−1) e −→n 2 = (1, 1, 0) os vetores normais a π1 e π2.

Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2

⇒ θ = 30o




cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

.



Assim:

cos(θ) =|−→n 1 · −→n 2|||−→n 1|| ||−→n 2||

cos(θ) =|(2, 1,−1) · (1, 1, 0)|√

22 + 12 + (−1)2√12 + 12 + 02

cos(θ) =|2 + 1 + 0|√6√2

cos(θ) =3√12

cos(θ) =3

2√3

cos(θ) =

√3

2⇒ θ = 30o


DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO A UMA RETA

A distância entre um ponto P e uma reta r é definida como:

d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||.

Temos que −→v é o vetor diretor da reta.

Exemplo: Calcular a distância do ponto P = (2, 1, 4) à reta

r :

x = −1 + 2t

y = 2 − t

z = 3 − 2t

Solução: A reta r passa pelo ponto A = (−1, 2, 3) e tem direção do vetor −→v = (2,−1,−2).

Seja ainda o vetor−→AP = P −A = (3,−1, 1), calculemos:

−→v ×AP =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

2 −1 −2

3 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−3,−8, 1).




d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||.



r :

x = −1 + 2t

y = 2 − t

z = 3 − 2t



−→v ×AP =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

2 −1 −2

3 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−3,−8, 1).




d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||.



r :

x = −1 + 2t

y = 2 − t

z = 3 − 2t



−→v ×AP =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

2 −1 −2

3 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−3,−8, 1).




d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||.



r :

x = −1 + 2t

y = 2 − t

z = 3 − 2t



−→v ×AP =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

2 −1 −2

3 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−3,−8, 1).




d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||.



r :

x = −1 + 2t

y = 2 − t

z = 3 − 2t



−→v ×AP =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

2 −1 −2

3 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−3,−8, 1).




d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||.



r :

x = −1 + 2t

y = 2 − t

z = 3 − 2t



−→v ×AP =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

2 −1 −2

3 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−3,−8, 1).


Assim:

d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||

d(P, r) =||(−3,−8, 1)||||(2,−1,−2)||

d(P, r) =

√(−3)2 + (−8)2 + 12√22 + (−1)2 + (−2)2

d(P, r) =

√74

3


Assim:

d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||

d(P, r) =||(−3,−8, 1)||||(2,−1,−2)||

d(P, r) =

√(−3)2 + (−8)2 + 12√22 + (−1)2 + (−2)2

d(P, r) =

√74

3


Assim:

d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||

d(P, r) =||(−3,−8, 1)||||(2,−1,−2)||

d(P, r) =

√(−3)2 + (−8)2 + 12√22 + (−1)2 + (−2)2

d(P, r) =

√74

3


Assim:

d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||

d(P, r) =||(−3,−8, 1)||||(2,−1,−2)||

d(P, r) =

√(−3)2 + (−8)2 + 12√22 + (−1)2 + (−2)2

d(P, r) =

√74

3


Assim:

d(P, r) =||−→v ×

−→AP ||

||−→v ||

d(P, r) =||(−3,−8, 1)||||(2,−1,−2)||

d(P, r) =

√(−3)2 + (−8)2 + 12√22 + (−1)2 + (−2)2

d(P, r) =

√74

3


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