Verhóczki László

Riemann-geometria

el®adásjegyzet

ELTE TTK Matematikai IntézetGeometriai Tanszék

A jegyzetben használt jelölések a sokaságokkal kapcsolatosan

ui : Rm → R � a természetes i-edik koordináta-függvény az Rm téren.M, N,B � di�erenciálható sokaságok.F(M) � az M sokaságon vett sima függvények gy¶r¶je.v(f) � a sokaságon vett f függvénynek a v érint®vektor szerinti iránymenti deriváltja.TpM � az M sokaság érint®tere a p pontban.(U, ξ) � egy térkép a sokaságon az U térképtartománnyal és a ξ térképezéssel.xi = ui ◦ ξ : U → R � a ξ térképezés i-edik koordináta-függvénye.

Xi =∂

∂xi� a ξ térképezéshez tartozó i-edik alapvektormez® az U térképtartományon.

X(M) � az M sokaságon vett vektormez®k tere.Y (f) � az f ∈ F(M) függvénynek az Y ∈ X(M) vektormez® szerinti deriváltja.[Y, Z] � az Y, Z vektormez®k Lie-zárójele.TM � az M sokaság érint®nyalábja.µ : M → N � di�erenciálható leképezés.Tµ : TM → TN � a µ sima leképezés érint® leképezése (más szóval derivált leképezése).I � az R számegyenes egy nyílt intervalluma.u : I → I � identikus leképezés, azaz a természetes térképezés az I ⊂ R intervallumon,mint sokaságon.d

du(t) � az u térképezés alapvektora a t ∈ I helyen

( ddu

(t) ∈ TtI,d

du(t)(f) = f ′(t)

).

σ : I →M � sima görbe az M sokaságon.

σ(t) = Tσ( ddu

(t))

� σ görbe érint®vektora a t ∈ I helyen(σ(t)(f) = (f ◦ σ)′(t)

).

1) Lineáris konnexiók vektornyalábokon

A �brált nyaláb

1.1. De�níció. Legyenek E, B, F di�erenciálható sokaságok és π : E → B egy simaleképezés. Az (E, π,B, F ) négyest egy �brált nyalábnak mondjuk, ha teljesül az alábbifeltétel:Tetsz®leges p ∈ B pontnak van olyan U nyílt környezete B-ben és az E�beli π−1(U) nyílthalmazon van olyan ϕ : π−1(U)→ F sima leképezés, hogy aπ × ϕ : π−1(U) → U × F leképezés, ahol fennáll π × ϕ(w) = (π(w), ϕ(w)) tetsz®legesw ∈ π−1(U) esetén, egy di�eomor�zmus.

Az E sokaságot totáltérnek, a B sokaságot bázistérnek, az F sokaságot �brumtípusnaknevezzük. A π sima leképezést (amely egy szubmerzió) a �brált nyaláb projekciójánakhívjuk.

Megjegyzés. Magát az E totálteret is szokás �brált nyalábnak nevezni. A de�nícióbanszerepl® π × ϕ leképezést a nyaláb egy lokális trivializálásának mondjuk. Emellett az(π−1(U), π × ϕ) párra szokás használni a nyalábtérkép elnevezést is.

Világos, hogy tetsz®leges p ∈ B esetén a π−1(p) részsokaság di�eomorf a �brumtípustadó F sokasággal, hiszen a ϕ|π−1(p) : π−1(p) → F lesz¶kített leképezés egy di�eomor�z-nus. Emiatt a π−1(p) = Fp részsokaságot a nyaláb p ∈ B ponthoz tartozó �brumánakmondjuk.

Megjegyzés. Tekintsük a π × ϕ : π−1(U)→ U × F di�eomor�zmus ψ : U × F → π−1(U)inverz-leképezését. Ezt is szokás a nyaláb lokális trivializálásának nevezni. Célszer¶ mégmegjegyezni, hogy tetsz®leges (p, f) ∈ U × F esetén fennáll π ◦ ψ(p, f) = p.

1.2. De�níció. Legyen adott egy (E, π,B, F ) �brált nyaláb. Vegyünk olyan B-beli Uαnyílt halmazokat, melyekhez megadhatóak (π−1(Uα), π×ϕα) nyalábtérképek. Amennyibenfennáll az ∪α∈AUα = B összefüggés, akkor ezen nyalábtérképekr®l azt mondjuk, hogyegyüttesen egy nyalábatlaszt alkotnak.

1.3. De�níció. Az (E, π,B, F ) �brált nyaláb szelésén egy olyan Z : B → E simaleképezést értünk, amelyre fennáll π ◦ Z = idB.

A vektornyaláb fogalma

1.4. De�níció. Legyen adott egy (E, π,B, F ) �brált nyaláb. Ezt vektornyalábnak mond-juk, ha az F �brumtípus egy valós vektortér és a nyaláb �brumai is valós vektorterek,továbbá teljesül az alábbi feltétel:A bázistér tetsz®leges pontjának van olyan U nyílt környezete B-ben és a π−1(U) nyílthalmazon van olyan (π−1(U), π × ϕ) nyalábtérkép, hogy bármely p ∈ U esetén a ϕ simaleképezésnek az Fp = π−1(p) �brumra vett lesz¶kítése egy lineáris izomor�zmust ad az Fpés F vektorterek között.

Megjegyzés. A vektornyalábra vonatkozó kézenfekv® példa az úgynevezett triviális nya-láb. Legyen adott egy B sokaság és egy F vektortér. Vegyük az E = B×F szorzatsokasá-got, melynek a {p}×F részsokaságain természetes módon adódik egy vektortér-struktúra.Ekkor a π : B × F → B természetes projekcióval az (E, π,B, F ) vektornyalábot kapjuk.

1

1.5. De�níció. Legyen adott egy (E, π,B, F ) vektornyaláb. Ezt trivializálhatónak (illetveparallelizálhatónak) mondjuk, ha meg lehet adni a nyalábnak olyan Z1, . . . , Zr : B → Eszeléseit, hogy bármely p ∈ B pont esetén a Z1(p), . . . , Zr(p) vektorok egy bázisát képezikaz Fp vektortérnek.

Megjegyzés. Tegyük fel, hogy az (E, π,B, F ) vektornyaláb trivializálható (vagy másszóval parallelizálható). Jelölje r az F �brumtípus dimenzióját. (Eszerint az F vektortérizomorf az Rr térrel.) Vegyük a fenti de�níciónak megfelel® Z1, . . . , Zr : B → E szeléseketés az F vektortér egy e1, . . . , er bázisát.

Tekintsük most azt a ϕ : E → F leképezést, melyet az alábbiak szerint értelmezünk.Tetsz®leges w ∈ E vektorhoz vegyük azon bα (α = 1, . . . , r) számokat, melyekkel fennálla w =

∑rα=1 b

α Zα(π(w)) egyenl®ség. A totáltér w elemének a ϕ szerinti képe legyenϕ(w) =

∑rα=1 b

α eα. Világos, hogy ekkor a π × ϕ : E → B × F leképezés egy teljestérképezést ad a nyalábon.

A sokaság érint®nyalábja, mint vektornyaláb

Korábbi tanulmányokból már ismeretes, hogy di�erenciálható sokaságot kaphatunk azalábbi Állításban leírt konstrukció alkalmazásával.1.1. Állítás. Legyen adva egy M halmaz és olyan { (Uα, ξα) | α ∈ A } párok rendszere,ahol bármely α ∈ A mellett Uα ⊂ M és ξα : Uα → Rm egy injektív leképezés, továbbáigazak a következ®k:(1) ∪α∈AUα = M .(2) Tetsz®leges α, β ∈ A esetén a ξα(Uα ∩ Uβ) halmaz nyílt Rm-ben, és aξβ ◦ ξ−1

α : ξα(Uα ∩ Uβ) ⊂ Rm → Rm leképezés C∞-osztályú, amennyiben Uα ∩ Uβ 6= ∅.(3) Az A indexhalmaz megszámlálható.(4) Bármely p, q ∈ M elemekhez vagy létezik olyan α ∈ A, hogy p, q ∈ Uα, vagy pedigvannak olyan α, β indexek, hogy fennáll p ∈ Uα, q ∈ Uβ és Uα ∩ Uβ = ∅.

Ekkor az M egyértelm¶en tehet® di�erenciálható sokasággá oly módon, hogy az adott(Uα, ξα) párok mindegyike a di�erenciálható struktúrát meghatározó teljes atlasznak egytérképe.Bizonyítás.Tetsz®leges α ∈ A indexnél a ξα : Uα → Rm injektív leképezésnek egy homeomor�zmustkell adnia az M -beli Uα nyílt halmaz és az Rm-beli ξα(Uα) nyílt halmaz között. Ez afeltétel már egyértelm¶en meghatározza az M -beli topológiát, amelynél egy V halmaznyílt M -ben pontosan akkor, ha ξα(Uα ∩ V ) nyílt Rm-ben bármely α ∈ A mellett.

A feltételek következtében M egy lokálisan euklideszi tér ezzel a topológiával, konk-rétan az M egy m-dimenziós topologikus sokaság. Az (Uα, ξα) párok az M topologikussokaság térképei, és a (2) feltétel miatt a térképek C∞-kompatibilisek. Ily módon egyér-telm¶en meghatároznak egy di�erenciálható struktúrát.

A (3) feltétel miatt az M topologikus tér megszámlálható bázisú, és a (4) feltételkövetkeztében egy Hausdor�-tér. �

Legyen adott egy M sima sokaság, amelynek dimenziója m. Tekintsük a sokaság pontjai-ban értelmezett diszjunkt érint®terek TM = ∪p∈MTpM unióját. Legyen π : TM →M aza leképezés, amelyre bármely p ∈M pont és v ∈ TpM érint®vektor esetén fennáll π(v) = p.

2

Vegyük egy (U, ξ) térképét azM sokaságnak. A ξ térképezés koordinát-függvényeire azxi = ui ◦ ξ jelölést alkalmazzuk. Vezessük be a TU = ∪p∈UTpM jelölést. Eszerint TU egyrészhalmaza TM -nek. A ξ-hez rendeljük hozzá azt a ξ : TU → R2m injektív leképezést,amelyre bármely w ∈ TU esetében fennállξ(w) = (x1 ◦ π(w), . . . , xm ◦ π(w), dx1(w), . . . , dxm(w)).

Közvetlen számolással ellen®rizhet®, hogy amennyiben az M -nek egy másik (V, η) tér-képét vesszük és U ∩V 6= ∅, akkor a ξ(TU ∩TV ) = ξ(U ∩V )×Rm halmaz nyílt R2m-ben,továbbá a η ◦ ξ−1 : ξ(TU ∩ TV )→ R2m leképezés C∞-osztályú.

1.6. De�níció. Legyen { (Uα, ξα) | α ∈ A } az M térképeib®l álló olyan atlasz, aholaz A indexhalmaz megszámlálható. Az ebb®l nyert { (TUα, ξα) | α ∈ A } párok rend-szere egyértelm¶en meghatároz egy topológiát és egy di�erenciálható struktúrát az Mérint®vektorainak TM halmazán. Ezt a TM di�erenciálható sokaságot az M sokaságérint®nyalábjának mondjuk.

A TM érint®nyalábbal kapcsolatosan megmutatjuk, hogy a (TM, π,M,Rm) négyesegy vektornyalábot ad.

Legyen (U, ξ) egy térképe az M sokaságnak. Tekintsük most azt a ϕ : TU → Rm

leképezést, amelyre teljesül ϕ(w) = (dx1(w), . . . , dxm(w)) tetsz®leges w ∈ TU�ra. Haveszünk egy p ∈ U pontot és ϕ�nek a TpM�re való lesz¶kítését, akkor nyilván fennállϕ(∑m

i=1 ai ∂∂xi

(p))

= (a1, . . . , am) bármely ai valós számokra. Ily módon a ϕ leképezésneka �brumokra (azaz a pontbeli érint®terekre) vett lesz¶kítései lineáris izomor�zmusok.

Megjegyzés. A továbbiakban, amikor a TM érint®nyalábról szólunk, azon egy vektor-nyalábot értünk. A TM érint®nyalábon a fentiek során értelmezett (TU, ξ) térképeketfogjuk használni, melyeket az M sokaság (U, ξ) térképei alapján értelmeztünk. Mint is-meretes, ha a ξ térképezés koordinát-függvényei xi = ui ◦ ξ (i = 1, . . . ,m), akkor azérint®nyalábon vett ξ térképezés xl = ul ◦ ξ (l = 1, . . . , 2m) koordináta-függvényeire fenn-áll xi = xi ◦ π, xm+i = dxi (i = 1, . . . ,m).

Megjegyzés. Világos, hogy ha az M sokaságon veszünk egy Z ∈ X(M) vektormez®t,akkor az egy szelését adja a TM érint®nyalábnak.

Megjegyzés. Könny¶ belátni, hogy ha az M sokaság nem irányítható, akkor a TMérint®nyaláb nem lehet trivializálható.

Megjegyzés. Tekintsük az S2 szférát, mint az R3 tér egy részsokaságát. Mint ismeretes,az S2 irányítható, de ezen a szférán nem adható meg olyan sima érint®leges vektormez®,amely sehol sem t¶nik el. Ennek következtében az S2 szféra TS2 érint®nyalábja semtrivializálható.

3

További fogalmak vektornyalábokra

Legyen adott egy (E, π,B, F ) vektornyaláb. Vegyük a nyaláb Y, Z : B → E szeléseit ésegy f ∈ F(B) függvényt. Mivel a nyaláb �brumai vektorterek ezért értelmezni lehet azY + Z és fY szeléseket, melyekre fennáll (Y + Z)(p) = Y (p) + Z(p) és (fY )(p) = f(p)tetsz®leges p ∈ B pontra.

Világos, hogy a vektornyaláb szelései egy modulust alkotnak a bázistéren vett simafüggvények F(B) gy¶r¶je felett, továbbá egy vektorteret az R számtest felett. A további-akban a vektornyaláb szeléseinek terét (illetve modulusát) C(E) fogja jelölni.

Megjegyzés. Az F(B) gy¶r¶ feletti C(E) modulusnak pontosan akkor van bázisa, ha azE vektornyaláb trivializálható.

1.7. De�níció. Legyen U a B bázistér egy nyílt részhalmaza. A vektornyalábnak azU nyílt részhalmazon vett lokális szelésén egy olyan Z : U → E sima leképezést értünk,amelyre teljesül π ◦ Z = idU .

1.8. De�níció. Legyen U egy nyílt részhalmaz a B bázistérben. EkkorEU = {w ∈ E | π(w) ∈ U } = π−1(U) egy nyílt részhalmaza E�nek. Vegyük a lesz¶kí-téssel nyert π|EU : EU → U sima leképezést, továbbá az Fp (p ∈ U) részsokaságokon azeredeti vektortér-struktúrát. Világos, hogy ekkor az (EU , π|EU , U, F ) négyes egy vektor-nyalábot képez. Ezt a továbbiakban az E nyaláb U ⊂ B nyílt halmaz feletti résznyaláb-jának mondjuk.

1.9. De�níció. Legyenek adva az (E, π,B, F ) és (E, π, B, F ) vektornyalábok. Egyχ : E → E sima leképezést vektornyaláb-homomor�zmusnak mondunk, ha teljesülnek azalábbi feltételek:(1) A bázisterek között van egy olyan µ : B → B sima leképezés, hogy fennáll π◦χ = µ◦π.(2) Tetsz®leges p ∈ B esetén χ�nek az Fp �brumra vett lesz¶kítése egy lineáris leképezéstad az Fp vektortérb®l az Fµ(p) vektortérbe.

Megjegyzés. Vektornyaláb-izomor�zmus esetében a fenti de�nícióban szerepl® feltétele-ken túl a χ leképezést®l még azt is megköveteljük, hogy di�eomor�zmus legyen.

Világos, hogy egy vektornyaláb pontosan akkor parallelizálható, ha izomorf egy triviálisnyalábbal.

Megjegyzés. A M és N sima sokaságok között legyen adott egy µ : M → N simaleképezés. Ekkor a Tµ : TM → TN érint®leképezés egy vektornyaláb-homomor�zmustad a TM és TN érint®nyalábok között.

A vektornyaláb kitüntetett térképezései

Legyen adott az (E, π,B, F ) vektornyaláb. A továbbiakban a B bázistér dimenziójátjelölje m, az F �brumtípus dimenzióját pedig r.

Tekintsük a nyaláb egy olyan (π−1(U), π × ϕ) nyalábtérképét, ahol a B bázistérbeliU nyílt halmaz a B sokaság egy (U, ξ) térképének a tartománya. Vegyük észre, hogymegfelel® lesz¶kítéssel ez elérhet®. A szokásoknak megfelel®en a ξ térképezés koordináta-függvényei legyenek xi = ui ◦ ξ (i = 1, . . . ,m).

Rögzítsünk az F vektortérben egy e1, . . . , er bázist. Az F �brumtípuson vett lineárisformák F ∗ terében a duális bázis legyen ε1, . . . , εr.

4

Tekintsük most azt a ξ : π−1(U) → Rm+r leképezést, ahol tetsz®leges w ∈ π−1(U)esetén fennáll

ξ(w) = (x1 ◦ π(w), . . . , xm ◦ π(w), ε1 ◦ ϕ(w), . . . , εr ◦ ϕ(w)) (1.1)

Világos, hogy a (π−1(U), ξ) pár egy térképe a E totáltérnek. A ξ térképezés koordináta-függvényeire az xi = xi ◦ π (i = 1, . . . ,m), zα = εα ◦ ϕ (α = 1, . . . , r) jelölést fogjukalkalmazni. Eszerint teljesül ui ◦ ξ = xi és um+α ◦ ξ = zα.

Vegyük a π × ϕ : EU → U × F di�eomor�zmus ψ : U × F → EU inverz-leképezését.Egy α ∈ {1, . . . , r} indexnél legyen Zα : U → E az a leképezés, amelyre tetsz®leges p ∈ Upontban fennáll Zα(p) = ψ(p, eα). Az U tartományon ily módon értelmezett Z1, . . . , Zrlokális szelésekre nyilván igaz az, hogy egy tetsz®leges p ∈ U pontban vett értékeik egybázisát adják az Fp vektortérnek.

Megjegyzés. Célszer¶ megjegyezni, hogy az E totáltéren vett (π−1(U), ξ) térképet avektornyaláb (π−1(U), π × ϕ) nyalábtérképe és a B bázistér (U, ξ) térképe, továbbá az F�brumtípus egy e1, . . . , er bázisa alapján értelmeztük. A továbbiakban rendre ilyen speci-ális (π−1(U), ξ) térképeket fogunk alkalmazni a különböz® leképezések lokális koordináta-kifejezéseinek a leírására.

Az indukált vektornyaláb

Legyen adott az (E, π,B, F ) vektornyaláb és egy N sokaságon vett µ : N → B simaleképezés. Tekintsük a µ∗E = {(q, w) ∈ N × E | µ(q) = π(w) } halmazt, amely egyrészhalmaza az N × E szorzatsokaságnak. Ezen adódik a % : µ∗E → N természetesprojekció, amelyre igaz %(q, w) = q bármely (q, w) ∈ µ∗E esetén. Világos, hogy ezzel aprojekcióval fennáll %−1(q) = {q} × Fµ(q), ahol q ∈ N . Ezen a halmazon pedig nyilvánadódik egy természetes vektortér-struktúra.

Belátható, hogy µ∗E egy részsokasága az N × E szorzatsokaságnak. Jelölje n azN sokaság dimenzióját. Legyen ω : N × E → B × B az a sima leképezés, amelyrefennáll ω(q, w) = (µ(q), π(w)). Vegyük B × B-ben a B = { (p, p) | p ∈ B } részsokaságot,amellyel fennáll µ∗E = ω−1(B). Könnyen igazolható, hogy ω egy transzverzálisan regulárisleképezés a B részsokasághoz. Emiatt a µ∗E = ω−1(B) halmaz egy olyan részsokaságN × E-ben, amelynek kodimenziója ugyancsak m. Ebb®l pedig már adódik, hogy µ∗Eegy zárt, (n+ r)-dimenziós részsokaság N × E-ben.

Legyen V egy olyan nyílt halmaza az N sokaságnak, amelyhez létezik olyan(π−1(U), π × ϕ) nyalábtérkép, hogy µ(V ) ⊂ U . Tekintsük a %−1(V ) halmazon azt aϕ : %−1(V ) → F leképezést, amelyre teljesül ϕ(q, w) = ϕ(w) bármely (q, w) ∈ %−1(V )esetén. Igazolható, hogy ekkor a %× ϕ : %−1(V )→ V ×F leképezés egy lokális trivializástad a µ∗E sokaságon.

A fent leírtak alapján a (µ∗E, %,N, F ) négyes egy vektornyalábot ad.1.10. De�níció. A (µ∗E, %,N, F ) vektornyalábot a µ : N → B sima leképezés általindukált vektornyalábnak nevezzük.

5

A leképezés menti szelések (leképezés menti vektormez®k)

Legyen adott az (E, π,B, F ) vektornyaláb. Vegyünk egy N sokaságot és egy µ : N → Bsima leképezést a nyaláb B bázisterébe.1.11. De�níció. Az (E, π,B, F ) vektornyalábnak a µ leképezés mentén vett szelésén egyolyan Y : N → E di�erenciálható leképezést értünk, amelyre teljesül π ◦ Y = µ.

Megjegyzés. Mivel a fenti de�nícióban szerepl® Y : N → E függvény értékei vektorok,Y -ra szokás alkalmazni a µ leképezés menti vektormez® elnevezést is.

Megjegyzés. Világos, hogy a µ leképezés mentén vett szelések egy modulust képeznek azN sokaságon vett sima függvények F(N) gy¶r¶je felett. A továbbiakban erre a modulusraa Cµ(E) jelölést alkalmazzuk.

Megjegyzés. Könny¶ belátni, hogy egy természetes megfeleltetést lehet létesíteni a µleképezés mentén vett szelések és a (µ∗E, %,N, F ) indukált nyaláb szelései között.

Amennyiben Y egy szelés (más szóval vektormez®) µ mentén, akkor ennek megfelelazon Y : N → µ∗E szelés, amelyre fennáll Y (q) = (p, Y (q)) tetsz®leges q ∈ N pontban.

Megjegyzés. A továbbiakban az indukált nyaláb szeléseinek C(µ∗E) terét azonosítjuk aµ leképezés mentén vett szelések Cµ(E) terével.

A lineáris konnexió értelmezése

Legyen adott egy (E, π,B, F ) vektornyaláb. Emlékezzünk rá, hogy a vektornyaláb sze-léseinek terét C(E) jelöli. A továbbiakban a szelés elnevezés mellett a nyalábhoz tartozóvektormez® elnevezést is alkalmazzuk. A B bázistéren vett sima vektormez®k terére azX(B) jelölést használjuk, azonban célszer¶ itt megjegyezni, hogy fennáll X(B) = C(TB).

1.12. De�níció. A vektornyalábon vett lineáris konnexión egy olyan∇ : X(B)× C(E)→ C(E) leképezést értünk, amelyre tetsz®leges X, X∈X(B) vektorme-z®k, Z, Z∈C(E) szelések és f ∈F(B) függvény esetén fennállnak az alábbi összefüggések:(1) ∇(X + X, Z) = ∇(X,Z) +∇(X, Z),(2) ∇(fX,Z) = f · ∇(X,Z),(3) ∇(X,Z + Z) = ∇(X,Z) +∇(X, Z),(4) ∇(X, fZ) = f · ∇(X,Z) + (Xf)Z.

A ∇(X,Z) vektormez®t a Z szelés X szerinti kovariáns deriváltjának mondjuk. Atovábbiakban a ∇(X,Z) helyett inkább a ∇XZ jelölést fogjuk alkalmazni a kovariánsderiváltra. Ez ugyanis egyértelm¶bben fejezi ki, hogy a Z szelésnek az X irányában vettkovariáns deriváltjáról van szó.

Megjegyzés. Könnyen lehet példát mutatni a kovariáns deriválásra. Tegyük fel, hogy azE vektornyaláb trivializálható. Eszerint léteznek olyan Z1, . . . , Zr : B → E szelések, hogytetsz®leges p∈B pontban a Z1(p), . . . , Zr(p) vektorok egy bázisát adják az Fp �brumnak,mint vektortérnek. Rögzítsük ezen Z1, . . . , Zr∈C(E) szeléseket.

Tetsz®leges X ∈X(B) és Y ∈ C(E) esetén vegyük azon egyértelm¶en meghatározottηα ∈ F(B) (α = 1, . . . , r) függvényeket, melyekkel fennáll Y =

∑rα=1 η

α Zα. Könny¶igazolni, hogy a ∇(X, Y ) =

∑rα=1(Xηα)Zα összefüggéssel leírt ∇ : X(B)×C(E)→ C(E)

leképezés egy kovariáns deriválást ad a vektornyalábon.

6

Ezen ∇ lineáris konnexió esetében tehát bármely X ∈ X(B) vektormez®vel fennáll∇XZα = 0 (α = 1, . . . , r). Emiatt a Zα szeléseket párhuzamosaknak mondjuk.

Megjegyzés. Az egységosztás módszerét alkalmazva igazolható, hogy bármely vektor-nyalábon meg lehet adni egy lineáris konnexiót.

A továbbiakban feltesszük, hogy a (E, π,B, F ) vektornyalábon adva van egy ∇ lineáriskonnexió. A dudorfüggvény alkalmazásával igazolni lehet az alábbi kijelentést.1.2. Állítás. Legyenek adva a bázistéren olyan X, X ∈X(B) vektormez®k és a nyalábolyan Z, Z ∈ C(E) szelései, hogy valamely U ⊂ B nyílt halmazon fennáll X|U = X|U ,illetve Z|U = Z|U . Ekkor tetsz®leges egy p ∈ U pontban fennáll (∇XZ)(p) = (∇XZ)(p).

Mivel a ∇ : X(B) × C(E) leképezés az els® változójában F(B)-lineáris, könnyen iga-zolható az alábbi kijelentés is.1.3. Állítás. Legyenek adva a bázistéren az az X, X ∈ X(B) vektormez®k és egyZ∈C(E) szelés. Amennyiben egy p ∈ B pontban fennáll X(p) = X(p), akkor (∇XZ)(p) =(∇XZ)(p) teljesül.

A fenti állítás alapján már értelmezni lehet egy szelésnek (a vektornyaláb egy vektor-mez®jének) a kovariáns deriváltját a bázistér egy érint®vektorára vonatkozóan.1.13. De�níció. Legyen adott egy Y ∈ C(E) sima szelése a vektornyalábnak és egyv∈TpB (p∈B) érint®vektor. Vegyünk egy olyan X ∈X(B) vektormez®t, amelyre fennállX(p) = v. Az Y mez®nek a v vektor szerinti kovariáns deriváltján a ∇vY =

(∇XY

)(p)

vektort értjük.

A lineáris konnexió Christo�el�féle szimbólumai egy adott térképezésekre nézve

Az 1.2. Állítás alapján, ha vesszük a B bázistér egy U nyílt részhalmazát, akkor a ∇természetes módon meghatároz egy lineáris konnexiót az (EU , π|EU , U, F ) nyílt résznya-lábon. Emiatt tetsz®leges X ∈X(U) és Z∈C(EU) vektormez®k esetén de�niálni tudjuk a∇XZ∈C(EU) szelést.

Tekintsük a vektornyalábnak egy olyan (π−1(U), π×ϕ) nyalábtérképét, ahol az U térkép-tartománya a B egy ξ térképezésének. Az (U, ξ) térkép bázisvektormez®ire alkalmazzuk

az Xi =∂

∂xi(i = 1, . . . ,m) jelölést. Vegyük a �brumtípust adó F vektortér egy e1, . . . , er

bázisát. Tekintsük a vektornyaláb azon Zα (α = 1, . . . , r) lokákis szeléseit az U tarto-mány felett, melyekre fennáll ϕ ◦ Zα(p) = eα tetsz®leges p ∈ B esetén. Fejezzük ki a∇XiZα∈C(EU) vektormez®t a

∇XiZα =∑r

β=1 Γβi α · Zβ

alakban a megfelel® Γβi α∈F(U) függvényekkel.

1.14. De�níció. A Γβi α : U → R (i = 1, . . . ,m, α, β = 1, . . . , r) di�erenciálható

függvényeket a vektornyalábon vett ∇ lineáris konnexió Xi ∈ X(U) és Zα∈C(EU) lokálisbázismez®kre vonatkozó Christo�el-féle szimbólumainak nevezzük.

A Christo�el-féle szimbólumok ismeretében (lokálisan) le tudjuk írni a lineáris konne-xiót. Tekintsük a térképezés U tartományán vett Y =

∑mi=1 η

iXi, Z =∑r

α=1 ζα Zα sima

7

vektormez®ket, ahol ηi, ζα∈F(U). A kovariáns deriválás tulajdonságait felhasználva a

∇YZ =r∑

β=1

(Y (ζβ) +

m∑i=1

r∑α=1

Γβi α · ηi · ζα

)Zβ (1.2)

összefüggést kapjuk, ahol Y (ζβ) =∑m

i=1 ηi · ∂

∂xi(ζβ).

A Z ∈ C(EU) lokális szelésnek egy p ∈ U pontban vett v =∑m

i=1 ai · Xi(p) (ai ∈ R)

érint®vektor szerinti kovariáns deriváltjára az (1.2) egyenl®ségb®l a

∇vZ =r∑

β=1

(v(ζβ) +

m∑i=1

r∑α=1

Γβi α(p) · ai · ζα(p)

)Zβ(p) (1.3)

kifejezés adódik, amelyben ai = dxi(v).

Az (1.3) összefüggés alapján már könnyen igazolható az alábbi kijelentés. Eszerint a∇vZ kovariáns derivált csak attól függ, hogy a Z szelés miként változik egy a bázistérbenvett olyan görbe mentén, amelynek érint®vektora éppen v.1.4. Állítás. Legyen adott egy σ : I → B sima görbe és olyan Z, Z∈C(E) vektormez®k,melyekre fennáll Z ◦ σ = Z ◦ σ. Ekkor tetsz®leges t ∈ I helyen teljesül a ∇σ(t)Z = ∇σ(t)Zösszefüggés.

A konnexió leképezés

Legyen adott egy (E, π,B, F ) vektornyaláb és azon egy ∇ lineáris konnexió. Vegyük azE totális tér TE érint®nyalábját. A továbbiakban jelölje % : TE → E a TE érint®nyalábtermészetes projekcióját E-re. Mint ismeretes, a (TE, %, E,Rm+r) négyes is egy vektor-nyalábot képez. Az alábbiak során megmutatjuk, hogy a ∇ kovariáns deriválás kifejezhet®egy vektornyaláb homomor�zmus segítségével.

1.5. Állítás. Egyértelm¶en létezik egy olyan K : TE → E vektornyaláb homomor�zmus,amellyel tetsz®leges Z szelés és v ∈ TB érint®vektor esetén fennáll ∇vZ = K ◦ TZ(v).Bizonyítás.Vegyük a korábban bevezetett (U, ξ) bázistérbeli térképet és a (π−1(U), π × ϕ) nyaláb-térképet, továbbá az F �brumtípus egy e1, . . . , er bázisát. Ezekb®l az (1.1) összefüggésalapján nyerjük a (π−1(U), ξ) térképezést a totális téren, melynek koordináta-függvényeixi = xi ◦ π (i = 1, . . . ,m) és zα = εα ◦ ϕ (α = 1, . . . , r). Fejezzük ki a v ∈ TpBérint®vektort a v =

∑mi=1 a

i ∂∂xi

(p) alakban, a Z vektormez®nek az U -ra vett lesz¶kítésétpedig a Z|U =

∑rα=1 ζ

αZα formában a ζα ∈ F(U) függvényekkel. Ekkor a totáltéren vettspeciális térképezés miatt fennáll zα ◦Z = ζα. Legyen a Z ∈ C(E) szelés p pontbeli értékew, vagyis legyen w = Z(p). Ekkor azt kapjuk, hogy a TZ(v) ∈ TwE vektorra igaz

TZ(v)(xi) = v(xi◦Z) = v(xi◦π◦Z) = v(xi) = ai, illetve TZ(v)(zα) = v(zα◦Z) = v(ζα) .

Ily módon a bázistétel alapján fennáll a

TZ(v) =m∑i=1

ai∂

∂xi(w) +

r∑α=1

v(ζα)∂

∂zα(w) (1.4)

8

egyenl®ség.A totáltér egy w pontbeli TwE érint®terében vegyünk egy u vektort, amely el®állítható

a bázisvektorokból az

u =m∑i=1

ai∂

∂xi(w) +

r∑α=1

cα∂

∂zα(w)

alakban valamely ai, cα ∈ R együtthatókkal. Tekintsük ezen a vektortéren azt a Kw =K|TwE : TwE → Fπ(w) lineáris leképezést, amelyre tetsz®leges u vektor esetében fennáll

Kw(u) =r∑

β=1

(cβ +

m∑i=1

r∑α=1

Γβi α(p) · ai · zα(w)

)· Zβ(p). (1.5)

Vegyük észre, hogy az (1.3), (1.4) és (1.5) összefüggések szerint csakis ezekkel aKw (w ∈ E) leképezésekkel teljesül a ∇vZ = K ◦ TZ(v) egyenl®ség bármely v ∈ TB ésZ∈C(E) esetén. A fentiekb®l egyúttal az is következik, hogy a Kw leképezés nem függ atérképezések megválasztásától.

Világos, hogy a Kw (w ∈ E) leképezésekkel a teljes TE érint®nyalábon nyerünk egyK : TE → E vektornyaláb homomor�zmust. �

1.15. De�níció. Az el®bbiek során értelmezett K : TE → E vektornyaláb homomor�z-must a ∇ kovariáns deriváláshoz rendelt konnexió leképezésnek nevezzük.

Megjegyzés. AK konnexió leképezésnek az E, B bázisterek közötti π : E → B leképezésfelel meg, azaz teljesül π ◦K = π ◦ %.

A nyaláb érint®terének vertikális és horizontális alterei

A továbbiakban feltesszük, hogy az (E, π,B, F ) vektornyalábon adva van egy ∇ lineáriskonnexió.1.16. De�níció. A vektornyaláb w ∈ E pontbeli vertikális alterén a TwE érint®térVwE = {u ∈ TwE | Tπ(u) = 0 } alterét értjük.

Alkalmazzuk az el®z®ekben is használt speciális térképezést. Könnyen adódik, hogyfennállnak a

Tπ( ∂∂xi

(w)) = ∂∂xi

(π(w)), Tπ( ∂∂zα

(w)) = 0

egyenl®ségek. Eszerint a VwE vertikális altér megegyezik a∂

∂zα(w) (α = 1, . . . , r) vek-

torok által generált altérrel. Amennyiben a �brumok érint®tereit, mint az E totáltérérint®tereinek az altereit tekintjük, akkor nyilván teljesül a VwE = TwFπ(w) egyenl®ség.

1.17. De�níció. A lineáris konnexióval ellátott vektornyaláb w ∈ E pontbeli horizontálisalterén a TwE érint®tér HwE = {u ∈ TwE | Kw(u) = 0 } alterét értjük.

1.6. Állítás. Tetsz®leges w ∈ E pontban a TwE érint®tér a VwE és HwE alterek direktösszege.Bizonyítás.A továbbiakban is alkalmazzuk a speciális (π−1(U), ξ) nyalábtérképet. Az (1.5) kifejezés

9

alapján egy w ∈ π−1(U) pontbeli u =∑m

i=1 ai ∂∂xi

(w)+∑r

α=1 cα ∂∂zα

(w) vektor a TwE érin-t®térben akkor eleme a HwE horizontális altérnek, ha az (a1, . . . , am, c1, . . . cr) koordinátáikielégítik a

cβ +m∑i=1

( r∑α=1

Γβi α(π(w)) · zα(w)

)· ai = 0 (β = 1, . . . , r)

lineáris egyenletrendszert. Emiatt a HwE horizontális altér m-dimenziós.Ismeretes, hogy az u vektor akkor vertikális, ha ai = 0 (i = 1, . . . ,m) teljesül. Ebb®l

viszont már következik, hogy az m-dimenziós HwE horizontális altérnek és az r-dimenziósVwE vertikális altérnek csupán a nullvektor a közös eleme. �

A leképezés menti vektormez®k kovariáns deriváltja

Legyen adott egy (E, π,B, F ) vektornyaláb és azon egy egy ∇ lineáris konnexió. Azel®z®ekben leírtaknak megfelel®en a ∇ kovariáns deriválás meghatároz egy K : TE → Ekonnexió leképezést.

Tekintsünk egy µ : N → B sima leképezést és az általa indukált µ∗E vektornyalábot.Mint ismeretes, az indukált nyaláb szeléseinek C(µ∗E) terét azonosítani lehet a µ leképezésmenti szelések (vagy más szóval a leképezés menti vektormez®k) Cµ(E) terével.

Vegyünk egy Y : N → E szelést (más szóval vektormez®t) a µ leképezés mentén.Eszerint az Y sima leképezésre fennáll π ◦ Y = µ. Legyen v ∈ TqN egy érint®vektor egyq ∈ N pontban. A K konnexió leképezés alapján értelmezni lehet az Y ∈ Cµ(E) mez® virányú kovariáns deriváltját.

1.18. De�níció. Az Y ∈ Cµ(E) vektormez®nek a v ∈ TqN vektor szerinti kovariánsderiváltján az Fµ(q) �brum ∇µ

vY = K ◦ TY (v) vektorát értjük.

Megjegyzés. Az Y ∈ Cµ(E) mez® v szerinti kovariáns deriváltjára ∇µvY mellett a

∇µ(v, Y ) jelölést is alkalmazni fogjuk.

Vegyük az (E, π,B, F ) vektornyaláb egy olyan kitüntetett (π−1(U), ξ) térképét, aholµ(q) ∈ U . Ekkor a V = µ−1(U) halmaz nyílt N -ben. Ha vesszük az Y mez®nek aV = µ−1(U) nyílt halmazra való lesz¶kítését, akkor az valamely ηα ∈ F(V ) függvényekkelkifejezhet® az Y |V =

∑rα=1 η

α · (Zα ◦ µ) alakban. Vezessük be az Y (q) = w jelölést. A jólismert bázistétel szerint a TwE érint®tér TY (v) vektora el®áll a

TY (v) =m∑i=1

TY (v)(xi) · ∂∂xi

(w) +r∑

α=1

TY (v)(zα) · ∂

∂zα(w)

alakban. Mivel igaz xi ◦ Y = xi ◦ µ és zα ◦ Y = ηα, az alábbi kifejezést kapjuk

TY (v) =m∑i=1

Tµ(v)(xi) · ∂∂xi

(w) +r∑

α=1

v(ηα) · ∂

∂zα(w).

Az (1.5) összefüggés alapján a ∇µvY = K ◦ TY (v) kovariáns deriváltra fennáll

∇µvY =

r∑β=1

(v(ηβ) +

m∑i=1

r∑α=1

Γβi α(µ(q)) · dxi(Tµ(v)) · ηα(q)

)· Zβ(µ(q)) . (1.6)

10

Ha felhasználjuk a Tµ(v) =∑m

i=1 dxi(Tµ(v)) · ∂

∂xi(µ(q)) kifejezést, akkor a ∇Tµ(v)Zα =∑r

β=1

(∑mi=1 Γβ

i α(µ(q)) · dxi(Tµ(v)))·Zβ(µ(q)) egyenl®ség adódik. Emiatt az (1.6) egyen-

l®ségb®l már következik, hogy a ∇µvY = K ◦ TY (v) kovariáns deriváltra teljesül

∇µvY =

r∑β=1

v(ηβ) · Zβ(µ(q)) +r∑

α=1

ηα(q) · ∇Tµ(v)Zα. (1.7)

Megjegyzés. A leképezés menti vektormez® (más szóval szelés) kovariáns deriváltját aszakirodalomban szokás automatikusan az (1.7) egyenlettel de�niálni.

Az (1.7) összefüggés alapján már könnyen igazolható az alábbi kijelentés.1.7. Állítás. Tetsz®leges Y ∈ Cµ(E) mez®, f ∈ F(N) függvény és v ∈ TqN vektor eseténteljesül ∇µ

v (f Y ) = v(f) · Y (q) + f(q) · ∇µvY .

Megjegyzés. A kés®bbiek során majd ki fogjuk használni az alábbi kapcsolatot. Amennyi-ben a vektornyalábnak vesszük egy Z ∈ C(E) szelését, akkor a Z ◦ µ : N → E leképezésegy vektormez®t ad µ mentén. Az 1.18. De�nícióból adódik, hogy ennek egy v ∈ TqNvektor irányában vett kovariáns deriváltjára igaz∇µv (Z ◦ µ) = ∇Tµ(v)Z, vagyis ∇µ(v, Z ◦ µ) = ∇(Tµ(v), Z).

A fenti megjegyzés egy általánosításának fogható fel a következ® állítás.1.8. Állítás. Legyen adott egy P di�erenciálható sokaság és egy λ : P → N simaleképezés. Tekintsünk egy Y ∈ Cµ(E) szelést és az abból nyert Y ◦λ : P → E vektormez®ta µ ◦ λ : P → B leképezés mentén. Ekkor tetsz®leges v ∈ TpP (p ∈ P ) vektorral fennáll∇µ◦λv (Y ◦ λ) = ∇µ

Tλ(v)Y, vagyis ∇µ◦λ(v, Y ◦ λ) = ∇µ(Tλ(v), Y ).Bizonyítás.Akárcsak az el®bbi megjegyzés, ez az állítás következik az 1.18. De�nícióból és az érint®leképezésre vonatkozó láncszabályból:

∇µ◦λv (Y ◦ λ) = K ◦ T (Y ◦ λ)(v) = K ◦ TY (Tλ(v)) = ∇µ

Tλ(v)Y. �

Természetesen de�niálni lehet a µ : N → B leképezés menti vektomez®k kovariánsderiváltját az N sokaságon vett vektormez®kre vonatkozóan is.1.19. De�níció. Tekintsünk az N sokaságon egy A ∈ X(N) vektormez®t. Az Y ∈ Cµ(E)vektormez® A szerinti kovariáns deriváltján a ∇µ

AY = K ◦TY ◦A leképezés menti mez®tértjük.

Világos, hogy a ∇µAY ∈ Cµ(E) vektormez®re tetsz®leges q ∈ N pontban teljesül

(∇µAY )(q) = ∇µ

A(q)Y .Az (1.6) összefüggés alapján ki tudjuk fejezni a ∇µ

AY mez® V = µ−1(U) nyílt halmazravett lesz¶kítését a Zβ ◦ µ (β = 1, . . . , r) lokális bázismez®kkel:

∇µAY |V =

r∑β=1

(A(ηβ) +

m∑i=1

r∑α=1

(Γβi α ◦ µ) · (dxi ◦ Tµ ◦ A) · ηα)

)(Zβ ◦ µ) . (1.8)

11

Az eddig végzett vizsgálatok eredményei alapján már könnyen igazolni lehet az alábbikijelentést a µ : N → B sima leképezés menti vektormez®k kovariáns deriváltjával kapcso-latban.1.9. Állítás. Tekintsük a ∇µ : X(N)×Cµ(E)→ Cµ(E) leképezést, amelyet a ∇µ(A, Y ) =

K ◦ TY ◦ A egyenlet ír le. Ekkor tetsz®leges A, A∈X(N), Z, Z∈C(E) vektormez®k ésf ∈F(N) függvény esetén teljesülnek az alábbi összefüggések:(1) ∇µ(A+ A, Y ) = ∇µ(A, Y ) +∇µ(A, Y ),(2) ∇µ(fA, Y ) = f · ∇µ(A, Y ),(3) ∇µ(A, Y + Y ) = ∇µ(A, Y ) +∇µ(A, Y ),(4) ∇µ(A, fY ) = f · ∇µ(A, Y ) + (Af)Y .

A görbe menti vektormez® kovariáns deriváltja

A továbbiakban is feltesszük, hogy a (E, π,B, F ) vektornyalábon adva van egy ∇ lineáriskonnexió, melynek megfelel a K : TE → E konnexió-leképezés.

Legyen I egy nyílt intervallum R-ben. Vegyünk egy σ : I → B sima görbét a bázis-térben és egy Y ∈ Cσ(E) vektormez®t σ mentén. Eszerint az Y : I → E sima leképezésrefennáll π ◦ Y = σ.

1.20. De�níció. A σ menti Y mez®nek ad

du(t) ∈ TtI vektor szerinti kovariáns deriváltján

a Fσ(t) �brum ∇σddu

(t)Y = K ◦ TY ( d

du(t)) vektorát értjük.

Megjegyzés. Ha veszünk egy Y : I → E görbét a totáltérben, akkor ez egy vektormez®a bázistérbeli σ = π ◦ Y görbe mentén. Tehát Y egyértelm¶en meghatározza a σ gör-bét, amely felett egy vektormez®t képez. Emiatt a ∇σ

ddu

(t)Y kovariáns deriváltra az Y ′(t)

jelölést is alkalmazni fogjuk, továbbá a Y ′(t) vektort az Y mez® t helyen vett kovariánsderiváltjának is mondjuk.

Megjegyzés. Tekintsünk egy Z ∈ X(M) vektormez®t az M sokaságon. Ekkor Z ◦ σegy vektormez® σ mentén. A láncszabály következtében a kovariáns deriváltra fennáll a(Z ◦ σ)′(t) = ∇σ(t)Z összefüggés.

Megjegyzés. A szakirodalomban a görbe menti Y mez® kovariáns deriváltjára aDYdt

jelölést is szokták alkalmazni. Ebben a jegyzetben ezt nem használjuk.

Ismét alkalmazzunk egy kitüntetett (π−1(U), ξ) térképét az E totáltérnek. Tegyükfel, hogy az U ⊂ B térképtartomány tartalmazza a σ görbe pályáját. Tekintsük az(U, ξ) térképhez tartozó σi = xi ◦ σ (i = 1, . . . ,m) valós függvényeket az I intervallumon.Evidens, hogy ezekkel fennáll σ′i(t) = dxi(σ(t)) = dxi◦Tσ( d

du(t)), t ∈ I. Vegyük most azon

ηα : I → R (α = 1, . . . , r) függvényeket, melyekkel teljesül Y (t) =∑r

α=1 ηα(t) · Zα ◦ σ(t).Ekkor az (1.6) összefüggés alapján az Y ′(t) kovariáns derivált kifejezhet® a

∇σddu

(t)Y =

r∑β=1

(η′β(t) +

m∑i=1

r∑α=1

Γβi α(σ(t)) · σ′i(t) · ηα(t)

)Zβ(σ(t)) . (1.9)

egyenlettel.

12

Az alábbiakban megadjuk a párhuzamos vektormez® kézenfekv® fogalmát.1.21. De�níció. A σ : I → B görbe mentén vett Y ∈ Cσ(E) vektormez®t párhuzamosnakmondjuk, ha fennáll Y ′(t) = 0 tetsz®leges t ∈ I helyen.

1.10. Állítás. Legyen adott egy σ : I → B sima görbe és egy rögzített σ(t0) ponthoztartozó Fσ(t0) �brumban egy w vektor. Ekkor egyértelm¶en létezik egy Y párhuzamosvektormez® σ mentén, amelyre teljesül Y (t0) = w.Bizonyítás.A fentiek során levezetett (1.9) összefüggés szerint az σ görbe mentén vettY (t) =

∑rα=1 ηα(t) · Zα ◦ σ(t) vektormez® párhuzamos akkor és csak akkor, ha a kompo-

nensfüggvényei kielégítik az

η′β(t) +∑r

α=1

(∑mi=1 Γβ

i α(σ(t)) · σ′i(t))· ηα(t) = 0 (β = 1, . . . , r)

egyenleteket. Emiatt a di�erenciálegyenlet-rendszerek elméletéb®l már következik a ki-mondott állítás. �

Korábban már említettük, hogy ha veszünk egy Y : I → E sima leképezést egy I valósintervallumon, akkor az egy vektormez®t ad a bázistérben nyert σ = π ◦ Y görbe mentén.Az 1.20. De�nícióból azonnal következik az alábbi kijelentés.1.11. Állítás. Az Y : I → E vektormez® párhuzamos a σ = π ◦ Y görbe mentén akkorés csak akkor, ha a totáltérbeli Y görbe horizontális, azaz tetsz®leges t ∈ I helyen az Yérint®vektorára fennáll Y (t) ∈ HY (t)E.

13

2) Kovariáns deriválás az érint®nyalábon

Ebben a fejezetben egy sokaság érint®nyalábján vett kovariáns deriválást tanulmányozunk.Vegyünk egy m-dimenziós M sokaságot, annak TM érint®nyalábját és a

π : TM → M természetes projekciót. Mint ismeretes, a (TM, π,M,Rm) négyes egyvektornyalábot ad. Legyen adva ezen a vektornyalábon egy ∇ lineáris konnexió, melyetegyúttal az M sokaságon vett kovariáns deriválásnak is szokás nevezni. Nyilván alkalmaz-hatjuk az el®z® fejezet eredményeit. Azonban a helyzet most speciális abban a tekintetben,hogy az érint®nyaláb szeléseinek C(TM) tere azonos az M sokaságon (mint bázistéren)vett sima vektormez®k X(M) terével. Ily módon a ∇ kovariáns deriválás két tetsz®legesY, Z ∈ X(M) vektormez®höz rendel egy harmadik ∇YZ vektormez®t az M sokaságon.

Ezen fejezet célja annak igazolása, hogy a ∇ lineáris konnexió egyértelm¶en meghatá-roz egy vektormez®t a TM érint®nyalábon, melyet a ∇ spray-mez®jének mondunk. Látnifogjuk, hogy a spray-mez® szoros kapcsolatban áll az M -beli geodetikus görbékkel. Aspray-mez® alapján lehet értelmezni az exponenciális leképezést, amely alapvet® szerepetjátszik a Riemann-sokaságok vizsgálatában.

A lineáris konnexió adott térképezéshez tartozó Christo�el-szimbólumai

A továbbiakban a kovariáns deriválás koordináta�kifejezéseit vesszük. Tekintsük M�nekegy (U, ξ) térképét az xi = ui ◦ ξ (i = 1, . . . ,m) koordináta-függvényekkel. A térképezés

bázisvektormez®ire ez esetben is alkalmazzuk azXi =∂

∂xi(i = 1, . . . ,m) jelölést. Fejezzük

ki a ∇XiXj ∈X(U) vektormez®t a ∇XiXj =∑m

k=1 Γ ki j · Xk alakban a Γ k

i j ∈ F(U) simafüggvényekkel.

2.1. De�níció. A Γ ki j : U → R (i, j, k = 1, . . . ,m) di�erenciálható függvényeket az

érint®nyalábon vett ∇ kovariáns deriválás (U, ξ) térképre vonatkozó Christo�el�féle szim-bólumainak nevezzük.

Az el®z® fejezetben leírtaknak megfelel®en a Christo�el�féle szimbólumokkal (lokáli-san) le tudjuk írni a kovariáns deriválást. Tekintsük a térképezés U tartományán vettY =

∑mi=1 η

iXi, Z =∑m

i=1 ζiXi sima vektormez®ket, ahol ηi, ζ i∈F(U) (i = 1, . . . ,m).

A kovariáns deriválás tulajdonságait felhasználva a

∇YZ =m∑k=1

(Y (ζk) +

m∑i=1

m∑j=1

Γ ki j · ηi · ζj

)Xk (2.1)

összefüggést kapjuk. Célszer¶ itt megjegyezni, hogy fennáll Y (ζk) =∑m

i=1 ηi · ∂ζk

∂xi.

A Z ∈ X(U) vektormez®nek egy p ∈ U pontban vett v =∑m

i=1 ai · Xi(p) (ai ∈ R)

érint®vektor szerinti kovariáns deriváltjára a

∇vZ =m∑k=1

( m∑i=1

v(ζk) +m∑i=1

m∑j=1

Γ ki j(p) · ai · ζj(p)

)Xk(p) (2.2)

kifejezés adódik, amelyben ai = dxi(v).

14

A kovariáns deriváláshoz rendelt konnexió leképezés

Tekintsük most a TM érint®nyaláb T (TM) érint®nyalábját. Ez esetben a T (TM) érint®-nyalábnak a TM sokaságra vett természetes projekcióját jelölje %. A ∇ kovariáns derivá-lásnak az 1.5. Állítás szerint egyértelm¶en megfelel egy olyan K : T (TM)→ TM vektor-nyaláb homor�zmus, amellyel tetsz®leges v ∈ TM érint®vektor és Z ∈ C(TM) = X(M)vektormez® esetén fennáll ∇vZ = K ◦ TZ(v).

Célszer¶ megemlíteni, hogy a K leképezésre és a % : T (TM) → TM természetesprojekcióra teljesül π ◦K = π ◦ %.2.2. De�níció. A K : T (TM)→ TM vektornyaláb homor�zmust a ∇ kovariáns derivá-láshoz tartozó konnexió leképezésnek nevezzük.

A K leképezés leírásához a TM érint®nyalábon vegyük azt a (TU, ξ) térképet, melyetaz M sokaság (U, ξ) térképei alapján értelmeztünk az el®z® fejezetben. Mint ismeretes,ezen speciális (TU, ξ) térképezés xl = ul◦ ξ (l = 1, . . . , 2m) koordináta-függvényeire fennállxi = xi ◦ π, xm+i = dxi (i = 1, . . . ,m).

Tekintsünk egy w ∈ TM vektort, amelynél a π(w) = p pont eleme az U tartománynak.A K konnexió leképezésnek a Kw = K|Tw(TM) lesz¶kítése, amely a Tw(TM) érint®térnekegy lineáris leképezése a TpM érint®térbe, egyszer¶en felírható az (U, ξ) térképezésheztartozó Christo�el-szimbólumok alapján. Az (1.5) összefüggés szerint tetsz®leges

u =m∑i=1

ai∂

∂xi(w) +

m∑i=1

ci∂

∂xm+i(w)

vektor esetében fennáll

Kw(u) =m∑k=1

(ck +

m∑i=1

m∑j=1

Γ ki j(π(w)) · ai · dxj(w)

)·Xk(π(w)) . (2.3)

Ahogyan az el®z® fejezetben is tettük tetsz®leges w ∈ TM pontban a Tw(TM) érint®-térnek értelmezni lehet a Vw(TM) vertikális és Hw(TM) horizontális altereit.

2.3. De�níció. Legyen α egy rögzített valós szám. A hα : TM → TM leképezést,amelynél tetsz®leges w ∈ TM vektorra fennáll hα(w) = αw, a TM vektornyalábon vettα arányú homotéciának (vagy más szóval nyújtásnak) mondjuk.

A megfelel® koordináta kifejezések alapján könnyen igazolható az alábbi kijelentés.2.1. Állítás. A K konnexió leképezésre teljesül hα ◦K = K ◦ Thα.

A leképezés menti vektormez®k kovariáns deriváltja

Legyen adva egy N sokaság és azon egy µ : N →M sima leképezés. Vegyük a µ által indu-kált µ∗(TM) vektornyalábot. Mint ismeretes, az indukált nyaláb szeléseinek C(µ∗(TM))terét azonosítani lehet a µ leképezés menti vektormez®k Cµ(TM) terével.

Vegyünk egy Y : N → TM vektormez®t a µ leképezés mentén. Ez azt jelenti, hogyaz Y sima leképezésre fennáll π ◦ Y = µ. Legyen v ∈ TqN egy érint®vektor egy q ∈ Npontban. Az el®z® fejezetben leírtaknak megfelel®en értelmezzük az Y mez® v szerinti

15

kovariáns deriváltját.2.4. De�níció. Az Y ∈ Cµ(TM) vektormez®nek a v ∈ TqN vektor szerinti kovariánsderiváltján a Tµ(q)M érint®tér ∇µ

vY = K ◦ TY (v) vektorát értjük.

A továbbiakban is alkalmazzuk az M -beli (U, ξ) térképezést. Ekkor a V = µ−1(U)halmaz nyílt N -ben. Vegyük az Y mez®nek a V = µ−1(U) nyílt halmazra való lesz¶kítésétés azt fejezzük ki az Y |V =

∑ri=1 η

i ·(Xi◦µ) alakban a megfelel® ηi ∈ F(V ) függvényekkel.Alkalmazva az Y (q) = w jelölést az (1.6) összefüggés alapján fennáll

∇µvY =

m∑k=1

(v(ηk) +

m∑i=1

m∑j=1

Γ ki j(µ(q)) · dxi(Tµ(v)) · ηk(q)

)Xk(µ(q)) . (2.4)

Az (1.7) egyenletnek pedig megfelel a

∇µvY =

m∑i=1

v(ηi) ·Xi(µ(q)) +m∑j=1

ηj(q) · ∇Tµ(v)Xj. (2.5)

összefüggés.

Megjegyzés. A leképezés menti vektormez® kovariáns deriváltját a szakirodalombanszokás automatikusan a (2.5) egyenlettel de�niálni.

Az 1.8. Állításnak megfelel®en igaz a következ® kijelentés.Legyen adott egy P di�erenciálható sokaság és egy λ : P → N sima leképezés. Tekintsünkegy Y ∈ Cµ(TM) mez®t és az abból nyert Y ◦ λ : P → TM vektormez®t a µ ◦ λ : P →Mleképezés mentén. Ekkor tetsz®leges v ∈ TpP (p ∈ P ) vektorral fennáll∇µ◦λv (Y ◦ λ) = ∇µ

Tλ(v)Y , azaz ∇µ◦λ(v, Y ◦ λ) = ∇µ(Tλ(v), Y ).

A görbe menti vektormez®k kovariáns deriváltja. A geodetikus görbék

Vegyünk egy σ : I →M sima görbét és egy Y ∈ Cσ(TM) vektormez®t a σ mentén.

Az 1.20. De�níciónak megfelel®en az Y mez®nek ad

du(t) ∈ TtI vektor szerinti kovariáns

deriváltján a Tσ(t)M érint®tér ∇σddu

(t)Y = K ◦ TY ( d

du(t)) vektorát értjük. A kovariáns

deriváltat ∇σddu

(t)Y mellett Y ′(t) is jelölni fogja a továbbiakban. Az 1.21. De�níció alapján

pedig értelmezhet® az Y mez® párhuzamossága.

Tegyük fel, hogy az (U, ξ) térképre fennáll σ(I) ⊂ U . Vegyük σ-nak az (U, ξ) térképheztartozó σi = xi ◦ σ (i = 1, . . . ,m) koordináta-függvényeit, továbbá azon ηi : I → R függ-vényeket, melyekkel teljesül Y (t) =

∑mi=1 ηi(t) ·Xi ◦σ(t). Világos, hogy a σi függvényekre

fennáll σ′i(t) = dxi(σ(t)) = dxi ◦ Tσ( ddu

(t)), t ∈ I. Ekkor az (1.9) összefüggés alapján azY ′(t) kovariáns derivált kifejezhet® a

∇σddu

(t)Y =

m∑k=1

(η′k(t) +

m∑i=1

m∑j=1

Γ ki j(σ(t)) · σ′i(t) · ηj(t)

)Xk(σ(t)) . (2.6)

egyenlettel.

16

Az alábbiakban megadjuk a geodetikus görbe fogalmát.2.5. De�níció. A σ : I → M sima görbét geodetikusnak mondjuk, ha a σ : I → TMvektormez® párhuzamos σ mentén, vagyis ha fennáll (σ)′(t) = 0 tetsz®leges t ∈ I helyen.

A (2.6) egyenletb®l már következik, az alábbi kijelentés.2.2. Állítás. Legyen adott egy σ : I → M sima görbe, amelyre fennáll σ(I) ⊂ U . Aσ sima görbe pontosan akkor geodetikus, ha a σk = xk ◦ σ (k = 1, . . . ,m) koordináta�függvények kielégítik a

σ′′k(t) +m∑i=1

m∑j=1

Γ ki j ◦ σ(t) · σ′i(t)σ′j(t) = 0 (k = 1, . . . ,m) (2.7)

másodrend¶ di�erenciálegyenlet-rendszert.

Egy γ : I →M geodetikus görbét maximálisnak mondunk, ha nincs olyan σ : J →Mgeodetikus, amelyre I ⊂ J, I 6= J és σ|I = γ egyaránt teljesül.

A di�erenciálegyenlet�rendszerek elméletéb®l következik az alábbi eredmény.2.3. Állítás. Legyen adva az M sokaság egy tetsz®leges v∈TpM (p∈M) érint®vektora.Egyértelm¶en létezik egy olyan γ : I →M maximális geodetikus, amelyre fennáll γ(0) = pés γ(0) = v.

A lineáris konnexió spray-mez®je

Az alábbiak során megmutatjuk, hogy a K konnexió leképezés meghatároz egy vektorme-z®t a TM érint®nyalábon.2.4. Állítás. A TM érint®nyalábon egyértelm¶en létezik egy olyan S ∈ X(TM) vektor-mez®, amelyre teljesül Tπ ◦ S = idTM és K ◦ S = 0.Bizonyítás.A TM érint®nyaláb TU nyílt halmazán vegyünk egy S ∈ X(TU) vektormez®t. Ezt vala-

mely ζ l : TU → R (l = 1, . . . , 2m) sima függvényekkel ki lehet fejezni az S =∑2m

α=1 ζl ∂

∂xlalakban. Azt vizsgáljuk, hogy az S mikor felel meg az állításban szerepl® két feltételnek.

Mint ismeretes, tetsz®leges w ∈ TU helyen fennáll Tπ( ∂∂xi

(w))

=∂

∂xi(π(w)) és

Tπ( ∂

∂xm+i(w)

)= 0. Ily módon a Tπ(S(w)) =

∑mi=1 ζ

i(w)∂

∂xi(π(w)) összefüggéshez ju-

tunk. Mivel w =∑m

i=1 dxi(w) · ∂

∂xi(π(w)), Tπ(S(w)) = w pontosan akkor teljesül, ha

igaz ζ i(w) = dxi(w) = xm+i(w). Ebb®l már adódik, hogy az els® feltétel következtében aζ i ∈ F(TU) (i = 1, . . . ,m) függvényekre fennáll ζ i = xm+i = dxi.

Tekintsük most a konnexió-leképezésre vonatkozó

K(S(w)) =∑m

k=1

(ζm+k(w) +

∑mi=1

∑mj=1 Γ k

i j(π(w)) · ζ i(w) · dxj(w))Xk(π(w))

összefüggést. Ebb®l az következik, hogy Tπ(Z(w)) = w és K(S(w)) = 0 fennállása eseténteljesül (k = 1, . . . ,m)

ζk(w) = xm+k(w), ζm+k(w) = −m∑i=1

m∑j=1

Γ ki j(π(w)) · dxi(w) · dxj(w) .

17

Mivel az S mez® kifejezésében szerepl® ζ l függvények a két feltétel alapján egyértelm¶enmeghatározottak, így az S vektormez® létezése is egyértelm¶. �

Megjegyzés. A fenti bizonyítás szerint az S spray-mez®nek a TU -ra való lesz¶kítésefelírható a (TU, ξ) térképezés bázisvektormez®ivel az

S|TU =m∑k=1

dxk∂

∂xk−

m∑k=1

( m∑i=1

m∑j=1

(Γ ki j ◦ π

)· dxi · dxj

) ∂

∂xm+k(2.8)

egyenlettel.

2.6. De�níció. A TM érint®nyalábon vett azon S ∈ X(TM) vektormez®t, amelyrefennáll K ◦ S = 0 és Tπ ◦ S = idTM , a ∇ lineáris konnnexió spray-mez®jének mondjuk.

Legyen adva egy olyan σ : I → M sima görbe, amelynek σ(I) pályája benne vanegy (U, ξ) térkép U tartományában. Vegyük a σ : I → TM görbét, amelyre nyilvánfennáll π ◦ σ = σ. Könny¶ belátni, hogy ennek az érint®nyalábon vett σ görbének azérint®vektorára fennáll

σ(t) =m∑i=1

σ′i(t)∂

∂xi(σ(t)) +

m∑i=1

σ′′i (t)∂

∂xm+i(σ(t)).

A fenti összefüggés és (2.8) alapján már nem nehéz igazolni az alábbi állítást, amely ageodetikusok és a spray-mez® kapcsolatáról szól.2.5. Állítás. A spray-mez®re vonatkozóan igazak az alábbi kijelentések.(1) Egy σ : I → M sima görbe geodetikus akkor és csak akkor, ha σ : I → TM egyintegrálgörbéje az S spray-mez®nek.(2) Amennyiben a ϕ : I → TM sima leképezés egy integrálgörbéje az S spray-mez®nek,akkor a σ = π ◦ ϕ görbe egy geodetikust ad M -ben és fennáll σ = ϕ.

Korábban már értelmeztük a hα : TM → TM homotéciát egy α ∈ R számmal, amelyaz α arányú nyújtást adja az érint®nyalábon.2.6. Állítás. A ∇ kovariáns deriválás S ∈ X(TM) spray-mez®jére teljesül azS ◦ hα = α · (Thα ◦ S) összefüggés.

A vektormez®höz rendelt maximális folyam

A továbbhaladás érdekében teszünk egy kitér®t az érint®nyalábon vett kovariáns deriválástanulmányozásában.

Az Rm euklideszi térben vegyünk egy U nyílt halmazt és azon egy olyan F : U → Rm

vektorfüggvényt, amely C∞-osztályú.2.7. De�níció. Egy σ : I → U ⊂ Rm sima görbét az F vektorfüggvény integrálgörbéjénekmondunk, ha tetsz®leges t ∈ I helyen fennáll σ′(t) = F ◦ σ(t).

18

A di�erenciálegyenlet-rendszerek elméletéb®l ismeretes az alábbi alapvet® tétel.2.7. Tétel. Legyen adott egy U nyílt összefügg® tartomány Rm�ben, és azon egy C∞-osztályú F : U → Rm függvény. Tetsz®leges a ∈ U pont esetén van olyan W ⊂ U nyíltkörnyezete a-nak és olyan J (0 ∈ J) nyílt intervallum, hogy megadható egy C∞-osztályúψ : W × J → Rm leképezés, amelyre igaz a következ®: Bármely b ∈ W és t ∈ J eseténfennállnak a ψ(0, b) = b és ∂1ψ(t, b) = F ◦ ψ(t, b) egyenl®ségek.

Megjegyzés. Tekintsük a fenti tételt. Rögzített b ∈ U és t ∈ J értékek mellett vezessükbe a ψb : J → U ⊂ Rm és ψt : W → U ⊂ Rm leképezéseket, ahol ψb(t) = ψ(t, b) ésψt(b) = ψ(t, b). A ψb sima görbe sebességvektorára fennáll

ψ′b(t) = limh→0

1

h(ψb(t+ h)− ψb(t)) = lim

h→0

1

h(ψ(t+ h, b)− ψ(t, b)) = ∂1ψ(t, b) = F ◦ ψb(t).

Eszerint ψb (b ∈ W ) integrálgörbéje az F vektorfüggvénynek.

Az integrálgörbék alkalmazásával igazolható, hogy amennyiben a t, τ ∈ J számokraigaz t+ τ ∈ J , akkor fennáll ψt+τ = ψt ◦ ψτ .

A 2.7. Tételt a térképezések alkalmazásával átvihetjük a sima sokaságok esetére. Ehhezazonban be kell vezetnünk egy jelölést. Legyen J egy valós intervallum és N egy sokaság.A J ×N szorzatsokágban vegyük az ωq : J → J ×N (q ∈ M) sima görbét, amelyre igazωq(t) = (t, q). Ezen görbe τ ∈ J helyen vett ωq(τ) érint®vektorát jelölje ∂

∂t(τ, q).

2.8. Tétel. Legyen adott egy N di�erenciálható sokaság és azon egy Y vektormez®.Ekkor tetsz®leges p ∈ N ponthoz van olyanW nyílt környzet és J (0 ∈ J) nyílt intervallum,hogy a J ×W szorzatsokaságon megadható egy olyan Φ : J ×W → N sima leképezés,amelyre bármely q ∈ W és τ ∈ J esetén igazak a következ®k:Φ(0, q) = q, TΦ( ∂

∂t(τ, q)) = Y ◦ Φ(τ, q)

Megjegyzés. A 2.8. Tételben szerepl® Φ : J × W → N sima leképezést az Y vek-tormez® egy lokális folyamának mondjuk. Amennyiben egy q ∈ W ponthoz vesszük aϕq(t) = Φ(t, q) egyenlettel leírt ϕq : J → N görbét, akkor az egy integrálgörbéje az Yvektormez®nek.

Rögzített t ∈ J érték mellett tekintsük a Φt : W → N lokális di�eomor�zmust, amelyeta Φt(q) = Φ(t, q) egyenlettel adunk meg. Ezt a Φt leképezést a lokális folyam t pillanathoztartozó stádiumának nevezzük.

Alkalmazni fogjuk majd az alábbi tételt is, amely az el®z®ek alkalmazásával igazolható.Az Y ∈ X(N) vektormez® egy integrálgörbéjét akkor mondjuk maximálisnak, ha az nemterjeszthet® ki egy b®vebb intervallumra.2.9. Tétel. Legyen adott egy N sokaság és azon egy Y vektormez®. Tetsz®leges p ∈ Npont esetében legyen ϕp : Jp → N az a maximális integrálgörbe az Y mez®höz, amelyrefennáll ϕp(0) = p. Ezen Jp (p ∈ N) intervallumokkal vegyük a V = ∪p∈NJp×{p} halmaztaz R×N szorzatsokaságban, továbbá azt a Φ : V → N leképezést, melyet a Φ(p, t) = ϕp(t)összefüggéssel értelmezünk.

Ekkor V egy nyílt részhalmaza az R × N sokaságnak és a Φ : V → N leképezésdi�erenciálható.

19

2.8. De�níció. A fenti tételben szerepl® Φ : V ⊂ R × N → N sima leképezést az Yvektormez® maximális folyamának nevezzük.

Megjegyzés. Egy Y ∈ X(N) vektormez®t teljesnek mondunk, ha az összes maximálisintegrálgörbéje a teljes R számegyenesen van értelmezve.

Igazolható, hogy amennyiben az N sokaság kompakt, akkor bármely Y ∈ X(N) vek-tormez® teljes.

Az exponenciális leképezés

A továbbiakban ismét egy olyan M sokaságot tanulmányozunk, amelynek TM érint®nya-lábján adva van egy ∇ lineáris konnexió. A ∇ egyértelm¶en meghatároz egyK : T (TM)→ TM konnexió-leképezést és egy S ∈ X(TM) spray-mez®t.

Tetsz®leges w ∈ TM esetén legyen ϕw : Jw → TM az a maximális integrálgörbe az Svektormez®höz, amelyre fennáll ϕw(0) = w. Korábban már beláttuk, hogy aγw = π ◦ ϕw : Jw → TM görbe egy geodetikust ad M -ben, továbbá teljesül γw = ϕw.

Az S ∈ X(TM) vektormez®re vonatkozó 2.6. Állítás felhasználásával igazolható azalábbi kijelentés.2.10. Állítás. Egy w ∈ TM érint®vektorhoz vegyük az S spray-mez® ϕw : Jw → TMmaximális integrálgörbéjét. Ekkor tetsz®leges α ∈ R valós szám esetén az αw kezd®pontúintegrálgörbére teljesül ϕαw(t) = α · ϕw(α t).

Megjegyzés. A fenti 2.10. Állításból következik, hogy az αw (αw 6= 0) vektorhoz tartozómaximális integrálgörbe intervallumára fennáll Jαw = 1

α· Jw.

A 2.9. Tételnek megfelel®en tekintsük most az S ∈ X(TM) spray-mez®Φ : V ⊂ R × TM → TM maximális folyamát. Mint ismeretes, tetsz®leges w ∈ TMesetében fennáll (R× {w}) ∩ V = Jw × {w}, továbbá Φ(w, t) = ϕw(t).

Tekintsük most a TM érint®nyaláb TM = {w ∈ TM | 1 ∈ Jw } részhalmazát. Errenyilván fennáll V ∩ ({1} × TM) = {1} × TM . Belátható, hogy TM egy nyílt halmazTM -ben és tartalmazza az M összes érint®terének nullvektorát.2.9. De�níció. A ∇ kovariáns deriváláshoz tartozó exponenciális leképezésen azt azExp : TM → M függvényt értjük, amelyet az Exp(w) = π ◦ Φ(1, w) összefüggés ír letetsz®leges w ∈ TM esetén.

Vegyük azt a ι : TM → V ⊂ R × TM injekciót, melyet a ι(w) = (1, w) összefüggésír le. A TM -beli TM nyílt halmazon értelmezett exponenciális leképezés felírható azExp = π ◦ Φ ◦ ι alakban. Ebb®l a kifejezésb®l azonnal adódik, hogy Exp egy simaleképezés.

Válasszunk ki egy p ∈M pontot. Vegyük a TpM -beli TpM = TpM∩TM nyílt halmazt.Világos, hogy amennyiben w ∈ TpM teljesül, akkor fennáll τ w ∈ TpM bármely τ ∈ [0, 1]számmal.2.10. De�níció. Az M sokaság p pontjában vett Expp exponenciális leképezésen az Expleképezésnek a TpM halmazra történ® lesz¶kítését értjük.

Az exponenciális leképezés és a geodetikusok kapcsolatára világít rá a következ® ered-mény.

20

2.11. Állítás. Egy w ∈ TpM vektorhoz tekintsük azt a γ : [0, 1]→M leképezést, amelyeta γ(t) = Expp(tw), t ∈ [0, 1] összefüggés ír le. Ekkor γ egy geodetikus görbe és fennállγ(0) = w.

Jelölje 0p a TpM érint®tér nullvektorát. Vegyük a TpM és T0p(TpM) vektorterek ter-mészetes azonosítását, melyet írjon le az I0p : TpM → T0p(TM) lineáris izomor�zmus.2.12. Állítás. Az Expp : TpM → M leképezés 0p pontbeli érint®leképezésre fennállT0pExpp ◦ I0p = idTpM .

A fenti állítás szerint a TExpp érint®leképezés az 0p ∈ TpM pontban egy lineárisizomor�zmus. Emiatt igaz a következ®.2.13. Állítás. Az 0p nullvektornak van olyan U nyílt környezete a TpM érint®térben,hogy az Expp exponenciális leképezésnek az U -ra való lesz¶kítése egy di�eomor�zmust adU és az M -beli Expp(U) nyílt halmaz között.

A kovariáns deriváláshoz rendelt torzió tenzor és görbületi tenzor

A továbbiakban is feltesszük, hogy az M sokaság TM érint®nyalábján adva van egy ∇lineáris konnexió.

Tekintsük azon T : X(M)× X(M)→ X(M) leképezést, amelyet aT (X, Y ) = ∇XY −∇YX− [X, Y ] kifejezés ír le tetsz®leges X, Y ∈X(M) vektormez®kre.

Könnyen ellen®rizhet®, hogy T egy F(M)-lineáris leképezést ad, azaz tetsz®legesf ∈ F(M) függvénnyel és X, Y ∈X(M) vektormez®kkel fennáll

T (f X, Y ) = f · T (X, Y ) = T (X, f Y ).

Innen már adódik, hogy T egy (1, 2) típusú tenzormez® az M sokaságon.2.11. De�níció. Az (1,2) típusú T tenzormez®t a ∇ kovariáns deriválás torzió tenzoránaknevezzük.

Megjegyzés. Világos, hogy T a változóira nézve antiszimmetrikus, azazT (X, Y ) + T (Y,X) = 0 teljesül.

Amennyiben egy (U, ξ) térkép bázisvektormez®it vesszük, akkor a torzió tenzorra a

T (Xi, Xj) = ∇XiXj −∇XjXi =∑m

k=1

(Γ ki j − Γ k

j i

)·Xk

lokális kifejezést kapjuk.

Megjegyzés. A ∇ kovariáns deriválást torziómentesnek mondjuk, ha a torzió tenzoraelt¶nik. Emiatt torziómentes ∇ esetén a Christo�el-szimbólumok a két alsó indexre nézveszimmetrikusak, azaz fennáll Γ k

i j − Γ kj i.

Vegyük azt az R : X(M)× X(M)× X(M)→ X(M) leképezést, amelynél fennállR(X, Y, Z) = ∇X(∇YZ)−∇Y (∇XZ)−∇[X,Y ]Z tetsz®leges X, Y, Z∈X(M) mez®kre.

Közvetlen számolással ellen®rizhet®, hogy R egy (1,3) típusú tenzormez®.2.12. De�níció. Az (1,3) típusú R tenzormez®t a∇ lineáris konnexió görbületi tenzoránakmondjuk.

Megjegyzés. Világos, hogy az R görbületi tenzor az els® két változójában antiszimmet-rikus, vagyis igaz R(X, Y, Z) +R(Y,X,Z) = 0.

21

Megjegyzés. A szakirodalomban általánosan elterjedt az a formalizmus, hogy az Rgörbületi tenzornak az X, Y, Z ∈X(M) vektormez®kön nyert értékét R(X, Y, Z) helyettinkább R(X, Y )Z jelöli.

Megjegyzés. Amennyiben egy (U, ξ) térkép bázisvektormez®it vesszük, akkor a torziótenzorra az

R(Xi, Xj)Xk =∑m

l=1

( ∂

∂xi(Γ l

j k)−∂

∂xj(Γ l

i k) +∑m

a=1

(Γ li aΓ

aj k − Γ l

j aΓai k

))·Xl

lokális kifejezést kapjuk.

Tenzormez®k kovariáns deriváltja

Tekintsünk az M sokaságon egy (1, r) típusú Q : X(M)r → X(M) tenzormez®t és egyX ∈X(M) vektormez®t. Mint ismeretes, Q tetsz®leges p ∈ M pontban meghatároz egyQp : (TpM)r → TpM r-lineáris leképezést a TpM érint®téren.

Vegyük azt a ∇XQ : X(M)r → X(M) leképezést, ahol fennáll

(∇XQ) (Y1, . . . , Yr) = ∇X(Q(Y1, . . . , Yr))−r∑i=1

Q(Y1, . . . ,∇XYi, . . . , Yr)

bármely Y1, . . . , Yr∈X(M) vektormez®k esetén. Könnyen ellen®rizhet®, hogy ez a leképe-zés F(M)�lineáris, tehát a ∇XQ is egy (1, r) típusú tenzormez®.2.13. De�níció. A Q tenzormez®nek az X ∈X(M) vektormez® szerinti kovariáns deri-váltján a fenti összefüggéssel értelmezett ∇XQ tenzormez®t értjük.

Megjegyzés. Analóg módon lehet értelmetni a (0, r) típusú tenzormez®k kovariáns deri-váltját is.

2.14. De�níció. A Q tenzormez®t párhuzamosnak mondjuk, ha tetsz®leges X ∈X(M)esetén fennáll ∇XQ = 0.

Tekintsük most azt a ∇Q : X(M)r+1 → X(M) leképezést, amelyet a

∇Q (Y1, . . . , Yr+1) = (∇Yr+1Q)(Y1, . . . , Yr)

kifejezés ír le, ahol Y1, . . . , Yr+1 ∈ X(M) tetsz®leges vektormez®k. Evidens, hogy a ∇Qleképezés egy (1, r + 1) típusú tenzormez®t ad.2.15. De�níció. A ∇Q tenzormez®t a Q kovariáns deriváltjának mondjuk.

22