Riprendiamo il cammino

• Le tre regole alla base della logica Aristotelica sono :

• Il principio di identità (ogni oggetto del pensiero è identico a se stesso)

• Il principio del terzo escluso • ( una affermazione può avere solo uno di questi due valori di

verità, cioè può essere o vera o falsa )

• Il principio di non contraddizione : ( un’affermazione non può essere contemporaneamente vera e

falsa )

Esempio I

In un sacchetto ci sono alcune biglie • Maria dice : nel sacchetto ci sono in tutto tre biglie e

sono nere.• Luca dice :nel sacchetto ci sono due biglie nere e due

biglie rosse.• Giorgio dice :nel sacchetto ci sono solo biglie nereSapendo che uno solo dei tre ha mentito , quante biglie

ci sono nel sacchetto ?(A) una (B) due ( C) tre ( D ) quattro ( E ) non ci

sono sufficienti elementi per determinarne il numero

Risoluzione

• Se Maria ha mentito , Luca e Giorgio si contraddicono .

• Se ha mentito Giorgio si contraddicono Maria e Luca.

• Se il mentitore è Luca , le affermazioni di Maria e Giorgio devono essere entrambe vere : quindi la risposta corretta è la ……

II Esempio

• In questo rettangolo c’è esattamente una affermazione falsa

• In questo rettangolo ci sono esattamente due affermazioni false

• In questo rettangolo ci sono esattamente tre affermazioni false

• In questo rettangolo ci sono esattamente quattro affermazioni false

II Esempio

• Quante affermazioni vere ci sono nel rettangolo ?

• ( A ) 0

• ( B ) 1

• ( C ) 2

• ( D ) 3

• ( E ) 4

Risoluzione

• Poiché le quattro affermazioni che stanno nel rettangolo si contraddicono vicendevolmente al più una sola di esse può essere vera

• La terza affermazione risulta vera ,dato che le altre tre sono evidentemente false ; quindi la risposta giusta è la ……..

Debolezza principio di non contraddizione

• Il principio di non contraddizione rappresenta però anche un punto debole della logica se si riesce ad enunciare una affermazione auto-contraddittoria tipo :

Questa affermazione è falsa

Paradossi

Così sono nati i più famosi paradossi della storia

• paradosso del mentitore di Epimenide • paradosso del barbiere ( se il barbiere del

villaggio rade tutti gli uomini che non si radono da soli , chi rade il barbiere?,)

• Paradosso di Russell(l'insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e

solo se non appartiene a se stesso.)

Creiamo un paradosso

• Nel paese Vattalapesca ogni anno ,al momento del pagamento delle tasse, l’utente fa una dichiarazione relativa all’anno in corso.

• Se la dichiarazione è vera , deve pagare le tasse ;

• se la dichiarazione è falsa ,non le paga:

Un giovane matematico, ritenendo iniquo il sistema trova il modo di bloccarlo:

voi come fareste ?

Aristotele e la logica

L’importanza fondamentale di Aristotele nell’ambito della logica comprende tre campi :

• Sillogismo

• Quantificatori ( nessuno , qualcuno, tutti )

• Modalità ( lo studio di impossibile, possibile ,necessario)

Sillogismo

Etimologicamente = Ragionamento concatenato

E’ un tipo di ragionamento deduttivo formale : da due proposizioni dette

premesse segue necessariamente una terza detta conclusione.

:

Tipi di sillogismo

I sillogismi più utilizzati sono :

1) i sillogismi condizionali :

a) modus ponens

b) modus tollens

Esempio

PRIMO RAGIONAMENTO • Bearzot sta fumando la pipa• Dopo aver vinto una partita ,Bearzot fuma

sempre la pipa• Dunque Bearzot ha appena vinto una partita.SECONDO RAGIONAMENTO• Ogni volta che conquista una vetta Messner si

concede una bella bevuta• Non ha conquistato una vetta quindi non si

concede una bella bevuta

Esempio sillogismo condizionato

TERZO RAGIONAMENTO• Rossi ha appena vinto una gara• Ogni volta che vince una gara , Rossi fa

impennare la moto.• Dunque Rossi ora fa impennare la moto.QUARTO RAGIONAMENTO• Ogni volta che vince il Tour de France ,

Armstrong brinda con gli amici• Non ha brindato con gli amici quindi non ha vinto

il Tour de France.

Sillogismo condizionato

• Quanti dei precedenti ragionamenti risultano logicamente attendibili ?:

a) Unob) Duec) Tred) Tuttie) nessuno

Sillogismi categorici

• Schemi di ragionamento costituiti da

• Premessa maggiore

• Premessa minore

• conclusione

Tipi di sillogismi categorici

Si basano su vari tipi di quantificatori infatti si distinguono in :

• Universale affermativa = tutti gli A sono B

• Universale negativa = Nessun A è B

• Particolare affermativa :qualche A è B

• Particolare negativa: Alcuni A non sono B

Sillogismo

• Aristotele studiò 276 sillogismi e vide che si potevano tutti ridurre a circa una ventina che a loro volta si possono ricondurre al sillogismo Barbara che oggi chiameremmo la transitività della implicazione :

• da A discende B , • da B discende C allora • da A discende C.

sillogismo

• la premessa maggiore

contiene

il predicato della conclusione ,

mentre

La premessa minore

contiene

il soggetto della conclusione.

esempi

• Alcuni riformatori sono fanatici ; quindi alcuni idealisti sono fanatici perchè tutti i riformatori sono idealisti.

• Nessuna persona ricca è un capo di sindacato ,perché nessuna persona ricca è liberale e tutti i capi sindacato sono veri liberali.\

• Alcuni greci sono filosofi perché tutti gli ateniesi sono greci ed alcuni filosofi sono ateniesi

Quantificatori

• Aristotele riuscì a codificare i legami tra le varie particelle attraverso il seguente schema:

Affermativo negativo

universale Tutti nessuno

particolare alcuni Non tutti

Interdefinibilità dei quantificatori

Il quantificatore universale e il quantificatore esistenziale sono interdefinibili:

• il quantificatore universale si può definire per mezzo di quello esistenziale e della negazione

• quantificatore esistenziale si può definire per mezzo del quantificatore universale e della negazione

interdefinibilità

ES.

1)

Tutti fanno =

Non è vero che qualcuno non fa

2)

Qualcuno fa =

Non è vero che tutti non fanno

Esempio 1

• Se è vero che “ tutti gli intellettuali sono interlocutori noiosi” sarà necessariamente VERA anche UNA delle affermazioni seguenti :a)Tutti gli interlocutori sono intellettuali noiosi b)Nessun interlocutore noioso è intellettualec)È falso che alcuni intellettuali non siano noiosi d)Tutti i noiosi sono intellettuali

e)Tutti gli interlocutori sono noiosi

Esempio 2

• Se è vero che “ non tutti i mali vengono per nuocere “ sarà necessariamente VERA anche

UNA delle seguenti affermazioni:• Nessun male nuoce• Se non vengono per nuocere non sono mali• Quelli che nuocciono non sono mali • Se sono mali non vengono per nuocere• Qualche male non viene per nuocere.

Esempio 3

• A quale delle seguenti affermazioni equivale la frase : “ non tutti i miopi portano gli occhiali”

• a)nessun miope porta gli occhiali• b)tutti i miopi portano gli occhiali• c)non vi è un miope che non porti gli occhiali• d)tutti i miopi evitano di portare gli occhiali• e)C’è almeno un miope che non porta gli occhiali•

La negazione

• la negazione di “ Antonio è alto “ non è “ Antonio è basso “ma“ Antonio non è alto “

• la negazione di “ Nego l’impossibilità di andare su Giove “ è “ su Giove non si può andare “

• la negazione di “ non esco mai “ non è “ esco sempre “ ma “ a volte esco”

Negazione dei quantificatori

• La negazione di “ per ogni x , p(x) è vera “ è “esiste almeno un x per cui p(x) è falsa”

• La negazione di “ esiste almeno un y, q(y) è vera “ è “ per ogni y , q(y) è falsa

Esempi 1

Quale delle seguenti affermazioni è la negazione di

• Tutti i numeri perfetti sono pari a)tutti i numeri perfetti sono disparib)almeno un numero perfetto è disparic)almeno un numero pari non è perfettod)nessun numero pari è perfettoe)nessun numero dispari è perfetto

Esempio 2

La seguente proposizione “ in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti promossi “ diventa falsa quando:

a)in ogni scuola c’è almeno una classe in cui sono tutti bocciati

b)in ogni scuola c’è almeno un bocciato in tutte le classic) c’è almeno una scuola che ha almeno un bocciato in

ogni classed) c’è almeno una scuola che ha dei promossi in ogni

classee) c’è almeno una scuola in cui c’è una classe che ha

almeno un bocciato

Risolviamo

per passaggi successivi• Non ( in ogni scuola c’è almeno una classe in cui

sono tutti promossi) = • c’è almeno una scuola in cui non (c’è almeno

una classe in cui sono tutti promossi )=• c’è almeno una scuola in cui ogni classe non

( sono tutti promossi ) =• c’è almeno una scuola in cui in ogni classe c’è

almeno un bocciato

Esempio 4

Francesca afferma che “ tutti gli studenti di ingegneria biomedica hanno partecipato almeno una volta al test di Medicina”. Sapendo che l’affermazione di Francesca è falsa , determinare quale delle seguenti situazioni è sicuramente verificata :

• a)Almeno uno studente che ha partecipato al test di medicina non si è iscritto a ingegneria biomedica

• b)nessuno studente di ingegneria biomedica ha mai partecipato al test di medicina

• c)Almeno uno studente di ing.biomedica ha partecipato al test di medicina

• d)almeno uno studente di ing biomedica non ha mai partecipato al test di medicina.

• e)almeno uno studente di ing.biomedica ha superato il test di medicina

Modalità

• Particella del linguaggio con comportamento analogo ai quantificatori

• Affermativo Negativo

apodittico necessario impossibile

problematico possibile contingente

modalità

• I quantificatori e le modalità godono delle stesse proprietà : infatti si può passare da necessario a possibile nello stesso modo con cui passiamo da tutti a qualcuno:

Es. • E’ necessario fare = non è possibile non

fare • E’ possibile fare = non è necessario non

fare

Cosa resta di Aristotele

• Il nome : pietra migliare della logica insieme a Frege

• Le sue scoperte che hanno portato alla luce delle qualità sommerse della analisi linguistica

Saluti

Nulla di tutto quello che avevo imparato al college sembrava avere speranza di applicazione pratica nella mia vita, ma dieci anni dopo, quando stavamo progettando il primo computer Machintosh,tutto mi tornò utile. Steve Jobs- discorso alla Stanford-University

Saluti

• Era la metà degli anni Settanta e io avevo pressappoco la vostra età:Nella copertina del numero finale c’era una fotografia di una strada di campagna nel primo mattino, del tipo che potete trovare facendo autostop se siete dei tipi così avventurosi. Sotto, le seguenti parole: “Siate affamati. Siate folli”. e ho sperato questo per me .

Augurio

• Ed è l’augurio che io vi faccio:

• siate affamati di conoscere e capire e siate folli per vivere la vostra avventura scolastica con creatività ed entusiasmo