Riset Operasi

Halaman 1

PENDAHULUAN

PERKEMBANGAN RISET OPERASI

Sejak revolusi industri , dunia usaha tampaknya telah diwarnai pertumbuhan dalam

hal ukuran (besarnya) dan kompleksitas organisasai – organisasi perusahaan. Bagian yang

mengalami perubahan yang cukup menyolok adalah perkembangan dalam pembagian kerja

dan segmentasi tanggung jawab menegemen dalam organisasi – organisasi tersebut.

Perkembangan spesialis ini, bagaimanapun juga telah menciptakan masalah – masalah baru

yang sekarang masih banyak terjadi di organisasi. Salah satu adalah kecenderungan unit –

unit suatu organisasi tumbuh secara relatif menjadi “kerajaan” yang otonomi dengan tujuan –

tujuan dan sistem – sistem nilai sendiri. Oleh sebab itu, kehilangan pandangan bagaimana

kegiatan – kegiatan dan tujuan – tujuan mereka disatukan pada keseluruhan organisasi. Selain

itu, kompleksitas dan spesialisasi dalam sutau organisasi menumbuhkan kesulitan yang

semakin besar untuk mengalokasikan sumber daya – sumber daya yang tersedia untuk

kegiatan – kegiatan organisasi yang bermacam – macam dengan cara yang paling efektif

sebagai organisasi keseluruhan. Masalah – masalah ini dan kebutuhan untuk menemukan cara

yang lebih baik dalam memecahkannya telah menimbulkan kebutuhan akan teknik – teknik

riset operasi (operation research).

Di sisi lain, organisasi – organisasi (perusahaan) pada saat ini harus beroperasi di

dalam situasi dan kondisi lingkungan bisnis yang dinamis dan selalu bergejolak , serta ssiap

untuk berubah – ubah. Perubahan – perubahan tersebut terjadi sebagai akibat dri kemajuan

teknologi yang begitu pesat ditambah dengan dampak dari beberapa faktor – faktor

lingkungan lainnya, seperti keadaan ekonomi, politik, sosial dan sebagainya. Akibatnya

perusahaan tidak lagi hanya dapat menggantungkan kelangsungannya pada kejadian dan

ketajaman panca indera para managernya, tetapi sudah harus mengalihkan perhatiaanya pada

penggunaan metode – metode kuantitatif dan peralatan komputer sebagai alat bantu manager

dalam pemecahan masalah dan pengambilan keputusan. Metode – metode dan peralatan –

peralatan kuantitatif ini merupakan pendekatan ilmiah untuk menemukan cara yang lebih

Mata Kuliah Riset Operasi Muhamad Dwi Suyanto - 130521612649

BAB 1

Halaman 2

baik untuk memecahkan masaalah yang harus dihadapi dalam lingkungan dan untuk memilih

alternatif terbaik dengan bantuan perlatan – peralatan matematis tersebut.

Akar dari perkembangan riset operasi dapat ditelusur kembali dalam beberapa dekade,

dimana penggunaan pendekatan ilmiah dalam managemen organisasi dimulai. Bagaimanapun

juga permualaan dari kegiatan yang disebut riset operasi telah mulai dikembangkan

penggunaanya pada permulaan perang dunia kedua. Pada saat itu dirasa perlu untuk

mengalokasikan sumber daya – sumber daya yang terbatas dan langka untuk bemacam –

macam operasi militer, dan kegiatan – kegiatan pada setiap operasi harus dilakukan dengan

cara efektif dan memenangkan perang. Managemen inggris dan kemudian Amerika mulai

“memanggil” para ahli untuk menerapkan pendekatan ilmiah untuk keperluan strategi dan

taktik militernya. Karena mereka diminta untuk melakukan riset pada operasi – operasi

(militer), mereka merupakan tim riset operasi yang pertama. Keberhasilan usaha ini tampak

dalam kemenangan Angkatan Udara Inggris, peperangan di Atlantik Utara, dan sebagainya.1

Setelah perang dunia kedua berakhir, dengan melihat sukses penggunaan riset operasi

dalam militer, kalangan industri menjadi tertarik pada bidang baru ini. Pertumbuhan industri

(setelah perang berakhir) terjadi sangat pesat, sehingga tim – tim riset operasi menjadi sangat

dibutuhkan dalam dunia bisnis, karena masalah – masalah yang timbul pada dasarnya sama

walaupun konteksnya berbeda dengan yang telah dihapai kalangan militer. Dari waktu ke

waktu, kegunaan riset operasi sebagai peralatan managemen (tool of management), semakin

dirasakan oleh perusahaan – perusahaan (terutama perusahaan – perusahaan besar), sehingga

mereka berlomba – lomba untuk menarik para ahli di bidang ini atau mengirimkan staff

mereka untuk memperdalam ilmunya di bidang riset operasi.

Tim – tim riset operasi dalam lingkungan dunia bisnis ini menandai kemajuan teknik

– teknik riset operasi. Sebagai contoh utama adalah metode simpleks untuk pemecahan

masalah – masalah linier programming, yang dikembangkan oleh George Dantzig pada tahun

1947. Di samping itu, banyak perlatan – peralatan riset operasi standar, seperti linier

programming, dynamic programming, teori antrian dan teori pengendalian persediaan telah

dikembangkan sebelum akhir tahun 1950 – an. Sebagai tambahan, kemajuan teknologi

komputer juga telah menandai kemajuan teori riset operasi dan banyak membantu

pengambilan keputusaan


Halaman 3

1 Cerita panjang lebar tentang sejarah perkembangan riset operasi dapat ditemukan

hampir di semua buku – buku riset operasi (operation research).

pemecahan masalah yang optimum dalam berbagai bidang dan permasalahan. Perkembangan

komputer – komputer elektronik digital dengan kemampuannya untuk melakukan

perhitungan – perhitungan aritmatik ribuan atau bahkan jutaan kali lebih cepat dari

kemampuan manusia, merupakan perkembangan “dahsyat” riset operasi.

ARTI RISET OPERASI

Arti riset operasi (operations research) telah banyak didefinisikan ileh beberapa ahli.

Morse dan Kimball 2 mendefinisikan riset operasi sebagai metode ilmiah (scientific method)

yang memungkinkan para manager mengambil keputusan mengenai kegiatan yang mereka

tangani dengan dasar kuantitatif. Tampaknya definisi lain kurang tegas, karena tidak

tercermin perbedaan antara riset operasi dengan disiplin ilmu yang lain. Sedangkan

Churcman, Arkoff dan Arnoff 3 pada tahun 1950 – an mengemukakan pengertian riset operasi

sebagai aplikasi metode – metode, teknik – teknik dan peralatan – peralatan ilmiah dalam

mengahadapi masalah – masalah yang timbul di dalam operasi perusahaan dengan tujuan

ditemukannya pemecahan yang optimum masalah – masalah tersebut. Dua penulis lain,

Miller dan M.K Starr 4, mengartikan riset operasi sebagai peralatan managemen yang

menyatukan ilmu pengetahuan, matematika dan logika dalam rangka pemecahan masalah –

masalah yang dihadapi sehari – hari, sehingga akhirnya permasalahan tersebut dapat

dipecahkan secara optimal.

Dari ketiga definisi di atas dapat diimpulkan bahwa riset operasi berkenaan dengan

pengambilan keputusan dalam dalam dan penyusunan model dari sistem – sistem baik

deterministik maupun probabilistik yang berasal dari kehidupan nyata.

2 P.M. Morse dan G.E Kimball, Methods of Operation Research, John Wiley & Sons..

New York , 1951.


Halaman 4

3 G.W. Churchman, R.L. Arkhoff & E.L Arnoff, Introduction to Operation Research,

John Wiley & Sons, New York, 1957.4 D.W Miller & M.K Starr, Executive Decisions and Operation Research, Prentice –

Hall, New York, 1960.

Aplikasi – aplikasi ini yang terjadi dalam pemerintahan, bisnis, teknik, ekonomi serta ilmu

pengetahuan alam dan sosial ditandai dengan kebutuhan untuk mengalokasikan sumber daya

– sumber daya yang terbatas , karena sifat dasar organisasi secara hakiki adalah “immaterial”.

Dari riset operasi (berarti research on operations) yang mengandung baik pendekatan maupun

bidang aplikasi, sangat berguna dalam menghadapi masalah – masalah bagaimana

mengarahkan dan mengkoordinasi operasi – operasi atau kegiatan – kegiatan dalam suatu

organisasi dengan segala batasan – batsannya melalui prosedur “search of optimally”.

Kontribusi pendekatan – pendekatan riset operasi yang akan dibahas pada bab – bab

berikut terutama berasal dari :

1) Penyusunan situasi kehidupan nyata ke suatu model matematis, dan pemisahan elemen –

elemen pokok agar suatu penyelesaian yang relevan dengan sasaran atau tujuan pengambil

keputusan dapat tercapai. Ini melibatkan pandangan pada masalah dalam konteks

keseluruhan sitem.

2) Pencarian struktur penyelesaian – penyelesaian dan pengembangan prosedur – prosedur

sistematis untuk mendapatkannya.

3) Pengembangan suatu penyelesaian, termasuk teori atau model matematika, bila perlu,

yang menghasilkan suatu nilai optimal dari sistem sesuai tingkat yang diinginkan (atau

perbandingan alternatif – alternatif kegiatan yang dinilai denga tingkat yang diinginkan),

biasanya dalam dunia bisnis diukur dengan biaya dan laba.

KERANGKA DAN SUSUNAN BUKU INI

Sebagai dasar – dasar riset operasi, buku ini disusun untuk memperkenalkan kepada

para manager, mahasiswa dan para pemakai lainnya, perumusan, penyelesaian dan

implementasi model – model riset operasi untuk penganalisaan masalah – masalah dari sistem

– sistem yang kompleks dalam industri atau pemerintahan. Bagian 1 menyajikan dasar –


Halaman 5

dasar programasi sistematis, yang merupakan bidang riset operasi yang sangat penting

(menonjol), terutama tentang bagaimana mengalokasikan sumber daya – sumber daya yang

terbatas diantara bermacam – macam kegiatan pada suatu organisasi. Bagian 2 membahas

sejumlah model – model probalistik yang membicarakan perhitungan hubungan

ketidakpastian (uncertainty) kejadian – kejadian di waktu yang akan datang untuk

menganalisa tipe – tipe penting yang pasti dari masalah – masalah yang dihadapi.

Sebagian besar materi yang disajikan dalam bagian 1 dan 2 digambarkan dalam

kerangka contoh – contoh khusus situasi – situasi yang akan banyak dijumpai pada praktek.

Bagian 1 dimulai dengan membicarakan teknik linear programming yang meliputi metode

grafik dan simpleks, teori dualitas serta analisa sensitivitas dalam bab 2,3 dan 4. Teknik ini

merupakan alat optimisasi matematis yang banyak berguna untuk pengambilan keputusan

optimal dimana sumber daya – sumber daya yang terbatas harus digunakan seefisisen

mungkin. Salah satu tipe khusus yang penting dari teknik – teknik linear programming

disebut metode transportasi dan masalah penugasan akan dibahas dalam bab 5 dan bab 6.

Kemudian dilanjutkan dengan analisa network , baik PERT atau CPM , serta penerapan

metode matriks dan linear programming pada analisa network. Sebagai tambahan dari teknik

linear programming, ada sejumlah teknik – teknik programasi matematis yang saling

berhubungan dalam mengahadapi beberapa masalah – masalah yang mirip satu denga yang

lain. Salah satu teknik tersebut, yang akan dibahas pada bab 9 adalah programasi dinamis

(dynamic programming), yang dimaksudkan untuk pembuatan keputusan – keputusan antar

hubungan yang berurutan. Sebelumnya pada bab 8 , akan dibicarakan teori permainan (game

theory).

Model probalistik pertama yang akan diuraikan dalam bagian 2 adalah teori

keputusan (decision theory) (bab 10), dimana keputusan dengan kondisi kepastian, risiko dan

ketidakpastian. Kemudian dilanjutkan dengan pembahasan model pengendalian persediaan

(inventory model), yang menjadi sangat penting karena pengelolaan persediaan dengan baik,

organisasi (perusahaan) dapat “menyelamatkan” kekayaannya yang tertanam dalam

persediaan. Pengunaan proses – proses rantai Markov (Markov Chain) akan dibicarakan

dalam bab 12 dan bab 13 akan menguraikan model – model antrian (queueing models), atau

sering disebut metode garis tunggu (waiting line method). Model – model ini merupakan

peralatan riset operasi tertua yang dikembangkan pada tahun 1910 – an oleh seorang Insinyur


Halaman 6

berkebangsaan Denmark bernama A.K Erlang dan sebagai akhir bagian 2 (bab 14) akan

dibahas simulasi (simulation) dalam riset operasi.


Halaman 7

BAGIAN SATU

PROGRAM MATEMATIS


Halaman 8


BAB 2 : LINEAR PROGRAMMING

BAB 3 : METODE SIMPLEKS DALAM LINEAR PROGRAMMING

BAB 4 : DUALITAS DALAM LINEAR PROGRAMMING DAN ANALISA SENSITIVITAS

BAB 5 : METODE TRANSPORTASI

BAB 6 : MASALAH PENUGASAN

BAB 7 : ANALISA NETWORK

BAB 8 : TEORI PERMAINAN

BAB 9 : PROGRAMASI DINAMIS

Halaman 9

LINEAR PROGRAMMING

PENDAHULUAN

Linear programming merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam

pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah

tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap

kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber

yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat digambarkan sebuah

contoh keadaan bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan

tigkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor

produksi: mesin, tenaga kerja, bahan mentah, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat

keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.

Dalam memecahkan masalah di atas linier programming menggunakan model

matematis. Sebutan “linear”berarti bahwa semua fungsi-fungsi matematis yang disajikan

dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linear. Kata “programming” jangan dikacaukan

dengan “computer programming”, seperti yang sering didengar dalam pembicaraan sehari-

hari, walaupun secara mendasar keduanya sering digunakan untuk perencanaan. Jadi, linear

programming mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang

“optimal”, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang paling baik

(menurut model matematis) di antara alternatif-alternatif yang mungkin, dengan

menggunakan fungsi linear.

Karena pentingnya, pembahasan linear programming akan dibagi dalam beberapa

bab. Bab 2 akan menguraikan dasar-dasar bentuk umum linear programming, yang meliputi

bentuk model dan prosedur penyelesaiannya dengan metode grafik. Bab 3 akan melanjutkan

pembahasan tentang metode simpleks dalam linear programming. Bab 4 membicarakan teori

dualitas dalam linear programming analisa sensitivitas. Kemudian akan dibahas pula aplikasi-

aplikasi khusus dari linear programming dalam bidang-bidang riset oprasi lainnya pada bab-

bab selanjutnya.


BAB 2

Halaman 10

MODEL LINEAR PROGRAMMING

Model matematis perumusan masalah umum pengalokasian sumber daya untuk

berbagai kegiatan, disebut sebagai model linear programming (LP). Model LP ini merupakan

bentuk dan susunan dari dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan

teknik LP. Dalam model LP dikenal 2 (dua) macam “fungsi”, yaitu fungsi tujuan (objective

function) dan fungsi-fungsi batasan (constraint functions). Fungsi tujuan adalah fungsi yang

menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan LP yang berkaitan dengan pengaturan

secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau

biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Sedang

fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang

tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Agar memudahkan pembahasan model LP ini, digunakan simbol-simbol sebagai

berikut:

m = macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.

n = macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut.

i = nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang terjadi (i = 1,2,......m).

j = nomer setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang

tersedia (j = 1,2,.....n).

xj = tingkat kegiatan ke, j. (j = 1,2,......n)

aij = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran

(output) kegiatan j (i=1,2,......m, dan j = 1,2,.....n).

bi = banyaknya sumber (fasilitas) i yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit

kegiatan (i = 1,2,.....,n).

Z = nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum).

Cj = kenaikan nilai Z apabila ada bertambahan tingkat kegiatan (xj) dengan satu satuan

(unit); atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap

nilai Z.

Keseluruhan simbol-simbol diatas selanjutnya disusun ke dalam bentuk tabel standar

LP seperti tampak pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1. Data untuk model linear programming


Halaman 11

Kegiatan

Sumber

Pemakaian sumber per unit

kegiatan (keluaran)

1 2 3 .......... n

Kapasitas

sumber

1

2

3

:

:

:

m

a11 a12 a13 ........ a1n

a21 a22 a23 ........ a2n

a31 a32 a33 ........ a3n

:

:

:

am1 am2 am3 ........ anm

b1

b2

b3

:

:

:

bm

ΔZ pertambahan

tiap unit

Tingkat kegiatan

C1 C2 C3 ........ Cn

X1 X2 X3 ........ Xn

Atas dasar tabel diatas kemudian dapat disusun suatu model matematis yang

digunakan untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut:

Fungsi tujuan:

Maksimumkan Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3........ + Cn Xn

Batasan-batasan:

1) a11 X1 + a12 X2 + a13 X3........ + a1n Xn ≤ b1

2) a21 X1 + a22 X2 + a23 X3........ + a2n Xn ≤ b2

:

:

m) am1 X1 + am2 X2 + am3 X3........ + amn Xn ≤ bm

dan

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, .......................... Xn ≥


Halaman 12

Seperti telah diuraikan dimuka, fungsi tujuan dalam LP mencerminkan atau

menggambarkan tujuan yang ingin dicapai dalam pemecahan suatu masalah LP. Batasan

pertama mempunyai arti bahwa jumlah baran/jasa 1 yang dihasilkan oleh kegiatan 1 dikalikan

dengan kebutuhan akan sumber 1/satuan (berarti total alokasi 1 untuk kegiatan 1) ditambah

hasil kegiatan 2 dikalikan dengan kebutuahan tiap satuan keluaran 2 terhadap sumber 1 (dan

seterusnya sampai dengan kegiatan ke-n) tidak akan melebihi jumlah (kapasitas) tersediaya

sumber 1 (yang dinyatakan dengan b1). Hal ini berlaku pula untuk batasan-batasan lainnya

sampai ke-m.

Bentuk atau model LP diatas merupakan bentuk standar bagi masalah-masalah LP

yang akan dipakai selanjutnya. Dengan kata lain bila setiap masalah dapat diformulasikan

secara matematis mengikuti model di atas, maka masalah tersebut dapat dipecahkan dengan

teknik LP.

Terminologi umum untuk model LP yang diuraikan di atas dapat diringkas sebagai

berikut:

1) Fungsi yang akan dimaksimumkan: C1 X1 + C2 X2 + C3 X3........ + Cn Xn disebut

fungsi tujuan (objective function).

2) Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu;

a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m (yaitu ai1 X1 +

ai2 X2 + ai3 X3........ + aim Xn).

b. Fungsi batasan non-negatif (non-negatif-constraints) yaitu fungsi-fungsi batasan

yang dinyatakan dengan Xi ≥ 0.

3) Variabel-variabel Xj disebut sebagai decision variables.

4) aij, bi dan Cj, yaitu masukan-masukan (input) konstan; disebut sebagai parameter

model.

Tentu saja, dalam praktek, tidak semua masalah Lp dapat persis mengikuti model di atas.

Masalah- masalah tersebut antara lain adalah:

1) Masalah minimisasi, di mana seseorang dituntut untuk menentukan kombinasi

(output) yang dapat minimumkan pengorbanan (misal: biaya). Dalam hal ini, fungsi

tujuan dinyatakan sebagai berikut:

meminimumkan Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3........ + Cn Xn

2) Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis ≥;

sehingga apabila dirumuskan terlihat sebagai berikut:


Halaman 13

ai1 X1 + ai2 X2 + ai3 X3........ + ain Xn ≥ bi

3) Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis ≥;

sehingga apabila dirumuskan sebagai berikut:

ai1 X1 + ai2 X2 + ai3 X3........ + ain Xn ≥ bi

4) Masalah tertentu, dimana fungsi batasan non-negatif tidak diperlukan; atau dengan

kata lain xj tidak terbatas.

Penyimpangan-penyimpangan dari bentuk standarini akan dibahas lebih terperinci

dibelakang.

ASUMSI-ASUMSI DASAR LINEAR PROGRAMMING

Seharusnya semua asumsi-asumsi (anggapan-anggapan) dasar LP telah tersirat pada

model yang telah dibahas di atas. Tetapi ada baiknya untuk menguraikan asumsi-asumsi

dasar tersebut agar penggunaan teknik LP ini dapat memuaskan tanpa terbentur pada berbagai

hal.

Asumsi-asumsi dasar LP dapat diperinci sebagai berikut:

1. Proportionality

Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas

yang tersedia akan berubah secara sebanding (proportional) dengan perubahan tingkat

kegiatan.

Misal:

a) Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3........ + Cn Xn

Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan Z dengan C1, Setiap pertambahan 1

unit X2 akan menaikkan Z dengan C2, dan seterusnya.

b) a11 X1 + a12 X2 + a13 X3........ + a1n Xn ≤ b1

Setiap pertambahan 1 unit X1 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan

a11.

Setiap pertambahan 1 unit X2 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan

a12, dan seterusnya. Dengan kata lain, setiap ada kenaikan kapasitas riil tidak perlu

ada biaya persiapan (set up cost).

2. Additivity


Halaman 14

Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau

dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan

suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh

dari kegiatan lain.

Misal:

Z = 3X1 + 5X2

Dimana X1 = 10; X2 = 2;

Sehingga Z = 30 + 10 = 40

Andaikan X1 bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama, nilai Z menjadi 40

+ 3 = 43.

Jadi, nilai 3 karena kenaikan X1 dapat langsung ditambahkan pada nilai Z mula-mula

tanpa mengurangi bagian Z yang diperoleh dari kegiatan 2 (X2). Dengan kata lain, tidak

ada korelasi antara X1 dan X2.

3. Disibility

Asumsi menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan

dapat berupa bilangan pecahan. Demikian pula dengan nilai Z yang dihasilkan. Misal: X1

= 6,5; Z = 1.000,75.

4. Deterministic (Certainty)

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (a ij,

bi, Cj) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat.

METODE GRAFIK

Contoh Masalah LP

Sebelum membicarakan langkah-langkah yang dipakai dalam metode grafik, akan

disajikan terlebih dahulu sebuah contoh masalah LP yang sederhana berikut ini:

Perusahaan sepatu “IDEEAL” membuat dua macam sepatu. Macam pertama merek I1,

dengan sol dari karet, dan macam kedua merek I2 dengan sol dari kulit. Untuk membuat

sepatu-sepatu itu perusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin 1 khusus membuat sol dari

karet, mesin 2 khusus membuat sol dari kulit, dan mesin 3 membuat bagian atas sepatu dan

melakukan assembling bagian atas dengan sol. Setiap lusin sepatu merek I1 mula-mula

dikerjakan dimesin 1 selama 2 jam, kemudian tanpa melalui mesin 2 terus dikerjakan di


Halaman 15

mesin 3 selama 6 jam. Sedang untuk sepatu merek I2 tidak diproses di mesin 1, tetapi pertama

kali dikerjakan di mesin 2 selama 3 jam kemudian di mesin 3 selama 5 jam. Jam kerja

maksimum setiap hari untuk mesin 1 = 8 jam, mesin 2 = 15 jam, dan mesin 3 = 30 jam.

Sumbangan terhadap laba untuk setiap lusin sepatu merek I1 = Rp30.000,00 sedang merek I2

= Rp50.000,00. Masalahnya adalah menentukan berapa lusin sebaiknya sepatu merek I1 dan

merek I2 yang dibuat agar bisa memaksimumkan laba.

Data tersebut di atas dapat disusun ke dalam tabel seperti yang terlihat pada tabel 2.2.

Tabel 2.2. Data dari perusahaan sepatu “IDEAL”

Merek

Mesin

I1 I2 Kapasitas

Maksimum

1

2

3

2 0

0 3

6 5

8

15

30

Sumbangan

Terhadap laba

(Rp10.000,00)

3 5

Untuk melakukan formulasi masalah di atas, maka pertama-tama tentukan simbol-simbol

yang akan dipakai:

X1 = jumlah sepatu merek I1 yang akan dibuat setiap hari.

X2 = jumlah sepatu merek I2 yang akan dibuat setiap hari.

Z = jumlah sumbangan seluruh sepatu merek I1 dan merek I2 yang akan diperoleh.

Masalah diatas dapat dipecahkan dengan metode grafik dalam LP dengan langkah-langkah

dan persyaratan-persyaratan penggunaannya secara terperinci di bawah ini.

Langkah-langkah dan Persyaratan Penggunaan Metode Grafik

Secara maatmatis telah digambarkan bentuk dan susunan model yang berlaku dalam

LP, yang bila diteliti nampak meliputi “kolom” dan “baris” yang teratur. Jumlah baris


Halaman 16

(menunjukkan batasan-batasan) ditentukan oleh banyaknya sumber yang akan dialokasikan

ke setiap jenis kegiatan. Jumlah kolom ditentukan oleh jumlah/macam kegiatan yang

memerlukan sumber-sumber tersebut. Bila dikembalikan lagi pada uraian di muka, m

menunjukkan jumlah baris dan n menunjukkan jumlah kolom. Sehingga tampak “dimensi”

suatu masalah LP yang dinyatakan dengan m x n.

Metode grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah LP yang

ber”dimensi”: 2 x n atau m x 2, 1 karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam

“menyampaikan” sesuatu (sebenarnya grafik 3 dimensi dapat digambarkan, tetapi sangat

tidak praktis). Hal ini merupakan persyaratan mutlak untuk dapat digunakannya metode

grafik; selain beberapa persyaratan dan asumsi-asumsi dasar di muka.

Langkah-langkah penggunaan metode grafik dapat ditunjukkan secara ringkas sebagai

berikut:

a. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikannya dalam bentuk matematis.

b. Mengidentifikasi batasan-batasan yang berlaku dan memformulasikannya dalam

bentuk matematis.

c. Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem salib

sumbu.

d. Mencapai titik yang paling menguntungkan (optimal) dihubungkan dengan fungsi

tujuan.

Sebelum mempraktikkan setiap langkah di atas sebaiknya terlebih dahulu diuraikan

masalah yang biasannya paling kritis, yaitu menggambarkan garis-garis dari fungsi-fungsi

batasan. Fungsi-fungsi batasan ini dinyatakan dalam tiga tanda, yaitu:

≤ kurang dari atau sama dengan

≥ lebih besar dari atau sama dengan

= sama dengan.

Sebagai contoh sederhana :


Halaman 17

1Pembahasan akan diputuskan pada masalah m x 2 (di mana n = 2). Masalah 2 x n (di

mana m = 2) akan lebih mudah dipahami pemecahannya bila telah dibicarakan masalah

dualitas dalam LP.

a. Grafik dari 4X + 3Y ≤ 12

Gambar 2.1. Garis dari fungsi batasan dengan tanda ≤

b. Grafik dari 4X + 3Y ≥ 12

Gambar 2.2. Grafis dari fungsi batasan dengan tanda ≥

c. Grafik dari 4X + 3Y = 12


Halaman 18

Gambar 2.3. garis dari fungsi batasan dengan tanda =

Di sini tidak akan dijelaskan bagaimana cara menggambarkan persamaan garis dalam

suatu grafik, karena hal ini tentunya telah banyak dibahas pada berbagai literatur matematika

dasar. Tetapi yang penting dipahami adalah bahwa bagian yang diarsir menunjukkan

“daerah” (space) yang memenuhi persyaratan fungsi-fungsi batasan tersebut di atas. Pada

gambar contoh c tidak ada bagian yang diarsir, karena yang memenuhi persyaratan hanya

titik-titik sepanjang garis saja.

Dengan contoh masalah perumusan sepatu “IDEAL” di atas, pendekatan grafik akan

mudah dipahami. Secara grafis akan digambarkan sumber mendatar X1 untuk produk 1 dan

sumbu vertikal X2 untuk produk 2, jumlah n = 2, yaitu produk 1 (sepatu merek I1) dan produk

2 (sepatu merek I2).

Tujuan kita adalah akan memakimumkan laba yang akan diperoleh. Sumbangan tiap

lusin sepatu merek I1 = Rp30.000,00 sedang merek I2 = Rp50.000,00. Oleh karena itu dapat

kita formulasikan fungsi tujuannya (dalam puluhan ribu rupiah) sebagai berikut:

Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

Dengan adanya batasan kapasitas mesin 1, mesin 2, dan mesin 3 (maksimum 8 jam, 12

jam, dan 30 jam setiap hari), maka kita dapat membuat formulasi batasan-batasan itu, sebagai

berikut:

1) 2X1 ≤ 8

2) 3X2 ≤ 15

3) 6X1 + 5X2 ≤ 30

Batasan (1) adalah mesin 1, yang berarti 2 jam kali jumlah sepatu merek I1 yang dibuat (2X1)

tidak dapat lebih dari 8 jam. Batasan (2) berarti 3 jam kali jumlah sepatu merek I2 yang dibuat

(3X2) tidak dapat lebih dari 15 jam. Sedang batasan (3) berarti bahwa 6 jam kali nilai X1

ditambah 5 jam kali nilai X2 tidak dapat lebih dari 20 jam. Selain itu perlu pula diperhatikan

batasan-batasan “non-negatif”, yaitu nilai X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0. Artinya kombinasi X1 dan X2

nanti hanya akan terletak pada kuadran pertama, yaitu kuadran yang memuat nilai-nilai

positif bagi X1 dan X2.


Halaman 19

Fungsi batasan pertama (2X1 ≤ 8) akan digambarkan sebagai garis tegak lurus pada

sumbu X1 di titik 2X1 = 8 seperti tampak pada gambar berikut ini:


Halaman 20

Gambar 2.4. grafik fungsi (1) perusahaan sepatu “IDEAL”

Bagian yang diarsir pada gambar di atas merupakan bagian yang memenuhi batasan-

batasan: X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 dan 2X1 ≤ 8. Dengan cara yang sama fungsi batasan kedua (3X2 ≤ 15)

dapat digambar. Fungsi batasan ketiga (6X1 + 5X2 ≤ 30) digambar dengan terlebih dahulu

mencari titik-titk perpotongan garis 6X1 + 5X2 = 30 dengan sumber X1 dan X2. Akhirnya

ketiga fungsi batasan tersebut dapat digambar secara lengkap berikut ini:

Gambar 2.5. Grafik fungsi-fungsi batasan perusahaan sepatu “IDEAL”

Bagian yang diarsir (disebut daerah feasible) pada gambar di atas menunjukkan bagian yang

memenuhi “persyaratan” yang ditetapkan oleh ketiga fungsi-fungsi batasan, atau merupakan

daerah kemungkinan-kemungkinan kombinasi (X1, X2) yang memenuhi batasan-batasan.


Halaman 21

Langkah terakhir pendekatan ini adalah mencari suatu titik (kombinasi X1 dan X2)

yang terletak pada daerah feasible yang dapat memaksimumkan nilai Z. Hal ini dapat

dilakukan dengan 2 cara: dengan menggambarkan fungsi tujuan (disebut sebagai cara trial

and error) dan dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif.

a. Dengan menggambarkan fungsi tujuan

Misal digambarkan Z = 10 = 3X1 + 5X2 (garis P pada gambar di bawah ini).

Untuk mengetahui apakah ada nilai (X1 , X2) di dalam daerah feasible yang akan

mendapatkan Z = 10

Gambar 2.6 Grafik fungsi tujuan dan batasan – batasan perusahaan sepatu “IDEAL”

Ternyata dengan menggambarkan 3X1 + 5X2 = 10 tampak bahwa terdapat lebih dari satu

titik pada garis tersebut yang terletak di dalam feasible. Sehingga garis Z = 3X1 + 5X2

perlu digeser ke kanan agar lebih menjauhi titik origin atau agar Z lebih besar.

Seandainya garis tersebut digeser menjadi 3X1 + 5X2 = 20 (garis q pada gambar

2.6). Tampak bahwa masih terdapat lebih dari satu titik pada garis tersebut yang terletak

di dalam daerah feasible. Artinya belum ditemukan satu titik (X1 , X2) yang

menghasilkan Z tertinggi. Garis Z = 3X1 + 5X2 digeser lebih jauh ke kanan, sampai


Halaman 22

akhirnya ditemukan garis 3X1 + 5X2 = 27,5 , yang menyinggung daerah feasible di titik C

(5/6 , 5). Berarti kombinasi optimal adalah : X1 = 5/6 dan X2 = 5, dengan Z maksimal

sebesar 27,5.

Jadi, langkah terakhir mencari titik optimal dengan “trial & error” pada

prinsipnya dilakukan dengan menggambarkan “family” garis atau fungsi tujuan sampai

ditemukan satu titik pada garis tersebut yang menyinggung daerah feasible.

b. Dengan membandingkan nilai Z pada tiap – tiap alternatif

Apabila cara di atas terasa rumit, dapat dilakukan cara lain yang lebih sederhana

yakni dengan membandingkan berbagai alternatif kombinasi X1 dan X2 . atau dengan kata

lain dengan membandingkan nilai Z yang diperoleh pada berbagai titik kombinasi X1 dan

X2 di daerah feasible. Tentu saja nilai Z makin tinggi bila makin jauh dari titik origin (O).

Sehingga sebaiknya yang dibandingkan adalah titik – titik yang ada di sudut – sudut

daerah feasible.

Titik O :

Pada titik nilai X1 = 0 ; X2 = 0

Tentu saja Z = 0

Titik A :

Pada titik ini, nilai X1 = 4 ; X2 = 0

Sehingga, Z = 3 (4) + 0 = 12

Titik B :

Pada titik ini nilai X1 = 4. Substitusikan nilai ini pada persamaan batasan (3), maka 6 (4)

+ 5X2 = 30. Jadi nilai X2 = (30 – 25) / 5 = 6/5.

Nilai Z = 3 (4) + 5 (6/5) = 18.

Titik C :

Pada titik ini nilai X2 = 5. Substitusikan nilai ini pada persamaan batasan (3), maka 6X1 +

5 (5) = 30. Jadi nilai X2 = (30 – 25) / 6 = 5/6.

Nilai Z = 3 (5/6) + 5 (5) = 27,5.


Halaman 23

Titik D :

Pada titik ini, nilai X2 = 5 ; X1 = 0

Sehingga, Z = 3 (0) + 5 (5) = 25

Diantara kelima alternatif tersebut di atas yang mempunyai nilai Z terbesar

adalah alternatif C, sebesar 27,5. Jadi titik inilah yang paling optimal. Keputusannya

sepatu merk I1 dibuat 5/6 dosin dan sepatu merk I2 dibuat 5 dosin setiap hari, dengan laba

setiap hari sebesar Rp 275.000,00.

Beberapa Hal Lain dalam Metode Grafik

a. Masalah minimisasi

Pada contoh di atas tampak bahwa permasalahan yang dihadapi adalah

permasalahan maksimisasi. Artinya tujuan yang ingin dicapai adalah laba (dalam hal ini)

semaksimal mungkin. Kalau fungsi tujuan bersifat minimisasi maka alternatif yang

optimal adalah alternatif yang dapat meminimumkan niali Z. Bila ditempuh cara yang

menggunakan gambar fungsi Z harus digeser ke kiri. Bila ditempuh cara

membandingkan nilai Z pada setiap alternatif maka laternatif yang mempunyai nilai Z

terendah adalah alternatif yang optimal.

b. Fungsi batasan bertanda “lebih besar atau sama dengan” ( > )

Apabila fungsi batasan tidak bertanda < ; melainkan bertanda > maka arah daerah

feasible akan berada di sebelah kanan atas garis batas tersebut.

Seandainya : batasan ketiga pada permasalahan di atas (6X1 + 5X2 < 30) diubah tanda

ketidaksamaannya sehingga menjadi 6X1 + 5X2 > 30 sedangkan batasan – batasan lain

tetap, maka daerah feasible yang terjadi seperti tampak pada gambar 2.7 ; yakni pada

segitiga ABC.


Halaman 24

Gambar 2.7 Apabila batasan ketiga bertanda >

c. Fungsi batasan bertanda “sama dengan” ( = )

Apabila fungsi batasan bertanda = ; maka daerah feasible akan terletak pada garis

yang memiliki tanda tersebut. Seandainya batsan ketiga pada permasalahan perusahan

sepatu “IDEAL” diubah tandanya sehingga menjadi 6X1 + 5X2 = 30 , sedangkan batasan

– batasan yang lain tetap seperti semula, maka daerah feasible yang baru terletak pada

garis 6X1 + 5X2 = 30 antara titik A dan B ; seperti tampak pada gambar 2.8 berikut :

Gambar 2.8 Daerah feasible sepanjang garis AB bila batasan (3) bertanda “=”


Halaman 25

BEBERAPA PENGERTIAN DALAM LINEAR PROGRAMMING

Sebelum menginjak pembicaraan mengenai metode simpleks pada bab berikutnya

terlebih dahulu kita bicarakan beberapa pengertian yang sering kita jumpai, yakni

sebagai berikut :

Solution (penyelesaian)

Solution adalah jawaban akhir dari suatu masalah.

Feasible Solution

Feasible Solution adalah penyelesaian yang tidak melanggar batsan – batasan

yang ada. Misalnya dalam contoh pada metode grafik di depan, seperti terlihat pada

gambar 2.9 yang disebut daerah feasible adalah daerah OABCD.

Gambar 2.9 Daerah Feasible OABCD

No Feasible Solution

No feasible solution berarti tidak ada daerah feasible. Artinya apabila sifat atau

letak batasan – batasan sedemikian rupa sehingga tidak memungkinkan terdapatnya

daerah atau alternatif – alternatif yang feasible. Sebagai contoh apabila batasan ketiga

(6X1 + 5X2 < 15) pada gambar 2.2 diubah menjadi 3X1 + 5X2 > 60, maka grafiknya

seperti tampak pada gambar 2.10. Pada gambar ini batasan 2X1 < 8 menyatakan bahwa

daerah feasible mulai garis X = 4 ke kiri, batasan 3X2 < 15 menyatakan bahwa daerah


Halaman 26

feasible mulai garis X2 = 5 ke bawah, dan batasan 3X1 + 5X2 > 60 menyatakan bahwa

daerah feasible mulai garis 3X1 + 5X2 > 60 ke kanan atas. Akibatnya tidak ada daerah

yang tidak melanggar salah satu dari ketiga batasan itu.

Gambar 2.10 No Feasible Solution

Optimal Solution

Optimal solution adalah feasible solution yang mempunyai nilai tujuan (nilai Z

dalam fungsi tujuan) yang optimal atau terbaik (maksimum atau minimum).

Misalnya pada contoh di depan, dimana fungsi tujuan memaksimumkan Z = 3X1 + 5X2 ,

maka nilai X1 , X2 , dan Z pada alternatif – alternatif atau titik – titik A, B, C, dan D pada

gambar 2.2 pada metode grafik. Hasilnya seperti terlihat pada tabel 2.3 sebagai berikut :

Tabel 2.3 Nilai Z pada alternatif A, B, C, dan D, untuk memilih titik yang optimal

Alternatif Nilai X1 Nilai X2 Nilai X3 Keterangan

A

B

C

D

4

4

5/6

0

0

6/5

5

5

12

18

27,50

25

Maksimum, optimal

Multiple Optimal Solution

Multiple optimal solution berarti terdapatnya beberapa alternatif optimal dalam

suatu masalah. Misalnya bila fungsi tujuan dari contoh di depan diubah menjadi


Halaman 27

memaksimumkan nilai Z = 6X1 + 5X2 , maka fungsi tujuan ini bila digambarkan akan

sejajar dengan batasan ketiga (6X1 + 5X2 < 30). Akibatnya gambar dari fungsi tujuan

akan sejajar dengan batasan ketiga itu, sehingga bila garis itu digeser ke kanan atas,

maka yang feasible dan paling optimal akan berhimpit dengan batasan ketiga. Oleh sebab

itu, titik B dan titik C serta titik – titik yang berada di sepanjang garis itu semuanya

mempunyai nilai Z sama dan optimal, dengan Z = 30.

Gambar 2.11 Multiple Optimal Solution

Boundary Equation

Boundary equation terjadi apabila suatu batasan dengan tanda “sama dengan”.

Misal bila batasan pertama (2X1 < 8) diubah tandanya menjadi “sama dengan” (2X1 = 8),

maka daerah feasible terletak sepanjang garis X1 = 4 yang tidak melebihi batasan kedua

dan ketiga. Dalam gambar 2.8 terletak di sepanjang garis antara titik A dan titik B.

Corner Point Feasible Solutions

Corner point feasible solutions adalah feasible solutions yang terletak pada sudut

(perpotongan) antara 2 garis. Dalam gambar 2.9 adalah titik – titik (4 , 0) ; (4 , 6/5) ;

(5/6 , 5) ; (0 , 5) dan (0 , 0).

Corner Point Infeasible Solutions

Titik ini adalah titik yang terletak pada perpotongan 2 garis tetapi di luar daerah

feasible. Pada gambar 2.9 adalah titik – titik E, F, dan G.


Halaman 28

No Optimal Solutions

No optimal solutions terjadi apabila suatu masalah tidak mempunyai jawaban atau

penyelesaian optimal. Hal ini bisa disebabkan oleh faktor – faktor berikut :

1. Tidak ada feasible solutions

2. Ada batasan yang tidak membatasi besar nilai Z.

Faktor kedua terjadi misalnya andaikan suatu masalah adalah sebagai berikut :

Fungsi tujuan :

Maksimumkan : Z = 3X1 + 5X2

Batasan – batasan : (1) 2X1 < 8

(2) X1 < 5

(3) X1 > 0 ; X2 > 0

Batasan – batasan itu dapat kita gambarkan seperti gambar 2.12

Gambar 2.12 Nilai Z tidak terbatas

Karena ada batasan yang membatasi X2 , maka nilai Z dapat ditambah (digeser ke kanan

atas) terus tanpa nilai maksimum.

KETENTUAN – KETENTUAN ATAU SIFAT LINEAR PROGRAMMING

Dalam bagian ini akan dibahas beberapa ketentuan yang terdapat pada linear

programming. Ketentuan – ketentuan berikut ini akan dipakai sebagai pedoman di dalam

nalisa berikutnya.


Halaman 29

Ketentuan 1 :

a. Kalau hanya ada satu optimal solutions, pasti berupa corner point feasible

solutions.

b. Kalau multiple solutions maka terdapat lebih dari dua titik optimal yang terletak

pada garis yang menghubungkan dua corner solutions.

Ketentuan 2 :

Corner point feasible solutions jumlahnya terbatas. Dalam contoh kita di depan

hanya ada lima titik, yaitu : O , A , B , C , dan D.

Ketentuan 3 :

Kalau suatu corner point feasible solution lebih baik dari dua corner point feasible

solutions yang terdekat, maka titik itu merupakan titik optimal atau terbaik diantara semua

corner point feasible solutions. Dalam contoh kita nilai Z pada titik C lebih besar dari nilai

– nilai pada titik B dan titik D, maka titik C pasti mempunyai nilai Z terbesar diantara titik

– titik O , A , B , D. Selama tujuan dari masalah itu memaksimumkan niali Z, maka titik C

merupakan titik optimal.


Documents

Riset Operasi