CUPRINS

- 0 -

Cuvnt nainte din partea colectivului redacional ____________ 1 Membrii Filialei Mehedini a S.S.M.R. ________________________ 2 O manifestare matematic de prim rang n judeul Mehedini ______ 3 Concursului interjudeean Petre Sergescu - Ediie a III-a Subiectele de concurs __________________________________________ 5 Rezultatele concursului __________________________________________ 9 Programul Simpozionului National ______________________________ 12 Demonstraia n geometrie ____________________________________ 14 Probleme de extrem rezolvate prin metoda inegalitilor algebrice __ 17 Consideraii metodice privind predarea teoremelor de medie _______ 19 Daniel Beltia - cercettor la I.M.A.R. Simion Stoilow ____________ 24 Teme pentru grupele de performan

Clasa a VII-a Identitatea Sophiei Germain ____________________________________ 25 Clasa a IX-a Calculul unor sume de n termeni ______________________________ 26 Clasa a IX-a Metode de demonstrare a inegalitii mediilor pentru dou numere 28 Clasa a X-a Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie __________________ 31 Clasa a XI-a Asupra proprietii de densitate a numerelor raionale n mulimea numerelor reale __________________________________________________ 34 Clasa a XI-a Ecuaii n Sn ______________________________________________________ 37 Clasa a XII-a Distana Lowenstein ___________________________________________ 38 Probleme propuse ____________________________________ 41 Premianii concursurilor din 2007 ______________________________ 51 Rubrica rezolvitorilor ______________________________ 59

EDITORIAL

H SSM

- 1 -

Cuvnt nainte din partea colectivului

redacional

Au trecut deja cinci ani de cand prin stradaniile unui grup de profesori entuziasti Revista de Matematica a Mehedintiului se straduieste sa completeze lista numeroaselor publicatii din domeniu, cu productii si rezultate ale mehedintenilor. De la numarul trecut, (RMM 6) aparut in decembrie 2006, elevii si profesorii de matematica au participat la o serie de activitati matematice pe care ne propunem sa le reflectam cat mai fidel in paginile revistei. In decembrie 2006 elevii Colegiului National Traian au ocupat locul 7 la concursul international C.Time Trial organizat de Academic Competitions National Assessment and Testing din SUA, in ianuarie 2007 a avut loc cea de-a treia editie a Concursului Interjudetean Petre Sergescu, prilej cu care a avut loc si un valoros Simpozion National ,Olimpiada Nationala de matematica fazele locala,judeteana,si nationala, Concursul AMC 10/12, Concursul Interjudetean Ion Ciolac, Concursul Micul Arhimede, Cangurul, Spring 2007 Meet organizat de Universitatea din Dallas, Concursul Interjudetean Gheorghe Titeica, etc. RMM, revista a Filialei Mehedinti a Societatii de Stiinte Matematice din Romania, va cuprinde in paginile sale de asemenea lista membrilor activi ai nostri la data de 30.12.2006 si o relatare despre Scoala de vara de Geometrie Algebrica organizata de noi in colaborare cu Institutul de Matematica al Academiei Romane (IMAR). Ne face placere sa va informam in aceasta deschidere a RMM 7, ca incepand cu noiembrie 2007, Filiala noastra va avea un Site propriu la adresa rmsmh.co.cc,unde veti gasi pe langa numerele 1-6 ale revistei noastre in format electronic, o serie intrega de informatii despre activitatea filialei . Folosim acest prilej pentru a lansa deja elevilor si domnilor colegi invitatia de a participa si in acest an la Concursul si Simpozionul Petre Sergescu din ianuarie 2008, si sa amintim tuturor ca in 2008 suntem gazde ale Concursului Interjudetean Gheorghe Titeica, pentru a carui organizare sunt necesare eforturile noastre ale tuturor. Cu mare parere de rau vom pomeni in aceste randuri de revista ca din 2007 suntem mai putini prin pierderea eminentilor profesori pensionari MARICA MARIA, si CHIRVASA ION; Dumnezeu sa-i odihneasca si noi sa le pastram o vie amintire pentru ca ne-au invatat carte si ne-au fost prieteni,colaboratori,colegi sau sfatuitori.

Presedintele Filialei Mehedinti a SSMR, Profesor doctor Gh.Cainiceanu

EDITORIAL

- 2 -

Membrii Filialei Mehedini a S.S.M.R. - 31.XII.2007

1 Cainiceanu Gheorghe CNT PRESEDINTE 2 Prajea Manuela CNT Vicepresedinte 3 Stretcu Daniel Lic.Gh.Titeica Secretar 4 Grecu Vasile Colegiul Economic Casier 5 Lupu Adrian Col.Th. Decebal Membru Consiliu 6 Saceanu Victor Sc.Gen.11 -,,- 7 Nedeianu Dan Gr.Sc.Dl.Tudor -,,- 8 Ungureanu Octavian Lic.Gh.Titeica -,,- 9 Nanuti Dan CNT Membru Consiliu

10 Pit Vasile CNT Informatician 11 Bejenaru Laviniu CNT Informatician 12 Badaluta Anghel Sc.Gen.6 CENZOR 13 Giugiuc C-tin -,,- CENZOR

1 Antonie Rodica CNT 45 Vasilcanu Florentina -,,- 2 Popescu Eleodor CNT 46 Chirfot Carmen -,,- 3 Giugiuc Leonard CNT 47 Chilea Ion -,,- 4 Paponiu Dana CNT 48 Cristel Ecaterina -,,- 5 Gimoiu Iuliana CNT 49 Ciuca Ionel -,,- 6 Patrascoiu C-tin Centrul Universitar 50 Pit-Rada Marica Sc.Gen.5 7 Grecu Luminita Centrul Universitar 51 Sitaru Daniel Colegiul Economic 8 Ionescu Adela -,- 52 Croitoru Ion -,,- 9 Balu Dumitru -,,- 53 Bizdoaca Claudia -,,-

10 Stuparu Dragos -,,- 54 Grecu Adela -,,- 11 Tomita Vasile -,,- 55 Popescu Marcel Lic.Pedag.Odobleja 12 Bondoc Gabriela Gr.Sc.Auto 56 Moclea Adriana Sc.Gen.11 13 Bondoc Lucian Informatician 57 Butiri Elena -,,- 14 Calafeteanu Gh. Sc.Gen.4 58 Stoican Victor Liceul Baia 15 Marin Felicia Sc.Gen.4 59 Barbulescu Marin -,,- 16 Vasilcanu Octavian -,,- 60 Simionescu Ion -,,- 17 Hinoveanu Sorin -,,- 61 Serbanescu Gh. -,,- 18 Bosneagu Dina -,,- 62 Varzaru Mariana Gr.Sc.Auto 19 Untaru Ilie Lic.Pedag.Odobleja 63 Pasov Nicoleta -,,- 20 Baloi Valeria -,,- 64 Fallon Florica Lic.Marina Orsova 21 Balu Nicoleta -,,- 65 Bogdan Dorel -,,- 22 Ticusi Ovidiu -,,- 66 Petrache Elena -,,- 23 Presneanu Doru -,,- 67 Rizea Daniela Lic.Simian 24 Vaduva Ion -,,- 68 Fluerasu Gabriela -,,- 25 Lugoj Tanta Col.Th.Decebal 69 Constantin Magdalena -,,- 26 Raducan Emilia -,,- 70 Tache Oana FundatiaCioculescu 27 Nitoiu Angela -,,- 71 Farago Alexandru Lic.Traian Lalescu 28 Pupaza Ecaterina -,,- 72 Bobic Nicolae -,,- 29 Oprita Manuela -,,- 73 Gorun Sanda -,,- 30 Draga Tatucu Porfirel -,,- 74 Vuc Ionela -,,- 31 Dan Daniel Lic.Gh.Titeica 75 Lungu Ion Liceul Halanga 32 Popescu Rodica -,,- 76 Semen Valentin -,,- 33 Tatucu Mariana -,,- 77 Capraru Dorel Sc.Gen.7 34 Florescu Violeta Sc.Gen. 9 78 Dragotescu Alexandrina -,,- 35 Ianasi Ion -,,- 79 Lapadat Petruta -,,- 36 Carbunaru Dumitru -,,- 80 Diaconescu Emilia Sc.Gen.13 37 Malineanu Gabriela -,,- 81 Svoboda Tina Sc.Gen.Cerneti 38 Szoros Alexandru Gr.Sc.Cst.Montaj 82 Pandioniu Aristita Sc.Gen..Hinova 39 Deris Antoaneta -,,- 83 Furcuta Mihaela Scoala Energetica 40 Ramniceanu Elena -,,- 84 Budanescu Lidia Sc.Gen.1 41 Nistor Dana -,,- 85 Fluerasu Anghel Sc.Gen.Iz.Barzii 42 Balasoiu Daniela -,,- 86 Pop Veronica Sc.Gen.Severinesti 43 Badescu Emilia Gr.Sc.D-l Tudor 87 Rapcea Mihai Elev CNT 44 Fritea Eugen -,,-

EDITORIAL

H SSM

- 3 -

O MANIFESTARE MATEMATICA DE PRIM RANG IN JUDETUL MEHEDINTI

Judetul Mehedinti si in particular municipiul Drobeta Turnu-Severin si-au legat numele de-a lungul anilor de o serie de activitati si evenimente matematice de prim rang. Este suficient sa reamintim aici desfasurarea Congresului Matematicienilor Romani de Pretutindeni din 1932 organizat in Drobeta Turnu Severin de marele matematician severinean PETRE SERGESCU si obtinerea in anul 2006 la Olimpiada Internationala de Matematica a doua medalii de aur de doi elevi severineni, reprezentanti ai Romaniei intr-un lot national de sase elevi. Filiala Mehedinti a Societatii de Stiinte Matematice din Romania are o lunga traditie pe taramul popularizarii matematicii in randul tinerilor: organizari de concursuri nationale sau interjudetene de matematica, tabere cu profil matematic, publicarea unei reviste proprii, Revista Mehedinteana de Matematica, colaborari la reviste de prestigiu din tara si strainatate, legaturi stiintifice cu alte societati de matematica din lume. In perioada 29 Iunie-4 Iulie 2007 s-a desfasurat la Bucuresti al VI-lea Congres al Matematicienilor romani de pretutindeni( E bine de stiut ca primul congres s-a desfasurat la Cluj in 1929, al II-lea la Severin in 1932, al III-lea si al IV-lea in 1945 si 1956 la Bucuresti, iar al V-lea in 2003 la Pitesti) prilej cu care s-au organizat conex o serie de activitati cu participare internationala cum ar fi : Scoli de vara, Conferinte, Simpozioane in diverse localitati din tara. In acest context organizatorii: ACADEMIA ROMANA si SOCIETATEA DE STIINTE MATEMATICE DIN ROMANIA ne-au oferit oportunitatea ca judetul nostru sa gazduiasca si sa colaboreze la organizarea uneia din aceste activitati si anume SCOALA DE VARA School on characteristic p methods in algebraic geometry in perioada 13-19 iulie 2007. Lectiile au fost sustinute de specialisti de prestigiu din Japonia si Olanda: Profesor Gerard van der Geer - Universitatea din Amsterdam Profesor Tashiyoki Katsura - Universitatea din Tokyo Profesor Keiichi Watanabe Universitatea Nihon din Tokyo precum si de specialisti romani de la Institutul de Matematica Simion Stoilow al Academiei Romane si de la Universitatea din Bucuresti.

Cursantii au fost in numar de 34 de doctori in stiinte matematice,doctoranzi , studenti si alti matematicieni.

Dorim sa subliniem cu acesta ocazie faptul ca Primaria municipiului, Consiliul Municipal precum si Consiliul Judetean Mehedinti au raspuns cu deosebita amabilitate cererii formulata de Filiala Mehedinti a Societatii de Stiinte Matematice din Romania. De asemenea o serie de firme locale au contribuit cu sponsorizari pentru ca aceasta deosebita actiune sa fie un succes.

Presedintele Filialei Mehedinti a SSMR, Profesor doctor Gh.Cainiceanu

LISTA PARTICIPANTILOR LA SCHOOL ON CHARACTERISTIC p METHODS

IN ALGEBRAIC GEOMETRY 13 - 19 IULIE 2007 DROBETA TURNU SEVERIN

1.GHEORHE CAINICEANU ROMANIA 25. PAOLA BONACINI ITALY 2.OVIDIU PASARESCU ROMANIA 26. MUGUREL BARCAU ROMANIA 3.MANUELA PRAJEA ROMANIA 27. SERBAN BARCANESCU ROMANIA 4.GERARD VAN DER GEER HOLLAND 28. ALINA CALIANU ROMANIA 5.TOSHIYUKI KATSURA JAPAN 29 .HRISTO KOSTADINOV BULGARIA 6.KEI ICHI WATANABE JAPAN 30. MARIA CONSTANTINESCU ROMANIA

EDITORIAL

- 4 -

7.TAKEHIKO YASUDA JAPAN 31. ELENA BARAN ROMANIA 8.ADRIAN CONSTANTINESCU ROMANIA 32. ADRIANA BARAN ROMANIA 9.SERBAN BASARAB ROMANIA 33. DOINA HORODNICEANU ROMANIA 10.NICOLAE MANOLACHE ROMANIA 34. DORIN WAINBERG ROMANIA 11.CRISTIAN ANGHEL ROMANIA 35. DANIEL BREAZ ROMANIA 12.NICOLAE BURUIANA ROMANIA 36. NICOLETA BREAZ ROMANIA 13.FLORIN AMBRO ROMANIA 37. FLORIN RADULESCU ROMANIA 14.ANDREI BARAN ROMANIA 38. TOMITA VASILE ROMANIA 15.ADELA IONESCU ROMANIA 39. OCTAVIAN UNGUREANU ROMANIA 16.OLESEA GROZA MOLDOVA 40. DANIEL STRETCU ROMANIA 17.VARVARA GLIVICI MOLDOVA 41. MARCEL POPESCU ROMANIA 18.SERGHEI MANGUL MOLDOVA 42. DAN NANUTI ROMANIA 19.LUMINITA GRECU ROMANIA 43. SITARU DAN ROMANIA 20.MIRCEA CIMPOEAS ROMANIA 44. VASILE GRECU ROMANIA 21.ALBERTO CELOTTO ITALY 45. GEORGE TANDARESCU ROMANIA 22.CEZAR LUPU ROMANIA 46. MIEKO WATANABE JAPAN 23.VESELIN VAVREK BULGARIA 47. ANDREI CAINICEANU ROMANIA 24. HRISTO ILIEV BULGARIA

MAIN ORGANIZERS DR. OVIDIU PASARESCU IMAR DR.GHEORGHE CAINICEANU FIL.MH.SSMR

LOCAL ORGANIZING COMITEE

EC.IANCU HOLTEA VICEPRESEDINTE CJ MEHEDINTI DR.FLORESCU GHEORGHE VICEPRESEDINTE CJ MEHEDINTI AV. CONSTANTIN GHERGHE VICEPRIMAR DROBETA TURNU-SEVERIN PROF.GEORGE TANDARESCU CONSILIER MUNICIPAL DROBETA TR.SEV. DR.MANUELA PRAJEA COLEGIUL NATIONAL TRAIAN EC.ELENA CALIANU PRIMARIA DROBETA DROBETA TR.SEV. ING.TEODOR PAVELESCU HIDROELECTRICA-SH PORTILE DE FIER PROF.OCTAVIAN UNGUREANU FIL.MH. SSMR SPONSORS AND CONTRIBUTORS

S. C. PREMI AL S. A S. C. I MSAT D. I NSTALATI I ELECTRI CE S. C. POREXI M SRL S. C. I MSAT DMA SRL S. C. DI PLOMAT S. C. AURORA S. C. RADI CAL S. C. I NTI M SRL S. C. FORSEV C. J. MEHEDI NTI C. MUNI CI PAL DROBETA C. N. TRAI AN

Petre Sergescu

H

- 5 -

SSM

Concursul Interjudeean de Matematic PETRE SERGESCU

Ediia a III-a, 19 ianuarie 2007, Drobeta Turnu-Severin SUBIECTE

Clasa a IV - a 1) Diferenta a doua numere naturale este egala cu rezultatul calculului [(2007-2007:9):4+4]:10 Impartind suma celor doua numere la diferenta lor obtinem catul 6 si restul 1. Calculati diferenta numerelor Calculati suma numerelor Aflati cele doua numere

*** 2) Un sir de numere naturale consecutive are suma dintre primul termen si ultimul termen egala cu 676, iar suma ultimilor trei termeni este 2007. a) Aflati ultimul termen b) Gasiti termenii sirului c) Aflati cati termini are sirul.

Prof.Pit-Rada Marica,Drobeta 3) Gigel a primit de la Uniunea Europeana un aparat care prelucreaza numai cate doua bile astfel: din doua bile se obtine o singura bila care cantareste cat suma greutatilor celor doua bile , iar pretul acestei prelucrari este de 1 leu pentru fiecare gram obtinut. De exemplu : din doua bile de 100g si respective 107g se obtine o singura bila de 207g, iar pretul prelucrarii este 207 lei. Petrica are patru bile de greutati 647g, 599g, 401g, 360g si vrea sa obtina din ele o singura bila.El vorbeste cu Gigel sa-l ajute, iar acesta ii spune ca il va costa 4900 lei. Petrica se gandeste si observa ca poate obtine un pret mai mic. Ce greutate va avea bila lui Petrica obtinuta dupa cele trei prelucrari ? Cum a calculat Gigel pretul ? Cum a calculat Petrica pentru a obtine cel mai mic pret ?

Prof.Pit-Rada Vasile,Drobeta Clasa a V-a

1) Fie ( )[ ] 2339963235 8281/5/5/31255111184 =A si ( )[ ] ( ){ }35230920233 3272:3264 += B

a) Aflati A si B b) Aratati ca 144821 2)( AB este patrat perfect

Prof. Mariana si Porfirel Draga- Tatucu 2) Sa se determine cea mai mica sic ea mai mare valoare a sumei a+b, unde a,b sunt numere

naturale astfel incat sa avem: 20071834 =+ ba Prof. Emilia Raducan,Drobeta

3) Determinati cel mai mare numar de 3 cifre, astfel incat suma cifrelor lu n, si n +1 sa se divida la 4

Prof. Dan Nedeianu,Drobeta

Petre Sergescu

- 6 -

Clasa a VI-a

1) Fie x,y,zQ astfel incat y+zx, x+yz, x+zy si yxz

zzxy

yzyx

x

=

=

.

Calculati E=))()(( xzzyyx

xyz+++

.

Prof.Nicolae Talau,Craiova 2) O echipa de zece muncitori trebuie sa execute o lucrare in douazeci de zile. Dupa opt zile de la inceperea lucrarii, sase muncitori sunt mutati pentru o perioada de cinci zile la o alta lucrare si apoi revin la echipa si lucreaza pana la terminarea lucrarii. In cate zile s-a executat de fapt lucrarea?

Prof.Eleodor Popescu,Drobeta 3) a) Fie punctele A0,A1,.....,A1004, coliniare, in acesta ordine, astfel incat A0A1=1, A1A2=3, A2A3=5,....,Ak-1k=2k-1,...,A1003A1004=2007.Daca M este mijlocul segmentului [A0A1004], determinati lungimile segmentelor [A0M] si [MA700]. b) Fie semidreptele (OA1, (OA2, ...(OA20, in aceasta ordine astfel incat masurile unghiurilorA1OA2, A2OA3, ....,A20OA1,formate in jurul punctului O, sa fie exprimate prin numere naturale impare. Demonstrati ca printre unghiurile A1OA2, A2OA3, ....,A20OA1, exista cel putin doua unghiuri congruente.

Prof.Antonie Rodica,Drobeta Clasa a VII-a

1) Sa se calculeze suma: 1 + 31 +

61 +

101 + ... +

48511 +

49501 +

50501 , unde numitorii fractiilor

se obtin dupa regula: 1, 1+2=3, 3+3=6, 6+4=10, ..., 4851+99=4950, 4950+100=5050. Eleodor Popescu, Drobeta Tr. Severin

2) Fie ABCD un paralelogram in care m() 0 sa se arate ca:

a) +

+ cbbcaa 11

41

2

b) abc

cacb

bbca

aabc

cab

bca

++

++

+++ 6

3

6

3

6

3 222

Prof . Manuela Prajea ,Drobeta 3) In trapezul ABCD oarecare cu baza mare CD se dau [AB]=[BC]=a , m(BCD)=60 0 , M mijlocul lui [CD] , BM { },NAD = D ].[NA Pe planul trapezului (ABCD) se ridica perpendiculara [VA]=a , VA (ABCD).

a) Calculati m( ACN )

Petre Sergescu

H

- 7 -

SSM b) Calculati distanta de la punctul V la dreapta CN .

Prof . Dan Nedeianu,Drobeta Clasa a IX-a

1) Sa se determine 1x , x 2 , x 3 (0, ) astfel incat :

=

+

=

+

=

+

13

3

32

2

21

1

21

21

21

xxax

xxax

xxax

, unde a (0, ) fixat.

Prof. Daniel Sitaru,Drobeta 2) Fie sirul de cifre 123456789101112131415......, obtinut prin scrierea numerelor naturale in ordine crescatoare. Daca cea de a an 10 cifra apare in acea parte a sirului in care se afla numere de m cifre, definim functia f : data de formula mnf =)( . De exemplu 2)2( =f (cea de a a100 cifra apare la numarul 55 care face parte din grupa numerelor de doua cifre). a)Sa se determine f(3). b)Sa se determine f(2007).

Prof. Gheorghe Cainiceanu,Drobeta 3.Sa se determine cel mai mare numar natural n cu proprietatea ca exista n puncte laticiale in plan astfel incat centrul de greutate al oricaror trei dintre eceste puncte san u fie punct laticial. (Spunem ca un punct ( yx, ) in plan este laticial daca ambele sale coordinate x si y sunt numere intregi).

Prof. Manuela Prajea ,Drobeta Clasa a X-a

1) Sa se demonstreze relatiile:

a) Re z =2

zz + , z C

b) 1z - 2z2 = 1z

2 + 2z2 -z1 2z - 1z z 2 , z 1,z 2 C

c) 1z2 + 2z

2 ++ 12 +nz2 Re(z 1z 2 +z 2 z 3 ++z 12 +n z 1 ) , z 1,z 2 ,z 12 +n C

si n * fixat. Precizati in ce caz avem egalitate. Prof. Dana Paponiu,Drobeta

2) Sa se demonstreze egalitatile: a) 2 tzxy lglg x lgt + y lgz , x,y[0, ), z,t[1, );

b) )2lg( xx + )2lg( yy )lg()(2 yxyx ++ , x,y 21 , ) .

Prof. Eleodor Popescu,Drobeta 3) Se considera functiile f: Q *+ Q *+ care satisfac simultan conditiile:

f

x1 =f(x) , xQ *+ (1) (x+2)f(x)=(x+1)f(x+1) , xQ *+ (2).

a) Sa se arate ca functia h: Q *+ Q *+ definita prin h(x)= )1()(

fxf satisface conditiile (a) si (b) .

b) Sa se determine functiile f . Prof. Manuela Prajea,Drobeta

Petre Sergescu

- 8 -

Clasa a XI-a

1) Se considera polinomul ][xP R unde 32

23

32

23

11

11

)(

xxxxxxxxx

xxx

xP = . Sa se afle:

Gradul lui P si suma coeficientilor sai. Forma algebrica a lui P. Descompunerea lui P in factori ireductibili peste R

Prof. Constantin Giugiuc.Drobeta

2) Sa se rezolve in )(3 ZM ecuatia:

=

001100010

2007X .

Prof. Manuela Prajea,Drobeta

3) Se considera sirul ( ) 0nna dat de relatia de recurenta: 6 22

1

1

=

n

n

n

n

aa

aa ; 2n ; ea =0 ; 21 ea = ;

Sa se determine formula termenului general. Sa se calculeze nn alim .

Prof. Daniel Sitaru,Drobeta Clasa a XII-a

1). Consideram functiile sh, ch, f : RR, shx=2

xx ee , chx=

2

xx ee +, f )( x = ln ( x + 1

2 +x )

a). Aratati ca : ch 2 x - sh 2 x = 1 , ( ) xR; shx chy + shy chx = sh (x+y), ( ) x,yR; f este inverse lui sh. b). Pe R definim legea de compozitie o astfel incat xoy = x 12 2 +y + y 12 2 +x , ( ) x,yR; Aratati ca o este asociativa si calculati x1 ox 2 oox n ,x i R.

Prof.pensionar Viorel Sahagia Profesor Giugiuc Constantin

2). Fie G o multime nevida ,inzestrata cu o lege de compozitie notata multiplicative, asociativa si cu proprietatea ca x,y,zG avem xy = xz y = z, si yx = zx y = z Pentru oricare a din G se stie ca multimea {a n | n=1,2,3,} este finita. Sa se arate ca G este grup. Este grupul G un grup finit?

Prof.Gh.Cainiceanu,Drobeta

3). a) Calculati primitiva : + dxexx xsin)cos1( b) Fie xR. Definim sirurile (x n ) 0n , (y n ) 1n , astfel: x 0 = x,x 1+n = x n + 21 nx+ , ( )nN

si y n = n

n

x2 ( )nN*. Consideram f )( x ca fiind limita sirului y n

Calculati primitivele lui f. Prof.Giugiuc Leonard,Drobeta

Petre Sergescu

H

- 9 -

SSM Concursul Interjudeean de Matematic PETRE SERGESCU

ediia a III-a, 19 ianuarie 2007, Drobeta Turnu-Severin REZULTATE

Clasa a IV-a Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul

Popescu Rzvan Gen.6 I Venghelet Maria Gen.2 mentiune Bnic Teodor Gen.2 II Atomei Ciprian Gen.9 mentiune Ciuciu Simona Gen.2 II Carlaon Ariana Gen.6 mentiune Harcu Maria Paulian II Constantin Onassis Gen.14 mentiune Pcal Georgiana Paulian II Petrescu Iuliana Diana Gen.2 mentiune Paralescu Andra Motru II Pogcean Victor Gen.2 mentiune Stanca Ciprian Carol II Rdulescu Adrian Carol mentiune Prencea Cassian Paulian II Vlean Lidia Motru mentiune Zvoi Georgiana Carol II Bzvan Clin Gen.14 mentiune Cebuc Rzvan Gen.2 III Butaru Adelin Gabriel Gen.2 mentiune Grecu Andreea Gen.6 III Cojocaru Andrei Gen.2 mentiune Marghescu Gabriel Paulian III Nicolicioiu Armand Gen.14 mentiune Ochea Alin Nicuor Gen.2 III Psrescu Mihai Bucureti mentiune Surdulescu Alexandru Gen.2 III Biciuc Teodora Carol mentiune Trifan Drago Carol III Boneagu Iuliana Gen.6 mentiune Bodean Cornelia Gen.14 mentiune Chiri Alexandru Gen.2 mentiune Damian Andrei Nicolae Gen.6 mentiune Cioab Rzvan Gen.6 mentiune Husni Talal Carol mentiune Glvan tefana Paulian mentiune Mitrache Oana Carol mentiune Belciu Alexandra Gen.2 mentiune Paraschivu Raluca Gen.2 mentiune Borug Adrian Bogdan Gen.6 mentiune Popa Gabriel Carol mentiune Botin tefania Gen.2 mentiune Scrin Claudiu Paulian mentiune Bue Simona Gen.14 mentiune Drpe Alexandru Gen.2 mentiune Calomfir Ionu Petrior Gen.6 mentiune Popescu Ileana Gen.2 mentiune Ceburiac Simona Motru mentiune Radoslav Bianca Gen.2 mentiune Ciobotea Alexandra Gen.6 mentiune u Adrian Gen.2 mentiune Drgan Alina Gen.2 mentiune Dunrinu Eduard Gen.2 mentiune Enculescu Rzvan Gen.6 mentiune Gloni Mdlina Gen.2 mentiune Gligore Daniela Paulian mentiune Achim Ionu Gen.14 mentiune Hornea Eusebiu Gen.9 mentiune Amzoi Ileana Gen.6 mentiune Lozb Adrian Gen.2 mentiune Andreescu Roxana Gen.6 mentiune Lu David Alexandru Gen.6 mentiune Constantinescu Ctlin Gen.9 mentiune Manucu Ema Gen.14 mentiune Durus Andrei Gen.2 mentiune Meil Alexandra Gen.2 mentiune Nioiu Mihai Gen.2 mentiune Mitroi Doru Andrei Odobleja mentiune Olaru Andrei Gen.6 mentiune Munteanu Mdlina Odobleja mentiune Plviu Victor Gen.2 mentiune Pauleu Adina Geanina Gen.6 mentiune Untaru Marius Gen.14 mentiune Salapa Cezara Maria Gen.2 mentiune

Clasa a V-a Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul

Dobrescu Denis Carol I Slaina Andreea CNT mentiune Puican Tiberiu CNT I Barbu Octavian CNT mentiune Voicu robert Carol II Bota Larisa Motru mentiune Prencea Vlad CNT III Ciocan Andrei ieica mentiune Tiucsan Mihai CNT III Preda Diana CNT mentiune Dragomir Andrei CNT mentiune Stnciulescu Denisa Decebal mentiune Marghescu Luminia ieica mentiune Cirjiu Andrada Lavinia CNT mentiune Ghicet Carina Gen.6 mentiune Rescu Adelina Odobleja mentiune Ioneanu Andrei CNT mentiune Turturea Elena Decebal mentiune Mijea Ctlina Carol mentiune Dutoniu Andrei CNT mentiune Murtaz Alexandru Carol mentiune Iliescu Ana Maria Gen.6 mentiune Bobii Ionu Odobleja mentiune Iordache Emil Robert ieica mentiune Braitor Gabriela Gen.6 mentiune Marangoni Giuliana CNT mentiune Popescu Adriana CNT mentiune Puna Denisa Nicoleta ieica mentiune

Petre Sergescu

- 10 -

Soare Daniela Gen.14 mentiune Popescu Enola CNT mentiune Bloi Mihnea Mihai ieica mentiune Rooga Cristina Gen.6 mentiune Benga Andrei Gen.2 mentiune Lance Andra Rebeca CNT mentiune Ciobanu Diana CNT mentiune Munteanu Paula Odobleja mentiune Medele Miruna Carol mentiune Roata Valentin CNT mentiune Trancot Denis Remus ieica mentiune Sima Irina Gen.14 mentiune Ciuta Cora CNT mentiune Bosoanc Denisa Gen.14 mentiune Dumitrescu denisa Carol mentiune Crcea Daniel Vnju Mare mentiune Barbulescu Ramona CNT mentiune Mihai Roxana Gen.14 mentiune Ciuciu Laurentiu CNT mentiune Prvnescu Delia Alisa Gen.6 mentiune Drondu Ileana Gen.11 mentiune Visan Cosmina CNT mentiune Iano Ioana Mdlina ieica mentiune Du Anidora ieica mentiune Lu Robert Carol mentiune Manolescu Oana CNT mentiune Marzoca Cezara CNT mentiune Szabo Ildiko T. Doda mentiune Mema erban Odobleja mentiune Trancota Diana CNT mentiune Petcu Oana Carol mentiune Vasile Monica Mariana Gen.6 mentiune

Clasa a VI-a Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul

Vitian Sorina CNT I Ulceluse Bianca CNT mentiune Balasa Ciprian CNT II Voicu Razvan CNT mentiune Mitran Dragos CNT II Bacanu Alexandru CNT mentiune Stefan Andrei CNT II Carstea Roxana CNT mentiune Zanfirescu Simona CNT II Nicolae Andrei CNT mentiune Badea Beatrice CNT III Saceanu Andrei CNT mentiune Baluta Adrian CNT III Driga Darie Vladimir CNT mentiune Filip Radu CNT III Raicu Maria Gen.11 mentiune Nuta Flavius CNT III Tripcea Roxana Gen.14 mentiune Tanasie Denisa CNT mentiune Anghel Cosmin Vnju Mare mentiune Valcu Andrei CNT mentiune Anita Georgiana CNT mentiune Gimoiu Ruxandra CNT mentiune Doroiman Octavian Odobleja mentiune Limban Rares CNT mentiune Garbovan Paul CNT mentiune Olaru Isabela CNT mentiune Mur Rzvan Vnju Mare mentiune Sbarcea Alexandra CNT mentiune Popescu Florentina CNT mentiune Oprea Alida CNT mentiune Pristoleanu Narcis CNT mentiune Arbna Emil Marian ieica mentiune Racu Alin Vnju Mare mentiune Georgescu Ana CNT mentiune Stoichi Denisa Gen.6 mentiune Marghescu Andreea CNT mentiune Zorila Mihai CNT mentiune Nistor Andreea ieica mentiune

Clasa a VII-a Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul

Andreescu Madalina CNT I Nistor Adriana Gen.14 meniune Constantinescu Robert Gen.2 I Capitanescu Madalina CNT meniune Daogaru Ionel Motru I Croitoru Andra Gen.2 meniune Panescu Dragos CNT II Fril Remus Gen.2 meniune Costea Alexandra CNT III Lupitu Gabriela CNT meniune Murdarea Madalina CNT III Marian Catalin CNT meniune Lungu Amelin CNT meniune Mitroi Roxana CNT meniune Szobo Cristian T. Doda meniune Prunescu Flavius CNT meniune Grosu Vlad CNT meniune Toader Simona Gen.2 meniune

Clasa a VIII-a Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul

Teil Bianca ieica I Stanisoara Sarah CNT mentiune Agape Mihai CNT II Tuculanu Andreea CNT mentiune Papa Florin CNT III Andreca Mihai CNT mentiune Caplea Luminita CNT mentiune Cioclei Razvan CNT mentiune Bratiloveanu Florentina CNT mentiune Draghia Miruna CNT mentiune Matei Diana Carol mentiune Furcuta Ioana CNT mentiune Milici Alina Simona Gen.5 mentiune Pana Cristina CNT mentiune Crc Elena Dl. Tudor mentiune Papa Madalina CNT mentiune Dirpes Cristian CNT mentiune Tita Andreea CNT mentiune

Petre Sergescu

H

- 11 -

SSM Clasa a IX-a

Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul Tnase Loredana Carol I Tudor Mihaela Cobuc mentiune Alexandru Bogdan Carol II Crivac Cristina CNT mentiune Carapencea C-tin CNT II Orbu Alexandra CNT mentiune Purcaru Lucia Carol II Boulescu Adrian Cobuc mentiune Duta Adrian CNT III Calinovici Paul CNT mentiune Pit-Rada Andrei CNT III Moatr Alexandra C.D.Loga mentiune Andreca Marin Cristina CNT mentiune Taculescu Laura titeica mentiune Damian Madalina CNT mentiune Ciotirla Danut CNT mentiune Gal Oana CNT mentiune Ciulpan Andra CNT mentiune Huza Alexandra CNT mentiune Craciunescu Marian CNT mentiune Nicoara Calin CNT mentiune Croitoru Razvan CNT mentiune Plotinaru Anca Diana T. Doda mentiune Ecobici Gabriela CNT mentiune Pupaza Elena CNT mentiune Lolea Iulian CNT mentiune Rosianu Giorgiana CNT mentiune Oprea Cristian CNT mentiune Seitan Mihaela CNT mentiune Popescu Mirona Carol mentiune

Clasa a X-a Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul

Poa Bogdan Cobuc I Staicu Alin Cobuc mentiune Drgoi Valentin Cobuc II Stuparu Constantin CNT mentiune Raducu Alecsandru CNT III Voicu Andreea CNT mentiune Catan Nicu Cobuc mentiune Antonie Raul CNT mentiune Rogobete Roxana CNT mentiune Baba Ionu Orova mentiune Sebinescu Corina Cobuc mentiune Buda Maria CNT mentiune Bobalca Oana CNT mentiune Butaru Nicu Iulian CNT mentiune Lincan Dan CNT mentiune Dumbrav Roxana Orova mentiune Oprea Radu CNT mentiune Vasilache Madalina CNT mentiune Rosu Maria CNT mentiune Marinica Andreea Carol mentiune Stefanoiu Anca Elena CNT mentiune Malineanu Ioana CNT mentiune Ciorobea Mihai CNT mentiune Cerga Alina CNT mentiune Ciouca Eugen CNT mentiune Cosmanescu Elena CNT mentiune Enache Radu Marian CNT mentiune Crutan Bogdan CNT mentiune Mema Alexandra CNT mentiune Gridan Iulia Alexandra CNT mentiune Nica Flavius Christian CNT mentiune Gurgu Caius C.D.Loga mentiune Nistor Ovidiu CNT mentiune Ivanov Bogdan Carol mentiune Pufu Cristian Carol mentiune Picu Vulpasin Bianca CNT mentiune

Clasa a XI-a Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul

Tigora Andrei CNT I Raveanu Oana CNT mentiune Stoian Bogdan Cobuc II Sevici Cristian Cobuc mentiune Coanda Oana CNT III Rachieru Adrian CNT mentiune Hinoveanu Catalin CNT mentiune Belbu Loredana CNT mentiune Prundeanu Andreea CNT mentiune Nistor Alexandru CNT mentiune Tuta Leontin CNT mentiune Popescu Anca Odobleja mentiune Negrea Nicolae CNT mentiune Vladu Maria-Margareta CNT mentiune Cainiceanu Andrei CNT mentiune Cretu Andrei CNT mentiune Lic tefania Orova mentiune Gal Raluca CNT mentiune Mituca Atena CNT mentiune Jiplea Bogdan CNT mentiune Suselea Robert CNT mentiune Mircea Bogdan CNT mentiune Botea Silvia CNT mentiune Negoi claudiu Dl. Tudor mentiune Ciocea Marina CNT mentiune Porojan Otilia CNT mentiune Mariescu Radu CNT mentiune Rdoi Alexandra ieica mentiune Paunescu Georgiana CNT mentiune Voinea Alexandra T. Doda mentiune

Clasa a XII-a Numele i prenumele Scoala Premiul Numele i prenumele Scoala Premiul

Dagadita Monica CNT I Enache Bianca T. Doda meniune Mihart Liliana CNT II Gintariu Silviu Vnju Mare meniune Mitoi Delia CNT III Mares Alexandra CNT meniune

Petre Sergescu

- 12 -

Rapcea Mihai CNT meniune Sbarcea Razvan CNT meniune Rosu Stefan CNT meniune Sfetcu Adina CNT meniune Plotogea Ilie CNT meniune Spatariu Razvan CNT meniune Turturea Roxana CNT meniune Viau Pavel Odobleja meniune

Simpozionul Naional PETRE SERGESCU

19.01.2007

REFERATE

DOINA MARIANA CHIRCU Inspector General ISJ Mehedinti - Rolul matematicii in dezvoltarea capacitatilor antreprenoriale ale elevilor

PRAJEA MANUELA CNT - Caracterizari integrale pe spatii duale pentru familii de evolutie

CAINICEANU GHEORGHE CNT - Asupra proprietatii de densitate a multimii numerelor rationale in multimea numerelor reale

STOICA RODICA CNT - Karl R.Popper si conceptia failibilista asupra stiintei

DAN NANUTI ISJ ,BAZDOACA CLAUDIA COL.EC - Izomorfisme de grupuri

DANIELA GHIMES ISJ - Jocul in dezvoltarea creativitatii la disciplina matematica

ANTONIE RODICA MIHAELA CNT - Siruri fundamentale

PAPONIU DANA CNT - Grupuri finite

MARIA MARICA, Pensionar CNT - Matematicieni mehedinteni

GIMOIU IULIANA CNT - Proprietatile functiilor convexe

POPESCU ELEODOR CNT - Evaluari moderne

BUSE GABRIELA Sc.Gen.22 Timisoara - Aplicatii ale teoriei numerelor in matematica gimnaziala

PARALESCU JUSTIN ISJ GORJ - Aplicatii ale inegalitatii lui Cauchy

NEDEIANU DAN Grup Scolar D-l Tudor - Extinderi ale inelului intregilor patratici

LEONARD GIUGIUC CNT - Polinoame simetrice

PUPAZA ECATERINA Col.Tehn.Decebal - Asupra unor inegalitati cu numere complexe

DRAGHESCU CRISTINA Col.Tehn. Decebal - Rezolvarea ecuatiilor diofantice

DRAGA TATUCU PORFIREL Col.Tehn. Decebal

Petre Sergescu

H

- 13 -

SSM - Rezolvarea sistemelor de ecuatii

DRAGA TATUCU MARIANA Liceul Gheorghe Titeica - Rezolvarea ecuatiilor algebrice

BOSNEAGU DINA Sc.Gen.6 - Initiatorii scolii matematice romane in prima jumatate a Secolului XX

RADUCAN EMILIA Col.Tehn. Decebal - Prezentarea functiilor elementare

IONICA CONSTANTIN Sc.Gen.14 - Probleme de extremum rezolvate prin metoda inegalitatilor algebrice

IONICA LUCIA ,Gr.Sc.Tudor Vladimirescu Simian - Matematica si invatamantul matematic in Romania in perioada 1918-1949

DRULA ILEANA Grup Scolar Matei Basarab Strehaia - Demonstrarea unor inegalitati cu ajutorul derivatelor

SAHAGIA VIOREL Pensionar CNT - Ecuatii fundamentale reductibile la ecuatia functionala a lui Cauchy

SACEANU VICTOR Sc.Gen.11 - Demonstratia in geometrie

MANDRESI ANA C.D.LOGA, Caransebes - Probleme metodologice si de continut privind predarea si invatarea matematicii

BUZESCU ANTOANELA,HUMITA DORINA,MIRULESCU MARITA C.D.Loga Caransebes - Optional la clasa a V-a,Micul matematician

DUGALIA BAUER ANETTE C.D.LOGA,Caransebes - Evaluarea rezultatelor instruirii matematice

TEIS ALINA, Institutor Liceul Pedagogic Stefan Odobleja - Jocul didactic- modalitate de optimizare a procesului instructiv educativ la clasele I-IV

CHIRFOT CARMEN VICTORITA D-l Tudor - Rezolvarea ecuatiei de gradul III prin metoda lui Cardano

BALOI VALERIA, Liceul Pedagogic ,Stefan Odobleja - Rolul educativ al matematicii

MIHAELA POPESCU, DUMITRU POPESCU Sc.2 Drobeta Turnu Severin - Sc.24 Craiova - Un nou mod de organizare (abordare) a lectiei de recapitulare la matematica

ALEXANDRU FARAGO, GABRIELA FARAGO,RAESCU GHERGHINA, Liceul Lalescu, Sc.2 Orsova - Matematica pasul spre arta si tehnica

ADRIANA MOCLEA , Sc.Gen.Nr.11 - Francois Viete cel mai renumit algebrist francez al secolului al XVI-lea

GIORGI VICTORIA Sc.Sf.Nicolae, Targu Jiu - Aspecte privind evaluarea in contextul structurii semestriale a anului scolar

STOICHITOIU MIRCEA, GR.SC.TEHNIC, Gh.Magheru ,Tg.Jiu - Asupra unor inegalitati

MARCU FELICIA GRAD.NR.3 - Activitatile matematice mijloc de stimulare a gandirii matematice

VERDEA SIMONA GRAD.NR.3 - Activitati matematice de tip integrat la copiii de varsta prescolara

CHIRFOT LIDIA GRAD.NR.3 - Evaluarea in activitatile cu continut matematic

BARBU DANIELA Lic.Teoretic Brezoi (Valcea) - Aspecte metodice in rezolvarea problemelor de concurenta

TRAILESCU DIANA Sc.Gen. Obarsia Closani - Derivata formala

MUDAVA RINETA GRAD.NR.3 - Rolul activitatilor matematice in pregatirea prescolarilor pentru scoala

ROBESCU ELENA GRAD.NR.29, LICURICI

Petre Sergescu

- 14 -

- Contributia jocurilor logice matematice la dezvoltarea intelectuala a prescolarilor SPIRIDON LUIZA DANIELA GRAD.NR.29, LICURICI

- Rolul perceptiilor si reprezentarilor matematice in viata prescolarilor PRESURA PARASCHIVA FELICIA ,GRAD.NR.29,LICURICI

- Continuitate intre gradinita si scoala in procesul insusirii cunostintelor matematice IONASCU FLORICA Inv.Motru

- Activitati transdisciplinare efectuate la orele de matematica la clasele I-IV Chairman Lector dr.Vasile Tomita, CU Drobeta Director CNT Presedintele Filialei Mehedinti Profesor drd. a Societatii de Stiinte Matematice din Romania Prajea Manuela Prof.dr.Cainiceanu Gheorghe

DEMONSTRAIA N GEOMETRIE

prof. Victor Sceanu coala cu Clasele I-VIII Nr. 11

Drobeta-Turnu-Severin

Deoarece geometria n totalitatea ei este bazat numai pe demonstraii de

teoreme directe i reciproce, leme i probleme, consider ca necesar a fi comentat conceptul de ,,demonstraie n geometrie.

Este tiut c orice teorie matematic este un sistem de concepte matematice i propoziii

adevrate obinute prin studierea unei structuri matematice, determinat de un sistem definitoriu

precizat. Propoziiile aparinnd unei teorii matematice date sunt de dou feluri: a. propoziii aparinnd sistemului definitoriu ales pentru definirea structurii matematice,

propoziii admise ca adevrate, denumite uneori ipoteze fundamentale, alteori axiome; b. propoziii ce nu aparin sistemului definitoriu denumite teoreme sau n cazuri particulare

leme, corolare sau pur i simplu propoziii, propoziii adevrate n baza unei demonstraii. n general, teoremele unei teorii matematice date sunt enunuri exprimate cu ajutorul

conceptelor teoriei respective, n care se afirm c dac una sau mai multe propoziii denumite ipoteza teoremei sunt adevrate, atunci sunt adevrate una sau mai multe propoziii, denumite concluzia teoremei . Afirmaia fcut este justificat printr-o demonstraie.

n general o teorem este o implicaie logic, ipoteza implic concluzia, aceast implicaie fiind

adevrat n virtutea unei demonstraii. Notnd cu A ipoteza unei teoreme arbitrare i cu B concluzia acelei teoreme, teorema poate fi

notat utiliznd simbolurile din calculul propoziional A B . Notm cu AB o implicaie care poate fi adevrat sau fals i cu A B o implicaie adevrat, deci o axiom sau o teorem.

Am observat c uneori enunul unei teoreme nu pune n eviden cu claritate existena unei

implicaii logice. De exemplu, unele teoreme afirm doar c o anumit propoziie este adevrat. n aceste cazuri, cel mai adesea ns, pentru a demonstra teorema devine necesar o reformulare a enunului, o precizare a lui, care face evident implicaia ce trebuie demonstrat. Un exemplu: n

enunul teoremei ,,Suma msurilor unghiurilor unui triunghi din planul euclidian este 180O. implicaia logic nu mai este direct vizibil. Enunul teoremei afirm doar c o anumit propoziie

este adevrat. Dac dorim s demonstrm aceast teorem, ea trebuie reformulat astfel: ,,Dac

Petre Sergescu

H

- 15 -

SSM triunghiul ABC este un triunghi arbitrar din planul euclidian, atunci m( A )+m( B )+m( C )=180O. Ipoteza, concluzia i implicaia dintre ele sunt astfel mai clare.

Am afirmat c, n general, o teorem este o implicaie logic adevrat n virtutea unei

demonstraii. Dar ce este o demonstraie? Considerm teorema A B. O demonstraie a acestei teoreme este un ir de implicaii de

forma: (*) A A1; A1 A2; ; An-1 An = B,

fiecare element al irului fiind o implicaie adevrat datorit unuia dintre urmtoarele trei motive: 1) implicaia este coninut ca ipotez fundamental (axiom) n sistemul definitoriu ales pentru

structura matematic studiat; 2) implicaia este o teorem studiat anterior; 3) implicaia este o lege logic general (o tautologie).

irul (*) de implicaii adevrate se numete adesea ir demonstrativ. n realizarea demonstraiilor sunt necesare urmtoarele dou observaii: 1) este necesar cunoaterea exact a sistemului definitoriu ales pentru determinarea structurii

matematice considerate. Numai astfel, ipotezele fundamentale (axiomele) pot fi utilizate corect n demonstraii.

2) n realizarea unei demonstraii este de mare utilitate cunoaterea a ct mai multor teoreme ce au fost stabilite anterior, a ct mai multor legi logice generale. Motivul este creterea cantitii implicaiilor adevrate ce pot fi folosite n construirea irurilor demonstrative.

Subliniem c nu exist un ,,algoritm de obinere a demonstraiilor. Experiena proprie a rezolvitorului, cunoaterea a ct mai multor tipuri generale de demonstraii aa zise ,,standard, capacitatea de a face analogii, intuiia, toate joac un rol important n creterea capacitii de

realizare a irurilor demonstrative. n faa unei implicaii creia nu-i gsim o demonstraie, dac ipoteza conine predicate

(propoziii cu variabile), atunci se cerceteaz adevrul sau falsitatea implicaiei respective dnd

valori particulare variabilelor, analiznd unele cazuri particulare ale implicaiei. Cazurile particulare n care implicaia este adevrat sunt numite exemple. Dac gsim un caz particular n care implicaia este fals, acest caz se numete contra-exemplu i el atest faptul c implicaia respectiv nu este adevrat, nu este o teorem i nu, cum incorect se spune, c teorema nu este

adevrat. Deci, o cale de a dovedi c o implicaie nu este o teorem, metoda utilizabil cnd n

ipotez sunt coninute predicate, este aceea a gsirii unui contra-exemplu. Dac pentru implicaie dat nu se reuete demonstrarea i dac exist motive puternice s

credem c implicaia este o teorem (de exemplu cunoaterea multor cazuri particulare n care

implicaia este adevrat), atunci implicaia respectiv devine o conjenctur. Aceste conjecturi rmn mereu n atenia matematicienilor ce ncearc s dovedeasc dac sunt sau nu teoreme,

rezolvarea multora dintre ele au dus la realizarea unor pai mari n dezvoltarea tiinelor

matematice. n matematic sunt cunoscute multe conjecturi, dou dintre ele fiind: D Conjectura lui Goldbach: ,,orice numr ntreg par se scrie ca suma a dou numere prime

impare, care nu a fost demonstrat i nici infirmat pn astzi. D Conjectura lui Pierre Fermat: ,,oricare ar fi numrul natural n>2, relaia xn+yn=zn nu

poate fi verificat n N , pentru care ncercrile de demonstrare au euat. n 1984 s-a dovedit c pentru n>2, numrul soluiilor, dac ele rezist, nu poate fi dect finit.

Un tip particular de demonstraii, des utilizat este acela al demonstraiilor ,,prin reducere la absurd. Demonstraiile ,,prin reducere la absurd se bazeaz pe urmtoarea propoziie: ,,Pentru a stabili c implicaia AB este adevrat (deci pentru a demonstra A B) este suficient a demonstra c implicaia (A ( | B)) (P ( | P)) este adevrat, unde P este o propoziie adevrat..

Altfel spus, dac implicaia (A ( | B)) (P ( | P)) este adevrat, atunci este adevrat i implicaia AB.

Petre Sergescu

- 16 -

Raionamentul este urmtorul: considerm propoziia compus A ( | B) (ipoteza i negaia concluziei). Dac acest sistem de propoziii este adevrat, fiind adevrat i implicaia (A ( | B)) (P ( | P)), este adevrat propoziia compus P ( | P). Dar datorit principiului logic al necontradiciei ,,aceasta este o absurditate, propoziia P ( | P) fiind fals. n consecin este adevrat propoziia | (A ( | B)) care este echivalent cu ( |A)B. Presupunnd A (ipoteza) ca o propoziie adevrat, pentru ca propoziia ( |A) B s fie adevrat este necesar ca B s fie adevrat. Deci A adevrat implic B adevrat (teorema A B este demonstrat). Tabelul valorilor de adevr, de mai jos, ne arat c implicaiile AB i A ( | B)P ( | P ) sunt echivalente logic, deci a demonstra una din aceste implicaii este echivalent cu a demonstra pe cealalt.

A | B A ( | B) P ( | P ) AB A ( | B)P ( | P ) 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1

Dup cum se tie, practica a artat c de multe ori cnd este dificil s se demonstreze

teorema A B, este mai uor a stabili A ( | B)P ( | P ). Acest lucru atestat de practic confer importan demonstraiilor ,,prin reducere la absurd.

Ca exemple de demonstraii prin absurd avem: teoremele reciproce Menelaos i Ceva,

condiia ca dou drepte s fie paralele i multe probleme din prima parte a manualelor de geometrie din clasa a VIII-a i a X-a.

Remarcm c, uneori, se consider c a demonstra teorema A B prin ,,reducere la absurd revine la a demonstra teorema | B | A. Evident c nimic nu este greit ntruct i implicaiile AB i | B | A sunt echivalente logic, dup cum rezult din tabelul valorilor de adevr de mai jos.

A |A | B AB |A | B 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

Deci, a demonstra pe una dintre ele nseamn a demonstra i pe cealalt. Dar, totui. n acest

caz este vorba de o restrngere serioas a aplicabilitii demonstraiilor ,,prin reducere la absurd i anume la cazul P = A, A ( | B) A ( | A).

ncheiem, considernd c prin cele expuse, am putut da un rspuns satisfctor la ntrebarea

,,Ce este o demonstraie? mai ales n geometrie.

Petre Sergescu

H

- 17 -

SSM PROBLEME DE EXTREMUM REZOLVATE PRIN METODA

INEGALITILOR ALGEBRICE

Prof. IONIC CONSTANTIN coala cu clasele I-VIII Nr. 14

Drobeta Turnu Severin Problemele de maxim i minim propun stabilirea condiiilor pe care trebuie s le ndeplineasc anumite puncte variabile, n contextul unei configuraii n care rmn fixe unele elemente i sunt precizate anumite condiii astfel nct un segment, un unghi sau o expresie n care

intervin lungimi de segmente sau msuri de unghiuri (care i modific valoarea n funcie de

poziia elementelor mobile) s ating valoarea maxim. Notnd cu litere elementele care apar n expresia al crui extrem se cere, aceasta devine o expresie algebric al crui extrem se poate determina folosind anumite rezultate sau inegaliti

algebrice. Teorema1. Dac x i y sunt numere variabile strict pozitive de sum constant x+y =k, atunci produsul x y atinge valoarea maxim cnd x=y=k/2. ntr-adevr, folosind identitatea 4xy=(x+y)2-(x-y)2= k2-(x-y)2 sau inegalitatea mediilor xy (x+y)/2, se obine demonstraia teoremei. O justificare geometric a acesteia se poate da astfel. Presupunem c x,y sunt lungimile segmentelor AM i BM, unde [AB],este o coard ntr-un cerc C(o,r), AB=k.

Produsul P=MA MB=xy reprezint puterea punctului M fa de cercul dat, deci P=MAMB=xy reprezint puterea punctului M fa de cercul dat,

P=MAMB=xy=r2-MO2. Se observ c P este maxim dac M este ales pe[AB]astfel nct MO s

fie minim, deci dac M este proiecia ortogonal a lui O pe [AB], adic mijlocul segmentului [AB]. n acest caz x=y i valoarea maximului este k2/4. Teorema 2. Dac x,y sunt numere variabile strict pozitive i produsul lor este o constant k2, atunci suma lor este minim cnd x=y, iar valoarea minim a sumei este 2k. Teorema rezult din identitatea : (x+y)2=4xy+(x-y)2. Geometric, dac[AB] este un segment i M[AB] astfel nct AMMB=xy=k2=constant, se poate construi C(o,r), unde 22 OMkr += , iar O un punct care aparine mediatoarei segmentului [AB], deci cercul va conine punctele A,B. n

acest cerc AMMB=k2 reprezint puterea punctului M fa de cerc, pentru oricare alt coard care conine punctul M, dus prin M, de exemplu A

B, avem AMMB= k2. Cea mai mic coard care conine punctul M, n acest cerc, este cea care se obine ducnd

perpendiculara n M pe OM. Dac aceasta este[A1B1] vom avea A1MB1M =k2 i A1M= B1M =k, deci valoarea minimului sumei este 2k. Faptul c A1B1

Petre Sergescu

- 18 -

APLICAII 1.Fie ABC un triunghi i M(BC). Dac P i Q sunt proieciile ortogonale ale lui M pe AB i

respectiv AC, s se determine poziia punctului M(BC) astfel ca aria triunghiului MPQ s fie maxim.

Soluie:

Fie MP=x i MQ=y SMPQ = MPMQsinPMQ/2= xysinA/2 (s-a inut seama c patrulaterul APMQ este inscriptibil i sinPMQ=sin(1800-A)=sinA) ). Deci maximul cutat se atinge simultan cu maximul lui xy. Se observ c ax+by=2S, S este aria triunghiului ABC, deci este constant. B De asemenea, maximul produsului xy se atinge simultan cu maximul produsului (ax) (by), care conform teoremei 1 se atinge dac ax=by, ceea ce implic egalitatea ariilor triunghiurilor AMB i AMC, deci M este mijlocul

laturei (BC). 2. Fie M un punct din interiorul unui triunghi i MA1,MB1,MC1 distanele lui la BC, AC i respectiv AB. S se determine poziia lui M pentru care suma

BC/MA1+ AC / MB1+ AB / MC1 are valoare minim. Soluie: Fie MA1=x, MB1=y, MC1=z. Avem ax+by+cz=2.(SBMC+SCMA+SAMB) =2S=constant Trebuie determinat minimul sumei: (a/x+b/y+c/z) Avem: (a/x+b/y+c/z)(ax+by+cz)=a2+b2+c2+ab(x/y+y/x)+bc(y/z+z/y) +ac( z/x+x/z) a2+b2+c2+2ab +2bc+2ac.( S-a inut cont de faptul c, dac u,v>o, u/v+v/u 2). n inegalitatea precedent egalitatea se obine dac x=y=z, prin urmare minimul sumei este atins dac M=I- centrul cercului nscris n triunghiul ABC.

Petre Sergescu

H

- 19 -

SSM CONSIDERAII METODICE PRIVIND

PREDAREA TEOREMELOR DE MEDIE N NVMNTUL LICEAL

Prof. Mandrei Ana Liceul Pedagogic C.D. LOGA Caransebe

1. Teorema lui FERMAT Fie IR un interval, f: IR o funcie i 0x I un punct de extrem local (relativ) al

funciei f. Dac f este derivabil n punctul 0x , atunci fie f ( )0x =0. n predare, considerm c este binevenit sublinierea ctorva aspecte relevante: - faptul c funcia considerat are valori reale este esenial ( folosindu-se

relaia de ordine ) - o funcie poate avea mai multe puncte de extrem.

Exemplul 1.

,: RRf ( ) 42 = xxf . Punctele -2 i 2 sunt puncte de minim global, iar originea este un punct de maxim local; - o funcie poate avea puncte de maxim, fr a avea puncte de minim sau

invers, ori poate s nu admit extreme locale; - extremele globale ( absolute ) nu sunt neaprat atinse, dar extremele locale

sunt nsi prin definiia lor atinse; - valoarea unei funcii poate s fie mai mic dect valoarea ntr-un minim

local. Teorema lui Fermat d condiii necesare de extrem, dar nu i suficiente.

Reciproca acestei teoreme, fiind n general fals. Prin contraexemple, putem solicita elevilor s constate c teorema lui Fermat nu

este adevrat pe intervalele nchise: [ ] Rf 2,1: , ( ) 2xxf =

are punctul 10 =x ca punct de minim i totui f ( ) 01 . 2. Teorema lui Rolle

Definiie: O funcie [ ] ,,: Rbaf ( )ba < se numete funcie Rolle dac este continu pe intervalul compact [ ]ba, i derivabil pe intervalul deschis ( )ba, .

Teorem: Fie [ ] Rbaf ,: cu ba < , o funcie Rolle pentru care ( ) ( ),bfaf = atunci

exist cel putin un punct ( )bac , astfel nct f ( ) 0=c . Enumerm cteva observaii importante pentru nsuirea activ i contient

de ctre elevi a acestei teoreme. Observaia 1.

Fie [ ] Rbaf ,: o funcie continu pe [ ] ,,ba derivabil pe ( )ba, i cu ( ) ( ).bfaf = Atunci ecuaia f ( ) 0=x poate avea:

- o soluie - un numr finit arbitrar de soluii - o infinitate de soluii ( o mulime numrabil )

Petre Sergescu

- 20 -

Exemplul 2. [ ] 2)(,2,2: axxfRf = .

Atunci f ( ) 0=x are exact o soluie: 0=x Exemplul 3.

[ ] ,1,0: Rf ( ) ( ) .sin xnxf += Atunci f ( ) 0=x dac i numai dac ( ) ( ) 0cos =++ xnn are exact 1+n soluii i anume: ( ) ( ) KxnKxn 2122

2+=++=+

,2212

++=

nKxK nK ,0=

Exemplul 4.

Fie [ ] ,1,0: Rf ( ) ( ]

=

=0,0

1,0,sin

x

xx

xxf

;

01

11 =

+=

nf

nf ; ( ) Nn

Aplicnd teorema lui Rolle pe intervalul ( )11,1

1

+n

nn rezult c f ( ) 0=x , are

o infinitate ( mulime numrabil ) de soluii. Observaia 2. Fiecare din condiiile teoremei lui Rolle este esenial. Este necesar ca domeniul de definiie al funciei s fie un interval. Exemplul 5.

[ ]3,0:f \{ } R1 , ( ) [ )( ]

=

3,1,1,0,3

xxxx

xf ;

f este derivabil pe ( )3,0 \{ },1 ( ) ( ) .330 == ff Totui f nu se anuleaz pe E [ ) ( ].3,11,0 = , E nu este un interval.

Exemplul 6.

[ ] ,1,0: Rf ( ) ,xxf = f este derivabil pe [ ],1,0 dar ( ) ( )10 ff , aadar f( ) ,0x ( ) [ ]1,0 x

Exemplul 7.

[ ] ,2,0: Rf ( ) ( ) ( ]

=+=

0,92,0,1 2

xxxxf ; ( ) ( ) 920 == ff ,

f este derivabil pe ( )2,0 , dar f nu este continu la dreapta n 0. De aceea nu exist ( )2,0c astfel nct f ( ) ( ) ( ) ( ).2,0,0,0 = xxfc

Exemplul 8.

[ ] ( ) ,,1,1: xxfRf = f continu pe [ ] ( ) ( ),11,1,1 ff = f derivabil pe ( )1,1 \{ }0 i f ( ) ( ) ( )1,1,0 xx \{ }0 .

Petre Sergescu

H

- 21 -

SSM Observaia 3.

Condiiile din ipoteza teoremei lui Rolle sunt suficiente i nu neaprat necesare pentru ca derivata s se anuleze ntr-un punct. Exemplul 9.

[ ] ( ) [ ][ ]

=QxpentruQxpentruxxfRf

/2,2,02,2,3

,2,2:2

;

f este derivabil i continu numai n x= 0 i f ( ) 00 = .

Exemplul 10. [ ] ,2,2: Rf ( ) fxxf ,2 3= este derivabil pe ( )2,2 , continu pe [ ] ,2,2

f ( ) 0=x pentru x= 0 , dar ( ) ( )22 ff . Consecina 1

Teorema lui Rolle rmne adevrat, n particular, dac a i b sunt rdcini

ale funciei, adic ( ) 0=af i ( ) 0=bf . n acest caz teorema se poate enuna astfel: ntre dou rdcini ale funciei se afl cel puin o rdcin a derivatei. O prioritate dual este urmtoarea: ntre dou rdcini consecutive ale derivatei se afl cel mult o rdcin a funciei.

ntr-adevr, fie 21 xx < dou rdcini consecutive ale derivatei f ( ) 01 =x i f ( ) 02 =x . Aceasta nseamn c ntre 1x i 2x nu mai exist nici o alt rdcin a derivatei. S presupunem, prin absurd, c funcia ar avea dou rdcini diferite a i b ntre 1x i 2x : ( ) ( ) 0,21 ==

Petre Sergescu

- 22 -

Uneori se scrie xcc = i ca atare, ( ) ( ) ( )= axafxf f ( )xc Remarcm c dac ax , atunci acx . Observaia 6. Teorema lui Lagrange conine ca un caz particular teorema lui Rolle. ntr-adevr, dac ( ) ( )bfaf = , obinem n condiiile teoremei lui Lagrange, c exist

( )bax ,0 astfel nct f ( ) 00 =x . Consecina 2 Fie IRIf ,: interval de numere reale i Ix 0 Dac f este derivabil pe I \ { }0x , continu n 0x i exist limita lim

0xx= atunci

f ( )0x exist i f ( )x = . Dac limita este finit, atunci f este derivabil n 0x . Observaia 7 n consecina 2, condiia ca funcia f s fie continu n punctul 0x este esenial. Dac f nu este continu n 0x , atunci f ( )0x lim

0xx f ( )x

Exemplul 11

Fie ( )

>+=

0,420,52

,:xdacxxdacx

xfRRf

Restriciile funciei f la intervalele ( )0, respectiv ( ),0 sunt funcii elementare aadar derivabile.

f ( )x

>

Petre Sergescu

H

- 23 -

SSM

Astfel, funcia RRf : , ( )

=

=0,0

0,1sin2

xdac

xdacx

xxf este derivabil n origine, dar

lim0xx

f ( )x nu exist.

4. Teorema lui Darboux Dac RIf : este o funcie derivabil pe un interval I , atunci derivata sa f

are proprietatea lui Darboux (adic nu poate trece de la o valoare la alta fr a trece

prin toate valorile intermediare ).

Consecina 3. Dac f este derivabil pe I , iar n dou puncte Iba , , f are valori de semne

contrare, atunci f se anuleaz cel puin ntr-un punct ntre a i b . Consecina 4. Dac f este derivabil pe I i f ( ) 0x , pentru orice Ix , atunci f pstreaz

semn constant pe I. Consecina 5.

O derivat f nu are nici un punct de discontinuitate de prima spe. Exemplul 12.

Funcia ( )

1, numrul n4 + 64n nu este prim.

Soluie: Dac n este par, atunci n4 + 64n 2M evident, deci nu este prim. Rmne s

demonstrm afirmaia pentru n impar, adic n = 2k+1, kN. Avem: n4 + 64n = n4 + 64 64n-1 = n4+ k264164 = n4 + k264 )2(24 = n4 + 413 )2(4 + k i folosind identitatea Sophiei Germain:

a4+4b = a4+4b4 + 4a2b2 4a2b2= (a2+2b2) (2ab)2= (a2+2b2-2ab)(a2+2b2+2ab) problema este rezolvat pentru a = n i b = 2k+1.

2. Artai c a = 4789 + 7894 nu este prim. Soluie:

4789 + 7894 = 7894 +4 4196 )4( i folosind demonstraia identitii Sophiei Germain = 7894+4 4196 )4( +4 21972 )4(789 -4 21972 )4(789 =

= (7892+2 1974 )2 (2 1974 ) = = (7892 + 2 4197 - 19747892 )(7892+ 197197 4789242 + )

i deci a nu este prim. Probleme propuse 1. S se demonstreze c pentru n>1, n4 + 4n nu este niciodat prim.

A. Makowski (fost conductor al echipei OIM - Polonia) 2. Este 4545 + 5454 numr prim?

O. M. - Rusia

Bibliografie: Manual MATHEU Identificarea, motivarea i susinerea talentelor matematice n colile europene, editor Gregory Makrides, INTERCOLLEGE, Cipru Probleme de matematic strategii de rezolvare, Arthur Engel, traducere de Mihai Blun, editura GIL Zalu, 2006

CERCUL DE MATEMATICA

26- 26 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a-IX-a

Calculul unor sume de n termeni

Prof. Chirfot Carmen Prof. Chilea Ion

Colegiul Tehnic Domnul Tudor

Enun: Dac Nn , precizai ultimul termen pentru fiecare dintre sumele A, B, C, D i calculai: 44444 344444 21

termenin

.........211510631 ++++++=A , 44444 344444 21termenin

.........16117421 ++++++=B ,

44444 344444 21termenin

.........231712853 ++++++=C , 44444 344444 21termenin

.........332315953 ++++++=D .

Soluie: Sumele de mai sus sunt strns legate ntre ele din punct de vedere al metodei de rezolvare. Pentru calculul sumelor A, B, C, se observ c pasul de cretere al termenilor sumei este n progresie aritmetic, cu raia de cretere 1.

De asemenea, 2211 = ;

2323 = ;

2436 = ;

25410 = ;

26515 = ;

27621 = .a.m.d.

Evident, ultimul termen al sumei este +2

)1(nn

=+=+= =

)(21

2)1(

11 1

2nn

k

n

kkkkA6

)2)(1(2

)1(6

)12)(1(21 ++=

++++ nnnnnnnn .

Pentru calculul sumei B, se observ

c =+++++++ AnB ))1(........54321( AnnB =+2

)1( . Deci, 2

)1( nnAB = .

Ultimul termen al sumei B este )1(2

)1( + nnn . Ultimul termen al sumei C este

22

)1( ++ nn . Pentru calculul sumei C, folosim c

AnCCAn

+==+++++ 2)2...222(oride44 344 21 .

n cazul sumei D,

=

++++++=+++++

DnnCDC

n 2)1)(2(...10631)....10631(

termeni244 344 21

DkkCn

k=++

=

2

1 2)1( .

Enun: Dac Nn , s se calculeze suma, folosind o metod figurativ

12)1(3)2(......)2(3)1(21 ++++++= nnnnnnE . Soluie: Fie urmtoarea reprezentare de numere:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 . 1 2 3 4 n

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 27 -

Calculnd suma tuturor elementelor dispuse pe cele n linii (fcnd suma pe cele n coloane), observm c este vorba despre suma E. Fcnd suma tuturor elementelor, dar adunnd pe linii, gsim

=

++=+=++++++=n

k

nnnkknnE1 6

)2)(1(2

)1(2

)1(.....10631 .

Probleme propuse:

1. Calculai ,,,.........)14()9()5()2( *

termenin

NnRxxxxxxA +++++++++= 444444444 3444444444 21 fixat .

2. Rezolvai in R ecuaia

,,3

)1()1(.........)30()20()12()6()2(termenin

Nnnnnxxxxxx +=+++++++++++ 44444444444 344444444444 21 fixat.

3. Se d figura de mai jos cu n linii, format din numere consecutive:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x ... . y Stabilii valoarea numerelor x i y n funcie de numrul n. Gsii formula general de scriere a unui numr aflat pe ipotenuza triunghiului,

pe linia nkk ,1, = .

CERCUL DE MATEMATICA

28- 28 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a-IX-a

Metode de demonstrare a inegalitii mediilor pentru dou numere

elev Bogdan-Lucian Nu, clasa aX-aF,

prof. dr. Daniel Stretcu, Colegiul Naional ,,Gh. ieica

Avnd dou numere x,y pozitive, au loc urmtoarele inegaliti:

22112 22 yxyxxy

yx

+++

1)Inegalitatea dintre media aritmetic (MA) i media geometric(MG): 2

yxxy + . Demonstraia I: Numerele x,y sunt pozitive, atunci putem ridica la ptrat obinnd:

( ) ( ) deqyxyxyxyxxyyxxy ..00242

22222

++

+

Din aceasta relaie deducem c egalitatea are loc doar atunci cnd a=b. Demonstraia II: Considerm un triunghi dreptunghic ABC cu m(A) =90, n care lungimea nlimii AD este

xy .

Fie O mijlocul ipotenuzei BC. Atunci :

AO= 22

yxBC += Deoarece AD este perpendiculara din A pe BC, avem c

AOAD , adic MAMG . Observaie! Egalitatea apare dac i numai dac D=O, adic atunci cnd nlimea coincide cu mediana. Aceasta se

ntmpl cnd x = y. Demonstraia III: Construim dreptunghiurile de dimensiuni yx , yx ca n figura alturat : Ptratul din interior are latura ( )xy , deci aria ( )2xy . Egalnd cele dou expresii posibile pentru arie i obinem

ecuaia: ( ) ( )22 4 xyxyyx +=+

De aici obinem c ( ) xyyx 42 + i extrgnd radicalul avem c : xyyx 2+ deq ..

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 29 -

Demonstraia IV: Fie x >y dou numere pozitive. Lum un ptrat de latura x + y pe care l mprim n dou ptrate i dou dreptunghiuri, ca n Figura 1 de mai jos. Apoi renunm la ptratul mic, ca n Figura 2, i pliem dreptunghiurile peste ptratul mare. Figura 1 Figura 2 Fiecare dreptunghi va ocupa o arie egal cu xy, iar aria 2y a ptratului mic va fi acoperit de 2 ori. Deoarece rmne suprafaa neacoperit, avem c: xyyx 222 + . Demonstraia V: Fie AC , BC dou cercuri de centre A,B i raze x, y, astfel nct ele s fie tangente exterior n punctul C, c n figura alturat: Tangenta comun a cercurilor este ST. Lungimea ei este:

( ) ( ) xyyxyxDBST 222 =+== . Cum DB este o catet n triunghiul dreptunghic ADB, avem

c BD AB. Deci: yxxy +2 .

2) Inegalitatea dintre media armonic (MH) i media geometric (MG) xy

yx

+ 112

Aceasta este o consecin a inegalitii MG-MA aplicata numerelor x1 i

y1 :

221

2

1111 yxxy

xyyx

xyyx

yx++

+

3) Inegalitatea dintre media aritmetic (MA) i media ptratic (MP) 22

22 yxyx ++

Ridicm la ptrat relaia de mai sus, obinnd:

22

22

22

2222

22222 yxxyyxxyyxyxyx +++++

+ .

Obinem astfel inegalitatea MA-MG pentru numerele 2x i 2y .

CERCUL DE MATEMATICA

30- 30 -

4) Interpretarea geometric a inegalitii MH-MG-MA: Considerm un trapez dreptunghic ABCD astfel nct A=B=90, iar latura CD este tangenta la cercul de diametru AB n punctul T. Fie P proiecia punctului T pe AB, O mijlocul segmentului AB, iar M intersecia dintre CD i perpendiculara din O ridicat pe AB. Fie AD = x, BC = y. Se observa c:

yx

PT

xyOT

yxOM

112

,

,2

+=

=

+=

.

Pentru demonstraie, fie N proiecia a lui D pe BC. n triunghiul dreptunghic DNC avem c DC = x + y i ( ) ( ) xyyxyxDN 4222 =+= .

Deoarece DN=2AO=2OT, obinem c OT= xy .

TPO DNCDCDN

TOPT = , ceea ce implic:

.11

22

yxyx

xyxy

DCDNTOPT

+=

+==

n sfrit, MO este linie mijlocie n trapezul ABCD, deci 2

yxMO += . Este evident n triunghiurile dreptunghice TPO i OTM c MOTOPT , deci :

2112 yxxy

yx

++

.

5) Inegalitatea MA - MP are de asemenea o interpretare geometric interesant. Interpretarea geometric a MP este lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic isoscel nscris ntr-un cerc de diametru 22 yx + . Fie A', B' simetricele punctelor A,D fa de centrul O. Atunci

ABA'C este un dreptunghi cu laturile x, y iar BDCD' este un ptrat de latura r. Din relaiile demonstrare anterior rezulta c dintre toate dreptunghiurile nscrise ntr-un cerc dat, ptratul are cel mai mare perimetru.

Bibliografie: Manual MATHEU Identificarea, motivarea i susinerea talentelor matematice n colile europene, editor Gregory Makrides, INTERCOLLEGE, Cipru

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 31 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a-X-a

Aplicaii ale numerelor complexe

n geometrie prof. Giugiuc Leonard CNT

n acest articol vom omite aspectele teoretice clasice, insistnd doar pe acelea tratate insuficient n literatura de specialitate.

1 UNGHIURI SI NUMERE COMPLEXE Vom da n contunuare dou interpretri ale unghiului determinat de trei puncte

distincte, dou cte dou. DEFINITIE Fie trei puncte necoliniare. Atunci:

=

Exemplu: Fie A(i), B(2), C(-3). Aflai Soluie: = arg (-1 i) = = ).

Deci .

2) = msura unghiului de rotaie n sens trigonometric al segmentului orientat peste segmentul orientat n jurul punctului A.

A C B O prim aplicaie important n acest sens este urmtoarea: Aplicaia 1: Fie pentagonul convex ABCDE, avnd unghiurile congruente i lungimile laturilor raionale. Artai c ABCDE este regulat. D Soluie: E C A B Considerm pentagonul convex pozitiv orientat cu Notm . Evident Q, i = , iar Din considerentele teoretice anterioare i din faptul c toate unghiurile au msura avem

= =

CERCUL DE MATEMATICA

32- 32 -

= = =

Vom presupune . = =

= =

= =

Dar = . Identificnd coeficienii din ultimele dou relaii avem c , deci laturile pentagonului sunt egale.

2 TRIUNGHI ECHILATERAL SI NUMERE COMPLEXE n continuare, vom da dou conditii necesare i suficiente pentru ca ABC, cu

s fie echilateral, una din ele fiind aplicaie la considerentele teoretice anterioare. Teorema 1: ABC este echilateral dac i numai dac = 0. Demonstraie (schi): Pornim de la relaia:

= ( ( ; 1+ Folosind noiunile anterioare, se arat uor c ABC negativ orientat este echilateral

= 0, iar cel pozitiv orientat Lsm cititorului plcerea demonstrrii celor de mai sus. Teorema 2: ABC n care este echilateral d.n.d. Demonstraie:

ABC. ABC echilateral O G, unde G este centrul de greutate al ABC = 0

O. Consecin: Fie ABC echilateral. Atunci = 3 . Lsm ca tem demonstraia.

3 APLICATII REZOLVATE SI APLICATII PROPUSE n continuare dm cteva aplicaii ale acestor teoreme. Aplicaia 1: Fie x, y, z a.i. cos x + cos y + cos z = 0 i sin x + sin y + sin z = 0.

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 33 -

Artai: a) cos 2x + cos 2y + cos 2z = 0 i sin 2x + sin 2y + sin 2z = 0. b) cos 3x + cos 3y + cos 3z = 3 cos (x+y+z) i sin 3x + sin 3y + sin 3z = 3 sin (x+y+z). Soluie: a) Notm , . Avem = 1 si + + = 0.

+ + = 0. Dar 0 = = + 2 ( = 0, deci concluzia. b) Din consecina anterioar, avem = 3 Aplicaia 2: Fie ABC. Considerm

Presupunem c MNP este echilateral. Artai c ABC este echilateral. Soluie: Este suficient s artm c Din ipotez, , .

MNP echilateral. . Deci + + + +

( ( ( = 0 = 0.

Analog, din = 0 obinem = 0. Deci ABC echilateral.

Vom propune n continuare cteva aplicaii, n vederea consolidrii cunotinelor anterioare.

1) Fie a>b>0 si curba = 1. Artai c ( ) ABC cu vrfurile pe curb i centrul de greutate n origine, aria sa este aceeai.

2) Dac sinx + siny + sinz = 0 i cosx + cos y + cosz = 0, atunci cos nx + cos ny + cos nz = 0 i sin nx + sin ny + sin nz = 0, ( ) n , cu n nedivizibil cu 3.

3) Fie hexagonul inscriptibil A1A2A3A4A5A6. Notm cu H1 ortocentrul A1A2A3, iar G1 centrul de greutate al A4A5A6, iar Hi, Gi, cu i= analogele.

4) Artai c dreptele Gi Hi, sunt concurente n M, i = . 5) Construii geometric punctul M de mai sus.

Autorul multumeste domnului profesor doctor Gh.Cainiceanu pentru discutiile avute in timpul relizarii materialului de fata si pentru contributia domniei sale la unele aspecte metodice , de organizare a temei si alegerea unor probleme. BIBLIOGRAFIE [1] D.Andrica,N.Bisboaca Numere Complexe,Ed.Gil,Zalau,2002 [2] M.Chirita Numere Complexe, Ed.Did.Ped. Bucuresti,2003 [3] M.Becheanu,B.Enescu Balkan Mathematical Olympiads 1984-2006, Gil 2007 Tema pentru grupa de performanta la clasa a-XI-a

ASUPRA PROPRIETII DE DENSITATE A NUMERELOR

RAIONALE N MULIMEA NUMERELOR REALE

prof.dr.Ciniceanu Gheorghe, CNT

CERCUL DE MATEMATICA

34- 34 -

1.ABSTRACT

Lucrarea de fa i propune s prezinte problema densitii numerelor raionale n mulimea numerelor reale i o serie de rezultate legate de aceasta, ce pot fi un foarte util ghid n pregatirea elevilor n vederea participrii la

olimpiadele colare. Se va defini noiunea de mulime dens n alt mulime, se

va demonstra teorema lui Kronecker de densitate cu cteva aplicaii i se vor trece n revist cteva rezultate importante referitoare la iruri de numere reale

precum i la funcii continue. 2. DENSITATE Definiia 1. Spunem c mulimea AR este dens n R dac pentru orice dou numere reale a

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 35 -

care gsim cel puin numerele m1u+n1 i m2u+n2 a cror diferen mu+n este din

S i este mai mic dect d. Dac notm acum [nmu

a+

] = r ,deducem

r(mu+n) a < (r+1)(mu+n) = r(mu+n)+ (mu+n) < a+d=b. Deci numrul r(mu+n) este cuprins ntre a i b. Aplicaia 9. Dat numrul natural A ,s se arate c exist un numr natural p al crui ptrat s nceap cu A. Soluie. Cutm numrul natural p cu proprietatea :

A 10k < p2 < (A+1) 10k . Prin logaritmare relaia devine (*) lgA < 2 lg p k < lg(A+1). Lum acum p=2m i k=2t, t numr natural i obinem lg A < 2m lg2 2t < lg(A+1). Folosind acum Teorema 8 deducem c mulimea

{2m lg2- 2t | m,tN} este densa n R i deci exist m i t care satisfac cerina (*). 3 APLICAII LA FUNCII Propoziia 9. Dac f,g : RR sunt funcii continue i f(x)=g(x) pentru orice xQ atunci f=g. Demonstraie. Fie aR-Q. Folosind Propoziia 3 deducem existena unui ir (xn) inclus n Q, convergent la a. irurile f(xn) i g(xn) sunt egale i deci au aceeai limit f(a)=g(a). Propoziia 10. Dac f,g : RR sunt funcii cu proprietile: f continu, g monoton, f(x)=g(x) pentru orice x din Q, atunci f=g. Demonstraie. Presupunem de exemplu c f este cresctoare. Fie aR-Q i irurile (xn), (yn) formate din numere raionale ,xn n+1, xI-{xn}. Alegem acum In+1 IIn, interval nchis neredus la un singur punct.

CERCUL DE MATEMATICA

36- 36 -

Pornind de la acest interval In+1 construim un ir de intervale cu proprietatea In+1In . nchise, nevide. Intersecia lor conine cel puin un punct a care va avea proprietatea

nN , |f(a)|>n, absurd. Aplicaia 15 Fie f : RR , xxxf 2sinsin)( += . S se arate c f nu poate

lua valoarea 2, dar poate lua valori orict de aproape de 2. Soluie. Presupunem c f ia valoarea 2 ntrun numr xR. Deducem c 12sinsin == xx i deci 2 Q, absurd. Deci f(x)

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 37 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a-XI-a

ECUATII IN Sn

Elev Mariescu Radu CNT, clasa a XII-a n rndurile urmtoare vreau s propun o soluie generalizat n limbajul de programare C++ pentru urmtoarea problem de matematic lucrat la clas: Fie o permutare de ordinul n dat. Gsete toate permutarile x de ordin n, astfel nct x=x. Evident, vom schimba numele permutrii date din n y pentru c o tastatur standard nu are tasta n dotare. #include #include #include fstream g; void afisare(int n,int x[],long&c) { int i; for(i=1;i

CERCUL DE MATEMATICA

38- 38 -

Tema pentru grupa de performanta la clasa a-XII-a

Distana Lowenstein prof. Pi-Rada Marica

prof. Pi-Rada Ionel-Vasile Avem dou iruri A i B. irul A are m elemente , iar irul B are n elemente. Asupra irului A avem voie s efectum urmatoarele operaii: a) tergerea unui element; b) Inserarea unui element; c) nlocuirea unui element. Se cere s se afle numrul minim de operaii necesar pentru a transforma irul A n irul B. Acest numr este cunoscut sub numele de distana Lowenstein ntre dou iruri. Observaie: Dac notm cu d(A,B) distana Lowenstein dintre dou iruri oarecare A i B se pot observa

urmtoarele: 1)d(A,B)=0, dac i numai dac A=B 2)d(A,B)=d(B,A) 3)d(A,B)

CERCUL DE MATEMATICA

H SSM

- 39 -

Dac A[m]B[n] , atunci avem de ales ntre trei operaii: a) tergem pe A[m] i transformm pe A[1m-1] n B[1..n]; b) Inserm pe B[n] la poziia m+1 n irul A, apoi transformm pe A[1..m] n B[1..n-1]; c) nlocuim pe A[m] cu B[n], iar apoi transformm pe A[1,..m-1] n B[1..n-1];

Care din aceste trei operaii va produce numrul minim? Nu putem decide la acest moment, dar putem observa c cele de mai sus ne arat cum s nlocuim o problem mai grea, calcularea D[m,n], cu una ceva mai uoar i anume calcularea valorilorD[m-1,n-1], D[m-1,n], D[m,n-1]. Apare astfel o idee, s mpingem calculele mai departe pn dm de probleme att de uoare nct

le putem rezolva direct. Aceste probleme sunt D[0,j] i D[i,0]. D[0,j] ar nsemna numrul de operaii necesar transformrii irului vid A n irul B cu j elemente. Putem realiza aceast transformare cu exact j inserri. Deci D[0,j]=j. Analog D[i,0] ar nsemna s transformm irul A cu i elemente n irul vid B. Ar fi necesare i tergeri, deci D[i,0]=i. Aplicnd acum metoda drumului invers , vom porni de la valorile D[i,0]=i i respectiv D[0,j]=j pentru a calcula valorile D[i,j] i deci pe D[m,n]. Rezumnd, obinem c: --- D[i-1,j-1] , dac A[i]=B[j] D[i,j]= --- 1 + min(D[i-1,j-1], D[i-1,j], D[i,j-1]), dac A[i]B[j] Dac D[i,j]=1+D[i-1,j-1], atunci avem nlocuire. Dac D[i,j]=1+D[i,j-1], atunci avem inserare. Dac D[i,j]=1+D[i-1,j], atunci avem tergere. n ce ordine putem efectua calculele? Pentru fiecare i din 1..m vom parcurge fiecare j din 1..n . Este momentul s exemplificm. Care este distana Lowenstein dintre informatica i matematica ? Care sunt transformrile prin care putem efectua transformarea? Pentru calcule am utilizat aplicaia Microsoft Office Excel.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m a t e m a t i c a 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 i 1 1 2 3 4 5 6 7 7 8 9 2 n 2 2 2 3 4 5 6 7 8 8 9 3 f 3 3 3 3 4 5 6 7 8 9 9 4 o 4 4 4 4 4 5 6 7 8 9 10 5 r 5 5 5 5 5 5 6 7 8 9 10 6 m 6 5 6 6 6 5 6 7 8 9 10 7 a 7 6 5 6 7 6 5 6 7 8 9 8 t 8 7 6 5 6 7 6 5 6 7 8 9 i 9 8 7 6 6 7 7 6 5 6 7

10 c 10 9 8 7 7 7 8 7 6 5 6 11 a 11 10 9 8 8 8 7 8 7 6 5

Distana Lowenstein dintre A[1..11]= informatica i B[1..10]=matematica este D[11,10]=5 . Selectm irul de valori D[0,0],D[1,0], D[2,1], D[3,2], D[4,3], D[5,4], D[6,5], D[7,6], D[8,t],

D[9,8], D[10,9], D[11,10] unde sunt 5 schimbri (doar acestea ne intereseaz) pe care le vom

CERCUL DE MATEMATICA

40- 40 -

interpreta n funcie de trei direcii: jos (tergere), dreapta (inserare), diagonal (nlocuire). Operaiile vor fi:

- terg A[1] A[1..10]=nformatica - nlocuiesc A[1] cu B[1]A[1..10]=mformatica - nlocuiesc A[2] cu B[2]A[1..10]=maormatica - nlocuiesc A[3] cu B[3]A[1..10]=matrmatica - nlocuiesc A[4] cu B[4]A[1..10]=matematica

irul de operaii este unic? Nu! Cum putem gsi un alt ir de operaii? Ce trebuie s urmrim cnd cutm un astfel de ir? Reguli:

1. Se pleac din D[0,0]=0 2. Trebuie s ajungem la D[11,10]=5 3. Mergem spre jos (tergere) sau dreapta (inserare) numai dac valoarea crete 4. Mergem pe diagonal dac valoarea crete (nlocuire) sau se pstreaz (fr operaie)

Avem n acest caz cinci iruri de operaii prin care se poate realiza transformarea: - D[0,0],D[1,0], D[2,1], D[3,2], D[4,3], D[5,4], D[6,5], D[7,6], D[8,t], D[9,8], D[10,9], D[11,10] - D[0,0],D[1,1], D[2,1], D[3,2], D[4,3], D[5,4], D[6,5], D[7,6], D[8,t], D[9,8], D[10,9], D[11,10] - D[0,0],D[1,1], D[2,2], D[3,2], D[4,3], D[5,4], D[6,5], D[7,6], D[8,t], D[9,8], D[10,9], D[11,10] - D[0,0],D[1,1], D[2,2], D[3,3], D[4,3], D[5,4], D[6,5], D[7,6], D[8,t], D[9,8], D[10,9], D[11,10] - D[0,0],D[1,1], D[2,2], D[3,3], D[4,4], D[5,4], D[6,5], D[7,6], D[8,t], D[9,8], D[10,9], D[11,10] O aplicaie interesant: S probm plagiatul!

n principiu, distana Lowenstein ntre doua iruri este cu att mai mare cu ct cele dou iruri sunt mai diferite. Aceste iruri pot fi simple iruri de litere sau pot fi iruri de

entiti n sensul mai general al cuvntului. Un bun exemplu de entiti sunt token-ii folosii de limbajele Pascal i C - identificatori, cuvinte cheie, nume de variabil, constante numerice etc.

Putem de pild s asociem fiecrui token dintr-un program Pascal un cod unic. Dac notm WHILE cu 201, DO cu 202, ntregii cu 203, identificatorii cu 204 i restul simbolurilor (cum ar fi ;, =, :, ', etc) cu codul lor ASCII, atunci linia "while X

PROBLEME PROPUSE

H SSM

- 41 -

Elevii vor rezolva probleme de la clasa pe care o urmeaz i de la clasa inferioar. Se pot rezolva i problemele date la Ediia a III-a a concursului Petre Sergescu - pagina 5. Soluiile redactate pe foi format A5 se vor preda profesorului ndrumtor.

IV.1. 9 stilouri i 8 pixuri cost 69 RON i 3 stilouri i 5 pixuri cost 30 RON. Ct cost un stilou? Dar un pix?

inst. Roman Ana IV.2. ntr-o ograd sunt rae i oi, n total 16 capete i 44 picioare. Cte rae i cte oi sunt n ograd?

inst. Roman Ana IV.3. M gndesc la un numr din care scad 350, apoi triplez rezultatul, scad 2350, njumtesc rezultatul i obin 925. La ce numr m gndesc?

inst. Roman Ana IV.4. Micorai de 9 ori suma dintre triplul numrului 96 mrit de 7 ori i jumtatea sfertului numrului 8 888 micorat cu 346. Ce rezultat ai obinut?

inst. Roman Ana IV.5. Pe fiecare dintre primele 4 carti numarul de jos este intr-o aceeasi legatura ascunsa cu numarul de sus. Oare care este al doilea numar scris pe cea de-a 5-a carte ?

inv. Mldinoiu Elena IV.6. Executand un panou pentru cabinetul de matematica Flavius constata ca ii lipsesc sase etichete reprezentand aceeasi cifra. Ce cifra ii lipseste,daca el a putut scrie doar sirul :

inv. Mldinoiu Elena IV.7. Suma a trei numere este 418.Sa se afle numerele stiind ca primul este de doua ori mai mare decat al treilea,iar al doilea este cu 2 mai mic decat sfertul primului

inv. Mldinoiu Elena IV.8. O gospodina a cumparat 10 Kg prune si 5 Kg struguri platind in total 20 000 lei. Cati lei costa 1 Kg de prune si cati lei costa 1 Kg de struguri, daca pretul unui Kg de prune este de 3 ori mai mic decat al unui Kg de struguri ?

inv. Mldinoiu Elena IV.9. Afl cele trei numere a, b, c, tiind c a : b = 4 rest 2, b : c = 4 rest 2, iar a c = 880.

inst. Maria Baulescu IV.10. Suma a cinci numere consecutive pare este de 6 ori mai mare dect primul numr i cu 100 mai mare dect el. Afl cele cinci numere.

inst. Maria Baulescu IV.11. Dac se mparte un numr x la 8, atunci numrul se micoreaz cu 245. Afl valoarea lui x.

inst. Maria Baulescu IV.12. Elena rezolv 24 de probleme ntr-o sptmn, Mihai rezolv cu 8 mai multe, iar Ana cu 12 probleme mai puin dect Elena i Mihai la un loc. - afl cte probleme vor rezolva, n acelai ritm, n primul semestru ( 17 spt.). - scrie rezolvarea problemei printr-un singur exerciiu cu mai multe operaii i rezolv.

inst. Maria Baulescu

32 6

25 10

53 15

63 18

74 ?

1 7 2 1 2 2 + + =

PROBLEME PROPUSE

42- 42 -

V.1. Cte numere naturale de forma abcd indeplinesc condiia : abcd - 3d = 04ab

prof. Victor Saceanu V.2. Aratati ca numarul 2008 poate fi scris sub forma: 333 cba ++ unde *,, cba

prof. Victor Saceanu V.3. Aflati restul impartirii la 8 a numarului: 20072009 79 +=a

prof. Victor Saceanu V.4. Sa se arate ca numarul na 332 2008.......200820082008 ++++= este divizibil cu 3, unde *Nn .

prof. Victor Saceanu V.5. S se arate c

prof. Nedeianu Dan V.6. S se determine numerele prime de forma ab cu proprietatea c i numerele a+b; a 2 +b; a+b 2 i a 2 +b 2 sunt tot numere prime.

prof. Marica tefan V.7. Sa se determine cardinalul multimii: M={ abcdab c = dc b , abcd}

prof. Marica Stefan V.8. Sa se determine a,b,c,d astfel incat urmatoarele multimi sa fie egale

prof. Marica Stefan

V.9. S se determine numerele prime de forma ab cu proprietatea c i numerele a+b; a 2 +b; a+b 2 i a 2 +b 2 sunt tot numere prime.

prof. Marica Stefan V.10. S se arate ca exista mai multe mulimi de numere naturale impare consecutive cu proprietatea c suma lor este att ptrat perfect ct i cub perfect.

prof. Marica Stefan VI.1. Rezolvati in numere naturale ecuatia:

12008

200820071 =

++

+ yx

prof. Victor Saceanu

VI.2. Aflati restul impartirii numarului 20082007 33 +=a la 13 prof. Victor Saceanu

VI.3. Aflati cifrele x, y, z care verifica egalitatea:

)(, yxx + )(, zyy + )(, xzz =6,(6) cu x

PROBLEME PROPUSE

H SSM

- 43 -

VI.7. Fie a,b numere naturale consecutive i *Nn . S se arate c cel mai mare divizor al numerelor an+b i bn+a este numr impar.

prof. Ionic Constantin VI.8. Fie Nzyx ,, astfel nct 3x 7z = 5 (y + z). S se demonstreze c produsul y (x + z) este divizibil cu 15.

prof. Ionic Constantin

VI.9. Aflai n astfel incat 432

+

nn sa fie sum de doua patrate perfecte consecutive

prof. Marica Stefan VII.1. Fie nkNnk 1 pentru care exist cel puin o

mulime de n puncte n plan avnd 2

)1( nn axe de simetrie. Prof.dr.Manuela PRAJEA

VII.4. Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatia: 84543 avem relatia

BCABABBC += 22 . Calculati )(Am prof. Victor Saceanu

VII.7. Daca x si y sunt numere reale pozitive aratati ca:

++

+++

+++

++ yxxyyyxxyxyx111

51

41

41

41

2222

prof. Victor Saceanu VII.8. S se determine , pentru care

prof. Nedeianu Dan

VII.9. Produsul a dou numere raionale este { }6,2,0,2 Qaaa

, iar diferena dintre

triplul celui de-al doilea numr i dublul inversului primului numr este a 6. Aflai numerele.

prof. Ionic Constantin

VII.10. a) Dac 0 < a < b , artai c 11

++ 23 (32

)669 > (23)669 31338 > 22007 (1); 576 > 512 242 > 29 (242)223 > (29)223 24446 > 22007 (2). Din (1) si (2) m > 22007. V.7. Prin verificare directa n = 0 este solutie. Pentru n 1 deosebim doua cazuri. Cazul I - n par - 2n par si n5 par ) (2n + n5 ) par (1); (n2 par si 5n impar) (n2 +5n) impar (2); Din (1) si (2) egalitatea nu are loc. Cazul II - n impar - ( 2n par si n5 impar ) (2n + n5 ) impar (3); (n2 impar si 5n impar) (n2 +5n) par (4); Din (3) si (4) egalitatea nu are loc. In concluzie singurul numar natural ce verifica ecuatia este n = 0. VI.1. Fie d = (2n2+7,5n2+17) 5(2n2+7)-2(5n2+17)=1 dM d=1. VI.2. Ultima cifr a lui n4 poate fi 0,1,5 sau 6. Conform principiului lui Dirichlet al 5 lea numr va avea ultima cifr 0,1,5 sau 6, deci exist dou numere a cror diferen se termin n

0 adic se divide cu 10. VI.3. din m(A)+m(B)+m(C)=180 0 si notnd m(C)=x 0 x 2 +2x+x=180 0 x 2 +3x=180 0 x(x+3)=180 0 x(x+3)=1215x=12 0 C=12 0 , B=24 0 , A=144 0 . VI.4. Fie ABC cu m(A)=90 0 .Considerm punctual M- mijlocul lui [BC] AM=MB=MC AMB si AMC isoscel. Consideram punctual N ca fiind intersecia mediatoarei lui [BC] cu [AC] NB=NC NBC isoscel. Consideram punctual P mijlocul lui [BN] si cum ABN are m(A)=900AP=PB=PN APB si APN isoscele. Deci cele 5 triunghiuri isoscele sunt : AMB, AMC, AMC, APB, APN VI.5. Fie E simetricul lui B fata de ABF=FEBF+FD=EF+DF=ED=minim Din AB=1 si AC= 3 BC=2m( ACB)=300 BCE echivalent EDBC si cum CABEF=centrul de greutate al BCFAF= 1

3ACAC=3 AF

VI.7. Sa notam cu S membrul stang al ecuatiei. Pentru n = 1, S este o suma de 2006 fractii echiunitare, deci n = 1 S = 2006, adica n = 1 este o solutie a ecuatiei date. Pentru n = 0, S este o suma de 2006 fractii supraunitare, deci n = 0 S > 2006. Pentru n 2 , S este o suma de 2006 fractii subunitare, deci n 2 S < 2006. In concluzie n =1 este unica solutie naturala a ecuatiei date

PROBLEME PROPUSE

48- 48 -

VII.1. {2005;2006} VII.2. Din MN mediatoarea lui [EC] NCE NEC (1). Din NC tangenta cercului circumscris CPD NCE CDF (2). Din (1)si (2) FEC FDCCDEF inscriptibil m(FED)+m(FCD)=1800 900+m(FED)=1800 m(DEF)=900 DE EF. VII.3. Ecuaia se mai scrie 3x-y+xy-3=2007 ; 3(x-1)+y(x+1)=2007 ; (x-1)(y+3)=2007 Cum 2007=32 223 avem x-1=1x=2 si y+3=2007y=2004 ; x-1=3x=4 si y+3=669 y=666 ; x-1=9x=10 si y+3=223y=220 ; x-1=223x=224 si y+3=9y=6 ; x-1=669 x=670 si y+3y=0. Soluiile sunt : (2;2004) ; (4;666) ; (10;220) ; (224;6) ; (669;0) VII.4. 3x ( 3 13 x+ - 2 3x - 2 )= 3x 223. Cum 3 13 x+ -2 3x - 2 si 223 sunt impare, obinem 3x= 23 x=2 ( 53 -2 23 -2=243-18=243-20=223 deci x=2) VII.5. Vom demonstra in prealabil ca patratul oricarui numar intreg este de una din formele m7, m7+1, m7+2, m7+4. Orice numar intreg este de una din formele : 7k, 7k 1,7k 2, 7k 3. Atunci (7k)2 = 7m ; (7k 1)2 = 7m + 1; (7k 2)2 = 7m + 4; (7k 3)2 = 7m + 2. Deducem ca pentru orice aN , numerele 7a+3, 7a+5 si 7a+6 nu pot fi patrate perfecte. Daca n N, pentru a = 7n2 +4n avem 7a+4 = 7(7n2 +4n) +4 = (7n+2)2. Pentru orice nN si a = 7n2 +4n avem ca 7a+4M si 7a+4 este unicul patrat perfect al multimii M. VII.6. Daca a,bZ si a E(x)=2006. VIII.3. a) Notm

3x+2=a i obinem F(x)=1343

++xx

b) X=0 c) F(0,(3))=4. VIII.4. Notam: 1a

=x si 1b

=y deci

x+y = 1 3x + 2 2x y + 3y = 3x + 2x (1-x) 2 +(1-x) 3 = 3x + 2x (1-2x+ 2x )+1-3x +3 2x - 3x = = 3x + 2x -2 3x + 4x +1-3x+3 2x - 3x = 4x -2 3x +4 2x -3x+1= ( 2x -x) 2 +3( 2x -x+1)-2=

=( 2x -x) 2 +3( 2x -x)+1 = ( 2x -x) 2 +2( 2x -x) 32

+ 94

+ 14

=( 2x - x+ 32

) 2 + 14

> 14

.

VIII.5. Fie I centrul cercului in ABCBI este bisectoarea ABA` si din teorema bisectoarei

` `IA CIA BA

= (1) Din AA` bisectoareaBAC si teorema bisectoarei

``BA cA B b

= `BA ca b a

=+

BA`= acb a+

. Atunci (1) devine `

IA b cIA a

+= ``

AAIA

= pa

Din IE||AD ``

AAIA

= ``

DAEA

``

DAEA

= pa

. Reciproc``

DAEA

= pa

``

AAIA

= pa

`AI b cIA a

+= si din (1)BI bisectoarea ABC dar {I}=AA`BI I -centrul cercului nscris in ABC. VIII.6. Din ALBE si DKBE AL || DK. Fie {F}=DKAC. Din CL=LKL este mijlocul lui [CK] si deci AL este linie mijlocie in CFKA este mijlocul lui [CF]

PROBLEME PROPUSE

H SSM

- 49 -

CBF isoscel si cum m (ACB)=40 0 m(ABF)=900BCBF. Cum inBEF, D este ortocentru DEBF deci ED||BC (MC,DE)= (MC,BC) =45o pt. ca MBC este dreptunghic isoscel.

VIII.7. Soluie: Fie G centru de greutate al ABC MGMA

= 13

; Din AM mediana

aria[ABM] = aria[ACM]= 12

aria[ABC]; Din GE|| AB [ ][ ]

aria GEMaria ABM

=(MGMA

) 2 = 19

aria[GEM]= 19

aria[AMB]= 118

aria[ABC]; Din GE || AC [ ][ ]

aria GFMaria MAC

=(MGMA

) 2 = 19

aria[GFM]= 19

aria[MAC]= 118

aria[ABC]; Deci aria [GEF]=aria [GEM]= 19

aria[ABC]

Reciproc: Din GM mediana in triunghiul GEF aria [GEM]= 1

18aria[ABC]= 1

2aria[GEF]

Atunci aria [GEM]= 118

aria[ABC]= 19

aria[AMB] [ ][ ]

aria GEMaria ABM

= 19

=( 13

) 2 (MGMA

) 2 =( 13

) 2

MGMA

= 13

si cum G(AM) - medianaG este centrul de greutate al triunghiului ABC.

VIII.8. () a,b,c R are loc (*) 2(a3 + b3 +c3 3abc) = (a +b +c)[(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2]. Daca a+b+c 0 din (*) deducem ca a3 + b3 +c3 = 3abc a = b =c. Ecuatia din enunt se mai scrie (x2 +x +1)3 + (x2 -x +1)3 +1 = 3(x4 +x2 +1) (1). Notand x2 +x +1= a, x2 -x +1= b si 1= c, obtinem a+b+c = 2x2+3>0 xRa+b+c0. Utilizand identitatea x4+x2+1=(x2+x+1)(x2-x+1) ; Cu notatiile facute, (1) devine a3+b3+13=3ab a=b=1x2+x+1=x2-x+1=1x = 0 solutie unica. IX.1. demonstram in prealabil ca x,y,z >0 are loc inegalitatea

( )

++++

++

zyxzyx

xz

zy

yx 111

2

(*); Inegalitatea este echivalenta cu

22

yx + z

x + yx3

+ 12

2

xy

yx

yx 0 . Notam t

yx = si avem

+ 0112

ttt ( ) + 00)1(1

2

tttt . Pentru x = ra , y = rb si z = rc din

(*)

( )

aa

b

a