Sucesiones en Rn

Definicion 1. Una sucesion en Rn es cualquier lista infinita de vectores en Rn x1, x2, ..., xk, ...

algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si.

Dada una sucesion x1, x2, ..., xk, ... se define de manera natural una funcion de los enteros

positivos N en Rn tal que a cada entero positivo k se le asigna un vector xk ∈ Rn

A la coleccion ordenada de los elementos de una sucesion la denotaremos

{xk}∞k=1, {xk}

Ejemplos.-Considerando el espacio R2 sea la sucesion {xk}∞1 dada por xk =(k, 1

k

)cuyos ele-

mentos podemos listar como sigue:

{(1, 1),

(2,

1

2

),

(3,

1

3

), ...

}Considerando la sucesion {xk} ∈ Rn. Cada vector xk ∈ {xk} esta dado de la siguiente manera:

xk = (x1,k, x2,k, ..., xn,k)

Es decir, dicho vector define de manera natural n sucesiones en R {x}, las cuales llamaremos

sucesiones componentes o sucesiones proyeccion, ası, la primera sucesion componente del ejem-

plo anterior es: {x1,k} = k y la segunda sucesion proyeccion del ejemplo anterior es {x2,k} = 1k

Ejemplos.-Sea la sucesion {xk}∞1 dada por xk =(k+1k+2

, 12k

)cuyas sucesiones componentes son:

x1k =

(k + 1

k + 2

)x2k =

(1

2k

)

Ejemplos.-Sea la sucesion {xk}∞1 dada por xk =((

1 + 1k

)k, k√k, k

√1k

)cuyas sucesiones compo-

nentes son:

x1k =

(1 +

1

k

)kx2k =

k√k x3k =

k

√1

k

1

Convergencia de Sucesiones en Rn

Definicion 2. Una sucesion {xk}∞1 en Rn se dice que converge a un vector x en Rn si

∀ ε > 0 ∃ N0 ∈ N tal que ‖xk − x‖ < ε ∀k > N0

En este caso diremos que la sucesion es convergente y que x es el limite de la sucesion y

escribimos

lımk→∞

xk = x

Proposicion 1. Unicidad del Limite Consideremos una sucesion {xk}∞1 en Rn y sean

x, y ∈ Rn tal que

x = lımk→∞

xk y y = lımk→∞

xk

entonces x = y

Demostracion. Supongamos que x 6= y y tomemos ε = 12‖x− y‖ > 0.

Por definicion

x = lımk→∞ xk por lo que ∃N0x ∈ N tal que ‖xk − x‖ < ε para k > N0x

y analogamente se tiene que

y = lımk→∞ xk por lo que ∃N0y ∈ N tal que ‖xk − y‖ < ε para k > N0y

Sea ahora N0 = max{N0x , N0y} entonces se cumple simultaneamente que

‖xk − x‖ < ε y ‖xk − y‖ < ε para k > N0 ∴

‖x− y‖ = ‖x− xk + xk − y‖ ≤ ‖x− xk‖+ ‖xk − y‖ < 2ε = 2

(1

2‖x− y‖

)= ‖x− y‖(falso)

Proposicion 2. Sea {xk}∞1 una sucesion en Rn y sean

{x1k}∞1 = (x11 , x12 , ...)

{x2k}∞1 = (x21 , x22 , ...)

...

2

{xnk}∞1 = (xn1 , xn2 , ...)

las sucesiones componentes de la sucesion {xk}∞1 . Entonces la sucesion {xk}∞1 converge a x =

(x1, x2, ...) en Rn si y solo si para cada j = 1, 2, ... se tiene que xnjconverge a xj

Demostracion. Supongase que la sucesion {xk}∞1 converge a x = (x1, x2, ...) esto quiere decir

que ∃N0 ∈ N tal que ‖xk − x‖ < ε para k > N0 y dado que

0 ≤ |xjk − xj| ≤ ‖xk − x‖ < ε

entonces se tiene que

0 ≤ |xjk − xj| < ε

lo que significa que

lımk→∞

xjk = xj

Reciprocamente, supongamos que para cada j

lımk→∞

xjk = xj

lo que significa que

|xjk − xj| <ε

n

∴ 0 ≤ ‖xk − x‖ ≤ |x1k − x1|+ |x2k − x2|+ ...+ |xnk− xn| <

ε

n+ε

n+ ...+

ε

n= ε

∴ lımk→∞

xjk = x

Ejemplo.-Consideremos la sucesion xk =(1k, kk+1

)tenemos que

lımk→∞

x1k = lımk→∞

1

k= 0, lım

k→∞x2k = lım

k→∞

k

k + 1= lım

k→∞

kk

kk

+ 1k

= lımk→∞

1

1 + 1k

= 1

∴ lımk→∞ xk = (0, 1) = x

Ahora para comprobarlo tenemos que

‖xk − x‖ =

∥∥∥∥(1

k,

k

k + 1

)− (0, 1)

∥∥∥∥ =

√1

k2+

(k

k + 1− 1

)2

=

√1

k2+

1

(k + 1)2<

√2

k2=

√2

k

3

∴

√2

k< ε⇔

√2

ε< k ∴ N0 =

√2

ε

∴ Si k > N0 ∴ entonces

∥∥∥∥(1

k,

k

k + 1

)− (0, 1)

∥∥∥∥ < ε

Definicion 3. Deciimos que A ⊂ Rn es un conjunto acotado si y solo si ∃M > 0 tal que ∀a ∈ A

se cumple ‖a‖ ≤M

Proposicion 3. Sea {xk} ⊂ Rn, si {xk} converge entonces {xk} es acotada

Demostracion. Si {xk} converge entonces lımk→∞ xk = x ⇒ lımk→∞ xk,j = xj∀j = 1, ..., n por

lo tante se tiene {xk,j} es acotada y por tanto ∃Mj > 0 tal que |xk,j| ≤Mj ∀k ∴ se tiene que

‖xk‖ ≤ |x1,k|+ |x2,k|+ · · ·+ |xn,k| ≤ n ·max{xk,j} = n ·Mj = M

∴ {xk} es acotada

Teorema 1. Un subconjunto A ⊂ Rn es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de

acumulacion

Demostracion. (⇒) Suponemos que A es cerrado. Sea x un punto de acumulacion de A y

suponemos que x /∈ A. Como Ac es abierto y x ∈ Ac existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ Ac ∴

B(x, r) ∩ A = ∇ pues x es punto de acumulaion de A

(⇐) Supongamos que A contiene a todos sus puntos de acumulacion. Sea U = Ac queremos

probar que U es abierto. Sea x ∈ U como x no es de acumulacion ∃r > 0 tal que B(x, r)∩A = ∅

∴ B(x, r) ⊂ Ac ∴ Ac es abierto

Teorema 2. Sea A ⊂ Rn y x ∈ Rn. Entonces, x es un punto de acumulacion de A si y solo si

∃{xk} ∈ A con xk 6= x ∀k tal que xk → x

Demostracion. ⇒ Suponemos que x es punto de acumulacion de A entonces para cada k ∈ N

∃ xk ∈ A ∩B(x, 1k) con xk 6= x ∴ xk → x

⇐ Sea B(x, r) como xk → x ∃k0 ∈ N tal que xk ∈ B(x, r) ∀k > k0 ∴ ∃ xk ∈ A∩B(x, r) ∴ x es

punto de acumulacion

4

Criterio de Convergencia de Cauchy

Definicion 4. Sea {xk} una sucesion de puntos de Rn. Se dice que {xk} es una sucesion de

Cauchy si dado ε > 0 ∃N0 ∈ N tal que ‖xk − xl‖ < ε ∀k, l ≥ N0

Teorema 3. Una sucesion {xk} ∈ Rn es convergenta si y solo si cumple el criterio de Cauchy

Demostracion. ⇒ Suponemos que {xk} → x ∴ ‖xk − x‖ < ε ∀k > N0. Se tiene entonces que

‖xk − xl‖ = ‖xk − x+ x− xl‖ ≤ ‖xk − x‖+ ‖x− xl‖ <ε

2+ε

2= ε

∀k, l > N0 ∴ {xk} cumple la condicion de Cauchy

⇐ Supongamos que {xk} cumple la condicion de Cauchy por tanto se tiene que:

‖xk − xl‖ < ε⇒ |xi,k − xi,l| < ε ∀i⇒ {xi,k} cumple Cauchy

∴ xi,k es convergente ∀i ∴ {xk} es convergente

Teorema 4. (Bolzano-Wierstrass) Toda sucesion xk en Rn acotada tiene un punto limite.

Dicho de otro modo, toda sucesion en Rn tiene una subsucesion convergente

Demostracion. Sea xk en Rn suponiendo xk es acotada, entonces cada xi,k es acotada ∴ segun

el teorema de Bolzano-Wierstrass para sucesiones en R {xi,k} tiene una subsucesion convergente

αi,k la cual es una sucesion convergente, ∴ podemos formar la sucesion xα,k = {xα,1,k, xα,2,k, ..., xα,n,k}

la cual es una sucesion convergente, pero xα,k es subsucesion de xk ∴ xk tiene una subsucesion

convergente

Definicion 5. Sea A un subconjunto de Rn. Se dice que A es compacto cuando toda sucesion

de puntos de A tiene una subsucesion que converge a un punto de A.

Teorema 5. Sea A ⊂ Rn. Entonces, A es compacto si, y solo si, A es cerrado y acotado.

Demostracion. (⇒) Supongamos que A es compacto. Sea {xk} una sucesion de elementos de

A tal que xk → x en Rn. Por la compacidad de A, {xk} tiene una subsucesion convergente a

5

un punto de A. ∴ x es punto de acumulacion de A ∴ A es cerrado

Si A no fuera acotado podriamos encontrar xk ∈ A tal que ‖xk − l‖ ≥ k por lo que {xk} no

tendra ninguna subsucesion convergente ∇ ∴ A es acotado

(⇐) Supongamos ahora que A es cerrado y acotado. SPG consideraremos el caso R2. Sea

xk = (x1,k, x2,k) ⊂ A al ser xk acotado entonces x1,k y x2,k es acotada ∴ Por el teorema de

Bolazano-Weierstrass existe {xα,1,k} y {xα,2,k} subsucesiones de {x1,k} y {x2,k} respectivamente,

cada una de las cuales converge a xα,1 y xα,2 y como A es cerrado (xα,1, xα,2) ∈ A ∴ A es

compacto

Lema 1. Si Ai ⊂ R son conjuntos acotados, entonces A = A1 ×A2 × · · · ×An es un conjunto

acotado

Demostracion. Como Ai es acotado ∃ri > 0 tal que Ai ⊂ B(0, ri). Entonces si consideramos

r = n ·max{r1, r2, ..., rn} se tiene que

A ⊂ B(0, r1)×B(0, r2)× ...×B(0, rn) ⊂ B(0, r)

con lo cual A es acotado

Teorema 6. Los intervalos cerrados y acotados de R son compactos

Demostracion. Sea xn una sucesion de puntos del intervalo [a, b] ⊂ R, segun el teorema de

Bolzano-Weierstrass ∃ una subsucesion convergente xα,n de xn y el lımite de esta sucesion

pertence a [a, b].

Si [a, b] y [c, d] ⊂ R y ambos son compactos entonces A = [a, b]× [c, d] es compacto en R2

Demostracion. Sea zk = (xk, yk) una sucesion cualquiera de [a, b]× [c, d] com [a, b] es compacto

∃ xα,i,k subsucesion de xk que tiene limite en [a, b]. Analogamente por la compacidad de [c, d]

∃ yα,i,k que posee limite en [c, d], entonces la sucesion zα,i,k = (xα,i,k, yα,i,k) es una subsucesion

de la sucesion zk que converge a (x, y) ∈ [a, b]× [c, d]. ∴ [a, b]× [c, d] es compacto.

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