ROBUST LAGRANGE MULTIPLIER PADA PEMODELAN REGRESI … · Lt BlkLatar Belakang Model Regresi OLS Asumsi-Asumsi Pelanggaran Asumsi Pengujian Efek Spasial Regresi Spasial Spasial Dependensi

ROBUST LAGRANGE MULTIPLIERPADA PEMODELAN REGRESI SPASIAL DEPENDENSI(Studi Kasus Penyusunan Model Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Timur)

Oleh:Eko Suharto [NRP. 1309201708]

Pembimbing:Dr. Sutikno, S.Si, M.SiDr. Purhadi, M.Sc

Januari 2011

L t B l kLatar Belakang

Data Spasial ??

Apa yang diukur

Informasi Lokasi

Informasi Lokasi

Type Data Spasial:

1. Point Patern: Menggunakan longitude dan Latitude 2. Geostatistikal Data (Garis): Spasial Surface, Geologi 3. Lattice Data: Menggunakan Area, Wilayah Administrasi


Model Regresi OLS Asumsi-Asumsig

Pelanggaran Asumsi

Pengujian Efek Spasial

Regresi Spasial

Spasial Dependensi

Hukum Tobler :Everything is related to everything else, but near thing are morerelated than distant things. Segala sesuatu saling berhubungan satu dengan yang lainnya, tetapi sesuatu yang dekat lebih mempunyai pengaruh daripada y g y p y g p y p g psesuatu yang jauh.


3. Pengujian efek spasial menjadi penting, karena mengabaikannyamenyebabkan estimasi tidak effisien dan kesimpulan menjadimenyebabkan estimasi tidak effisien dan kesimpulan menjaditidak tepat. Terdapat beberapa uji yang digunakan untukmendeteksi adanya dependensi spasial dalam model yaitu, ujiWald, ujiMoran’s I, dan uji Lagrange Multiplier (LM).j j g g

4. Salah satu statistik uji yang digunakan adalah Uji LagrangeMultiplier. Diawali oleh Silvey 1959, kemudian dikembangkanoleh Breusch, T.S. dan A.R. Pagan (1980) Burridge (1980), danAnselin(1988).

5. Dengan menggunakan pendekatan yang dilakukan oleh Bera danYoon (1993), Anselin (1996) melakukan suatu modifikasiterhadap uji LM pada model dependensi spasial yang disebut ujiRobust LM.


6. Kejadian kematian bayi dalam suatu wilayah mencerminkanbagaimana kondisi kesehatan masyarakat didalamnya.bagaimana kondisi kesehatan masyarakat didalamnya.Peningkatan kesehatan ibu dan bayi di Indonesia adalah salahsatu komitmen Departemen Kesehatan melalui penerapanRencana Pengurangan Angka Kematian dan Kesakitan Ibu dang g gBayi.

Faktor Ekonomi:1. Penduduk Miskin 2. Pertumbuhan Ekonomi

Faktor Pendidikan:1. Lama Sekolah

Faktor Kesehatan:

Angka Kematian Bayi

1. Penolong Kelahiran 2. ASI Ekslusif 3. Imunisasi Dasar

Faktor Lingkungan: 1. Air Bersih

Kerangka hubungan variabel penelitian terhadap Angka Kematian Bayi

P M l hPerumusan Masalah

1. Bagaimana menyusun algoritma dan program untuk statistik ujiLM dan Robust LM pada model regresi spasial dependensi?

2. Faktor‐faktor apa saja yang mempengaruhi angka kematian bayidi Provinsi Jawa Timur?

Tujuan Penelitian

1. Menyusun algoritma dan program untuk statistik uji LM danRobust LM pada model regresi spasial dependensi.

2. Mendapatkan faktor‐ faktor yang mempengaruhi angka kematianp y g p g gbayi di Provinsi Jawa Timur.

Manfaat Penelitian

1. Mengembangkan wawasan mengenai statistik uji LM dan RobustLM d d l i i l d d iLM pada model regresi spasial dependensi.

2. Mengetahui faktor‐ faktor apa saja yang mempengaruhi angkakematian bayi di Provinsi Jawa Timur.

Batasan PenelitianDalam Penelitian ini masalah dibatasi pada mengkaji pengujian modelp g j p g jregresi spasial dengan keberadaan korelasi error spasial menggunakanstatistik uji LM dan Robust LM untuk mengetahui adanya dependensispatial. Dependensi spasial dalam hal ini meliputi spatial lag model danspatial error model. Matrik penimbang spasial yang digunakan dalampenelitian ini menggunakan matrik penimbang spasial yang sama baikuntuk spasial lag maupun spasial error.

M d l R i OLSModel Regresi OLS

Model:Model:

, dan

dimana adalah vektor berukuran , matriks berukuran

k b k d k b k , vektor berukuran , dan vektor berukuran .

Matriks mempunyai rank kolom penuh , dimana

Model Umum Regresi SpasialModel Umum Regresi Spasial

Model:

1ρλ

++

y = W y X β + uu W u ε2

2( 0 , )N I

λ

σ

= +u W u ε

ε ∼

y : vektor berukuran p x 1, ρ : koefisien dari variabel dependen spasial lag. u : vektor error, ,W: matrik terbobot dengan ukuran nxn. β : vektor kx1 parameter regresi. X : matrik berukuran nxk variabel prediktorλ : koefisien dalam struktur spasial autoregressive

Regresi SpasialRegresi Spasial

1. Model regresi linier OLS, diperoleh apabila nilai dandimana model General spatial model berubah menjadi:

0ρ = 0λ =dimana model General spatial model berubah menjadi:

2 Model Dependensi Spasial Lag atau Spasial Autoregresi (Spatial

y = X β + ε

2. Model Dependensi Spasial Lag atau Spasial Autoregresi (Spatial Autoregressive Model), diperoleh apabila nilai dansehingga modelnya menjadi:

0λ =0ρ ≠

3. Model Korelasi Error Spasial atau Spasial Error (Spatial Error d l) d l h b l l d0 0λ

1ρ +y = W y X β + u

Model), diperoleh apabila nilai dansehingga modelnya menjadi:

0ρ = 0λ ≠

y = X β + u

2λ= +y X β uu W u ε


Model Spasial Lag:

1ρ +y = W y X β + u

Fungsi likelihood untuk model spasial lag:

Ln likelihood untuk model spasial lag:


Model Spasial Error:

2λ ε= +y = X β + uu W u

Fungsi likelihood untuk model spasial error:2

Ln likelihood untuk model spasial error:

Matriks PembobotMatriks Pembobot

Matriks Penimbang pada Spasial Area ( LeSage, 1999),diantaranya:1. Rook Contiguity (Persinggungan sisi); 2. Bhisop Contiguity (Persinggungan sudut); 3 Queen Contiguity (persinggungan sisi-sudut);3. Queen Contiguity (persinggungan sisi sudut);

Wilayah 1Wilayah 3

Wilayah 2

Wilayah 4

Wilayah 5

Contoh Konfigurasi Persinggungan dalam Penyusunan Matrik Penimbang SpasialContoh Konfigurasi Persinggungan dalam Penyusunan Matrik Penimbang Spasial

Lagrange Multiplierg g p

Misalkan ada suatu fungsi likelihood dan fungsi ln likelihood yang

merupakan fungsi dari parameter vektor . Dari fungsi ln likelihood akan

diperoleh suatu maximum likelihood estimator untuk , yaitu .

Maka akan ada suatu fungsi lagrangian sebagai berikut:

Turunan pertama dari fungsi lagrangian tersebut terhadap

parameter dan akan menghasilkan:

dimana, merupakan vektor , merupakan matriks

merupakan lagrange multiplier

Lagrange Multiplierg g p

Breusch dan Pagan pada tahun 1980 mendefinisikan statistik uji LM sebagai berikut:

merupakan elemen dari matriks informasi berukuran k x k yang elemen didalamnya merupakan turunan kedua terhadap masing masing parameter didalamnya merupakan turunan kedua terhadap masing‐masing parameter yang diestimasi:

Jika benar maka statistik uji LM diatas akan mengikuti distribusi dan akan ditolak jika nilai statistik LM lebih besar daridan akan ditolak jika nilai statistik LM lebih besar dari .

Pengujian Asumsi Regresig j gPengujian kehomogenan varians menggunakan uji Glejser yaitu meregresikan

antara harga mutlak residual dengan variabel independen, bentuk persamaannyayaitu: (Gujarati,2004). Hipotesis yang digunakan dalam uji Glejser adalah:

minimal ada Jika pengujian individu terhadap koefisien parameter nilai makaJika pengujian individu terhadap koefisien parameter nilai maka

dapat dikatakan residual masih bergantung pada variabel independen sehingga minimal ada nilai (terjadi heteroskedastisitas)

Uji k l d t k t ti tik ji K l S i (KS)Uji kenormalan data menggunakan statistik uji Kolmogorov Smirnov (KS)dengan hipotesis:

residual berdistribusi normal residual tidak berdistribusi normal

Nilai KS ditentukan oleh: i = 1,2,…,n

Dimana merupakan fungsi distribusi frekwensi kumulatif relatif daridi t ib i t iti dib h S d k k di t ib i f k idistribusi teoritis dibawah . Sedangkan merupakan distribusi frekwensikumulatif pengamatan sebanyak sampel. Tolak jika p-value <α

Pengujian Asumsi Regresig j g

Otokorelasi residual dapat terjadi jika ada hubungan antara residual yangtersusun secara runtutan waktu (pada data time series) atau dalam rangkaian ruang (pada data cross section). Hipotesis yang digunakan yaitu:

Tidak terjadi otokorelasi residual Terjadi otokorelasi residual Terjadi otokorelasi residual

Statistik uji yang digunakan adalah Durbin Watson test yang dinotasikan sebagai:

adalah nilai statistik uji Durbin Watson, adalah error pada pengamatan ke tdan adalah error pada pengamatan ke t-1.

Kerangka Konseptualg p

Hitung OLS Regresi

Lakukan Uji Efek Spasial Dengan Statistik Uji LMg j

Tidak Apakah Signifikan?

Keduanya tidak Si ifik

YaSignifikan

LM‐Lag Signifikan?

Ya, Tidak

Ya

Keduanya Signifikan?

Tidak

Ya

Lakukan Uji Efek Spasial dengan dengan Statistik uji Robust LM

SLM Model OLS SEM

Robust LM‐Lag

Tidak

SEM SLM

Lag Signifikan?

Ya

Metode PenelitianMetode Penelitian

Sumber data : Indikator Makro dan Data Survei Sosial EkonomiNasional (Susenas) Propinsi Jawa Timur Tahun2008.

Variabel yang digunakan yaitu: A k K ti B i k b t di P i i J Ti (Y)Angka Kematian Bayi per kabupaten di Provinsi Jawa Timur (Y)Persentase rumah tangga dengan sumber air bersih (X1), Rata-rata lama sekolah (X2), Persentase penolong kelahiran dari tenaga medis (X )Persentase penolong kelahiran dari tenaga medis (X3), Persentase penduduk miskin (X4), Rata-rata lama pemberian ASI eksklusif (X5), Persentase imunisasi dasar (X6) danPersentase imunisasi dasar (X6), dan Laju pertumbuhan ekonomi (X7)

Metode PenelitianMetode PenelitianMetode analisis yang digunakan dalam mencapai tujuan penelitian ini

yaitu : 1. Menyusun algoritma dan matlab code untuk statistik uji LM dan Robust1. Menyusun algoritma dan matlab code untuk statistik uji LM dan Robust

LM serta untuk estimasi parameter model regresi spasial berdasarkantahapan berikut ini: (i) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial lag:

a Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihooda. Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood b. Mendapatkan invers dari matriks informasi c. Mendapatkan statistik uji LM test untuk model spasial lag yaitu:

(ii) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial error:

a. Mendapatkan turunan pertama dari fungsi log likelihood b. Mendapatkan invers dari matriks informasi

M d tk t ti tik ji LM t t t k d l i l l itc. Mendapatkan statistik uji LM test untuk model spasial lag yaitu:


Tahapan inferensi dalam menurunkan statistik uji Robust LM:(i) M k t ti tik ji LM t k d l i l l d d(i) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial lag dengan adanya

spasial error a. Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial lag b. Mendapatkan uji Robust LM untuk model spasial lag dengan

adanya spasial error(ii) Menurunkan statistik uji LM untuk model spasial error dengan adanya

spasial lag: a Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial errora. Mendapatkan faktor koreksi untuk model spasial error b. Mendapatkan uji Robust LM untuk Model spasial error dengan

adanya spasial lag

Metode PenelitianMetode PenelitianTahapan dalam menyusun estimasi parameter model regresi spasial:(i) Model spasial lag (SLM)

a. Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akana. Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akan diestimasi yaitu: dan menyamakan dengan nol.

b. Membentuk suatu fungsi concentrated ln likelihood:

c. Mencari nilai yang dapat memaksimumkan fungsi concentrated ln likelihood tersebut.

d Mencari nilai estimasi parameter untukd. Mencari nilai estimasi parameter untuk : , dan

Metode PenelitianMetode Penelitian(i) Model spasial error (SEM)

a. Menurunkan fungsi ln likelihood terhadap parameter yang akan diestimasi yaitu dan dan menyamakan dengandiestimasi yaitu: ,dan dan menyamakan dengan nol

b. Membentuk suatu fungsi concentrated ln likelihood:

c. Menghitung nilai untuk , dan estimasi likelihood untuk ,

d. Hitung nilai vektor residual ML: e. Jika < 0.0001 maka kekonvergenan tercapai f Hitung nilai estimasi untuk :f. Hitung nilai estimasi untuk :


2. Menentukan faktor‐faktor yang mempengaruhi angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur :a. Melakukan pemodelan Angka Kematian Bayi dengan metoderegresi klasik (OLS).

b M l k k ji i d l i kl ik i jib. Melakukan pengujian asumsi model regresi klasik, yaitu ujilinieritas, tidak terjadi otokorelasi, uji kesamaan varian, danerror yang berdistribusi normal.

c Melakukan identifikasi awal model regresi spasial denganc. Melakukan identifikasi awal model regresi spasial denganStatistik Uji dengan uji LM dan uji Robust LM dalam melihat efek dependensi spasial.

d Melakukan pemodelan variabel respon dan variabel prediktord. Melakukan pemodelan variabel respon dan variabel prediktor dengan regresi spasial lag atau regresi spasial error.

e. Melakukan interprestasi hasil dari model regresi spasial.

Hasil dan PembahasanHasil dan PembahasanUji LM Lag: Hipotesis yaitu . Statistik uji LM untuk spasial lag adalah:j p g

Dimana Uji LM Error Hipotesis yaitu vs . St ti tik ji LM t k i l d l hStatistik uji LM untuk spasial error adalah:

Dimana Dibawah , maka statistik uji dan didistribusikan asimptotis

k d bmengikuti distribusi

Hasil dan PembahasanHasil dan Pembahasan

Uji Robust LM Lag Bera dan Yoon (1993) menyarankan penggunaan modifikasi pada statistik ujiLM di d t l k k ji t h d dLM, dimana pada saat melakukan pengujian terhadap dan demikian pula sebaliknya. Modifikasi terhadap statistik uji LM Lag sebagaiberikut:

Apabila matrik penimbang spasial , maka akan menjadi:

ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Lag ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Lag.

Hasil dan PembahasanHasil dan PembahasanUji Robust LM Error Untuk pengujian hipotesis dimana dan maka

difik i j dimodifikasinya menjadi:

Apabila matrik penimbang spasial , maka akan menjadi:

ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Error ini disebut sebagai statistik uji Robust LM Error

Kedua statistik uji Robust LM mengikuti distribusi .

Hasil dan PembahasanHasil dan Pembahasan

Algoritma adalah urutan langkah logis tertentu untuk memecahkan suatuAlgoritma adalah urutan langkah logis tertentu untuk memecahkan suatumasalah. Yang ditekankan adalah urutan langkah logis, yang berartialgoritma harus mengikuti suatu urutan tertentu, tidak boleh melompat-lompat.

**Algoritma Statistik Uji LM dan Robust LM**

**Algoritma Estimasi Parameter Model Spasial**

** Graphical User Interface Model Regresi Spasial**

Hasil dan Pembahasan

Estimasi Parameter dengan Menggunakan Model Regresi OLSVariabel Estimasi

Parameter ( ) t_hitung p‐value

Konstan 97,878 19,85 0,000, , ,Lama Sekolah (X2 ) ‐1,6101 ‐1,82 0,078Persalinan Medis (X3 ) ‐0,3681 ‐2,92 0,006Asi Ekslusif (X5 ) ‐3,9240 ‐2,50 0,018Asi Ekslusif (X5 ) 3,9240 2,50 0,018Imunisasi Dasar (X6 ) 0,1555 ‐2,68 0,013

P ji A i R iPengujian Asumsi Regresi:1. Uji gletser: Tidak terjadi Heteroskedastisitas pada errornya 2. Uji Normalitas: diperoleh errornya mengikuti distribusi normal 3. Uji Durbin Watson: Terjadi Otokorelasi pada errornya3. Uji Durbin Watson: Terjadi Otokorelasi pada errornya


Hasil Diagnosis Efek Spasial Menggunakan Statistik Uji LMg p gg j

No Jenis Statistik Uji Nilai P‐ Value Kesimpulan1 Statistik uji LM‐lag 4,2647 0,0389 Tolak H0

2 Statistik uji LM‐error 11,2549 0,0007 Tolak H0

Hasil Diagnosis Efek Spasial Menggunakan Statistik Uji Robust LMg p gg j

No Jenis Statistik Uji Nilai P‐ Value Kesimpulan1 Statistik uji robus LM‐lag 0,1652 0,6844 Gagal Tolak H0

2 statistik uji robust LM‐error 7,1554 0,0075 Tolak H0


Estimasi Parameter dengan Menggunakan Model Spasial ErrorVariabel Estimasi Parameter ( ) t_hitung p‐value

Konstan 95,6928 17,4157 0,0000Lama Sekolah (X2 ) ‐1,9961 ‐2,9533 0,0031P li M di (X ) 0 2912 2 9305 0 0034Persalinan Medis (X3 ) ‐0,2912 ‐2,9305 0,0034Asi Ekslusif (X5 ) ‐3,8249 ‐2,9839 0,0028Imunisasi Dasar (X6 ) ‐0,2074 ‐4,1443 0,0000Lambda 0 5291 3 7977 0 0001Lambda 0,5291 3,7977 0,0001

Persamaan regresi yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

Kesimpulan dan Saranp

Dari hasil analisis dan pembahasan dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Statistik uji Robust Lagrange Multiplier berguna apabila statistik uji Lagrange

Multiplier mengalami ketidakjelasan dalam menyimpulkan model regresispasial mana yang akan digunakan apakah spasial lag model (SLM) atauspasial error model (SEM).

2. Dalam pemodelan angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur, model yang2. Dalam pemodelan angka kematian bayi di Provinsi Jawa Timur, model yangdigunakan yaitu spasial error model (SEM), dengan variabel-variabel yang mempengaruhi adalah rata-rata lama sekolah, persentase penolong kelahirandari tenaga medis, rata-rata lama pemberian ASI ekslusif dan pemberiani i i dimunisasi dasar.

Dari penelitian ini saran yang dapat diberikan adalah dalam penelitianselanjutnya hendaknya lebih dikembangkan untuk small area statistic dalam hal ini pada level yang lebih rendah misalnya kecamatan atau desa denganp y g y gmempertimbangkan ketersediaan data, sehingga akan mampu untuk mempertajamefek spasial dari data itu sendiri. Selain itu perlu dipertimbangkan jugapenggunaan regresi spasial data panel sehingga dapat diperoleh informasi spasialbaik secara cross section maupun time seriesbaik secara cross section maupun time series.

Daftar Pustaka

Anselin, L. (1988). Spatial Econometrics: Methods and Models, Kluwer. Academic Publishers DordrechtAcademic Publishers, Dordrecht.-------------. & Florak. (1994). Small Sample Properties of Test for Spatial Dependence in Regression Models: Some Futher Result. Research Paper. -------------. , A.K. Bera, R. Florax, dan M.J. Yoon (1996), “Simple diagnostic

f l d d ” l d btests for spatial dependence”, Regional Science and Urban Economics 26, 77-104.Bera, A. and M. Yoon.(1993). Specification testing with locally misspecified alternatives, Econometric Theory 9, 649-658.Burridge P. (1980). On the Cliff-Ord Test for Spatial Correlation. Journal of The Royal Statistical Society Vol 42, No. 1 pp 107-108.Cressie, N.A.C. (1991). Statistics For Spatial Data. John Wiley & Sons, Inc. United States of AmericaUnited States of America.

Draper N, & Smith.(1992). Analisis Regresi Terapan. Gramedia Pustaka Utama, p , ( ) g p ,Jakarta.Galton, F.(1886). Reggresion towards Mediocrity in Hereditary Stature. Didownload dari www.galton.org.Gujarati D (2004) Basic Econometrics 4th Edition The McGraw-Hill CompaniesGujarati, D. (2004). Basic Econometrics 4th Edition. The McGraw-Hill CompaniesKosfeld, Reinhold.(2006). Spatial Econometric. Didownload dari http://www.scribd.comLeSage, JP.(1999). The Theory and Practice of Spatial Econometrics. Dept of

f l d hEconomics University of Toledo. Ohio.Miller, H. J. (2004). Tobler's First Law and Spatial Analysis. Annals of the Association of American Geographers, 94: 284–289Silvey, SD.(1959). The Lagrangian Multiplier Test. The Annals of MathematicalSilvey, SD.(1959). The Lagrangian Multiplier Test. The Annals of Mathematical Statistics, Vol 30, No 2. Pp. 389-407. Institute of Mathematical Statistics.

ROBUST LAGRANGE MULTIPLIER

SEKIAN dan TERIMA KASIH!!

ROBUST LAGRANGE MULTIPLIERPADA PEMODELAN REGRESI SPASIAL DEPENDENSI(Studi Kasus Penyusunan Model Angka Kematian Bayi di Provinsi Jawa Timur)

Eko Suharto [NRP. 1309201708]

P bi biPembimbing:Dr. Sutikno, S.Si, M.SiDr. Purhadi, M.Sc Januari 2011

Documents

ROBUST LAGRANGE MULTIPLIER PADA PEMODELAN REGRESI … · Lt BlkLatar Belakang Model Regresi OLS Asumsi-Asumsi Pelanggaran Asumsi Pengujian Efek Spasial Regresi Spasial Spasial Dependensi