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Appunti su rotismi
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1 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
ITIS G. MARCONI BARI
CORSO SERALE PROGETTO SIRIO
DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
N 5
TRASMISSIONE DELLA POTENZA
ROTISMI ORDINARI ED EPICICLOIDALI
2 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
ROTISMI ORDINARI
Premessa
Nelle dispense 3 e 4 abbiamo visto che la trasmissione della potenza con un solo
ingranaggio consigliabile se il suo rapporto di trasmissione ha valori compresi tra 1/6 i 6
(vale a dire 1/6 i
3 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
prima ruota motrice e quella dell'ultima ruota condotta:
1
1
1
4
1
ti
Se it > 1 allora il rotismo riduttore; se it = 1 il rotismo indifferente; se it < 1 il rotismo
moltiplicatore.
In assenza di perdite, lequilibrio dinamico del rotismo espresso dalla relazione seguente:
41 41 tt MM
vale a dire:
1
4
t
t
tM
Mi
Se it > 1 allora il rotismo moltiplicatore di coppia; se it < 1 il rotismo riduttore di
coppia.
Moltiplicando e dividendo it per 2=abbiamo la seguente relazione:
21
4
3
2
1
24
31
24
21 iiit
cio il rapporto di trasmissione del rotismo dato dal prodotto dei rapporti di
trasmissione dei singoli ingranaggi.
In generale, se gli alberi intermedi portano due ruote ciascuno e se il rotismo formato da n
ingranaggi, si ha che:
11...iiii nnt
ovvero:
2
1
1
211 ...
n
n
n
n
n
ti
Tenendo conto che il rapporto di trasmissione di un ingranaggio uguale anche al rapporto
tra il numero di denti della ruota condotta e quello della ruota motrice, si ha che il rapporto
di trasmissione di un rotismo anche uguale al prodotto del numero di denti delle
ruote condotte diviso il prodotto del numero di denti delle ruote motrici:
4 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
31
42
zz
zzit
e, in generale:
1
2
2
1
1
...z
z
z
z
z
zi
n
n
n
nt
Questa relazione molto utile perch consente di ricavare subito il numero di denti delle
varie ruote, come descritto nel seguente esempio:
1) Un rotismo ordinario composto di due ingranaggi (v. fig. 1) che devono assicurare un
rapporto di trasmissione it = 16; determinare il numero di denti delle ruote.
Per prima cosa si deve scindere il rapporto di trasmissione totale nel prodotto di due rapporti
di trasmissione parziali corrispondenti al numero degli ingranaggi costituenti il rotismo. Per
fare ci, si pu procedere in due modi distinti:
a) Si pone:
41621 tiii
Una possibile soluzione si pu ricavare moltiplicando e dividendo ciascun rapporto parziale
per il numero minimo di denti ammissibile:
1515
6060)
15
15(4)
15
15(444
ti
cio: z1=z3=15; z2=z4=60
Nel ricavare il numero di denti delle ruote pi piccole, bisogna ricordarsi che deve essere
sempre rispettata la condizione che z zmin .
Il metodo esposto per non tiene conto dell'aumento del momento torcente sulla ruota 4,
cosicch il suo diametro, se si prendesse il suo numero di denti uguale al numero di denti
della ruota 2, potrebbe essere sensibilmente pi grande del diametro della ruota 2 (poich
Mt3=Mt2=i1Mt1 m3-4 > m1-2). In definitiva conviene tenere basso il numero di denti z4 per
compensare l'aumento del momento torcente.
b) Si pu scindere il rapporto di trasmissione totale nel prodotto di due rapporti
parziali non molto dissimili tra di loro per tener conto dell'aumento del momento torcente
dall'ingresso all'uscita del rotismo. Il metodo consiste nel fare i1>i2:
5 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
1516
5372)
15
15(556,3)
16
16(5,41621
iiit
cio: z1=16; z3=15; z2=72; z4=53
Un'altra soluzione possibile la seguente:
1516
4880)
15
15(2,3)
16
16(51621
iiit
cio: z1=16; z3=15; z2=80; z4=48
Il rotismo ordinario pi semplice costituito da tre ruote; in tal caso la ruota intermedia
chiamata ruota oziosa (ruota contemporaneamente motrice e condotta) perch la sua
funzione non di cambiare il rapporto di trasmissione tra ingresso e uscita ma d'invertire il
senso di rotazione della ruota condotta:
1
3
21
32
z
z
zz
zzit
Il rendimento di un rotismo dato dal prodotto dei rendimenti dei singoli ingranaggi (ci
perch gli ingranaggi sono in serie):
11... nnt
Procedura di calcolo di un rotismo.
In riferimento al rotismo di fig. 3, noti la potenza utile necessaria all'albero condotto (N4), il
Albero motore
Ruota oziosa
Albero condotto
Fig. 2 Esempio di rotismo con ruota oziosa.
6 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
numero di giri al minuto dell'albero motore (n1) e condotto (n4); si presentano due casi:
1) Funzionamento ideale (si trascurano le resistenze passive).
In tal caso, trovato il rapporto di trasmissione totale, lo si scompone nel prodotto di due
termini si ha:
4
1
n
nit
21iiit
60
2 44
n (rad/s)
41 ti
2=1/i1
2= 3
Quindi si ricavano i numeri di denti di tutte le ruote dentate:
31
42
zz
zzit
Si calcolano poi, nellordine:
N1=N4 (W) (potenza motrice)
Mt1=N1/1 (Nm) (momento torcente agente sull'albero motore)
Mt2= Mt3=i1Mt1 (Nm) (momento torcente agente sull'albero intermedio)
Mt4= i2Mt3= it Mt1 (Nm) (momento torcente agente sull'albero condotto)
Si calcola il modulo del pignone che la ruota pi sollecitata:
3
1
1'
1
ammv
t
fz
Mcm
(mm) (modulo 1 ingranaggio)
3
3
3''
2
ammv
t
fz
Mcm
(mm) (modulo 2 ingranaggio)
Infine si verificano le ruote allusura e si determinano le loro dimensioni, poi quelle degli
alberi e, infine, dei cuscinetti (v. le relative dispense).
Fig. 3 Schema cinematico del rotismo di fig. 1.
2
z4
1
z2
z1
z3
4
7 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
Osservazione: il rotismo di fig. 3 sarebbe potuto essere configurato come rappresentato in
fig. 4 per ridurre l'ingombro verticale; in tal caso volendo rendere gli interassi fra le ruote
uguali per consentire l'allineamento dellalbero motore con lalbero condotto, deve essere
verificata la seguente relazione geometrica:
)+z(z)=m+z(zm)+z(zm
)=+z(zm
rrrrI pppp 432211432
211
224321
2) Funzionamento reale (tenendo conto delle resistenze passive).
In questo caso, oltre ai dati visti al punto 1), si conoscono i rendimenti dei due ingranaggi 1
e 2.
Inizialmente si calcola il rendimento totale: t = 1 2
e si ripete la procedura vista al punto 1) tenendo conto che:
N1=N4/t (W) (potenza motrice)
Mt1=N1/1 (Nm) (momento torcente agente sull'albero motore)
Mt2= Mt3= 1i1Mt1 (Nm) (momento torcente agente sull'albero intermedio)
Mt4= 2 i2Mt3= t it Mt1 (Nm) (momento torcente agente sull'albero condotto)
ESEMPIO DI CALCOLO DI UN ROTISMO ORDINARIO.
1) Il treno riduttore di fig. 5 trasmette una potenza motrice di 4,25 kW a 1220 giri/min con
un rapporto di trasmissione it=10,5. Sapendo che i rendimenti dei due ingranaggi sono
rispettivamente 1=0,97, 2=0,96 determinare:
a) i numeri di denti delle ruote;
b) la frequenza di rotazione dell'albero intermedio e dellalbero condotto;
c) le potenze e i momenti torcenti ai diversi alberi del treno.
Fig. 4
m r
z2
z1
z3
z4
i I
8 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
m
i
r z2
z1
z3
z4
Fig. 5 Schema cinematico del rotismo.
Dalla formula del rapporto di trasmissione totale si ha:
a) 1817
5163)
18
18(833,2)
17
17(706,3833,2706,35,1021
iiit
cio: z1=17; z2=63; z3=18; z4=51
b) min/8,323706,3/1200/ 11 giriinnn
ni mi
i
m
min/3,1145,10/1200/ 1 giriinnn
ni mr
r
m
t
c) Calcoliamo la coppia dellalbero motore: kWNm 25,4
sradn
/6,12560
120014,32
60
2 11
mNNMt mm 8,336,125/4250/ 1
Calcoliamo la potenza e la coppia dellalbero intermedio:
kWNN mi 12,425,497,01
sradni
i /9,3360
8,32314,32
60
2
mNNMt iii 6,1219,33/4120/
Calcoliamo la potenza e la coppia dellalbero condotto:
kWNN ir 96,31225,496,02
sradnr
r /1260
3,11414,32
60
2
mNNMt rrr 33012/3960/
9 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
Per verifica calcoliamo la coppia dell'albero condotto con la seguente formula:
Mtr= t it Mtm=0,970,9610,533,8=330,5 Nm
10 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
ROTISMI EPICICLOIDALI
Premessa
I rotismi ordinari implicano sempre problemi d'ingombro quando si vogliono realizzare
rapporti di trasmissione o molto grandi o molto piccoli. Per superare tale limitazione si
usano i rotismi epicicloidali.
Si definiscono rotismi epicicloidali quei rotismi in cui alcune ruote sono mobili rispetto al
telaio (v. fig. 6). Il cinematismo di un rotismo epicicloidale lo stesso di quello ordinario
solo che alcune ruote sono vincolate ad un telaio rotante con asse fisso. Le ruote mobili sono
dette satelliti, quelle fisse sono dette planetarie e il telaio detto braccio portatreno.
Ruote Planetarie
Fig. 7 Schema cinematico del rotismo di fig. 6.
1
2
4
z1
z2 z3
z4
p
3
Mt4
4
Albero condotto
z z
Albero motore
Ruote Satelliti Portatreno
Mt1
z z
Albero del portatreno
Fig. 6- Esempio di rotismo epicicloidale.
11 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
Per questi meccanismi non si pu parlare di rapporto di trasmissione perch i suoi organi
non sono tutti fissi nello spazio. Si fa uso allora di una formula che permette di studiare il
rotismo epicicloidale come se fosse ordinario. Infatti, se imprimiamo all'intero meccanismo
una rotazione contraria a quella del portatreno (vale a dire p), il portatreno resta fermo e
il rotismo epicicloidale si comporta come se fosse ordinario, e ci ci consente di scrivere:
p
pi
4
1
0 (rapporto del rotismo epicicloidale reso ordinario)
La suddetta formula prende il nome di formula di Willis. Tale formula esprime non un vero
e proprio rapporto di trasmissione bens solo una relazione tra le grandezze cinematiche dei
tre membri principali (prima ruota, ultima ruota e braccio portatreno).
Adesso possibile porre il rapporto di trasmissione in funzione del numero di denti:
31
42
4
1
0zz
zzi
p
p
Nell'applicare quest'ultima relazione, importante valutare, di ogni ingranaggio, il segno del
rapporto di trasmissione che deve essere assunto negativo per ruote esterne (perch le ruote
hanno un verso di rotazione discorde) e positivo per ruote interne (perch le ruote hanno un
verso di rotazione concorde):
Dal punto di vista cinematico, il funzionamento del rotismo di fig. 8 sarebbe garantito anche
con una sola ruota satellite, tuttavia se ne mettono tre per impedire la flessione dellalbero
della ruota planetaria.
Fig. 8 Esempio di rotismo epicicloidale con ruote interne.
Ruota Satellite
Albero motore
Portatreno
Albero condotto
Ruota Planetaria
Corona dentata interna
12 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
Nella fig. 8 si vede la ruota centrale motrice (planetaria) trasmettere il moto alle ruote
satelliti che, rotolando sulla corona dentata (ferma), muovono la forcella porta satelliti
calettata sullalbero condotto.
I rotismi epicicloidali si possono raggruppare nelle seguenti tre tipologie:
a) Rotismi riduttori/moltiplicatori quando fatto funzionare con un movente e un
cedente; in tal caso una delle due ruote d'estremit fissa (solidale al telaio). Per
esempio, con riferimento alla fig. 7, se fissa la ruota 4 (4=0) la formula di Willis
ci d:
0
31
421
31
421 11 izz
zz
zz
zz
pp
p
Il rotismo riduttore quando movente la ruota 1 ed moltiplicatore quando
movente il portatreno.
Se si fissa la ruota 1 (1=0) si ha:
0
0
0
31
42
4
31
42
4
111
11
i
i
i
zz
zzzz
zz
pp
p
Anche in questo caso il rotismo riduttore quando movente la ruota 4 ed
moltiplicatore quando movente il portatreno.
b) Rotismi sommatori (o combinatori) quando fatto funzionare con due moventi e
un cedente:
Fig. 9 Schema cinematico del rotismo di fig. 8 con evidenziata soltanto una ruota satellite.
1
2
z1
z2
z3
p
3
13 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
c) Rotismi differenziali (o compensatori) quando fatto funzionare con un movente e
due cedenti ( questo il caso del differenziale degli autoveicoli):
Il differenziale (v. figg. 11-12) costituito da una coppia di ruote dentate (pignone-
corona) cilindriche o coniche a seconda di come disposto il cambio rispetto al
differenziale, da una scatola che racchiude l'ingranaggio differenziale (e che funge da
portatreno), e da un gruppo di quattro ruote coniche (vale a dire lingranaggio differenziale
vero e proprio) due delle quali z1 e z3 (dette ruote planetarie) sono collegate sui semiassi
delle ruote del veicolo e le altre due z2 e z4 (dette ruote satelliti) sono collegate alla scatola
del differenziale (v. fig. 13).
Fig. 10 Rotismo combinatore: moventi: ruota 1 e porta satellite;
cedente: ruota 4.
1
2
4 z1
z2
z3
z4
p
3
Fig. 11 Gruppo cambio-differenziale di autoveicolo con corona dentata cilindrica.
1.Cuscinetto reggi spinta 2. Ingranaggio contachilometri 3. Planetari 4. Cuscinetto a rulli conici 5. Satelliti 6. Corona dentata 7. Cuscinetto a rulli conici 8. Anello di registro cuscinetti scatola differenziale 9. Albero secondario 10. Albero primario
Differenziale
14 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
Funzionamento del rotismo differenziale per autoveicoli (v. fig. 14): l'albero motore, per
mezzo della coppia conica (pignone-corona) trascina in rotazione il portatreno del rotismo
(la scatola del differenziale). La scatola trascina in rotazione le ruote satelliti e queste, a loro
volta, mettono in rotazione le ruote planetarie. Lunico movente il portatreno e ci
permette alle ruote motrici di poter avere velocit angolari differenti.
Vediamone la ragione.
Fig. 12 Differenziale di autoveicolo con corona dentata conica.
b z1
z3
z4
p
z2
a
Fig. 13 Schema di differenziale di autoveicolo con corona dentata conica.
15 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
Il rotismo viene realizzato con z1=z3 e, considerandolo ordinario, ci permette di scrivere che
i0 = -1 essendo le ruote 1 e 3 contro-rotanti (ci avviene perch, contrariamente ai rotismi
ordinari piani con ruota oziosa in cui le velocit angolari della movente e della cedente
concordano sempre, nei rotismi con ruote coniche gli assi dei coni, passando da una ruota
alla successiva, subiscono una rotazione e ci fa si che le velocit angolari della movente e
della cedente siano fra loro discordanti).
Sostituendo questa relazione nella formula di Willis si ottiene:
210
bap
pb
pai
vale a dire che la velocit angolare del portatreno sempre la media aritmetica tra le
velocit angolari dei semiassi e ci permette di avere differenti velocit di rotazione delle
ruote motrici nel moto curvilineo.
Quando lautoveicolo in marcia su strada rettilinea le ruote motrici hanno la stessa velocit
di rotazione e, pertanto, risulta a=b=p (in questo stato le ruote satelliti sono trascinate
in rotazione dal portatreno ma non ruotano intorno al proprio asse).
In curva, la ruota interna, rispetto a quella esterna, deve percorrere un tratto di strada pi
breve e, pertanto, deve ruotare con minore velocit; la differenza tra le velocit delle due
ruote compensata dalla rotazione delle ruote satelliti intorno ai propri assi (v. fig. 14).
Il funzionamento del differenziale non influenzato dalla carreggiata dellautoveicolo.
Studiamo ora il meccanismo dal punto di vista dinamico. Se indichiamo con Ma, Mb, Mp, i
momenti agenti sul semiasse interno, sul semiasse esterno e sul portatreno, valgono le
seguenti equazioni di equilibrio:
Fig. 14 Funzionamento del differenziale per autoveicoli.
16 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
Fig. 15 Esempio di rotismi epicicloidali collegati in serie.
0 ppbbaa MMM (equilibrio delle potenze)
0 pba MMM (equilibrio dei momenti)
In assenza di perdite, le seguenti tre equazioni devono essere tutte verificate:
0
0
2
pba
ppbbaa
bap
MMM
MMM
Risolvendo il sistema otteniamo:
0))(( baba MM
che vale qualunque sia la traiettoria di marcia del veicolo.
In definitiva, da essa si deduce che, quando il veicolo in marcia rettilinea (a=b), il
meccanismo in equilibrio anche se i momenti resistenti applicate alle ruote non sono
uguali tra di loro (vale a dire MaMb); invece quando il veicolo in curva (ab), il
meccanismo in equilibrio solo se i momenti applicati sono uguali tra di loro (Ma=Mb).
ESERCIZI
Vediamo adesso alcuni esempi numerici (tratti dal libro "Esercizi e temi desame di
meccanica" di G. Vianello, ed. Sansoni (FI) 1972).
Prima di svolgerli, premettiamo la seguente
definizione generale:
.
17 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
1) Il cambio Borg-Warner per automobile formato da due treni planetari aventi uguale
schema, disposti in serie (fig. 16). Dall'albero A del motore si ottiene cos una prima
riduzione i1 = 1,60 all'albero B; da questo una seconda riduzione i2 = 1,44 all'albero di
uscita C. In complesso: i=i1i2= 2,304 (prima marcia). Da notare che le ruote z3 e z6 sono
tenute immobili. Rendendo invece solidale z3 con l'albero B, quest'ultimo ruota assieme ad
A e il rapporto di trasmissione i = i2 (seconda marcia). Se anche z6 reso solidale
all'albero C, gli alberi A e C ruotano insieme (i = 1) (presa diretta). Eseguire la scelta dei
numeri di denti delle ruote per ottenere i prescritti rapporti di trasmissione.
Dati: 6,11 B
Ai
; 44,12
C
Bi
; 063
Incognite: z1; z2; z3; z4; z5; z6
Svolgimento
Calcoliamo il rapporto del primo rotismo epicicloidale reso ordinario:
1
3
2
3
1
2
3
10 )(
z
z
z
z
z
zi
B
B
posto: 1= A e 3=0 si ottiene:
111
3
1
3
1
30
B
A
B
A
B
BA
z
z
z
z
z
zi
da cui si ricava:
6,016,1111
3 iz
z
Fig. 16 Schema cinematico del cambio Borg-Warner.
18 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
da cui, se assumiamo z3=54, si ottiene:
906,0
54
6,0
31
zz
Per ricavare i denti della ruota 2, utilizziamo la seguente relazione geometrica fra i raggi
primitivi (v. fig. 16):
231 2rrr
che pu essere riscritta in funzione del numero di denti (perch le ruote hanno tutte lo stesso
modulo) ricavandone la seguente relazione:
231 2zzz da cui:
182
5490
2
312
zzz
Analogamente si procede per il secondo rotismo epicicloidale.
Calcoliamo il rapporto del secondo rotismo epicicloidale reso ordinario:
4
6
5
6
4
5
6
40 )(
z
z
z
z
z
zi
C
C
Posto: 4= B ; 6=0 si ricava:
114
6
4
6
4
60
C
B
C
B
C
CB
z
z
z
z
z
zi
da cui:
44,0144,1124
6 iz
z
se assumiamo z6=33, dalla precedente relazione si ricava:
7544,0
33
44,0
64
zz
Per ricavare i denti della ruota 5, sfruttiamo la seguente relazione geometrica fra i raggi
primitivi (v. fig. 16):
564 2rrr
che pu essere riscritta in funzione del numero di denti (perch le ruote hanno tutte lo stesso
modulo) ricavandone la seguente relazione:
564 2zzz da cui:
19 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
212
3375
2
645
zzz
2) Data la velocit angolare = 50 rad/s dell'albero A, trovare la velocit angolare del
portatreno B del rotismo di figura 17. Le ruote di estremit l e 3 del treno planetario hanno
uguale numero di denti. Le ruote a, b, c, d della quaterna con la quale il moto trasmesso
dalla prima alla seconda ruota d'estremit, hanno i seguenti numeri di denti: za = 30; zb =
18; zc = 22; zd = 26.
Dati: sradA /50 26;22;18;30 dcba zzzz 31 zz
Incognita: B
Svolgimento
Il rotismo abcd un rotismo ordinario e ci ci permette di risalire alla velocit angolare
della ruota conica 3 collegata rigidamente alla ruota d:
sradz
z
z
zi ad
c
d
a
b
d
at /51,70
709,0709,0
22
26
30
18
Il rapporto di trasmissione (negativo perch le ruote 1 e 3 sono controrotanti) del rotismo
epicicloidale a ruote coniche reso ordinario :
11
3
2
3
1
2
3
10
z
z
z
z
z
zi
B
B
che, tenendo presente che 3= d , permette di ricavare l'incognita B:
sradB /26,602
51,7050
2
31
Fig. 17 Schema cinematico del rotismo epicicloidale.
20 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
3) La surmoltiplica per automobile (overdrive Laycock-De Normanville) formata dal
treno epicicloidale di figura 18. L'albero A del motore conduce in rotazione il portatreno
delle ruote planetarie z2, z3, la prima delle quali imbocca con la ruota zl, la seconda con la
corona a dentatura interna z4, la quale d il moto all'albero di trasmissione B. Un innesto
(non disegnato) pu tenere immobile la ruota z1 (e in tal modo l'albero B ruota pi veloce di
A), oppure pu rendere solidali zl e z4 (e in tal caso l'albero B ha la velocit uguale ad A).
Calcolare il rapporto di trasmissione, nel primo caso, sapendo che zl = 27; z2 = 26; z3 =
14; z4 = 67 denti.
Dati: 67;14;26;27 4321 zzzz srad /01
Incognita: B
Ai
Svolgimento
Calcoliamo il rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario:
609,414
67
27
26
3
4
1
210
z
z
z
zi
AB
A
AB
A
che permette di ricavare l'incognita i=A/B:
8217,01609,4
609,4
10
0
i
ii
B
A
Fig. 18 Schema cinematico del rotismo di Laycock-De Normanville.
21 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
4) Un motore elettrico porta all'estremit dell'albero A rotante a 286 rad/s, un pignone
con zl = 14 denti. Per mezzo del treno planetario di figura 18 si vuol ottenere la velocit
angolare di 50 rad/s dell'albero B di uscita. Trovare i numeri di denti z3 della corona a
dentatura interna e z2 delle ruote planetarie.
Dati: sradA /286 sradB /50 141 z
Incognite: 32; zz
Svolgimento
Calcoliamo il rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario:
1
3
2
3
1
2
3
10
z
z
z
z
z
zi
B
B
posto: 3=0 (corona fissa) e 1=A=286 rad/s, dalla formula di Willis si ricava la
seguente relazione:
1
30
z
zi
B
BA
che permette di ricavare l'incognita z3:
6650
502861413
B
BAzz
Per ricavare i denti della ruota 2, sfruttiamo la seguente relazione geometrica fra i raggi
primitivi (v. fig. 18):
213 2rrr
Fig. 18 Schema cinematico del rotismo epicicloidale.
22 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
che, riscritta in funzione del numero di denti (perch le ruote hanno tutte lo stesso modulo),
permette di ricavare la seguente relazione:
213 2zzz da cui otteniamo:
262
1466
2
132
zzz
5) Data la velocit angolare = 50 rad/s dell'albero A, trovare la velocit angolare del
portatreno B del rotismo di figura 19. Le ruote di estremit l e 3 del treno planetario hanno
uguale numero di denti. Le ruote a, b, c, d della quaterna con la quale il moto trasmesso
dalla ruota d'estremit 3 al portatreno B, hanno i seguenti numeri di denti: za = 30; zb =
18; zc = 22; zd = 26.
Dati: sradA /50 26;22;18;30 dcba zzzz 31 zz
Incognita: B
Svolgimento
Il rotismo abcd un rotismo ordinario e ci ci permette di determinarne il rapporto di
trasmissione:
709,022
26
30
18
c
d
a
b
d
at
z
z
z
zi
Osservando la fig. 19 si deduce che d=B e 3=a , pertanto possiamo esprimere it nel
modo seguente:
Fig. 19 Schema cinematico del rotismo epicicloidale.
23 Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS G. Marconi - Bari- Corso Serale Progetto Sirio
709,03 B
ti
Adesso consideriamo il rotismo epicicloidale a ruote coniche; il rapporto di trasmissione
(negativo perch le ruote 1 e 3 sono contro-rotanti) di tale rotismo reso ordinario :
11
3
2
3
1
2
3
10
z
z
z
z
z
zi
B
B
questa relazione, per essere 1= A e 3= Bit , si pu riscrivere nel modo seguente:
10
BtB
BA
ii
che ci permette di ricavare l'incognita B:
sradit
AB /73,38
709,02
50
2