Rovinné křivky

Rovinné křivky

Technická mechanika9.přednáška

Křivka je geometrický jednorozměrný objekt. Jednoduchý příklad křivky je například kružnice nebo přímka. V geometrii existuje velké množství různých křivek.

Euklidova geometrie je nejstarší částí geometrie.Euklidovská (někdy také elementární nebo Euklidova) geometrie je založena na definicích a axiomech, které publikoval Euklides v publikaci označované jako Základy. Euklides se v Základech věnuje nejen geometrii, ale také měření a teorii čísel. Geometrie však byla jeho axiomatickým přístupem ovlivněna pravděpodobně nejvíce, proto dnes bývá Euklides spojován především s rozvojem geometrie.Euklides se zabýval pouze geometrii rovinnou, tzv. planimetrií. (prostorová, tzv. stereometrie).

Euklides zavádí 23 definic, v nichž se pokouší definovat pojmy jako bod, čára, přímka apod. Např. uvádí, že bod je to, co se nedá rozdělit, čára nemá žádnou šířku atd. Z dnešního pohledu nejsou některé z Euklidových definic považovány za definice, neboť se snaží definovat pojmy, které jsou nedefinovatelné. Mezi takové pojmy patří např. bod nebo přímka, které moderní matematika nedefinuje, ale považuje je za dané.


Euklidovská geometrie je založena na pěti postulátech (axiomech) definovaných Euklidem, z nichž lze všechny další pojmy logicky odvodit.

Postulát je jedním ze základních pojmů logiky, přírodních věd (zejména fyziky) i filozofie a označuje výchozí předpoklad jako pravdivý. Jeho pravdivost přitom není logicky dokazována ani dokazatelná. Pojem postulátu je často užíván zejména ve fyzice, kde je v podstatě synonymem pojmu axiom.

(pozn.: základním postulátem, který je probírán již v nejnižších ročnících základní školy, je 1 + 1 = 2. Od tohoto pravidla se dále odvíjí veškeré základy elementární aritmetiky).

1. Máme-li dány dva body, existuje jedna přímka, která jimi prochází.

2. Konečnou přímou čáru (úsečku) můžeme prodloužit tak, že vznikne opět úsečka.

3. Je možné nakreslit kružnici s libovolným středem a poloměrem.

4. Všechny pravé úhly jsou si rovny.

5. K danému bodu a přímce lze sestrojit právě jednu rovnoběžku, která prochází daným bodem. (tzv. postulát rovnoběžnosti)


Rovinnou křivkou rozumíme body [x,y], které leží v rovině xy (v kartézském systému souřadnic).Rovnici rovinné křivky lze často vyjádřit ve formě funkční závislosti proměnných x,y, tzn. y = f(x),

Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar. Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku . Speciální případ přímky je osa.

Křivka je geometrický jednorozměrný objekt. Jednoduchý příklad křivky je například kružnice nebo přímka. V geometrii existuje velké množství různých křivek.

Směrnicová rovnice přímky má tvar y = kx + q ,

kde k = tg je tzv. směrnice přímky, přičemž je orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a q je tzv. úsek (vyťatý přímkou) na ose y, což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou y.

Pro k > 0 představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro k < 0 jde o klesající fci. Pro k = 0 je přímka rovnoběžná s osou x. Je-li q = 0, pak přímka prochází počátkem O.


Úseková rovnice přímky má tvar

kde p 0 je úsek (vyťatý přímkou) na ose x a q 0 je úsek (vyťatý přímkou) na ose y.Přímku rovnoběžnou s osou x nebo y nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.


Kuželosečky

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv.kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.


Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice - množina všech bodů v rovině, které leží ve stejné vzdálenosti, označované jako poloměr, od pevně daného bodu, zvaného střed. Kružnice jsou jednoduché uzavřené křivky, rozdělující rovinu na vnitřek a vnějšek.

Délka kružnice a její poloměr jsou přímo úměrné, stejně jako obsah jí určeného kruhua čtverec poloměru kružnice.

(Pozn.: koeficienty úměrnosti je 2π respektive π; jinými slovy r je poloměr a d průměr).

Délka kružnice (obvod kruhu): o = 2πr = πd

Obsah kruhu:

Kružnice

V kartézském souřadném systému (x, y) je kružnice se středem (x0, y0) a poloměrem r množina všech bodů (x, y)

vyhovujících rovnici

Pokud se střed kružnice nachází v počátku souřadnic (0, 0), lze tento vzorec zjednodušit na

Kružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 1 se nazývá jednotková kružnice.


S[x0,y0] x

y

Elipsa je uzavřená křivka v rovině. Všechny body elipsy mají stejný součet vzdáleností od dvou pevně zvolených bodů — ohnisek.Úsečku spojující libovolný bod na elipse s ohniskem nazýváme průvodič. Spojíme-li ohniska úsečkou, její střed je střed elipsy. Nejdelší spojnice středu elipsy a bodu na elipse se nazývá velká poloosa nebo též hlavní poloosa. Nejkratší taková spojnice je malá poloosa nebo vedlejší poloosa.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.


V kartézských souřadnicích lze v normální poloze elipsu se středem v počátku vyjádřit rovnicí

kde a je délka hlavní poloosy, b je délka vedlejší poloosy a [x,y] jsou souřadnice libovolného bodu elipsy. Veličina se nazývá excentricita elipsy (výstřednost) a vyjadřuje vzdálenost ohniska od středu elipsy.

122

b

y

a

x


Trojúhelníková konstrukceJe zadán střed S, osy o1 a o2, velikosti poloos a (hlavní), b (vedlejší).PostupSestrojíme soustředné kružnice v bodě S kružnice k1 a k2, které mají poloměry velikosti a a b. Vedeme libovolnou polopřímku p vycházející z bodu O. Pak bod M je průsečíkem přímek p1 a p2: zároveň platí, že p1 || o1, p2 || o2.Bod M1 je průsečík přímky p1 s kružnicí k1.Bod M2 je průsečík přímky p2 s kružnicí k2.Bod M (a všechny body takto sestrojené) se nachází mezi kružnicemi k1 a k2 nebo přímo na kružnicích (v případě hlavních a vedlejších vrcholů).


o2

o1

k1

k2

p p1

p2

S

Proužková rozdílová kostrukceElipsa je určena hlavní osou o1, hlavními vrcholy A a B

a bodem M, který bude ležet na elipse, ale není vrcholem elipsy.


o1

Používá se i součtová konstrukce, kterou můžete vidět na obrázku.


Rytzova kostrukce osElipsa je dána dvojicí omezených sdružených průměrů MN a RQ. PostupSestojíme přímku p kolmou k jednomu ze sdružených průměrů (např. RQ, tak aby procházela středem S (průsečík sdružených průměrů). Vzdálenost |RS| je shodná se vzdáleností |SP|, bod P leží na přímce p. Proložíme přímku body PM.Najdeme střed O úsečky PM. Sestrojíme kružnici k o poloměru |OS|. Průsečíky kružnice k s přímkou určenou body P, O a M nazveme 1 a 2. Sestrojíme přímku procházející průsečíkem 1 a středem S a přímku procházející průsečíkem 2 a středem S. Tyto přímky jsou na sebe kolmé a leží na nich osy elipsy. Velikost hlavní a vedlejší poloosy získáme ze vzdáleností |2M| a |M1|.


Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.

Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou x a vrchol V = [x0,y0]) v kartézských

souřadnicích je:

Pro p > 0 je parabola otevřená doprava a pro p < 0 je parabola otevřená doleva. Pro x0 = 0,y0 = 0 dostaneme parabolu

s vrcholem v počátku souřadnic.Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice:

a řídicí přímka je určena rovnicí:

V[m, n] – vrchol paraboly o souřadnicích m, nF – ohnisko parabolyd – řídicí přímkao – osa paraboly|DF| = p – velikost parametru, X[x, y] – libovolný bod, náležící parabole


Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.

Hyperbola také tvoří graf funkce y = 1 / x v kartézské soustavě souřadnic.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.

S[x0, y0] - střed hyperboly o souřadnicích x0, y0

F1, F2 - ohniska hyperboly

A, B - vrcholy hyperbolyo1 - hlavní osa hyperboly

o2 - vedlejší osa hyperboly

p1, p2 - asymptoty hyperboly

- délka hlavní poloosy - délka vedlejší poloosy

-excentricita

- délka hlavní osy - délka vedlejší osy

X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole


Cassini se domníval, že po jedné z těchto křivek obíhá Země kolem Slunce.Umístíme-li ohniska do soustavy souřadnic tak, že F1 = [−c, 0 ], F2 = [c, 0 ], c > 0 je rovnice Cassiniovy křivky:(x2 + y2)2 + 2c2(y2 − x2) = a4 − c4.Podle vztahu mezi čísly a, c dostaneme různé tvary křivek. Je-li a < c, vyjdou dvě křivkyobemykající ohniska

Křivky nesou jméno italsko - francouzského astronoma a inženýra Jeana Dominica Cassiniho (1625–1712) a jsou definovány jako množina bodů X v rovině, které mají od dvou pevnýchbodů F1, F2 (ohnisek) konstantní součin vzdáleností:|XF1| . |XF2| = a2

Cassiniovy křivkyTechnická mechanika

9.přednáška

Pro a = c dostaneme křivku, která má své vlastní jméno -lemniskáta (z řeckého (lemniskos = smyčka). Lemniskátu vykreslují křidélka letící mouchy, přibližně ji opisují meandrující řeky, oblouky lemniskáty najdeme rovněž u železničních přechodnic.Jestliže a > c, Cassiniova křivka už sama sebe neprotíná, ale může být ještě „prohnutá“.Pro a ≥ √2c prohnutí mizí a Cassiniova křivka se podobá elipse.

Lemniskáta


(René Descartes (čti Dekart) 1596–1650, francouzský filosof a matematik)Křivka Descartesův list je vyjádřenarovnicí: x3 + y3 = 3axy,kde a 0, ale může být kladné i záporné. Na obrázku je Descartesův list pro a > 0. Pro a < 0 bychom dostali křivku osově souměrnoupodle přímky y = −x s křivkou z obr.

Descartesův list

Myslím, tedy jsem (latinsky „Ego cogito, ergo sum“)


Křivka je pojmenována podle velkého francouzského matematika, fyzika a filosofa 17. století Blaise Pascala (1623 -1662).Jak ji dostaneme. Ve zvolené soustavě souřadnic sestrojíme kružnici k (nazývá se řídící) o poloměru r = a, který procházípočátkem a střed m na ose x. Z počátku vedeme polopřímku tak, aby protnula kružnici, průsečnici označíme A. Na polopřímku naneseme na obě strany od bodu A vzdálenost ba získáme body C,B. Množina všech takto sestrojených bodů je Pascalova závitnice.

Pascalova závitniceTechnická mechanika

9.přednáška

Spirála je rovinná křivka, kterou opisuje bod P na přímce p otáčející se kolem pevného boduO ∈ p, přičemž vzdálenost |OP| = ρ se zadaným způsobem mění.

Ukážeme si tři spirály:Archimedovu, hyperbolickoua logaritmickou.

Body dvou sousedních závitů na stejném paprsku jsou od sebe vzdáleny o 2πa. Části dvou protichůdných Archimedových spirál tvoří obrys součástky, který umožňuje převádět otáčivý pohyb na posuvný tam a zpět (vačka).

Spirály

Pokud se bod pohybuje po přímce rovnoměrně, pak jeho vzdálenost je úměrná úhlu, tzn. délka průvodiče bodu spirály roste lineárně s argumentem. Taková spirála se nazývá Archimédovou spirálou.ρ = k, kde k > 0 je koeficient úměrnosti

P

O


Zatímco u Archimédovy spirály je průvodič přímo úměrný argumentu, u hyperbolickéspirály je tomu naopak; průvodič bodu spirály je nepřímo úměrný jeho argumentu. RovniceSpirály v polárních souřadnicích je

a > 0, φ R.

Spirála má zajímavé asymptotické chování: pro φ → 0 se body spirály blíží k přímce y = a,pro φ → ∞ se délka průvodiče bodů blíží k nule.

a

Hyperbolická spirála


Logaritmická spirála má zajímavou vlastnost (naznačenou na obrázku); všechny polopřímky vycházející z počátku protínají pod stejným úhlem (neboli tečna a průvodič v libovolném bodě svírají konstantní úhel ). Toho se využívá v technické praxi např. u rotujících nožů, ozubených kol, atd., tvar logaritmické spirály mají rovněž některé jistící pomůcky pro horolezce (tzv. abalaky a friendy).

U logaritmické spirály se bod pohybuje tak, že dráhy které urazí za stejné časové úseky, tvoří geometrickou posloupnost. Logaritmická spirála protíná všechny přímky vycházející z počátku pod stejným úhlem . Logaritmickou spirálu lze vyjádřit rovnicí

ρ = aek, kde a,k jsou kladná čísla, přičemž platí cotg = k .

Logaritmická spirála


Tuto křivku si můžeme představit jako dráhu koncového bodu napnuté niti, odvíjející sez kružnice (pokud bychom odvíjeli nit z jiné křivky, dostali bychom evolventu této křivky.)S odvíjením začínáme na kružnici (bod A), napnutá niť má směr tečny ke kružnici.Potom délka oblouku kružnice AB je rovna délce úsečky BC.Jestliže střed kružnice umístíme do počátku, pak parametrické rovnice evolventy kružnice jsou:x = r cos t + rt sin ty = r sin t − rt cos t,kde t R, r je poloměr kružnice.∈

Evolventa kružnice


S evolventou kružnice se můžeme setkat např. na atletickém oválu. Startovní čára totiž neníúsečka, ale část evolventy, aby všichni závodníci měli (nebo mohli mít) stejně dlouhou trať.Závodníci běží po tečně k okraji vnitřní dráhy. Pokud startovní čára (červená křivka)je část evolventy, mají závodníci A, B, C stejně dlouhou trať.


Cykloidy


Necháme-li kružnici kutálet po přímce, bude pevně zvolený bod (C) na kružnici opisovat křivku zvanou cykloida.Prostou cykloidu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi: x = a(t − sint) y = a(1 − cost)kde a je poloměr kružnice a parametr t odpovídá délce oblouku kotálející se kružnice.Perioda cykloidy je 2πa.Délka oblouku dané větve prosté cykloidy od vrcholu do bodu [x,y] je s = 8aObsah plochy ohraničené jednou větví prosté cykloidy je S = 3πa2Poloměr první křivosti ve vrcholu je r = 4a


Prodloužená a zkrácená cykloidaJestliže na úsečku SC položíme polopřímku SC a na ní vytvoříme bod D - dostaneme tak tzv. zkrácenou nebo prodlouženou cykloidu podle toho, leží-li bod D uvnitř nebo vně úsečky SC.Pokud bod pevně spojený s kotálející se kružnicí neleží na obvodu této kružnicebod D), ale jeho vzdálenost od středu kružnice o poloměru a je SD, pak pro SD< a získáme cykloidu zkrácenou a pro SD > a cykloidu prodlouženou.Parametrické rovnicezkrácené, resp. prodloužené cykloidy lze zapsat ve tvaru: x = at − dsint , y = a − dcost


Cykloida, epicykloida a hypocykloida


Tečna a normála cykloidyTečnu dostaneme z “velmi krátké” tětivy. Přidáme-li do obrázku cykloidy ještě jednu kružnici, která se odvalila o 1,5 cm dále do bodu B1, i s příslušným bodem cykloidy C1 a spojením bodů C a C1 dostaneme tětivu. Zmenšováním zvoleného čísla (1,5) až na velmi malou hodnotu, např. 1 mikron, tj. 0,0001 cm pozorujeme, jak se přímka CC1 mění v tečnu.


Sestrojením kolmice k této tečně v bodě C - se zanedbatelnou opticky nerozlišitelnou chybou dostaneme normálu.

Změnou polohy bodu B zjistíme, že normála prochází vždy bodem B a tečna bodem souměrně sdruženým s bodem B podle středu S (“nejvyšší” bod valící se kružnice).


(Epi)(Hypo)cykloidy

Epicykloidy


• Jestliže necháme valit kružnici místo po přímce po kružnici (po její vnější straně), opisuje bod valící se kružnice epicykloidu.

Pevná kružnice je vždy modrá, ta, co se kutálí, je žlutá.


Epicykloidy pro různé hodnoty parametrů a, b (poloměr pevné a kutálející se kružnice).


Hypocykloidy


Hypocykloidu vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kutálí) po vnitřní straně nehybné kružnice.

Použijeme-li jako parametr úhel odvalení t, pak lze parametrické rovnice prosté hypocykloidy zapsat ve tvaru

kde a je poloměr nehybné kružnice a b je poloměr kružnice hybné.


Takhle to vypadá, je-li poloměr pevné kružnice menší než poloměr kutálející se kružnice.


Když se spojí do jednoho obrázku epicykloida a hypocykloida a trochu se to přibarví, může vzniknout třeba

následující obrázek.


Řetězovka


Řetězovka je jednou z velmi rozšířených rovinných křivek, která má význam v technice a stavebnictví.

Zavěsíte-li řetěz (nebo ohebné nepružné lano) mezi dva sloupky, jejichž vzdálenost je menší než délka řetězu, zaujme řetěz v gravitačním politvar tzv.řetězovky - katenoidy, podobně jako dráty na stožárech vysokého napětí, šňůra na prádlo atd.


Její parametrické rovnice jsou x = t/r, y = r(cos ht − 1) a protože platí ... (cos ht = et + e−t), pak tato křivka je grafem funkce f (x) = a (e x /a + e -x /a) / 2kde exponenciála má základ e = 2,718. . . a . . . je konstanta různá od nuly.

Tvar křivky pro různé hodnoty parametru a


Spirály, cykloida a řetězovka


Historie řetězovkySlovo řetězovka je odvozeno z latinského slova slabika – tzn. “řetěz.”Je to křivka, kterou vytvoří dokonale ohebné lano (řetěz) při zavěšení v krajních bodech.Poprvé použil termín „řetězovka“ („catenary“) Huygens v roce 1690.Touto křivkou zabývali Leibniz, Huygens a Johann Bernoulli (rok 1691).Pomocí funkce f (x) popsal řetězovku Jakub Bernoulli (1654-1705). Vlastnostmi zavěšených řetězů se zabýval již dříve Leonardo da Vinci (1452-1519).


Katalánský architekt Antoni Gaudí rozsáhle využil samonosných catenary tvarů v jeho katedrále Sagrada Familia

Chrám Sagrada Familia se nachází na východním pobřeží ve španělské Barceloně. Stavební práce na něm začaly v roce 1884 a trvají dodnes. Chrám je hlavní stavbou slavného architekta Antonia Gaudího, ten převzal projekt ve velmi raném stadiu (v roce 1891), jeho přístup k architektuře je však velmi individuální a nekonvenční. Místo přesných projektů zhotovoval neostré skicy. V roce 1926 však zemřel a ukázalo se nemožné pokračovat ve stavbě v jeho duchu.


Sagrada FamiliaTechnická mechanika

9.přednáška

Bránový oblouk v Sant Louisve státě Missouri má tvar převrácené řetězovky – catenary(630 stop široký a 630 stop vysoký).

Statika i dynamika stavebních konstrukcí využívá této samonosnosti při navrhování lanových střech nebo kotvení

štíhlých konstrukcí

Řetězovka je odolná vůči rozkmitání do strany, proto si tento tvar vybírali stavitelé středověku ke stavbě mostních oblouků!

Tvar řetězovky můžeme pozorovat i u řetězových mostů z 19. a 20. století.

Základy oblouku mají tvar rovnostranných trojúhelníků (dole 16,46 m a 5,18 m nahoře); je postaven z nerezové oceli a betonu.


Documents

Rovinné křivky