07/11/2015

1

RUANG VEKTOR UMUM

Yang dibahas…….

1. Ruang vektor umum

2. Subruang

3. Hubungan dependensi linier

4. Basis dan dimensi

5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank

dan nulitas

AKSIOMA RUANG VEKTOR

V disebut ruang vektor jika memenuhi:1.

2. u+v = v+u3. u+(v+w)=(u+v)+w4.

5.

6.

7. k(u+v)=ku+kv8. (k+l)u=ku+kl9. k(lu)=(kl)(u)10.

VvuVvu )(,

VuuuuV ,000

0)()()(, uuuuVuVu

VkuVuk ,

uu 1

07/11/2015

2

SUBRUANG

Definisi 1.

MisalkanV adalah ruang vektor atas R dan

S V . S disebut Sub Ruang dariV jika

terhadap operasi yang sama denganV, S juga

mrp ruang vektor.

CONTOH:

1. S = { 0 } mrp sub ruang dari ruang Rn, dan

disebut sub ruang nol.

Dapat ditunjukkan bahwa S terhadap

operasi penjumlahan dan perkalian skalar

memenuhi aksioma2 dari ruang vektor.

2. Misalkan W = {(a, b, 0) / a, b R}. Dapat

ditunjukkan bahwaW adalah sub ruang

dari R3

07/11/2015

3

Teorema 1

MisalkanV adalah ruang vektor dan S V.

S disebut sub ruang dariV jhj

1. u + v S (tertutup thd penjumlahan)

2. ku S (tertutup thd perkalian skalar)

untuk setiap u, v S dan k R.

LATIHAN:

1. Misalkan

S merupakan sub ruang dari M2x3.

Tunjukkan dengan Teorema 1

2. Misalkan S = {(a, b, 1) / a, b R}. Apakah S

subruang dari R3?

Rdcba

dc

baS ,,,/

0

0

07/11/2015

4

Definisi 2

Misal V adalah ruang vektor dan

S = {v1, v2, … , vk } V. Suatu vektor v V

disebut sebagai kombinasi linier dari S jika

ada k1,k2,…,kr R s.d.h

v = k1v1 + k2v2 + … + krvr

Ilustrasi gambar

k1v1

Vektor v di R2 sbg kombinasi linier dari v1 dan v2

k2v2

v = k1v1+k2v2

07/11/2015

5

Definisi 3

Misal V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, … , vr } V.

Himpunan semua vektor dariV yg mrp kombinasi linier

dari S disebut span S (rentang S).

Span S = {k1v1 + k2v2 + … + krvr/ci R}

Catt:

Span S mrp sub ruang dariV.

Ilustrasi Gambar

Jika S = {u, v}, dengan u, v R3 tidak berada dalam satu garis, maka

span(S) mrp bidang yang melalui titik pusat dan titik u dan v.

07/11/2015

6

Himpunan Pembangun

JikaV adalah r.v. dengan maka

dikatakan S adalah himpunan pembangun untukV.

Dengan kata lain, S membangun V artinya setiap

vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linier dari S

CONTOH:

1. Unit vektor: span

2. Himpunan {1, x, x2, …, xn} membangun semua

polinomial berderajad ≤ n.

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

321 eee3

R

07/11/2015

7

Bagaimana???

Apakah himpunan

membangun R3 ?

Penyelesaian:

Apakah ada x1, x2, x3 R s.d.h

x1 (1, 1, 1)t + x2(1, -1, -1)t + x3 (3, 1, 1)t = b

utk setiap b R3 ?

Persamaan diatas dapat ditulis:

)113(),111(),111( S

3

2

1

3

2

1

111

111

311

b

b

b

x

x

x

Merupakan SPL non homogen :

SPL akan konsisten jhj

rank [A|b] = rank (A)

Dalam kasus ini, rank (A)=2, rank [A|b]=3

Jadi S bukan span R3.

bAx

bAx

)0,1,0( 321 bbb

07/11/2015

8

KEBEBASAN LINIER

Definisi 1.

Suatu himpunan dikatakan Himpunan

Bebas Linier jhj utk persamaan

hanya dipenuhi oleh

Jika ada , maka dikatakan S HimpunanTak Bebas

Linier.

nvvvS ,...,, 21

0...2211 rrvkvkvk

0...21 rkkk

0ik

Dengan kata lain….

Himpunan bebas linier :

himpunan yang vektor-vektornya tidak

saling berhubungan (tidak bergantung /

bebas)

HimpunanTak Bebas Linier :

himpunan yang salah satu vektornya mrp

kombinasi linier dari vektor2 yang lain

(satu vektor bergantung pada vektor lain /

tidak bebas).

07/11/2015

9

CONTOH:

Tunjukkan himpunan berikut bebas linier atau tidak.

Penyelesaian:

Bentuk

7

6

5

,

2

0

1

,

1

2

1

S

0

0

0

7

6

5

2

0

1

1

2

1

321

Bentuk diatas dapat ditulis

Jika maka

Karena terdapat penyelesaian yang non trivial (tidak

tunggal), maka S tidak bebas linier.

0

0

0

721

602

511

3

2

1

721

602

511

A

000

210

301

AE

07/11/2015

10

Tunjukkan apakah himpunan berikut

bebas linier atau tidak

(a).

(b).

(c).

(d).

9

5

1

,

0

1

2

,

3

2

1

111,600,540,321

0

1

2

,

0

0

1

,

1

2

3

2202,2022,2222

BASIS dan DIMENSI

Definisi 2

MisalkanV ruang vektor atas R dan

S = {v1, v2, … , vn} subset dariV.

S disebut basis dariV jika

1. S membangunV ( span(S) = V )

2. S bebas linier

07/11/2015

11

Definisi 3

Jika S = {v1, v2, … , vn} adalah basis dari

ruang vektor V, maka dikatakan V

berdimensi n.

Notasi dim(V) = n

Jadi, dimensi suatu ruang vektor adalah

jumlah vektor yang bebas linier dan

membangun ruang vektor tsb.

TEOREMA-TEOREMA DALAM

KEBEBASAN LINIER dan BASISAnita T. Kurniawati

07/11/2015

12

Teorema 1

(i) Suatu himpunan berhingga dari vektor2

yang memuat vektor nol mrp himpunan

yang tak bebas linier.

(ii) Himpunan yang terdiri atas dua elemen

vektor saja mrp himpunan bebas linier

jhj tidak ada vektor yg mrp kelipatan

skalar dari vektor lain.

BUKTI(i) Andaikan S = {v1, v2, …, vn, 0} himpunan bebas

linier, maka

untuk kombinasi linier

1v1 + 2v2 + … + nvn + k.0 = 0 … (*)

hanya dipenuhi oleh 1 = 2 = … = n = k = 0.

Terjadi kontradiksi, karena untuk persamaan

0. v1 + 0. v2 + … + 0. vn + k. 0 = 0

k. 0 = 0

k ≠ 0

Jadi yang benar adalah S tak bebas linier.

07/11/2015

13

(ii) Arah Kanan ()

Diketahui W = {v1, v2} adalah himp. bebas linier.

Dibuktikan : v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0.

Andaikan v1 = k.v2, maka

v1 - k.v2 = 0

KarenaW bebas linier, maka 1 = 0. Terjadi kontradiksi.

Jadi yang benar, v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0.

Arah Kiri ()

Diketahui v1 ≠ k.v2 , dengan k ≠ 0.

DibuktikanW = {v1, v2} adalah himp.bebas linier.

AndaikanW adalah himp.tak bebas linier. Maka ada 1 ≠ 0s.d.h kombinasi linier 1v1 + 2v2 = 0.

Dari sini diperoleh v1 + (2/ 1)v2 = 0

v1 + c.v2 = 0

v1 = -c.v2 = k.v2

Terjadi kontradiksi. Yang benar W bebas linier.

TEOREMA 2

Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah basis untuk ruang

vektorV, maka untuk setiap v V dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S secara

tunggal.

07/11/2015

14

BUKTI

KarenaV = span(S), maka jelas untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa kombinasi linier ini adalah tunggal.

Andaikan v = 1v1 + 2v2 + … + nvn dan

v = k1v1 + k2v2 + … + knvn

Maka

1v1 + 2v2 + … + nvn = k1v1 + k2v2 + … + knvn

(1 – k1)v1 + (2 – k2)v2 + … + (n – kn)vn = 0

Karena {v1, v2, …, vn} bebas linier, maka diperoleh

1 – k1 = 0 , 2 – k2 = 0 , … , n – kn = 0

1 = k1 ,, 2 = k2 , …, n = kn ,

TEOREMA 3

Jika V ruang vektor berdimensi n dan S = {v1, v2, …, vn} adalah

basis untuk ruang vektorV, maka

(i) setiap himpunan yang terdiri lebih dari n vektor mrp himpunan

yang tak bebas linier.

d.k.l

Jika S’ = {w1, w2, …, wm} dimana m > n maka S’ tak bebas linier.

(ii) Tidak ada himpunan yang lebih kecil dari n vektor yang dapat

membangunV.

d.k.l

Jika S’ {w1, w2, …, wr} adalah vektor2 dalam V dengan r < n

makaV ≠ span(S’).

07/11/2015

15

CATATAN:

Teorema 3 Bagian (i) mrp definisi dari

Himpunan Bebas Linier Maksimal

Teorema 3 Bagian (ii) mrp definisi dari

Himpunan Pembangun Minimal.

Bukti Teorema 3

(i) Misalkan S’ = {w1, w2, …, wm} adalah m

vektor dalam V (m > n). Karena S = {v1, v2,

…, vn} adalah basis untuk ruang vektor V,

maka setiap wi (i = 1, 2, …,m) dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S,

yaitu

w1 = a11v1 + a21v2 + … + an1vn

w2 = a12v1 + a22v2 + … + an2vn …..(*)

…. dst

wm = a1mv1 + a2mv2 + … + anmvn

07/11/2015

16

Selanjutnya….

Akan ditunjukkan S’ tak bebas linier, yaitu ada k1,

k2, …, km yg tak nol s.d.h

k1w1 + k2w2 + … + kmwm = 0……(**)

Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh

(k1a11 + k2a12 + … + kma1m) v1

+ (k1a21 + k2a22 + … + kma2m) v2

+ …. + (k1an1 + k2an2 + … + kmanm) vn = 0

Karena S = {v1, v2, …, vn} bebas linier , maka

a11k1 + a12k2 + … + a1mkm = 0

a21k1 + a22k2 + … + a2mkm = 0

…. dst

an1k1 + an2k2 + … + anmkm = 0…..(***)

SPL (***) mrp SPL homogen dengan

banyaknya variabel (m) > banyaknya

persamaan (n), maka solusi nya adalah non

trivial.

07/11/2015

17

(ii). Misalkan S’ = {w1, w2, …, wr} adalah vektor2 dalamV dengan

r < n.

Akan ditunjukkan S’ tidak membangunV.

Andaikan S’ membangunV, maka setiap vektor dalamV dapat

ditulis sbg kombinasi linier dari S’, khususnya vektor2 vj , (j = 1, 2,

…,n) dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari wi

v1 = a11w1 + a21w2 + … + ar1wr

v2 = a12w1 + a22w2 + … + ar2wr

… dst ….. (a)

vn = a1nw1 + a2nw2 + … + arnwr

Utk menunjukkan adanya kontradiksi, akan ditunjukkan bahwa S

= {v1, v2, …, vn} tak bebas linier

Bentuk

k1v1 + k2v2 + … + knvn = 0 … (b)

A.d.t. ada ki ≠ 0 yang memenuhi pers.(b).

Atau dari persamaan (a) dan (b) diperoleh

(k1a11 + k2a12 + … + kna1n) w1

+ (k1a21 + k2a22 + … + kna2n) w2

+ …. + (k1ar1 + k2ar2 + … + knarn) wr = 0….(c)

a.d.t. ada ki ≠ 0 yang memenuhi persamaan ini.

07/11/2015

18

Dari persamaan c , jika dibentuk

a11k1 + a12k2 + … + a1nkn = 0

a21k1 + a22k2 + … + a2nkn = 0

…. dst

ar1k1 + ar2k2 + … + arnkn = 0

Maka SPL ini mrp SPL homogen dengan banyak variabel

tak diketahui (n) > banyak persamaan (r), sehingga

mempunyai penyelesaian non trivial. Jadi ki ≠ 0.

Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar adalah S’ tidak

membangunV.

Latihan Soal

1. Yang manakah dari himpunan berikut ini mrp himp.tak bebas

linier ?

a. {(4, -1, 2), (-4, 10, 2)} di R3

b. {(-2, 0, 1), (3, 2, 5), (6, -1, 1), (7, 0, -2)} di R3

c. {(6 – x2), (1 + x + 4x2)} di P2

d. {(1+3x+3x2), (x+4x2) , (5+6x+3x2), (7+ x – x2)} di P2

2. Tunjukkan bahwa :

Jika {v1, v2, v3} bebas linier, maka himpunan {v1, v2}, {v1, v3},

{v2, v3}, {v1}, {v2}, {v3} juga bebas linier.

3. Tunjukkan :

Jika {v1, v2, v3} tak bebas linier pada ruang vektor V dan

v4 V, maka himpunan {v1, v2, v3, v4} juga tak bebas linier.

07/11/2015

19

RUANG BARIS, RUANG

KOLOM, dan RUANG NULL

Definisi 1Jika A adalah matriks ukuran mxn

maka :(i) Vektor-vektor

….

dalam Rn disebut vektor-vektor baris dari matriks A.

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

naaar 112111

naaar 222212

mnmmm aaar 21

07/11/2015

20

(ii) vektor-vektor

, , … ,

di Rm disebut vektor-vektor kolom dari

matriks A.

1

21

11

1

ma

a

a

c

2

22

12

2

ma

a

a

c

mn

n

n

n

a

a

a

c

2

1

CONTOH:

Diberikan matriks

Maka : vektor baris dari A adalah

r1 = [2 1 0] , r2 = [3 -1 4]

dan vektor kolom dari A adalah

, ,

413

012A

3

21c

1

12c

4

03c

07/11/2015

21

Definisi 2

Misalkan A adalah matriks mxn. Maka

(i) subruang dari Rn yang dibangun olehvektor2 baris dari matriks A disebutRuang Baris (row space) dari A

(ii) subruang dari Rm yang dibangun olehvektor2 kolom dari matriks A disebutRuang Kolom (column space) dari A

Jadi …

Ruang baris A, dinotasikan R(B), adalah

R(B) = Ruang yang dibangun oleh

vektor2 baris matriks A

= span{r1, r2, … , rm} Rn

Ruang Kolom A, dinotasikan R(K), adalah

R(K) = Ruang yang dibangun oleh

vektor2 kolom matriks A

= span{c1, c2, … , cn} Rm

07/11/2015

22

Apakah ada hubungan antara solusi SPL A.x = b

dengan ruang baris dan ruang kolom, dari

matriks A ?

Apakah ada hubungan antara ruang baris, ruang

kolom, ruang null dari suatu matriks ?

Teorema 1

Misalkan A adalah matriks ukuran mxn. Suatu

SPL Ax = b konsisten jhj b adalah elemen dari

ruang kolom matriks A.

Atau :

b R(K) b = A.x

07/11/2015

23

Contoh 2:

Diberikan SPL Ax = b

Dengan EGJ, diperoleh solusi :x1 = 2, x2 = -1, dan x3 = 3

sehingga :

yaitu b mrp kombinasi linier dari kolom2 matriks A. shg b mrp elemen dari ruang kolom matriks A.

3

9

1

212

321

231

3

2

1

x

x

x

2

3

2

3

1

2

3

2

1

1

2

3

9

1

Contoh:

Tentukan apakah b mrp elemen dari ruang kolom

matriks A berikut ini ? Jika ya, tuliskan kombinasi

liniernya.

10

2;

64

31bA

07/11/2015

24

Teorema 2

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang

baris suatu matriks

dengan kata lain:

Jika matriks A dan B mrp matriks ekuivalen

baris , maka ruang baris A dan B adalah sama.

Contoh 4

Diberikan matriks

Menggunakan OBE, matriks A diubah menjadi bentukeselon baris tereduksi:

maka, ruang baris dari matriks A dan B adalah sama.

387

312

121

A

000

3/510

3/701

B

07/11/2015

25

Basis utk ruang baris dan ruang kolom

Misalkan

Menggunakan OBE, matriks A diubah kebentuk matriks eselon baris tereduksi :

Ruang baris matriks A dan B adalah sama

34021

32732

41823

43021

A

00000

11000

10110

10201

B

Selanjutnya…

Basis utk ruang baris matriks A adalah vektor2 baris

tak nol dari matriks B, yaitu

w1 = [1 0 2 0 1]

w2 = [0 1 1 0 1]

w3 = [0 0 0 1 -1]

Sedangkan basis untuk ruang kolom matriks A adalah

vektor kolom standar dari matriks B, yaitu

u1 = , u2 = , u3 =

1

2

3

1

2

3

2

2

4

2

1

3

07/11/2015

26

Prosedur utk mencari basis dari sub ruang

V di Rn

Misalkan S = {v1, v2, … , vk} adalah vektor2 di Rn, dengan V =

span(S). Maka basis utk V ditentukan dengan langkah2 :

Langkah 1

Bentuk matriks

A =

Langkah 2

Ubah matriks A kebentuk matriks eselon baris tereduksi B.

Langkah 3

vektor2 baris tak nol dari matriks B mrp basis utk V.

kv

v

v

2

1

Contoh 5

Misalkan S = {v1, v2, v3, v4} adalah vektor2

di R5 dengan v1 = [1 -2 0 3 -4]

v2 = [3 2 8 1 4]

v3 = [2 3 7 2 3]

v4 = [-1 2 0 4 -3]

dan misalkan V adalah subruang dari R5

yang dibangun oleh S. Tentukan basis

untuk V

07/11/2015

27

Contoh 6

Carilah basis utk ruang baris dan ruang kolom dari

matriks berikut :

452431

791962

281962

452431

B

Teorema 3

Jika A sebarang matriks, maka ruang baris dan

ruang kolom dari matriks A mpy dimensi yang

sama.

07/11/2015

28

Contoh 7

Pada contoh 5,

dim(ruang baris A) = 3

dim(ruang kolom A) = 3

Pada contoh 6,

dim(ruang baris B) = 3

dim(ruang kolom B) = 3

RANK MATRIKS

DEFINISI 3

(i) Dimensi dari ruang baris disebut rank

baris

(ii) Dimensi dari ruang kolom disebut rank

kolom

07/11/2015

29

Definisi 4

Jika A adalah matriks sebarang, maka

rank baris A = rank kolom A = rank A.

Rank matriks A dituliskan : rank(A).

Cara mencari Rank suatu matriks

Misalkan A adalah sebarang matriks.

Langkah 1

Ubah matriks A menjadi matriks eselon

baris tereduksi B.

Langkah 2

Rank A = jumlah baris tak nol dari

matriks B.

07/11/2015

30

Carilah rank dari matriks :

232

383

191

121

A

RUANG NULL dan NULLITY

Definisi 5

(i) Himpunan dari semua solusi sistem

homogen A.x = 0 disebut dengan

Ruang Null (Nullspace).

Nullspace merupakan subset dari Rn.

(ii) Dimensi dari ruang null disebut Nullity.

07/11/2015

31

Basis utk Ruang Null

Diberikan SPL homogen A.x = 0, dengan A matriks

berukuran m x n.

Solusi dari sistem di atas dicari menggunakan EGJ, yaitu

matriks augmented

diubah ke matriks eselon baris tereduksi

dimana matriks B mpy r baris tak nol, 1 ≤ r ≤ m.

0A

0B

Jika m > n (r = n), yaitu

00000

00000

0100

00010

00001

B

r = n

m

n

Maka, solusi A.x = 0 trivial. Artinya, semua solusinya adalah

nol, sehingga ruang solusinya tidak punya basis, akibatnya,

nullity = 0.

07/11/2015

32

Jika m < n (r < n), yaitu

0000000

0000000

0000000

01000

00010

00001

1

221

111

rnr

n

n

ss

ss

ss

B

r

m

n

Maka, solusi A.x = 0 adalah non trivial (mpy r buah solusi), shg

ruang solusinya mpy r buah basis, akibatnya nillity = r.

Contoh 9

Carilah ruang null dan nullity dari SPL homogen :

0

0

20233

12111

5

4

3

2

1

x

x

x

x

x

07/11/2015

33

Teorema 4

Jika A adalah matriks ukuran m x n, maka

rank(A) + nullity A = n

Contoh 10

Apakah SPL berikut mpy solusi?

5

2

6

515

111

111

3

2

1

x

x

x

07/11/2015

34

RANK dan KESINGULARAN

MATRIKS

Teorema 6

Diberikan matriks A berukuran nxn .

det(A) ≠ 0 jhj rank(A) = n

Teorema 7

Misalkan A matriks ukuran nxn.

i. SPL A.x = b mempunyaipenyelesaian tunggal jhj rank(A) = n

ii. SPL A.x = 0 mpy solusi non trivial jhjrank(A) < n.