Embed Size (px)
Citation preview
A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua
Sudut 1. Rumus Sin ( )
Perhatikan gambar dibawah ini !
a b
sin α = → BD = BC sin α = a sin α
cos α = → CD = BC cos α = a cos α
sin β = → AD = AC sin β = b sin β
sin β = → CD = AC cos β = b cos β
Luas segitiga BCD = . BC.CD. sin = . a.b cos . sin
Luas segitiga ADC = . AC.CD. sin = .b. a cos sin
Luas segitiga ABC =a.b ( sin .cos + cos sin ) ……………….. (1)
Luas segitiga ABC = . CB.CA sin ( + ) = . a.b sin ( + ) ………… (2)
Dari persamaan (1) dan (2) di dapat :
. a.b sin ( + ) = . a.b ( sin .cos + cos sin )
Jadi,
Dengan mengingat hubungan (– ) dan yaitu :
Sin (– ) = – sin
Cos (– ) = cos
Tan (– ) = – tan , maka :
Sin ( – ) = sin ( +(– ))
= sin .cos(– ) + cos sin(– )
= sin .cos – cos sin
C
A D B
α β
sin ( + ) = sin .cos + cos sin
Jadi,
Contoh 1 :
Tanpa kalkulator atau tabel, hitunglah nilai dari :
a. sin 15o
Jawab :
a. sin 75o = sin (45 + 30)
o
= sin 45o.cos 30
o + cos 45
o sin 30
o
= . + .
= +
= ( + )
2. Rumus Cos ( α ± β )
Dengan mengingat hubungan antara (90 – ) dan yaitu :
Sin (90 – ) = cos
Cos (90 – ) = sin
Tan (90 – ) = tan , maka :
Cos ( + ) = sin { ( 90o – ( + )}
= sin {(90 – ) – }
= sin (90o – ) cos – cos (90o – ) sin
= cos .cos – sin sin
Jadi,
Dengan mengingat hubungan (– ) dan yaitu :
Sin (– ) = – sin
Cos (– ) = cos , maka :
Cos ( – ) = cos ( +(– ))
= cos .cos(– ) – sin sin(– )
= cos .cos + sin sin
Jadi,
sin ( – ) = sin .cos – cos sin
Cos( + ) = cos .cos – sin sin
Cos( – ) = cos .cos + sin sin
Contoh : 2
Hitunglah nilai cos 15o tanpa menggunakan tabel dan kalkulator!
Jawab :
Cos 15o = cos(45
o – 30
o)
= cos 45o cos 30
o + sin45
o sin 30
o
= . + .
= +
= ( + )
3. Rumus Tan ( )
tan ( + ) =
= ( Pembilang dan penyebut kita bagi cos cos )
=
=
Jadi,
Demikian juga untuk tan ( - )
tan ( - )
=
=
tan ( + ) =
=
Jadi,
Jawab :
a. tan 15o = tan (45
o – 30
o)
=
= =
= ˟
=
= 2 -
B. RUMUS – RUMUS SUDUT RANGKAP 1. Dari rumus sin ( + ) = sin .cos + cos sin
Jika diganti dengan maka didapat :
sin ( + ) = sin .cos + cos sin
sin 2 = 2 sin .cos
Jadi ,
2. Dari rumus cos( + ) = cos .cos – sin sin
Jika diganti dengan maka didapat :
cos( + ) = cos .cos – sin sin
cos 2 = cos2 – sin2
tan ( – )
sin 2 = 2 sin .cos
Jadi,
Dari sin2 + cos2 = 1 →cos2 = 1 – sin2 maka didapat pula :
cos 2 = 1 – sin2 – sin2
= 1 – 2 sin2
Jadi, atau
Dari sin2 + cos2 = 1 →sin2 = 1 – cos2 maka didapat pula
cos 2 = cos2 – sin2
= cos2
– (1 – cos2 )
= 2 cos2 – 1
Jadi, Atau
cos 2 = cos2 – sin2
cos 2 = 1 – 2 sin2
sin2a = (1 – cos 2a )
sin a = (1 cos 2 ) 2 ±
α = (1 – cos α)
α = ±
cos 2 = 2 cos2 – 1 sin
2a = (1 + cos 2a )
sin a = ±
α = (1 + cos α)
α = ±
3. Dari Rumus Tan ( + ) =
Jika diganti dengan maka didapat :
Tan ( + ) =
Atau
C. RUMUS – RUMUS UNTUK ( SIN A SIN B) DAN (COS A
SIN B) Dari rumus :
sin ( + ) = sin .cos + cos sin …………….......……… (1)
sin ( – ) = sin .cos – cos sin …………….…............... (2)
+
sin ( + ) + sin ( – ) = 2 sin .cos ………………..……. (3)
sin ( + ) = sin .cos + cos sin …………………… (1)
sin ( – ) = sin .cos – cos sin ………………….... (2)
-
sin ( + ) – sin ( – ) = 2 cos .sin ……………………. (4)
Jika : + = P + = P
– = Q – = Q
+ -
2 = P + Q 2 = P – Q
α = (P + Q) β = (P – Q)
Maka bentuk persamaan (3) dan (4) menjadi :
Tan 2 α =
tan α =
Sin P + sin Q = 2 sin (P + Q ) cos (P – Q)
Sin P - sin Q = 2 cos (P + Q ) sin (P – Q)
Demikian pula dari rumus :
cos( + ) = cos .cos – sin sin ……………………. (1)
cos( – ) = cos .cos + sin sin …………………….. (2)
+
cos( + ) + cos( – ) = 2 cos .cos …………………. (3)
cos( + ) = cos .cos – sin sin ………………….…. (1)
cos( – ) = cos .cos + sin sin …………………….. (2)
-
cos( + ) – cos( – ) = –2 sin .sin …………………. (4)
jika :
+ = P + = P
– = Q – = Q
+ -
2 = P + Q 2 = P – Q
α = (P + Q) β = (P – Q)
Maka bentuk persamaan (3) dan (4) menjadi :
Jadi, untuk rumus ( sin P sin Q ) dan ( cos P cos Q ) diperoleh
cos P + cos Q = 2 cos (P + Q ) cos (P – Q)
cos P - cos Q = 2 sin (P + Q ) sin (P – Q)
Sin P + sin Q = 2 sin (P + Q ) cos (P – Q)
Sin P - sin Q = 2 cos (P + Q ) sin (P – Q)
cos P + cos Q = 2 cos (P + Q ) cos (P – Q)
cos P - cos Q = 2 sin (P + Q ) sin (P – Q)
D. RUMUS-RUMUS PERKALIAN SINUS DAN
COSINUS 1. Dari rumus :
sin ( + ) = sin .cos + cos sin
sin ( – ) = sin .cos – cos sin +
sin ( + ) + sin ( – ) = 2 sin .cos
jadi :
2. Dari rumus :
sin ( + ) = sin .cos + cos sin
sin ( – ) = sin .cos – cos sin
-sin ( + ) – sin ( – ) = 2 cos .sin
jadi :
3. Dari rumus :
cos( + ) = cos .cos – sin sin
cos( – ) = cos .cos + sin sin
+
cos( + ) + cos( – ) = 2 cos .cos
jadi :
4. Dari rumus :
cos( + ) = cos .cos – sin sin
cos( – ) = cos .cos + sin sin
-
cos( + ) – cos( – ) = –2 sin .sin
jadi : atau
2 sin .cos = sin ( + ) + sin
( – )
2 cos .sin = sin ( + ) – sin
( – )
2 cos .cos = cos( + ) + cos( – )
–2 sin .sin = cos( + ) –
cos( – )
2 sin .sin = cos( – ) – cos( + )
