Ruote Dentate a Denti Elicoidali

Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari - Corso Serale Progetto “Sirio”

ITIS “G. MARCONI” – BARI

CORSO SERALE PROGETTO SIRIO

DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE

N° 4

LA TRASMISSIONE DELLA POTENZA

Ruote dentate a denti elicoidali

Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari - Corso Serale Progetto “Sirio” 2

RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI

Le ruote dentate a denti elicoidali sono una variante rispetto alle ruote cilindriche a denti diritti.

Esempi di ingranaggi con ruote a denti elicoidali:

1 Ingranaggio cilindrico a denti elicoidali.

2 Ingranaggio conico a denti elicoidali.

3 Vite senza fine-ruota a denti elicoidali.


pe

π dp

90°

Le ruote dentate a denti elicoidali sono così chiamate perché il dente viene a costituire un tratto di

elica cilindrica (fig. 4):

4 Generazione di una ruota cilindrica a denti elicoidali.

dp = diametro primitivo della ruota (uguale al diametro di base del cilindro)

b = larghezza della ruota

= angolo di inclinazione dell'elica

pe = passo dell'elica = altezza cilindro primitivo

La relazione che lega tra loro passo dell'elica, diametro del cilindro (uguale al diametro

primitivo della ruota) e angolo di inclinazione dell'elica si può ricavare osservando che se

avvolgiamo attorno al cilindro un triangolo rettangolo avente i due cateti rispettivamente uguali

alla lunghezza della circonferenza di base e all'altezza del cilindro medesimo, l'ipotenusa

riproduce esattamente l'elica cilindrica disegnata (fig. 5).

5 Relazione tra le grandezze geometriche

fondamentali di una ruota elicoidale.

dp

b

elica cilindrica cilindro primitivo ruota elicoidale

pe


Pertanto si ottiene:

π dp = pe tg

L'angolo =5° ÷ 30° per ruote semplici; = 20° ÷ 45° per ruote bielicoidali (fig. 6).

6 Ruote bielicoidali.

Le ruote a denti elicoidali possono essere distinte in base al verso dell’elica in ruote ad elica destra o

sinistra (le ruote di un ingranaggio cilindrico ad assi paralleli hanno uguale angolo

d’inclinazione dell’elica ma opposti versi d’elica):

7 Ruote elicoidali ad elica destra e sinistra.

Nelle dentature elicoidali distinguiamo tre passi (a parte il passo di avvolgimento dell'elica):

- passo circonferenziale o frontale pc: è la distanza tra gli assi di due denti consecutivi misurata

perpendicolarmente all'asse della ruota;

- passo normale pn: è la distanza tra gli assi di due denti consecutivi misurata

perpendicolarmente agli assi stessi;

- passo assiale pa: è la distanza tra gli assi di due denti consecutivi misurata parallelemente

all'asse della ruota.


8 Passi di una ruota cilindrica a denti elicoidali.

Per determinare le relazioni tra i diversi passi, basta considerare gli assi di due denti consecutivi e

tracciare tre segmenti rappresentativi dei suddetti passi:

9 Rappresentazione schematica dei passi di una ruota elicoidale.

Dai triangoli rettangoli (v. fig. 9) si ricavano:

pc= pn /cos = pa tg

Ai suddetti tre passi corrispondono tre moduli, circonferenziale, normale e assiale, tra i quali

esistono le stesse relazioni trovate per i passi:

mc= mn /cos = ma tg

Naturalmente valgono anche le seguenti relazioni tra passi e moduli:

pc pn

pa

Assi di due denti

consecutivi


mc = pc / dp / z

mn = pn /

ma = pa /

N.B. Affinché possano ingranare tra loro, due o più ruote dentate cilindriche a denti elicoidali con

assi di rotazione paralleli devono avere uguali passi normali e circonferenziali.

Il rapporto di trasmissione di un ingranaggio cilindrico a denti elicoidali si può calcolare, come già

visto per quello a denti diritti, con le relazioni seguenti:

i = ω1/ω2 = n1/n2 = z2/z1

La seguente relazione invece è valida solo se gli assi di rotazione delle due ruote sono paralleli:

i = rp2/rp1 = dp2/ dp1

STUDIO DINAMICO

La forza totale F scambiata tra due denti in presa si scompone secondo tre componenti pertanto il

sistema di forze non è più piano come per le ruote a denti diritti ma è spaziale; infatti oltre alle due

componenti tangenziale Ft e radiale Fr compare una componente assiale Fa che tende a spostare

assialmente la ruota (la cui azione può essere contrastata da cuscinetti obliqui (o assiali) oppure

accoppiando due ruote elicoidali con inclinazione dell'elica opposte) (figg. 10-11-12-13):

10 Forze applicate al dente di una ruota elicoidale: vista dall’alto.

Ft Fn

Fa

Fn

F

Sezione del

dente con un

piano normale

al proprio asse Fr

Fr


11 Forze applicate al dente di una ruota elicoidale: vista frontale.

12 Forze applicate al dente di una ruota elicoidale: vista spaziale.

13 Forze applicate al dente di una ruota elicoidale: scomposizione della forza totale F.

Le relazioni tra le varie forze sono le seguenti:

Ft

F

Fr

Fa Fn

Ft

Fa

Fr


Ft = Mt/rp = Fn cos

Fr = F sen

Fn = F cos

Fa = Ft tg

Il numero minimo di denti delle ruote a denti elicoidali è più piccolo di quello delle ruote a denti

diritti a parità di angolo di pressione e si calcola con la formula:

z min,e = z min,d cos (numero minimo di denti)

in cui z min,d è il numero minimo di denti di una ruota a denti diritti di un ingranaggio avente lo

stesso rapporto di trasmissione di quello a denti elicoidali.

Il diametro primitivo della ruota e le dimensioni del dente si calcolano con le seguenti formule:

dp = mc z (diametro primitivo)

ha = mn (addendum)

hd = 1,25 mn (dedendum)

h = 2,25 mn (altezza del dente)

b = mn (larghezza della ruota)

Il modulo normale si calcola con il metodo di Lewis già illustrato per le ruote a denti diritti (v.

dispensa n. 3):

3cos

ammv

tn

zf

Mcm

(mm)

in cui il coeff. c si ricava dalla stessa tabella vista nelle ruote dentate cilindriche a denti diritti ma in

funzione del numero di denti ideale:

z id = z /cos3

Nella formula di mn, gli altri simboli hanno il significato già noto.


VERIFICA AD USURA

Anche per le ruote elicoidali per la valutazione della pressione specifica si utilizza la teoria di Hertz

che fornisce la seguente relazione:

)11

(2

2

211

1max

ppcp

tm

ddsenbd

Mfp

(N/mm

2)

in cui il coefficiente fm ha i seguenti valori:

fm = 380 N1/2

/mm per acciaio su acciaio

fm = 310 N1/2

/mm per acciaio su ghisa

fm = 269 N1/2

/mm per ghisa su ghisa

c = arctg(tgcos (angolo di pressione circonferenziale)

La pressione massima così calcolata deve risultare minore della pamm :

645,2

hn

HBpamm

(N/mm

2)

in cui HB è la durezza Brinell in N/mm2, n è la frequenza di rotazione in giri/min e h è il tempo di

funzionamento in ore.


ESEMPIO CALCOLO DI RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI

Proporzionare un ingranaggio che deve trasmettere la potenza di N = 4.25 kW, con numero di giri

n1 = 1200 g/min e con rapporto di trasmissione i=1.5. Tempo di funzionamento previsto 100 ore.

L’angolo d’inclinazione dell’elica è di 25°.

N.B. I calcoli si effettuano sempre sul pignone.

Scelta del fattore di servizio fs per servizio intermittente e lieve sovraccarico:

fs =1.2 (consultare il manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli a pag. 684).

Calcolo della potenza di calcolo Nc

È data dal prodotto della potenza della macchina per il fattore di servizio:

Nc = N fs = 4.25 1.2 = 5.1 kW = 5100W

Calcolo tabellare di z min,d che dipende dall’angolo di pressione , dal rapporto di ingranaggio u e

dall’angolo :

Per u = 1.5 e si ha z min,d = 15 e di conseguenza si ricava:

z min,e = z min,d cos =15·cos25°=14°

u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

z min,d

15° 21 25 26 27 28 28 29 29 29 29

20° 13 15 15 16 16 16 17 17 17 17

25° 9 10 10 11 11 11 11 11 11 11

momento motore

momento resistente

Mt2

Mt1

velocità angolare

ruota motrice

velocità angolare

ruota condotta

pignone

(conduttore)

corona

(condotta)


pertanto si assume z 1=20.

Dato il tipo di materiale C 10 avente σr =540÷930 N/mm2, si assume σr= 540 N/mm

2.

Si determina la σamm che è data dal rapporto n

r, che per n=3 vale:

σamm = n

r=

3

540=180 N/mm

2

Calcolo di λ

Si assume λ=15 (tabulato, consultare il manuale a pag. 684).

Calcolo del fattore c

Esso dipende dal numero di denti ideale z id = z1 /cos3cos

325 = 27 di conseguenza:

79,135,0

2233

yc

(c si può ricavare anche dal Manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli a pag. 684).

Si assume la velocità periferica di progetto vp = 4m/sec (velocità di tentativo).

Calcolo di fv (fattore di velocità)

Il fattore di velocità per ingranaggi veloci e buona precisione:

fv = 6/(6 + vp)= 6/( 6+4)= 6/10 = 0.6

Calcolo del momento motore

Il momento motore Mt1 è dato dal rapporto tra la potenza di calcolo Nc e la velocità angolare:

ω1= 2 π n1 / 60 = 2· 3.14 · 1200 / 60 = 125.66 rad/sec

Mt1= Nc/ ω1 = 5100 / 125.66 = 40.58 N m = 40580 N mm

Calcolo del modulo normale

mmfz

Mcm

ammv

tn 93.1

1806.02015

4058079.1 33

1

1

Scelta del modulo normale

Moduli unificati (mm) (in grassetto i moduli consigliati) (v. Manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli

a pag. 680):

0.50 0.75 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.35 2.5 2.75 3 3.25

3.25 3.5 3.5 3.75 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 8 9 10

11 12 14 16 18 20 22 25 28 32 36 40 45 50

Si considera il modulo normale unificato uguale a 2 mm, esso serve per dimensionare il modulo

circonferenziale mc= mn /cos =2,2 che, a sua volta serve per calcolare il raggio primitivo rp1

che è dato dalla relazione che segue:

rp1= mc z1 / 2 = 2,2 · 20 / 2 = 22 mm = 0.022 m


Calcolo la velocità periferica della ruota 1:

vp1 = rp1 ω1 = 0.022 (2 · 3.14 · 1200 / 60) = 2.8 m/sec

Verifica della velocità periferica

Dato che si è assunta inizialmente la velocità periferica vp = 4 m/s si ha che vp1 < vp quindi la

verifica è soddisfatta.

Calcolo della larghezza delle ruote

La larghezza è data dal prodotto di λ per il modulo normale:

b = λ mn = 15 · 2 = 30 mm

Calcolo dell’altezza del dente

L’altezza è data dalla somma delle due altezze: addendum ha e dedendum hd,:

ha = mn =2 mm

hd = 1.25 mn = 2.5 mm

h = ha + hd = 2+2.5 = 4.5 mm oppure h = 2.25 · m = 2.25 · 2 = 4.5mm

Calcolo dei passi:

pc = π mc = 6.9 mm

pn = π mn = 6.28 mm

pa = π ma = π mc / tg = 14.8 mm

Calcolo del diametro primitivo

dp1 = mc · z1 = 2.2·20 = 44 mm

Calcolo del diametro di testa

da1 = dp1+ 2mn = 44 + 2·2 = 48 mm

Calcolo del diametro di piede

dd1 = dp1– 2.5 mn = 44 – 2.5·2 = 39 mm

Diametro primitivo della ruota 2

rp2 = rp1 · i = 22·1.5 = 33 mm

Calcolo dei numeri dei denti della ruota 2

z2 = z1 · i = 20·1.5 = 30.

Verifica ad usura

Calcolo della pmax:

)11

(2

2

211

1max

ppcp

tm

ddsenbd

Mfp

(N/mm

2)

c = arctg(tgcos = 21.88° (angolo di pressione circonferenziale)


592)66

1

44

1(

76.434430

405802380max

senp N/mm

2

Per il calcolo della pamm si sottopone l’acciaio C 10 UNI 7846 a trattamento termico di

cementazione, così facendo la durezza HB passa dal valore di 1300 N/mm2

a 2612 N/mm2:

645,2

hn

HBpamm

(N/mm

2)

9111001200

261245,2

6

ammp N/mm

2

La verifica è soddisfatta.

Infine, dati il raggio rp2, z2 e p si calcola la geometria completa della seconda ruota riapplicando

tutte le formule sopra viste.

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