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PRESENTACION RUTA MAS CORTA
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1
Ruta mas Corta con PLB
2
Modelo matemático R + C
El problema de la Ruta mas Corta (R+C) se
puede solucionar usando un modelo de
Programación Lineal Binaria (PLB).
La PLB es un caso particular de la
programación lineal que usa una variable de
tipo binario, que solo puede tomar dos
valores: cero o uno.
3
Para ello, los arcos de la red se representan
como variables binarias, y se modela la
función objetivo y restricciones.
A continuación se explicará el modelo de PLB
usando como referencia el problema de la
R+C del Parque Nacional La Campana.
Modelo matemático R + C
4
Ruta mas corta
1
46
5
3
2
7
2
3
5
2
1
4
3
85
7
3
A continuación se muestra la red del Parque La
Campana y la ruta más corta para llegar del
punto 1 al punto 7.
5
Ruta mas cortaEn el cuadro siguiente se muestra la matriz de
distancias correspondientes a esa red:
N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7
N1 0 2 5 3 -- -- --
N2 0 1 2 -- -- --
N3 0 -- 8 3 --
N4 0 -- 4 --
N5 0 3 5
N6 0 7
N7 0
6
Para resolver el problema de R+C usando
PLB tenemos que definir lo siguiente:
• Variables de decisión
• Función objetivo
• Restricciones
Solución usando PLB
7
Para resolver el problema de R+C se definen
las siguientes variables:
1 si el arco ij forma parte de la R+C
0 si el arco ij no forma parte de la R+C
1 si el nodo k pertenece a la R+C
0 si el nodo k no pertenece a la R+C
Variables de Decisión
Xij:
Yk:
8
Variables de decisión
1
46
5
3
2
7
X12
X14
X13
X24
X23
X46
X36
X35X57
X67
X56
A continuación se muestra la red de La Campana
indicando la variable de decisión Xij
correspondiente a cada arco de la red:
9
La función objetivo será minimizar la
distancia total de los arcos que pertenecen
a la R+C.
Para ello, se debe minimizar la suma de las
distancias de cada arco, multiplicadas por
las variables de decisión binarias
correspondientes a cada arco.
Función Objetivo
10
Función objetivo
Para el caso de la red del Parque La Campana, la
función objetivo es:
MIN 2 X12 + 5 X13 + 3 X14 + X23 + 2 X24 + 8 X35
+ 3 X36 + 4 X46 + 3 X56 + 5 X57 + 7 X67
1
46
5
3
2
7
2
3
5
2
1
4
3
85
7
3
11
Como se quiere definir una ruta, entonces se
debe controlar que todos los nodos que
pertenecen a la R+C estén conectados, de
manera que se pueda llegar del nodo inicial al
nodo final.
Si no se incluyeran estas restricciones,
entonces la solución mínima que entregaría el
modelo para la función objetivo anterior sería
todos los Xij = 0, y en este caso no se tendría
ninguna ruta.
Restricciones
12
Se debe controlar lo siguiente:
- Que el nodo inicial esté conectado (es decir,
que el nodo inicial tenga un arco de salida)
- Que el nodo final esté conectado (es decir,
que el nodo final tenga un arco de llegada)
- Que los nodos intermedios que pertenecen a
la R+C estén conectados (es decir, que los
nodos de la R+C tengan un arco de llegada y
un arco de salida)
Restricciones
13
Llevado al caso del Parque La Campana, las
restricciones del nodo inicial y nodo final son:
X12 + X13 + X14 = 1 (Nodo 1: Inicial)
X57 + X67 = 1 (Nodo 7: Final)
Restricciones Nodo Inicial y Final
1
46
5
3
2
7
X12
X14
X13
X24
X23
X46
X36
X35X57
X67
X56
14
Para los otros nodos, hay una complicación
adicional: la R+C puede pasar o puede no pasar
por los nodos intermedios.
Si la R+C pasa por un nodo intermedio, entonces
la suma de todos los arcos que se conectan a ese
nodo debe ser 2 (uno de entrada y uno de salida).
Si la R+C no pasa por un nodo intermedio,
entonces la suma de todos los arcos que se
conectan a ese nodo debe ser 0.
Restricciones Nodos Intermedios
15
Con la ayuda de las variables Yk se puede
plantear las restricciones para los nodos
intermedios, que llamaremos nodos k.
Para ello, se hace que la suma de todos los
arcos conectados al nodo k, igual a 2 Yk.
Los arcos conectados al nodo k están
representados por todas la variables Xij en que i
ó j son iguales a k.
Restricciones Nodos Intermedios
16
Si el nodo intermedio k pertenece a la R+C,
entonces Yk = 1,
y la suma de todos los arcos conectados al nodo k
debe ser 2 (un arco de entrada y uno de salida)
Si el nodo intermedio k no pertenece a la R+C,
entonces Yk = 0,
y la suma de todos los arcos conectados al nodo k
debe ser 0
Restricciones Nodos Intermedios
17
Llevado al caso de La Campana, y usando las
variables Yk, las restricciones de los nodos
intermedios son:
X12 + X23 + X24 = 2 Y2 (Nodo 2)
X13 + X23 + X35 + X36 = 2 Y3 (Nodo 3)
Restricciones Nodos Intermedios
1
46
5
3
2
7
X12
X14
X13
X24
X23
X46
X36
X35X57
X67
X56
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X14 + X24 + X46 = 2 Y4 (Nodo 4)
X35 + X56 + X57 = 2 Y5 (Nodo 5)
X36 + X46 + X56 + X67 = 2 Y6 (Nodo 6)
Restricciones Nodos Intermedios
1
46
5
3
2
7
X12
X14
X13
X24
X23
X46
X36
X35X57
X67
X56
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Ejemplo de solución al problema
de Ruta mas Corta usando PLB
20
A continuación se presenta un ejemplo en
base al problema de los satélites descrito
en una clase anterior.
Ejemplo de R+C usando PLB
21
a) Planteo del problema
Existe una red de satélites de comunicaciones.
Se conoce el tiempo para transmitir un mensaje
entre cada par de satélites. No todos los
satélites se pueden comunicar entre ellos.
Se pide determinar que satélites se debe usar
para enviar un mensaje del satélite A al satélite
E a través de la red, en el menor tiempo posible.
Ejemplo de R+C usando PLB
22
A
D
EC
B6
3
22
4
8
5
b) Representación gráfica de la red
A continuación se muestra la red de satélites,
indicando los tiempos de transmisión entre ellos.
Ejemplo de R+C usando PLB
Taller
23
c) Cuadro de tiempos (en segundos)
A B C D E
A 0 6 3 -- --
B 0 2 4 5
C 0 -- 8
D 0 2
E 0
NOTA: Dependiendo de las características del problema, el cuadro
será de distancias, tiempos, o costos.
Ejemplo de R+C usando PLB
Desarrollo
Equipos de dos personas que desarrollen
el problema, ahora en clases.
Se entrega manuscritos con toda la
información.
24
