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OPTIMIZACION DE REDES
Optimización de Redes
ComponentesComponentes
NodosNodos RutasRutas FlujosFlujos
AeropuertosAeropuertos Líneas AereasLíneas Aereas AvionesAviones
BodegasBodegas RutasRutas MercanciasMercancias
Puntos de Puntos de comunicacioncomunicacion
Canales ó Canales ó cablescables
MensajesMensajes
Estaciones de Estaciones de bombeobombeo
TuberíasTuberías FluidosFluidos
Centros de Centros de TrabajoTrabajo
Rutas de Rutas de manejo de manejo de materialesmateriales
TrabajosTrabajos
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Ejemplo:
Observe el sistema de caminos de Seervada Park, donde por facilidad se omiten las curvas. El punto O es la entrada al parque y T es un gran mirador destino de los visitantes. Las otras letras representan la localización de las casetas de los guardabosques y otras instalaciones. Los números son las distancias en millas de estos caminos sinuosos. Unos cuantos tranvías movilizan los visitantes desde la entrada hasta la estacion T y de regreso.
O
5
7
7
1
2
4
25
4
4
31
D
B
A
C E
T
Problemas de Seervada Park
O
5
7
7
1
2
4
25
4
4
31
DB
A
C E
T
Problema 1:
Requiere determinar qué ruta, desde la entrada del parque hasta el mirador T, es la que tiene la distancia total mas corta para la operación de los tranvías
El administrador del parque se enfrenta a tres problemas :
Problema 2:
Deben instalarse líneas telefónicas subterráneas para establecer comunicación entre las estaciones, incluyendo la entrada. Como la instalación es cara y perturba la ecología, se instalarán líneas que sigan sólo los caminos necesarios para establecer comunicación entre cualquier par de estaciones. La pregunta es dónde deben tenderse las líneas para lograr esto con el mínimo numero total de millas de cable instalado .
Problema 3:
Para evitar congestiones se ha establecido un racionamiento estricto de viajes/dia que deben hacer los tranvías en cada camino. La pregunta es cómo planear las rutas para los distintos viajes, de manera que se maximice el numero total de viajes/dia , sin violar los limites impuestos sobre cada camino.
Arbol de Expansión Mínima
Redes con Flujo Máximo
Ruta mas Corta
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Optimización de Redes
Terminología
Red con Arcos Dirigidos
Flujo AB
Red con Arcos No Dirigidos
Flujo Real =
∆ de los Flujos
Flujo BA
Ruta ó Trayectoria Una Trayectoria entre dos nodos, es una sucesión de Arcos Dirigidos y/o No Dirigidos distintos que conectan dichos nodos. EJM: O-A-B-D-T de Seervada Park
Optimización de Redes
Terminología
Ciclo Trayectoria que comienza y finaliza en el mismo nod o
Ciclo Dirigido
Ciclo No-Dirigido
Por ejemplo: DE - ED
Por ejemplo: AB – BC – CA
A D
B E
C
Trayectoria Dirigida
Trayectoria No-Dirigida
Por ejemplo: BC – CE – ED
Por ejemplo: AB – BC – CA – AD
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Optimización de Redes
Terminología
Arbol de Expansión
Red de “n” nodos conectados que no admite ciclos, teniendo por tanto (n-1) arcos.
A D
B E
C
A D
B E
C
Tipos deNODOS
Origen
Destino
Transbordo
Flujo Característico
Saliente > Entrante
Entrante > Saliente
Saliente = Entrante
Capacidad de los ARCOS Cap. Max. De Flujo que circula en un arco dirigido
El Problema de la Ruta mas Corta
Algoritmo de Disjkstra
Algoritmo de Floyd
Permite determinar la ruta mas corta entre el nodo origen y cualquier otro nodo de la red.
Permite determinar la ruta mas corta entre cualquier par de nodos de la red (mas general)
Algoritmo de Disjktra
i jdij [dj, i]
Distancia mas corta “hasta j” desde el origen
Nodo permanenteprevio
Nodos Temporales y Nodos Permanentes
dj = di + dij
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El Problema de la Ruta mas Corta
El Problema de la Ruta mas Corta
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El Problema de la Ruta mas Corta
El Problema de la Ruta mas Corta
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El Problema de la Ruta mas Corta
El Problema de la Ruta mas Corta
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El Problema de la Ruta mas Corta
O
5
7
7
1
2
4
25
4
4
31
DB
A
C E
T
Nodo Permanente
Nodo Temporal a conectar
Etiqueta Nodo Temporal
Anterior Etiqueta
Etiqueta Final Nuevo nodo Permanente
O ���� [0; -] A B C
[2; O][5; O][4; O]
---
[2; O][5; O][4; O]
A � [2; O]
A ���� [2; O] BD
[4; A][9; A]
[5; O]-
[4; A][9; A]
B� [4; A]
B ���� [4; A] DEC
[8; B][7; B][5; B]
[9; A]-
[4; O]
[8; B][7; B][4; O]
E � [7; B]
E ���� [7; B] DT
[8; E][14; E]
[8; B]-
[8; E] y [8; B][14; E]
D�
[8; E] y [8; B]
D ����[8; E] y [8; B]
T [13; D] [14; E] [13; D] T� [13; D]
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Variantes del Problema de la Ruta mas Corta
En general, el problema de la ruta mas corta busca encontrar la ruta entre dos nodos especificos que minimice los valores de los arcos sobre esta ruta.
Los arcos pueden corresponder entonces a costos asociados a ciertas actividades, y podría resolverse el problema de determinar la secuencia de actividades que minimice el costo total.
Así mismo, los arcos pueden representar tiempos de ejecucion de actividades, y se resolvería la secuencia de actividades que proporciona el minimo tiempo total de ejecución.
El Problema del Arbol de Expansión Mínima
Diseño de Redes de Telecomunicaciones (fibra óptica, telefónicas)
Diseño de Redes de transporte para minimizar costo total de suministro de material de construcción (vías ferroviarias, carreteras).
Diseño de Redes de tuberías para conectar varias localidades.
Diseño de Red de cables en sistemas de computación para minimizar la longitud total del cable.
Diseño de Red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alta tensión.
Las aplicaciones del Arbol de Expansión Mínima están asociadas al Diseño de Redes, como por ejemplo:
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El Problema del Arbol de Expansión Mínima
Algoritmo de Prim
Se elige nodo inicial arbitrarioSe elige el nodo no conectado más cercanoa un nodo o
conjunto de nodos ya conectados. Se conecta este nodo.Se repite hasta que todos los nodos están interconectados
/en caso de empate se resuelve arbitrariamente).
O
5
7
7
1
2
4
25
4
4
31
DB
A
C E
T
Se aplicará este algoritmo para resolver el Problema 2de Seervada Park.
O
5
7
7
1
2
4
25
4
4
31
DB
A
C E
T
Nodo Inicial escogido O
O
2
4
A
C
5B O
2 A
O
2 A 72
DB
4C
O
2 A
2
B5
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O
2 A2
B
4C
1
7
4 D
3
E
O
2 A2
B
C
1
O
2 A2
B
C
1
7
4
3
D
E4
O
2 A2
B
C
1 3
E
O
5
7
7
1
2
4
25
4
4
31
DB
A
C E
T
O
2 A2
B
C
1 3
E
7
7
1
4 D T
O
2 A2
B
C
1 3
E
1
D
O
2 A2
B
C
1 3
E
1
DT5
Solución óptima = 14 millas de cable instalado
O
5
7
7
1
2
4
25
4
4
31
DB
A
C E
T
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El Problema del Flujo Máximo
Maximizar el flujo de mercancías a través de una red de distribución de fábricas a clientes.
Maximizar el flujo a través de una red de suministros de proveedores a fábricas.
Maximizar el flujo de petróleo por un sistema de tuberías.
Maximizar el flujo de vehículos por una red de transporte.
Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de acueductos.
Las aplicaciones del Problema del Flujo Máximo son por ejemplo las siguientes :
El Problema del Flujo Máximo
Problema de Flujo Máximo de Seervada Park
Para evitar congestiones se ha establecido un racionamiento estricto de viajes/dia que deben hacer los tranvías en cada camino. La pregunta es cómo planear las rutas para los distintos viajes, de manera que se maximice el numero total de viajes/dia , sin violar los limites impuestos sobre cada camino.
Para resolver este problema considere la siguiente RED RESIDUAL , donde los arcos (caminos) están etiquetados con una información inicial de flujos:
O
[5;0]D
B
A
C E
T[3;0] [9;0]
[6;0][1;0]
[4;0]
[4;0][7;0]
[2;0][5;0]
[4;0][1;0]
La interpretación de
Los números en los
Corchetes es la siguiente
[ 4 ; 0 ]
Capacidad de flujo Disponible o Residual
Capacidad de flujo Utilizada
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El Problema del Flujo Máximo
Algoritmo de Flujo Máximo
1. Se identifica CUALQUIER trayectoria desde el Origen hasta el Destinoen la Red Residual, de tal manera que exista posibilidad de flujo en esa trayectoria (capacidades residuales mayores que cero en todos los arcos ó CR>0)
2. Se identifica en esa trayectoria la menor CR de los arcos, y se envía esa cantidad de flujo desde el Origen al Destino.
3. Se actualiza la red residual, considerando el flujo previamente enviado.
4. Se repite del paso 1 al 3 hasta que no existan trayectorias con CR>0.
O
[5;0]D
B
A
C E
T[3;0] [9;0]
[6;0][1;0]
[4;0]
[4;0][7;0]
[2;0][5;0]
[4;0][1;0]Red Residual Inicial
Iteración 0
Iteración 1 Se escoge la Trayectoria O – B – E – T, con CR = min {7, 5, 6} = 5
O
[5;0]D
B
A
C E
T[3;0] [9;0]
[1;5][1;0]
[4;0]
[4;0][2;5]
[2;0][0;5]
[4;0][1;0]5
5
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Iteración 2 Se escoge la Trayectoria O – A – D – T, con CR = min {5, 3, 9} = 3
O
[2;3]D
B
A
C E
T[0;3] [6;3]
[1;5][1;0]
[4;0]
[4;0][2;5]
[2;0][0;5]
[4;0][1;0]8
8
O
[5;0]D
B
A
C E
T[3;0] [9;0]
[1;5][1;0]
[4;0]
[4;0][2;5]
[2;0][0;5]
[4;0][1;0]5
5
O
[2;3]D
B
A
C E
T[0;3] [6;3]
[1;5][1;0]
[4;0]
[4;0][2;5]
[2;0][0;5]
[4;0][1;0]8
8
Iteración 3 Se escoge la Trayectoria O – A – B – D – T, con CR= min {2, 1, 4, 6} = 1
O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [5;4]
[1;5][1;0]
[4;0]
[4;0][2;5]
[2;0][0;5]
[3;1][0;1]9
9
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O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [5;4]
[1;5][1;0]
[4;0]
[4;0][2;5]
[2;0][0;5]
[3;1][0;1]9
9
Iteración 4 Se escoge la Trayectoria O – B – D – T, con CR = min {2, 3, 5} = 2
O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [3;6]
[1;5][1;0]
[4;0]
[4;0][0;7]
[2;0][0;5]
[1;3][0;1]11
11
Iteración 5 Se escoge la Trayectoria O – C – E – D – T, con CR= min {4, 4, 1, 3} = 1
O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [3;6]
[1;5][1;0]
[4;0]
[4;0][0;7]
[2;0][0;5]
[1;3][0;1]11
11
O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [2;7]
[1;5][0;1]
[3;1]
[3;1][0;7]
[2;0][0;5]
[1;3][0;1]12
12
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O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [2;7]
[1;5][0;1]
[3;1]
[3;1][0;7]
[2;0][0;5]
[1;3][0;1]12
12
Iteración 6 Se escoge la Trayectoria O – C – E – T, con CR = min {3, 3, 1} = 1
O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [2;7]
[0;6][0;1]
[2;2]
[2;2][0;7]
[2;0][0;5]
[1;3][0;1]13
13
O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [1;8]
[0;6][0;1]
[2;2]
[1;3][0;7]
[1;1][0;5]
[0;4][0;1]
O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [2;7]
[0;6][0;1]
[2;2]
[2;2][0;7]
[2;0][0;5]
[1;3][0;1]13
13
Iteración 7 Se escoge la Trayectoria O – C – B – D – T, con CR= min {2, 2, 1, 2} = 1
14
14
Solución Optima = 14 viajes/día
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O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [2;7]
[0;6][0;1]
[2;2]
[2;2][0;7]
[2;0][0;5]
[1;3][0;1]13
13
Iteración 7 Se escoge la Trayectoria O – C – E – B – D – T, con CR = min {2, 2, [0, 1], 2} = 1
O
[1;4]D
B
A
C E
T[0;3] [1;8]
[0;6][0;1]
[1;3]
[1;3][0;7]
[2;0][1;4]
[0;4][0;1]14
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Solución Optima = 14 viajes/día
Problema del Flujo de Costo Mínimo
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Problema del Flujo de Costo Mínimo
Formulación del Modelo
Variables
Xij � Flujo desde el Nodo i al Nodo j
Cij � Costo de envío por unidad desde el Nodo i al Nodo j
u ij � Capacidad de Flujo del arco ij
b i � Flujo Neto generado en el Nodo i
Sujeta a:
∑∑= =
=n
i
n
jijij XCZMin
1 1
ijarcouX
ibXX
ijij
n
ji
n
jjiij
∀≤≤
∀=−∑ ∑= =
0
,1 1
Condicion necesaria para soluciones factibles: ∑
=
=n
iib
1
0
A excepción de los arcos AB y CE, todos los arcos tienen capacidades que exceden el flujo total generado de 90
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BibliografíaBibliografía1.1. Vidal,Vidal, CarlosCarlos Julio,Julio, Planeación,Planeación,
OptimizaciónOptimización yy AdministraciónAdministración DeDeCadenasCadenas DeDe AbastecimientoAbastecimiento,, 11ªª Edición,Edición,ProgramaPrograma editorialeditorial UniversidadUniversidad deldel Valle,Valle,20092009..
2.2. Bravo,Bravo, JuanJuan JoséJosé.. NotasNotas dede ClaseClase::OptimizaciónOptimización dede redesredes..
3.3. HillierHillier,, FrederickFrederick SS.. yy GeraldGerald JJ..Lieberman,Lieberman, IntroducciónIntroducción aa lalaInvestigaciónInvestigación dede OperacionesOperaciones,, 77ªª Edición,Edición,McGrawMcGraw--Hill,Hill, 20022002..
