és ajánlott irodalmak Számonkérés és értékelés · 2 Statisztika fogalma Tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység:

1

Statisztika I.GZM, EE, TV szakok(LEVELEZŐ tagozat)

2011-2012-es tanév I. félév

Oktató:Dr. Csáfor Hajnalkatanszékvezető főiskolai docensRegionális és Környezetgazdaságtan Tsz.E-mail: [email protected]

TémakörökStatisztikai alapfogalmakStatisztikai elemzések viszonyszámokkalStatisztikai adatok és információk grafikus megjelenítéseMennyiségi ismérv szerinti elemzés (számított és helyzeti középértékek, szóródás mutatói, alakmutatók)Sztochasztikus kapcsolatok vizsgálata (asszociáció és vegyes kapcsolat)Indexszámítás (érték-, ár- és volumenindexek, területi indexek és indexsorok)

(Részletesen a tantárgyi programban, ami a GTI honlapján érhető el.)

Kötelező és ajánlott irodalmakKötelező irodalom:

Dr. Illyésné dr. Molnár Emese: Statisztikai feladatgyűjtemény I. Perfekt Kiadó 2009.Továbbá a zárthelyi dolgozatok anyagát képezik a konzultációkon elhangzottak.

Ajánlott irodalom:Korpás Attiláné dr.: Általános statisztika I. Nemzeti Tankönyvkiadó 2005.Hunyadi László – Vita László: Statisztika I. BA tankönyv AULA Kiadó Bp. 2009.Molnár Máténé dr. – Tóth Mártonné dr.: Általános statisztika példatár I. Nemzeti Tankönyvkiadó 2005.

Számonkérés és értékelésA konzultációkon való részvétel (több mint) ajánlott.

A félév végén egy 100 pontos dolgozat megírására kerül sor. Aki ezzel nem szerez gyakorlati jegyet, annak további egy alkalommal lehetősége van egy ún. pótzárthelyidolgozat megírására.

A féléves teljesítményértékelés a következőképpen történik:

88-100 pont 5 (jeles)75-87 pont 4 (jó)62-74 pont 3 (közepes)50-63 pont 2 (elégséges)50 pont alatt 1 (elégtelen)

ZH: december 9. , 9.00-10.30Pót ZH: december 16. , 9.00-10.30

Statisztikai alapfogalmak

Statisztikai alapfogalmak

Statisztika fogalma, tárgya és szerepeStatisztikai sokaság és ismérvMérési szintekStatisztikai adat és mutatószámStatisztikai sorokStatisztikai táblák Adatfelvétel, adatszerzési módokKérdőívszerkesztésA statisztikai adatok pontossága

2

Statisztika fogalma

Tömegesen előforduló jelenségek egyedeirevonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység:

adatgyűjtés – gyakorlati tevékenységadatfeldolgozásadatok elemzése

a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése.Pl. népszámlálás, földtulajdon-összeírás (gyak.),vizsgálati módszerek kiválasztása (elm.)

tudományos módszertan

Statisztika fogalmaA statisztika tárgyát képező tömeges jelenségek között találunk a hétköznapi életben előforduló és a társadalmi-gazdasági jelenségeket is, ami alapján megkülönböztetünk:

Általános statisztikát ésSzakstatisztikákat (gazdaság-, népesség-, ágazati-, társadalomstatisztika, stb.

A jelenségeket le lehet írni egyszerűbb eszközökkel és bonyolultabb matematikai-statisztikai módszerekkel. Ennek megfelelően megkülönböztetünk:

Leíró statisztikát ésStatisztikai következtetést

Statisztika fogalma

Egyidős az állammal…Mo-on a XVIII.sz. az „első összeírás”XIX.sz. a statisztika komoly fejlődésnek indul: kialakul az intézményrendszer, központi adatszolgáltatás (Fényes Elek, Kőrösi József)Központi Statisztikai Hivatal (KSH, 1867)1993-as XLVI-os törvény a statisztikáról223/2009/EK rendelet az európai statisztikáról Regionális adatszolgáltatás prioritása (NUTS-1. ország, NUTS-2: régió, NUTS-3: megye)

Statisztikai sokaság és ismérvStatisztikai sokaság:A megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (élőlény, tárgy, intézmény, stb.)

Egyedek, egységek: a sokaság legkisebb részeiSokaság fajtái:

diszkrét – folytonos (elkülönült egységek – önkényes elkülönítés)álló – mozgó (időpont – időtartam)véges – végtelen (véges sok elem – végtelen sok elem)

Statisztikai sokaság és ismérv

Statisztikai ismérvek:Olyan vizsgálati szempontok, amelyek alapján a sokaság egységei jellemezhetők és egymást nem fedő részekre bontható. Egy adott ismérv szerinti lehetséges tulajdonságokat (előfordulási lehetségeit) az ismérv változatainak nevezzük.

Statisztikai sokaság és ismérv

Ismérvek fajtái:1) Időbeli ismérvek2) Területi ismérvek 3) Mennyiségi ismérvek4) Minőségi ismérvek

- Alternatív ismérvek(és több változattal rendelkezők)

- Közös ismérvek- Megkülönböztető ismérvek

Tárgyi ismérvek

3

Mérési szintekCsak a mennyiségi ismérvek adatai számadatok, de bizonyos szabályok mellett minden ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatók.

Mérés: számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez (dolgok, tárgyak, események), illetve azok bizonyos tulajdonságaihoz.

Mérési szintek

4 féle mérési szintet (skálát) különböztetünk meg:

Névleges/nominális mérési szintSorrendi/ordinális mérési szintKülönbségi/intervallum mérési szintArányskálán történő mérés

Mérési szintek

Névleges/nominális mérési szint:Számok közvetlen hozzárendelését jelenti az egységekhez.Ezek ún. kódszámok, amelyek csak a sokaság egyedeinek azonosítását szolgálják. (azonosság és különbözőség)Közük semmilyen reláció nem áll fenn, és velük számtani művelet nem végezhető.

Pl: rendszám, irányítószám, megyék száma

Mérési szintekSorrendi/ordinális mérési szint:A sokaság egyedeihez – bizonyos közös tulajdonság alapján – rendelt skálaérték sorrendisége írja le azok viszonyát.Az egységhez rendelt számérték sorrendje pontosan tükrözi az adott egység valamilyen szempontból vett sorrendjét.A számértékek magukban nem hordoznak információt (különbségeik nem értelmezhetők), csak azoknak a rendje.

Pl: hallgatók osztályzatai, áruk minőség szerinti osztályozása, katonai rendfokozat, stb.

Mérési szintekKülönbségi/intervallum mérési szint:Kezdőpontja önkényesen választott. A skálaértékek sorrendje és különbségei is információt hordoznak a sokaság egyes egyedeiről.A skálán az értékek aránya és összege nem értelmezhető.

Pl: a +10 és a +20 C fokok közötti különbség ugyanannyi, mint a -5 és a +5 C fokok közötti különbség.

Mérési szintekArányskálán történő mérés:A legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpont egyértelműen rögzített, ennek köszönhetően két skálaérték egymáshoz viszonyított aránya is meghatározhatóvá válik. Adatain minden matematikai művelet végezhető. Az értékek különbségei bizonyos esetekben csak arányskálával egyetemben értelmezhetők:

800 1.000 (200 emelkedés) 10.000 10.200

Pl: életkor, termelési érték, jövedelem nagysága (amelyeket mind 0 értékről kiindulva mérik)

4

Feladat/1.

Sokaság Egy konkrét egység

Ismérv Ismérv-változat

Ismérvfajta/Mérési skála

A magyar népesség

2007. január elsején

Kiss Réka Születési idő

1976 Időbeli/intervallum

Lakóhely Budapest Területi/nominális

Nem Nő Minőségi/nominális

Életkor 29 Mennyiségi/arány

Feladat/2.

Adottak az alábbi sokaságok:Magyarország népessége 2006. jan.1-jén 10 076 581 fő.A budapesti férfiak sörfogyasztása a 2006-os VB idején.BCE oktatói 2006. szept. 4-én.Jótékonysági koncertek 2006-ban a Zeneakadémián.

Feladat:Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit!

Feladat/3.Döntse el az alábbi ismérvekről, hogy mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e!

Nem (férfi, nő)ÉletkorMagasságTestsúly Családi állapotIskolai végzettség FoglalkozásBruttó havi fizetés

Statisztikai adat és mutatószámStatisztikai adat:Az egyedekről szerezhető információ.(szám, vagy számszerű jellemző)fogalmi jegyidőbeli azonosítótérbeli azonosítószámértékmértékegység(mérés vagy számlálás) Például:

194.000(Havi) Átlagbér Magyarországon 2008-ban bruttó Ft/fő/hó

Statisztikai mutatószám:Valamilyen statisztikai módszerrel a rendelkezésre álló adatokból számított származtatott statisztikai mérőszám.

Statisztikai sorokA sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése.

Sorkészítés célja szerint:Csoportosító sorÖsszehasonlító sorLeíró sor

Ismérvfajtáknak megfelelően:Időbeli (tartam-állapot), területi, minőségi, mennyiségi + leíró sorok

Sorok készítése: ismérvváltozatok számszerű értékek

Valódi statisztikai sorok(azonos fajtájú adatokból)

Nem valódi statisztikai sor(különböző fajtájú adatokból)

Statisztikai sorok

Csoportosító statisztikai sor:A sokaság belső összefüggéseit fejezi ki, csoportosítás céljából készül, adatai összegezhetők.(időbeli, területi, minőségi, mennyiségi)

Ismérv-változatok

Egységek száma

C1C2..

Ci.

Ck

f1f2..fi.fk

Összesen: N

5

Statisztikai sorok

Összehasonlító statisztikai sor:Összehasonlító adatok statisztikai sorba rendezve, összehasonlítási céllal, adataik nem összegezhetők.(idősor, területi)

Ismérv-változat

Számérték/ mértékegység

C1C2..

Ci.

Ck

adatadat

.

.adat

.adat

Statisztikai sorokStatisztika sorok kellékei:

Cím (sokaság pontos megnevezése, a közös ismérvek felsorolása)Tulajdonságok, ismérvváltozatok felsorolásaIsmérvváltozatoknak megfelelő gyakoriságok felsorolásaÖsszesen rovat (csak a csoportosító sor estében)A forrás megnevezése

Statisztikai táblákStatisztikai sorok összefüggő rendszere.

Egyszerű tábla (összehasonlító és/vagy leíró sorok)Nincs csoportosító sora, egy adata, egy statisztikai sor tagja.

Csoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlító vagy leíró sorok)Egyirányú csoportosítást tartalmaz, egy adata egy statisztikai sor tagja.

Kombinációs tábla (csoportosító sorok)Csak csoportosító sorokat tartalmaz, egy adata egyidejűleg több statisztikai sor tagja.

Statisztikai táblák

Egyszerű statisztikai tábla

Év Orvosok száma (fő)

Lakosok száma (fő)

Egy orvosra jutó lakosok száma

1990 240 80 000 333,3

1999 360 100 000 277,8

Egy városban az orvosellátottság alakulása:


Csoportosító statisztikai tábla

Körzet Termés (ezer tonna)

Termésátlag (t/ha)

Dunántúl 2000 5,2Alföld 3000 5,31Észak 705 4,71

Összesen 5705 …

Búzatermelés adatai 1991-ben:


Kombinációs statisztikai tábla

Osztályzat A B C Összesenkar hallgatóinak megoszlása

5 19 23 19 614 32 49 40 1213 24 36 56 1162 20 36 82 1381 1 2 18 21

Összesen 96 146 215 457

Egy felsőfokú intézmény nappali tagozatos hallgatónak jegyei statisztikából 1991/1992 II. félév:

6


A statisztikai táblák részei:Oszlop (a táblázat egy oszlopa)Sor (a táblázat egy sora)Rovat (sor és oszlop találkozása)Fejrovat (a táblázat első sora, mely szövegesen tartalmazza az egyik ismérv változatait)Oszloprovat (a táblázat első oszlopa, mely szövegesen tartalmazza a másik szerinti ismérvváltozatokat)Összegrovat (a sorok és oszlopok összességét tartalmazza)

Statisztikai táblákDimenziószám:Azt mutatja, hogy a tábla egy statisztika adata egyidejűleg hány statisztikai sor tagja.

Táblakészítés szabályai:Cím (azonosítókkal!, idő, hely, stb.)Oldalrovatok (fejrovat és oszloprovat) megnevezéseEgy rovat sem üres (--, --, ●(●); … , 0,0)Megjegyzés (ha valamely rovatában lévő adat eltérő mértékegységű)Forrásmegjelölés (!)

Adatszerzési módok

Teljeskörű felvétel Részleges felvétel

Monográfia Reprezentatív megfigyelések

Egyéb részleges adatfelvétel

Véletlenen alapuló

Nem véletlen(kontrolált)

Kérdőívszerkesztés

Alapos szakmai hozzáértésTömör, egyértelmű, könnyen megválaszolható kérdésekFőleg feleletválasztós (karikázós, x-elős és kevés kifejtendő választ igénylő)Ne legyen túl hosszúAjánlott az anonim adatfelvételKompromisszum: csak a legfontosabb dolgokat kérdezzükVéglegesítés előtt: próbalekérdezésHa nyereményhez kötjük, növelhető a válaszadási arány

Adatok pontossága

Szignifikáns számjegyek: a pontosnak tekinthetőszámjegyek

: a legutolsó kiírt szignifikáns számjegy helyértéke

Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát

Például Mo. népessége (90-ben):

10.277 ezer ± 500 fő

Feladatok (stat. alapfogalmak)

Perfekt Statisztika I. példatár:57/4, 58/7, 59/9, 60/11, 60/13, 61/14, 61/15, 61/16, 63/20, 63/21, 64/23, 64/26

További gyakorló feladatok az általános statisztika I. (zöld) példatárból:

11/2, 12/3 (sokaság fajtája)

12/4, 13/5, 13/6,13/7, 14/8, 14/9, 14/10, 15/11 (sokaság és ismérvfajták)

15/13 (százalék és százalékpont)

7

Statisztikai elemzések viszonyszámokkal

Viszonyszámok

Viszonyszám fogalmaViszonyszámok fajtáiMegoszlási és koordinációs viszonyszámokDinamikus viszonyszámok Viszonyszámok közötti összefüggésekIntenzitási viszonyszámok

Viszonyszámok

Viszonyszám: két, egymással kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa (V)

, ahol A: a viszonyítás tárgya(viszonyítandó adat)

B: a viszonyítás alapja

Azonos adatokból (% v. együtthatós) – Különböző fajta adatokból (int.)

Viszonyszámok fajtáiCsoportosító sorokból:

Megoszlási viszonyszámok (Vm)Koordinációs viszonyszámok (Vk)

Összehasonlító sorokból:Dinamikus viszonyszámok (Vd: Vdl és Vdb)Feladat- és teljesítménymutató (Vf és Vt)Területi összehasonlító (Vö)

Leíró sorokból:Intenzitási viszonyszámok (Vi)

Viszonyszámok fajtái

Megoszlási viszonyszám: rész és egész egymáshoz viszonyított arányát fejezi kiKoordinációs viszonyszám: a sokaság két részadatát viszonyítjaDinamikus viszonyszám: idősor adataiból számított hányados

Intenzitási viszonyszám: különböző fajta, különböző mértékegységű- de egymással kapcsolatban lévő-sokaság adataiból számított viszonyszám


Megoszlási viszonyszám:

Pl. 26 fiú és 32 lány jár a csoportba, összesen 58 hallgató (100%).

45 % a fiúk aránya

55% a lányok arány

Összesen: 100%

8


Koordinációs viszonyszám:

Pl. mozilátogató nők: 1942 fő, mozilátogató férfiak: 1876

1000 mozilátogató ffi-ra 1035 mozilátogató nő jut

1000 mozilátogató nőre 966 mozilátogató ffi jut


Koordinációs viszonyszámokból az eredeti adatok ismerete nélkül is számíthatók megoszlási viszonyszámok.

A nők aránya:

A férfiak aránya:

Dinamikus viszonyszámok

Bázisviszonyszám:

Láncviszonyszám:

Dinamikus viszonyszámokViszonyszámok közötti összefüggések:1. Az első (azaz nulladik) időszakra nem tudunk láncviszonyszámot

számolni2. Az állandó bázisul választott időszakban a bázisviszonyszám értéke 1,

azaz 100%3. Az állandó és a bázisul választott időszak után következő időszakban

a bázis és a láncviszonyszám megegyezik4. Láncból bázis: adott időszak bázisviszonyszáma kiszámolható az adott

időszak és az azt megelőző időszakok láncviszonyszámainak szorzataként:

5. Bázisból lánc: adott időszak láncviszonyszáma kiszámítható az adott időszak és az azt megelőző időszak bázisviszonyszámának hányadosaként:

Feladat/1.

ÉvMagyarországra

érkező külföldiekKülföldre utazó

magyarok

ezer fő ezer fő

2000 31 141 11 065

2001 30 679 11 167

2002 31 739 12 966

2003 31 412 14 283

2004 36 635 17 558

2005 38 555 18 622

Elemezze bázis- és láncviszonyszámokkal a Magyarországra érkező külföldiek és a külföldre utazó magyarok számának alakulását!Mutassa meg a viszonyszámok közötti összefüggéseket!

Az alábbi táblázatban 2000-2005 közötti idegenforgalommal kapcsolatos adatok láthatók:

Megoldás

9

Megoldás Viszonyszámok közötti összefüggések

Magyarországra érkező külföldiek esetén:

Külföldre utazó magyarok esetén:

Pl.:

Pl.:


Feladatmutató viszonyszám:

Teljesítménymutató viszonyszám:

Pl. bázisévben (tavaly) 100 autót szereltem össze, erre az évre 120-at terveztem, de csak 110 lett belőle


Területi összehasonlító viszonyszám:

Pl. Heves megye és BAZ megye népességének összehasonlítása:

Intenzitási viszonyszámVi = A/B, megmutatja, hogy a vizsgált jelenség milyen intenzitással fordul elő valamely más jelenség környezetében.

Sűrűségmutatók:Pl: népsűrűség, 1 négyzetkilométerre jutó lakosszám

Ellátottságot kifejező mutatók:Pl: orvossal való ellátottság

Színvonalmutatók:Pl: 1 főre jutó átlagkereset, 1 dolgozóra jutó termelési érték, 1 főre jutó GDP

Arányszámok:Pl: 100 főre jutó születések száma, halálozási arányszám

Intenzitási viszonyszám

Egyenes intenzitási viszonyszám:A mutató színvonalának alakulása egybeesik az int. viszonyszám növekedésével.Pl: orvosok száma / lakosok száma (ezer fő)

Fordított intenzitási viszonyszám:Amikor a jelenség színvonala javul, akkor a fordított int. viszonyszám értéke csökken.Pl: lakosok száma (e fő) / orvosok száma

10

Intenzitási viszonyszám

Nyers intenzitási viszonyszám:(a teljes sokasághoz viszonyítunk)Pl: tejhozam / tehenek száma

dolgozók / hallgatók

Tisztított intenzitási viszonyszám:(csak a jelenséggel szorosan kapcsolatban álló részhez viszonyítunk)Pl: tejhozam / tejelő tehenek száma

oktatók / hallgatók

Népességstatisztikai definíciók

Definíciók

Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező, és másutt tartózkodási hellyel nem rendelkező személyek, valamint az ugyanezen területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek együttes száma.

Természetes szaporodás (fogyás): az élveszületések és a halálozások különbözete.

DefiníciókTényleges szaporodás (fogyás): a természetes szaporodás (fogyás) és a vándorlási (belföldi és nemzetközi) különbözet (+,–) összege.Gyermeknépesség eltartottsági rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) a 15–64 éves népesség százalékában.Idős népesség eltartottsági rátája: az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.Eltartott népesség rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) és az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.

DefiníciókÖregedési index: az idős népesség (65–X éves) a gyermeknépesség (0–14 éves) százalékában.Házasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt – két tanú jelenlétében – kötött házasság.Válás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. Jogerőre az a házasságot felbontó vagy érvénytelenítő ítélet emelkedett, amely ellen további jogorvoslatnak helye nincs.

DefiníciókÉlveszületés: (az ENSZ ajánlása szerint) olyan magzat világrajövetele, aki az életnek valamilyen jelét (mint légzés vagy szívműködés, illetőleg köldökzsinór-pulzáció) adja, tekintet nélkül arra, hogy mennyi ideig volt az anya méhében és mennyi ideig élt.Teljes termékenységi arányszám: azt fejezi ki, hogy az adott év kor szerinti születési gyakorisága mellett egy nő élete folyamán hány gyermeknek adna életet.

11

DefiníciókHalálozás: az élet minden jelének végleges elmúlása az élveszületés megtörténte után bármikor, azaz az életműködésnek a születés utáni megszűnése, a feléledés képessége nélkül.

Halálok: mindazon betegség, kóros állapot vagy sérülés, amely vagy eredményezte, vagy hozzájárult a halálhoz (halálozáshoz), valamint olyan baleset vagy erőszak körülménye, amely halálos sérülést okozott.

DefiníciókVárható átlagos élettartam: azt fejezi ki, hogy a különböző életkorúak az adott év halandósági viszonyai mellett még hány évi élettartamra számíthatnak.Csecsemőhalálozás: az élveszületést követően az egyéves kor betöltése előtt bekövetkezett halálozás. A halvaszülött és a születésének évfordulóján meghalt gyermek nem csecsemőhalott.

Csecsemőhalálozási arányszám: ezer élveszülöttre jutó egy éven aluli meghalt.

Feladatok (viszonyszámok)

Perfekt Statisztika I. példatár:72/39, 73/41, 73/43, 76/4866/28, 67/30, 68/32, 69/33, 75/47, 78/52, 78/53 , 79/54, 80/56

További gyakorló feladatok az általános statisztika I. (zöld) példatárból:

16/15, 17/18, 18/20, 19/2343/81, 43/82, 41/77, 41/78, 42/79, 42/80 (viszonyszámok és összefüggéseik)

Grafikus ábrázolás

Grafikus ábrázolásAz adatok megjelenítésének, szemléltetésének fontos eszköze. Információ megjelenítése képi formában. (megérteni és készíteni is fontos)

Alapelvei:Áttekinthetőség (csak azt mutassa, amire szolgál)Célorientáltság és homogenitásEgyszerűségRekonstruálhatóságOptikailag semleges méretezésCím, egyértelmű jelmagyarázatok, mértékegységek, forrásra való hivatkozás szüks.

Grafikus ábrázolásBizonyos elemzési eszközökhöz bizonyos ábrázolási módok tartoznak.Általában szoftverekkel (speciális rajzoló szoftverekkel) készülnek.

A grafikus ábrák fajtái:1. Koordináta-rendszeren alapuló ábrák2. Nem koordináta-rendszeren alapuló

ábrák

12


Koordináta-rendszeren alapuló ábrák:PontdiagramBot-ábraVonaldiagramOszlopdiagram (hisztogram)Szalagdiagram Sugárdiagram


Pontdiagram: két egymással összefüggésben lévő mennyiségi ismérv értékeinek ábrázolása koordinátarendszerben. (idő és menny. sorok)


Bot ábra: gyakorisági soroknál, ha kevés és diszkrét a mennyiségi ismérv

Grafikus ábrázolásVonaldiagram: idősorok adatainak koordinátarendszerben való ábrázolása.Gyakorisági soroknál poligonnak nevezzük.


Oszlopdiagram: összehasonlítás az oszlopok magasságával. (összehasonlítás)

Grafikus ábrázolásOsztott oszlopdiagram: a csoportosító sorok ábrázolásának eszköze, az összehasonlítandó oszlopon belül a megoszlás területarányos ábrázolása.

13


Hisztogram:Mennyiségi sor esetén az oszlopok között nincs hézag


Szalagdiagram: Az oszlopdiagram az X és Y tengelyeinek felcserélésével kapjuk.

Grafikus ábrázolásKorfa:A szalagdiagram speciális alkalmazása a korfa, amely egy összetett szalagdiagram.


Sugárdiagram: poláris koordináta rendszeren alapul, önmagában visszatérő ciklikus folyamatok esetében célszerű alkalmazni, vagy ha szerkezeti változásokat szeretnénk kiemelni.

A magyar népességkorösszetételének változása

Grafikus ábrázolásNéhány nem koordináta-rendszeren alapuló ábra:

KördiagramKartogramKartodiagramPonttérképPiktogram (figurális ábrázolás)Leveles ágBox & whiskers ábra (kvartilis eloszlás)

Grafikus ábrázolásKördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkek segítségével. Mind szerkezetet, mind pedig abszolút nagyságot tud jellemezni (megoszlások, összehasonlítás)

14


Kartogram: területi sorok ábrázolása térképen, az egyes régiók eltérő színeivel érzékelteti a köztük lévő különbséget.


Kartodiagram: területi sorok esetén alkalmazható, az egyes földrajzi egységek adatait a térképen elhelyezett diagrammal ábrázolja.


Ponttérkép: a területi sorok szemléltetésére használható, a pontok sűrűsége az adott területhez tartozó adat nagyságára utal.

Grafikus ábrázolásPiktogram: figurális ábrázolás, mely a jelenséget megtestesítő különböző nagyságú figurák alapján fejezi ki a nagyságrendi relációt.

Grafikus ábrázolásLeveles ág: mennyiségi soroknál megadja a teljes csoportosítatlan sokaságot. Rangsorban való közléssel kiemeli az eloszlás alakját


Box & whiskers ábra: a kvartilis eloszlás (az adatok nevezetes osztópontjainak, jelen esetben negyedelő pontjainak a helyzetét) szemlélteti.

15

Mennyiségi ismérv szerinti elemzés

LEÍRÓ statisztikaA leíró statisztika: olyan módszerek és mutatószámok, amelyek segítségével akár egy nagyobb sokaságot, akár egy mintát viszonylag könnyen és jól lehet valamilyen mennyiségi ismérv szerint tömören, egy mutatószámmal jellemezni.

A sokaság (vagy minta) tömör jellemzése alapvetően 3 szempont szerint történhet: 1. Középértékek: a sokaság/minta jellemző értékének és

értékeinek meghatározása2. Szóródás: adatok különbözőségének vizsgálata3. Alakmutatók: a gyakorisági görbe alakjának a

vizsgálata

Gyakorisági sorokA mennyiségi ismérv szerint csoportosító sorokat gyakorisági soroknak nevezzük.A gyakorisági sorok fajtái:

Rangsor: ha kevés számú diszkrét mennyiségi ismérv szerint csoportosítjuk a sokaságot. (amikor az összes ismérvváltozat felsorolható a gyakoriságokkal.)Osztályközös gyakorisági sor: folytonos, illetve sok változattal rendelkező diszkrét ismérv szerinti csoportosításkor, a csoportokat osztályközökkel (intervallumokkal) adjuk meg.

Gyakorisági sorok

Érdemjegy(x)

Hallgatók száma/fő(f)

5 3

4 8

3 6

2 2

1 1

Összesen 20

Példa rangsorra:

Egy 20 fős szemináriumi csoport érdemjegyei statisztikából

x: átlagolandó érték

f: gyakoriság

Gyakorisági sorokPélda osztályközös gyakorisági sorra:

Egy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakások értéke szerint millió Ft-ban (1998-ban):

Lakások értéke (millió Ft)(x)

Lakások száma (db)(f)

3,0 – 4, 5 124,5 – 6,0 206,0 – 7,5 30

7,5 – 10,0 2710, 0 – 13,0 11Összesen 100

Gyakorisági sorokPélda osztályközös gyakorisági sorra:

Egy Heves megyei település lakásállományának vizsgálata a lakások értéke szerint millió Ft-ban (1998-ban):

Osztályközepek(x)!

Lakások értéke (millió Ft)(x)

Lakások száma (db)(f)

3,75 3,0 – 4, 5 125,25 4,5 – 6,0 206,75 6,0 – 7,5 308,75 7,5 – 10,0 2711,50 10, 0 – 13,0 11

Összesen 100

16

Gyakorisági sorok

Oszt.közép(x)!

Lakásár(m Ft) (x)

Lakásokszáma

(db)(f)

f’ f” g(f%)

g’ g” s(fx)

s’ s’’ z(s%)

z’ z”

3,75 3,0 – 4,5 12 12 120 10,0 10,0 100,0 45,00 45,00 945,25 100.0

5,25 4,5 – 6,0 20 32 108 16,5 26,5 90,0 105,00 150,00 900,25

6,75 6,0 – 7,5 30 62 88 25,0 51,5 73,5 202,50 352,5 795,25

8,75 7,5 – 10,0 27 89 58 22,5 74,0 48,5 236,25 588,75 592,75

11,50 10,0 – 13,0 31 120 31 26,0 100,0 26,0 356,50 945,25 356,50 100.0

Összesen 120 - - 100,0 - - 945,25 - - 100.0

1) Középértékek

Számított középértékek

(átlagok)számtani átlagharmonikus átlagmértani átlagnégyzetes átlag

Helyzeti középértékek:móduszmediánkvantilisek

Középértékekkel szembeni követelmények

1. közepes helyet foglaljon el az értékek között2. tipikus érték legyen: álljon közel az előforduló

értékek zöméhez3. legyen pontosan definiálva4. könnyen értelmezhető legyen5. számítása egyszerűen elvégezhető legyen

Átlagok

Súlyozatlan SúlyozottSzámtani

Harmonikus

Mértani

Négyzetes

Ugyanazon pozitív értékekből számított átlagok nagyságrendje

és érzékeny a kiugróan alacsony értékekre

és érzékeny a kiugróan magas értékekre

Példa/1: (egyszerű/súlyozatlan átlagok – az értékek csak egyszer fordulnak elő (egyedi értékek) vagy ugyanannyiszor)

Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8 – az értékek egyszer fordulnak elő

(vagy: 3, 3, 4 ,4, 5, 5, 8, 8 – az értékek többször, de ugyanannyiszor fordulnak elő)

Feladata) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és a

négyzetes átlagot! b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket! c) Állapítsa meg ugyanazon pozitív számokból számolt átlagok

sorrendjét!d) Amennyiben az átlagolandó értékek között szerepelne még

egy kiugróan alacsony érték (pl. 1), akkor mely átlagok reagálnának rá érzékenyen?

e) Mely átlagok értékét befolyásolja jobban, ha az átlagolandó értékek között még egy kiugróan magas érték (pl. 32) is található?

17

Megoldás

Számtani átlag:

Harmonikus átlag:

Mértani átlag:

Négyzetes átlag:

Példa/2: (súlyozott átlagok – az értékek többször fordulnak elő és nem ugyanannyiszor)

Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó súlyok:

( ) adatok: 3, 4, 5, 8( ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1

Feladat:a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a

mértani és a négyzetes átlagot!

Megoldás

Harmonikus átlag:

Mértani átlag:

Négyzetes átlag:

Számtani átlag

A számtani átlag néhány tulajdonsága1. az átlagtól vett eltérések

(előjeles hibák) összege nulla2. négyzetes minimum tulajdonság:

minimum , ha A=3. az átlagolandó értékek additív transzformációjával (ha

minden átlagolandó értékhez hozzáadunk egy konstans értéket) az átlag is a transzformációnak megfelelően nő vagy csökken

4. az átlagolandó értékek multiplikatív transzformációjával (ha minden átlagolandó értéket megszorzunk egy konstans elemmel) az átlag is a transzformációnak megfelelően változik

Számtani átlag előnyei

Számítása egyszerű, tömör, világosMinden adathalmazból kiszámítható, és csak egy van belőleUgyanazon típusú számszerű jellemzők összehasonlítását teszi lehetővé sokaság vagy minta eseténKiszámításához nem szükséges az egyedi értékek számszerű ismerete, elegendő azok összegét tudni.

Számtani átlag hátrányaiKiugróan magas, vagy kiugróan alacsony egyedi értékek (outlier-ek) esetén az átlag „torz” lehet, és nem jellemzi jól a sokaságot , ugyanis az adatok többségétől eltérOsztályközös gyakori sornál nem tudunk pontos átlagot számolni, az így kiszámított (osztályközepek felhasználásával) érték csak becslés/közelítés.Nyitott osztályközök esetén (amikor az osztályköz hosszúságát akkorának tekintjük, mint az alsó vagy a felső szomszédos osztályköz) az általunk meghatározott alsó vagy felső határnál kisebb vagy nagyobb értékeket figyelmen kívül hagyjuk.

18

Mediánaz az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték fele kisebb, fele nagyobb. (rangsorba rendezett adatok közül a középső elem)

a) meghatározása egyedi adatokból a rangsorból az -edik érték (páros tagszám esetén,

amikor a sorszám két érték közé esik, akkor az érintett 2 érték számtani átlaga)

b) becslése osztályközös gyakorisági sorból:

osztópont:

, ahol: a medián osztályközének a gyakorisága,

: a medián osztályközét megelőző osztályköz kumulált gyakorisága

Medián előnyei

Egyértelműen meghatározható, minden adathalmaznak létezik mediánja, és csak egy van belőle.A medián rangsorba rendezett minőségi ismérvekből is megállapíthatóA medián értéke független a szélső értékektől. Kiugróan magas vagy alacsony értékek esetén (amelyekre nem érzékeny) jobban jellemzi a sokaságot mint a számtani átlag.

Medián hátrányai

Csak rangsorba rendezett értékekből állapítható megHa egy minta alapján akarunk következtetni a teljes sokaságra, akkor a számtani átlag matematikai-statisztikai szempontból alkalmasabb mutatószám.

MóduszRangsor (diszkrét ismérv) esetén: a leggyakrabban előforduló értékfolytonos ismérv esetén: a gyakorisági görbe maximumához tartozó érték

A módusza kiugró, extrém értékekre érzéketlennem mindig létezik (például, ha minden érték egyforma valószínűséggel fordul elő)Ha több különböző érték azonos gyakorisággal fordul elő, akkor több módusz is lehet.

Módusz becslése osztályközös gyakorisági sorból

: a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa

: a móduszt tartalmazó osztályköz hossza

Nem egyenlő osztályközök esetén a módusz becslése f* átszámítottgyakoriságok alapján történik.

, ahol

Módusz előnyei és hátrányai

Előnyök:Mennyiségi jellemzők esetén is használhatóHasonlóan a mediánhoz, nem érzékeny a szélső, kiugró értékekre

Hátrányok:Sok esetben nem alkalmas a sokaság jellemzésére, mert nem minden esetben létezik, és van hogy több is van belőle.

19

Példa/3 (egyedi értékek)

Egy bp.-i lakóparkban télen megkérdezték a 3 szobás lakások tulajdonosait, hogy mennyi volt az előző havi rezsiköltségük. Az alábbi adatokat kapták ezer Ft-ban:

75, 64, 69, 80, 76, 77, 86, 79, 65, 72, 73, 75, 75, 70

Feladat:Jellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző havi rezsiköltségét az adott esetben felhasználható középértékekkel! (átlag, módusz, medián)

Megoldás

Medián: Me=75 ezer Ft A lakástulajdonosok felének 75 ezer Ft-nál kevesebb, a lakástulajdonosok másik felének pedig 75 ezerFt-nál nagyobb volt az előző havi rezsiköltsége.

Rangsor készítése: 64, 65, 69, 70, 72, 73, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 86

Számtani átlag: A lakástulajdonosok előző havi átlagos rezsiköltsége 74 ezer Ft.

Módusz:Mo=75 ezer Ft

A legtöbb lakástulajdonos előző havi rezsije 75 ezer Ft.

Példa/4 (egyenlő osztályközök)

Egy benzinkútnál a napi eladott mennyiség szerint a személygépkocsik megoszlása a következő volt:

Értékesített benzin mennyisége (liter) Gépkocsik száma 10 – 19 1020 – 29 2830 – 39 4240 – 49 1550 – 59 5

Összesen 100

Feladat:Számítsa ki és értelmezze az átlagot!Becsülje meg a mediánt és a móduszt, és írja le jelentésüket!

Megoldás

Értékesített benzin mennyisége (liter)

Gépkocsik száma

Osztály-közép

Kumulált gyakoriság

10 – 19 10 15 1020 – 29 28 25 3830 – 39 42 35 8040 – 49 15 45 9550 –59 5 55 100

Összesen 100 --- ---

A gépkocsik átlagosan 32,7 litert tankoltak a benzinkútnál az adott napon.

32,7 liter

Megoldás

Medián:sme= és a 3. osztályközben van

A gépkocsik fele 32,86 liter benzinnél kevesebbet tankolt,a gépkocsik másik fele pedig ennél többet az adott napon.

32,86 liter

A legtöbb kocsi 33,41 liter benzin körüli mennyiségettankolt az adott napon.

33,41 liter

Módusz: 3. osztályközben van

Példa/5 (nem egyenlő osztályközök)1999-ben az átlagkeresetek alakulása egy vállalatnál

Keresetek (ezer Ft) Létszám 40 – 50 1250 – 60 2060 – 80 34

80 – 100 32100 – 150 14150 – 200 3Összesen 115

Feladat:Számítsa ki és értelmezze az átlagot!Becsülje meg a mediánt, a móduszt és a kvartiliseket és írja le jelentésüket!

20

MegoldásKeresetek(ezer Ft)

(x)

Létszám(f)

Osztály-közép

(x)

Kumulált gyakoriság

(f’)

f* (új oszt.köz= 20e Ft)

40 – 50 12 45 12 2450 – 60 (Q1),(Mo) 20 55 32 4060 – 80 (Me) 34 70 66 3480 – 100 (Q3) 32 90 98 32

100 – 150 14 125 112 5,6150 – 200 3 175 115 1,2

Összesen 115 --- --- ---

A vállalatnál a dolgozók átlagosan 75,1 ezer Ft-ot keresnek.

Csak a MÓDUSZHOZ!

Megoldás

Medián:sme= (A Me a 3. osztályközben van.)

A dolgozók fele 75 ezer Ft-nál kevesebbet keresett,a másik fele pedig ennél többet az adott évben.

75 ezer Ft

58,375 ezer Ft

Alsó kvartilis:

A dolgozók negyede 58,4 ezer Ft-nál kevesebbet keresett,a másik fele pedig ennél többet az adott évben.

(A Q1 a 2. osztályközben van.)

Megoldás

Felső kvartilis:sq3= (A Q3 a 4. osztályközben van.)

A dolgozók negyede 92,65 ezer Ft-nál többet keresett,a három negyede pedig ennél kevesebbet az adott évben.

Módusz: (f* kell!)

A dolgozók legtöbbje 57,27 ezer Ft-ot keresett az adott évben.

(A Mo a 2. osztályközben van.)

2) SzóródásAz értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzük szóródásnak.Az értékek különbözősége egyrészt az értékek egymástól való különbözőségén, másrészt valamely középértéktől való eltérésében fejezhető ki.

A legfontosabb szóródási mérőszámok:1. Terjedelem, R (vagy IQR)2. Átlagos eltérés, δ3. Szórás, б (vagy s)4. Relatív szórás, V5. (Átlagos különbség, G)

Szóródási mérőszámok Szóródási mérőszámok

1) Terjedelem:annak az intervallumnak a hossza, amelyen belül az ismérvértékek elhelyezkednek.

Interkvartilis terjedelem: annak az intervallumnak a hosszát fejez ki, amelyben az ismérvértékek középső 50%-át találjuk.

21

Szóródási mérőszámok2) Átlagos eltérés: az átlagtól vett eltérések számtani átlaga.Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.

Szóródási mérőszámok3) Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.

A szórás négyzetét varianciának hívjuk.

A szórás néhány tulajdonsága

A szórás akkor és csak akkor nulla, ha minden ismérvérték egyenlő.Az xi ismérvértékek additív transzformációja után a szórás nem változik.Az xi ismérvértékek multiplikatív transzformációja után a szórás a transzformációnak megfelelően változik.

Szóródási mérőszámok

4) Relatív szóráskülönböző alapadatok vagy ismérvértékek szóródásának összehasonlítására szolgál. Mértékegység nélküli szám, általában százalékos formában adják meg.

Szóródási mérőszámok

5) Átlagos különbség, G (Gini-féle mutató)az ismérvértékek egymástól mért abszolút eltéréseinek a számtani átlaga. (Leginkább a koncentráció vizsgálatánál alkalmazható.)

Empirikus eloszlások típusai

Egy móduszú eloszlás

Több módoszú eloszlás

Szimmetrikus Aszimmetrikus

Mérsékelten Erősen

Bal oldali Jobb oldali J alakú Fordított J alakú

22

Szimmetrikus eloszlás Aszimmetrikus eloszlások

Aszimmetrikus eloszlások

3) Alakmutatók

arra szolgálnak, hogy tömör számszerű formában jellemezzék, hogy milyen tekintetben és milyen mértékben tér el az adott eloszlás a normális eloszlás gyakorisági görbéjéből.

Mértékegység nélküli mutatók.

Aszimmetria mutatók

A-mutatóPearson-félemutatószám:

Ha +, bal oldali aszimmetria- , jobb oldali aszimmetria0 , szimmetrikus az eloszlás

F- mutató (kvartiliseken alapul)

-1≤ F ≤1A abszolút értékének nincs korlátja, de ritkán vesz fel 1-nél nagyobb értéket.

23

KoncentrációGazdasági életben: erőforrások tömörülése,

összpontosulása

Statisztikailag: egy sokaság mennyiségi ismérv szerinti vizsgálata

Koncentráció: az értékösszeg jelentős része a sokaság kevés egységére összpontosul

Koncentráció

A koncentráció a relatív gyakoriságok ( ) és a relatív értékösszegek ( ) összehasonlításával elemezhető. Ha az egyes osztályközökhöz tartozó és értékek azonosak, az a koncentráció hiányaként értelmezhető, eltérésük viszont a koncentrációt jelzi.

Lorenz-görbeEgységoldalú négyzetben elhelyezett ábra,amely a kumulált relatív értékösszegeket értékeket a kumulált relatív gyakoriságok értékeinek függvényében ábrázolja.

Lorenz-görbe

Felhasználása: relatív koncentráció szemléltetéseinterpolációtöbb ismérv koncentrációjának egybevetéseadott ismérv koncentrációjának időbeli vagy térbeli egybevetése

Koncentráció hiánya esetén a görbe egybeesik az átlóval.Minél távolabb esik a görbe az átlótól, annál nagyobb fokú a koncentráció.

Koncentrációs együttható

A Lorenz-görbe és az átló által bezárt területet koncentrációs területnek nevezzük. Ha koncentrációs területet a háromszög területéhez viszonyítjuk, akkor e hányados alapján következtetni tudunk a koncentráció mértékére. A koncentrációs terület arányát a koncentrációs együtthatóval mérjük.

(ahol G: az átlagos különbség (Gini-féle mérőszám))

K értéke [0,1] intervallumban mozoghat, koncentráció hiány esetén K=0, és a K minél közelebb van 1-hez, annál erősebb a koncentráció.

Koncentráció

Abszolút koncentráció: az értékösszeg kevés egységére összpontosul (pl.: energiaiparban, gépkocsigyártásban)

Relatív koncentráció: az értékösszeg relatív értelemben kevés egységnél összpontosul (pl.: személyi jövedelemben)

24

Koncentráció

tőke, vagyon, termelés,forgalom, eredmény

gazdasági szervezetek

export, import országok,termékek,gazdasági szervezetek

mezőgazdasági földterület, eszközállomány,állatállomány

gazdasági szervezetek,tulajdonosok

lakossági jövedelem, vagyon

lakosság,háztartások

ÉRTÉKÖSSZEG (s) SOKASÁG (n)Tapasztalati idősor:

időtényező:

megfigyelt érték:

Idősorok elemzése átlagokkal


Idősorelemzés egyszerű eszközei:dinamikus viszonyszámok(bázis-, és láncviszonyszámok): idősor adataiból számított hányadosokgrafikus ábrázolás

átlagok

Időegységre számított átlagok

Stock típusú idősor esetén:(számtani átlag)

Flow típusú idősor esetén: (kronologikus átlag)


(tartam-idősor) (állapot-idősor)


Változások átlaga

Átlagos abszolút változás Átlagos relatív változás

Feladatok (mennyiségi ismérv szerinti elemzés)

Perfekt Statisztika I. példatár:128/1, 128/2, 130/5, 131/8, 134/12, 134/13, 137/17, 138/19, 138/20, 139/23, 141/25, 145/32, 148/36,149/38

További gyakorló feladatok az általános statisztika I. (zöld) példatár:

24/38, 24/39 (egyedi értékekből – súlyozatlan)25/42 (rangsorból – súlyozott)26/45, 27/46, 29/51 (osztályközös gyakorisági sorok –egyenlő osztályköz esetén)26/44, 27/47, 28/48, 28/49, 29/50, 29/52, 32/56 (nem egyenlő osztályközök)35/65 (koncentráció)

25

Sztochasztikus kapcsolatok (1)

Ismérvek közötti kapcsolatokStatisztikai ismérvek:

Minőségi ismérvekMennyiségi ismérvekIdőbeli ismérvekTerületi ismérvek

Eddig a sokaságokat egy ismérv szerint elemeztük, most a sokaságokat egyszerre két – egymással valamilyen kapcsolatban álló – megkülönböztető ismérv szerinti csoportosításban, azaz kombinációs táblába rendezve vizsgáljuk. A vizsgálat célja pedig az, hogy van-e és ha van, akkor milyen erősségű/jellegű a kapcsolat a vizsgált két ismérv között.

Ismérvek közötti kapcsolatoka két ismérv (x és y) független egymástól, ha x ismérv

szerinti hovatartozás nem ad semmiféle többletinformációt az y szerinti hovatartozásról. (ezekkel nem kell foglalkoznunk)

a két ismérv között sztochasztikus összefüggés van, ha az egyik ismérvváltozathoz való tartozásból tendenciaszerűen, valószínűségi jelleggel következtethetünk a másik ismérv szerinti hovatartozásra. Statisztika

a két ismérv függvényszerű kapcsolatban áll egymással, ha a vizsgált egységek x szerinti hovatartozásának ismeretében teljesen egyértelműen megmondható azok y szerinti hovatartozása is. (ezt a matematika vizsgálja)

Sztochasztikus kapcsolatok

Különböző okozati jellege lehet az egyes ismérveknek:x ismérv: ok (magyarázó változó)y ismérv: okozat (eredményváltozó)(pl. jövedelemnagyság és húsfogyasztás)

Vannak olyan esetek, amikor az ismérvek kölcsönösen hatnak egymásra, vagyis az ok-okozati viszony nem egyértelmű, az okság kölcsönös. (pl. ár és kereslet)

Ismérvek közötti kapcsolatokA két ismérv jellege szerint a következő sztochasztikus kapcsolatokat különböztethetjük meg:

asszociációs kapcsolat: az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (pl.: nem (férfi,nő) – dohányzás)vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv területi vagy minőségi ismérv, a másik mennyiségi (pl.: iskolai végzettség -1 főre jutó bruttó havi jövedelem)korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (pl.: 1 főre jutó bruttó havi jövedelem-1 főre jutó élelmiszerfogyasztás) egyszerre több ismérv között vizsgálható a sztochasztikus kapcsolat (II. félév anyaga)rangkorreláció: mindkét ismérv ordinális mérési szintű, vagyis sorrendi skálán mérhető.

Ismérvek közötti kapcsolatok

Az asszociáció és a vegyes kapcsolat esetén egyszerre csak két ismérv közötti kapcsolatot vizsgálhatjuk.

Arra keressük a választ, hogy a két ismérv között:van-e kapcsolat?ha van kapcsolat, akkor az milyen erős?

A korrelációs kapcsolat (mennyiségi ismérvek kapcsolatának a vizsgálata) több elemzési lehetőséget biztosít, hiszen itt azt is meg tudjuk vizsgálni, hogy az egyik ismérv milyen számszerű hatással van a másik (vagy több) ismérv alakulására.

26

Kontingencia tábla

X/Y

Kontingencia tábla

együttes gyakoriságok, tényleges gyakoriság a kontingenciatábla i sorában és j oszlopában

peremgyakoriságok, az összesen rovat gyakoriságaiAz x ismérvváltozattal rendelkező elemek száma

n = a sokaság elemeinek a száma

peremgyakoriságok, az összesen rovat gyakoriságaiaz y ismérvváltozattal rendelkező elemek száma

Asszociációs kapcsolat szorosságának mérése

1) Alternatív ismérvek esetén:2 x 2 kontingencia tábla:

A két ismérv függetlensége esetén

Yule –együttható (Y):

X/Y y1 y2 Összesenx1 f11 f12 f1.

x2 f21 f22 f2.

Összesen f.1 f.2 n


A Yule-mutató tulajdonságai:

Teljes függetlenség, a kapcsolat teljes hiánya

Sztochasztikus kapcsolat

Függvényszerű kapcsolat


Csuprov-mutató (T):

2) Általánosan alkalmazható mutatószám (alternatív és két ismérvváltozatnál több változattal rendelkező ismérvek esetén egyaránt): (ahol s az egyik ismérv változatainak, míg t a másik ismérv változatainak a számát jelenti):

,ahol

,ahol

függetlenség esetén feltételezett gyakoriság akontingencia tábla i sorában és j oszlopában


A Csuprov-mutató tulajdonságai:

esetén a Cramer-mutatót (C) használjuk:

Esetén Y és T mutatók is alkalmazhatók, a T mutató alakja ebben az esetben:

ha s=t

27

Feladatok (asszociáció) Perfekt Statisztika I. példatár:

240/2, 241/3, 248/1, 248/2, 249/3, 250/5, 250/6 , 252/10, 254/13 255/14, 255/15, 257/17, 257/18, (ezeknél csak a kapcsolat szorosságát jelző mutatókat kell kiszámolni)

További gyakorló feladatok az általános statisztika (zöld) példatárból:

60/127, 60/128, 60/130, 60/132

Sztochasztikus kapcsolatok (2)

Vegyes kapcsolat

Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv területi vagy minőségi ismérv (azaz nem mennyiségi ismérv), a másik mennyiségi ismérv (pl.: iskolai végzettség - 1 főre jutó bruttó havi jövedelem)

A vegyes kapcsolat elemzése során azt vizsgáljuk, hogy a mennyiségi ismérv szóródását mennyiben befolyásolja a minőségi vagy a területi ismérv szerinti csoportosítás.

Heterogén sokaságok

összetett, minőségileg különböző részekből állnak.Heterogén sokaság átlaga a részsokaságokra számított átlagok súlyozott átlaga.

Jelölések:: j-edik csoport átlaga: j-edik csoport tagszáma

: a csoportok száma

: súlyarány

: a teljes sokaságra számított átlag

Heterogén sokaságok

Jelölések:= a sokaság tagszáma= a csoportok száma= a j-edik sokaság tagszáma= a j-edik csoport átlaga= a sokaság átlaga (főátlag)= a j-edik sokaság i-edik eleme

Csoportok Elemszám Csoportátlag Csoportonkéntiszórás

… … … …

… … … …

Összesen

28

Például:Egy vidéki nagyváros ingatlanügynökségén értékesítésre váró ingatlanok:

Eladási ár (m Ft)

Panellakásokszáma

Nem panelből készült lakások száma

Összes lakás (db)

6,1 – 8,0 8 2 10

8,1 – 10,0 15 5 20

10,0 – 15,0 34 12 46

15,0 – 20,0 24 14 38

20,1 – 25,0 7 19 26

25,1 – 30,0 2 8 10

Összesen 90 60 150

Építőanyag Ingatlanokszáma

Csoportátlag (eladási ár m Ft)

Csoportonkéntiszórás

Panel 90 13,872 4,72

Nem panel 60 18,358 5,93

Összesen 150 15,670 5,68

A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a számításokat táblázatba foglalhatjuk:

Jelölések

= teljes eltérés ( )= belső eltérés ( )= külső eltérés ( )

= teljes szórásnégyzet

= belső szórásnégyzet

= külső szórásnégyzet

Szórásnégyzetek kiszámítása

S: teljes eltérés-négyzetösszeg

SB: belső eltérés-négyzetösszeg

SK: külső eltérés-négyzetösszeg

Összefüggések

Teljes eltérés Belső eltérés Külső eltérés

Teljes szórásnégyzet Belső szórásnégyzet Külső szórásnégyzet

Teljes eltérésnégyzet összeg

Belső eltérésnégyzet összeg

Külső eltérésnégyzet összeg

29

Feladat:

Egy főiskolán 4 szakon folyik bachelor képzés. Az alábbi táblázatban a hallgatók napi tanulásra fordított idejérevonatkozó adatok találhatók:Szak Napi tanulásra fordított idő (óra) Hallgatók

%-os megoszlása

átlaga szórása

Emberi erőforrás 1,5 1,2 24Gazdálkodás menedzsment 2,25 0,8 26Nemzetközi gazdálkodás 1,75 1,5 20Pénzügy-számvitel 2,75 1,3 30

Számítsa ki a mérőszámokat és értelmezze azokat!

Megoldás

A vegyes kapcsolat mutatószámai

Szórásnégyzet-hányados: megmutatja, hogy a minőségi vagy területi ismérv szerinti csoportosítás hány %-ban befolyásolja a mennyiségi ismérv szóródását.

Szóráshányados: a szórásnégyzet-hányados négyzetgyöke, amely megmutatja, hogy milyen szoros a kapcsolat a nem mennyiségi (csoportosító) és a mennyiségi ismérv között.

A vegyes kapcsolat mutatóinak értelmezése

Teljes függetlenség, a kapcsolat teljes hiánya

Sztochasztikus kapcsolat

Függvényszerű, determinisztikus kapcsolat

Feladatok (vegyes kapcsolat) Perfekt Statisztika I. példatár:

264/1, 267/2, 273/1, 273/2, 274/3, 274/5, 275/6, 275/7, 279/14, 280/15, 280/16, 281/18 (a 18-as feladat b) részének a megoldása hátul nem jó!)


63/137, 65/140, 66/141, 66/143, 67/144

Indexszámítás

30

Indexszámítás

Az indexszámok valamilyen szempontból összetartozó, de különnemű (különböző mértékegységű), közvetlenül nem összesíthető javak összességére vonatkozóan a mennyiségek (q), az árak (p) és az értékadatok (v) időbeli vagy térbeli összehasonlítására szolgálnak.Termékek azonos körére vonatkozó két időben (vagy térben területi indexek) különböző aggregátum hányadosai.

Egy jószág(csoport) értékét a mennyisége és az egységára határozza meg:

Egyedi indexek (egy jószágcsoportra – egyfajta termékre – vonatkozó indexek, tkp. viszonyszámok)

Egyedi árindex:

Egyedi volumenindex:

Egyedi értékindex:

ahol:p1: tárgyidőszak egységárap0: bázisidőszak egységára

ahol:q1: tárgyidőszaki mennyiségq0: bázisidőszak mennyiség

ahol:v1: tárgyidőszaki termékértékv0: bázisidőszaki termékérték

Az érték változásának additív felbontása

Az indexszámításban négyféle aggregátumot*használunk fel:

1.

2.

3. valós

aggregátum

valósaggregátum

fiktívaggregátum

fiktívaggregátum

*Aggregálás: egy heterogén jószágcsoport értékben való összegzése. A tárgyidőszaki aggregát értéket (aggregátumot) folyóáras értékadatnak nevezzük.

Együttes indexek aggregát formái (heterogén jószágcsoportra – többféle termékre –vonatkozó indexek)

Értékindex:

Árindex:(a mennyiségek q adatok állandók)

Volumenindex:(az árak, p adatok állandók)

Értékindex-számításAz értékindex a termékek bizonyos körére nézve az érték változását mutatja meg. (pl. árbevétel változás)

Az értékindex átlagformái:ahol a súlyok a valós aggregátumok/értékadatok és az egyedi értékindexek az átlagolandó értékek:

Árindex-számítás

Súlyozott, alapformulájú árindexek:

Laspeyres árindex(bázisidőszaki súlyozású) :

Paashe árindex(tárgyidőszaki súlyozású) :

Fisher árindex:

Az árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja a vizsgált termékek összességére vonatkozóan.

31

Az árindex átlagformái (árindex-számítás egyedi árindexekből) ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az egyedi árindexek:

Volumenindex-számítás

Súlyozott alapformájú volumenindex:

Laspeyres volumenindex(bázisidőszaki súlyozású) :

Paashe volumenindex(tárgyidőszaki súlyozású) :

Fisher volumenindex:

A volumenindex a termékek bizonyos körére vonatkozóan a mennyiségek változását méri.

A volumenindex átlagformái (volumenindex-számítás egyedi volumenindexekből)ahol a súlyok az értékadatok, az átlagolandó értékek az egyedi volumenindexek:

Feladat

Egy bolt három termékének forgalmára vonatkozó adatok láthatók az alábbi táblázatban:

Termék Mértékegység

Értékesítés mennyisége Egységár (Ft)

2004 2005 2004 2005

I. vaj db 4500 5400 220 235

II. kenyér kg 2875 3335 90 90

III. tej l 2125 1870 140 175

Feladat:

Számítsa ki az egyedi volumen-, ár-, és értékindexeket!Hogyan változott a bolt összbevétele?Hogyan változott az értékesített termékek árszínvonala?Számítsa ki az együttes volumenváltozást!

Egyedi indexek

32

Aggregátumok Értékindex

a megfelelő aggregátumok hányadosaként

az egyedi értékindexek súlyozott számtani átlagaként:

az egyedi értékindexek súlyozott harmonikus átlagaként:

Laspeyres-féle árindex Paashe-féle árindex

Fisher-féle árindex

A Laspeyres-és a Paashe index súlyozatlan mértani átlaga

Volumenindexek

33

Az érték-, volumen- és árindex közötti összefüggés Különbségfelbontás

Összefüggések:

Feladatok (indexszámítás)

Perfekt Statisztika I. példatár:207/1, 217/1, 218/3, 219/5, 219/6, 220/7, 220/8, 221/10, 222/12, 223/14, 224/17


88/201, 88/202, 89/203, 89/204, 89/205, 90/207, 91/210, 91/211, 92/213

Indexszámok gyakorlati alkalmazása

Cserearány-mutatók: a gazdálkodó szervezetek által eladott termékek árindexét viszonyítjuk a vásárolt termékek árindexéhez.

Cserearány-index (terms of trade):az adott ország által exportált és az általa importált termékek árindexeinek a hányadosa. Egységnyi exportért, hányszor többet, vagy kevesebbet tudunk importálni a tárgyidőszakban a bázisidőszakhoz képest.

Indexszámok gyakorlati alkalmazása

Árolló: azt mutatja meg, hogy valamilyen bevételt biztosító termékek bázisidőszakival azonos volumenéért a tárgyidőszakban mennyivel nagyobb vagy kisebb volumenű másféle termék kapható cserébe.

Agrárolló:a mezőgazdasági termelőiár-indexet osztjuk a mezőgazdasági ráfordítások árindexével.

A fogyasztói árindex (CPI)

A fogyasztói árszínvonal változását méri.

Azt mutatja meg, hogy a lakosság által fogyasztási célra vásárolt termékek és szolgáltatások árai átlagosan hogyan változtak az egyik időszakról a másikra.

Az infláció mérőeszközeként is használják, de ez nem jelent fogalmi azonosítást.

34

A hazai fogyasztói árindex-számítás fő jellemzői (Consumer Price Index – CPI)

a teljes lakosságra vonatkozika vásárolt fogyasztás (fogyasztói kosár) árváltozását tükrözimintavételes módszerrel készülkínálati árakra épül (reprezentáns árak)havonta készülLaspeyres-típusú (bázisidőszaki súlyozású)a globális árindex mellett különböző termék-csoportokra és lakossági rétegekre is készül indexa közzététel meghatározott szabályozás szerint történik

Az indexszámítás adatforrásai

Két alappillér:

1. 900 reprezentánsra vonatkozó ármegfigyelés

2. az indexszámításhoz tartozó súlyok meghatározásaA 160 árucsoporthoz, az ún. alapsorokhoz tartozó súlyarányok a fogyasztás szerkezetét képviselik.

A fogyasztói árindex-számítás harmonizációja az EU országokbanA harmonizálás célja:

Az egyes országok fogyasztói árindexeinek összehasonlításaA térségekre, országcsoportokra számított globális indexhez olyan alapadatok biztosítása, melyek egységesen kezelhetőkAz egyes országok fogyasztói árindex-számításának módszertani javításaA CPI gyakorlatias és alacsony költségigényű meghatározása

HICP:Harmonizált Fogyasztói Árindex

IndexsorokKettőnél több időszakra vonatkozó indexek sorozata

Indexsorok fajtái:a) Tartalma szerint

- értékindexsor- árindexsor- volumenindexsor

b) Viszonyítás rendje szerint- bázisindexsor- láncindexsor

c) Súlyozás módja szerint- állandó súlyozású indexsor- változó súlyozású indexsor (B,T)

Indexsorok

Volumenindexsorok:Bázis

Állandó súlyozásúVáltozó súlyozású (B,T)

LáncÁllandó súlyozásúVáltozó súlyozású (B,T)

Árindexsorok:Bázis

Állandó súlyozásúVáltozó súlyozású (B,T)

LáncÁllandó súlyozásúVáltozó súlyozású (B,T)

Értékindexsorok: BázisLánc

Indexsorok

Bázis-értékindexsor (0. év a bázis)

Lánc-értékindexsorEz a kép most nem jeleníthető meg.(100%)

Értékindexsorok:

35

Indexsorok

Állandó súlyozású bázis-volumenindexsor: (bázis: a 0. időszak mennyisége, állandó súly: a 0. időszak ára)

Változó súlyozású bázis-volumenindexsor (bázis: 0. év) - (B)

Változó súlyozású bázis-volumenindexsor (bázis: 0. év) - (T)

Bázis volumenindexsorok:Indexsorok

Állandó súlyozású lánc-volumenindexsor: (állandó súly: a 0. időszak ára)

Változó súlyozású lánc-volumenindexsor - (B)

Változó súlyozású lánc-volumenindexsor - (T)

Lánc volumenindexsorok:

Indexsorok

Állandó súlyozású bázis-árindexsor: (bázis: a 0. időszak mennyisége, állandó súly: a 0. időszak ára)

Változó súlyozású bázis-árindexsor (bázis: 0. év) - (B)

Változó súlyozású bázis-árindexsor (bázis: 0. év) - (T)

Bázis árindexsorok:Indexsorok

Állandó súlyozású lánc-árindexsor: (állandó súly: a 0. időszak ára)

Változó súlyozású lánc-árindexsor - (B)

Változó súlyozású lánc-árindexsor - (T)

Lánc árindexindexsorok:

Területi indexekForgalom-, vagy termelésadatok térbeli összehasonlításának eredményeként jönnek létreAz eddig alkalmazott 0 (bázisidőszak) és 1 (tárgyidőszak) jelölések A-ra és B-re módosulnak (A és B a két terület jelölik)Az értékindexet területi összehasonlítás esetén nem értelmezzük!Az összehasonlításnak nincs egyértelmű sorrendje: felcserélhető a viszonyítandó és a viszonyítás alapjául szolgáló terület: A/B és B/A relációjú (területi) ár- és volumenindexeket is számolhatunkEltérő valutájú országok esetén az árindex számlálója és a nevezője nem azonos mértékegységű, ezért nem %-os értékként értelmezzük A/B relációjú index esetén jelentése: B ország 1 valutaegysége A ország hány valutaegységével egyenértékű. B/A relációjú index esetén A ország egy valutaegysége B ország hány valutaegységével egyenértékű.A területi összehasonlításnál (eltérő valuták) a különböző súlyozású indexek közötti eltérés jóval nagyobb lehet, mint az időbeli összehasonlításnál, ezért a Fisher-formula használata kötelező.

Területi volumenindex

Területi volumenindex azt fejezi ki, hogy az összehasonlítandó területen a termelés (értékesítés) mennyisége hányszorosa az összehasonlítás alapjául szolgáló terület termelésének (értékesítésének).

Legfontosabb alkalmazási területe a nemzetközi összehasonlítás

36

Területi árindexAzonos valutájú országok esetén a területi árindex árszínvonal összehasonlítást jelent.

Eltérő valutájú országok esetén a területi árindex a vásárlóerő paritást fejezi ki.

Vásárlóerő paritás (PPP): azt mutatja meg, hogy egy adott ország egységnyi valutája a másik ország hány egységnyi valutájával egyenértékű a vizsgált termékek körében.

B ország egységnyi valutája A ország ennyi egységnyi valutájával egyenértékű.

A ország egységnyi valutája B ország ennyi egységnyi valutájával egyenértékű.

Feladatok (területi indexek, indexsorok)

Perfekt Statisztika I. példatár:212/2, 217/2 (területi indexek)

230/28, 230/29 (indexsorok)


101/239, 102/240 (területi indexek)

97/230, 98/231, 98/232, 99/234 (indexsorok)

Köszönöm a figyelmet!

Documents

és ajánlott irodalmak Számonkérés és értékelés · 2 Statisztika fogalma Tömegesen előforduló jelenségek egyedeire vonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység: